aritmetica 4° 3 b

33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Secundaria ARITMÉTICA 4to. Secundaria

NOCIÓN DE CONJUNTO

Intuitivamente un conjunto es la reunión, colección o agrupación de objetos reales o ideales, a estos objetos se les denomina ELEMENTOS del conjunto.

Los conjuntos generalmente se denotan con letras mayúsculas (A, B, C, …Z) y sus elementos separados por comas y encerrados entre llaves.

Ejemplos:

A = {6, 7, 8, 9}B = {Las Universidades del Perú}C = {a, b, ∆, *}

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

I. Por Extensión o en Forma TabularEs cuando se pueden indicar explícitamente a cada uno de los elementos de un conjunto, enumerándolos o indicándolos en forma sobre entendida.

Ejemplos:

A = {2, 3, 5, 7, 11}B = {1, 4, 9, 16, 25}C = {a, e, i, o, u}

II. Por Comprensión o en Forma Constructiva

Es cuando se menciona una o más características comunes y exclusivas a los elementos del conjunto.

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

A. Inclusión ⊂

Se dice que A esta incluido en otro conjunto B, si todos los elementos de A pertenecen a B.

Se denota. A ⊂ B

Se lee: “A esta incluído en B”“A esta contenido en B”“A es subconjunto de B”

Ejemplos:

1) A = {p, q}B = {p, q, r, s}

B

A . p .q

. r

.s

⇒ A ⊂ B

Observación

1. A ⊂ B ↔ ( ∀ x ∈ A) → x ∈ B

A ⊂ B ó B ⊃ A

∀: Para todo (Cuantificador)

2. Todo conjunto está incluido en sí mismo o es subconjunto de sí mismo.

∀ A : A ⊂ A

3. El conjunto vacío está incluido en todo conjunto.

4. Si un conjunto tiene “n” elementos entonces tendrá: 2n subconjuntos.

Ejemplo 1:

B = {a, b}Sub conjuntos de “B”:

∅ ; {a} , {b} , {a , b}∴ Numero de subconjuntos de B es:

22 = 4

Ejemplo 2:

Si: B = { 3, {3}, {4}, {{4}} }

Dar su valor de verdad de las proposiciones:

- {3} ∈ B … ( V )- {3} ⊂ B … ( V )- {{3}} ⊂ B … ( V )- {{{4}}} ⊂ B … ( V )- {{4}} ⊂ B … ( V )- 7 ⊂ B … ( F )- 7 ⊄ B … ( F )

B. IgualdadDos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos sin importar el orden.

Se denota: A = B

Se define: A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A

Ejemplo:

A = {x/x ∈ Z ∧ x + 3 = x 2 - 9}B = {-3, 4}

De A: x + 3 + x2 - 9

X2 - x - 12 = 0X -4X 3

Ejemplos:

De la parte I

A = {P/P es un número primo ∧ P<12}B = {x2 /x ∈ N ∧ x < 5}C = {x/x es una vocal}

Esquema General:

Conjunto =

es)(Propiedad elementoticasCaracterís del Forma

Ejemplos:

A = {x4 / (x + 3) (x + 1) x (x-1) (x-3) = 0}

Observación

x = - 3 : - 1 ; 0 ; 1 ; 3 ∴ A = {81 , 1 , 0}

NotaNo todo conjunto se puede determinar por extensión y comprensión a la vez.

RELACIÓN DE PERTENENCIA

Si un objeto es elemento de un conjunto, se dice que pertenece, (∈) a dicho conjunto, en caso contrario no pertenece (∉) a dicho conjunto.

Ejemplo:

A = {a, {a}, b, c}

a ∈ A {b} ∉ Ae ∉ A c ∈ A

{a} ∈ A {{c}} ∉ A

S4AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

III

TEORÍA DE


DIAGRAMAS DE VENN – EULER

Son regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas que se utilizan para representar gráficamente a los conjuntos, así:

Ejemplo:

A = {1, 8, 27, 64}

Observación

Otro diagrama para representar gráficamente a los conjuntos es:

DIAGRAMA DE LEWIS CARROLL

HOMRES MUJERES

FUMANNO FUMAN

Se observa que:

Hombres que fuman

Mujeres que no fuman

NÚMERO CARDINAL

El número cardinal de un conjunto (A) nos indica la cantidad de elementos diferentes que posee y se denota por: n(A)

Ejemplos:

A = { 5, 6, 6, 5 } → n ( A ) = 2

B = { x/x ∈ IN ∧ 3 < x < 6 }

n (B) = 2 ; x = 4 ; 5

( x – 4 ) ( x – 3 ) = 0x = – 3 ∨ 4

BA. -3

. 4

C. Conjuntos Diferentes ( ≠ )Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no posee el otro.

Se define:A ≠ B ⇔ A ⊄ B ∨ B ⊄ A

Ejemplo:

A = { x/(x–1)(x–2)(x–3) x = 0 }B = {0, 1, 2, 3, 4}

De A: (x – 1)(x – 2)(x – 3) x = 0x = 0 ; 1 ; 2 ; 3

B

A. 0. 1

. 2. 3

A ≠ B

D. Conjuntos ComparablesDos conjuntos A y B son comparables cuando sólo uno de ellos está incluido en el otro es decir:

A ⊂ B ó B ⊂ A

Observación:Si dos conjuntos son iguales, entonces son comparables; lo contrario no siempre se cumple.

E. Conjuntos DisjuntosSe dice que dos conjuntos son disjuntos cuando poseen elementos comunes. Simbólicamente:

A y B son disjuntos ⇔ ∃ x/x ∈ A ∧ x ∉ B

∃ : “Existe alguno” (Cuantificador)

Ejemplo:

{ }{ } 7 6, 5, B

4 3 2, A

==

∴ A y B son

disjuntos

Gráfica:

A . 2

. 3

B

. 4

. 5

. 6

. 7

F. Conjunt. Equipotentes o Coordinables

“Para hablar de éstos conjuntos de alguna forma, el proceso de contar sus elementos siempre termina” .

Dos conjuntos serán coordinables cuando el número de sus elementos son iguales.

Ejemplo:

{ }} pn, m, { B

12 11, 10, A

==

∴ A y B son

equipotentes

DIAGRAMAS LINEALES

Son representaciones gráficas que sirven para indicar relación de inclusión.

Ejemplo:

Si : A ⊂ B ⇒ A

B

Si : A = B ⇒ A B

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS

Todos son números complejos: C

Imaginarios


A.1

.8

.27

.64

1 -

4 10 4 10 -

i 3 3 -

=

=

=

i

i


Complejos

RealesR Imaginarios

RacionalesQ Irracionales

EnterosZ Fracciones

negativos cero positivos (Naturales)(N)

Propiedad:

Ν ⊂ Ζ ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

I. Unión o Reunión

La unión de dos conjuntos “A” y “B” es el conjunto formado por la agrupación de todos los elementos de “A” con todos los elementos de “B”.

Notación: A ∪ B (A o B)

Simbólicamente se define:

A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}

Observación

“ ∨ <> ó : unión”

Ejemplo:

{ }{ }

==

4 3, B

3 2, A A ∪ B = {2, 3, 4}

POSICIONES RELATIVAS PARA 2 CONJUNTOS A Y B

AB

U

A B

U

A B

U

→ B ∪ A

Observación

Si : B ⊂ A ⇒ A ∪ B = A

Propiedades:

A ∪ B = B ∪ A (Conmutativa)A ∪ (B ∪ C)=(A ∪ B) ∪ C (Asociativa)A ∪ A = A (Idempotencia)A ∪ U = UA ∪ ∅ = A (Elemento Neutro)

II. IntersecciónLa intersección de dos conjuntos “A”y “B” es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez.

Notación: A ∩ B (A y B)

Simbólicamente se define:

A ∩ B = x/x ∈ A ∧ x ∈ B

Observación

“∧ <> y : intersección”

Ejemplo:

{ }{ }

==

6 5, 4, B

5 4, 3, A A ∩ B = {4, 5}


A B

U

AB

U

A B

U

Observación

* Si : B ⊂ A ⇒ A ∩ B = B* Si : A y B son conjuntos disjuntos

⇒ A ∩ B = ∅

Propiedades:

A ∩ B = B ∩ A (Conmutativa)A ∩ (B ∩ C)=(A ∩ B) ∩ C (Asociativa)A ∩ A = A (Idempotencia)A ∩ U = AA ∩ ∅ = ∅ (Elemento Neutro)

PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS

- Distributiva:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

- Ley de Absorción:

A ∪ (A ∩ B) = AA ∩ (A ∪ B) = A

(A ∪ B) ⊂ C) ⇔ A ⊂ C y B ⊂ CSi : A ⊂ B y C ⊂ D ⇒ (A ∪ C) ⊂ (B ∪ D)

III. Diferencia

La diferencia de dos conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a “A” pero no a “B”

Simbólicamente:

A <> B ⇔ n(A) = n(B)

CLASES DE CONJUNTOS

A. Conjunto Finito

Un conjunto es finito, si posee una cantidad limitada de elementos, es decir el proceso de contar sus elementos termina en algún momento.

Ejemplo:

A = {x/x es un contribuyente de la Sunat}B = {x/x es un mes del año}

B. Conjunto Infinito



Un conjunto es infinito, si tiene una cantidad ilimitada de elementos diferentes; es decir el proceso de contar sus elementos nunca termina.

Ejemplo:

A = {P/P es un número primo}B = {x/x ∈ IR ∧ 8 < x < 9}C = {x/x es una estrella del universo}

CONJUNTOS ESPECIALES

1. Conjunto Nulo o VacíoEs aquel conjunto que carece de elementos.

Ejemplo:

A = { x/x es el actual INCA del Perú } B = { x/x ∈ IN ∧ 7 < x < 8 }

Notación: “∅” ó { }⇒ A = B = ∅ = { }

Nota:El conjunto vacío “∅” es subconjunto de todo conjunto.

2. Conjunto Unitario o SingletónEs aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplo:

A = { x/x ∈ Z ∧ 10 < x < 12} = {11}B = { 2, 2, 2, 2, …} = {2}

3. Conjunto Universal ( U )Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto.

Ejemplo:

A = { 1, 3, 5 }

B = { 2, 4, 5, 6 }

Podrían ser conjuntos universales

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }U = { x/x ∈ IN }

* Gráficamente el conjunto universal se representa generalmente mediante el rectángulo.

Ejemplo:

A = { x/x es peruano }B = { x/x es colombiano }C = { x/x es mexicano}

⇒ U = {x/x es americano}

4. Conjunto de Conjuntos ó familia de ConjuntosEs aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos.

Ejemplo:

A = { {5} , {7,9} , ∅ }

5. Conjunto Potencia o Conjunto de PartesDado un conjunto A, el conjunto potencia de A está formado por toda la familia de subconjuntos de A.

Notación: P (A)

Ejemplo:

A = { 2, 3 }

} {2,3}

A de Propiosconjuntos Sub

{3}, {2}, ,{P(A) φ=

n[P(A)] = 4 = 2n(A) = 22

Ejemplo:

A = { a, b, c }

P(A)=

vacio

}

Ternario

c}b,{a,,

Binarios

c}{b,c},{a,b},{c,,

Unitarios

{c}{b},{a}, , {↓

φ

n [ P (A) ] = 23 = 8

Simbólicamente:P(A)= {x/x ⊂ A}

Observación

* Si un conjunto A tiene “n” elementos entonces el número de subconjuntos de A es 2.

* Los subconjuntos propios de A son aquellos subconjuntos diferentes al conjunto A.

Ejemplo 1:

Si n(A)=5 entonces el número de subconjuntos propios es:

n[P(A)]=25 = 32

# subconjuntos propios de A = 25 – 1 =31

Ejemplo 2:

Determinar el valor de verdad de cada proposición.

A = {∅,{∅},{{∅}},{{{∅}}}}- ∅ ∈ A … ( V )- ∅ ⊂ A … ( V )- {{∅}} ∈ A … ( V )- {{∅}} ⊂ A … ( V )- {{∅}} ∈ P(A) … ( V )- {{{∅}}} ⊂ P(A) … ( V )- {{{{∅}}}} ∈ P(A) … ( V )

Notación: A – B

Se lee: “A pero no B” (sólo A)

Simbólicamente:A – B {x/x ∈ A ∧ x ∉ B}

ObservaciónSi : A ≠ B ⇒ A – B ≠ B – ASi : A = B ⇒ A – B = B – A = ∅


AB

U

A B

U



A B

U

→ A – B

Observación

* Si: B ⊂ A ⇒ B – A = ∅* Si: A y B son conjuntos disjuntos

A – B = A ; B – A =BEjemplo:

=

=

} 6 5, 4, 3, { B

}4 3, 2,{A

} 6 5, { A B} 2{BA

=−=−

IV. Diferencia SimétricaLa diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a “A” o “B” pero no a ambos.

Notación: A ∆ B

Simbólicamente se define:A ∆ B = {x/x ∈ (A – B) ∨ x ∈ (B – A)}

óA∆B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B ∧ x ∉ A ∩ B}


AB

U

A B

U

A B

U

Observación* Si: B ⊂ A ⇒ B – A = ∅* Si: A y B son conjuntos disjuntos

A ∆ B = A ∪ B

Propiedades:* A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A)* A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)* A ∆ B = ∅* A ∆ ∅ = AEjemplo:

2,5}{ BA

5} 4, {3, B

}4 3, 2,{ A

=∆

=

=

V. ComplementoEl complemento de A, es el conjunto formado por los elementos que pertenece al conjunto universal U pero no a “A”

Notación: A´ ; A ; AC ; C A

Simbólicamente:A´ = {x/x ∈ U ∧ x ∉ A} = U – A

Diagrama

A

U

→ A‘

ObservaciónA

BC = B – A

Propiedades1. A (A´)´ = (Involución)

2. φφ

==

U´

U ´

3. BÁBA ∩=−

4. φ=∩=∪

AÁ

UAÁ

5. Leyes de Morgan

B´ A´ B)´ (A

B´ A´ B)´(A

∪=∩∩=∪

6. Caso particular de la absorción

B A´ B) (A A´

B A´ B) (A A´

∩=∪∩∪=∩∪

Observación

1) n( ∅ )=02) n(A ∪ B)=n(A)+n(B)-n(A ∩ B)3) Si A y B son conjunto disjuntos

n(A∪B)=n(A)+n(B)4) n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) –

-n(A∩B)–n(A∩C) – -n(B∩C)+n(A∩B∩C)

PRACTICA DE CLASE

01. Dado el conjunto unitario

{ }12;3b2a;baA −++=

Calcular: a2 + b2

a) 80 b) 74 c) 104d) 90 e) 39

02.Diana realiza un viaje mensual durante todo el año a Ica o Tacna. Si 8 viajes fueron a Ica y 11 viajes a Tacna. ¿Cuántos meses visitó a los dos lugares?

a) 4 b) b c) 7d) 8 e) 5

03.Los conjuntos A y B son tales que ( ) 30BAn =∪ ,

( ) 12BAn =− y

( ) 10ABn =− . Hallar

( ) ( )BnAn +

a) 22 b) 38 c) 36d) 25 e) 37

04.Si: ( )[ ] 128BAPn =∪ ,

( )[ ] 16BPn = y

( )[ ] 8BAPn =∩

Hallar: ( )[ ]BAPn ∩

a) 128 b) 32 c) 256d) 1024 e) 512

05.Durante todas las noches del mes de Octubre, Soledad escucha música o lee un libro. Si escucha música 21 noches y lee un libro 15 noches. ¿Cuántas noches escucha música y lee un libro simultáneamente?

a) 5 b) 6 c) 4d) 3 e) 10

06.De un grupo de 100 estudiantes, 49 no llevan el curso de Matemática y 53 no siguen el curso de Administración. Si 27 alumnos no



siguen Matemática ni Administración. ¿Cuántos alumnos llevan exactamente uno de tales cursos?

a) 47 b) 43 c) 42d) 48 e) 45

07.Un conjunto A tiene 1023 subconjuntos propios y el producto cartesiano de A y B tiene 50 elementos ¿cuántos subconjuntos propios de 3 elementos posee el conjunto potencia de B?

a) 10 b) 12 c) 11d) 13 e) 9

08.De 100 personas que leen por lo menos dos de tres revistas ( A, B y C ), se observó que 40 leen A y B; 50 leen A y C, 60 leen B y C.¿Cuántas personas leen sólo dos revistas?

a) 50 b) 25 c) 75d) 29 e) 80

09.En una encuesta de un club se determinó que le 60% de los socios lee. “La República” y el 30% “El Comercio”. Se sabe que los que leen “La República” o “El Comercio” pero no ambos constituyen el 70% del club y hay 400 socios que no leen ningún diario. ¿Cuántos socios leen ambos diarios?

a) 240 b) 210 c) 180d) 200 e) 150

10.Dados:

{ }{ }5;4ed;1cB

ed;cbaA2

222

+−+=

+++=

Si: A = B ; A es unitario, c > a > b y son no negativos.Hallar: a + b + c + d x e

a) 9 b) 6 c) 8d) 7 e) 10

11.¿Cuántos elementos tiene conjunto potencia de H?

( ) ( ){ } BACCAH ∩−∪−=

Si:

{ } { } { }s,q,pCq,p,nBp,n,mA ===

a) 8 b) 4 c) 64d) 16 e) 32

12.Dados los conjuntos A y B contenidos en un universo. A que es igual:

( )( )( ) ( )( ) ( ) ''B'A''AB'''B'A ∪∪−∪∪

a) A ∩ B b) A ∪ B c) A ∆ Bd) A’ ∪ B c) B’ ∪ A

13.Si:

{ }{ }{ }( ) BCAD

5xBx/1xC

Zx6x1/1x2B

040x13x/xA

2

2

−∪=<∧∈−=

∈∧<≤+==+−=

Calcular: n [ P (D) ]

a) 2 b) 8 c) 64d) 32 e) 16

14.Sean los conjuntos:

{ }{ }5x2Zx/xxB

93x2Zx/xA4

3

<<∧∈−=

≤−∧∈= +

Cuántas proposiciones son falsas

1. A y B son disjuntos .................2. n (A) > n (B) ..........................3. n (A) = n (B) ..........................4. A ⊂ B .....................................5. A = B ....................................6. A y B son comparables ..........

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

15. Simplificar la expresión conjuntista:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]{ }CC BABACBCAA ∩∪∪∩∩∪∆∩

a) AC b) A ∪ B c) A ∩ BC

d) B e) A ∪ B

16. Si: A ⊂ B. Simplificar:

( ) ( )[ ]{ } 'B'AC'BAB ∪∪∩∩∪

a) B’ b) A’ ∩ B’ c) A - Bd) A’ e) ( A ∪ B )’

17. Si los conjuntos A y C; B y C son conjuntos disjuntos, además:

n ( A - C ) = n ( B - C ) = 12n [ P (A) ∩ P (B) ] =16n ( A ∪ B ∪ C ) = 23

Calcular: n (C)

a) 5 b) 4 c) 2d) 6 e) 3

18.A y B son subconjuntos de U y se cumple que:

A ∩ B = φBC tienen 512 subconjuntos

( ) ( )Bn4

3An =

El número de subconjuntos de B excede el número de subconjuntos propios de A en 193. ¿Cuántos subconjuntos tiene AC?

a) 526 b) 2048 c) 1496c) 684 e) 1024

19. Dado el A = { a, { a }, φ, { φ } }

1. φ ∈ A2. φ ⊂ A

3. { φ } ∈ A4. {{ a } ; φ } ∈ P ( A ) 5. {{ φ }} ⊂ P (A)6. {{ a }}, φ, { φ } ∈ P (A)7. {{ φ }} ⊂ A

¿Cuántas son verdaderas?

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

20. En un momento de una fiesta se observó que el número de varones que no bailaban era el doble del número de personas que estaban bailando y además el número de damas que no bailaban es al número de varones como 2 es a 5. si en total asistieron 104 personas.

¿Cuántas personas no bailaban?

a) 82 b) 78 c) 72d) 39 e) 26

21. Se tiene 3 conjuntos A, B y C cuyos números cardinales son consecutivos, además se sabe que:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 448CPnBPnAPn =++

Hallar el número de elementos que puede tener como máximo el conjunto potencia de

CBA ∪∪

a) 85 b) 89 c) 87

d) 84 e) 810

22. Si A=B, halle la suma de elementos de C.

{ }{ }{ }Ax/xC

y,2B

3,12A

2

x

xx

∈=

=

+=

a) 5 b) 2 c) 3d) 8 e) 6

23. En un club hay 61 personas, tal que:

1. 5 mujeres tienen 17 años



2. 16 mujeres no tiene 17 años3. 14 mujeres no tiene 18 años4. 10 hombres no tienen 17 ó 18 años

¿Cuántos hombres tienen 17 ó 18 años?

a) 25 b) 30 c) 28d) 31 e) 32

PROBLEMAS PROPUESTOS 01

01. De 72 postulantes, se supo que 45 postulan a la UNI, 36 postulan a Pacífico y los que postulan a las dos universidades son el doble de los que no postulan a ninguna de las dos. ¿Cuántos postulan a una sola universidad?

a) 54 b) 36 c) 18d) 27 e) 45

02. En un grupo de 55 personas, 25 hablan Inglés, 32 Francés, 33 Alemán y 5 los 3 idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan dos de estos idiomas, sabiendo que, todos hablan por los menos uno de estos 3 idiomas?

a) 20 b) 25 c) 22

d) 28 e) 21

03. Si: M = { a + b; 12; 2a - 2b + 4 } es un conjunto unitario.Además:

{ }{ }ZK;bkx/xG

Zk;akx/xS

∈==∈==

Hallar: ( S ’ ∪ G ’) ‘

a) { }Zk;k8x/x ∈=

b) { }Zk;k4x/x ∈=

c) { }Zk;k2x/x ∈=

d) { }Zk;k12x/x ∈=e) N.a.

04. Dado el conjunto: M = { 2; 3; { 5; 7 }}¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?

1. 5 ∈ M2. 7 ∈ M3. { 5; 7} ⊂ M4. { 2; 3} ⊂ M5. φ ∈ M

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

05. De 60 personas se sabe:

• 6 hombres tienen 20 años• 18 hombres no tienen 21 años.• 22 hombres no tienen 20 años.• Tantas mujeres tienen 20 años como hombres tienen 21 años.

¿Cuántas mujeres no tienen 20 años?

a) 18 b) 22 c) 24d) 32 e) N.a.

06. Hallar la suma de los elementos del siguiente conjunto:

( ){ }6xNx/12G x ≤∧∈−=

a) 119 b) 120 c) 112d) 127 e) N.a.

07. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene B?. Siendo:

{ }10xNx/Z1x3B <∧∈∈+=

a) 31 b) 127 c) 63d) 7 e) N.a.

08. En un grupo de 90 alumnos:

• 36 no llevan el curso de matemática• 24 no llevan el curso de lenguaje y,• 18 no llevan matemática ni leguaje.

¿Cuántos alumnos llevan exactamente un solo curso?

a) 24 b) 48 c) 36d) 30 e) N.a.

09. Dados los conjuntos A, B y C subconjuntos del conjunto de los números naturales.

( ){ }

∈+

=

∈+

=

<<∧∈−=

Bz/3

1z2C

Ay/2

3yB

10x2Nx/1x2A

10. Al combinar “n” colores básicos de 2; 3; 4; ....; n colores, se han obtenido 1013 nuevos tonos. Hallar: “n”

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10.

TAREA DOMICILIARIA

01. Se tiene 3 conjuntos A, B y C tal que están incluidos en el universo U, donde:• A ∩ C = C• n( C ’) = 150• n (AC ∩ BC ) = 90• n [ (A ∪ b) - C ] = 6n (C)

Calcule: n (U)

02.Sean los conjuntos:

A = { 1, 2, 3, 4 }B = { 3, 4, 5, 6 }S = { (a, b) ∈ A x B/ b = a + 3 }

03.Dados los conjuntos unitarios:

{ }{ }3,a3b2B

14,baA

−=

+=

Calcular n [P (C)] si n (C) = b - 3a

04.Para dos conjuntos comprables donde uno de ellos tiene 3 elementos más que el otro, se cumple que la suma de los cardinales de sus conjuntos potencia es 576.

¿cuántos subconjuntos propios tiene la unión de ellos?

a) 511 b) 15 c) 31d) 107 e) 255

05.Cierto número de medallas de Oro, Plata y Bronce es distribuido entre 100 atletas en un festival deportivo. Se sabe que 45 atletas reciben medallas de Oro, 45 reciben medallas de Plata , 60 reciben medallas de Bronce, 15 reciben medallas de Oro como de Plata, 25 atletas reciben de Plata y Bronce, 20 reciben medallas de Oro y Bronce, 5 reciben de Oro, Plata y Bronce. ¿Cuántos atletas no recibieron medallas?

06.Sean A y B dos conjuntos cualesquiera.Simplificar:



( ) ( ) ( ){ } 'B'A'BABA ∩∪∩∩∪

07. 60 alumnos rinden un examen que consta de tres partes, si se sabe que:

• 10 aprobaron sólo la primera parte• 20 aprobaron la primera parte• 25 aprobaron la segunda parte • 21 aprobaron la tercera parte• 6 aprobaron la segunda y tercera parte pero no la primera• 7 aprobaron las dos primeras partes• 3 aprobaron las tres partes.

¿Cuántos desaprobaron las tres partes?

08. ( ) ( ) 26CnAn =+

Calcular el número de subconjuntos propios de B.

09. De un grupo de 70 estudiantes se sabe lo siguiente:

• 10 fuman pero no van a la academia• 25 van a la academia pero no tienen 17 años• 16 que no van a la academia no fuman y tienen 17 años.• 5 van a la academia tienen 17 años pero no fuman.• 2 fuman van a la academia y tiene 17 años.

¿Cuántos alumnos no tienen 17 años, no fuman, ni van a la academia?

10. Si: C - B = φ, además:A ∩ ( B ∪ C ) = { 0, 2, 3, 7, 6}Calcular: A - ( B - C )C si: A y C son disjuntos.

INTRODUCCIÓN

Antiguamente los egipcios, griegos y romanos tenían formas distintas de representar los números, la base de su numeración era decimal. Otros pueblos elaboraron distintos sistemas: por ejemplo, los babilonios tenían como base el sesenta; los mayas, en América, desarrollaron un sistema de base veinte. En cambio, los hindúes habían desarrollado un práctico sistema de notación numeral, al descubrir el cero y el valor posicional de las cifras. Los árabes dieron a conocer el sistema de Europa a partir de siglo VIII por eso, nuestras cifras se llaman indoarábigas.

En el siglo XVIII Leibnitz descubrió la numeración de base binaria y la posibilidad de infinitos sistemas de numeración.En la actualidad el lenguaje de los números en forma hablada y escrita tiene su alfabeto, que hoy en día se utiliza en todas las naciones y se denomina Sistema Decimal de Numeración que utilizas las diez cifras del 0 al 9. Además, el uso de los sistemas binario y hexadecimal que son los que utilizan las computadoras para realizar sus cálculos.

NumeraciónEs la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números.

NúmeroEs la idea asociada a una cantidad que nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza

NumeralEs la representación simbólica o figurativa del número

Ejemplo: Se puede representar:, ≡, oo , 3, tres, etc.

CifrasLos símbolos que convencionalmente se van a utilizar para la formación de los números son:

0, 1, 2, 3, 4, …

SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN

Es el conjunto de principios, normas y convenios que nos permite la formación, lectura y escritura de los naturales.

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

A. Del OrdenToda cifra que forma parte de un numeral ocupa un orden determinado, el cual se considera de derecha a izquierda.Ejemplo:

Cinco Cuatro Tres Dos Uno ORDEN

NUMERALLUGAR 1 2 3 4 5

9 6 5 7 4

⇒

⇒

B. De la BaseTodo sistema de numeración tiene una base que es un número entero y mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades necesarias y suficientes de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior.Ejemplo: Representar treinta y dos unidades en la base 3, 10, 8, 6 y 4

Cuatro Tres Dos uno

1 0 1 2(3)

ORDEN

Nota: En forma práctica la base nos indica de cuanto en cuanto estamos agrupando las unidades

Conclusiones:1. Toda cifra que forma parte de un numeral

es un número entero no negativo y menor que la base, es decir, en base “n”, se puede utilizar “n” cifras diferentes, las cuales son:


NUMERA


ivasignificatno cifra

ivassignificat cifras

1)-(n ,.......... 3, 2, 1, 0,

máxima cifra

↑

↓

A mayor numeral aparente le corresponde menor base.Del ejemplo obtenemos:

32 = 40(8) = 44(7) = 200(4) = 1012(3)

Es decir, si 120n = 45k

Como: 120 > 45Afirmamos: n < k

ALGUNOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Base Nombre Del

Sistema

Cifras

23456789101112

BinarioTernarioCuaternarioQuinarioSenarioHeptanarioOctavarioNonarioDecimalUndecimalduodecimal

0,10,1,20,1,2,30,1,2,3,40,1,2,3,4,50,1,2,3, … 60,1,2,3, … 70,1,2,3, … 80,1,2,3, … 90,1,2,3, … 9(10)0,1,2,3,...9(10),(11)

Nota: Por convención, cuando la cifra es mayor que 9 se utilizan letras para su representación.

(10) <> α <> A(11) <> β <> B(12) <> γ <> C

Ejemplos:

4(11)6(10)(15) = 4β6α(15) = 4B6A(15)

REPRESENTACIÓN LITERAL DE LOS NÚMEROS

Cuando no se conocen las cifras de un numeral, éstas se representan mediante letras teniendo en cuenta que: Toda expresión entre paréntesis

representa una cifra. La primera cifra de un numeral debe

ser diferente de cero. Letras diferentes no necesariamente

indican cifras diferentes.

Ejemplos:

Un numeral de 2 cifras de la base 10

ab ∈{10,11,12, …, 98, 99}.

Un numeral de 3 cifras en base 7.

7mnp ∈ { 1007, 1017, 1027, …, 6667 }

Un numeral de 4 cifras consecutivas creciente en base 7.

73)-2)(a1)(aa a( ++

NUMERAL CAPÍCUA

Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes son iguales.

Ejemplos: 557; 3538; naa ; 8xyyz ;

kmnppnm

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA

Ejemplo:

1. Simple. 4352 = 4x103+3x102+5 x101+2

206458 = 2x84+6x82+4x81+5 3005046 = 3x65+5x62+4

kabcd = ak3+bk2+ck+d

2. Por Bloques. 4352 = 43x102+52 206458 = 208x83+648x81+5

513abc = 135x53+ 5abc

nabab = nab x n2+ nab kmnpmnp = kmnp x k2+

kmnp

CAMBIO DE BASE

1. De base “n” a base 10(n≠0)Ejemplo: Exprese 5246, en base 10

5246=5x62+2x6+4=196∴ 5246=196

2. De base 10 a base “n” (n≠0)Ejemplo: Exprese 196, en base 6.

190 632 64

2 5

∴ 196 = 5246

Propiedades.

A. Numeral de cifras máximas9 = 10 – 1 78 = 8 – 199 = 102 – 1 778 = 82 – 1999 = 103 – 1 7778 = 83 – 1

En general:

ncifras k""

1)-(n ... 1)-1)(n-(n = nk – 1

B. 1c = n + c

n1b1b = n + c + b

n1c1b1a = n + c + b + a

En general:

n1x1d1c1b1a

= n + x + … +d+c+b+a

Casos Especiales de Conversión:

1. De base “n” a base “nk”Procedimiento: Al numeral dado se les separa en

bloques de k, cifras (de derecha a izquierda)

Cada bloque considerado en su base respectiva, se descompone polinómicamente, siendo el resultado una cifra del numeral en la base “n”

Ejemplo: Expresar 111011101112 a base 8

Resolución:Como 8 = a3 las cifras se separan en bloques de 3 y luego se descompone cada bloque.

Base 2 11 101 110 1112

Base 8 3 5 6 78

∴ 111011101112 = 35678

2. De base nk a base n

Procedimiento: Cada una de las cifras del numeral se

convierte a la base n, teniendo cuidado de obtener bloques de k cifras (si existiesen grupos incompletos, se completará con ceros a la izquierda)

Los bloques obtenidos conformarán la representación en la nueva base

Ejemplo: Expresar 42839 en base 3

Resolución:



Como 9 = 32, cada cifra del numeral se convierte a base 3, generándose un bloque de 2 cifras.

Base 9 4 2 8 39

Base 3 11 02 22 103

PRÁCTICA DE CLASE

01.Hallar (m + n), si 7n 341m45 =

a) 4 b) 8 c) 2d) 10 e) 7

02.Hallar (a + b), si

( )58 2a43ab1 −=

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

03.Calcular (b - a), si: 97 4a3aba =

a) 0 b) 1 c) 5d) 3 e) 4

04.Si: 8n 13ab5a = . Hallar (a + b + n)

a) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) 17

05.SI: ab5628 n = . Hallar (a + b + n)

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 45

06.Se tiene una colección de pesas: 1kg, 3kg, 9kg, 27kg, ...., y se desean pesar 3171 Kg. ¿Cuál es el menor número de pesas que deben tomarse?

a) 1 b) 3 c) 5

d) 7 e) 9

07.¿Cuál es la suma de las cifras del mayor número de k cifras en base “n”?

a) n2 b) kn2 c) k (n - 1)d) n (k - 1) e) k2

08.Hallar: a + b

( ) ( )( ) ( )5b 12331aa2a =+

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

09.Se tiene un número “N” expresado de la siguiente manera:

31915.815.2115.2N 23 +−+=

a) 15 b) 20 c) 21d) 25 e) 26

10.Calcular: a2 + b2 + c2

( ) ( )178 cbaabc =

a) 35 b) 34 c) 33d) 36 e) 37

11.Calcular a + b + c, si: ( ) aaacab =

a) 16 b) 17 c) 18d) 19 e) 20

12.¿Cuál es la última cifra del menor número capicúa de 5 cifras cuya suma de cifras es 27, siendo cada una de ellas mayor que 9?

a) 4 b) 5 c) 3d) 2 e) 6

13.Si: ( ) p44136n33m13 npn =++

Determine mnp en base “p” y dar como respuesta la cifra de segundo orden

a) 6 b) 8 c) 12d) 10 e) 16

14.Calcular m + n + p si los siguientes numerales están bien escritos:

( ) ( ) ( ) ( )p5nm aa2a,m3n,21p,q23n

a) 20 b) 12 c) 18d) 15 e) 16

15.El mayor numeral de 3 cifras diferentes de cierto sistema de numeración es representado en el sistema octavario, como 165. Calcule la base de dicho sistema de numeración.

a) 8 b) 6 c) 5d) 10 e) 12

16.Al convertir el número ( )50n2n sistema

heptanario se obtiene el numeral de tres cifras consecutivas crecientes. Halle el numeral en base 6.

a) 5006 b) 3236 c) 2136

d) 5056 e) 3026

17.Cuál es la base del mayor numeral de “k” cifras que sea equivalente al mayor numeral de “2k” cifras de la base 7.

a) 49 b) 25 c) 40d) 36 e) 30

18.Un móvil recorre 2 tramos de una carrera empleando un mismo tiempo, partiendo un

kilómetro 0a hasta ( )baa + . Si el

primer tramo fue hasta el kilómetro ab empleando a partir de ese momento una velocidad 3/4 de la anterior. Hallar a + b.

a) 8 b) 7 c) 12

d) 10 e) 14

19.¿Cuántos números se representan con numerales de dos cifras tanto en el sistema quinario como en el octal a la vez?

a) 16 b) 17 c) 18d) 20 e) 256

20.Si 4n 00aa2a = . Hallar:

E = anananan

+ ananan

anan

30veces

20veces

a) 280 b) 170 c) 200d) 160 e) 240

21.Expresar 93278 a base 3 y dar como

respuesta la suma de sus cifras.

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

22.Hallar (a + b + c), si:

( ) 31d,42c,21b,432,3a dcab +

a) 21 b) 25 c) 26d) 27 e) 28

PROBLEMAS PROPUESTO 02



01.Si: ( ) 7n 6616ba5ab =

Hallar el valor de. A + b + n

a) 11 b) 10 c) 12d) 13 e) 14

02.Determinar el valor numérico de:( )cba −+ , si se cumple que:

bac9 120516112553abc ===

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 1

03.César nació en el año ab19 y se sabe que

en el año ba19 , cumplirá (a + b) años. ¿Cuántos Años cumplirá en el año 2002?

a) 54 b) 55 c) 56d) 57 e) 58

04.¿Cuál es el número comprendido entre 200 y 300, tal que leído al revés es el doble del número que sigue al original?

a) 297 b) 295 c) 237c) 247 e) 252

05.Si el numeral 21212 n se convierte a base n2, se obtiene un numeral cuya suma de cifras (en base decimal) es 16. hallar “n”

a) 4 b) 3 c) 6d) 8 e) 5

06.Si al número abcde se le agrega un 3 a la derecha y a continuación se le multiplica por 2, no da como resultado el número abcde con un 2 a la izquierda. Hallar a+b+c+d+e.

a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

07.Si los siguientes numerales están correctamente escritos:

p6nm 1211;m3n;21p;p23n

Calcular: (m + n - p)

a) 2 b) 6 c) 4d) 8 e) 10

08.El mayor número de 3 cifras diferentes en cierto sistema de numeración viene expresado por 225 en el sistema de base 7. Hallar la base de dicho sistema.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

TAREA DOMICILIARIA

01.Trasladar 243(8) a base 10. Dar como respuesta la cifra que ocupa el orden de las unidades.

02.Efectuar: ( ) ( )22 1101011 +

Dar la respuesta en el sistema decimal.

03.Si: ( )4baab = . Calcular: 3a + 2b.

04.Si se cumple:

( ) ( )c9 72ab2a =Calcular: a.b.c

05.Calcular: a + b,Si: 252ba.ab =

06.¿Qué numeral está dicho de manera incorrecta?

1. ( )14αβαβ

2. αβαβ

3. ( )15αβαβ

4. ( )91αβαβ

07.Represente correctamente(reconstruya):

45.c5.25.a 354 +++

08.Si los siguientes numerales están bien

representados ( ) ( ) ( )ac4 c2;bb;1a1

Calcular: a + b + c

09.Hallar: a + b + c Si: abcccbbaa =++

10.Trasladar 1010 (2) a base 4.


TEORÍA DE LA


DIVISIBILIDAD DE LOS NÚMEROSUn número entero A se dice que es divisible entre otro número entero positivo B, llamado divisor, si al dividir A entre B la división resulta exacta. Es decir:

Donde: A ∈ Z B ∈ Z+ K ∈ Z

Se dice: A es divisible entre BB es un divisor de A

Ejemplos: Sea el número 28 y el 7 al dividir:

28 70 4

Se puede decir: 28 es divisible entre 77 es un divisor de 28

MULTIPLICIDAD DE LOS NÚMEROSUn número entero A es múltiplo de otro número entero positivo B, si existe un tercer número entero “K”, tal que al multiplicar por B resulta el número A.

A = BK de la división anterior

Se dice:A es múltiplo de BB es un factor de ADel ejemplo anterior

28 = 7 x 4

28 es múltiplo de 77 es un factor de 28

Nota:

Indicar que un número es divisible o múltiplo de otro, lo consideramos como equivalente

Todo divisor de un número, es un factor de dicho número.

Si un número entero A es múltiplo o divisible entre otro entero positivo B se denota:

A = oB

A = o

B

Ejemplo:

21 = o7 5 =

o5

-45 = o9 0 =

o3

-460 = 10

o 14 =

o2

-57= 19

o

25

oab00 =

Nota:El cero es múltiplo de cualquier positivo

Ejemplos:

1. Indique en forma explícita los divisores positivos de 12 y 125.

a. 12: Divisores

12 6, 4, 3, 2,1,

b. -125: Divisores

125 25,5, 1,

Se observa que un número es múltiplo o divisible de cada uno de sus divisores

2. Indique en forma explícita los múltiplos de 7 y 11

a.o7 : … -21, -14, -7, 0, 7, 14, 21, …

⇒ o7 = 7k, k ∈ Z

b.

…… 23, 22,11, 0, 11,- 22,- 33,- :11o

⇒Ζ∈= k k,1111

o

Aplicación:1. Calcule cuántos números positivos de 3 cifras

son:a. múltiplos de 15.b. múltiplos de 9 pero no de 5c. múltiplo de 7.d. múltiplo de 13 que terminan en cifras

cero.

Rpta: a. 60 b. 80c. 128 d.7

NÚMEROS NO DIVISIBLESSi un número entero A al dividir entre el número entero positivo B, la división resulta inexacta, se afirma que A no es divisible entre B. Por ser inexacta la división puede ser de dos tipos:

Por defecto Por excesoA Br qd

A Br q + 1e

Donde:rd + re = B

Si un número no es múltiplo de un módulo, se puede expresar dicho número respecto a este módulo, por defecto o por exceso.

Ejemplo:

63 = 10 x 6 + 3 63 = 10 x 7 - 7

63 = o 10 +3 63 = o

10 -7

Además:

N = o 21 +11⇒M = o

21 -10

M = o 10 -6⇒M= o

10 +4

Aplicaciones:1. Calcule la suma de todos números positivos

de dos cifras, tal que al dividirse entre 8 se obtienen residuos máximos.

Rpta. 605

2. Calcule cuántos números positivos de 3 cifras

son o 13 +7 y además dichos números

terminan en cifra dos.Rpta. 7

Principios:I. Operaciones con números múltiplos de un

mismo módulo:a. 33 + 22 = 55

o 11 + o

11 = o 11

⇒ o n + o

n = o n

b. 33 – 22 = 55

o 11 - o

11 = o 11

⇒ o n - o

n = o n

c. 91 = o7

11 x (91) = o7


A B0 K


Si A = on

⇒ Am =on

Si: m ∈ Z+

Aplicación:1. Calcule cuál es el residuo al dividir entre 13.

Si: N = 11x 2m + 910 x 2m + 132 x 2n

n ∈ Z+ y m∈ Zo+

II. Si un número es múltiplo entre cierto módulo es múltiplo con cada divisor del módulo.

Ejemplo: 15: divisores

15 5, 3, 1,

Entonces:

15 = o1

15 = o3

15 = o5

15 = o

15

III. Si un número es múltiplo con varios módulos, entonces es múltiplo del MCM de dichos módulos.Ejemplo: Sea.

=

=

=

o

o

8A

5A

6Ao

Entonces:⇒A=

120

o

MCM(6,5,8)

o=

En General:Si:

=

=

=

o

o

o

cA

bA

aA

Entonces: ⇒A=c)b,MCM(a,

o

Ejemplo sea:

+=

+=

+=

310N

38N

39N

o

o

o

Entonces: ⇒

3c)b,MCM(a,

oN

+=

Si:

±=

±=

±=

rcN

rbN

raN

o

o

o

Entonces: ⇒=

rc)b,MCM(a,

oN

±=

Aplicaciones1. Calcule el menor número positivo de 4

cifras, tal que al ser divididos entre 2,3,4, … y 9 siempre se obtiene residuos máximos.

Rpta. 2519

2. Calcule cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 4 y pero no de 5.

Rpta. 60

Observación

(o8 +3)(

o8 +2)=

o8 +

o8 +

o8 +

o6

o8= +6

Ejemplo:

(o9 +2)(

o9 +1)(

o9 +3)=

o9 +6

(on +a)(

on +b)(

on +c)…(

on +x)=

on +axbxCx…xX

Aplicaciones:1. Calcule el residuo al dividir N entre 9 si:

N = 393 xy10x mn7x ab12

Rpta. 6

2. Calcule el residuo al dividir A entre 22 si:A = 23 x 24 x 25 x … x 29

Rpta. 2

BINOMIO DE NEWTON:Sea la multiplicación:

ko

factores k""

ooooa)n(a)nx( ...a)x na)(na)(n( ±=±±±±

Su desarrollo:

1. a)n(o± = ±

on ak

2. ko

a)n( ±

−

+

ko

ko

an

impar es K Si

an

pares K Si

Ejemplos:

(o7 +2)6 =

o7 +26

(o9 - 3)20 =

o9

+320

45)519

o( − =

45519

o

−

abc)143

o( + =

143

o+

ab31)18

o( − =

18

o−

Aplicaciones1. Calcule el residuo al dividir:

A = (1333)508 entre 11Rpta. 3

2. Si: B = 6232 )ab101( se expresa en base

8, calcule la última cifra.Rpta. 5



3. 165o

ab −= además ab =o7 calcule la

suma de valores de abRpta. 336

RESTOS POTENCIALESSe llaman restos potenciales de un entero E(diferente de cero) respecto a un módulo m a los residuos que deja la serie natural de las potencias sucesivas, enteras y positivas de E al ser divididas entre el módulo “m”

Ejemplo:Calcular los restos potenciales de 5 respecto al módulo 9.

50 = 0+1 =………….. =o9 + 1

51 = 0+5 =…………. = o9 + 5

52 =5.5 =………….. =o9 + 25 =

o9 +7

53= 5.52 =………….. =(o9 +5)(

o9 +7)

=o9 +35=

o9 +8

54=5.53 =………….. = (o9 +5)(

o9 +8)

=o9 +40=

o9 +4

55=5.54 =………….. =(o9 +5)(

o9 +4)

=o9 +20=

o9 +2

56=5.55 =………….. =(o9 +5)(

o9 +2)

=o9 +10=

o9 +1

57=5.56 =………….. =(o9 +5)(

o9 +1)

=o9 +5

58=5.57 =………….. =(o9 +5)(

o9 +5)

=o9 +25=

o9 +7

Obsérvese que los restos potenciales empiezan a repetirse en forma ordenada y periódicamente. Al tomar una potencia cualquiera luego de 6 potencias sucesivas se obtendrá el mismo resto que deja la potencia tomada inicialmente.

Ejemplo:

51, 57, 513, …, 165 +o

Siempre dejarán de resto 5 respecto al módulo 9

Las potencias: 53, 59, 515, …, 365 +o

Siempre dejarán de resto 8 respecto al módulo 9

CASO PARTICULAR: El 5302 al dividirse entre 9, ¿Cuánto deja como resultado?Solución:

5302 + 9

5302 = 265 +o

= 79o+

Toda potencia de 5 cuyo exponente sea múltiplo de 6 más 2, siempre deja como residuo 7.

GAUSSIANO (q)SE llama gaussiano de un entero E respecto a un módulo m, a la cantidad de restos potenciales diferentes entre sí y diferentes de cero que se repiten ordenada y periódicamente.Del ejemplo anterior el gaussiano de 5 módulo 9 es 6 porque existen 6 restos potenciales diferentes entre sí que se repiten ordenada y periódicamente.

Ejemplo2:

Calcular los restos potenciales de 3 respecto al módulo 5.

30 =o5 +1 … =

o5 +1

31 = o5 +3 … =

o5 +3

32 = o5 +4 … =

o5 + 4

33 = (o5 +3)(

o5 +4) =

o5 +2

34= (o5 +3)(

o5 +2)

o5 +1

35=(o5 +3)(

o5 +1)=

o5 +3

36=(o5 +3)(

o5 +3)=

o5 +4

37=(o5 +3)(

o5 +4)=

o5 +2

Los restos que se repiten ordenada y periódicamente son: 1,3,4 y 2.Luego el gaussiano(g) = 4

Ejemplo:Al dividir 326 entre 5. ¿Cuál es el residuo?

326 = 24o

3 + =o5 +4

Toda potencia de 3 que se o4 +2 al ser dividido

entre 5 deja de resto 4.r = 4

ObservacionesMediante la aplicación de estos potenciales se determina cualquier criterio de divisibilidad

Ejemplo:

Hallar el criterio de divisivilidad por 7.

Si: N = o7fgh.....abcde.................... =

Por descomposición Polinómica:N = h+10g +102f+103e+104d+105c+106b

+107ª+…

Expresando las potencias de 10 según módulo 7.

+

+

++

6)o7(

2)e73)(7(+2)f+ 7 (+3)g+7 (+h = Noooo

+

+

+++

+

+++

+

++

1)o7(

5)b73)(7(

5)o7(

4)c73)(7(

4)o7(

6)d73)(7(oooooo

... a)17)(37(

3)7(

oo

o

+++

+

4)d7(6)e7(+2)f+ 7 (+3)g+7 (+h = Noooo+++

+++++++ 3)a7(1)b7(5)c7(ooo

O también:

)d37()e17(+2)f+ 7 (+3)g+7 (+h = Noooo−+−

+++++−+ 3)a7(1)b7()c27(ooo

d37e7+2f+ 7 +3g+7 +h = Noooo−+−

+++++−+ 3a7b7c27ooo

)3ab 2c -d3e2f+3g+ h(7 = No

+++−−+

Interpretación:Si N es múltiplo de 7 entonces al multiplicar sus cifras de de derecha a izquierda por: 1,3,2, -1, -3, -2, 1, 3, … respectivamente y al efectuar la suma algebraica, el resultado es también múltiplo de 7.

Ejemplo 2:

Hallar el criterio de divisibilidad por 4 en el sistema de base 5.

Solución:Si: N =

o

(5) 4.abcdef.................... =

Descomponiendo Polinómicamente:



N = f +5e + 52d+53c+54b+52a+…

Expresando N según módulo 4:N=f+(4+1)e+(4+1)2d+(4+1)3c+(4+1)4b+

(4+1)5a+…

Por Binomio de Newton aplicado a la divisibilidad:

N = f(o4 +1)e + (

o4 +12)d + (

o4 +13)c +

(o4 +14)b + (

o4 +15)a + …

N = f+o4 + e+

o4 + d+

o4 + c+

o4 + b+

o4 +

a + …

N = o4 +(f +e +d +c +b +a +…)

Interpretación:

Para que N sea o4 , entonces la suma de sus

cifras tiene que ser también múltiplo de 4.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDADSea el numero “N”Donde: N = abcde

Divisibilidad por 2n y 5n

N = o2 ↔e =

o2

n = o4 ↔ de =

o4

oo8cde8 =↔

N = oo5e5 =↔

oo

125cde125 =↔

Aplicaciones

1. Si: o81)aa431(a =+

Calcule: “a”Rpta. 4

2. Si: o

251)3ba(a =−Calcule al suma de los valores de (a+b)

Rpta. 19

3. Si: o

1251)baa3(b =+Calcule la suma de valores de (a+b)

Rpta. 12

Divisibilidad por 3 y 9

N = abcde

N = o3 ↔ a + b + c + e =

o3

N=o9 ↔ a + b + c + e =

o9

Aplicaciones:

1. Si o3abc = . Calcule cuál es la última cifra

al expresar.

N = ab132ba2cc en base 3

Rpta. 2

2. Si:

-mnp y5pnm ;9mpnoo

−−calcule (m + n + p) máximo

Rpta. 18

DIVISIBILIDAD POR 11

N = abcde+-+-+

N = ↔o

11 a + c + e – b – d = o

11

Aplicaciones:

1. Calcule el residuo al dividirN = aabccb357 entre 11

Rpta. 5

2. Si: o

11ab3abab =calcule (a + b) máximo.

Rpta. 15

IV. Principio de Arquímedes

Si el producto de dos números enteros es múltiplo de cierto módulo y uno de los números no es múltiplo del módulo, entonces el otro número debe ser múltiplo de dicho módulo.

Ejemplo:

5a =o

17

a = o

17

23xb=o

16

b = o

16

4xc = o6

2c = o3

c = o3

91xd=o

39

7xd = o3

d = o3

12e = o

37 +24 → 12(e-2)= o

37 → e

– 2

=o

37 →e = o

37 +2

8xf=o

17 -16→8(f+2)= o

17 ∧f+2=

o

17

f = o

17 -2

11xg=o

53 +44

g = o

53 +4

5xh=o7 +3

10

o737 5xh ++=

h = o7 +2

9xi = o

13 +1

27

o261139 ++=i

i = o

13 +3

23n = o

24 +1

23n = o

24 -23

n = o

24 -1



Aplicaciones:I. Si: 1 +++++ abc 5 abc 3abc

41o

170abc =Calcule la suma de valores de abc

Rpta. 2550

II. Alexandra tiene una cantidad de estampillas, si los agrupa de 7 en 7 sobran 2; si se agrupan de 9 en 9 le faltan 4 unidades para formar un grupo más. ¿Cuántas estampillas posee si dicha cantidad es el menor posible de 3 cifras?

Rpta. 149III. Un número expresado en cierta base es:

múltiplo de la base más la última cifra.

múltiplo de la base elevado al cuadrado más las dos últimas cifras en dicha base.

múltiplo de la base elevado al cubo más las tres últimos cifras en dicha base.

Sea: N = (K)abcd

Entonces:

N = oK +d

N = )(

o2 cd KK +

N = )(

o3 bcd KK +

Ejemplo:

37ab3o

7 +=

59mn5o

9 +=

3

o

3 129xy12 +=

59o+

2

o2 114mn11 +=

34o+

3

o

3 10127ab101 +=

1027o

+

2

o(2) 1018cd101 +=

58o

+ N =

o9 +3= …….3g = ….103

M = o7 +4= …47

P = 1381o

+ P = ……… (13)(81)

P = ……… 14(9)

PRACTICA DE CLASE

01.Hallar la suma de todos los valores que puede adoptar la cifra “c” para que el número

76a67 sea divisible por 8.

a) 5 b) 2 c) 3d) 20 e) 25

02.¿Cuántos números de la forma a472 son divisibles por 6?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

03.Hallar el valor de “a” si el número

4aa157 es divisible por 9.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

04.¿Cuántos números de 4 cifras consecutivas, sin importar el orden de ellas, son divisibles por 9?

a) 6 b) 12 c) 18d) 24 e) 256

05.Hallar el residuo de dividir cifras77

7...777 por

9.

a) 8 b) 12 c) 6d) 5 e) 4

06.Hallar “a+b”, si el número

( ) ( ) ( )2b1aa −+ es divisible por

75 y el menor posible.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

07.¿Cuántos números de la forma

babababab son divisibles por 15?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

08.Hallar. “a - b”

Si: °=72b53ab8

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

09.Hallar la menor cantidad de páginas que puede tener un libro: sabiendo que si se cuenta de 18 en 18 sobran 11, de 24 en 24 sobran 17, de 30 en 30 sobran 23, de once no sobra nada. Dar como la suma de sus cifras.

a) 18 b) 19 c) 20d) 21 e) 22

10.Sea:

217N

719N

+°=+°=

Hallar el resto que resulta al dividir “N” entre 323.

a) 12 b) 119 c) 102d) 34 e) 121

11.Cuántos 1013 +° hay en la siguiente serie:

29; 37; 45; 53; 4517

a) 41 b) 42 c) 43d) 44 e) 45

12.En la siguiente serie:

( ) ( ) ( ) ( )100156;...;3156;2156;1156 ++++¿Cuántos términos no son °45 ?

a) 2 b) 6 c) 10d) 94 e) 98

13.Si se sabe que:

°=++++ 17a9....a3a2a1

Calcular el valor de “a”

a) 1 b) 6 c) 10d) 94 e) 98

14.Si: 10ab3cdy17abcd +=°= .

Calcular: “a + b + c + d”

a) 15 b) 20 c) 25d) 27 e) N.a.

15. En un barco hay 200 personas; ocurre un accidente y de los sobrevivientes los 4/3 son solteros; los 2/7 son casados y los 3/8 son mujeres que usan minifalda. ¿cuántas personas perdieron la vida?



a) 23 b) 32 c) 34d) 36 e) 42

16.En una fiesta hay 140 personas. Los 5/11 de las mujeres coquetean y los 8/17 de los varones fuman. ¿cuántos son los varones y cuántas las mujeres? . Dar la diferencia de ellos.

a) 35 b) 40 c) 45d) 25 e) 30

17.Si: 89abca

+°= ;

79abcb

−°= ; y 49c

abc +°=

.

Hallar el residuo de dividir abcabc entre 9

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 5

18.Si se sabe que: 252003 ab +°= .

¿cuántos valores puede tomar ab ?

a) 21 b) 22 c) 23d) 24 e) 25

19.Expresar el segundo numeral 3271 en base 8. dar la cifra de primer orden.

a) 1 b) 0 c) 2c) 3 e) 4

20.Hallar el resultado en la siguiente división 942326 ÷ 13

a) 3 b) 6 c) 9d) 1 e) 7

21.Calcular el residuo que se obtiene de dividir 17N ÷

N = 24. 242. 243. ...... 24240

a) 13 b) 11 c) 15d) 1 e) 16

22.Hallar “a - b”. Si °=7ab

( )ba729108 baab ++°=+×

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

23.El segmento numeral N = 256 652 se expresa en base 9 ¿Cuál es la suma de sus unidades?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

EJERCICIOS PROPUESTOS 03

01.¿Cuántos números de la siguiente sucesión: 47, 53, 59, ... ; 809 son múltiplos de 11 más 2?

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 8

02.En el sistema de base 7 la cifra de las unidades del número: 19931994 es:

a) 1 b) 5 c) 4d) 6 e) 2

03.¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 5 ó de 6 pero no de 8?

a) 246 b) 247 c) 248d) 249 e) 251

04.Si el número abcd es divisible entre 13 y

se cumple que ( )2ab3cd +=Calcular: “a + d”

a) 16 b) 12 c) 8d) 4 e) 15

05.Se dispone de 100 soles para comprar sellos de 1, 4 y 12 soles la unidad ¿Cuántos sellos, como máximo, de cada uno de estos precios deben comprarse?

a) 28; 15; 1 b) 20; 12; 8 c) 20; 11; 9d) 28; 78; 4 e) 18; 16; 6

06.Si: 4368000aba130!15 =

Calcular:

a) 2 b) 3 c) 4d) 6 e)7

07.¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 17 terminan en la cifra 6?

a) 8 b) 7 c) 15d) 12 e) N.a.

08.En los salones de la Academia hay 690 alumno; se observa que los 5/8 de las mujeres son menores de 17 años; los 3/11 de las mismas son estudiosas y los 2/5 de ellas postulan a la UNT. ¿Cuántos hombres hay en la academia?

a) 440 b) 250 c) 360d) 300 e) 490

TAREA DOMICILIARIA

01.Entre 300 y 7000. ¿Cuántos números que terminan en 8 son divisibles entre 12?

02.Encuentra todos los números de 3 cifras divisibles entre 11, tal que al agregarles la suma de cifras el resultado también sea múltiplo de 11. Dar la suma de todos estos números.

a) 3014 b) 6666 c) 4444d) 2516 e) 1414

03.Al dividir ( )aab entre 7 el restos es 2 y al

dividir ( )bab entre 7 el resto es 5. Calcular

el resto de dividir ( )abab entre 7.

04.Determinar el mayor valor de abc ,

sabiendo que: 7974 abc +°=

05.Al dividir un número formado por 40 cifras 3, seguido de 45 cifras 4 entre 7. ¿qué residuo dejará?

06.Si el numeral:



( ) ( ) ( ) ( ) ( )5a4a3a2a1a +++++Es múltiplo de 7 con residuo 5. hallar b sabiendo que:

( ) 2114abbb +°=+

07.En el sistema de base 7 la cifra de las unidades del número 1459 es:

08.Cuál es el menor valor que puede tomar ab si:

°=++++ 91ab20....ab3ab2ab

09.El numeral ( ) ( ) ( ) abcc2b2a2 es

siempre divisible por:

10.La expresión: ( ) ( ) 25

25 cbaabc − no

siempre será divisible entre:

11.La expresión:

( ) ( ) ( ) 243 611311211S +°++°++°=Es igual a:

12.En un barco viajaban 150 personas y ocurre un accidente, obteniéndose la siguiente información de los sobrevivientes: los tres séptimos son casados y los cuatro treceavos eran extranjeros. ¿Cuántos murieron en el accidente?

13.Si: °=°= 11A7y11A4 , ¿Cuál es el menor valor que puede tomar “A” si es un número de tres cifras?. Dar como respuesta la suma de sus cifras?

14.Un número de la forma: ( ) ( )b2a2ab

es siempre divisible por:

15.Determinar la suma de cifras del primer término de la progresión: 7; 12; 17;... que resulte ser múltiplo de 13.

16.La diferencia de aba y bab será siempre divisible por:

SOLUCIONARIO

NºEjercicios Propuestos

01 02 03

01. E A C

02. B D C

03. A D D

04. B B D

05. B E A

06. B D E

07. C B C

08. A A B

09.

10. E

GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL

copyright 2003


aritmetica 4° 3 b

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