Matrizeak

Orr. 1

ARIKETAK

1. Askatu ondoko sistema: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=−

435222

YX501121

Y2X

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

123121

312101

YX

2. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3017

Ceta12

05B

4123

A matrizeak emanik, ondoko

berdintzetatik zeintzuk dira egiazkoak?

A B=B A; (A B) C=A (B C); (A+B) C=A C+B C Sol: Ez; Bai; Bai

3. Askatu ondoko sistema: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=+11

43Y2X

1381

3Y4X

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=1505

1324

YX

4. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

642420200

Beta220022202

A matrizeak emanik, kalkulatu A2 – B2

Sol: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−−

5224828160440

5. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1101

A matrizea emanik, kalkulatu B=A+A2+A3+...+An

Sol: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+ nnnn

2

02

6. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2-31-2

A matrizea emanik, kalkulatu B=I+A+A2+A3+...+A99

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

5015050150

7.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0000100001000010

A matrizea emanik kalkulatu (I+A)12

Sol:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

10001210066121022066121

Matrizeak

Orr. 2

8. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

011101110

A dela jakinik, egiazta ezazu A2=A+2I dela.

9. Askatu ondoko sistema: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

2010

YXeta9275

3Y2X

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1235

3245

YX

10. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

123102111

A dela jakinik, kalkulatu At eta A-1

Sol: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= −

214121112

31

111201321

1AAt

11. Askatu ondoko sistema: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

6412

5YX4021

3Y2X

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

8843

131

3812711

131 YX

12. Bila ezazu ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0512

XX0512

baldintza betetzen duen X matrizea.

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=bab

baX

25

13. Bila ezazu ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+

241301

2X32

316421

3X baldintza betetzen duen X

matrizea.

Sol: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

−=

79810

23

73X

14. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2112

A matrizea emanik,

• Kalkulatu A2 • Kalkulatu A2 + α A+β I=0 betetzen duten α eta β-ren balioak.

Sol: 34;54452 =−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= βα etaA

Matrizeak

Orr. 3

15. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3152

A matrizea emanik,

• Egiaztatu A matrizea alderanzgarria dela • Kalkulatu A-1 • Egiaztatu (A-I)2=0 dela

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=→= −

2153

;1 1ABaiA

16. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1021

A matrizea emanik,

• Bilatu A2, A3,...,An • Egiaztatu (A-I)2=0 dela

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1021

;1061

;1041 32 n

AAA n

17. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100110111

A matrizea emanik,

• Bilatu A2, A3,...,An • Egiaztatu A3-3A2+3A=I dela

Sol:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ +

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

10010

)1(211

;100310631

;100210321

32 n

nnn

AAA n

18. Baldin B4253

A4253

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ bada, A=B al da?

19. Bila ezazu A37 jakin da ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

001010100

A dela.

Sol: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

001010100

37A

20. Kalkulatu An jakin da ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

111111111

A dela.

Sol: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= −

111111111

3 1nnA

21. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

4301

A matrizea emanik, kalkulatu A2, A3,..., An

Matrizeak

Orr. 4

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= nn

nAAA41401

646301

161501 32

22. Kalkulatu X2+Y2 jakin da ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=+11

43Y2Xeta

1381

3Y4X

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=829647

1505

1324 22 BAYX

23. Askatu A X B=C ekuazioa, non ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

1001

C;3152

B;1001

A diren.

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=2153

X

24. Askatu ondoko sistema: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=+6312

342

682 BAetaBA

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=0044

2112

BA

25. Askatu ondoko sistema: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

35102002511

237247125

2 BAetaBA

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

−−=

49142821147

216121411

BA

26. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1111

A matrizea emanik, kalkulatu, arrazoituz, An

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

1111

2 1nnA

27. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1011

A matrizea emanik, bilatu A B=B A betetzen duten B matrize

guztiak.

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

aba

B0

28. Askatu ondoko sistema: eta240513

CBA;002111

CBA ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−+422135

CBA

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=212112

121301

331324

CBA

29. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

5103

1221

BetaA matrizeak emanik, kalkulatu A X=B betetzen

duen X matrizea.

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=1121

X

Matrizeak

Orr. 5

30. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

001010101

10312

15Betaa

aA matrizeak emanik, existitzen al da

A B=B A betetzen duen a-ren balio errealik? Sol: Ez du soluziorik

31. Askatu X matrizea hurrengo ekuazioan eta aurkitu bere balioa 2A-A X=B X

kontuan hartuta ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2011

2312

BetaA direla.

Sol: ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

21

21

32

34

X

32. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

100001010

A matrizea edukita, kalkulatu A12+A-1

Sol: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

200011011

33. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=

321101123

A matrizea edukita, zehaztu zein diren m-ren balioren

baterako A X=m X berdintza betetzen duten eta nuluak ez diren ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

X

matrize guztiak. Sol: m=2 denean (x,y,x+2y)

34. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

3423

A bada, aurkitu A B + B A=0 betetzen duen B≠0 matrizea.

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=aab

baB

32

35. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

1001

Ceta3152

B,1001

A matrizeak emanik, kalkulatu A X B=C,

arrazoituz.

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=2153

X

Matrizeak

Orr. 6

36. Izan bitez A eta B ondoko matrizeak ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

1121

B,2013

A

Aurkitu A-B matrizearen alderantzizkoa eta X matrizea non X (A-B) = A+B den.

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−74107

;2111

37. Kalkula ezazu X0-Y2, jakinik X eta Y ondoko sistema betetzen duten

matrizeak direla:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=+11

43Y2X

1381

3Y4X

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=1505

1324

YX

38. Kalkulatu X matrizea 3X + AB = 2C betetzeko, honako hau jakinda:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=100214

C121013

B1102

A

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

314442

31X

39. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2001

Ceta1011

B matrizeak ditugu. Aurkitu A matrize bat B-rekin

biderkatu eta biderkadura horri C batuz gero, emaitzatzat 2A edukiko duena.

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

2011

A

40. Matrize hau emanda: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1021

A lortu A-rekin truka daitezkeen B matrize

guztiak; hau da, A B=B A beteko dutenak.

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

aba

B0

41. Izan bitez ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

7242

5400

BAetaBA . Kalkulatu, posible baldin bada:

a) A2 – B2 b) (A + B)-1 eta (A-B)-1.

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−

1121

61;;

4323108

EZ

42. Izan bitez ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=+135413

3327

13232 BAetaBA . Kalkula itzazu,

posible baldin bada, A B eta A Bt

Sol: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−2121

;EZ

Matrizeak

Orr. 7

43. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1012

A matrizea emanik,

a) Kalkula itzazu A2, A3 eta A-ren alderantzizkoa.

b) Aurki ezazu B matrizea, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

35

AB izan dadin. Ba al dago C matrizerik,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

35

CA izan dadin?

Sol: EZB ;31

;2011

21,

1078

,1034

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

44. Izan bitez ondoko hiru matrize hauek:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

311110

C121011

B1211

A

a) Aurki ezazu halako matrizea, X, non A X + B = C baita. b) Aurki al daiteke Y matrizerik, non Y A + B = C ? Arrazona ezazu

emandako erantzuna.

Sol: EZ;012111

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−