ariketak
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PROBLEMAS
MODELADO MATEMÁTICO
PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS REALIMENTADOS
ANÁLISIS TEMPORAL
ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO
ESTABILIDAD
ACCIONES BÁSICAS DE CONTROL
189
MODELADO MATEMÁTICO DE LA PLANTA_____________________________________________________________________________________1.- Calcular la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones
( )2221
)(++
=sss
sF Solución: senttettetf −−−−=2
1cos
2
1
2
1)(
( )( ) ( )312
25)(
++
+=
sss
ssF Solución:
te
tettf
3
18
5
2
5
3
10
9
25)(
−+
−++−=
( )( ) ( )21
3)(
++
+=
ss
ssF Solución: tetetf 22)( −−−=
522122
)(++
+=ss
ssF Solución: tsentettetf 252cos2)( −+−=
)12(
1)(
++
+=sss
ssF Solución: t
t
etsen
t
etf2
3cos2
2
323
31)(
−−
−+=
3)1(
322)(
+
++=s
sssF Solución: tettetf −+−= 2)(
_____________________________________________________________________________________2.- Resolver mediante Laplace las siguientes ecuaciones diferenciales lineales
3)0(;0)0(0)(6)(3)(2
2=′==++ xxcontxtx
dt
dtx
dt
d Solución: tsent
etx4
152
3
15
43)(
−=
bxaconxtxtxdt
dtx
dt
d =′==++ )0(;)0(0)(2)(3)(2
2 Solución: tebatebatx 2)()2()( −+−−+=
0)0(;0)0(3)(5)(2)(2
2=′==++ xxcontxtx
dt
dtx
dt
d Solución: tsentetx 2
2
3)( −=
)()(
)()(
42
)(2tr
dt
tdrty
dt
tdy
dt
tyd +=++ para tsentr )( = y condiciones iniciales nulas
Solución: tetettsenty 73,3 053,0268,0 197,0) cos (25,0)( −+−+−=
_____________________________________________________________________________________3.- Calcular la transformada de Laplace de las funciones representadas
Solución:
sTeTs
sTeTss
sX 221
211
)( −+−−= sTes
bsTes
ba
s
asF 2)( −+−+−=
21
2
1)
11(
12
)(s
sTe
TT
a
s
sTe
T
a
TT
a
Ts
asF
−
−+
−+
−−=
______________________________________________________________________
190
______________________________________________________________________4.- Calcule la respuesta de la posición del carro en función del tiempo, x(t), al aplicarle una entrada impulsional δ(t), partiendo inicialmente del reposo.
Solución: tm
ksen
mktx
1)( =
_____________________________________________________________________________________5.- Supongamos el sistema de la figura, donde un disco de inercia J gira en un medio viscoso de coeficiente b. Al aplicar un par T(t) al sistema, se obtiene un desplazamiento θ(t) del eje. Calcule la función de transferencia θ(s)/T(s).
Solución:
_____________________________________________________________________________________6.- Uno de los componentes de una máquina herramienta tiene un modelo como el de la figura en el cual, la fuerza aplicada en el desempeño de su trabajo se aplica a m2, la cual desliza a lo largo de una superficie lubricada que permanece fija mediante un resorte. Si la fuerza a que está sometida m2 es de la forma f(t)=Fcosωt, calcule la ecuación del movimiento en el dominio de Laplace de la masa m2.
Solución: 221
2)21(3421
21
)(2 ω+⋅
++++
++=
s
sF
sbkkmsbmbmssmm
kbssmsX
_____________________________________________________________________________________7.- El circuito de la figura está diseñado para dejar pasar las bajas frecuencias e impedir el paso de las altas. Calcule la función de transferencia V0(s)/Vi(s) y la salida para entrada escalón unitario.
Solución: RCs
RCsiV
sV
323
1
)(
)(0+
= ; )32
1(2
1)(0
RCt
etv−
−=
_____________________________________________________________________________________8.- En el sistema eléctrico de la figura, calcule la función de transferencia VC2(s)/V(s)
Solución: sCRsCRsCRsV
scV
21)122)(111(
1
)(
)(2
+++=
_____________________________________________________________________________________
191
b
J
T(t) ω(t)
)(
1
)(
)()(
bsJssT
ssG +==
θ
kx(t)
δ(t)m
V0
Vi
R
R
R
C
i1(t) i
2(t)v(t)
vc2
(t)
R1
R2
C2C
1
_____________________________________________________________________________________9.- La figura muestra el esquema de un sistema hidráulico con dos tanques independientes (la función de transferencia global es el producto de ambas por separado). Calcule la función de transferencia Qs(s)/Qe(s).
Solución: 111
1
221
1
)(
)(1)(1
)(2)(
)(2RsARsAseQ
sQ
sQ
sQ
seQ
sQ
+⋅
+=⋅=
_____________________________________________________________________________________10.- El comportamiento de un sistema viene definido por el siguiente sistema de ecuaciones en transformada de Laplace:
donde H1(s), H2(s), H3(s), G1(s), G2(s), G3(s) y G4(s) son funciones de transferencia. Obtener el diagrama de bloques del sistema y simplificarlo hasta obtener la función de transferencia M(s)=C(s)/R(s)
Solución:
_____________________________________________________________________________________11.- Obtener la función de transferencia Y(s)/R(s) simplificando el diagrama de bloques de la figura.
Solución: Pasando el sumador detrás de G2(s):
Realizando la estructura serie G1G2 y después la paralelo G2
y con 1 llegamos a
2121)(
)(GGG
sR
sY ++=
_____________________________________________________________________________________
192
G1
G2
R(s) Y(s)
+
+
+
+
G1(s) G
2(s) G
3(s) G
4(s)
H1(s)
H2(s)
H3(s)
+-
+ +
+
-R(s) E(s)
U2(s)
U4(s)
C(s)
U1(s) U
3(s)
U5(s)
Y(s)G
1G
2
R(s)
+
+ +
G2
+
h2
qe
h1
A1
A2
R1
qs
R2
[ ]
[ ]
)()()(
)()()(
)()()()(
)()()(
)()()()(
)()()(
)()()()(
15
44
3534
242
2213
11
3
sHsCsU
sGsUsC
sGsUsUsU
sHsUsU
sGsUsUsU
sGsEsU
sHsCsRsE
==
−==
−==
−=
3432123214314321
)()(
HGGGGHGGHGG
GGGG
sRsC
++−=
_____________________________________________________________________________________12.- Obtener la función de transferencia Y(s)/R(s) simplificando el diagrama de bloques de la figura.
Solución:
Realizando el bloque de realimentación negativa y el serie:
Realizando el paralelo y el serie queda 211
)(
)(
GH
HG
sR
sY
++
=
_____________________________________________________________________________________13.- Utilizando la técnica de simplificación de diagramas de bloques, encontrar la función de transferencia Y(s)/X(s)
Solución: Realizamos la realimentación positiva y el paralelo de E(s) con 1:
193
H1
GR(s) Y(s)
+
+
-
+
H2
R(s)
H1
GY(s)+
+-
+
H2
1/G
G/(1+GH)Y(s)
+
+
H/G
R(s)
B(s) C(s)
F(s)
E(s)
+
-
+
+
+
-X(s)
Y(s)
A(s)
D(s)
+
+
Pasamos el sumador hacia atrás:
Intercambiamos la posición de los sumadores y realizamos la realimentación resultante, además realizamos la estructura serie:
Realizamos la conexión paralelo y finalmente laconexión serie de los tres bloques:
_____________________________________________________________________________________14.- El diagrama de bloques de la figura representa un conjunto accionador-motor de corriente continua controlado por inducido, con realimentación de velocidad y de intensidad.a.- Obtener, mediante las técnicas de reducción del álgebra de bloques la función de transferencia M1(s) entre la velocidad angular ω y la tensión de referencia VR (suponiendo que no hay par resistente Tc).b.- Obtener también la función de transferencia M2(s) entre la velocidad angular ω y el par resistente Tc (suponiendo que no hay entrada VR).
Solución: a.-21)21(
21)(
)()(1 KKmKTKeKmKJsKKR
mKKK
sRV
ssM
+++=Ω= ; b.- )21()21(
)21(
)(
)()(2 KKTKeKmKJsKKR
KKR
scT
ssM
++++−
=Ω=
194
B C/(1-CD)
F
1-E
+
+-
X(s) Y(s)A
+
B C/(1-CD)
F
1-E
+
+-
X(s) Y(s)A
+
(1-CD)/C
B C/(1-CD+CF)+X(s) Y(s)
A
+
(1-E)(1-CD)/C
FCCD
ECDAABC
+−−−+
1
)1)(1(
_____________________________________________________________________________________15.- Calcular la función de transferencia Y(s)/R(s) en el diagrama de bloques de la figura.
Solución: )32(1121
)(
)(
GGG
GG
sR
sY
++=
195
G2
G1R(s)
Y(s)
++
-
+
G3
PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS REALIMENTADOS_____________________________________________________________________________________1.- Para que un panel solar fotovoltaico pueda obtener la máxima potencia debe seguir con precisión al sol en su movimiento aparente. El sistema de control utilizado para realizar dicho seguimiento es el de la figura. Si el valor nominal de τ es de 3 segundos, calcule la sensibilidad del sistema respecto a cambios pequeños en τ.
_____________________________________________________________________________________2.- En la figura se muestra un sistema de audio digital diseñado para minimizar el efecto de las perturbaciones. Si G(s)=K2
a.- Calcule la sensibilidad del sistema debida a los cambios en K2.b.- Calcule el efecto de la perturbación sobre V0.c.- ¿Qué valor seleccionaría para K1 con objeto de minimizar el efecto de la perturbación?.
_____________________________________________________________________________________3.- En la figura se muestra un sistema automático de recogida de fruta mediante un brazo robótico y una cámara. La cámara se usa para cerrar el lazo de realimentación sobre un microordenador encargado de controlar el brazo. Calcule en función del valor de K, el error en régimen permanente de la posición de la garra Y para una entrada escalón de amplitud A.
_____________________________________________________________________________________4.- Un controlador de disco duro requiere el uso de un motor para posicionar de manera precisa la cabeza de lectura/escritura sobre la superficie. El motor y la cabeza de lectura/escritura pueden representarse mediante la siguiente función de transferencia:
donde τ = 0.001 s.
196
)1(
100)(
+=
τssG
2)3(
1)(
+=
sspG
)1(
10)(
+=
τsssG
G(s)R(s) Y(s)
+
-
G(s)V
in(s) V
0(s)
D(s)
K1
+
-
+
+
G(s)R(s) Y(s)
Kc
+
-
Gp(s)
R(s) Y(s)K+
-
a.- ¿Cuál es el error en régimen permanente ess para una entrada escalón?.
197
b.- Calcule la Kc requerida para conseguir un ess de 0.1 mm cuando la entrada es una rampa de pendiente 10 cm/s.
Solución: a.- 0=
escalónsse; b.- 10=cK
_____________________________________________________________________________________5.- Los sumergibles de plástico son naves tecnológicamente muy avanzadas que pueden revolucionar la industria submarina. El sistema de control de profundidad de uno de estos sumergibles es el que aparece en la figura.
a.-Determine la función de transferencia en lazo cerrado T(s) = Y(s)/R(s).
b.-Determine las
sensibilidadesTKS
1y
TKS
c.- Determine el error en régimen permanente debido a una perturbación D(s) = 1/s.
d.- Calcule la respuesta y(t) para R(s) = 1/s y D(s) = 1/s cuando K = K2 = 1 y 1 < K1 < 10, seleccionando el valor de K1 que hace que el sistema responda más rápido.
Solución: a.- 121
1)(KKKKs
KKsT
++= ; b.-
1211 KKKKs
sTKS
++= ,
121
21KKKKs
KKsTKS
+++
= ; c.- )2(1
1)( KKKsDsse
+= ;
d.- ( )tKe
K
Kty 12
112
11)(−
−−
= , 101=K
_____________________________________________________________________________________6.- Uno de los procesos que se lleva a cabo en la industria siderúrgica es el transporte de las planchas de acero a través de las instalaciones de la fábrica. El sistema habitual utiliza rodillos movidos por motores de CC debido a las facilidades que éstos ofrecen para controlar con precisión la velocidad angular de giro ω mediante la aplicación de un
voltaje de referencia Va.
Si la función de transferencia del motor viene dada por: 11
1)(
)()(
+==
τω
s
K
saV
ssG
dondemKbKfaR
mKK
+=1 y
mKbKfaR
JaR
+=1τ . DATOS: Ka =100, Kt = 1; K1 = 1; τ1 = 10
a.- Calcule la salida ω(t) en lazo abierto cuando a la entrada se aplica un escalón de amplitud A.
1
111
11
1)(
ττ
ω+
−=⋅+
=s
AK
s
AK
s
A
s
Ks
;
−−= 111)(
τω
t
eAKt
b.- Si se desea aumentar la velocidad de respuesta del sistema es preciso disminuir τ1, lo cual se puede conseguir sustituyendo el motor por otro con distintos parámetros. No obstante, τ1 es fuertemente dependiente de J (la inercia de la carga conectada al motor), la cual es muy elevada, por tanto cambiar de motor no es una solución satisfactoria. La introducción de realimentación
198
Plancha de acero
negativa mediante la conexión de un tacómetro entre la salida y la entrada y la inclusión de un sencillo controlador proporcional permite solucionar el problema de forma más efectiva. De acuerdo con este esquema de control realimentado, calcule la salida ω(t) y razone cual es la forma de conseguir una respuesta más rápida del sistema.
La función de transferencia en lazo cerrado T(s) sigue siendo de primer orden, pero sus parámetros (ganancia estática y
constante de tiempo) han cambiado. La rapidez de respuesta viene determinada por la constante de tiempo, que ahora se ha reducido en un factor de ≈100, por tanto el sistema responde 100 veces más
rápido que en lazo abierto.
Obsérvese también el efecto sobre la estabilidad: El polo en lazo abierto está situado en s = -0.1 mientras que en lazo cerrado se desplaza hacia la izquierda a s = -10, haciendo que el sistema gane en estabilidad.
c.- Calcule la sensibilidad del sistema a los cambios de la constante del motor K1 en lazo abierto.
Sin necesidad de hacer cálculos se puede decir que es 1. Vamos a comprobarlo:
d.- Calcule la sensibilidad del sistema a los cambios de la constante del motor K1 en lazo cerrado y particularice el resultado para un caso de baja frecuencia s = j obteniendo el módulo de la sensibilidad.
10
1.0
1
111
1
1
11 ++=+
+
+=⋅
∂∂=
s
sKtKaK
s
s
T
K
K
TTKS
τ
τ alternativamente se podía haber utilizado la expresión:
particularizando para s = j se obtiene
e.- Calcule el error en régimen permanente en lazo abierto.
[ ] 0)11()11(1lim)()(lim =−=−
−−∞→
=−∞→
=
KA
t
eAKAt
tytrtsse
τ
o utilizando el teorema del valor final (podemos hacerlo puesto que la raíz de sE(s) está en el semiplano izquierdo):
[ ] [ ] 0)11(11
110
lim)(1)(0
lim)()(0
lim)(0
lim =−=+
−→
=−→
=−→
=→
=
KAs
K
s
As
ssGssR
ssYsRs
sssE
ssse
τ
f.- Calcule el error en régimen permanente en lazo cerrado.
[ ]10011
)111()1
11
1(11
1lim)()(limA
KtKaK
KaKKtKaKAt
KtKaK
eKtKaK
KaAKA
ttytr
tsse ≅+
−+=
+−
−+
−∞→
=−∞→
=
τ
199
111
1
111
11
11
11
1
)(+
+
+=
++
+=
tKKaKs
tKKaK
KaK
s
KtKaK
s
KaK
sT ττ
τ
+−
−+=ttKKaK
etKKaK
KaAKt 1
11
1111
)(τ
ω
( )1
1
11111
11
11=
+⋅+=⋅∂
∂=
K
sK
sG
K
K
GGKS
τ
τ
1
111
1
111
11
111τ
ττ KtKaK
s
s
KtKaKs
KtKaKDKS
NKS
TKS +
+
+
=++−=−= 1.0110
1.0
1≈
=→+
+=
js
TKS
j
jTKS
Obsérvese que aparentemente empeora la situación ya que ahora se produce un error en régimen permanente que en lazo abierto no existía, no obstante, obsérvese también que dicho error en controlable puesto que como diseñadores podemos elegir el valor de Ka (y quizás también el de Kt). Además, el ess en lazo abierto depende de K1 que es un parámetro de la planta, y por tanto las posibles variaciones (envejecimiento, tolerancias...) en torno a ese valor provocarán la aparición de un error incapaz de corregirse, mientras que en lazo cerrado, por la propia esencia del control, el error tenderá a reducirse por efecto de la realimentación.
g.- Calcule el cociente entre las salidas debidas a una perturbación en lazo abierto y cerrado si la perturbación se introduce a la entrada del bloque correspondiente al motor.
h.- Calcule el cociente entre las salidas debidas a una perturbación en lazo abierto y cerrado si la perturbación se introduce a la entrada del bloque correspondiente al motor si la perturbación se introduce a la salida del bloque correspondiente al motor.
200
)()()()( sDsGsDsLAY ⋅=
)()(1
)()()( sD
sGaKtK
sGsDsLCY ⋅
+=
)()()( sDsDsLAY =
)()(1
1)()( sD
sGaKtKsDsLCY ⋅+
=
)(1
)(
)(
)(
)(
sGaKtK
sD
sLCY
sD
sLAY
+=
)(1
)(
)(
)(
)(
sGaKtK
sD
sLCY
sD
sLAY
+=
MotorR(s) Y(s)
D(s)
++
MotorR(s) Y(s)K
a
D(s)++
Kt
+
-
MotorR(s) Y(s)
D(s)
+
+
MotorR(s) Y(s)K
a
D(s)++
Kt
+
-
_____________________________________________________________________________________
7.- En la figura se ilustra una cámara térmica. Su función es posibilitar la realización de pruebas consistentes en someter piezas a diversas condiciones de temperatura. La cámara se calienta mediante la inyección de vapor procedente de un generador. Una electroválvula regula la entrada de vapor y la temperatura alcanzada se mide por medio de un sensor cuyo elemento captador es un termistor (semiconductor cuya resistencia varía con la temperatura.La puerta de la cámara puede abrirse, en cuyo caso la temperatura interior se verá afectada.
Para controlar la temperatura de la cámara de forma automática se utiliza el siguiente esquema, donde la temperatura se expresa en °C, la referencia en voltios, la función de transferencia del sensor en Voltios/°C y el tiempo en minutos.
a.- Si r(t) es una entrada escalón de magnitud 5 y la puerta de la cámara permanece cerrada, calcule la expresión temporal de la temperatura interior de la cámara y(t) y dibújela. Indique cual es la temperatura en régimen permanente.
172.1
45.3
58.0
2
5.008.01
5.02
)(
)()(
+=
+=
+++==
sss
s
sR
sYsT
201
Se trata de un sistema de primer orden con ganancia 3.45 y constante de tiempo 1.72 minutos. Por tanto la salida ante una entrada escalón de amplitud 5 voltios tendrá como valor final:
CV
CVssy
24,17 45.3 5 =⋅=
y será exponencial creciente. El régimen permanente se alcanzará en 3τ (95% del valor final)
( )tety 58.0124.17)( −−=
b.- Repita el apartado a considerando que la cámara tiene una temperatura inicial de 25 °C.
Para introducir la condición inicial generamos la ecuación diferencial que da el comportamiento en el tiempo a partir de la función de transferencia que ya conocemos:
)(2)(58.0)(
)(45.3)()(
72.1)(45.3)()(72.1172.1
45.3
)(
)(trty
dt
tdytrty
dt
tdysRsYsYs
ssR
sY=+→=+→⋅=+⋅→
+=
Ahora introducimos la condición inicial:
( ))58.0
1025)(
52)(58.025)()(2)(58.0)0()(
+
+=→⋅=+−→=+−
ss
ssY
ssYssYsRsYyssY
tety 58.076.724.17)( −+=
202
c.- Dos minutos después de la aplicación del voltaje de referencia a la electroválvula la puerta se abre y permanece abierta. Repita los cálculos y dibuje la nueva respuesta teniendo en cuenta el efecto provocado por esta perturbación suponiendo que pueda modelarse de forma aproximada como un escalón de amplitud -1.
Puesto que la perturbación se produce directamente sobre la salida, es decir sobre la temperatura interna de la cámara su efecto será aditivo sobre ella.
)2(158.076.724.17)( −−−+= ttety
d.- La puerta permanece abierta durante 12 minutos y a continuación se cierra. Añada este efecto y repita el apartado anterior.
)12(1)2(158.076.724.17)( −+−−−+= tttety
_____________________________________________________________________________________
203
ANÁLISIS TEMPORAL DE SISTEMAS DINÁMICOS_____________________________________________________________________________________1.- El sistema de primer orden de la figura a tiene como respuesta a la entrada escalón unitario la gráfica de la figura b.
fig a fig b
a.- Obtener a partir de dicha respuesta, los parámetros del sistema.
b.- Se realimenta el sistema tal y como se indica en la figura c.Calcular analíticamente los parámetros que definen la respuesta escalónunitario del sistema en bucle cerrado y dibujar la forma de la respuesta.
Solución: a.- K = 3, τ = 0.6 b.- K = 1,2,τ = 0.24
fig c
_____________________________________________________________________________________2.- Se dispone de un horno eléctrico destinado a efectuar tratamientos térmicos de piezas. Su
control se efectúa mediante una tensión Vr. Para conocer su comportamiento se le somete a un ensayo que consiste en aplicarle una tensión constante Vr = 1 V y registrar su temperatura interior Ti.
a.- Teniendo en cuenta la respuesta temporal indicada en la figura, identificar la función de transferencia Ti(s)/Vr(s)
b.- Se desea someter a la pieza a un determinado tratamiento térmico consistente en elevar su temperatura 100 °C de manera progresiva. Para ello se aplica una tensión en
forma de rampa unitaria. ¿Cuánto tiempo tardará la temperatura interior del horno Ti en alcanzar 100 °C ?.
c.- Para mejorar el comportamiento del horno se introduce un sistema de control como el indicado en la figura, donde la ganancia K es ajustable entre 0 y 10. ¿En que sentido mejorará el comportamiento del conjunto?. Especificar si interesa usar un valor de K grande o pequeño.
204
Kτs + 1
R(s) Y(s)
y(t)
t
0,5 1
3
2,433
1,633
Kτs + 1
R(s) Y(s)
0,5
+
-
Solución: a.- 133,3
1
)(
)(
+=ssiV
siT; b.- st 33,103= ; c.- Disminuye la constante de tiempo, por tanto el
sistema responde más rápido. Si ↓↑→ sseK
_____________________________________________________________________________________
205
_____________________________________________________________________________________3.- Las figuras representan las respuestas ante entrada escalón unitario de cinco sistemas. Obtener las respectivas funciones de transferencia.
Solución:
_____________________________________________________________________________________4.- Dado el sistema representado por el diagrama de bloques de la figura, se pide dibujar la respuesta ante entrada escalón unitario para K = 0,02, K = 0,125, y K = 2,5, comparando tp, ts y Mp.
_____________________________________________________________________________________5.- Dada la función de transferencia
222
2
)(nsns
nsGωδω
ω
++= Solución: a.-
a.- Sombrear la zona del plano s en la que ts < 2 segundos y Mp < 10%
b.- Cuáles son los márgenes entre los quedeben estar los parámetros ωn y δ ?
b.- 39,3>nω ; 159,0 <<δ
_____________________________________________________________________________________
206
jω
σ2
53,8°
421
)(
21)(
4222
)(
1)(
)15,1(2
13)(
+=
−−=
++=
+=
++
=
ssG
sesG
sssG
s
KsG
s
ssG
τ
ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO
_____________________________________________________________________________________
1.- Dado el sistema de la figura, donde )1(
)8(2)(
+
+=
ss
ssG
a.- Indique el tipo de sistema.b.- Calcule los coeficientes de error estacionarioc.- Para una entrada r(t) = 10 + 0,05t, calcule el error en estado estacionario mediante la aplicación del teorema del valor final.d.- Compruebe el resultado obtenido en el apartado c
utilizando los coeficientes estáticos de error y el principio de superposición.
Solución: a.- Sistema tipo 1; b.- ;c.- 0031,0=sse ; d.- 0031,00031,00,0031,0,0 =+=== sse
rampasseescalónsse
_____________________________________________________________________________________2.- La figura representa el control de uno de los ejes de un sistema de seguimiento óptico mediante un motor. El comportamiento deseado exige que el error angular en estado estacionario sea menor o igual a 0,01 rad cuando la señal de entrada es una variación angular constante de 0,05 rad/s, es decir, una rampa r(t) = 0,05t. Para asegurar el grado de estabilidad transitoria deseado, el sistema debe presentar al mismo tiempo un coeficiente de amortiguamiento mayor o igual que 0,6. Determine el rango de K0 de modo que se satisfagan las especificaciones.
Solución: 78,502,4 ≤≤ K
_____________________________________________________________________________________
3.- Dada la función de transferencia de la cadena directa )4)(1(
)2(4)(
++
+=
sss
ssG y realimentación
unitaria, calcule los coeficientes estáticos de error y el error estacionario a entradas escalón, rampa y parábola.
Solución: ∞=====∞=
parábolasseaKrampaeeevK
escalónssepK ,0,5,0,2,0,
_____________________________________________________________________________________
4.- Dada la función de transferencia de la cadena directa )2(2
)1(4)(
+
+=
ss
ssG y realimentación
unitaria, calcule los coeficientes estáticos de error y el error estacionario para una entrada:
32
1213
)(sss
sR +−=
Solución:25,0,25,0,2,0,,0, ====∞==∞= sse
parábolasseaKrampassevK
escalonssepK
207
G(s)R(s)
Y(s)+
-
0,16, ==∞= aKvKpK
_____________________________________________________________________________________
208
_____________________________________________________________________________________5.- Dado el sistema de la figura, calcule el ess cuando tanto la referencia como la perturbación son escalones unitarios.
Solución: KKsseKsDsse
sRsse11
0,1
)(,0
)(
−=−=−==
_____________________________________________________________________________________6.- El sistema de guiado de un robot doméstico tiene el diagrama de bloques de la figura
a.- Calcule el ess del sistema para una entrada escalón de amplitud A para K2 = 0.b.- Calcule el ess del sistema para una entrada escalón de amplitud A para K2 > 0.c.- Calcule el ess del sistema para una
entrada en rampa de pendiente A para K2 > 0.d.- Dibuje la respuesta de forma aproximada cuando la señal de entrada es la de la figura:
Sol:11 KK
A
escalonsse+
= ; b.- 0=
escalónsse ; c.-
2KK
A
rampasse = ; d.-
_____________________________________________________________________________________
7.- Sea )5)(1(
10)(
++=
ssssG , calcule el ess para una entrada tettr −++= 34)(
Solución: 5,105,10 =++=sse
_____________________________________________________________________________________
209
K1+ K
2
s
R(s) Y(s)+
-K
sτ+1
r(t)
t
r(t), y(t)
As
R(s) Y(s)+
-
K+
+ D(s)
ESTABILIDAD_____________________________________________________________________________________1.- Estudie la estabilidad del sistema mediante la generación de la tabla de Routh:
17223342
)(++++
−=
ssss
ssG Solución: inestable
_____________________________________________________________________________________2.- Dado el sistema de la figura, determine el rango dentro del cual se puede ajustar k de manera que el sistema sea estable.
Solución: 100 <<k
_____________________________________________________________________________________3.- Calcule los valores de a y b para que el sistema sea estable.
27243432
)(++++
++=
ssass
bsssG Solución: 95,1105,2 <<a
_____________________________________________________________________________________4.- Sea un sistema de control con realimentación unitaria cuya función de transferencia directa
viene dada por )12)(1(
)(+++
=ssss
ksG ¿Para que valor de k el sistema es marginalmente
estable y cuál será la frecuencia de oscilación?.
Solución: 2
1,
4
3 == osck ω
_____________________________________________________________________________________
210
k
s(s+1)(s2+5s+6)
R(s) Y(s)+
-
ACCIONES BÁSICAS DE CONTROL_____________________________________________________________________________________
1.- Dada la planta )2)(1(
1)(
++=
sssG , diseñar un controlador P para que el sistema en lazo
cerrado con realimentación unitaria mostrado en la figura cumpla las siguientes especificaciones ante una entrada escalón unitario:
Mp ≤ = 5%ts (5%) ≤ 2 segundosess ≤ 50%
Solución:
• Estabilidad:
s2 1 2+Kc
s1 3s0 2+Kc
para que el sistema sea estable se debe cumplir que 202 −>→>+ cKcK
• Error en régimen permanente
Es un sistema de tipo 0, luego tendrá un ess ante una entrada escalón dado por
pKescalónsse+
=1
1
cKcKescalónssecK
sscK
spK+
=+
=→=++→
=2
2
21
1
2)2)(1(0lim
. Si el ess tiene que ser menor o igual que el 50%:
25,02
22 ≥→≤
++ cK
cK
• Tiempo de establecimiento y sobreimpulso
5,123
%)95(≥→≤= σ
σst ; δωθωσ nn == cos ; 69,005,0
21 ≥→≤−
−
= δδ
πδ
epM; 17,2≥nω . Identificando con T(s)
tenemos que 72,22 ≥→+= cKcKnω
Teniendo en cuenta todas las restricciones, se deduce que 72,2≥cK
_____________________________________________________________________________________
2.- Dada la planta )2.0)(05.0(
5.0)(
++=
sssG , determinar Gc(s) para que el sistema en lazo cerrado
con realimentación unitaria cumpla las siguientes especificaciones:
ess nulo a entrada escalónts en el 2% ≤ <60 s el sistema debe ser críticamente amortiguado.
Solución:
• Error en régimen permanente
Para garantizar que el error en régimen permanente es nulo el sistema debe ser al menos de tipo 1, por lo que en principio necesitamos un controlador PI.
211
cKss
cK
sscKsscK
sT+++
=
+++
++=232
)2)(1(1
)2)(1()(
Gp(s)
R(s) Y(s)K
c
+
-
G(s)R(s) Y(s)
Gc
+
-
s
aspKscG
+=)( . Si elegimos a para eliminar el polo más lento:
s
spKscGa
sss
aspKsGscG
05,0)(05,0
)2,0)(05,0(
5,0)()(
+⋅=→=→++⋅
+⋅=⋅
Queda: )2,0(
5,0)()( +⋅=⋅
sspKsGscG , por tanto, al ser de tipo 1, ess = 0 ante entrada escalón
Veamos si cumple las especificaciones de régimen transitorio:
• Tiempo de establecimiento y amortiguamiento crítico
Como el sistema debe ser críticamente amortiguado,
02,01,02,021 =→=→=→= pKnn ωδωδ
Veamos si cumple la especificación del tiempo de establecimiento:
604044
%)98(<===
nst δωσ , por tanto, el controlador PI diseñado es válido
s
sscG
05,002,0)(
+⋅=
_____________________________________________________________________________________
3.- Dada la planta )05,0(
1,0)(
+=
sssG , determinar Gc(s) para que el sistema en lazo cerrado con
realimentación unitaria cumpla las siguientes especificaciones ante una entrada escalón unitario:
ts (2%) ≤ 20 segundosess nulo a entrada escalóncríticamente amortiguado
Solución:
• Error en régimen permanente
La planta es de tipo 1, luego el ess ante una entrada escalón será cero independientemente del tipo de controlador que elijamos. Por tanto en principio tantearemos el controlador más sencillo, uno proporcional.
Veamos si cumple las especificaciones de régimen transitorio:
• Tiempo de establecimiento y amortiguamiento crítico
2,02044
%)98(≥→≤== n
nst δω
δωσ , identificando con T(s): 025,005,02 =→= nn δωδω , por tanto no se
cumple la especificación.
212
pKss
pK
sspK
sspK
sT5,02,02
5,0
)2,0(
5,01
)2,0(
5,0
)(++
⋅=
+
⋅+
+
⋅
=
pKss
pK
sspK
sspK
sT1,005,02
1,0
)05,0(
1,01
)05,0(
1,0
)(++
⋅=
+
⋅+
+
⋅
=
G(s)R(s) Y(s)
Gc
+
-
Vamos a intentarlo con otro controlador. Por ejemplo, si utilizamos un PI, cuya característica es que permite eliminar el ess a costa de empeorar el transitorio, y teniendo en cuenta que el ess ya está garantizado que es nulo, no es una buena opción. No obstante, como ejercicio, vamos a comprobar que no sirve.
( ))05,0(
1,0
1
)(+
⋅
+
=sss
iTspK
scG si elegimos la ubicación del cero para que cancele el polo situado en s +
0,05 de la planta, tendremos: ( )
21,0
)05,0(
1,005,0)()(
ssss
spKspGscG =+⋅
+=⋅ y entonces
pKs
pK
spK
spK
sT⋅+
⋅=
+=
1,02
1,0
21,0
1
21,0
)(
Los polos en lazo cerrado son: pKs ⋅−±= 1,0 ; si 0>pK las raíces son imaginarias puras y el sistema
es críticamente amortiguado, por lo que no nos sirve; si , 0<pK las raíces son reales pero una de ellas está situada en el semiplano derecho, con lo que el sistema es inestable, por tanto tampoco sirve. En consecuencia, como se preveía, un controlador PI no es adecuado en este caso.
Probemos entonces con un PD. Teóricamente un controlador PD puede mejorar bien el transitorio, bien el permanente. Dado que el permanente está conseguido con el polo en el origen de la planta, puede ser una buena opción. Veamos si conseguimos mejorar el régimen transitorio.
( ))1)( dsTpKscG +=
si elegimos Td de forma que cancele el polo de la planta como hemos hecho con el PI:
( )spK
ssdT
sdTpK
ssdsTpKspGscG2
)05,0(
1,01
)05,0(
1,0)1()()( =
+
⋅+=
++=⋅ , siendo 2005,0
1 =→= dTdT
La función de transferencia en lazo cerrado será entonces:
pKspK
sT2
2)(
+= , que corresponde a un sistema de primer orden, y por tanto no tiene sobreimpulso,
cumpliendo así una de las especificaciones.
Veamos que ocurre con el tiempo de establecimiento:
τ4%)98( ≈st . Como pK2
1=τ , para que se cumpla, 1,0≥pK
Con ese valor, el sistema es estable, por tanto este controlador sirve a nuestros propósitos:( )sscG 2011,0)( +=
_____________________________________________________________________________________
4.- Dada la planta )18)(6(
1080)(
++=
ssssG , determinar Gc(s) para que el sistema en lazo cerrado
con realimentación unitaria cumpla las siguientes especificaciones:
ess ≤ 20% para entrada en rampats < 2 segundos para entrada escalónMp < 30% para entrada escalón
• Error en régimen permanente
213
G(s)R(s) Y(s)
Gc
+
-
Para garantizar que el error en régimen permanente ante una entrada en rampa es menor que uno dado el sistema debe ser de tipo 1, por lo que en principio con un controlador P podría bastar: pKscG =)(
vKrampasse1= pKsGscsG
svK 10)()(0
lim =→
= ; 5,02,0 ≥→≤ pK
rampasse
214
• Estabilidad
s3 1 108s2 24 1080Kp
s1 108-45Kp
s0 1080Kp
Para que el sistema sea estable: 4,2045108 <→>− pKpK
Veamos si cumple las especificaciones de régimen transitorio:Con una Kp de 0,5 ya aseguramos el cumplimiento de la especificación de ess, así que no conviene elegir una Kp superior porque eso empeoraría el transitorio. Tomamos por tanto Kp = 0,5.
• Tiempo de establecimiento y sobreimpulso
Es un sistema de tercer orden, por lo tanto no podemos aplicar las fórmulas desarrolladas para el sobreimpulso y el tiempo de establecimiento. Veamos donde están situados los polos:
79,402,2
94,19
05401082
243
js
s
sss
±−=
−=
=+++
)02,2704,42
)(94,19(5401082
243
+++=+++ ssssss
El polo real ubicado en s =-19,94 está muy alejado de los otros dos, aproximadamente 10 veces, lo cual es suficiente como para considerar que su efecto es despreciable, por tanto nuestro sistema se puede aproximar por uno de segundo orden y entonces ya podremos aplicar las fórmulas conocidas.
Si eliminamos ese polo hay que hacerlo con cuidado de modo que la ganancia estática del sistema quede inalterada, es decir, sustituyendo el polo que se desprecia por su ganancia
)02,2704,42(94,19
540
)02,2704,42)(94,19(
540
5401082243540
)(++⋅
≈+++
=+++
=ssssssss
sT
por tanto el sistema, realizando esta aproximación queda: 02,2704,42
08,27)(
++=
sssaproxT ;
39,04,022,502,27 =→=→== δδωω nn
%3026,021 <=−
−
= δ
πδ
epM, cumple la especificación del sobreimpulso
248,133
%)95(<===
nst δωσ , cumple la especificación del tiempo de establecimiento. Por tanto, el
controlador P diseñado es válido 5,0)( =scG
_____________________________________________________________________________________
215
5401082243540
)(+++
=sss
sT
pKsss
pK
ssspK
ssspK
sT10801082243
1080
)18)(6(
10801
)18)(6(
1080
)(+++
⋅=
++
⋅+
++
⋅
=
216