270

14 REES I VOLUMS DE COSSOS GEOMTRICS

E X E R C I C I S P R O P O S A T S

Calcula lrea dels ortoedres les longituds dels quals es donen en centmetres.a) b)

a) El cos s un cub:A 6a2 6 62 6 36 216 cm2.

b) A 2ab 2ac 2bc 2 (5 2) 2 (5 1) 2 (1 2) 20 10 4 34 cm2

Calcula lrea total dels prismes segents les longituds dels quals es donen en centmetres.

a) b)

a) Permetre de la base: p 3 5 15 cmEl prisma s regular, per tant podem aplicar la frmula: A TOTAL p(a h) 15 (2 6) 15 8 120 cm2

b) Hipotenusa del triangle de la base: 32 42 9 16 25 5 cmPermetre de la base: p 3 4 5 12 cmA LATERAL p h 12 6 72 cm2

A BASES 2 12 3 4 12 cm2A TOTAL 72 cm2 12 cm2 84 cm2

Calcula lrea total de les pirmides segents.

a) b)

a) Calculem l'rea lateral i de la base:

A LATERAL 12

p A 12

16 6 48 cm2

A BASE l 2 4 4 16 cm2

A TOTAL 48 cm2 16 cm2 64 cm2

b) Com la pirmide s regular, apliquem la frmula:

A TOTAL 12

p(a A) 12

(4 5) (2,8 8) 10 10,8 108 cm2

14.3

14.2

14.1

6

6

65

2

1

3

6

2

3

6

4

4 cm

6 cm

4 cm

8 cm 2,8 cm

116248_U14_VAL 7/8/08 10:05 Pgina 270

Calcula lrea daquest tronc de pirmide.

El tronc de pirmide s regular, per tant podem aplicar la frmula de l'rea lateral:

A LATERAL 12

(p1 p2) A 12

(30 20) 8 12

54 8 216 cm2

A BASE GRAN 12

p a 12

(6 5) 4,1 61,50 cm2

A BASE XICOTETA 12

p a 12

(4 5) 2,8 28 cm2

A TOTAL 178 61,50 28 267,50 cm2

Dibuixa un cilindre de 4 centmetres de dimetre i 6 centmetres daltura. Calculan lrea total del cilindre.

A TOTAL 2r h 2 r 2 2 3,14 2 6 2 3,14 22 75,36 25,12 100,48 cm2

El dimetre dun cilindre t 5 centmetres i la seua altura, el triple del radi. Calculan la superfcie la-teral.

Radi: 2,5 cmAltura: 3 2,5 7,5 cmA LATERAL 2r h 2 3,14 2,5 7,5 117,75 cm2

En girar aquest rectangle al voltant del costat AB genera un cilindre, i en girar al voltant del costat ADgenera un altre cilindre. Tenen la mateixa rea? Comprova-ho calculant les dues rees.

Cilindre generat al voltant del costat ABRadi: AD 5 cmAltura: AB 2 cmA TOTAL 2r h 2 r 2 2 3,14 5 2 2 3,14 52 62,8 157 219,8 cm2

Cilindre generat al voltant del costat ADRadi: AB 2 cmAltura: AD 5 cmA TOTAL 2r h 2 r 2 2 3,14 2 5 2 3,14 22 62,8 25,12 87,92 cm2

Els dos cilindres tenen diferent rea. L'rea del primer s ms gran que la del segon.

El radi dun con t 2,5 cm i la generatriu, 7. Calcula lrea total del con.

A TOTAL r g r 2 3,14 2,5 7 3,14 72 54,95 153,86 208,81 cm2

El dimetre dun con t 12 centmetres i laltura, 8. Calcula lrea total del con.

Radi: 6 cm

Generatriu: 62 82 36 64 100 10 cmA TOTAL r g r 2 3,14 6 10 3,14 62 188,4 113,04 301,44 cm2

14.9

14.8

14.7

14.6

14.5

14.4

271

6 cm

8 cm

4 cm 2,8 cm

4,1 cm

6 cm

4 cm

C

B

D

A 2 cm

5 cm

116248_U14_VAL 7/8/08 10:05 Pgina 271

Els radis de les bases dun tronc de con tenen 5 i 2 centmetres, respectivament, i laltura, 4 cent-metres. Calcula lrea total del tronc de con.

Generatriu: 42 (5 2)2 16 9 25 5 cmA TOTAL (r1 r2 ) g r 21 r 22 3,14 (5 2) 5 3,14 52 3,14 22 200,96 cm2

Calcula lrea de les esferes amb el radi que sindica.a) 2 cm b) 4,75 dm c) 0,5 m

a) Radi: 2 cm.A 4 r 2 4 3,14 22 50,24 cm2

b) Radi: 4,75 dmA 4 r 2 4 3,14 4,752 283,385 dm2

c) Radi: 0,5 mA 4 r 2 4 3,14 0,52 3,14 m2

El dimetre duna pltera semiesfrica fa 22 centmetres. Calculan la superfcie.

Radi: 22 2 11 cm

Superficie: A 12

(4 r 2) 2 3,14 112 759,88 cm2

La superfcie de la pltera semiesfrica mesura 759,88 cm2.

El dimetre del planeta Mart t 6 795 quilmetres. Quant mesura la superfcie de Mart?

Radi del planeta Mart: 6 795 2 3 397,5 kmSuperficie: A 4 r 2 4 3,14 3 397,52 11 543 006 km2

Calcula el dimetre de les esferes amb la superfcie que sindica.a) 50 cm2 b) 100 m2 c) 1 dm2

a) A 50 cm2

A 4 r 2 r 4 A 4 530,14 3,98 1,99 cm d 3,98 cmb) 100 m2

A 4 r 2 r 4 A 4 1030,14 7,96 2,82 m d 5,64 mc) 1 dm2

A 4 r 2 r 4 A 4 13,14 0,0796 0,2821 dm d 0,56 dmExpressa aquestes quantitats en metres cbics.a) 250 000 cm3 b) 500 cm3 c) 50 hm3 d) 0,5 km3

a) 250 000 cm3 250 dm3 0,250 m3 c) 50 hm3 50 000 dam3 50 000 000 m3

b) 500 cm3 0,5 dm3 0,0005 m3 d) 0,5 km3 500 hm3 500 000 dam3 500 000 000 m3

Expressa en centmetres cbics.a) 3,5 m3 b) 8 dm3 c) 1,75 dm3 d) 0,050 m3

a) 3,5 m3 3500 dm3 3 500 000 cm3 c) 1,75 dm3 1750 cm3

b) 8 dm3 8 000 cm3 d) 0,050 m3 50 dm3 50 000 cm3

Expressa en litres les quantitats segents.a) 1200 cm3 b) 0,25 m3 c) 275 dm3 d) 0,5 cm3

a) 1200 cm3 1,200 dm3 1,200 L c) 275 dm3 275 Lb) 0,25 m3 250 dm3 250 L d) 0,5 cm3 0,000 5 dm3 0,000 5 L

14.17

14.16

14.15

14.14

14.13

14.12

14.11

14.10

272

116248_U14_VAL 7/8/08 10:05 Pgina 272

Expressa en centmetres cbics aquestes quantitats.a) 250 cl b) 2,5 L c) 6500 ml

a) 250 cl 2 500 ml 2 500 cm3

b) 2,5 L 2 500 ml 2 500 cm3

c) 6 500 ml 6 500 cm3

Calcula el volum dun prisma hexagonal regular si el costat de la seua base s de 8 centmetres, lapotema de 7 centmetres i laltura del prisma de 20 centmetres.

V A BASE h p

2 a h

(8 62) 7 20 3360 cm3

Calcula el volum del prisma de la figura.

V A BASE alturaAmb Pitgores obtenim l'altura del triangle de la base:

62 52 a2 36 25 a2 a 11 3,32

V 10

23,32 4 66,4 cm3

Calcula el volum daquestes pirmides, les dimensions de les quals estan determinades en centmetres.

a) b)

a) La base s un triangle rectangle:

A BASE 4

2 3 6 cm

V 13

A BASE h 13

6 5 10 cm3

b) La pirmide s regular, per tant podem calcular l'rea de la base aplicant-ne la frmula:

A BASE p

2 a

(2 62) 1,7 10,2 cm2

V 13

A BASE h 13

10,2 5 17 cm3

Calcula el volum del tronc de pirmide, les mesures del qual estan determinades en centmetres.

Volum de la pirmide total:

V 13

A BASE h 13

p

2 a h

13

(4 5

2) 2,7 11,5 103,5 cm3

Volum de la pirmide deficient:

V 13

A BASE h 13

p

2 a h

13

(1,6 5

2) 1,1 4,7 6,89 cm3

Volum del tronc de pirmide:

V 103,5 6,89 96,61 cm3

14.22

14.21

14.20

14.19

14.18

273

10 cm

4 cm

6 cm

5

3 4 2

1,7

5

h1 = 4,7

h2 = 11,5

4

1,6

1,1

2,7

116248_U14_VAL 7/8/08 10:05 Pgina 273

Calcula el volum daquests cilindres.a) r 5 cm; h 12 cm b) d 8 dm; h 1 m

a) V r 2 h 3,14 52 12 3,14 25 12 942 cm3

b) Radi: r 8 2 4 dmAltura: h 1 m 10 dmV r 2 h 3,14 42 10 3,14 16 10 502,4 dm3

Calcula el volum daquests cons.a) d 1 dm; h 2r b) d 12 cm; g 10 cm

a) Radi: r 1 2 0,5 dmAltura: h 2r 2 0,5 1 dm

V 13

r 2 h 13

3,14 0,52 1 13

3,14 0,25 1 0,26 dm3

b) Radi: r 12 2 6 cm

Altura: h g2 r 2 102 62 64 8 cmV

13

r 2 h 13

3,14 62 8 13

3,14 36 8 301,44 cm3

Calcula el volum en metres cbics duna esfera el dimetre de la qual t 100 centmetres.

Radi: 100 cm 2 50 cm 0,5 m

V 43

r 3 43

3,14 0,53 43

3,14 0,125 0,523 m3

La circumferncia dun bal reglamentari de bsquet fa 75 centmetres. Calcula el volum del bal.

Longitud de la circumferncia (mxima): l 2 r 65 r 265

66,258

10,35 cm

V 43

r 3 43

3,14 10,353 43

3,14 11 08,72 4 641,84 cm3

En un recipient amb forma de prisma que t com a base un quadrat de 8 centmetres de costat i altu-ra de 12 centmetres sintrodueix una bola de ferro de 8 centmetres de dimetre. Calcula el volum daigua necessari per a omplir el recipient.

V PRISMA A BASE h (8 8) 12 768 cm3

V BOLA DE FERRO 43

r 3 43

3,14 43 43

3,14 64 267,95 cm3

Quantitat d'aigua necessria per a omplir el recipient:768 cm3 267,95 cm3 500,05 cm3 0,500 05 dm3 0,500 05 L

Es necessiten aproximadament 0,5 L, o siga, mig litre d'aigua.

Si sabem que la massa d1 centmetre cbic de ferro s de 7,8 grams, quantes boles de ferro de 2 cen-tmetres de dimetre necessitem aplegar per a completar una massa d1 quilogram?

Volum d'una bola:Radi: 2 2 1

V 43

r 3 43

3,14 13 43

3,14 1 4,187 cm3

Massa d'una bola de ferro:4,187 7,8 32,659 grams

Nombre de boles:1000 32,659 30,62

Cal reunir aproximadament 30 boles.

14.28

14.27

14.26

14.25

14.24

14.23

274

116248_U14_VAL 7/8/08 10:05 Pgina 274

P R O B L E M E S P R O P O S A T S

El volum del cos de la figura s de 135 centmetres cbics. Calcula la seua rea total.

Hi ha 5 cubs iguals d'aresta a; per tant, el volum de cada cub s: 135 5 27 cm3.Com el volum d'un cub s V a3; 27 a3; a

327 3 cm.

rea de la figura: A (9 3 3 3) 2 (3 3 2) 2 9 3 3 3 3 72 36 27 27 162 cm2

Volem fer un bric de base quadrada de 5 centmetres de costat i amb capacitat de mig litre. Quant decart necessitem?

0,5 litres 500 cm3

V A BASE h 500 6 6 h 500 36 h h 53060

13,89 cmL'altura del bric s aproximadament de 14 cm.L'rea total que necessitem s: 6 4 14 2 6 6 336 72 408 cm2.

C L C U L M E N T A L

Calcula lrea dels cubs les arestes dels quals mesuren el segent.

a) 1 cm b) 2 cm c) 10 cm d) 12

m

a) A 6 a2 6 12 6 cm2

b) A 6 a2 6 22 6 4 24 cm2

c) A 6 a2 6 102 6 100 600 cm2

d) A 6 a2 6 0,52 6 0,25 1,5 m2

Expressa les quantitats segents en centmetres cbics.a) 7 dm3 f) 2000 mm3

b) 0,3 dm3 g) 10 dm3

c) 0,001 dm3 h) 1 dam3

d) 1,5 m3 i) 0,001 dm3

e) 0,001 m3 j) 0,001 dam3

a) 7 dm3 7 000 cm3 f) 2 000 mm3 2 cm3

b) 0,3 dm3 300 cm3 g) 10 dm3 10 000 cm3

c) 0,001 dm3 1 cm3 h) 1 dam3 1 000 000 000 cm3

d) 1,5 m3 1 500 000 cm3 i) 0,001 dm3 1 cm3

e) 0,001 m3 1000 cm3 j) 0,001 dam3 1 000 000 dm3

Calcula lrea lateral dels prismes regulars hexagonals si sabem el costat de la base i laltura del prisma.a) l 5 cm h 3 cm c) l 2 cm h 10 cmb) l 1 cm h 1 cm d) l 1,5 cm h 9 cm

Apliquem la frmula: A LATERAL p h:a) 90 cm2 b) 6 cm2 c) 120 cm2 d) 81 cm2

14.33

14.32

14.31

14.30

14.29

275

1

2 3

5

4

116248_U14_VAL 7/8/08 10:05 Pgina 275

Expressa els volums segents en litres.a) 2 dm3 c) 0,5 dm3 e) 2 000 000 mm3 g) 0,005 m3

b) 600 dm3 d) 10 dam3 f) 1500 cm3 h) 0,000 005 hm3

a) 2 dm3 2 L e) 2 000 000 mm3 2 Lb) 600 dm3 600 L f) 1 500 cm3 1,5 Lc) 0,5 dm3 0,5 L g) 0,005 m3 5 Ld) 10 dam3 10 000 000 dm3 10 000 000 L h) 0,000 005 hm3 5 000 L

Calcula la capacitat en litres dels cubs les arestes dels quals tenen les mesures segents.a) 1 dm c) 0,5 dm e) 3 dam g) 0,1 mb) 10 cm d) 2 dm f) 2 m h) 0,001 dam

a) 1 dm 1 dm3 1 L e) 3 dam 27 dam3 27 000 000 Lb) 10 cm 1000 cm3 1 dm3 1 L f) 2 m 8 m3 8000 dm3 8000 Lc) 0,5 dm 0,125 dm3 0,125 L g) 0,1 m 0,001 m3 1 dm3 1 Ld) 2 dm 8 dm3 8 L h) 0,001 dam 0,1dm 0,001 dm3 0,001 L

Lrea de la base dun depsit cilndric s aproximadament de 0,8 metres quadrats. Calcula la seua ca-pacitat en litres arredonint laltura a les unitats.a) 10,2 dm b) 8,8 dm c) 10,7 dm d) 9,9 dm

Tenemos en cuenta la frmula V A BASE h, y la relacin 0,8 m2 800 dm2.a) 80 10 800 dm3 800 L c) 80 11 880 dm3 880 Lb) 80 9 720 dm3 720 L d) 80 10 800 dm3 800 L

E X E R C I C I S P E R A P R A C T I C A R

rea dels prismes

Calcula lrea total dels prismes representats en les figures.

a) b) c) d)

a) El prisma s un ortoedre.A 2ab 2bc 2ac 2 2,4 7,4 2 11,5 7,4 2 2,4 11,5 260,92 cm2

b) El prisma s un cub.A 6 a2 6 2,52 6 6,25 37,5 cm2

c) Hipotenusa del triangle rectangle:

c 32 42 25 5 cmA LATERAL p h (3 4 5) 4 12 4 48 cm2

A BASES 2 12 3 4 12 cm2A TOTAL 48 12 60 cm2

d) Altura del triangle de la base:

a 22 12 3 1,73 cmA TOTAL p h 2 A BASE 2 3 5 2 1,73 30 3,46 33,46 cm2

Calcula lrea total dels prismes regulars amb les dimensions segents.a) Base: quadrat de 6 centmetres de costat. Altura: 1,5 decmetres.b) Base: octgon de 6 centmetres de costat i 9,24 centmetres dapotema. Altura: 1,8 decmetres.

a) A TOTAL A LATERAL 2 A BASE p h 2 l 2 (6 4) 15 2 62 360 72 432 cm2

b) A TOTAL p (h a) (6 8) (18 7,25) 48 25,25 1212 cm2

14.38

14.37

14.36

14.35

14.34

276

11,5 cm

7,4 cm

2,4 cm 2,5 cm

2,5 cm

2,5 cm

4 cm

4 cm

3 cm

2 cm

5 cm

116248_U14_VAL 7/8/08 10:05 Pgina 276

rea de pirmides i de tronc de pirmides

Calcula lrea total de les pirmides representades en aquestes figures.

a) b)

a) A TOTAL A LATERAL A BASE 12

p A l 2 12

(5 4) 8 52 80 25 105 cm2

b) La figura s un tetraedre. La seua rea es pot calcular multiplicant per 4 l'rea d'una cara:

A TOTAL 4 12 14 12 336 cm2

Calcula lrea total de la pirmide regular la base de la qual s un quadrat de 5 centmetres de costat.Lapotema de la pirmide fa 1 decmetre.

A TOTAL A LATERAL A BASE 12

p A l 2 12

(5 4) 10 52 100 25 125 cm2

Dibuixa una pirmide regular la base de la qual s un octgon de 4 centmetres de costat i 6,2 cent-metres dapotema. Laltura de la pirmide t 1,2 decmetres. Calcula lrea total daquesta pirmide.

Apotema de la pirmide: A 4,82 122 23,04 144 167,04 12,92 cmA TOTAL

12

p (A a) 12

(4 8) (12,92 4,84) 16 17,76 284,16 cm2

Calcula lrea total del tronc de pirmide regular representat en la figura.

A LATERAL 12

(p1 p2) A 12

(6 4 2 4) 8 128 cm2

A BASES l 21 l 22 62 22 36 4 40 cm2

A TOTAL 128 40 168 cm2

rees de cossos redons

Calcula lrea dels cilindres rectes amb les dimensions segents:a) Radi: 2,5 cm. Altura: 1,2 dm.b) Dimetre: 4,8 cm. Altura: 0,8 dm.

a) A TOTAL 2r h 2 r 2 2 3,14 2,5 12 2 3,14 2,52 188,4 39,25 227,65 cm2

b) Radi: 4,8 2 2,4 cmAltura: 0,8 dm 8 cmA TOTAL 2r h 2 r 2 2 3,14 2,4 8 2 3,14 2,42 120,58 36,17 156,75 cm2

14.43

14.42

14.41

14.40

14.39

277

5 cm

5 cm

8 cm

12 cm

14 cm

4 cm 4,84 cm

1,2 dm

6 cm

8 cm2 cm

116248_U14_VAL 7/8/08 10:05 Pgina 277

Calcula lrea total dels cons rectes amb les dimensions segents.a) Radi: 2,5 cm. Generatriu: 1,2 dm.b) Dimetre: 24 cm. Altura: 1,6 dm.

a) A TOTAL r g r 2 3,14 2,5 12 3,14 2,52 94,2 19,63 113,83 cm2

b) Radi: r 24 2 12 cmAltura: h 1,6 dm 16 cmGeneratriu: g 122 162 144 256 400 20 cmA TOTAL r g r 2 3,14 12 20 3,14 122 753,6 452,16 1205,76 cm2

Les dades segents corresponen a radis de superfcies esfriques. Calcula la seua rea i expressa-la encentmetres quadrats.a) 1 dm b) 0,02 m c) 150 mm d) 0,0001 dam

a) Radi: r 1 dm 10 cmA 4 r 2 4 3,14 102 1256 cm2

b) Radi: r 0,02 m 0,2 dm 2 cmA 4 r 2 4 3,14 22 50,24 cm2

c) Radi: r 150 mm 15 cmA 4 r 2 4 3,14 152 2826 cm2

d) Radi: r 0,0001 dam 0,1 cmA 4 r 2 4 3,14 0,12 0,1256 cm2

Calcula lrea total del tronc de con representat en la figura.

A TOTAL (r1 r2) g r 21 r 22

A TOTAL 3,14 (5 3) 6 3,14 52 3,14 32 150,72 78,5 28,26 257,48 cm2

Volum i capacitat

Expressa en centmetres cbics les quantitats segents.a) 5 dm3 b) 0,1 dm3 c) 1500 mm3 d) 0,000 05 dam3

a) 5 dm3 5000 cm3

b) 0,1 dm3 100 cm3

c) 1500 mm3 1,5 cm3

d) 0,000 05 dam3 50 dm3 50 000 cm3

Expressa els volums segents en litres.a) 2,5 dm3 b) 0,05 m3 c) 759 cm3

a) 2,5 dm3 2,5 L b) 0,05 m3 50 dm3 50 L c) 759 cm3 0,759 dm3 759 L

Copia i completa amb els nombres i les unitats que falten.a) 250 cm3 0,250 b) 0,750 dm3 cm3 c)

12

m3 500

a) 250 cm3 0,250 dm3 b) 0,750 dm3 750 cm3 c) 12

m3 500 dm3

Copia i completa amb les unitats que falten:a) 750 cm3 0,750 L 0,750 b) 20 dm3 20 000 20 c)

34

750 cm3 0,750

a) 750 cm3 0,750 L 0,750 dm3 b) 20 dm3 20 000 cm3 20 L c) 34

dm3 750 cm3 0,750 L

14.50

14.49

14.48

14.47

14.46

14.45

14.44

278

3 cm

5 cm

6 cm

116248_U14_VAL 7/8/08 10:05 Pgina 278

Volum de prismes i pirmides

Calcula el volum daquests prismes.a) b)

a) V A BASE h 12 2,5 2,5 6 18,75 cm3 b) V A BASE h p

2 a h

(4 5)2 2,75 10 275 cm3

Calcula el volum de les pirmides i del tronc de pirmide.

a) b) c) d)

a) V 13

A BASE h 13

(5 3) 8 40 cm3

b) V 13

A BASE h 13

p

2 a h

13

(3 5

2) 2 7 35 cm3

c) Volum de la pirmide total:

V 13

A BASE h 13

l 2 h 13

602 120 144 000 cm3

Volum de la pirmide deficient:

V 13

A BASE h 13

l 2 h 13

402 80 42 666,67 cm3

Volum del tronc de con:V 144 000 42 666,67 101 333,33 cm3

d) Com que la figura s una pirmide regular hexagonal, per a poder aplicar les frmules cal que calculem prviament l'apo-tema a de la base i l'altura h de la pirmide.L'apotema a es calcula tenint en compte que en un hexgon regular el radi de la base s igual al costat del mateix. Apli-quem el teorema de Pitgores:

a 42 22 16 4 12 3,46 cmCalculem l'altura h de la pirmide aplicant una altra vegada el teorema de Pitgores:

h 122 3,462 144 11,97 1132,02 11,49 cmVolum de la pirmide:

V 13

A BASE h 13

p

2 a h

13

(4 6)

2 3,46 11,49 159,02 cm3

Volum de cossos redons

Calcula el volum daquest cilindre.

Radi del cilindre: r 16

h 16

12 2 cm

V r 2 h 3,14 22 12 3,14 4 12 150,72 cm3

Calcula el volum dun cilindre de 12 centmetres de dimetre i daltura igual a la meitat del radi.

Radi: r 12 2 6 cmAltura: h 6 2 3 cmV r 2 h 3,14 62 3 3,14 36 3 339,12 cm3

14.54

14.53

14.52

14.51

279

6 cm

2,5 cm

2,5 cm

90o

2,75 cm

10 cm

4 cm

7 cm

3 cm

2 cm

5 cm3 cm

8 cm

60 cm

40 cm

40 cm

80 cm

12 cm

4 cm

h = 12 cm

6r = 1 h

116248_U14_VAL 7/8/08 10:05 Pgina 279

Calcula el volum del con i del tronc de con.a) b)

a) V 13

r 2 h 13

3,14 62 10 13

3,14 36 10 376,8 cm3

b) El volum del tronc del con ve donat per la diferncia del volum del con total i del con deficient.Volum del con total:

V 13

r 2 h 13

3,14 152 75 13

3,14 225 75 17 662,5 cm3

Volum del con deficient:

V 13

r 2 h 13

3,14 102 50 13

3,14 100 50 5233,3 cm3

Volum del tronc de con:17 662,5 5233,3 12 429,2 cm3

Calcula el volum dels cossos segents, les longituds dels quals estan determinades en centmetres.a) b)

a) Volum del cos volum del cilindre volum del con

Volum del cilindre: V r 2 h 3,14 72 5 3,14 49 5 769,3 cm3

Volum del con:Altura: h 52 32 25 9 16 4 cmV

13

r 2 h 13

3,14 32 4 13

3,14 9 4 37,68 cm3

Volum del cos: 769,3 37,68 806,98 cm3

b) Volum del cos volum del con volum de la semiesferaVolum del con:

Altura: h 82 52 64 25 39 6,24 cmV

13

r 2 h 13

3,14 52 6,24 13

3,14 25 6,24 163,28 cm3

Volum de la semiesfera:

V 12

43 r 3 23 3,14 53 23 3,14 125 261,67 cm3Volum del cos: 163,28 261,67 424,95 cm3

P R O B L E M E S P E R A A P L I C A R

Sha mesurat la coberta dun llibre i shan obtingut aquests resultats: ample, 18 centmetres; alt, 24;llom, 3,5. Calcula la superfcie de cartolina de la coberta.

2 (18 24) 3,5 24 864 84 948 cm2

La superfcie de la coberta s de 948 cm2 9,48 dm2. Aproximadament, 9,5 dm2.

Calcula quants metres quadrats de fusta es necessiten per a construir el podi representat en la figurasi no t base inferior; s a dir, recolza directament sobre terra.

A LATERAL 12

(p1 p2) A 12

(5,25 4 3,75 4) 4,5 12

(21 15) 4,5 81 m2

A BASE SUPERIOR l 21 3,752 14,06 m2

A TOTAL 81 14,06 95,06 m2

Es necessiten, aproximadament, 95 metres quadrats de fusta.

14.58

14.57

14.56

14.55

280

10 cm

12 cm

25 cm

15 cm

10 cm50 cm

5

14

56

8 5

5,25 m

4,5 m

3,75 m

116248_U14_VAL 7/8/08 10:05 Pgina 280

Les dimensions duna paperera cilndrica sn: 20 centmetres de dimetre i 31 daltura. Calcula la superf-cie de material que sha necessitat per a fabricar-la.

rea de la paperera rea lateral del cilindre rea de la base

Radi: r 20 2 10 cm

A PAPERERA 2 r h r 2 2 3,14 10 31 3,14 102 1946,8 314 2260,8 cm2

Es necessiten 2260,8 cm2 22,608 dm2. Aproximadament, 23 decmetres quadrats.

Les figures representen jardineres. En quines cal tirar ms terra perqu smpliguen?

Jardinera amb forma de tronc de pirmide

Volum de la pirmide total: V 13

A BASE h 13

302 60 18 000 cm3

Volum de la pirmide deficient: V 13

A BASE h 13

202 40 5333,33 cm3

Volum del tronc de pirmide: 18 000 5 333,33 12 666,67 cm3

Jardinera amb forma de tronc de con

Volum del con total: V 13

r 2 h 13

3,14 402 60 100 480 cm3

Volum del con deficient: V 13

r 2 h 13

3,14 102 40 4 186,67 cm3

Volum del tronc de con: 100 480 4186,67 96 293,33 cm3

Com que 96 293,33 cm3 > 12 666,67 cm3, caldr tirar ms terra en la jardinera amb forma de tronc de con.

Laltura dun embut de llanda fa 26 centmetres, i el dimetre, 30. Si el metre quadrat de llanda pesa 3,25quilograms, quant pesar lembut, excloent-ne el tub deixida?

Radi: r 30 2 15 cmGeneratriu: g 152 262 225 676 901 30 cmA LATERAL r g 3,14 15 30 1413 cm2 14,13 dm2 0,1413 m2

L'embut pesa: 0,1413 3,25 0,459 quilograms 12

kilogramo.

Les parets duna cuina estan recobertes de taulellets quadrats de 15 centmetres de costat. Les dimen-sions de la cuina sn: llarg, 3,75 metres; ample, 2,25, i alt, 2,50. La porta fa 85 per 210 centmetres, ila finestra s quadrada, de 135 centmetres de costat. Quants taulellets shan necessitat per a recobrirla cuina?

Superfcie de les parets: 2 (3,75 2,50) 2 (2,25 2,50) 18,75 11,25 30 m2

Dimensions de la porta: 85 cm 0,85 m; 210 cm 2,10 mSuperfcie de la porta: 0,85 2,10 1,785 m2

Superfcie de la finestra: 1,352 1,8225 m2

Superfcie a recobrir: 30 1,785 1,8225 26,3925 m2

Superfcie de cada taulellet: 152 225 cm2 0,0225 m2

Nombre de taulellets: 26,3925 0,0225 1173

14.62

14.61

14.60

14.59

281

20 cm

20cm

80 cm

20 cm40 cm

30 cm

116248_U14_VAL 7/8/08 10:05 Pgina 281

Les dimensions dun depsit cilndric sn les especificades en la figura. Calcula la capacitat del recipienten litres.

Dimetre del cilindre interior: 3 m 2 20 cm 3 m 40 cm 3 m 0,40 m 2,6 mRadi del cilindre interior: 2,6 2 1,3 mAltura del cilindre interior: 2,25 m 20 cm 2,25 m 0,20 m 2,05 mVolum del cilindre interior: V r 2 h 3,14 1,32 2,05 3,14 1,69 2,05 10,8785 m3

Capacitat del depsit: 10,8785 m3 10 878,5 dm3 10 879 L

Quants cubs de 12

metre daresta caben en un cub de 2 metres daresta?

Volum del cub de 2 metres d'aresta: V 23 8 m3

Volum del cub de 12

metre d'aresta: V 0,53 0,125 m3

El nombre de cubs que caben s: 8 0,125 64.

Un decmetre cbic del material amb qu est construt el recipient representat en la figura pesa 7,8quilograms. Calcula quant pesa el recipient.

Volum de l'ortoedre exterior: V1 9 10 12 1080 dm3

Volum de l'ortoedre interior: V2 8 9 10 720 dm3

Volum del material: V V1 V2 1080 720 360 dm3

El recipient pesa: 360 7,8 2808 quilograms.

Calcula quant de temps tardar a omplir-se el depsit de la figura si es tiren 85 litres per minut.

Apotema de la base: 2,6 dm

Altura del prisma: 1 m 10 dm

Volum del depsit: V A BASE h p

2 a h

(3 62) 2,6 10 234 dm3 234 L

Temps que tarda a omplir-se el depsit: 234 85 2,75 minuts 2 minuts i 45 segons.

Les dimensions duna caixa sn: 36, 24 i 30 centmetres. En aquesta caixa es volen introduir paquetsamb forma dortoedre darestes de 9, 6 i 5 centmetres. Quants paquets caben en la caixa?

Al llarg caben: 36 9 4 paquets.A l'ample caben: 24 6 4 paquets.A l'alt caben: 30 5 6 paquets.

Caben: 4 4 6 96 paquets.Nota: Per ser el llarg, lample i lalt de la caixa mltiples del llarg, del ample i de lalt de cada paquet, respectivament, cap un

nombre exacte de paquets, quedant tot l'espai de la caixa ocupat. Per aquesta ra, tamb podem calcular el nombre depaquets que entren en la caixa dividint el volum de la mateixa pel volum de cada paquet.

Volum de la caixa: 36 24 30 25 920 cm3

Volum de cada paquet: 9 6 5 270 cm3

Caben: 25 920 270 96 paquets.

14.67

14.66

14.65

14.64

14.63

282

9 dm

8 d

m

10 dm 12 dm

9 d

m

10 dm

2,6 dm

1 m

3 dm

3 m

2,25

m

20 cm

116248_U14_VAL 7/8/08 10:05 Pgina 282

R E F O R

rees de prismes i pirmides

Calcula lrea lateral dun prisma regular de 5 centmetres daltura si la seua base s un hexgon d1,5centmetres de costat.

A LATERAL p h 1,5 6 5 45 cm2

Calcula lrea total dels cossos segents. (Les longituds estan determinades en centmetres.)a) b)

a) A TOTAL p (h a) 2 6 (7 1,7) 104,4 cm2

b) A TOTAL A LATERAL 2 A BASE 5 5 4 5 3 5 3 4 72 cm2

rees de cossos redons

Calcula les rees que sindiquen.a) rea total dun cilindre recte de 8 centmetres daltura; el dimetre de la base t 5 centmetres.b) rea total dun con recte de 2 decmetres daltura; el dimetre de la base t 1 decmetre.c) rea, en centmetres quadrats, duna esfera el radi de la qual t 3 decmetres.

a) Radi de la base: r 5 2 2,5 cmA TOTAL 2r h 2 r 2 2 3,14 2,5 8 2 3,14 2,52 125,6 39,25 164,85 cm2

b) Dimetre de la base: d 2 dm 20 cmRadi de la base: r 20 2 10 cmAltura: 10 cmGeneratriu: g 102 102 100 100 200 14,14 cmA TOTAL r g r 2 3,14 5 14,14 3,14 52 222 78,5 298,5 cm2

c) Radi: r 3 dm 30 cmA 4 r 2 4 3,14 302 11 304 cm2

Volum i capacitat

Expressa en centmetres cbics les quantitats segents.a) 2 dm3 b) 250 mm3 c) 0,05 m3

a) 2 dm3 2000 cm3 b) 0,5 dm3 500 cm3 c) 0,05 m3 50 cm3

Expressa els volums segents en litres.a) 2 dm3 b) 0,01 m3 c) 7000 cm3

a) 2 dm3 2 L b) 0,01 m3 10 dm3 10 L c) 7000 cm3 7 dm3 7 L

Volum de prismes i pirmides

Calcula el volum dels prismes segents.a) b)

a) V A BASE h p

2 a h

(6 52) 4,1 16 984 cm3

b) V A BASE h (3

2 3) 4,5

92

4,5 20,25 cm3

14.73

14.72

14.71

14.70

14.69

14.68

283

7

2

1,7

4

5

5

16 cm

6 cm

4,1 cm

3 cm

4,5 cm

3 cm

116248_U14_VAL 7/8/08 10:05 Pgina 283

Calcula el volum de les pirmides segents.a) b)

a) V 13

A BASE h 13

(8 6) 10 160 cm3

b) A BASE p

2 a

(6 62) 5,2 93,6 cm2

V 13

A BASE h 13

93,6 10 312 cm

Volums de cilindres, cons i esferes

Calcula el volum dels cossos segents.a) b) c) d)

a) Radi: r 8 2 4 cm.Altura: h d 8 cmV r 2 h 3,14 42 8 3,14 16 8 401,92 cm3

b) Radi: r 6 2 3 cmAltura: h d 6 cm

V 13

r 2 h 13

3,14 32 6 13

3,14 9 6 56,52 cm3

c) V 43

r 3 43

3,14 0,83 2,14 cm3

d) Volum del cos volum del cilindre volum de la semiesferaVolum del cilindre: V r 2 h 3,14 22 6 3,14 4 6 75,36 cm3

Volum de la semiesfera: V 12

43 r 3 23

3,14 23 23

3,14 8 16,75 cm3

Volum del cos: 75,36 16,75 92,11 cm3

A M P L I A C I

La figura representa una pea de fusta que cal recobrir amb una capa de pintura. Quina superfcie calpintar?

rea del cos rea exterior del prisma triangular rea exterior de l'ortoedre rea del semicilindre.Catet del triangle: 52 42 25 16 9 3 cmrea exterior del prisma: (6 5) (6 4) 2 12 (4 3) 30 24 12 66 cm2rea exterior de l'ortoedre: 2 (10 3) 2 (10 6) 2 30 2 60 60 120 180 cm2

rea del semicilindre: radi: r 3 2 1,5 cm. Altura: h 6 cm

A 12

(2 r h 2 r 2) r h r 2

A 3,14 1,5 6 3,14 1,52 28,26 7,065 35,325 cm2

rea del cos: 66 180 35,325 281,325 cm2

Cal pintar una superfcie de 281,325 cm2.

14.76

14.75

14.74

284

8 cm

10 cm

6 cm5,2 cm

6 cm

10 cm

0,8

h = d

d = 6 cm

h = d

d = 8 cm 4 cm

6 cm

2 cm

5

6

104

116248_U14_VAL 7/8/08 10:05 Pgina 284

Dun pot de conserves de tonyina sha desprs el paper que envoltava lenvs. Shan mesurat les di-mensions del paper i sha obtingut aquest resultat.

Calcula el volum del pot.

Altura del cilindre: h 4 cm

Radi del cilindre: 14 2 r r 2

14

61,248

2,23 cm

Volum: V r 2 h 3,14 2,232 4 3,14 4,97 4 62,46 cm3

Volum de la llanda: 62,46 cm3

P E R A I N T E R P R E T A R I R E S O L D R E

Caixa de dissenyUna empresa que elabora peces de bijuteria encarrega a una altra que fa envasos la fabricaci de cai-xes de metall amb les especificacions segents.

Les caixes han de tenir forma dortoedre la base del qual siga un rectangle en qu una de les seuesdimensions siga el doble de laltra.

Lalria de les caixes ha de coincidir amb la mesura ms petita de la base.a) Fes un esquema que represente la caixa que han encarregat.b) Calcula la superfcie total de la caixa en funci de la mesura del costat en centmetres.

a)

b) Si x s la mesura en centmetres del costat xicotet, l'rea total ser:A TOTAL p h 2 l 2 4 x 2x 2 x 2 8x 2 2x 2 10x 2

La tercera condiciEls dissenyadors han decidit afegir una nova condici a les anteriors.

El nombre, en centmetres quadrats, que expresse la superfcie total de les sis cares ha de coinci-dir amb el nombre que represente el volum en centmetres cbics.

Quines sn les dimensions de la caixa?

V x 2 2x 2x 3

Per la tercera condici: 2x 3 10x 2 2x 10 x 120 5

La base de la caixa s un rectangle de 5 cm d'ample i 10 cm de llarg, i l'altura de la caixa s de 5 cm.

El safareigUn safareig t forma dortoedre la base del qual s un rectangle de 4 metres dample per 2 de llarg. Eldepsit sompli grcies a laigua subministrada per tres canelles amb el cabal segent.

Aquest mat, Csar ha comprovat que laltura del nivell de laigua era d1,5 metres. Quants metres cbicscontindr el safareig 2 hores desprs?

Ara el safareig t 4 2 1,5 12 m3.Durant 2 hores 120 minuts, la canella A afig 40 120 4800 L; la canella B, 30 120 3600 L, i la canella C,25 120 3000 L. En total s'afigen 4800 3600 3000 11 400 L 11,4 m3.Desprs de 2 hores hi ha 12 11,4 23,4 m3.

14.80

14.79

14.78

14.77

285

2xx

x

Canella A 40 L/minCanella B 30 L/minCanella C 25 L/min

116248_U14_VAL 7/8/08 10:05 Pgina 285

A U T O A V A L U A C I

Calcula lrea total dels cossos representats en aquestes figures.a) b)

a) A TOTAL p (h a) (8,5 5) (7,5 5,8) 42,5 13,3 565,25 cm2

b) A TOTAL 12

p A l 2 12

(6 4) 9 62 108 36 144 cm2

Calcula lrea total i el volum dels cossos segents.a) Cilindre. Dimetre, 8 centmetres; altura, 12 centmetres.b) Con. Dimetre, 6 centmetres; altura, 4 centmetres.c) Esfera. Dimetre, 20 centmetres.

a) A TOTAL 2r h 2 r 2 2 3,14 4 12 2 3,14 42 301,44 100,48 401,92 cm2

V r 2 h 3,14 42 12 602,88 cm3

b) Radi: r 6 2 3 cmGeneratriu: g 32 42 9 16 25 5 cmA TOTAL r g r 2 3,14 3 5 3,14 32 47,1 28,26 75,36 cm2

V 13

r 2 h 13

3,14 9 4 37,68 cm3

c) Radi: r 20 2 10 cmrea 4 r 2 4 3,14 102 1256 cm2

V 43

r 3 43

3,14 103 43

3,14 1000 4186,67cm3

Un supermercat ha venut 500 pots de refresc de 330 centmetres cbics. Quants litres de refresc ha venut?

500 330 cm3 165 000 cm3 165 dm3 165 L

En un depsit cilndric d1 metre de dimetre i 1,5 metres dalria saboquen 40 litres daigua per mi-nut. Quant de temps tardar a omplir-se?

V DEPSIT r 2 h 3,14 0,52 1,5 1,1775 m3 1177,5 dm3 1177,5 L1177,5 40 29,4375 minuts 29 minuts i 26 segons

Amb laigua dun recipient de 5 litres, quants gots cilndrics de 7 centmetres de dimetre i 8 cent-metres daltura es poden omplir?

V GOT r 2 h 3,14 3,52 8 307,72 cm3

5 L 5 dm3 5000 cm3

5000 307,72 16,25 16 vasos

Una llanda cilndrica de conserves t 11 centmetres daltura i 10 centmetres de dimetre. El paperque envolta la llanda es desprn. Quina figura s i quines sn les seues dimensions?

El paper s un rectangle de 2r centmetres de llarg i 11 centmetres d'ample.Llarg: 2r 2 3,14 5 31,4 cmAmple: 11 cm

14.A6

14.A5

14.A4

14.A3

14.A2

14.A1

286

8,5 cm

7,5 cm

5,8 cm 9 cm

6 cm

116248_U14_VAL 7/8/08 10:05 Pgina 286

Quants hectolitres de lquid pot contenir una tremuja cnica de 8 metres de dimetre i 5 metres degeneratriu?

Radi: r 8 2 4 m

Altura de la tremuja: h 52 42 25 16 9 3 mV

13

r 2 h 13

3,14 42 3 50,24 m3 50,24 kL 502,4 hL

Determina la frmula que dna el volum dels cilindres de 15 centmetres daltura. Si es duplica elvalor del radi, qu passar amb el valor del volum? Per qu?

V CILINDRE r 2 hVolum dels cilindres d'altura 15 centmetres:V r 2 15 3,14 15 r 2 47,1 r 2

Si el radi augmenta el doble, el volum augmenta el qudruple, perqu el radi de la frmula est elevat al quadrat.

M U R A L D E M A T E M T I Q U E S

Jugant amb les matemtiques

Construir un cub

Si la figura mostra el desenvolupament dun cub, en construir-lo, quina lletra s loposada a la s?

La lletra oposada s la b.

14.A8

14.A7

287

c

u b

i c

s

116248_U14_VAL 7/8/08 10:05 Pgina 287