Áreas y volumenes de cuerpos geométricos

Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17*Esta programación y la concreción curricular de tu Comunidad Autónoma podrás encontrarlas enel CD Programación y en www.smconectados.com.

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1

2 ES

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G U Í A D I DÁ C T I C A UNIDAD 13

Áreas y volúmenesde cuerpos geométricos

CO N T E N I D O

2

Al cálculo de las áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos le han dedicado su estudio grandes científicos:

– Una demostración de que el volumen del cono es igual a un tercio del cilindro que lo contiene se le atribuye a Eudoxo(400 a. C).

– Euclides (330 a. C.), en sus Elementos, demostró que el volumen de una esfera es proporcional al cubo de su diáme-tro. Arquímedes (200 a. C.) demostró a su vez que esa constante de proporcionalidad estaba relacionada con pi.

– Cavalieri (1635), con su teoría de lo indivisible, encontró simple y rápidamente el área y el volumen de varias figurasgeométricas entre las que se hallaba la esfera.

Todo va envasado y envuelto, y la fabricación de los envases y envoltorios requiere del cálculo de su capacidad, volumeny superficie. También en el mundo de la tecnología y de la arquitectura es casi imposible entrar en algún ámbito de lavida actual que no requiera estos conceptos. Es importante que los alumnos sean conscientes de ello.

Se deben repasar las unidades de volumen y capacidad y cómo están relacionadas. Se centrará la atención en la deduc-ción de fórmulas de la superficie y el volumen de algunos cuerpos geométricos siempre que se encuentren en su nivelde conocimiento, a través del desarrollo de las mismas. Este trabajo, con el apoyo del gráfico, no se debe descuidar, yaque ayuda a los alumnos a adquirir nivel de abstracción y a realizar un trabajo comprensivo y racional, no solo memo-rístico y rutinario. De este último se debe huir siempre que se pueda en matemáticas, salvo para la adquisición de auto-matismos.

Se pueden llevar a clase envases diferentes para observar el concepto que tienen de capacidad. Los problemas que serealicen tendrán datos reales para que esto les ayude a adquirir una percepción real y concreta del concepto de unidadde superficie y de volumen.

• Área del prisma• Área del ortoedro• Área de la pirámide. Pirámide regular y tronco de pirá-

mide• Área del cilindro• Área del cono. Área del tronco de cono• Área de la superficie esférica• Cálculo de áreas de cuerpos geométricos compuestos• Volumen de los cuerpos• Unidades de volumen• Relación entre las unidades de capacidad y de volumen

• Volumen del prisma

• Volumen de la pirámide

• Volumen del tronco de pirámide

• Volumen del cilindro

• Volumen del cono

• Volumen del tronco de cono

• Relación entre el volumen de un cono y la semiesfera cir-cunscrita a él

• Volumen de la esfera

• Cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos com-puestos

Unidad 13 Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

CONTENIDOS

Programación de aula

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricosUnidad 13

OBJETIVOSCRITERIOS

DE EVALUACIÓNCOMPETENCIAS

BÁSICAS

1. Conocer, comprender y aplicar lasfórmulas para el cálculo de super-ficies de cuerpos geométricos, yresolver problemas que impliqueneste cálculo.

1.1 Cálculo de áreas en poliedros.

• Lingüística• Matemática• Cultural y artística• Tratamiento de la

información y competenciadigital

• Aprender a aprender

1.2 Cálculo de áreas en superficies de cuer-pos redondos.

2. Comprender y conocer el con-cepto de medida de volumen ycapacidad, utilizar las fórmulaspara el cálculo de estas en cuer-pos geométricos, así como resol-ver problemas de aplicación delas mismas.

2.1 Cálculo de volúmenes y capacidad enfiguras poliédricas.

2.2 Cálculo de volúmenes y capacidad decuerpos redondos.

3


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

1. Conocimientos previosPara calcular las áreas de los diferentes cuerpos geométricos es preciso que los alumnos identifiquen sin problemacada cuerpo con su desarrollo plano.

Los alumnos deben identificar los triángulos semejantes que se generan en el cálculo del área y del volumen de tron-cos de pirámides y conos, y aplicar el teorema de Tales al cálculo de los elementos en dichas figuras.

2. Previsión de dificultadesAunque los alumnos ya conozcan de cursos anteriores los cambios de unidades de longitud, superficie y volumen, lescuesta identificar la relación entre volumen y capacidad.

Por otro lado, como en la unidad se indica una gran cantidad de fórmulas, conviene, en la medida que sea posible, ense-ñar a los alumnos cómo se deducen, para evitar aprendizajes memorísticos.

3. Vinculación con otras áreasLa presencia de cuerpos geométricos en el mundo que nos rodea y la relación entre el contenido y el continente de mul-titud de objetos hacen que los contenidos de esta unidad estén relacionados con multitud de áreas.

4. Esquema general de la unidadEste tema se comienza con el cálculo de áreas de cuerpos geométricos. Se apoya en el anterior, donde han hechodesarrollos de los cuerpos. Es fundamental que en un principio los hagan para el calculo de áreas, y así comprendan dedónde provienen las fórmulas que van a usar. Siempre que se pueda, se deben justificar o deducir de un modo razo nado.Los alumnos suelen entender estas deducciones, que son muy formativas; es casi más importante que las deduzcan quese las aprendan de memoria, pues de este modo siempre estarán en condiciones de resolver un problema. No deben olvi-dar nunca el uso de las unidades de medida, y han de recordar que están trabajando con números concretos, no abs-tractos.

El cálculo de volúmenes tendrá un tratamiento similar, se empe-zará por ortoedros donde puedan observar fácilmente el núme-ro de unidades cúbicas que tienen de capacidad, y se pasará ala justificación de las demás fórmulas siempre que la mismaesté dentro de su nivel. Es importante que se trabajen las equi-valencias entre unidades de volumen y de capacidad.

En los resultados de sus cálculos deben ser críticos y dejar-los con las aproximaciones y redondeos adecuados.

Se debe trabajar con ejercicios en los que los datos, prefe-rentemente, sean de la vida real y con medidas también rea-les. Hay infinitos ejemplos de la vida misma donde buscarpara calcular volúmenes y superficies, y de este modo, si esun objeto conocido cuando el alumno lo cuantifique, conse-guiremos que este tenga un concepto claro de las dimensio-nes del espacio y del volumen.

5. TemporalizaciónSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en 10 sesiones:

1.ª Introducción. Desarrolla tus competencias. Área de prismas

2.ª Área de pirámide y tronco de pirámide

3.ª Área de cilindro. Área de cono y tronco de cono

4.ª Área de superficie esférica

5.ª Volumen de cuerpos. Unidades de volumen. Relación con las unidades de capacidad. Volumen de prismas

6.ª Volumen de pirámides y troncos de pirámides

7.ª Volumen de conos y troncos de cono. Volumen de esfera

8.ª y 9.ª Actividades de repaso y consolidación

10.ª Pon a prueba tus competencias

En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de losque se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades.

Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesa-rias para desarrollar la unidad.

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos Unidad 13

Poliedros

Prismas Cilindro

Cono

Esfera

Ortoedro

Pirámides

Cuerpos redondos

ÁREAS Y VOLÚMENES

4

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS

Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovecha-miento de la misma. En particular, las actividades que proponen un debate y exposición ante los compañeros de las sec-ciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias” desarrollan de forma más específica los des-criptores recogidos en las subcompetencias comunicación oral.

Competencia matemáticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas lassubcompetencias y descriptores.

En esta unidad se trabaja a fondo la subcompetencia razonamiento y argumentación, debido a que hay numerosas acti-vidades dedicadas a problemas lúdicos en los que es preciso aplicar diferentes procedimientos para solucionarlos.

Competencia para la interacción con el mundo físicoEn esta unidad se trabaja el descriptor tomar decisiones sobre el mundo físico y sobre los cambios que la actividad huma-na produce en el medioambiente y la calidad de vida de las personas de la subcompetencia medio natural y sostenible.

Cultural y artísticaEsta competencia, al igual que en todas las de geometría, se trabaja especialmente en la unidad. Se desarrolla la sub-competencia sensibilidad artística. Conocimiento y aprecio del hecho cultural en general y del artístico en particular,con la apreciación de la presencia de las matemáticas en diferentes manifestaciones artísticas, y la subcompetenciaexpresión artística. Expresión y comunicación personal y colectiva mediante códigos artísticos, con la elaboración detrabajos artísticos.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digitalA lo largo de la unidad aparecen en “Librosvivos” y “En la red” varias referencias para realizar actividades interactivasy buscar información con el fin de desarrollar y ampliar los contenidos de la unidad, desarrollando la subcompetenciade obtención, transformación y comunicación de la información.

Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de la sección “Autoevaluación” planteadas en las páginas finales de la unidad se puede inda-gar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia ycontrol de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

La sección calcula con ingenio de “Pon a prueba tus competencias” permite potenciar la adquisición de la subcompe-tencia construcción del conocimiento.

Otras competencias de carácter transversal

Aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico delalumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y crítico.

En esta unidad se propone un tema de debate en internet en la actividad de Aprende a pensar sobre Ortoedros de lecheen la que, además de la competencia para la interacción con el mundo físico, citada explícitamente en la tabla de lapágina siguiente, se trabajan las competencias y subcompetencias:

• Lingüística: Comunicación escrita

• Tratamiento de la información y competencia digital: Uso de las herramientas tecnológicas y uso ético y responsablede la información y las herramientas tecnológicas.

• Aprender a aprender: Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento.

• Autonomía e iniciativa personal: Desarrollo de la autonomía personal

En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate enrelación con las actividades señaladas.



5

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidadsugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores com-petenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.



COMPETENCIA1.er nivel de concreción

SUBCOMPETENCIA2.º nivel de concreción

DESCRIPTOR3.er nivel de concreción

DESEMPEÑO4.º nivel de concreción

Lingüística

Comunicación oral

Expresar oralmente pensamientos,emociones, vivencias y opiniones de formacoherente y adecuada en diferentes contextos.

– Participa en debates en clase.

Desarrolla tus competencias, III

Argumentar con espíritu crítico yconstructivo, así como saber aceptar lascríticas de los demás.

– Justifica a sus compañeros cuál es el envaseque menos contamina.

Pon a prueba tus competencias:Aprende a pensar, 3

Comunicación escrita

Leer, buscar, recopilar, procesar y sintetizarla información contenida en un texto paracontribuir al desarrollo del pensamientocrítico.

– Crea un informe sobre la civilización etrusca.

Pon a prueba tus competencias:Investiga y crea, 1

Matemática

Razonamiento yargumentación

Poner en práctica procesos de razonamientoque llevan a la solución de los problemas oa la obtención de la información.

– Construye cuadrados mágicos.


Seguir determinados procesos depensamiento, como la inducción y ladeducción, selección por descarte, entreotros.

– Entiende el algoritmo de la resolución del cubode Rubik.

Pon a prueba tus competencias:Calcula con ingenio, 2

Resolución deproblemas. Relacionar yaplicar el conocimientomatemático a la realidad

Seleccionar las técnicas adecuadas paracalcular resultados, y representar einterpretar la realidad a partir de lainformación disponible.

– Analiza los envases que usa a diario.


Interacción con el medio físico

Medio natural ydesarrollo sostenible

Tomar decisiones sobre el mundo físico ysobre los cambios que la actividad humanaproduce en el medioambiente y la calidadde vida de las personas.

– Comprende la utilidad de los cortafuegos.

Actividad 82– Analiza qué material contamina menos.


Cultural y artística

Sensibilidad artística.Conocimiento y apreciodel hecho cultural engeneral y del artísticoen particular

Comprender y valorar críticamentediferentes manifestaciones culturales yartísticas.

– Conoce la obra de Escher.


Adquirir sensibilidad y sentido estético paracomprender, apreciar, emocionarse ydisfrutar con el arte y otrasmanifestaciones culturales.

– Aprecia la presencia de las matemáticas en elarte y otras culturas.

Pon a prueba tus competencias:Investiga y crea, 1, 4 y 5

Expresión artística.Expresión ycomunicación personal ycolectiva mediantecódigos artísticos

Poner en funcionamiento la iniciativa, laimaginación y la creatividad para expresarde forma personal ideas, experiencias osentimientos mediante códigos artísticos.

– Crea una obra de arte con cuerposgeométricos.


Tratamiento de la información y competencia digital

Obtención,transformación ycomunicación de lainformación

Buscar y seleccionar información condistintas técnicas según la fuente o elsoporte, valorando su fiabilidad.

– Visita la página librosvivos.net.Actividades 27 y 34

– Utiliza internet para realizar actividades ybuscar información.

En la redPon a prueba tus competencias:Investiga y crea, 3

Aprender a aprender

Construcción delconocimiento

Valorar la diversidad de respuestasposibles ante un mismo problema yencontrar diferentes estrategias ymetodologías para solventarlo.

– Busca diferentes vías para resolver unproblema.

Pon a prueba tus competencias:Calcula con ingenio, 2

6

EDUCACIÓN EN VALORESTanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en latabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores:

• Educación para la comunicación: Desarrolla tus competencias, actividad II.

• Educación medioambiental: actividad 82 y Deme un ortoedro de leche.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDADHay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto están clasificados por un código de colo-res según su dificultad: verde, nivel básico; naranja, nivel medio, y rojo, de alguna dificultad.

De esta forma, el profesor podrá adaptar el contenido de la unidad bien a las características particulares de la clase, biena las específicas de cada grupo de alumnos dentro de la misma.

Además, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno:

• Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido.

• Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cadaunidad del libro.

• Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asi-milación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados.

• Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve paraevaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situa-ciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS



SM

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso

• Cuaderno de refuerzo de Matemáticas: “Aprende y aprueba”. 2.º de ESO

– Unidad 8. Cuerpos geométricos

• Cuadernos de Matemáticas. 2.º de ESO: N.º 6: Geometría y medida en el espacio

• Cuadernos de resolución de problemas I y II

Otros • DEL OLMO, M. A.; MORENO, M. F., Y GIL, F.: Superficie y volumen. ¿Algo más que el trabajo confórmulas? Síntesis, Madrid, 1993.

SMwww.smconectados.com

www.librosvivos.net

Otros

Unidad didáctica del programa Descartes sobre volúmenes:

www.e-sm.net/2esomatprd26

Unidades de áreas y volúmenes de cuerpos geométricos del libro digital del CIDEAD:



• Vídeo Área y volumen, de la serie Ojo Matemático, producida por Yorkshire TV y distribuida en España porMetrovideo España.

• Cuerpos geométricos que puedan rellenarse para comprobar las equivalencias entre los volúmenes.

• Decímetro cúbico desmontable, botellas, envases de cartón, recipientes varios.

Otr

os

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Inte

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liogr

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os

7

Sugerencias didácticas

1. Área del prisma

2. Área de la pirámide y del tronco depirámide

• Además de la relación entre la apotema y la altura de lapirámide y la apotema de la base, conviene mostrarles conun dibujo la relación entre la arista lateral, la altura de lapirámide y el radio de la base.

• En el tronco de pirámide recta deben observar en su des-arrollo que tiene como caras laterales trapecios isósce-les, y para calcular su área total solo tienen que sumarlas áreas de todos ellos.

• En principio no es necesario que se aprendan las fór-mulas si realizan una representación esquemática deldesarrollo de los prismas donde se detallen las longitu-des de sus aristas. Es una buena práctica para la com-prensión de las fórmulas del área de las bases y su árealateral. Con el uso continuado de esta estrategia termi-nan por aprender la fórmula, y si no, siempre podrándeducirla.

• La técnica del desarrollo incrementa su capacidad depercepción espacial.

• En el cálculo de áreas de ortoedros se pueden dar datossobre las aristas a través de sus diagonales, tanto de lascaras como de las del poliedro, y aplicar el teorema dePitágoras para calcularlas.

3. Área del cilindro• Para calcular el área del cilindro utilizaremos la simili-

tud entre el cálculo de la de este con la del prisma, yaque podemos considerar el cilindro como un prisma don-de el número de aristas de la base es infinito. En estecaso, el perímetro de la base es la longitud de una cir-cunferencia de radio el radio del cilindro.

4. Área del cono y del tronco de cono• El desarrollo del cono es básico para la comprensión del área

lateral, donde se puede comparar el sector circular con untriángulo cuya base es el perímetro del círculo de la base(longitud de la circunferencia), y su altura, la generatriz.

• El compararla con el área lateral de una pirámide tam-bién es interesante, pues se puede considerar como unapirámide cuyo número de aristas de la base tiende a infi-nito.

• Es interesante hacer la deducción de la fórmula del árealateral a través del área de un sector circular, sabien-do que el ángulo que le corresponde a ese sector es

, siendo r el radio de la base, y g, la generatriz,

pues con una simple proporcionalidad se obtie-

ne, y el área de un sector circular (de radio g en este caso)la conocen. Este tipo de demostraciones son sencillas ya algunos alumnos buenos les resultan interesantes yformativas, y nunca debemos descuidarlos.

• En el caso del área lateral del tronco de cono, si no sequiere utilizar la fórmula, siempre se puede llegar a cal-cular como la diferencia entre las áreas de dos conos, yen este caso aplicarán el teorema de Tales para deducirlos datos que les falten.

2360

2π πα

g r=

α= ⋅360rg

Desarrolla tus competenciasLa fotografía de entrada nos permite disfrutar de una delas maravillas del mundo antiguo. Podemos aprovecharlopara pedir a los alumnos que busquen cuáles eran las seisrestantes maravillas y que las sitúen sobre un mapamun-di actual.

Por otro lado, la existencia de pirámides en el antiguo Egip-to nos permite apreciar el gran desarrollo matemático quetenían los matemáticos egipcios. De hecho, en el papiro deRhind podemos encontrar problemas para calcular “incli-naciones” y alturas de pirámides.

I. Esta actividad nos va ayudar a que los alumnos com-prueben que el hallar áreas de cuerpos geométricos sereduce a calcular el área de los polígonos que forman suscaras.

II. Los alumnos que hayan seguido con atención el des-arrollo de la unidad anterior podrán dar ya un ejemplo:templo de Kukulcán, en México.

III.El debate que se desarrolle en esta pregunta tendrá dosposturas totalmente opuestas, ya que si preguntamos alos alumnos, muchos de ellos tendrán amuletos.

• Debe quedar claro el concepto de apotema de la pirámi-de. A veces la confunden con la apotema de la base. Poreso es importante, al igual que en el epígrafe anterior,el desarrollo de la pirámide, y observar que en la pirámiderecta, sus caras laterales son triángulos isósceles, lo quefacilitará la comprensión del cálculo de las áreas sinnecesidad de utilizar las fórmulas, simplemente obser-vando que al multiplicar el número de caras por el áreade los triángulos se obtiene el perímetro por la apotemapartido por dos, y obtendrán así el área lateral.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Básico 46d y 73

Medio 5, 6, 49b y 53


Básico 8, 46b, 47 y 74

Medio 9 y 49c



Básico 1 a 3, 45, 46a, 46e y 46f

Medio 4, 49a y 50 a 52

Alto 88 a 90


Básico 48

Medio 10 y 49 d

Alto 11 y 54

8



6. Volumen de los cuerpos. Unidadesde volumen

• Trabajar con la idea de un cubo para las unidades devolumen es muy útil y les hace ver fácilmente el signi-ficado de la relación que existe entre una unidad cúbi-ca y su inmediata superior, observar que con 1000 cubosde 1 cm3 obtenemos un cubo de volumen 1 dm3 y así suce-sivamente.

• El uso de policubos de madera o plástico es muy útil paraobservar el volumen de algunas figuras.

• Es interesante que realicen ejercicios de repaso de rela-ciones entre las unidades de volumen, así como que inten-ten medir el volumen de diversos cuerpos utilizando elprincipio de Arquímedes.

9. Volumen de la pirámide y del troncode pirámide

• Para la fórmula del volumen de una pirámide cuadran-gular, la situación ideal sería conseguir dos figuras deplástico, un cubo y una pirámide cuadrangular, de talmanera que tengan la misma base y la altura del cubo seael doble que la de la pirámide, que se puedan llenar deagua, y comprobar cómo el cubo se llena con seis pirá-mides de agua.

• Este resultado puede generalizarse considerando un pris-ma y una pirámide de tal manera que tengan la misma basey la altura de la pirámide sea la mitad de la del prisma.

• Para calcular el volumen de un tronco de pirámide serápreciso que nos detengamos para que los alumnos recuer-den cómo aplicar el teorema de Tales para calcular los ele-mentos necesarios.


Básico 13 y 46c

Medio 14 a 16


Básico 18

Medio 19


Básico 29, 30, 60, 61a, 61d y 62

Medio 31, 32, 66, 67, 76, 77, 80, 82 y 83

Alto 33, 72a, 86 y 87


Básico 36, 61c, 61f y 64

Medio 37 y 68b

Alto 70b, 71a y 93

5. Área de la superficie esférica• La demostración de la fórmula del área de una esfera no

está al nivel de estos alumnos, pero se les puede hacerver que es la misma que el área lateral del cilindro cir-cunscrito a ella y se pueden trabajar algunas relacionesinteresantes entre las porciones del área lateral del cilin-dro y las del casquete esférico y la zona esférica, indi-cando que coinciden.


Básico 21 a 25 y 55 a 57

Medio 26, 58, 59, 79, 81 y 84

7. Volumen y capacidad• A veces, a los alumnos les resulta muy curioso observar

la capacidad de algunos recipientes. Si se tiene un decí-metro cúbico y se trae una botella de litro de agua, lesparece imposible que esta quepa en el decímetro cúbico.La forma de los objetos a veces nos engaña a la vista consu posible capacidad.

• Para hacerse a la idea de la capacidad, se les puede suge-rir que midan habitaciones en su casa o la clase y calcu-len su capacidad.

• Deben trabajar ejercicios de relaciones entre las unida-des de volumen y de capacidad.

• Comparar recipientes de distintas formas con la mismacapacidad es útil para la comprensión del concepto decapacidad.

10. Volumen del cilindro y del cono• El relacionar los volúmenes de los cilindros y los conos

con los de los prismas y pirámides es didáctico y ya se hahecho con las áreas.

• En el caso de los troncos de conos se puede trabajar conel cálculo de la diferencia entre el volumen del cono debase mayor y el del cono de base menor, y se hará uso delteorema de Tales para calcular la altura de la figura demáxima altura.


Básico 39, 61e, 65 y 75

Medio 40, 68a y 69

Alto 70a, 71b, 72b, 85 y 92

8. Volumen del prisma• Se puede empezar viendo cómo paralelepípedos de

dimensiones a × b × c se pueden descomponer ena ⋅ b ⋅ c cubos de 1 cm3. Esto suele ser muy didáctico parala comprensión de la fórmula del volumen de un prisma.

• Se les puede hacer ver cómo al empujar un montón defolios por sus laterales, deformándolos, evidentemente novariamos su volumen; lo mismo se puede hacer con unmontón de monedas, y se les puede enunciar el principiode Cavalieri.

9



En la página 16 presentamos una matriz de evaluación que el profesor puede utilizar para evaluar el grado de consecución de las competencias básicas trabajadas a lo largo de esta unidad. Además, en www.smconectados.com puede descargar una aplicación informática que le facilitará esta tarea.

Pon a prueba tus competenciasINVESTIGA Y CREA. EL ARTE DE LOS POLIEDROS

A lo largo de toda la actividad se puede apreciar la pre-sencia de los poliedros en diferentes manifestaciones artís-ticas en diferentes épocas

La pregunta 1 permite que los alumnos investiguen sobrela civilización etrusca. Podemos pedirles que en su resu-men, una vez situada en el tiempo y el espacio, se centrenen los logros matemáticos que obtuvieron.

Para la pregunta 3 podemos elaborar un listado con lasaportaciones de cada uno de los alumnos. Sería intere-sante que las referencias artísticas que indicasen los alum-nos fueran acompañadas de una fotografía.

Para la realización de la pregunta 4 podemos imprimir ellistado de actividades que aparece en la dirección, dividir laclase en grupos y asignar a cada grupo un par de ellas.

En la pregunta 5 vuelve a aparecer Escher; no es ni la pri-mera vez ni la última que disfrutaremos de su obra. Al con-templar el cuadro, los alumnos apreciarán un tipo de polie-dro que no hemos visto a lo largo de la unidad, los poliedrosestrellados. Podemos pedirles que busquen informaciónsobre ellos.

Una vez que los alumnos hayan realizado su trabajo artís-tico podemos hacer un mural con todos ellos y exponerloen el aula.

CALCULA CON INGENIO. JUEGOS MATEMÁTICOSEn esta actividad volvemos a encontrarnos con el aspectolúdico de las matemáticas, con tres referencias a proble-mas geométricos.

Para la primera pregunta sería interesante llevar al auladiferentes dados de Rubik de distintas dimensiones y repar-tirlos a los alumnos para que traten de resolverlos. Al cabodel tiempo, si no los han podido resolver, pueden dirigirsea las diferentes direcciones indicadas en la pregunta.

Para construir el tetraedro les daremos la pista de que espreciso juntar las dos piezas por una cara que tenga la mis-ma forma, para que no quede ninguna superpuesta.

Para esta actividad dividiremos la clase en 7 grupos y cadagrupo construirá 7 unidades de una de las piezas. Una vezque estén construidas, iremos juntando las piezas del puz-le para formar un total de 7 y entregaremos uno a cadagrupo.

APRENDE A PENSAR.DEME UN ORTOEDRO DE LECHE

Las actividades 1 y 2 van encaminadas a que los alumnosreflexionen sobre el porqué de las formas de los diferentesenvases que nos rodean.

En la pregunta 3 se propone un tema de debate en el blogsobre los beneficios y desventajas de los diferentes proce-sos de reciclaje. Con la realización de dicho debate, ademásde trabajar la competencia de interacción con el mundofísico, trabajamos:

– La competencia lingüística, en concreto la subcompe-tencia escrita.

– La competencia social y ciudadana.

– La subcompetencia de desarrollo de la autonomía per-sonal.


Básico 42, 43, 61b y 63

Medio 44 y 78

Alto 91

Organiza tus ideas• El resumen se divide en dos partes: áreas y volúmenes,

y unidades de volumen y su relación con las de capacidad.Los alumnos podrían elaborar un esquema nuevo aña-diendo los desarrollos planos de cada uno de los cuerposque aparecen.

• Como una actividad que sirva para que trabajen el esque-ma-resumen, los alumnos pueden asignar las activida-des realizadas en la unidad a los distintos contenidos pre-sentados en el resumen.

Actividades de ampliaciónCon estas actividades desarrollamos las competencias deaprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal.Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, deci-diendo cuáles son los más apropiados para resolver cadauna de las actividades.

Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias pararesolverlos, dado que no son problemas guiados ni se ajus-tan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo quepuede resultarles muy estimulante, aunque al comienzoles asuste un poco.

11. Volumen de la esfera• La obtención de la fórmula del volumen de la esfera no

es posible para estos alumnos. Solo se puede recurrir aestablecer relaciones entre los volúmenes de esferas ysemiesferas con el volumen de conos cuya altura y radiosean igual al radio de la esfera. A ellos les resultan inte-resantes y van relacionando la fórmula con la del cono yla retienen mejor.

10

Actividades de refuerzo

Unidad 13 Áreas y volúmenes de cuerpos geométricosORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Los objetivos principales que los alumnos deberían alcanzar son:

• Obtener el área lateral y total de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas.

• Distinguir los conceptos de capacidad y de volumen.

• Recordar las fórmulas básicas de volúmenes de cuerpos geométricos sencillos.

El trabajo de áreas y volúmenes con estos alumnos debe comenzar siempre con papel cuadriculado, para que asignenla unidad de superficie a un cuadrado, y trabajen primero con paralelogramos en los que puedan ir contando las uni-dades cuadradas que contiene la figura, luego pasen al desarrollo de paralelepípedos donde ellos puedan controlar susdimensiones y observar al construir la figura cuántas unidades cúbicas contienen, para de ahí pasar a las fórmulas ydesarrollos del resto de las figuras.

1. AL = 2 · 18 · 4 + 2 · 6 · 4 = 192 cm2

2.

3.

4.

5. AL = 47,1 cm2

AT = 75,36 cm2

6. 1017,36 cm2

7. 200 cm3

8. 200 cm3

9. Si tomamos π = 3,14, tienen el mismo volumen.

10. a) Área de la esfera:

b) R2 = R1 – 0,5 = 11,9 cm

Volumen de aire:

V = ⋅ ⋅ =43

119 7058 83 3π , , cm

A= ⋅ ⋅ =4 12 4 1932 22 2π , , cm

VP =⋅ ⋅

=8 8 62 80

31339 73 3,

, cm

VC =⋅ ⋅

=314 8 20

31339 73

23,

, cm

40 103 2 103 5 672 3cm cm= ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ =π π, , ,h h

ALateral dm= ⋅⋅

=528 6 16

21144 2,

aP = + =26 40 11 28 62 2, , dm

AT =52311 2, cm

ALateral cm= ⋅ + ⋅ ⋅ + =15 8 2 15 10 4 443112 2 2,

ABases cm= ⋅⋅

=28 10

280 2

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Mide tu entorno

La actividad consiste en hallar, por grupos, las áreas de los objetos de su entorno con una peculiaridad: deben hacerlosin regla (o casi).

Se trata de medir a palmos, pasos o pies, de manera que al principio de la actividad o previamente en casa, cada alum-no debe medirse su palmo, su paso y su pie, o cualquier otra medida corporal que se le ocurra y sea útil (no vale, porejemplo, medirse el perímetro craneal). A partir de esas medidas, y ya sin ningún tipo de regla o metro, deben averiguarcuál es la superficie de las paredes y del suelo de la clase, o de su mesa, o del pasillo del centro, o de un balón, reali-zando, claro está, los cálculos necesarios. El objeto debe ser medido por cada miembro del grupo para, posteriormen-te, comprobar si coinciden unas medidas con otras. Al final de la actividad se pueden repetir las medidas y los cálculospara ver qué grupo se ha acercado más a la medida real.

Es una actividad muy dinámica y entretenida, y en función del grupo, puede limitarse a medir objetos del aula o inclusoa medir aquellos otros que estén fuera del centro.

ACTIVIDAD DE GRUPO

Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.


11

1. ¿Cuál es el área lateral de la figura?

2. ¿Cuál es el área total de un prisma de 15 centímetros de altura cuya base es un triangulo isósceles de8 centímetros de base y 10 centímetros de altura?

3. ¿Cuál es el área lateral de una pirámide regular de base pentagonal de 16 decímetros de lado, con26,40 decímetros de altura y cuya apotema de la base mide 11 decímetros?

4. ¿Cuál es la altura de un cilindro de 40 cm2 de área total y 1,03 cm de radio?

5. Calcula el área lateral y total de la figura:

6. ¿Qué superficie tiene una peladura de una manzana esférica de 9 centímetros de radio?

7. ¿Cuál es el volumen de un prisma de 8 centímetros de altura y de base cuadrada de 5 centímetros delado?

8. ¿Cuál es el volumen de un cilindro de 8 centímetros de altura cuya base tiene un área de 25 centíme-tros cuadrados?

9. ¿Qué figura tiene más volumen, un cono de 20 centímetros de altura y cuya base mide 8 centímetros deradio, o una pirámide de base cuadrada de 8 centímetros de lado y 62,80 centímetros de altura?

10. Tenemos un balón de baloncesto hinchado al máximo en casa y, después de medir su contorno o perí-metro con una cinta métrica, observamos que mide 78 cm.

a) Calcula aproximadamente los cm2 de material necesario para la cubierta.

b) Calcula los cm3 de aire necesario para hincharlo, teniendo en cuenta que la cubierta y la cámara ocu-pan 0,5 cm. (Llamaremos R1 al radio de la esfera completa, y R2 al radio de la esfera sin cubierta nicámara).

5 cm 4 cm

3 cm

18 cm

4 cm

6 cm


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iab

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ACTIVIDADES de REFUERZO


12

Actividades de ampliación

Unidad 13 Áreas y volúmenes de cuerpos geométricosORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Estos alumnos profundizarán en el conocimiento de las fórmulas de áreas y volúmenes. No solo tienen que usarlas,sino que, dentro de sus posibilidades y nivel, se debe intentar que las deduzcan por el conocimiento preciso de los ele-mentos y sus propiedades en las figuras cuyas áreas y volúmenes tengan que calcular.

Se les pedirá realizar ejercicios de planteamiento en los que relacionen conocimientos y a través de los cuales puedandescubrir el porqué de algunas fórmulas.

1. a) La arena ocupa la mitad del reloj:

VA = 67 + 33,5 = 100,5 cm3

b) Tardará en pasar:

2. a) Volumen de mortero: VM = V1 − V2

VM = 320 − (10 − 0,5)(8 − 0,5)(4 − 0,25) = 52,81 m3

b) Cemento: 15 843 kg. Arena: 56 330,67 kg

c) Agua, igual que cemento:

8,8017 m3 = 8801,7 L

3. V1 = 318,3 cm3. V2 = 159,15 cm3

Sus capacidades son distintas.

4. El volumen extraído es el del tronco de cono de radios9 y 6 m y altura 4 m:

.

5.

La figura pesará:

6. 1385,15 m2 de vidrio

7. a) Coste total de las baldosas: 11 553,81 €

b) Coste del agua: 616 €

8.

VC = ⋅ ⋅ ⋅ =13

4 8 4643

3cm

VB = ⋅ ⋅ ⋅ =13

8 4 4643

3cm

VA = ⋅ ⋅ ⋅ =13

4 4 8643

3cm

1261

54 68 043

3,,

gcm

cm g⋅ =

45 cm cm3 242

22

25 3= ⋅

⋅+ ⋅

⋅= ⇒ =

x x x xx x

VE =⋅ ⋅

−⋅ ⋅

=π π9 12

36 83

716 282 2

3, m

10 335

100 5 300 53

3scm

cm s min,

,⋅ = =

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Objetos reales

Se proporcionarán a estos alumnos distintos objetos y se les pedirá que hallen sus respectivos volúmenes. Este simplehecho supone en algunos casos un problema nuevo y de difícil solución, ya que, por lo general, los alumnos están acos-tumbrados a trabajar con enunciados de problemas o dibujos de cuerpos geométricos, pero no con los objetos de la rea-lidad.

Por ejemplo, calcular el volumen de un balón cuyo radio es de 15 centímetros no supone ninguna dificultad para este tipode alumnado, pero darles el balón y una regla y preguntarles su volumen puede resultar un pequeño quebradero decabeza a la hora de obtener el radio con precisión. Lo mismo puede ocurrir con otros objetos, como conos y pirámides,y con la obtención de la altura de los mismos, ya que lo inmediato no es hallar la altura, sino la apotema.

ACTIVIDAD DE GRUPO

Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.


13

1. Un reloj de arena de 16 cm de altura está formado por 2 conos y dos semiesferas de 8cm de diámetro de la base.

a) Calcula el volumen que ocupa la arena.

b) Si sabes que al darle la vuelta cae la arena a razón de 0,335 cm3 por segundo, calcu-la el tiempo que tarda en pasar de un recipiente a otro.

2. Se desea construir un depósito como el de la figura de 10 m de largo, 8 m de anchoy 4 m de alto, con un grosor de las paredes de 25 cm, y estas se van a hacer demortero, que lleva en volumen las siguientes proporciones: 4 partes de arenafina de densidad 1,6 g/mL, 1 parte de cemento de densidad 1,8 g/mL y 1 partede agua de densidad 1 g/mL. ¿Podrías contestar a las siguientes preguntas?

a) ¿Qué volumen de mortero se necesita para construirlo?b) ¿Cuántos kg de cemento y de arena se necesitan?c) ¿Cuántos litros de agua?

3. Con una plancha rectangular de 10 por 20 cm se pueden construir dos cilindros según se unan por losbordes mayores o menores. ¿Tendrían los dos cilindros la misma capacidad?

4. ¿Qué volumen de agua hay que extraer de un depósito lleno que tiene forma de cono invertido cuyo radiode la base es de 9 m y su altura es de 12 m, para que la altura del agua descienda 4 metros?

5. Hemos creado una figura decorativa que tiene forma de prisma recto de base cuadraday es el doble de alto que de ancho, hemos dibujado la mitad de cada una de sus caras tra-zando una diagonal en cada una de ellas, obteniendo una superficie total de 45 cm2. Elmaterial usado es ébano. Si su densidad es de 1,26 g/mL, ¿podrías decirnos cuánto pesa-rá cada figura?

6. Una gran cúpula semiesférica de 20 m de radio cubre un invernadero hecho de cris-tal que tiene forma de pirámide recta de base cuadrada que queda inscrita en lasemiesfera. Calcula la cantidad de vidrio necesaria para su construcción.

7. Se desea construir una piscina de 25 m de largo por 15 m de ancho. Su corte vertical(está en el dibujo) en el sitio menos profundo cubre 1 m, y en el más profundo, 4 m.

a) Si se desea enlosar la parte interior con unas baldosas que cuestan a 20 € el metrocuadrado, ¿cuánto nos costará el total de baldosas necesarias?

b) Si 1 m3 de agua nos lo cobran a 0,7141 €, ¿cuánto nos costaría llenarla hasta 20 cmdel borde?

8. Dado el ortoedro ABCDEFGH, de altura 8 cm y base cuadrada de 4 cm, realiza la divisióndel mismo en las tres pirámides cuadrangulares AEFGH, ABFGC y ACDHG. Ayúdate de undibujo esquemático.

Calcula sus volúmenes y comprueba que el de cada una es igual a la tercera parte del volu-men del ortoedro.


ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN

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16 cm

8 cm

4 m

10 m 8 m

25 cm

25 m

1 m

4 m

A

B C

D

E

F G

H

14

APELLIDOS: NOMBRE:

FECHA: CURSO: GRUPO:

1. Calcula los m2 de tela que se necesitan para construir una carpa de circo que tiene forma de prisma hexa-gonal de arista de la base de 16 m y cuyo techo es una pirámide de altura la tercera parte de su alturatotal, que es de 24 m.

2. Calcula el área total de una pirámide de base cuadrada de lado 6 cm si su altura es de 4 cm.

3. Calcula los botes de pintura que se necesitan como mínimo para pintar 100 pesas que tienen forma detronco de pirámide cuyas bases son cuadrados de 10 y 18 cm, y sus aristas laterales miden 5 cm, si concada bote de pintura pintamos 5 m2.

4. Calcula el área total de la figura.

5. Calcula el área total de un cono que se ha engendrado al girar un triángulo equilátero alrededor de sualtura, que mide 3 cm. Realiza previamente un dibujo esquemático de la figura girando, y del desarro-llo del cono.

6. ¿Cuál sería la capacidad en litros de un depósito de agua que tiene forma de cubo si su diagonal mide

m?

7. Queremos comprar un adorno de plata macizo que tiene forma de octaedro regular de 5 cm de arista.Hemos ido a una tienda que vende la plata al peso, cobran a 0,55 € el gramo, y sabemos que 10,5 gra-mos de plata ocupan un volumen de 1 cm3. ¿Cuánto nos costará el colgante?

8. Hemos ido de tiendas a comprar figuritas de alabastro y nos han encantado por su color dos que tienenuna forma cilíndrica y otra cónica, y miden 6 cm tanto el diámetro de la base como su altura. Nos lasvenden al peso y cuestan 1 € los 100 gramos. Si la densidad del alabastro es de 2,80 g/mL, ¿cuánto noscostarán las dos figuras?

9. Se desea construir unas bolas de madera de ébano, pero para que pesen menos se las quiere hacer hue-cas. Si su diámetro exterior es de 10 cm y tienen un grosor de 1 cm, calcula el volumen de maderaempleado. Calcula el peso de la bola si sabes que la densidad del ébano es de 1,26 g/cm3.

10. ¿Cuál de las dos figuras tiene mayor capacidad? Contesta razonadamente.

5 cm10 c

m

RR

R R

20 3

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foto

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iab

le


PROPUESTA de EVALUACIÓN


15

1. Área lateral del prisma hexagonal:

Área lateral del prisma de la pirámide hexagonal:

Se necesitan 2304 m2 de tela.

2. Atotal = 36 + 60 = 96 m2

3. Atotal = = 592 m2

592 · 100 = 59 200 cm2 = 5,92 m2

Necesitaremos 2 botes de pintura, con uno no llega.

4. Atotal = 125 π cm2

5. Primero se calcula la generatriz: cm

Alateral = cm2, Abase = cm2, Atotal = 9π cm2

6. a = 20 m ⇒ V = 8000 m3 ⇒ Capacidad: 8 000 000 L

7. V = 58,3 cm3. Cuesta 336,68 euros.

8. V = 55,55 cm3. Cuesta 6,33 euros.

9. Vmadera = 1135,16 cm3. Peso: 1,430 kg

10. V1 =

V2 = π · R3

Son iguales.

23

13

3 31

3⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅π π πR R V R;

π π π⋅ = ⋅⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

=rg2

2

23π π

ππ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

⋅=r g

gg

g2 2

62

gg

g2

2

2

23

9 43

12=⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

+ ⇒ =⋅

=

π ππ

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +⋅ ⋅

=5 2 5 54 5

22

2

A A AL B b+ + =⋅ + ⋅

⋅ + + = ⋅ + +4 18 4 10

23 18 10 56 5 324 1002 2

6 6 46 4 3

2

2 2

⋅ + ⋅⋅ +

=

AL = ⋅

⋅ ⋅⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

=6

1613

24

2768 2m

AL = ⋅ ⋅ ⋅⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟=6 16

23

24 1536 2m

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN

Propuesta de evaluación



Div

isibilid

ad

. Nú

mero

s entero

s U

nid

ad

116

COMPETENCIA YSUBCOMPETENCIA DESCRIPTOR DESEMPEÑO

LOCONSIGUE(4 puntos)

NOTOTALMENTE(3 puntos)

CON DIFICULTAD(2 puntos)

NO LO CONSIGUE (1 punto)

LingüísticaComunicación oral

Argumentar con espíritu crítico yconstructivo, así como saber aceptar lascríticas de los demás.

– Participa en debates en clase.Desarrolla tus competencias, II

– Justifica cuál es el envase que menos contamina.Aprende a pensar, 3

LingüísticaComunicación escrita

Leer, procesar y sintetizar la informacióncontenida en un texto para contribuir aldesarrollo del pensamiento crítico.

– Crea un informe sobre la civilización etrusca.Investiga y crea, 1

MatemáticaRazonamiento y argumentación

Usar procesos de razonamiento que llevana la solución de los problemas.

– Construye cuadrados mágicos.Investiga y crea, 4

Seguir procesos de pensamiento, como lainducción y la deducción entre otros.

– Entiende el algoritmo de la resolución del cubo de Rubik.Calcula con ingenio, 2

MatemáticaResolución de problemas.

Relacionar y aplicar el conocimientomatemático a la realidad

Seleccionar las técnicas adecuadas paracalcular resultados, y representar einterpretar la realidad a partir de lainformación disponible.

– Analiza los envases que usa a diario.Aprende a pensar, 1

Interacción con el medio físicoMedio natural y desarrollo

sostenible

Tomar decisiones sobre el mundo físico ysobre los cambios que la actividadhumana produce en el medioambiente y lacalidad de vida de las personas.

– Comprende la utilidad de los cortafuegos.Actividad 82

– Analiza qué material contamina menos.Aprende a pensar, 3

Cultural y artísticaSensibilidad artística.

Conocimiento y aprecio del hechocultural en general y del artístico en

particular

Adquirir sensibilidad y sentido estéticopara comprender, apreciar, emocionarse ydisfrutar con el arte y otrasmanifestaciones culturales.

– Aprecia la presencia de las matemáticas en el arte yotras culturas.Investiga y crea, 1, 4 y 5

Cultural y artísticaExpresión personal y colectivamediante códigos artísticos

Tener iniciativa, imaginación y creatividadpara expresar ideas, experiencias osentimientos mediante códigos artísticos.

– Crea una obra de arte con cuerpos geométricos.Investiga y crea, 6

Tratamiento de la información ycompetencia digital

Obtención, transformación ycomunicación de la información

Buscar y seleccionar información condistintas técnicas según la fuente o elsoporte, valorando su fiabilidad.

– Visita la página librosvivos.net.Actividades 27 y 34

– Realiza actividades y busca información en internet.En la redInvestiga y crea, 3

Aprender a aprenderConstrucción del conocimiento

Valorar la diversidad de respuestasposibles ante un problema y encontrardiferentes estrategias y metodologías parasolventarlo.

– Busca diferentes vías para resolver un problema.Calcula con ingenio, 2

Matriz d

e evaluación

de com

petencias

SOLUCIONARIO

2 ES

O

Áreas y volumenes de cuerpos geométricos

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