Matemática 3-WA: 2014 -4

ÁREAS

Si f es continua tal que f ( x, y ) 1 para todo 2( x, y ) R , entonces la integral

doble representa el área de la región plana R , es decir

Ejemplo 1. Calcular el área comprendida por la gráfica de las funciones ( ) 1y sen x e

( ) 1y cos x en el intervalo 5

,4 4

.

Solución. Como podemos observar en la gráfica, se trata de una región Y- simple.

Entonces para el cálculo del área emplearemos la integral relacionada a este tipo de región.

5 5

( ) 14 4( ) 1

cos( ) 1

cos( ) 1

4 4

5

54

4

4

4

( ) 1 2 1 2

2 ( ) ( ) 2 cos( ) ( ) 4 2

sen xsen x

xDx

Area D dA dy dx y dx

sen x cos x dx x sen x

Ejemplo 2. Calcular el área de la región D comprendida por la gráfica de las funciones

y x e 2(2 )y x y 0y .

R R

A( R ) f ( x, y )dA dA

Solución. A continuación representaremos gráficamente el área que queremos calcular.

Para ello, en primer lugar encontraremos los puntos de intersección de las funciones que

delimitan el dominio a integrar. Igualando las funciones se tiene

2 2(2 ) 5 4 0 1 4x x x x x x

Luego los puntos que delimitan el dominio son : 1 2 3(0,0) , (1,1) , (2,0)P P P

Por lo tanto el dominio D sobre el que tenemos que integrar es una región x-simple de la

siguiente forma:

( , ) 0 1 , 2D x y y y x y

2

1 2 1

0 0

13 2 2

1

0

0

1 1

5(2 ) 2 2 2

3 2 6

x yy

yx yD

y

y

Á dA dx dy x dy

y yy y dy y

rea D

Ejemplo 3. Encontrar el área de una flor de cos(2 )r .

Solución

4 cos2

0 0

42

0

44

00

2

[cos 2 ]

1 cos 4 1 s 4

2 2 4

1

2 4 8

Área de una flor r dr d

end

Ejemplo 4 Encontrar el área de la región R que se encuentra entre las curvas 2 sin3r

y 4 cos3r .

Solucion

4 cos (3 )

22 4 cos(3 ) 2

'

0 2 (3 ) 02 (3 )

22 2

0

2

0

1.2

1(4 cos 3 ) (2 3 )

2

1(12 8cos 3 cos 6 4 3

2

12

sensen

rA rea r dr d d

sen d

sen d

Ejemplo 5. Encontrar el área de la región R en el primer cuadrante acotado por las curvas

, 2 , 1 , 4x y x y xy xy .

Solución

Hacemos el cambio de variable u x y y v x y . Entonces la región por las desigualdades

1 2 , 1 5u v . Para integrar en el espacio ,u v , tenemos que encontrar el Jacobiano.

Primero resolvemos las ecuaciones para x e y en términos de ,u v , obteniendo:

,v

x u v xu

Asi

2

1 1 1( , )

4 4 2

v vuJ u v

u v u uv u

Luego , 2 5 2

1 1 1

1 1( ) 2 2ln 2

2R

duArea R dx dy dv du

u u

PROBLEMAS DE AREAS

1. Calcular el área de la región limitada por las líneas 2 2 24 2y x x , y x (fuera de

la parábola)

2. Calcular el área de la región limitada por las líneas 2 2 0x y y , x y .

3. Hallar el área de la región limitada por las líneas 2 2 24(1 ) , 4y x x y .(fuera de

la parábola)

4. Hallar el área de la región encerrada por las graficas de

2 24 , 4 , 3 , 3x y y x x y y

5. Hallar el área de la región limitada por 3 32 , 6y x x y x x .

6. Hallar el área de la región limitada por 2 29 , 9 3y x y x .

7. Hallar el área de la región limitada por , ln , 1 , 2xy e y x x x .

8. Hallar el área de la región limitada por las curvas

2 2 2 22 1 2 4 2 5x y ; x y ; y x; y x (Figura .1)

9. Hallar el área de la región limitada por las curvas 2 24 4 3 3x y, y x, x y , y

( Figura 2)

Figura 1 Figura 2

10. Calcular el área de la región D, siendo este el recinto acotado por las circunferencias

2 2 2 2x y 2x; x y 4x y las rectas 0y x; y (Figura 3)

11. Calcular el área limitada por la curva 4 4r cos sen (Figura 4)

Figura 3 Figura 4

12. Calcular el área de la región limitada por una hoja de la rosa 3r sen . (Fig.5)

13. Calcular el área de la región ubicada dentro de la cardioide 2(1 )r sen (Fig.6).

14. Calcular el área de la región ubicada dentro de la cardioide 1r cos y fuera del

círculo 3

2r .(Fig 7)

15. Calcular el área de la región ubicada fuera del cardioide 1r cos y dentro del

círculo 3

2r .(Fig7)

16. Hallar el área de la región dentro de 3 2sinr y fuera del circulo 2r (Fig. 8).

17. Encontrar el área que se encuentra fuera de la curva 2 3r sen y dentro de la curva

3 3r sen . (Fig 9)

18. Una región R está limitada por la recta en coordenadas polares 3

4

y por la curva

3 3cos( )r .Hallar su área en el primer cuadrante. (Fig.10)

Figura 5 Figura 6

Figura 7 Figura 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

1

2

3

4

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.5

1

1.5

2

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

1

2

3

4

5

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Figura 9 Figura 10