7/25/2019 Area Superficies

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UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA – IZTAPALAPADIVISION DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

CURSO

Calculo de Varias Variables II

Plano tangente y area de una superficieLISTA DE EJERCICIOS No. 8

Parte unica. (iniciar en una nueva hoja)

1. Encuentre una ecuacion del plano tangente a la superficie dada en el punto especificado.

a )   S  es el paraboloide  z  =  x2 + y2,  P   = (1, 1, 2)

b)   S  es la esfera  x2 + y2 + z2 = 1,  P  = (0, 1, 0)

c )   S  es el cilindro  x2 + y2 = 1 en el punto (1, 0, 1)

d )   S  tiene ecuaciones parametricas  x  =  u + v,  y = 3u2 y  z  =  u − v,  P   = (2, 3, 0)

e )   S  es la imagen de Φ(u, v) =< 2u, u2 + v, v2 >,  P   = (0, 1, 1)

2. Determine el area de la superficie.

a ) La porcion del paraboloide  z =  x2 + y2 entre los planos  z = 1 y  z = 4.

b) La parte del plano 3x + 2y + z = 6 que esta en el primer octante.

c ) La parte de la superficie z  = 1+3x + 2y2 que esta arriba del triangulo con vertices (0, 0),

(0, 1) y (2, 1).d ) La parte del paraboloide x =  y2 + z2 que esta dentro del cilindro  y2 + z2 = 9.

e ) La porcion del cono  z = 

x2 + y2 que esta entre los planos  z  = 1 y  z = 2.

 f  ) El helicoide (o rampa espiral) cuya parametrizacion es Φ(u, v) =< u cos v, u sen v , v >.u  ∈ [0, 1],  v  ∈ [0, π].

g ) El toro cuya parametrizacion es Φ(u, v) = (b + a cos v)cos u, (b + a cos v)sen u, a sen v >,donde  a y  b  son constantes positivas,  u  ∈ [0, 2π] y  v  ∈ [0, 2π].

h ) La imagen de Φ(u, v) = (u − v) ı + (u + v) ˆ  + uv k  con  D  el disco unidad.

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