archivo unidad iv variables aleatorias
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8/17/2019 Archivo Unidad IV Variables Aleatorias
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Estadística I (451769–451837)
Unidad IV: Variables Aleatorias
Ingeniería Comercial
Universidad de ConcepciónDpto. de Gestión Empresarial
Campus Los Ángeles
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Tipos de Espacio Muestral
Un espacio muestral Ω se dice:
Discreto, si Ω es un conjunto finito o infinito numerable.
Continuo, si Ω es un conjunto infinito no numerable.
Si lanzamos dos monedas perfectas, entonces el espacio muestral es
Ω = {CC ,CS , SC , SS }
el cual resulta ser un espacio muestral discreto, pues es finito.
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Tipos de Espacio Muestral
Si observamos la cantidad de automóviles que llegan a una intersec-ción específica en un lapso de 30 minutos, entonces
Ω = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} = N0
así, Ω es un conjunto infinito numerable y por ende un espacio mues-tral discreto.
Si anotamos la vida útil, en horas, de un modelo cualquiera de unadeterminada marca de automóviles, entonces
Ω = {t ∈ R : t > 0} = [0, +∞[
de este modo, Ω es un espacio muestral continuo, por ser infinito nonumerable.
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Variables Aleatorias
Una función X , que a cada elemento de un espacio muestral Ω leasigna un número real, se conoce como variable aleatoria (v.a.). Esdecir, una variable aleatoria es una función de la forma
X : Ω −→ R (1)
En el concepto de variable aleatoria está implícito el concepto deexperimento aleatorio.
Experimento Variable AleatoriaLanzar dos dados X = suma de las carasLanzar una moneda 30 veces X = no de caras obtenidas
Contar vehículos en una esquina X = novehículos
hora
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Variables Aleatorias
El conjunto de todos los valores que puede tomar una v.a. X se
conoce como recorrido de X y se denota por Rec (X ). Suponga que Ω = {s 1, s 2, . . . , s n} es el espacio muestral para un
determinado experimento aleatorio y que X es una variable aleatoriadefinida sobre Ω con recorrido Rec (X ) = {x 1, x 2, . . . , x m}.
Podemos observar que X = x i si y solo si el resultado del experimentoaleatorio es un punto muestral s j ∈ Ω, de tal forma que
X (s j ) = x i
Además, podemos definir una función de probabilidad P X sobre Rec (X )en el siguiente sentido
P X (X = x i ) = P {s j ∈ Ω : X (s j ) = x i }
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Variables Aleatorias
P X (X = x i ) debe entenderse como: la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor x i .
Notemos que P X define una función de probabilidad para la variable
aleatoria X . Además, se tiene que P X satisface los Axiomas de Kol-mogorov.
Por simpleza, escribimos P (X = x i ) en vez de P X (X = x i )
Las variables aleatorias siempre se denotan con letras mayúsculas,mientras que los valores que ellas pueden tomar, se denotan con letrasminúsculas.
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Variables Aleatorias
Consideremos el experimento de lanzar tres veces una moneda per-fecta.
Definamos la variable aleatoria X como el número de caras obtenidasen los tres lanzamientos.
s CCC CCS CSC SCC SSC SCS CSS SSSX (s ) 3 2 2 2 2 1 1 0
Observamos que el recorrido de la variable X es Rec (X ) = {0, 1, 2, 3}.
Asumiendo que cada punto muestral s i tiene la misma probabilidadde ocurrir, podemos construir fácilmente la función de probabilidad P asociada a X .
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Variables Aleatorias
Por ejemplo, podemos calcular la probabilidad de que el no de carasobtenidas en los tres lanzamientos sea igual a 1
P (X = 1) = P {CSS , SCS , SSC }
= 3/8
En general, se tiene que
x 0 1 2 3P (X = x ) 1/8 3/8 3/8 1/8
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Variables Aleatorias
Con cada variable aleatoria X , podemos asociar una función llamada
función de distribución acumulada de X .
La función de distribución acumuluda (cdf por sus siglas en inglés)de una variable aleatoria X , denotada por F X (x ), está definida por
F X (x ) = P (X ≤ x ), ∀ x
La cdf para el ejemplo de las monedas es
F X (x ) =
0 si −∞
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Variables Aleatorias La gráfica de F X (x ) nos dice que se trata de una función por tramos,
definida para todos los valores x , no solo los que viven es Rec (X ) =
{0, 1, 2, 3}. A modo de ejemplo, la probabilidad acumulada hasta el valor x = 2.5
viene dada por
F X (2.5) = P (X ≤ 2.5) = P (X = 0, 1, o 2) = 7
8
Theorem
La función F es una función de distribución acumulada si y solo si se cumplen las siguientes tres condiciones:
1. limx →−∞
F (x ) = 0 y limx →∞
F (x ) = 1.
2. F es una función no decreciente de x .
3. F es una función continua por la derecha; es decir,
∀x 0 : limx →x +
0
F (x ) = F (x 0)
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Variables Aleatorias
Como ejemplo, consideremos el experimento de lanzar una monedahasta que aparezca la primera cara. Sea p la probabilidad de obtenercara en un lanzamiento cualquiera y definamos la v.a. X como elnúmero de lanzamientos realizados hasta obtener la primera cara.Luego, la función de probabilidad asociada a X es
P (X = x ) = p (1 − p )x −1
, x = 1, 2, . . .
Lo anterior pues de deben obtener x − 1 sellos antes de obtener laprimera cara.
La cdf asociada es
F X (x ) = P (X ≤ x ) =x
i =1
P (X = i ) =x
i =1
p (1 − p )i −1
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Variables Aleatorias
De donde obtenemos que
F X (x ) = P (X ≤ x )
=
x i =1
p (1 − p )i −1
= p · 1 − (1 − p )x
1 − (1 − p )= 1 − (1 − p )x para x = 1, 2, . . .
La función anterior es la cdf de una distribución llamada distribución
geométrica, cuya función de probabilidad viene dada por
P (X = x ) = p (1 − p )x −1, x = 1, 2, . . .
Notemos que las funciones involucradas en el ejemplo anterior son
todas discretas .
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Variables Aleatorias
Un ejemplo de cdf continua es la función
F X (x ) = 1
1 + e −x
La función anterior corresponde a la cdf de una variable aleatoria quesigue una distribución logística de probabilidades.
Se puede probar fácilmente que la función anterior corresponde a unacdf .
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Variables Aleatorias
Una variable aleatoria X es continua si F X (x ) es una función continuade x . Por su parte, X será discreta si F X (x ) es una función discretade x .
Se dice que dos variables aleatorias X e Y están idénticamente dis-tribuidas si poseen la misma distribución de probabilidades.
Para el experimento de lanzar tres veces una moneda perfecta. SeanX = no de caras obtenidas e Y = no de sello obtenidos, entoncesX e Y están idénticamente distribuidas, pero X no es igual a Y .
Theorem
Las siguientes proposiciones son equivalentes: Las v.a. X e Y están idénticamente distribuidas.
F X (x ) = F Y (x ), para todo x .
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PMF y PDF
Asociada a cada v.a. X y a su respectiva cdf F X también existe otrafunción: la función de masa de probabilidad (pmf por sus siglas eninglés) o función de densidad de probabilidad (pdf por sus siglasen inglés). Los términos pmf y pdf se refieren, respectivamente, alos casos discreto y continuo.
La función de masa de probabilidad o pmf de una variable aleatoria
discreta X viene dada por
f X (x ) = P (X = x ), ∀ x
Notemos que la pmf nos sirve para calcular probabilidades en el casodiscreto, ya que
P (a ≤ X ≤ b ) =b
k =a
f X (k )
P (X ≤ b ) =b
k =k 0
f X (k ) = F X (b ), siendo k 0 el primer elemento de Rec (X ).
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PMF y PDF
La función de densidad de probabilidad o pdf de una v.a. continuaX es la función f X (x ) que satisface la siguiente propiedad
F X (x ) =
x −∞
f X (t ) dt , ∀ x
Como f X (x ) en este caso es continua, usando el Primer Teorema
Fundamental del Cálculo resulta la relaciónd
dx F X (x ) = f X (x )
En el caso continuo no tiene sentido calcular probabilidad puntual
pues P (X = x ) = 0 si X es continua. En este caso solo tiene sentidocalcular probabilidades para un intervalo según la expresión
P (a ≤ X ≤ b ) =
b a
f X (x ) dx
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PMF y PDF
De la expresión anterior se desprende que
P (a ≤ X ≤ b ) = F X (b ) − F X (a)
Notemos que
P (a < X
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PMF y PDF
Theorem
Una función f X (x ) es una pmf (o una pdf) de una variable aleatoria X si y solo si:
f X (x ) ≥ 0 para todo x .
x
f X (x ) = 1 (pmf), o bien ∞−∞
f X (x ) dx = 1 (pdf)
La expresión “X tiene una distribución de probabilidad dada por f X (x )”suele abreviarse simbólicamente como “X ∼ f X (x )”. De igual forma
puede interpretarse “X ∼ F X (x )”.
Para indicar que X e Y están idénticamente distribuidas, suele ano-tarse “X ∼ Y ”.
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