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Velocidad de Información

En los sistemas de comunicación es de especial importancia conocer la cantidad de información que se produce o se transfiere por unidad de tiempo, es decir, la velocidad de la información.

Sea una fuente que produce N símbolos distintos e independientes a una velocidad de Vs símbolos por segundo.

Si suponemos que los símbolos tienen todos la misma duración T, entonces

símbolos/segundo

La velocidad de información será entonces

y si los símbolos son equiprobables,

ING. CARLOS RODENAS REYNA

Ejemplo

Una fuente produce cuatro símbolos A, B, C y D cuyas probabilidades son, respectivamente, 0,5; 0,25; 0,125 y 0,125, (H=1,75). Los símbolos de la fuente se producen a una velocidad de 1000 símbolos por segundo.

La velocidad de información de la fuente será:a) Si los símbolos tienen diferentes probabilidades

Vi = Vs H = 1000 x 1,75 = 1750 bps

b) Si los símbolos son equiprobables, Vi = Vs log2 4 = 2000 bps

Nótese nuevamente que la velocidad de información es máxima cuando los símbolos son equiprobables.


Codificación de Canal

Un sistema mediante el cual cada símbolo o mensaje se transforma en una secuencia particular de n impulsos con m amplitudes, secuencia que denominaremos “muestra codificada o palabra codificada” y el conjunto de palabras codificadas forman una secuencia aleatoria binaria.

Esta transformación se denomina comúnmente “conversión” o “codificación” y el dispositivo que la efectúa, “convertidor” o “codificador”.

El codificador no tiene memoria, la duración de la muestra codificada debe ser, como máximo, igual a la duración de cada símbolo a fin de no perder información.

En sistemas de procesamiento y transmisión de señales digitales, se utilizan secuencias binarias (m = 2) que contienen 8 impulsos (n = 8). Esta secuencia binaria de 8 impulsos se denomina comúnmente “byte” u “octeto”


Sea una fuente discreta sin memoria que produce N símbolos distintos e independientes, que podemos suponer equiprobables, a una velocidad Vs = 1/T símbolos/segundo.

Los símbolos se codifican, cada uno, en secuencias de n impulsos con m amplitudes

A la salida de la fuente de información la velocidad de transmisión es


A la salida del codificador la información total contenida en la muestra codificada es la suma de la información contenida en cada impulso (propiedad aditiva de la información),

I= n log2m = log2mn bits

La velocidad de información a la salida del codificador seráVic = n log2m = 1 log2mn bps

T T

Como se supone que el sistema no tiene memoria (elementos de almacenamiento), la velocidad de información será la misma en todos los puntos a lo largo del sistema, es decir,

Vi=Vif=Vic

N=mn m y n enteros

Esta expresión, que denominaremos “relación de conversión o de codificación”, es de gran utilización en los sistemas digitales de transmisión de información,


Nótese que la relación es independiente de T, lo que significa que la relación entre m, n y N es válida para cualquier sistema con o sin memoria, y para cualquiera velocidad de información.

Ejemplo

Una fuente de información produce 256 símbolos, que suponemos independientes y equiprobables, a una velocidad de 100 símbolos por segundo. Si cada símbolo se codifica en secuencias de n impulsos con m amplitudes, vamos a determinar la velocidad de información y los valores posibles de m y n.

SoluciónLa velocidad de información es:

Vi = 100 log2 256 = 800 bps. Las combinaciones de m y n que satisfacen la expresión N=mn, es decir, 256 = mn, son m = 2 y n = 8 (caso binario); m = 4 y n = 4


Velocidad de ModulaciónEn general, los codificadores son dispositivos comandados por un reloj, de modo que los impulsos tienen todos la misma duración τ. De la Fig., T = nτ , entonces:

Vb es el número de impulsos por segundo; se conoce con el nombre de “velocidad de modulación” o “velocidad de señalización”, y se expresa en baudios.En un sistema binario, m = 2 :

Vi=Vb


EjemploUna fuente de información produce 256 símbolos, que suponemos independientes y equiprobables, a una velocidad de 100 símbolos por segundo.Se puede ahora calcular la velocidad de modulación de las muestras codificadas


Redundancia Agregada

En un sistema de codificación de secuencia de impulsos, se supone que en el extremo receptor se sabe cuándo comienza y cuándo termina cada secuencia de impulsos.

Sin embargo; en algunos sistemas denominados “asincrónicos”, es necesario enviar impulsos adicionales para indicar el principio o el fin (o ambos) de cada muestra codificada, a fin de que se pueda efectuar con exactitud el proceso de descodificación.

También puede agregarse otros impulsos para control y detección de errores, extracción de la temporización, etc., que tampoco llevan información útil.

Todos estos impulsos adicionales se denominan “impulsos redundantes” o “redundancia agregada”.


Sea entonces una muestra codificada a la cual se le han agregado dos impulsos de duración pτ‘ y qτ‘, que llamaremos impulsos de “arranque” y “pare”, respectivamente; p y q son,

con algunas excepciones (por ejemplo, el Código Baudot), números enteros pues suponemos que el codificador está controlado por un reloj. Esta situación se muestra en la Fig.; la polaridad, amplitud y duración de los impulsos de arranque y

pare son arbitrarias pero fijas.T = (n + p + q)τ‘, de donde

Puesto que la velocidad de información no ha variado,

τ'<τ y Vb' >Vb


• Considerando entonces los impulsos redundantes agregados, la velocidad de información vendrá dada (eliminando el índice de Vb ' )

Vi =KVb log2m

• El valor de K (como un porcentaje K%) es una medida del rendimiento o eficiencia de la codificación.

• En el caso binario, m = 2, de donde Vi = KVb

o también Vi < Vb

• La velocidad de información ya no es igual a la velocidad de modulación debido a los impulsos redundantes.

• Sin embargo, la velocidad de modulación ha aumentado, lo cual impone restricciones más severas sobre el canal.

• En general, cuando los impulsos (de información o redundantes) tienen diferente duración, la velocidad de modulación se define respecto al impulso de menor duración presente en la muestra codificada.


Ejemplo Código ASCII o Alfabeto Internacional N° 5 de la UIT-T

En este tipo de codificación binaria cada carácter alfanumérico se codifica como se muestra en la Fig. :

Un impulso de arranque siempre a CERO, siete impulsos de información, un impulso de paridad (para gestión o control de error) y un impulso de pare de duración variable (hasta 2τ) siempre a UNO.


En transmisión por teletipo, por ejemplo, los caracteres ASCII fluyen a una velocidad de 10 caracteres por segundo. Por ejemplo, en la Fig. se muestra la letra U en ASCII. Entonces,

Vs = 10 caracteres/seg.; T = 1/10 = 100 ms = 11τ; n = 7; m = 2; K=7/11; K% = 64%

Velocidad de Modulación: Vb = 1 =110 baudios τ

Velocidad de Información: Vi=( 7/11)110log2 2 = 70 bps

Número de Caracteres de la Fuente: N =27 =128 caracteres


Ancho de banda del canal• Supongamos que el ancho de banda del canal se puede variar y

que a su entrada se aplican impulsos de duración decreciente.

• Para un ancho de banda B1 y un impulso de entrada de duración τ1 , la Salida 1 tendrá, por ejemplo, la forma dada en la Fig.

• Ahora se aplica un impulso de duración τ2 < τ1 ; la Salida 2 saldrá deformada, como se muestra en la figura.

• Para que la Salida 2 tenga la forma aproximada de la Entrada 2, hay que aumentar el ancho de banda del canal a un valor B2 > B1 .


Nuevamente se aplica un impulso de duración τ3 < τ2 < τ1 , obteniéndose, por ejemplo, la Salida 3.

• Para que la Salida 3 vuelva a la forma aproximada de la Entrada 3, hay que aumentar el ancho de banda del canal a un valor B3>B2>B1.

• Puede observarse que la “fidelidad” de la salida depende tanto de τ como de B.

• B=k/τ• El valor mínimo teórico de k es 0,35, pero en la

práctica se utiliza k = 1, es decir,

• Si B = 1/τ , donde τ es la duración del impulso de entrada, el canal dejará pasar el 90% de la energía contenida en el impulso de entrada, y la salida será parecida a la entrada.


Cuando es necesario preservar la forma de la señal transmitida, el ancho de banda B del canal se define en función del “tiempo de alzada tr (rise time)” de la señal de entrada en la forma:

donde k es igual a 0,35 ó 0,5, dependiendo de la definición de tr .

Para k= 0.5 B = 1 2tr

Como vb = 1/τ y B≥ 1/τ , entonces se puede afirmar que

Vb = Bn

Una secuencia de impulsos cuya velocidad de modulación es Vb , puede transmitirse sin perder información por un canal ideal con un ancho de banda mínimo Bn numéricamente igual a Vb.


Es evidente que si Vb < B, donde B es el ancho de banda real del canal, no habrá problemas en la recuperación de la información.

Sin embargo, si Vb > B, se perderá información.

En general, debe verificarse que B≥Vb para no perder información.


EjemploSea una fuente que produce N símbolos independientes y equiprobables, los cuales se han codificado en la forma mostrada en la Fig. : cinco impulsos cuaternarios con impulsos de arranque y pare. La velocidad de modulación es de 10 kbaudios.

Hay 4 niveles de información: -3, -1, 1 y 3; entonces, n = 5; m = 4 y N = 45 = 1024 símbolos.Información asociada a la fuente: I = log21024 = 10 bits/símbolo


K=5/10= 0.5 ; K%= 50% ; T= (n+p+q)τ =10τ ; 1/τ= Vb ; Vb=104 Vb=10/T ; T=10-3 seg.

Velocidad de la fuente : Vs = 1/T= 1000 símbolos por segundo

Velocidad de Información Vi = K Vb log2 m bps

Vi = 0.5x104 log2 4 =104 bps

Ancho de banda Mínimo del canal: Bn = Vb = 10kHz

La información producida por esta fuente en un tiempo Tt es:

It = Vi Tt ;

si por ejemplo Tt = 3600 seg ,

en una hora It =104x3600=3,6x107 bits.

Nótese que si se disminuye a la mitad la duración de los impulsos de arranque y pare, la velocidad de modulación no cambia pero la velocidad de información aumenta.


Capacidad del Canal

Definición

La capacidad de información de un sistema de comunicaciones representa el número de símbolos independientes que pueden pasarse, a través del sistema, en una unidad de tiempo determinada.

Para definir una medida de la eficacia con la cual un canal transmite información y para determinar su límite superior, Shannon introdujo el concepto de “capacidad de un canal”, que comúnmente se representa con la letra C.

El Teorema Fundamental de Shannon establece que si la velocidad de información Vi de la fuente es igual o menor que la capacidad C del canal, entonces existe una técnica de codificación que permite la transmisión sobre el canal con una frecuencia de errores arbitrariamente pequeña, no obstante la presencia de ruido.

Es decir, si 0<Vi ≤C

se puede transmitir sin error, pero si Vi > C entonces no es posible transmitir sin error.


La capacidad del canal es entonces la máxima velocidad a la cual el canal puede transportar información confiable hasta el destinatario. La capacidad C se expresa en bits por segundo (bps).

Algunas veces el comportamiento del canal se puede caracterizar mediante las relaciones o definiciones siguientes:

Redundancia del Canal, Rc

Rc=C−Vi Rc ≥ 0

Redundancia Relativa, ρc

ρc = Rc/ C = 1 − Vi/ CRendimiento del Canal, ηc

ηc = Vi ó ηc% = 100 Vi

C C

También, ηc= 1− ρc donde ηc ≤ 1

Rendimiento del Canal respecto al Ancho de Banda, ηB

ηB= Vi ηB se expresa en bps/Hz B


Canal con Ruido• La capacidad de un canal disminuye como consecuencia de los errores

incurridos en la transmisión causados por señales perturbadoras o ruido, y como consecuencia se produce una pérdida de información.

• Si el canal tiene un ancho de banda B, la potencia promedio de la señal transmitida es S, y la potencia promedio del ruido en el canal es N, entonces la capacidad del canal en presencia de ruido aditivo y gaussiano viene dada por

C= B log2(1+ S/N) ó C = 3.32 B log10 (1+ S/N)donde C = capacidad del canal (bps)

B = ancho de banda (Hz) S/N = relación de potencia señal-a-ruido

(sin unidades)Rendimiento máximo:


Para un canal de comunicaciones de banda de voz estandar, con una relación de potencia señal-a-ruido de 1000 (30 dB) y un ancho de banda de 2.7 kHz, el límite de Shannon para la capacidad del canal es

C = 2700 log2 (1+1000) = 26.9 kbps


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