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desarrollo de experiencias didácticas

Revista Argentina de Enseñanza de la Ingeniería - Año 2 Nº 3 - Julio de 2001

4Introducción

El trabajo forma parte del Programa de IncentivosDocentes, Proyecto 19/E021, de la Facultad de CienciasExactas Ingeniería y Agrimensura, de la Universidad Na-cional de Rosario. Se encuadra en el contexto de la Inge-niería Didáctica en la Educación Matemática, en el sen-tido de Michéle Artigue (1), caracterizada por un esque-ma experimental y constituida por una secuencia de cla-ses diseñadas por el docente con el fin de realizar unproyecto de aprendizaje dinámico para un grupo deter-minado de alumnos. Este proyecto evoluciona y se mo-difica, en la fase interactiva del trabajo de aula, en fun-ción de las reacciones de los estudiantes y de las pro-puestas del profesor. En ese contexto, el problema seconcibe como generador de un proceso a través del cualel alumno combina elementos del conocimiento, reglas,técnicas, destrezas y conceptos previamente adquiri-dos para dar solución a una situación nueva.

Las actividades que se relatan en esta exposiciónforman parte de experiencias que se realizan durante elprimer cuatrimestre con alumnos de primer año de In-geniería, en la asignatura Algebra y Geometría Analíti-ca, de la Facultad.

El objetivo es mostrar que:

• las situaciones de enseñanza basadas en la re-solución de problemas no rutinarios, constitu-ye una fuente propicia para el desarrollo de ha-bilidades en la construcción y exploración denuevos conocimientos,

• los alumnos progresan sólidamente cuando seles da la oportunidad de hacer y rehacer porellos mismos la matemática,

• la metodología empleada que sostiene al alum-no como protagonista de su aprendizaje, supe-ra a la tradicional que pone el acento en el do-cente transmisor del conocimiento.

Situaciones didácticas generadas por unproblema de Geometría analítica

Martha Elena Guzmán, Raúl David Katz, Patricia Có1

1Docentes de Algebra y Geometría Analítica en la Fa-cultad de Ciencias Exactas Ingeniería y Agrimensura.Universidad Nacional de Rosario.


32 Revista Argentina de Enseñanza de la Ingeniería - Año 2 Nº 3 - Julio de 2001

Al concluir la experiencia, se pudo comprobar que un porcentaje significativode los alumnos entró en interacción directa con el problema formulado, pudiéndoseregistrar errores y valorar aciertos y que el interés demostrado se transformara enuna efectiva función de aprendizaje.

El trabajo en el aula:

La situación didáctica se concibe como un espacio de articulación del saber,donde el alumno es el centro del sujeto pedagógico en el proceso de construccióndel conocimiento. El docente es la persona que facilita el acceso al aprendizajeestimulando al alumno en sus intervenciones, explica sin apresuramientos, proponeestrategias, “actúa como “moderador”, llevando la batuta para dirigir las ideas ycomo el “alter ego” que plantea cuestiones y se asegura de que todo siga su causa.El docente no está para dar soluciones, sino para ayudar al alumno a utilizar demanera óptima los recursos de que dispone”, Schoenfeld (2).

En las actividades que se relatan, el problema que se expone a continuación fueel medio elegido para la apropiación del conocimiento, en una tarea de resolución norutinaria.

Este problema opera como situación problemática, es decir, se cierra momentá-neamente, pero se vuelve a abordar desde otros aspectos y con nuevos requeri-mientos.

El problema:Sean las rectas r1 y r2 dadas por sus ecuaciones paramétricas

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=∈+=

+=

tztytx

r31

R t 11

1⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∈=

=

szsy

sxr

2Rs 22

¿Las rectas, son alabeadas? ¿Cuál es la distancia mínima entre ambas? ¿Cuálesson los puntos que realizan la mínima distancia?

Las propuestas de solución

Las dos primeras preguntas tienen una rápida respuesta. Sin dificultad, la mayo-ría de los alumnos aplican, sobre este caso particular, fórmulas obtenidas: condiciónde coplanaridad entre dos rectas en el espacio y cálculo de la mínima distancia entrerectas alabeadas.

En la tercera cuestión, se encuentra con condiciones prácticas nuevas. Algunos alumnos, más cercanos al razonamiento geométrico, emprenden el

problema a partir de una situación particular, considerando r1 y r2 ortogonales. Sinembargo no logran la “visualización”, pensada como el proceso que les permitiríaelegir, dentro de un complejo de relaciones, de manera natural y sin esfuerzo, losmodos de ataque más eficaces para resolver los problemas con que se enfrentan -M.de Guzmán (3)-. Toman r1 como una arista del piso del salón de clase y r2 como unaarista del techo, ortogonal con r1 (gráfico 1).

Luego proponen cortar el planoπ1 de la pared, que contiene a r1 y es perpen-dicular al techo, con r2 para obtener un punto B y repetir el procedimiento, intersecandor1 con el plano 1 de la pared, que contiene a r2 y es perpendicular al piso paraobtener otro punto A.

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Encuentran así los puntos A y B y afirman que estos puntos A y B son los querealizan la mínima distancia.

Buscan, entonces, las coordenadas de A y B procediendo analíticamente, sobrelos datos del problema, sin observar que las rectas dadas no son ortogonales. Noencuentran los planos

π

1 y

π

1 y, en consecuencia, no pueden determinar las coor-denadas de A y B.

Desconcierto por parte del grupo. -¡ No es posible! ¿Dónde está el error?. ¿Estánmal los cálculos?

Les cuesta reconocer que es la particularidad de su razonamiento la causa delerror. Aceptamos, en este sentido, el concepto de G. Brousseau (4) que sostiene queel error, no es el efecto de la ignorancia, de la duda o del azar, sino la consecuencia deun conocimiento no apropiado a una nueva situación. Para este autor), ciertosconocimientos del alumno están ligados a otros conocimientos anteriores que amenudo son provisorios, imprecisos y poco correctos.

Las intervenciones docentes fueron del tipo:

• Los cálculos son correctos, el error no está allí.• Revisen su propuesta ¿cómo consideraron r1 y r2? ¿Las rectas del enunciado

están en las mismas condiciones?• ¿Es posible encontrar siempre un plano que contenga a una recta y sea per-

pendicular a otra alabeada con ella? “Vean” una recta L en el techo del salón¿Es posible trazar por L un plano perpendicular a r1 contenida en el piso?(gráfico 2) . ¿Y al plano del piso? ¿Corta ese plano a r1? ¿Cómo son todos losplanos perpendiculares a r1?

• ¿Es posible que rectas alabeadas estén contenidas en planos paralelos?La respuesta positiva surgió, cuando visualizaron a través de los vectoresdirección de las rectas (vectores libres) que es posible determinar planosparalelos a ambas rectas y que en particular, se pueden tomar de esta familia,el plano

π

1 que contiene a r1 y el plano que contiene a r2.

Las dos últimas preguntas les dieron “la pista” para resolver el problema, segúnsu esquema original, observando que la solución es posible cuando ambas están enplanos paralelos.

Entonces su propuesta inicial toma sentido y es posible hallar fácilmente lospuntos A(1+t, 1+t, 3+t) y B (s, 2s, 2s) que hacen la mínima distancia entre r1 y r2.

Observaciones

• Es interesante destacar que un pequeño grupo de alumnos, a partir del cono-cimiento del error cometido al resolver el problema para un caso particular,demostró: “ dadas dos rectas alabeadas, existe un plano que contiene a unade ellas y es perpendicular a la otra si, y sólo si ambas son perpendiculares”.

• Paralelamente a este trabajo, otros alumnos eligieron un camino diferente delsiguiente modo: los puntos A, B que buscamos determinan una recta cuyadirección es perpendicular a las direcciones de r1 y r2, entonces

u

es perpen-dicular al vector,dirección de r1, y también es perpendicular al vector

v

, direc-ción de r2, y como = (s – t – 1, 2s – t – 1, 2s – 3t – 1)

u

= (1, 1, 3); y

v

= (1, 2, 2), debe ser

⎪⎩

⎪⎨⎧

0 = v . AB

0 = . uAB

u



Resuelven el sistema y obtiene la solución 0= t,95

=s

valores de los parámetros que dan para r1 el punto A = (1,1,1)

y para r2 el punto )9

10,9

10,95(=B

Verifican, para asegurar su resultado, que 32

=AB

• Otro grupo de alumnos argumentó: los puntos A y B que se buscan son tales

que AB debe ser igual a 32

donde A = (1 + t, 1+ t, 1 + 3t) y B = ( s, 2s, 2s)

Entonces 32)132()12()1( 222 =−−+−−+−− tststs

o de manera equivalente

923101018119 22 =++−−+ tsstts

Llegado a este punto los alumnos se enfrentan con una ecuación de segundogrado en dos variables y el problema original deriva en un nuevo problema: encon-trar los puntos del plano que satisfacen esa ecuación, cuestión desconocida por losalumnos al momento de esta secuencia.

• Otros alumnos analizaron el problema a partir de la definición de distancia

entre rectas, y propusieron encontrar el mínimo entre los valores MN con M

perteneciente a r1 y N perteneciente a r2.Expresar esta idea en el lenguaje específico es muy difícil. Logran la traducción cuando

se les sugiere escribir la distancia entre un punto M arbitrario de r1, M = (1 + t, 1 + t , 1+ 3t)y otro N arbitrario de r2, N = (s, 2s, 2s)

Escriben 222 )132()12()1( −−+−−+−−= tststsMN y su equi-

valente 3101018119 222++−−+= tssttsMN

De la arbitrariedad de M y N reconocen la variabilidad de MN lo que

facilita la introducción de una tercera variable z MN = 2

El problema es entonces encontrar el mínimo para la función de dos variables

3101018119 22 ++−−+= tssttsz cuestión también desconocida por losalumnos.

Esto nos muestra como un simple problema es fuente de aprendizaje y dedesequilibrio cuando se descubre la falta de correspondencia entre los sistemas de

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conocimientos del alumno y los requisitos que se le plantean ante una nueva situa-ción.

Si bien encontramos aquí un medio propicio para introducir el estudio de laecuación general de segundo grado, para avanzar luego con el estudio de las super-ficies cuádricas y utilizar estos recursos para analizar el problema, o bien, la posibi-lidad de estudiar los extremos de una función de dos variables, al momento de lasecuencia decidimos tan solo anticipar esas posibilidades y reservar un tiempo parala reflexión sobre los planteos y las soluciones del problema. “Los alumnos noaprenden matemática por lo que hacen, sino por lo que reflexionan acerca de lo quehacen” -Flores Peñafiel (5)-

Tratamos de discutir las estrategias empleadas, interrogando a los estudiantessobre los procesos de solución presentados por ellos, instándolos a comunicar susexperiencias. Se procuró transmitirles la idea de que hacer matemática significapreguntarse y preguntarse hasta que las cosas tengan sentido. Que una vez encon-trado éste, habrá que plantearse el esquema de solución y elegir las herramientasmatemáticas más útiles y aplicarlas y finalmente reflexionar sobre la solución, es el“mirar atrás” de G. Polya (6).

Se intentó motivar la participación de los distintos grupos para que expresensus opiniones, para que de manera colectiva en el transcurso de esas interaccionesverbales, compararan sus métodos, sus ventajas o inconvenientes, la rapidez y lasposibilidades de control. Son ellos quienes deciden la forma más cómoda, lo que lespermite evitar enfoques erróneos. El trabajo docente consistió en estimular la devo-lución del problema, ya que ellos lo han realizado en interacción con el mismo sin lamediación del profesor que habitualmente dice lo que se debe hacer. Esto es impor-tante para la apropiación y reutilización del método en contextos similares pero máscomplejos, o en problemas con un contexto diferente, de complejidad similar omucho mayor.

Un nuevo enfoque del problema

La situación que se presenta aquí pone en juego la dialéctica herramienta-objetopropuesta por R.Douady (7). Se organizó enfocando el problema que originó lasecuencia anterior, donde la solución da significado a las nociones matemáticasimplicadas: parámetros, ecuación de segundo grado en una y dos variables, cónicasde tipo elíptico, paraboloides elípticos.

El objetivo fue permitir a los estudiantes apropiarse del conocimiento, quegracias a la situación toma otro significado para ellos.

Una vez que se avanzó con el desarrollo de los contenidos de la asignatura yconocido el estudio de la ecuación de segundo grado se reconsideró el problemavisualizándolo desde las cónicas.

Los alumnos reconocen que la ecuación:

923101018119 22 =++−−+ tsstts (*)

es una cónica de tipo elíptico, y afirman rápidamente que es una elipse.

Preguntamos:¿ Qué relación tendrá con el problema?¿ Si los puntos A y B que hacen la distancia mínima entre r1 y r2 dependen de un

único s y de un único t, entonces la ecuación puede representar una elipse propia-



mente dicha? La inspección y el análisis de la ecuación les muestra que, en efecto, se

obtiene única solución 0,95

== ts , que )0,95( es centro de simetría y a su vez

el único punto que satisface (*).

Nuevamente interrogamos:

¿Qué resulta si en la ecuación (*) tomamos valores menores que 32

=d ?

• La ecuación no tiene solución en el campo real.¿Qué significa para nuestro problema?

• No existen s y t reales que verifiquen la ecuación, en consecuencia no haypuntos que realicen esa distancia.

Interrogamos después:

¿Pueden hallar los puntos de r1 y r2 que realizan una distancia superior a la

mínima32

>d , es decir?

Probando con distintos valores obtuvieron elipses, con centro de simetría en

( 95

, 0 ) (gráfico 3).

Entonces ¿cuántos pares de puntos realizan esas distancias? ¿cómo se obtienelos puntos que las realizan?

Respondieron que hay infinitos pares de puntos en r1) y r2) respectivamente,que realizan esas distancias y que esos pares de puntos se obtienen para aquellosvalores de los parámetros s y t que satisfacen la ecuación de la elipse que obtienenen cada caso.

• ¿Pueden visualizar esos puntos?La representación gráfica de algunas de estas elipses les permitió visualizarel intervalo de variación tanto para el parámetro s como para el parámetro t.

• ¿Qué se puede concluir? Estos intervalos de variación para s y t, restringen los puntos que verifican

las condiciones del problema a segmentos de rectas en r1 y r2 respectivamen-te y que además, para cada valor del parámetro s obtienen 2 valores delparámetro t (salvo para aquellos valores de s extremos del intervalo), lo cualmuestra que para cada punto de r1 existen dos puntos de r2 que realizan ladistancia propuesta.

Un enfoque

Más adelante completando el estudio de las superficies cuádricas les propusi-mos como ejercicio relacionar la ecuación

3101018119 22 ++−−+= tssttsz

con aquella que habían planteado para solucionar el problema.

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Reconocen que para cada par de valores s y t la expresión corresponde a unafunción de dos variables que expresa la distancia al cuadrado entre los puntos de r1y r2, y se les explica que con recursos del cálculo diferencial es posible encontrar losvalores de s y t para los cuales z es mínima. Es decir resulta posible encontrar losvalores de los parámetros s y t que determinan los puntos de r1 y r2 que se encuen-tran a la mínima distancia.

Se abandona este enfoque puesto que al nivel del curso no se cuenta con losrecursos del cálculo diferencial para funciones de dos variables. Se pasa nuevamen-te a discutir el problema desde la óptica geométrica.

Les proponemos estudiar la superficie representada por la ecuación: 3101018119 22 ++−−+= tssttsz

El trabajo en la computadora le mostró que se trata de la ecuación de unparaboloide elíptico (gráfico 4).

Observaron que las proyecciones en el plano S-T de las intersecciones conplanos paralelos al mismo son elipses. Reconocieron también que las coordenadass y t de los puntos de esas elipses corresponden en cada caso a puntos que realizanuna distancia dada z.

• ¿Para qué valores de s y t, 32

=z ?

Conjeturan que las coordenadas del vértice )32,,( ts permitirá encontrar los

puntos que realizan la distancia mínima.

• ¿Cómo encuentran s y t ?Reconocieron haberlos encontrado al estudiar el caso de tipo elíptico de la

ecuación general de 2º grado.

ComentariosEl problema expuesto fue trabajado en un curso de cuarenta alumnos durante el

dictado de Algebra y Geometría Analítica I en el primer cuatrimestre del año 1999. Enel transcurso del segundo cuatrimestre, con los mismos alumnos, en la asignaturaAnálisis Matemático II, el problema se planteó como un ejercicio de minimización deuna función de dos variables. Esa actividad fue parte del proyecto de IngenieríaDidáctica en el que participamos.

Como señaláramos anteriormente la esencia de esta metodología de trabajo radi-ca en la discusión que se genera a partir del planteo de un problema. En diferentesinstancias guiamos a nuestros alumnos a través de una serie de preguntas, cadauna de las cuales exige no sólo la reproducción de sus conocimientos, sino larealización de una pequeña búsqueda de una “respuesta inteligente” a la preguntaformulada.

De este modo, el estudiante realiza tareas que le resultan atrayentes y que lepermiten no sólo asimilar de manera significativa los conocimientos sino tambiénincorporar nuevos procedimientos, transformándose en protagonista de su apren-dizaje. A su vez el tratamiento de situaciones problemáticas propicia la reflexión, elanálisis, la defensa de ideas, consolidándose así hábitos que tienen un valor univer-sal.

Por otra parte la realización de estas actividades favorece el seguimiento deltrabajo de los alumnos, la detección de sus dificultades, los progresos realizados, ypor lo tanto constituye una forma de evaluar el proceso enseñanza-aprendizaje quese produce en un contexto de trabajo colectivo.



Si bien ponemos énfasis en la resolución de problemas, no pensamos que seaposible impartir toda nuestra enseñanza a través de problemas. Más bien quere-mos reflejar un intento por corregir el desequilibrio que se genera cuando solo sepriorizan algunos aspectos en la formación matemática.

La Geometría Analítica ofrece la posibilidad de plantear una variedad muy am-plia de problemas accesibles al nivel de los alumnos.

Las propiedades métricas de las cónicas y sus múltiples aplicaciones, el estudiodel paraboloide hiperbólico como una superficie de traslación o bien como unasuperficie reglada (esenciales para cálculo de los esfuerzos de membrana de casca-rones de concreto armado en forma de paraboloide hiperbólico) constituyen intere-santes temáticas para abordar otras situaciones problemáticas.

Referencias Bibliográficas

ARTIGUE, M.DOUADY, R. MORENO, L. GÓMEZ, P. Ingeniería didáctica eneducación matemática. Grupo Editorial Iberoamericano. México 1995.SCHOENFELD, A. Ideas y tendencias en la resolución de problemas, en “Laenseñanza de la Matemática a debate” Ministerio de Educación y Ciencia.Madrid 1985.GUZMÁN de, M. El rincón de la pizarra. Pirámide. Madrid 1996.BROUSSEAU, G. Théorisation des Phénomenes d´Ensignement de Mathematiques.Thèse d´ Etat, Bordeaux, 1986. FLORES PEÑAFIEL, A. Acción Comunicación y reflexión, en SANTOS TRIGO,L., SANCHEZ, E. Perspectivas en Educación Matemática. Grupo Editorial Ibero-americana. México 1996.POLYA, G. Cómo plantear y resolver problemas. Trillas. México 1998.

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