apunts d'equacions diferencials

Materials 1

1. Equacions diferencials

Una equacio diferencial es quelcom diferent a les equacions que fins ara hemconsiderat. Fins ara, en les equacions que hem considerat les incogniteseren numeros x o famılies de numeros en les equacions lineals x1, · · · , xn.Les equacions consisteixen en relacions de tipus algebraic que les incognitesse suposa que compleixen.

En les equacions diferencials la incognita es una funcion d’una variablereal y(x) o y(t). L’equacio diferencial es una expressio

E(x, y, y′, · · · , y(n)

)= 0

on hi apareix la variable independent x, la funcio incognita y i unes quantesderivades de y. Si n es l’ordre de la derivada mes alta que apareix, es diuque l’expressio es d’ordre n. Una solucio es una funcio y(x) de forma quequan substituim en l’equacio E(x, y, y′, · · · , y(n)) = 0 y per y(x), y′ per y′(x)etc, obtenim 0 identicament en x. Es costum anomenar al conjunt de totesles solucions la solucio general de l’equacio. Estrictament parlant, per teniruna equacio diferencial cal que almenys hi aparegui en E una derivada de y.Les equacions E(x, y) = 0 defineixen com hem vist, funcions implıcites.

1.1 Equacions diferencials elementals

Son aquelles en les que E = E(x, y′) = y′−g(x) amb g donada que escrivim,es clar,

y′ = g(x).

Busquem totes les funcions y que tenen derivada g(x) donada. La soluciogeneral es

y =

∫g(x)dx

i per tant depen d’una constant d’integracio c. Per a cada c tindrem unasolucio.

Per exemple, y′ = 0, l’equacio diferencial mes senzilla possible te soluciogeneral y = c, les funcions constants.

L’equacio y′ = x te solucio general y = x2

2+ c.

L’equacio y′ = xee te solucio general y = xexdx = (u = x dv = exdx,du = dx, v = ex) = xex −

∫exdx = xex − ex + c.

2 Materials Joaquim Bruna

1.2

Una equacio de primer ordre E(x, y, y′) = 0 es diu que esta en forma normalsi es possible aıllar y′

y′ = f(x, y).

En aquest cas es possible donar una interpretacio geometrica del concepte nsolucio y(x). Recordem que y′(x) es la pendent de la recta tangent al graficy = y(x) en (x, y). La funcio f assigna a cada punt del pla la pendentf(x, y); podem pensar en la recta que passa per (x, y) i te aquesta pendentf(x, y). Aixı tenim assignada una recta a cada punt

Una solucio y(x) es llavors aquella tal que en cada punt la recta tangent esla preassignada.

Es costum escriure y′ = f(x, y) sota la forma dydx

= f(x, y) o tambe

dy − f(x, y)dx = 0.

Mes generalment, trobarem equacions escrites sota la forma

A1(x, y)dx+ A2(x, y)dy = 0.

Que no es res mes que y′ = −A1(x,y)A2(x,y)

= f(x, y).

1.3 Equacions en variables separades

Son aquelles que es poden escriure sota la forma

A(x)dx = B(y)dy.

Escrites sota la forma dydx

= f(x, y) es quan f(x, y) es producte d’una funciode x per una funcio de y: f(x, y) = f1(x)f2(y)

dy

dx= f1(x)f2(y) −→

1

f2(y)︸︷︷︸B(y)

dy = f1(x)︸︷︷︸A(x)

dx

Aixı com les equacions elementals es resolen mitjancant una integral o an-tiderivada, aquestes es resolen en dues:∫

A(x)dx =

∫B(y)dy.

Es a dir, si F ′(x) = A(x) i G′(y) = B(y) tota funcio y(x) definida implıcita-ment per

F (x) = G(y) + c

Materials 3

es una solucio de l’equacio i recıprocament. En efecte, ja sabem que per a lesfuncions implıcites definides per aquesta equacio F (x) = G(y) la derivadas’obte derivant F (x)−G(y) = 0 respecte de x (considerant y = y(x)):

0 =d

dx(F (x)−G(y)) = F ′(x)−G′(y)y′ = A(x)dx = B(y)y′.

Per tant

y′ =A(x)

B(y), B(y)dy = A(x)dx.

Per exemple y′ = xy s’escriu dydx

= xy → dyy

= xdx → ln |y| = x2

2+ c

→ y = e

(x2

2+c

)= ece

x2

2 . Si c es qualsevol c ∈ R, ec es qualsevol K > 0.

Per tant la solucio general es |y| = Kex2/2 amb K > 0 o be y = λe

x2

2 ambλ ∈ R.

Un altre exemple, y′ = x2/y s’escriu dydx

= x2

y→ ydy = x2dx → y2

2=

x3

3+ c → y2 = 2

3x3 + c. Aquı encara podem aıllar la solucio general

y = +

√2

3x3 + c y = −

√2

3x3 + c.

Encara un altre exemple y′ = 1x(y+y2)

→ (y + y2) dy = dxx

→ y2

2+ y3

3=

ln |x|+ c. Aquı ja no es possible aıllar y = y(x).

1.4 Equacions diferencials exactes

Acabem de veure que les equacions en variables separables tenen per soluciogeneral funcions implıcites definides per equacions del tipus

F (x)−G(y) = c.

Ara considerarem un tipus d’equacions que tenen per solucio generalfuncions implıcites definides per equacions generals

h(x, y) = c

el cas anterior correspon a quan h(x, y) es diferencia d’una funcio de x,F (x), i d’una d’y G(y). Una funcio implıcita y(x) definida per h(x, y) = cte derivada y′(x) que s’obte derivant respecte de x l’equacio h(x, y) − c(pensant que y es funcio de x)

0 = h(x, y)− c −→ 0 =d

dx(h(x, y)− c) =

∂h

∂x(x, y) + y′(x)

∂h

∂y(x, y).

Per tant compleix l’equacio diferencial

∂h

∂x(x, y)dx+ y′(x)

∂h

∂y(x, y)dy = 0.

Preguntem-nos quan A(x, y)dx + B(x, y) = 0 es d’aquest tipus, es a dir,quan donades A(x, y), B(x, y) hi ha h(x, y) tal que

A =∂h

∂x, B =

∂h

∂y


com que ∂2h∂x∂y

= ∂2h∂y∂x

, una condicio necessaria que cal que compleixin A, Bes

∂A

∂y=∂B

∂x.

Recıprocament, si A,B compleixin aixo, llavors existeix h(x, y) tal queA = ∂h

∂x, A = ∂h

∂y. Aquesta funcio h s’anomena una funcio potencial. Es

troba de la seguent forma:

1r. Pas. Integrem ∂h∂x

= A(x, y) en x pensant que y es constant:

h(x, y) =

∫A(x, y)dy + C(y).

2n. Pas. Substituim aixo en la segona equacio

∂

∂y{A(x, y)dy + C(y)} = B(x, y).

La condicio ∂A∂y

= ∂B∂x

fa que l’equacio aquesta de la forma C ′(y) = D(y) ies resol fent una integracio mes.

Per exemple, (y + x cosxy)dy + (y cos xy + x2)dx = 0 es exacta perque

∂A

∂y=

∂

∂y(x2 + y cos xy) = cos xy − xy sin xy

∂B

∂x=

∂

∂x(x cos xy + y) = cosxy − xy sin xy

Trobem la solucio tal com hem explicat:

∂h

∂x= A = x2 + y cosxy −→ h(x, y) =

∫(x2 + y cosxy)dx+ C(y)

=x3

3+

∫y cosxydx+ C(y) =

x3

3+ sin xy + C(y)

∂

∂y

(x3

3+ sinxy + C(y)

)= B = y + x cos xy −→

−→(((((x cos xy + C ′(y) = y +(((((x cos xy −→ C(y) =y2

2+ c

La funcio potencial es per tant h(x, y) =x3

3+ sinxy +

y2

2+ c. La solucio

de l’equacio, la general, es qualsevol funcio implıcita definida per

x3

3+ sin xy +

y2

2= c

1.5 Equacions amb factor integrant

Una equacio A(x, y)dx + B(x, y)dy = 0 que no es exacta pot esdevenirexacta si la multipliquem per un factor µ(x, y)

µ(x, y)A(x, y)dx+ µ(x, y)B(x, y)dy = 0.

Materials 5

Es a dir pot complir que

∂

∂y(µA) =

∂

∂x(µB)

que s’escriu tambe µ(∂A∂y

− ∂B∂x

)= B ∂µ

dx− A∂µ

dy. En aquest cas µ(x, y) s’a-

nomena un factor integrant. En general es difıcil trobar-les pero en algunscasos particulars es facil. Per exemple, hi ha un factor integrant µ = µ(x)que nomes depen de x quan

µ(x)

(∂A

∂y− ∂B

∂x

)= Bµ(x)

es a dir, quan la funcio∂A∂y

− ∂B∂x

Bdepen nomes de x. Analogament quan

∂A∂y

− ∂B∂x

A

nomes depen d’y hi haura un factor integrant µ = µ(y).

Per exemple, en (1 + xy2) dx + 2x2y dy = 0, tenim∂A∂y

− ∂B∂x

B= 2xy−4xy

2x2y=

− 1x. Plantejem llavors µ

(− 1x

)= µ′ → dµ

dx= −µ

x. Aquesta es de variables se-

parades dµµ

= −dxx−→ ln |µ| = − ln |x|. Una solucio es µ = 1

x. Comprovem

que al multiplicar per µ = 1xl’equacio es torna exacta(

1

x+ y2

)dx+ 2xy dy = 0;

∂

∂y

(1

x+ y2

)= 2y =

∂

∂x(2xy)

Ara trobem la solucio de(1x+ y2

)dx + 2xydy = 0 calculant la funcio po-

tencial

∂h

∂x=

1

x+ y2 −→ h(x, y) =

∫ (1

x+ y2

)dx+ C(y) = ln |x|+ xy2 + C(y)

∂

∂y

(ln |x|+ xy2 + C(y)

)= 2xy −→ C ′(y) = 0 −→ C(y) = c.

La solucio esta definida implıcitament per

ln |x|+ xy2 = c.

1.6 Equacions homogenies

Aquest es un altre tipus d’equacio que es pot reduir a una equacio exacta.Una funcio de dues variables f(x, y) s’anomena homogenia d’ordre n si

f(λx, λy) = λnf(x, y).

Una equacio diferencial A(x, y)dx + B(x, y)dy = 0 es diu homogenia si lesdues funcions A,B ho son i del mateix ordre. Per exemple

x ln1

xdx+

y2

xarcsin

y

xdx = 0

ho es d’ordre 1.


En general, quan hom te una equacio diferencial Adx + Bdy = 0 uncanvi de variable funcio vol dir el seguent. Pensem que y(x) i v(x) estanrelacionades per unes expressions

y = ϕ(x, v), v = ψ(x, y)

es a dir, que si coneixem y(x) coneixem v(x) i recıprocament mitjancant

y(x) = ϕ(x, v(x)), v(x) = ψ(x, y(x))

Quant a l’equacio original ho posem tot en termes de x, v en lloc de x, y(substituint y per ϕ(x, v) i y′ per ∂ϕ

∂x+ ∂ψ

∂vv′, o formalment dy per ∂ϕ

∂xdx+

∂ψ∂vdv) trobem una equacio on la incognita es ara v(x) i potser es mes senzilla.En les equacions homogenies aixo s’aconsegueix amb el canvi de funcio

y = v(x)x, v = yx. En efecte, que A,B siguin homogenies de grau n significa

que

A(x, y) = xnA1

(yx

), B(x, y) = xnB1

(yx

)per a certes funcions A1, B1 d’una variable. Amb aixo l’equacio s’escriu

A1

(yx

)dx+B1

(yx

)dy = 0

si ara y = vx dy = vdx+ xdv, trobem

A1(v)dx+B1(v)(vdx+ xdv) = 0, [A1(v) + vB1(v)] dx+ xB1(v)dv = 0

que es de variables separades.Per exemple, (x3 + y3)dx− 3xy2dy = 0 es homogenia d’ordre 3. Si mes

l’escrivim (1 +

y3

x3

)dx− 3

y2

x2dy = 0

(es a dir, aquı A1(t) = 1 + t3, B1(t) = −3t2) despres fem el canvi y = vx

(1 + v3)dx− 3v2(vdx+ xdv) = 0, (1 + v3 − 3v3)dx− 3xv2dv = 0

(1− 2v3)dx = 3xv2dv

dx

3x=

v2dv

1− 2v3−→ 1

3ln |x| = −1

6ln(1− 2v3) −→ (1− 2v3)x2 = c

−→(1− 2

y3

x3

)x2 = c −→ x3 − 2y3 = cx

1.7 Equacions diferencials amb una condicio inicial. Unicitat desolucio

En tots els exemples que hem vist la solucio general d’una equacio diferenciald’ordre 1 depen d’una constant arbitraria c. Per determinar una solucioconcreta cal imposar a mes una condicio del tipus y(x0) = y0; aquestacondicio permet determinar tıpicament un unic valor de c.

Materials 7

El problema

{y′ = f(x, y)

y(x0) = y0de determinar una solucio de l’equacio que

a mes a mes prenguin un valor predeterminat y0 en x0 te solucio unica. Entermes geometrics, hi ha una unica corba y = y(x) que passa per (x0, y0)i que en cada punt es tangent al camp de rectes donat per f(x, y). Lacondicio y(x0) = y0 s’anomena la condicio inicial perque sovint la variableindependent es el temps i x0 = 0.

Exemple 1.1. Calcular el temps que cal per buidar un diposit de formacilındrica, de base amb 8 dm de radi i alcada 10 dm, mitjancant un foradeta la base de radi 10 cm, sabent que el cabdal d’aigua que surt pel forat tevelocitat v = 5

√h dm/seg, on h es l’alcada de l’aigua.

El cabdal d’aigua surt pel forat a un ritme de π(0.1)2 5√h dm3/seg.

Designem per h(t) l’alcada de l’aigua a l’instant t. El volum es 64π (areade la base) ×h(t). En un petit interval de temps 4t, ha sortit

64π h(t+4t)− 64π h(t) = −π(0.1)2 5√h(t)4 t.

Aixı obtenim l’equacio

64�π h′(t) = −�π (0.05)

√h(t)

64dh

dt= −(0.05)

√h(t)

Es de variables separades dh√t= − 1

1280dt −→ 2

√h(t) = − t

1280+ c. Quan

t = 0, h(0) = 10 −→ c = 2√10.

h(t) =1

4

(2√10− t

1280

)2

Tindrem h(T ) = 0 quan T = 1280 · 2 ·√10 segons.

1.8 Equacions lineals de 1er. ordre

Son les equacions del tipus

y′(x)− a(x)y(x) = b(x)

on a(x), b(x) son funcions donades. Designem pe

Ly(x) = y′(x)− a(x)y(x)

a part esquerra de l’equacio. Pensem L com quelcom que assigna a cadafuncio y(x) una nova funcio de x definida per Ly(x) = y′(x)− a(x)y(x).

y(x)

L

Ly(x)


Habitualment es visualitza L com una “caixa negra”on hi ha una entraday(x) i una sortida Ly(x) (per exemple un circuit). L s’anomena “operador”,aqui opera sobre les funcions.

El terme “lineal”prove del fet que si tenim funcions y1(x), · · · , yn(x) iescalars λ1, · · · , λn llavors

L (λ1y1 + · · ·+ λnyn) = λ1L(y1) + · · ·+ λnL(yn).

Es a dir, L es un operador lineal. Resoldre l’equacio significa llavors esbrinarquines entrades y(x) donen lloc a una sortida prefixada b(x).

Aquest caracter de linealitat fa que hi hagi un paral.lelisme entre aquestasituacio i la dels sistemes lineals d’equacions A · X = B. En els sistemeslineals A · X = B la incognita es un vector columna X i associem tambel’aplicacio lineal

Rn 7−→ Rn

X 7−→ A ·X A matriu m× n.

Resoldre el sistema lineal A · X = B significa trobar els X que aquestaaplicacio lineal transforma en el vector donat B.

La nocio corresponent a la del sistema lineal homogeni A ·X=0 associata A·X=B es en aquest cas l’equacio lineal homogenia associada y′−a(x)y =b(x) que es

y′(x)− a(x)y(x) = 0.

En els sistemes lineals A ·X = B, si Xp es una solucio particular (quan elsistema es compatible), la solucio general de A ·X = B es

X = Xp +Xh

on Xh es la solucio general del sistema homogeni associat, Xh ∈ NucA.Aixo es degut a la linealitat de X 7→ A ·X:

A · (X −Xp) = A ·X − A ·Xp = B −B = 0.

A mes, sabem que NucA —el conjunt de solucions del sistema homogeni—es un subespai vectorial de Rn de dimensio n− rang(A).

La linealitat de g(x) 7→ Ly(x) fa que quelcom semblant sigui cert per al’equacio lineal y′(x)− a(x)y(x) = b(x). Si yp(x) es una solucio particular,llavors

L(y − yp)(x) = L(y)(x)− L(yp)(x) = b(x)− b(x) = 0

cosa que significa que y − yp = yh es solucio de l’homogenia L(yh)(x) = 0.Per tant, la solucio general de y′(x)− a(x)y(x) = b(x) l’obtindrem sota

la formay(x) = yp(x) + yh(x)

on yp(x) es una solucio particular i yh(x) es la solucio general de l’equaciohomogenia y′(x)− a(x)y(x) = 0.

D’altra banda, la linealitat tambe implica que a l’hora de trobar unasolucio particular quan b(x) = b1(x) + · · ·+ bN(x), ho podem fer separada-ment, es a dir, s’expressara yp(x) = y1p(x)+ · · ·+ yNp (x) on yjp es una solucioparticular de Ly = bj(x).

Materials 9

1. Comencen doncs amb la solucio de l’equacio homogenia.L’equacio homogenia y′ − a(x)y = 0 es de variables separades:

dy

dx= y′ = +a(x)y −→ dy

y= +a(x)dx.

Integrant: ln |y| = +∫a(x)dx. Si A(x) es una antiderivada concreta de a,

A′ = a1 +∫a(x)dx = +A(x) + c, per tant

ln |y| = +A(x) + c, |y(x)| = e+A(x)ec

d’on resulta queyh(x) = K e+A(x)

amb K ∈ R real arbitrari, es la solucio general de l’homogenia. Veiemque totes son multiples escalars d’una funcio e+A(x), es a dir, el conjuntde solucions yh(x) de l’equacio lineal homogenia es un espai vectorial dedimensio 1.

2. Anem ara a trobar la solucio particular de y′ − a(x)y = b(x) amb elmetode de variacio de les constants. De fet trobarem directament la soluciogeneral. Fem senzillament un canvi de variable funcio:

y(x) = K(x) e+A(x)

“fent variable” la constant que descriu la solucio general de l’homogenia.Aixo significa que ens preocupem ara de determinar K(x) en lloc de y(x);les funcions y(x), K(x) es determinen mutuament una a l’altra i imposarema K(x) que y(x) = K(x)e+A(x) sigui solucio:

y(x) = K(x)e+A(x) −→ y′(x) = K ′(x)e+A(x) − A′(x)K(x)e+A(x)

= K ′(x)e+A(x) − a(x)K(x)e+A(x)

Ly(x) = y′(x) + a(x)y(x)

= K ′(x)e+A(x) − a(x)K(x)e+A(x) + a(x)K(x)e+A(x)

= K ′(x)e+A(x)

L’equacio Ly(x) = b(x) s’escriu per tant K ′(x)e+A(x) = b(x) que es“immediata”:

K ′(x) = e−A(x)b(x) −→ K(x) =

∫e−A(x)b(x)dx.

Si B(x) es una antiderivada concreta de e−A(x)b(x), B′(x) = e−A(x)b(x), aixosignifica K(x) = B(x) + c. Per tant

y(x) = (B(x) + c)e+A(x)

es la solucio general. Observem que te l’estructura

y(x) = B(x) e+A(x)︸︷︷︸yp(x)

+ c e+A(x)︸︷︷︸yp(x)

.


Com en totes les equacions d’ordre 1, la solucio general depen d’una cons-tant arbitraria, hi ha un grau de llibertat. En aquest punt es trencal’analogia amb els sistemes lineals A · X = B: els sistemes lineals podenser incompatibles, sense solucions, mentre que una equacio lineal diferencialy′ + a(x)y = b(x) sempre es compatible indeterminada, amb un grau dellibertat. Al imposar una condicio inicial y(x0) = y0 queda determinadacompletament la solucio.

Exemple 1.2. Calculem la solucio general de y′ + xy = x.L’equacio homogenia y′+xy = 0 te solucio general y

′

y= −x, dy

y= −xdx,

y = K e−x2

2 . Busquem ara la solucio sota la forma y(x) = K(x) e−x2

2 .

y′ = K ′ e−x2

2 − xK(x) e−x2

2 ; y′ + xy = K ′ e−x2

2 → K ′ = e+x2

2 x → K(x) =

+e+x2

2 + c. La solucio general es

y = K(x) e−x2

2 =(e

x2

2 + c)e−

x2

2 = 1 + c e−x2

2 .

En aquest cas yp ≡ 1 es una solucio particular i c e−x2

2 la general de l’ho-mogenia.

Exemple 1.3. El regim general d’intensitat variable en un circuit ambresistencia R i autoinduccio L esta determinat per l’equacio diferencial (arala variable independent x es substituıda per t)

LdI

dt+RI = E(t)

on I(t) es la intensitat i E(t) la f. e.m exterior. Tambe els circuits ambun sol condensador plantejen la mateixa equacio diferencial sobre la tensioV (t)

dV

dt+

1

τV (t) =

Voc(t)

τ.

El problema matematic es per tant exactament el mateix: amb la notacioanterior es el cas que a(x) es una funcio constant, a(x) = λ

y′ + λy = b(x)

(on λ = RL, 1

τrespectivament, b = E

L, b = Voc

τrespectivament). Segons el

calcul anterior, la solucio general es (A(x) = −λx)

y(x) = c e−λτ + e−λx∫eλxb(x)dx = yh(x) + yp(x).

Per exemple, quan b(x) es tambe constant = b0,

y(x) =1

λb0 + c eλx.

En termes de y(0) = y0 =1λb0 + c,

y(x) =b0λ

+

(y0 −

b0λ

)e−λx = y0 e

−λx +b0λ

(1− eλx

).

Materials 11

Aquest es el cas de la descarrega d’un circuit amb generador de correntcontınua E

I(t) =E0

R

(1− e−

RLt) (

b0 =E0

L, λ =

R

L

).

Com a l’altre exemple fem amb detall el cas b(x) = b0 sinωx. Cal calcular

b0

∫eλx sinωx dx = K(x).

Aquesta integral pot fer-se en dues etapes, i tambe utilitzant fasors com araveurem. Senzillament observem que

eλx sinωx = eλx Im eiωx = Im e(λ+iω)x

i per tant K(x) =∫Im e(λiω)xdx = Im

∫e(λ+iω)xdx. Recordem que e(λ+iω)x

es una funcio que pren valors complexos i∫e(λ+iω)xdx—que designa la seva

antiderivada general— tambe ho sera. Ara be, com que per a µ ∈ C tambeval la regla de derivacio (per a funcions amb valors complexos) (eµx)′ = µeµx

tindrem ∫eµxdx =

1

µeµx + α, α ∈ C.

Aixı,∫e(λ+iω)xdx = 1

λ+iωe(λ+iω)x + α, d’on resulta

K(x) = b0 Ime(λ+iω)x

λ+ iω+ c = b0 Im

(λ− iω)e(λ+iω)x

λ2 + ω2+ c

=b0e

λx

λ2 + ω2Im[(λ− iω)eiωx

]+ c

=b0e

λx

λ2 + ω2[λ sinωx− ω cosωx] + c.

Si pensem λ+ iω en forma polar, λ+ iω = Aeiϕ, A =√λ2 + ω2, tgϕ = ω

λ

ho podem escriure en la forma

K(x) =b0e

λx

Asin(ωx− ϕ) + c

amb la qual cosa la solucio general es

y(x) = ce−λx +b0A

sin(ωx− ϕ).

Com sempre, la constant c es determina a partir de la condicio inicialy(0) = y0: y0 = c− b0

Asinϕ→ c = y0 +

b0A

sinϕ = y0 +b0 ωλ2+ω2

y(x) = y0e−λx +

b0 ω

λ2 + ω2eλx +

b0√λ2 + ω2

sin(ωx− ϕ)

Quan λ > 0 (que es el cas dels circuits), quan x→ +∞ els termes que tenene−λx s’extingeixen i queda el terme

b0√λ2 + ω2

sin(ωx− ϕ)


que s’anomena el regim permanent. Es la resposta “a llarg termini”a l’en-trada b0 sinωx; observem dos efectes: l’amplitud es modifica per un factori hi ha un desfse ϕ. Els termes en e−λx

y0 e−λx +

b0 ω

λ2 + ω2e−λx

junts formen el que s’anomena la resposta transitoria. La descomposi-cio en regim permanent i transitori es diferent de la descomposicio “ma-tematica”y(x) = y1(x) + y2(x), on y1(x) es la solucio del problema homo-geni Ly(x) = 0, y(0) = y0, i y2(x) la solucio del problema no homogeniLy(x) = b(x), y(0) = 0. Aquesta descomposicio matematica pot fer-se pera qualsevol equacio lineal, perque es clar que llavors

L(y1 + y2) = L(y1)(x) + L(y2)(x) = 0 + b(x) = b(x)

(y1 + y2)(0) = y1(0) + y2(0) = y0 + 0 = y0.

En el cas particular que estem

y1(x) = y0 e−λx, y2(x) =

b0 ω

λ2 + ω2e−λx +

b0√λ2 + ω2

sin(ωx− ϕ).

El terme y1(x) s’anomena la resposta natural (resposta sense excitacio ex-terna) el terme y2(x) la resposta a l’estat nul.

1.9 Equacions de Bernoulli i de Ricatti

Es tracta d’equacions que mitjancant canvis de funcio es redueixen a equa-cions lineals. L’equacio de Bernoulli es

y′ + A(x)y = B(x)y′′.

Fent el canvi de funcio u(x) = (y(x))1−n, com que u′ = (1 − n)y−ny′,y′ = u′yn/(1− n), s’obte u′ + (1− n)A(x)u = (1− n)B(x), que es lineal.

Exemple 1.4. y′ + y2 = yx, y′ − y

x= y2 (A(x) = − 1

x, B(x) = 1, u = 2).

Fem el canvi u = 1y: y′ = − u′

u2

− u′

u2− 1

ux=

1

u2−→ u′ +

u

x= −1.

L’homogenia u′ + ux

= 0 te solucio u(x) = Kx. Posem u(x) = K(x)

x→

K′

x− K

x2+ K

x2= −1 → K ′(x) = −x, K(x) = −x2

2+ c → u(x) = −x

2+ c

x=

2c−x22x

= k−x22x

→ y(x) = 1u= 2x

2−x2 .

L’equacio de Ricatti es de la forma

y′(x) = A(x) +B(x)y + C(x)y2.

Si es coneix una solucio particular y=ϕ(x), el canvi de funcio y=ϕ(x)+ 1u(x)

la redueix a una equacio lineal. Per exemple,

x(x− 1)y′ − (1− 2x)y + y2 = 2x

Materials 13

te solucio particular y ≡ 1. Fent y = 1 + 1u, y′ = − u′

u2

− x(x− 1)

u2u′ − (1− 2x)

(1 +

1

u

)+

(1 +

1

u

)2

= 2x

x(1− x)u′ − (1− 2x)(u2 + u) + (u+ 1)2 = 2xu2

x(1− x)u′ −��u2 − u+��2xu2 + 2xu+��u

2 + 2u+ 1 =��2xu2

x(1− x)u′ + (1 + 2x)u = −1.

que es lineal.

1.10 Sistemes d’equacions diferencials lineals de primer ordre

Es tracta de la situacio seguent: en lloc d’una sola funcio incognita y(x) entenim n: y1(x), y2(x), · · · , yn(x) i en lloc d’una sola equacio diferencial entenim n, del tipus

y′i(x)− (ai1(x)y − 1(x) + ai2(x)y2(x) + · · ·+ ain(x)yn(x)) = bi(x),

i = 1, · · · , n.

Per exemple, amb n = 2,

y′1(x)− (cosxy1(x) + exy2(x))=x3

y′2(x)−(sinxy1(x)− x2y2(x)

)= ln(1 + x2).

Es costum escriure aquests sistemes en forma matricial com segueix: intro-duim la columna-funcio Y (x) i les matrius-funcions A(x), B(x)

Y (x)=

y1(x)y2(x)...

yn(x)

, A(x)=

a11(x) a12(x) · · · a1n(x)a21(x) a22(x) · · · a2n(x)

......

......

an1(x) an2(x) · · · ann(x)

,B(x)=

b1(x)b2(x)...

bn(x)

de forma que el sistema s’escriu formalment igual que en l’apartat anterior

Y ′(x)− A(x) · Y (x) = B(x).

Les funcions aij(x), bi(x) son donades, (es a dir, les matrius A(x), B(x) ies tracta de trobar la solucio general que aquı vol dir l’expressio general defamılies de n funcions y1(x), · · · , yn(x) que al substituir-les a l’equacio lescompleixen identicament.

Pot demostrar-se que si a un sistema d’aquest tipus Y ′−A(x)Y = B(x)s’hi afegeixen condicions inicials yi(x0) = yi0, i = 1, · · · , n, es a dir, Y (X0) =Y0 donat, aleshores hi ha una solucio unica. Aixo significa que la soluciogeneral depen de n constants arbitraries, te n graus de llibertat. Aquest fetes general per a tots els sistemes d’equacions d’ordre 1, no necessariamentlineals

y′1(x) = F1(x, y1, · · · , yn)y′2(x) = F2(x, y1, · · · , yn)...

y′n(x) = Fn(x, y1, · · · , yn)

Y ′(x) = F (x, Y (x)).


Afegint-hi una condicio inicial (vectorial) Y (x0) = Y0 ( yi(x0) = yi0, i =1, · · · , n) aquest problema te solucio unica.

Aquı nomes tractarem alguns casos de sistemes lineals i aquells on lamatriu A(x) es constant, no depen de x (es a dir, les funcions aij(x) sonconstants) —posem A(x) = A— i a mes a mes es diagonalitzable. Recordemque aixo significa que hi ha una matriu M inversible tal que M−1AM = Des diagonal. Si els elements de la diagonal de D son D = D(λ1, · · · , λn)

M−1AM = D(λ1, · · · , λn), AM =MD

aixo vol dir que vi —la columna i-sima de M— compleix Avi = λvi: elsnombres λ1, · · · , λn son els valors propis de A i v1, · · · , vn son vectors propisque formen una base.

Fem el canvi de variable-funcio donat per Z(x) = (z1(x), . . . , zn(x))

Y (x) =MZ(x), Z(x) =M−1Y (x)

la qual cosa significa que (z1(x), · · · , zn(x)) es l’expressio del vector Y (x) =(y1(x), · · · , yn(x)) en la base v1, · · · , vn)

Y ′(x) =MZ ′(x) −→MZ ′(x)− A MZ(x) = B(x)

Z ′(x)−M−1AMZ(x) =M−1B(x) = B(x)

Z ′(x)−D · Z(x) = B(x)

En ser D diagonal D = D(λ1, · · · , λn), el que succeeix es que aquest sistemaes desacoplat, es a dir,

z′i(x)− λizi(x) = bi(x) i = 1, · · · , n

i el podem resolde separadament.Es habitual utilitzar la notacio t en lloc de x per a la variable inde-

pendent, i (x1(t), · · · , xn(t)) en loc de (y1(x), · · · , yn(x)) per a les funcionsincognites. Quan n = 2, s’utilitza (x(t), y(t)).

Exemple 1.5.x′ = x+ 2yy′ = 2x+ y

A =

(1 22 1

). Mirem de diagonoalitzar A.

El polinomi caracterıstic es det

(1− λ 22 1− λ

)= (1 − λ)2 − 4 = 0 que te

solucions (1 − λ) = ±2 → λ = −1, 3. Plantegem (A + I)v = 0. Com que

A + I =

(2 22 2

), els vectors propis de valor propi −1 son tots multiples

de (+1,−1). La matriu A− BI es

(−2 22 −2

)i els vectors propis de valor

propi 3 son els multiples de (1, 1). Aixı v1 =

(1−1

), v2 =

(11

), M =(

1 1−1 1

). Comprovem que M−1AM =

(−1 00 3

). M−1 = 1

2

(1 −11 1

)→

AM =

(−1 31 3

)M−1AM = 1

2

(1 −11 1

)(−1 31 3

)=

(−1 00 3

). Fem el

Materials 15

canvi Z(t) =M−1

(x(t)y(t)

), es a dir,

z1(t) =1

2(x(t)− y(t)) x(t) = z1(t) + z2(t)

z2(t) =1

2(x(t) + y(t)) y(t) = −z1(t) + z2(t).

En termes de z1(t), z2(t) el sistema es desacopla:

z′1(t) =1

2(x′(t)− y′(t)) =

1

2(x(t) + 2y(t)− 2x(t)− y(t)

=1

2(−x(t) + y(t)) = −z1(t)

z′2(t) =1

2(x′(t) + y′(t)) =

1

2(x(t) + 2y(t) + 2x(t) + y(t))

=1

2(3x(t) + 3y(t)) = 3z2(t).

La solucio general de z′1=−z1 es z1(t)=c1e−t i la de z′2 = 3z2 es z2(t) = c2e3t.

Per tant, la solucio general del sistema original es x(t) = c1e−t + c2e

3t,y(t) = −c1e−t + c2e

3t.

1.11 Equacions diferencials d’ordre superior

Una equacio diferencial d’ordre dos es una del tipus

F (x, y, y′, y′′) = 0.

La mes senzilla de totes es y′′ = 0 que te per solucio general y(x) = c1x+ c2amb c1, c2 ∈ R arbitraris. En efecte, senzillament pensem en trobar primery′, com (y′)′ = 0 sera y′ constant = c1 i de y

′(x) = c1 deduim y(x) = c1x+c2.Esta clar que aixo mateix ho podrem fer quan l’equacio no contingui

f(x), es a dir, nomes apareguin x, y′, y′′ en l’equacio.

Exemple 1.6. y′′ + y′ = e3x. Posem z = y′, z′ + z = e3x. Es lineal ambsolucio general z(x) = c1e

−x+ 14e3x. De y′(x) = z(x) = c1e

−x+ 14e3x deduim

y(x) = −c1e−x + 112e3x + c2 com a solucio general.

Veiem que novament la solucio general d’una equacio d’ordre dos depende dues constants c1, c2 ∈ R arbitraries, te dos graus de llibertat. Aixo escert per a qualsevol equacio d’ordre dos. Aleshores, una sola condicio inicialy(x0) = y0 com en el cas de les equacions d’ordre 1 no es suficient per adeterminar completament una solucio. En aquest cas cal una altra condicio,que pot ser prefixar la solucio y(x) en algun altre punt, y(x1) = y1, o be

conservant el punt x0 pero ara imposant y′(x0) = y(1)0 .

Quan s’imposa y(x0) = y0, y(x1) = y1, es parla d’unes condicions decontorn perque de la funcio incognita y(x) n’estem prefixant els valorsen la frontera o contorn del interval (x0, x1). Quan s’imposa y(x0) = y0,y′(x0) = y′′0 es parla de condicions inicials o de Cauchy. Les condicionsde Cauchy determinen unicament la solucio. Les condiciosn de contormtıpicament tambe, pero hi ha casos excepcionals.


Exemple 1.7. Si a l’equacio anterior y′′ + y′ = e3x imposem y(0) = 0,y′(0) = 0 a la solucio general y(x) = −c1e−x + 1

12e3x + c2 trobem c2 − c1 =

− 112, c1 = −1

4per tant c2 = −1

3.

Si imposem y(0) = 0, y(1) = 0, trobem c2 − c1 = − 112, −c1e−1 + 1

12e3 +

c2 = 0 que permeten trobar c1, c2.

De la mateixa forma, donada una equacio diferencial d’ordre n

F (x, y(x), y′(x), · · · , y(n)) = 0

la solucio general dependra de n constants arbitraries c1, c2, · · · , cn ∈ R.Juntament amb n condicions inicials

y(x0) = y00, y′(x0) = y

(1)0 , · · · , y(n−1)(x0) = y

(n−1)0

(prefixant en un punt x0 el valor de la funcio i de les n− 1 primeres deriva-des), el problema te solucio unica.

1.12 Equacions lineals d’ordre n amb coeficients constants

En aquest curs ens limitarem a les equacions lineals d’ordre n amb coeficientsconstants, que son les del tipus

y(n)(x) cn−1y(n−1)(x) + cn−2 y

(n−2)(x) + · · ·+ c1 y′(x)c0 y(x) = b(x)

on els escalars c0, c1, · · · , cn−1 ∈ R son donats i b(x) tambe es una funciodonada. Es costum designar y′ = Dy, y′′ = D2y, etc, de forma que enaquest cas escrivim

(Ly)(x) = y(n)(x) + cn−1 y(n−1)(x) + · · ·+ c0 y(x) = (P (D)y)(x)

on P (D) = Dn + cn−1Dn−1 + · · · + c1D + c0. La linealitat de y(x) →

P (D)y(x)

P (D)(λ1y1 + · · ·+ λn yn) = λ1P (D)y1 + · · ·+ λnP (D)yn

igual que en el cas n = 1 implica els seguents fets:

1. El conjunt de solucions de l’equacio homogenia P (D)y = 0 forma unespai vectorial de funcions. Veurem que aquest espai te dimensio n itrobarem una base d’aquest espai φ1(x), · · · , φn(x). Aixo significa que lasolucio general yh(x) de l’equacio homogenia sera:

y(x) = λ1φ1(x) + λ2φ2(x) + · · ·+ λnφn(x).

La famılia (φ1, · · · , φn) s’anomena una famılia fonamental.

2. La solucio general de l’equacio no homogenia P (D)y = b(x) es

y(x) = yh(x) + yp(x)

on yp(x) es una solucio particular i yh(x) es la solucio general de l’equaciohomogenia. Tambe veurem formes concretes de calcular yp(x) a partirde yh(x).

Materials 17

3. Si el terme b(x) es suma d’uns quants termes b1(x) + · · · + bm(x) percalcular yp(x) ho farem per a cada bj(x) per separat, P (D)yjp = bj illavors yp = y1p + · · ·+ ymp .

1. Associem a l’equacio P (D)y = b(x) el polinomi caracterıstic

P (z) = zn + cn−1 zn−1 + · · ·+ c1 z + c0

i considerem la factoritzacio d’aquest polinomi en els complexes

P (z) = (z − α1)m1 · · · (z − αk)

mk

es a dir, α1, · · · , αk son els zeros (complexes o reals) de P i m1, · · · ,mk lesseves multiplicitats. Llavors

P (D) =)(D − α1)m1 · · · (D − αk)

mk .

Aixo significa que per obtenir P (D)y(x) per a una funcio donada y(x) apli-quem successivament a y(x) els operadors D−αk (mk vegades), etc., fins a(D − α1) m1 vegades, i a mes no importa l’ordre en que ho fem.

Comencem amb el punt 1. Malgrat que ens interessen solament lesfuncions y(x) reals que son solucio de P (D)y(x) = 0, resulta mes clar isenzill d’aplicar la descripcio de totes les funcions y(x) complexes tals queP (D)y(x) = 0. Aixo ve motivat per la factoritzacio P (D) = (D−α1)

m1 · · ·(D − αk)

mk on els α’s poden ser complexes. Si busquem y(x) real tal que

(D − α1)m1 · · · (D − αk)

mky(x) = 0

ho escrivim

(D − α1) [(D − α1)m1(D − α2)

m2 · · · (D − αk)mk ] y(x) = 0.

Malgrat que y(x) sigui real, pot ser que z(x)=[(D−α1)m1−1· · · (D−αk)mk ]y(x)

sigui complexa i per aquest motiu treballem amb funcions complexes. Enstrobem doncs amb una equacio del tipus

(D − α)z(x) = 0

i ens interesen les funcions complexes que son solucio d’aixo (que vol dir queho son la part real i la imaginaria). Igual que en el cas real de les equacionslineals d’ordre 1, busquem z(x) sota la forma z(x) = K(x)eαx amb K(x)complexa. Recordant que (eαx)′ = αeαx,

(D − α) (K(x) eαx) = K ′(x) eαx + αK(x) eαx − αK(x) eαx = K ′ eαx.

Per tant K ′(x) = 0, es a dir, K(x) = k ∈ C → z(x) = k eαx.A partir d’ara considerem amb detall el cas n = 2. Tenim dos casos a

considerar, segons is P (z) te una arrel doble (real) o be dos arrels diferentsα1, α2 (reals diferents o be α1 = α /∈ R α2 = α).

Si les arrels son diferents, P (D) = (D − α1)(D − α2) α1 6= α2. SiP (d)y(x) = 0, segons el que acabem de dir, z(x) = (D − α2)y(x) es de laforma k1 e

α1x amb k1 ∈ C. Per resoldre

(D − α2)y(x) = k1 eα1x


busquem y(x) sota la forma y(x) = K(x) eα2x. Com es habitual, trobemK ′(x) eα2x = k1 e

α1x, es a dir, K ′(x) = k1 e(α1−α2)x. La solucio general

d’aixo (complexa) es K(x) = k1α1−α2

e(α1−α2)x + k2 amb k2 ∈ C d’on y(x) =

d1 eα1x + d2 e

α2x (d1 =k1

α1−α2, d2 = k2) amb d1, d2 generals ∈ C.

En el cas d’una arrel doble (α1 = α2 = α), amb el mateix procedimentarribem a K ′(x) = k1 d’on K(x) = k1x+ k2, y(x) = k1 x e

αx + k2 eαx.

Aixı ja tenim l’expressio general de totes les solucions y(x) complexesde P (D)y(x) = 0

y(x) = d1 eα1x + d2 e

α2x d1, d2 ∈ C α1 6= α2

y(x) = d1 xeαx + d2 e

αx d1, d2 ∈ C α1 = α2 = α.

Quines d’aquestes son funcions reals? Quan l’arrel es doble α1 = α2 = α,aquesta α es forcosament real, llavors y(x) = d1 xe

αx + d2 eαx es real quan

d1, d2 son reals. El mateix passa quan les arrels son diferents i reals, cal d1,d2 ∈ R. Ara be, quan α1 = α /∈ R; α2 = α, dir que y(x) es real significa

d1 eα1x + d2 e

α2x = y(x) = y(x) = d1 eα1 x + d2 e

α2 x = d1 eα2x + d2 e

α1x

es a dir, (d1 − d2) eα1x = (d1 − d2) e

α2x, que obliga d1 = d2. Llavors y(x) =d1 e

α1x + d1 eα1x = 2Re d1 e

α1x, i si d1 = a+ ib α = λ+ iω, tenim

y(x) = 2(a eλx cosωx− b eλx sinωx

).

Com que d1 = a+ ib es arbitrari tenim finalment

y(x) = λ1 eλx cosωx+ λ2 e

λx sinωx.

Resumint, en el cas n = 2 la solucio general yh(x) de l’homogenia reales

• Arrels de P (z) reals α1, α2 diferents: yh(x) = λ1 eα1x + λ2 e

α2x,λ1, λ2 ∈ R.

• Arrel de P (z) real α doble: yh(x) = λ1 xeαx + λ2 e

αx, λ1, λ2 ∈ R.

• Arrels de P (z) α /∈ R, α, α = λ + iω: yh(x) = λ1 eαx cosωx +

λ2 eαx sinωx, λ1, λ2 ∈ R.

En tots tres casos tenim dues funcions φ1(x), φ2(x) tals que la soluciogeneral yh(x) es combinacio lineal d’elles. En el cas n general les n funcionsφ1(x), · · · , φn(x) s’obtenen de la seguent forma:

• Per a cada zero real α de P (z) amb multiplicitat m, les m funcionseαx, x eαx, x2 eαx, · · · , xm−1 eαx.

• Per a cada parella α, α, α /∈ R, de P (z) amb multiplicitat m, les 2mfuncions sinα=λ+iω, eλx sinωx, eλx cosωx, x eλx sinωx, x eλx cosωx,· · · , xm−1 eλx sinωx, xm−1 eλx cosωx.

Materials 19

Exemple 1.8. L’equacio y(v) + 4y(iv) + 2y′′′ − 14y′′ − 23y′ − 10y = 0 tepolinomi caracterıstic z5+4z4+2z3− 14z2− 23z− 10. Les arrels son 2, −1(amb multiplicitat 2), −2 + 1, −2− i, es a dir

P (z) =[(z + 2)2 + 1

](z + 1)2(z − 2).

La solucio general es per tant

yh(x) = λ1 e−2x cosx+ λ2 e

−2x sin x+ λ3 e−x + λ4 x e

−x + λ5 e2x.

Insistim en el fet que la solucio general de P (D)y = 0 es

y(x) = λ1φ1(x) + λ2φ2(x) + · · ·+ λnφn(x) λ1, λ2, · · · , λn ∈ R

una combinacio lineal arbitraria de φ1(x), · · · , φn(x). Una propietat moltimportant es que φ1(x), · · · , φn(x) son linealment independents, es a dir, capd’elles es pot expressar com a combinacio lineal de les altres. O encara ditd’una altra forma, si

λ1φ1(x) + λ2φ2(x) + · · ·+ λnφn(x) ≡ 0 ∀x

llavors λ1 = λ2 · · · = λn = 0. Analitzem aixo en el cas n = 2.Quan les arrels son reals diferents, α1, α2, tenim

λ1eα1x + λ2e

α2x = 0 ∀x.

Tenim una equacio per a cada x! Es clar que ha de ser λ1 = λ2. Per exempleprenem x 6= y i escrivim les equacions corresponents

λ1eα1x + λ2e

α2x = 0

λ1eα1y + λ2e

α2y = 0.

El determinant del sistema es eα1xeα2y− eα2xeα1y i nomes sera zero si α1x+α2y = α2x+α1y es a dir, (α1−α2)(x−y) = 0. Prenent x 6= y el determinantes 6= 0 i per tant λ1 = λ2 = 0.

En els altres casos es pot veure analogament. Una nocio relacionadaamb la independencia lineal d’un sistema fonamental φ1(x), · · · , φn(x) esla del wronskia. Si λ1φ1(x) + λ2φ2(x) + · · · + λnφn(x) ≡ 0 ∀x, derivantsuccessivament tambe sera

λ1φ1(x) + λ2φ2(x) + · · ·+ λnφn(x) = 0

λ1φ′1(x) + λ2φ

′2(x) + · · ·+ λ′nφn(x) = 0

...

λ1φ(n−1)1 (x) + λ2φ

(n−1)2 (x) + · · ·+ λnφ

(n−1)n (x) = 0

(derivem n − 1 cops per tenir n equacions, tantes com λ1, · · · , λn). Un fetbasic es que si φ1, · · · , φn es el sistema fonamental, llavors el determinantd’aquest sistema homogeni

W (φ1, · · · , φn)(x) = det

φ1(x) φ2(x) · · · φn(x)φ′1(x) φ′

2(x) · · · φ′n(x)

...

φ(n−1)1 (x) φ

(n−2)2 (x) · · · φ

(n−1)n (x)

6= 0 ∀x


cosa que implica λ1 = λ2 = · · · = λn = 0. W (φ1, · · · , φn) s’anomena elwronskia de φ1, · · · , φn-

Comprovem aquest fet quan n = 2: si φ1(x) = eα1x, φ2(x) = eα2x ambα1, α2 ∈ R, α1 6= α2

W (φ1, φ2)(x) = det

(eα1x eα2x

α1eα1x α2e

α2x

)= (α2 − α1) e

(α1+α2)x 6= 0 ∀x

En el cas d’arrel doble α,

W (φ1, φ2)(x) = det

(eαx x eαx

αeαx eαx + αx eαx

)= e2αx + αx e2αx − αx e2αx = e2αx 6= 0

i en el cas d’arrels complexes

W (φ1, φ2)(x)=det

(eλx cosωx eλx sinωx

λ eλx cosωx− ω eλx sinωx λ eλx sinωx+ ω eλx cosωx

)= ω e2λx 6= 0.

Resumint, el conjunt de totes les solucions de l’equacio homogeniaP (D)y(x) = 0 es un espai vectorial de dimensio n, i la famıliaφ1, · · · , φn es una base d’aquest espai: tota solucio y(x) te una unicaexpressio com a combinacio lineal de les funcions φ1(x), · · · , φn(x).

2. Parlem ara de com trobar solucions particulars o equivalentment decom trobar la solucio general y(x) = yh(x) + yp(x) de P (D)y(x) = b(x).Explicarem dos metodes: el metode directe valid per a qualsevol funcio b(x)i el metode D que tan sols s’aplica quan b(x) es una combinacio lineal defuncions del tipus xk eαx, xk eλx cosωx, xk eλx sinωx.

El metode directe consisteix en fer el mateix que hem fet abans en re-soldre l’equacio homogenia: trobar la solucio general treballant sobre elscomplexos resolent reiteradament les n equacions lineals plantejades en

(D − α1)(D − α2) · · · (D − αn)y(x) = b(x)

(ara escrivim cada zero α tantes vegades com indica la seva multiplicitat).En fer aixo, si conservem totes les constants d’integracio que apareguinarribarem a la solucio general ja expressada sota la forma y(x) = yp(x) +c1φ1(x) + · · · + cnφn(x); si es que ja hem calculat abans φ1(x), · · · , φn(x),tambe podem triar les constants d’integracio de forma que el proces resultiel mes senzill possible.

Exemple 1.9. y′′ + y′ − 2y = e−x. Aquı P (z) = z2 + z − 2 te zeros 1, −2,P (z) = (z − 1)(z + 2), φ1(x) = ex, φ2(x) = e−2x, P (D) = (D − 1)(D + 2)

(D − 1) (D + 2)y(x)︸︷︷︸z(x)

= e−x.

Materials 21

Resolem (D−1)z(x) = z′(x)−z(x) = e−x. L’homogenia z′−z = 0 te soluciogeneral zh(x) = Kex, per tan assajem z(x) = K(x)ex i trobemK ′(x)ex=e−x

→ K ′(x) = e−2x → K(x) = −12e−2x + c → z(x) = −1

2e−x + c ex. Ara hem

de resoldre

(D + 2)y = y′ + 2y = z(x) = −1

2e−x + c ex.

L’homogenia y′ + 2y = 0 te solucio y(x) = K e−2x, per tant provem y(x) =K(x) e−2x, trobem K ′(x) e−2x = −1

2e−x + c ex → K ′(x) = −1

2ex + c e3x

→ K(x) = −12ex+ c

3e3x+ d → y(x) = −1

2e−x+ c

3ex+ d e−2x. Aquı c, d son

constants arbitraries i per tant tambe ho son c3= c1, d = c2

y = −1

2e−x + c1 e

x + c2 e−2x = yp(x) + yh(x).

Aquest procediment es fa igual encara que les arrels de P siguin com-plexes:

Exemple 1.10. y′′−2y′+5y = ex. Aquı P (z) = z2−2z+5 te arrels 1±2i,α1 = 1 + 2i, α2 = 1− 2i = α1 → φ1(x) = ex cos 2x, φ2(x) = ex sin 2x

[D − (1 + 2i)] [D − (1− 2i)]y(x)︸︷︷︸z(x)

= ex

Resolem (D−α1)z = z′−α1z = ex. L’homogenia z′ = α1z te solucio generalzh(x) = K eα1x per tant assajem z(x) = K(x) eα1x per trobarK ′(x) eα1x=ex

→ K ′(x) = ex e−α1x = ex e−x e−2ix = e−2ix → K(x) = − 12ie−2ix + c =

i2e−2ix + c → z(x) =

(i2e−2ix + c

)eα1x = i

2ex + c eα1x. Triem c = 0 per

simplificar. Ara cal resoldre

(D − α2) y = y′ − α2y = z =i

2ex

L’homogenia y′ = α2y te solucio yh(x) = eα2x per tant provem y(x) =K(x) eα2x per trobar K ′(x) eα2x = i

2ex → K ′(x)= i

2ex e−α2x= i

2ex e−x e2ix=

i2e2ix → K(x) = 1

4e2ix + d (triem d = 0) → y(x) = 1

4e2ix eα2x = 1

4ex es una

solucio particular. La general 14ex + c1 e

x cos 2x+ c2 ex sin 2x

Observem que tot i que durant el procediment poden apareixer funcionscomplexes, al final acabem obtenint una solucio real. Sempre que es puguies util treballar amb exponencials complexes, substituint sinus, cosinus perles respectives exponencials.

Exemple 1.11. y′′ − 2y′ + 2y = ex sinx. Aquı P (z) = z2 − 2z + 2 tearrels 1 ± i, α1 = 1 + i, α2 = α1 = 1 − i, φ(x) = ex cos x, φ2(x) = ex sinx(fixem-nos que en aquest cas particular b(x) = φ2(x), φ2(x) = b(x) es lapart imaginaria de eα1x i trobarem la solucio complexa de

y′′ − 2y′ + 2y = eα1x

i llavors la seva part imaginaria sera solucio real de y′′ +2y′ +2y = ex sin x.Escrivim

(D − α1) (D − α2) y︸︷︷︸z

= eα1x.


Resolem z′ − z = eα1x → K ′(x) eα1x = eα1x → K ′(x) = 1 → Kp(x) = x→ zp(x) = xeα−1x. Ara toca resoldre y′ − α2 y = z = x eα1x

y(x) = K(x) eα2x → K ′(x) eα2x = x eα1x → K ′(x) = x eα1xe−α2x = x e2ix →

K(x) =

∫xe2ix dx

que fem per parts: u = x, dv = e2ix dx → du = dv, v = 12ie2ix

K(x) =x

2ie2ix −

∫v du =

x

2ie2ix − 1

2i

∫e2ix dx

=x

2ie2ix − 1

2i

1

2ie2ix =

(x

2i+

1

4

)e2ix =

(1

4− x

2i

)e2ix.

Aixı y(x)=K(x) eα2x =(14− x

2i)e2ix ex e−ix = ex

(14− x

2i)eix=ex

(14− x

2i)

(cosx + i sin x) es una solucio particular complexa. La part imaginaria esuna solucio particular real

yp(x) = ex(1

4sinx− x

2cos x

).

La solucio general es ex(14sin x− x

2cos x

)+ c1 e

x cos x+ c2 ex sin x.

El metode D s’utilitza quan b es una combinacio lineal de termes xm eαx,xm eλx cosωx, xm eλx sinωx. Com acabem d’explicar, es millor reduir el casde xm eλx cosωx, xm eλx sinωx a parts reals o imaginaries de xm eαx ambα + iω. Per tant es suficient tractar b(x) = xm eαx i α es complex engeneral. Volem resoldre

P (D)y(x) = xm eαx

i P (D) = (D−α1)m1 · · · (D−αk)mk . La idea es ben senzilla: com que xm eαx

anul.lat per Q(D) = (D−α)m+1 (es a dir si apliquem D−α, m+1 vegadesa xm eαx obtindrem zero), tota solucio de P (D) y = xm eαx tambe ho serade

Q(D)P (D)y(x) = 0.

Ara be, aquesta es homogenia i ja sabem com son totes les solucions. Hi hados casos a considerar:

• Si α no es cap dels α1,· · ·, αk. Llavors la solucio general deQ(D)P (D)y= 0 es

y(x) = c1 eαx + c2 x e

αx + · · ·+ cm+1 xm eαx + E

i E designa una suma de termes del mateix estil pero amb α1, · · · , αk enlloc de α. Fins ara hem dit que tota solucio y de P (D)y = xm eαx ho es deQ(D)P (D)y = 0 per tant s’escriu d’aquesta forma. Ara be, quan assajemy aixı escrita com a solucio, tots els termes E son anul.lats per P (D) idit d’una altra manera la solucio particular es de la forma c1 e

αx + c2 x eαx

+ · · ·+ cm+1 xm eαx i E = yh.

Resumint, si α 6= α1, · · · , αk, llavors busquem yp(x) sota la forma2

yp(x) = c1 eαx + c2 x e

αx + · · ·+ cm+1 xm eαx

substituim aixo a P (D)y = xm eαx, identifiquem coeficients i resolemel sistema.

Materials 23

Exemple 1.12. y′′ − 4y′ + 5y = ex sinx. Aquı P (z) = z2 − 4z + 5 tearrels 2± i, ex sinx es la part imaginaria de e(1+i)x. Trobarem una solucioparticular de y′′ − 4y′ + 5y = e(1+i)x segons el metode explicat en α = 1+ ies 6= 2± i, busquem yp(x) = c e(1+i)x.

3

y′ = (1 + i)c e(1+i)x, y′′ = (1 + i)2 c e(1+i).y′′−4y′+5y = [(1 + i)2 − 4(1 + i) + 5] c e(1+i)x = [2i− 4− 4i+ 5] c e(1+i)x =(1 − 2i)c e(1+i)x. Per tant c = 1

1−2i= 1+2i

5→ yp(x) = 1+2i

5e(1+i)x solu-

cio particular complexa de y′′ − 4y′ + 5y = e(1+i)x → la part imaginariaex 1

5(sin x+ 2 cos c) ho es de y′′ − 4y′ + 5y = ex sin x.

Exemple 1.13. y′′ − 2y′ + 10y = x ex cosx. Aquı P (z) = z2 − 2z + 10te arrels 1 ± 3i. Passem a y′′ − 2y′ + 10y = x e(1+i)x. Busquem la soluciod’aquesta equacio sota la forma y = c1 e

(1+i)x + c2 x e(1+i)x

y′ = (1 + i)c1 e(1+i)x + (1 + i)c2 e

(1+i)x + c2 e(1+i)x = (c1 + ic1 + c2) e

(1+i)x +(1 + i)c2 e

(1+i)x

y′′ = (1+ i)(c1+ ic1+ c2) e(1+i)x+(1+ i)c2 e

(1+i)x+(1+ i)2c2 x e(1+i)x = (1+

i)(c1+ic1+c2)e(1+i)x+2ic2 x e

(1+i)x = [2ic1+2(1+i)c2]e(1+i)x+2ic2x e

(1+i)x.

y′′− 2y′+10y = [2ic1 + 2(1 + i)c2 − 2(c1 + ic1 + c2) + 10c1] e(1+i)x+ [2ic2−

2(1 + i)c2 + 10c2]x e(1+i)x = (8c1 + 2ic2) e

(1+i)x + 8c2 x e(1+i)x.

Com aixo ha de ser = xe(1+i)x i les funcions e(1+i)x, x e(1+i)x son linealmentindependents, igualant coeficients tenim c2 = 1

8, 8c1 = −2ic2 = − i

4, c1 =

− i32

→ − i32e(1+i)x+ 1

8x e(1+i)x es una solucio particular de y′′ − 2y′ +10y =

x e(1+i)x → prenent parts reals

1

32ex sin+

1

8x ex cosx

es una solucio particular de y′′ − 2y′ + 10y = x ex cos x.

Quant α 6= R (cas dels dos exemples) una forma equivalent de procediren lloc de passar a l’equacio complexa es buscar yp sota la forma (α =λ+ iω)

yp(x) = c1 eλx cosωx+ c2 x e

λx cosωx+ c3 x2 eλx cosωx+ · · ·

+ cm+1 xm eλx cosωx+ c′1 e

λx sinωx+ · · ·+ c′m+1 xm eλx sinωx.

• Si α es una de les α1, · · · , αk, posem que sigui α1, llavors α = α1 temultiplicitatm+m1+1 enQ(D)P (D) i la solucio general deQ(D)P (D)y= 0sera de la forma

y(x) = c1 eαx + c2 x e

αx + · · ·+ cm+m1+1 xm+1 eαx + termes amb α2, · · · , αk.

D’aquests, tots son solucions de P (D)y = 0 llevat dels termes en

c, xm1eαx, xm1+1eαx, · · · , xm−1+meαx.

Per tant en aquest cas hi ha una solucio particular de la forma xm1eαxR(x),on R(x) es un polinomi de grau ≤ m.

3Quant α = λ + iω, ω 6= 0, aixo dona una solucio particular de P (D)y(x)=xm eαx iprenent part real o imaginaria, de P (D)y(x) = xm eλx cosωx o P (D)y(x) = xm sinωx.


Exemple 1.14. y′′ + y = sin x les dues arrels de P (z) = z2 + 1 son ±i,φ1(x) = cosx, φ2(x) = sinx. Passem a l’equacio y′′ + y = eix. Busquem lasolucio en la forma (m = 0) y = c x eix.y′ = c eix + icxeix, y′′ = 2ic eix − cxeix, y′′ + y = 2iceix → c = 1

2i. 1

2ixeix es

una solucio particular de y′′ + y = eix → prenent part imaginaria

−1

2x cosx

es una solucio particular de y′′ + y = sinx.

Exemple 1.15. y′′ + 2y′ + 2y = x e−x cosx. Passem a y′′ + 2y′ + 2y =x e(−1+i)x. P (z) = z2+2z+2 te arrels−1±i. Busquem y(x) = x e(−1+i)xR(x)on R(x) = a+ bx te grau ≤ 1.y(x) = (ax+bx2)e(−1+i)x, y′(x) = [(a+ 2bx+ (−1 + i)(ax2 + bx2)] e(−1+i)x =[a+ (2b− a+ ia)x+ (−b+ ib)x2]e(−1+i)x.

y′′ = [(2b − a + ia) + 2b(i − 1)x] e(−1+i)x + (−1 + i)[a + (2b − a + ia)x+ b(−1+ i)x2] e(−1+i)x = [2(b−a+ ia)+ (4b(−1+ i)− 2ia)x− 2ibx2] e(−1+i)x

y′′ + 2y′ + 2y = [2(b + ia) + 4ibx]e(−1+i)x. Igualant a x e(−1+i)x → b = 14i,

a = ib = 14→ y =

(14x+ 1

4ix2)e(−1+i)x solucio de la complexa → prenent

parts reals

yp(x) = e−x[1

4x cos x+

1

4x2 sinx

].

Com abans, en el cas α /∈ R, en lloc de passar a l’equacio complexa podemassajar directament a l’equacio una solucio de la forma (α = λ+ iω)

xm1 eλx (R1(x) cosωx+R2(x) sinωx)

on R1, R2 son polinomis de grau ≤ m.

3. Seguidament tractem el problema de condicions inicials per a una equaciolineal P (D)y(x) = b(x). Si l’ordre de l’equacio es m, ja hem vist que lasolucio general es

y(x) = yp(x) + yh(x) = yp(x) + c1φ1(x) + c2φ2(x) + · · ·+ cmφm(x)

amb c1, c2, · · · , cm ∈ R. Depen per tant de m constants arbitraries. Peraixo, per determinar completament una solucio son neccessaries m condi-cions, habitualment

(1.1) y(x0) = y0, y′(x0) = y

(1)0 , y′′(x0) = y

(2)0 , · · · , y(m−1)(x0) = y

(m−1)0

es a dir, es prefixen en un punt x0 el valor de la solucio i de les seves derivadesfins l’ordre m− 1.

Aquest problema—solucio de P (D)y(x)=b(x) amb les condicions (1.1)—

te una unica solucio. En efecte, quan a y(x) = yp(x)+m∑i=1

ciφi(x) li imposem

les condicions (1.1) ens trobem amb un sistema lineal

c1φ1(x0) + c2φ2(x0) + · · ·+ cmφm(x0) = y0 − yp(x0)

c1φ′1(x0) + c2φ

′2(x0) + · · ·+ cmφ

′m(x0) = y

(1)0 − y′0(x0)

...

c1φ(m−1)1 (x0) + c2φ

(m−1)2 (x0) + · · ·+ cmφ

(m−1)m (x0) = y

(m−1)0 − y(m−1)

p (x0).

Materials 25

Aquı les incognites son els c1, c2, · · · , cm. La matriu d’aquest sistema tedeterminant W (φ1, · · · , φm)(x0), el wronskia de φ1, · · · , φm en x0, que comsabem es sempre 6= 0. Per tant hi ha uns unics valors de c1, c2, · · · , cm quecompleixen aixo.

(En particular, observem que P (D)y(x) = 0 y(x0) = 0,· · · , y(m−1)(x0) =0 te la unica solucio y(x) ≡ 0). Al resoldre l’anterior sistema trobarem lasolucio unica del problema (1.1).

Exemple 1.16. Busquem la solucio de y′′ − 2y′ + 10y = x ex cosx quecompleix y(0) = 1, y′(0) = 0. La solucio general l’hem trobada en unexemple anterior i val

y(x) =|32ex sin x+

1

8x ex cosx+ c1 e

x cos 3x+ c2 ex sin 3x

y′(x) =1

32(ex sin x+ ex cos x) +

1

8ex cosx+

1

8(xex cosx− sin x)

+ c1 ex cos x+ 3c1 e

x sin 3x+ c2 ex sin 3x+ 3c2 e

x cos 3x.

y(0) = 1 → 0 + 0 + c1 + 0 = 1 → c1 = 1.

y′(0) = 0 → 132

+ 18+ c1 + 3c2 = 0 → c2 = −1

3

(c1 +

132

+ 18

)= −1

33732.

La unica solucio del problema P (D)y(x) = b(x), y(x0) = y0, · · · ,y(m−1)(x0) = y

(m−1)0 sempre te una expressio

y(x) = y1(x) + y2(x)

on y(x) es la unica solucio del problema P (D)y(x) = 0 amb les mateixescondicions inicials (anomenada resposta natural) i y2(x) es la unica soluciodel problema P (D)y(x) = b(x) amb condicions inicials totes zero en x0anomenada resposta a l’estat nul). En l’exemple anterior

y2(0) = 0 −→ c1 = 0

y′2(0) = 0 −→ c2 = −1

3

(1

32+

1

8

)= −1

3

36

32= −12

32= −3

8

y1(x) =132ex sin x+ 1

8x ex cos x− 3

8ex sin 3x.

y2(x) = ex cos 3x+(38− 37

96

)ex sin 3x.

1.13 Vibracions i oscil.lacions

1.13.1 Moviment oscil.latori lliure.

Considerem una molla que oscil.la entorn de la seva posicio d’equilibri


Si x = 0 es la posicio d’equilibri i considerem que no hi ha forces de frega-ment, l’equacio que regeix el moviment es per les lleis de Newton i Hooke

md2x

dt2= −k x(t) m = massa, k = constant de la molla

(la variable independent es el temps t, tenim x(t) en lloc de y(x) com en elsapartats anteriors). Tenim doncs una equacio lineal

d2x

dt2+k

mx(t) = 0.

En aquest cas tenim arrels complexes ±i√

km, posem ω0 =

√km. La solucio

general es per tant

y(x) = c1 sinω0t+ c2 cosω0t.

Recordem que aixo tambe ho podem escriure

y(x) = A sin(ωt+ ϕ)

on A =√c21 + c22 i tgϕ = c2

c1, es a dir, Aeiϕ = c1+ic2. En lloc dels dos graus

de llibertat c1, c2 podem pensar en els dos graus de llibertat A, ϕ. Aquestsvalors es determinen per les condicions inicials x(0) = x0, x

′(0) = x(1)0 . La

frequencia ω0 de les oscil.lacions es pero independent d’aquestes condicionsinicials.

El moviment d’un pendol esta regit per una equacio similar. Si θ(t) esl’angle amb la vertical en l’instant t, la component tangencial del pes mg esmg sin θ i l’equacio es

md2θ

dt2= −mg sin θ

m g

Per a petites oscil.lacions sin θ es comparable a θ i es retroba la mateixaequacio.

1.13.2 Moviment oscil.latori amb resistencia. Circuits LCR.

Si en l’exemple de la molla hi ha resitencia deguda al fregament, que esproporcional a la velocitat dx

dtaleshores l’equacio es

md2x

dt2+ r

dx

dt+ kx = 0.

Materials 27

La descarrega d’un condensador de capacitat C inicialment carregat i conec-tat a un circuit de resistencia R i autoinduccio L, la diferencial de potencialu compleix l’equacio

Ld2u

dt2+R

du

dt+

1

cu = 0.

R

LC

tambe la intensitat I = −c dudt

compleix la mateixa equacio (derivant)

Ld2I

dt2+R

dI

dt+

1

cI = 0.

Tenim l’equacio lineal de 2n. ordre d2Idt2

+ RLdIdt

+ 1cLI = 0. El polinomi

caracterıstics es z2 + RLz + 1

cL= 0 amb arrels

1

2

(−RL

±√R2

L2− 4

cL

)=

1

2L

(−R±

√R2 − 4L

c

).

Si R2 ≥ 4Lc, la solucio (tant I(t) com (t)) te la forma

u(t) = c1 eα1t + c2 e

α2t o = (c1 + c2t) eαt

amb α1, α2 ∈ R. Per tant la descarrega no es oscil.lant ni periodica.Si R2 < 4L

Caleshores tenim arrels complexes α1 = − R

2L+ iω0, α2 =

− R2L

− iω0, ω0 =√

1cL

− R2

4L2 i la solucio general es

u(t) = e−R2Lt(c1 sinω0t+ c2 cosωot)

que sempre podem escriure sota la forma

Q(t) = Ae−R2Lt sin(ω0t+ ϕ) Aeiϕ = c1 + ic2.

En aquest cas la descarrega si que es oscil.lant amb frequencia ω0.

1.13.3 Oscil.lacions forcades.

Si el circuit LCR esta excitat per una font alterna U sinωt l’equacio passaa ser no homogenia

Ld2u

dt2+R

du

dt+

1

cu =

U

csinωt.


R

L

C

Per trobar la solucio general cal ara afegir-hi a la general de l’homogeniaAe−

R2Lt sin(ωot+ϕ) una solucio particular. Segons s’ha explicat en la seccio

anterior, aquesta la busquem sota la forma

up(t) = d1 sinωt+ d2 cosωt

excepte si R = 0, ω = ω0 que tractem despres apart. Com sempre, re-sulta mes senzill amb notacio de fasors, es a dir, imposem que D eiωt ambD ∈ C sigui solucio de L d2u

dt2+R du

dt+ 1

cu = U

ceiωt i despres prendrem part

imaginaria. Trobem

−Lω2D +R iDω +D

c=U

c

d’on D =UC

( 1c−Lω1)+i Rω

= B eiϕ amb B =Uc√

R2ω2+( 1c−Lω2)

2 tgϕ = −R1C−Lω2 .

Aixı una solucio particular es

Im Deiωt = up(t) =Uc√

R2ω2 +(1c− Lω2

)2 sin(ωt+ ϕ).

La solucio general es up(t) + Ae−R2Lt sin(ω0t + ϕ), i les constants A, ϕ es

determinen a partir de les condicions inicials. El regim permanent es laup(t) i respecte de la font excitant en veiem dues efectes i un desfase ψdonat per tgψ = 1

Lω2− 1c

i una amplitud multiplicada pel factor

f =1

c

1√R2ω2 +

(1c− Lω2

)2 .Es natural mirar per a quin valor ωn de ω aquest factor es maxim i el seu

valor fm. Es tracta de veure on es mınim R2ω2 +(1c− Lω2

)2; igualant zero

la derivada s’obte

ωm =

√1

cL− R2

2L2

fm =1

cR√

1cL

− R2

4L2

.

A ωm se l’anomena la freguencia de resonancia: si comparem amb la ω0 =√1cL

− R2

2L2 veiem que son properes si RLes petit. Per tant, en el regim per-

manent les oscil.lacions forcades tenen amplitud maxima quan la frequencia

Materials 29

excitant es ωm. Tambe veiem que si R es petit aquest amplitud maximapot ser molt gran, encara que U sigui petita.

Aixo encara es veu mes clar en el cas R = 0. En aquest cas la solucioparticular de L d2u

dt2+ u

c= U

csinωt es

up(t) =Uc

1c− Lω2

sinωt si ω 6= ω0

pero si ω = ω0 hem de buscar la solucio de L d2udt2

+ uc= U

ceiωt sota la forma

Dt eiωt i trobem D = Uc 2Liω

= − Uc2ωi

up(t) = −U

2cωt cosωt.

L’amplitud es fa il.limitada!

apunts d'equacions diferencials

Documents