Metodos Estadsticos II Econ. Gonzalo Villa Cox

Apuntes de Clase # 2

Fecha: II Termino-2012

3. Distribuciones de muestreo

3.1. Muestreo aleatorio

Definicion 3.1.1 Una poblacion consiste en la totalidad de las observaciones en las cuales se estainteresado.

Definicion 3.1.2 Una muestra es un subconjunto de una poblacion

Definicion 3.1.3 Sean X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias independientes, cada una con la mis-ma distribucion de probabilidad f(x). Definimos entonces a X1, X2, . . . , Xn como una muestraaleatoria de tamano n de la poblacion f(x) y escribimos su distribucion de probabilidad conjuntacomo

f(x1, x2, . . . , xn) = f(x1) f(x2) . . . f(xn)Definicion 3.1.4 Cualquier funcion de las variables aleatorias que constituyen una muestra alea-toria se conoce como estadstico.

Definicion 3.1.5 Si X1, X2, . . . , Xn representa una muestra aleatoria de tamano n entonces lamedia muestral se define por el estadstico

X =

ni=1Xin

Notese que X asume el valor x =ni=1 xin cuando X1 = x1, X2 = x2, . . . , Xn = xn

En la practica al estadstico y a un valor del estadstico se le da el mismo nombre.

Definicion 3.1.6 Si X1, X2, . . . , Xn representan una muestra aleatoria de tamano n, acomodadaen orden de magnitud creciente, entonces la mediana muestral se define por el estadstico

X =

X (n+1)

2si n es impar

Xn2

+Xn2+1

2 si n es par

Definicion 3.1.7 Si X1, X2, . . . , Xn no necesariamente todos diferentes, representan una muestraaleatoria de tamano n, entonces la moda M es aquel valor de la muestra que ocurre mas a menudoo con la mayor frecuencia. La moda puede no existir, y cuando existe no necesariamente es unica.

Definicion 3.1.8 El rango de una muestra aleatoria X1, X2, . . . , Xn se define por el estadsticoX(n) X(1), donde X(n) y X(1) son, respectivamente, las observaciones mas grande y mas pequenaen la muestra.

Definicion 3.1.9 Si X1, X2, . . . , Xn representan una muestra aleatoria de tamano n, entonces lavarianza muestral se define por el estadastico

S2 =

ni=1(Xi X)2n 1

Teorema 3.1.1 La varianza de una muestra aleatoria de tamano n puede ser re-expresada de lasiguiente manera

S2 =nni=1X

2i (

ni=1Xi)

2

n(n 1)

A2-1

Definicion 3.1.10 La desviacion estandar muestral, representada por S, es la raz cuadradapositiva de la varianza muestral.

Definicion 3.1.11 La distribucion de probabilidad de un estadstico recibe el nombre de distri-bucion muestral

Nota: La distribucion muestral de un estadstico depende del tamano de la poblacion, deltamano de las muestras y del metodo de seleccion de estas ultimas.

3.2. La distribucion normal

Definicion 3.2.1 La funcion de densidad de la variable aleatoria normal X, con media y varianza2, es:

f(x;, ) = ,2(x) =12pi

e12 [x ]

2 < x 0

Observacion 3.2.1 La funcion de distribucion acumulada de una variable aleatoria normal X estadada por

,2(x) =

x

,2(s) ds

=

x

12pi

e12 [s ]

2

ds

Nota: En adelante, cuando se que quiera decir que una variable aleatoria X se distribuye comouna normal con media y varianza 2 se escribira

X N(, 2)

Teorema 3.2.1 La funcion generatriz de momentos de la distribucion normal esta dada por

MX(t) = et+ 12

2t2

Teorema 3.2.2 El valor esperado de una variable aleatoria normal es y su varianza es 2

Definicion 3.2.2 La distribucion de una variable aleatoria normal X con media cero y varianza 1se llama distribucion normal estandar.

0,1(x) = (x) =12pi

e12x

2 < x

Para demostrar la segunda propiedad se tiene que

(x) = x

(s)ds

Si se representa al lmite inferior de la integral por s0, el superior por s1 y se realiza el siguientecambio de variable, w = s, se obtendra que

dw = ds; w0 = s0; w1 = s1por tanto

(x) = x(w)dw =

x(w)dw

haciendo uso de la propiedad anterior y de las propiedades que debe satisfacer una funcion dedensidad de probabilidad

(x) = x(w)dw = [(x) ()]

por definicion () = 1, as(x) = [(x) 1] = 1 (x)

(x) = 1 (x) //QED

Teorema 3.2.4 La funcion generatriz de momentos de la distribucion normal estandar esta dadapor

MX(t) = e12 t

2

Teorema 3.2.5 Si la variable aleatoria X sigue una distribucion normal con media y varianza2 entonces la variable aleatoria

Z =X

sigue una distribucion normal estandar.

Corolario 3.2.1 Si X es una variable aleatoria normal con media y varianza 2,y x1 y x2 sondos valores cualquiera, entonces

P (x1 < X < x2) = P (z1 < Z < z2)

donde

z1 =x1

z2 =x2

y Z N(0, 1)

Demostracion Se tiene que

P (x1 < X < x2) =

x2x1

12pi

exp

{1

2

[x

]2}dx

Realizando el siguiente cambio de variable

z =x

dz =dx

z1 =

x1

z2 =x2

se obtiene

P (x1 < X < x2) =

z2z1

12pi

exp

{1

2

[(z + )

]2} dz

=

z2z1

12pi

exp

[1

2z2]dz

A2-3

La funcion dentro de la integral corresponde a la de una variable aleatoria Z normal estandar, portanto

P (x1 < X < x2) =

z2z1

(z) dz = P (z1 < Z < z2) //QED

Uso de tablas para el calculo de probabilidades

La funcion de densidad de una distribucion normal no se puede integrar directamente.

Existen infinidad de tablas que tabulan areas bajo la curva normal estandar. Una de ellas sepuede encontrar en la pagina A2-8.

Haciendo uso del corolario 3.2.1 se pueden calcular las probabilidades asociadas a cualquiervariable aleatoria normal a traves de la distribucion normal estandar.

Ejemplo 3.2.1 Para una variable aleatoria normal X con = 4 y = 2 determinar

P (2,84 < X < 6,24)

Solucion: Haciendo uso del corolario 3.2.1

P (x1 < X < x2) = P

(x1

5 y n(1 ) = 120(0,02) = 2,4 5

por tanto la aproximacion no es aceptable

Teorema 3.2.7 Si, X1, X2, . . . , Xn son variables aleatorias independientes que tienen distribucionesnormales con medias 1, 2, . . . , n y varianzas

21 ,

22 , . . . ,

2n respectivamente, entonces la variable

aleatoria,Y = a1X1 + a2X2 + . . .+ anXn

tiene una distribucion normal con media

Y = a11 + a22 + . . .+ ann

y varianza,Y = a11 + a22 + . . .+ ann

A2-7

Distribucion normal estandar

Valores de (z)

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.53590.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57530.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.61410.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.65170.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.68790.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.75490.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.78520.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.81330.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.83891.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.88301.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.90151.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.91771.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.93191.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.95451.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.96331.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.97061.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.97672.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.98572.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.98902.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.99162.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.99362.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.99642.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.99742.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.99812.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.99863.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

A2-8

3.3. Distribuciones muestrales de medias

3.3.1. Poblaciones infinitas

Teorema 3.3.1 Si X1, X2, . . . , Xn constituyen una muestra aleatoria de una poblacion infinita conmedia y varianza 2, entonces

E(X) = E(X) = y Var(X) =Var(X)

n=2

n

Demostracion

Valor esperado:

E(X) = E

(X1 +X2 + . . .+Xn

n

)= E

(X1n

+X2n

+ . . .+Xnn

)La expresion que se ha encontrado no es mas que el valor esperado de la suma de n variablesaleatorias. Por tanto, haciendo uso de los teoremas 2.3.1 a 2.3.3, y sus respectivos corolarios, tenemosque

E(X) =1

nE(X1) +

1

nE(X2) + . . .+

1

nE(Xn)

Dado que E(Xi) = i = 1, 2, . . . , n por asuncion del teorema, la expresion se simplifica a

E(X) =1

n+

1

n+ . . .+

1

n

=1

n

ni=1

=1

n(n ) = //

QED

Varianza:La expresion puede ser escrita de la siguiente manera

Var(X) = Var

(X1n

+X2n

+ . . .+Xnn

)Utilizando la definicion de muestra aleatoria (definicion 3.1.3) se sabe que X1, X2, . . . , Xn son varia-bles aleatorias independientes. Por tanto, utilizando el teorema 2.3.6 la expresion para la varianzase puede simplificar a

Var(X) =1

n2Var(X1) +

1

n2Var(X2) + . . .+

1

n2Var(Xn)

=1

n2

[Var(X1) + Var(X2) + . . .+ Var(Xn)

]y dado que Var(Xi) =

2 i = 1, 2, . . . , n por asuncion del teorema, se puede concluir que

Var(X) =1

n2(2 + 2 + . . .+ 2

)=

1

n2(n 2) = 2

n//QED

Observacion 3.3.1 Si de una poblacion normal con media y varianza 2 se toma una muestraaleatoria de n observaciones, entonces por el teorema 3.2.7 podemos concluir que la media muestral

X =X1 +X2 + . . .+Xn

n

sigue una distribucion normal con media

X = E(X) =

y varianza

2X = Var(X) =2

n

A2-9

Teorema 3.3.2 (Teorema del lmite central) Si X es la media de una muestra aleatoria detamano n que se toma de una poblacion con media y varianza finita 2, entonces la forma lmitede la distribucion de

Z =X /n

conforme n, es la distribucion normal estandar N(0, 1)Idea de la demostracion: La demostracion se basa en probar que la funcion generatriz de

momentos de(

X(/n)

), cuando n , es la misma que la de una distribucion normal estandar.

El desarrollo completo se puede encontrar en el libro de Estadstica matematica con aplicacionesde Freund, Miller & Miller. Captulo 8.2: La distribucion de la media.

Corolario 3.3.1 X se distribuye aproximadamente como una normal N(,

2

n

)para valores gran-

des de n.

Observacion 3.3.2 Se suele considerar al tamano muestral como grande cuando este es mayoro igual a 30 observaciones (n 30).Teorema 3.3.3 Si se sacan al azar muestras independientes de tamanos n1, n2, . . . , nm de m po-blaciones discretas o continuas, donde ni 30, i = 1, 2, 3, . . . ,m y cada poblacion tiene medias1, 2, . . . , m y varianzas

21 ,

22 , . . . ,

2m, respectivamente, entonces la distribucion muestral de la

combinacion lineal de medias, a1X1 + a2X2 + . . . + amXm, es aproximadamente una normal conesperanza y varianza:

(a1X1+a2X2+...+amXm) = a11 + a22 + . . .+ amm

2(a1X1+a2X2+...+amXm) =a21

21

n1+a22

22

n2+ . . .+

a2m2m

nm

Adicionalmente

Z =(a1X1 + a2X2 + . . .+ amXm) (a11 + a22 + . . .+ amm)

a2121

n1+

a2222

n2+ . . .+

a2m2m

nm

es aproximadamente una variable aleatoria normal estandar

Demostracion De acuerdo a lo establecido en el teorema 3.3.2 cada una las medias muestralesXi i = 1, 2, . . . ,m se distribuyen aproximadamente como una normal. Por tanto, de acuerdo alteorema 3.2.7, a1X1 + a2X2 + . . . + amXm debe tambien distribuirse aproximadamente como unanormal con media

(a1X1+a2X2+...+amXm) = a11 + a22 + . . .+ amm

y varianza

2(a1X1+a2X2+...+amXm) =a21

21

n1+a22

22

n2+ . . .+

a2m2m

nmEsto lleva a concluir que Z debe distribuirse aproximadamente como una normal estandar.

Corolario 3.3.2 Si m = 2, a1 = 1 y a2 = 1, entonces la combinacion lineal a1X1 + a2X2 +. . . + amXm se reduce a X1 X2 que es una diferencia de medias. Esta diferencia de medias estadistribuida aproximadamente en forma normal con media y varianzas

(X1X2) = 1 2

2(X1X2) =21n1

+22n2

De aqu que

Z =(X1 X2) (1 2)

21n1

+22n2

es aproximadamente una variable aleatoria normal estandar y X1 X2 es aproximadamente unavariable aleatoria normal N(1 2 ,

21

n1+

22n2

)

A2-10

3.3.2. Ejemplos para poblaciones infinitas:

Ejemplo 3.3.1 La produccion diaria de una fabrica de colchones es una variable aleatoria con mediade 200 colchones y desviacion estandar de 15 colchones. Cual es la probabilidad de que la cantidadpromedio de produccion en una muestra aleatoria de 36 dias sea de al menos 204 colchones?

Solucion: De acuerdo al teorema 3.3.1, la distribucion de X (la media muestral de la cantidad decolchones producidos en un da) tiene una media de X = 200 colchones y desviacion estandar deX = (15/

36) colchones. De acuerdo al teorema del lmite central (teorema 3.3.2) X se distribuye

aproximadamente como una normal. Por tanto

P (X > 204) = P

(Z >

204 20015/

36

)= P (Z > 1,6)

donde Z sigue aproximadamente una distribucion normal estandar.

Utilizando la tabla de la distribucion normal estandar encontramos que la probabilidad de que unamuestra aleatoria de 36 das presente una media diaria de produccion de 204 o mas colchones es5,45 %.

Ejemplo 3.3.2 (Diferencia de medias) Se tiene la siguiente informacion acerca de la esperanzay desviacion estandar de la produccion diaria de dos fabricas de colchones.

Produccion Diaria de ColchonesFabrica A Fabrica B

Media 200 230Desv. estandar 12 15

Cual es la probabilidad que en una muestra de 36 das de la fabrica A y 45 das de la fabrica B, laproduccion diaria promedio de la fabrica B no exceda en mas de 27 unidades a la de la fabrica A.

Solucion: Expresado en terminos estadsticos, lo que se nos pregunta es el valor de

P[(XB XA) 27

]donde XB es la media muestral para la fabrica B y XA es la media muestral para la fabrica A.De acuerdo con el corolario 3.3.2 (XB XA) se distribuye aproximadamente como una normal conmedia y varianza

(BA) = E(XB) E(XA) = XB XA == 230 200 = 30

2(BA) = Var(XA) + Var(XB) = 2XA

+ 2XB =

=2AnA

+2BnB

=(12)2

36 (15)

2

45=

144

36+

225

45=

=720 + 900

180= 9

Por tanto

Prob[(XB XA) 27

]= Prob

(Z 27 30

9= 1

)donde Z se distribuye aproximadamente como una normal estandar.Haciendo uso de la tabla de la normal estandar se encuentra que, para los tamanos muestrales dados,la probabilidad que la produccion diaria promedio de la fabrica B no exceda en mas de 27 unidadesa la de la fabrica A es del 15,87 %

A2-11

3.3.3. Poblaciones finitas

Cuando la poblacion es finita y se muestrea sin reemplazo no se cumple la condicion de indepen-dencia entre variables aleatorias implcita en el Teorema del Lmite Central (3.3.2). Esto se debe aque la probabilidad de ocurrencia de cualquier resultado cambia en funcion de cuantos elementosya se hayan sacado. Adicionalmente, no se puede hablar de una distribucion lmite puesto que elmaximo tamano muestral es finito.Para estos casos aun es posible aproximar la distribucion de la media muestral a una normal cuandoel tamano de la muestra es grande. En esta sub-seccion se establecera la media y la varianza quedicha aproximacion normal tiene.

Definicion 3.3.1 Si un experimento consiste en seleccionar uno o mas valores de un conjunto finitode numeros {c1, c2, . . . , cN}, este conjunto se conoce como poblacion finita de tamano N .Definicion 3.3.2 Si X1 es la variable aleatoria que representa al primer valor sacado de una po-blacion finita de tamano N , X2 al segundo valor sacado, . . . , Xn al n-esimo valor sacado, y ladistribucion de probabilidad conjunta de estas n variables aleatorias esta dada por

f(x1, x2, . . . , xn) =1

N(N 1) . . . (N n+ 1)para cada n-tuplo ordenado de valores de estas variables aleatorias, entonces se dice queX1, X2, . . . , Xnconstituyen una muestra aleatoria de la poblacion finita dada.

Observacion 3.3.3 La probabilidad de obtener la muestra aleatoria X1, X2, . . . , Xn, sin importarel orden, g(x1, x2, . . . , xn), es igual a n! veces la probabilidad conjunta de X1, X2, . . . , Xn, donde X1es el primer elemento de una muestra aleatoria sacada de una poblacion finita de tamano N , X2 esel segundo elemento, . . ., Xn es el n-esimo elemento.

g(x1, x2, . . . , xn) = n! f(x1, x2, . . . , xn)

=n!

N(N 1) . . . (N n+ 1)g(x1, x2, . . . , xn) =

1(Nn

)donde f(x1, x2, . . . , xn) es como en la definicion 3.3.2.

Observacion 3.3.4 Una muestra aleatoria de tamano n sin reemplazo (muestra aleatoria simple) deuna poblacion finita de tamano N , puede ser obtenida sacando elemento por elemento o sacando losn elementos de una sola vez. En ambos casos la probabilidad de obtener una muestra X1, X2, . . . , Xnes la misma que la indicada en la observacion 3.3.3.

Observacion 3.3.5 Se sigue de la definicion 3.3.2 que la distribucion marginal de Xr, esta dadapor

f(xr) =1

Npara xr = c1, c2, . . . , cN

para r = 1, 2, . . . , n y donde el conjunto {c1, c2, . . . , cN} representa a la poblacion.Definicion 3.3.3 La media y la varianza de la poblacion finita {c1, c2, . . . , cN} son

=

Ni=1

ci 1N

y 2 =

Ni=1

(ci )2 1N

Observacion 3.3.6 De la definicion 3.3.2 se sigue tambien que la distribucion marginal conjuntade dos variables aleatorias cualesquiera X1, X2, . . . , Xn esta dada por

h(xr, xs) =1

N(N 1)para cada par ordenado de elementos de la poblacion finita.

A2-12

Teorema 3.3.4 Si Xr y Xs son las r-esimas y s-esima variables aleatorias de una muestra aleatoriade tamano n sacada de una poblacion finita {c1, c2, . . . , cN}, entonces

Cov(Xr, Xs) = 2

N 1Demostracion Por la definicion de covarianza para variables aleatorias discretas (definicion 2.2.3)

Cov(Xr, Xs) =

Ni=1

Nj=1

i6=j

1

N(N 1)(ci )(cj )

=1

N(N 1)Ni=1

(ci )

Nj=1

j 6=i

(cj )

y puesto que

Nj=1

j 6=i

(ci ) =Nj=1

(cj ) (ci ) = (ci )

se obtiene

Cov(Xr, Xs) = 1N(N 1)

Ni=1

(ci )2

= 1N 1

2 //QED

Teorema 3.3.5 Si X es la media de una muestra aleatoria de tamano n de una poblacion finita detamano N con media y varianza 2, entonces

E(X) = y Var(X) =2

n

(N nN 1

)DemostracionEsperanza: Por extension del corolario 2.3.3

E(X) =

ni=1

1

nE(Xi) =

ni=1

1

n = //

QED

Varianza: Por el teorema 2.3.7 se sabe que la varianza de X se puede expresar como

Var(X) =

ni=1

a2i Var(Xi) + 2i

Observaciones 3.3.7

Al factor (Nn)(N1) se lo conoce como factor de ajuste de la varianza para poblacionesfinitas.

El teorema del lmite central sigue aplicando para el caso de poblaciones finitas, la unicadiferencia es la varianza de X. Por tanto, se puede concluir que

Z =X E(X)

2X

=X 2

n

(NnN1

)se distribuye aproximadamente como una normal estandar para muestras grandes.

Si el muestreo se realiza con reemplazo, entonces cada una de las variables aleatorias queconforman la muestra son independientes entre si. En tal caso la varianza de la media muestralcoincide con aquella calculada para poblaciones infinitas.

Si el tamano de la muestra es menor al 5 % del tamano de la poblacion, se suele consideraraceptable no hacer el ajuste de la varianza por poblacion finita.

3.4. Distribucion muestral de la varianza

3.4.1. La distribucion chi-cuadrado (2)

Definicion 3.4.1 Una variable aleatoria X tiene una distribucion chi-cuadrado y se conoce comouna variable aleatoria chi-cuadrado si y solo si su densidad de probabilidad esta dada por

f(x) =

1

2v/2(v/2)xv22 e

x2 ; para x > 0

0 ; en cualquier otro caso

Observaciones 3.4.1

Al parametro v se lo conoce como el numero de grados de libertad.

() se conoce como funcion gamma y esta definida por

() =

0

y1ey dy

La funcion gamma satisface la formula recursiva

() = ( 1)( 1)

por tanto, si es un entero positivo

() = ( 1)!

Teorema 3.4.1 La funcion generatriz de momentos de la distribucion chi-cuadrado esta dada por

MX(t) =

(1

1 2t)v/2

Teorema 3.4.2 La media y la varianza de la distribucion chi-cuadrado estan dadas por

= v ;2 = 2v

A2-14

Referencias para la demostracion:

Walpole, et al. Captulo 6.6. Probabilidad y estadstica. Sexta edicion.

Freund, et al. Captulo 6.3. Estadstica matematica con aplicaciones. Sexta edicion.

Teorema 3.4.3 Si X tiene una distribucion normal estandar, entonces X2 tiene una distribucionchi-cuadrado con v = 1 grados de libertad.

Teorema 3.4.4 Si X1, X2, . . . , Xn son variables aleatorias independientes que tienen distribucionesnormal estandar, entonces

Y =

ni=1

X2i

tiene la distribucion chi-cuadrado con v = n grados de libertad.

Corolario 3.4.1 Si X1, X2, . . . , Xn son variables aleatorias independientes que tienen distribucionesnormales identicas con media y varianza 2, entonces la variable aleatoria

Y =

ni=1

(Xi

)2tiene una distribucion chi-cuadrado con v = n grados de libertad.

Teorema 3.4.5 Si X1, X2, . . . , Xn son variables aleatorias independientes que tienen distribucioneschi-cuadrado con v1, v2, . . . , vn grados de libertad, entonces

Y =

ni=1

Xi

tiene la distribucion chi-cuadrado con v1 + v2 + . . .+ vn grados de libertad

Teorema 3.4.6 Si X1 y X2 son variables aleatorias independientes, X1 tiene una distribucion chi-cuadrado con v1 grados de libertad, y X1 +X2 tiene una distribucion chi-cuadrado con v > v1 gradosde libertad, entonces X2 tiene una distribucion chi-cuadrado con v v1 grados de libertad.

Referencias para la demostracion: Los teoremas anteriores pueden ser demostrados medianteel uso de sus funciones generatrices de momentos. El desarrollo de las pruebas puede ser revisado enFreund, Miller & Miller; Estadstica matematica con aplicaciones 6ta ed. Captulo 8.4.

3.4.2. Distribucion muestral de la varianza

Teorema 3.4.7 Si X y S2 son la media y la varianza de una muestra aleatoria de tamano n de unapoblacion normal con media y varianza 2, entonces

1. X y S2 son independientes.

2. La variable aleatoria(n 1)S2

2tiene una distribucion chi-cuadrado con n1 grados de libertad.

Demostracion No se realizara la demostracion de la parte 1 hasta que se llegue al estudio dedistribuciones multivariadas.

Parte 2: Se tiene que

(n 1)S2 =ni=1

(Xi X)2

A2-15

Se probara que la expresion del lado derecho se puede re-escribir como

ni=1

(Xi X)2 =ni=1

(Xi )2 (X 1/n

)2para tal efecto, se sabe que

ni=1

(Xi )2 =ni=1

(Xi X + X )2 =

=

ni=1

[(Xi X) + (X )

]2=

ni=1

[(Xi X)2 + 2(Xi X)(X ) + (X )2

]=

ni=1

(Xi X)2 + 2ni=1

(Xi X)(X ) +ni=1

(X )2

=

ni=1

(Xi X)2 + 2(X )ni=1

(Xi X) + (X )2ni=1

1

=ni=1

(Xi X)2 + 2(X )[

ni=1

Xi nX]

+ n(X )2

=

ni=1

(Xi X)2 + 2(X )[

ni=1

Xi ni=1

Xi

]+ n(X )2

=

ni=1

(Xi X)2 + n(X )2

ni=1

(Xi )2 =ni=1

(Xi X)2 +(X 1/n

)2//

Si se divide toda la expresion para 2 se obtiene

ni=1

(Xi

)2=

ni=1

(Xi X

)2(X /n

)2ni=1

(Xi

)2=

(n 1)S22

(X /n

)2

El primer termino del lado izquierdo de la igualdad es una chi-cuadrado con n grados delibertad por el teorema 3.4.4.

El segundo termino del lado derecho de la ecuacion sigue una distribucion chi-cuadrado conun grado de libertad por el teorema 3.4.3 junto con el teorema del lmite central.

Los dos terminos de la derecha son independientes por la primera parte del teorema 3.4.7.

Finalmente, aplicando el teorema 3.4.6 se concluye que

(n 1)S22

es una variable aleatoria chi-cuadrado con n 1 grados de libertad.Definicion 3.4.2 2,v es el valor de una variable aleatoria chi-cuadrado con v grados de libertadque satisface

P (X 2,v) =

A2-16

Figura 3: Valor de una variable aleatoria 2 tal que P (X 2,v) =

Ejemplo 3.4.1 Una corporacion colchonera es duena de distintos puntos de fabricacion en el Ecua-dor. Cada fabrica posee el mismo tipo de maquinaria que se caracteriza por producir con unadesviacion estandar no mayor a 5 colchones diarios.

Para mantener un control sobre el proceso, anualmente se toman muestras aleatorias de 20 das de laproduccion de cada fabrica. Si la probabilidad de que S2 sea mayor al valor observado en la muestraes menor a 0,01, P (S2 > s2) < 0,01, se considera que el proceso esta fuera de control y se llamala atencion al ingeniero responsable del proceso.

En el punto de fabricacion Guayaquil, donde el Ing. Facilon esta a cargo, la muestra aleatoriaperiodica arrojo una desviacion estandar de 7 colchones por da. Debe el Ing. Facilon prepararsepara recibir una amonestacion?

Solucion:El proceso se declara fuera de control si (n1)s

2

2 (el estadstico de prueba) con n = 20 y = 5excede a 20,01;19 = 36,191 (el valor crtico).

Procedemos a calcular el estadstico de prueba.

(n 1)s22

=19(7)2

(5)2= 37,24

Como el valor del estadstico de prueba (37,24) excede al valor crtico (36,191), el proceso se consi-dera fuera de control y el Ing. Facilon recibira una amonestacion.

Nota: Las conclusiones a las que hemos llegado asumen que la muestra se puede considerar unamuestra aleatoria de una poblacion normal.

A2-17

Distribucion Chi-cuadrado

Valores de 2,v

v 0.999 0.990 0.975 0.950 0.900 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001

1 0.000 0.000 0.001 0.004 0.016 2.706 3.841 5.024 6.635 10.8282 0.002 0.020 0.051 0.103 0.211 4.605 5.991 7.378 9.210 13.8163 0.024 0.115 0.216 0.352 0.584 6.251 7.815 9.348 11.345 16.2664 0.091 0.297 0.484 0.711 1.064 7.779 9.488 11.143 13.277 18.4675 0.210 0.554 0.831 1.145 1.610 9.236 11.070 12.833 15.086 20.5156 0.381 0.872 1.237 1.635 2.204 10.645 12.592 14.449 16.812 22.4587 0.598 1.239 1.690 2.167 2.833 12.017 14.067 16.013 18.475 24.3228 0.857 1.646 2.180 2.733 3.490 13.362 15.507 17.535 20.090 26.1259 1.152 2.088 2.700 3.325 4.168 14.684 16.919 19.023 21.666 27.87710 1.479 2.558 3.247 3.940 4.865 15.987 18.307 20.483 23.209 29.588

11 1.834 3.053 3.816 4.575 5.578 17.275 19.675 21.920 24.725 31.26412 2.214 3.571 4.404 5.226 6.304 18.549 21.026 23.337 26.217 32.91013 2.617 4.107 5.009 5.892 7.042 19.812 22.362 24.736 27.688 34.52814 3.041 4.660 5.629 6.571 7.790 21.064 23.685 26.119 29.141 36.12315 3.483 5.229 6.262 7.261 8.547 22.307 24.996 27.488 30.578 37.69716 3.942 5.812 6.908 7.962 9.312 23.542 26.296 28.845 32.000 39.25217 4.416 6.408 7.564 8.672 10.085 24.769 27.587 30.191 33.409 40.79018 4.905 7.015 8.231 9.390 10.865 25.989 28.869 31.526 34.805 42.31219 5.407 7.633 8.907 10.117 11.651 27.204 30.144 32.852 36.191 43.82020 5.921 8.260 9.591 10.851 12.443 28.412 31.410 34.170 37.566 45.315

21 6.447 8.897 10.283 11.591 13.240 29.615 32.671 35.479 38.932 46.79722 6.983 9.542 10.982 12.338 14.041 30.813 33.924 36.781 40.289 48.26823 7.529 10.196 11.689 13.091 14.848 32.007 35.172 38.076 41.638 49.72824 8.085 10.856 12.401 13.848 15.659 33.196 36.415 39.364 42.980 51.17925 8.649 11.524 13.120 14.611 16.473 34.382 37.652 40.646 44.314 52.62026 9.222 12.198 13.844 15.379 17.292 35.563 38.885 41.923 45.642 54.05227 9.803 12.879 14.573 16.151 18.114 36.741 40.113 43.195 46.963 55.47628 10.391 13.565 15.308 16.928 18.939 37.916 41.337 44.461 48.278 56.89229 10.986 14.256 16.047 17.708 19.768 39.087 42.557 45.722 49.588 58.30130 11.588 14.953 16.791 18.493 20.599 40.256 43.773 46.979 50.892 59.703

A2-18

3.5. Distribucion muestral de la media cuando 2 no es conocido

En la mayora de las aplicaciones de la vida real se desconoce el valor de la varianza poblacional(el parametro 2)

Se hace necesario reemplazar 2 con un estimado. Usualmente este valor es la varianza de lamuestra, S2.

Esta seccion trata acerca de la distribucion exacta de

X S/n

para muestras aleatorias de poblaciones normales.

3.5.1. La distribucion t de Student

Teorema 3.5.1 Si Y y Z son variables aleatorias independientes, Y sigue una distribucion chi-cuadrado con v grados de libertad, y Z sigue una distribucion normal estandar, entonces la distri-bucion de

T =ZY/v

esta dada por

f(t) =

(v + 1

2

)piv

(v2

) (1 + t2v

) v+12para < t

Figura 4: Valor t tal que P (T t,v) =

Figura 5: Distribucion t para distintos valores de v

Demostracion Por los teoremas 3.4.7 y 3.3.2 (teorema del lmite central), las variables aleatorias

Y =(n 1)S2

2y Z =

X /n

tienen, respectivamente, una distribucion chi-cuadrado con n1 grados de libertad y una distribucionnormal estandar.Sustituyendo en la formula que indica el teorema 3.5.1 se tiene

T =

X /n

S2/2=X S/n

Por la primera parte del teorema 3.4.7 se sabe que X y S2 son independientes y esto completa lademostracion.

Observacion 3.5.2 Para tamanos de muestra mayores a 30 (n 30) se suele considerar que ladistribucion t no difiere de manera considerable una distribucion normal estandar.

A2-20

Distribucion t de Student

Valores de t,v

v 0.4000 0.2500 0.1000 0.0500 0.0250 0.0100 0.0050 0.0005

1 0.3249 1.0000 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 636.61922 0.2887 0.8165 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 31.59913 0.2767 0.7649 1.6377 2.3534 3.1825 4.5407 5.8409 12.92404 0.2707 0.7407 1.5332 2.1318 2.7765 3.7470 4.6041 8.61035 0.2672 0.7267 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6.8688

6 0.2648 0.7176 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 5.95887 0.2632 0.7111 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 5.40798 0.2619 0.7064 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 5.04139 0.2610 0.7027 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 4.780910 0.2602 0.6998 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 4.5869

11 0.2596 0.6974 1.3634 1.7959 2.2010 2.7181 3.1058 4.437012 0.2590 0.6955 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810 3.0545 4.317813 0.2586 0.6938 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.0123 4.220814 0.2582 0.6924 1.3450 1.7613 2.1448 2.6245 2.9768 4.140515 0.2579 0.6912 1.3406 1.7531 2.1315 2.6025 2.9467 4.0728

16 0.2576 0.6901 1.3368 1.7459 2.1199 2.5835 2.9208 4.015017 0.2573 0.6892 1.3334 1.7396 2.1098 2.5669 2.8982 3.965118 0.2571 0.6884 1.3304 1.7341 2.1009 2.5524 2.8784 3.921619 0.2569 0.6876 1.3277 1.7291 2.0930 2.5395 2.8609 3.883420 0.2567 0.6870 1.3253 1.7247 2.0860 2.5280 2.8453 3.8495

21 0.2566 0.6864 1.3232 1.7207 2.0796 2.5177 2.8314 3.819322 0.2564 0.6858 1.3212 1.7171 2.0739 2.5083 2.8188 3.792123 0.2563 0.6853 1.3195 1.7139 2.0687 2.4999 2.8073 3.767624 0.2562 0.6849 1.3178 1.7109 2.0639 2.4922 2.7969 3.745425 0.2561 0.6844 1.3163 1.7081 2.0595 2.4851 2.7874 3.7251

26 0.2560 0.6840 1.3150 1.7056 2.0555 2.4786 2.7787 3.706627 0.2559 0.6837 1.3137 1.7033 2.0518 2.4727 2.7707 3.689628 0.2558 0.6834 1.3125 1.7011 2.0484 2.4671 2.7633 3.673929 0.2557 0.6830 1.3114 1.6991 2.0452 2.4620 2.7564 3.659430 0.2556 0.6828 1.3104 1.6973 2.0423 2.4573 2.7500 3.6460

inf 0.2533 0.6745 1.2816 1.6449 1.9600 2.3264 2.5758 3.2905

A2-21

3.6. La distribucion F

Teorema 3.6.1 Si U y V son variables aleatorias independientes que tienen distribuciones inde-pendientes con v1 y v2 grados de libertad, entonces

F =U/v1V/v2

es una variable aleatoria que sigue una distribucion F cuya funcion de densidad esta dada por

g(f) =

(v1 + v2

2

)(v1v2

) v12

(v1

2

)(v2

2

) f v12 1(1 +

v1v2f

) 12 (v1+v2)

para 0 < f

Demostracion Si se sacan muestras aleatorias independientes de tamano n1 y n2 de dos pobla-ciones normales, entonces haciendo uso del teorema 3.4.7 se tendra que

21 =(n1 1)S21

21y 22 =

(n2 1)S2222

son dos variables aleatorias independientes que siguen una distribucion chi-cuadrado con n1 1 yn2 1 grados de libertad.Por tanto, utilizando el teorema 3.6.1 se puede decir que

F =21/(n11)22/(n22)

=

((n11)S21

21

)/(n11)(

(n21)S2222

)/(n21)

sigue una distribucion F con n1 1 y n2 1 grados de libertad en el numerador y denominadorrespectivamente.

Luego de simplificar se obtiene que el ratio en cuestion es

F =S21/21S22/22

=22S

21

21S22

//QED

Observaciones 3.6.2

Por variables aleatorias independientes se quiere decir que las n1 + n2 variables aleatoriasque constituyen las dos muestras son todas independientes. De este modo las dos variablesaleatorias chi-cuadrado son independientes.

La independencia entre las dos variables chi-cuadrado no es algo que pueda ser generalizado,va a depender de cuales sean las poblaciones normales que las generan y de que el muestreosea aleatorio.

A2-23

Dis

trib

uci

on

F

Val

ores

def

,v1,v2

par

a

=0,

1

v1

v2

12

34

56

78

910

12

15

20

24

30

40

60

1

39.86

49.50

53.59

55.83

57.24

58.20

58.91

59.44

59.86

60.19

60.71

61.22

61.74

62.00

62.26

62.53

62.79

63.33

28.53

9.00

9.16

9.24

9.29

9.33

9.35

9.37

9.38

9.39

9.41

9.42

9.44

9.45

9.46

9.47

9.47

9.49

35.54

5.46

5.39

5.34

5.31

5.28

5.27

5.25

5.24

5.23

5.22

5.20

5.18

5.18

5.17

5.16

5.15

5.13

44.54

4.32

4.19

4.11

4.05

4.01

3.98

3.95

3.94

3.92

3.90

3.87

3.84

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242.4

742.3

142.1

541.8

34

31.3

326.2

824.2

623.1

522.4

621.9

721.6

221.3

521.1

420.9

720.7

020.4

420.1

720.0

319.8

919.7

519.6

119.3

25

22.7

818.3

116.5

315.5

614.9

414.5

114.2

013.9

613.7

713.6

213.3

813.1

512.9

012.7

812.6

612.5

312.4

012.1

4

618.6

314.5

412.9

212.0

311.4

611.0

710.7

910.5

710.3

910.2

510.0

39.8

19.5

99.4

79.3

69.2

49.1

28.8

87

16.2

412.4

010.8

810.0

59.5

29.1

68.8

98.6

88.5

18.3

88.1

87.9

77.7

57.6

47.5

37.4

27.3

17.0

88

14.6

911.0

49.6

08.8

18.3

07.9

57.6

97.5

07.3

47.2

17.0

16.8

16.6

16.5

06.4

06.2

96.1

85.9

59

13.6

110.1

18.7

27.9

67.4

77.1

36.8

86.6

96.5

46.4

26.2

36.0

35.8

35.7

35.6

25.5

25.4

15.1

910

12.8

39.4

38.0

87.3

46.8

76.5

46.3

06.1

25.9

75.8

55.6

65.4

75.2

75.1

75.0

74.9

74.8

64.6

4

11

12.2

38.9

17.6

06.8

86.4

26.1

05.8

65.6

85.5

45.4

25.2

45.0

54.8

64.7

64.6

54.5

54.4

54.2

312

11.7

58.5

17.2

36.5

26.0

75.7

65.5

25.3

55.2

05.0

94.9

14.7

24.5

34.4

34.3

34.2

34.1

23.9

013

11.3

78.1

96.9

36.2

35.7

95.4

85.2

55.0

84.9

44.8

24.6

44.4

64.2

74.1

74.0

73.9

73.8

73.6

514

11.0

67.9

26.6

86.0

05.5

65.2

65.0

34.8

64.7

24.6

04.4

34.2

54.0

63.9

63.8

63.7

63.6

63.4

415

10.8

07.7

06.4

85.8

05.3

75.0

74.8

54.6

74.5

44.4

24.2

54.0

73.8

83.7

93.6

93.5

83.4

83.2

6

16

10.5

87.5

16.3

05.6

45.2

14.9

14.6

94.5

24.3

84.2

74.1

03.9

23.7

33.6

43.5

43.4

43.3

33.1

117

10.3

87.3

56.1

65.5

05.0

74.7

84.5

64.3

94.2

54.1

43.9

73.7

93.6

13.5

13.4

13.3

13.2

12.9

818

10.2

27.2

16.0

35.3

74.9

64.6

64.4

44.2

84.1

44.0

33.8

63.6

83.5

03.4

03.3

03.2

03.1

02.8

719

10.0

77.0

95.9

25.2

74.8

54.5

64.3

44.1

84.0

43.9

33.7

63.5

93.4

03.3

13.2

13.1

13.0

02.7

820

9.9

46.9

95.8

25.1

74.7

64.4

74.2

64.0

93.9

63.8

53.6

83.5

03.3

23.2

23.1

23.0

22.9

22.6

9

21

9.8

36.8

95.7

35.0

94.6

84.3

94.1

84.0

13.8

83.7

73.6

03.4

33.2

43.1

53.0

52.9

52.8

42.6

122

9.7

36.8

15.6

55.0

24.6

14.3

24.1

13.9

43.8

13.7

03.5

43.3

63.1

83.0

82.9

82.8

82.7

72.5

523

9.6

36.7

35.5

84.9

54.5

44.2

64.0

53.8

83.7

53.6

43.4

73.3

03.1

23.0

22.9

22.8

22.7

12.4

824

9.5

56.6

65.5

24.8

94.4

94.2

03.9

93.8

33.6

93.5

93.4

23.2

53.0

62.9

72.8

72.7

72.6

62.4

325

9.4

86.6

05.4

64.8

44.4

34.1

53.9

43.7

83.6

43.5

43.3

73.2

03.0

12.9

22.8

22.7

22.6

12.3

8

30

9.1

86.3

55.2

44.6

24.2

33.9

53.7

43.5

83.4

53.3

43.1

83.0

12.8

22.7

32.6

32.5

22.4

22.1

840

8.8

36.0

74.9

84.3

73.9

93.7

13.5

13.3

53.2

23.1

22.9

52.7

82.6

02.5

02.4

02.3

02.1

81.9

360

8.4

95.7

94.7

34.1

43.7

63.4

93.2

93.1

33.0

12.9

02.7

42.5

72.3

92.2

92.1

92.0

81.9

61.6

9120

8.1

85.5

44.5

03.9

23.5

53.2

83.0

92.9

32.8

12.7

12.5

42.3

72.1

92.0

91.9

81.8

71.7

51.4

3

7.8

85.3

04.2

83.7

23.3

53.0

92.9

02.7

42.6

22.5

22.3

62.1

92.0

01.9

01.7

91.6

71.5

31.0

0

A2-28

Distribuciones de muestreoMuestreo aleatorioLa distribucin normalDistribuciones muestrales de mediasPoblaciones infinitasEjemplos para poblaciones infinitas:Poblaciones finitas

Distribucin muestral de la varianzaLa distribucin chi-cuadrado (2)Distribucin muestral de la varianza

Distribucin muestral de la media cuando 2 no es conocido La distribucin t de StudentDistribucin de la media muestral cuando 2 es desconocido

La distribucin FDistribucin del ratio de varianzas muestrales