apuntes_del_curso (1)

7/24/2019 APUNTES_DEL_CURSO (1)

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Universidad de ChileFacultad de Ciencias Fsicas y Matemticas

Departamento de Ingeniera Civil

Apuntes del Curso CI4101: Hidrulica

Departamento de Ingeniera Civil, Universidad de Chile

Alberto de la Fuente

Yarko Nio

Aldo Tamburrino

SANTIAGO DE CHILEDICIEMBRE, 2014


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Prefacio

Estos apuntes constituyen una primera versin del material docente del curso de Hidrulica,

que dos de los autores han dictado por alrededor de 15 aos en la carrera de Ingeniera Civilde la Universidad de Chile. Por ser una primera versin, inevitablemente es susceptible deser mejorado. Los profesores agradecern todas las observaciones o correcciones que puedanhacerse a los apuntes.

Estos apuntes son solo un material complementario del curso y de ninguna manera reemplazanla asistencia a clases.

Agradecimientos

Se agradece los comentarios y correcciones de:

Gerardo Zegers Carlos Rozas Hugo Ulloa Estudiantes varios


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CI4101: Hidrulica

3.2.1 Escurrimiento uniforme y variado (Fig. 3.2). . . . . . . . . . . . . . . 713.2.2 Escurrimiento permanente e impermanente . . . . . . . . . . . . . . . . 723.2.3 Escurrimientos laminares y turbulentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.2.4 Escurrimiento subcrtico y supercrtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3 Caractersticas geomtricas de los canales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.4 Distribucin de velocidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.5 Coeficientes de Coriolis y Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.5.1 Coeficiente de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.5.2 Coeficiente de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.6 Distribucin de presiones en canales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4 Ecuaciones del flujo en contornos abiertos 804.1 Ecuacin de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.2 Principio de conservacin de energa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2.1 Ecuacin de Bernoulli en canales abiertos. . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2.2 Concepto de energa especfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.3 Energa especfica en canales rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2.4 Escurrimiento crtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.2.5 Escurrimiento crtico en canales no rectangulares . . . . . . . . . . . . 914.2.6 Escurrimientos super y subcrtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.3 Principio de conservacin de momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.3.1 Funcin momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.3.2 Propiedades de la funcin momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.3.3 Resalto hidrulico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.3.4 Clasificacin del resalto hidrulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.3.5 Otras propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.3.6 Otros casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.3.7 Resalto en un acueducto en presin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.3.8 Resalto en lechos inclinados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.3.9 Resalto en pendiente mixta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5 Resistencia al escurrimiento en canales 1135.1 Esfuerzo de corte medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.1.1 Escurrimiento uniforme o normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.1.2 Escurrimiento gradualmente variado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.1.3 Ecuaciones de resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.1.4 Altura normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196 Escurrimiento gradualmente variado 121

6.1 Ecuacin diferencial de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.2 Anlisis y clasificacin de ejes hidrulicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.2.1 Pendiente suave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.2.2 Pendiente fuerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.2.3 Otros casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.3 Clculo numrico del Eje Hidrulico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

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CI4101: Hidrulica

7 Escurrimiento rpidamente variado 1357.1 Vertederos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.1.1 Vertederos de pared delgada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.1.2 Vertederos triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7.1.3 Vertederos de pared gruesa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.1.4 Sin influencia aguas abajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.1.5 Con influencia aguas abajo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.1.6 Vertederos de pared intermedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7.2 Ensanches bruscos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.3 Angostamientos bruscos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

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Parte I

Contornos cerrados

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Captulo 1

Anlisis hidrulico de sistemas detuberas

En etapas finales del curso de Mecnica de Fluidos del Departamento de Ingeniera Civil dela Universidad de Chile (CI3101), se obtuvo que al integrar la primer ley de la termodinmicaen un tubo de flujo, y considerando rgimen permanente, la siguiente ecuacin permite ligarla dinmica entre dos secciones (I y II) ubicadas en los extremos del tubo de flujo

BI= BII+ f+ s |P|Q

(1.1)

donde Bes el Bernoulli basado en la velocidad promedio de la seccin, fdenota las prdidasde energa friccionales que expresamos como:

f=J L= f

D

v2

2gL (1.2)

donde Jes la pendiente del plano de carga, L la distancia entre los puntos I y II (siguiendola lnea de corriente),Del dimetro de la tubera yfel coeficiente de friccin. Adems, ses la perdida singular, la cual expresamos como:

s= Kv2

2g

(1.3)

donde K es el coeficiente de prdida singular. Finalmente,|P| en (1.1) denota la potenciade la bomba o turbina, tal que tomando 1 y 2 como la seccin antes y despus de la bomba oturbina repectivamente el signoqueda determinado si es una bomba (, tal que B2 > B1) o si es una turbina (+, tal que B2 < B1).

Adems, se determin que el factor de friccin fes una funcin del nmero de Reynoldsen la tubera Re = vD1, y de la aspereza relativa /D, y a partir de ambos nmerosadimensionales definimos tres tipos de pared para flujos turbulentos en tuberas:

2


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CI4101: Hidrulica Sistemas de tuberas

Tuberas de pared hidrodinmicamente lisa.1f

= 2log10

Re

f

0.8 = 2 log10

Re

f

2.51

(1.4)

Tubera de pared hidrodinmicamente rugosa.1f

= 2log10

3.7

D

(1.5)

Tubera de pared hidrodinmicamente en transicin lisa-rugosa.1f

= 2log10

3.7D+

2.51

Re

f

(1.6)

Cabe recordar que en caso de tuberas hidrodinmicamente lisas o en transicin lisa rugosa,el factor de friccin y la o las ecuaciones de balance de energa en la tubera (Bernoulli), seresuelven iterativamente dado que el valor de fdepende depende del nmero de Reynoldsen las tuberas. Notar tambin que la (1.6) es general, vlida para cualquier tipo de pared,siendo las ecuaciones (1.4) y (1.5) casos lmites que resultan al tomar /D 0(caso paredlisa) o Re muy grande (caso pared rugosa). Una manera para iterar es mediante el baco deMoody que se muestra en la Fig. 1.1.

En esta primera parte del curso de Hidrulica veremos en detalle P, K.

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10

2

10

8

9

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

7

8

9

6 7 8 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8

FlujoLaminar

TransicinLaminar

Turbulento

Transicin lisa rugosa Tuberias Rugosas

Numero de Reynolds R = vD/

factordefriccinDarcy

Weisbachf

Diagrama de Moody Mehttp

r = 1e006

Flujo laminar

R 2000, f = 64/R

Ecuacin de ColebrookWhite , R 4000

1/f = 2 log(r/3.7 + 2.51/(Rf))

Material....................Acero RemachadoHormigonMaderaHierro FundidoHierro GalvanizadoAcero Comercial

(mm)....................0.990.330.180.90.250.150.046

Fluido a 20C....................AguaAire (101.325 kPa)

(m2/s)....................1.003e061.511e05

r = 5e006

Figura

1.1:bacodeMoody.

cDepartamentodeIngenieraCivil,Universidad

deChile

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1.1 Prdidas singulares en tuberas

Los sistemas de tuberas consisten de distintos elementos como uniones, codos, vlvulas,

adems de cambios en el dimetro. Estos elementos dan origen a prdidas de energas distin-tas a las friccionales, y se localizan donde se encuentran estos elementos. Estas prdidas sedenominan prdidas singulares y estn asociadas a la desaceleracin del escurrimiento.

Por ejemplo, veamos el ejemplo de laFig. 1.2donde, debido a que no son posibles quiebresbruscos de las lneas de corriente, existe una separacin aguas abajo del ensanchamiento, laque da origen a zonas de aguas muertas. Esto da tambin origen a una disipacin local deenerga en forma de calor, en la zona de la estela.

Figura 1.2: Ejemplo ensanche.

Para discutir las prdidas de energa en el ensanche, consideremos dos puntos 1 y 2 tal que:

B1= B2+ s (1.7)

Es usual definir s en trminos de la altura de velocidad, de tal manera que:

s= Kv212g

=Kv222g

(1.8)

y como el caudal es constante, los coeficientes de prdida singularKy Kestn relacionadosentre s por:

KS21

= KS22

(1.9)

dondeS1y S2son las reas de las secciones 1 y 2, respectivamente. Es as que, desde el puntode vista prctico, el problema de las prdidas singulares se traduce en determinar el coeficienteK(oK) caracterstico de la singularidad analizada. Si bien existen un gran nmero de piezasque causan prdidas singulares de energa, en los siguientes puntos analizaremos algunos delos casos ms comunes.



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1.1.1 Prdidas por ensanche brusco

ste corresponde a uno de los pocos casos que son posibles de ser analizados en formaanaltica. Para determinar el valor del coeficiente de prdida singular, definimos los puntos 1y 2 ubicados aguas arriba y aguas abajo del ensanche, y el volumen de control que se muestraen la Fig. 1.3. Entonces, del teorema de cantidad de movimiento obtenemos que para unflujo turbulento ( 1):

Fx=Q (v2 v1) (1.10)donde

Fx denota la sumatoria de las fuerzas externas en la direccin del flujo que actan

en el volumen de control igual a Fx = Fp1+Fp3 Fp2 (1.11)

donde Fp1 =p1S1 y Fp2 =p2S2 son fuerzas de presin. El flujo entre las secciones (1) y (2)corresponden a un chorro que se expande. Sabemos que la presin en un chorro es igual ala del medio que lo rodea. De este modo si la presin del chorro en la seccin (1) esp1, esttambin ser la presin que define la fuerzaFp3, y por lo tanto,

Fx = Fp1+Fp3 Fp2= p1S1+p1(S2 S1) p2S1= S2(p1 p2) (1.12)

Luego de agrupar trminos, el teorema de cantidad de movimiento nos permite obtener:

p1 p2= v22

1 S2S1

= v2(v2 v1) (1.13)

(1) (2)

Figura 1.3: Prdidas por ensanche brusco

Por otro lado, de Bernoulli sabemos que

B1= B2+ s (1.14)

y entoncesp1 p2

=

v222g

v21

2g+ s (1.15)



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De esta forma, demostramos la conocida frmula de Borda.

s=(v1 v2)2

2g (1.16)

de donde se obtiene que

K=

1 S1

S2

2(1.17)

y

K=

S2S1

12

(1.18)

1.1.2 Prdidas de entrada

Estas prdidas de energa ocurren a la entrada de las tuberas como se ve en la Fig. 1.4,en particular, cuando el flujo se desacelera debido al ensanche que se genera aguas abajo delangostamiento de la seccin 1. De esta forma, el coeficiente de prdida de energa singularqueda determinado a partir de la frmula de Borda, donde

s= kev2

2

2g =

S2S1

12

v22

2g (1.19)

donde S1 queda determinado como:S1 = S2 (1.20)

El valor de Kirchhoff = +2 = 0.611 se obtiene para flujo potencial 2-D donde es elcoeficiente de contraccin:

0.6 (1.21)De esta forma obtenemos que:

ke =

S2S2

12

0.44 (1.22)

si bien en la prctica se utilizake= 0.5.

1.1.3 Otras singularidades

En este punto, es posible extender el listado de posibles singularidades que inducen prdidasde energa de flujo, entre las cuales se cuentan:

Prdidas en codos y curvasrecordar que S2 > S1

http://-/?-http://-/?-


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Figura 1.4: Prdidas de entrada.

Prdidas en vlvulas Prdidas por bifurcaciones Prdidas por empalmes Prdidas por ensanches graduales Prdidas por entradas en ngulos y en diferentes geometras

Los coeficientes de prdidas singulares asociados a cada una de estas singularidades se ob-tienen de tablas de clculo, a continuacin se vern algunos casos para las perdidas men-cionadas anteriormente. En trminos genricos, una buena tabla de clculo debe especificarclaramente si el coeficiente de prdida singular es K o K, segn si la altura de energaperdida se expresa en funcin de la altura de velocidad de la seccin de aguas arriba o deaguas abajo de la singularidad (1 o 2 siguiendo notacin de Fig. 1.2). Las relaciones declculo para cuantificarKse obtuvieron de Blevin R.D., (1984) Applied Fluid DynamicsHandbook, van Nostrand Reinhold Co. Inc. A continuacin se vern algunos casos:

Prdidas en codos y curvas

1. Curva Suave en Tubera Circular. Este caso se representa en laFig. 1.5.A, dondese tiene que cumplir que L1, L2 >> D. El coeficiente de perdida singular se calcula dela siguiente manera segn el numero de Reynolds.

Caso Laminar (Re 4000): Cuando es turbulento hay tres casos:



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A) Curva Suave. B) Caso Laminar

R

L

L2

D

V

1

1000

200

100

2010

2

1

0.20.1

10 20 50 100 200 500 1000 2000

Valores Tipicos

= 45 o 90

0.5 < R/D < 11.7

Re

K

Figura 1.5: Curva Suave en Tubera Circular

Curva Moderada (R/D 1.8), dondeKse calcula con la ecuacin (1.23).

K=

0.0175fcR/D si 0 < Re( DR )

2 3600.00431Re0.17( R

D)0.84 si 360< Re( D

R)2

(1.23)

dondees el ngulo de la curva en grados segn laFig. 1.5.Ayyfccoeficientesque se calculan con laTabla1.1y ecuacin (1.24) respectivamente.

Tabla 1.1: Valores de

(Grados)

45 1 + 5.13( DR

)1.47

90

0.95 + 4.42( DR )

1.96 si R/D 9.85

180 1 + 5.06( DR )4.52

fc= 0.336Re( D

2R)0.50.2 (1.24)

En la ecuacin (1.24) se debe cumplir que: 0.01< D2R


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Tabla 1.4: Valores de K/

Ki para curvas en S retorcida con 2 curvas de 90 o

K/

KiR/D L/D

0 4 10 20 301.85 0.88 0.73 0.86 0.96 0.973.3 0.86 0.81 0.88 0.97 1

4. Curva en U con 2 curvas de 90o. LaFig. 1.7.Arepresenta este caso, en laTabla1.5se muestran los valores de K/

Ki.

A) Curva U con 2 curvas de 90o A) Curva de 90o con salida a un estanque de grandes dim

R

L

D

R

L

D

Figura 1.7: Tipos de Codos II

Tabla 1.5: Valores de K/ Ki para U con 2 curvas de 90oK/

Ki

R/D L/D0 4 10 20 30

1.85 0.58 0.72 0.83 0.92 0.983.3 0.73 0.8 0.88 0.97 0.987.5 0.97 0.97 0.98 1 1

5. Curva de 90o con salida a un estanque de grandes dimensiones

La Fig. 1.7.B representa este caso, en la Tabla1.6se muestran los valores de K/

Ki.El coeficiente de prdida singular de la salida al estanque se puede tomar igual a 1.0.

Prdidas en Entradas

En estos casos la prdida singular se calcula con el coeficiente de prdida singular K y lavelocidad en la seccin 2 (v2). En todos se debe cumplir queL >> D



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Tabla 1.6: Valores de K/

Ki para curva de 90o con salida a un estanque de grandes dimen-siones.

K/

Ki

R/D L/D

0 4 10 20 301.15 1.91 0.64 0.82 0.93 0.993.45 0.56 0.62 0.87 0.96 1

1. Entrada con ngulo arbitrario. LaFig. 1.8.Arepresenta este caso, con la ecuacin(1.26) se calcula el valor de K. Notar que para el caso horizontal K= 0.5.

K= 0.5 + 0.3cos() + 0.2 cos()2 (1.26)

A) Entrada con ngulo arbitrario B) Entrada redondeada horizontal

V

D

L (2)

(1)

V D

L(2)(1)

Figura 1.8: Entradas I

2. Entrada redondeada horizontal. LaFig. 1.8.Brepresenta este caso, con laTabla1.7se calcula el valor de K.

Tabla 1.7: Valores de Kpara entrada redondeada.

R/D K R/D K 0 1 0.06 0.32

0.01 0.87 0.12 0.1

0.03 0.61 0.16 0.060.04 0.51 0.2 0.030.05 0.4 0.6 0.01

3. Entrada en pared redondeada horizontal. La Fig. 1.9representa este caso, conla Tabla1.8se calcula el valor de K.



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V D

L

(1) (2)

Figura 1.9: Entrada en pared redondeada horizontal.

Tabla 1.8: Valores de K para Entrada en pared redondeada horizontal. Ref 1 corresponde aIdelchik y Ref 2 a Harris, los dos citados por Blevin (1984).

KR/D Ref 1 Ref 2

0 0.5 0.440.01 0.43 0.350.02 0.36 0.280.03 0.31 0.220.04 0.26 0.13

0.06 0.2 0.10.08 0.15 0.070.12 0.09 0.030.16 0.06 0

>0.016 0.03 0

Prdidas por Contraccin

En estos caso la prdida singular se calcula con el coeficiente de prdida singular K y lavelocidad en la seccin 2 (v2). En todos se debe cumplir queL1>> D1y L2 >> D2

1. Angostamiento Abrupto. La Fig. 1.10.A representa este caso, con la ecuacin(1.27) se calcula el valor de K, asociado a la altura de velocidad 2.

K=1

2

1 S2

S1

(1.27)

2. Contraccin Gradual. La Fig. 1.10.B representa este caso, con la Tabla 1.9 secalcula el valor de K.



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A) Contraccin Abrupta Contraccin Gradual(Cnica)

Q

L

L

(1) (2) L

1 L

2l

(1)

Q

(2)

Figura 1.10: Contracciones I

Tabla 1.9: Valores de Kpara contraccin gradual. Los valores de Kestn asociados a la alturade velocidad 2

K

S1/S2 /D20 0.05 0.1 0.15 0.61.2 0.08 0.06 0.04 0.03 0.031.5 0.17 0.12 0.09 0.07 0.062 0.25 0.23 0.17 0.14 0.063 0.33 0.31 0.27 0.23 0.085 0.4 0.38 0.35 0.31 0.18

10 0.45 0.45 0.41 0.39 0.27

Perdidas por Ensanche

En estos caso la prdida singular se calcula con el coeficiente de prdida singular K y lavelocidad en la seccin 1 (v1). En todos se debe cumplir queL1>> D1y L2 >> D2

1. Ensanche brusco. La Fig. 1.11.A representa este caso, con la ecuacin (1.28) secalcula el valor de K.

Ensanche brusco B) Ensanche Gradual(Cnica)

L1

L2

Q

(2)(1) L

1 L

2l

Q

(1) (2)

Figura 1.11: Expansiones I



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Tabla 1.14: Valores de Kpara vlvula convencional parcialmente abierta.

(grados) K (D=200mm)10 1620 5.5-10.530 2-6.540 2-3.550 1.5-260 0.9-170 0.5

Figura 1.15: Vlvula Mariposa

Tabla 1.15: Valores de Kpara vlvula mariposa completamente abierta.

K(=0)t/D Elemento hidrodinmico Elemento no hidrodinmico0.1 0.1 0.16

0.15 0.15 0.260.2 0.2 0.45

0.25 0.3 0.730.3 0.5 1.2

0.35 0.75 1.8

1.1.4 Ejemplo de Aplicacin

En el sistema de laFig. 1.16existe una conduccin de aguas entre dos estanque. El sistemade tuberas que conduce el agua incluye una serie de singularidades. Se pide terminar laaltura de la cota de agua del estanque de la derechaZbcuando se conduce un caudal Q y lavlvula se encuentra completamente abierta.

Datos del problema:

Q= 0.1 m3s1



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Tabla 1.16: Valores deKpara Vlvula Mariposa parcialmente abierta. Ref 1,2,3 y 4 correspondea Idelchik, McPherson, Idelchik y Guins todos citados por Blevin (1984).

K(grados) Ref 1 Ref 2 Ref 3 Ref 4

5 0.24 - - 0.2310 0.52 2.2 - 0.420 1.5 3.7 1.7 1.330 3.9 7.1 3.2 3.940 11 15 6.6 1050 33 38 14 3060 120 130 30 10070 750 290 62 400

a

es

.02m

Codos 90

R=0.5m

Contraccin

brusca

Codos 90

R=0.5m

Valvula

Mariposa

hidrodinmica t=0.5

Expansinbrusca

L , D , L , D , 1 1 1 2 2 2

Figura 1.16: Sistema de tuberias entre dos estanques

D1= 0, 4 m, L1 = 150 my1= 1 mm D2= 0, 25 m, L2= 130 my2= 1 mm Za = 15 m.s.n.m. (metros sobre el nivel del mar).

1.1.5 Resultados

Prdidas friccionales.

Con el caudal dado el flujo en las dos tuberas es turbulentos por lo que se calcula el factorde friccin con la ecuacin (1.6) obteniendo que f1 = 0.0253 y f2 = 0.0286. Con estos doscoeficientes se obtiene que:

s1= 0.306 m ; s2= 3.15 m (1.33)



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Prdidas singulares.

1. Entrada con bordes redondeados: Utilizando laTabla1.7se obtiene queK= 0.4.

2. Codos 90o tramo 1: Calculando las condiciones se obtiene que es el caso de una curvacerrada conRe >5 105, por lo que usando la Tabla 1.2se obtiene que para los doscodos en este tramoK= 0.4.

3. Contraccin brusca: Utilizando la (1.27) se obtiene queK= 0.3, esta prdida se calculacon la velocidad en el tramo 2 .

4. Codos 90o tramo 2: Calculando las condiciones se obtiene que es el caso de una curvamoderada con Re(D/R)2 > 360, por lo que utilizando ecuacin (1.23) para este casose obtiene que para los dos codos en este tramoK= 0.1680.

5. Vlvula mariposa: Utilizando laTabla1.15se obtiene queK= 0.2.

6. Expansin brusca: Utilizando la ecuacin1.28se obtiene que K = 1 (Se utiliza queS2 ).

Considerando tanto las prdidas singulares como friccionales se obtiene una prdida total detotal= 3.87[m]. Por lo que la altura del estanque b esZb= 11.12[m.s.n.m]

1.2 Bombas

1.2.1 Conceptos generales

Las bombas son mecanismos de ingeniera diseadas para elevar agua o algn otro fluido.Como vimos el semestre anterior, el efecto de las bombas se cuantifica como un trabajoexterno ejercido sobre el sistema termodinmico, que queda descrito por una potencia Pentregada a sistema (energa por unidad de tiempo), de manera tal que al plantear Bernoullientre dos puntos 1 y 2 (tal queB2 > B1), ubicados aguas arriba y aguas abajo de la bomba,

respectivamente, (Fig. 1.17), obtenemos

B1 = B2 |P|Q

(1.34)

En la Fig. 1.17 se definen tres alturas que permiten caracterizar el sistema hidrulico: laalturas esttica de impulsin, altura esttica de aspiracin (Ha), y altura esttica totalHe.



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Figura 1.17: Sistema hidrulico de bombas.

La altura esttica total es la diferencia de cota geomtrica entre los puntos de comienzoy trmino del sistema hidrulico de tuberas, siguiendo un linea de corriente (I y II deFig. 1.17). Si planteamos Bernoulli entre ambos puntos I y II, obtenemos que:

Hd = He+ s+ f (1.35)

dondeHdes la altura dinmica de elevacin de la bomba. De esta forma, vemos que labomba trabaja elevando siempre una altura igual a la altura esttica total (He), mslas prdidas friccionales y singulares que dependen del caudal. Por lo tanto,He defineel valor mnimo que debe ser capaz de elevar la bomba. Ojo que en caso que la entradaal estanque II sea a presin atmosfrica, es necesario considerar la altura de velocidaden II.

Definimos en este momento el rendimiento de la bomba() como:

= HdQ

|P| (1.36)

que nos indica que no necesariamente toda la potencia entregada al sistema (proveniente,por ejemplo, de la electricidad) se traduce en una real elevacin mecnica del fluido,sino que parte de ese flujo de energa suministrado se pierde irreversiblemente en formade, por ejemplo, calor debido al roce entre piezas.

Altura esttica de aspiracin (Ha). Corresponde a la altura geomtrica entre el extremode entrada al sistema hidrulico de tuberas y aguas arriba de la bomba (punto 1). Estaaltura est relacionada con la mxima distancia a la cual podemos ubicar la bombaantes que ocurran problemas de cavitacin. Esto se ve en que si aplicamos Bernoulli



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entre I y 1, obtenemos (Fig. 1.19)

p1

=patm

Ha+J L + s+

v2

2g

(1.37)

que nos indica que la presin aguas arriba de la bomba disminuye proporcionalmente conL, de manera que existe un mximo deL tal quep1sea mayor que la presin requeridapara evitar cavitacin en la bomba. Se define la carga neta de succin (NPSH, netpositive suction head) tal que:

p1

+v2

2g pv

+NPSH (1.38)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 12010

1

100

101

102

10

3

Temperatura [C]

PresiondeV

apordelAgua[Kpa]

Figura 1.18: Presin de Vapor del Agua vs Temperatura

Esta carga mnima es definida por el fabricante de las bombas, e impone una restriccinadicional para la ubicacin de bombas en un sistema hidrulico de tuberas. Entre otrasconsecuencias, la existencia del NPSH condiciona el que a veces no sea posible instalarbombas en superficie, siendo necesario buscar alternativas adicionales como bombassumergidas.



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La presin de vapor para el agua se puede obtener de laFig. 1.18o de la ecuacin deClausius-Clapeyron (Ecuacin (1.39)), donde T en oCt pv en hPa.

pv = 6.1094e 17.625TT+243.04 (1.39)

c

Figura 1.19: Ubicacin de bombas.

Finalmente, se define el cebadode la bomba como la operacin que consiste en extraerel aire de la tubera de aspiracin y de la bomba, para que queden llenas del lquido aimpulsar. En caso contrario (que haya aire dentro de la tubera de aspiracin), no vaa ser posible su funcionamiento ya que la densidad del agua es 3 rdenes de magnitudmayor que la densidad del aire.

Altura esttica de impulsin. Se define como la altura geomtrica entre la bomba y eltrmino del sistema hidrulico de tuberas.

1.2.2 Bombas centrfugas

Si bien este tipo de bombas es slo uno de los tantos que existen disponibles, es el tipo debomba ms comn de encontrar en aplicaciones de ingeniera hidrulica ya que el principiobsico que entrega energa al flujo, es lo suficientemente verstil como para trabajar enun amplio rango de caudales y alturas de elevacin. Las bombas centrfugas son aquellasque entregan energa mecnica al flujo mediante un rodete con paletas, que gira dentro

una carcaza metlica. De esta forma, el fluido que ingresa por el eje de giro del rodetees impulsado hacia afuera por la fuerza centrfuga (altura de velocidad). Usualmente, lasbombas centrfugas se componen de dos secciones: un motor que hace girar el rodete, y labomba propiamente tal (verFig. 1.20).

otros tipos incluyen bombas de vaco, bombas peristlticas, bombas de desplazamiento positivo, etc

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Figura 1.20: Esquema de bomba centrfuga.

Curvas caractersticas

La adecuada eleccin de una bomba requiere conocer sus curvas caractersticas, que relacionanel caudal elevado y tres parmetros necesarios para disear un sistema hidrulico de tuberas:altura de elevacin, potencia y eficiencia; cada una de las cuales debe ser especificada por elfabricante de la bomba.

Curva caracterstica para altura de elevacin. Esta curva es conocida como curvaQ Hd y relaciona el caudal de elevacin y la altura de elevacin, o bien la diferenciade Bernoulli antes y despus de la bomba. Esta curva caracterstica debe mostrar unarelacin inversa entre Q y Hd (Fig. 1.21A) ya que en caso contrario (Fig. 1.21B)la bomba es inestable porque aumentos de Qproduciran aumentos de H, y por con-

siguiente mayor caudal de acuerdo con Bernoulli. Es frecuente representar las curvasQ Hda una parbola del tipo Ha = a bQ2, donde a y b se ajustan.

Curva caracterstica para la potencia. Esta curva conocidaQ potenciarelaciona elcaudal con la potencia (consumo elctrico), por lo que es importante conocerla para eldiseo de la instalacin elctrica de la bomba.

Curva caracterstica para la eficiencia. Esta curva es conocida como curvaQ-rendimiento( en (1.36)), la cual muestra un mximo valor que determina el punto ptimo de op-eracin de la bomba (Fig. 1.21C).

Estas curvas suelen presentarse en un solo grfico como se muestra en la Fig. 1.22,el quecondensa la informacin necesaria para el diseo, vale decir, NPSH (rindica requerido), lascurvas caractersticasQ Hd,Q potencia(curvas con unidades de caballos de fuerza, HP),y eficiencia (curvas cuyo rendimiento se indica en curva Q rendimiento. Adems, unabsqueda en los diferentes fabricantes de bombas les va a permitir identificar que existe unagran cantidad bombas disponibles para diferentes aplicaciones. Por ejemplo, mencionamoscon anterioridad que existen bombas superficiales y sumerjibles en funcin del N PSH yla disponibilidad de espacio fsico en superficie para instalar de manera segura el equipode bombeo compuesto por la bomba, el motor, tuberas, vlvulas, coneccin elctrica, etc.



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fi

Figura 1.21: Esquema de curvas caractersticas. A) Ejemplo de curvaQHestable. B) Ejemplode curva Q H inestable. C) Ejemplo de curva Q rendimiento.

Adems, la naturaleza del fluido a bombear determina si es necesario materiales de mayor omenor resistencia a compuestos qumicos (agua dulce o marina), o resistentes a la erosin por

material suspendido (arena) que puede daar las aspas del rodete. Por otro lado, en funcindel rendimiento, las bombas tienen diferentes rangos de operacin ptima determinado porla curvaQ rendimiento.

Figura 1.22: Familia de curvas caractertsticas de bombas comerciales.

Curva de carga del sistema y punto de funcionamiento

Consideremos el Bernoulli entre los puntos (1) y (2) de la figura.



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(1)

(2)

L D1 1

L D2 2

Figura 1.23: Sistema hidrulico de bombas.

B1=B2+ f+ s Hd (1.40)

Donde Hdes la altura dinmica de elevacin, funcin del caudal. De este modo, la ecuacin(1.40) puede escribirse como:

Hd = He+ f+ s (1.41)

Se define como la curva de carga del sistema a la funcin del caudal definida por f1(Q) =He+ f+ s. Como ya vimos Hd = f2(Q)es la curva caracterstica de la bomba.

En general, el dimetro de la tubera de aspiracin es mayor que el de impulsin, aunqueen algunas bombas pequeas pueden ser iguales. Consideremos que la tubera de impulsin

tiene dimetro Dimp y una longitud Limp y que la de aspiracin Dasp y Lasp y que ambastuberas se comportan como hidrodinmicamente rugosas, de este modo:

f=

fimp

LimpDimp

( 4

Dimp)2 +fasp

LaspDasp

( 4

Dasp)2

Q2 (1.42)

Del mismo modo, la prdidas singulares pueden expresarse como:



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s=

imp

Kimp8

g2D4i+asp

Kasp8

g2D4i

Q2 (1.43)

Por lo que la curva de carga del sistema puede escribirse como:

f1= He+Q2 (1.44)

De este modo, el punto de operacin est dado por la interseccin de las curvasf1(Q)yf2(Q),como se aprecia en la figuraFig. 1.24.

Figura 1.24: Punto de funcionamiento de bombas.

Este anlisis grfico del punto de funcionamiento de bombas nos permite ver que si aumen-tamos las prdidas de energa en el sistema (cerrando vlvulas por ejemplo), el caudal quecircula por el sistema disminuye dado que de (1.44) aumenta y el punto de funcionamientode la bomba se desplaza hacia la izquierda, desde Q1aQ2(lnea segmentada deFig. 1.24).

Elevacin a dos estanques

Veamos ahora el caso que se muestra en la Fig. 1.25A, donde se toma agua de un estaqueE, y mediante una bomba se eleva a los estanques I y II, con alturas estticas total H1ey H2e, respectivamente. Supongamos primero que no existen prdidas de energa entre Ey la bomba, entonces definimos las curvas de carga de los estanques I y II como H1 y H2,respectivamente, tal que

H1 = He1+1Q21 (1.45)

yH2 = He2+2Q

22 (1.46)



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donde 1y 2 dependen de los coeficientes de prdida friccional y singulares en las tuberas1 y 2, respectivamente (ver Fig. 1.44), y Q1 y Q2 los caudales a los estanques 1 y 2respectivamente. De esta forma vemos que, ahora en un diagrama de cargaQ Hde Fig.1.25B, el agua solo llega al estanque II si H > He2, y adems, el punto de operacin queda

determinado cuando se cruzan la curvaQ Hdde la bomba con la curva de carga conjuntade ambos estanques (Fig. 1.25B), que algebricamente se obtiene de recordar que en talcaso H1= H2= Hd, y Q = Q1+Q2.

Luego, en el caso que las prdidas de energa entre E y la bomba no sean despreciables secumple que la curva de carga total del sistema Htotes (Fig. 1.25C)

Htot = Hd+EB (Q1+Q2)2 (1.47)

donde EB contiene los coeficientes de prdidas singular y friccional entre E y la bomba.

curva

carga

2

curvacarga1

carg

atota

l

carga

estan

ques1

y2

Curvade

cargaE

bomba

B(E)

(I)

(II)

A)

B) C)

Figura 1.25: Aplicacin a dos estanques. A) definicin del problema, B) curvas caractersticasde la bomba y de carga del sistema. C) Curva de carga del sistema considerando prdidas entre Ey la bomba.

Bombas en serie

La ubicacin de bombas en serie se utiliza cuando es necesario elevar a un gran altura, yaque la curva caracterstica del sistema de bombas en serie, es igual a la suma de las curvascaractersticas de cada una de las bombas que lo componen, y esto se ve grficamente en laFig. 1.26. Es fcil demostrar este resultado de aplicar Bernoulli entre dos puntos ubicadosaguas abajo y aguas arriba de un sistema de bombas ubicadas en serie.



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El rendimiento conjunto del sistema de dos bombas en serie queda determinado de:

P1+2=Q(H1+H2)

1+2=P1+P2 =

QH11

+ QH2

2(1.48)

de donde se obtiene que en el caso general:

1+2++N=

Ni=1 HiN

i=1 Hi/i(1.49)

Figura 1.26: Bombas en serie y respectiva curva caracterstica de un sistema de bombas en serie.

Bombas en paralelo

Una segunda configuracin para instalar bombas es ubicarlas en paralelo como se ve en laFig. 1.27, de donde se obtiene que ambas bombas elevan la misma altura (diferencia de

Bernoulli entre II y I), y por lo tanto se generan las condiciones para elevar un caudal totalQ = Q1+ Q2 mayor (Fig. 1.27). A partir de un anlisis similar al realizado para el casode bombas en serie, se determina que la eficiencia de un sistema deNbombas ubicadas enparalelo es:

1+2++N=

Ni=1 QiN

i=1 Qi/i(1.50)



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Q

H

B1

B2

Q

Q1

Q2

III

bomba 1

bomba 2

bas

Figura 1.27: Bombas en paralelo y respectiva curva caracterstica de un sistema de bombas enparalelo.



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1.3 Redes de tuberas

1.3.1 Consideraciones preliminares

En esta seccin estudiaremos cmo resolver una red de tuberas, para lo cual consideremosuna red como la que se muestra en laFig. 1.28. Entonces, si conocemos los caudales queentran o salen del sistema en los nodos, la pregunta es cul es el caudal que circula por cadauna de las 5 tuberas de la red, para lo cual necesarios algunas consideraciones y definicionespreliminares.

Figura 1.28: Ejemplo red de tuberas.

Primero, definimos que una red de tuberas est compuesta por una serie nodos que son lospuntos donde concurren dos o ms tuberas de la red. Es as que en cada nodo se tiene quecumplir continuidad de caudal tal que, siguiendo el ejemplo de laFig. 1.28,sabemos que

QC=Q2 Q5 Q3 (1.51)

donde QC es el caudal que ingresa a la red en el nodoC, y Q2, Q5 y Q3 son los caudales enlas tuberas 2, 5 y 3, respectivamente.

A continuacin, escribiremos que las prdidas friccionales en la tuberai como:

f i= riQni

i (1.52)donde Qi es el caudal que circula en la tubera i, y ri y ni con constantes que caracterizanlas prdidas friccionales en la misma. Por ejemplo,

Sabemos que si la pared es hidrodinmicamente rugosa,

f= 1

2log10

3.7 D2 (1.53)



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y por lo tanto, como

f =f L

D

8

2D4gQ2 (1.54)

de manera que ni = 2y

ri = fiLiDi

82D4i g

(1.55)

De acuerdo con la frmula de Blassius para flujos turbulentos en tuberas hidrodinmi-camente lisas,

f= 0.3164R1/4e (1.56)

donde Re = 4Q/(D)es el nmero de Reynolds de la tubera. Entoncesni = 1.75y

ri = 0.3164

4

Di

1/4LiDi

8

2D4i g (1.57)

Luego, laFig. 1.29muestra red de tuberas de donde vemos que est compuesta por varioscircuitos cerrados (I y IIen este caso particular), tal que si consideramos el sentido delescurrimiento del circuitoI, se cumple que

1 2 3 = 0 (1.58)dado que

BA= BB+ f1 (1.59a)

BC=BB+ f2 (1.59b)

BA= BC+ f3 (1.59c)

(1)

(2)

B

C

I

II

A

Figura 1.29: Definicin de circuitos en redes de tuberas.

En trminos generales, podemos decir que para cualquier circuito se cumplei

sif i = 0 (1.60)

donde i denota las tuberas del circuito, ysi es el signoque resulta de definir si el caudalQi escurre a favor (+) o en contra () del sentido de giro de los punteros del reloj. En elcaso definido en la Fig. 1.29, slo si de la tubera 1 es +1 ya que el flujo va a favor delsentido de giro del circuito, mientras quesi de las tuberas 2 y 3 es igual a -1.



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1.3.2 Mtodo de Hardy Cross (1936)

A partir de estos conceptos bsicos, a continuacin describiremos el Mtodo de Hardy Crossel cual es un mtodo iterativo que permite determinar la distribucin de caudales en lared de tuberas. Para esto, consideremos una distribucin arbitraria inicial de caudales, yverifiquemos si se cumple que:

i

sif i = 0 (1.61)

en cada circuito de la red de tuberas. En caso que se cumpla con dicha condicin decimosque obtuvimos los caudales en el circuito dado que estamos resolviendo las ecuaciones deBernoulli por cada tubera (1.59). Sin embargo, usualmente esto no se cumple de maneraque es necesario corregir estos caudales iniciales, para lo cual expresemossicomo

si= Qi

|Qi| (1.62)

yf i= ri |Qi|ni (1.63)

esta manera de expresar las prdidas en cada circuito requiere definir el signo de los caudalesQi de acuerdo con la notacin dada por el sentido de giro de los punteros del reloj. Es asque para cada circuito se debe cumplir que

i

Qi|Qi|ri |Qi|

ni = 0 (1.64)

Como fue mencionado anteriormente (1.64) no necesaria se va a cumplir de manera queplanteamos una metodologa iterativa para resolver el problema.

1. Definamos arbitrariamente Q0i para comenzar con las iteraciones. La definicin esarbitraria, aunque debe cumplir con continuidad de caudales en los nodos para asasegurar que el resultado final tambin cumpla con continuidad de caudales en losnodos. Verificar que por cada circuito

i

Q0i

|Q0i |ri Q0

ini =

i

f(Qi)= 0 (1.65)

2. Buscar un valor QIpor circuito que corrija los caudalesQi de cada circuito tal que

Q1i =Q0i + QI (1.66)

y i

Q0i + QI|Q0i + QI|

riQ0i + QIni =

i

f(Qi+ QI) = 0 (1.67)



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3. Expandir la en serie de Taylor la funcinf(Qi)como

2f(Qi+ QI) f(Qi) + fQi

QI (1.68)

Entonces sumamos sobreie igualamos a0para buscar cerrar las prdidas en el circuitoI:

i

f(Qi+ QI) =

i

f(Qi) + QI

i

f

Qi= 0 (1.69)

Entonces, la correccin QI para todos los caudales del circuito queda determinadacomo:

QI=

i f(Qi)i

fQi

(1.70)

donde (ver definicin de (1.65) para la funcin f(Qi)):

fQi

=ri Qi

Qi|Qi| |Qi|

ni

= ri Qi

Qi |Qi|ni1

=ri

|Qi|ni1 + (ni 1)Qi |Qi|ni2 Qi|Qi|

=ri

|Qi|ni1 + (ni 1)Q2i|Qi|ni3=ri

|Qi|ni1 + (ni 1) |Qi|ni1=rini |Qi|ni1

(1.71)

Entonces

QI=

isiri

|Qi

|

nii rini |Qi|ni1

(1.72)

Usualmente, los coeficientes ri son muy grandes, por lo que se suele dividirlos por unnmero arbitrarioro, tambin grande, pero constante para circuito.

4. Calcular QIpara cada circuito de la red de tuberas, y corregir los caudales de cadauno de los tramos. Notar que en caso que una tubera sea parte de dos circuitos,como la tubera 2 de la Fig. 1.29, entonces el caudal de esa tubera se debe corregirconsiderando QI y QII, teniendo cuidado con el signo de esta correccin el cualvara segn el circuito. Por ejemplo, el caudalQ2corregido para el circuito 1 es:

Q12

= Q02+ QI

QII (1.73)

5. Volver a 2 pero con los caudales iniciales corregidos como Q1i .

1.3.3 Ejemplo de aplicacin

Consideremos la red del sistema de la figuraFig. 1.30. El sistema est compuesto por doscircuitos y 5 tuberas. Como datos se conoce que el flujo en las tuberas es turbulento, con



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paredes hidrodinmicamente rugosas, entoncesni = 2. Se pide determinar la distribucin decaudales con un error menor al 1 %. Los parametros del problema se muestra en la tabla1.17.

Tubera L[m] D[m] [m]1 500 0.2 0.0052 600 0.25 0.0053 300 0.25 0.0054 1000 0.4 0.0055 800 0.3 0.005

Tabla 1.17: Caractersticas de las tuberas de la red

Utilizando los parametros anteriores se puede calcular los valores de los coeficientesri, para

evitar trabajar con nmeros muy grandes estos coeficientes son normalizados por un valorarbitrario ro, en este caso se utilizo r0 = 10000. Se pueden ver los valores obtenidos en latabla Tabla1.18.

Tubera ri ri/ro1 246576.2 24.72 93432.1 9.33 46716 4.74 13794.1 4.15 48619.8 4.9

Tabla 1.18:Valores de ri para ejemplo de

Fig. 1.30

(1)

(2)

I

II

0.2

0.5

Figura 1.30: Ejemplo Mtodo de Cross.

Como vimos en puntos anteriores, definimos los circuitosIy II, y comenzamos las iteracionesescogiendo una distribucin aleatoria de caudales, pero que satisfaga continuidad en los nodos.Esta distribucin se muestra en laFig. 1.31y Tabla1.19la cual adems considera el signodado por el sentido de giro en los circuitos.



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Tubera I [L3T1] II [L3T1]1 0.152 -0.353 -.30

4 0.705 -0.35 0.35

Tabla 1.19: Caudales en circuitos.

0.15

I

II

Figura 1.31: Distribucin de caudales antes de primera iteracin.

Calculamos la correccin de los caudales en los circuitos I y IIcon las ecuaciones 1.74ay1.74brespectivamente.

QI=

i=1,2,5 siri/ro |Qi|2

i=1,2,52ri/ro |Qi| = 0.068[m3/s] (1.74a)

QII=

i=3,4,5 siri/ro |Qi|2

i=1,2,52ri/ro |Qi| = 0.1[m3/s] (1.74b)

Recuerde que ni = 2. A continuacin recalculamos los caudales de cada tubera, para locual es necesario tener especial cuidado con el signo de la correccin est definido para elcaudalQ5. Si nos encontramos en el circuitoI,Q5inicial es -0.35, y despus de ser corregidoes Q1

5 = Q0

5+ QI

QII. Por el contrario Q5 inicial del circuito IIes 0.35 y su valor

corregido Q15 = Q05 QI+ QII. En la tabla 1.20 se presentan los caudales obtenidos.

En esta condicin se tiene un error porcentual del 37.8% y 55.5% para el circuito I y IIrespectivamente. El error porcentual se calcula dividiendo la correccin1QIpor el caudalmenor del circuito.

Con estos nuevos caudales se obtiene que:

Q2I= 0.0002[m3/s]



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Tubera Q1I[m3/s] Q1II[m

3/s]1 0.22 -2 -0.28 -3 - -0.4

4 - 0.65 -0.18 0.18

Tabla 1.20: Caudales primera iteracin.

Q2II= 0.0001[m3/s]

Con lo anterior se obtienen la tabla1.21que tiene los caudales de la segunda iteracin dondese obtuvo un error porcentual de 0.02% y 0.01% para el circuito I y II respectivamente.

Tubera Q1I[m3/s] Q1II[m

3/s]1 0.2 -2 -0.3 -3 - -0.394 - 0.615 -0.19 0.19

Tabla 1.21: Caudales finales en circuitos (Segunda iteracin

A raz de los resultados resumidos enTabla1.21,y los valores de los coeficientesriindicadosen la Tabla 1.18 vemos que a el caudal de 1 que ingresa en el nodo inferior se reparteasimtricamente entre las tuberas 3 y 4, cosa que se explica en que los coeficientes ri sondiferentes para ambas tuberas (4 y 2, respectivamente). En particular, el caudal |Q4| > |Q3|ya que r4 < r3, y por lo tanto hay menor resistencia a que el fluido escurra por esa tuberaque por la tubera 3. Un anlisis similar ocurre en el punto de convergencia de las tuberas1 y 2, donde el caudal Q1 es menor aQ2, dado que r1 > r2.

1.3.4 Propuesto

Plantee el mtodo de Cross para el caso ms general que considere prdidas singulares ybombas en alguno de los tramos de la tubera.



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Captulo 2

Rgimen impermanente en tuberas

En este captulo estudiaremos cmo evolucionan las propiedades del flujo en tuberas cuandoexisten cambios en las condiciones de borde del problema, de manera que el flujo deja de serpermanente. Para llevar a cabo este estudio, primero discutiremos acerca del denominadomtodo inelstico de solucin, para posteriormente centrarnos en el mtodo elstico pararesolver la dinmica impermanente en tuberas y los mtodos numricos que existen pararesolver las ecuaciones de movimiento que resultan de este ltimo mtodo de solucin.

Definimos como rgimen impermanente en tuberas a la evolucin temporal de las condicionesdel flujo producto de un cambio en el tiempo de las condiciones de borde del problema, y

que caracterizan el flujo mientras el sistema se adapta a las nuevas condiciones. Entendemoscomo cambios en las condiciones de borde al cierre o apertura de vlvulas, puesta en marchade bombas, etc., y entendemos como condiciones del flujo al valor de la presin y velocidad(o caudal) en cada punto de la tubera. A partir de estos dos conceptos podemos ver queexiste una relacin entre velocidad de cambio de las condiciones de borde, y los tiempos quedemora el sistema en alcanzar su nueva condicin de equilibrio, ya que podemos pensar quesi los cambios en la condiciones de borde ocurren en tiempos mayores que los que toma elsistema en alcanzar su nueva condicin de equilibrio, entonces el rgimen impermanente en lastuberas puede ser explicado como una sucesin de estados permanentes. Por el contrario, silos cambios en las condiciones de borde son bruscos, o bien ocurren en una escala de tiempomucho menor que la que demora el sistema en alcanzar su nueva situacin de equilibrio,

entonces el flujo no puede ser descrito a partir de suponer condiciones permanentes. Eneste captulo nos centraremos en ltimo grupo de fenmenos impermanentes producidos porcambios bruscos en las condiciones de borde del problema.

Desde el punto de vista de ingeniera hidrulica, los fenmenos transientes en tuberas sonimportantes de estudiar ya que explican el problema del golpe de ariete en centrales hidroelc-tricas. Este fenomeno ocurre normalmente durante la operacin de una central cuando secorta el paso del agua en poco tiempo, lo que produce un exceso de presin en la tubera demanera tal que los gradientes de p sean capaces de frenar el flujo. Como consecuencia, estos

38


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CI4101: Hidrulica Impermanente en tuberas

aumentos de la presin pueden ser lo suficientemente grandes como para destruir las tuberas.Un ejemplo de este problema se ve en el archivo ppsque se encuentra en material docente, estmuestra la destruccin que produjo un golpe de ariete en la central hidroelctrica deSayanoShushenskaya, Rusia (2009). . Las principales medidas para evitar daos al producirse este

fenmeno son establecer una ley de cierre (determinar como se cierra la vlvula a travs deun periodo de tiempo) para disminuir los excesos de presin y la construccin de chimeneasde equilibrio aguas arriba de las vlvulas (Fig. 2.1), las cuales se llenan en caso de cierresbruscos de las vlvulas (el agua siempre circula por el sistema que tiene menor prdida, porlo que el agua se va a la chimenea de equilibrio en vez de seguir hacia el embalse), y asalivian los excesos de presin en las tuberas ya que se fuerza al sistema a funcionar como untubo en U.

Figura 2.1: Ejemplo de chimeneas de equilibrio. A) ejemplo de una chimenea que funciona apresin atmosfrica. B) Ejemplo de una chimenea que funciona con aire a presin.

En este captulo veremos los mtodos ms usuales de solucin de flujos impermanentes entuberas: el mtodo inelastico que supone flujo incompresible y tuberas indeformables, elmtodo elstico que considera fluido compresible y tuberas indeformables y el mtodo elsticoque considera fluido compresible y tuberas deformables.

2.1 Mtodo inelstico

El mtodo inelstico de solucin de fenmenos impermanentes en tuberas considera:

1. Fluido incompresible, de manera que

v= 0 (2.1)



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2. La caera es rgida e indeformable. Por lo tanto, si integramos continuidad en latubera obtenemos que

Q

s = 0 (2.2)

donde Qes el caudal y sel eje de coordenadas siguiendo una lnea de corriente. Esteresultado indica que el caudal es uniforme a lo largo de una lnea de corriente, lo cualno necesariamente significa que sea constante en el tiempo.

Adicionalmente, supondremos que la tubera es de seccin circular.

2.1.1 Fluido ideal

Supongamos momentneamente que el fluido es ideal, y por lo tanto las prdidas de carga en

las tuberas son despreciables. Como vimos en Mecnica de Fluidos, las ecuaciones bsicasde movimiento para este problema son las ecuaciones de Euler

1

g

dv

dt+ B= 0 (2.3)

y la ecuacin de continuidad: v= 0 (2.4)

donde v es la velocidad y B =v v/2g+ p/+ z es el Bernoulli. Si usamos la coordenadasque coincide con el eje de la tubera (lnea de corriente), entonces podemos proyectar (2.3)en un elemento ds (producto punto), obtenindose

1g

dudt

+dBds

ds= 0 (2.5)

donde u = v dses la velocidad a lo largo de s y Bs ds=dB. Luego, tomamos dos puntosde la lnea de corriente, 1 y 2, e integramos

1

g

21

du

dtds+

21

dB= 0 (2.6)

Por otro lado, vemos que por continuidad entre 1 y 2, us = 0si la seccin de escurrimiento

es la misma, cosa que indica que u es uniforme y no vara a lo largo de s; no obstante, puede

variar en el tiempo. De esta forma,d

dt

du

ds = 0 d

ds

du

dt = 0 (2.7)

y por lo tanto dudt

no depende de s, tal que

1

g

du

dt

21

ds+

21

dB=1

g

du

dtL12+B2 B1 = 0 (2.8)

donde L12 es la distancia entre 1 y 2, a lo largo de la tubera, y B1 y B2 son los Bernoullievaluados en los puntos 1 y 2, respectivamente.



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(1) (2) (3)

sA u

L

H 0

(0)

Figura 2.2: Esquema del sistema estanquetubera.

Ejemplo de aplicacin

Consideremos el flujo impermanente de un fluido ideal en una tubera que desagua un es-tanque de nivel constante, donde el rgimen transitorio es causado por la operacin de unavlvula ubicada en el extremo de aguas abajo. La situacin es la mostrada en laFig. 2.2

Apliquemos la ecuacin para el rgimen impermanente en tuberas deducida anteriormentea partir de la ecuacin de Euler:

L12g

du

dt +B2 B1= 0 (2.9)

donde B1y B

2representan el Bernoulli en las secciones 1 y 2, es decir aguas arriba y aguas

abajo, respectivamente, L12 denota la distancia entre las secciones 1 y 2 y u denota lavelocidad media instantnea a lo largo de la tubera.

Aplicando la Ec.(2.9) entre las secciones (0) y (1) de la Fig. 2.2, donde se supone quepuede despreciarse el efecto impermanente si el estanque es suficientemente grande comopara mantener su nivel constante a pesar de la operacin de la vlvula, se tiene:

B0= B1 = H0 (2.10)

Aplicando la misma ecuacin ahora entre las secciones (1) y (2) de laFig. 2.2,se tiene:L

g

du

dt +B2 B1 = 0 (2.11)

donde L denota la longitud del tramo entre (1) y (2). Por lo tanto, es posible escribir:

L

g

du

dt +B2 H0= 0 (2.12)



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Para las secciones (2) y (3) antes y despus de la vlvula, puede tambin despreciarse elefecto impermanente, principalmente por la corta distancia entre dichas secciones. Podemosplantear entonces:

B2 B3 (2.13)

Considerando el esquema de la Fig. 2.3, suponiendo que la seccin (3) est abierta a laatmsfera, se tiene:

B3 =u232g

(2.14)

donde u3 representa la velocidad en la seccin de mxima contraccion aguas abajo de lavlvula. Por continuidad, es posible expresar la velocidad u3 en funcin de la velocidadmedia en la tuberau, de modo que:

Q= A u = CcAvu3 (2.15)

dondeQ denota el caudal,Ccdenota el coeficiente de contraccin del flujo aguas abajo de lavlvula, A denota el area de la tubera yAv denota el area abierta de la vlvula. Av vara enel tiempo y ello es lo que genera el flujo impermanente en el sistema. Con esta consideracinse obtiene:

u3= A

CcAvu (2.16)

y:

B2 =

A

CcAv

2u2

2g (2.17)

Por lo tanto:

L

g

du

dt +

A

CcAv2

u2

2g H0= 0 (2.18)

Es importante notar que la funcinAv(t)representa el rea de abertura de la vlvula en eltiempot. Esta funcin define la ley de operacin de la vlvula.

Suponiendo que inicialmente la vlvula tiene una aberturaAv0, constante en el tiempo, y porlo tanto el rgimen de escurrimiento es permanente (du/dt= 0), entonces puede considerarse:u= u0, y de la (2.18):

A

CcAv0

2u202g

H0= 0 (2.19)



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Patm

Vlvula

A

Av Cc Av

(3)(2)

Figura 2.3: Esquema de flujo en la vlvula.

tT0

1

f

Figura 2.4: Ley de operacin de la vlvula.

de donde se obtiene la velocidad del flujo en el rgimen permanente inicial:

u0=CcAv0

A

2gH0 (2.20)

y sta representa la condicin inicial del problema de flujo impermanente que se genera

cuando se comienza a operar la vlvula. Es decir, u0corresponde al valor deuen t = 0.

Se define como la ley de operacin de la vlvula a la relacin adimensional :

(t) =Av(t)

Av0(2.21)

Por ejemplo, si el cierre es lineal, de modo que vara linealmente entre 1 (vlvula abierta)y f(vlvula parcialmente cerrada) en un tiempo total de cierreT (Fig. 2.4), entonces, la

ley de operacin es simplemente:

(t) = 1 (1 f) tT

(2.22)

Un caso especial es el de cierre total, para el que: f= 0.

Es conveniente expresar la ecuacin (2.18) en trminos adimensionales, multiplicndola por(T g)/(u0L):



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d(u/u0)

d(t/T) + (

A

CcAv)2

T g

u0L

u2

2g H0T g

u0L = 0 (2.23)

Reemplazando las expresiones parau0y obtenidas previamente se llega a:

d(u/u0)

d(t/T) +

H0T g

u0L

(u/u0)

2

2 1

= 0 (2.24)

ecuacin que debe resolverse para determinar la variacin de la velocidad adimensionalu/u0en funcin del tiempo adimensionalt/T, para una ley de operacin de la vlvula (t)impuestaexternamente.

Antes de intentar resolver la ecuacin diferencial ordinaria, no lineal, anterior, analicemos

la variacin temporal del Bernoulli en la seccin inmediatamente aguas arriba de la vlvula,B2(t).

Ent= 0, en el rgimen permanente inicial, se tiene:

B0 = B1= B2 = B3= H0 (2.25)

y por lo tanto,B2(0) =H0. Definiendo:

B2(t) =B2(0) + Ha(t) =H0+Ha(t) (2.26)entonces,Ha(t)representa la variacin impermanente del Bernoulli antes de la vlvula conrespecto al rgimen permanente inicial. Ya dedujimos que:

B2(t) =

A

CcAv(t)

2u2(t)

2g (2.27)

de donde se obtiene:

u(t) = CcAv(t)A

2g(H0+Ha(t)) (2.28)

Dividiendo por u0 y considerando la expresin determinada previamente para esta variableen trminos de la cargaH0y la abertura de la vlvula se llega a:

u/u0=

1 +

HaH0

(2.29)



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expresin que permite relacionar la velocidad impermanente en la tubera con el Bernoulliimpermanente en la seccin inmediatamente aguas arriba de la vlvula. Derivando estaexpresin con respecto al tiempo y reemplazando en la ecuacin (2.24), se llega a una ecuacionequivalente a esta ltima pero que permite determinar la variacin de la variable adimensional

Ha/H0 en funcin del tiempo:

d(Ha/H0)

d(t/T) +

2

d

d(t/T)(1 +

HaH0

) +H0T g

u0L

HaH0

1 +

HaH0

= 0 (2.30)

con condicin inicialHa/H0= 0en t/T = 0 y (t/T), ley de operacin de la vlvula.

La variableHa se relaciona con la cota piezomtrica del flujo de la siguiente manera:

B2(t) =u2(t)

2g + p2(t)

=H0+Ha(t) (2.31)

donde p2/representa la cota piezomtrica instantnea en la seccin inmediatamente aguasarriba de la vlvula. Despreciando la altura de velocidad en la tubera se obtiene:

p2(t)

=H0+Ha(t) (2.32)

de donde se concluye que Ha(t)representa la sobrepresin que ocurre inmediatamente aguasarriba de la vlvula en el tiempot, debido a la operacin de ella.

Si bien la ecuacin (2.30) no se puede resolver analticamente, debido a su carcter no lineal,es posible, sin embargo, determinar el valor mximo de la sobrepresin Ha que ocurrirpara una ley de operacin de la vlvula dada. Para ello basta con imponer la condicin(dHa)/(dt) = 0en la ecuacin (2.30). Llamando Hamax a la sobrepresin mxima, entoncesse obtiene la ecuacin cuadrtica:

H2amax u20L

2

g2 (

d

dt)2 u

20L

2

g2H0(

d

dt)2 Hamax = 0 (2.33)

cuya solucin es:

Hamax=1

2

(

u0L

g )2 (

d

dt)2

1

H0

(u0L

g )4 (

d

dt)4

1

H20+ 4 (

u0L

g )2 (

d

dt)2

(2.34)

de donde se obtiene:

(HaH0

)max=1

2(

u0L

gH0T)2 (

d

d(t/T))2

1 +

1 + 4 (

u0L

gH0T)2 (

d

d(t/T))2

(2.35)



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Para el caso de cierre lineal, como el considerado previamente, se tiene:

d

d(t/T)

=

(1

f) (2.36)

y en ese caso la sobrepresin mxima resulta ser funcin slo de la fraccin de cierre finalfy el parmetro adimensional: (u0L)/(gH0T).

Ejercicio Propuesto: ? Cmo cambian las relaciones anteriores al analizar la apertura linealde una vlvula que inicialmente esta completamente cerrada?

2.1.2 Efecto de las prdidas de energa

Consideremos ahora que el fluido es real, y por lo tanto hay que tener en cuenta el esfuerzode corte que disipa energa. Consideremos un volumen de control dV, tal que dSse orientaa lo largo de un tubo de flujo (Fig. 2.5). Las dimensiones del volumen de control son reatransversal al escurrimiento dA, largo dS, y permetro donde actan los esfuerzos de corted. Veamos como queda el teorema de cantidad de movimiento aplicado a este volumen decontrol. Primero:

d Fext = dma (2.37)

Luego, consideremos slo la proyeccin de fuerzas a lo largo deds, de manera que la proyeccinde dz, que usaremos para el clculo del peso, es (Fig. 2.5):

dz=ds sin (2.38)

v

Figura 2.5: Suma de fuerza en elemento de tubo de flujo.



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Entonces, el teorema de cantidad de movimiento queda escrito como

d Fext= pdA

p+

p

sds

dA odds g sin dAds (2.39)

donde o es el esfuerzo de corte que actan en el permetro d (manto dds), tambinconocido como permetro mojado. De esta forma obtenemos que:

ps

dsdA oddS gdA sin = dma (2.40)

Luego, sabemos que

a=Dv

Dt =

v

t + v v (2.41)

que en la direccins es igual a

as= ut

+u us

s (2.42)

Adems,dm= dAds (2.43)

y entonces el teorema de cantidad de movimiento a lo largo de la lnea de corriente es:

u

t +u

u

s

= p

s o

Rh g sin (2.44)

donde Rh es el radio hidrulicoigual a

Rh =A

(2.45)

Finalmente, si expresamos

uu

s =

1

2

u2

s (2.46)

obtenemos que1

g

u

t

+

s

p

g

+z+u2

2g +

o

Rhg

= 0 (2.47)

o bien1

g

u

t + B+ o

Rhg = 0 (2.48)

que es la ecuacin de Euler corregida por friccin.

En esta ecuacin, o es el esfuerzo de corte que se aplica en el manto del tubo de flujo. Sieste tubo de flujo abarca toda la tubera, entonceso representa el esfuerzo de corte en lasparedes de la tubera, el que depende del valor del factor de friccin f, y por lo tanto del



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rgimen de escurrimiento y de las propiedades hidrodinmicas de la tubera. De lo conocidode flujo permanente en tuberas, podemos ver que

oRh

=J (2.49)

donde Rh= D/4en tuberas, por lo tanto:

oRh

= f

D

u2

2g (2.50)

y por lo tanto:1

g

u

t + B+ f

D

u2

2g = 0 (2.51)

Ejemplo de aplicacin

Considrese el problema de la oscilacin de un volumen de lquido dentro de un tubo en Ude dimetro constante, suponiendo que el rgimen de escurrimiento es laminar. La ecuacinque rige este movimiento es

1

g

du

dt + B+ 32

gD2u= 0 (2.52)

que se obtiene de recordar que el coeficiente de friccin esf= 64/Re, dondeRees el nmerode Reynolds.

De la ecuacin de continuidad se tiene que u = 0, pero como u = u ds, entonces secumple queu/s= 0, y la velocidad u resulta ser independiente des.

Integrando entre las secciones 1 y 2 de la Fig. 2.6, finalmente se obtiene qu:

L

g

du

dt +B2 B1+ 32

gD2uL= 0 (2.53)

donde L es la longitud del volumen de lquido al interior del tubo en U.

El Bernoulli en las secciones 1 y 2 se puede calcula como:

B1= u2

2g+

p1

+z1 = u2

2g+z1 (2.54a)

B2= u2

2g+

p2

+z2 = u2

2g+z2 (2.54b)

de modo que:L

g

du

dt + h+

32

gD2uL= 0 (2.55)



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Figura 2.6: Esquema de definicin del problema del tubo en U con friccin.

donde h= z2 z1. Por otro lado, es posible relacionar la velocidad del flujo en el tubo enU, con la velocidad a la que se desplaza la superficie libre en cada una de sus ramas. Para ladireccin s definida en la Fig. 2.6, se tiene:

u=

dz1

dt

; u=dz2

dt

(2.56)

De este resultado se llega a que:

2u=dz2

dtdz1

dt (2.57)

y reemplazando en (2.55), se obtiene:

L

2g

d2h

dt2 + h +

16

gD2L

dh

dt = 0 (2.58)

Las condiciones iniciales de este problema son las siguientes:

u(t= 0) =1

2

dh

dt = 0 (2.59)

yh(t= 0) = ho (2.60)

que equivalen a imponer un desnivel inicial entre ramas, situacin para la cual la velocidaddel flujo es nula.



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La (2.58) es una ecuacin diferencial ordinaria lineal de segundo orden, con solucin analticaconocida, que est est dada por:

h(t) =a1exp (m1t) +a2exp (m2t) (2.61)

donde m1 y m2son las races del polinomio caracterstico del problema, tal que:

m12= 16D2

16

D2

22g

L (2.62)

y las constantesa1 y a2 de las condiciones iniciales.

Analizando los casos posibles del determinante

16D2

2 2gL

, se tiene:

Caso de friccin nula, es decir cuando se tiene fluido ideal (= 0):

En este caso, el problema es el de un tubo en U en el que los niveles oscilan indefinida-mente en el tiempo, dado que no existe friccin que permita disipar la energa potencialentregada al sistema al imponer el desnivel inicialho. En este caso la (2.58) representaun movimiento armnico simple y las soluciones de m son imaginarias.

La solucin para est dada por:

h= hocos

2g

Lt

(2.63)

que corresponde a la misma solucin obtenida en el curso de Mecnica de FluidosCI3101, y se grafica con linea punteada de la Fig. 2.7.

Caso en que 16D2

2 2gL

>0: ( Esta situacin corresponde cuando los efectos viscososdominan a los gravitacionales )

En este caso ambas soluciones de mson reales. La solucin para h(t)est dada por:

h(t) = hom1 m2 (m1exp(m2t) m2exp(m1t)) (2.64)

donde

donde:

m1= 16D2

16

D2

22g

L (2.65a)

m2 = 16D2

+

16

D2

2 2g

L (2.65b)

Tantom1 como m2son negativos en este caso, y m1< m2.

El comportamiento que se obtiene es el que se muestra en la Fig. 2.7 en lnea seg-mentada, donde el desnivel entre las ramas decrece montona y asintticamente a cero.



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Este caso ocurre cuando la resistencia friccional es mayor que la inercia inducida porel campo gravitacional.

Dentro de este caso, una situacin extrema ocurre cuando la gravedad no existe. Elloimplica quem2= 0, con lo que se llega a h= ho, y se concluye que el desnivel entre

las ramas del tubo en U se mantiene indefinidamente.

16D2

2 2gL


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2.2 Mtodo inelstico compresible

Previo a detallar el mtodo elstico de solucin de fenmenos transientes, veamos primero

un caso intermedio en que consideramos que el fluido es compresible, pero la tubera esrgida. Este caso reconoce que cambios instantneos en la velocidad del fluido, se traducenen cambios en la presin que producen la desaceleracin o aceleracin del flujo, y por lo tantola velocidad deja de ser uniforme a lo largo de la tubera. Debido a las grandes variacionesde presin, el fluido no puede ser considerado como incompresible.

Esta consideracin se traduce en que identificamos una velocidad a la cual se propaga lainformacin en la tubera, informacin relacionada con cambios en las condiciones de borde.Veamos por ejemplo el caso en que cerramos bruscamenta de la vlvula de una tubera quedescarga un estanque (Fig. 2.8). Producto que aceptamos cambios en la densidad del fluido,entonces podemos acumular masa de fluido sin variar el volumen, por lo que veremos que se

genera un frente que se propaga aguas arriba, transmitiendo la informacin de los cambiosen las condiciones de borde del problema. Estos cambios se ven expresados en un exceso depresinHa tal de producir la desaceleracin instantnea del flujo en el frente.

Figura 2.8: Esquema conceptual de cierre brusco de vlvula para analizar caso de tuberainelstica y fluido compresible.

Sia es la velocidad de propagacin de la informacin, que supondremos constante, entoncesobtenemos que para un tiempo t, aguas arriba del frente ubicado a una distancia at de la

vlvula, la velocidad del flujo es uoigual a la velocidad del flujo en condiciones permanentesprevio al cierre de la vlvula, mientras que aguas abajo del frente, la velocidad del flujo esuo+ u, donde u es el cambio en la velocidad producido por la operacin de la vlvula.De igual forma, llamamos po y o a la presin y densidad del fluido aguas arriba del frente,y po+ py o+ a la presin y densidad aguas abajo del frente (Fig. 2.9).

Consideremos la ecuacin de continuidad para un volumen de control que se desplaza la-grangianamente con el frente tal que la masa de fluido contenida en el volumen de controlno vara en el tiempo. Por lo tanto,Ge = GsdondeGees el gasto msico de entrada yGs es



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Figura 2.9: Definicin volumen de control lagrangiano que se desplaza hacia aguas arriba a unaceleridada.

el gasto msico de salida. O bien(Q)e= (Q)s (2.67)

donde Q es el caudal. Entonces, como nos movemos segn un enfoque Lagrangiano, se tieneque la velocidad de adveccin neta de entrada es uo+ a, y la velocidad de adveccin neta desalida es uo+ u+a, y por lo tanto:

o(uo+a)A= (o+ )(uo+ u+a)A (2.68)

donde A es la seccin de escurrimiento. Por lo tanto,

ou= (uo+ u+a) (2.69)Luego, si suponemos que a >> uo+ u, obtenemos finalmente que

u= o

a (2.70)

A continuacin aplicamos el Teorema de Cantidad de Movimiento en el volumen de control,de manera de relacionar cambios en la velocidad con cambios en la presin y la densidad.Para esto:

Fext = (Qv)s (Qv)e (2.71)donde

Fext es la sumatoria de fuerzas externas que actan en el volumen de control, en

este caso, fuerzas debido a la presin, y por lo tanto

poA (po+ p)A= (o+ )(uo+ u+a)2A o(uo+a)2A (2.72)

Ordenando trminos, utilizando el resultado de (2.70), y nuevamente considerando que aesmucho mayor que uo y u, se obtiene finalmente que:

p= oau (2.73)



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Finalmente, si expresamos cambios en la presin con excesos de presin Ha,

p= ogHa (2.74)

entoncesHa= a

gu (2.75)

La (2.75) se denomina ecuacin de Joukowsky.

Es importante mencionar queaes la velocidad del sonido en el medio fluido definida como:

a2 =p

=

K

o(2.76)

donde Kes el mdulo de compresibilidad del fluido, igual a 2.2 109Pa. Entoncesa 1500ms

1

, y por lo tanto, siu 1ms1

, obtenemos queHa= 150m.

2.3 Mtodo elstico

El mtodo elstico de solucin de fenmenos impermanentes en tuberas se basa en considerarque el fluido es compresible, y que la pared de la tuberia es elstica. De esto se obtieneque necesitamos resolver acopladamente las ecuaciones de continuidad de masa de fluido, elteorema de cantidad de movimiento, la ley de compresibilidad del lquido que relaciona sus

cambios en densidad producto de cambios en la presin, y la ley de deformacin del materialde la tubera.

2.3.1 Continuidad de masa

Consideremos un volumen de control de tubera de seccinAy largodx, tal que:

m

t =Ge Gs (2.77)

donde m= Adxes la masa de fluido, Ge y Gs son los gastos msicos de entrada y salida,respectivamente. Expandiendo en series de Taylor el gasto msico de salida en torno aGe ytruncando en la primera derivada, obtenemos

m

t =Ge Ge G

xdx (2.78)

donde G = Q= uA. Entonces

A

t +

uA

x = 0 (2.79)



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de donde se obtiene que

A

t +u

x

+

A

t +u

A

x

+A

u

x= 0

ADDt

+ DADt

+Aux

= 0

(2.80)

Adems, considerando la compresibilidad del fluido,

dp

d=

K

(2.81)

donde Kes la constante elstica o mdulo de compresibilidad del fluido. Entonces,

1

d

dt =

1

K

dp

dt (2.82)

y por lo tanto, despus de reemplazar en el primer trmino de (2.80), obtenemos que:

1

K

Dp

Dt+

1

A

DA

Dt +

u

x= 0 (2.83)

la cual nos indica que la variacin del rea de la tubera se debe a cambios en la presin y ala no uniformidad del flujo debido a la compresibilidad del fluido. Es necesario relacionar lavariacin deA con cambios en la presin p, y las propiedades mecnicas de la tubera.

Primero, es fcil ver que en una tubera cilndrica se cumple que:

dA= 2rdr (2.84)

dondedrindica cambios en el espesor de la tubera. Luego, definimos la deformacin unitariade la tubera como:

=dr

r 2D

Dt=

1

A

DA

Dt (2.85)

Podemos ligar la deformacin unitaria de un slido con los esfuerzos transversales t y lon-gitudinales de la tubera l, a travs del mdulo de Young E y el mdulo de Poisson ,como:

= t lE

(2.86)

donde Etiene unidades de [F L2] y es una propiedad del material de la tubera. La defor-macin esperada en la tubera depende del tipo de anclaje, y por lo tanto en el modo en quese reparten las cargas longitudinales y transversales. En particular, si la tubera est ancladaa ambos lados, entonces se restringen las deformaciones longitudinales, siendo este caso op-uesto a aquel donde la tubera tiene juntas de expansin que permiten la libre expansinlongitudinal de la tubera. Cada caso conduce a un comportamiento distinto de la tubera,



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lo cual incide directamente en la velocidad de propagacin de las ondas de presin, la que entuberas elsticas es igual a:

a=

K

1

1 + KE (2.87)donde Ees el mdulo de Young, K es la constante elstica del fluido, y es una funcinque depende del tipo de anclaje:

Tubera anclada en ambos extremos:

=

1 2De

(2.88)

donde e es el espesor de la tubera yD el dimetro.

Anclada en un extremo:

=

1 2

D

e (2.89)

Tubera delgada con juntas de dilatacin:

=D

e (2.90)

Tubera rgida dondea =

K/ = 0 (2.91)

Diferentes valores de las propiedades requeridas para el clculo de la velocidad de propagacinde las ondas de presin se encuentran en las Tablas2.1y 2.2

Consideremos el caso de una tubera con juntas de dilatacin, tal quel = 0, en este caso setiene que

=tE

(2.92)

dondetes el esfuerzo de corte transversal, el que acta a lo largo del espesore. Este esfuerzoes el encargado de resistir la presin del fluido resultando el diagrama de fuerzas de laFig.2.10. Considerando despreciable la inercia de la tuberia, en un tramo de tubera de longitudx, se cumple que:

p2rx= 2tex t = p re

(2.93)

y por lo tanto,

= p r

e E (2.94)

A continuacin obtenemos que:

1

A

DA

Dt = 2

D

Dt =

2

e E

r

Dp

Dt+p

Dr

Dt

(2.95)



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Ahora, si consideramos que la deformacin de la tubera ocurre en una escala de tiempomucho mayor que la escala de tiempo a la cual ocurren los cambios en la presin, entoncesr DpDt >> p

DrDt

, y por lo tanto1

A

DA

Dt =

2

e Er

Dp

Dt (2.96)

Figura 2.10: Diagrama de fuerzas para obtener t.

Si reemplazamos este ltimo resultado en la ecuacin de continuidad, obtenemos que:

1

K

Dp

Dt+

1

A

DA

Dt +

u

x= 0 1

K

Dp

Dt+

2

e Er

Dp

Dt+

u

x= 0 (2.97)

y entonces: 1 +

2K

e Er

Dp

Dt+K

u

x= 0 (2.98)

Por otro lado, de (2.90), podemos expresar1 +

2K

e Er

=

1

a2K

(2.99)

y entonces obtenemos la ecuacin de continuidad para el mtodo elstico en tuberas conjuntas de dilatacin:

DpDt

+a2 ux

= 0 (2.100)

En general, esta forma de expresar la ecuacin de continuidad es vlida para cualquier tipode anclaje, aunque la influencia del tipo de anclaje debe ser considerada en el clculo dea. Finalmente, es importante destacar que esta ltima ecuacin contiene el resultado delmtodo inelstico, el cual se caracteriza pora = , y por lo tanto u

x= 0.



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2.3.2 Teorema de cantidad de movimiento

Veamos ahora como queda expresado el teorema de cantidad de movimiento para el mtodoelstico, donde el rgimen es impermanente, la tubera es elstica y el fluido es compresible.Considerando la definicin de variables de laFig. 2.11, vemos que:

Fext =

Dmv

Dt (2.101)

Segn la direccin xa lo largo de la tubera,Fextx =Fpe Fps Wsin F (2.102)

donde Wes el peso del volumen de control, Fson las fuerzas debido al esfuerzo de corteactuando en el permetro mojadoy dondeFpe

Fpses la resultante de las fuerzas de presin

tal queFps, las que nuevamente la expresamos a partir de una expansin en series de Taylor,sin embargo, ahora no es posible considerar que el reaA es uniforme. Entonces,

Fextx =pA

pA +

pA

x x

gAx sin ox (2.103)

Entonces, dado que m= Ax, obtenemos que

Fextx =

pA

x x gA sin x ox (2.104)

Figura 2.11: Diagrama de fuerzas para mtodo elstico.

Por otro lado, en la direccinxse cumple que

DmvAu

Dt |x = DAux

Dt =Ax

Du

Dt +u

DAx

Dt (2.105)



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dondeudenota la velocidad del flujo a lo largo de la tubera. El ltimo trmino de la derechaes igual a cero dado que la masa es constante, y por lo tanto, al juntar toda la informacinobtenemos que:

AxDu

Dt =pA

pA +pA

x x gAx sin ox

Du

Dt = 1

A

pA

x g sin o

A

(2.106)

A continuacin, expresamos sin = zx y expandimos el trmino del gradiente de presin yconsideramos que cambios espaciales en la presin son mayores que los cambios en la seccinA, entonces

1

A

A

x


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2.4.1 Ecuaciones de movimiento

Previo a describir en detalle el mtodo de las caractersticas, definimos H como la cotapiezomtrica igual a:

H= pg

+z= pg

(2.112)

dondezes la cota geomtrica ypla presin, tal queHes la cota geomtrica que se alcanzaracon la medicin de la presin mediante un piezmetro. Por lo tanto, la ecuacin de momentumdeterminada en la seccin anterior, queda escrita como:

u

t +u

u

x= g H

x f

2Du|u| (2.113)

Luego, la ecuacin de continuidad queda escrita como:

pt

+u px

+ a2 ux

=g (H z)t

+gu (H z)x

+a2 ux

= 0 (2.114)

donde zt

= 0, pero, si redefinimos el ngulo como se indica en la Fig. 2.12, obtenemosque

z

x= sin (2.115)

y entoncesH

t +u

H

x +u sin +

a2

g

u

x= 0 (2.116)

x

Figura 2.12: Redefinicin del ngulo , vlida para sistema de ecuaciones en derivada total delmtodo de las caractersticas.

Si llamamosL1a la ecuacin de momentum (2.113), yL2a la ecuacin de continuidad (2.116),formemos el operador linealL = L1+ L2donde es una constante con dimensiones. Es asque:

H

t +u

H

x +u sin +

a2

g

u

x+

u

t + u

u

x+ g

H

x +

f

2Du|u| = 0 (2.117)



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