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Universidad Nacional de La PlataFacultad de Ciencias EconómicasDepartamento de Economía

Apuntes sobre Números Índices

(versión preliminar – para alumnos1)

AGUSTIN LODOLA

La Plata, Marzo de 2006.-

1 Esta versión preliminar es para uso exclusivo de los alumnos del seminario “Medición de la Economía”. Todos los comentarios son bienvenidos y pueden enviarse a [email protected]

Agustín Lódola

PREFACIO 3

1 INTRODUCCIÓN 4

2 NÚMEROS ÍNDICES: CONSIDERACIONES PRELIMINARES 5

2.1 VALORES, PRECIOS Y VOLÚMENES 5 2.2 CONCEPTOS BÁSICOS 6 2.3 INDICES ELEMENTALES, AGREGACIÓN Y PONDERACIÓN 8 2.4 EJERCICIOS Y PROBLEMAS 15

3 NUMEROS INDICES EN LA PRACTICA 16

3.1 CONSTRUCCIÓN 16 3.2 ALGUNOS PROCEDIMIENTOS COMUNES 32 3.3 UTILIZACIÓN 38 3.4 LOS INDICES DE PRECIOS EN ARGENTINA 48 3.5 EJERCICIOS Y PROBLEMAS 48

4 LA TEORIA DE LOS ÍNDICES DE PRECIOS 49

4.1 EL PROBLEMA DE LOS NÚMEROS ÍNDICES 49 4.2 EL ENFOQUE AXIOMÁTICO 49 4.3 EL ENFOQUE ECONÓMICO 53 4.4 INDICES DE COSTO DE VIDA: ¿DE QUIÉN? 58 4.5 LOS ÍNDICES ESPACIALES 61 4.6 NUEVOS BIENES: 61 4.7 LOS INDICES DE PRECIOS DE PRODUCCIÓN 61 4.8 EJERCICIOS Y PROBLEMAS 61

5 ACERCANDO LA PRÁCTICA Y LA TEORÍA 62

5.1 ÍNDICES SUPERLATIVOS 62 5.2 INDICES DEMOCRATICOS 65 5.3 ÍNDICES EN CADENA 66 5.4 INDICES MULTILATERALES 68 5.5 EJERCICIOS Y PROBLEMAS 70

6 TÓPICOS SOBRE ÍNDICES DE PRECIOS 71

6.1 AJUSTES POR CALIDAD: ENCADENAMIENTO Y REGRESIONES HEDÓNICAS 71 6.2 LOS SESGOS 71 6.3 INFLACIÓN SUBYACENTE 71 6.4 EJERCICIOS Y PROBLEMAS 71

7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 72

7.1 BIBLIOGRAFÍA GENERAL 72 7.2 NOTA SOBRE LA BIBLIOGRAFÍA 73

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Apunte sobre Números Índices

PREFACIO

Según un conocido dicho popular las estadísticas deben consumirse, al igual que las hamburguesas, sin averiguar cómo fueron hechas. Estos apuntes parten de considerar justamente lo opuesto: conocer cómo se construyen las estadísticas es fundamental para saber usarlas correctamente. Considerando que la información estadística es solamente un reflejo de la realidad y por lo tanto un intento de acercarse a la misma; hay diferencias importantes entre las dos. Justamente conocer los detalles de su construcción permitirá evaluar esa brecha.

A riesgo de aburrir con justificaciones económicas desde el comienzo, pero no pudiendo ser infiel como mi profesión, voy a empezar diciendo que en la explicación de estos apuntes, se mezclan cuestiones de oferta y demanda.

Entre las primeras se encuentra fundamentalmente un gusto muy grande por los números índices, que nació en el momento que cursé los trabajos prácticos de la materia “Macroeconomía I”, hace ya trece años. Ese primer contacto se potenció siete años después, cuando estando del “otro lado del mostrador”, me tocó dictar dicho curso. Al mismo tiempo, a estas experiencias casi exclusivamente académicas, se le sumo las recurrentes ocasiones en la que en el ejercicio de la profesión me enfrenté con la necesidad de elaborar y utilizar números índices. El entusiasmo con el tema, junto con la certeza de su utilidad práctica, forman un elemento central que explica por qué decidí ofrecer estos apuntes.

Por otro lado, en las diferentes etapas de mi formación, pero principalmente como alumno y docente, me enfrenté con el inconveniente de no contar con bibliografía adecuada sobre el tema, y por lo tanto comencé a experimentar una demanda insatisfecha, que luego percibí que no era solamente personal, sino de muchos profesores y colegas. Ante esto comencé a investigar el problema y comprobé que la falta de bibliografía era más aparente que real. Desde hace mucho tiempo, en innumerables libros de textos y trabajos publicados en revistas científicas, se ha tratado extensamente el tema de los números índices. Entonces ¿cuál era el problema?, ¿había alguna falla de mercado, que mantenía este exceso de demanda?. No necesariamente. Me pareció que el problema fundamental es que esa bibliografía esta escrita para otro mercado. Los libros de textos que contienen notas sobre números índices, tienen como temas principales otras cuestiones y lo referido al tema de índices de precios o cantidades solo ocupaba anexos y secciones interiores, mezcladas con las cuestiones principales del libro. Por otro lado, los trabajos científicos, estaban escritos a un nivel distinto del requerido para un curso inicial.

Estas dos cuestiones me decidieron a emprolijar unas notas que había armado para dar clases y convertirlas en estos apuntes sobre Números Índices. Su objetivo es principalmente pedagógico y apunta a cubrir las necesidades de los alumnos que se enfrentan por primera vez al estudio de este instrumental económico. En realidad podría decirse que estos apuntes pretenden ser un puente entre el exceso de oferta en un mercado y el exceso de demanda en otro.

Tengo que agradecer en primer lugar a Marcelo Oviedo, quien me facilitó algunas notas que sirvieron como punto de partida de este proyecto; al profesor Mario Szychowski, con quien compartí como ayudante, siete años en la cátedra de Macroeconomía I; a Matías Busso y Federico Cerimedo por compartir una parte de esta agenda de investigación; a Verónica Fossati por su investigación sobre índices espaciales a Rafael Brigo y Victoria Dowbley por su colaboración en el seminario “Medición de la Economía” y por tener que leer la primera versión de estos apuntes.

Esta primera versión enfatiza sobre los índices de precios y es preliminar. El proyecto implica incorporar mayores detalles sobre índices de volumen físico; índices de comercio exterior y más tópicos y aplicaciones. El carácter preliminar de estos apuntes se refleja en que muchas secciones están en construcción.

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Agustín Lódola

1 INTRODUCCIÓN

El espacio y el tiempo agregan innumerables complejidades a quienes deben tomar decisiones. La diferente localización de la actividad productiva, el consumo, etc; y el período de tiempo que implican los mismos, hacen que preguntas sencillas no tengan respuestas satisfactorias simples. La siguiente pregunta constituye un ejemplo. ¿Cuánto aumentaron los precios durante el último año?. Supóngase que como respuesta se obtiene una lista de 5000 bienes acompañada de los precios al inicio y al final del año y la correspondiente variación porcentual. Esto, como es obvio, no es útil ni operativo.

Precisamente, los números índices son medidas estadísticas usadas para dar una respuesta breve y concisa a preguntas del tipo de la recién sugerida. Si los precios de todos los bienes subieron en la misma proporción, por ejemplo un 5% al año, sería fácil medir la inflación: la tasa de inflación sería 5%. Las dificultades se deben al hecho de que los precios de los diferentes bienes suben a tasas distintas y algunos pueden incluso bajar. Ellos señalan tendencias generales o cambios globales, no hechos específicos simples.

En términos más formales, el problema de los números índices trata de separar, en las variaciones a lo largo del tiempo (o del espacio) que experimentan los flujos de bienes y servicios, cuanto de esa variación se debe a los precios y cuánto a los volúmenes.

Sin embargo al igual que la economía, la medición de la actividad económica no es una ciencia exacta. Los números índices forman parte de esta última y por lo tanto tampoco están exentos de este comentario. Hay diferencias entre lo que se mide y lo que se debería medir. Lo mismo ocurre con los números índices. Esto ha llevado a separar los capítulos en tres secciones principales. Tanto en los índices de precios como de cantidades, primero haremos referencia a lo que sucede en la práctica, más relacionado con lo que realizan la mayoría de las agencias estadísticas en el mundo. Luego se presentará un breve resumen de cuestiones teóricas. Obviamente esta parte solo pretende ser una introducción al tema que, como se comentará en las secciones de “notas sobre la bibliografía” es muy extenso. En tercer lugar estos capítulos tendrán una sección donde se resumirá diversos avances que han intentado lograr un acercamiento entre la práctica y el “deber ser” del tema.

Profundizar en la tarea de construcción de números índices puede ser una actividad tediosa, y para algunos sin importancia, sin embargo estoy plenamente convencido que es una de las mejores formas de comprender adecuadamente la información que de estos números se deduce y utilizarlos con mayor precisión.

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2 NÚMEROS ÍNDICES: CONSIDERACIONES PRELIMINARES

Como en toda construcción, es necesario primero armar cimientos sólidos y luego avanzar ladrillo por ladrillo. Antes de ver cómo se construye un número índice repasemos algunas definiciones que utilizaremos en el resto del apunte. En este capítulo se introducen en primer lugar (sección 2.1) los elementos que constituyen un número índice. Luego se presentan tres conceptos que serán fundamentales en todo el apunte: número relativo (sección 2.2), fórmula de agregación (sección 2.3) y ponderador (sección 2.4).

2.1 Valores, Precios y Volúmenes

El primer lugar es importante definir y establecer relaciones y propiedades de tres conceptos: las cantidades, los precios y los valores.

Siguiendo el manual de cuentas nacionales (SCN 1993), el valor de un bien o servicio único y homogéneo es igual al precio por unidad de cantidad (p) multiplicado por el número de unidades de cantidad (q); es decir

V = p q

En contraste con el precio, el valor es independiente de la unidad de cantidad elegida. El valor tiene dimensiones muy diferentes a las del precio, y los términos “valor” y “precio” no pueden utilizarse indistintamente.

Respecto a las cantidades hay que resaltar que son aditivas sólo para un producto único y homogéneo. Las cantidades de diferentes productos no son conmensurables ni aditivas, aunque se midan en las mismas clases de unidades físicas; por ejemplo, no es económicamente significativo sumar 10 toneladas de carbón y 20 toneladas de azúcar, aun cuando su peso conjunto de 30 toneladas pueda proporcionar una información interesante para otros fines, como la carga de buques o de vehículos.

El precio de un bien o servicio se define como el valor de una unidad de ese bien o servicio. Los precios, al igual que las cantidades, no son aditivos para los diferentes bienes o servicios.

Mientras que por su parte los valores se expresan en término de una unidad monetaria común y son conmensurables y aditivos para diferentes productos; según se ha señalado, no varían con respecto a la unidad de cantidad elegida. La agregación de los valores de diferentes bienes o servicios se justifican por el hecho de que, en un sistema de mercado, los precios relativos de los diferentes bienes o servicios deberían reflejar sus costos relativos de producción y sus utilidades relativas para los compradores, tanto si éstos pretenden utilizarlos para la producción como para el consumo.

En el sistema de cuentas nacionales se prefiere la denominación de índice de volumen en lugar de índice de cantidad, debido a la ambigüedad que presenta el uso de ésta última. Un ejemplo puede ilustrar lo anterior. Supóngase que queremos tener un indicador de la producción de una industria que produce dos tipos de automóviles, uno de los cuales se vende a un precio que es el doble del otro. Aunque los dos reciben el mismo nombre genérico de “automóviles”, desde el punto de vista económico son dos productos totalmente diferentes.

Ahora supongamos que entre dos períodos: a) permanece constante el precio de cada modelo; b) permanece constante el número total de automóviles; c) la proporción de modelos producidos de precio más alto aumenta del 50% al 80%. El siguiente gráfico resume la información.

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Agustín Lódola

Precio Cantidades Valores

Año 1 Año 2 Año 1 Año 2 Var % Año 1 Año 2 Var %

Modelo A 50.000 50.000 100 160 5.000.000 8.000.000 60%

Modelo B 25.000 25.000 100 40 2.500.000 1.000.000 -60%

200 200 0% 7.500.000 9.000.000 20%

De lo anterior se deduce que el valor total de la producción aumenta el 20% a causa del aumento de la proporción de modelos de más alto precio, lo que constituye un aumento del volumen del 20%. Como cada automóvil de precio más alto representa el doble de producción que el del precio más bajo, un cambio en la producción de modelos de bajo precio a modelos de precio alto eleva el volumen de la producción aunque el número total de automóviles producidos permanezca invariable.

Si solamente nos quedamos con las cantidades, podríamos afirmar erróneamente que la producción de esta industria no ha variado, dado que se producen la misma cantidad de “automóviles”. Sin embargo, esta interpretación se basa en una confusión semántica debida a que el mismo término genérico, “automóvil” se aplica a dos productos que en realidad son totalmente diferentes desde el punto de vista económico. No es legítimo sumar juntas cantidades que no son idénticas, aun cuando se puedan medir en la misma clase de unidades físicas. Sumar conjuntamente modelos totalmente distintos de “automóviles” no tiene más sentido que sumar toneladas de diferentes “alimentos”; por ejemplo sumar toneladas de manzanas y de carne.

Por eso, en estos apuntes utilizaremos la expresión “índices de volumen” en lugar de “índices de cantidades”.

2.2 Conceptos Básicos

Un número índice de precios (de volúmenes) es una representación escalar de un conjunto de precios (volúmenes) con relación a algún valor base. Su utilidad radica en sintetizar la evolución de alguna variable (precios, volúmenes, valores) de una determinada canasta de bienes o servicios consumidos, vendidos, o producidos por una unidad económica (familias, empresas, industrias, etc.) en el tiempo o en el espacio.

La Canasta

En el cálculo de un número índice ya sea de precios, de volumen o de valor, surge el inconveniente que existe una cantidad tan grande de bienes en la economía, que si se pretende abarcarlos a todos, la tarea sería muy ardua (por no decir imposible) y los números índices perderían toda su operatividad. Esto obliga a que cuando se construye un índice el primer paso consista en determinar la canasta, es decir el conjunto de bienes que se consideraran para la construcción del indicador.

Bienes y Servicios

En segundo lugar, hay que precisar el concepto de “bien”. Por ejemplo si estamos construyendo un índice de precios de los consumidores, el bien “galletitas” es una denominación bastante general, ya que estas pueden dividirse en “galletitas dulces” o “otras galletitas”, a su vez dentro de las “otras galletitas” podemos encontrar: “de agua”, “de harina integral”, etc. Por lo tanto y de acuerdo al nivel de agregación elegido, surgen diversos agrupamientos: grupo, subgrupo, producto, variedad.

Empezando desde el nivel mas desagregado, nos encontramos con el concepto de variedad, que son los agrupamientos que componen un producto. En nuestro caso el producto “otras galletitas” se compone de las variedades: “galletitas de agua”, “galletitas de harina integral”, etc.

El término items o variedad es utilizado para denominar cualquier bien o servicio incluido en la canasta relevada por el índice (por ejemplo “galletitas saladas de agua”) para el cual no se dispone de ponderaciones internas ni de elementos para realizar una selección de bienes y servicios proporcional a esas ponderaciones desconocidas. Para cada variedad se calcula un índice elemental. Este es un promedio

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no ponderado de un conjunto de observaciones de precios realizadas mediante entrevistas directas en una muestra de negocios informantes. La razón por la cual los precios de los productos comprendidos dentro de una variedad deben promediarse sin ponderaciones es que, en la práctica, no se dispone de información para determinar ponderaciones de cada uno de ellos en cada punto de venta específico.

A su vez los productos son cada uno de los agrupamientos que componen un subgrupo. Por ejemplo el subgrupo “productos de panificación”, se compone por los productos: “pan fresco”, “pan envasado”, “facturas”, “galletitas dulces”, “otras galletitas”, etc.

Año base de la canasta y Período de Referencia

Decir que el precio de un determinado bien, digamos zapatos, en el año 2000 es de $8 por unidad, o que la producción de ese bien en dicho año fue de 12.000 unidades no nos ofrece información de utilidad para el objeto que estamos buscando. El interés mayor en construir un número índice es poder comparar el mismo en el tiempo (o en el espacio), y por lo tanto surge la necesidad de elegir un período (o un espacio geográfico) contra el cual realizar las comparaciones. Será de mucha utilidad saber que el precio del zapato en el año 2000 es un 30% mayor que en 1990 (o que el precio del zapato cuesta un 30% más en la región norte que en la región sur). Supongamos que elegimos como base de comparación al año 1990, al que llamaremos año base. Lo mismo sucede cuando queremos saber el comportamiento de muchos precios o cantidades. En este caso necesitamos elegir el año base de toda la canasta de bienes.

No se debe confundir año base de la canasta con año base de la serie del índice o período de referencia. El término año base se refiere a la base de los precios o cantidades que están siendo utilizados como ponderadores. El término período de referencia se refiere al período para el cual la serie de índices es igual a 100. El período de referencia puede cambiarse simplemente dividiendo la serie del índice por el valor que toma el índice en el período de referencia elegido. En cambio para modificar el período base de una serie, debemos obtener nuevos datos de precios y/o de cantidades de ese período que queremos transformar en base.

Dado que los datos del año base serán utilizados como ponderadores de la serie de índices, se requiere que deba contemplarse "un año normal" y para ello deben tenerse en cuenta determinados requisitos o condiciones, siendo los más importantes:

a) que sea un año reciente: es decir que se cumpla el objetivo importante de que los precios a utilizar en la base como estructuras de ponderaciones representen en buena medida a los bienes transados actualmente en la economía.

b) que se verifique un elevado nivel de crecimiento: esto supone que ese año presente una tendencia ascendente de la actividad económica, dejando de lado años con tasas de evolución negativas o bajos niveles de actividad.

c) que exista normalidad en las condiciones de mercado: se tiene que evitar que en el período a elegir se hayan producido hechos desequilibrantes como pérdidas de cosechas, desastres de la naturaleza, recesión, huelgas, control de precios, etc.

d) que exista cierta uniformidad en las variaciones de precios: para evitar cambios significativos en la estructura de valuación.

e) que sea razonable la disponibilidad de información.

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Agustín Lódola

2.3 Indices Elementales, Agregación y Ponderación

2.3.1 Indices Elementales: Número Relativo

Comencemos entonces a transitar el camino de la construcción de números índices dando el paso más sencillo, que es el de elaborar un índice de precios de un producto a lo largo de un período. Lo mismo sería para un índice de producción, salarios, ventas o cualquier otra variable.

Supongamos que tenemos el precio que un determinado bien tenía en una serie de años, tal como se expone en la siguiente tabla.

Precio de los ZapatosPeríodo 1990-1993

En pesos

Año Precio

1990 201991 251992 281993 40

Como ya hemos mencionado esta información no es muy útil para el propósito que buscamos, por lo tanto transformaremos esta serie de precios en una serie de números relativos.

El valor del índice correspondiente a cada año resultará de dividir el precio de ese año por el precio del año elegido como base o de referencia, multiplicándose generalmente el resultado por 100 que es el valor que se asigna a la base. La multiplicación por 100 es una convención que sirve para facilitar el trabajo posterior.

Así, con estos datos, el índice para el año 1992 con base 1990 surge de la siguiente operación:

14010020

289092 =×=IP (2.1)

donde IP9290 es el índice de precios del año 1992 tomando como base el año 1990. Haciendo el

mismo procedimiento para todos los años se obtiene la siguiente serie de índices de precios:

Índice de Precio de los ZapatosPeríodo 1990-1993

Base 1990=100

Año Índice

1990 1001991 1251992 1401993 200

El resultado nos dice que el índice de precio de los zapatos para el año 1992 es 140. Este número es independiente de las unidades de medida, no representa ni pares de zapatos, ni kilos, ni toneladas, ni pesos (dólares, etc). Sólo adquiere significado cuando se los compara con otros índices, ya sea del período base o de otro año. Por ejemplo, el resultado comentado indica que el precio de 1992 es el 40% más alto que el de 1990. Esta variación porcentual surge de:

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%4040,01100

140

100

100

100

140

100

100140%90

92 ==−=−=−=∆ (2.2)

Obviamente que este mismo cálculo lo podríamos haber hecho directamente con los precios en lugar de armar números índices, sin embargo la ventaja de estos últimos va a quedar más clara a medida que necesitemos incorporar más bienes. De todas maneras la transformación de precios a índices puede ser de mucha utilidad práctica, aún en estos casos simples. Supongamos que en un momento determinado necesitemos comparar dos series de precios o de cantidades. Supongamos que queremos averiguar si los precios del trigo (un importante producto agropecuario) ha evolucionado diferente al del gasoil (un significativo insumo del agro). Para ello tenemos las dos series de precios:

Precios de la Soja y GasoilPeriodo 1990-1996

Precios de la Soja Precio del gasoil$ por Tn $ por litro

1990 2500,00 0,101991 2664,00 0,121992 2702,00 0,141993 2704,00 0,201994 2800,00 0,301995 3200,00 0,401996 4200,00 0,50

Las diferentes características de los productos que se están comparando y las distintas unidades de medida no permiten a simple vista decir algo sobre la evolución de los precios relativos. Por lo tanto construyamos un número índice para cada bien, tomando a 1990 como año base:

Índice de Precios de la Soja y GasoilBase 1990=100

Soja Gasoil

1990 100,0 100,01991 106,6 120,01992 108,1 140,01993 108,2 200,01994 112,0 300,01995 128,0 400,01996 168,0 500,0

De la observación de los números índices surge con mayor claridad que el precio del gasoil creció mucho más (400%) que el de la soja (68%), entre 1990 y 1996.

Estos índices que hemos construido en esta sección se denominan índices elementales. Son índices de un único bien y por lo tanto no tiene ponderaciones.

2.3.2 Agregación

Otro problema es elaborar un índice para varios bienes (o un índice de un bien para el cual se tienen precios de diferentes lugares de compra). Para esto necesitaremos una manera de “agregar” dichos

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bienes. Supongamos que se tiene tres variedades de un mismo bien (o tres lugares de compra de un bien) cuyos precios en los años 1990 y 1995 son los siguientes:

Variación %1990 1995

(a) (b) (c) =(b)/(a) (d)=(c)-1

I 20 130 6,5 550%II 40 80 2,0 100%III 200 180 0,9 -10%

PreciosProducto (o lugar de compra)

Cociente

Se trata de elaborar un índice para el año 1995 tomando como base el año 1990. Teniendo en cuenta lo que hicimos anteriormente para construir el índice de un bien, lo primero que se viene a la mente es realizar lo mismo para cada uno de los bienes, es decir dividir el precio del año que se está considerando por el precio que cada bien tenía en el año elegido como base, y luego buscar alguna forma de agregar dichos bienes.

El primer paso es el que aparece en la columna (c) del cuadro anterior. En cuanto al procedimiento a adoptar para agregar los bienes se puede citar cuatro alternativas principales:

a) promedio aritmético, es decir sumar los datos que se quieren promediar y dividirlos por el número de datos.

b) promedio geométrico, es decir extraer la raíz n-enésima del producto de los n datos que se quieren promediar, que a su vez es igual a realizar un cociente de medias geométricas.

c) Promedio armónico: que es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de los valores a promediar.

d) cociente de los promedios aritmético de cada año.2

Promedio Aritmético: Índice Simple de Carli

La primera alternativa es calcular una media aritmética de los diferentes cocientes. Para ello se suman la columna (c) del cuadro anterior y se la divide por el número de observaciones (en este caso 3 observaciones).

PCA ={(130/20) + (80/40) + (180/200)}/3

La ecuación sería

∑=

=N

n n

cno

cCAp

p

NP

10

1(2.3)

donde

PCAc0 Índice de precios elemental de Carli para el año “c” tomando como base el año “o”

p0 indica el precio del bien en el período base

pc es el precio del bien en el período que se está considerando

N es el número de bienes

2 Esto mismo es válido para elaborar un índice simple de cantidades. En los ejercicios se pide construir índices simples de cantidades.

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Promedio Geométrico: Índice Simple de Jevons

∏=

=

N

n

N

n

cno

cJ p

pP

1

1

0 (2.4)

Promedio Armónico: Índice Simple Armónico (IPEH)

N

p

pP

N

ncn

on

o

cH

∑=

=

1

1

(2.5)

Cocientes de Medias Aritméticas: Índice Simple de Dutot.

∑

∑

=

==N

nn

N

n

cn

o

cD

pN

pN

P

1

0

1

1

1

(2.6)

Los índices calculados con las diferentes fórmulas son los siguientes:

Índices de Precios SimplesPeríodo 1995

Base 1990=100

Índice Variación % respecto al año base

Media aritmética 313,33 213% Media Geométrica 227,02 127% Media armónica 169,98 70% Cocientes de medias aritméticas 150,00 50%

Las variaciones de precios que ha sufrido esta economía de tres bienes (o este bien en tres lugares de compra diferente) son muy distintas de acuerdo a las diferentes fórmulas. Haciendo un promedio aritmético la variación fue de 213%, mientras que haciendo un cociente de las medias aritméticas, resulta que la variación fue de sólo 50%.

¿Cuál es la mejor forma de calcular un índice simple?. Esta pregunta aparecerá muchas veces en estos apuntes. En varias oportunidades tendremos diferentes formas de construir un número índice. La

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respuesta puede hallarse por dos caminos: uno estudiando las propiedades matemáticas de las fórmulas y sobre la base de ello juzgar cuál de ellas cumple con la mayoría de los requisitos. Esto constituye el denominado “enfoque axiomático”. La otra forma es ver cuál de los índices se acerca más a lo que establece la teoría económica. Estos dos enfoques se verán con mayor detalle en la próxima sección.

En el caso de los índices simples, es poco lo que puede aportar la teoría económica para juzgar las bondades de cada fórmula, en estos casos tiene mayor utilidad evaluar algunas propiedades matemáticas de las mismas. 3

Una de ellas es la propiedad de reversibilidad temporal, que dice lo siguiente: en el caso que tengamos índice para tres años (1990, 1991 y 1992), entonces, si los precios en el año 1992 son los mismos que en 1990 o año inicial, entonces la variación de precios entre 1991 y 1992 debe compensar a la variación de precios experimentada entre 1990 y 1991.

En términos un poco más formales, y suponiendo como es usual que al año base le damos un valor de 100, se debería verificar que:

(Pco * P0

c )/100 = 100 (2.7)

donde Pco es el índice de precios del período “c” tomando como base el período “o” e Po

c es el índice de precios del período “o” tomando como base el “c”

Para comprobar esto y siguiendo con el ejemplo anterior, supongamos que en lugar de calcular el índice de precios del año 1995 con base en el año 1990, construimos el índice de 1990 con base en el año 1995. Los resultados serían los siguientes:

Índices de Precios SimplesPeríodo 1990

Base 1995=100Índice

Media aritmética 58,83 Media Geométrica 44,05 Media armónica 31,91 Cocientes de medias aritméticas 66,67

Por lo tanto, para cumplir con la propiedad de reversibilidad temporal, la multiplicación de estos índices (de 1990, base 1995) por los resultados obtenidos anteriormente (de 1995, base 1990) debe ser igual a 100.

Media aritmética: (313,33 * 58,83) /100 = 184,34

Media Geométrica: (227,02 * 44,55) /100 = 100,00

Media Armónica: ( 169,98 * 31,91)/100 = 54,24

Cocientes de medias aritméticas: (150,0 * 66,67) / 100 = 100,00

Claramente, la media geométrica y el cociente de medias aritméticas cumplen con la propiedad, mientras que la media aritmética y armónica no la cumple. Puede ser útil antes de continuar, hacer algunas reflexiones sobre las diferencias entre las diferentes fórmulas de agregación. En sentido matemático será muy relevante preguntarse de qué dependen las diferencias de los resultados arrojados por las diversas fórmulas.

Las diferencias entre las medias aritméticas, geométrica y armónica dependen de la dispersión de los datos a promediar. En el caso extremo que todos sean iguales las tres medias coinciden. Se puede

3 Para un intento de aplicar teoría económica para comparar índices de precios simples o elementales puede verse Diewert (1995)

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comprobar que la aritmética siempre va a ser mayor que la geométrica y ésta será mayor que la armónica. Por esta razón se dice que los índices que utilizan una media aritmética tiene un sesgo hacia arriba.

Concepto a Resaltar: “Formulas de Agregación”

En esta sección se han analizado diferentes fórmulas de agregación. Estas serán un componente importante en el camino a construir un número índice, ya que el resultado dependerá, entre otras cosas, de la fórmula empleada.

2.3.3 Índices ponderados

En los ejemplos anteriores vimos que los tres productos (o los tres lugares de compra) tenían la misma gravitación al calcular la variación de precios del conjunto. Esto queda más claro si observamos en detalle alguna de las fórmulas de agregación. Por ejemplo del Índice de Precios Simple de Carli (IPSCA):

PCA9590 = (1/3)*(130/20) + (1/3)*(80/40) + (1/3)*(200/80)=

En este índice cada bien recibe un peso igual a 1/3. Lo mismo sucede en todas las formulas de agregación presentadas. Esto es objetable, por ejemplo si se trata de seguir la evolución de los precios de las exportaciones argentinas (en cuyo caso se daría la misma importancia a la soja que al vino) o de costo de vida (pues no tiene la misma importancia el consumo de carne que el de biromes) o tantos otros, sean índices de precios o no. La misma crítica podríamos realizar si queremos construir un índice de precios para un bien que se adquiere en diferentes lugares de compra (supermercados, almacenes, kioscos, etc.). En estos casos no deberían pesar igual los distintos lugares de compra, ya que el gasto en ese bien realizado en un tipo de negocios (por ejemplo supermercados) seguramente no será el mismo que el realizado en otros (por ejemplo kioscos).

En tales casos es necesario ponderar, esto es, aplicar un procedimiento que haga gravitar la variación de precios de un producto (o un determinado lugar de compra) con intensidad distinta a la de otros. En cada caso habrá que analizar el criterio de ponderación.

Supongamos que se tiene que construir un índice de precios, representativo del consumo de un determinado grupo de personas. Consideremos que este grupo en algún período base, digamos 1980, tenía una canasta de bienes y servicios que se componía únicamente de tres bienes: bien I, bien II y bien III. El peso de estos bienes en el total difiere, y como se está tratando de armar un índice ponderado, este hecho debe tenerse en cuenta. Es decir, a diferencia del índice construido anteriormente (índice simple), donde cada bien tenía el mismo peso, en este caso debe darse un peso diferente a cada bien. Por lo tanto, si por ejemplo se quiere calcular un índice de precios ponderado para el año “c” tomando como base el año “o”, se podría utilizar cualquiera de las siguientes fórmulas de agregación vistas anteriormente:

1) Si se utiliza la fórmula aritmética, se obtiene:

100×

++=

oIII

cIII

IIIoII

cII

IIoI

cI

Ioc P

Ps

P

Ps

P

PsP

O en forma general, para N bienes:

- 13 -

Agustín Lódola

1001

×

= ∑

=

N

non

cn

noc P

PsP (2.8)

donde Sn es el ponderador del bien n.

2) si se utiliza la fórmula del promedio geométrico

1001

0×

= ∏

=

N

n

S

n

cno

c

n

p

pP (2.9)

3) si se utiliza el cociente de medias

100

1

0

1 ×

=∑

∑

=

=N

nnn

N

n

cnn

oc

ps

psP (2.10)

4) si se utiliza la media armónica

1001

1

×=

∑=

N

ncn

on

n

oc

p

ps

H (2.11)

Donde los ponderadores se representan con la letra “s”. Las suma de estos tiene que ser igual a uno.

El siguiente problema es determinar qué valor otorgarle a cada ponderador, ya que no puede ser arbitrario. Es claro que, para un índice que intente medir el costo de la canasta de bienes consumida por una determinada población, lo ideal sería ponderar a cada bien por la importancia que este tiene en el gasto total de la familia. Es decir si las familias destinan el 50% de su gasto total en el alquiler de la vivienda, es lógico que el ponderador de este servicio sea de 0.5. Sin embargo, aunque estemos de acuerdo que el ponderador sea la proporción que ese bien representa en el total del gasto, queda resolver ¿en qué año?, ¿en el año base?, o ¿en el que estamos considerando?. La diferencia no es menor, ya que si por ejemplo estamos construyendo el índice de precios de 1995, base 1980. El peso, por ejemplo, del alquiler puede ser muy diferente entre ambos años, y por lo tanto el índice será muy diferente.

- 14 -


Concepto a resaltar: “Ponderador”

En esta sección se puso de manifiesto otro componente fundamental en la construcción de un número índice como es el peso que tendrá cada uno de los bienes.

En suma, de las últimas secciones surgen dos cuestiones fundamentales a tener en cuenta en la construcción de un número índice: a) la fórmula de agregación (aritmética, armónica, geométrica, cociente de medias) y b) el valor del ponderador (año base, año considerado)

De acuerdo a la forma en que se respondan estas cuestiones, surgirán diferentes números índices. Dejaremos la fórmula de agregación geométrica para la última sección y nos concentraremos en los promedios aritméticos y armónicos, que son los más utilizados en la práctica.

2.4 Ejercicios y Problemas

Ejercicio 2.5.1.

En la ciudad de “pocopan” los consumidores tienen tres lugares alternativos para comprar el pan: Negocio A, negocio B y negocio C. Los precios y cantidades adquiridas en los diferentes lugares y para los diferentes meses son los siguientes:

precio cantidad precio cantidad precio cantidad

Negocio A 0,8 200 0,9 190 0,9 190Negocio B 1,2 100 1,5 90 1,4 95Negocio C 1,5 50 1,5 60 1,7 40

mayo junio julio

El Concejo Deliberante de “pocopan” ha decidido incrementar los salarios de los empleados municipales de acuerdo a las variaciones del precio del pan. Para ello es necesario que la ciudad tenga un índice de precios del pan en forma mensual y lo contrata a usted para que realice esa tarea. Calcule el índice simple para los diferentes meses e informe cual debería ser el incremento de salarios en cada mes. ¿es importante el mes que elige como base?

Sería su respuesta la misma si en lugar de contratarlo el intendente, lo contrata el sindicato de empleados municipales.

Discuta las dos alternativas.

Ejercicio 2.5.2.

El intendente de “pocopan”, teniendo en cuenta que la producción de pan es la principal actividad del distrito y por lo tanto la principal fuente de recursos municipales, ha decidido aprovechar los datos obtenidos (precios y cantidades) de la encuesta realizada en las panaderías para construir un indicador de producción. Por lo tanto se le pide a usted que construya, utilizando los datos del cuadro anterior, las diferentes alternativas que podría tener ese índice para el período mayo-julio.

- 15 -

Agustín Lódola

3 NUMEROS INDICES EN LA PRACTICA

Hemos repasado brevemente cuestiones generales sobre números índices. Ahora nos dedicaremos a la parte práctica. Comenzaremos por las cuestiones que tiene que ver con la construcción (sección 3.1) de los principales índices de precios y volumen que utilizan las agencias oficiales de estadísticas. Luego describiremos brevemente algunos procedimientos comunes (Sección 3.2) que se realizan con los índices y sus principales aplicaciones prácticas (sección 3.3). Para finalizar presentaremos los más importantes índices existentes en Argentina (sección 3.4)

3.1 Construcción

3.1.1 Índices de Laspeyres

Índice de Precios

Siguiendo el criterio de Laspeyres (1871), debemos considerar como fórmula de agregación la media aritmética presentada en (2.8)

∑=

=N

non

cn

ioc

P

PsIP1

(3.1)

y para calcular el ponderador de cada bien, se tiene en cuenta la importancia que tiene ese bien en el año base. Por lo tanto comencemos por deducir el valor de “s”, que para el caso específico del índice de precios de Laspeyres lo denominares con la letra griega “α”. Para ello hay que dividir el gasto en ese bien en el año base, por el gasto total en todos los bienes en dicho año.

Gasto en el bien I en el año base:

P QI IO0. (3.2)

donde Pi 0 es el precio del bien i en el período “o” (o base)

Gasto total en los tres bienes

000 ... IIIIIIOIIII

oI

oI QPQPQP ++

lo anterior se puede resumir

∑III

Ioi

oi QP . (3.3)

El cociente entre (3.2) y (3.3) nos determina el ponderador para el bien I, que indicaremos con la letra griega “α”.

- 16 -


∑=

oi

oi

oI

oI

IQPQPα (3.4)

Haciendo lo mismo para los otros dos bienes y reemplazando en la ecuación (3.1), obtenemos:

∑ oi

oi

oI

oI

QP

QPoI

cI

P

P+

∑ oii

oII

oII

QP

QP0 +

oII

cII

P

P

∑ oi

oi

oI

oIII

QP

QPoIII

cIII

P

P (3.5)

Simplificando4 y agrupando5 la anterior expresión se obtiene la siguiente fórmula general para el índice de precios de Laspeyres (IPL).

∑

∑

=

==n

i

oi

oi

n

i

oi

ci

o

cL

QP

QPP

1

1 (3.6)

Donde, respecto al PL el subíndice indica el año al que se quiere hacer referencia y el supraíndice el año que se ha elegido como base. Lo que hace este índice es comparar el costo de adquirir la canasta del año base en el año que se está considerando respecto al período base. Para cada año distinto de 1990 se deben comparar los precios de ese año referidos a la canasta del año base, pues esta es la característica del IPL: comparar el precio que en distintos momentos del tiempo cuesta la canasta relevante para el año inicial tomado como base.

De la ecuación (3.1), también se puede obtener una formula general para cuando se conoce el valor del ponderador:

∑=oi

ci

icL P

PP α0

(3.7)

Hay dos características que es necesario resaltar en este punto. Primero que el índice de Laspeyres utiliza como ponderador al peso que tiene el bien en el período elegido como base. Segundo que es un promedio aritmético de índices elementales.

También se puede mostrar la llamada formula de Laspeyres modificada, que es la que en realidad utilizan la mayoría de las agencias de estadísticas del mundo. En esta fórmula el año de la canasta es diferente del año elegido como base. Esto surge generalmente debido a que la publicación de las nuevas series de índices de precios se produce un tiempo después que la realización de la encuesta de donde surge los valores de los ponderadores. Así por ejemplo, en Argentina la última encuesta nacional de gastos se realizó entre 1996 y 1997 por lo tanto este es el período de la canasta de bienes y servicios, pero se eligió como período base al año 1999, de esta forma la ecuación modificada de Laspeyres para el año

4 Fíjese que en los tres miembros de esta suma aparece un mismo número en el numerador y denominador Pi94 en el

primero, etc.) por lo tanto se puede simplificar.5 En los tres miembros de la suma, el denominador es el mismo, por lo tanto se pueden agrupar.

- 17 -

Agustín Lódola

2000 sería la siguiente:

∑

∑

=

== n

iii

n

iii

L

QP

QPP

1

9799

1

972000

99

2000 x 100 (3.8)

En realidad se cambia la base de la serie del índice pero no la base de la canasta.

Veamos un ejemplo. Supongamos que se quiere calcular la inflación que experimentaron los estudiantes universitarios en una determinada ciudad, entre 1988 y 1990. Por lo tanto se necesita un índice de precios relevantes para esa población de referencia. A través de una encuesta a un número representativo de los mismos se llega a la conclusión que la canasta de consumo correspondiente a dicho grupo está constituida por dos bienes: fideos y libros y por un servicio: alquileres.

En la siguiente tabla se muestra la información sobre cantidades consumidas de dicho bienes en el período que se eligió como base (1988) y la información de precios que se obtiene periódicamente de otras encuestas específicas, para los años 1988 y para 1990; columnas (a), (b) y (c) respectivamente.

Precios y Cantidades ConsumidasEstudiantes Universitarios

Bien Cantidad Precios1988 1988 1990(a) (b) (c)

Fideos 10 5 8Libros 80 2 4Alquileres 1 40 45

Para obtener la inflación entre 1988 y 1999 necesitamos construir los índices de precios de cada uno de esos años. Dado que 1988 es el año elegido como base, ya conocemos que su valor es 100 por convención. Para el índice correspondiente al año 1990 utilizamos la fórmula (3.6).

Para obtener el numerador de esa fórmula, construimos, en el cuadro siguiente, la columna (e) que surge de multiplicar los precios del año que estamos considerando (1990) por las cantidades del año base (1988). La suma de esta columna es 445.

Cálculo del Índice de Precios de Laspeyres

Bien Cantidad Precios Gasto1988 1988 1990 P88 Q88 P90 Q88(a) (b) (c) (d)=(a)*(b) (e)=(a)*(c)

Fideos 10 5 8 50 80Libros 80 2 4 160 320Alquileres 1 40 45 40 45

Suma 250 445

Luego, para lograr el denominador de la fórmula de Laspeyres, construimos la columna (d), donde

- 18 -


para cada bien, se multiplica el precio y las cantidades del año elegido como base. Su valor es 250.

Dividiendo finalmente numerador por denominador y multiplicando el resultado por 100, obtenemos el índice de precios de Laspeyres para 1990 (base 1988=100), IPL90

88, que es igual a 178.

Este número, no tiene un valor en sí mismo, y sólo está indicado que la canasta de bienes del período base, cuesta un 78% más en el año considerado respecto al año base. Esta variación surge de la siguiente operación:

100*)1(%88

88

88

9090

88 −=∆L

LL

P

PP (3.9)

Con los datos anteriores podemos también calcular el ponderador de cada bien. Para ello utilizamos la fórmula (3.4). Así de un gasto total en el año base de $250, en fideos se gastó $50. Por lo tanto el ponderador de este bien es 0,20 o 20% (=50/250). Lo mismo hacemos con el ponderador de los libros (0,64 = 160/250) y de los alquileres (0,16 = 40/250).

Habiendo calculado los ponderadores, podemos ahora utilizar la fórmula (3.7) para construir el índice de Laspeyres. De esta forma el PL para 1990 con base en el año 1988 es el siguiente

PL9088 = ( 0,20 * (8/5) + 0,64 * (4/2) + 0,16 * (45/40)) * 100 = 178,00 (3.10)

En forma general entonces, el índice de precios de Laspeyres para un determinado año “c”, tomando como base a un año “o” es igual a:

100

1

1 ×=∑

∑

=

=n

i

oi

oi

n

i

oi

ci

o

cL

QP

QPP (3.11)

Digresión: álgebra matricial

La ecuación anterior puede simplificarse utilizando álgebra matricial. Cuando se trata con pocos bienes no hay problemas en seguir con la notación anterior, pero en otros casos la utilización de álgebra matricial (vectores principalmente) simplifica en gran medida la forma de escribir. Por ejemplo podemos definir un vector de precios del año base, que denominaremos p0, como el conjunto ordenado de los precios de todos los bienes en dicho año (pI, pII, ...). De la misma forma el vector de cantidades, qc, puede representar las cantidades de los bienes en el año que estamos considerando (qI, qII, ...). Lo útil de definir a los conjuntos de precios y cantidades como vectores es que la multiplicación de dos vectores se realiza de la siguiente manera:

Por ejemplo y utilizando los datos del ejemplo anterior, si tenemos el vector (fila)

p0 = p 88 = [5, 2, 40]

y el vector (columna)

- 19 -

Agustín Lódola

q0 = q88 =

1

80

10

el producto de p0 * q0 = [5 (10) + 2 (80) + 40 (1)] = 250, que es el numerador del índice de Laspeyres.

Y definiendo el vector (fila) pc = p90 = [8, 4, 45], el producto de pc*q0 = [8*10 + 4*80 + 45*1 ]= 445,

es el denominador del índice de Laspeyres.

Por lo tanto la ecuación (10) utilizando la notación vectorial puede expresarse como:

1000

0

×=o

co

cL qp

qpP

Como puede observarse, en esta expresión no aparece el símbolo de sumatoria debido a que los

p y q no son simples precios y cantidades de un bien sino vectores de precios y cantidades y por lo tanto

representan un conjunto de bienes.

Indice de Volumen

3.1.2 Índices de Paasche

Índice de Precios

El índice de Paasche se distingue del anterior en dos aspectos. En primer lugar utiliza como fórmula de agregación la media armónica, expresada en la ecuación (2).

.

∑=

=N

ncn

on

n

oc

p

ps

H

1

1 (3.12)

En segundo lugar considera que el ponderador (“s”) de cada bien es el peso que tiene ese bien en el gasto total del año que se está considerando. Por lo tanto a diferencia de Laspeyres, donde para cada bien existía un ponderador, en este caso habrá un ponderador para cada bien, pero también para cada año. Es decir, no sólo el peso de los fideos será diferente al de los libros (al igual que sucedía en el índice de Laspeyres), sino el peso de los fideos (y el de todos los bienes) puede ser diferente de acuerdo al año que se esté considerando. Para el caso específico del índice de precios de Paasche denominaremos al ponderador por la letra griega β. Por lo tanto el índice de precios de Paasche para un determinado año, digamos 1995 para seguir con el ejemplo de los estudiantes, tomando como base a 1994, se representa por la siguiente fórmula:

- 20 -


1001

3

195

9495

94

95 ×=

∑=i i

ii

P

P

PP

β (3.13)

Donde “βI”, el ponderador del bien I, para el año 1995 sería:

∑= 9595

959595

i

III QP

QPβ (3.14)

Calculando los ponderadores de los demás bienes y reemplazándolos en la ecuación (3.13), se obtiene

1001

95

94

9595

9595

95

94

9595

9595

95

94

9595

9595

94

95 ×

++

=

∑∑∑===

III

III

i

III

Iii

IIIIII

II

II

i

III

Iii

IIII

I

I

i

III

Iii

II

P

P

P

QP

QP

P

P

QP

QP

P

P

QP

QP

P

extrayendo factor común en el denominador y simplificando:

( )100

*1

1

959495949594

95

1

95

94

95 ×++

=

∑=

IIIIIIIIIIIIn

i

P

QPQPQPQP

P

que es equivalente a:

100*1

95

1

95

95

1

94

94

95

i

n

ii

i

n

ii

P

QP

QPP

∑

∑

=

=

=

expresando lo anterior como la recíproca de su recíproca

- 21 -

Agustín Lódola

100

1

9590

1

9595

94

95 ×=∑

∑

=

=n

iii

n

iii

P

QP

QPP

en forma general

100

1

1 ×=∑

∑

=

=n

i

ci

oi

n

i

ci

ci

o

cP

QP

QPP (3.15)

Donde ahora en el numerador y denominador, las cantidades son las del año que estamos considerando y no las del año base como en la fórmula de Laspeyres. En este caso como el período de comparación está al final, cada índice compara el costo de adquirir la canasta del año que se está considerando, respecto al año base.

Sigamos con el ejemplo anterior, calculemos el incremento en el costo de la canasta de bienes consumida por los estudiantes entre 1988 y 1990, de acuerdo a la fórmula de Paasche. Para ello, además de los datos de precios para los dos períodos y cantidades para el período base, también se necesita cantidades consumidas para todos los años. El requerimiento de información para construir un índice de Paasche es mayor que para el caso de Laspeyres. Los datos se muestran en la siguiente tabla:

Precios y Cantidades Consumidas por los Estudiantes Universitarios

Bien Cantidad Precios1988 1988 1990(a) (b) (c) (d)

Fideos 10 6 5 8Libros 80 50 2 4Alquileres 1 1 40 45

De la misma forma que hicimos para armar el índice de Laspeyres, calculemos cada parte de la fórmula de Paasche. En este caso tenemos que estimar la ecuación (3.15). Para calcular el numerador construimos la columna (e), que se obtiene de multiplicar el precio que cada bien tenía en el año base (1988) por las cantidades del año que estamos considerando (1990). La suma de esta columna es 170.

- 22 -


Cálculo del Índice de Precios de Paasche

Bien Cantidad Precios Gasto1988 1990 1988 1990 P88 Q90 P90 Q90(a) (b) (c) (d) (e) = (a) * (d) (f) = (b) * (d)

Fideos 10 10 5 8 30 48Libros 80 80 2 4 100 200Alquileres 1 1 40 45 40 45

Suma 170 293

Luego para obtener el valor del denominador construimos la columna (f), que surge de multiplicar el precio que cada bien tiene en el año que estamos considerando por las cantidades consumidas en ese año (1990). La suma de la columna es 293.

Por último, dividiendo numerador por denominador y multiplicando el resultado por 100, obtenemos el índice de precios de Paasche para 1990 (base 1988=100), IPP90

88, que es igual a 172,35. Este número, no tiene un valor en sí mismo, y sólo está indicado que la estructura de bienes del período considerado hubiera costado un 72,35% menos en el período base. Esta variación surge de la siguiente operación:

72,35%1001100

172,351001

P

PP

P

PP =×

−=×−=∆ )(%

88

88

88

9090

88

Con los datos anteriores podemos también calcular el ponderador de cada bien y para cada año. Para ello utilizamos la fórmula (3.11). Así de un gasto total en el año 1990 de $293, en fideos se gastó $48. Por lo tanto el ponderador de este bien es 0,16 o 16% (=48/293). Lo mismo hacemos con el ponderador de los libros (0,68 = 200/293) y de los alquileres (0,15 = 45/293). Habiendo calculado los ponderadores, podemos ahora utilizar la fórmula (3.13) para construir nuevamente el índice de Paasche. De esta forma el IPP para 1990 con base en el año 1988 es el siguiente

172,35100

45

400,15

4

20,68

8

50,16

1PP =×

×+×+×=88

90

Por lo tanto utilizando el índice de precios de Paasche la variación de precios fue 72,35%, mientras que si medimos esta variación por Laspeyres el resultado es de 78,00%. ¿Por qué surgen diferencias? ¿Cuál de esas fórmulas es la correcta? ¿Cuál es la mejor?. En realidad las dos fórmulas son correctas y las diferencias pueden explicarse tanto por las distintas fórmulas de agregación como por los diferentes ponderadores que ambas utilizan. No es claro que una de las fórmulas sea mejor que otras. Como en el caso de la comparación que hicimos en los índices elementales, en este caso, también puede utilizarse las propiedades matemáticas (enfoque axiomático) o la teoría económica, para ver cual de estos índices es mejor. En la próxima sección se tratan estos dos enfoques, pero realicemos un ejemplo para ir intuyendo cuál de los índices puede cumplir mejor el objetivo buscado, que es medir la evolución de los precios de la economía.

- 23 -

Agustín Lódola

Índice de Volumen

3.1.3 Relaciónes entre los índices de Paasche y Laspeyres

Índices de Precios

Supongamos que se desea construir un índice de precio para la fruta y existen dos tipos de frutas relevantes: manzanas y naranjas. Es decir la canasta de este índice esta integrada por estos dos bienes. La tabla que sigue muestra los precios y las cantidades consumidas de manzanas y naranjas en Abril, Mayo, Junio y Julio.

Precios y Cantidades de Naranjas y ManzanasPeríodo: abril/julio

Abril Mayo Junio JulioP Q P Q P Q P Q

Naranjas 12 6 20 3 20 2 20 2Manzanas 4 7 4 10 4 15 2 30

Primero calculemos el Índice de precios de Laspeyres (IPL) tomando al mes de Abril como base, como es convencional el índice para ese período es igual a 100, pero calculemos para el mes de Mayo

1481002872

28120100

74612

74620 =×

++=×

×+××+×=abr

marLP

También podemos calcular el índice de Paasche (IPP), para el mes de Junio:

1191006024

6040100

)154()212(

)154()220( =×++=×

×+××+×=ABR

JUNPP

Haciendo lo mismo para los otros meses, obtenemos dos series de índices de precios. A partir de ellos es posible deducir las variaciones mensuales del precio de las frutas. Los resultados para todo el período de los dos índices se exponen en la siguiente tabla:

Precio de la FrutaPeríodo abril-julio

En índices (base abril=100) y variaciones porcentuales mensuales

Laspeyres

(abril=100)

Variación resp. Mes

anterior

Paasche (abril=100) Variación resp.

mes anteriorAbril 100 100Mayo 148 48% 132 32%Junio 148 0% 119 -10%Julio 134 -9% 69 -42%

Realicemos algunos comentarios:

- 24 -


1. Las estimaciones de cambios de precios mensuales pueden diferir substancialmente, dependiendo solamente de cómo el índice es construido.

En sentido matemático, y como veremos más detalladamente, las diferencias están en la fórmula de agregación y en los ponderadores que difieren en las dos fórmulas. En un análisis más intuitivo hay que decir que las dos fórmulas responden preguntas diferentes sobre la evolución del nivel de precios. Mientras que con el empleo de la fórmula de Laspeyres se trata de contestar ¿Cuánto más (o menos) cuesta en el período considerado la estructura de bienes del período base?; con el empleo de la fórmula de Paasche se trata de responder ¿Cuánto menos (o más) hubiera costado en el período base la estructura de bienes del período considerado?

El índice de Laspeyres y el de Paasche coinciden cuando el consumidor no efectúa sustituciones en su patrón de consumo. Las curvas de indiferencia de ese consumidor serían ángulos rectos (del tipo Leontieff). Sus elasticidades precio de demanda son iguales a cero; es decir que se abstiene de efectuar sustituciones en su canasta cuando se modifican los precios relativos. Si su ingreso nominal permanece constante pero aumentasen los precios, este consumidor reduciría proporcionalmente su consumo de todos los bienes, aun cuando algunos hayan aumentado más que otros. Para este consumidor, en suma, la utilidad se maximiza consumiendo una canasta fija de bienes.

2. El índice de Paasche es menor que el índice de Laspeyres.

Matemáticamente la explicación puede venir por el lado de que la media armónica (que se utiliza para construir un índice de Paasche) es siempre menor que la media aritmética (que se utiliza en el índice de Laspeyres).

Pero además tiene mucha influencia el tipo de ponderación que cada uno de ellos tiene implícito. Mientras que el de Laspeyres es fijo, en la formula de Paasche es variable. Con la ponderación móvil (Paasche) existe mayor correspondencia con la realidad, pues si las ventas de un producto disminuyen relativamente, también se reducirá su ponderación y aumentará la de otros cuyas ventas aumentaron. Este efecto sustitución, que realizan los consumidores hacia bienes que se abaratan, Laspeyres no lo tiene en cuenta.6

La importancia del ponderador queda reflejada si observamos los índices y las correspondientes variaciones en el mes de Julio. En dicho mes hubo una declinación sustancial en el precio de las manzanas (50%). A diferencia de Paasche, el índice de Laspeyres pone menos peso sobre esta declinación debido a la importancia relativa de las manzanas en el período base, Abril. Verificar que para Laspeyres, las naranjas en Julio tienen un ponderador de 28% (igual que en todos los meses), sin embargo para Paasche el peso es de 60%.

3. El índice de Paasche no sólo toma en cuenta variaciones de precios, sino también variaciones de cantidad.

A pesar de que con la ponderación móvil existe mayor correspondencia con las sustituciones entre bienes que realizan los consumidores, tiene el inconveniente de que, aunque no se produzcan cambios de precios, el nivel general del índice puede subir o bajar por el solo efecto de cambios de ponderación, lo que da una idea equívoca de la realidad. Observemos que si bien ninguno de los precios cambia en Junio, el índice de Paasche cambia significativamente. El índice de precios de Paasche no sólo mide variaciones de precios sino también variaciones de cantidad.

Con la ponderación fija el nivel general de precios sólo cambia si hay variaciones de precios (o de producción, según el índice); por ello es preferido a los índices anteriores, pero es posible, sin embargo, que la magnitud de la variación esté influenciada por productos que en la realidad han dejado de gravitar.

Hay que remarcar, que este problema está presente cuando se comparan dos períodos que no son base. Se deja como ejercicio demostrar que si el mes de Mayo hubiese sido el período base, las dos fórmulas hubiesen dado la misma variación entre Mayo y Junio. En este caso los índices de Lasyperes y Paasche para Mayo y Junio hubieran sido iguales a 100, y en consecuencia la variación de precios, medida por las dos fórmulas, hubiera sido nula.7

6 Para ser puntillosos hay que remarcar que el efecto sustitución tampoco Paasche lo capta totalmente, ya que en este, al igual que en Laspeyres, la canasta de bienes es fija. Por lo tanto Paasche tiene en cuenta el efecto sustitución si este se produce entre bienes que integran la canasta original. 7 Puede verse Szychowski (1977).

- 25 -

Agustín Lódola

4. En la práctica, la fórmula de Laspeyres es más fácil y económica de calcular que la de Paasche.

A pesar de lo anticipado en esta sección y lo que agregaremos luego cuando veamos cómo estas fórmulas cumplen ciertos test estadísticos, lo que define la utilización por parte de las agencias de estadísticas de todo el mundo, de una fórmula u otra son las cuestiones de orden práctico.

Supongamos que se trata de un índice de precios al consumidor. Si se utiliza Laspeyres, el denominador es el valor de la canasta familiar en el año base, que se obtiene de una vez para todo el período; y, en cuanto al numerador sólo deben obtenerse los precios de los bienes y servicios componentes de la canasta, pues las cantidades son las del año base. Si se aplicara Paasche, habría que determinar los consumos (cantidades) de cada mes o año de la serie, lo que significa una considerable dificultad; y, además, las variaciones de precios. No hay duda de que en este caso es preferible adoptar Laspeyres, y lo mismo si se tratara de un índice de precios mayoristas o minoristas, aunque para tal fin es frecuente que se emplee una adecuación de esa fórmula, a la que nos referiremos más adelante.

En el caso de un índice de precios de exportaciones o importaciones se cuenta con información actualizada, tanto sobre las cantidades comerciadas en cada año, dato que se necesita para calcular el denominador de Paasche, como sobre el valor de las exportaciones o importaciones (numerador de la fórmula) sin necesidad de multiplicar precio por cantidad. En cambio sería algo más engorroso aplicar Laspeyres, porque habría que obtener para el numerador los precios medios de los productos exportados o importados. De ahí que se prefiera Paasche. No obstante, ante la falta de comparabilidad de los resultados de períodos intermedios de la serie, es frecuente que se obtengan los índices por grupos de artículos y se les aplique una ponderación, según el valor comerciado el año base, obteniéndose así un nivel general que permite tales comparaciones, mientras no haya notables cambios en la composición de los grupos. Este tema se verá en extenso mas adelante, en el capítulo sobre índices de Comercio Exterior.

Índices de Precios y de Volúmenes

3.1.4 Otros Índices

La historia de los índices de precios no termina con las fórmulas de Laspeyres y Paasche, en realidad se podría decir que recién comienza con estas. Existe una enorme variedad de fórmulas. Fisher en su clásico libro presenta y analiza más de un centenar de ellas. En esta parte analizaremos las que son más relevantes para el objetivo de estos apuntes. En realidad veremos que estas surgen de combinar de diferente forma las características (formas de agregación, ponderadores) ya vistas de los índices de Laspeyres y Paasche.

Índice de Palgrave

El índice de Palgrave es una media aritmética (como el de Laspeyres) de los índices elementales, pero con las ponderaciones del período que se está considerando (como el de Paasche).

De esta forma partimos de la fórmula (2.8)

∑=

=N

non

cn

io

cP P

PsP

1

donde Si es el ponderador de Paasche, es decir “β”. Por ejemplo, siguiendo con el índice de precios de los estudiantes para el bien I para 1995 sería:

∑=

9595

959595

i

III

QP

QPβ

- 26 -


Reemplazando el β en la ecuación anterior, y multiplicando y dividiendo el numerador por pio se

obtiene:

100

1

1

2

×

=∑

∑

=

=N

n

cn

cn

N

n

cn

cno

n

cn

PAL

qp

qpp

p

P

Veamos cual sería la inflación experimentada por los estudiantes, si se mide la misma a través de

la fórmula de Palgrave.

Cálculo del Índice de Precios de PalgraveAño 1990

Bien Cantidad Precios Relativo Ponderador1988 1990 1988 1990 P90/P88 P90 Q90 1990

a b c d e = d/c f = e2 x c x b g = b x d

Fideos 10 6 5 8 1,600 76,80 48,00 0,164Libros 80 50 2 4 2,000 400,00 200,00 0,683Alquileres 1 1 40 45 1,125 50,63 45,00 0,154

Total 527,43 293,00

En primer lugar, para calcular el numerador de la fórmula, construimos una columna que mida el cociente entre precio del año que estamos considerando y precio del año base (columna e). Luego multiplicamos el cuadrado de esa columna por el precio en el año base y por las cantidades del año que estamos considerando (columna f). La suma es 527,43 y es el numerador de la fórmula. El denominador lo obtenemos multiplicando los precios por las cantidades del año que estamos considerando (columna g). El resultado es 293,00.

Dividiendo numerador por denominador y multiplicando por 100, se tiene el índice de precios de Palgrave para el año 1990, tomando como base 1988. Este toma un valor 180,01; lo que indica que los precios para los estudiantes aumentaron (aprox.) un 80%.

Índice armónico

Otra fórmula para construir un número índice, conocida como índice armónico, es combinar las dos características utilizadas en el índice de Palgrave, pero al revés. Utilizar la forma de agregar de Paasche, es decir hacer un promedio armónico, pero utilizando los ponderadores de Laspeyres, o sea los del período base.

Por lo tanto en la ecuación de la media armónica presentada en (2.11)

∑=

=N

ncn

on

n

o

cH

p

ps

P

1

1

- 27 -

Agustín Lódola

y el ponderador de cada bien (Sn) sería el de la fórmula de Laspeyres, es decir “α”, que para el bien I sería:

∑=

oi

oi

oI

oI

I QP

QPα

Calculando el ponderador para los otros bienes y reemplazándolos en la fórmula se obtiene el índice armónico en función de precios y cantidades:

100

1

21 ×

=

∑

∑

=

=

N

n

on

cnc

n

on

N

n

on

on

o

cH

qpp

p

qpP

Veamos en este caso, cuánto sería la inflación experimentada por los estudiantes si medimos la variación de precios por este índice.

Cálculo del Índice de Precios Armónico

Bien Cantidad Precios Gasto Relativo Ponderador1988 1988 1990 P88 Q88 P88/P90 1988

a b c d = a x b e F = e2 x a x c f

Fideos 10 5 8 50 0,625 31,250 0,20Libros 80 2 4 160 0,500 80,000 0,64Alquileres 1 40 45 40 0,889 35,556 0,16

Total 250 146,8056

Al igual que los anteriores calculemos primero el numerador. Para eso construimos la columna (d) que surge de multiplicar los precios y cantidades del año base. La suma de la misma es de 250. Para el denominador calculamos en primer lugar la razón entre el precio del año base y el precio del año que estamos considerando. Luego multiplicamos el cuadrado de esta columna por las cantidades del año base y los precios del año que estamos considerando (columna f). El resultado es 146,81. El índice de precios armónico es el cociente entre ambos multiplicado por 100. Su valor es de 170,29 e indica que los precios para los estudiantes se incrementaron un 70,29%.

Índices Geométricos

Además de los índices mencionados, basados en fórmulas de agregación aritméticas y armónicas, se han propuesto índices basados agregar precios de acuerdo a la media geométrica.

Combinando esta fórmula de agregación geométrica vista en (2.9) con los ponderados del año base y del año que estamos considerando, obtenemos los índices geométricos de Laspeyres y Paasche respectivamente.

Así obtenemos el índice geométrico de Laspeyres:

- 28 -


1001

0

0

×

= ∏

=

N

n

S

n

cno

cGL

n

p

pP

y el índice geométrico de Paasche:

1001

0 ×

= ∏

=

N

n

S

n

cno

cGL

cn

p

pP (2.9)

Estos índices geométricos pueden expresarse en forma logarítmica como una media aritmética ponderada de los logaritmos de los índices elementales de precios, por lo cual a veces se lo llaman “índices de variación logarítmica” (log-change index). Así se obtienen los respectivos índices logarítmicos de Laspeyres y Paasche:

1000

1

×

= ∑

= n

cn

N

n

on

o

cLnGL p

pLnsP

1000

1

×

= ∑

= n

cn

N

n

cn

o

cLnGP p

pLnsP

Cálculo del Índice de Precios Geométrico de Paasche

Cálculo del Índice de Precios Geométrico de Laspeyres

- 29 -

Relativo Ponderador1988 1990 1988 1990 P90/P88 1990

a b c d e= d/c f g=e (elevadado a la) f


Producto 1,765por 100 176,51

PreciosBien

Cantidad

Agustín Lódola

3.1.5 Índices Espaciales

Hasta ahora hemos hecho énfasis en la construcción de índices de precios intertemporales, es decir de aquellos índices que comparan la evolución de los precios en el tiempo. Sin embargo existe otra dimensión importante de los números índices, que se relaciona con comparar precios en el espacio, ya sea entre países o entre regiones de un mismo país.

Cuando la comparación entre países o regiones se reduce a dos de ellas (comparaciones bilaterales), todo lo dicho hasta el momento para los índices intertemporales es aplicable también a este tipo de índices.

Un índice espacial de precios mide diferencias en el nivel de precios entre distintos lugares. Conceptualmente es similar al índice de precios visto anteriormente, pero en vez de referirse a la medición temporal de los movimientos de precios, se concentran en el aspecto regional de los mismos.

Al nivel de las comparaciones internacionales, los índices espaciales adquieren particular importancia porque se puede utilizar, en reemplazo de los tipos de cambios oficiales, para convertir varios agregados económicos en una unidad de moneda común, permitiendo así las comparaciones entre países. Los agregados económicos convertidos representan valores reales.

Pero no reales en sentido de estar expresado en moneda de un período de tiempo y de esta manera eliminar las variaciones intertemporales de precios. En este caso el concepto de real hace referencia a estar expresado en moneda de un país determinado y así se elimina las diferencias de precios entre países. En otras palabras, el consumo de un país puede ser mayor que otro, ya sea porque consume cantidades mayores de bienes o porque los precios de esos bienes son más altos en ese país que en el otro. Esta diferencia de precios entre países es la que posibilita eliminar los índices espaciales de precios.

Ahora bien, no todo lo dicho para los índices intertemporales se aplica linealmente a los índices espaciales. La principal diferencia en la construcción de un índice espacial de precios está dada por la formación de los precios relativos. En los casos anteriores estos relativos se construían como el cociente entre el precio de una determinada variedad en el período que estamos considerando versus el precio de esa misma variedad en el período base. Ahora, en el caso de los índices espaciales, precios relativos representan el cociente entre el precio de una variedad en una determinada localidad versus el precio de esa misma variedad en la localidad elegida como base.

Luego debe elegirse una formula de agregación y un ponderador, al igual que los índices intertemporales vistos hasta ahora.

Por ejemplo utilizando el criterio de Paasche podemos optar por el promedio armónico como formula de agregación y como ponderador el peso que cada variedad tiene en la localidad.

El índice de Paasche se distingue del anterior en dos aspectos. En primer lugar utiliza como fórmula de agregación la media armónica, expresada en la ecuación (2-11).

.

∑=

=N

ncn

on

n

oc

pp

sIH

1

1

- 30 -

Relativo Ponderador1988 1990 1988 1990 P90/P88 1988

a b c d e= d/c f g=e (elevadado a la) f


Producto 1,744por 100 174,45

BienCantidad Precios


En este caso pon indica el precio del bien n en la localidad o. El ponderador sería el peso que ese

bien tiene en el gasto total de la localidad considerada.

3.1.6 En la realidad

En la sección anterior hemos presentado los aspectos básicos sobre la construcción de índices de precios de acuerdo a las principales formulas disponibles. En todos esos casos hemos utilizado varias simplificaciones respecto a lo que es la construcción habitual de los índices de precios en una oficina de estadística (como el INDEC en nuestro país).

Por ejemplo, además de haber utilizado pocos bienes cuando en la realidad los índices de precios toman en cuenta una cantidad importante de bienes y servicios; una simplificación importante fue el concepto utilizado de “bien”. Hemos empleado el agrupamiento “bien” pero en realidad, y como se comento en la parte inicial, hay diversas desagregaciones a considerar, como el de variedad, producto, subgrupo, grupo, etc.

La idea de esta parte es explicar sintéticamente los diversos pasos que se llevan a cabo en la práctica usual de construir números índices. Esas prácticas surgen de los manuales metodológicos de las distintas agencias y en este caso enfatizaremos el caso argentino (INDEC, 2001)

La principal característica que debemos resaltar es que existen diversos agrupamientos de bienes. Así el menor nivel de agregación lo constituyen las denominadas variedades (como por ejemplo las “naranjas”). Un conjunto de variedades constituyen lo que se denomina un producto (p.e.: “frutas cítricas”). A su vez un conjunto de productos constituye un subgrupo (p.e.: “frutas frescas”). El nivel subsiguiente de agregación se denomina grupo (p.e.: Frutas).

Asimismo para caracterizar completamente a una variedad se le agregan una especificación (por ejemplo leche en sachet de plástico) y atributos como peso, tamaño, modelo, marca (por ejemplo litro). Así se obtiene un artículo, definido como un bien o servicio específico caracterizado por una especificación y atributos (por ejemplo leche en sachet de plástico de un 1 litro marca “La Granja”).

A los efectos de construir un índice de precios en la práctica, las oficinas de estadísticas (como el INDEC en Argentina) tienen que realizar diversos pasos, que pueden resumirse en los siguientes8:

1. Calcular los precios medios de las variedades

2. Construir los índices elementales de cada una de las variedades

3. Agregar los índices elementales.

Precios Medios de las Variedades

El primero de ellos tiene que ver con la obtención de precios para cada una de las variedades.

Los precios de las variedades son recopilados en puntos de venta pertenecientes a una muestra de negocios informantes. A cada informante se le asignan un conjunto de variedades. A su vez en cada visita se relevan precios de distintos artículos pertenecientes a cada una de las variedades.

Por lo tanto el precio medio de las variedades se obtienen en los siguientes pasos:

• en primer lugar se calculan la media geométrica de los precios observados para los artículos pertenecientes a la variedad

• luego se calcula la media geométrica del negocio, considerando todas las visitas realizadas.

• En tercer lugar se calcula una media geométrica de los negocios, considerando separadamente a los supermercados e hipermercados por un lado y al resto de los negocios por el otro.

• Por último, cuando los precios de los artículos se observan en ambos tipos de negocios, el precio de medio de la variedad se calcula como un promedio ponderado de los precios geométricos calculados para cada tipo de negocio. Como ponderador (α) de los precios de los hiper y supermercado se utiliza la proporción de ventas en el total realizada por

8 Lo que sigue se basa en INDEC (2001).

- 31 -

Agustín Lódola

este tipo de negocios, y como ponderador del resto de los negocios la diferencia (1-α).

Construcción de Índices Elementales

Una vez calculado los precios medios de las diferentes variedades, el índice elemental de cada variedad surge de comparar el precio medio de ese mes con el precio medio del año base.

Construcción de Índices de los Agrupamientos

Por último, desde el nivel de producto hasta el nivel general, el índice de precios del momento t con respecto al año base 0 se basa en la fórmula de Laspeyres (ecuación 3.7).

3.2 Algunos Procedimientos Comunes

Habiendo repasado los principales aspectos sobre la construcción de índices de precios, en esta sección describiremos algunos procedimientos comunes en la utilización de los números índices, como son el cambio de base de una serie o período de referencia, empalmar series, desestacionalizar y hacer análisis de incidencia.

3.2.1 Cambio de Base

En primer lugar debemos distinguir entre dos conceptos que puede llevar a la confusión. Por un lado se encuentra el período base de la canasta del índice y por el otro se encuentra la base de la serie o período de referencia. En esta sección si bien vamos a ver un método simple para cambiar la base de la serie, tenemos que tener en cuenta que siempre el período base de la canasta de bienes que lo conforman se mantiene constante.

Para cambiar la base de un número índice, sea éste de precios o de cantidades, se debe dividir toda la serie por el valor que toma dicho índice en el año que se pretende tomar como nueva base y luego multiplicar por 100. -

Por ejemplo supongamos que tengamos la siguiente serie de Indices de Precios de Laspeyres, base 1996=100. El año 1996 es el año base de la canasta y el año base de la serie.

- 32 -


Índice de Precios de LaspeyresPeríodo 1996-2000

Base 1996=100Año Índice Variación % respecto

al mes anterior

1996 100,01997 108,0 8,0%1998 102,0 -5,6%1999 98,0 -3,9%2000 80,0 -18,4%

Ahora podemos cambiar el año base de la serie, haciendo que el año 2000 sea el período de referencia. Para ello dividimos uno a uno los índices de precios de cada año por el índice del año 2000. El resultado se expone en la siguiente tabla

Índice de Precios de LaspeyresPeríodo 1996-2000

Base 2000=100

Año Índice Variación % respecto al mes

anterior

1996 125,01997 135,0 8,0%1998 127,5 -5,6%1999 122,5 -3,9%2000 100,0 -18,4%

Como vemos si bien el valor de los índices ha cambiado, la variación de precios sigue siendo la misma, la canasta de bienes que forman parte del índice no se ha modificado. Es decir que entre, por ejemplo, el año 1996 y 1997, los bienes que la población de referencia consumía en 1996 aumentaron de precio un 8%. Esto no es afectado por qué año se elija como base de la serie.

3.2.2 Empalme

Esta operación se requiere para los casos en que se tienen dos o más series de números índices que se hallan completas para los mismos años. Con una serie se intenta completar la otra. Si bien existen diversos procedimientos para llevar a cabo esta operación se explicará sólo la más sencilla. La misma consiste en calcular el incremento experimentado en cada uno de los años de acuerdo a la serie que se halla completa y aplicar dicho incremento a la serie incompleta. Esto no es más que una aplicación de la regla de tres simple.

Veamos un ejemplo. Supongamos que tenemos las siguientes series de índices de precios. La primera, base 1986=100, abarca el período 1986-1994; la segunda, base 1993=100, abarca los años 1993 en adelante.

- 33 -

Agustín Lódola

Índices de Precios

Serie SerieBase 1986=100 Base 1993=100

1986 100,01987 2346,01988 34500,01989 234563,01990 301478,01991 307500,01992 315342,01993 309431,0 100,01994 102,01995 104,01996 103,01997 106,01998 109,01999 112,02000 120,0

Por lo tanto si necesitamos una serie desde 1986 en adelante, ninguna de las anteriores por sí sola abarca todos los años. Es necesario empalmar las dos series. Para eso se hace lo siguiente. En primer lugar para los años más recientes, desde 1993 en adelante, la serie empalmada va a estar formada por los índices correspondientes a la serie 1993=100. Para los años anteriores aplicamos regla de tres simple. Es decir para el índice del año 1992 multiplicamos el índice para 1992 de la serie base 1986=100 (=315342) por el índice para 1993 de la serie 1993=100 (=100) y lo dividimos por el índice del año 1993 de la serie 1986=100 (=309431). El resultado es 101,91. Este resultado nos sirve para obtener el índice de precios para 1991 de la serie empalmada. Hacemos el mismo procedimiento para todos los años anteriores. El resultado se expone en la siguiente tabla, donde además se exponen las variaciones porcentuales de las tres series, la serie base 1986=100, la base 1993=100 y la empalmada.

Serie Empalmada Serie Serie Serie EmpalmadaBase 1993=100 Base 1986=100 Base 1993=100 Base 1993=100

- indice –-

- variaciones porcentuales -

1986 0,031987 0,76 2246,0% 2246,0%1988 11,15 1370,6% 1370,6%1989 75,80 579,9% 579,9%1990 97,43 28,5% 28,5%1991 99,38 2,0% 2,0%1992 101,91 2,6% 2,6%1993 100,00 -1,9% -1,9%1994 102,00 2% 2,0%1995 104,00 2% 2,0%1996 103,00 -1% -1,0%1997 106,00 3% 2,9%1998 109,00 3% 2,8%1999 112,00 3% 2,8%2000 120,00 7% 7,1%

- 34 -


Como se puede observar lo único que hace este procedimiento es mantener las variaciones porcentuales de cada serie. Es decir hasta 1992 las variaciones de la serie empalmada corresponden a la serie 1986=100, mientras que a partir de 1993 las variaciones son las de la serie 1993=100.

Hay que mencionar que lo anterior es válido porque estamos empalmando un simple número índice. Sin embargo en marco contable no es posible preservar las relaciones contables entre un agregado y sus componentes al mismo tiempo que se empalman por separado dicho agregado y sus componentes. Estas cuestiones las explicaremos mejor en la sección 5.3.

3.2.3 Desestacionalización

Hay series de precios, demanda o producción que experimentan variaciones en alza o baja reproducidas anualmente en los mismos períodos (meses, trimestres) por la incidencia de determinados factores. Así la demanda de ciertos productos experimenta un incremento en diciembre (consumos navideños) o en verano. La producción industrial y de algunos servicios declina en enero y febrero, meses de vacaciones, y la agrícola en diversos meses, según los productos de que se trate. Igual hecho se percibe en el movimiento turístico, interno o internacional, en el tráfico de cargas y pasajeros, etc.

Es importante conocer la existencia de dicha estacionalidad para interpretar correctamente el sentido de las variaciones de una serie y tener un conocimiento estadístico de ellas.

El cálculo de estas variaciones estacionales tiende a obtener las desviaciones en valor absoluto que se producen en cada mes del año con respecto a la media; o bien coeficientes estacionales que, aplicados a la serie sometida a factores estaciones, permite obtener otra serie corregida de tales fluctuaciones.

Veamos un ejemplo. En el siguiente gráfico se expone una serie trimestral de Producto Bruto Interno de un determinado país para el período 1993-1998.

Como se puede observar, siempre en el primer trimestre del año (señalado en gráfico con una línea) se produce una caída del Producto Bruto; por lo tanto se puede concluir que ese comportamiento es estacional.

Para obtener una serie que corrija este efecto, vamos a proceder de la siguiente manera. En primer lugar vamos a calcular para cada trimestre el promedio de los cuatro trimestres más cercano (ver columna B en el siguiente cuadro); por ejemplo el valor promedio obtenido para el IV trimestre del año 1993

- 35 -

200,0

220,0

240,0

260,0

280,0

300,0

320,0

I 93 III

I 94 III

I 95 III

I 96 III

I 97 III

I 98 III

Agustín Lódola

(240,6) surge de promediar los trimestres: II-93 (241,9); III-93 (242,9); IV-93 (245,9) y I-94 (232,9).

Luego del cociente entre el valor del trimestre y el valor promedio surge un índice que refleja una medida cuantitativa de la diferencia entre el valor que asume el Producto Bruto en ese trimestre y el valor promedio. Por ejemplo el índice para el IV trimestre de 1993 (1,018631) surge de dividir el valor el valor del PBI para ese trimestre (245,1) y el valor promedio obtenido para el mismo período (240,6).

En tercer lugar, el índice de desestacionalización de cada trimestre (ver al final del cuadro) se obtiene como un promedio de los índices de esos trimestres para cada uno de los años. Así, el índice para el primer trimestre (0,9559), es un promedio del índice del primer trimestre del año 1994 (0,952547), del año 1995 (0,954860), etc.

Producto Bruto InternoSerie con estacionalidad

PBI Con

Estacionalidad Variación % Promedio Índice

(A) (B) (A)/(B)

I 93 216,4

II 241,9 11,8%

III 242,6 0,3%

IV 245,1 1,0% 240,6 1,018631

I 94 232,9 -5,0% 244,6 0,952547

II 257,5 10,5% 247,3 1,041339

III 253,5 -1,6% 250,3 1,012624

IV 257,3 1,5% 251,6 1,022968

I 95 238,0 -7,5% 249,2 0,954860

II 248,1 4,3% 246,4 1,006855

III 242,2 -2,4% 243,2 0,996006

IV 244,5 0,9% 242,8 1,006722

I 96 236,6 -3,2% 246,0 0,961650

II 260,8 10,2% 251,0 1,038901

III 262,2 0,5% 256,6 1,021591

IV 267,0 1,9% 261,6 1,020790

I 97 256,4 -4,0% 266,8 0,960844

II 281,8 9,9% 272,3 1,034711

III 284,1 0,8% 277,4 1,023972

IV 287,5 1,2% 281,3 1,022204

I 98 271,7 -5,5% 286,1 0,949579

II 301,2 10,9% 288,4 1,044282

III 293,3 -2,6% 288,1 1,018020

IV 286,3 -2,4% 293,6 0,975037

Índices de Desestacionalización

Trimestre Índices

I 0,9559

II 1,0332

III 1,0144

IV 1,0095

- 36 -


Una vez obtenido el índice de desestacionalización para cada trimestre, se divide el valor del PBI para cada período por el índice respectivo. Eso se muestra en el siguiente cuadro:

Desestacionalización de la serie de PBI

PBI Con

Estacionalidad Variación %

Índice de desestacional

izaciónPBI Sin

Estacionalidad Variación

%

(A) (D) (A)/(D)

I 93 216,4 0,9559 226,4

II 241,9 11,8% 1,0332 234,1 3,4%

III 242,6 0,3% 1,0144 239,2 2,2%

IV 245,1 1,0% 1,0095 242,8 1,5%

I 94 232,9 -5,0% 0,9559 243,7 0,4%

II 257,5 10,5% 1,0332 249,2 2,3%

III 253,5 -1,6% 1,0144 249,9 0,3%

IV 257,3 1,5% 1,0095 254,9 2,0%

I 95 238,0 -7,5% 0,9559 248,9 -2,3%

II 248,1 4,3% 1,0332 240,1 -3,5%

III 242,2 -2,4% 1,0144 238,8 -0,6%

IV 244,5 0,9% 1,0095 242,2 1,4%

I 96 236,6 -3,2% 0,9559 247,5 2,2%

II 260,8 10,2% 1,0332 252,4 2,0%

III 262,2 0,5% 1,0144 258,4 2,4%

IV 267,0 1,9% 1,0095 264,5 2,3%

I 97 256,4 -4,0% 0,9559 268,2 1,4%

II 281,8 9,9% 1,0332 272,7 1,7%

III 284,1 0,8% 1,0144 280,0 2,7%

IV 287,5 1,2% 1,0095 284,8 1,7%

I 98 271,7 -5,5% 0,9559 284,2 -0,2%

II 301,2 10,9% 1,0332 291,5 2,6%

III 293,3 -2,6% 1,0144 289,1 -0,8%

IV 286,3 -2,4% 1,0095 283,6 -1,9%

3.2.4 Incidencia

En muchos casos no sólo es importante saber la evolución agregada que han tenido los precios de una determinada canasta de bienes, sino también conocer la influencia que cada uno de esos bienes tuvo en producir esa variación total. Por ejemplo en un índice de precios de las exportaciones ¿cómo influirá la suba del precio internacional del trigo? ¿y del precio internacional del petróleo?. La respuesta no sólo depende de la variación de precios que cada uno de estos bienes ha tenido, sino fundamentalmente del peso (ponderador) que ellos tienen en el índice. Pueden existir bienes cuyos precios hayan experimentado una gran variación, pero que tengan poco peso en el índice. Por el contrario, hay casos donde bienes que tienen gran peso hayan variado poco y por lo tanto no hayan influido en gran medida en la variación total. Por lo tanto, con la variación de precios de cada bien y su ponderador se puede obtener una variación ponderada, que dividida por la variación total, nos dé la incidencia de cada bien, es decir qué porcentaje de la variación total es explicada por dicho bien.

Por ejemplo, en el caso del índice de precios de los estudiantes, podríamos estar interesados en conocer cuál de los tres bienes ha tendido mayor influencia en determinar la variación total de precios. Para ello, de cada bien, necesitamos saber: a) la variación de precios que ha experimentado, y b) su ponderador.

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Agustín Lódola

Estos datos ya se obtuvieron, para el caso de Laspeyres, en una sección anterior, y se presentan en las cuatro primeras columnas de la siguiente tabla.

Bien Precios Variación Ponderador Variación Aporte a la 1988 1990 Ponderada

(Incidencia)variación total

(1) (2) (3) (4) (5)=(3)*(4)

Fideos 5 8 60% 20% 0,12 15%Libros 2 4 100% 64% 0,64 82%Alquileres 40 45 13% 16% 0,02 3%

Total 78% 100% 100%

Luego obtenemos la variación ponderada (columna 5) multiplicando la variación porcentual por el ponderador. Esta variación ponderada, conocida también como incidencia, indica la variación que hubiera tenido el índice si sólo hubiera variado ese ítems y los demás hubieran permanecido constante. En el ejemplo, se observa que si sólo hubiera variado el precio de fideos el índice hubiera crecido un 12%.

Por último dividiendo esta variación ponderada por la variación total (78%) se obtiene el aporte de cada bien a la variación total del índice. En este caso la variación de los libros explica el 82% de la variación de precios experimentada por los estudiantes.

3.2.5 Arrastre Estadístico

3.3 Utilización

Los índices de precios son importantes indicadores económicos y son muy utilizados para poder hacer comparaciones intertemporales y espaciales.

• Como indicadores económicos. Algunos índices de precios (como por ejemplo el que representa la variación del costo de la canasta de los consumidores) son la medida de la inflación más ampliamente usada y constituye un indicador importante de las tendencias económicas. Las autoridades económicas y monetarias utilizan las tendencias en este índice de precios para sus objetivos en la formulación de la política monetaria y fiscal. Además varios agentes del sector privado usan el índice como una guía para tomar decisiones económicas.

• Para hacer comparaciones intertemporales:

• Como deflactores de series macroeconómicas. Los índices de precios son utilizados para ajustar otras series económicas y expresar estas en pesos libres de inflación. Esto es de mucha utilidad cuando se desea comparar dos variables (producto bruto interno, consumo, exportaciones, etc.) que están valuadas a precios de diferentes años. Por ejemplo los índices componentes del IPC son también utilizados por las oficinas de estadísticas en todo el mundo para deflactar los gastos de consumo personal en la construcción de las cuentas nacionales, de esta forma los sesgos en el IPC podrían sesgar las medidas del crecimiento real y la productividad. (Los componentes del índice de precios mayoristas y los índices de precios de las exportaciones o importaciones también son usados para deflactar las cuentas nacionales, y presumiblemente sean afectados por los mismos sesgos).

• En los ajustes contables. La revaluación de activos y pasivos para propósitos contables requiere de índices de precios.

- 38 -


• En decisiones judiciales. Muchos pagos y cobros determinados por la justicia se refieren a períodos de tiempo muy distintos del momento en que se dicta la sentencia. En ese caso los índices de precios se utilizan para ajustar dichos montos a valores actuales.

• Como deflactores de ingresos y gastos de los hogares. En los análisis de distribución del ingreso puede ser útil expresar los ingresos o gastos de diferentes unidades económicas en unidades del mismo poder adquisitivo.

• Como medio de ajustar contratos. En épocas de inflación moderada o alta los índices de precios se utilizan para actualizar los pagos de salarios, pensiones, alquileres, etc.

• Para establecer o definir la línea de pobreza. La línea de pobreza es un ejemplo de otro importante indicador económico que es construido utilizando índices de precios.

• Para hacer comparaciones espaciales.

• Regionales. Los índices de precios pueden ser utilizados para realizar comparaciones entre ciudades, regiones, países, etc. Por ejemplo supongamos que necesitamos saber cuánto mayor o menor es el costo de vivir en la región norte del país, comparado con la región sur. Tales relaciones también se necesitan para comparar niveles de desarrollo económico o productividad.

• Internacionales. Otra comparación espacial muy utilizada es el tipo de cambio de paridad entre dos países, que mide el poder adquisitivo de una canasta de bienes en un determinado país respecto a otro.

En esta sección revisaremos cómo los índices presentados anteriormente cumplen esas funciones.

3.3.1 Series a precios constantes

Una de las principales aplicaciones de los índices de precios es utilizarlos para transformar una serie de alguna variable (por ejemplo salarios) que está valorizada a los precios de cada momento (precios corrientes) en una serie a precios constantes, es decir a precios de un solo año.

¿Por qué es útil esta operación?. El problema que tienen las series de variables a precios corrientes es que no es posible realizar una correcta comparación intertemporal, ya que las mismas no sólo tienen en cuenta variaciones físicas, sino también variaciones de precios. Por ejemplo supongamos que estamos analizando las ventas de un determinado negocio (una panadería), cuyos valores se exponen en la siguiente tabla:

Ventas de Pan Variación %

a precios corrientes

respecto año anterior

1990 250001991 30000 20%1992 40000 33%1993 44000 10%

La serie de ventas claramente presenta una tendencia creciente; en cada año las ventas fueron mayores que el año anterior. Ahora bien esta variación ¿es producto que la panadería vendió más kilos de pan, o que el precio por kilo subió, o una combinación de ambas situaciones?. Para responder esta pregunta será de utilidad deflactar la serie de ventas por un índice de precios; esto es dividir las ventas de cada año por el índice de precios de ese año. Al hacer este procedimiento obtenemos una serie de ventas de pan a precios constantes (los precios no cambian), y por lo tanto las variaciones que experimente esta

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Agustín Lódola

serie será exclusivamente variaciones de cantidad. En la tabla siguiente se expone el procedimiento y el resultado.

a precios corrientes Variación % Base 1990=100 Variación % a precios constantes Variación %

(a) (b) ( c) = (a)/(b)x100

1990 25000 100 250001991 37500 50% 150 50% 25000 0%1992 45000 20% 150 0% 30000 20%1993 45000 0% 300 100% 15000 -50%

Ventas de Pan Indice de Precios del Pan Ventas de Pan

Realicemos algunos comentarios respecto al cuadro anterior. Es claro que en el año 1991 las ventas de pan subieron exclusivamente por un incremento de los precios, que subieron un 50%. Por el contrario en el año 1992 el incremento de las ventas es exclusivamente a incrementos de las unidades; ya que los precios no variaron; por lo tanto la variación de las ventas a precios corrientes coincide con la variación a precios constantes (25%). Por último en el año 1993, si bien aparentemente no hubo modificaciones (la variación de las ventas a precios corrientes es nula) hay una combinación de variaciones de precios y cantidades de signo contrario; mientras los precios subieron un 100%, las variaciones a precios constantes disminuyeron un 50%.

Una vez presentado el procedimiento para deflactar una serie, es necesario aclarar que no todas las series se deflactan por el mismo índice de precios. En forma general, la posibilidad que tiene un determinado índice de precios de realizar deflaciones correctas se relaciona con uno de los criterios que forman en enfoque axiómatico. Más precisamente el criterio de reversión de factores. Éste, exige que el índice de precios, multiplicado por el índice de cantidad, sea igual al índice de valor nominal. En su forma “fuerte” este criterio exige que los dos índices (de cantidades y de precios) sean del mismo tipo. Se puede comprobar fácilmente que los índices Laspeyres no cumplen con esta propiedad.

Para comprender el significado de este proceso considérese la siguiente situación. Supongamos que estamos interesados en comparar el PBI de diferentes años que se hallan expresados a precios corrientes. Estando dicha magnitud expresada a valores corrientes, es decir según el nivel de precios vigentes en el período a que se refiere la variable, la comparación de los valores de los distintos años no es útil porque los datos están influenciados o distorsionados por la inflación. Para ello se quiere expresar toda la serie a precios de un año elegido, por ejemplo 1980. Además asúmase que se cuenta con la siguiente información:

PBIii IPj

80

1980 1.245 100,0

1981 1.480 108,0

1982 1.650 114,0

En el cuadro anterior se expone una serie de tres años del Producto Bruto Interno a precio corrientes y una serie de un índice de precios para el mismo período. Dejaremos de lado, por ahora, que tipo de índices de precios se refiere.

Obviamente que para el año elegido como base, 1980, el valor a precios corrientes coincidirá con el valor a precios constantes porque las cantidades de los dos años están valuadas a precios de 1980. Sin embargo, para el año 1981 se verifica que el PBI a valores corrientes es distinto que a valores constantes por la incidencia de la variación de precios, es decir:

- 40 -


8081

8081

8081

8181

IPPBIPBIPBI ∆×+= (3.20)

donde ∆ significa variación entre 1980 y 1981, expresada en tanto por uno (ej.: si el índice para 1980 es 100 y para 1981 es 110, la variación es 0,10).

Sacando factor común, obtenemos:

∆+×= 8081

18081

8181

PPBIPBI (3.21)

En palabras, el PBI del año 1981 a precios de ese año es igual al PBI del año 81 a precios del año base (1980) corregido por la variación de precios experimentada entre esos dos años, es decir entre 1980 y 1981

Ahora, consideremos lo que indica la variación de precios.

180

80

808180

81 −=∆P

PP

utilizamos que 1008080 =P , pasamos el 1 que está restando al otro lado de la igualdad y

obtenemos la siguiente expresión

1001

808180

81

PP =+∆

reemplazando esta última expresión en la ecuación (3.21) tenemos que:

( )

100

808181

81

8081PPBI

PBI×

=

despejando nuestra variable de interés, PBI8180 , es decir el Producto Bruto del año 1981 a precios

de 1980, tenemos que:

100

818180

81 8081

×=P

PBIPBI

En forma general es:

- 41 -

Agustín Lódola

100×=ocP

cc

PBIoc

PBI

En palabras, para transformar una variable que está en pesos corrientes en pesos constantes, es decir para deflactar una serie, hay que dividir dicha variable por el índice de precios correspondiente (y luego multiplicar por 100, dado que la base del índice es igual a 100).

Ahora bien, ¿qué significa índice de precios correspondiente?.

Antes que nada debemos decir que este tipo de índice de precios que se utiliza para deflactar las cuentas nacionales (como el PBI, el Consumo, la Inversión, etc.) se denomina índice de precios implícitos. En segundo lugar, debemos decir que el año base del índice debe ser el mismo que el año base de la serie considerada.

En tercer lugar, debemos destacar que no todas las series se deflactan por el mismo índice. Como vimos existen varios índices de precios, a tal efecto hay que seleccionar para cada serie el índice de precios cuya canasta este compuesta por los bienes que integran la serie que se quiere deflactar. En la mayoría de los casos esto no se puede hacer exactamente.

Verifiquemos cuál es la diferencia entre deflactar el Producto Bruto por un índice de precios tipo Laspeyres o por uno tipo Paasche.

Por ejemplo supongamos que tenemos el Producto Bruto del año 1991 a precios de ese año y lo queremos llevar a precios de un año base por ejemplo 1980.

Lo que tenemos es

PBI P Qi i9191 91 91= ∑

es decir un valor a precios corrientes, y queremos llegar a:

PBI P Qi i9180 80 91= ∑

Deflactemos primero por un índice tipo Laspeyres, este toma la forma de

∑∑=

8080

809180

91ii

ii

LQP

QPP

Para deflactar, como hemos visto hay que dividir el Producto en pesos corrientes, por el índice correspondiente:

Dividiendo obtenemos:

∑∑∑=

8080

8091

9191

80

91

9191

ii

ii

ii

L

QP

QP

QP

P

PBI

Como vemos no llegamos al objetivo buscado, sino que nos quedan en la fórmula precios y cantidades de dos años diferentes.

Sin embargo probemos, deflactar por un índice tipo Paasche:

- 42 -


∑∑∑=

9180

9191

9191

80

91

9191

ii

ii

ii

P

QP

QP

QP

P

PBI

Resolviendo, nos queda el objetivo buscado:

PBI P Qi i9180 80 91= ∑

En resumen, deflactar una serie de PBI con un índice tipo Laspeyres tiene problemas mientras que hacerlo por uno tipo Paasche, no presenta dificultades. El índice de precios de Paasche que se utiliza para obtener una serie de PBI a precios constantes se denomina Índice de precios implícitos en el PBI. Cada concepto que forma el PBI, como el Consumo (público y privado), la Inversión, las exportaciones y las importaciones tienen su índice de precios implícito correspondiente.

Un ejemplo

A continuación se exponen dos series de Producto Bruto Interno, de la economía argentina. La primera que surge de la metodología con base en 1970, abarca desde 1970 hasta 1990 (serie vieja) y la segunda que surge de la metodología con base en 1986, abarca desde 1980 hasta 1993 (serie nueva). Ambas están en pesos a precios corrientes. Se exponen también dos series de Índices de Precios Implícitos, una con base 1970=100 y otro con 1986=100.

Supongamos que se necesite obtener, para cada uno de los años del período 1980-1990, y de acuerdo a las dos series expuestas, el Producto Bruto Interno a precios constantes de 1986.

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Agustín Lódola

Producto Bruto Interno, en pesos, a precios corrientes

Índice de Precios Implícitos

Serie Vieja Serie Nueva Serie Vieja Serie Nuevabase 1970 base 1986 base 1970=100 base 1986=100

1970 0,88 100,001971 0,91 100,011972 2,07 223,001973 3,55 369,701974 4,87 479,601975 14,30 1.415,201976 75,87 7.537,501977 209,34 19.558,701978 523,42 50.606,501979 1.425,14 129.299,701980 2.833,70 3.840,00 254.302,90 0,041981 5.475,21 7.474,00 523.300,70 0,081982 14.761,33 21.852,00 1.493.759,00 0,231983 68.265,22 109.500,00 6.684.149,60 1,121984 528.100,00 790.920,00 53.638.483,90 7,941985 3.959.260,00 5.305.000,00 420.418.963,30 57,021986 7.430.900,00 9.984.190,00 746.334.924,80 100,001987 17.310.942,50 23.332.300,00 1.701.764.305,90 227,811988 78.479.345,00 111.062.000,00 7.922.995.549,90 1.105,191989 2.558.025.860,00 3.244.045.000,00 270.403.213.552,80 34.422,131990 51.564.374.960,00 68.922.274.000,00 5.427.524.194.918,50 730.852,071991 180.897.972.000,00 1.761.421,341992 226.637.598.000,00 2.031.039,441993 255.326.000.000,00 2.156.963,885

Fuente: Banco Central de la República Argentina y Ministerio de Economía

Para deflactar la serie Vieja (base 1970), primero se debe cambiar el período de referencia del índice de precios implícitos de esa metodología. Para ello se divide el índice de cada año, por el índice de 1986. De esta manera se obtiene una serie de índices de precios implícitos con período de referencia 1986, la cual se expone en la columna a) del cuadro siguiente. Luego se divide el PBI de cada año (en pesos corrientes) de la serie vieja, por el correspondiente índice de precios implícitos base 1986, obtenido en el paso anterior (columna a)). El resultado, una serie de PBI a precios constantes de 1986, se presenta en la columna b).

Para deflactar la serie Nueva (base 1986), se divide directamente el PBI de cada año a precios corrientes por el índice de precios implícitos correspondiente. Esta última ya esta en base 1986, tal cual como se pide. El resultado se expone en la columna c)

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Observando los resultados obtenidos, puede ser un interesante ejercicio responder por qué las dos series tienen diferentes valores para los mismo años.

3.3.2 Extrapolación

Para obtener una serie a precios constantes una alternativa al proceso de deflación es partir de los datos de un período determinado, y extrapolar ese valor por las variaciones ocurridas en los volúmenes físicos, de forma tal que los nuevos valores también representen volúmenes físicos. A este método se lo conoce como “extrapolación de los valores de un año base por índices de volumen físicos”.

Esto puede representarse de la siguiente manera

VCO = VC

C x IQO

O bien explicitando precios y cantidades:

)()()0

)

qp

qpqpqp

o

coooco ×

×××=×

Así como comprobamos que para deflactar correctamente hay que utilizar un índice de precios tipo Paasche, fácilmente podemos ver que para extrapolar la fórmula aplicable es la del índice de volumen de Laspeyres.

3.3.3 Actualización de contratos

Además de deflactar series macroeconómicas, los índices de precios son también utilizados para actualizar contratos como los de alquiler, jubilaciones, préstamos, etc.. En este caso el procedimiento es el inverso al anterior, ya que en lugar de expresar una variable a precios de un único año, el objetivo es mantener constante el poder adquisitivo de una cierta suma de dinero. Es el caso, por ejemplo, cuando se quiere compensar a los jubilados por los aumentos de precios experimentados por ellos.

Por ejemplo supongamos que en el mes de enero los jubilados cobraron una jubilación de $250 y se conoce el índice de precios correspondiente a la canasta consumida por ellos para el período enero-diciembre. Con estos datos podemos obtener el valor que cada mes tendría que cobrar cada jubilado, de manera de mantener su poder adquisitivo constante.

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Año Índice de Precios Implícitos

Serie Vieja Serie Vieja Serie Nuevabase 1986=100

(a) (b) ( c)1.980 0,03 8.316.409,44 10.378.378,381.981 0,07 7.808.779,34 9.706.493,511.982 0,20 7.375.281,51 9.418.965,521.983 0,90 7.622.318,60 9.785.522,791.984 7,19 7.348.072,60 9.962.463,791.985 56,33 7.028.545,98 9.303.263,601.986 100,00 7.430.900,00 9.984.090,161.987 228,02 7.591.980,23 10.241.820,081.988 1.061,59 7.392.642,81 10.049.104,551.989 36.230,81 7.060.360,02 9.424.300,041.990 727.223,67 7.090.579,89 9.430.400,00

en pesos de 1986

Producto Bruto Interno

Agustín Lódola

Actualización de Jubilaciones

Jubilación (en $)

Índice de Precios (base ene=100)

Jubilación actualizada (en $)

(a) (b) (c)= (a)*(b)/100

Enero 250 100 250,0Febrero 110 275,0Marzo 112 280,0Abril 114 285,0Mayo 119 297,5Junio 123 307,5Julio 126 315,0Agosto 135 337,5Septiembre 142 355,0Octubre 160 400,0Noviembre 172 430,0Diciembre 190 475,0

Variación % ene-dic 90,0% 90,0%

Al igual que el caso anterior, no todos los índices se pueden utilizar para actualizar los diferentes contratos. En el caso de los jubilados, el índice de precios tendría que reflejar las variaciones de precios de una canasta de bienes y servicios consumidos por ellos.

3.3.4 Paridad de Poder de Compra del Consumidor

Si bien los índices de precios se utilizan con mayor frecuencia para comparaciones intertemporales, es decir para seguir la evolución en el tiempo de precios correspondiente a una unidad económica; son también de gran utilidad para comparar precios en diferentes lugares (regiones, países, etc.).

Así como vimos que un índice de precios permite transformar a una serie en precios corrientes (nominales) en una a precios constantes (reales), los índices espaciales permiten separar cualquier diferencia de valor en un índice de cantidad, que refleje diferencias reales entre países o regiones y un índice de precios, que refleje diferencias monetarias.

A modo de ejemplo, consideremos dos regiones A y B. Supongamos que las dos regiones presentan el mismo valor para el gasto de consumo de alimentos (o, alternativamente, la misma participación del gasto de consumo en alimentos en el gasto total). Podría suceder que la región A enfrente altos precios y que por lo tanto consuma bajas cantidades de alimentos, mientras que la región B tenga bajos precios y consuma elevadas unidades de alimentos. Si no se tiene en cuenta las diferencias de precios existentes entre ambas regiones no se puede separar estos efectos. En cambio, al tenerlas en cuenta se pueden obtener valores del consumo en ambas regiones comparables en términos reales. En forma similar, si el gasto de consumo en alimentos de ambas localidades es muy diferente, es de interés determinar en qué medida esas diferencias se deben a distintas cantidades consumidas y en que medida se deben a diferencias de precios.

En forma analítica, si queremos comparar las regiones A (tomada como referencia) y B, para un producto dado i, podemos escribir el cociente del gasto de cada región en ese producto como:

iA

iB

iAiA

iBiB

GG

qpqp

=

- 46 -


donde q se refiere a las cantidades, p a los precios y G al gasto.

Reorganizando los términos tenemos que:

AiB

iA

iB

iA

iB

iA

iB

iA

iB

PPCGG

ppGG

qq

/

==

donde PPC es la paridad de precios para este bien. El término de la izquierda da una medida de las cantidades consumidas del producto i en la región B en la relación a la región A.

Si se divide el gasto de la región B en el item i (EIB=pibqib) por la paridad de precios obtenemos

iBiA

iA

iB

iBiB

AiB

iBiB qp

ppqp

PPCqp

==/

donde piaqib representa las cantidades gastadas en el producto i por la región B valuadas a los precios de la región de referencia A.

[poner el ejemplo de los estudiantes, comparar los precios de los tres bienes en el lugar donde está la facultad versus el lugar de origen].

3.3.5 Como sustituto de tipo de cambio

En las comparaciones internacionales, la comparación entre diferentes regiones tiene las complicaciones adicionales de que los valores están expresado en diferentes monedas. Por lo tanto una tarea previa a cualquier comparación es transformar todos los valores en una moneda homogénea.

3.3.6 Comparaciones espaciales versus intertemporales de precios

Las comparaciones de precios en el tiempo y en el espacio tienen un conjunto de similitudes y diferencias, que será útil resaltar para interpretar correctamente los indicadores correspondientes.

Al igual que en las comparaciones intertemporales, los índices de precios espaciales son útiles para separar, cuando se comparan dos valores (ingreso, consumo, etc. de diferentes regiones), cuanto esos valores difieren por cuestiones “reales”, es decir cuánto se debe a distintas unidades físicas; y cuanto es por diferencias “monetarias”, es decir por diferencia en los precios de esas unidades.

En las comparaciones intertemporales, por ejemplo, un índice de precio es útil para deflactar los ingresos monetarios de los trabajadores, y de esta forma saber cómo ha evolucionado el ingreso “real” o el poder adquisitivo de ese salario.

De la misma forma, un índice espacial de precios, es decir un índice que relacione los precios de una región con los de otra, servirá para saber la diferencia “real” entre salarios de dos regiones diferentes.

Las similitudes también se aplican a las limitaciones que tienen ambos índices. Los índices intertemporales de precio no constituyen índices de costo de vida, ya que no reflejan el costo de alcanzar un nivel constante de satisfacción en el tiempo, sino que en su lugar indican la variación en el tiempo del costo de una canasta fija de bienes y servicios. Por lo tanto no tienen en cuenta, entre otras cuestiones, la sustitución que realizan los consumidores en el tiempo, en búsqueda de alcanzar un cierta satisfacción al mínimo costo. Tampoco distinguen correctamente los cambios de calidad de los bienes.

Los índices espaciales de precios también tienen estas limitaciones. Ellos no miden el costo de alcanzar un dado nivel de satisfacción en diferentes regiones, sino simplemente lo que hacen es comparar el costo de una canasta de bienes y servicios en regiones diferentes.

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Agustín Lódola

El problema de la canasta de referencia, que existe en las comparaciones intertemporales, se hace más evidente en las comparaciones espaciales. Cuando trata de comparar el costo de una canasta de bienes en dos regiones distintas (A y B), ¿cuál será la canasta de referencia?, ¿la canasta representativa de la región A, de la región B, de una región C, un promedio de A y B?

Pollak (1989), aunque para un contexto más general9, da una pista para responder esta pregunta. Supongamos que se está comparando precios de Tokio con Paris. El gobierno japonés, que está considerando cuanto pagar a su embajador en Paris, presumiblemente utilizará la canasta representativa de Tokio, mientras que el gobierno francés, utilizará la canasta representativa de Paris. Pero supongamos que el gobierno norteamericano quiere comparar precios en Paris y Tokio para establecer las diferencias salariales para sus diplomáticos. La comparación podría realizarse con la canasta representativa para Estados Unidos.

Hay una diferencia entre los cálculos de los índices intermporales con el cálculo de los índices espaciales de precios. Mientras los primeros mantienen en el tiempo la canasta y las ponderaciones; en el segundo la canasta es la misma; pero las ponderaciones son distintas. PENSAR LAS IMPLICANCIAS DE ESTE PUNTO.

Hay que tener cuidado con la utilización que se le da a la paridad de poder de compra. Por ejemplo puede suceder que los precios de ciertos bienes (transporte público, alimentos consumidos fuera del hogar) estén mas altos en el interior de la Provincia que en el Conurbano. Hasta aquí parece recomendable que si uno quiere mantener el mismo poder adquisitivo en la provincia de cierto plan social, debería otorgar un monto de dinero mayor en el interior que en el Conurbano.

Sin embargo, lo anterior lo tiene en cuenta las cantidades necesarias en ambas regiones para alcanzar la misma satisfacción. Puede suceder que en el conurbano de dicho bien (transporte público) se necesiten más unidades que en el interior de la Provincia y por lo tanto el gasto total en dicho bien sea mayor.

Una conclusión de lo anterior es que tal vez sería más conveniente calcular las paridades elementales. Luego para cada objetivo en particular se tendría que obtener cantidades y así tomar la decisión correspondiente. Por ejemplo uno podría calcular la paridad de precios de los lácteos, pantalones, y libros. Luego si la provincia quiere dar un subsidio, de forma tal de que los beneficiarios puedan acceder en sus respectivos lugares a comprar las mismas cantidades, solo tiene que multiplicar cantidades por precios elementales en cada región.

3.4 Los Indices de Precios en Argentina

En Argentina la oficina responsable de la elaboración de los índices de precios oficiales es el Instituto Nacional de Estadísticas y Censos (INDEC), dependiente del Ministerio de Economía de la Nación. Este organismo elabora cuatro grupos de índices de precios principales: el índice de precios al Consumidor (IPC), el sistema de Índices de Precios Mayoristas (SIPM), el índice de costo de la construcción (ICC) y los índices de precios del Comercio Exterior. Otros índices de precios relevantes son el índice de Paridad de Poder de Compra del Consumidor que calcula el ÍNDEC y los índices de precios implícitos de las cuentas nacionales que elabora la Dirección Nacional de Cuentas Nacionales. Seguidamente resumiremos los principales aspectos metodológicos de estos índices y su evolución en los últimos años.


9 Pollak, en su artículo se refiere al orden de preferencia dado que trata un índice de costo de vida y no a una canasta de bienes.

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4 LA TEORIA DE LOS ÍNDICES DE PRECIOS

Hasta aquí se han tenido en cuenta algunos aspectos prácticos de la construcción de los índices de precios. En otras palabras, ya sabemos qué es lo que estamos midiendo, pero ¿Qué es lo que deberíamos medir?. Como veremos hay diferentes enfoques para contestar a esta pregunta (sección 4.2), pero antes de estudiarlos, recordemos ciertos conceptos básicos y notación (sección 4.3). Luego sintetizaremos otros aspectos teóricos que tienen que ver los índices grupales (sección 4.4), índices espaciales (sección 4.5) e índices de precios de producción (sección 4.7). Sobre cada uno de ellos en primer lugar presentaremos los principales argumentos teóricos y luego se compararán con los índices “prácticos” vistos anteriormente.

4.1 El problema de los números índices

En una forma rigurosa, la gran cuestión de los números índices se puede explicar, siguiendo a Diewert (1987), de la siguiente manera.

Consideremos que tenemos precios, resumidos en el vector pi = (p1i,....pn

i) y cantidades, resumidas en el vector qi = (q1

i,....qni) de un conjunto de N bienes correspondientes (ya sea por ser consumidos,

producidos, etc.) a la unidad económica i (p.e: familia i) o a los períodos de tiempo i (para i=1,2,....I) de una misma unidad económica. El problema de los números índices es hallar I números Pi e I números Qi tal que:

∑ =≡= N

nin

in

iiii qpqpQP1

Pi es el índice de precios para el período i (o la unidad i) y supuestamente es representativo de los precios de los N bienes (consumidos, producidos, etc.) de la unidad económica i o del período de tiempo i para una misma unidad económica. Mientras tanto Qi es el correspondiente índice de cantidad y supuestamente también representativo de las cantidades qn

i (para n=1,....,N). Sin embargo no es evidente en qué preciso sentido tanto P como Q son representativos de los precios y cantidades respectivamente, y por lo tanto existen diferentes enfoques de números índices como veremos a continuación.

Además de existir diferentes enfoques, la teoría de los números índices se divide naturalmente en dos partes, de acuerdo a la dimensión de I. Cuando I=2, es decir los datos se refieren a dos períodos de tiempo o a dos unidades económicas, estamos en la teoría de los números índices bilaterales. En otro caso, cuando I>2, entonces nos ubicamos en la teoría de los índices multilaterales.

Aunque no se ha mencionado, toda la primer parte de estos apuntes hicieron referencia el enfoque bilateral. Esto no fue casualidad. Como se mencionó en la introducción, nuestra idea en esas secciones fue referirnos a los aspectos de la construcción u utilización de los números índices más cercanos con la práctica habitual de las oficinas de estadísticas del mundo. Justamente esa práctica se relaciona con la dimensión bilateral de la teoría de los números índices. La gran mayoría de los índices publicados por estas oficinas son bilaterales. La incorporación de las fórmulas multilaterales la trataremos en la tercera parte de estos apuntes, donde nos referiremos a los métodos que están analizando para acercar la práctica a la teoría.

4.2 El Enfoque axiomático

El enfoque axiomático iniciado por Walsh (1901) y Fisher (1922) hace énfasis en las propiedades matemáticas de los números índices. En este sentido comienza con una lista de propiedades consistentes que debe satisfacer el índice propuesto. Independientemente de los modelos económicos en los que se los quiera insertar, esta literatura sobre números índices se refiera a sus propiedades matemáticas. Por ejemplo Fisher (1922) desarrolló varios criterios o propiedades que deberían tener los números índices para poder considerarse válidos.

Como hemos visto un índice, que mide la evolución de los precios entre el período “o” y el período

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Agustín Lódola

“c” se define en general como una función de los precios y cantidades de esos dos períodos: IP= IP(p0, pc, qo, qc). Específicamente el índice de precios de Laspeyres se define como PL= PL (p0, pC, qo), mientras que el índice de Paasche es PP= PP (p0, pC, qC). (Ver Pollak, 1989).

4.2.1 Propiedades de un índice de precios

i) Identidad. Si los precios del período considerado (pc) y los precios del año base (po) son iguales, entonces el valor del índice tiene que ser igual a 100.

IP(p, p, qo, qc) = 100

Este criterio lo cumple el Índice de precios de Laspeyres pero no el de Paasche.

ii) Monotocidad en precios del período corriente. Si algún precio del período corriente se incrementa, entonces el índice debe incrementarse.

IP (p0, p1) > IP (po, p2), si p2>p1

iii) Monotocidad en precios del período base. Si algún precio del período base se incrementa, entonces el índice debe disminuir.

IP (p0, p1) > IP (p, p1), si p>p0

iv) Proporcionalidad I. Si los precios del año que se está considerando son proporcionales a los precios del año base, entonces el valor del índice es igual al factor de proporcionalidad. Trivialmente, si los precios no cambian, respecto al período base, el índice del período t debe valer 100, igual que en la base. Si todos los precios se duplican, el índice debe valer 200.

IP(po, k po, qo, qc) = k x 100

v) Proporcionalidad II. Si los precios del año base son proporcionales a los precios del año que se está considerando, entonces el valor del índice es el reciproco del factor de proporcionalidad.

IP( K pc, pc, qo, qc) = 1/ k x 100

vi) Proporcionalidad III. Si los precios corrientes y los precios del año base son ambos multiplicados por un factor común, entonces el valor del índice no cambia.

IP( k po, k pc, qo, qc) = IP( po, pc, qo, qc)

vii) Reversibilidad Temporal. Si los precios del año base y los del periodo corriente son intercambiados, entonces el nuevo índice es el reciproco del viejo. De la clase de índices de canasta fija el único que cumple esta propiedad es el de Fisher que veremos en la próxima sección.

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IP (pc, po) = 1/ IP (po,pc)

viii) Circularidad. Esta propiedad va más allá del caso de sólo 2 períodos o dos lugares (países, ciudades, etc.). Dice que si tenemos precios y cantidades de tres períodos, entonces si multiplicamos el índice de precios que considera el período 1 y 2 por el índice de precios que considera el período 2 y 3, esto será igual a un índice de precios que considere al período 1 y 3.

ix) Aditividad. La aditividad es un caso específico de la consistencia en la propiedad de agregación de los números índices. Consistencia en la agregación significa que un agregado puede ser construido tanto directamente por agregación de los ítems más detallados, como indirectamente agregando los subagregados, usando la misma fórmula de agregación. (ver Manual de Cuentas Nacionales Trimestrales del FMI).

Si bien conocer las propiedades de las distintas fórmulas utilizadas para construir números índices es útil para evaluar los mismos, el enfoque axiomático no puede proveer una respuesta satisfactoria a la cuestión de que es lo que intentamos medir cuando usamos números índices.

Además el resultado final de este enfoque es meramente un teorema de la imposibilidad: Ningún número índice satisface todos los test razonablemente. Esto no es sorprendente. Un número índice está obligado a resumir en un escalar la información que es comúnmente dada por un vector (Fisher y Shell, 1998). Por ejemplo el PBI es una medida escalar del producto interno que resume un vector de varios bienes de consumo, de inversión y públicos producidos por la economía doméstica. Así cualquier índice escalar es improbable que tenga todas las propiedades que uno querría a causa de que éste no puede perfectamente sintetizar la información provista por el vector de desagregados.

Por contraste el enfoque económico para la construcción de números índices intenta atacar el problema en términos de lo que la teoría económica sugiere de lo que realmente hay que medir. Este enfoque se basa en la teoría de la unidad económica relevante, tal como el consumidor, la firma, la industria o la economía en su conjunto.

En la teoría del consumidor este enfoque está bien desarrollado. Konus (1924) definió el verdadero índice de costo de vida – un índice de precios basado en la teoría del consumidor que idealmente construiría en un mundo con información completa.

4.2.2 El enfoque axiomático y los índices de precios usuales

Circularidad

En esta parte estudiaremos algunas implicancias de los números índices que no cumplen la propiedad de circularidad. Esto será muy relevante para armar series de tiempo. La ausencia de esta propiedad impide, entre otras cosas, usar el índice para comparar entre sí períodos cualesquiera. Será conveniente comenzar con un ejemplo. Siguiendo con nuestro índice de precios de los estudiantes, agregamos datos para algunos años más. Éstos se muestran en la tabla que sigue:

1988 1990 1991 1992 1988 1990 1991 1992

Fideos 10,0 11,0 12,0 12,0 5,0 4,0 3,0 2,0Libros 80,0 50,0 70,0 100,0 1,0 4,0 2,0 1,0Alquileres 1,0 1,0 1,0 1,0 20,0 45,0 50,0 60,0

BienPreciosCantidad

Calculemos ahora los índices de precios de cada año, utilizando la fórmula de Laspeyres, pero tomando como base a un año distinto. En la siguiente tabla se resumen los distintos índices de precios para los diferentes años bases.

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Agustín Lódola

Año Considerado/Período 1988 1990 1991 1992

1988 100,0 43,3 66,4 97,81990 270,0 100,0 165,0 267,91991 160,0 63,3 100,0 155,41992 106,7 45,7 68,1 100,0

1988/1990 170% 131% 149% 174%1990/1991 -41% -37% -39% -42%1991/1992 -33% -28% -32% -36%1988/1992 7% 6% 3% 2%

Indices

Variaciones Porcentuales

Año Base

En la primer parte de la tabla anterior, se exponen los índices de precios y en la segunda las variaciones porcentuales entre distintos períodos. Por ejemplo en la columna titulada “1988”, el número 160 corresponde al índice de precios del año 1991, tomando como base a 1988. En la misma columna, la variación indicada en primer lugar (170%) corresponde a la variación porcentual de precios entre 1988 y 1990.

Como puede observarse, dependiendo del año base elegido, la variación porcentual entre dos años, puede ser distinta. Por ejemplo, la variación porcentual de precios entre 1988 y 1992, puede ser 7% si se toma como año base a 1988 o 2% si se toma como año base a 1992.

Supongamos que elegimos como base al año 1988. Los datos de la tabla anterior nos dicen que entre 1988 y 1990 los precios subieron 170% y que entre 1988 y 1992 los precios subieron un 7%. Sin embargo ¿qué pasó entre 1991 y 1992?. El índice pasó de 270 a 160, ¿es legítimo decir que los precios han caído un 33% en ese período?. A decir verdad, o lo que bajó en ese porcentaje es la canasta de bienes del año base (1988), pero en los años 1991 y 1992 posiblemente los estudiantes utilizaban otras canastas. Y observemos que si tomamos como base al año 1991, los precios cayeron 32% entre esos dos años, pero si optamos por el año 1992 como base, la variación de precios fue negativa en 36%.

En sentido estricto con este tipo de índices no se puede comparar el costo de vida de períodos sucesivos. Sólo se puede comparar cada período con el base. Un índice de Laspeyres nos dice cuánto varió el precio de su canasta fija entre dos períodos cualesquiera, pero no puede ser usado para medir inequívocamente la tasa de variación de una canasta de un mes respecto al mes anterior, o respecto al año anterior, que son sus usos más frecuentes.

Esto no sólo sucede con la fórmula de Laspeyres, sino con casi todas las fórmulas usuales y el enfoque axiomático argumentaría que se debe a que dichas fórmulas no cumplen con la propiedad de circularidad.

Como sugiere Polak (1989), estos problemas surgen más claramente en comparaciones espaciales (entre países, regiones, etc.). Por ejemplo para construir un índice de costo de vida para comparar los precios en Paris con los de Tokio, debemos establecer las preferencias en las cuales basaremos la comparación. El gobierno japonés, que necesita saber cuánto pagarles a sus diplomáticos en Paris, posiblemente le convenga utilizar las preferencias japonesas, mientras que por el contrario el gobierno francés utilizará seguramente las preferencias y gustos de los franceses. Pero supongamos que Estados Unidos desea comparar los precios en Paris y Tokio para decidir cuánto pagarles a sus diplomáticos. En ese caso podría utilizar las preferencias norteamericanas. Por lo tanto, dependiendo del propósito, la base irá cambiando.

En las cuestiones intertemporales tampoco la cuestión es clara. Antes esto surge un problema: ¿qué año elegimos como año base?. Diewert (1987) describe cuatro estrategias alternativas para seguir:

i) elegir la primer observación como año base. Esto es lo que reflejan las series construidas por las oficinas de estadísticas que fijan un año base y lo cambian cada 5 o 10 años.

ii) Tomar un promedio de todos los años de la serie. Esta alternativa tiene el problema de

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que la serie debe ser reestimada al agregarse un año.

iii) Abandonar el uso de fórmulas bilaterales y desarrollar un nuevo enfoque multilateral. Utilizar índices multilaterales puede solucionar el problema de la falta de circularidad, pero igual que en el caso anterior, los índices deberán ser reestimados cada vez que se agrega un nuevo período de tiempo.

iv) Utilizar índices encadenados. De esta forma primero elegimos alguna de las fórmulas para construir un índice de precios IP. El índice de precios en el período 1, o de referencia, es igual a 100; y el índice de precios del período 2 es igual a IP(p1, p2, q1, q2). Luego el índice de precios del período 3 es igual a IP(p1, p2, q1, q2)x IP(p2, p3, q2, q3), es decir el índice de precios del período 3 es igual al índice de precios del período 2, tomando como base, y por lo tanto ponderando por, las cantidades del período 2, multiplicado por el índice de precios del período 3, tomando como base las cantidades del año 2; y así sucesivamente.

Aditividad y los índices de precios usuales

4.3 El enfoque económico

4.3.1 El índice de costo de vida

La teoría económica ha sido muy utilizada para especificar la construcción de índices de precios y de volúmenes. El tratamiento moderno esta originado en un artículo publicado en las primeras décadas del siglo por el matemático y economista ruso A.A. Konus (1929).

La teoría de los números índices comienza con la proposición que un índice de precios al consumidor debería medir el cambio en el costo de mantener un estándar de vida constante. Si el índice de precios mantiene constante el estándar de vida, cualquier incremento en los gastos de consumo per capita que excede el incremento en el índice de precios puede ser interpretado como un incremento en el estándar de vida. Inversamente si el consumo per capita aumenta más lentamente que el índice de precios, el estándar de vida o consumo per capital real, esta cayendo. El consumo real, tanto per capita como agregado, puede ser expresado como un índice de cantidad, que es la contraparte del índice de precios al consumidor (esto se detalla mas adelante).

Así, desde la orientación del estándar de vida, el índice de precios mide el cambio en el costo de mantener constante un estándar de vida, y el índice de cantidad mide incrementos o decrementos en el estándar de vida.

En forma más concreta se puede decir que dada una función de utilidad de un consumidor denotada por U(q, q,....)=U(q). Se define la función de gasto del consumidor como la solución al siguiente problema de minimización

C(u,p)= min {p.q: U(q)≥ uR}

Donde p = (p1, p2, ...) es un vector de precios positivos que enfrenta el consumidor y uR es un nivel de utilidad de referencia que debe ser alcanzado.

El índice de precios de Konus (IPK) entre el período 0 y t para un nivel de utilidad de referencia igual a U se define como:

),(

),(0puC

puCIPK

tot =

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Agustín Lódola

Los índices de precios tipo Laspeyres mantienen constantes los bienes que se consumían en el año base, como una forma de mantener fijo el estándar de vida de ese año.

Sin embargo la teoría del índice de costo de vida explica que los consumidores pueden alcanzar el mismo estándar de vida de varias formas. Los consumidores pueden sustituir entre bienes que tienen similares propósitos (por ejemplo, carne o pescado) o aun entre bienes que tienen fines diferentes (un nuevo auto por unas vacaciones). La sustitución implica que diferentes conjuntos de bienes y servicios pueden representar equivalente estándar de vida. Además, los datos indican que los consumidores sustituyen aquellos bienes y servicios que se vuelven relativamente10 más caros por aquellos bienes y servicios que se hacen relativamente más baratos.

Por lo tanto, teniendo en cuenta lo anterior, un índice de precios al consumidor que verdaderamente represente un costo de vida tendría que estar basado en el costo de un conjunto de bienes y servicios que representen un estándar de vida equivalente y que este índice no debería mantener constante la canasta de bienes y servicios.

Además, como los consumidores sustituyen bienes cuyos precios crecen más rápidamente por bienes cuyos precios suben mas lentamente, el costo de mantener un estándar de vida equivalente aumenta menos rápidamente que el costo de una canasta fija de bienes que fueron consumidores en el año considerado como base.

Por ejemplo, cuando utilizamos para medir la variación de precios entre 1988 y 1999, una canasta fija de bienes consumidos en 1988 otorga demasiado peso a los precios que han crecido más rápidamente en el período y demasiado poco peso a bienes cuyos precios han crecido más lentamente; como resultado este indicador sobreestima el cambio en el costo de vida entre 1988 y 1999. Inversamente, utilizando una canasta fija de bienes consumidas en 1999 daría demasiado peso a los precios que han caído en el período considerado y demasiado poco peso a los bienes cuyos precios han crecido más rápidamente; como resultado este indicador subestimaría la variación en el costo de vida.

En resumen, ante un incremento de precios, el índice de costo de vida es igual al monto del ingreso monetario que requiere el consumidor para disfrutar de la situación anterior a la variación de precios. Este monto depende, no sólo de las preferencias del consumidor, o de su mapa de indiferencia, sino también de sus niveles iniciales de ingresos y gastos. Por lo tanto el valor del índice teórico es diferente para consumidores con distintas preferencias y también para individuos con las mismas preferencias pero con ingresos diferentes.

Otro problema que se encuentra en la discusión de un índice de costo de vida tiene que ver con los bienes y servicios provistos gratuitamente por el Estado. Supóngase que el Estado decide reducir los impuestos sobre los bienes de consumo, con lo cual se reducen sus precios, y cobrar sin subsidios el costo de prestación de determinados bienes que se ofrecían gratuitamente como educación o salud. Teóricamente el costo de vida no debería alterarse (aunque la gente compraría más de bienes de consumo que se han abaratado y utilizaría menos bienes públicos que se han encarecido). Pensemos en un diagrama de curvas de indiferencia y recta de presupuesto en un contexto de bienes públicos (eje de las abscisas) y bienes privados (eje de las ordenadas). Ese cambio modificaría la pendiente de la recta de presupuesto pero sería tangente a la misma curva de indiferencia.

Ahora supóngase que el Estado decide cobrar por los servicios de educación y salud pero en lugar de reducir los impuestos sobre los bienes, resuelve reducir en cambio el impuesto sobre el ingreso. El efecto sobre el bienestar del consumidor sería nulo, igual que en el caso anterior. Pero el índice de costo vida registraría un aumento pues algunos bienes (los bienes públicos) se encarecerían sin que otros bienes se abaraten. Lo que aumentaría serían los ingresos netos (después de deducir los impuestos), pero ello no se registra en el índice de ponderación fija tipo Laspeyres.

4.3.2 El enfoque económico y los índices de precios usuales 11

Es claro entonces que el índice de precios del tipo Laspeyres, utilizado para medir el cambio de precios en la mayoría de los países del mundo, no es un índice de costo de vida. Tampoco un índice construido con la fórmula de Paasche cumple este requisito, ya que también en este índice la canasta es fija. Ahora bien, ¿Cuál es la relación entre estos tres indicadores?.

El propósito de un índice de precios al consumidor (IPC) es medir el cambio promedio en los

10 Hacemos hincapié en esta palabra: relativamente, para sustituir bienes no es suficiente que el bien se haga más caro, sino que suba de precio más que los otros.11 Esta sección se basa en Deaton y Muellbauer (1980)

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precios pagados por las familias por una canasta fija de bienes y servicios mientras mantiene constante la calidad. Acorde a la teoría del comportamiento del consumidor, el IPC puede ser considerado como una aproximación al Índice de Costo de Vida por el índice de precios de Laspeyres. El índice de costo de vida es definido como la razón entre el gasto mínimo requerido para alcanzar un nivel particular, o nivel de utilidad, entre dos puntos del tiempo.

Sea uR un nivel constante de utilidad del consumidor y C(pt, UR) el monto mínimo de gasto necesario para alcanzar este nivel de utilidad bajo el vector de precios pt. Luego el índice de costo de vida (ICV) en el momento “c” relativo al momento “0” se define como:

ICV10 (uR) = C(pc, uR) / C(p0, uR) (1)

El índice de precios para un dado vector de consumo qR, que minimiza el gasto de la familiar bajo el vector de precios del período de referencia, mientras mantiene el nivel de utilidad uR, se define como

IPco (pc, p0, qR) = pc qR / p0 qR (2)

Los índices de Laspeyres y Paasche pueden ser definidos respectivamente como

IPLc0 = pc q0 / p0 q0 (3)

IPPc0 = pc qc / p0 qc (4)

Teniendo en cuenta estas ecuaciones, se puede derivar las relaciones entre ellas.

Entre los índices de Laspeyres y de costo de vida, se cumple la siguiente ecuación:

IPLc0 = pc q0 / p0 q0 ≥ C(pc, u0) / C(p0, u0) = ICVc

0(u0) (5)

Primero, el denominador de ambos lados de esta ecuación es idéntico por definición. Segundo, mirando el numerador de ambos lados, se encuentra que pcq0 es mayor o igual a C(pc, u0). Esto de debe a que i) por un lado, el vector de consumo q0 no necesariamente minimiza el gasto para el vector de precios pc, aunque permita alcanzar el nivel de utilidad u0; ii) por otro lado, C(pc,u0) es el monto de gasto mínimo necesario para alcanzar el mismo nivel de utilidad u0 bajo el vector de precios pc

Por argumentos similares, puede derivarse la siguiente ecuación entre el índice el índice de Paasche y el índice de costo de vida:

IPPc0 = pc qc / p0 qc ≥ C(pc, uc) / C(p0, uc) = ICVc

0 (uc) (6)

En las siguientes figuras, en el contexto de dos bienes, pueden verse las relaciones entres estos tres índices más intuitivamente.

Primero la Figura 1 muestra la relación entre el índice de costo de vida y el índice de Laspeyres. En el momento inicial, un consumidor maximiza su utilidad en el punto E0, donde la recta de presupuesto AB y la curva de indiferencia para el nivel de utilidad u0 son tangente. Cuando los precios de q1 se incrementa, la recta de presupuesto cambia a AC. Ahora el equilibrio del consumidor se mueve a E1, que significa alcanzar un nivel de utilidad menor uc. A fin de alcanzar el nivel de utilidad inicial u0 bajo este nuevo conjunto de precios relativos con gasto mínimo, debe alcanzar la combinación E2, y la nueva recta de presupuesto intersecta al eje y en el punto J. Por otro lado, si fuera necesario alcanzar la combinación E0

para alcanzar el mismo nivel de utilidad, los nuevos precios relativos harían que la recta de presupuesto

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Agustín Lódola

intersecta el eje y en el punto K. Desde que los precios del bien 2 se mantienen constante, la razón de distancias al origen OJ/OK es la razón de gasto para alcanzar el nivel de utilidad u0 con y sin minimización de gastos.

FIGURA 1 – INDICE DE COSTO DE VIDA Y EL ÏNDICE DE LASPEYRES

En otras palabras, el índice de precios de Laspeyres y el índice de costo de vida son respectivamente definido por

IPLc0 = pc q0 / p0 q0 = OK / OA (7)

ICVc0 (u0) = C(pc, u0) / C(p0, u0) = OJ/OA (8)

Y genera que

OK/OA > OJ /OA (9)

Así el índice de Laspeyres es mayor o igual que el índice de costo de vida.

De igual forma observando la figura 2, el índice de Paasche y el índice de costo de vida puede definirse como:

IPPc0 = pc qc / p0 qc = OA/M (10)

ICVc0 (uc) = C(pc, uc) / C(p0, uc) = OA/OL (11)

En consecuencia

OA/OM ≤ OA/OL (12)

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Q2

K

J

E2 A

E

1 E

0

U0

U

R

C B Q1


Por lo tanto el índice de costo de vida es más grande o igual que el índice de Paasche.

Sin embargo, la combinación de las ecuaciones (9) y (12) no necesariamente significa que el índice de costo de vida se ubica entre los índices de Laspeyres y Paasche. Esto se debe a que generalmente no son iguales los índices de costo de vida ICVc

0 (u0) y ICVc0 (uc) en el momento “0” y en el

momento “c” respectivamente. Impactos de cambios en los precios relativos varían con el nivel de utilidad.

Si las preferencias son homotéticas, -es decir, si cada curva de indiferencia es una extensión, o una contracción, uniforme de cada una de las demás- el índice de costo de vida se situará entre los índices de Laspeyres y Paasche. Esto implica que la senda de expansión del ingreso o curva de Engel (que es el lugar geométrico de los conjuntos que maximizan la utilidad cuando los precios se mantienen constante y varia el ingreso) debe ser una línea recta que parte del origen. Si este el caso, entonces la función de gasto mínimo C(p, u) puede escribirse como a(p) x b(u). Esto implica que la función de gasto mínimo es separable con respecto al precio y a la utilidad, y depende sólo del vector de precios a nivel constante de utilidad. Entonces el índice de costo de vida puede escribirse como:

ICVc0 (u0) = C(pc, u0) / C(p0, u0) = a(pc) x b (u0) / a(p0) x b(u0)= a (pc)/a(p0)

ICVc0 (uc) = C(pc, uc) / C(p0, uc) = a(pc) x b (uc) / a(p0) x b(uc)= a (pc)/a(p0)

= ICVc0 (u0)

entonces

IPPc0 ≤ ICVc

0 (uc) = ICVc0 (u0) ≤ IPLc

0

GRAFICO 2ÍNDICE DE COSTO DE VIDA E ÍNDICE DE PAASCHE

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Q2

A

M

L E2

E1

U

0

UR

C B

Q1

Agustín Lódola

4.4 Indices de Costo de Vida: ¿De quién?

Como hemos visto los índices de precios de Laspeyres y Paasche no miden exactamente el costo de vida, ya que, entre otras razones, al mantener una canasta de bienes fija no consideran la sustitución que realizan las personas entre ellos, etc.

Sin embargo este no es el único inconveniente de estas fórmulas para medir el cambio de precios. Un número índice, además de tener que representar en un solo número, la variación de precios de diferentes bienes; tiene que reflejar en un solo escalar, la experiencia de distintos tipos de individuos (familias). Muchas veces cuando el gobierno publica la información de los índices de precios, mucha gente no se siente representada por ellos. Es muy común que el efecto de los cambios de precios que hayan sufrido algunos consumidores no esté reflejada en la inflación oficial, aquella que publica la oficina de estadística (el INDEC en Argentina).

Este problema, que puede resumirse en la siguiente pregunta planteada por Pollak (1980, 1998), ¿Índice de costo de vida de quién, o de quienes?, se relaciona con si deben existir índices de precios para diferentes grupos: ricos y pobres, vegeterianos y no vegetarianos, ancianos y no ancianos, urbanos y rurales, etc.

Cuando se construye un índice de precios simple para reflejar la experiencia de un grupo heterogéneo ¿la experiencia de quién debería reflejar el índice?. La teoría de los índices grupales, índices que intentan reflejar lo que le sucede a una población heterogénea, especifica un conjunto de respuestas.

Los índices grupales pueden ser vistos como un agregado de índices individuales. Por ejemplo un índice de costo de vida grupal puede pensarse como un promedio ponderado de los índices de costo de vida de las familias. Un índice de costo de vida puede esperarse que sea diferente para distintas familias por varias razones: i) los precios pagados por el mismo bien pueden variar entre familias, ii) en principio cada familia tiene su propia estructura de preferencia implicando su propio comportamiento de sustitución en presencia de cambios de precios, iii) diferencias de ingresos entre familias implican diferentes patrones de consumo que, en presencia de cambios de precios relativos, implican índices de costo de vida diferente.

De la misma manera un índice de canasta fija grupal (por ej. Laspeyres) puede obtenerse como un promedio ponderado de los índices de canasta fija de las familias. De esta forma si los índices grupales son promedios ponderados de los índices familiares, la elección del ponderador es una cuestión clave. Para el cálculo de los índices de precios del consumidor, la mayoría de las oficinas de estadísticas tratan a todos los pesos gastados por las diferentes familias como iguales y así el índice de cada familia tiene un ponderador implícito que es proporcional al gasto total de la familia. Las familias más ricas, que por consiguiente realizan un mayor gasto, tienen un mayor peso en el índice. Debido a esta características, Prais (1959) calificó a estos índices como “plutocráticos”. Por otro lado, índices que ofrecen igual ponderación a todas las familias se los denomina como “democráticos”.

En la próxima sección formalizaremos la relación entre estos dos tipos de índices. Ahora veamos un ejemplo que ayude a aclarar este punto. Sigamos analizado la situación de un índice de precios para los estudiantes, pero supongamos ahora que los datos que vimos anteriormente sobre el consumo de fideos, libros y alquileres es la suma de dos tipos de estudiantes, o dos grupos: uno que no es nativo de la ciudad donde reside la Universidad (estudiante del interior) y otro que es de la ciudad donde funciona la universidad (estudiante local). En las siguientes tablas se muestra las cantidades desagregadas de cada uno de ellos, lo que nos permitirá obtener índices de precios para cada uno.

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Estudiante del InteriorEstructura de Consumo, Precios y Gastos

Ponde1998 1999 1998 1999 P98 Q98 P99 Q98

Fideos 2,0 2,5 10,0 8,0 20,0 25,0 10%Libros 20,0 30,0 5,0 5,0 100,0 150,0 48%Alquileres 90,0 60,0 1,0 1,0 90,0 60,0 43%

Suma 210,0 235,0 100%

Índice de Precios de Laspeyres del Grupo "Estudiante del Interior"Base 1998=100 111,90 Inflación 1998 11,9%

Precios Cantidades Gasto

Estudiante LocalEstructura de Consumo, Precios y Gastos

Como vemos, existen diferencias en la estructura de consumo entre estos dos grupos. En el primer caso (Estudiantes del Interior) tiene un gran peso el consumo de servicios de alquileres, mientras que en el segundo caso, este servicio no tiene ningún tipo de influencia. Las diferentes canastas y pesos de cada bien, hacen que mientras la inflación para el estudiante del interior haya sido de 11,9%, para el otro estudiante la variación de precios fue de 48,3%.

Un índice que tenga en cuenta por igual la situación experimentada por las dos familias, utilizaría el mismo ponderador para ambos y se obtendría un índice de precios democrático.

En este ejemplo el mismo sería:

IPD = 0,5 * 111,90 + 0,5 * 148,26 = 130,08

Es decir que la inflación para los estudiantes, calculada de esta forma, fue de 30%(=130,08/100-1). Ahora verifiquemos qué se obtiene si se hubiera utilizado los datos agregados, los cuales se presentan en la siguiente tabla.

- 59 -

Ponde1998 1999 1998 1999 P98 Q98 P99 Q98


430,0 637,5 100%

Índice de Precios de Laspeyres del Grupo "Estudiante LocalBase 1998=100 148,26 Inflación 1998 48,3%

Precios Cantidades Gasto

Agustín Lódola

EstudiantesEstructura de Consumo, Precios y Gastos

Como se observa, la inflación para los estudiantes, calculada por un índice de precios de Laspeyres, fue de 36,3%, muy diferente a lo obtenido anteriormente.

Las diferencias entre estos valores surgen de lo dicho anteriormente, si la inflación se mide por un índice tipo Laspeyres cada familia recibe un peso implícito que es función de sus gastos, lo que hace que las familias que gasten mas, reciban mayor peso en el indicador. Por el contrario los grupos que gastan menos (en este caso el estudiante del interior) reciben menos peso en el indicador. Por lo tanto la variación de precios que surge de este índice esta más cerca de la experimentada por el primer grupo que por el segundo.

- 60 -

Ponde1998 1999 1998 1999 P98 Q98 P99 Q98


640,0 872,5 100%

Índice de Precios de Laspeyres Base 1998=100 136,33 Inflación 1998 36,3%

GastoPrecios Cantidades


4.5 Los índices espaciales

4.6 Nuevos Bienes:

Un tema importante a discutir es el problema de los nuevos bienes, es decir de cómo considerar cuando aparecen nuevos bienes que son relevantes en la canasta del respectivo índice de precios.

Supongamos que tenemos, de una serie de tiempo, precios y cantidades de N-1 bienes en los períodos (años) 1 y 2. Denominemos pnt y xnt para t=1,2 y para n=1,N-1. Luego, en el período 2, surge un nuevo bien al precio pN2. ¿Cómo calculamos el índice de precios entre estos dos períodos si no se conoce el precio de éste bien en el período 1 (que no existía el bien en cuestión)?. Por su puesto que podríamos asumir que las cantidades en el período 1 son iguales a cero.

Desde el punto de vista del enfoque económico de la teoría de los índices de precios, Hick (1940) ofreció una solución formal a este problema: si estamos en el contexto de la teoría del consumidor, el precio de este nuevo bien el período 1 (cuando no existía) sería aquel que hace que la demanda del consumidor para ese período sea igual a cero. El problema práctico es que este precio sombra no es observable: requerimos un conocimiento del mapa de indiferencia del consumidor para calcularlo. En la práctica la mayoría de las oficinas de estadísticas del mundo ignoran la existencia de los nuevos bienes.

4.7 Los Indices de Precios de Producción

La teoría de los índices de precios descripta anteriormente para el consumidor no es directamente aplicable cuando se esta hablando de índices de precios de producción, como los deflactores de producto, etc. Por ejemplo Fisher y Shell (1998) tratan separadamente las diferentes unidades de producción: la firma, la industria y la economía, así como también las diferentes formas de organización industrial: monopolio, monopsonio y competencia. Solo en el más simple de los casos es apropiada la teoría plenamente isomórfica del índice de costo de vida a causa de las interconexiones entre las diferentes unidades de producción. Una firma no puede siempre asumir que el comportamiento de sus competidores, proveedores y clientes no será afectada por cambios en los precios y solo en casos muy especiales puede una industria tomar las condiciones de oferta y demanda como dada. Este contrasta con el índice de costo de vida en que el consumidor representativo se asume como que enfrenta precios fijos y ninguna restricción de cantidad.


- 61 -

Agustín Lódola

5 ACERCANDO LA PRÁCTICA Y LA TEORÍA

Habiendo presentado en primer lugar los índices mas comúnmente utilizado por las agencias estadísticas y en segundo lugar los índices teóricos, se observa que lo utilizado en la práctica tiene importantes diferencias con lo que establecido en la teoría. En esta parte presentaremos una variedad de procedimientos que se encuentran en discusión (y se han aplicado en algunos países) para solucionar esos problemas. Como se verá el debate no está cerrado, por lo tanto no queda más remedio que presentar el estado de la discusión actual.

Hay tres problemas principales que se deben resolver, la forma de agregar bienes; la forma de agregar unidades económicas (familias, países o regiones, etc.) y la cuestión del período base. Para el primer se han propuesto los denominados índices superlativos y nuevos procedimientos para considerar los cambios en la calidad (sección 5.1); para el segundo grupo de problemas se debate la utilización de índices específicos para cada grupo (sección 5.2). Para intentar solucionar algunos de los problemas que trae aparejado la elección y cambio del período de referencia, se discuten el rol de los índices encadenados (sección 5.3) y los índices multilaterales (sección 5.4). Estos últimos también pueden ser útiles en el caso de comparaciones espaciales.

5.1 Índices Superlativos

5.1.1 Fórmulas

Durante varios años la teoría del índice de costo de vida fue tomada como una pura abstracción, una idea que no podría ser implementada en el cálculo de los índices de precios actuales. Para computar un estándar de vida constante, uno tendría que conocer cómo los consumidores sustituyen entre bienes en respuesta a cambios en los precios relativos. En otras palabras se tendría que poder separar cambios en el consumo que aumenta (o disminuye) el estándar de vida de cambios en el gasto que meramente representan caminos alternativos de alcanzar el mismo nivel de utilidad.

En 1976 Erwin Diewert publicó un artículo que sugiere un camino relativamente simple para aproximar el índice de costo de vida teórico. Abandonando los intentos de hallar una formula para el índice de costo de vida exacto, Diewert mostró que una clase de números índices, que él llama “Números Índices Superlativos”, ofrecen una buena aproximación a la formula exacta.

Los índices superlativos ofrecen una medida exacta en ciertas circunstancias muy específicas, es decir de algunas formas funcionales flexibles como las cuadráticas homogéneas y las translogarítmicas homogéneas.

Algunos de estos índices superlativos son relativamente simples de computar y parten de la siguiente idea: dado que el índice de Laspeyres sobreestima la inflación, mientras que un tipo Paasche subestima la misma, es lógico pensar en hacer un promedio entre ambos para aproximar la verdadera inflación.

Una primera alternativa es hacer una media aritmética, de esta manera obtenemos lo que Diewert denomina un índice de Sidgwick-Bowley,

Índice de Sidgwick-Bowley (SB)

o

cPo

cLo

cSB PPP 5.05.0 +=

donde PL es el índice de precios de Laspeyres y PP el índice de precios de Paasche.

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Índice de Fisher

Otro importante candidato a cumplir este rol es el índice ideal de Fisher, propuesto por Irving Fisher en 1922. Este es un promedio geométrico (es decir la raíz cuadrada de su producto) de los índices de Paasche y de Laspeyres.

[ ] 5.0o

cPo

cLo

cF xPPP =

∑∑

∑∑=

ci

oi

ci

ci

oi

oi

icio

cF QP

QP

QP

QPP

0

Fisher describió a este índice como “ideal” porque satisface varias pruebas que consideraba importantes, como la de “reversión temporal” y la de “reversión de los factores”.

Una ventaja importante de esta fórmula es que cumple la propiedad “dual”. Es decir el producto de un índice de precios de Fisher entre dos períodos por un índice de cantidad de Fisher entre los mismos dos períodos es igual cambio total en valores entre esos dos períodos.

Desde el punto de vista del enfoque económico, se demostró que, si la función de utilidad del consumidor puede representarse mediante una función cuadrática homogénea (que sea homotética), el índice ideal de Fisher es igual al índice teórico subyacente.

Índice de Tornqvist

Por último, otro índice superlativo es el índice de Tornqvist, desarrollado en los años 1930 en el Banco de Finlandia.

( ) ( )

∏+

=

i i

ci

cT P

PP

βα2/1

0

0

Este índice es un promedio geométrico ponderado de los precios relativos, con ponderador α y β.donde α es el ponderador del índice de precios de Laspeyres y β es el ponderador del índice de precios Paasche.

El índice de volumen se obtiene reemplazando los precios relativos (pic/pi0) por las cantidades relativas

El índice de Tornqvist se utiliza corrientemente para medir variaciones de volumen con el propósito de utilizarlas en las mediciones de productividad. Cuando las posibilidades de producción a analizar pueden representarse mediante una función de producción homogénea, se demuestra que el índice de Tornqvist proporciona una medida exacta del índice de volumen teórico subyacente.

El interés en estos índices con ponderaciones “promedio”, sobre todo el de Fisher y el de Tornqvist, proviene no sólo del hecho de que están en medio del intervalo donde (para diversas funciones de utilidad) ha de estar el índice verdadero de costo de vida, sino también del descubrimiento de que ellos son índices exactos del costo de vida (o están muy cerca de él) para ciertas clases “realistas” de consumidores, definidos por determinadas funciones de utilidad, lo cual los hace muy importantes desde el punto de vista del análisis económico.

La exactitud ha sido demostrada para diferentes índices.. pp. 39 paper Maletta

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Agustín Lódola

5.1.2 Cálculo

Siguiendo con el ejemplo del índice de precios para los estudiantes calculemos estas nuevas formas funcionales: el índice de SB, el de Fisher y el de Tornqvist.

En los dos primeros casos el cálculo es simple. Tomando los resultados obtenidos de los índices de precios de Laspeyres y Paasche, se realiza un promedio aritmético en el primero caso y un promedio geométrico en el segundo. En la siguiente tabla se resume los resultados obtenidos.

Calculo del Índice de Precios de Fisher

Para el cálculo del Índice de Precios de Tornqvist se requiere no el valor de los índices sino los precios de los diferentes bienes en el año base y en año considerado y los ponderadores de cada bien para el año considerado según las dos fórmulas (Laspeyres y Paasche). En la siguiente tabla se realiza el cálculo.

Calculo del Índice de Precios de TornqvistAño 1990 – Base 1988=100

Precios 1988

Precios 1990

Cociente de Precios

Ponderador Laspeyres

Ponderador Pasche

Ponderador Promedio

(1) (2) (3) = (2)/(1) (4) (5) (6)=((4)+(5))/2 (3) ¨ (6)

Fideos 5 8 1,6 0,20 0,16 0,18 1,09Libros 2 4 2,0 0,64 0,68 0,66 1,58Alquileres 40 45 1,1 0,16 0,15 0,16 1,02

Productoria 175,48

El primer paso es obtener los cocientes de precios para cada uno de los bienes (Columna (3)). En segundo lugar se calcula el ponderador de cada bien de este índice que surge de hacer un promedio simple del ponderador del índice de precios de Laspeyres y el índice de precios Paasche (columna (6)). En tercer lugar al cociente obtenido en la columna (3) se lo eleva a la potencia obtenida en la columna (6). Por último se obtiene la productoria de todos los bienes y se multiplica el resultado por 100.

El índice de precios de Tornqvist para el año 1990, tomando como base a 1988 es de 175,48.

5.1.3 Discusión

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1988 1990

Indice de Precios de Laspyeres 100,00 178,00Indice de Precios de Paasche 100,00 172,35

Indice de Precios de Sidqwick-Bowley Media aritmética 100,00 175,18Indice de Precios de Fisher Media geométrica 100,00 175,15


5.2 Indices Democraticos

Como se mencionó anteriormente, un índice de precios grupal puede construirse como un promedio ponderado de índices de precios individuales. Obviamente los resultados serán diferentes, de acuerdo al ponderador seleccionado para llevar a cabo la agregación. En esta parte, se tiene particular interés en la comparación entre la tasa de inflación que se obtiene utilizando índices de precios plutocráticos y aquella que surge de la utilización de índices de precio democráticos. Como se verá más adelante, la diferencia entre ambos índices radica en el ponderador utilizado para agregar los índices de precios familiares.

Para definir con precisión cada uno de estos índices resulta necesario entonces definir un índice de precios familiar del tipo Laspeyres. Para ello, se supone que existen B bienes y H familias con b = 1,…, B y h = 1,…, H, respectivamente, y que q = (q1, …, qB) es un vector de bienes y p = (p1, …, pB) el vector de precios de dichos bienes.

Dado un vector de bienes de referencia, qh0, y retomando la formula 3.7 el índice de precios de

Laspeyres para una determinada familia (en adelante ipl) puede definirse como:

ipl (pt, p0; qh0) =∑i

i0

ithi0

p

pw ,

donde whi0 es la proporción del gasto que la familia h realizó en el bien i durante el período 0 respecto el

total gastado por esa familia en el mismo período, es decir, whi0 = pi0qh

i0/p0qh0.

Las agencias estadísticas utilizan un índice agregado de Laspeyres (en adelante IPL). Para construir este índice, considérese el vector de cantidades agregadas compradas en el período 0 definido como Q0 = (Q10, …, QB0), donde Qi0 = Σhqh

i0. Luego, de acuerdo a la metodología empleada por las agencias estadísticas, el PL se define como:

PL (pt, p0; qh0) =∑i

i0

iti0

p

pα ,

donde αi0 es la participación del gasto en el bien i de todas las familias respecto al gasto total, es decir, αi0 = pi0Qi0/p0Q0.

Nótese que αi0 puede escribirse como:

∑h h00

hi0i0

00

h00

qpQp

qp qp

donde,

h

00

h00 ϕ=

Qp

qp y h

ioh00

hi0i0 w

qp = qp

siendo ϕh la participación del gasto total realizado por la familia h durante el período 0 en el gasto total de todas las familias durante el mismo período

Luego, sustituyendo αi0 por la expresión anterior en la ecuación del IPL, resulta sencillo mostrar que el IPL puede escribirse como un promedio ponderado de los índices de precios cada familia:

PL (pt, p0; qh0) =∑h

h ) ; , h00tipl( qppϕ ,

De este modo, resulta evidente que el índice de precios de las familias que realizan un mayor gasto tiene un peso mayor en el cálculo del Índice de Precios de Laspeyres. Por esta razón a estos índices se los denomina como plutocráticos.

Por su parte, siguiendo a Prais (1959), un índice de precios democrático (en adelante IPD) se obtiene simplemente como un promedio simple de los ipl para un período dado, esto es:

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Agustín Lódola

PD (pt, p0; qh0) = ∑h H

1ipl( ) ; , ] h00t qpp[

Así, y a diferencia de lo que ocurre con el IPL, en el IPD todas las familias tienen el mismo peso.

5.3 Índices en cadena

Si el objetivo es medir los movimientos efectivos de precios y de volumen de un período a otro, los índices deben elaborarse únicamente entre períodos consecutivos de tiempo. Las variaciones de precios y volumen entre períodos separados en el tiempo se obtienen a continuación acumulando los movimientos a corto plazo; es decir, eslabonando los índices entre períodos consecutivos para formar “índices en cadena”, Esta clase de índices tiene diversas ventajas teóricas y prácticas. Por ejemplo se puede obtener una comparación mucha mejor entre productos en períodos consecutivos que entre períodos que se hallan muy alejados, ya que continuamente están desapareciendo productos del mercado para ser sustituidos por otros nuevos o por nuevas calidades. Los índices en cadena también

5.3.1 Formulas

Las fórmulas de los índices encadenados primero agregan precios individuales en base periodo a período para computar índices de períodos intermedios. Luego encadenan estos índices de períodos intermedios para un índice de un período largo. En general un índice de precios encadenado (CIP t

o) se define como:

∏−

=+− =×××=

1

011

12

01

0 ...c

s

ss

ccc IPIPIPIPCP

De esta forma, podemos obtener un índice encadenado de Laspeyres, Paasche, Fisher, Tornqvist y geométrico.

Índice de Precios de Laspeyres Encadenado (CIPL)

Introduciendo en la fórmula anterior, la correspondiente al índice de precios de Laspeyres (3.8):

∏∑∏−

= =

−

=+ ×==

1

00

1

1

01

0c

s i

ci

n

i

si

c

s

ssc

P

PwIPLCPL

Índice de Precios de Paasche Encadenado (CPP)

Introduciendo en la fórmula anterior, la correspondiente al índice de precios de Paasche (3.13):

∏ ∑∏−

=

−

=

−

=+

×==

1

0

1

01

1

01

0c

s i

ci

n

i

si

c

s

ssc

P

PwIPPCPP

- 66 -


Índice de Precios de Fisher Encadenado (CPF)

Introduciendo en la fórmula anterior, la correspondiente al índice de precios de Fisher (3.8):

001

0

1

0

111

0cC

c

s

c

s

ss

ss

ssc CPPCPLIPPIPLIPFCPF ×=×== ∏ ∏

−

=

−

=

+++

Índice de Tornqvist Encadenado (CPT)

Introduciendo en la fórmula anterior, la correspondiente al índice de precios de Tornqvist:

∏ ∏∏−

=

−

= =

++

+

==

1

0

1

0 1

)(1

10

c

s

c

s

n

i

ww

si

sis

sc

si

si

P

PIPTCPT

Índice Geométrico Encadenado (CPG)

Introduciendo en la fórmula anterior, la correspondiente al índice de precios geométricos (x.x):

5.3.2 Cálculo

5.3.3 Discusión

- 67 -

Agustín Lódola

5.4 Indices Multilaterales

La construcción de índices multilaterales es más común en las comparaciones espaciales que intertemporales. Por lo tanto en esta parte se presentan las principales fórmulas utilizadas. Luego se sintetiza el debate sobre la utilización de los mismos en la práctica.

5.4.1 Fórmulas

GK: Geary y Khamis

La idea básica de este método es expresar la PPC de un país j como el cociente entre el gasto total del país j valuado a sus propios precios y el gasto total expresado a los precios internacionales. A su vez, los precios internacionales serán un promedio ponderado de los precios domésticos de todos los países incluidos en la comparación, con los precios domésticos convertidos a la moneda del país numerario por la PPC de cada país y los ponderadores reflejando la participación de cada país en la cantidad total del bien en cuestión. Este método consiste en la resolución del siguiente sistema de ecuaciones:

∑

∑

=

==M

1jij

j

M

1jijij

i

q

PPPqp

P

∑

∑

=

==N

1iiji

N

1iijij

j

qP

qp

PPP

donde Pi es el precio promedio internacional para un agregado y PPPj es la paridad de precios (ponderada) de un país.

Los insumos básicos para calcular las PPC son las paridades elementales de precios calculadas en la etapa anterior (ppij) y el gasto en cada agrupamiento mínimo y en cada país (Eij).

Este método produce comparaciones transitivas entre todos los países. Además, genera resultados aditivos, que tienen la propiedad de consistencia matricial.12 Por lo tanto, los resultados pueden ser comparados entre regiones para cualquier agrupamiento mínimo o para cualquier agregado. No todos los índices tienen esta propiedad (por ej. el índice ideal de Fisher o cualquier método de agregación basado en este índice, como el método EKS, o los índices de cadena).

EKS: Elteto, Koves y Szulc

Los resultados obtenidos a través de este método tienen las propiedades de transitividad y characteristicity.

Este método consiste en calcular:

[ ]M/1M

1sskjsjk FFEKS ∏

=

=

12 La consistencia matricial es una propiedad que hace posible obtener relaciones de cantidades correctas entre países para cada agrupamiento mínimo, y al mismo tiempo permite obtener relaciones de cantidades correctas entre países para cualquier nivel de agregación, simplemente sumando las cantidades de las categorías incluidas en cada agregado.

- 68 -


donde Fjk es un índice binario de Fisher, que compara las paridades de precios de los países j y k.

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

n

1iikik

n

1iikij

jk

n

1iijik

n

1iijij

jk

qp

qp

L

qp

qp

P

donde Pjk y Ljk son los índices de Paasche y Laspeyres, respectivamente.

Una de las principales críticas hacia este método es que le otorga a todas las comparaciones el mismo peso, suponiendo que todas son igualmente confiables, y esto no siempre es así (por ejemplo: los índices de precios para un determinado producto se pueden basar en muchas observaciones en un país o sólo en un par en otro). Igualmente, el método puede ser modificado de modo de asignarle distintas ponderaciones a las observaciones. Este método se denomina EKS generalizado.

Los resultados de este método de agregación, a diferencia de los resultados obtenidos a través de la utilización del método Geary-Khamis, no son aditivos. Esto significa que la suma de los valores reales obtenidos a partir de las PPC estimadas para un determinado nivel de agregación no refleja el valor real del nivel de agregación siguiente.

El método CPD (Country Product Dummy):

Este método generalmente se utiliza cuando la matriz de precios está incompleta. Se utiliza el análisis de regresión de modo de obtener paridades de precios transitivas para cada agrupamiento mínimo. La variable dependiente es el precio del ítem i en el país j, y las variables independientes son dos conjuntos de variables dicotómicas, uno compuesto por una dummy para cada ítem, y otro que contiene una dummy por cada localidad (salvo para la que se toma como numerario). Las paridades de precios se derivan de los coeficientes estimados de las variables dicotómicas para cada país.

inn22111M1M2211ji Yz...YzYzXb...XbXbLnP µ++++++++= −−

donde Pji es el precio del ítem i en el país j, Xj (con j=1, ..., M) son las dummies para cada país y Z i

(con i=1, ...,n) son las variables dicotómicas para cada ítem.

Los logaritmos naturales de los coeficientes estimados para las dummies por país representan las paridades de precios cada localidad respecto al numerario. Por otra parte, los logaritmos naturales de los coeficientes estimados de las variables dicotómicas para cada ítem representan la estimación del precio de cada ítem expresado en relación a los precios de la localidad que se utiliza como numerario.

- 69 -

jkjkjk LPF =

Agustín Lódola

5.4.2 Cálculo

5.4.3 Discusión

Todos los métodos de agregación utilizan algún ponderador, explícito o implícito, para determinar la importancia de cada región en la comparación. Este método le asigna a cada región un peso según la relación de su PBI en el total, en cambio, el método EKS le asigna el mismo peso a cada región. La ponderación otorgada a cada país en el método de Geary-Khamis puede generar un problema, ya que se le asigna mayor peso a los vectores de precios a los países más grandes, lo que puede producir un sesgo debido al efecto Gerschenkron. 13


13 Al utilizar este método los países más grandes tendrán un mayor peso en la determinación de los precios internacionales, por lo tanto, la estructura de precios internacionales se asemejará más a la de los países grandes. Debido a la relación inversa entre precio y cantidad, los ítems que son caros en los países pobres serán consumidos en pequeña cantidad y viceversa. La estructura de precios del método Geary-Khamis tenderá a valuar las grandes cantidades consumidas de bienes baratos en los países más chicos a mayores precios. En forma similar, los ítems que son relativamente baratos en los países grandes serán valuados a precios internacionales más cercanos a su valor nacional.

- 70 -


6 TÓPICOS SOBRE ÍNDICES DE PRECIOS

6.1 Ajustes por Calidad: Encadenamiento y Regresiones Hedónicas

6.2 Los Sesgos

6.2.1 Conceptos

6.2.2 Evidencia

6.2.3 Cálculo

6.2.4 Implicancias de los Sesgos

6.3 Inflación subyacente


- 71 -

Agustín Lódola

7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

7.1 Bibliografía general

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Index”; Journal of Economics Perspectives, Vol. 12, Num. 1, Winter.

Boskin Michael, Dulberger Ellen, Gordon Robert, Griliches Zvi and Jorgenson Dale (1998); “Consumer

Prices, the Consumer Price Index, and the Cost of Living”; Journal of Economics Perspectives, Vol.

12, Num. 1, Winter.

Deaton A. Y Muellbauer (1980); “Economics and consumer behavior”, Cambridge University Press.

Deaton Angus (1998); “Getting Prices Right: What Should Be Done?”; Journal of Economics Perspectives,

Vol. 12, Num. 1, Winter.

Dierwert Erwin (1995); “Price and Volume Measures in The System of National Accounts”; Working Paper

Num. 5103, National Bureau of Economics Research, Cambridge.

Dierwert Erwin (1996a); “Seasonal Commodities, High Inflation and Index Number Theory”, Discussion

paper Num. 96-06, Departament of Economics, The University of British Columbia, Vancouver,

Canada.

Dierwert Erwin (1996b); “Comment on CPI Biases”, Discussion paper Num. 96-07, Departament of

Economics, The University of British Columbia, Vancouver, Canada.

Diewert, W. E., 1987, "Index Numbers," en The New Palgrave: A Dictionary of Economics, Volume 2,

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7.2 Nota sobre la Bibliografía

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apuntes sobre números indices - fahce – unlp · como mi profesión, voy a empezar diciendo que...

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