apuntes-seminario chuaqui

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

TEORIA GEOMETRICA DE FUNCIONES

A P U N T E S S E M I N A R I O

Martin Chuaqui

Santiago de Chile

Otono 2007

Prefacio

Estos apuntes se basan en el seminario introductorio de Teorıa Geometri-ca de Funciones impartido por el profesor Martın Chuaqui el ano 2007 en laPontificia Universidad Catolica de Chile (PUC). El curso estaba dirigido aestudiantes de postgrado que comenzarıan su trabajo de graduacion.

En el primer capıtulo encontrara la construccion de metricas hiperbolicaspara dominios simplemente conexos distintos del plano complejo y para do-minios cubiertos por el disco unitario. Se finaliza con la prueba del Lema deAhlfors que es una generalizacion del famoso lema de Schwarz.

El siguiente capıtulo es un “barniz” en resultados de funciones univalentesen el disco unitario. Abordaremos la conjetura de Bieberbach junto con losclasicos resultados de crecimiento y distorsion para funciones univalentes.

En el capıtulo 3 definiremos la derivada Schwarziana y examinaremossu relacion con las funciones univalentes. Veremos el importante teorema deSturm de ecuaciones diferenciales ordinarias que permite comparar la frecuen-cia de los ceros de soluciones, para adaptarlo al caso analıtico y finalizaremoscon el p-criterio de Nehari.

Los manuscritos originales estan formados por los apuntes de RodrigoVargas alumno de magıster de la PUC. Los apuntes fueron complementadospor las notas del profesor Martın Chuaqui preparadas para el IV SimposioChileno de Matematicas. Se han incluido problemas propuestos que fueronincluidos como tareas durante el desarrollo del seminario.

iii

Indice general

1. La metrica hiperbolica 1

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Metricas conformes en dominios Ω ⊆ C . . . . . . . . . . . . . 21.3. El concepto de pull-back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Metrica hiperbolica en dominios simplemente conexos distin-

tos de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5. Metrica hiperbolica en dominios cubiertos por D . . . . . . . . 71.6. El Lema de Ahlfors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Funciones Univalentes 15

2.1. La Clase S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Teoremas de distorsion y crecimiento . . . . . . . . . . . . . . 212.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. La Derivada Schwarziana 25

3.1. Definiciones y Propiedades Basicas . . . . . . . . . . . . . . . 253.2. La Ecuacion Lineal y Univalencia . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3. La Schwarziana y la clase S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4. Teoremas de comparacion de Sturm . . . . . . . . . . . . . . . 323.5. Adaptacion al caso Analıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.6. Aplicaciones del TCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.7. El p-criterio de Nehari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4. Funciones Cuasiconformes y Cuasidiscos 49

4.1. Definiones Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2. Criterios de Univalencia y Extensiones Cuasiconformes . . . . 524.3. Cuasidiscos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

v

vi INDICE GENERAL

Capıtulo 1

La metrica hiperbolica

El Lema de Schwarz es uno de los resultados mas simple y bello en todala teorıa de funciones complejas. Gracias en parte a la geometrizacion deLars Ahlfors de la demostracion, el Lema de Schwarz asume un rol centraly poderoso en la geometrıa compleja. Ahlfors demuestra que el Lema deSchwarz se puede interpretar en terminos de curvatura. En este capıtuloveremos el Lema de Schwarz y exploraremos la generalizacion de Ahlforsintroduciendo metricas conformes.

1.1. Introduccion

Si a, b, c y d son numeros complejos tales que ad − bc = 1, la aplicacion

T (z) =az + b

cz + d

se llama una transformacion de Mobius. En muchos casos esta transformacionse piensa como una aplicacion de la esfera S2 en S2, con los convenios obviosrelativos al punto ∞.

Lema 1.1 (Lema de Schwarz). Sea f : D → D analıtica con f(0) = 0.Entonces |f ′(0)| ≤ 1 y |f(z)| ≤ |z| en D. Hay desigualdad estricta en ambasestimaciones a no ser que f sea una rotacion del disco: f(z) = eiθz.

Parte de la conclusion es que f es una rotacion, o bien f acerca cadaz ∈ D \ 0 al origen mas de lo que inicialmente estaba.

Es posible obtener muchas variantes del lema de Schwartz, como el lemade Schwartz-Pick (ver ejercicio 1.2), con la ayuda de los automorfismos deD, para cada α ∈ D definimos

T (z) =z + α

1 + αz.

1

2 Topicos en Teorıa Geometrica de Funciones - Martin Chuaqui

1.2. Metricas conformes en dominios Ω ⊆ C

Dados dos puntos z, w contenidos en el plano complejo, definimos la dis-tancia euclideana como el ınfimo de los largos de todas las curvas γ que unenz con w, esto es

de(z, w) = ınfγ∈Γz,w

∫

γ

ds .

Similarmente podemos definir una Metrica Euclideana Interna de un dominioΩ como el ınfimo de todos los largos de curvas contenidas en Ω que unen dospuntos dados:

dΩ, e(z, w) = ınfγ∈Γz,w(Ω)

∫

γ

ds

Pensamos en otro modelo donde existe un factor conforme λ(ζ) > 0 definidoen Ω que induce la metrica

dλ(z, w) = ınfγ∈Γz,w(Ω)

∫

γ

λ(ζ) dζ

Hay una sutiliza unida con la manera de definir distancia. Si λ(ζ) ≡ 1,la metrica Euclideana, y si Ω es el plano complejo, entonces dλ(z, w) es ladistancia euclideana ordinaria entre los puntos z y w. La “curva pequena”desde z a w en este sentido es el segmento recto usual. Pero si Ω, z y w soncomo en la siguiente figura

b

b

z

w

Ω

entonces no hay curva mınima en Ω uniendo z y w. La distancia de z a westa en la curva punteada, pero note que esta curva no esta en Ω. El asuntocrucial aquı es si el dominio es completo en la metrica.

Sea Ω ⊆ R2 un dominio con metrica λ(z) = |dz| = eϕ(z)|dz| . Sea γ ungeodesica que une z1 con z2 en Ω. Vamos a suponer que γ es de clase C2.

Capıtulo 1. La metrica Hiperbolica 3

Sea γ = γ(s) una parametrizacion por arcoparametro, t = γ′(s). Por lasecuaciones de Frenet-Serret

dt

ds= κn

donde κ es la curvatura de la curva γ. Vamos a considerar variaciones

γǫ(s) = γ(s) + ǫh(s)n(s)

con h(0) = h(L) = 0, entonces

Lϕ(γε) =

∫

γǫ

eϕ|dz| ≥ Lϕ(γ) = Lϕ(γ0), ε ∈ (−ε0, ε0)

obteniendo qued

dε

∣∣∣∣ε=0

Lϕ(γε) = 0 y

d

dǫ

∫ L

0

eϕ(γǫ(s))|γ′ǫ(s)|ds =

d

dǫeϕ(γǫ(s))

= eϕ(γǫ(s))d

dǫ(eϕ(γǫ(s)))

= eϕ(γǫ(s))∇ϕ(γǫ(s)) · h(s)n .

Ahora bien, la derivada de la variacion y la norma de la derivada son

γ′ǫ(s) = t(s) + ǫh′(s)n(s) − ǫh(s)κ(s)t(s) = (1 − ǫhκ)t + ǫh′n

|γ′ǫ| = (1 − ǫhκ)2 + ǫ2(h′)2 = 1 − 2ǫhκ + ǫ2(h2κ2 + (h′)2 .

Notemos que

d

dǫ

∣∣∣∣ǫ=0

(|γ′

ǫ|2)

= −2h(s)κ(s) = 2|γ′ǫ|ǫ=0

d

dǫ

∣∣∣∣ǫ=0

(|γ′ǫ|) = 2

d

dǫ

∣∣∣∣ǫ=0

(|γ′ǫ|)

lo que implicad

dǫ

∣∣∣∣ǫ=0

(|γ′ǫ|) = −h(s)κ(s) .

Por lo tanto∫ L

0

eϕ(γ(s))h(s)∇ϕ · n − eϕ(γ(s))h(s)κ(s)

ds = 0

∫ L

0

eϕ(γ(s))h(s)[∇ϕ · n − κ(s)]ds = 0

como h(s) es arbitrario (salvo h(0) = h(L) = 0) se tiene la igualdad

∇ϕ · n = κ(s) (1.1)

que es llamada la ecuacion de equilibrio.


1.3. El concepto de pull-back

Hablaremos de este concepto en el contexto de metricas conformes, enel plano y transformaciones conformes (analıticas). Buscamos una metricaeσ(z)|dz| con la propiedad de que

dσ(z1, z2) = dϕ(f(z1), f(z2)) (1.2)

Si se quiere (1.2) obtenemos que

dσ(z1, z2)

|z2 − z1|=

dϕ(f(z1), f(z2))

|z2 − z1||f(z2) − f(z1)||f(z2) − f(z1)|

se deduce entonces que

eσ(z) = eϕ(f(z))|f ′(z)| (1.3)

la llamada metrica pull-back y la cual denotaremos por eσ(z)|dz| = f ∗(eϕ(w)|dw|).Definicion 1.1. La Metrica de Hiperbolica (Poincare) en D es definida por

eϕ(z)|dz| =|dz|

1 − |z|2 .

Sabemos que el lema de Schwarz dice que si f : D → D es analıticaentonces

|f ′(z)|1 − |f(z)|2 ≤ 1

1 − |z|2con igualdad en algun punto distinto de cero si y solo si f = T es unatransformacion de Mobius (en cuyo caso hay igualdad en todas partes). Enotras palabras, tenemos que

f ∗( |dw|

1 − |w|2)

≤ |dz|1 − |z|2 .

Notemos que

lh(f(γ)) =

∫

f(γ)

|dw|1 − |w|2

=

∫

γ

f ∗( |dw|

1 − |w|2)

≤∫

γ

|dz|1 − |z|2

= lh(γ)

luego cuando f = T es una transformacion de Mobius entonces los largoshiperbolicos de curvas son preservados.


1.4. Metrica hiperbolica en dominios simple-

mente conexos distintos de C

Sea Ω un dominio simplemente conexo distinto de C entonces existe unmapeo de Riemann f : D → Ω, el cual es unico salvo por automorfismos deldisco D.

Definicion 1.2. Se define la metrica hiperbolica en Ω como

g∗( |dz|

1 − |z|2)

.

Ejemplo 1.1. Sea Ω = H = z ∈ C : Im z > 0 el semi plano superior yconsideremos g : H → D inversa de un mapeo de Riemann dado por:

g(w) =w − i

w + i= 1 − 2i

w + 1

con

g′(w) =2i

(w + i)2

entonces la metrica hiperbolica de H es

λ(w) =|g′(w)|

1 − |g(w)|2 =

2|w+i|2

1 −∣∣w−iw+i

∣∣2

=2

|w + i|2 − |w − i|2

=2

|w|2 + 1 + 2Rewi − |w|2 − 1 + 2Rewi

=1

2Rewi=

1

2Imw .

Teorema 1.1. Si Ω1 ⊆ Ω2 son simplemente conexos, entonces

λ Ω2(w) ≤ λ Ω1

(w) , w ∈ Ω1 .

Si hay igualdad en un punto entonces Ω1 = Ω2

Demostracion: Sean f, g son mapeos de Riemann de D en Ω1, Ω2, respec-tivamente con f(0) = g(0) = w0. Notemos que

λ(f(z))|f ′(z)| =1

1 − |z|2 ⇒ λ(w0) =1

|f ′(0)| .


Sea h = f−1g : D → D, h(0) = 0 entonces por Lema de Schwartz |h′(0)| ≤ 1,entonces

h′(0) = (f−1)′(g(0))g′(0) =1

f ′(0)g′(0)

luego1

|f ′(0)| = λ ω2(w0) ≤

1

|g′(0)| = λ Ω1(w0) .

Por otro lado, igualdad en un punto w0 implica por el Lema de Schwarz queh(z) = eiθz y h es sobre, se concluye que g(D) = Ω2 = Ω1.

Corolario 1.1. Sea Ω simplemente conexo, entonces

λ ω(w) ≤ 1

d Ω(w)

donde d Ω(w) = dist(w, ∂Ω)

Demostracion: La densidad hiperbolica en D(z0, r) es

λ(z) =r

r2 − |z − z0|2.

Dado w0 ∈ Ω consideremos D = D(w0, d Ω(w0)) el disco de centro en w0 yradio la distancia de w0 a la frontera de Ω

b

w0

Ω

claramente tenemos que D ⊆ Ω y por el teorema anterior obtenemos que

λ Ω(w0) ≤ λD(w0) =1

d Ω(w0).


1.5. Metrica hiperbolica en dominios cubier-

tos por D

Todo subdominio Ω ⊆ C es cubierto por D, con la excepcion de Ω = C−0, que es cubierto por C mediante z → ez. Podemos usar los recubrimientosp(z) para definir una metrica hiperbolica en Ω, como la metrica esta definidaen D habrıa que traersela de vuelta a Ω por la “inversa”de p. No hay inversaglobal, si multiples inversas locales. Pero distintas inversas locales difierenentre si en un elemento de G ⊆ Aut(D), que es una isometrıa hiperbolica.Luego,

(p−10 )∗

( |dz|1 − |z|2

)= (p−1

1 )∗( |dz|

1 − |z|2)

.

En resumidas cuentas, existe una densidad λ Ω(w) bien definida tal que bajocualquier inversa local

(p−1)∗( |dz|

1 − |z|2)

= λ(w)|dw| ⇒ p∗(

(p−1)∗( |dz|

1 − |z|2))

= p∗(λ(w)|dw|) .

Se puede probar que si h : Ω1 → Ω2, g : Ω2 → Ω3 tal que h 6= 0, g 6= 0 y enΩ3: eσ(ξ)|dξ|, entonces

h∗(g∗(eσ|dξ|)) = (g h)∗(eσ|dξ|) ,

por lo que

p∗(λ(w)|dw|) =|dz|

1 − |z|2 .

Ejemplo 1.2. Sea Ω = z ∈ C : 0 < |z| < 1 podemos hallar una metricahiperbolica para este dominio. Considere la aplicacion exponencial definidaen el dominio z ∈ C : Re z < 0 sobre Ω.

x

y

w = ez

u

v

0−14

b b


Entonces basta hallar λ(w)|dw| de modo que p∗(λ(w)|dw|) = − 1

2Re z esto

es

λ(ez)|ez| = − 1

2x⇒ λ(w)|w| = − 1

2 log |w|

por lo que

λ(w) =1

2|w| log(

1|w|

) .

Definicion 1.3. Todo dominio equivalente a o cubierto por D se dira hiperboli-co.

Teorema 1.2. Sea f : Ω1 → Ω2 analıtica localmente univalente. Entonces

f ∗(λ Ω2(w)|dw|) ≤ λ Ω2

(z)|dz| .

Demostracion: Si p : D → Ω1 y q : D → Ω2 son recubrimientos entonces,existe un levantamiento F : D → D que hace que el diagrama conmute

D D

Ω1 Ω2

-F

?

p

?

q

-

f

es decir, f p = q F . Entonces

⇒ (f p)∗(λ2(w)|dw|) = (q F )∗(λ2(w)|dw|)⇒ p∗(f ∗(λ2(w)|dw|)) = F ∗(q∗(λ2(w)|dw|))

⇒ λ2(f(z))|f ′(z)||dz|)) = F ∗( |dζ |

1 − |ζ |2)

⇒ λ2(f(p(ξ)))|f ′(p(ξ))||p′(ξ)||dξ|)) ≤ |dξ|1 − |ξ|2 = p∗(λ1(z)|dz|) = λ1(p(ξ))|p′(ξ)||dξ|

⇒ λ2(f(p(ξ)))|f ′(p(ξ))| ≤ λ1(p(ξ))

⇒ λ2(f(z))|f ′(z)| ≤ λ1(z)

⇒ f ∗(λ2(w)|dw|) ≤ λ1(z)|dz|


1.6. El Lema de Ahlfors

Un hecho bien sabido es que la curvatura Gaussiana de una metrica eϕ|dz|viene dada por:

K = −e−2ϕϕ . (1.4)

Lema 1.2. En D, tenemos|dz|

1 − |z|2 y la curvatura gaussiana es ≡ −4

Demostracion: Tenemos que

ϕ = −log(1 − x2 − y2) = −log(1 − |z|2) = −log(1 − r2) .

Recordemos que

∂

∂z=

1

2

(∂

∂x− i

∂

∂y

),

∂

∂z=

1

2

(∂

∂x+ i

∂

∂y

)

entonces

ϕ = −4∂z∂z[log(1 − zz)] = 4∂z

(z

1 − zz

)

= 4(1 − zz)1 − z(−z)

(1 − zz)2=

4

(1 − |z|2)2= 4e2ϕ

de donde se obtiene que

K = −e−2ϕϕ ≡ −4 .

Teorema 1.3. Sea f : Ω1 → Ω2 analıtica con f ′ 6= 0, sea eσ(w)|dw| unametrica en Ω2 y

eϕ(z)|dz| = f ∗(eσ(w)|dw|) .

Entonces,

Kϕ(z) = Kσ(f(z)) .

Demostracion: Sabemos que: eϕ(z) = eσ(f(z))|f ′(z)| entonces

ϕ(z) = σ(f(z)) + log|f ′(z)| = σ(f(z)) +1

2logf ′(z) +

1

2logf ′(z)


luego

z(ϕ(z)) = z(σ(f(z)))

= 4∂z∂zσ(f(z))

= 4∂z[σwf ′ + σw · 0]

= 4[σww · 0 + σwwf ′]f ′

zϕ = wσ|f ′|2

por lo tanto

Kϕ = −e−2ϕzϕ = e−2σ|f ′|−2wσ|f ′|2 = e−2σwσ = Kσ .

Lema 1.3 (Lema de Ahlfors). Sea eϕ|dz| una metrica en D con Kϕ ≤ −4.Entonces,

eϕ(z) ≤ 1

1 − |z|2 .

Demostracion: Por demostrar ϕ(z) ≤ −log(1 − |z|2), es decir, que

ϕ(z) + log(1 − |z|2) ≤ 0 .

Supongamos que existe maximo interior en z0, entonces

|z=z0(ϕ + log(1 − |z|2)) ≤ 0 =⇒ −Kϕe2ϕ(z0) + Kh

1

(1 − |z0|2)2≤ 0

=⇒ −Kϕe2ϕ(z0) ≤ 41

(1 − |z0|2)2

=⇒ e2ϕ(z0) ≤ 1

(1 − |z0|2)2.

Sea Dr = z : |z| < r < 1, vamos a probar que

eϕ ≤ r

r2 − |z|2 , ∀z ∈ Dr .

La funcion eϕ es regular en Dr, esto garantiza que la funcion

h(z) = ϕ(z) − log

r

r2 − |z|2

tiene un maximo interior z0 ∈ Dr (ya que cerca ∂Dr, h(z) −→ −∞ cuando|z| → r−). El mismo calculo que hicimos al suponer que existıa maximointerior muestra que

e2ϕ(z0) ≤(

r

r2 − |z0|2)2

.


Entonces h(z0) ≤ 0. Ahora veremos que

eϕ(z) ≤ 1

1 − |z|2 , ∀z ∈ D .

Para cada r ∈ (|z|, 1) se tiene

eϕ(z) ≤ r

r2 − |z|2 =⇒ eϕ(z) ≤ 1

1 − |z|2 .

Teorema 1.4. Sean Ω1 ⊂ Ω2 dominios hiperbolicos. Entonces

λ2(z) ≤ λ1(z), ∀z ∈ Ω1 .

Demostracion: Sabemos que p∗1(λ1(z)|dz|) =|dζ |

1 − |ζ |2 y que

K[p∗(λ2(z)|dz|)] = K(λ2(z)|dz|) = −4 ≤ −4 .

Por el Lema de Ahlfors

p∗(λ2(z)|dz|) ≤ |dζ |1 − |ζ |2 = p∗(λ1(z)|dz|) =⇒ λ2(z) ≤ λ1(z), ∀z ∈ Ω1 .

Corolario 1.2. Si Ω es hiperbolico entonces

λ(z) ≤ 1

d Ω(z).

1.7. Ejercicios

1.1. Sea f : D → D analıtica tal que f(0) = 0 y f no es una rotacion, esdecir, f(z) 6= eiθz. Demostrar que fn(z) = fn(z) = (f ... f)(z) −→ 0localmente uniforme.

1.2. Usar composicion con Mobius para probar que si f : D → D entonces

(a) ∣∣∣∣∣f(z) − f(z0)

1 − f(z0)f(z)

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣

z − z0

1 − z0z

∣∣∣∣ ,


(b)|f ′(z0)|

1 − |f(z0)|2≤ 1

1 − |z0|2.

Si hay igualdad en (a) para algun z 6= z0 o en (b) para algun z0 entoncesf es Mobius y se tendrıa igualdad en (a) y (b) para todo z, z0.

1.3. Determinar condiciones necesarias y suficientes para que una transfor-macion analıtica f : Ω1 → C no incremente la distancia euclideana. ¿Essuficiente esta condicion?

1.4. Demostrar que

lımz2→z1

dσ(z2, z1)

|z2 − z1|= eσ(z1) .

1.5. Probar que bajo pull-back se preservan largos de curvas:∫

f(Γ)

eϕ(z)|dz| =

∫

Γ

eσ(z)|dz| .

1.6. Probar que para cada z1, z2 ∈ D existe T ∈Aut(D) tal que T (z1) = 0,T (z2) ∈ (0, 1).

1.7. Probar que dh(0, a) se realiza cuando γ ∈ Γ0,a(D) se toma como γ = [0, a](Hint: Dada una curva γ = γ(t), escribala en coordenadas polares γ(t) =r(t)eiθ(t).)

1.8. Calcular dh(z1, z2).

1.9. Demostrar que si g1, g2 son inversas de dos mapeos de Riemann, entonces

g∗1

( |dz|1 − |z|2

)= g∗

2

( |dz|1 − |z|2

).

1.10. Calcular la densidad de Poincare en una franja paralela.

1.11. ¿Que pasa si hay igualdad en:

λ Ω(w) =1

dΩ(w)

con Ω simplemente conexo?

1.12. Demuestre que la densidad hiperbolica en D(z0, r) es

λ(z) =r

r2 − |z − z0|2.


1.13. Demuestre que si Ω es convexo, entonces

λ Ω(w) ≥ 1

2dΩ(w).

1.14. Sean h : ω1 → Ω2, g : Ω2 → Ω3, h 6= 0, g 6= 0 y en Ω3: eσ(ξ)|dξ|. Probarque:

h∗(g∗(eσ|dξ|)) = (g h)∗(eσ|dξ|) .

1.15. Calcular λ Ω(w)|dw| para:

(a) Ω = w ∈ C | 1 < |w| < R,(b) Ω = w ∈ C | Re w, Im w > 0.

1.16. Demuestre que dos anillos a < |z| < b y A < |z| < B son equiva-lentes en el sentido analıtico (es decir, existe f analıtica biyectiva entreuno y otro) si y solo si B/A = b/a.

1.17. Pruebe que f = u + iv satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann si y

solo si∂f

∂z= 0. En este caso,

∂f

∂z= f ′(z).

1.18. Sean w = f(z), ζ = g(w) ⇒ ζ = g(f(z)). Probar que:

∂ζ

∂z=

∂g

∂w

∂w

∂z+

∂g

∂w

∂w

∂z,

∂ζ

∂z=

∂g

∂w

∂w

∂z+

∂g

∂w

∂w

∂z.

1.19. Pruebe que = 4∂z∂z.

1.20. En R2 considere|dz|

1 + |z|2 . Probar que K ≡ 4.

1.21. Demuestre que la (inversa) de la proyeccion esterografica es conforme yla metrica anterior corresponde a traerse de la esfera unitaria de vueltala metrica euclideana de R3 restringuida a la esfera.

1.22. Deducir del Lema de Ahlfors como corolario el Lema de Schwarz parael caso de f : D → D con f ′ 6= 0.

Capıtulo 2

Funciones Univalentes

La teorıa de funciones univalentes en dominios simplemente conexos dis-tintos de C es un topico que ha sido sujeto de estudio en el ultimo siglo.En virtud del teorema del mapeo de Riemann, es suficiente estudiar muchascuestiones que involucran univalencia en el disco unitario antes que sobre undominio simplemente conexo general.

2.1. La Clase SDefinicion 2.1. Sean Ω ⊂ C un dominio y f : Ω → C una funcion analıtica.Decimos que f es univalente en Ω si f(z1) 6= f(z2) cuando z1 y z2 son puntosen Ω con z1 6= z2.

Introducimos la clase S dada por

S = f : D → C | f es univalente y f(0) = 0, f ′(0) = 1.

Si f es cualquier funcion univalente en D y g(z) = (f(z) − f(0))/f ′(0),entonces g ∈ S, ası el estudio de la clase S proporciona informacion acercade cualquier funcion univalente en D.

Una funcion f en la clase S tiene un desarrollo en serie de potencias de laforma

f(z) = z + a2z2 + . . . + anzn + . . . , z ∈ D.

Uno de los problemas centrales en este tema fue la famosa conjetura deBieberbach. Guiado por el ejemplo de una funcion extremal (la funcion deKoebe), Bieberbach pregunto en 1916 si

|an| ≤ n

15


para todo n. La funcion de Koebe, que veremos con alguna frecuencia en estecapıtulo viene dada por

k(z) =z

(1 − z)2= z + 2z2 + · · ·+ nzn + · · · ,

y es extremal en varios aspectos.La conjetura de Bieberbach motivo gran interes, y permitio el desarrollo deimportantes tecnicas en la Teorıa Geometrica de Funciones. Este problemafue finalmente resuelto afirmativamente en 1985 por L. des Branges, en unacelebrada demostracion.Algunas de las tecnicas desarrolladas fueron: el metodo parametrico de Loewn-er el metodo de Milin y FitzGerald de exponenciacion de las desigualdades deGrunsky, el metodo de Baerstein de funciones maximales, y los importantesmetodos variacionales. Con varios de estos metodos es posible establecer

|an| < en, |an| < 1, 243n, |an| <√

7/6n, |an| <e

2n.

Historicamente, |a2| ≤ 2 fue la primera en demostrarse. En 1923 Loewnerprobo que |a3| ≤ 3 usando su metodo parametrico y mas de treinta anos mastarde, en 1955 |a4| ≤ 4 fue demostrada por Garabedian y Schiffer.La clase S no es cerrada bajo la adicion y la multiplicacion, sin embargo esinvariante o cerrada bajo una de serie de transformaciones:

i) Conjugacion:Si f ∈ S entonces g(z) = f(z) = z + a2z

2 + . . . + anzn + . . . ∈ S.

ii) Rotacion:Si f ∈ S entonces g(z) = e−iθf(eiθz) ∈ S.

iii) Dilatacion:

Si f ∈ S entonces g(z) =1

rf(rz) ∈ S para todo 0 < r ≤ 1.

iv) Raız Cuadrada:Si f ∈ S entonces g(z) =

√f(z2) ∈ S.

v) Valor Omitido:

Si f ∈ S y w /∈ f(D) entonces g(z) =wf(z)

w − f(z)∈ S.

Capıtulo 2. Funciones Univalentes 17

vi) Transformacion de Koebe:Si f ∈ S para cada |a| < 1

g(z) =f

(z+a1+az

)− f(a)

(1 − |a|2)f ′(a)∈ S.

Intimamente ligada a la clase S esta la clase Σ que consiste en todas lasfunciones g univalentes en el complemento = |z| > 1 normalizadas demodo que

g(z) = z + b0 + b1z−1 + b2z

−2 + ... .

Ası, g(∞) = ∞ es un polo simple con residuo 1.

Cada f ∈ S produce una g ∈ Σ vıa la inversion

g(z) =1

f(

1z

) .

Sin embargo, la funcion g ası definida no asume el valor 0, lo cual resulta unacondicion necesaria para poder definir f ∈ S en terminos de una g ∈ Σ.

Observacion 2.1. Si consideramos

Σ′ = h ∈ Σ : 0 ∈ h()

Se tiene que si g ∈ Σ′ ⇒ f(z) = 1g(1/z)

∈ S

La univalencia de g impone una severa restriccion sobre los coeficientesbn en su desarrollo de Laurent.

Teorema 2.1 (Teorema del Area). Si g ∈ Σ entonces

∞∑

n=1

n|bn|2 ≤ 1.

Este teorema es original de Gronwall (1914)

Demostracion. Sea E el conjunto omitido por g. Para r > 1 sea Cr =g(z : |z| = r). Dado que g es univalente, Cr es una curva cerrada simpleque encierra un conjunto Er que contiene a E, entonces el area encerradapor la curva Cr cumple que A(r) > 0.


0 1 rE

Cr

g

El terorema de Green establece que el area de Er es

A(r) =1

2i

∫

g(cr)

wdw =1

2i

∫ 2π

0

g(reiθ)rieiθg′(reiθ)dθ

=r

2

∫ 2π

0

eiθg′(reiθ)g(reiθ)dθ

Aquı w = g(reiθ),dw

dθ= rieiθg′(reiθ) y tenemos que

g(z) = z + b0 +

∞∑

k=1

bkz−k, g′(z) = 1 −

∞∑

k=1

kbkz−(k+1) .

Entonces

eiθg′(reiθ)g(reiθ) =

1 −

∞∑

k=1

kbkr−(k+1)e−(k+1)iθ

×

re−iθ + b0 +∞∑

k=1

bkr−kekiθ

eiθ

=

1 −

∞∑

k=1

kbkr−(k+1)e−(k+1)iθ

×

r + b0eiθ +

∞∑

j=1

bjr−je(j+1)iθ

= r −∞∑

k=1

k|bk|2r−(2k+1) + algo que tiene

∫ 2π

0

dθ


Dado que A(r) ≥ 0, obtenemos que

⇒∫ 2π

0

[

r −∞∑

k=1

k|bk|2r−(2k+1)

]

dθ ≥ 0 ⇒∞∑

k=1

k|bk|2r2k+1

≤ r

Por lo tanto, haciendo tender r → 1 se obtiene el resultado.

Corolario 2.1. Si g ∈ Σ entonces

(a) |bn| ≤1√n

(b) |b1| ≤ 1 con igualdad si y solo si g(z) = z + b0 +eiθ

z.

Las funciones con |b1| = 1 mapean ∆ al complemento de un segmento delınea de largo 1/4. Cuando b1 = 1 y b0 = −2, la funcion g no toma el valor0, y vıa inversion produce

f(z) =1

g(

1z

) =z

(1 − z)2= k(z),

la funcion de Koebe.Del Teorema del Area es posible tambien deducir la primera desigualdad

en la Conjetura de Bibierbach.

Teorema 2.2 (Bieberbach). Si f ∈ S entonces |a2| ≤ 2 con igualdad si ysolo si f(z) = e−iθk(eiθz).

Demostracion. Consideremos la funcion impar

h(z) =√

f(z2)

entonces,

g(z) =1

h(

1z

) =

√1

f(

1z2

) = z −a2

2

z+ ... .

Luego por el corolario del Teorema del area, se tiene que |a2| ≤ 2. Si hayigualdad entonces

g(z) = z − eiθ

z.


Un importante corolario de esta desigualdad es el Teorema 14

de Koebe,que establece qe toda f ∈ S cubre al menos un disco de radio 1

4centrado

en el origen. El resultado original de Koebe demostraba el teorema para uncierto ρ > 0 fijo pero que no determino (1907). Mas tarde fue Bieberbachquien probo el teorema para el valor optimo de ρ = 1

4.

Teorema 2.3 (14

de Koebe). La imagen de toda f ∈ S contiene el disco|w| < 1

4.

Demostracion. Vamos a probar que si w0 /∈ f(D) entonces |w0| ≥ 1/4. Seaw0 /∈ f(D) y consideremos

h(z) =w0f(z)

w0 − f(z)=

f(z)

1 − f(z)w0

= f(z)

[1 +

f(z)

w0

+f(z)2

w20

+ ...

].

Entonces, a2(h) = a2(f) +1

w0

1

|w0|− |a2(f)| ≤

∣∣∣∣a2(f) +1

w0

∣∣∣∣ ≤ 2 ⇒ 1

|w0|≤ |a2(f)| + 2 ≤ 4 ⇒ |w0| ≥

1

4.

Si existe w0 /∈ f(D) con |w0| = 1/4 entonces f es rotacion de Koebe.

Teorema 2.4. Sea Ω simplemente conexo, Ω 6= C. Entonces

λ Ω(z) ≥ 1

4d Ω(z).

Demostracion. Sea f : D → Ω, f(0) = z0 entonces

f ∗(λ(z)|dz|) = λ(f(ζ))|f ′(ζ)| =1

1 − |ζ |2 .

Si ζ = 0 entonces λ(z0) =1

|f ′(0)| , por el Teorema de 1/4, f cubre el disco

D0 = z : |z − z0| < α4 con α = |f ′(0)|, entonces

α

4≤ d Ω(z0) ⇒ λ(z0) =

1

α≥ 1

4d Ω(z0).

Si hay igualdad en algun z0 entonces

f(z) = aeiθk(e−iθz) + b .


2.2. Teoremas de distorsion y crecimiento

Veremos en esta seccion otras dos consecuencias de la desigualdad |a2| ≤ 2para la clase S.

Teorema 2.5. Si f ∈ S entonces∣∣∣∣f ′′(z)

f ′(z)− 2z

1 − |z|2∣∣∣∣ ≤

4

1 − |z|2 .

Demostracion. Sea f ∈ S, z0 ∈ D y consideremos

h(z) =f

(z+z0

1+z0

)− f(z0)

(1 − |z0|2)f ′(z0)∈ S .

Entonces

h′(z) =1

(1 − |z0|2)f ′(z0)f ′

(z + z0

1 + z0z

) (1 − |z0|2

(1 + z0z)2

)

h′′(z)

h′(z)=

f ′′(

z+z0

1+z0z

)

f ′(

z+z0

1+z0z

) (1 − |z0|2)(1 + z0z)2

− 2z0

1 + z0z

⇒ h′′(0)

h′(0)=

f ′′(z0)

f ′(z0)(1 − |z0|2) − 2z0 .

Como |a2(h)| ≤ 2 entonces |h′(0)| ≤ 4, por lo tanto∣∣∣∣f ′′(z0)

f ′(z0)− 2z0

1 − |z0|2∣∣∣∣ ≤ 4

1 − |z0|2

⇔∣∣∣∣z0

f ′′(z0)

f ′(z0)− 2|z0|2

1 − |z0|2∣∣∣∣ ≤ 4|z0|

1 − |z0|2.

Ahora bien, si f ∈ S tenemos que

−4|z|1 − |z|2 ≤ Re

zf ′′(z)

f ′(z)− 2|z|2

1 − |z|2

≤ 4|z|1 − |z|2

⇒ 2r2 − 4r

1 − r2≤ Re

zf ′′(z)

f ′(z)

≤ 2r2 + 4r

1 − r2.

Consideremos φ(r) = log|f ′(reiθ)|, φ(0) = 0 ⇒ φ(r) = Relogf ′(reiθ),entonces

2r − 4

1 − r2≤ φ′(r) = Re

eiθ f ′′

f ′ (reiθ)

≤ 2r + 4

1 − r2


⇒ log1 − r

(1 + r)3≤ log|f ′(reiθ)| ≤ log

1 + r

(1 − r)3

Teorema 2.6 (Distorsion).

1 − |z|(1 + |z|)3

≤ |f ′(z)| ≤ 1 + |z|(1 − |z|)3

. (2.1)

Observacion 2.2.

k(z) =z

(1 − z)2⇒ k′(z) =

1 + z

(1 − z)3

La demostracion muestra que igualdad en (2.1) en alguna desigualdad paraz0 6= 0 implica que f es rotacion de Koebe.

Teorema 2.7 (Crecimiento y Cubrimiento). Si f ∈ S entonces

− −|z|(1 + |z|)2

≤ |f(z)| ≤ |z|(1 − |z|)2

con igualdad en un z 6= 0 si y solo si f(z) = e−iθk(eiθz).

Demostracion. Tenemos que:

f(z) = f(z) − f(0) =

∫ z

0

f ′(ζ)dζ

⇒ |f(z)| ≤∫ z

0

|f ′(ζ)||dζ | ≤∫ |z|

0

k′(x)dx = k(|z|) =|z|

(1 − |z|)2.

Si hay igualdad en z 6= 0 debio haber habido igualdad en

|f ′(ζ)| ≤ k′(|ζ |)para todo ζ ∈ [0, z]. Eso da f(z) = e−iθk(eiθz).Sea 0 < r < 1 y consideremos zr con |zr| = r tal que

|f(zr)| = mın|z|=r

|f(z)| .

0 r−rx

y

zr

f

u

v

0

γf(zr)

Γb

b


Esto garantiza que

Γ = [0, f(zr)] ⊂ f|z| ≤ r .

Sea γ = f−1(Γ) entonces

f(z) =

∫

γ

f ′(ζ)dζ =

∫

Γ

dω

⇒ |f(z)| =

∣∣∣∣∫

Γ

dω

∣∣∣∣ =

∫

Γ

|dω| =

∫

γ

|f ′(ζ)||dζ |

≥∫

γ

k′(−|ζ |)|dζ | ≥∫

γ

k′(−|x|)dx = −k(−|z|)

Observacion 2.3. Una importante consecuencia de los teoremas de creci-miento y distorsion es que la clase S es normal en la topologıa de convergencialocalmente uniforme. Esto es, dada una sucesion fn en S existe una sub-sucesion fnk

y una f ∈ S tal que fnk→ f localmente uniforme en D. En

efecto, los teoremas muestran que las funciones de S y sus derivadas estanlocalmente, uniformemente acotadas en el disco, por ende S es una familiaequicontinua y localmente acotada. El teorema de Arzela-Ascoli garantiza queexisten lımites continuos. Pero estos lımites deben ser de hecho analıticos ydebido a la normalizacion f ′

n(0) = 1, el teorema de Hurwitz garantiza ahoraque el lımite tambien sera univalente.

2.3. Ejercicios

2.1. Sea f : Ω → C analıtica. Entonces existe n√

f(z) bien definida si y solosi

1

2πi

∫

γ

f ′(z)

f(z)dz ∈ nZ

para toda curva cerrada γ ⊂ Ω que no pase por ceros de f .

2.2. Demostrar que k(D) es C − (−∞,−1/4], donde k es la transformacionde Koebe.

2.3. Probar que si se tiene igualdad |bn| = 1√n

para algun n ≥ 2 el g(z)resultante no es univalente.


2.4. Probar que si g(z) = z + b0 +eiθ

zentonces

g() = C ∪ ∞ \ [w1, w2]

con |w1 − w2| = 4.

2.5. Probar que efectivamente b1(g) = −a2

2si

g(z) =

√√√√√1

f

(1

z2

) .

2.6. Si g(z) = z − eiθ

z. Probar que entonces f(z) es una rotacion de Koebe.

2.7. Probar que si f es una rotacion de Koebe entonces |b1(g)| = 1.

Capıtulo 3

La Derivada Schwarziana

3.1. Definiciones y Propiedades Basicas

Sea f una funcion analıtica definida en un dominio del plano complejo.Si f ′ 6= 0 entonces se define la derivada Schwarziana de f como

Sf =

(f ′′

f ′

)′− 1

2

(f ′′

f ′

)2

(3.1)

La notacion clasica mas comun es f, z, que fue introducida por Caley en1880. El nombre de “derivada Schwarziana” fue en honor a Schwarz.

Existen dos puntos de vista generales de acuerdo a los cuales la Schwarzianase ha desarrollado historicamente. Estos puntos de vista estan motivados porun lado por la relacion de este operador diferencial con las transformacionesde Mobius, y por otro, por su coneccion con ecuaciones diferenciales. Nosotrosdaremos aca mas enfasis al segundo punto de vista.

Primero que nada, si

f(z) =az + b

cz + d, ad − bc = 1 (3.2)

es una transformacion de Mobius, entonces Sf se anula identicamente, y viceversa. Recordemos que las transformaciones de Mobius pueden ser caracteri-zados por propiedades globales como la de mapear cırculos en cırculos, o la deser los unicos homeomorfismos conformes de la esfera en sı. La anulacion dela Schwarziana resulta por otro lado una caracterizacion infinitesimal. Parademostrar la afirmacion anterior vemos que si f es como en (3.2) entonces

f ′(z) =1

(cd + d)2

25


y luegof ′(z)−

1

2 = cz + d .

Por otro lado se puede demostrar que para f arbitraria

d2

dz2f ′(z)−

1

2 = −1

2f ′(z)−

1

2 Sf(z) .

Se deduce de esto que si f es de Mobius entonces Sf = 0, y vice versa. Masaun, si f es de Mobius se tiene

S(f h) = Sh (3.3)

es decir, la Schwarziana es invariante ante tales composiciones por la izquier-da. Si se compone con transformaciones de Mobius por la derecha se tiene

S(h f) = ((Sh) f)(f ′)2 .

Estas dos ecuaciones son casos particulares de una misma formula que calculala Schwarziana de una composicion arbitraria:

S(f g) = ((Sf) g)(g′)2 + Sg . (3.4)

Llamaremos a esta propiedad la formula de adicion de la Schwarziana. Veamosahora la relacion con ecuaciones diferenciales. Si u1, u2 son soluciones lineal-mente independientes de

u′′ + pu = 0 (3.5)

entonces un calculo directo muestra que la funcion

f =u1

u2

satisface

Sf = 2p . (3.6)

Es decir, para resolver la ecuacion Sf = 2p basta con tomar el cuociente dedos soluciones linealmente independientes de (3.5). La invariancia dada por(3.3) muestra que la solucion f no es unica, por lo menos podemos tomarcualquier T f con T de Mobius. Por otro lado, si Sf = Sg = 2p entoncesuna simple aplicacion de la formula de adicion muestra que S(g f−1) = 0,de modo que en efecto g = T f con T de Mobius. En conclusion, dadas lasdos soluciones u1, u2 entonces la funcion mas general que resuelve (3.6) es

g =af + b

cf + d=

au1 + bu2

cu1 + du2. (3.7)

Capıtulo 3. La derivada Schwarziana 27

Teorema 3.1. Si u1 y u2 son soluciones linealmente independientes de

u′′ + pu = 0 ,

entonces Sf = 2p si y solo si f =u1

u2.

Demostracion: Si f =u1

u2⇒ f ′ =

u2u′1 − u1u

′2

u22

=c

u22

y tenemos que

f ′′

f ′ = −2u′

2

u2,

(f ′′

f ′

)′= −2

u′′2

u2+ 2

(u′

2

u2

)2

Sf = −2u′′

2

u2+ 2

(u′

2

u2

)2

− 2

(u′

2

u2

)2

= 2p

Recıprocamente, sea f con Sf = 2p se puede verificar que

u0 = (f ′)−1/2 satisface u′′ + pu = 0

En efecto,

Siu′

u= −1

2

f ′′

f ′ ⇒ log u = −1

2logf ′ ⇒ u = (f ′)−1/2

Por otro lado, Si u1 es solucion de

u′′ + pu′ + qu = 0

tomando u2 = c(x)u1 obtenemos que

c′′u1 + 2c′u′1 + cu′′

1 + p(c′u1 + cu′1) + qcu1 = 0

u1c′′ + (2u′

1 + pu1)c′ = 0 ⇒ c′′

c′= −2

u′1

u1

− p

⇒ log c′ = −2logu1 −∫

p

⇒ c′ =1

u21

e−∫

p

⇒ u2(x) = u1(x)

∫1

u21(x)

e−∫

p(x)dxdx

Luego,

u1 = (f ′)−1/2 ⇒ u2 = u1

∫1

u21

dz = u1

∫f ′dz = u1f ⇒ f =

u1

u2.


Ejemplo 3.1. Si Sf ≡ 1 , u′′ + 12u = 0 entonces

u1 = sin

(1√2z

), u2 = cos

(1√2z

)⇒ f(z) = tan

(1√2z

)

Sea g(z) = f(eiθz) entonces

Sg(z) = Sf(eiθz)e2iθ + 0 = e2iθ .

La relacion de la Schwarziana con la ecuacion lineal (3.5) no es tan sor-prendente si se mira a

Sf =

(f ′′

f ′

)′− 1

2

(f ′′

f ′

)2

= 2p

como una ecuacion de Ricatti en y = f ′′/f ′. Ası,

y′ − 1

2y2 = 2p (3.8)

y es una tecnica estandar la de transformar una ecuacion de Ricatti a unalineal de un orden mayor. Si y = f ′′/f ′ es solucion de (3.8) entonces u =(f ′)−1/2 es solucion de la ecuacion lineal (3.5).

Finalizamos esta seccion con algunas notas historicas. El operador difer-encial definido en (3.1) aparecio en la literatura por primera vez en un trabajode Kummer en 1836. El observo que si u1, u2 eran soluciones de

u′′ + qu′ + pu = 0

entonces f = u1/u2 tiene

Sf = 2p − 1

2q2 − q′ .

En lo que Kummer realmente estaba interesado era en la ecuacion hiper-geometrica

z(1 − z)u′′ + (c − (a + b + 1)z)u′ − abu = 0 . (3.9)

Esta ecuacion y el estudio de sus soluciones es de mucha importancia enanalisis, dado que es posible reducir muchas otras ecuaciones a esta. Para(3.9) la correspondiente ecuaciones Schwarziana es

Sf =1 − λ2

2z2+

1 − µ2

2(1 − z2)+

1 − λ2 − µ2 − ν2

2z(1 − z)(3.10)


donde λ = 1 − c, µ = c − a − b, ν = a − b.La ecuacion hipergeometrica aparece en el mapeo de Riemann a un triangu-

lo cuyos lados son arcos de cırculos (o rectas), mapeo cuya Schwarziana ven-dra dada por (3.10). Mas generalmente, y siguiendo un analisis similar, sepuede considerar la funcion de Riemann a un polıgono cuyos lados son arcosde cırculos. El caso particular de lados rectos lleva a la bien conocida formulade Schwarz-Christoffel. Un excelente tratamiento de este topico puede encon-trarse en el libro de Nehari, “Conformal Mapping” (Dover).

Dado que el coeficiente de u′′ en (3.9) se anula en 0 y 1, es de esperarque las soluciones u sean singulares en tales puntos. Kummer estaba intere-sado en este aspecto de las soluciones, en particular, el de su continuacionanalıtica alrededor de dichos puntos. Esto lo llevo a considerar ciertos gruposası llamados de monodromıa, grupos de transformaciones de Mobius asocia-dos a dichas continuaciones analıticas. La Schwarziana aparecio entonces demanera natural como un invariante es este estudio.

El desarrollo de este problema siguio con Fuchs, quien en 1886 formulo unproblema central: ¿Cuando son las soluciones (3.9) funciones algebraicas?Esta pregunta fue respondida en 1872 por Schwarz, quien uso su vasto conoci-miento de mapeos conformes y continuacion analıtica, junto con su principiode reflexion recientemente desarrollado.

3.2. La Ecuacion Lineal y Univalencia

Sea Ω un dominio en el plano, y sea f una funcion analıtica, localmenteunivalente en Ω. El siguiente resultado es la caracterizacion fundamental deunivalencoa en terminos de la Schwarziana.

Teorema 3.2. Sea Ω simplemente conexo y sea f : Ω → C con f ′ 6= 0.Entonces f es univalente en Ω si y solo si la ecuacion u′′ + 1

2(Sf)u = 0 es

disconjugada (es decir, toda solucion no trivial posee a lo mas un cero).

Demostracion: Supongamos que existe u1 6= 0 solucion con u1(z1) = u1(z2) =0. Sea u2 una segunda solucion linealmente independiente y consideremos

g =u1

u2

(a) g(z1) = g(z2) = 0 ⇒ g no 1 − 1

(b) Sg = 2p = Sf ⇒ f no 1 − 1

Recıprocamente, supongamos que f no es univalente.

f(z1) = f(z2) = α


Pero f =u1

u2y tenemos que

u(z) = u1(z) − αu2(z)

vale 0 en z = z1 y z = z2

Sabemos qie si Sf = 0 entonces f es de Mobius, i.e., f es univalente nosolo en Ω sino que en todo el plano complejo. Esto lleva a la idea intuitivade que si “Sf es pequena” en Ω, entonces f sera univalente ahı. De maneraequivalente, el Teorema anterior dice que para probar univalencia, basta de-mostrar la ausencia de soluciones de la ecuacion lineal que tengan multiplesceros. Cuando Sf = 0 entonces las u son de la forma az + b, y se anulan soloen un punto. Desde este punto de vista es concebible nuevamente pensar quecon “Sf pequena” las soluciones de la ecuacion lineal no tendran mas de uncero. Dos preguntas importantes son entonces:

1. ¿De que tipo son las condiciones “Sf pequena” que implican la univa-lencia?

2. ¿De que manera influye la geometrıa del dominio Ω?

En el transcurso de este capıtulo daremos respuestas bastantes precisas aambas preguntas.

3.3. La Schwarziana y la clase SVeremos es esta seccion algunas condiciones necesarias y otras suficientes

para la univalencia de una funcion analıtica, localmente inyectiva en D. Estascondiciones dependen del tamano de la Schwarziana.

Teorema 3.3 (Krauss, Nehari). Si f ∈ S entonces

|Sf(z)| ≤ 6

(1 − |z|2)2∀z ∈ D

Demostracion. Esta estimacion es consecuencia del Teorema del Area. Dadaf ∈ S consideramos

F (z) =f

(z+ζ

1+ζz

)− f(ζ)

(1 − |ζ |2)f ′(ζ)= z + A2a

2 + A3z3 + · · ·

y luego

G(z) =1

F(

1z

) = z + B0 + B1z−1 + · · · ,


que pertenece a Σ. Se calcula que B1 = A22 − A3 y sabemos que |B1| ≤ 1.

Por otro lado, se puede demostrar tambien que

B1 = −1

6(1 − |ζ |2)2Sf(ζ) ,

de donde se deduce el teorema.

Este teorema fue demostrado originalmente por Kraus en 1932 y redes-cubierto en 1949 por Nehari. El resultado es optimo dado que la funcion deKoebe tiene

Sk(z) =−6

(1 − z2)2.

Teorema 3.4 (Nehari). Si f es analıtica, localmente univalente en D y

|Sf(z)| ≤ 2

(1 − |z|2)2(3.11)

entonces f es univalente en D.

El 2 y el 6 son optimos. Si una f univalente tiene

|Sf(z0)| ≤6

(1 − |z0|2)2

para algun z0 entoncesf(z) = T k σ(z)

donde T es Mobius, σ : D → D automorfismo.Este ultimo teorema tambien fue demostrado en 1949 y dio inicio a un

extenso estudio de mas condiciones suficientes para univalencia. (3.11) tam-bien es optima dado que para todo ε > 0 existen funciones no univalentes enD con

|Sf(z)| ≤ 2 + ε

(1 − |z|2)2.

Por ejemplo, se puede tomar f(z) =

(1 + z

1 − z

)iε

que tiene

Sf(z) =2(1 + ε2)

(1 − z2)2.

La demostracion de que (3.11) implica la univalencia de f se basa en elTeorema 3.2. En otras palabras, se prueba que su |p(z)| ≤ (1−|z|2)−2 entoncesu′′ + pu = 0 no admite soluciones no triviales con mas de un cero en D.


Otras dos condiciones de univalencia que pueden ser demostradas de manaerasimilar son

|Sf(z)| ≤ π2

2(3.12)

y

|Sf(z)| ≤ 4

1 − |z|2 . (3.13)

Ambas son optimas. La primera se debe a Nehari nuevamente mientras que(3.13) fue anunciada por Pokornyi. En la siguiente seccion daremos una de-mostracion diferente de estas tres condiciones suficientes para univalencia.No usaremos el Teorema 3.2 sino que estimaciones basadas en metodos decomparacion para ecuaciones diferenciales.

3.4. Teoremas de comparacion de Sturm

Este teorema de alguna manera cuantifica la frecuencia con que solucionesde ecuaciones

u′′(x) + p(x)u(x) = 0

se pueden anular. El caso interesante (que permite solucines con ceros) escuando p(x) ≥ 0

u′′(x) = −p(x)u(x)

El ejemplo mas sencillo es

u′′(x) + α2u(x) = 0

con soluciones cos(αx), sin(αx) y δ =π

α: frecuencia de ceros.

p(x) ≤ q(x) continuas

u′′(x) + p(x)u(x) = 0u′′(x) + q(x)u(x) = 0

u(x0) = v(x0) = a > 0

u′(x0) = v′(x0) = b

Teorema 3.5 (Teorema de Sturm). Supongamos que que v(x1) = 0 para unx1 ∈ (x0, b)

(a) Entoncesu(x) ≥ v(x) para todo x ∈ (x0, x1)

En particular, u(x) no se anula antes de v(x).


(b) Si u(x1) = 0 entonces u(x) ≡ v(x) en (x0, x1), con lo que p(x) ≡ q(x) en(x0, x1).

Demostracion: Sea W (x) = u′(x)v(x) − u(x)v′(x) entonces

W ′(x) = u′′(x)v(x) − u(x)v′′(x)

= −p(x)u(x)v(x) + q(x)u(x)v(x)

= (q(x) − p(x))u(x)v(x)

Entonces, W (x0) = 0 y por continuidad, existe δ > 0 tal que u(x), v(x) > 0en (x0, x0 + δ)

⇒ W ′(x0) ≥ 0 en (x0, x0 + δ)

⇒ W (x) ≥ 0 en (x0, x0 + δ)

⇒ u′(x)

u(x)≥ v′(x)

v(x)en (x0, x0 + δ)

⇒ logu(x)|xx0≥ logv(x)|xx0

∀x ∈ (x0, x0 + δ)

⇒ u(x)

u(x0)≥ v(x)

v(x0)∀x ∈ (x0, x0 + δ)

⇒ u(x) ≥ v(x) ∀x ∈ (x0, x0 + δ)

Esto implica que el siguiente cero de u(x) no puede estar antes de x1 y esteargumento entonces muestra que en (x0, x1) u, v > 0, luego u(x) ≥ v(x) ahı.Si al final de la integracion tenemos igualdad, debe ser que W ′(x) ≡ 0 en(x0, x1), luego W (x) = 0 por ser W (x0) = 0 luego u(x) ≡ v(x) en (x0, x1).

Teorema 3.6 (Teorema de Intercalacion). Sean u1, u2 soluciones de

u′′(x) + p(x)u(x) = 0

y sean x1 < x2 dos ceros consecutivos de u1. Entonces

i) u2(x1) = u2(x1) = 0 y es linealmente dependiente con u1.

o bien

ii) existe x3 ∈ (x1, x2) con u2(x3) = 0

Demostracion: Supongamos no (ii), es decir, u2(x) = 0 para todo x ∈(x1, x2). Por linealidad de la ecuacion, podemos suponer u1(x), u2(x) > 0 en(x1, x2), entonces

W (x) = u′2(x)u1(x) − u2(x)u′

1(x) ⇒ W ′(x) = 0 ⇒ W (x) = α


W (x1) = 0 − u2(x1)u′1(x1) ≤ 0

W (x2) = 0 − u2(x2)u′1(x2) ≥ 0

⇒ α = 0

Entonces u1, u2 son linealmente independientes y u2(x1) = u2(x2) = 0, yaque u′

1(x1) > 0 y u′1(x2) < 0.

3.5. Adaptacion al caso Analıtico

Veremos ahora una version compleja del teorema de comparaacion, paraluego dar diversas aplicaciones en la seccion siguiente. Sea q = q(x) ≥ 0continua en (−1, 1) y sea p = p(z) analıtica en D. Supongamos que

|p(z)| ≤ q(|z|) , (3.14)

y consideremos las soluciones u, v de

u′′ + pu = 0 , u(0) = 1 , u′(0) = 0 , (3.15)

v′′ + pv = 0 , v(0) = 1 , v′(0) = 0 . (3.16)

La primera de ellas es una ecuacion compleja en S, mientras que la segundaes real. El punto de partida es una respuesta afirmativa a una pregunta,algo ingenua si se quiere, de si es posible comparar |u| con v en vista de laestimacion (3.14).

Teorema 3.7 (Teorema Complejo de Comparacion). Sea a > 0 el numeromayor tal que v(x) > 0 para todo x ∈ (−a, a). Entonces para todo |z| < a setiene

|u(z)| ≥ v(|z|) .

En particular, u 6= 0 en el disco |z| < a.

La demostracion del teorema esta basada en el siguiente lema. Con-sideramos la funcion |u(z)| restringida a rectas por el origen. Ası, |u|′ sig-nificara diferenciacion con respecto al parametro de arco de la recta.

Lema 3.1. Sea u(z) solucion compleja de

u′′(z) + p(z)u(z) = 0, z ∈ Ω

y sea z = z(s) una arcoparametrizacion de un segmento lineal [a, b] ⊂ Ω. Seav(s) = |u(z(s))|. Supongamos qye u(z(s)) 6= 0 en s ∈ (a.b). Entonces

v′′(s) + |p(z(s))|v(s) ≥ 0 .


Demostracion: Tenemos

v2(s) = |u(z(s))|2 = u(z(s))u(z(s))

2vv′ = u′z′u + uu′z′ = 2Reu′z′u

Entonces|vv′| ≤ |u′z′u| ≤ |u′||u| =⇒ |v′| ≤ |u′|

de donde usando (3.16) se obtiene

vv′′ + (v′)2 = Reu′′(z′)2u + u′z′u′z′= Re−p|u|2(z′)2 + |u′|2= −Rep(z′)2v2 + |u′|2

Notemos que

vv′′ + Rep(z′)2v2 = |u′|2 − (v′)2 ≥ 0 =⇒ v′′ + Rep(z′)2v ≥ 0

=⇒ v′′(s) + |p(z(s))|v(s) ≥ 0 .

Demostracion: (del Teorema Complejo de Comparacion). Tenemos

v′′ + qv = 0 , v(0) = 1 , v′(0) = 0 ,

|u|′′ + |p||u| ≥ 0 , |u|(0) = 1 , |u|′(0) = 0 ,

la segunda de ellas en una vecindad del origen. La demostracion del teoremareal de comparacion y su corolario, se pueden aplicar ahora paso a paso: seconsidera η = |u|′v − |u|v′, la que satisface η′ = |u|′′v − |u|v′′ ≥ (q − |p|)|u|v.De aquı la demostracion es tal como en el caso del teorema real.

El Teorema de Complejo de Comparacion (TCC) nos da una cota inferiorpara |u| en terminos de una cota superior para el coeficiente |p|. Tecnicas decomparacion similares permiten establecer la siguiente cota superior para |u|.La demostracion sera omitida.

Lema 3.2. Sea w la solucion de

w′′ − qw = 0 , w(0) = 1 , w′(0) = 0 . (3.17)

Entonces

|u(z)| ≤ w(|x|) .


3.6. Aplicaciones del TCC

Obviamente estamos interesados en el estudio de la ecuacion compleja

u′′ + pu = 0 (3.18)

en su relacion ya descrita con la derivada Schwarziana Sf = 2p. Si u1 essolucion de (3.18) entonces el metodo de variacion de parametros de unasegunda solucion como

u2(z) = u1(z)

∫ z

0

u−21 (ζ)dζ .

De este modo, el cuociente u2/u1 viene dado por

f(z) =

∫ z

0

u−21 (ζ)dζ . (3.19)

Esta funcion, sin embargo, tendra polos donde u1 se anule, pero Sf = 2pen todas partes. Para que esta ultima ecuacion tenga sentido es necesarioextender la definicion de Schwarziana a funciones meromorfas, localmenteunivalentes. Si f(z0) = ∞ es un polo simple entonces g(z) = 1/f(z) tiene uncero simple cuando z = z0. Como g es una transformacion de Mobius de fdefinimos

Sf(z0) = Sg(z0) .

Consideremos soluciones de (3.18) normalizadas en el origen de modo queu(0) = 1 y u′(0) = 0. Si el coeficiente p no es “muy grande”, entonces talsolucion u no tendra cero en D y la representacion (3.19) dara una f regular(sin polos).

Trataremos en detalle el teorema original de Nehari, en el cual se consid-eran funciones tal que

|Sf(z)| ≤ 2

(1 − |z|2)2.

De este modo, la funcion de comparacion q en (3.16) viene dada por

q =1

(1 − x2)2,

y la correspondiente solucion v es

v(x) =√

1 − x2 .


Esta ultima es positiva en (−1, 1), y de acuerdo al TCC, si

|p(z)| ≤ 1

(1 − |z|2)2

entonces la solucion normalizada de u de (3.18) satisface

|u(z)| ≥√

1 − |z|2 . (3.20)

En particular, u no se anula en D y la funcion

f(z) =

∫ z

0

u−2(ζ)dζ (3.21)

es regular, con Sf = 2p. Es claro que f(0) = 0, y las normalizaciones de use traducen en que f ′(0) = 1 y f ′′(0) = 0.

Para obtener cotas superiores para |u| debemos considerar la solucion wde (3.17). Esta funcion viene dada por

w(x) =1

2

√1 − x2

(1 + x

1 − x

)σ

+

(1 − x

1 + x

)σ

donde σ =√

2/2. De acuerdo al Lema 3.2,

|u(z)| ≤ w(|z|) . (3.22)

De manera analoga a (3.21) consideramos las funciones

F (x) =

∫ x

0

v−2(t)dt , G(x) =

∫ x

0

w−2(t)dt ,

las que pueden ser calculadas explıcitamente, dando

F (x) =1

2log

1 + x

1 − x, G(x) =

1√2

(1 + x)√

2 − (1 − x)√

2

(1 + x)√

2 + (1 − x)√

2.

Notese que de hecho, F y G son analıticas en D.

Teorema 3.8 (Teorema Schwarziano de Distorsion y crecimiento). Si |Sf(z)| ≤2(1 − |z|2)−2 y f(0) = 0, f ′(0) = 1, f ′′(0) = 0 entonces

4(1 − |z|2)√

2−1

((1 + |z|)√

2 + (1 − |z|)√

2)2≤ |f ′(z)| ≤ 1

1 − |z|2 , (3.23)

1√2

(1 + |z|)√

2 − (1 − |z|)√

2

(1 + |z|)√

2 + (1 − |z|)√

2≤ |f(z)| ≤ 1

2log

1 + |z|1 − |z| . (3.24)

Si en alguna de estas desigualdades se tiene igualdad para un z 6= 0 entoncesf es una rotacion de F o G, como sea el caso.


Demostracion: Las desigualdades en (3.23) son inmediatas de (3.20) y(3.22). La desigualda de la derecha en (3.24) se obtiene por simple estimacionintegral. mientras que la otra desigualdad requiere de un poco mas de trabajo.Sea 0 < r < 1 dado, y sea z0 = reiθ un punto donde se asume mın|z|=r |f(z)|.Entonces el segmento lineal desde 0 hasta f(z0) esta totalmente contenidoen la imagen de |z| ≤ r, y

|f(z0)| =

∫ |f(z0)|

0

|dζ | =

∫ r

0

|f ′(xeiθ)|dx ≥∫ r

0

w−2(x)dx = G(r) .

Para demostrar las aseveraciones relacionadas a los casos de igualdad, esnecesario volver a la demostracion del Teorema de Comparacion de Sturm yanalizar cuando puede haber igualdad en la desigualdad entonces concluıda.Esto solo puede suceder si la funcion η se anula identicamente en el intervalocorrespondiente. En nuestro caso ahora, las cantidades son analıticas, demodo que η ≡ 0. El mismo principio es valido para el caso de igualdad en elLema 3.2. De esto se deducen las afirmaciones hechas.

Corolario 3.1. Si |Sf(z)| ≤ 2(1 − |z|2)−2 y f(0) = 0, f ′(0) = 1, f ′′(0) = 0entonces

|ζ | <1√2

⊂ f(D) .

Demostracion: Esto se deduce facilmente de la primera desigualdad en(3.24).

Recordemos que el teorema de univalencia de Nehari afirma que si |Sf(z)| ≤2(1− |z|2)−2 entonces f es univalente en D. Como mencionamos en su opor-tunidad, la demostracion original de Nehari ocupa la caracterizacion de uni-valencia dada por el Teorema 1. En nuestro caso, la prueba estara basada enla desigualdad de la izquierda en (3.24) y en la invariancia de la condicionde Nehari ante composiciones f T , con T un automorfismo del disco.

Lema 3.3. Sea T un automorfismo de D y supongamos que |Sf(z)| ≤ 2(1−|z|2)−2. Entonces

|S(f T )(ζ)| ≤ 2

(1 − |ζ |2)2.

Demostracion: La formula de adiccion (3.4) implica que

S(f T )(ζ) = Sf(Tζ)(T ′ζ)2

de modo que

(1−|ζ |2)2|S(f T )(ζ)| = (1−|ζ |2)2|Sf(Tζ)||(T ′ζ)2| = (1−|Tζ |2)2|Sf(Tζ)| .


La ultima igualdad es consecuencia del hecho que los automorfismos del discoson isometrıas hiperbolicas, es decir, son isometrıas de D provisto con lametrica

ds2 =|dz|2

(1 − |z|2)2.

Se deduce entonces que (1 − |ζ |2|S(f T )(ζ)| ≤ 2.

. Estamos ahora en condiciones de dar una demostracion del Teorema deNehari. Supongamos que f satisface la hipotesis, y que f(z1) = f(z2). Sea Tla transformacion dada por

T (z) =z + z1

1 + z1z,

que manda 0 a z1. Sea z3 = T−1(z2). Mostraremos que z3 = 0 de lo cualz1 = z2. Sabemos que g = f T tambien satisface la hipotesis Schwarzianay g(0) = g(z3). Mediante una composicion de Mobius por la izquierda, sepuede asumir que g(0) = 0, g′(0) = 1, g′′(0) = 0. Entonces por (3.24),0 = |g(0)| = |g(z3)| ≥ |G(z3)|, lo cual implica z3 = 0.

Las otras dos condiciones suficientes para univalencia, (3.12) y (3.13),admiten demostraciones similares una vez establecidos los correspondientesteoremas de distorsion y crecimiento.

Finalizamos esta seccion con importantes notas en relacion a la normal-izacion f(0) = 0, f ′(0) = 1, f ′′(0) = 0, y al segundo coeficiente. Comosabemos, dada p, la solucion f de Sf = 2p es unica, salvo por composi-ciones con transformaciones de Mobius T f . En otras palabras, es posibleespecificar en la solucion tres parametros complejos, tales como f(0) = a0,f ′(0) = a1 y f ′′(0) = 2a2. Los cambios en f(0) y f ′(0) se pueden obtenermediante transformaciones afines

f → αf + β ,

las cuales no afectan el hecho que si f tiene polos o no en D. Por lo tanto, parapropositos de saber si la solucion de Sf = 2p es regular, podemos asumirque f(0) = 0, f ′(0) = 1.

El subgrupo de Mobius que fija esta normalizacion parcial y que actuasobre el segundo coeficiente, viene dado por los cambios de la forma

f → g = T f =f

1 − af.


Ası, si f(0) = 0, f ′(0) = 1 y f ′′(0) = 2b entonces g(0) = 0, g′(0) = 1 yg′′(0) = 2(a + b). La funcion g no tendra polos en D si y solo si f no asumeel valor

1

a.

Con esto dicho. volvemos al caso en que

|p(z)| ≤ 1

(1 − |z|2)2.

Teorema 3.9 (Teorema del Segundo coeficiente). Sea g meromorfa, local-mente univalente en D con g(0) = 0, g′(0) = 1. Si |Sg(z)| ≤ 2(1 − |z|2)−2

entonces g no asume el valor −1/a2, donde g′′(0) = 2a2.

Demostracion: Sea p = (1/2)Sg. Sabemos que la solucion de Sf = 2p conf(0) = 0, f ′(0) = 1, f ′′(0) = 0 es regular en D. Por otro lado, g viene dadapor

g =1

1 − a2f

de dondef =

g

1 + a2g.

Pero f no tiene polos en D, y se deduce la conclusion del teorema.

Es posible dar la siguiente generalizacion del Teorema del Segundo coefi-ciente (TSC). Sea f dada con |Sf(z)| ≤ 2(1 − |z|2)−2. Para aplicar el TSCes necesario asumir que f(0) = 0, f ′(0) = 1. En otras palabras, en generaldebemos considerar la funcion

g =f − f(0)

f ′(0),

y deducimos que

− 2

g′′(0)/∈ g(D) .

En terminos de f ,

f(0) − f ′(0)2

f ′′(0)/∈ f(D) .

El lema 3 nos permite, sin embargo, cambiar el origen a cualquier otro puntode D. En efecto, sea T el automorfismo de D dado por

T (z) =z + a

1 + az, |a| < 1 ,


y sea f1 = f T . Entonces

f1(0) − f ′1(0)2

f ′′1 (0)

/∈ f1(D) = f(D) ,

la cual se traduce en que

f(a) +2(1 − |a|2)f ′(a)2

2af ′(a) − (1 − |a|2)f ′′(a)/∈ f(D) .

Denotaremos a h a la expresion de la izquierda, o sea,

h(z) = f(z) +2(1 − |z|2)f ′(z)2

2zf ′(z) − (1 − |z|2)f ′′(z). (3.25)

y enunciamos el resultado como:

Teorema 3.10. Si |Sf(z)| ≤ 2(1 − |z|2)−2 entonces para todo z ∈ D

h(z) /∈ f(D) .

Volveremos a la funcion h en el siguiente capıtulo, donde aparecera enrelacion a extensiones cuasiconformes.

3.7. El p-criterio de Nehari

Ejemplo 3.2.

u′′(x) +c

(1 − x2)2u(x) = 0, c > 0, x ∈ [0, 1)

Sea s : [0, 1) → [0,∞) definida por s(x) =1

2log

1 + x

1 − xcuya inversa es x =

x(s) =e2s − 1

e2s + 1. Considere la funcion

w(s) =u(x(s))√1 − x2(s)

, s ∈ [0,∞)

es posible probar que w′′(s) = (1 − c)w(s).Si c > 1 entonces w′′ = −(c−1)w entonces w(s) = sen(

√c − 1s), cos(

√c − 1s)

por lo que

u(x) =√

1 − x2 ·

sen

(√c − 1

1

2log

1 + x

1 − x

)

cos

(√c − 1

1

2log

1 + x

1 − x

)


Si c = 1 entonces w′′ = 0 luego w(s) = αs + β por lo que

u(x) =

(α

1

2log

1 + x

1 − x+ β

)√1 − x2

en particular,√

1 − x2 es solucion de u′′(x) +1

(1 − x2)2u(x) = 0.

Si c < 1 entonces w′′(1 − c)w luego

w(s) =

e√

1−cs

e−√

1−cs = αe√

1−cs + βe−√

1−cs = e−√

1−cs(αe(1−c)s + β)

por lo que

u(x) =√

1 − x2

α

(1 + x

1 − x

)√

1−c

2

+ β

(1 − x

1 + x

)√

1−c

2

.

Teorema 3.11 (Nehari). Si

|Sf(z)| ≤ π2

2en D

entonces f es univalente. La constante es optima.

Hay funciones extremales que satisfacen el criterio que no son 1-1 en D.

Observacion 3.1. Cualquier clase A de funciones definidas por

A = f : R → C : f ′ 6= 0, |Sf(z)| ≤ c(z)

es invariante bajo composicion f → T f .

Teorema 3.12.

|Sf(z)| ≤ 2

(1 − |z|2)2en D (3.26)

entoces f es univalente en D.

Demostracion: Supongamos que no. existe f satisfaciendo (3.26) no uni-valente, entonces existe z1 6= z2, f(z1) = f(z2). Sea σ : D → D tal queσ(0) = z1, σ(x0) = z2, 0 < x0 < 1. Pero, g = f σ tambien satisface

(3.26) y g(0) = g(x0). Una traslacion permite suponer que g(0) = 0, g =u1

u2,


u′′ +(

12Sg

)u = 0 entonces u1(0) = u(x0) = 0. Miramos, v(x) = |u1(x)|,

v′′ + 12|Sg(x)|v ≥ 0 entonces

v′′ +1

(1 − x2)2v ≥ 0

Por comparacion (Sturm) y el ejemplo que las soluciones de

h′′(x) +c

(1 − x2)2h(x) = 0, (con c = 1)

implica una contradiccion.

Observacion 3.2.

1)

u′′(z) +1

(1 − z2)2u(z) = 0, u(z) =

√1 − z2

Entonces

F (z) =

∫ z

0

u−2(ξ)dξ

satisface

SF (z) =2

(1 − z2)2

2) La misma construccion muestra que hay funciones g : D → C con

|Sg(z)| ≤ 2(1 + ε)

(1 − |z|2)2

que son infinita-valente.

El Teorema de crecimiento

|f(z)| ≤ k(|z|) =|z|

(1 − |z|)2

para funciones en la clase S muestra que S es compacta, en la topologıa deconvergencia localmente uniforme. Luego,

supf∈S

|Sf(0)| = supf∈S

∣∣∣∣∣

(f ′′

f ′

)′(0) − 1

2

(f ′′

f ′

)2

(0)

∣∣∣∣∣

= supf∈S

|6a3 − 6a22|

= 6 supf∈S

|a3 − a22| = A < ∞


Teorema 3.13. Si f : D → C es univalente entonces

|Sf(z)| ≤ A

(1 − |z|2)2

Demostracion:

f → g =f − f(0)

f ′(0)∈ S ⇒ Sf = Sg

Luego basta probar el Teorema en f ∈ S. Fijemos z = z0

F (z) =f

(z+z0

1+z0z− f(z0)

)

(1 − |z0|2)f ′(z0)∈ S

Sabemos que |SF (0)| ≤ A

SF (z) = Sf(σ(z))σ′(z)2 + Sσ(z)

σ′ =1 − |z0|2

(1 + z0z)2y SF (0) = Sf(z0)(1 − |z0|2)2 entonces

(1 − |z0|2)2|Sf(z0)| ≤ A

Teorema 3.14. El valor de A = 6, es decir, supf∈S

|a3 − a22| = 1

Demostracion: Sea f ∈ S y tomamos

g(z) =1

f(1/z)= z + b0 +

b1

z+ . . . ‘

bn

zn+ . . .

=1

1z

+ a2

z2 + a3

z3 + . . .|z| > 1

= z

1

1 + a2ξ + a3ξ2 + . . .

, ξ =

1

z

= z[1 − h(ı) + h2(ξ) + . . .]

= z[1 − a2ξ + a3ξ2 + . . . + a2

2ξ2 + . . . + . . .]

Entonces, b1 = −a3 + a22, por el teorema del area |b1| ≤ 1. El extremal es

unico.


Ejemplo 3.3. La transformacion de Koebe satisface

Sk(z) =−6

(1 − z2)2.

Teorema 3.15 (Pokorny-Nehari).

|Sf(z)| ≤ 4

1 − |z|2

es criterio de univalencia optimo.

Este Teorema es corolorio del p-criterio

Teorema 3.16 (p-Criterio de Nehari). Sea p = p(x) ≥ 0 una funcion con-tinua y par en (−1, 1), con las dos propiedades

(i) la solucion par de u′′(x) + p(x)u(x) = 0 no posee ceros en (−1, 1);

(ii) (1 − x2)2p(x) es no creciente en [0, 1). Entonces

|Sf(z)| ≤ 2p(|z|) ⇒ univalencia

Demostracion: Supongamos que existen z1, z2 ∈ D, z1 6= z2 y una f con|Sf(z)| ≤ 2p(|z|) con f(z1) = f(z2) = w. Podemos suponer que w = 0.Tambien, despues de una rotacion g(z) = f(eiθz) podemos suponer que z1,z2 tienen Imz1, Imz2 ≥ 0 y que la geodesica hiperbolica γ que los une essimetrica con respecto al eje Y .Caso I.Si γ = (−1, 1), f =

u1

u2, u′′

1(z)+(12Sf(z))u1(z) = 0 entonces u1(z1) = u1(z2) =

0, pero v(x) = |u(x)| satisface v′′ + |12Sf(x)|v ≥ 0 entonces v tiene “menos

ceros” que las soluciones de w′′(x) + p(x)w(x) = 0 lo que contradice (ii).Caso II.


0 1x

y

T

u

v

0x1 x2

z1iρ

z2

γ

| |

b b

Sea T : D → D que lleva (−1, 1) en γ dada por

T (ζ) =ζ + iρ

1 − iρζ.

Sea g(ζ) = f(T (ζ)), g(x1) = g(x2) = 0 con xi = T−1(zi). Afirmamos que

|Sg(x)| ≤ 2p(x) , x ∈ (−1, 1) .

En efecto, tenemos que

(1 − x2)2|Sg(x)| = (1 − x2)2|T ′(x)|2|Sf(T (x))|= (1 − |T (x)|2)2|Sf(T (x))|≤ (1 − |T (x)|2)22p(|T (x)|)= 2(1 − |w|2)2p(|w|) , w = T (x)

Para concluir que (1− x2)2|Sg(x)| ≤ 2(1− x2)2p(x). Para concluir la prueba

debemos probar que |T (x)| ≥ |x| lo que es equivalente ax2 + rho2

1 + ρ2x2≥ x2 lo

que equivale a x2 + ρ2 ≥ x2 + ρ2x4 lo cual es cierto.

Ejemplo 3.4. El teorema de Pokorny es caso particular de p-criterio endonde

p(x) =2

1 − x2, u′′(x) + p(x)u(x) = 0, u(x) = 1 − x2 .

3.8. Ejercicios

3.1. Pruebe que para f arbitraria, se tiene la siguiente identidad:

d2

dz2f ′(z)−1/2 = −1

2f ′(z)−1/2Sf(z).


3.2. Demuestre la formula de adicion para la Schwarziana

S(f g) = ((Sf) g)(g′)2 + Sg .

3.3. Pruebe que Sf = 0 si y solo si f(z) =az + b

cz + d, con ad− bc = 1. Deduzca

que S(T f) = Sf si T es una transformacion de mobius.

3.4. Pruebe que si g = f−1 entonces Sg = −((Sf) g)

(f ′ g)2.

3.5. Pruebe qe si Sf = Sg entonces existe una transformacion T de Mobiustal que g = T f .

3.6. Use el Teorema 3.1 para probar (de otra manera) que

Sf = 0 ⇔ f(z) =az + b

cz + d, ad − bc = 1.

3.7. Adaptar la demostracion del Teorema de Sturm al caso u(x0) = v(x0) =0, u′(x0) = v′(x0) > 0.

3.8. Sea

s = s(x) =1

2log

1 + x

1 − x: [0, 1) → [0,∞)

La inversa es

x = x(s) =e2s − 1

e2s + 1

Sea

w(s) =u(x(s))√1 − x2(s)

, s ∈ [0,∞)

Probar que w′′(s) = (1 − c)w(s).

3.9. Sea p(x) continua y par en (−a, a). Sean u, v las soluciones de

u′′(x) + p(x)u(x) = 0, u(0) = α, u′(0) = 0

v′′(x) + p(x)v(x) = 0, v(0) = 0, u′(0) = β

Probar que u(x) = u(−x), v(x) = v(−x).


3.10. Sean u, v soluciones de

u′′(x) + p(x)u(x) ≥ 0u′′(x) + p(x)u(x) = 0

u(x0) = v(x0) = α > 0

u′(x0) = v′(x0) = β

Probar que el primer cero de u(x) despues de x0 no sucede antes queaquel de v(x), y que en este lapso u(x) ≥ v(x).

3.11. Sea Ω convexo y f : Ω → C analıtica tal que

|Sf(z)| ≤ 2π

(diam(Ω))2.

Demuestre que f es univalente y que la constante es optima.

3.12. Mostrar que las clases

Fα =

f : D → C : f ′ 6= 0, |Sf(z)| ≤ α

(1 − |z|2)2

son ademas invariantes ante composicion f σ, σ : D → D automorfismo.

3.13. (a) Mostrar que F (z) =1

2log

1 + z

1 − z

(b) Mostrar que |SF (z)| ≤ 2

(1 − |z|2)2

3.14. Mostrar que una tal funcion es

g(z) =

(1 + z

1 − z

)iǫ

(a) Sg(z) =2(1 + ǫ2)

(1 − z2)2

(b) ¿Donde g es infinito valente?

Capıtulo 4

Funciones Cuasiconformes y

Cuasidiscos

Resulta natural preguntar para que otros dominios Ω del plano es posi-ble obtener teoremas de univalencia y distorsion asociados a la derivadaSchwarziana. Estudiaremos en este capıtulo una importante clase de domi-nios simplemente conexos que son precisamente aquellos para los cuales esposible establecer el teorema de univalencia correspondiente a la condicionde Nehaari. Estos dominios son los cuasidiscos y dejaremos propeusto el in-teresante problema de estudiar en ellos teoremas Schwarzianos de distorsion.

4.1. Definiones Basicas

Para definir lo que es un cuasidisco es necesario primero hablar de fun-ciones cuasiconformales. Trataremos primero el caso de homeomorfismos su-ficientemente diferenciables, de clase C1 sera suficiente. Desde un punto devista geometrico, una funcion analıtica, localmente univalente, esta caracter-izada por el hecho de que infinitesimalmente preserva tanta angulos comodistancias. Un cırculo infinitesimal de radio r en el punto z0 es transformadoen uno infinitesimal de radio |f ′(z0)|r, rotado en argf ′(z0).

En general, una transformacion solo diferenciable mapea cırculos infinites-imales en elipses. Un homeomorfismo f : Ω → C de clase C1 se dira cuasi-conforme si para todo z ∈ Ω tales elipses en f(z) tienen la razon de su ejemayor por su menor uniformemente acotada. Esto puede ser expresado demanera siguiente. Usaremos para ello las derivaciones complejas

∂

∂z=

1

2

(∂

∂x− i

∂

∂y

),

∂

∂z=

1

2

(∂

∂x+ i

∂

∂y

)

49


en terminos de las cuales es posible calcular la dilatacion infinitesimal maximay mınima por f . Si Df denota el diferencial de f en un punto dado, entoncestales distorsiones maximas y mınimas vienen dadas por

max|X|=1

|Df(X)| = |fz| + |fz| , mın|X|=1

|Df(X)| = ||fz| − |fz|| . (4.1)

Ası por ejemplo, si fz = 0 entonces f dilata infinitesimalmente lo mismo entodas las direcciones, es decir, la elipse en la imagen es en efecto un cırculo.No sorprende entonces que fz = 0 sea una manera distinta de escribir lasecuaciones de Cauchy-Riemann

ux = uy , uy = −vx

para las componentes u, v de f .El jacobiano de f (el determinante de su diferencial) viene dado por

|fz|2 − |fz|2 , (4.2)

que asumiremos es positivo (es decir, |fz| > |fz|). En otras palabras, tratare-mos el caso de homeomorfismos que preserven la orientacion.

Definimos la dilatacion de f por

|fz| + |fz||fz| − |fz|

=1 + |µ|1 − |µ| , (4.3)

la que es ≥ 1. Aca

µ =fz

fz

es una funcion compleja con |µ| < 1. Podemos decir entonces que f es cua-siconforme si existe una constante K tal que

1 + |µ|1 − |µ| ≤ K (4.4)

en todo punto del dominio Ω. Mas precisamente diremos en este caso que fes K-cuasiconforme. Notemos que f es 1-cuasiconforme si y solo si µ = 0 siy solo si fz = 0 si y solo si f es analıtica, y que f sera cuasiconforme en cadacompacto de Ω.

De (4.4) se deduce que

|µ| ≤ k =K − 1

K + 1< 1 . (4.5)

La funcion µ es llamada el coeficiente de Beltrami y el resultado central en lateorıa de funciones cuasiconformes es el hecho de que µ puede ser prescrito

Capıtulo 4. Funciones Cuasiconformes y Cuasidiscos 51

arbitrariamente, con la condicion de que |µ| ≤ k < 1. Es decir, dado tal µ sepuede encontrar una transformacion f tal que

fz = µfz , (4.6)

la llamada ecuacion de Beltrami. Esta ecuacion tiene una larga historia. Paracoeficientes µ de clase C∞ (4.6) ya habıa sido considerada por Gauss en1820 en relacion al problema de encontrar coordenadas isotermales para unasuperficie dada. Mas tarde, alrededor de los anos cuarenta del siglo pasado,fue Morrey quien estudio dicha ecuacion en forma sistematica, buscandosoluciones f con el menor grado de regularidad posible. Fue, sin embargo,Bers quien completo este estudio en 1957.

Sin entrar en mayores detalles de este difıcil trabajo en analisis, indicare-mos los puntos mas salientes de las transformaciones cuasiconformes. Si f esde clase C1 es claro que µ sera una funcion continua. El resultado recıproco esfalso en general, es decir, dado µ continua la solucion f no tiene por que serde clase C1. Otro problema serio que presenta al trabajar con funciones f declase C1 es que tal clase no esta cerrada bajo lımites localmente uniformes(lo cual sı sucede con las funciones analıticas). El lımite no sera C1 pero ten-dra cierta regularidad mas alla de la mera continuidad. Tal es la regularidadque puede ser demostrada para la solucion f en el caso de que el coeficienteµ sea lo mas general posible en (4.6).

Teorema 4.1. Sea µ una funcion compleja medible en Ω con ‖µ‖∞ < 1.Entonces existe un homeomorfismo f : Ω → C, diferenciable a.e. y quesatisface (4.6) a.e.

La regularidad de f en realidad es mayor. Esta funcion sera ACL (ab-solutamente continua en casi todas las lıneas) y tendra derivadas parcialeslocalmente en L2. La solucion f es unica modulo composiciones por la izquier-da con transformaciones conformes. La unicidad se deduce de la siguienteformula que calcula el coeficiente de Beltrami de una composicion: si f, g sonfunciones cuasiconformales definidas en un mismo dominio, y µf , µg son loscorrespondientes coeficientes de Beltrami, entonces casi en todas partes

µfg−1(ζ) =µf(z) − µg(z)

1 − µf(z)µg(z)

(gz(z)

|gz(z)|

)2

, ζ = g(z) .

Se deduce de esto que si f, g son soluciones de la misma ecuacion de Beltrami,entonces µfg−1 = 0 a.e., de donde f g−1 debe ser conforme.

La clase de transformaciones cuasiconformes posee tambien importantespropiedades de compacidad. Para enunciar este resultado consideremos home-omorfismos cuasiconformales de la esfera S2 = C ∪ ∞ que fijen los puntos


0, 1 e ∞. Tal normalizacion siempre es posible dado que el grupo de Mobiusde la esfera actua de manera transitiva sobre ternas de puntos.

Teorema 4.2. Sea F una familia de funciones K-cuasiconformales del planoextendido, que fijan 0, 1,∞. Entonces F es una familia equicontinua y nor-mal.

La demostracion se basa en la nocion de modulo de un dominio anulary en la distirsion de este modulo bajo una transformacion cuasiconforme.El teorema puede generalizarse al caso de un dominio Ω arbitrario si sereemplaza la normalizacion de las f ∈ F por la condicion de que para trespuntos z1, z2, z3 ∈ Ω fjos y cada f ∈ F , las distancias esfericas s(f(zi), f(zj))estan uniformementes acotadas por debajo por un numero positivo.

Damos a continuacion la definicion de cuasidisco.

Definicion 4.1. Un cuasidisco Ω es la imagen de D bajo una transformacioncuasiconforme del plano.

Ası, todo cuasidisco sera simplemente conexo y su frontera ∂Ω sera unacurva de Jordan (curva cerrada simple) que llamaremos un cuasicırculo. Perono toda curva de Jordan es un cuasıdisco. Mas adelante daremos tres carac-terizaciones analıticas y geometricas de cuasidiscos, tanto en terminos de sufrontera como de propiedades del dominio Ω mismo.

4.2. Criterios de Univalencia y Extensiones

Cuasiconformes

Hemos visto que si en D la derivada Schwarziana Sf es suficientementepequena entonces f sera univalente. Tales criterios de univalencia estan ınti-mamente relacionados a su vez con posible extensiones de f a un homeomor-fismo del plano que sea cuasiconforme. Un teorema notable al respecto sedebe a Gehring y Pommerenke, quienes demostraron que si ρ = ρ(z) > 0 enuna funcion tal qie la desigualdad

|Sf(z)| ≤ ρ(z) (4.7)

implica la univalencia de f en D, entonces para cualquier 0 ≤ t < 1

|Sf(z)| ≤ tρ(z) (4.8)

implica ademas la existencia de una extension K-cuasiconforme de f al plano.Aca, K = K(t).


La demostracion de este teorema usa, entre otras cosas, una caracteri-zacion geometrica de cuasicırculo.

Historicamente la primera instancia conocida del resultado de Gehring yPommerenke es original de Ahlfors y Weill. Ellos mostraron en 1962 que si

|Sf(z)| ≤ 2t

(1 − |z|2)2(4.9)

para algun 0 ≤ t < 1 entonces f admite una extension1 + t

1 − t-cuasiconforme.

La demostracion de este teorema se divide en dos partes. Primero seasume que f es regular en la clausura D del disco, en cuyo caso se demuestraen forma mas o menos directa que la funcion h en (??) es la deseada exten-sion. En el caso general se considera una aproximacion de f por las funcionesfr(z) = f(rz), r < 1. Por el resultado anterior, estas pueden ser extendi-das cuasiconformemente y usando un teorema de compacidad apropiado esposible extraer una sucesion rn converfente a 1 tal que las funciones frn

extendidas convergen localmente uniformemente a un lımite cuasiconforme.Esta ultima funcion representa la extension de la f original.

4.3. Cuasidiscos

Los resultados de la seccion anterior muestran que en ciertos casos la im-agen Ω = f(D) bajo una funcion analıtica sera un cuasidisco. Pero dado undominio de Jordan Ω nos gustarıa saber si es un cuasidisco sin apelar nece-sariamente al mapeo de Riemann. He aquı tres importantes caracterizacionesequivalentes de cuasidisco. La demostracion de tal equivalencia representa unarduo trabajo, cuyos detalles no vemos obligados nuevamente a omitir. Unaexcelente presentacion de este tema puede ser encontrada en el libro de O.Lehto, “Univalent Functions and Teichmuller Spaces”, mientras que el li-bro clasico de Lehto y Virtanen sobre transformaciones cuasiconformes delplano sigue siendo una referencia fundamental. Ambos libros son de Springer-Verlag.

Definicion 4.2 (Dominio Uniforme). Un dominio de Jordan Ω se dice serun dominio uniforme si existen constantes a, b tales que todo par z1, z2 ∈ Ωpuede ser conectado por una curva α en Ω con las propiedades:

(i) el largo de la curva α satisface

ℓ(α) ≤ a|z1 − z2| , (4.10)


(ii) para todo z ∈ α

mınℓ(α1), ℓ(α2) ≤ bd(z, ∂Ω) , (4.11)

donde α1, α2 son las componentes de α \ z.

Definicion 4.3 (Condicion de Razon Doble). Una curva de Jordan γ ⊂ C

se dice que satisface la condicion de Ahlfors de la razon doble si existe unaconstante c tal que para toda 4-tupla ordenada z1, z2, z3, z4 ∈ γ se tiene

|z1 − z2||z1 − z3|

|z3 − z4||z2 − z4|

≤ c . (4.12)

Antes de dar la ultima definicion debemos hablar de la metrica hiperbolica(o ası llamada de Poincare) en dominios simplemente conexos. Sea Ω undominio tal y sea f : D → Ω un mapeo de Riemann. Como vimos hace alguntiempo, en D es posible considerar

ds2 =|dz|2

(1 − |z|2)2

como una distinta manera de medir distancias. El largo de una curva γsera ahora ∫

γ

|dz|1 − |z|2 ,

con lo cual las “lıneas rectas” (lıneas de largo menor que unen a dos puntosdados) resultan ser arcos de cırculos ortogonals a ∂D. Dado que esta metricaes invariante bajo el grupo de automorfismos conformes de D, es posibletrasladar a Ω: la distancia hiperbolica entre w1, w2 ∈ Ω es igual a aquellaentre las preimagenes z1 = f−1(w1), z2 = f−1(w2). Esta ultima distanciano depende de la eleccion particular del mapeo de Riemann debido a lainvariancia de la metrica en D anteriormente aludida. El nuevo elemento dearco en Ω viene dado por ds2 = λ(w)2|dw|2 donde

λ(f(z))|f ′(z)| =1

1 − |z|2 (4.13)

Definicion 4.4 (Dominio de Univalencia). Sea Ω un dominio simplementeconexo. Diremos que Ω es un dominio de univalencia si existe ε > 0 tal quela desigualdad

|Sf(z)| ≤ ελ(z)2 (4.14)

implica la univalencia de f .


Como mencionamos antes, una concatenacion de varios resultados mues-tra que en efecto las nociones de cuasidisco, dominio uniforme, dominio deunivalencia y dominio con frontera que satisface la condicion de razon doble,son equivalentes.

En todas estas definiciones, la evaluacion de las constantes optimas esposible en contados casos. En la definicion 4, la constante ε se llama radiointerno de inyectividad del dominio Ω y se denota σ1(Ω). Ası por ejemplo,σ1(D) = 2 y es posible demostrar que σ1(Ω) < 2 a menos que el dominio seala imagen de D bajo una transformacion de Mobius.

Consideramos que serıa de mucho interes el estudiar los teoremas Schwar-zianos de distorsion en dominios que sean cuasidiscos. Creemos que para talefecto las nociones que pueden resultar mas utiles son las de dominio uniformey de univalencia.

Bibliografıa

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apuntes-seminario chuaqui

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