apuntes resueltos todo calculo 1 1
TRANSCRIPT
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
1/129
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
2/129
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
3/129
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
4/129
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
5/129
x3 + x2 ≥ x
x3 + x2 − x ≥ 0 ⇒ x(x2 + x − 1) ≥ 0
∆ = 1 + 4 = 5 x = 1±√
52
x
x −
1+√
52
x −
1−√ 5
2
≥ 0
] − ∞, 1−√
52 ] [
1−√ 52 , 0] [0,
1+√
52 ] [
1+√
52 , ∞[
x −
1+√
52
x
x −
1−√ 5
2
P (x)
S =[ 1−√
52
, 0]
[1+√
52
, ∞[
3x + 2
x + 1 ≤
x + 1
3x + 2 − 1x + 1
≤ 0 ⇒ 3x + 1x + 1
≤ 0 (3x + 1)(x + 1) ≤ 0 x = −1
S =] − ∞, −1[∪[− 13 , ∞[
x2 − x − 2 ≤ x
x2 − x − 2 ≥ 0(x − 2)(x + 1) ≥ 0 ⇒ x ∈] − ∞, −1] ∪ [2, ∞[
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
6/129
x < 0 x > 0
x2 − x − 2 ≤ x2−x − 2 ≤ 0
x ≥ −2
S = [2, ∞[
(x2 + 1)√
x − 1x2 − 7x + 10 0 ∀x ∈ R
1
x2 − 7x + 10 1
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
7/129
x − 1x − 2 > 1
x − 1x
−2 − 1 > 0
x − 1 − x + 2x − 2 > 0
1
x − 2 > 0x > 2
x − 1x − 2 < −1
x − 1x
−2
+ 1 < 0
x − 1 + x − 2x − 2 < 0
2x − 3x − 2 < 0
S 2 =]32 , 2[
S f =]3
2, 2[∪]2, ∞[
|x + 1| − 2|x − 3| ≥ x
x
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
8/129
x ≥ 3 x + 1 − 2(x − 3) ≥ x
x + 1 − 2x + 6 ≥ x−x + 7 ≥ x
2x ≤ 7x ≤ 7
2
S 3 = [3, 72 ]
, S f = [53 ,
72 ]
3x − 4|4 − 3x| − x2 ≤ 0
4 − 3x < 0 ⇒ x > 43
3x − 43x − 4 − x2 ≤ 0 ⇒
3x − 4x2 − 3x + 4 ≥ 0
∆ = 9 − 16 < 0 x2 − 3x + 4 > 0, ∀x ∈ R
3x − 4 ≥ 0 ⇒x ≥ 43
S 1 =
4
3, ∞
4
−3x
≥ 0
⇒ x
≤
4
33x − 4
4 − 3x − x2 ≤ 0 ⇒ 3x − 4
x2 + 3x − 4 ≥ 0
3x − 4(x + 4)(x − 1) ≥ 0
S p2 =] − 4, 1[∪
4
3, ∞
S 2 =] − 4, 1[∪{4/3}
S f =] − 4, 1[∪
4
3, ∞
||3x + 9| − |x|| ≥ 5
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
9/129
|3x + 9| − |x| ≥ 5 |3x + 9| − |x| ≤ −5
|3x + 9| = 3|x + 3| ∀x ∈ R
|x + 3| ≥ |x|
3|x + 3| ≥ |x + 3| ≥ |x| ⇒ 3|x + 3| − |x| ≥ 0
S (b) = ∅
|3x + 9| − |x| ≥ 5 ⇒ |3x + 9| ≥ 5 + |x|
x
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
10/129
−1 ≤ x3
+ 4
3xx
3
+ 4
3x
+ 1
≥ 0
x2 + 4 + 3x
3x ≥ 0
∆ = 9 − 16 < 0, x > 0
x
3 +
4
3x ≤ 1
x
3 +
4
3x − 1 ≤ 0
x2 + 4−
3x
3x ≤ 0
∆ = 9 − 16 < 0, x < 0
S 1 = φ x > 0;
x
3 − 4
3x
≤ 1
−1 ≤ x3 − 43x ≤ 1
−1 ≤ x3 − 4
3xx
3 − 4
3x + 1 ≥ 0
x2 − 4 + 3x3x
≥ 0(x + 4)(x − 1)
3x ≥ 0
]∞, −4] [−4, 0[ ]0, 1] [1, ∞[x + 4 − + + +
x − − + +x − 1 − − − +P (x) − + − +
S ∗ = [−4, 0[∪[1, ∞[
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
11/129
x
3 − 4
3x ≤ 1
x
3 − 4
3x − 1 ≤ 0
x2 − 4 − 3x3x
≤ 0(x − 4)(x + 1)
3x ≤ 0
] − ∞, −1] [−1, 0[ ]0, 4] [4, ∞[x + 1 − + + +
x − − + +x − 4 − − − +P (x) − + − +
S ∗∗ =]− ∞
,
−1]
∪]0, 4]
S 2 =S ∗ ∩ S ∗∗ = [−4, −1] ∪ [1, 4] x > 0 S 2c = [1, 4] S f = [1, 4]
x ∈ R |x − 2| + 4 − √ x − 6 < 2
|x − 2| + 4 ≥ 0
x ≥ 6 x ≥ 6 x ≥ 6
|x − 2| + 4 < 2 + √ x − 6
|x − 2| + 4 < 4 + 4√ x − 6 + x − 6 x ≥ 6 |x − 2| = x − 2
x − 2 < 4√ x − 6 + x − 64 < 4
√ x
−6
1 < √ x − 6
1 < x − 6 ⇒ x > 7
S =]7, ∞[
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
12/129
f (x) = |x + 1| + x2 − x − 1(x + 3)
√ x2 − 2x + 1 x ∈ R g(x) =
f (x)
g(x)
|x + 1| + x2 − x − 1(x + 3)
√ x2 − 2x + 1 ≥ 0
|x + 1| + x2 − x − 1(x + 3)
(x − 1)2 ≥ 0
√ a2 = |a|
|x + 1| + x2 − x − 1(x + 3)|x − 1| ≥ 0
|x + 1| =
x + 1 x ≥ −1−(x + 1) x
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
13/129
−1 ≤ x 0
⇔ |c|2 + 4|c + π|(c − e) > 0 |c| =
√ c2 ⇒ |c|2 = c2.
c2 + 4|c + π|(c − e) > 0
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
14/129
|c + π| =
c + π c ≥ −π−c − π c 0
⇔ c2 + 4(c2 − ec + πc − πe) > 0⇔ c2 + 4(c2 + (π − e)c − πe) > 0
⇔ 5c2 + 4(π − e)c − 4πe > 0 5c2 + 4(π − e)c − 4πe
c1 = − 4
10
(π
−e)
− 4πe
5
+ 4
10
(π
−e)
2
c2 =
−
4
10
(π
−e) +
4πe
5
+ 4
10
(π
−e)
2
5c2 + 4(π − e)c − 4πe = (c − c1)(c − c2) c1 < c2
(c − c1)(c − c2) > 0
S 1 = (] − ∞, c1[ ∪ ]c2, +∞[) ∩ [π, +∞[
c 0
⇔ c2 − 4(c + π)(c − e) > 0⇔ c2 − 4(c2 + πc − ec − πe) > 0⇔ c2 − 4(c2 + (π − e)c − πe) > 0⇔ −3c2 − 4(π − e)c + 4πe > 0⇔ 3c2 + 4(π − e)c − 4πe
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
15/129
f : [0, +∞[→ R f (x) = x + 1√ x2 + 1
f
x ∈ [0, +∞[ y > 0 ∀x ∈ Dom(f ) Rec(f )
x
y = x + 1√
x2 + 1
y2 = (x + 1)2
x2 + 1
x2y2 + y2 = x2 + 2x + 1
x2(y2 − 1) − 2x + (y2 − 1) = 0
x = (1 − y2) ± 4 − 4(y2 − 1)2
2(y2 − 1)
x = (1 − y2) ± 2
1 − (y2 − 1)2
2(y2 − 1)
y = {−1, 1} 1 − (y2 − 1)2 ≥ 0
|y2 − 1| ≤ 1−1 ≤ y2 − 1 ≤ 1
y2 ≥ 0y2 − 2 ≤ 0
S 2 = [−√
2,√
2]
y > 0
Rec(f ) =]0,√
2]
f (x) = |x + 1| − 2|x − 3| − x.
|x + 1| − 2|x − 3| − x ≥ 0|x + 1| − 2|x − 3| ≥ x
Dom(f ) = [5
3, 7
2]
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
16/129
f : A → B f (x) = x − 13x + 2
A B f (x)
Dom(f ) = R − {− 23} A = R − {−23} a, b ∈ Dom(f ) f (a) = f (b) ⇒ a = b
f (a) = a − 13a + 2
= b − 13b + 2
= f (b)
(a − 1)(3b + 2) = (b − 1)(3a + 2)3ab + 2a − 3b − 2 = 3ab + 2b − 3a − 2
5a = 5b
a = b
∀x ∈ A B = Rec(f ) x
f (x) = y
y = x − 13x + 2
⇔ y(3x + 2) = x − 1 ⇔ 3xy + 2y = x − 1
2y + 1 = x(1 − 3y) ⇔ x = 2y + 11 − 3y
B = Rec(f ) = R − { 13}
f −1(x)
f −1(x) = 2x + 1
1 − 3x
f (x) = x2 − 1 g(x) =
2x + 3 x ≤ 0√
x 0 < x ≤ 8x3 x ≥ 8
g(f (x))
g(f (x)) =
2f (x) + 3 f (x) ≤ 0
f (x) 0 < f (x) ≤ 8(f (x))3 f (x) ≥ 8
g(f (x)) =
2(x2 − 1) + 3 x2 − 1 ≤ 0 (1)√
x2 − 1 0 < x2 − 1 ≤ 8 (2)(x2 − 1)3 x2 − 1 ≥ 8 (3)
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
17/129
x2 − 1 ≤ 0 ⇔ x ∈ [−1, 1] x2 − 1 ≥ 8 ⇔ x2 − 9 ≥ 0 ⇔ x ∈] − ∞, −3] ∪ [3, ∞[ 0 < x2 − 1 ≤ 8
0 < x2 − 1 ⇔ x ∈] − ∞, −1[∪]1, ∞[
x2 − 1 ≤ 8 ⇔ x2 − 9 ≤ 0 ⇔ x ∈ [−3, 3] S (2) = [−3, −1[∪]1, 3]
g(f (x)) =
2(x2 − 1) + 3 x ∈ [−1, 1]√ x2 − 1 x ∈ [−3, −1[∪]1, 3]
(x2 − 1)3 x ∈] − ∞, −3] ∪ [3, ∞[
f (x) =
2 − √ 2x + 1
Dom(f )
2 − √ 2x + 1 ≥ 0
x ≥ −1
2
2 ≥ √ 2x + 1
4 ≥ 2x + 13 ≥ 2xx ≤ 3
2
Dom(f ) =
−1
2, 3
2
f (x)
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
18/129
a, b ∈ Dom(f ) a < b a < b
2a < 2b
2a + 1 < 2b + 1
√ 2a + 1 < √ 2b + 1−√ 2a + 1 > −
√ 2b + 1
2 − √ 2a + 1 > 2 − √ 2b + 1 2 − √ 2a + 1 >
2 −
√ 2b + 1
f (a) > f (b)
f [0, 1[→ R f (x) = 1√ 1 − x2 Rec(f )
x
y = 1√
1 − x2y2 =
1
1 − x2y2 − x2y2 = 1
x2 = y2 − 1
y2
x =
y2 − 1
y2
x ∈
[0, 1[
0 ≤
y2−1y2
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
19/129
2tan x
1 + tan2 x =
2 · sinxcos x1 + sin
2 xcos2 x
=
2sin x
cosxcos2 x+sin2 x
cos2 x
= 2sin x
cos x · cos2 x
= 2 sin x cos x
= sin(2x)
f (x) =
sin(2x)
Dom(f )
sin(2x) ≥ 0
sin(2x) ≥ 0 ⇔ 2x ∈ [0, π] ∪ [2π, 3π] ∪ [4π, 5π] ∪ ....⇔ x ∈
0,
π
2
∪
π, 3π
2
∪
2π, 5π
2
∪ ....
⇔ x ∈k∈Z
kπ,
(2k + 1)π
2
f (x) = 1+sin x1−cosx
f
cos x = 1
x = 2kπk ∈ Z
Dom(f ) = R− {2kπ} f
f (x) = 0 ⇔ 1 + sin x = 0⇔ sin x = −1⇔ x =
3π
2 ,
7π
2 ,
11π
2 ,...
⇔ x = 3π
2 + 2kπ
k ∈ Z
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
20/129
| sin x| ≤ 1 | cos x| ≤ 1
1 + sin x ≥ 0 ∧ 1 − cos x ≥ 0
1 + sin x1 − cos x ≥ 0
f
f (x) = a cos(wx) + b sin(wx)
f
f (x) =√
a2 + b2 sin(wx + φ)
√ a2 + b2
f (x)√ a2 + b2
= a√
a2 + b2 cos(wx) +
b√ a2 + b2
sin(wx)
φ
cos φ = b√
a2 + b2
sin φ = a√
a2 + b2
f (x)√ a2 + b2
= sin φ cos(wx) + cos φ sin(wx)
f (x) =
a2 + b2 sin(wx + φ).
f (x) = sin x − cos x
f (x)√ 2
= sin x√
2− cos x√
2
cos φ = 1√
2
sin φ = 1√ 2
φ = π
4
f (x)√ 2
= cos π
4 sin x − cos x sin π
4
f (x) =√
2sin
x − π4
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
21/129
f (x) = 3sin x cos2 x − sin3 x + 12 cos(3x)
f (x) = 2 sin x cos2 x + sin x cos2 x − sin3 x + 12
cos(3x)
= 2 sin x cos x cos x + sin x(cos2 x − sin2 x) + 12
cos(3x)
= sin(2x)cos x + sin x cos(2x) + 1
2 cos(3x)
= sin(3x) + 1
2 cos(3x)
54
f (x) 54
= sin(3x)
54
+ cos(3x)
2
54
sin φ = 1
2
54
cos φ = 1
54
tan φ = 12 ⇒ φ = arctan12
f (x) =
5
4 sin
3x + arctan
1
2
limn→∞
n3 − 3n2 + 5n − 1(n − 2)2
limn→∞
n3 − 3n2 + 5n − 1(n − 2)2 = limn→∞
n3 − 3n2 + 5n − 1n2 − 4n + 4 = limn→∞
n3
1 − 3n + 5n2 − 1n3
n3
1n − 4
n2 + 4
n3
= ∞ lim
n→∞P (n)
Q(n)
P (n) Q(n)
P (n) = a0 + a1n + a2n2 + a3n
3 + ... + aknk
Q(n) = b0 + b1n + b2n2 + b3n
3 + ... + bknk
limn→∞
P (n)
Q(n) = lim
n→∞a0 + a1n + a2n
2 + a3n3 + ... + akn
k
b0 + b1n + b2n2 + b3n3 + ... + bknk
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
22/129
k
limn→∞
nk
a0nk
+ a1nk−1
+ a2nk−2
+ a3nk−3
+ ... + ak
nk b0nk
+ b1nk−1
+ b2nk−2
+ b3nk−3
+ ... + bk = lim
n→∞
a0nk
+ a1nk−1
+ a2nk−2
+ a3nk−3
→0
+... + ak
b0
nk +
b1
nk−1 +
b2
nk−2 +
b3
nk−3 →0
+... + bk
= akbk
an bn cn an = bn − n+1n cn = 2bn3 limn→∞an = 2 cn
limn→∞
an = limn→∞
bn − limn→∞
n + 1
n
2 = limn→∞
bn − 1 ⇒ limn→∞
bn = 3
cn = 2bn3
limn→∞
cn =2 · lim
n→∞bn
3 =
2 · 33
= 2
cn
limn→∞
n
k=1
2k
n2
7n
limn→∞
n
k=1
2k
n2
7n
= limn→∞
1
n2 · 2 · n(n + 1)
2
7n= lim
n→∞
n + 1
n
7n= lim
n→∞
1 +
1
n
7n= e7
ĺımn→∞
1n
2
+
2n
2
+
3n
2
+ ... +
nn
2
n
1
n
2+
2
n
2+
3
n
2+ ... +
nn
2=
1 + 22 + 32 + ... + n2
n2
=n(n+1)(2n+1)
6
n2
= n(n + 1)(2n + 1)
6n2
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
23/129
ĺımn→∞
1n
2+
2n
2+
3n
2+ ... +
nn
2n
= ĺımn→∞
n(n+1)(2n+1)6n2
n
= ĺımn
→∞
(n + 1)(2n + 1)
6n2
= 1
3
ĺımn→∞
1 + 5 + 52 + 53 + ... + 5n−1
5n + n
1 + 5 + 52 + 53 + ... + 5n−1 =n
k=1
5k−1
= 1 − 5n
1 − 5
ĺımn→∞
1 + 5 + 52 + 53 + ... + 5n−1
5n + n = ĺım
n→∞
1−5n1−5
5n + n
= −14
ĺımn→∞
1 − 5n5n + n
= −14
ĺımn→∞
15n − 11 + n5n
= 1
4
ĺımn→∞
yn yn = P n n
r
b
P n = n · b
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
24/129
b n r h
sina
2
=
b
2r
n
a
na = 2π
a = 2π
n
b = 2r sinπ
n
P n = 2nr sinπ
n
ĺımn→∞
P n = ĺımn→∞
2nr sinπ
n
t = πn n → ∞ ⇒ t → 0
ĺımn→∞
2nr sinπ
n
= 2r ĺım
t→0π sin t
t= 2πr
(an : n ≥ 1) an = (2n)!(2θ + 1)2n
(n!)2 θ ∈ R
limn→∞ a
n+1an
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
25/129
α ∈ R limn→∞
nk=1
(α2 − 8)k
limn→∞
n
k=1 ark−1 = a
1 − r
|r| < 1
limn→∞
nk=1
(α2 − 8)k = limn→∞
k=1
(α2 − 8)(α2 − 8)k−1 = α2 − 8
1 − (α2 − 8) ⇔ |α2 − 8| < 1
|α2 − 8| < 1 ⇔ −1 < α2 − 8 < 1
−1 < α2 − 8 ⇔ 0 < α2 − 7 ⇔ α ∈] − ∞, −√ 7[∪]√ 7, ∞[ α2
−8 < 1
⇔ α2
−9 < 0
⇔ α
∈]
−3, 3[
α ∈] − 3, −√
7[∪]√
7, 3[
α
L = α2 − 8
1 − (α2 − 8) = α2 − 89 − α2
(P n)n∈N P 0 > 0 P n+1 = bP na + P n
a b
(P n)n∈N b − a
P n+1 = bP na + P n
limn→∞
limn→∞
P n+1 =b limn→∞
P n
a + limn→∞
P n⇒ L = bL
a + L ⇒ L(a + L) = bL
L(a + L − b) = 0 ⇒
L1 = 0L2 = b − a
a > b (P n)n∈N
a > b P n+1 − P n
P n+1 − P n = bP na + P n
− P n = bP n − aP n − P 2n
a + P n=
P n(b − a) − P 2na + P n
a > b b − a
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
26/129
a < b 0 < P 0 < b − a 0 < P n < b − a, ∀n ∈ N (P n)n∈N
0 < a < b 0 < P 0 < b − a
0 < P n < b − a
0 < P n+1 < b − a
0 < P n < b − a b
0 < bP n < b(b − a)
a + P n
0 < bP na + P n
< b(b − a)
a + P n
0 < bP na + P n
< b(b − a)
a + P n< b − a ⇒ 0 < P n+1 < b − a
P n+1P n
P n+1P n
= bP n
(a + P n)P n=
b
a + P n
P n < b − a ⇒ a + P n < b, P n+1
P n> 1 ⇒ P n+1 > P n
limn→∞
P n
b − a.
xn =n
k=0
1
k!
yn = xn + 1
n · n!
xn+1 − xn
xn+1 − xn =n+1k=0
1
k! −
nk=0
1
k!
xn+1 − xn =n
k=0
1
k! +
1
(n + 1)! −
nk=0
1
k!
xn+1 − xn = 1(n + 1)!
> 0
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
27/129
xn
yn+1 − yn = xn+1 + 1(n + 1) · (n + 1)! −
xn +
1
n · n!
yn+1 − yn = xn+1 − xn + 1(n + 1)
·(n + 1)!
− 1n
·n!
yn+1 − yn = 1(n + 1)!
+ 1
(n + 1) · (n + 1)! − 1
n · n!yn+1 − yn = 1
(n + 1) · n! + 1
(n + 1)2 · n! − 1
n · n!yn+1 − yn = n(n + 1) + n − (n + 1)
2
n(n + 1)2n!
yn+1 − yn = n2 + n + n − n2 − 2n − 1
n(n + 1)2n! = − 1
n(n + 1)2n! 0x2 − 2x + 1 > 0
−1 + 2x − x2
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
28/129
an ∈]0, 1[ n = 1 a1 ∈]0, 1[ n = k
ak ∈]0, 1[
n = k + 1
ak+1 ∈]0, 1[
0 < ak < 1
0 < a2k < ak
0 > −a2k > −ak2ak > 2ak − a2k > ak
ak < ak(2 − ak) < 2ak ak(2
−ak) < 1 ak
∈]0, 1[
0 < ak(2 − ak) < 1ak+1 ∈]0, 1[
{an}n∈N
an+1 − an an+1 − an = an(2 − an) − an = an(2 − an − 1) = an(1 − an)
an ∈
]0, 1[ an ∈ R+ 1
−an > 0
an+1 − an = an(1 − an) > 0 ⇒ an+1 − an > 0 ⇒ an+1 > an {an}n∈N
L = limn→∞
an L
an+1 = an(2 − an)
limn→∞
an+1 = limn→∞
an(2 − limn→∞
an)
L = L(2 − L)L = 2L − L2L2 − L = 0
L(L − 1) = 0 ⇒
L1 = 0
L2 = 1
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
29/129
L = 1
limn→∞
1 − n2
n2√
n2 + 1+
2 − n2n2
√ n2 + 2
+ ... + n − n2n2
√ n2 + n
an = 1−n2n2√
n2+1 + 2−n
2
n2√
n2+2 + ... + n−n
2
n2√
n2+n
1 − n2n2
√ n2 + n
+ 2 − n2
n2√
n2 + n+ ... +
n − n2n2
√ n2 + n
≤ an ≤ 1 − n2
n2√
n2 + 1+
2 − n2n2
√ n2 + 1
+ ... + n − n2n2
√ n2 + 1
(1 + 2 + ... + n) − (n2 + n2 + ... + n2)n2
√ n2 + n
≤ an ≤ (1 + 2 + ... + n) − (n2 + n2 + ... + n2)
n2√
n2 + 1n(n+1)
2 − n3n2
√ n2 + n
≤ an ≤n(n+1)
2 − n3n2
√ n2 + 1
n2 + n − 2n32n2
√ n2 + n
≤ an ≤ n2 + n − 2n3
2n2√
n2 + 1
limn→∞
n2 + n − 2n32n2
√ n2 + n
≤ limn→∞
an ≤ limn→∞
n2 + n − 2n3n2
√ n2 + 1
limn→∞
n3
1n
+ 1n2
− 2n3
2
1 + 1n
≤ limn→∞
an ≤ n3
1n
+ 1n2
− 2n3
2
1 + 1n2
−1 ≤ lim
n→∞an ≤ −1 ⇒ lim
n→∞an = −1
limn→∞
n + sin
nπ2
2n + 1
sinnπ2
≤ 1−1 ≤ sin
nπ2
≤ 1
n − 1 ≤ n + sinnπ
2
≤ n + 1
n − 12n − 1 ≤
n + sin
nπ2
2n + 1
≤ n + 12n + 1
limn→∞n
−1
2n + 1 ≤ limn→∞n + sin nπ2 2n + 1 ≤ limn→∞ n + 12n + 1
1
2 ≤ lim
n→∞n + sin
nπ2
2n + 1
≤ 12 ⇒ lim
n→∞n + sin
nπ2
2n + 1
= 1
2
limn→∞
an an = [α]+[2α]+[3α]+...+[nα]
n2
α > 0 [.]
ψ − 1 < [ψ] ≤ ψ
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
30/129
(α − 1) + (2α − 1) + ... + (nα − 1) < [α] + [2α] + ... + [nα] ≤ α + 2α + ... + nα(α − 1) + (2α − 1) + ... + (nα − 1)
n2 < [α]+[2α]+...+[nα]
n2 ≤ α + 2α + ... + nα
n2
limn→∞
α nk=1
k− nn2
< limn→∞ an ≤ limn→∞
α nk=1
kn2
limn→∞
αn(n+1)2 − n
n2 < limn→∞ an ≤ lim
n→∞αn(n+1)
2
n2
limn→∞
αn + α − 22n
< limn→∞ an ≤ limn→∞
αn(n + 1)
2n2α
2 < limn→∞ an ≤ α
2
limn→∞
[α] + [2α] + ... + [nα]
n2
= α
2
limn→∞
1
n
e
1n +
e
1n
2+
e1n
3+ ... +
e
1n
n
1
n
e
1n +
e
1n
2+
e1n
3+ ... +
e
1n
n =
1
n
nk=1
e
1n
k=
e1n
n
nk=1
e
1n
k−1
= e
1n
n ·
1 −
e
1n
n
1 − e1
n
= e1n (1 − e) ·
1n
1 − e 1n
limn→∞
1
n
e
1n +
e
1n
2+
e1n
3+ ... +
e
1n
n = lim
n→∞e
1n (1 − e) ·
1n
1 − e 1n
u = 1n
n → ∞ u → 0
limu→0
eu(1 − e) u1 − eu = (1 − e) limu→0 e
u · −ueu − 1
= e − 1
(wn)n∈N (γ n)n∈N
γ n = w1 + 2w2 + ... + nwn
1 + 2 + ... + n
γ n
wn M > 0
|wn| ≤ M
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
31/129
|γ n| =
nk=1
kwk
n
k=1 k
|wk| ≤ M
|γ n| ≤
nk=1
kM
nk=1
k
≤ =
M n
k=1
k
nk=1
k
|γ n| ≤ M
(γ n)n∈N
limx→
1
x2 − 2x + 1
x3
− x (00)
limx→1
x2 − 2x + 1x3 − x = limx→1
(x − 1)2x(x − 1)(x + 1)
limx→1
x − 1x(x + 1)
= 0
limx→0
√ 1 + x2 − 1
x
limx→0
√ 1 + x2 − 1x
·√ 1 + x2 + 1√
1 + x2 + 1= lim
x→01 + x2 − 1
x√
1 + x2 + 1
= limx→0
x2
x√
1 + x2 + 1 = lim
x→0x√
1 + x2 + 1= 0
limx→1
3√
7 + x3 − √ 3 + x2x − 1
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
32/129
limx→1
3√
7 + x3 − √ 3 + x2
x − 1 = lim
x→1
3√
7 + x3 − √ 3 + x2 + 2 − 2x − 1
= limx→1
3√
7 + x3 − 2x − 1 −
√ 3 + x2 − 2
x − 1
= limx→1
3√
7 + x3 − 2x − 1 − limx→1
√ 3 + x2 − 2
x − 1
= limx→1
3√
7 + x3 − 2x − 1 ·
3
(7 + x3)2 + 2 3√
7 + x3 + 43
(7 + x3)2 + 2 3
√ 7 + x3 + 4
− limx→1
√ 3 + x2 − 2
x − 1 ·√
3 + x2 + 2√ 3 + x2 + 2
= limx→1
x3 − 1(x − 1)
3
(7 + x3)2 + 2 3√
7 + x3 + 4 − lim
x→1x2 − 1
(x − 1) √ 3 + x2 + 2= lim
x→1x2 + x + 1
3
(7 + x3)2 + 2 3√
7 + x3 + 4− lim
x→1x + 1√
3 + x2 + 2=
3
3 · 4 − 2
4 = −1
4
limx→0
(1 + mx)n − (1 + nx)mx2
limx→0
(1 + mx)n − (1 + nx)mx2
= limx→0
nk=0
n
k
(mx)k −
mk=0
m
k
(nx)k
x2
= limx→0
n(n−1)2 m2x2 + ... + mnxn −
m(m−1)2
n2x2 + ... + nmxm
x2
= lim
x→0 n(n − 1)m2
2 + .. + mnxn−2 −
m(m − 1)n2
2 + .. + nmxm−2
=
nm(n − m)2
limx→1
xn+1 − (n + 1)x + n(x − 1)2
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
33/129
u = x − 1 x → 1 ⇒ u → 0
limx→1
xn+1 − (n + 1)x + n(x − 1)2
u=x−1 = lim
u→0(u + 1)n+1 − (n + 1)(u + 1) + n
u2
= limu→0
n+1
k=0n + 1
k u(n+1)−k − u(n + 1) − (n + 1) + nu2
= limu→0
n+1n+1
+n+1n
u +
n+1n−1
u2 + ... + un+1 − u(n + 1) − (n + 1) + n
u2
= limu→0
1 + u(n + 1) + 12n(n + 1)u2 + ... + un+1 − u(n + 1) − (n + 1) + n
u2
= limu→0
1
u2
1
2n(n + 1)u2 + ... + un+1
= limu→0
n(n + 1)
2 +... + un−1
→0
= n(n + 1)2
limx→0
sin(7x) − sin(5x)sin(3x) − x
limx→0
sin(7x) − sin(5x)sin(3x) − x = limx→0
7 sin(7x)7x − 5 sin(5x)5x3 sin(3x)
3x − 1=
7 − 53 − 1 = 1
limx→0
x sin x
1 − cos x
limx→0
x sin x
1 − cos x = limx→0x sin x · (1 + cos x)
sin2 x
= limx→0
sinxx
· (1 + cos x)sinxx
2= 2
limx→0
tan x − sin xx3
limx→0
tan x − sin xx3
= limx→0
sinxcosx − sin x
x3
= limx→0
sin x − sin x · cos xx3 cos x
= limx→0
sin x · (1 − cos x)x3 cos x
· 1 + cos x1 + cos x
= limx→0
sin3 x
x3 cos x(1 + cos x) =
1
2
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
34/129
limx→0
√ 1 + sin x − √ 1 − tan x
sin(2x)
lim
x→0
√ 1 + sin x − √ 1 − tan x
sin(2x)
= lim
x→0
√ 1 + sin x − √ 1 − tan x
sin(2x) ·
√ 1 + sin x +
√ 1 − tan x
√ 1 + sin x + √ 1 − tan x= lim
x→01 + sin x − 1 + tan x
sin(2x)√
1 + sin x +√
1 − tan x= lim
x→0sin x + tan x
2sin x · cos x √ 1 + sin x + √ 1 − tan x= lim
x→0
sin x cos x+sinxcosx
2sin x cos x√
1 + sin x +√
1 − tan x= lim
x→0sin x(cos x + 1)
2sin x cos2 x√
1 + sin x +√
1 − tan x= lim
x→0cos x + 1
2cos2 x √
1 + sin x +√
1
−tan x= 2
2(2) = 1
2
limx→π3
2cos x − 1x − π3
u = x − π3 x → π3 ⇒ u → 0
limx→π3
2cos x − 1x − π3
u=x−π3 = lim
u→02cos
u + π3
− 1u
= limu→0
2
cos u · cos π3 − sin u · sin π3− 1
u
= limu→0
212 cos u − √ 32 sin u− 1u
= limu→0
cos u − 1
u −
√ 3 · sin u
u
= −
√ 3
limx→2
sin(πx)
(x − 2) cos(πx)
t = x − 2 x → 2 u → 0
limx
→2
sin(πx)
(x−
2)cos(πx) = lim
t
→0
sin(π(t + 2))
t cos(π(t + 2))
= limt→0
sin(πt + 2π)
t cos(πt + 2π)
= limt→0
π sin(πt)
πt · 1
cos(πt + 2π)= π
limx→π4
cos x − sin xex−
π
4 − 1
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
35/129
u = x − π4 x → π4 ⇒ u → 0
limx→π4
cos x − sin xex−
π
4 − 1u=x−π4
= limu→0
cos
u + π4− sin u + π4
eu − 1
= limu→0
cos u cos π4 − sin u sin π4 − sin u cos π4 + cos u sin
π4 eu − 1
= limu→0
1u
√ 2
2 (cos u − sin u − sin u − cos u)
eu−1u
=
√ 2
2 limu→0
− 2 sinuu
eu−1u
= −√
2
limx→0
ex − e−xln(1 − x)
limx
→0
ex − e−xln(1
−x)
= limx
→0
ex − e−x + 1 − 1ln(1
−x)
= limx→0
ex−1x
− e−x−1x
ln(1 − x) 1x= −2
limx→0
ex2 − 1
ln(1 + x2)
x2 = t x → 0 t → 0
limt→0
et − 1ln(1 + t)
= limt→0
et−1t
1t ln(1 + t)
= limt→0
et−1t
ln(1 + t)1t
= 1
r
F
AB
ABCD
limAB→0
AF B
ABCD
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
36/129
x = r cos θ2 z = r sin θ2
AR = 4xz = 4r2 cos θ2 · sin θ2 AS = r
2θ2
AB → 0 ⇒ θ → 0
limAB→0
AF B
ABCD = lim
θ→0r2θ
2 · 1
4r2 cos θ2 ·
sin θ2
= 1
4 limθ→0
θ2
sin θ2· sec θ
2 =
1
4
r F AB C AB D E C F A F B
limAB→0
ABDE
AB
AB = 2r sinθ
2
DE = 2r tan
θ
2
h
h = r
1 − cos
θ
2
Atrapecio =
1
2 (DE + AB)
Atrapecio = r2
1 − cos
θ
2
tan
θ
2
+ sin
θ
2
As = r2θ
2
AB → 0 ⇒ θ → 0
limAB→0
ABDE
AB = lim
θ→01 − cos θ2
θ2
tan
θ
2
+ sin
θ
2
= 0
θ < β x2 − 2ax + b2 = 0 a > b > 0 limb→a
aβ − b2aθ − b2
θ β
x2 − 2ax + b2 = 0 ⇔ x = 2a ±√
4a2 − 4b22
⇔ x = a ±
a2 − b2
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
37/129
θ = a − √ a2 − b2β = a +
√ a2 − b2
limb→a
aβ − b2aθ − b2 = limb→a
a
a +√
a2 − b2− b2a
a − √ a2 − b2− b2= lim
b→aa2 − b2 + √ a2 − b2a2 − b2 − √ a2 − b2
= limb→a
√ a2 − b2 √ a2 − b2 + 1√ a2 − b2 √ a2 − b2 − 1
= limb→a
√ a2 − b2 + 1√ a2 − b2 − 1 = −1
f (x) = x2e
2x
x − 1
limx→1+
f (x) limx→1−
f (x) limx→0+
f (x) limx→0−
f (x)
limx→1+
x2e2x
x − 1 = +∞
lim
x→1−
x2e2x
x − 1 =
−∞ x = 1
limx→0+
x2e2x
x − 1
1x=u = lim
u→+∞
eu
u
21u − 1 = ∞
limx→0−
x2e2x
x − 1
1x=u = lim
u→−∞
eu
u
21u − 1 = 0
+∞
f (x)
f (x) y = mx+n m = limx→+∞
f (x)
x n = lim
x→+∞(f (x) − m
m = limx→+∞
f (x)
x = lim
x→+∞x2e
2x
x(x − 1)
= limx→+∞
xe2x
x − 1 = 1
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
38/129
n = limx→+∞ (
f (x) − mx) = limx→+∞
x2e
2x
x − 1 − x
= limx→+∞x2e
2x
−x(x
−1)
x − 1 = lim
x→+∞
x2
e2x − 1
x − 1
+
x
x − 1
v = 1x
x → +∞ ⇒ v → 0
limx→+∞
x2
e2x − 1
x − 1
+
x
x − 1
v= 1x
= limv→0
1
v2
e2v − 1
1−vv
+
1v
1−vv
= limv→0
e2v−1
v
1 − v + 1
1 − v
= limv→0
21 − v
e2v − 12v
+ 11 − v
= 3
n = 3 y = x + 3
f (x) = x√ x2 − 1
Dom(f ) = x ∈] − ∞, −1[∪]1, +∞[
limx→−1
f (x) = limx→−1
x√ x2
−1
= −∞ x = −1
limx→1
f (x) = limx→1
x√ x2 − 1
= +∞ x = 1 ±∞
limx→±∞
f (x) = limx→±∞
x√ x2 − 1
= limx→±∞
x
|x| 1 − 1x2
x → −∞ |x| = −x
limx→−∞
x
|x|
1 − 1x2= lim
x→−∞x
−x
1 − 1x2
= limx→−∞
−1 1 − 1
x2
= −1
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
39/129
x → −∞ y = −1 x → +∞ |x| = x
limx→+∞
x
|x|
1 − 1x2
= limx→+∞
x
x
1 − 1x2
= limx→+∞ 1
1 − 1x2
= 1
x → +∞ y = 1
f (x) = x2 + 2x − 1
x2
f (x) = x2 + 2x − 1
x2 Dom(f ) = R − 0 x = 0,
limx→0
f (x)
limx→0
x2 + 2x − 1x2
= −10
= −∞
x = 0 lim
x→±∞f (x)
limx→±∞
x2 + 2x − 1x2
= 1
y = 1 ∞ −∞
f (x) = 2(x − 1)2√
4x2 + 2x + 1
Dom(f ) = R
x limx→±∞
f (x) = ∞
m = limx→±∞
f (x)
x = lim
x→±∞2x2 − 4x + 2
x√
4x2 + 2x + 1= lim
x→±∞x2
2 − 4x
+ 2x2
x|x|
4 + 2
x + 1
x2
m1 = limx→−∞
x2 2 − 4x + 2x2 x(−x)
4 + 2
x + 1
x2
= limx→−∞
− 2 − 4x + 2x2 4 + 2
x + 1
x2
= −1
m2 = limx→∞
x2
2 − 4x
+ 2x2
x(x)
4 + 2x +
1x2
= limx→∞
2 − 4
x + 2
x2
4 + 2x +
1x2
= 1
n n = lim
x→±∞(f (x) − mx)
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
40/129
n1 = limx→−∞
2x2 − 4x + 2√
4x2 + 2x + 1+ x
= lim
x→−∞
2x2 − 4x + 2 + x√ 4x2 + 2x + 1√
4x2 + 2x + 1
= limx→−∞
x2 2 − 4x +
2x2 +
1x
√ 4x2 + 2x + 1x2 4
x2 + 2
x3 + 1
x4
= limx→−∞
2 − 4x
+ 2x2
+
4 + 2x
+ 1x2
4x2 +
2x3 +
1x4
= ∞
n2 = limx→∞
2x2 − 4x + 2√
4x2 + 2x + 1− x
= lim
x→∞
(2x2 − 4x + 2) − x√ 4x2 + 2x + 1√
4x2 + 2x + 1
· (2x
2 − 4x + 2) + x√ 4x2 + 2x + 1(2x2 − 4x + 2) + x√ 4x2 + 2x + 1
n2 = limx→∞
4(x − 1)4 − x(4x2 + 2x + 1)√ 4x2 + 2x + 1
(2x2 − 4x + 2) + x√ 4x2 + 2x + 1
= limx→∞
4(x − 1)4 − x(4x2 + 2x + 1)(2x2 − 4x + 2)√ 4x2 + 2x + 1 + x(4x2 + 2x + 1)
= ∞ f
y = ± bxa
x2
a2 − y2
b2 = 1
y = mx + n f
limx→±∞
(f (x)
−(mx + n)) = 0
x2
a2 − y
2
b2 = 1
y = b
a
x2 − a2
x → +∞
limx→+∞
b
a
x2 − a2 − bx
a
= lim
x→+∞b
a
x2 − a2 − x
·√
x2 − a2 + x√ x2 − a2 + x
= limx→+∞
b
a −a2
√ x2 − a2 + x= 0
x → −∞
limx→−∞
b
a
x2 − a2 −
−bx
a
= lim
x→∞b
a
x2 − a2 − x
= 0
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
41/129
a b f (x) =
ax + 2b, x ≤ 0x2 + 3a − b, 0 < x ≤ 23x − 5, x > 2
x = 0f (0) = 2b
limx→0−
(ax + 2b) = 2b, limx→0+
(x2 + 3a − b) = 3a − b
2b = 3a − b ⇒ 3b − 3a = 0 x = 2
f (2) = 4 + 3a − b
limx→2
−(x2 + 3a
−b) = 4 + 3a
−b, lim
x→2+
(3x
−5) = 1
3a − b = −3
3a − b = −33b − 3a = 0
a = −32
b = − 32
a b f (x) = x2
√ 1+x2
−1 x < 0
ax + b 0 ≤ x ≤ 2x−√ x+2√ 4x+1−3 x > 2
f x = 0 x = 2
limx→0−
f (x) = limx→0−
x2√ 1 + x2 − 1
(00)
limx→0−
x2
√ 1 + x2 − 1 = limx→0− x
2
√ 1 + x2 − 1 · √ 1 + x
2
+ 1√ 1 + x2 + 1
= limx→0−
x2√
1 + x2 + 1
1 + x2 − 1= 2
limx→0+
(ax + b) = b
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
42/129
b = 2 x = 2
limx→2−
(ax + b) = 2a + b
limx→2+x
−
√ x + 2
√ 4x + 1 − 3 = limx→2+x
−
√ x + 2
√ 4x + 1 − 3 · x +
√ x + 2
x + √ x + 2 ·
√ 4x + 1 + 3
√ 4x + 1 + 3= lim
x→2+
x2 − x − 2 √ 4x + 1 + 3(4x + 1 − 9) x + √ x + 2
= limx→2+
(x − 2)(x + 1) √ 4x + 1 + 34(x − 2) x + √ x + 2
= limx→2+
(x + 1)√
4x + 1 + 3
4
x +√
x + 2 = 18
16 =
9
8
2a + b = 9
8
2a = 98 − 2
a = − 716
f (x) =
√
x2 + 9 − 3x2
, x < 0
sin(x)
6x , x > 0
limx→0
f (x)
limx→0−
√ x2 + 9 − 3
x2 ·
√ x2 + 9 + 3√ x2 + 9 + 3
= limx→0−
1√ x2 + 9 + 3
= 1
6
limx→0+
sin x
6x =
1
6 limx→0+
sin x
x =
1
6
limx→0
f (x) = 1
6
c ∈ R f (x) x = 0 f (x) =
x3−πxx+sin(3x)
x = 0c x = 0
x = 0
limx→0
f (x) = f (0) = c
limx→0
f (x) = limx→0
x3 − πxx + sin(3x)
= limx→0
x(x2 − π)x
1 + sin(3x)x
= lim
x→0x2 − π
1 + 3·sin(3x)
3x
= −π4
= c
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
43/129
f : Dom(f ) ⊂ R → R f (x) =
√
x+3−√ 3x+1√ 1−x x π
f
x < 1
x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ −33x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1
31 − x > 0 ⇔ x
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
44/129
aπ + b = 3
a + b = 0
aπ + b = 3
a = 3
π−1b = − 3π−1
f R f (x) =
1−sin2(x2 )(π−x)2 x = π
b x = π
b
f
x = π
f (π) = limx→π f (x)
f (π) = b
limx→π
1 − sin2 x2 (π − x)2 = limx→π
cos2
x2
(π − x)2
u = π − x x → π ⇒ u → 0
limu→0
cos212(π − u)
u2
= limu→0
cos π2 cos
u2 + sin
π2 sin
u2
u
2
= limu→0 12 sin u2u2
2
= 1
4
f (π) = limx→π
f (x)
b = 1
4
f : R → R f (x) =
sin((1−a)x)x
x < 0
b(x − a)2 0 ≤ x ≤ 1sin(a(x
−1))
lnx x > 1
a
b
f x = {0, 1}
x = 0
limx→0−
f (x) = limx→0+
f (x)
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
45/129
limx→0−
f (x) = limx→0−
sin((1 − a)x)x
= limx→0−
(1 − a) sin((1 − a)x)(1
−a)x
= (1 − a)
limx→0+
f (x) = limx→0+
b(x − a)2
= a2b
1 − a = a2b x = 1
limx→1−
f (x) = limx→1+
f (x)
limx→1−
f (x) = limx→1−
b(x − a)2
= b(1 − a)2
limx→1+
f (x) = limx→1+
sin(a(x − 1))ln x
u = x − 1 x → 1+ ⇒ u → 0+
limu
→0+
sin(au)
ln(1 + u) = lim
u
→0+
a sin(au)au
1u
ln(1 + u)
= limu→0+
a sin(au)au
ln(1 + u)1u
= a
b(1 − a)2 = a
b(1 − a)2 = a1 − a = a2b ⇒
b(1 − a)2 = a1−aa2
= b⇒ (1−a)3
a2 = a ⇒ 1 −3a+3a2−a3 =
a3 ⇒ 2a3 − 3a2 + 3a − 1 = 0 p(a) = 2a3 − 3a2 + 3a − 1 p(12) = 0
(2a3 − 3a2 + 3a − 1) ÷ a − 12 = 2a2 − 2a + 2−(2a3 − a2)
(−2a2 + 3a − 1)−(−2a2 + a)
(2a − 1)−(2a − 1)
0
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
46/129
p(a) =
a − 1
2
(2a2 − 2a + 2)
p(a) = 0
a − 1
2
=0 (2a2 − 2a + 2) = 0
a = 12
b = 1 − 12
14
=1214
= 2
f (x) =√
x + 1 ⇒ f (x) = 12√
x+1
f (x) = limh→0
f (x + h) − f (x)h
f (x) = limh→0
(x + h) + 1 − √ x + 1
h ·
(x + h) + 1 +
√ x + 1
(x + h) + 1 +√
x + 1
= limh→0
x + h + 1 − x − 1h
(x + h) + 1 +√
x + 1
= limh→0
1√ x + h + 1 +
√ x + 1
= 1
2√
x + 1
g(x) = f (x + c) ⇒ g(x) = f (x + c)
g(x) = limh→0
g(x + h) − g(x)h
= limh→0
f ((x + h) + c) − f (x + c)h
= f (x + c)
f x = a limh→0
f (a + αh) − f (a + βh)h
limh→0f (a + αh)
−f (a + βh)
h = limh→0f (a + αh)
−f (a + βh) + f (a)
−f (a)
h
= limh→0
f (a + αh) − f (a) − (f (a + βh) − f (a))h
= limh→0
f (a + αh) − f (a)h
− limh→0
f (a + βh) − f (a)h
= α
limh→0
f (a + αh) − f (a)αh
− β
limh→0
f (a + βh) − f (a)βh
= αf (a) − βf (a) = (α − β )f (a)
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
47/129
f (x) =
x sin
1x
, x = 0
0, x = 0 x = 0 x = 0
limx→0
x sin1
x u = 1x x → 0 u → ∞
limu→∞
sin u
u = 0
f (0) = 0 f x = 0
f (0) = limh→0
f (h) − f (0)h
= limh→0
h
h sin
1
h
= lim
h→0sin
1
h
=
f f (x) =
sin x x < π
mx + b x ≥ π m b f x = π
f x = π f
limx
→π−
f (x) = limx
→π−
sin x
= 0
limx→π+
f (x) = limx→π+
(mx + b)
= mπ + b
mπ + b = 0
x = π limh
→0
f (π + h) − f (π)h
= f (π) f (π) = mπ +b
f −(π) = limh→0−
sin(π + h) − sin πh
= limh→0−
sin π cos h + cos π sin h
h
= cos π limh→0−
sin h
h= −1
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
48/129
f +(π) = limh→0+
m(π + h) + b − mπ − bh
= limh→0+
mπ + mh + b − mπ − bh
= limh→0+
mhh
= m
m = −1
−π + b = 0b = −π
f f (x) = x5 + x2 + 6 x
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
49/129
3a + b = 0
a + b = 6
3a + b = 0⇔
b = 6 − a3a + 6 − a = 0
a = −3b = 9
f
f (x) =
2x2
x+a x < a
2x − ex−a x ≥ a
f
x → a± a f a = 1
limx→a−
f (x) = limx→a−
2x2
x + a
= 2a2
2a= a
limx→a+
f (x) = limx→a+
2x − ex−a
= 2a − 1
a = 2a − 1a = 1
a = 1
a = 1 f (1) (1, f (1))
f (1)
f (x) =
2x2
x+1 x < 1
2x − ex−1 x ≥ 1
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
50/129
f −(1) = limh→0−
f (1 + h) − f (1)h
= limh→0
−
2(1+h)2
1+h+1 − 1
h= lim
h→0−2(h2 + 2h + 1) − h − 2
h(h + 2)
= limh→0−
2h2 + 4h + 2 − h − 2h(h + 2)
= limh→0−
2h2 + 3h
h(h + 2)
= limh→0−
2h + 3
h + 2
= 3
2
f +(1) = limh→0+
f (1 + h) − f (1)h
= limh→0+
2(1 + h) − eh − 1h
= limh→0+
2 + 2h − eh − 1h
= limh→0+
2 − e
h − 1h
= 1
x = 1
f f (x) =
1−cos x
x x < 0
ax + b 0 ≤ x 3
a
b
f
x = 0 x = 1
x = 0
limx→0−
f (x) = limx→0−
1 − cos xx
= 0
limx→0+
f (x) = limx→0+
(ax + b)
= b
b = 0
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
51/129
x = 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
(ax + b)
= 2a + b
limx→1+
f (x) = limx→1+
(x2 + 2)
= 3
2a + b = 3
a = 3
2
f
f (x) =
1−cosx
x x < 0
32x 0 ≤ x 3
f
x = 3 x = 0 x = 4
x = 0
f −(0) = ĺımh→0−
f (h) − f (0)h
= ĺımh→0−
1−cos(h)h
− 0h
= ĺımh→0−
1 − cos(h)h2
· 1 + cos(h)1 + cos(h)
= ĺımh→0−
sin2(h)
h2 · 1
1 + cos(h)
= 1
2
f +(0) = ĺımh→0+
f (h) − f (0)h
= ĺımh→0+
32
h − 0h
= 3
2
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
52/129
f (0) x = 3
f −(3) = ĺımh→0−
f (3 + h) − f (3)h
= ĺımh→0
−
(3 + h)2 + 2 − 11h
= ĺımh→0−
9 + 6h + h2 − 11h
= ĺımh→0−
h(6 + h)
h= 6
f +(3) = ĺımh→0+
(3+h)3−3(3+h)22(3+h)2−18 − 32
h
= ĺımh→0+
(3+h)2((3+h)−3)2((3+h)
−3)((3+h)+3)
− 32
h
= ĺımh→0+
(3 + h)2 − 3((3 + h) + 3)2h((3 + h) + 3))
= ĺımh→0+
9 + 6h + h2 − 9 − 3h − 92h(6 + h)
= ĺımh→0+
h2 + 3h − 92h(6 + h)
= −∞
f (3) x = 4 x ∈]3, +∞[
f (x) = (3x2 − 6x)(2x2 − 18) − (x3 − 3x2)4x
(2x2 − 18)2
f (4) = (64 − 24)(32 − 18) − (64 − 48)16
(32 − 18)2
= 40 · 14 − 16 · 16
142
= 76
49
f +∞
m = ĺımx→∞
f (x)
x
= ĺımx→∞
x3−3x22x2−18
x
= ĺımx→∞
x3 − 3x22x3 − 18x
= 1
2
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
53/129
n = ĺımn→∞
(f (x) − mx)
= ĺımx→∞
x3 − 3x22x2
−18
− 12
x
=
1
2 ĺımx→∞
x3 − 3x2 − x3 + 9xx2 − 9
= −3
2
y = x
2 − 3
2
f (x) = 2√ x + x2
f (x) = 2 · 12√
x + 2x
= 1√
x + 2x
f (x) = ln x · sin x + tan xx2
f (x) = sin x
x + ln x · cos x + x
2 sec2 x − 2x tan xx4
= sin x
x + ln x · cos x + x sec
2 x − 2tan xx3
f (x) = (√
x+ 3√
x) cos xex tanx
f (x) =ddx ((
√ x + 3
√ x)cos x) · ex tan x − (√ x + 3√ x)cos x · ddx (ex tan x)
e2x tan2 x
=
12√
x + 2
3 3√
x2 cos x − (√ x + 3√ x)sin x ex tan x − (√ x + 3√ x)cos x · ex tan x + ex sec2 x
e2x tan2 x
=
12√
x + 2
3 3√
x2
cos x − (√ x + 3√ x)sin x
ex tan x − cos x · ex (√ x + 3√ x) tan x + sec2 x
e2x tan2 x
f (x) =
2xx2+1
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
54/129
f (x) = 1
2
2xx2+1
· ddx
2x
x2 + 1
=
1
2 2xx2+1 · 2(x2 + 1)
−2x
·2x
(x2 + 1)2
= 1
2xx2+1
· 1 − x2
(x2 + 1)2
= 1 − x2√
2x · (x2 + 1) 32
f (x) = ln
etanx√ 2x3+5
f (x) = ln etan x
−ln 2x3 + 5
= tan x − 12
ln(2x3 + 5)
f (x) = sec2 x − 6x2
2(2x3 + 5)
= sec2 x − 3x2
(2x3 + 5)
f (x) = 3
3√
x + 1−sin xcos(ln x)
f (x) = 2
3 3
3√
x + 1−sinxcos(lnx)2 · ddx
3√
x + 1 − sin xcos(ln x)
= 2
3 3
3√
x + 1−sinxcos(lnx)2 ·
32√
x +
− cos x · cos(ln x) + (1 − sin x) ·
sin(lnx)x
cos2(ln x)
=
2
3 3
3√
x + 1−sinxcos(lnx)2 ·
2
3√
x +
(1 − sin x) sin(ln x) − x cos x · cos(ln x)x · cos2(ln x)
f (x) = arctan ln(1 + tan(sin(3x2)))
f (x) = 1
1 + ln(1 + tan(sin(3x2))) · 1
2
ln(1 + tan(sin(3x2)))· 1
1 + tan(sin(3x2)) · sec2(sin(3x2)) · cos(3x2) · 6x
= 3x · sec2(sin(3x2)) · cos(3x2)
(1 + ln(1 + tan(sin(3x2))))
ln(1 + tan(sin(3x2))) · (1 + tan(sin(3x2)))
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
55/129
w(φ) = cos
1√ φ
exp
θφ2
+ φθ ln (θ − φ) dwdφ
dw
dφ =
d
dφ
cos
1√
φ exp
θφ2
+ d
dφ
φ
θ ln (θ − φ)
= − sin 1√
φ exp θφ2 · d
dφ 1√
φ exp θφ2+ 1
θ ln(θ − φ) − φ
θ(θ − φ)
= − sin
1√ φ
exp
θφ2 ·− 1
2
φ3exp
θφ2
+
2θφ√ φ
exp
θφ2
+ 1
θ ln(θ − φ) − φ
θ(θ − φ)
= sin
1√
φ exp
θφ2
· exp θφ2 · 12
φ3− 2θφ√
φ
+
(θ − φ)ln(θ − φ) − φθ(θ − φ)
w = w(t) w = ln √
u − eu u(t) = sin(5t) d2w
dt2 t
w = ln √
u − eu
w = 1
2 ln(
√ u − eu)
dw
dt =
1
2
1√ u − eu
1
2√
u
du
dt − eu du
dt
dw
dt =
1
2 · du
dt · 1√
u − eu
1
2√
u − eu
d2w
dt2 =
1
2 d2udt2 1√ u − eu 12√ u − eu−dudt 2
1
(√ u − eu)2 12√ u − eu+ dudt · 1√ u − eu −14√ u3 dudt − eu dudt=
1
2
d2u
dt21√
u − eu
1
2√
u − eu
−
du
dt
21
(√
u − eu)2
1
2√
u − eu
−
du
dt
2· 1√
u − eu
1
4√
u3+ eu
u(t) = sin(5t) du
dt = 5 cos(5t)
d2u
dt2 = −25 sin(5t)
y + xy3 = 2 +√
xy
y = y(x)
y + y3 + 3xy2y = 1
2√
xy · (1 + xy)
y + 3xy2y − xy
2√
xy =
1
2√
xy − y3
y =1
2√
xy − y3
1 + 3xy2 +√
x2√
y
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
56/129
sin(x2 + y) − 2xy3 = arctan(y − x) + 2
cos(x2 + y) · (2x + y) − 2(y3 + 3xy2y) = 11 + (y − x)2 · (y
− 1)
2x cos(x2 + y) + y cos(x2 + y) − 2y3 − 6xy2y = y1 + (y − x)2 −
11 + (y − x)2
y
cos(x2 + y) − 6xy2 − 11 + (y − x)2
= 2y3 − 1
1 + (y − x)2 − 2x cos(x2 + y)
y =2y3 − 11+(y−x)2 − 2x cos(x2 + y)cos(x2 + y) − 6xy2 − 11+(y−x)2
w(x) = uv u = u(x) v = v(x)
dw
dx
ln(·)
w = uvln(·) ⇒ ln w = v · ln ud
dx(·) ⇒ 1
w
dw
dx =
dv
dx · ln u + v · 1
u · du
dx
⇒ dwdx
= w
dv
dx · ln u + v
u · du
dx
⇒ dw
dx = uv
dv
dx · ln u + v
u · du
dx
f (x) =
3x2 +
√ x + ex cos x
arctan x
u v
u = 3x2 +√
x + ex cos x ⇒ dudx
= 6x + 1
2√
x + ex(cos x − sin x)
v = arctan x ⇒ dvdx
= 1
1 + x2
f (x) =
3x2 +√
x + ex cos xarctan x· 11+x2 · ln 3x2 + √ x + ex cos x+ arctanx3x2+√ x+ex cos 6x + 12√ x + ex(cos x − si
dy
dx
y = xx2
ln()
ln y = x2 ln x
1
yy = 2x ln x + x
y = xx2
(2x ln x + x)
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
57/129
y = ln(1−sinhx)(1 + tan x)
ln y = (1 − sinh x) ln(ln(1 + tan x))1
y y = − cosh x · ln(ln(1 + tan x)) + (1
−sinh x)sec2 x
(1 + tan x) ln(1 + tan x)
y = ln(1−sinhx)(1 + tan x) ·− cosh x · ln(ln(1 + tan x)) + (1 − sinh x)sec
2 x
(1 + tan x) ln(1 + tan x)
y =
1 + cosh x
1 − exp(x2)
ln y = ln
1 + cosh x
1 − exp(x2)
ln y = 1
2 ln
1 + cosh x
1−
exp(x2)ln y =
1
2
ln (1 + cosh x) − ln 1 − exp(x2)
1
yy =
1
2
sinh x
1 + cosh x +
2x exp(x2)
1 − exp(x2)
y = 1
2
1 + cosh x
1 − exp(x2) ·
sinh x
1 + cosh x +
2x exp(x2)
1 − exp(x2)
T
L
T = 2π
L
g
g u L
dL
du = kL
T (u) = kT
2 .
T = 2π
L
g ⇒ T = π
Lg
· 1g · dL
du
dL
du = kL
T = π
Lg
· 1g · kL ⇒ T = kπ
L
g
T
2 = π
L
g
T = kT
2
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
58/129
M y = M x2e2x d2y
dx2 − 4 dy
dx + 4y = 6e2x
y y
y = M x2e2x
dydx =
M (2xe2x + 2x2e2x)
d2y
dx2 = M
2(e2x + 2xe2x) + 2(2xe2x + 2x2e2x)
= 2Me2x
1 + 4x + 2x2
d2y
dx2 − 4 dy
dx + 4y = 2Me2x(1 + 4x + 2x2) − 4Me2x(2x + 2x2) + 4Mx2e2x
= Me2x(2 + 8x + 4x2 − 8x − 8x2 + 4x2)= 2Me2x
d
2
ydx2 − 4 dydx + 4y = 6e2x
2M e2x = 6e2x
M = 3
d2u
dx2 + x2u = 0 (∗)
u = y√
x (∗) x2 d2y
dx2 + x
dy
dx + y
x4 − 1
4
= 0 (∗∗)
u = y√
x
du
dx = x1
2
dy
dx + 1
2 yx−1
2
d2u
dx2 =
1
2x−
12
dy
dx + x
12
d2y
dx2 +
1
2
dy
dx · x− 12 − 1
2yx−
32
(∗)
d2u
dx2 + x2u =
1
2x−
12
dy
dx + x
12
d2y
dx2 +
1
2
dy
dx · x− 12 − 1
2yx−
32
+ x2 · (yx 12 ) = 0
= 1
2x−
12
dy
dx + x
12
d2y
dx2 +
1
2
dy
dx · x− 12 − 1
4yx−
32 + yx
52 = 0
= x12
d2y
dx2 + x−
12
dy
dx + y
x
52 − 1
4x−
32
= 0
x32
x2d2y
dx2 + x
dy
dx + y
x4 − 1
4
= 0
w = x2
2 (∗∗)
w2 d2y
dw2 + w
dy
dw + y
w2 − 1
16
= 0
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
59/129
y = f (w(x))
dy
dx =
dy
dw · dw
dx
dwdx = x
dy
dx = x
dy
dwd2y
dx2 =
dy
dw + x
d2y
dw2 · dw
dx
= dy
dw + x2
d2y
dw2
(∗∗)
x2d2y
dx2 + x
dy
dx + y
x4 − 1
4 = x2
dy
dw + x2
d2y
dw2+ x2
dy
dw + y
x4 − 1
4= 0
= x4 d2y
dw2 + 2x2
dy
dw + y
x4 − 1
4
= 0
x2 = 2w
4w2 d2y
dw2 + 4w
dy
dw + y
4w2 − 1
4
= 0
w2 d2y
dw2 + w
dy
dw + y
w2 − 1
16
= 0
x(t) = x0 cos k
mt
k m
d2x
dt2 +
k
mx = 0
dx
dt = −x0
k
m sin
k
mt
d2x
dt2 = −x0 · k
m cos km t
d2x
dt2 +
k
mx = −x0 · k
m cos
k
mt
+ x0
k
m cos
k
mt
d2x
dt2 +
k
mx = 0
-
8/17/2019 Apuntes Resueltos Todo Calculo 1 1
60/129
f, g : R → R f (0) = 0 g(0) = 1 f (x) = g(x) g(x) = f (x). h(x) = (f (x))2 − (g(x))2
h(x)
h(x) = 2f (x)f (x)−
2g(x)g(x)
= 2 (f (x)f (x) − g(x)g(x))
h(x) = 2 (f (x)g(x) − g(x)f (x))= 0
h(x) = 0 h(x) x = 0
h(0) = f (0) − g(0)= −1
h(x) = −1
f (x) = x2 + x
x0 ∈ Dom(f )