apuntes ecuaciones diferenciales
DESCRIPTION
Apuntes de ecuaciones diferencialesTRANSCRIPT
Peña Ramirez Carlos Yamil 2541
Teoría Preliminar
Derivadas Parciales
Son aquellas derivadas que se realizan a una función que contiene varias variables considerando
únicamente a una literal como variable y al resto se considera constante.
Algoritmo de solución
1.- Derivar de la ecuación todas y cada una de las variables respecto a las funciones indicadas (x, y,
z).
2.- Encontrar la función respecto de X, se va a derivar la ecuación solo donde contenga las
variables de X.
3.- Encontrar la función respecto de Y, se va a derivar la ecuación solo donde contenga las
variables de Y.
4.-.- Encontrar la función respecto de Z, se va a derivar la ecuación solo donde contenga las
variables de Z.
f (x, y, z) = 3x2y + 2xz + 3yz
af/ax = 6xy + 2z
af/ay = 3x2 + 3z
af/az = 2x + 3y
Peña Ramirez Carlos Yamil 2541
Integral por Partes
El método de la integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para
resolver algunas integrales de productos.
Permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:
Las funciones logarítmicas, arcos y polinómicas se eligen como “u”
Algoritmo de solución
1.- Definir la ecuación de la integral
2.- Identificar U y DV
3.- Dividir en una tabla de tabulación a U y posteriormente a derivar la función de U hasta llegar a
0
4.- De lado contrario de la tabla DV y posteriormente integrar la función de DV hasta igualar a 0 de
U.
5.- El primer término de U se juntara con el segundo término de DV de manera que se unan en
forma diagonal.
3x2 cos xdx
U DV
3x2 cos x
6x sen x R= 3x2 senx + 6x cosx – 6 senx + C
6 -cos x
0 -sen x
Peña Ramirez Carlos Yamil 2541
Ecuación diferencial
Una ecuación diferencial es aquella ecuación que cuenta con diferenciales en su estructura y su resultado es una ecuación Una ecuación diferencial se puede clasificar por su forma y estructura:
a) Ecuación diferencial ordinaria b) Ecuación diferencial parcial
Una ecuación diferencial puede clasificarse según su grado el cual se determina por la ecuación de mayor grado. Una ecuación diferencial generalmente cuenta con una solución en general y un número definido de soluciones en particulares para que una solución sea validada debe cumplirse a igualdad en la ecuación. Algoritmo de solución 1.- Se identifica el tipo de ecuación es. 2.- Se deriva acorde al tipo de ecuación que era según el grado 3.- Se utiliza el último resultado y se le resta el término mayor multiplicado por el término original 4.- Si el resultado igualado a cero cumple la igualación es una solución correcta
a)
b)
a)
Peña Ramirez Carlos Yamil 2541
b)
Peña Ramirez Carlos Yamil 2541
Familia de curvas de una ecuación diferencial
Una ecuación diferencial cuenta con una solución general que contienen una constante de integral
y un número indefinido de soluciones particulares.
Para encontrar una solución particular se debe identificar el valor de la constante sustituyendo el
punto por donde se desea pase la gráfica de la solución general.
Algoritmo de solución
1.- Haciendo uso de la solución general se procede a identificar con que puntos será evaluada.
2.- Cada punto dado es un sistema de coordenadas (x,y)
3.- En la solución general existirá alguno de estos datos x,y y serán sustituidos por los valores del
punto
4.- Una vez sustituidos los valores se continuara a realizar la operación para obtener C
5.- El valor de C corresponde al valor de los puntos en el eje de las Y
6.- Ahora se procederá a tabular los datos
7.- Se escogerá un rango de números para x ,(3,2,1,0,-1,-2,-3)
8.- Y con la formula resultado de C se procede a realizar la operación con respecto a cada punto de
X sustituyendo a esta misma en la formula si es necesario
9.- Con todos los datos de ambos ejes se procede a graficar los datos.
10.- Se repite el proceso según el número de puntos dados.
Ejemplo:
Solución general: y=C*X
grafique la familia de curvas que pase por los siguientes puntos:
(1,1)
(1,3)
(4,2)
Peña Ramirez Carlos Yamil 2541
punto (1,1)
y=C*X
1=C*1
C=1/1
C=1
tabulación 1:
X Y=1*X
-3 -3
-2 -2
-1 -1
0 0
1 1
2 2
3 3
Punto (1,3)
y=C*X
3=C1
C=3/1=3
tabulación 2:
X Y=3X
-3 -9
-2 -6
-1 -3
0 0
1 3
Peña Ramirez Carlos Yamil 2541
2 6
3 9
Punto (4,2)
y=C*X
2=C*4
C=2/4=1/2=.5
tabulación 3:
X Y=.5X
-3 -1.5
-2 -1
-1 -.5
0 0
1 .5
2 1
3 1.5
Peña Ramirez Carlos Yamil 2541
Ecuaciones diferenciales de variables separadas
Las ecuaciones diferenciales de primer orden (grado) se pueden clasificar por su estructura en:
Ecuaciones diferenciales de variables separadas:
Son aquellas donde puede separarse en cada miembro de la ecuación una variable y se presenta
de la forma
( )
( )
Para resolver este tipo de ecuaciones se utiliza el siguiente algoritmo
Comprobar que puedan separarse las variables siempre y cuando las derivadas (dx, dy) queden
como numerador
Separadas las variables deberán integrarse cada una con respecto a su propia variable colocando
únicamente una constante
En caso de ser posible debe despejarse la variable dependiente, considerando la solución general
cuando contenga la constante de integración
Ejemplo:
Peña Ramirez Carlos Yamil 2541
Fórmula para integrar
Solución general
Algoritmo de solución
1.- Dada la ecuación, se procede a sustituir ya prima por derivada de y con respecto a la derivada
de x.
2.- Se despeja la variable x pasándola al otro lado de la igualdad y colocándole el signo opuesto y
se hace lo mismo con la derivada con respecto a x.
3.- Se integran los términos que están a los costados de la igualdad aplicando la fórmula de
integración pertinente tomando en cuenta que una integración de una derivada se eliminan o es
igual a 0.
4.- Una vez verificando que la ecuación está completa, ya se obtuvo la solución general, en caso
contrario se procede a completarla para obtenerla.
Peña Ramirez Carlos Yamil 2541
Ecuaciones diferenciales de variables separables
Graficar la solución particular de una E.D.V.S.
La solución particular de una ecuación diferencial es aquella que se presenta con una condición
inicial (se conoce un punto por donde pasa) como muestra el siguiente ejemplo:
( )
x=1 y=2
Solución general
( )
Peña Ramirez Carlos Yamil 2541
( )
Solución particular
x y
-3 1.0850
-2 1.9237
-1 1.0937
0 1.5453
1 1.9999
2 1.1668
3 1.4055
Algoritmo de solución
1.- Dada la ecuación, se procede a sustituir ya prima por derivada de y con respecto a la derivada
de x.
2.- Se despeja la variable x pasándola al otro lado de la igualdad y colocándole el signo opuesto y
se hace lo mismo con la derivada con respecto a x.
3.- Se integran los términos que están a los costados de la igualdad aplicando la fórmula de
integración pertinente tomando en cuenta que una integración de una derivada se eliminan o es
igual a 0.
4.- Una vez verificando que la ecuación está completa, ya se obtuvo la solución general, en caso
contrario se procede a completarla para obtenerla.
5.- Una vez obtenida la solución general, se procede a espejar la constante de integración c para
saber su valor.
6.- Sabiendo el valor de c, se sustituye en la solución general y se proceda a graficar sustituyendo
la variable x por los valores que van desde -3 hasta +3 para obtener la gráfica.
Peña Ramirez Carlos Yamil 2541
Peña Ramirez Carlos Yamil 2541
Ecuaciones diferenciales de variables separables
Resolver soluciones particulares de una E.D.V.S. y sus aplicaciones
Graficar la solución particular cuando
F (1)=2, F (2)=4, F (3)=2
( )
( )
√(
)
Solución general
Peña Ramirez Carlos Yamil 2541
F (1)=2
X = 1 y = (2)
√(( )
)
x y
-3 2
-2 1.5182
-1 1.2599
0 1.5182
1 2.0
2 2.3207
3 2.5712
.
Peña Ramirez Carlos Yamil 2541
F (2)=4
X = 2 y = (4)
√(( )
)
x y
-3 3.8372
-2 3.7325
-1 3.6962
0 3.7325
1 3.8372
2 4
3 4.5712
Peña Ramirez Carlos Yamil 2541
F (3)=2
X = 3 y = (2)
√(( )
)
x y
-3 -2.1544
-2 -2.4384
-1 -2.5198
0 -2.4384
1 -2.1544
2 -1.3572
3 2
Peña Ramirez Carlos Yamil 2541
Algoritmo de solución
1.- Dada la ecuación, se procede a sustituir ya prima por derivada de y con respecto a la derivada
de x.
2.- Se despeja la variable x pasándola al otro lado de la igualdad y colocándole el signo opuesto y
se hace lo mismo con la derivada con respecto a x.
3.- Se integran los términos que están a los costados de la igualdad aplicando la fórmula de
integración pertinente tomando en cuenta que una integración de una derivada se eliminan o es
igual a 0.
4.- Una vez verificando que la ecuación está completa, ya se obtuvo la solución general, en caso
contrario se procede a completarla para obtenerla.
5.- Una vez obtenida la solución general, se procede a espejar la constante de integración c para
saber su valor sustituyendo los x y y con los valores de los puntos dados.
6.- Sabiendo el valor de c, se sustituye en la solución general y se proceda a graficar sustituyendo
la variable x por los valores que van desde -3 hasta +3 para obtener la gráfica de cada uno de los
puntos dados.
Peña Ramirez Carlos Yamil 2541
Aplicaciones de crecimiento y decrecimiento
Cuando se tienen fenómenos de incrementos o decrementos el comportamiento no es lineal, este
se comporta de forma exponencial aplicando la siguiente relación
Regla de crecimiento
Cuando se tienen problemas de crecimiento se deben conocer condiciones iniciales las cuales se
deben sustituir para identificar la solución particular del problema como muestra
Ejemplo:
La población de una ciudad ha aumentado un 50% en los últimos 6 años indique el tiempo que
tardara en alcanzar el doble de tamaño
Indique la población que tendrá en 3 años si inicialmente tenían 100 mil habitantes
∫
∫
[ ]
( ) Ecuación de crecimiento
Ecuación particular
( ) *
+
T=? cuando 2 P0
[
]
[ [
] ]
[
]
*
+
La población alcanzara el doble de tamaño en 10.2570 años
[ ]
Condiciones iniciales T0 años = T6 años =1.5
P0= ( ) C=P0
1.5 P0 = P0 ( )
Peña Ramirez Carlos Yamil 2541
La población que tendrá en 3 años (
)
Población (3 años)= 100000e
Total= 122474.4
Algoritmo de solución
1.- Se sustituyen las variables correspondientes al problema en la fórmula de la regla de
crecimiento
2.- Se procede a integrar los términos tomando en cuenta que una integración de una derivada
que se encuentra en una fracción se convierte en logaritmo natural y una simple integración de
una derivada se eliminan o es igual a 0.
3.- Se despeja la variable que se desea obtener el valor tomando en cuenta que al despejar
logaritmo natural, al pasarlo al otro lado de la igualdad se convierte en Euler.
4.- Una vez obtenida la ecuación de crecimiento correspondiente al problema, se procede a
organizar los datos dados en el problema para saber cuáles son las incógnitas a resolver.
5.- Cuando se tienen claras todas las incógnitas y los datos ya dados en el problema, se procede a
sustituir los valores en la ecuación de crecimiento.
6.- Se despeja la variable de la cual se desea obtener el valor y se resuelve la ecuación para
obtener el resultado al problema.