Tema 1: La Economa Financiera

Introduccin: la economa financieraLa economa financiera estudia la asignacin de recursos a travs del tiempo en un

entorno incierto. A diferencia de otros campos de la economa, como la economa laboralo la organizacin industrial -que nicamente centran su atencin en el mercado de trabajoy el de bienes, respectivamente-, esta rama econmica no se caracteriza solamente porcentrar su estudio en un mercado muy concreto: el de capitales o activos financieros, sinoque formula un supuesto fundamental en su anlisis: la ausencia de arbitraje.

En esencia, llamamos arbitraje a cualquier estrategia que permita obtener dinero sincoste alguno. Mismamente, si con 20 compro 30 dlares y, al cambiar esos dlares poreuros, consigo 30 decimos que esta es una estrategia de arbitraje. Conviene diferenciarel arbitraje de una buena inversin. Es decir, mientras que en el primero no existe ningncoste y no hay ninguna posibilidad de que no logres ganancias, en la segunda no sucedelo mismo y, por un lado, se incurren en costes y existe el riesgo de perder dinero. Porejemplo, si con esos 20 presto dinero a A y A paga obtendr 30, pero tambin existe laposibilidad de que A no pague y pierda mis 20.

A su vez, es til especificar o detallar los diversos motivos por los que los agenteseconmicos -individuos y empresas- pueden querer asignar recursos a travs del tiempo.Realizando una clasificacin rpida:

Individuos: Por un lado, desean transferir poder adquisitivo del presente al futuroo del futuro al presente con el fin de ahorrar para la jubilacin -en el caso de lostrabajadores- o con la finalidad de aumentar su poder adquisitivo actual a costa depagar en el futuro -en el caso de los estudiantes-.Por otro, tambin pueden querer protegerse contra riesgos mediante lacontratacin de seguros contra incendios o almacenando parte de su riqueza enactivos financieros -bonos o acciones- para evitar que les sea arrebatada en casode robo.

Empresas: De forma similar a los individuos, quieren trasladar poder adquisitivodel futuro al presente para aprovechar buenas oportunidades de inversin quepodran no llevarse a cabo debido a una escasez de recursos.A su vez, nuevamente, pueden optar por defenderse de las fluctuaciones ovariaciones en el precio de un determinado producto -olivas, uvas...- vendindolopor adelantado y asegurarse as de que cubrirn costes.

Los activos financieros y los mercados de capitalesDado que la totalidad de la asignatura estar centrada en la valoracin de activos o

asset pricing en ingls, es necesario saber distinguir a qu activos nos referimos en elmbito de las finanzas. Es decir, debemos entender la diferencia entre activos reales yfinancieros. En consecuencia, clasificamos a los activos o inversiones de la empresa endos tipos:

Inversiones reales: Activos fsicos de larga duracin como nuevas fbricas,maquinaria...

Inversiones financieras: Son los derechos sobre las inversiones reales. Esto es,el poseedor de los mismos tiene el derecho de obtener las ganancias futuras quegenere esa mquina o esa fbrica. Este sern los activos que estudiaremos enfinanzas.

As pues, como los recursos futuros de las inversiones reales son inciertos, en otraspalabras, no sabemos con exactitud su cuanta, la economa financiera se ocupa deponerle precio a los mismos. A la hora de tasarlos, esta rama econmica tiene en cuentados factores principales:

Vencimiento de los pagos o cundo se terminar la inversin -cuanto ms tarde,mayor ser el tipo de inters o la rentabilidad de la inversin-.

Riesgo de la inversin o probabilidad de perder el dinero invertido -a ms riesgo,ms rentabilidad para incentivar la venta del activo-.

De este modo, existen dos mtodos principales de valoracin de activosfinancieros:

Valoracin por ausencia de arbitraje: Para que no haya arbitraje, dos activos queproporcionen los mismos pagos han de tener el mismo precio. Siguiendo con elejemplo anterior, si cambio euros por dlares y dlares por euros he de seguirigual.

Valoracin mediante equilibrio: Buscando un precio que iguale la oferta y lademanda -precio de equilibrio- y que sea compatible con los supuestos econmicosde la racionalidad -optimizar o maximizar la utilidad con unos recursos limitados-.

En cuanto al funcionamiento de los mercados de capitales y su relacin conindividuos y empresas, el siguiente esquema resume brevemente todo el proceso:

Si detallamos cada paso:1. Las empresas emiten activos financieros en el mercado de capitales.2. Los individuos adquieren esos mismos activos en dicho mercado.3. El dinero procedente de las compras anteriores es recibido por las empresas.4. Las compaas usan ese dinero para llevar a cabo inversiones reales.5. Los recursos de los activos fsicos son obtenidos por los individuos.6. Las empresas pueden optar por reinvertir esos mismos recursos, que a su vez

generan ms recursos -que son obtenidos en ltima instancia por los inversores-.

Los activos de renta fijaLos activos de renta fija otorgan a su propietario el derecho a obtener una serie de

pagos concretos en el futuro en unas fechas determinadas. La fecha del ltimo pago sellama fecha de vencimiento. El ejemplo ms claro de esta especie de activos son losbonos, que tienen varios componentes fundamentales:

Valor nominal o principal: La cantidad de dinero que paga el bono en la fecha devencimiento.

Intereses: La diferencia entre el valor nominal y el precio pagado por el bono .Mismamente, si un bono tiene un valor nominal de 1000 y se vende por 936, losintereses sern de: 1000-936= 64. Si lo expresamos en tipo de inters oporcentaje:936*(1+i)=1000 i*936=1000-936 i=64/936=0.06837=6,837%.

Deudor: Persona o entidad que emite el bono -un gobierno, una empresa...-.

Empresas

Individuos

Inversiones Reales

Mercados de Capitales

4. Invierte 1. Emite

2. Co

mpran

Reciben

5. Obtienen

6. Rein

vierte

6. Rein

vierte

3.

Acreedor: Persona o entidad que adquiere el bono. Ausencia de riesgo: Los bonos emitidos por las entidades o gobiernos ms

solventes -Estados Unidos, Alemania...- se consideran garantizados. Esto es, notienen posibilidad de impago.

En cuanto a los tipos de bonos, distinguimos dos: Bonos cupn cero o de descuento puro: No pagan cupones durante su vida. Es

decir, solo pagan el nominal al vencimiento, como en el ejemplo del bono de 936.En consecuencia, el precio pagado por ellos es igual al valor nominal menos losintereses.

Bonos con cupn: Realizan pagos peridicos llamados cupones -normalmentecada ao-. En la mayora de los casos son un porcentaje o tipo de inters fijo sobreel principal -3%, 5%...-. Obviamente, en la fecha de vencimiento o la ltima fechael bono paga el nominal o principal ms el correspondiente cupn. A su vez, haytres situaciones posibles: El bono se vende a la par si su precio es equivalente al valor nominal. El bono se vende sobre par si su precio es mayor que el valor nominal. El bono se vende bajo par si su precio es menor que el valor nominal.

Sin embargo, existen varios riesgos asociados a los bonos: Riesgo de impago: El deudor puede no pagarlo. Riesgo de inflacin: En caso de que los precios suban mucho, el nominal perder

valor al recibirlo en trminos de bienes o de consumo. En otras palabras, el tipo deinters real ser negativo y, por tanto, el acreedor podr comprar menos bienes enel futuro que en la actualidad. Para solventar esto, existen bonos ligados oindexados a la inflacin.

Riesgo de liquidez: Es complejo recuperar el dinero -principal- rpidamente encaso de que lo requieras.

Los activos de renta variable y los derivadosLlamamos acciones a los ttulos o activos financieros que representan un porcentaje

concreto del capital de una empresa, y otorgan a sus poseedores el derecho a recibir unaproporcin determinada de las ganancias en forma de dividendos. A diferencia de losbonos o activos de renta fija, las acciones no tienen fecha de vencimiento y son msarriesgadas. En cambio, su riesgo de inflacin es menor ya que si los precios suben lasempresas cobran ms por sus ventas y sus activos -maquinaria...- valen ms, por lo queel precio de las acciones se incrementa.

Respecto a los derivados, sus pagos dependen de la evolucin de una variabledeterminada, como el precio futuro de una materia prima o el tipo de inters o tipo decambio de un pas concreto. Esta variable determinada se llama activo subyacente encaso de que cotice en el mercado y no sea, por ejemplo, la diferencia entre dos tipos decambio.

Tema 2: Valoracin de renta fija por ausencia de arbitraje

Arbitraje y ventas en cortoEn el tema anterior, establecimos la valoracin por ausencia de arbitraje como uno

de los mtodos fundamentales de tasacin de activos financieros. Concretamente,definimos el arbitraje como cualquier estrategia que nos permitiera obtener dinero sincoste alguno.

De forma similar, tambin podemos llamar as a cualquier maniobra que nos otorgue laposibilidad u opcin de comprar barato y vender caro a la vez -simultneamente- dosactivos financieros idnticos -con los mismos pagos en cualquier situacin posible-. Portanto, en el ejemplo del tema anterior, donde podamos comprar dlares baratos graciasal tipo de cambio euro -dlar y venderlos caros debido al mismo tipo de cambio dlar-euro. Es decir, como obtenamos 30$ con 20 y esos 30$, al volverlos a vender, seconvertan en 30, haba una oportunidad de arbitraje.

Relacionado con lo anterior, conviene distinguir las dos posiciones posibles en finanzas: Posicin larga: Si alguien espera que algo suba de valor -por ejemplo, el gas

natural ante un previsible recorte de oferta ruso debido a las recientes sanciones-,puede comprar una accin ahora -de una compaa de gas natural de otro pas, ennuestro caso- y venderla cuando esta suba de valor -si lo hace-.

Posicin corta: Si, por contra, creemos que el precio de algo bajar -como lasempresas farmacuticas, ahora que los antibiticos estn perdiendo efectividad-podemos vender las acciones que tenemos de estas para evitar prdidas de valor.No obstante, podemos hacer algo ms: vender en corto. Esto es, pedir prestadaslas acciones a un inversor, venderlas y en un periodo de tiempo concretocomprarlas para devolvrselas -y tambin los dividendos, en caso de habersepagado-. De este modo, si, mismamente, las vende por 12 y las compra luego por9 obtiene un beneficio de 3 por accin. Tambin puede suceder lo contrario:que las venda por 12 y suban hasta 200, lo que conllevara unas prdidas de188 por accin.As pues, las ganancias -y las prdidas- de la posicin corta y larga van en sentidocontrario: cuando ganas en la larga -aumenta el precio-, pierdes en la corta y a lainversa.

Poniendo un ejemplo numrico, si tenemos dos activos con los precios -valor en t=0- ypagos -valor en t=1- siguientes:

T=0 T=1Activo A 15 20Activo B 20 40

Distinguiramos dos estrategias de arbitraje. La primera es vender en corto dosunidades del activo A y devolver los pagos -o cubrir la posicin corta- comprando unaunidad del activo B. As pues:

T=0 T=1Venta Corto Activo A +15*2=+30 20*2=40

Compra Activo B -20 -40Total 10 0

Otra opcin sera comprar tres unidades de B para financiar la venta en corto de cuatrode A. Por tanto:

T=0 T=1Venta Corto Activo A +15*4=+60 -20*4=-80

Compra Activo B -20*3=-60 40*3=120Total 0 40

En consecuencia, existen dos maneras de llevar a cabo una operacin de arbitraje: Obtener ganancias en el presente y ganancias nulas en el futuro -como la primera

opcin-. Lograr beneficios nulos hoy y beneficios positivos en aos posteriores -como la

segunda opcin-.Si quisiramos fijar un precio de no arbitraje, deberamos fijarnos en los pagos

futuros, puesto que, al ser renta fija, supondremos que no hay contingencias. Es decir,recibiremos el pago con absoluta certeza, sin probabilidad alguna de impago. En estecaso solo debemos observar los pagos de cada activo. Dado que:

Pago Activo A = 20 y Pago Activo B =40Pago Activo A *2=Pago Activo BPor lo que el precio de A ha de ser el doble que el de B para evitar arbitraje:Precio activo B = Precio Activo A *2Finalmente, es necesario mencionar que en nuestro anlisis, por simplicidad,

ignoraremos aspectos como el riesgo de impago, los costes de transaccin, el riesgo deinflacin o los impuestos.

Valoracin por ausencia de arbitraje: ideas fundamentalesLas idea principales de la definicin de arbitraje anterior es que no existe en la

realidad o, mejor dicho, que esta no se produce de forma sistemtica o habitual sino soloen segundos. Esto es, dado que no incurres en coste alguno al realizar las operaciones,puedes llevarlas a cabo mltiples veces. En consecuencia, dicha infinidad de operaciones,en el caso anterior, presionar a la alta sobre el precio del activo B -al incrementarse sudemanda- y a la baja sobre el precio de A -al querer venderlo muchas veces-. Por tanto,se originar una convergencia de precios en muy poco tiempo.

As pues, como en el mundo real esto no se produce, podemos afirmar que dos activoscon los mismos pagos en cualquier situacin han de valer lo mismo al no existir arbitraje.Como ponemos precio a activos de renta fija, suponemos que no hay riesgo de impago y,por consiguiente, SIEMPRE obtendremos los pagos.

Por tanto, a la hora de tasar o valorar un activo, debemos construir una cartera rplicao cartera equivalente que otorgue los mismos pagos que el producto que deseamosvalorar. El coste de esa cartera o combinacin de activos ser el precio del bono quequeramos tasar debido a la condicin de no arbitraje -si no lo fuera, en pocos segundos elarbitraje se encargara de igualarlos a travs del mecanismo descrito-. Como valoramos elactivo en funcin de otros, realizamos una valoracin relativa del mismo.

Valoracin por ausencia de arbitraje: valoracin relativaPoniendo un ejemplo numrico, si tenemos los siguientes bonos cupn cero sin riesgo

de impago:Bono Precio Pago t=1 Pago t=2 Pago t=3 Pago t=4 Pago t=5

A 950 1000B 870 1000C 800 1000D 760 1000E 700 1000

Y queremos valorar un nuevo bono F con cupn con un 5% de inters, un nominal de10000 y vencimiento en 5 aos, debemos compararlo o valorarlo relativamente con los

bonos anteriores. En primer lugar, es til representar los pagos y cobros del bono:Bono Precio Pago t=1 Pago t=2 Pago t=3 Pago t=4 Pago t=5

F PBF C C C C C+NDonde: PBF: Precio del bono F, es una incgnita al ser lo que queremos descubrir. C: Cupn o pago anual del bono. Es igual a:

Cupn [C] = Tipo de Inters ^Nominal = 5%*10000= 500 N: Nominal o cantidad que paga al vencimiento, equivalente a 10000.

As pues, tenemos que:Bono Precio Pago t=1 Pago t=2 Pago t=3 Pago t=4 Pago t=5

F PBF 500 500 500 500 10500Para valorarlo, debemos averiguar cuntas unidades de los bonos A, B, C, D y E

debemos adquirir para replicar o tener los mismos pagos que en el bono F. Dado quecada uno vence en una fecha diferente, para obtener 500 en el ao 1 o t=1 solodeberemos tener en cuenta el bono A, que paga 1000 en esa fecha. As pues,planteando una sencilla ecuacin de primer grado:

1000*NBA= 500 por lo que: NBA= 500/1000=0,5 unidades del Bono A.Las ecuaciones para los pagos en t=2, t=3 y t=4 son idnticas por lo que:1000*NBB= 1000*NBC = 1000*NBD = 500 En consecuencia:NBB=NBC=NBD=0,5Por ltimo, para el ltimo pago, solo nos centramos en el bono E que finaliza en t=5:1000*NBE= 10500 NBE=10500/1000=10,5 unidadesRecapitulando, tenemos que: N Unidades de los Bonos A, B, C y D: 0,5. N Unidades Bono E: 10,5

El precio de la cartera rplica ser, por tanto, de:Cartera Rplica = Precio Bono A * N Unidades Bono A + P. Bono E * N Unid. Bono E Cartera Rplica = 0.5*950 + 0.5*870 + 0.5*800 + 0.5*760 + 10.5*700 = 9040Como resultado:Precio Bono F = Cartera Rplica = 9040Si el precio del bono F NO fuera este, distinguiramos dos estrategias de arbitraje: Si precio bono F < 9040: Venderamos en corto la cartera rplica y compraramos

el bono F ya que, al producir los mismos pagos, tendramos que:T=0 T=1,2, 3 y 4 T=5

Venta Corto Rplica 9040 -500*4=-2000 -10500Compra F -PBF 500*4=2000 10500

Total 9040-PBF>0 0 0 Si precio bono F > 9040: Venderamos en corto el bono F y compraramos la

cartera rplica ya que, al producir los mismos pagos, tendramos que:T=0 T=1,2, 3 y 4 T=5

Venta Corto F 9040 -500*4=-2000 -10500Compra Rplica -PCR 500*4=2000 10500

Total 9040-PCR>0 0 0

Valoracin por ausencia de arbitraje: bonos bsicosDe forma genrica, podemos valorar cualquier activo con bonos bsicos. En otras

palabras, son bonos cupn cero con nominal o cantidad al vencimiento de un euro. Si losponemos en forma de tabla:

BonoBsico

Precio Pago t=1 Pago t=2 Pago t=3 Pago t=4 Pago t=5

A PBBA 1B PBBB 1C PBBC 1D PBBD 1E PBBE 1

Si los comparamos con los del ejemplo anterior, podemos tasarlos mediante lacondicin de no arbitraje. Es decir, como el nominal es 1:

Pago 1000 Unidades Bono Bsico A = Pago 1 Unidad Bono AAs pues, para que NO haya arbitraje:Precio 1000 Unidades Bono Bsico A = Precio Bono A1000*PBBA = Precio Bono A = 950PBBA = 950/1000 = 0,95Extendindolo a los otros periodos tenemos que:PBBB1000=870 PBBB=870 /1000=0,87PBBC1000=800 PBBC=800 /1000=0,80PBBD1000=760 PBBD=760 /1000=0,76PBBE1000=700 PBBE=700 /1000=0,7

As pues, a partir de los bonos bsicos podemos replicar cualquier bono y, porconsiguiente, podemos usarlos para valorar cualquier activo. Siguiendo con el ejemplo, siqueremos tasar el bono F, como el nominal de los bonos bsicos es 1:

1*NBBA= 500Y aplicndolo a los dems:N BBB = N BBC= NBBD=500 y NBBE=10500Por lo que:Cartera Rplica = Precio Bono Bsico A * N U. Bono Bas. A + P. BB E * N Unid. BB E Cartera Rplica = 500*0,95+500*0,87+500*0,8+500*0,76 + 10500*0,7 = 9040Obtenemos, pues, el mismo resultado. De forma general, en ausencia de arbitraje, el

precio de un bono es igual a la suma de sus recursos futuros valorados al precio de losbonos bsicos. Esto es:

B = Cupn 1*Bono Bsico 1 +[....]+ Nominal * Bono Bsico NB= Cbt+NbT

La anterior ecuacin es fundamental en finanzas y recibe el nombre de ecuacinfundamental de valoracin.

Valoracin por ausencia de arbitraje: VANComo los bonos bsicos tienen nominal de un euro, podemos apreciar una

caracterstica muy especial en ellos: su precio indica el tipo de inters. Aunquesabemos que el precio de un bono y el tipo de inters van en sentido contrario -cuantoms alto sea el precio, menor inters tiene el bono-, en el caso de este tipo de bonos, alvalorar activos mediante los mismos estamos descontando tipos de inters. Es decir,como en un bono cupn cero:

Nominal = Precio Bono + Intereses = Precio Bono * (1+ tipo de inters)Sustituyendo:1 = Precio Bono Bsico * (1+i) Precio Bono Bsico un ao = 1/(1+i)

Extendindolo a periodos ms largos:1 = Precio Bono Bsico * (1+i) Precio Bono Bsico dos aos = 1/(1+i)1 = Precio Bono Bsico * (1+i) Precio Bono Bsico dos aos = 1/(1+i)As pues, cuando aplicamos la ecuacin fundamental de valoracin para valorar un

bono, estamos haciendo lo siguiente:B= Cbt+NbT=cb t1+cb t2+[ ...]+N+btn= c(1+i)+

c(1+i)2

+[ ...]+ N(1+i)t

Lo que es lo mismo que aplicar la tcnica del Valor Actual Neto o VAN. Por tanto, elprecio de no arbitraje de un bono es igual al valor actual de todos sus pagos futuros . O, loque es lo mismo, es equivalente a sus pagos futuros descontados al tipo de inters. Aspues, si reescribimos la ecuacin:

B= C(1+i)t

+N

(1+i)T=cb t1+cb t2+[ ...]+N+btn=

c(1+i)

+c

(1+i)2+[ ...]+ N

(1+i )t

Ejemplo numrico: valoracin de un nuevo bonoSupongamos que existen tres bonos con cupn sin riesgo de impago, con valor

nominal igual a 10.000 y con vencimiento a uno, dos y tres aos, respectivamente. Suscupones son del 4%, 8% y 6% y sus precios de mercado son 9.500 , 10.500 y 9.000 ,respectivamente. Si indicamos sus pagos en la tabla:

Bono Precio Pago t=1 Pago t=2 Pago t=3A 9500 104001

B 10500 800 10800C 9000 600 600 10600

Con esta informacin, se nos pide en primer lugar calcular los precios de los bonosbsicos a uno, dos y tres aos, as como sus tipos de inters. Para calcular los preciosde los bonos bsicos, debemos aplicar la ecuacin fundamental de valoracin, queestablece que:

B= Cbt+NbTPara el caso del bono a un ao:BA=400b1+10000b1=b1(10000+400)=b1(10400)=9500[El precio del Bono A]

Aislando b1:b1= 9500/10400= 0,9135Respecto al segundo ao, hacemos lo mismo pero teniendo en cuenta que, como el

bono es de DOS aos, deberemos usar DOS bonos bsicos -el del primer ao y el delsegundo- en la EFV:

BB=800b1+10800b2=10500Si reemplazamos b1 y aislamos b2:10800b2=10500800b1=105008000,9135b2=

9769,210800

=0,9046

Por ltimo:BC=600b1+600b2+10600b3=9000

10600b3=9000600b1600b2b3=90001090,46

10600=0,7461

Calculando los tipos de inters:b1(1+i 1)=11+i1=

1b1= 10,9135

=1,0947 i1=1,09471=0,0947

b2(1+i2)2=1(1+i2)

2=1b2=

10,9046

i 2= 10,90461=0,051051 Nominal + Cupn = Nominal + Nominal * Tipo Inters = 10000+10000*4%=104000

b3(1+i3)3=1(1+i3)

3= 1b3= 10,7461

i 3=3 10,90461=0,1026

A su vez, si queremos valorar otro bono que vence dentro de tres aos, con nominal10.000 , con un cupn del 3% y su precio de cotizacin en el mercado es igual a 8.900 .Existen oportunidades de arbitraje en la economa? Representando sus pagos:

Bono Precio Pago t=1 Pago t=2 Pago t=3D 8900 300 300 10300

El precio de no arbitraje del bono D es el coste de su cartera rplica por lo queusamos el VAN para calcularlo:

BD=C(1+i)t

+N

(1+i)T=

300(1+i1)

+300

(1+i2)2+

10300(1+i 3)

3=300

(1,0947)+

300(1,051)2

+10300(1,1)3

=8230,26

Dado que el precio de no arbitraje del bono es inferior al precio, habra una estrategiade arbitraje que consistira en vender en corto el bono y cubrir la posicin con la carterarplica. Es decir:

T=0 T=1 y 2 T=3Venta Corto F 8900 -300*2=-600 -10300

Compra Rplica -8230,26 300*2=600 10300Total 669,74 0 0

Ejemplo numrico: valoracin de un proyectoSupongamos que queremos valorar el siguiente proyecto:

Precio Pago t=1 Pago t=2 Pago t=325000 -2000 15000 20000

Tambin sabemos que existen los siguientes activos sin riesgo:Bono Precio Pago t=1 Pago t=2 Pago t=3

A 880 1000B 10303 1550 11550C 9200 1000 1000 11000

Con la informacin anterior, usamos la ecuacin fundamental de valoracin o EFVpara calcular los precios de los bonos bsicos:

B= Cbt+NbTAs pues:1000*b1[nominal*bono bsico]=880 [Precio Bono A] b1=880/1000=0,881550b1+b211550=10303b211550=1030315500,88=8939b2=

893911550

=0,774

1000b1+b21000+b311000=9200b311000=7546b3=754611000

=0,686

Con esto, podemos aplicar la EFV para calcular el coste de la cartera rplica:Cartera Rplica=250002000b1+15000b2+20000b3

Sustituyendo:Cartera Rplica=2500020000,88+150000,774+200000,686=1430

El coste de la cartera es negativo, por lo que NO es aconsejable llevar a cabo elproyecto al perder dinero. Alternativamente, dado que la EFV es equivalente al VAN, talcomo dijimos en los apartados anteriores, los pagos futuros de este proyecto tienen unvalor actual negativo.

Ejemplo numrico: valoracin de un bono con unidades de bonosSi existen los tres bonos posteriores:

Bono Precio Pago t=1 Pago t=2 Pago t=3A 4500 5000B 4425 100 5100C 5275 500 500 5500

Y queremos valorar un nuevo bono D:Bono Precio Pago t=1 Pago t=2 Pago t=3

D PBD 500 500 10500Tenemos dos opciones a la hora de valorarlos. Una es la habitual, hallando sus

precios como hemos hecho en varias ocasiones:5000*b1=4500 b1=4500/5000=0,9100b1+b25100=4425b25100=44251000,9=4335b2=

43355100

=0,85

500b1+b2500+b35500=5275b35500=4400b3=44005500

=0,8

Con esto, podemos aplicar la EFV para calcular el coste de la cartera rplica:Cartera Rplica=500b1+500b2+10500b3=5000,9+5000,85+105000,8=9275

La otra es calcular las cantidades o el nmero de unidades necesarias de bonos -A,B yC- para construir una cartera con los mismos pagos que en D. Es decir, si adquirimos Xunidades del bono A, Y de B y W de C, el primer ao tendremos unos pagos totales de:

Pagos 1r Ao = 5000*X [N Unid. Bono A]+100*Y+500*WPagos 2 Ao = 5100*Y+500*W (Ya que el Bono A vence en el ao 1)Pagos 3r Ao = 5500*WDado que queremos averiguar las cantidades de A, B y C ptimas para conseguir un

producto con los mismos pagos que en el bono D, resolvemos el sistema:Pagos3r Ao=Pago3r Ao BonoD5500W=10500W=10500

5500=1,9

500W+5100Y=500Y=5005001,95100

=0,089

500W+500Y+1000X=500Y=5005001,9500(0,089)1000

=0,089

En consecuencia deberamos adquirir 1,9 unidades de C y vender en corto 0,089unidades de A y B -de ah el signo negativo- para tener los mismos pagos. El Precio sera:

Precio = NUnidades A * Precio A + N Unidades B * Precio B + N Unid. C * Precio CPrecio = -0,089*4500-0,089*4425+1,9*5275= 9275

Arbitraje secuencialRelacionado con los bonos bsicos, para que NO exista arbitraje los precios de los

bonos han de seguir la siguiente relacin:1 > b1 > b2 > b3 > [...]> bnYa que si b1=0,5 y b2=0,9, hay una oportunidad de arbitraje:

T=0 T=1 T=2Venta Corto b2 0,9 0 -1

Compra b1 -0,5 1 0Total 0,4 1 -1

Obtenemos, por tanto, una ganancia de 0,4*N siendo N el nmero de veces querealizamos la operacin.

Tema 3: La estructura temporal de los tipos

La estructura temporal y la curva de tipos: definicin e importanciaA la hora de tasar activos financieros, una herramienta muy til es la estructura

temporal de los tipos de inters. Esta estructura se obtiene mediante los tipos deinters de inversiones con el mismo riesgo a diferentes vencimientos. Esto es, lo nicoque vara entre ellas es el plazo de vencimiento o la fecha del ltimo pago . Con el fin desimplificar la construccin de la misma y de disponer de precios correctos -querepresenten toda la informacin disponible del mercado-, la calculamos a partir de deudapblica sin riesgo de impago -en Europa, la Alemania y en el resto del mundo, la deEstados Unidos-.

Adems, usando la estructura temporal de los tipos de inters, podemos representargrficamente la curva de tipos de inters o curva cupn cero -porque usaremos estaclase de bonos para construirla-. Esta curva es la base tanto para valorar activos de rentafija como las rentabilidades de productos financieros ms complejos, ya que proporcionauna referencia o punto de partida de los tipos de inters -si los tipos de estos activos sonmenores de lo que obtendras invirtiendo en renta fija, son o han sido una mala inversin-.

A su vez, este grfico tambin es fundamental en macroeconoma, pues es la base paradecidir la poltica monetaria de los bancos centrales y permite observar las expectativasde los agentes econmicos -cuando los tipos de inters futuros son bajos, significa que seespera una bajada, lo que indica la posibilidad de una recesin. Esto es debido a quecuando el PIB decrece se expande la oferta monetaria y bajan los tipos para tratar dereactivar la economa.-.

La estructura temporal y la curva de tipos: obtencin Como hemos dicho, construiremos o hallaremos la estructura temporal de los tipos de

inters a partir de bonos cupn cero sin riesgo de impago. De este modo, si tenemosun bono bsico a un ao, es fcil encontrar su tipo de inters:

b1(1+i 1)=1(1+i1)=1b1 i1=

1b11

A dos aos:

b2(1+i2)2=1(1+i2)= 1b2 i2= 1b21

Para cualquier periodo T:

bt(1+it)t=1(1+it)=

t 1bt it= t 1bt1Alternativamente, podemos calcular el tipo de inters mediante la tasa interna de

retorno o TIR, un indicador de la rentabilidad de la inversin. En esencia, la TIR es elinters que satisface la ecuacin fundamental de valoracin:

B= C(1+i)t

+N

(1+i)T

Como los bonos cupn cero NO pagan cupones, C es cero y tenemos que aislando i:

B= N(1+i)T

(1+i)T= NB i=T NB1

Lo que proporciona el mismo resultado que antes. Conviene recordar que usamosbonos cupn cero para calcular la curva de tipos ya que los bonos con cupn, aunquetengan el mismo vencimiento, sus cupones varan y no hay una TIR nica en esoscasos. Para ilustrar esto, si los tipos de inters a uno y dos aos son del 4% y el 12%, ytenemos los dos bonos siguientes:

Bono Precio Pago t=1 Pago t=2A 8400 200 10200B 11483,98 2000 12000

Si calculamos la TIR:BA=

C(1+i)t

+ N+C(1+i)T

= 200(1+i)

+10200(1+i)2

BB=C

(1+i)t+ N+C(1+i )T

= 2000(1+i)

+12000(1+i)2

Reemplazando por los precios de los bonos:8400= 200

(1+i)+ 10200(1+i)2

8400(1+i)2=200(1+i)+10200

Si resolvemos la ecuacin de segundo grado, tenemos que:ia = TIR del Bono A = 11,39%Para el bono B:11483,98= 2000

(1+i)+ 12000(1+i)2

11483,98(1+i)2=2000(1+i)+12000

ib= TIR del Bono B = 11,3% Segn la TIR, el bono A otorga una rentabilidad mayor, por lo que es una inversin

mejor. Sin embargo, si calculamos el precio de no arbitraje de los bonos -usando los tiposmencionados antes de la tabla-, obtenemos que:

BA=200(1,04)

+ 10200(1,12)2

=8323,68 BB=2000(1,04)

+ 12000(1,12)2

=11489,4

Dado que Precio del Bono A (8400)> Precio del Bono A No Arbitraje (8323,68) y, en loque al bono B respecta, Precio Bono B (11483,98) < Precio Bono B No Arbitraje (11489,4),lo ideal es vender en corto el bono A y adquirir el B para cubrir la posicin. En otrostrminos, habra una estrategia de arbitraje y, en consecuencia, el bono B sera unamejor inversin.

El motivo principal por el que el bono B posee una TIR ms baja es que tiene unoscupones altos y, como la TIR valora ms los pagos iniciales -al estar divididos por unnmero menor- y la curva de tipos de inters es creciente -el precio del dinero crece conel tiempo-, su rentabilidad es menor.

Los tipos de inters y el precio de los bonosComo vimos en Macroeconoma, entre el precio de los bonos y los tipos de inters

existe una relacin inversa. Esto es, cuando el tipo de inters sube el precio de losactivos de renta fija disminuye. Lo anterior es fcil de apreciar en la EFV:

B= C(1+i)t

+N

(1+i)T

Si, por ejemplo el cupn fuese de 10 y el nominal de 110:B= 10

(1+i)t+ 110(1+i)T

El bono posee un valor menor si el tipo de inters es del 15% que del 5% . A su vez,aumentos en el precio de los bonos provocan cadas en la rentabilidad o TIR -ya quecuando el precio sube, los intereses bajan-.

La duracinPese a que en el tema 1 indicamos que, a la hora de poner precio o tasar activos de

renta fija, adoptaramos ciertos supuestos -como no tener en cuenta la inflacin ni elriesgo de impago-, todava siguen habiendo dos riesgos importantes ntimamenterelacionados:

Riesgo de liquidez: Tener dificultades para vender el bono. Riesgo de tipo de inters: Que la variacin de los tipos de inters haga variar el

precio del activo de renta fija.As pues, ante la segunda clase de riesgo, el relativo a los tipos de inters, nos puede

interesar averiguar la sensibilidad o variacin del precio de un bono a raz defluctuaciones o variaciones en el precio del dinero. El indicador que nos muestra esto seconoce como duracin. Para calcularla, en primer lugar tomamos como punto de partidala EFV:

B= C(1+i)t

+N

(1+i)T

Con ella, queremos saber cunto vara el precio del bono -B- si el tipo de inters -i-cambia ligeramente. En otras palabras:

Duracin = Variacin de B / Variacin de i = B/ iLo que coincide con la derivada parcial de B respecto a i:

Duracin = B i

= 11+i

[ C1+i

+ 2C(1+i)2

+[ ...]+ TC(1+i)T

+ TN(1+i)T

]

No obstante, queremos el cambio en relacin al precio del bono. Dicho de otraforma, queremos saber en qu porcentaje cambiar el precio. Por consiguiente, dividimospor B o el precio del bono la ecuacin anterior:

Duracin = B i

( 1B)=

[ 11+i

[ C1+i

+ 2C(1+i)2

+[ ...]+ TC(1+i)T

+ TN(1+i)T

]]

BSi reescribimos lo anterior:

Duracin = B i

=[ [ tC

(1+i)t+ TN(1+i )T

]]

BSi sustituimos la expresin simplificada en la ecuacin original, obtenemos la duracin

modificada, que usaremos para determinar la variacin en el precio ante un cambio en eltipo de inters:

Duracin Modificada = B i

( 1B)= 1

1+iD

Poniendo un ejemplo numrico, si queremos calcular la duracin modificada de losbonos siguientes:

Bono Precio Pago t=1 Pago t=2A 9259,26 0 10200B 11483,98 2000 12000

Y queremos ver cmo vara su precio ante un incremento del 2% en los tipos deinters, calculamos su duracin aplicando la frmula. Primero, calculamos los tipos deinters de ambos bonos mediante la TIR:

9259,26= C(1+ia)

t+N

(1+ia)T =

10200(1+ia)

2 ia= 102009259,261=0,0496Para el bono B:11483,98= 2000

(1+i)+ 12000(1+i)2

11483,98(1+i)2=2000(1+i)+12000

ib= TIR del Bono B = 11,3% Aplicando la frmula de duracin, tenemos que:

Duracin Bono A = [[ TN(1+i)T

]]

B=[[ 210200

1,0462]]

9259,26= 2

Como vemos, coincide con su periodo de vencimiento. Dado que esto se aplica paratodos los bonos cupn cero, en esta especie de bonos la duracin coincide con el periodode vencimiento.

Duracin Bono B = [ [ tC

(1+i)t+ TN(1+i)T

]]

B=[[ 12000(1,113)1

+212000(1,113)2

]]

11483,98 =1,84

Con esto, podemos calcular la duracin modificada:Duracin Modificada Bono A = -2/1,0496 = -1,9Duracin Modificada Bono B = -1,84/1,113 = -1,65Si los tipos suben un 2%, entonces:Cambio Precio Bono A = Cambio Tipos de Inters*Duracin ModificadaCambio Precio Bono A = 2%*(-1,9) = -3,8% Cambio Precio Bono B = 2%*(-1,65) = -3,3%El bono B bajara de precio un 3,8% y el B un 3,3%. Como vemos, a mayor duracin

ms sensible es el precio del bono a variaciones de los tipos de inters.

Los tipos a plazo o forward y los bonos strips o segregablesAdems del tipo de inters actual o spot, que indica, en el caso de los bonos bsicos,

la rentabilidad de un activo financiero que paga 1 en el periodo T con absoluta certeza,existen los tipos de inters forward o a plazo. Esta clase de tipos de inters hacenreferencia a transacciones que se acuerdan hoy pero se producen en el futuro.

Entenderemos mejor la diferencia con la tabla siguiente. En ambos casos, estamoscomprando un bono bsico a dos aos, pero en la primera opcin realizamos la comprahoy y en la segunda la acordamos hoy pero la efectuamos el ao prximo. Por tanto:

Bono t=0 t=1 Pago t=2A -0,9 0 1B 0 -Precio Bono B en T=1 1

El bono B, en este caso, correspondera a una adquisicin a plazo, mientras que elbono A sera una transaccin normal. Respecto a los tipos de inters forward -o el tipo deinters del bono B-, como no sabemos los tipos de inters a un ao en el ao prximo ,debemos hallarlos usando la condicin de no arbitraje. Esto es:

Tipo de inters Dos Aos = Tipo Inters un Ao * Tipo Forward de T=1 a T=2Entonces:

i22=i 1F F=

i 22

i 1De forma genrica, para cualquier periodo T:

iTT=i(T1)

(T1)F F=iTT

i(T1)(T1)

A su vez, hay un tipo de bonos muy singular llamados bonos segregables o strip. Demanera similar a los contratos a plazo o forward, separan los cupones y el nominal y losvenden por separado. En otros trminos, si tenemos el bono posterior A, podemosconvertirlo en los bonos Strip A1 y A2:

Bono t=0 t=1 Pago t=2A -10 9 19

Strip A1 -4 9 0Strip A2 -12 0 19En consecuencia, con esta clase de bonos podemos tener bonos cupn cero aunque

en esta economa slo existan bonos con cupn.

Ejercicio numricoPara entender mejor todo lo explicado en el tema, resulta til considerar el siguiente

ejercicio. Si tenemos los dos bonos cupn cero posteriores:Bono t=0 t=1 Pago t=2

A 95,42 100 0B 89,85 0 100

Queremos hallar, en primer lugar, los tipos de inters actuales o spot y el forwars.Dado que los bonos son cupn cero, podemos encontrar los primeros con ecuaciones deuna incgnita o con una versin modificada de la EFV:

bA(1+i 1)=100 i1=10095,42

1=0,048

bB(1+i 2)=100 i2= 10089,851=0,055Para averiguar el forward o inters a plazo de un ao a dos, aplicamos la condicin de

no arbitraje:Tipo de inters Dos Aos = Tipo Inters un Ao * Tipo Forward de T=1 a T=2Entonces:

i22=i 1F F=

i 22

i 1=0,055

2

0,048=0,063

A su vez, con los datos anteriores se nos pide encontrar el precio de no arbitraje delbono siguiente:

Bono t=0 t=1 t=2C PBC 5 105

Simplemente, tal como hacamos en el tema anterior, aplicamos la EFV:

B= C(1+i)t

+N

(1+i)T=

51+i

+105

(1+i)2

Si reemplazamos los tipos de inters por los anteriores:B= 5

1,048+ 105(1,055)2

=99,11

Por otro lado, la TIR de este nuevo bono es:99,11= 5

1+i+ 105(1+i)2

99,11(1+i)25(1+i)105=0

Si resolvemos la ecuacin:

(1+i)=(5)(5)2499,11(105)

299,11=525+42099,11

198,22=5204,08

198,22

(1+i)1=5+204,08198,22

=1,05478i 1=1,054781=0,05478

El otro resultado (5-204,08) lo descartaramos al ser negativo.Si quisiramos saber el precio de un bono strip hecho a partir del cupn del bono C.

Es decir, el precio de:Bono t=0 t=1 t=2SCC PSCC 5 0

Aplicamos nuevamente la EFV:B= 5

1,048=4,77

Finalmente, si queremos averiguar qu bono es menos sensible al riesgo del tipo deinters, calculamos la duracin de cada uno:

Duracin = B i

=[ [ tC

(1+i)t+ TN(1+i )T

]]

B

Duracin Bono A = [[ TN(1+i)T

]]

B=[[ 1001,048

]]

95,42= 1

Duracin Bono B = [[ TN(1+i)T

]]

B=[[ 21001,0552

]]

89,85 = 2

Duracin Bono C = [ [ tC

(1+i)t+ TN(1+i)T

]]

B=[ 51,048

+ 1051,055

]

99,11=1,952

El menos sensible es, por tanto, el bono A.

Teoras sobre la estructura temporalPor ltimo, es necesario explicar las distintas teoras acerca de los tipos forward y los

tipos de inters futuros. Bsicamente, distinguimos tres:Teora Supuesto bsico Hiptesis Bsica Interpretacin curva

ExpectativasPuras

Los inversores sonneutrales al riesgo.

Tipo Forward = TipoInters FuturoEsperado

-Creciente: Se esperaque los tipos suban.-Plana: Sin cambios.-Decreciente: Seesperan bajadas.

Preferenciapor la liquidez

Los inversoresprefieren lasinversiones mslquidas -que generandinero antes-

Tipo Inters FuturoEsperado = TipoForward + PrimaLiquidez

-Plana y decreciente.Cadas futuras.- Muy creciente:Subidas.- Algo creciente: No losabemos a raz de laprima de liquidez.

Segmentacinde mercados

Los mercados de tiposde inters no serelacionan entre s,son independientes.

No hay relacin entrelos tipos de intersforward y los tipos deinters esperados.

No podemos decir nadasobre los tipos de intersesperados.

Tema 4: La EFV bajo incertidumbre

Introduccin: incertidumbre, activos contingentes y subyacentesEn los tres temas anteriores, suponamos que nos encontrbamos en una situacin de

certeza absoluta. Es decir, los activos financieros otorgaban pagos seguro, no existaningn riesgo de impago. En la realidad, no obstante, la mayor parte de activos poseenincertidumbre, esto es, sus pagos dependen de numerosas circunstancias o, en trminosya vistos en Teora de Juegos, estados de la naturaleza.

Mismamente, el valor de una gran plantacin de caf depende del precio del mismo. Deeste modo, si el precio de esta materia aumenta, la plantacin valdr ms; mientras que sise hunde, la plantacin disminuir su valor notablemente. Ponindolo en una tabla,tenemos que:Periodo T=0 T=1Estados Precio alto (s=1) Precio normal (s=2) Precio bajo (s=3)Valor Plantacin 90M 180M 92,34M 15M

En el ejemplo anterior, la plantacin es un activo con pagos inciertos puesto que estosdependen del valor del caf en el futuro -estados de la naturaleza-. Por consiguiente,podemos introducir dos conceptos fundamentales:

Activos contingentes: Activos cuyo valor depende o est ligado a algo. Ennuestro ejemplo, la plantacin de caf. Tambin reciben el nombre de derivados.

Activos subyacentes: Que determina el valor del activo contingente. En la tabla,es el precio del caf en T=1.

Valoracin de activos con pagos inciertos: ideas claveIntroducida la terminologa bsica, conviene comenzar a explicar cmo valorar este tipo

de activos. Para ello, usaremos un nuevo ejemplo de activo contingente: una mina de oro-cuyo valor depende del precio del oro, el activo subyacente o determinante en nuestroejemplo-. As pues, dada la siguiente tabla:Periodo T=0 T = 1Estados Precio alto (s=1) Precio bajo (s=2)Precio oro 250/onza 280/onza 230/onzaValor mina de oro VMO 200M 50MValor bono bsico 0,95 1,00 1,00

Adems de la mina de oro -lo que queremos valorar-, tenemos dos activos ms: Activo subyacente: O lo que determina el valor de la mina de oro. En este caso, el

precio del oro. Bono bsico: O activo de renta fija. Es necesario percatarse de que, como los

activos de renta fija NO tienen pagos inciertos, paga siempre 1independientemente de la circunstancia o estado de la naturaleza.

En esencia, usaremos el mismo principio que en los temas anteriores y activos de rentafija: la valoracin por ausencia de arbitraje. En otras palabras, dos activos con losmismos pagos han de valer lo mismo. En consecuencia, construiremos una carterarplica o activo que valore los pagos -el valor de la mina- mediante el bono bsico y eloro. De esta forma:

X = N de Onzas de OroY = N Bonos BsicosPagos Estado S1 Cartera Rplica = 280*X + Y*1 = 280X + YPagos Estado S2 Cartera Rplica = 230*X + Y*1 = 230X + Y

Como la cartera rplica ha de producir los mismos pagos:Pagos Estado S1 Cartera Rplica = Pagos Estado S1 Mina = 200 000 000Pagos Estado S2 Cartera Rplica = Pagos Estado S2 Mina = 50 000 000Por consiguiente, resolvemos el sistema posterior:280X + Y = 200 000 000230X + Y = 50 000 000 Y = 50 000 000 230X280X + Y = 280X -230X + 50 000 000 = 200 000 00050X = 150 000 000 X = 3 000 000 de onzas de oroY = 50 M - 230*3M = -640 M de bonos bsicosDebemos, pues, adquirir 3 millones de onzas de oro y vender en corto 640 millones de

bonos bsicos. Con estas dos operaciones replicaremos los pagos de la mina en AMBOSestados de la naturaleza y podremos hallar su precio de no arbitraje:

Precio No Arbitraje Mina = Coste Cartera Rplica = 3M*250-640*0,945 = 145,2M

Activos Arrow-DebreuA su vez, es til introducir una cierta notacin para plasmar mejor la incertidumbre. Si Pj

es el precio del activo incierto J, sus pagos en T=1 pueden ser representados de la formasiguiente, que tambin tiene en cuenta los estados de la naturaleza.

El activo j, por tanto, tiene pagos distintos para cada estado de la naturaleza S.Mismamente, en el estado S=1 paga Xj1 y en S=2 otorga Xj2. Lo anterior nos sirve paradefinir un concepto elemental a la hora de valorar activos con incertidumbre bajo ausenciade arbitraje: los activos Arrow-Debreu. Este tipo de activos otorgan un euro con absolutacerteza en el estado S=s y 0 en todos los dems. As pues:

En consecuencia, podemos decir que los activos Arrow-Debreu (AAD) son el anlogoo equivalente a los bonos bsicos para coyunturas inciertas. Lo fundamental de estosactivos es que, tal como ocurre con los bonos bsicos, permiten valorar activosinciertos. Es decir, como todo activo puede construirse a partir de combinaciones deAAD, su valor bajo ausencia de arbitraje ha de ser equivalente al de esa combinacin. Enel caso de la mina de oro:

Valor AAD S1 * Pago Mina S1 + Valor Aad S2 * Pago Mina S2 = Valor MinaPor tanto:Valor AAD S1 * 200M + Valor S2 * 50M = Valor Mina

As pues, solo debemos hallar los valores de estos activos y podemos averiguar el valorde la mina. Primero, como el bono bsico otorga 1 con absoluta certeza, al adquirir losdos activos Arrow-Debreu de esta economa tambin disponemos de 1 seguro-obtendremos un euro independientemente de si el precio del oro es alto o bajo-, por loque en ausencia de arbitraje:

Valor Bono Bsico = Valor AAD S1 + Valor AAD S2 + [] + Valor Activo AAD SNEn nuestro caso:0,945 = Valor AAD S1 + Valor AAD S2Adems, tambin tenemos que el valor del oro NO debe dar lugar a oportunidades de

arbitraje:Precio Oro = Pago Oro S1 * Valor AAD S1 + Valor AAD S2 * Pago Oro S2Por consiguiente:250 = 280* Valor AAD S1 + 230 * Valor AAD S2Si resolvemos el sistema: Valor AAD S2 = 0,945 Valor AAD S1250 = 280* Valor AAD S1 + 230 * (0,945 Valor AAD S1)250 = 50 * Valor AAD S1 + 217,35Valor AAD S1 = 32,5/50 = 0,65Valor AAD S2 = 0,945 0,65 = 0,295Valor Mina = 200M*0,65 + 0,295*50M = 145,2 MDe forma general, para cualquier activo con incertidumbre:Precio Activo = Pago Activo S1 * AAD S1 + Pago Activo S2 * AAD S2 + []Expresado en forma de frmula, donde X son los pagos y las O el valor de los activos

Arrow-Debreu:

Lo anterior es la Ecuacin Fundamental de Valoracin (EFV) para entornos otesituras inciertas.

Mercados completosPor ltimo, es necesario mencionar una condicin fundamental para valorar mediante

AAD: que estos existan. Para que este tipo de productos financieros existan o puedancrearse en la economa, deben haber tantos activos linealmente independientes -sinrelacin entre ellos- como estados de la naturaleza o posibles escenarios existan . Cuandoesto se cumple, el mercado es completo.

La forma ms sencilla de comprobar lo anterior es a partir de la matriz de pagos. Enotras palabras, si el determinante de la matriz de pagos es distintos de cero, el mercadoes completo. Esta condicin se deriva del siguiente sistema, en el que intentamos replicarel Activo Arrow-Debreu para el estado de la naturaleza S=1. Esto es, tratamos de hallar unactivo que pague un euro en S=1 y 0 en los dems estados:

X = Onzas Oro Y = Unidades Bono Bsico280*X+Y = 1 230*X +Y = 0Para el otro AAD:280*X+Y = 0 230*X +Y = 1Si realizamos una matriz de los coeficientes, para que pueda resolverse el sistema el

determinante NO ha de ser cero:280 1230 1

= 280*1 230*1 = 50 diferente de 0, el mercado es completo.

Tema 5: Opciones y Futuros

Opciones: definicin, tipos y conceptos bsicosExisten dos tipos principales de opciones: Call u opcin de compra: Otorga el derecho a adquirir un activo financiero

concreto en una fecha determinada a un precio establecido. Dado que su valordepende del precio de ese producto financiero concreto -una accin...-, las call sonderivados o activos contingentes. A su vez, el activo al que estn vinculados recibeel nombre de subyacente, tal como explicamos en el tema anterior.

Put u opcin de venta: Otorga el derecho a vender un activo financiero concretoen una fecha determinada a un precio establecido. Dado que su valor depende delprecio de ese producto financiero concreto -una accin...-, las put tambin sonderivados o activos contingentes. A su vez, el activo al que estn vinculados recibeel nombre de subyacente.

Por otro lado, dependiendo de cundo dejen ejercer la opcin, las opciones se dividentambin en:

Opciones europeas: SOLO puedes ejercer la opcin en una fecha concreta.Sern las que estudiaremos.

Opciones americanas: Puedes ejercer la opcin en el momento que desees hastala fecha concreta.

Finalmente, hay dos conceptos fundamentales relativos a las opciones que esnecesario conocer:

Precio de ejercicio: El precio al que podemos comprar/vender el activosubyacente si ejercemos la opcin. Se denota por K.

Fecha de vencimiento: Fecha en la que caduca la opcin o podemos ejercerla.Se denotar por la fecha T.

Opciones: FuncionamientoPara comprender mejor las opciones, es til poner un ejemplo. Imaginemos que un

inversor adquiere por 2 una opcin de compra -call- sobre acciones de Samsung conprecio de ejercicio 500 y vencimiento en T. Sabemos que actualmente las acciones valen400. Si en T:

La accin vale 600: El inversor ejercer la opcin al poder comprar por 500 algoque vale 600. Por tanto, tenemos que:Pagos Call = Precio en T Precio Ejercicio = Pt K = 600-500= 100Beneficios Inversor = Pt K Prima = 600-500-2 = 98

La accin vale 200: Como nadie comprara por 600, algo que en realidadcuesta 200, NO ejercer la opcin. Por consiguiente:Pagos Call = 0Beneficios Inversor = Prima =-2

No obstante, supongamos que el inversor, en lugar de comprar la opcin -tomar unaposicin larga en la misma-, la vende en corto -toma una posicin corta-. En este caso,sus pagos y beneficios son inversos. Es decir, lo que favorece a un comprador de unacall, perjudica al vendedor de una opcin de compra. En consecuencia, si al vender lamisma call en T:

La accin vale 600: El inversor debe devolver la opcin a su propietario. Es decir,debe pagarle lo que le corresponde -ya que usar la opcin-. En otras palabras,como toma prestado el activo y el propietario del mismo ejercer la opcin, paraque el dueo NO se percate de nada el vendedor de la call debe cubrir o sufragarlos pagos. En este casoPagos Call =Precio Ejercicio Precio T = K - Pt = 500-600 = -100

Beneficios Inversor = K Pt + Prima = 500-600+2 = -98 La accin vale 200: Como nadie comprara por 600, algo que en realidad

cuesta 200, el dueo NO ejercer la opcin. Por consiguiente, NO ha de devolvernada:Pagos Call = 0Beneficios Inversor = Prima =2

A su vez, respecto a las opciones de venta o puts, el procedimiento es muy parecido.Imaginemos que un inversor adquiere por 2 una opcin de compra -call- sobre accionesde Samsung con precio de ejercicio 500 y vencimiento en T. Sabemos que actualmentelas acciones valen 400. Si en T:

La accin vale 600: El inversor NO ejercer la opcin ya que nadie vendera por500 algo que vale 600. Por tanto, tenemos que:Pagos Put = 0Beneficios Inversor = Prima = -2 = -2

La accin vale 200: Dado que puede vender por 500 algo que vale 200,ejercer la opcin. Por consiguiente:Pagos Put = Precio Ejercicio Precio en T = K Pt = 500-200 = 300Beneficios Inversor = K - Pt Prima =298

Por su parte, si alguien vende en corto la misma put: La accin vale 600: El inversor NO ejercer la opcin ya que nadie vendera por

500 algo que vale 600. Por tanto, NO tenemos que devolver nada al dueo:Pagos Put = 0Beneficios Inversor = + Prima = +2 = 2

La accin vale 200: Dado que puede vender por 500 algo que vale 200, elpropietario ejercer la opcin. Por consiguiente, debemos sufragar los pagos sihemos vendido en corto la opcin:Pagos Put = Precio en T Precio Ejercicio = Pt - K = 200-500 = -300Beneficios Inversor = Pt - K + Prima = -298

Opciones: Pagos y gananciasLo fundamental a la hora de entender los pagos y ganancias de las distintas posiciones

-largas o cortas- en opciones, es comprender que se trata de un juego de suma cero.Dicho de otra forma, lo que ganas -o cobras- en la posicin larga, lo paga -o pierde- elinversor de la posicin corta. Si lo representamos en una tabla de pagos:

Posicin Si P tK Si Pt < K

Comprador call o posicin larga call Pt - K 0Vendedor call o posicin corta call K Pt 0Comprador put o posicin larga put 0 K - PtVendedor put o posicin corta put 0 Pt - K

Respecto a las ganancias:Posicin Si P tK Si Pt < K

Comprador call o posicin larga call Pt K - Prima - PrimaVendedor call o posicin corta call K Pt + Prima + PrimaComprador put o posicin larga put - Prima K Pt - PrimaVendedor put o posicin corta put + Prima Pt - K + Prima

Si plasmamos las dos tablas anteriores grficamente, tenemos que, por lo que serefiere a los pagos:

En cuanto a las ganancias:

Opciones: Valoracin con pocos estados de la naturalezaDefinidas las opciones y su estructura de pagos, a la hora de valorarlas seguiremos dos

mtodos dependiendo de los estados de la naturaleza que tengamos. De este modo, sitenemos pocos estados de la naturaleza o posibles escenarios -dos o tres-,calculamos el coste de la cartera rplica mediante activos Arrow-Debreu (AAD) o losproductos financieros presentes en la economa.

As pues, si tenemos los siguientes dos activos financieros:Periodo T=0 T = 1Estados Precio alto (s=1) Precio bajo (s=2)Accin 100,00 125,00 75,00 Valor bono bsico 0,94 1,00 1,00

Y queremos saber el precio de no arbitraje de una opcin de compra o call sobre laaccin con precio de ejercicio 100 que vence en T=1, primero debemos calcular quvalor tiene -cuanto paga- en cada uno de los estados de la naturaleza:

En S=1: La accin cuesta 125, as que se ejercer la opcin obteniendo un pagode Pt K = 125-100 = 25.

En S =2: La accin vale 75, lo que es inferior al precio de ejercicio, por lo que NOse ejercer. El pago, pues, ser de cero.

Por consiguiente, para valorar la opcin debemos encontrar una cartera rplica queotorgue 25 en S=1 y 0 en S=2. En primer lugar, replicaremos la call con la accin delbono. Es decir, buscaremos las unidades de la accin y el bono bsico necesarias paralograr los mismos pagos de la opcin de compra. Por tanto:

X = Unidades Accin.Y = Unidades Bono Bsico.Pagos S1 = Valor Accin * Unidades Acciones + Valor Bono Bsico * N Bonos BsicosPagos S1 = 125*X + YPagos S2 = 75X + YDado que la cartera rplica ha de proporcionar los mismos pagos:Pagos S1 = 125*X + Y = Pagos S1 Call = 25Pagos S2 = 75X + Y = Pagos S2 Call = 0Y = -75X125X + Y = 125X -75X = 50X = 25 X = 25/50 = 0,5 accionesY = -75*0,5 = -37,5 bonos bsicosAs pues:Coste Cartera Rplica = X * Precio Accin + Y * Precio BonosCoste Cartera Rplica = 0,5*100-37,5*0,94 = 14,62 = Precio Call No ArbitrajeLa opcin ha de valer, por tanto, 14,62 para que no exista arbitraje.A su vez, tambin podemos replicar los pagos de la opcin mediante Activos Arrow

Debreu. Primero, como dan un euro con absoluta certeza en S1 y S2 respectivamente,para que no exista arbitraje:

Precio AAD S1 + Precio AAD S2 = Precio Bono BsicoAdems, tambin podemos replicar los pagos de la accin con estos activos:125 * AAD S1 + 75* AAD S2 = Precio No Arbitraje Accin = 100Si:AAD S1 = 1AAD S2 = 2Podemos hallar sus precios resolviendo el sistema posterior:1 + 2 = 0,94 1 = 0,94 - 2125 * 1 + 75* 2 = 100125 * (0,94 - 2) + 75* 2 = 117,5 - 125*2 + 75*2 = 10050*2 = 17,5 2 = 17,5/50 = 0,351 = 0,94 - 0,35 = 0,59As pues:Coste Cartera Rplica = 1 * Pago Call S1 + 2*Pago Call S2Coste Cartera Rplica = 0,59*25+0*0,35 = 14,62 = Precio Call No ArbitrajeFinalmente, en caso de que la call valiera 10, existira arbitraje al estar infravalorada.

Concretamente, venderamos en corto la cartera rplica y cubriramos la posicin-devolveramos los pagos- con la call.

Opciones: Valoracin de calls con numerosos estados de la naturalezaEn el caso de que existan muchos posibles escenarios, usamos la frmula Black-

Scholes de valoracin de opciones. Esto es:

Siendo: Co: Precio de no arbitraje de la call u opcin de compra. Po: Precio hoy de la accin. N(d1): Valor en la distribucin normal de d1. K: Precio de ejercicio. ert : Tipo de inters, la expresin es diferente puesto que asumimos que el

inters se paga en cada milisegundo y NO al vencimiento. N(d2): Valor en la distribucin normal de d2. r: Tipo de inters. : Volatilidad o riesgo, una medida -desviacin tpica- que indica si el precio de la

accin flucta mucho o no. T: Fecha de vencimiento.

A su vez, en la siguiente tabla podemos ver cmo afecta un aumento de cada uno delos parmetros al precio de la call:Aumento de.. Efecto sobre call Explicacin

Precio accin hoy (Po) + A mayor precio hoy, ms probable es que obtengas ganancias.

Precio ejercicio (K) - A mayor precio de ejercicio, peor ya que el precio de la accin deber ser mayor que K para lograr ganancias.

Volatilidad () + Cuanta ms volatilidad, ms probable es que el precio suba. Como es una opcin, si baja simplemente NO la ejerces, as que su efecto NUNCA es negativo.

Tipo de inters (r) + A mayor tipo de inters, el valor presente de K er menor y obtendremos mayores ganancias como vemos en la frmula.

Fecha de vencimiento (T) + Cuanto ms tiempo pase, ms probable es que la opcin suba de precio. El valor presente de K tambin es menor.

Opciones: Valoracin de puts con numerosos estados de la naturalezaEn cuanto a las opciones de venta o put, los beneficios son los inversos a los de la

call. Es decir:

A su vez, en la siguiente tabla podemos ver cmo afecta un aumento de cada uno delos parmetros al precio de la call:Aumento de.. Efecto sobre put Explicacin

Precio accin hoy (Po) - A mayor precio hoy, ms probable es que obtengas prdidas.

Precio ejercicio (K) + A mayor precio de ejercicio, mejor ya que es ms probable que el precio en T est por debajo de K.

Volatilidad () + Cuanta ms volatilidad, ms probable es que el precio baje. Como es una opcin, si sube simplemente NO la ejerces, as que su efecto NUNCA es negativo.

Tipo de inters (r) - A mayor tipo de inters, el valor presente de K ser menor y obtendremos menoresganancias como vemos en la frmula.

Fecha de vencimiento (T) Ambiguo Al haber dos efectos contrarios.Otra alternativa es usar la condicin de paridad put-call, que establece que entre las

opciones de compra y de venta NO pueden existir oportunidades de arbitraje. En esencia,si adquirimos las dos carteras siguientes, obtenemos siempre los mismos pagos:

Posicin larga en call y el equivalente en bonos al valor presente de K: Si Pt > K: Ejercemos la opcin y vendemos los bonos, obteniendo unos pagos

de: Pt -K [Pago Call] + K [Bonos] = Pt. Si Pt < K: NO ejercemos la opcin y vendemos los bonos, obteniendo unos

pagos de: K [Bonos]. Posicin larga en put y larga accin:

Si Pt > K: NO ejercemos la opcin y vendemos loa accins, obteniendo unospagos de: Pt.

Si Pt < K: Ejercemos la opcin -NO vendemos la accin al tener prdidas-,logrando unos pagos de K.

Por tanto, en ambos casos obtenemos unos pagos equivalentes a max [Pt, K]. Comodos cosas con los mismos pagos han de valer lo mismo, su precio ha de ser equivalente2:

FuturosLos futuros son acuerdos para comprar o vender un activo concreto a un precio

determinado en una fecha concreta. A diferencia de las opciones, tienes la OBLIGACINde adquirir o vender ese activo. En cuanto a los pagos, son similares a los de lasopciones, aunque aqu NO tienes la opcin de no ejercer:

Posicin larga futuro: Si compras un futuro, los pagos que obtendrs sern de:Pagos Futuro = Precio T Precio Ejercicio = Pt KComo vemos, pueden ser negativos.

Posicin corta futuro: Si vendes en corto un futuro, al ser un juego de suma cero:Pagos Futuro = Precio Ejercicio Precio T = K - PtComo vemos, pueden ser negativos.

Grficamente:

2 Para ver un ejemplo de clculo con Black-Scholes, recomiendo ver el documento Ejercicio BS colgado en el Aula Global. Dado que es simplemente aplicar la frmula, no considero que gane mucho copindoloaqu.

A la hora de valorar un futuro, debemos usar nuevamente la condicin de no arbitraje.Como para comprar -o vender- un activo financiero a un precio concreto en una fechaespecfica tienes dos opciones, el coste de las mismas ha de ser equivalente. Porconsiguiente:

Pedir un prstamo con vencimiento en T al tipo de inters r y comprar la accincon ese dinero -pides prestado el valor presente de K o precio de ejercicio-:Obteniendo unos pagos de Pt K [Devolucin prstamo].

Adquirir un futuro: Obteniendo unos pagos de Pt K.En consecuencia:Precio Futuro = Coste Total PrstamoPrecio Futuro = Precio Accin Hoy * Tipo Inters = Po * (1+r t)T

Poniendo un ejemplo, si: Po = 100 Tipo inters = 5% anual. Vencimiento = 2 aos

Aplicamos la frmula:Precio Futuro = Po * (1+r t)T=100(1,05)2=110,25A su vez, conviene hacer mencin a que, en ciertos activos, has de tener en cuenta el

coste o ingresos que generan estos -Cost of Carry-. Es decir, puedes alquilar una casa yobtener ganancias; mientras que el cemento ha de ser almacenado. Todo esto lo afrontassi compras el producto mediante un prstamo, por lo que ha de ser contabilizado en elfuturo. De esta forma, de manera general:

Precio Futuro = Po * (1+r t)T + Valor Futuro (Costes) Valor Futuro (Ingresos)Esto es, si el producto da ingresos el futuro ha de valer menos para hacerlo atractivo, y

a la inversa para los costes.

CoberturaLas opciones y futuros pueden usarse para reducir el riesgo de ciertos productos

financieros como acciones. De este modo, adquiriendo opciones de venta o vendiendo encorto futuros podemos minimizar la cada de valor que sufrir nuestra cartera.Mismamente, si consideramos los casos posteriores:

Accin de 102: Estamos totalmente expuestos a la volatilidad de la accin. Enotros trminos, si la empresa quiebra nos quedamos sin nada.

Accin de 102 y put de 4 con precio de ejercicio 100: Distinguimos doscasos: Si Precio Accin en T > 100: NO ejercemos la opcin ya que es absurdo

vender algo por 100 cuando vale ms. Si vendisemos la accin a Pt,obtendramos, no obstante, una ganancia 4 menor que en el primer caso.

Si Precio Accin en T < 100: Ejercemos la opcin y nos aseguramos podervenderla por 100. Por tanto, el pago final sera de 96 [100-precio put], por loque NO bajara ms all de ese valor. Es decir, como mnimo nuestra carteravaldra 96.

Accin de 102 y venta en corto futuro: Si vendemos en corto un futuro,estamos vendiendo la OBLIGACIN de vender una accin a un precio K. Si el precio deejercicio fuera 102, independientemente de lo que suceda obtendremos 102,suprimiendo as todo el riesgo.

Tema 6: Seleccin de Carteras Bajo Incertidumbre

Introduccin: Valoracin por equilibrioTal como establecimos en el primer tema del curso, existen dos mtodos principales

de valoracin de activos financieros: Valoracin por ausencia de arbitraje: Para que no haya arbitraje, dos activos que

proporcionen los mismos pagos han de tener el mismo precio. Siguiendo con elejemplo anterior, si cambio euros por dlares y dlares por euros he de seguirigual.

Valoracin mediante equilibrio: Buscando un precio que iguale la oferta y lademanda -precio de equilibrio- y que sea compatible con los supuestos econmicosde la racionalidad -optimizar o maximizar la utilidad con unos recursos limitados-.

A lo largo del curso, hemos usado el primero para valorar activos de renta fija -bonos-y derivados -opciones y futuros-. No obstante, para fijar el precio o tasar acciones, elactivo que nos falta, haremos uso del segundo mtodo. Es decir, hallaremos el precio quevace el mercado o iguale la oferta y la demanda. Este precio recibe el nombre de preciode equilibrio.

Para ello, nos basaremos en un mtodo de maximizacin de la utilidad, similar al yavisto en asignaturas de Microeconoma. En esencia, a partir de unas preferencias ogustos concretos de los consumidores y sus recursos -restriccin presupuestaria-,encontraremos su mximo bienestar. No obstante, como nuestro campo de anlisis sonlos mercados financieros, en lugar de cantidad de equilibrio hablaremos de cartera deequilibrio.

Implicaciones del equilibrio y aversin al riesgoAs pues, en equilibrio se cumplen dos aspectos fundamentales: Se maximiza la utilidad -optimalidad-: Todos los individuos escogen la cartera de

consumo que maximiza su utilidad, teniendo en cuenta sus preferencias y recursos. Se igualan la oferta y la demanda -vaciado-: El precio de equilibrio iguala la

oferta y la demanda. Es necesario observar que si esto sucede NO existenoportunidades de arbitraje en la economa, pues si las hay la demanda del bienbarato sera infinito y NO se vaciara el mercado.

A su vez, asumiremos que todos los individuos de la economa son aversos al riesgo.Esto es, poseen una funcin de utilidad cncava en la que, a medida que crece la utilidad,la utilidad marginal o aumento en la utilidad con una unidad ms decrece. Grficamente:

Tema 7: Seleccin de Carteras en el Entorno Media-Varianza

Introduccin: Entorno media-varianzaTal como establecimos en el tema anterior, los individuos maximizan su utilidad

teniendo en cuenta sus preferencias y recursos. No obstante, con el fin de simplificar elanlisis, supondremos que la economa es de un solo periodo. Es decir, los individuosahorran en t=0, recogen los intereses en t=1 y gastan ese dinero. Por tanto, a losindividuos slo les importar maximizar su bienestar en t=1, lo que implica tener lamxima cantidad de dinero posible teniendo en cuenta su aversin al riesgo. Enconsecuencia, los agentes maximizarn su riqueza en t=1:

Max. U(Riqueza T=1) = Max. U(W1)Dado que el futuro es incierto y NO conocemos con exactitud cules sern nuestros

recursos futuros, usamos la utilidad esperada para aproximar la utilidad futura. En otraspalabras:

Max. Utilidad Esperada (Riqueza T=1) = Max. E[U(W1)]A su vez, la riqueza futura estar formada por la siguiente expresin:Riqueza Futura = Inversin Activos sin Riesgo + Inv. Activos InciertosDonde:Inversin Activos sin Riesgo = Proporcin invertida renta fija (Wo) *(1+tipo inters)Inversin activos inciertos = Prop. Activo incierto i (zi) * GananciasInversin activ. inciertos=zi *[Pagos Activo i (Xi) Valor Futuro Precio Activo i (Po*(1+r))]Como normalmente NO invertimos solamente en un activo incierto:Inversin Activos Inciertos = zi[X iPo(1+r )]Por consiguiente:W1 = W o(1+r )+ z i[X iPo(1+r )]Por lo que:Max. U(Riqueza T=1) = Max. U(W1) = Max. U( W o(1+r )+ zi[X iPo(1+r )] )Dado que las proporciones de inversin -zi y Wo-, los precios -Po- y tipos de inters -r-

son conocidos, tan solo nos faltar saber los pagos o Xi. Sin embargo, al tratarse deactivos arriesgados, los pagos son inciertos, de modo que son una variable aleatoria. Aspues, conociendo los pagos, ya podemos maximizar nuestra riqueza futura. Pese a quesaber con exactitud su cuanta es imposible, podemos calcular dos indicadores quecuantificarn el rendimiento y la incertidumbre:

Media: O rendimiento esperado. Indica la rentabilidad promedio del activo encuestin. Matemticamente:E(Rendimiento de i) = Probabilidad S1 * Rendimiento S1 + []E(Rendimiento de i) = wiRiDonde wi indican la probabilidad de cada estado de la naturaleza o posibleescenario y Ri el rendimiento en esa circunstancia. Si hemos invertido en variosactivos, tenemos que:E(Rendimiento Cartera) = Proporcin i * Esperanza del Rendimiento de iE(Rendimiento Cartera) = ziE [Ri]Siendo zi la proporcin invertida en el producto financiero i y E[Ri] su rentabilidadpromedio.

Varianza: O riesgo. Muestra numricamente cunto se aleja el activo de su media,es decir, a mayor varianza, ms volatilidad tiene el activo y ms incertidumbreexiste. Matemticamente, la varianza de una cartera con varios activos es:Var (Rc) = Var (i)Var ( j)Cov (i , j)Por su parte, la de un solo activo es:Var (Ri) = E [RiE (Ri)]2

Para expresarlo en la misma unidad de medida que el rendimiento, solemosusar la desviacin tpica o raz de la varianza. En otros trminos:Desviacin Tpica (Ri) = E [RiE (Ri)]Desviacin Tpica (Rc) = Var (i)Var ( j)Cov (i , j)

De este modo, solamente con conocer el rendimiento -media- y riesgo -varianza- de unactivo, los agentes sabrn qu cartera es mejor para ellos -les proporciona mayorutilidad-. Por ello, este mtodo de seleccin de carteras recibe el nombre de anlisismedia-varianza o anlisis rendimiento-riesgo.

Rendimiento esperado: ejemplo numricoPara entender mejor las frmulas anteriores, es til introducir un ejemplo. Supongamos

que existen las situaciones siguientes en una economa y el rendimiento de tres activosinciertos vara en cada una de ellas:EstadoNaturaleza

Probabilidad RendimientoActivo 1

RendimientoActivo 2

RendimientoActivo 3

Expansin 25% 14% 17% 3%Estancamiento 50% 8% 9% 9%Recesin 25% 4% 6% 15%

Sabemos, adems, que la proporcin invertida en cada activo es: Proporcin Activo 1 = z1 = 40%. Proporcin Activo 2 = z2 = 35%. Proporcin Activo 3 = z3 = 25%.

Primeramente, hallamos el valor esperado del rendimiento de cada activo. Es decir,simplemente aplicamos la expresin planteada con anterioridad:

E(R1) = Probabilidad S1 * Rendimiento S1 + []E(R1) = wiRi = 25%*14%+8%*50%+25%*4% = 8,5%Y hacemos lo mismo para los otros dos:E(R2) = wiRi = 25%*17%+9%*50%+25%*6% = 10,25%E(R3) = wiRi = 25%*3%+9%*50%+25%*15% = 9%En cuanto a la rentabilidad de la cartera en su conjunto, tenemos que:E(RC) = Proporcin i * Esperanza del Rendimiento de iE(RC) = z iE [Ri ] =40%*8,5%+10,25%*35%+9%*25% = 9,24%

Tipos de riesgo, diversificacin y varianzaAdems del entorno media-varianza, es necesario distinguir entre los dos tipos de

riesgo fundamentales: Riesgo diversificable o idiosincrsico: Es un tipo de incertidumbre o volatilidad

que NO se recompensa en el mercado ya que puede ser reducido o inclusosuprimido diversificando la cartera -adquiriendo activos de distinta ndole-.Mismamente, si nicamente posees acciones de una compaa dedicadanicamente a la exportacin de gas natural ruso a Europa Occidental, puedesreducir el riesgo de que tu cartera se deteriore por las tensiones polticasucranianas mediante la compra de acciones farmacuticas o informticas.

Riesgo NO diversificable o sistmico: Es una clase de riesgo que S obtienerecompensa en el mercado al no poder ser reducido o eliminado diversificando lacartera. En otros trminos, la gran mayora de las empresas se ven afectadas porla marcha general de la economa, por lo que si la economa entra en depresin, tucartera se hundir por muy diversificada que est.

Un buen indicador para saber cunto puedes reducir el riesgo es la correlacin o una

medida de la relacin lineal entre dos activos. De este modo, distinguimos tres casos: Correlacin =1: como el riesgo se mide mediante la varianza:

Var (Rc) = Var (i)Var ( j)Cov (i , j)Sabemos que la correlacin es:

Correlacin(i , j )= Cov (i , j )Var (i )Var ( J )

Cov (i , j )=Correlacin (i , j )Var (i )Var ( j)

Como la correlacin es 1:Cov(i , j)=Correlacin(i , j)Var (i)Var ( j)=Var (i)Var ( j)

Es decir, la varianza de la cartera depende nicamente de la de los activosindividuales, por lo que NO existe ninguna forma de diversificar el riesgo.

Correlacin =0: Si la correlacin es igual a cero, el numerador -covarianza- ha deserlo tambin, de modo que:Var (Rc) = Var (i)Var ( j)Cov (i , j)=Var (i)Var ( j)0=0Todo el riesgo, por tanto, desaparecer si la cartera est lo suficientementediversificada.

0< Correlacin

Esta ratio indica la recompensa por unidad de riesgo. En otros trminos, cuntoaumenta la rentabilidad si la desviacin tpica de la cartera -c- se incrementa una unidad .Por tanto, el grfico sera el siguiente, siendo A la cartera en la que se invierte el total dela riqueza en el activo arriesgado. Si deseamos invertir ms all de A, es necesarioendeudarse o vender en corto bonos.

Carteras eficientes: dos activos arriesgadosNuevamente, el rendimiento esperado es:E(Rendimiento Cartera) = Proporcin i * Esperanza del Rendimiento de iE(Rendimiento Cartera) = z iE [Ri]Si z es la proporcin invertida en el activo arriesgado A:E(Rc) = Media = ziE [Ri]=zE [RA]+(1 z)E [RB]Respecto a la varianza:Var[Rc] = Var (zRA)+Var ((1z )RB)+2z(1z )Cov (RA , RB)Si realizamos la raz cuadrada:c = Var (zRA)+Var ((1 z)RB)+2z(1 z)Cov(RA , RB)Como la covarianza es:

Correlacin(i , j)= Cov(i , j)Var (i)Var (J )

Cov(i , j)=Correlacin( i , j)Var (i)Var ( j)

Podemos reescribir el trmino:c = Var (zRA)+Var ((1 z)RB)+2z(1 z)CorrelacinVar (RA)Var (RB)De este modo, distinguimos tres casos: Si Correlacin =-1:

Podemos reescribir el trmino:c = Var (zRA)+Var ((1 z)RB)2z(1 z)Var (RA)Var (RB)Si operamos:c = z2Var (RA)(1 z)2Var (RB)=z A(1 z) BSi lo dibujamos:

Y vemos que la cartera sin riesgo es cuando:

z = A

A+ B Si Correlacin = 1:

Podemos reescribir el trmino:

c = Var (zRA)+Var ((1 z)RB)+2z(1 z)Var (RA)Var (RB)Si operamos:c = z2Var (RA)+(1 z)2Var (RB)=z A+(1 z) BSi lo dibujamos:

Si -1

A modo de resumen, todos los inversores han de elegir la combinacin que deseenentre la cartera tangente T y el bono. Esta ser, pues, la inversin ptima.

Tema 8: Modelo CAPM

Supuestos bsicos, cartera de mercado y riesgo BetaAntes de comenzar a explicar el ltimo modelo de valoracin de activos, es conveniente

repasar los supuestos ms relevantes de nuestro anlisis: La economa es de un solo periodo. Es decir, los individuos ahorran en t=0,

recogen los intereses en t=1 y gastan ese dinero. Por tanto, a los individuos sloles importar maximizar su bienestar en t=1.

Estamos en una situacin con J activos arriesgados y un activo libre de riesgo.En otras palabras, el ltimo caso del tema 7.

TODOS los inversores poseen preferencias media-varianza e invierten en laMISMA proporcin en activos arriesgados. Mismamente, siempre invertirn un 60%en A y un 40% en B, aunque un inversor opte por invertir 200 y otro 66.

Los mercados son completos -puedes replicar todos los activos, existen bonosbsicos...- y perfectos -no hay impuestos, comisiones..-.

Tras esto, conviene definir dos conceptos elementales: Cartera de mercado: Es una cartera formada por todos los activos arriesgados de

la economa. Sin embargo, invertimos en cada activo teniendo en cuenta su valoren la economa. Esto es, las empresas con mayor valor tienen una proporcinmayor de la cartera de mercado. Matemticamente:Proporcin Empresa A = Valor A / Valor Total Mercado

za = z aPa

z iPi Beta: Es una medida numrica del riesgo NO diversificable. Concretamente, a

mayor beta, mayor susceptibilidad o probabilidad de que las acciones varenmucho dependiendo de los indicadores macroeconmicos. En otros trminos, siuna accin tiene una beta de 34 crecer mucho en las expansiones y se hundir enlas recesiones. La frmula es idntica a la de la pendiente de una regresin simple:Beta Activo J = Covarianza (Activo J, Cartera Mercado) / Varianza de JB j=

Cov ( j ,CM )Var ( j )

Los valores ms destacados son:

Beta Activos sin Riesgo = Cov (r ,CM )Var (r )

=0

Ya que r es un parmetro o constante.

Beta Cartera Mercado = Cov (CM ,CM )Var (CM )

=Var (CM )Var (CM )

=1

La Beta indica, pues, cunto aumenta -en porcentaje- la desviacin tpica denuestra cartera -la cartera de mercado- al invertir un 1% ms en ese activo . Dichode otra forma, una beta de 34 muestra que invirtiendo un 1% ms, nuestradesviacin tpica aumenta un 34%. Matemticamente, la derivada o variacin de labeta es:Variacin Beta = Variacin Desv. Tpica M / Variacin Proporcin Activo J

La lnea de mercado de capitalesSi se cumplen los supuestos anteriores, podemos propugnar que: TODOS los inversores escogern carteras en la frontera eficiente. Cada inversor invertir en la MISMA proporcin en activos arriesgados.

Por consiguiente, la cartera tangente ha de ser la cartera de mercado puesto que es lanica que cumple los dos supuestos anteriores. Esta cartera es, por tanto, eficiente al

obtener el mximo rendimiento para un riesgo concreto o, de forma idntica, minimizar lavarianza para un rendimiento determinado.

A su vez, tal como vimos, la frmula de la recta anterior, que recibe el nombre de lneade mercado de capitales, es la siguiente:

E(Rc) = [E [RArriesgado ]r ]

A C+r

Otra forma de ver la eficiencia de la cartera es comprobando que maximiza lapendiente de la recta. Esto es, el rendimiento por cada unidad de riesgo asumida o ratiode Sharpe.

La lnea de mercado de ttulosEl rendimiento de una cartera cualquiera formada por un activo libre de riesgo y una

combinacin de activos arriesgados es:E(Rc) = zE [RMercado ]+(1z )r= zE [RMercado]+rzr=z[E [RMercado ]r ]+rToda cartera tiene una beta. En nuestro caso:Bc = z*Bm +(1-z)*BoComo:Beta Cartera Mercado = Bm = 1Beta Activo Libre Riesgo = Bo = 0Bc = z*Bm +(1-z)*Bo = zEn consecuencia, si sustituimos en la primera ecuacin:E(Rc) = Bc[E [RMercado ]r ]+rSi dibujamos la relacin anterior obtenemos la lnea de mercado de ttulos, que

relaciona la Beta con el rendimiento:

De forma general, el modelo CAPM establece que la relacin entre Beta y rendimientopuede ser extendida a todos los activos arriesgados de la economa.