1

TEORIA DE COLAS

APUNTES DEL PROFESOR

Profesor: Ma. Lic. Ricardo Zegarra Lachapell

2TEORA DE COLAS INTRODUCCIN La Teora de Colas fue planteada por Agner Krarup Erlang (Dinamarca, 1878 1929) en 1909 para analizar la congestin de trfico telefnico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefnico de Copenhague. La teora de lneas de espera o de colas es actualmente una herramienta de valor en negocios debido a que muchos de sus problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestin llegada - partida. Una lnea de espera es una cola y la teora de colas es un conjunto de modelos matemticos que describen sistemas de lneas de espera particulares o de sistemas de colas, desde lo ms simple hasta complejas redes, llammosle, de atencin. Estos modelos sirven para determinar y calibrar los costes del sistema y los tiempos promedio de la lnea de espera para un sistema dado. El objetivo es determinar la tasa de atencin (o servicio) otorga un adecuado balance al sistema. Las llegadas o arribos al sistema pueden o no conocerse con exactitud, adems pueden ocurrir en cualquier momento. De igual manera el tiempo necesario para brindar el servicio puede o no conocerse con exactitud. Los problemas de Colas son cosa cotidiana de la vida diaria. Un estudio realizado en los EE.UU. concluy que el ciudadano promedio pasa 5 aos de su vida esperando en distintas Colas (6 meses de ellos, parado en los semforos). DEFINICIN La Teora de Lneas de Espera o de Colas, es el estudio matemtico del comportamiento de lneas de espera. Estas se presentan cuando, llammosle "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio a un "servidor" el cual tiene cierta capacidad de atencin. Si el servidor no est disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la lnea de espera. ESTRUCTURA DE UNA LINEA DE ESPERA

Finita o Infinita

de 1 en 1 o en lotes Distribucin: Constante Expon. o de Poisson Erlang Otra Nivel de paciencia: Abandona la cola queda Cambia de cola es la tasa de llegadas 1/ es el tiempo entre llegadas

Nmero de colas Capacidad de las colas

FIFO LIFO Emergencias Aleatorio Menor tiempo de procesado Otras prioridades

1 Servidor, 1 fase 1 servidor, mltiples fases Mltiples servidores, 1 fase Mltiples servidores, mltiples fases (con o sin rutas alternativas)

es la tasa de llegadas llegadas

1/ es el tiempo entre

3NOTACION

Donde: M Distribucin exponencial. D Distribucin degenerada (tiempos constantes). Ek Distribucin Erlang (con parmetro de forma k). G Distribucin General (permite cualquier distribucin arbitraria)

CONCEPTOS BSICOS Clientes: Trmino usado para referirse a: Gente esperando lneas telefnicas desocupadas. Mquinas que esperan ser reparadas. Aviones esperando aterrizar.

Instalaciones de Servicio: Trmino usado para referirse a: Lneas telefnicas. Talleres de reparacin. Pistas de aeropuerto. Llegadas: Es el nmero de clientes que llegan a las instalaciones de servicio. Tasa de Servicio: Trmino usado para designar la capacidad de servicio, por ejemplo: Un sistema telefnico entre dos ciudades puede manejar 90 llamadas por minuto. Una instalacin de reparacin puede de media, reparar mquinas a razn una cada 8 horas. Una pista de aeropuerto en la que aterrizan dos aviones por minuto. Nmero de servidores de servicio: Es la cantidad de servidores disponibles en el sistema:

4COSTOS ASOCIADOS A UN SISTEMA DE COLAS a) Costos de espera de los clientes; Dado por el valor del tiempo perdido o combustible malgastado en embotellamientos de trnsito y semforos. b) Costos asociados a la expansin de la capacidad de servicio c) Los costes totales del sistema de servicio; Es la suma de los dos costes anteriores Observaciones: Lo normal es pensar que los costes de espera decrecen conforme aumenta la capacidad de servicio del sistema.

DESDE EL PUNTO DE VISTA DEL CLIENTE: Cuando el nmero de servidores es reducido, el costo de esperar es alto, y conforme se incrementa el nmero de servidores el costo de espera se reduce. DESDE EL PUNTO DE VISTA DEL SISTEMA: Cuando el nmero de servidores es reducido, el costo de mantener el sistema es reducido, y conforme se incrementa el nmero de servidores el costo de mantener el sistema se incrementa. El sistema alcanza su costo ptimo cuando el costo total es el mnimo. total es la suma del costo de mantener el sistema ms el costo de espera. OBJETIVOS DE LA TEORA DE COLAS Identificar el nivel ptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo. Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificacin de la capacidad del sistema tendran en el coste total del mismo. Establecer un balance equilibrado (ptimo) entre cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio. las consideraciones El costo

Observacin: Prestar atencin al tiempo de permanencia de un cliente en todo el sistema o en la Cola. El costo que los clientes estn dispuestos a asumir depende del tipo especfico de servicio que van a recibir, por lo que un cliente puede abandonar el sistema.

5TIPOS DE COLAS a) Una lnea, un servidor; puede describir una consulta de un mdico o atencin en un grifo de gasolina. b) Una lnea, mltiples servidores; Puede describir la atencin en una agencia bancaria en donde los clientes toman un nmero al entrar (primera cola) y posteriormente se les atiende en ventanilla cuando les llaman por su nmero. c) Varias lneas, mltiples servidores; Describe un sistema donde cada servidor tiene una lnea de espera propia, es caracterstico en algunos bancos y tiendas de autoservicio. Puede analizarse este tipo de sistema como sistemas de una linea un servidor independientes (si se presentan intercambio entre las colas no sera vlida la separacin).

LA DISTRIBUCIN DE POISSON Esta distribucin es muy frecuente en los sistemas de colas. Describe una variable aleatoria discreta que tiene valores no-negativos y enteros. Por ejemplo, la llegada de pacientes a un consultorio, las llamadas a una central telefnica, la llegada de automviles a un servicio de lavado, etc. SUPOSICIONES PARA LA APLICACIN DE LA DISTRIBUCIN POISSON a) El nmero de llegadas que ocurren en un intervalo de tiempo T es independiente de las que ocurren en cualquier otro intervalo de tiempo disjunto. b) La probabilidad de que se produzca una sola llegada en un intervalo de tiempo muy corto, es proporcional a la duracin del intervalo de tiempo, y no depende del nmero de llegadas fuera de este intervalo de tiempo. c) La probabilidad de que ocurra ms de una llegada en dicho intervalo de tiempo corto es insignificante.

6La probabilidad de que se produzcan n llegadas durante el intervalo de tiempo T segn un proceso Poissoniano viene dada por:

Donde

es la tasa media de llegadas por unidad de tiempo.

LA DISTRIBUCIN EXPONENCIAL La distribucin de Poisson describe las llegadas por unidad de tiempo y la distribucin exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas. Si las llegadas son de Poisson, el tiempo entre ellas es exponencial. La distribucin de Poisson es discreta, mientras que la distribucin exponencial es continua, porque el tiempo entre llegadas no tiene por qu ser un nmero entero. Esta distribucin se usa mucho para describir el tiempo entre eventos, especficamente, la variable aleatoria que representa el tiempo necesario de servicio. Un ejemplo tpico puede ser el tiempo que un mdico dedica a un paciente. La probabilidad de que la duracin de un servicio sea de t unidades de tiempo es: Donde es la tasa media de servicios completados por unidad de tiempo.

MODELO DE COLAS SIMPLE CON LLEGADAS EN POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALMENTE DISTRIBUIDOS. Caractersticas: a) b) c) d) e) f) g) El nmero de llegadas por unidad de tiempo, sigue una distribucin de Poisson. Los tiempos de servicio siguen una distribucin exponencial. La disciplina de la cola es de tipo FIFO (el primero en llegar es el primero en ser atendido). La poblacin potencial es infinita. Existe un nico canal de servicio. La tasa media de llegadas es menor que la tasa media del servicio. El tamao potencial de la cola es infinito.

Si estas condiciones se cumplen y si se conoce la tasa media de llegada , y la tasa media de servicio , las ecuaciones que describen las medidas del sistema son:

7Medidas del sistemaDESCRIPCION UN SERVIDOR MULTIPLES SERVIDORES

NMERO MEDIO DE CLIENTES EN LA COLA,

Lq =

NMERO MEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA,

Ls =

TIEMPO MEDIO DE ESPERA EN LA COLA,

Wq =

TIEMPO MEDIO DE ESTANCIA EN EL SISTEMA,

Ws =

PORCENTAJE DE OCUPACIN DE LOS SERVIDORES,

=

PROBAB. DE QUE LA COLA EXCEDA A N CLIENTES, P(Lq > n)=

PROBAB. DE QUE HAYAN N CLIENTES EN EL SISTEMA,

Pn =

PROBAB. DE QUE EL SISTEMA SE ENCUENTRE VACIO,

P0 =

EJEMPLO Un solo empleado maneja las ventas al menudeo en Pepes Seafood Supply. Las llegadas de los clientes son aleatorias y la tasa promedio de llegadas es de 21 clientes por hora, un estudio del proceso de servicio muestra que el tiempo promedio de servicio es de 2 minutos por cliente. Calcule las medidas de este sistema. Solucin: Tasa de llegadas al sistema es

= 21 clientes / hr.

Tiempo promedio de servicio es de 2 minutos, esto es, la tasa promedio de servicios atendidos es

= 60 min./2 min. X servicio = 30 servicios/hr.

N medio de clientes en la cola Lq = 212 / 30(30 21) = 441/270 = 1.63 clientes. N medio de clientes en el sistema Ls = 21 / (30 21) = 21/9 = 2.33 clientes. Tiempo medio de espera en la cola Wq = 21 / 30(30 21) = 0.077 hrs o 4.67 min. Tiempo medio de estancia en el sistema Ws = 1 / (30 21) = 0.11 hrs o 6.67 min. Porcentaje de ocupacin del servicio

= 21 / 30 = 0.7 70% 42 min. aprox.

Probabilidad de que la cola exceda a 2 clientes P(Lq > 2) = (21/30)3 = 0.343

8Probabilidad de encontrar el sistema vacio Po = 1 EJERCICIOS 1. La mesa de consultas de una biblioteca recibe solicitudes de ayuda. Suponga que se puede utilizar una distribucin de Poisson con una tasa media de 10 solicitudes por hora y que los tiempos de servicio se distribuyen exponencialmente con una media de 12 solicitudes por hora. Cul es la probabilidad de que no haya ninguna solicitud de ayuda en el sistema? Cul es el nmero promedio de solicitudes esperando por el servicio? Cul es el tiempo de espera promedio antes de que inicie el servicio? Cul es la probabilidad de que una nueva solicitud no sea atendida inmediatamente? 1. Agan interior design proporciona a sus clientes asistencia de decoracin domestica y de oficinas. en operacin normal llegan un promedio de 2.5 clientes por hora. Un asesor est disponible para responder las preguntas de los clientes, tomndole esto en promedio 10 minutos por cada cliente. Calcule las caractersticas de operacin de la lnea de espera? (suponga llegadas poisson y servicio exponencial) Las metas de servicio indican que un cliente no debe esperar ms de 5 minutos para que le atiendan. Se est cumpliendo esta meta? Si el asesor puede reducir el tiempo de servicio hasta a 8 minutos, se cumplir la meta establecida? 2. Considere una lnea de espera de dos canales con llegadas poisson y servicio exponencial. La tasa media de llegadas es de 14 unidades por hora y la tasa media de servicio es de 10 unidades por hora en cada uno de los dos canales: Cul es la probabilidad de que no haya ninguna unidad en el sistema? Cul es el nmero promedio de unidades en el sistema? Cul es el tiempo promedio que una unidad esperara para que le den servicio? Cul es el tiempo promedio que una unidad estar en el sistema? Cul es la probabilidad que se tenga que esperar para obtener servicio? 3. refirase al problema 2 en el cual la administracin desea evaluar dos alternativas: Utilizar un asesor de tiempo promedio de servicio de 8 minutos por cliente o Ampliar a dos asesores, cada uno de los cuales tendr un tiempo promedio de servicio de 10 minutos por cliente. Si se les paga 16 dlares la hora a los asesores y el tiempo de espera de los clientes se evala en 25 dlares la hora. Cul sera la mejor opcin? Los mecnicos que trabajan en una planta de troquelado deben sacar herramientas de un almacn. Llega un promedio de diez mecnicos por hora

= 0.3 30 %

Probabilidad de que hayan 2 clientes en el sistema P2 = (21/30)2 x Po = 0.147

4.

9buscando partes. En la actualidad el almacn est a cargo de un empleado a quien se le paga 6 dlares / hora y gasta un promedio de 5 min. para entregar las herramientas de cada solicitud. Como a los mecnicos se les paga 10 dlares / hora, cada hora que un mecnico pasa en el almacn de herramientas le cuesta 10 dlares a la empresa. Esta ha de decidir si vale la pena contratar, a 4 dlares / hora, un ayudante del almacenista. Si se contrata al ayudante, el almacenista solo tardara un promedio de 4 min. para atender las solicitudes de herramientas. Supngase que son exponenciales tanto los tiempos de servicio como el tiempo entre llegadas. Se debe contratar al ayudante? 5. Un Banco opera una ventanilla para automovilistas que permite a los clientes realizar sus transacciones bancarias sin bajar de su automvil. Las llegadas a estas ventanillas ocurren al azar, con una tasa promedio de 24 clientes por hora, o = 0.4 clientes por minuto. a) cul es el nmero esperado de clientes que llegan en un lapso de 5 minutos? b) Se puede utilizar la distribucin de Poisson para describir el proceso de llegadas. Utilizando la media que se encontr en a) Calcule las probabilidades de que lleguen exactamente 0,1, 2 y 3 clientes durante un periodo de 5 minutos. c) Se espera tener problemas de demora si llegan ms de 3 clientes durante cualquier periodo de 5 minutos. Cul es la probabilidad de que se presenten problemas de demora?