apuntes de teorÍa€¦ · mecÁnica de fluidos —grado ing tecnologÍas industriales apuntes de...

MECÁNICA DE FLUIDOS GRADO ING TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES

APUNTES DE TEORÍA

v04.10.16

Norberto FueyoÁrea de Mecánica de Fluidos

Universidad de Zaragoza

Preparado para imprimir a doble cara.

Uso libre en la Universidad de Zaragoza “as it is”, sin modificaciones ni adaptaciones

Índice

0 Matemáticas de supervivencia 90.1. Notación de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.2. Escalares, vectores, tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100.3. Productos de escalares, vectores y tensores . . . . . . . . . . . . . . 120.4. Otras definiciones relativas a tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140.5. El operador gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140.6. El operador divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160.7. Operador rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170.8. Operador laplaciana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170.9. Algunas identidades con el operador nabla . . . . . . . . . . . . . . 170.10. Teorema de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180.11. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190.12. Ejercicio de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1 Introducción 21

1 Qué es un fluido 231.1. Qué es un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2. La hipótesis del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3. La Mecánica de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4. La Mecánica de Fluidos y la Termodinámica . . . . . . . . . . . . . 301.5. Clasificación del flujo fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.6. El resto de estos apuntes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 Fenómenos de transporte 352.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2. Transporte de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3. Transporte de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4. Transporte de cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3

4 Índice

2.5. Reología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Cinemática 45

3 Descripción del fluido 473.1. Descripción del fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2. Derivada sustancial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3. Líneas características del flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Movimiento en el entorno de un punto 614.1. Movimiento en el entorno de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2. El tensor velocidad de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3. El tensor velocidad de deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4. Interpretación física de las componentes de los tensores . . . . 674.5. Recapitulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3 Fuerzas y fluidostática 73

5 Fuerzas en un fluido 755.1. Fuerzas de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2. Fuerzas de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.3. Fuerzas másicas más comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.4. El tensor de esfuerzos, y el esfuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.5. ¿Cómo se calcula el tensor de esfuerzos? . . . . . . . . . . . . . . . . 815.6. Cómo se calcula la fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.7. Deducción: el tensor de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6 Fluidostática 916.1. El tensor de esfuerzos para el fluido en reposo . . . . . . . . . . . . 916.2. Ecuación Fundamental de la Fluidostática . . . . . . . . . . . . . . 936.3. La Ley de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.4. El campo de presiones en una superficie sumergida . . . . . . . 966.5. Fuerzas y momentos sobre superficies planas . . . . . . . . . . . . 986.6. Fuerzas y momentos sobre superficies curvas . . . . . . . . . . . . 1026.7. “Divide y vencerás” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.8. El principio de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.9. Estabilidad de cuerpos sumergidos y flotantes . . . . . . . . . . . . 1146.10. Fuerzas másicas no gravitatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7 Tensión superficial 119

Índice 5

7.1. Naturaleza de la tensión superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.2. Efecto en los esfuerzos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.3. Efecto en los esfuerzos tangenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.4. Forma de la entrefase entre fluidos en reposo . . . . . . . . . . . . 1277.5. Efecto capilar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4 Ecuaciones fundamentales 131

8 It’s all about a balance 1338.1. Volúmenes fluidos y de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.2. Teoremas del transporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358.3. Ecuación integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.4. Ecuación diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.5. En forma de derivada sustancial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

9 Ecuaciones de conservación 1499.1. Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499.2. Ecuación de conservación de una especie química . . . . . . . . 1529.3. Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento . . . . 1549.4. Ecuación del momento cinético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1579.5. Ecuación de la energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1589.6. Ecuación de la energía mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1649.7. Ecuación de la energía total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1669.8. Ecuación diferencial de la energía interna . . . . . . . . . . . . . . . 1689.9. Ecuación para la entropía (,) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1699.10. Ecuación para la temperatura (,) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1709.11. Resumen: ecuaciones diferenciales que gobiernan el movi-

miento de un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

10 Flujo ideal 17710.1. Definición de fluido ideal y ecuaciones del flujo . . . . . . . . . . 17810.2. Condición de contorno en paredes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17910.3. Ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18010.4. ¿Cuándo es un flujo irrotacional? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

11 Dé gracias por la turbulencia 18711.1. Retrato robot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18711.2. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18911.3. Manifestaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6 Índice

5 Análisis dimensional y semejanza 203

12 Hay otros mundos pero están en éste 20512.1. Ejemplo ilustrativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20612.2. Principio de homogeneidad dimensional . . . . . . . . . . . . . . . 20812.3. El teorema Pi de Vaschy-Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20912.4. Ejemplos de aplicación del teorema Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

13 Semejanza 22513.1. Adimensionalización de las ecuaciones que gobiernan el flujo

fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22613.2. Números adimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22813.3. Prototipos, modelos y semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23613.4. Semejanza parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

6 Flujo unidireccional 245

14 Flujo unidireccional 24714.1. Hipótesis y ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24714.2. Flujo de Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25114.3. Flujo de Hagen-Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25414.4. Flujo de Hagen-Poiseuille axisimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

15 Flujo en conductos 25915.1. La Ingeniería es dinero (AKA: El balance de energía en un conducto)25915.2. Pérdida de carga lineales en conductos . . . . . . . . . . . . . . . . . 26415.3. Pérdidas de carga singulares, y pérdida total . . . . . . . . . . . . . 270

16 Flujo en canales 27316.1. Qué es un canal, y qué tipos de flujo presentan . . . . . . . . . . . 27416.2. Ecuaciones, y presión en el canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27516.3. Número de Froude y velocidad de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . 27616.4. La energía específica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27916.5. Flujo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28216.6. Flujo lentamente variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28416.7. El resalto hidráulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

7 Flujo en láminas delgadas y lubricación 291

17 Flujo en láminas delgadas y lubricación 293

Índice 7

17.1. Situación considerada y ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29417.2. Análisis de órdenes de magnitud y simplificaciones . . . . . . . . 29717.3. La ecuación de Reynolds de la lubricación . . . . . . . . . . . . . . . 30317.4. Cuña lineal y efecto de sustentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30617.5. Lubricación fluidostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31317.6. Aplastamiento de lámina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

8 Aerodinámica y capa límite 319

18 Aerodinámica externa 32118.1. Fuerzas y momentos sobre cuerpos inmersos en una corriente 32218.2. Los coeficientes de fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32418.3. Estructura del flujo y resistencia aerodinámica . . . . . . . . . . . 326

19 Capa límite 33119.1. Qué (y cómo) es la capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33219.2. Ecuaciones de capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33319.3. Parámetros de la capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33919.4. Los espesores de capa límite, de desplazamiento y de cantidad

de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34119.5. La capa límite 2D, plana y laminar: solución de semejanza . . . 34419.6. Ecuación integral de von Kármán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35119.7. La capa límite turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35519.8. Donde la capa límite pierde su casto nombre . . . . . . . . . . . . . 357

A Coordenadas curvilíneas 363A.1. El sistema de coordenadas curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363A.2. Base de vectores y factores de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364A.3. Longitudes, superficies y volúmenes diferenciales . . . . . . . . . 365A.4. El operador nabla en coordenadas curvilíneas . . . . . . . . . . . . 366A.5. Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369A.6. Coordenadas cilíndrico-polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

B Fuerzas fluidostáticas sobre superficies curvas 375B.1. Componente vertical de la fuerza y momento . . . . . . . . . . . . 375B.2. Componentes horizontales de la fuerza y momentos . . . . . . . 378

C La función de corriente 381

Alfabeto griego 383

8 Índice

Nomenclatura 385

Índice alfabético 385

En el texto, , indica material que no se exigirá en controles o exámenes (peroque es interesante y puede leer).

0

Matemáticas de supervivencia

0.1 Notación de EinsteinEn esta asignatura utilizaremos a menudo la notación de Einstein. Ésta esuna forma abreviada de indicar sumas. Cuando un subíndice está repetidouna vez (y una sola) en una variable o en un producto, entenderemos im-plícita la suma para todos los posibles valores del subíndice. Por ejemplo, sii = 1, 2, 3 y j = 1, 2, 3, entonces:

ai i =∑

i

ai i = a11+a22+a33 ; (0.1)

bi ci =∑

i

bi ci = b1c1+ b2c2+ b3c3 ; (0.2)

bi

ci=∑

i

bi

ci=

b1

c1+

b2

c2+

b3

c3; (0.3)

di j c j =∑

j

di j c j = di 1c1+di 2c2+di 3c3 ; (0.4)

di j ei j =∑

i

∑

j

di j ei j =∑

i

(di 1ei 1+di 2ei 2+di 3ei 3) =

= (d11e11+d12e12+d13e13)+ (d21e21+d22e22+d23e23)+ (d31e31+d32e32+d33e33) . (0.5)

9

10 Matemáticas de supervivencia

Para prevenir ambigüedades, evitaremos en la medida de lo posible la re-petición de un subíndice más de dos veces (por ejemplo, ai di i ); cuando seaimprescindible hacerlo, se entenderá que el convenio de Einstein no es apli-cable a la expresión. Por el contrario, siempre que un subíndice se repita dosveces asumiremos que se aplica el convenio, salvo indicación explícita enotro sentido.

Note que elevar el cuadrado puede implicar una repetición; por ejemplo a 2i =

ai ai y el convenio de Einstein está por tanto implícitamente usado en a 2i .

0.2 Escalares, vectores, tensoresEn Mecánica de Fluidos manejamos, para describir las características delfluido y del flujo, tres tipos de entidades: escalares, vectores y tensores. Lanoción de escalar está generalmente bien entendida por los estudiantes deIngeniería: es una magnitud (esto es, un número real) que expresa una pro-piedad (por ejemplo, la temperatura local del fluido).

El concepto de vector también ha sido manejado ampliamente en asigna-turas técnicas del bachillerato, y en la carrera universitaria. Se utiliza paraespecificar aquellas propiedades que requieren, además de una magnitud,una dirección; por ejemplo, la velocidad o la fuerza. En un espacio tridimen-sional, por lo tanto, estas propiedades se expresan mediante tres cantidades,que son las componentes del vector en las tres direcciones coordenadas. An-te una rotación de sistema de coordenadas (digamos, del sistema de ejes (x1,x2, x3) al (x ∗1 , x ∗2 , x ∗3 ), Figura 0.1), las componentes de un vector ~a = (a1, a2, a3)cambian a (a ∗1 , a ∗2 , a ∗3) según la ley:

a ∗j = li j ai , (0.6)

donde li j es el coseno del ángulo que forma el eje xi con el x ∗j .

Note que el vector ~a es el mismo en los dos sistemas (piense, por ejemplo,que ~a es una velocidad); pero su representación sí cambia según la ley ante-rior.

Un tensor es una generalización del concepto de vector. Cuando un vectorse multiplica por un escalar, el resultado es otro vector cuyo módulo cam-bia, pero cuya dirección es la misma (por ejemplo, ~f = m ~a ). Puede haberocasiones, sin embargo, en que una propiedad vectorial del fluido cambia,como el resultado la aplicación de una ley, también de dirección. El tensor

0.2. Escalares, vectores, tensores 11

Figura 0.1: Vector y giro del sistema de referencia

se utiliza frecuentemente en Física (por ejemplo, en Elasticidad y en Mecá-nica de Fluidos) para representar ciertas propiedades que, actuando sobreun vector, cambian el módulo y la dirección del vector.

Los tensores que utilizaremos en Mecánica de Fluidos serán en general derango (u orden) dos. Un tensor de rango dos está compuesto de nueve mag-nitudes, o componentes, que a menudo se escriben en forma de matriz; porejemplo:

~~a =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

.

Frecuentemente representaremos el tensor por sus componentes; esto sedenomina notación tensorial:

~~a = ai j . (0.7)

Ante una rotación del sistema coordenado, como la ilustrada para el vectoren la Figura 0.1, el tensor no cambia (aunque esto es más difícil de visualizaren una figura que para el caso del vector). Esto obliga a que las componentesdel tensor cambien de la forma:

a ∗p q = li p l j q ai j . (0.8)

Este cambio es justamente la propiedad que caracteriza (o, si se quiere, de-fine) a un tensor, y lo diferencia de una matriz.


El tensor, también a diferencia de la matriz, puede tener más de dos dimen-siones. El número de dimensiones se denomina rango del tensor; así, ai j esun tensor de rango dos, y tiene, en un espacio tridimensional, 32 = 9 com-ponentes; pero bi j k es un tensor de rango 3, y tiene 33 = 27 componentes.Análogamente, se dice que el vector es un tensor de rango 1; y a frecuente-mente se dice también que el escalar es un tensor de rango 01.

0.3 Productos de escalares, vectores y tensoresUtilizaremos varias formas del producto entre tensores, y entre escalares ytensores. Éstas son las siguientes:

Los productos de un escalar por un tensor son:

• El producto de un escalar por un vector, a ~b , que es un vector cuyacomponente i es a bi :

a ~b = a bi

• El producto de un escalar por un tensor, a ~~b , que es un tensor delmismo rango, cuya componente i j es a bi j :

a ~~b = a bi j

(Note que para indicar este producto no se escribe punto entre el es-calar y el vector/tensor.)

Los productos contraídos son:

• El producto escalar, o contraído, de dos vectores, que es un esca-lar:

~a · ~b = ai bi

El subíndice, i , que se consume en la suma, se dice “contraído”.

• El producto escalar, o contraído, de un vector por un tensor, quees un vector:

~a · ~~b = ai bi j

1A veces se distingue entre vector y tensor de rango 1, y se dice que un vector es untensor de rango 1 sólo si no cambia ante un cambio de ejes; es decir, si sus componentes setransforman según la Ecuación 0.6. Igualmente, a veces se distingue entre escalar y tensorde rango 0, exigiendo que, para el escalar sea un tensor de rango 0, sea el mismo en los dossistemas de ejes.

0.3. Productos de escalares, vectores y tensores 13

• El producto escalar, o contraído, de dos tensores, que es otro ten-sor:~~a · ~~b = ai j b j k

El producto doblemente contraído de dos tensores es un escalar:

~~a : ~~b = ai j b j i

El producto vectorial de dos vectores es otro vector:

~a ∧ ~b =

~i ~j ~ka1 a2 a3

b1 b2 b3

= εi j k a j bk

donde εi j k es el símbolo alternador (o permutador o antisimétrico) deLevi-Civita, a veces llamado tensor alternador. εi j k es cero si al menosdos de los subíndices están repetidos,+1 si los tres son distintos y estánen una permutación cíclica (123,231,312), o −1 si los tres son distintosy están en una permutación anticíclica (321,213,132).

El producto mixto de tres vectores, ~a ·

~b ∧ ~c

es un escalar cuyo va-lor absoluto se puede demostrar que es el volumen del paralelepípedoformado por los 3 vectores.

Los productos diádicos son:

• El producto diádico de dos vectores, ~a ~b , que es un tensor cuyacomponente i j es:

~a ~b = ai b j

• El producto diádico de un vector y un tensor ~a ~~b , que es un tensorde orden superior, cuya componente i j k es

~a ~~b = ai b j k

Es importante reparar en la notación empleada para representar estos pro-ductos. El producto de dos escalares, o escalar por vector o tensor, se escribesin punto entre los factores; un punto entre los factores, cuando éstos sonvectores o tensores, indica contracción, y dos puntos indican producto do-blemente contraído; y cuando entre los vectores o tensores no hay un punto,se trata de un producto diádico.


0.4 Otras definiciones relativas a tensores

Transpuesto de un tensor: a Ti j = a j i

Tensor simétrico: aquél para el que ~~a = ~~aT

o ai j = a j i

Tensor antisimétrico: aquél para el que ai j = −a j i . De la definiciónse deduce que las componentes de la diagonal son nulas, ai i = 0 (noEinstein)

Todo tensor ~~a puede descomponerse en la suma de un tensor simétri-co ~~s y otro antisimétrico ~~t :

ai j =1

2

ai j +a j i

+1

2

ai j −a j i

¬ si j + ti j , (0.9)

con

si j =1

2

ai j +a j i

; ti j =1

2

ai j −a j i

. (0.10)

Aunque las componentes de un vector ~a o tensor ~~b cambian en generalen una rotación del sistema coordenado, las siguientes combinacionesno cambian, y se llaman invariantes:

• ~a · ~a = ai ai

• ~a · ~~b · ~a = bi j ai a j

• La traza del tensor (o suma de sus elementos diagonales, tr~~b = bi i

• El determinante del tensor, det~~b

0.5 El operador gradienteEl operador gradiente se define, en coordenadas cartesianas, como:

∇=

∂

∂ x1,∂

∂ x2,∂

∂ x3

. (0.11)

Operando sobre un campo escalarφ(~x ) =φ(x1, x2, x3), el resultado es un vec-tor:

∇φ =

∂ φ

∂ x1,∂ φ

∂ x2,∂ φ

∂ x3

. (0.12)

0.5. El operador gradiente 15

Figura 0.2: Gradiente y variación deφ

El gradiente deφ se representa a veces como gradφ.

El significado físico del operador gradiente puede analizarse considerandodos puntos, ~x y ~x +d ~x , separados una distancia d ~x (Figura 0.2). Haciendoun desarrollo en series de Taylor, el cambio enφ entre ambos puntos es:

dφ = φ(~x +d ~x )−φ(~x ) =∂ φ

∂ xid xi +O (d x 2) =

= ∇φ ·d ~x +O (d x 2)'∇φ ·d ~x . (0.13)

Dividiendo por |d ~x | = d x , obtenemos el cambio en φ por unidad de longi-tud en la dirección d ~x que separa los puntos; es decir:

dφ

d x=∇φ ·

d ~x

d x=∇φ · ~u , (0.14)

siendo ~u el vector unitario en dirección d ~x . La ecuación anterior indica queel cambio de φ por unidad de longitud, en un punto y en una determinadadirección es el resultado de proyectar el vector gradiente en el punto sobrela dirección en cuestión. Puesto que por tanto el cambio es máximo cuando∇φ se proyecta en su propia dirección (es decir, cuando∇φ y ~u son colinea-les), el gradiente da por tanto la dirección del cambio máximo de φ(~x ). Deeste mismo argumento puede intuirse que∇φ es perpendicular a las líneasde φ constante. La demostración es sencilla; si el vector ~t es tangente a lalíneaφ = cte, entonces en esa dirección dφ = 0. Por tanto:

dφ

d x= ~t ·∇φ = 0 , (0.15)


y∇φ es perpendicular a ~t , es decir, aφ = c t e .

El operador gradiente puede también actuar sobre un campo vectorial, ~φ =~φ(~x ). En ese caso, se aplica como se indica más arriba a cada una de las com-

ponentesφi (~x ) del campo vectorial:

dφi =∇φi ·d ~x ; (0.16)

por tanto:

dφi

d x=∇φi · ~u =

∂ φi

∂ x ju j ; (0.17)

y, en forma vectorial:

d ~φ

d x= (~u ·∇) ~φ . (0.18)

Note la asociación (~u ·∇). En particular, note que (~u ·∇) ~φ 6= ~u (∇· ~φ), donde∇· ~φ es la divergencia de ~φ, que se define mas adelante.

El grupo ∂ φi/∂ x j en la ecuación es un tensor, que a veces se llama tensor

gradiente. En notación vectorial se representa como∇ ~φ (note que sin puntoentre ambos).

0.6 El operador divergenciaEl operador divergencia, ∇·, actúa sobre campos vectoriales (por ejemplo,~φ(~x )), devolviendo el escalar (en coordenadas cartesianas):

∇· ~φ =∂ φ1

∂ x1+∂ φ2

∂ x2+∂ φ3

∂ x3. (0.19)

(La divergencia a veces se escribe div ~φ.)

Note la diferencia con el operador gradiente de un vector del apartado ante-rior, cuyo resultado al actuar sobre ~φ,∇ ~φ, es un tensor.

La divergencia de un campo vectorial ∇ · ~φ tiene una interpretación físicamuy sencilla como flujo neto de ~φ que sale del punto por unidad de volu-men. Esta interpretación se desarrollará en el apartado 0.10. Cuando la di-vergencia del campo vectorial en cada punto es cero, el campo se dice sole-noidal.

0.7. Operador rotacional 17

De igual manera se define la divergencia de un campo tensorial (cuyo resul-tado es un vector) como:

∇· ~~φ =∂ φi j

∂ x j. (0.20)

0.7 Operador rotacional

El operador ∇∧ actúa sobre un campo vectorial ~φ y devuelve el vector (encartesianas):

∇∧ ~φ =

~i ~j ~k∂∂ x1

∂∂ x2

∂∂ x3

φ1 φ2 φ3

= εi j k

∂ φk

∂ x j

Un campo que cumple ∇∧ ~φ = 0 en todos los puntos se denomina irrota-cional.

El rotacional a veces se escribe rot ~φ.

0.8 Operador laplaciana

El operador laplaciana,∇2 o∆, es el resultado de aplicar sucesivamente losoperadores gradiente y divergencia a un campo escalar. El resultado es portanto un escalar:

∆φ =∇2φ =∇· (∇φ) =∂ 2φ

∂ x 2i

. (0.21)

La ecuación∆φ = 0 se denomina ecuación de Laplace. Un campo que cum-ple la ecuación de Laplace se llama armónico.

0.9 Algunas identidades con el operador nabla

Las varias formas vistas del operador ∇ (gradiente, diver-gencia, rotacional, laplaciana) frecuentemente se combinan


Figura 0.3: Teorema de Gauss

en las siguientes igualdades (que son fáciles de demostrar):∇(φ+ψ) = ∇φ+∇ψ∇· (~ξ+ ~ζ) = ∇· ~ξ+∇· ~ζ∇∧ (~ξ+ ~ζ) = ∇∧ ~ξ+∇∧ ~ζ∇(φψ) = φ∇ψ+ψ∇φ∇(~ξ · ~ζ) = ~ξ∧ (∇∧ ~ζ) + ~ζ∧ (∇∧ ~ξ) + (~ξ ·∇)~ζ+ (~ζ ·∇)~ξ∇· (φ~ξ) = φ∇· ~ξ+ ~ξ ·∇φ∇· (~ξ∧ ~ζ) = ~ζ · (∇∧ ~ξ)− ~ξ · (∇∧ ~ζ)∇∧ (φ~ξ) = ∇φ ∧ ~ξ+φ∇∧ ~ξ∇∧ (~ξ∧ ~ζ) = ~ξ(∇· ~ζ)− ~ζ(∇· ~ξ) + (~ζ ·∇)~ξ− (~ξ ·∇)~ζ

0.10 Teorema de la divergenciaEl teorema de la divergencia, o de Gauss, o de Green, establece que el flujoneto de un campo vectorial saliente de una superficie cerrada S que limitaen volumen V (Figura 0.3) es igual a la divergencia del campo en el volumen.Esto es:

∫

S

~φ · ~nd S =

∫

V

∇· ~φd V . (0.22)

Este teorema proporciona la interpretación física para el operador divergen-cia avanzada en la sección 0.6: puesto que es válido para cualquier volumenV , en particular cuando V tiende a un punto, indica que∇· ~φ es el balancede flujo ~φ (es decir, el flujo neto de ~φ) saliente del punto:

∇· ~φ = lımV→0

1

V

∫

S

~φ · ~nd S . (0.23)

0.11. Teorema de Stokes 19

Figura 0.4: Teorema de Stokes

Cuando∇· ~φ = 0, el flujo neto de ~φ se conserva, es decir, en el punto no hayuna fuente (o sumidero) de ~φ.

Otras formas de este teorema son:∫

S

φ ~nd S =

∫

V

∇φd V ; (0.24)

∫

V

(∇∧ ~φ)d V =

∫

S

( ~n ∧ ~φ)d S ; (0.25)

∫

V

∇2φd V =

∫

S

∇φ · ~nd S . (0.26)

0.11 Teorema de StokesSea una superficie S que se apoya sobre una curva cerrada C (Figura 0.4).Elteorema de Stokes (en realidad debido a Kelvin) establece que:

∮

C

~φ · ~t d l =

∫

S

(∇∧ ~φ) · ~nd S . (0.27)

La primera integral es la circulación del campo ~φ a lo largo de la curva C , y lasegunda es el flujo del rotacional de ~φ a través de la superficie S . El teoremaes aplicable a cualquier superficie S que apoye en C .


Otras formas alternativas del teorema son:∫

S

~n ∧∇φd S =

∫

C

φ~t d l ; (0.28)

∫

S

( ~n ∧∇)∧ ~φd S =

∫

C

~t ∧ ~φd l . (0.29)

0.12 Ejercicio de aplicaciónDado el campo de temperaturas T = 3x 2+ y z + 273 y el de velocidades ~v =(3x y +1)~i + y z 2 ~j + (2x 2+ z 2+2)~k se pide:

(a) Calcular∇T en el punto (1, 1, 1).

(b) Calcular∆T en el punto (1, 0, 1).

(c) Calcular∇· ~v en el punto (2, 2, 2).

(d) Calcular∇ ~v en el punto (1, 0, 1)

(e) Calcular∇∧ ~v el punto (1, 1, 1).

(f ) Calcular ~v ·∇T en cualquier punto y∇ ~v : ( ~v∇T ) en el punto (1, 1, 1)

(g) Demostrar que para este campo ~v se cumple el teorema de Gauss en elcubo formado por los planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1.

Tema 1

Introducción

1

Qué es un fluido

1.1 Qué es un fluido

Donde definimos un fluido por su extraña propiedad de “deformarse” “continua-mente” en respuesta a un “esfuerzo tangencial”.

La mayor parte de las personas, con formación técnica o no, tienen de for- Fluidos y vox populi

ma intuitiva una noción clara de lo que es un fluido1. Si se les preguntara poruna definición, posiblemente la respuesta más común sería que “un fluidoes una materia que fluye”. Esta respuesta es curiosamente muy próxima a ladefinición más aceptada de fluido, que daremos a continuación; lexicográ-ficamente, sin embargo, simplemente traslada la tarea de definir “fluido” ala de definir “fluir”. Por otra parte, los encuestados con conocimientos de fí-sica elemental responderán frecuentemente que un fluido es un “líquido oun gas”. Aun siendo generalmente cierta, la respuesta es una enumeración,y no propiamente una definición2.

1Note desde el principio la ortografía: se escribe “fluido”, y no “fluído”, porque dos vo-cales cerradas no forman hiato, y sólo llevan tilde (en la segunda de las vocales) si las reglasgenerales de acentuación lo exigen. Puesto que “fluido” es palabra llana acabada en vocal,no lleva tilde. Por el contrario, el adjetivo “fluídico”, inexistente en español pero que se usaa veces para traducir el adjetivo inglés fluidic, sí llevaría tilde, por ser palabra esdrújula.¿Cuántos “fluídos” hay en la Web? ¿Hay alguno en la de la Universidad de Zaragoza?

2Lo es, sin embargo, para la Real Academia Española: fluido, da. (Del lat. flui(dus)). 1.adj. Se dice de las sustancias en estado líquido o gaseoso. U. t. c. s. m.

23

24 Qué es un fluido

Figura 1.1: Deformación de bloque sólido o fluido en respuesta a un esfuerzotangencial

La definición (científica) más común de fluido es: un fluido es una sustanciaNuestra definición

que, sometida a un esfuerzo cortante, se deforma continuamente. En la defi-nición, esfuerzo es simplemente una fuerza por unidad de superficie; puedeinterpretar cortante como paralelo al plano de aplicación (esto es, tangen-cial); y continuamente quiere decir “de forma continuada en el tiempo”.

La definición suele ilustrarse mediante la comparación con lo que sucede enSólido vs fluido

un sólido. Cuando a una pieza sólida, como la de la figura 1.1, le aplicamos unesfuerzo tangencial en una de sus caras (por ejemplo, la superior) mientrasque la otra está anclada, el bloque se deforma. La deformación del sólidopuede cuantificarse mediante el ángulo θ de la figura, que es constante conel tiempo mientras el esfuerzo aplicado sea constante, y suele además serproporcional a éste. A continuación imaginamos que el cubo es de un fluido.Ante un esfuerzo cortante, el fluido también se deforma; pero, al contrarioque en el caso del sólido, el ángulo de deformación θ aumenta con el tiempomientras apliquemos el esfuerzo3. Mientras que en el sólido la deformaciónθ es usualmente proporcional al esfuerzo, en el fluido es la tasa de cambiode θ , dθ/d t , la que es usualmente proporcional al esfuerzo4. Un corolarioimportante de esta definición de fluido es, por tanto, que un fluido no puedesoportar esfuerzos cortantes sin deformarse continuamente. (Veremos másadelante que, sin embargo, sí puede soportar esfuerzos normales.)

De las tres fases termodinámicas de la materia, el gas y el líquido son clara-Fluidos y fases termódiná-micas mente fluidos bajo la definición anterior; hay no obstante muchas substan-

3La característica de “fluir”, que ponemos en el primer párrafo en boca del lego, es jus-tamente esta capacidad para deformarse continuamente mientras exista esfuerzo cortante.

4Esta tasa de cambio de θ recibe el nombre en Mecánica de Fluidos de velocidad dedeformación.

1.2. La hipótesis del continuo 25

cias que son difíciles de clasificar en una u otra fase (piense, por ejemplo, enla pasta de dientes o en el yoghurt; ¿son líquidos?); sin embargo, pueden serclasificados como fluidos por referencia a su incapacidad para soportar es-fuerzos cortantes sin deformarse continuamente. Más sorprendente es sinembargo el comportamiento de algunos sólidos, que pueden soportar es-fuerzos cortantes sin deformarse continuamente durante cortos tiempos,pero se deforman continuamente (“fluyen”) si el esfuerzo se mantiene du-rante un tiempo largo. Tal es el caso del asfalto, o del plomo. La fase termodi-námica en la que se encuentra el fluido (gas, líquido, sólido) no es en generalsustancial para el desarrollo de las leyes que gobiernan su comportamiento.Naturalmente, la fase termodinámica del fluido otorga propiedades mecá-nicas características (por ejemplo, los gases se comprimen más fácilmenteque los líquidos); pero veremos que la Mecánica de Fluidos deduce y utilizaleyes generales que describen el comportamiento de cualquier fluido.

1.2 La hipótesis del continuo

Donde resolvemos la paradoja de que, siendo la materia discontinua, estudiamosel fluido como un continuo.

El fluido, como toda la materia, es de naturaleza marcadamente discontinua La materia es discontinua

en la escala molecular. La masa de la materia está fundamentalmente en losprotones y neutrones del núcleo (la masa del electrón es unas 1800 veces in-ferior a la del protón o neutrón). El ratio entre la distancia intermoleculartípica y el radio del núcleo es, sin embargo, del orden de 107 para gases, y 106

para líquidos. Esto indica que el fluido (y la materia en general) es esencial-mente un gran vacío en el que la masa se concentra en pequeñas regionesde alta densidad muy separadas entre sí.

Para casi todas las aplicaciones de Ingeniería, el conocimiento exacto de El promedio es la clave

la posición y velocidad de cada átomo y molécula del fluido es (afortuna-damente) irrelevante. Las propiedades que habitualmente manejamos paracaracterizar el estado local de un fluido (densidad, velocidad, temperatura,composición) son el resultado de promediar los estados de muchas molécu-las en un “volumen de medida” (sea éste real, si estamos haciendo un expe-rimento, o imaginario, si estamos desarrollando una teoría).

Para cualquiera de las propiedades del fluido, el valor del promedio depende Dónde promediamos?


Figura 1.2: Variación de la densidad del fluido con el volumen de medida

del tamaño de este volumen de medida. Por ejemplo, definimos la densidadcomo la masa δm encerrada en el volumen de medida (esencialmente enlos núcleos de los átomos que están en el volumen) dividida por el propiovolumen δV :

ρ =δm

δV. (1.1)

La Figura 1.2 representa un evolución típica de la densidad con el tamañodel volumen de medida. Para volúmenes inferiores al volumen del núcleoatómico, la densidad será a menudo la del núcleo o cero, cuando el volu-men encierre respectivamente masa del núcleo o no. Esto implica variacio-nes muy altas de la densidad en esa escala, ya que la densidad del protón odel neutrón es del orden de 1018 kg/m3. A medida que aumentamos el vo-lumen, la densidad varía fuertemente según el nuevo volumen incluya unnúcleo más o menos. Cuando el volumen es tal que contiene ya un núme-ro estadísticamente significativo de átomos5, añadir (o retirar) volumen deδV no altera la estadística. Este volumen es el volumen al que referimos laspropiedades del fluido para considerarlas “locales”. Para volúmenes muchomas grandes que este volumen de “medida local”, la propiedad pueden va-riar con el tamaño del volumen (como se sugiere en la Figura 1.2) debido ala no homogeneidad espacial del fluido (por ejemplo, puede haber zonas delfluido más calientes, y por tanto menos densas, que otras).

El ardid de utilizar, tácitamente, volúmenes que tienen un número estadís-La hipótesis del continuo

5Es fácil calcular que, por ejemplo, un volumen de 10−9 mm3 de aire en condicionesnormales contiene del orden de 107 moléculas.

1.3. La Mecánica de Fluidos 27

ticamente significativo de moléculas permite por tanto caracterizar el fluidopor sus propiedades locales, sin tener que especificar la posición y propie-dades de cada molécula. En otras palabras, permite describir el fluido comoun continuo, pese a la naturaleza discontinua de la materia. Esta suposiciónse conoce con el nombre de hipótesis del continuo, y su uso está implícitoen todos los capítulos que siguen.

Sin embargo, el uso generalizado de la hipótesis del continuo no supone la Pero la naturaleza mole-cular tiene implicacionesmuy importantes en Inge-niería!

negación de la naturaleza molecular del fluido; al contrario, veremos en estecapítulo que algunas propiedades muy importantes del fluido, las llamadaspropiedades de transporte, se derivan justamente del carácter molecular dela materia.

1.3 La Mecánica de Fluidos

Donde definimos la Mecánica de Fluidos, y enumeramos las técnicas para “estu-diar” un fluido: analíticas (teóricas), experimentales, computacionales.

La Mecánica de Fluidos es la rama de la Mecánica de Medios Continuos queestudia los fluidos en reposo o en movimiento. El estudio del fluido en reposose denomina Fluidostática; y el análisis del fluido en movimiento frecuente-mente recibe el nombre de Fluidodinámica.

“Estudiar” el flujo fluido quiere decir conocer las propiedades del mismo en Definición

todos o algunos de los puntos de un dominio de interés, y, si el flujo cambiacon el tiempo, en todo (o a veces algún) tiempo.

Las propiedades en cuestión pueden ser típicamente la velocidad del fluido, Qué “propiedades”?

la presión, la densidad (si es variable), la temperatura (si el flujo no isoter-mo), o las concentraciones de las especies químicas que componen el flui-do6.

En algunas ocasiones, de forma práctica interesan sólo los valores integra-dos de la propiedad; un ejemplo de propiedad integral es el coeficiente deresistencia aerodinámica asociado al movimiento de un vehículo; o la fuerza

6Esta lista no es exhaustiva.


que es necesario hacer para abrir una compuerta en el fondo de un depósitolleno de líquido.

Existen esencialmente tres tipos de técnicas para estudiar (o investigar) elflujo de un fluido: técnicas analíticas, técnicas experimentales y técnicascomputacionales.

Las técnicas analíticas son aquellas que resuelven (analíticamente) las ecua-Técnicas analíticas

ciones que gobiernan el flujo. Estas ecuaciones serán deducidas en el Ca-pítulo 9, y habitualmente se utilizan en forma diferencial o en forma inte-gral. En forma diferencial, se trata de ecuaciones en derivadas parciales enel espacio y en el tiempo. En forma integral se trata de ecuaciones integro-diferenciales. Lamentablemente, y debido a la complejidad de estas ecua-ciones, pocos problemas de interés práctico son tratables completamente deforma analítica sin antes simplificarlos sustancialmente. Aunque tales sim-plificaciones a veces convierten el problema real objeto de nuestro interésen un problema ideal o modelo (en el sentido de que no se correspondefielmente con la realidad), el estudio de estos flujos modelo reporta cono-cimientos importantes. Algunos flujos de estos flujos modelo serán tratadosen los Capítulos 14 y siguientes.

Las técnicas experimentales consisten en medir las magnitudes de interésTécnicas experimentales

en el flujo; por ejemplo, la velocidad local del fluido en puntos de interés; ola presión, temperatura, o concentraciones de especies químicas. Tambiénpueden medirse cantidades integrales, por ejemplo la fuerza total que el flui-do ejerce sobre una estructura (por ejemplo, el aire que se mueve alrededorde un avión)7. A lo largo de la Historia de la Mecánica de Fluidos se han desa-rrollado diversas técnicas para realizar tales medidas. Las más rudimentariasson a menudo técnicas invasivas (es decir, que pueden perturbar el flujo),aproximadas y con baja resolución espacial y/o temporal. Desde los años80, la extensión de las técnicas de medida no invasivas mediante láser per-miten obtener diagnósticos mucho más precisos de velocidad, temperaturay concentraciones. Sin embargo, la realización de experimentos es casi siem-pre costosa, y a veces imposible. El coste de la experimentación puede tenervarios orígenes: puede ser necesario necesario construir maquetas (posible-mente a escala) del dispositivo (que frecuentemente se llaman modelos físi-cos), lo cual en general es caro; los experimentos son a menudo largos en el

7El hecho de que la fuerza que el fluido ejerce sobre un sólido inmerso en él es una can-tidad integral, es decir, que resulta de integrar propiedades locales del fluido, no es aparenteen este punto; se verá en el Capítulo 6.

1.3. La Mecánica de Fluidos 29

tiempo e intensivos en mano de obra; los instrumentos de medida puedenser también caros, y su instalación costosa; y en ocasiones incluso los costesde impulsar el fluido con el que se hace el ensayo pueden ser sustanciales.

El segundo aspecto, o imposibilidad en ocasiones de realizar ciertos expe-rimentos directamente, es evidente si se considera, por ejemplo, el estudiode catástrofes a gran escala (no se puede diseñar un experimento para es-tudiar la rotura de una presa, o un gran incendio forestal); o fenómenos amuy pequeña escala (no se puede medir el campo de presiones alrededorde un insecto en movimiento); o en entornos hostiles (no se pueden mediren detalle las velocidades del aire alrededor del transbordador espacial en lare-entrada a la atmósfera).

Las técnicas computacionales consisten en la solución numérica de las Técnicas computacionales

ecuaciones, diferenciales o integrales, que gobiernan el problema (cuya so-lución analítica puede ser, sin embargo, imposible). El conjunto de ecuacio-nes (y condiciones de contorno) que se resuelven reciben a menudo el nom-bre de modelo numérico o computacional. Estas técnicas, que empezarona desarrollarse con la aparición de los primeros ordenadores en la décadade los 60, han progresado de forma pareja a la disponibilidad de potencia decálculo, y hoy en día su uso está muy extendido en Mecánica de Fluidos. Lanaturaleza compleja de muchos problemas de flujo fluido, sin embargo, ha-ce que su uso sea (relativamente) especializado, y que no sean, hoy por hoyy en general, totalmente fiables cuantitativamente. Frecuentemente los re-sultados computacionales han de compararse, al menos parcialmente, conmedidas experimentales, para así evaluar el grado de fiabilidad de aquéllos.

Una técnica muy utilizada en Mecánica de Fluidos (y casi exclusivamente enMecánica de Fluidos, aunque podría utilizarse en otras ramas de la Técnicay de la Ciencia) es el Análisis Dimensional (que se trata en el Capítulo 12).El Análisis Dimensional es una herramienta muy útil en cualquiera de losmétodos de estudio del flujo fluido mencionados anteriormente: analítico,experimental o computacional. Utilizando muy poco conocimiento “a prio-ri” del problema, permite sistematizar la información que se obtiene sobre elmismo, y reducir el número de experimentos o cálculos. Es también la téc-nica que permite realizar experimentos a escala (reducida o ampliada) enel laboratorio. Algunos de los experimentos imposibles mencionados antespueden ser posibles con un cambio de escala (por ejemplo, es posible es-tudiar la rotura de una presa en el laboratorio si reducimos la escala; o po-demos estudiar el flujo alrededor de un “insecto” si la aumentamos). En eltratamiento analítico de un problema, la adimensionalización de las ecua-


ciones permite, como veremos en los Capítulos 12, 17, y 19 la simplificaciónde las ecuaciones mediante el análisis de órdenes de magnitud.

1.4 La Mecánica de Fluidos y la Termodinámica

Donde convenientemente importamos, con fundamento, toda la Termodinámicapara su uso en Mecánica de Fluidos.

La Termodinámica, que es la rama de Física que estudia el calor y el trabajoTd6=MdF

en un sistema a nivel macroscópico, considera únicamente estados de equi-librio. Sus conceptos y leyes son sólo aplicables por tanto en ausencia deinhomogeneidades espaciales y de variaciones temporales. La Mecánica deFluidos, por el contrario, se ocupa del estudio de fluidos que pueden estaren movimiento, y pueden tener variaciones espaciales y temporales de suspropiedades. Los sistemas que se estudian en Mecánica de Fluidos, en con-secuencia, no están en equilibrio.

Dado que es interesante poder importar a la Mecánica de Fluidos los con-ceptos y leyes de la Termodinámica (por ejemplo, la definición de tempera-tura, o el concepto de ecuación de estado), es pertinente determinar en quécondiciones tal importación está bien fundamentada. La hipótesis de equi-librio termodinámico local permite aplicar, localmente, los conceptos de laTermodinámica a fluidos que no están en equilibrio global.

El criterio para la existencia de equilibrio termodinámico local se basa enEl equilibrio termodinámi-co local la relación entre el recorrido molecular libre medio (λ) y una longitud ma-

croscópica (L) característica del problema (por ejemplo, la anchura de unpasaje por el que circula un fluido). Cuando la primera es mucho menorque la segunda, las moléculas del fluido experimentarán muchas colisionesen el tiempo que recorren la longitud característica; puesto que estas coli-siones son las que originan el equilibrio termodinámico, puede suponerseque localmente existe equilibrio termodinámico, aunque globalmente no loexista (por ejemplo, porque haya gradientes de propiedades). En la situa-ción opuesta, es decir, cuando λ es del orden de, o mayor que, L , no puedeconsiderarse que exista equilibrio termodinámico local. El ratio entre ambaslongitudes se denomina número de Knudsen:El número de Knudsen K n

Kn=λ

L. (1.2)

1.5. Clasificación del flujo fluido 31

Por tanto, la hipótesis de equilibrio termodinámico local es válida sólo paraK n 1; y en esas condiciones, se pueden utilizar en Mecánica de Fluidos losconceptos, leyes y ecuaciones de la Termodinámica. Muy frecuentemente seutilizan en Mecánica de Fluidos los siguientes:

Las definiciones de gas ideal y líquido perfecto;

Las definiciones de energía interna, entalpía y entropía;

Los conceptos de calor y trabajo;

El Primer y Segundo Principios de la Termodinámica;

Los calores específicos a volumen y presión constante;

El concepto de función de estado;

Las mezclas multi-componente, y en particular las definiciones deconcentración molar, fracción molar y fracción másica, y las propie-dades (por ejemplo, la densidad) de estas mezclas;

Las fases termodinámicas de la materia, y la termodinámica del cam-bio de fase (en particular, el diagrama p − v ).

1.5 Clasificación del flujo fluido

Donde agrupamos el flujo en familias (no mutuamente excluyentes) de acuerdocon alguna de sus características.

Dada la gran variedad de flujos de fluidos que se encuentran en la Naturale-za y en la Técnica, la clasificación del flujo fluido puede hacerse con arregloa numerosos criterios. Entre otras, podemos enumerar las siguientes clasifi-caciones8:

Según el número de fases termodinámicas que fluyan, se habla de flu- Monofásico/multifásico

jo monofásico (cuando hay una sola fase) o multifásico (cuando hayvarias).

8Realmente, estas categorías tienen en este punto más interés por la terminología queintroducen que por la clasificación que suponen.


Cuando las variables que definen el flujo no cambian localmente conEstacionario/transitorio

el tiempo, se habla de flujo estacionario; y de flujo transitorio cuandolo hacen9.

Cuando la densidad del fluido se puede considerar constante, se hablaIncompresible/compresible

de flujo incompresible; cuando varía, de x flujo compresible.

Cuando la velocidad del fluido es inferior a la velocidad del sonido enSub/trans/supersónico

ese fluido el flujo se dice subsónico; cuando es superior, se dice super-sónico; y cuando en el flujo pasa de subsónico a supersónico se dicetransónico.

En ocasiones, es útil para el análisis suponer que el fluido no tiene vis-Ideal/viscoso

cosidad. El fluido sin viscosidad se denomina ideal, y el flujo de talesfluidos frecuentemente se llama por extensión flujo ideal. Por el con-trario, hay flujos en los que la viscosidad es precisamente el efecto do-minante; tales flujos se denominan viscosos10.

El flujo de un fluido es a menudo desordenado o caótico (piense, porLaminar/turbulento

ejemplo, en un río que fluye a alta velocidad). Este flujo desordenadose denomina turbulento, mientras que el flujo ordenado se denominalaminar. Que el flujo sea laminar o turbulento depende de qué tipode fuerzas predominan (respectivamente fuerzas viscosas o fuerzas deinercia). Estudiaremos esto más adelante en el curso.

1.6 El resto de estos apuntesEstos apuntes tienen un carácter introductorio a la Mecánica de Fluidos, yestán estructurados, tras este tema, como sigue. En un primer bloque, sedesarrolla la teoría esencial de la Mecánica de Fluidos. Este bloque constade las siguientes partes:

En el Tema 2, Cinemática, se estudia el campo de velocidades alre-dedor de un punto en un fluido en movimiento, prescindiendo de lascausas que originan ese movimiento.

9Note que en Mecánica de Fluidos no usamos “estacionario” para indicar que no semueve, sino que las propiedades del fluido/flujo en cada punto (incluyendo la velocidad)no cambian con el tiempo. El flujo estacionario también se dice a veces “en régimen perma-nente”.

10Todos los fluidos (reales) son viscosos; el nombre de flujo viscoso se reserva, sin em-bargo, sólo para aquéllos en los que la viscosidad es la fuerza dominante. Veremos en elCapítulo 9 qué otras fuerzas actúan generalmente en un fluido en movimiento.

1.6. El resto de estos apuntes 33

En el Tema 3, Fuerzas y fluidostática, se estudian las fuerzas que ac-túan en el seno de un fluido, en reposo o movimiento, y se particulari-za para el caso del fluido en reposo. Como consecuencia, se deducenexpresiones para las fuerzas y los momentos que actúan sobre super-ficies o cuerpos sumergidos.

En el Tema 4, Ecuaciones fundamentales, deducimos las ecuacionesque gobiernan el flujo fluido, y el transporte de especies químicas yenergía. Estas ecuaciones se deducen tanto en forma diferencial comointegral.

El Tema 5 introduce el Análisis dimensional y la semejanza como unapotente herramienta para simplificar el estudio de problemas de flujofluido, tanto teórica como experimentalmente.

Una vez establecidas las ecuaciones que rigen el flujo de fluidos, en un se-gundo bloque se estudian algunas clases de flujo particulares para los que esposible obtener soluciones analíticas. Así:

En el Tema 6, Flujos unidireccionales, estudiaremos flujos en los quela velocidad tiene una única componente. Veremos que en tales flujos,al contrario de los del capítulo anterior, las fuerzas viscosas son domi-nantes en el flujo.

En el Tema 7, Flujo en láminas delgadas y lubricación fluidodinámi-ca, estudiaremos flujos que no son estrictamente unidireccionales, pe-ro cuya velocidad es predominantemente en una dirección. Esto per-mitirá la obtención de soluciones analíticas para el flujo.

Finalmente, en el Tema 8, Aerodinámica y capa límite, estudiaremosel flujo alrededor de objetos, y las fuerzas que el fluido ejerce sobre elobjeto.

Muchos de los aspectos esenciales en disciplinas especializadas de la Mecá-nica de Fluidos quedan sin analizar en este curso introductorio. Entre otros,el tratamiento que se hace del fenómeno de la turbulencia es muy breve; yclases enteras de flujos muy importantes tecnológicamente no son tratados(por ejemplo, flujos con superficie libre, o flujos compresibles). Algunos deellos serán tratados en asignaturas posteriores de la Carrera.

2

Fenómenos de transporte

2.1 Introducción

Donde descubrimos que la inhomogeneidad de propiedades en un fluido juntocon la aleatoriedad del movimiento molecular dan lugar a un transporte neto depropiedad

En un apartado anterior se ha indicado que la Mecánica de Fluidos se ocu-pará frecuentemente de situaciones en las que no existe homogeneidad es-pacial en las propiedades del fluido (esto es, no existe equilibrio termodi-námico global). En Mecánica de Fluidos, y en otras disciplinas, decimos enesta circunstancia que “hay un gradiente” de la propiedad. Cuando el fluido Graqué? Vea Tema 0

no está en equilibrio, el movimiento aleatorio de las moléculas causa un flu-jo neto de propiedad, que se conoce de forma genérica como fenómeno detransporte, y que tiende a homogeneizar las propiedades del fluido. Fenómeno de transporte

Un ejemplo ilustrativo es la situación en la que tenemos, en una vasija, Por qué se mezclan los flui-dos?dos gases (por ejemplo oxígeno y nitrógeno) separados por una pared im-

permeable. Si la pared desaparece súbitamente (ignoremos a efectos delejemplo cómo), algunas moléculas de nitrógeno pasarán, debido a su movi-miento aleatorio, al lado del oxígeno, y viceversa. De esta manera, para tiem-pos suficientemente grandes, ambos gases estarán perfectamente mezcla-dos, y se habrá alcanzado el equilibrio termodinámico global. Este procesose ha ilustrado en la Figura 2.1.

35

36 Fenómenos de transporte

Figura 2.1: El movimiento aleatorio de moléculas en presencia de un gra-diente de propiedad genera un flujo de transporte de propiedad

El efecto por tanto del movimiento aleatorio en presencia del gradiente deconcentraciones resulta en un transporte de masa (de oxígeno y nitrógeno,en este caso), que tiende a eliminar el gradiente y llevar el sistema al equi-librio termodinámico local. En el ejemplo la propiedad no homogénea es lacomposición del fluido, pero fenómenos de transporte similares se produci-rían en presencia de gradientes de otras propiedades. De especial relevanciaen Mecánica de Fluidos son, además del transporte de masa del ejemplo,el transporte de calor (asociado a la energía cinética de las moléculas) o decantidad de movimiento (asociado a la velocidad de las moléculas).

Estos fenómenos de transporte se llaman también fenómenos difusivos, ode difusión molecular, en referencia al mecanismo molecular que los causa.A continuación veremos en más detalle cada uno de estos fenómenos.

2.2 Transporte de calor

El flujo de calor en un fluido es una consecuencia de la existencia de un gradientede temperatura.

La temperatura local de un fluido es una indicación del nivel de energía ciné-Temperatura es energía ci-nética de las moléculas tica de sus moléculas. En el movimiento aleatorio, cada molécula lleva con-

sigo su energía cinética; y, además, intercambia energía cinética con las mo-léculas circundantes cuando interacciona con ellas (por ejemplo, a través delas fuerzas intermoleculares o de los choques que se produzcan entre ellas).Este intercambio de energía cinética se refleja en un transporte de calor, queen ausencia de otros fenómenos tiende a igualar la temperatura del fluido (y

2.3. Transporte de masa 37

también de un sólido). Frecuentemente se puede suponer que el flujo de ca-lor (digamos ~q ) es proporcional al gradiente de propiedad (ie , temperatura).Dado que ambos flujo y gradiente son vectores, la relación de proporciona-lidad más general entre ambos es a través de un tensor:

~q =−~~k ·∇T , (2.1)

donde ~~k es un tensor de orden 2, y el signo negativo indica que el flujo resul-

tante va dirigido contra el gradiente (si las componentes de ~~k son positivas).La ecuación anterior puede escribirse por componentes como:

qi =−ki j

∂ T

∂ x j. (2.2)

Frecuentemente el fluido es isótropo (es decir, sus propiedades no dependen

de la dirección), y por lo tanto1 ~~k es un tensor esférico (ki j = kδi j , siendo δla delta de Kronecker). En ese caso la ecuación queda: Ley de Fourier

~q =−k∇T , (2.3)

que se conoce como Ley de Fourier. En sistema internacional, las unidadesde k son J/msK, y las de ~q son J/m2s.

2.3 Transporte de masa

El flujo de masa de una especie química en un fluido es una consecuencia de laexistencia de un gradiente de concentraciones.

El transporte neto de moléculas de una especie química (digamos la especie Transporte de masa

A) por efecto de su movimiento aleatorio se denomina transporte de masa (o,a menudo, difusión de masa). El ejemplo con el que se abrió esta sección (losgases inicialmente separados y su posterior mezcla) es un caso de difusión.Como se colige del ejemplo, sólo hay un transporte neto de masa cuandolocalmente existe un gradiente de concentración. (Cuando la concentraciónes uniforme, en cada punto el flujo es estadísticamente idéntico en todas las

1Este “por lo tanto” es sólo trivial si tiene conocimientos avanzados de álgebra o tenso-res.


direcciones, y el movimiento aleatorio de moléculas no conlleva flujo flujoneto.)

En determinadas condiciones se puede suponer que el flujo de masa es pro-porcional al gradiente de la fracción másica. Si ~jA es el flujo de A, e yA sufracción másica local, entonces:Ley de Fick

~jA =−ρDA∇yA , (2.4)

donde DA es el coeficiente de difusión. La expresión anterior se cono-ce como Ley de Fick2. En el Sistema Internacional, las unidades de jA sonkgA/m2s, las de yA son kgA/kg, y las de DA son m2/s.

2.4 Transporte de cantidad de movimiento

Donde vemos que en el fluido se ejercen fuerzas entre capas vecinas, debidas a losgradientes de velocidad; y descubrimos que el gradiente de velocidad es tambiénuna medida de la velocidad de deformación “del fluido”.

En Mecánica, el producto de la masa por la velocidad se llama cantidad deCantidad de movimiento

movimiento3. En Mecánica de Fluidos, se llama usualmente cantidad demovimiento al producto de la densidad por la velocidad, ρ ~v (aunque, es-trictamente, esto es cantidad de movimiento por unidad de volumen).

El movimiento aleatorio de las moléculas implica un intercambio de can-tidad de movimiento cuando moléculas con más velocidad pasan a zonasde menos velocidad, y viceversa. Esta situación puede visualizarse de formasencilla para un flujo unidireccional (es decir, en el que la velocidad tiene unaúnica dirección, o componente), en el que existe no obstante un gradientede velocidades (por claridad, supondremos que el gradiente es en direccióntransversal a la dirección del flujo, Figura 2.2). Esta situación es, por supues-to, un caso muy particular: en general la velocidad tendrá tres componentes,

2La difusión de especies químicas es en general un proceso binario (de una especie encada una de las otras), y las leyes resultantes son bastante más complicadas que la utilizadaen la Ecuación 2.4. La ecuación anterior representa la difusión de la especie A en una mezcladel resto de las especies, en determinadas condiciones (entre otras, cuando los pesos mole-culares de las especies son similares, y también lo son los coeficientes de difusión binarios;o cuando la especie A está en pequeñas proporciones). Para los propósitos de este curso,esta ecuación simplificada es suficiente, y la presentamos sin justificar.

3En inglés, momentum; en español, a veces se llama también momento lineal.

2.4. Transporte de cantidad de movimiento 39

Figura 2.2: Transferencia de cantidad de movimiento debido al intercambiode moléculas entre capas del flujo

y además éstas variarán en las tres direcciones coordenadas; en el Capítulo5 generalizaremos para tres dimensiones y tres direcciones lo expuesto eneste apartado.

En la Figura 2.2, moléculas que fluyen en capas de fluido con menor veloci-dad pasan, por su movimiento aleatorio, a capas que tienen más velocidad; yal revés. El efecto es una fuerza neta entre capas, por la que capas más velocesson frenadas por las capas vecinas más lentas, y éstas a su vez son acelera-das por aquéllas. La fuerza, por unidad de superficie, responde a la siguienteexpresión (para la situación de la figura Figura 2.2): Ley de Newton

τ=µ∂ w

∂ y. (2.5)

Esta expresión, conocida como Ley de Newton, indica que la fuerza τ in-tercambiada entre capas (por unidad de superficie4) es proporcional al gra-diente de velocidades. La constante de proporcionalidad, µ, se denominaviscosidad dinámica. Viscosidad dinámica

En Mecánica de Fluidos se utiliza muy a menudo la viscosidad cinemáticaν; la relación entre ambas es la densidad: Viscosidad cinemática

µ=ρν . (2.6)

Las unidades de µ en Sistema Internacional son kg/ms, y las de ν son m2/s.

4La fuerza por unidad de superficie en Mecánica de Fluidos, y en la Mecánica de MediosContinuos en general, se denomina esfuerzo.


La Ecuación 2.5 relaciona el esfuerzo que unas capas de fluido ejercen sobreotras vecinas con el gradiente de velocidades. Este gradiente se denominatambién velocidad de deformación.

La justificación completa de esta denominación se verá en el Capítulo 4. Porel momento, es fácil ver que en un flujo unidireccional, el único gradien-te de velocidad existente (digamos, sin pérdida de generalidad, d w /d y ) esd w /d y es velocidad de de-

formación una velocidad de deformación del elemento fluido. Para ello, consideremosen ese flujo unidireccional, ilustrado en la Figura 2.3, izquierda, un cuadrado(imaginario) de lado infinitesimal (digamos δy ). Al cabo de un tiempo dife-rencial δt , el cuadrado ha sido transportado por el flujo aguas abajo, perotambién ha sido deformado a un paralelepípedo, debido a que el lado supe-rior se mueve a mayor velocidad que el lado inferior.

El lado vertical ha girado un ánguloδθ . Este ángulo girado es una medida dela deformación del cuadrado en el tiempo δt transcurrido, y δθ/δt es la ve-locidad, o tasa, de deformación. Es sencillo demostrar queδθ/δt = d w /d y ,y por lo tanto que d w /d y es también la velocidad de deformación. La de-mostración se apoya en la Figura 2.3 (derecha), que muestra superpuestos elcuadrado y el paralelepípedo, esto es, ignorando la traslación uδt que expe-rimenta el polígono. De la figura se deduce:

δθ

δt≈

1

δt

δe

δy≈

1

δt

d wd y δyδt

δy=

d w

d y, (2.7)

donde, en el primer≈, se ha aproximado el ángulo diferencialδθ por su tan-gente δe /δy .

2.5 Reología

Donde vemos que la relación entre esfuerzo y deformación en un fluido adquierevarias formas, y que la Reología es la disciplina que estudia esta relación

La relación entre esfuerzo y velocidad de deformación no es siempre lineal(en otras palabras, la viscosidad µ no es siempre constante). El estudio de larelación entre esfuerzo y velocidad de deformación es la materia de una ra-ma de la Mecánica de Fluidos llamada reología. Los fluidos se clasifican enReología

función de su comportamiento reológico, es decir, de la curva esfuerzo frente

2.5. Reología 41

Figura 2.3: Deformación de un cuadrado imaginario en un flujo unidireccio-nal. Izquierda: el cuadrado en el flujo; derecha: el cuadrado antes y despuésde δt

Figura 2.4: Reograma: relación entre esfuerzo y velocidad de deformación

a velocidad de deformación. Esta curva, llamada reograma, puede determi- Reograma

narse experimentalmente de una forma relativamente sencilla, imponiendoal fluido un gradiente de velocidades y midiendo el esfuerzo5.

En la Figura 2.4 se muestran curvas de esfuerzo frente a velocidad de defor-mación representativas de varios fluidos tipo. Estos fluidos reciben los si-guientes nombres, en función de su curva:

5Una forma frecuente de hacer esto es llenando el estrecho espacio entre dos cilindrosconcéntricos con el fluido. Se hace girar uno de los cilindros con una velocidad determina-da, y se mide la fuerza que tiende a hacer girar el otro. Este es el principio del viscosímetrode Haake.


Figura 2.5: Tixograma: variación del esfuerzo con el tiempo

n Los fluidos llamados newtonianos tienen una relación constante entre es-fuerzo y velocidad de deformación; sus curvas son por tanto rectas.Además, empiezan a deformarse en cuanto sufren un esfuerzo, por loque la recta pasa por el origen. La pendiente de la recta es justamentela viscosidad, según la Ecuación 2.5.

p Los fluidos pseudoplásticos se caracterizan porque el esfuerzo necesariopara deformarlos no aumenta proporcionalmente con la velocidad dedeformación, sino que aumenta más lentamente; en otras palabras, sediría que estos fluidos “fluyen” proporcionalmente más fácilmente aaltas velocidades de deformación.

d Para los fluidos dilatantes, la situación es la opuesta que para los pseudo-plásticos: el esfuerzo aumenta a medida que aumenta la velocidad dedeformación.

i Los fluidos plásticos ideales exhiben, como los newtonianos, una relaciónlineal entre esfuerzo y velocidad de deformación; pero requieren unesfuerzo finito (no nulo) para empezar a deformarse.

r Finalmente, se denomina fluido plástico real a aquél que, como el ideal,necesita un esfuerzo finito para empezar a deformarse, pero cuya rela-ción esfuerzo-velocidad de deformación no es lineal. La pasta dienteses un ejemplo clásico de fluido plástico.

Otra curva que se utiliza en Reología para caracterizar el fluido es el tixogra-Tixograma

ma. El tixograma es la evolución temporal del esfuerzo en el fluido cuando la

2.5. Reología 43

velocidad de deformación se mantiene constante (Figura 2.5). Según sea es-ta relación, el fluido se denomina tixotrópico cuando el esfuerzo disminuyecon el tiempo, y reopéctico cuando aumenta. En los fluidos más comunes,y en particular en el agua y en el aire, el esfuerzo es constante con el tiempo.

Tema 2

Cinemática

3

Descripción del fluido

¿Cómo se describe un fluido, matemáticamente? ¿Cómo se representa, grá-ficamente, su movimiento bi- o tridimensional?

Para estudiar el movimiento del fluido necesitaremos una metodología paradescribir la variación espacio-temporal de sus propiedades (y, en particular,del campo de velocidades). En la Sección 3.1 se introducirán las dos formasde describir el fluido más comúnmente usadas: la descripción euleriana y ladescripción lagrangiana. Ligada a la descripción lagrangiana, y al conceptode partícula fluida, aparece la noción de derivada sustancial.

En la interpretación (o visualización, si se quiere) del movimiento del flui-do es de gran ayuda la utilización de un conjunto de líneas, o lugares geo-métricos. De forma intuitiva, casi todas las personas, con o sin formaciónen Mecánica de Fluidos, acuden a estas líneas, dibujándolas en un papel otrazándolas en el aire con la mano, cuando intentan describir a terceros elmovimiento de un fluido, por ejemplo, alrededor de un vehículo o una es-tructura. Este capítulo introduce rigurosamente estas líneas (que, se verá,son generalmente de tres tipos).

3.1 Descripción del fluido

Donde presentamos dos formas muy distintas (pero equivalentes) de describirmacroscópicamente un fluido: la euleriana, basada en hacer balances en un pun-

47

48 Descripción del fluido

to fijo en el espacio; y la lagrangiana, basada en hacer balances en una partículanocional que se mueve con el fluido (la partícula fluida).

3.1.1 Descripción EulerianaEn este apartado introduciremos brevemente la descripción euleriana. Lasecuaciones diferenciales eulerianas que gobiernan el flujo fluido serán de-La ecuación es un balance

en un punto ducidas con rigor en el Capítulo 9. Por el momento, bastará anunciar que,para una variable genéricaφ(~x , t ) del fluido1, la ecuación euleriana de con-servación2, tiene la forma genérica:

∂

ρφ

∂ t+∇·

ρ ~vφ

−∇· (Γ∇φ) = Sφ . (3.1)

En esta ecuación, ya sabe (de capítulos anteriores) que ρ es la densidad delfluido. Además, ~v es su velocidad ; Γ es una difusividad genérica, similar a losRecuerde: a partir de ahora,

~v es siempre velocidad delfluido

coeficientes que veíamos en el Capítulo 2; y Sφ es un término fuente tambiéngenérico.

Casi todo en la ecuación anterior puede ser dependiente del espacio y deltiempo: ρ(~x , t ), φ(~x , t ), ~v (~x , t ), Γ (~x , t ), Sφ(~x , t ). Sin embargo, por concisiónen casi todo el curso no ponemos explícitamente la dependencia (~x , t ).

La ecuación, veremos en el Capitulo 9, no es sino un balance de la propiedadLa ecuación es un balance

φ en cada punto del dominio. Los términos representan, sucesivamente, elcambio local en la propiedad, y las causas de ese cambio: el aporte de pro-piedad por convección, el aporte de propiedad por difusión y la generación odestrucción local de propiedad (término fuente). La integración de ecuacio-nes como la Ecuación 3.1 permite conocer el campo deφ en todo el dominiode interés3.

El punto de vista euleriano en el análisis de flujo es similar al que proporcio-Tráfico euleriano

1Por ejemplo, una componente de la velocidad; o la fracción másica de una especie quí-mica; o la entalpía del fluido.

2La ecuación se llama de conservación porque expresa la conservación local de la pro-piedad, como se verá en el Capítulo 9.

3Aunque esta afirmación es estrictamente correcta, es también muy optimista: la inte-gración analítica de estas ecuaciones es imposible en casi todos los casos de interés práctico.(Es posible, sin embargo, integrarlas numéricamente con la suficiente precisión en muchoscasos.)

3.1. Descripción del fluido 49

na una cámara de tráfico que encuadra, por ejemplo, un cruce. La cámararegistra cuántos vehículos llegan al cruce, de qué color, con qué velocidad,etc; pero no dice nada de lo que pasa en el cruce siguiente. Con cámaras encada punto de la ciudad tendríamos sin embargo un conocimiento comple-to del tráfico.

3.1.2 Descripción lagrangianaLa descripción lagrangiana se basa en el concepto de partícula fluida. El Qué es un partícula fluida

concepto, debido a Euler, usa la idea del fluido como un medio continuo:una partícula fluida es un volumen de fluido suficientemente pequeño pa-ra que pueda considerarse geométricamente un punto, pero suficientemen-te grande para que se cumpla la hipótesis del medio continuo. La partículafluida se mueve en cada punto con la velocidad local del fluido, y los valoresdel resto de sus propiedades (por ejemplo, densidad, temperatura, compo-sición) son también las del fluido en ese punto en el que está. El fluido quedaentonces descrito por la agregación de todas estas partículas fluidas.

Si nos fijamos en una de ellas (digamos la partículaP ), entonces se pueden Sea una partículaP

escribir ecuaciones que describan cómo cambian las propiedades de estapartícula fluida a lo largo de su movimiento en el seno del fluido (esto es, alo largo del tiempo).

La propiedad más importante de una partícula fluidaP es, naturalmente, su La posición de la partículaPposición, dada por un vector que la refiere a tres ejes coordenados en cada

tiempo t , ~x (P , t ) = (x1, x2, x3). La ecuación de la posición de la partículaPes, por tanto:

~x = ~F (P , t ) , (3.2)

donde ~F es una cierta función vectorial.

La función ~F debe estar relacionada con la velocidad local del fluido, ~v , pues Ecuación para la posición

ésta es la responsable del cambio de posición deP . De hecho, es la integralde la velocidad: de la definición de velocidad:

d ~x (P , t )d t

= ~v (~x (P , t ), t ) , (3.3)

ecuación que permite calcular, mediante su integración, la posición de lapartícula ~x (P , t ) en cualquier tiempo si se conoce el campo de velocidades~v en cualquier posible posición de la partícula.


El cálculo de la posición de la partícula es, por tanto, sencillo (al menos for-Velo de la 2a Ley de Newton

malmente) si se conoce el campo de velocidades. Éste, a su vez, puede tambiéncalcularse por integración de la segunda ley de Newton, que establece que elcambio local de velocidad es debido a la suma de fuerzas que actúan sobreP . Matemáticamente4:

d ~v (~x , t )d t

=∑

i

~fi (~x , t ) , (3.4)

donde, si se desea, se puede considerar que se ha dividido a izquierda y de-recha por la masa de la partícula fluida. En el lado derecho está el sumatoriode las fuerzas (por unidad de masa) ~fi que actúan sobre la partícula fluida enel punto en el que se encuentra5. Conocido el campo de fuerzas, por tanto,la Ecuación 3.4 se puede integrar para dar la velocidad; y entonces la Ecua-ción 3.3 se puede integrar para conocer la posición de la partícula en todotiempo.

Se pueden escribir ecuaciones lagrangianas como las anteriores también pa-Otras propiedades?

ra el resto de propiedades de la partícula fluida. Por ejemplo, si la tempera-tura T de la partícula es relevante, ésta puede calcularse como:

d T (~x , t )d t

=∑

i

qi (~x , t ) , (3.5)

donde qi (~x , t ) representa la contribución al cambio en la temperatura de losprocesos de transferencia de calor a la partícula fluida (por ejemplo, por con-ducción o radiación) o de generación de calor en ésta (por ejemplo, por reac-ción química).

El punto de vista lagrangiano en el análisis de flujo es similar al que tiene unTráfico lagrangiano

conductor del tráfico en el cual está inmerso. El conductor conoce la veloci-dad del tráfico (su velocidad) en cada momento y en el punto en el que en esemomento se encuentra; pero no conoce el estado actual del tráfico en otrospuntos, a no ser que pase por ellos. Todos los conductores, colectivamente,tienen sin embargo un conocimiento completo del tráfico.

4Abreviaremos en lo que sigue ~v (~x (P , t ), t ) por ~v (~x , t ), etc5La naturaleza de estas fuerzas es el objeto de capítulos posteriores.

3.2. Derivada sustancial 51

3.2 Derivada sustancial

Donde descubrimos que el cambio de una propiedad en una partícula fluida tie-ne dos contribuciones: una debida al cambio temporal, y otra debida al movi-miento del fluido, y lo formalizamos

Llamamos derivada sustancial de una propiedad en un punto al cambio to- Derivada sustancial

tal que experimenta en esa propiedad la partícula fluida que pasa por el pun-to. Puede intuirse que esa derivada ha de reflejar dos causas distintas delcambio: el hecho de que la propiedad puede estar cambiando localmentecon el tiempo, y el hecho de que la partícula se está moviendo en un campoen el que la propiedad puede ser no uniforme. En este apartado se deduciráuna ecuación para la derivada sustancial, en la que veremos que aparecenestas dos componentes.

3.2.1 Ejemplo

Donde vemos que en la partícula fluida las cosas cambian con el tiempo, aunquenada dependa del tiempo

Consideremos un conducto calefactado de sección variable, Figura 3.1, en Conducto con velocidad ytemperatura cambiantesel que nada depende del tiempo (recuerde que llamamos a estos flujos esta-

cionarios), pero en el que la temperatura y la velocidad aumentan a medidaque avanzamos.

Puesto que nada depende del tiempo, se puede concluir que la temperaturano cambia con el tiempo: matemáticamente se diría que ∂ T /∂ t = 0. Sin em-bargo, la partícula fluida sí aumenta su temperatura. Esto sucede porque lapartícula se está moviendo en un campo de temperatura que varía en el es-pacio. En el apartado siguiente generalizaremos y formalizaremos todo esto.

Supongamos que la velocidad del fluido es unidireccional (sólo tiene com-ponente u según el eje x ), y su valor viene dado por la expresión u (x ) =


Figura 3.1: Cambio en la temperatura de la partícula fluida

au x + bu (6. Supongamos, además, que el conducto está calefactado de talmanera que la temperatura del fluido en el mismo es en cada punto funciónsólo de x , dada por T (x ) = aT x + bT .

Para calcular la tasa o velocidad de cambio de la temperatura de la partículaCambio de T con defini-ción de derivada fluida (esto es, la velocidad a la que se calienta o enfría), usaremos simple-

mente la definición de derivada. Si la partícula fluida en el tiempo t está enx , y en t +δt se ha movido a x +δx , la tasa de cambio en la temperatura(llamémosla temporalmente Tpf) es:

Tpf = lımδt→0

δT

δt. (3.6)

Teniendo en cuenta queδT = T (x +δx )−T (x ) yδt =δx/u (x ), sustituyen-do en la ecuación anterior se tiene que:

Tpf = lımδt→0

u (x )δT

δx= u (x ) lım

δt→0

δT

δx= u (x )

d T

d x. (3.7)

O, sustituyendo los valores de los campos u (x ) y T (x ):

Tpf = (au x + bu )aT , (3.8)

que, obviamente, no es nulo.

La ecuación anterior indica que, aunque los campos de temperatura y velo-En resumen

6Ésta expresión no puede ser arbitraria; veremos por qué, y cómo calcularla rigurosa-mente, en el Capítulo 9.

3.2. Derivada sustancial 53

cidad están en estado estacionario (no dependen del tiempo), sin embargola partícula fluida experimenta un cambio de temperatura por moverse enel seno de un fluido en el que la temperatura no es uniforme. La generali-zación de este ejemplo da lugar al concepto de derivada sustancial, que seformaliza en la sección siguiente.

3.2.2 Formalización

Donde deducimos rigurosamente cómo calcular derivadas sustanciales, y vemosqué forma adoptan las dos contribuciones: cambio local y movimiento de la par-tícula

Sea una propiedad φ del fluido, función de la posición ~x = (x1, x2, x3) y el Sea...

tiempo t ,φ =φ(~x , t ). La variación deφ en la partícula fluida en un intervalode tiempo δt , δφ es debida tanto al propio cambio en t como al cambio enla posición de la partícula, que pasa de ~x a ~x +δ~x .

El cambio, por tanto, se puede escribir como: Simple desarrollo en seriesde Taylor

δφ = φ (~x +δ~x , t +δt )−φ (~x , t ) =

=∂ φ

∂ x1δx1+

∂ φ

∂ x2δx2+

∂ φ

∂ x3δx3+

∂ φ

∂ tδt +O

δx 2,δt 2

, (3.9)

donde la segunda igualdad es un desarrollo en series de Taylor.

El desarrollo de la parte espacial puede ponerse, en forma compacta, como Y para esto sirve nabla

el producto escalar δ~x ·∇φ; si además dividimos por δt obtenemos:

δφ

δt=δ~x

δt·∇φ+

∂ φ

∂ t+O (δx ,δt ) , (3.10)

donde se ha tenido en cuenta que, dado que δx = vδt , en los infinitésimosde segundo orden O (δx 2)≈O (δx vδt )≈O (δxδt ).

Tomando límites para calcular la derivada, tenemos: Y ahora tomamos lım

lımδt→0

δφ

δt=

lımδt→0

δ~x

δt

·∇φ+∂ φ

∂ t= ~v ·∇φ+

∂ φ

∂ t(3.11)


La ecuación anterior es la definición de derivada sustancial deφ, y se denotaDerivada sustancial

por Dφ/D t :

Dφ

D t=∂ φ

∂ t+ ~v ·∇φ (3.12)

La Ecuación 3.12 expresa los cambios en la propiedad φ que experimentaSignificado físico

la partícula fluida a medida que se mueve en el campo fluido. Los cambios,según la ecuación, son debidos a dos causas, dadas por los dos términos dellado derecho:

El término ∂ φ/∂ t , denominado derivada local, da cuenta del cambioDerivada local

deφ en la partícula fluida debido a los cambios locales en el punto enel que se encuentra la partícula fluida.

El término ~v · ∇φ, denominado derivada convectiva, da cuenta delDerivada convectiva

cambio de φ en la partícula fluida cuando se mueve ( ~v 6= 0) en unadirección en la que hay cambio deφ (∇φ 6= 0), incluso aunque el flujosea estacionario (∂ /∂ t = 0).

La derivada sustancial también recibe a veces los nombres de derivada totalAlso known as...

o derivada material.

3.3 Líneas características del flujo

Donde deducimos ecuaciones diferenciales para tres líneas que ilustran, o indi-can, o representan, el movimiento de un fluido

Para representar el flujo fluido de forma gráfica, a menudo se recurre al di-bujo de algunas curvas que lo describen. Estas curvas se denominan líneascaracterísticas del flujo, y son7: las líneas de corriente, las trayectorias (osendas) y las trazas.

3.3.1 Líneas de corrienteLa línea de corriente se define como la línea tangente, en cada punto, al vec-Def: tangente localmente a

~v7Hay más.

3.3. Líneas características del flujo 55

Figura 3.2: Líneas de corriente, tangentes en cada punto al vector velocidad

tor velocidad, ~v (~x , t ) en ese punto (Figura 3.2). Las líneas de corriente pro-porcionan por tanto una imagen característicamente euleriana del campofluido.

La ecuación de la línea de corriente viene dada por esta condición de ser Ecuación diferencial

tangencial al vector velocidad. Para el elemento de longitud d ~x de la líneade corriente, se tiene por tanto:

d ~x ∧ ~v = 0 , (3.13)

o bien, de forma equivalente:

d x1

v1 (~x , t )=

d x2

v2 (~x , t )=

d x3

v3 (~x , t ). (3.14)

Integrando las dos ecuaciones diferenciales anteriores resultan las ecuacio- Integrando→ curva

nes algebraicas para la línea de corriente. Como resultado de la integraciónaparecen en las ecuaciones dos constantes, cuyo valor se determina espe-cificando un punto ~x0 por el que pasa la línea de corriente que queremoscalcular.

Como extensión del concepto de la línea de corriente, se define la superfi-cie de corriente como aquélla formada por las líneas de corriente que en Superficie y tubo de co-

rrienteun momento determinado pasan por una curva arbitraria dada (Figura 3.3).Cuando la curva es cerrada, se habla de un tubo de corriente.

El flujo de fluido a través de una superficie de corriente es cero, pues el vector El fluido no cruza la super-ficie de corriente~n normal a la superficie es también normal a una línea de corriente y por

tanto también a la dirección local de la velocidad:

~v (~x , t ) · ~n (~x , t ) = 0 , (3.15)

para todo ~x en la superficie de corriente.


Figura 3.3: Superficie y tubo de corriente

3.3.2 Trayectoria o sendaLa trayectoria (o senda) es la curva descrita por una partícula fluida en suDefinición

movimiento.

Su ecuación es, por tanto, el resultado de integrar la velocidad que en cadaEcuación diferencial

momento tiene:

d ~x

d t= ~v (~x , t ) . (3.16)

De su integración resulta la posición de la partícula en cualquier tiempo t :Integrando→ curva

~x = ~x (~x0, t0, t ) (3.17)

donde ~x0 y t0 resultan de imponer en la Ecuación 3.16 la condición de que lapartícula esté en el punto ~x0 en el tiempo t0 (figura 3.4).

La ecuación (3.17) puede ser interpretada geométricamente como la ecua-Interpretación como ec pa-ramétrica ción, en forma paramétrica, de la curva descrita por la partícula en todo t .

El parámetro es precisamente t , de cuya eliminación resultaría la ecuaciónde la trayectoria libre de parámetros.

Las trayectorias descritas por las partículas fluidas representan, por tanto,Compare Ec 3.16 y Ec 3.3

una descripción eminentemente lagrangiana del fluido.

3.3.3 TrazaLa traza es el lugar geométrico de las posiciones actuales de las partículasDefinición


y

x

x0

t = t0

x (x ,t)0

Figura 3.4: Trayectoria o senda de una partícula que en t = t0 estaba en ~x0

y

xx0

Traza en t

P1

P2

P3 P

4 P5 Pi

Figura 3.5: Traza (línea azul), o posición actual de las partículas P1, P2, etc queen algún tiempo pasaron por ~x0. (En negro, sus trayectorias)

fluidas que, en algún instante, pasaron (o pasarán) por un punto dado delespacio (Figura 3.5).

La traza es generalmente la curva ‘que se ve’ en un fluido. Por ejemplo, si en Lo más visto

un punto de una corriente de agua (por ejemplo, bajo el puente de un río)se liberan de forma continua objetos que floten en el agua y se muevan sindeslizamiento sobre ella8, la curva descrita por los objetos en cada tiempo esla traza. La traza es también la curva que describiría el humo del cigarrillo, oque sale por una chimenea, si siguiera perfectamente al aire circundante (ysi no se difundiera).

8Piense, por ejemplo, en pequeñas pelotas de plástico


La posición actual de una partícula fluida que en un tiempo pasado (digamosTrayectoria da posición...

en t0) estaba en ~x0 está en la ecuación de la trayectoria, que hemos visto enla sección anterior Ecuación 3.17:

~x = ~x (~x0, t0, t ) . (3.18)

La ecuación genérica de la trayectoria contiene por tanto todas las posicio-...y por lo tanto da traza

nes de todas las partículas; para escoger la trayectoria de una partícula con-creta, basta con usar en la ecuación la condición inicial (t0, ~x0) apropiada.Para obtener la traza, sin embargo, tenemos que escoger todas las partículasque pasaron por el punto ~x0 en algún tiempo t0, y tomar su posición en eltiempo t .

Es decir, la ecuación de trayectoria y traza es la misma; la única diferencia esJuego de Cronos

el papel que juegan t y t0:

En la trayectoria, t0 es la condición inicial (esto es, selecciona la partí-cula), y t es un parámetro (variándolo, recorremos la curva). Para ob-tener una curva libre de parámetros, eliminamos t .

En la traza, t es el tiempo actual (el ‘tiempo de la foto’, si quiere), y t0

es el tiempo en que cada partícula de la traza pasó por ~x0; por tanto, t0

es un parámetro, que podemos eliminar para obtener la curva libre deparámetros.

3.3.4 Líneas características en flujos estacionarios

Cuando el flujo es estacionario (∂⊙

/∂ t = 0), las tres líneas características coin-ciden.

Aunque es posible demostrar esto matemáticamente, una justificación in-tuitiva (pero rigurosa) es sencilla.

Puesto que el campo de velocidades no cambia con el tiempo, todas las par-Trayectoria=traza

tículas que pasen por un punto dado siguen la misma trayectoria, sea cualsea el tiempo en el cual pasaron por el punto en cuestión; por tanto, trayec-toria y traza coinciden.

De igual modo, la partícula, que se mueve por el campo de velocidades, sigueTrayectoria=línea decorriente


por tanto localmente la misma dirección que la línea de corriente. Puestoque la línea de corriente no cambia con el tiempo (pues no lo hace el campode velocidades), la partícula sigue en todo punto la línea de corriente, y latrayectoria es igual a la línea de corriente.

Finalmente, puesto que trayectoria y traza coinciden, y también lo hacen Luego traza=línea de co-rrientetrayectoria y línea de corriente, las tres líneas son la misma si el flujo es es-

tacionario.

4

Movimiento en el entorno deun punto

¿Cómo cambia con el tiempo un “segmentito” “dibujado” en un fluido que semueve? ¿Se alarga o se acorta? ¿Gira? Veremos que el secreto está en el campode velocidades; o, más específicamente, en los gradientes de la velocidad.

A diferencia del sólido rígido, el fluido puede tener velocidades muy distin-tas en puntos próximos, velocidades que actúan deformando una geometríaimaginaria (por ejemplo, un segmento o un cuadrado) que consideremos enel fluido.

Además, esta deformación es, como veremos en el Capítulo 5, parcialmenteresponsable de las fuerzas que unas partes del fluido ejercen sobre otras. Portanto, parece pertinente estudiar este movimiento y las deformaciones queintroduce en el fluido.

En la última parte del capítulo se comprobará cómo el campo de velocida-des, y en particular los gradientes de éste, está íntimamente relacionado (co-mo era de esperar) con esta deformación del fluido.

4.1 Movimiento en el entorno de un punto

Donde investigamos la transformación que sufre un “segmento” de fluido, y des-cubrimos que es debida al gradiente de velocidades local

61

62 Movimiento en el entorno de un punto

Q' (x' + r')

Q (x + r)

P (x) P' (x')

r r r'

v (x + r, t) d t

v (x, t) d t

r' - r

Figura 4.1: Movimiento por el campo de velocidades del vector ~r = ~PQ

En este apartado estudiaremos cómo el campo de velocidades de un fluidoLa “deformación” en el en-torno de un punto transforma vector ~r de longitud diferencial que está inmerso (“dibujado”, si

quiere) en el fluido.

Para ello, consideraremos el segmento ~r , Figura 4.1, entre dos puntos delSituación, en t

fluido, P (~x ) y Q (~x + ~r ), que se encuentran muy próximos en un tiempo dadot .

En un tiempo posterior (t +δt ) el campo de velocidades ha movido P (~x ) aSituación, en t +δt

P ′

~x ′

y Q (~x + ~r ) a Q ′

~x ′+ ~r ′

.

El desplazamiento experimentado por P y Q es simplemente el producto dela velocidad en P y en Q respectivamente por el tiempo δt . Por tanto:

~P P ′ = ~x ′− ~x = ~v (~x , t )δt ; (4.1)

~QQ ′ =

~x ′+ ~r ′

− (~x + ~r ) = ~v (~x + ~r , t )δt . (4.2)

(Puesto que las velocidades en P y en Q pueden ser en general distintas,los desplazamientos ~P P ′ y ~QQ ′ no tendrán, en general, ni igual magnitudni igual dirección).

Dado que ~r es pequeño, la velocidad en Q puede ponerse en función de laDesarrollo en series de Tay-lor para ~v en Q

4.1. Movimiento en el entorno de un punto 63

velocidad en P mediante un desarrollo en series de Taylor como:

~v (~x + ~r , t ) = ~v (~x , t )+ ~δv (~x , t ) = ~v (~x , t )+ (~r ·∇) ~v (~x , t )+O

r 2

. (4.3)

Por tanto, el desplazamiento ~QQ ′ puede escribirse como:

~QQ ′ =

~x ′+ ~r ′

− (~x + ~r ) == [ ~v (~x , t ) + (~r ·∇) ~v (~x , t )]δt +O

r 2

δt . (4.4)

Restando ~P P ′ (Ecuación 4.1) de ~QQ ′ (Ecuación 4.4), se tiene: Cambio en ~r

~r ′− ~r =δ ~vδt = (~r ·∇) ~vδt , (4.5)

donde la dependencia espacial y temporal de ~v han sido omitidas por sen-cillez.

La Ecuación 4.5 indica el cambio, adicional a la traslación ~v (~x , t )δt , que ex-perimenta el segmento ~r debido a la variación del campo de velocidadesentre P y Q .

La velocidad a la que esta variación adicional se produce puede calcularse Velocidad de cambio

dividiendo la Ecuación 4.5 por δt :

~r ′− ~rδt

=δ ~v (~x , t ) = (~r ·∇) ~v (~x , t ) . (4.6)

La Ecuación 4.6 puede ponerse en notación tensorial como: En notación tensorial

δv j = ri

∂ v j

∂ xi, (4.7)

donde la dependencia (~x , t ) ha sido de nuevo omitida por sencillez.

El tensor Tensor gradiente de veloci-dad

∇ ~v =∂ v j

∂ xi(4.8)

recibe el nombre de tensor gradiente de velocidad1.

Como todo tensor, éste puede descomponerse en la suma de un tensor si- Descomposición simétri-co+antisimétrico

1Distinga el tensor gradiente de velocidad ∇ ~v = ∂ v j

∂ xide la divergencia del campo de ve-

locidades, que es el escalar∇· ~v = ∂ vi∂ xi


métrico y otro antisimétrico:

∂ v j

∂ xi=

1

2

∂ v j

∂ xi+∂ vi

∂ x j

︸︷︷︸

ei j

+1

2

∂ v j

∂ xi−∂ vi

∂ x j

︸︷︷︸

ξi j

. (4.9)

Los dos sumandos del segundo miembro son, respectivamente, el tensor ve-Dos tensores importantes

locidad de deformación

ei j

y el tensor velocidad de rotación

ξi j

.

En función de estos vectores, la velocidad de cambio de la Ecuación 4.6 pue-de ponerse como:

~r ′− ~rδt

=δ ~v = ri ei j + riξi j = ~r · ~~e + ~r · ~~ξ . (4.10)

Los tensores velocidad de deformación y velocidad de rotación se analizana continuación.

4.2 El tensor velocidad de rotaciónEl tensor velocidad de rotación es, en notación tensorial:~~ξ: definición

ξi j =1

2

∂ v j

∂ xi−∂ vi

∂ x j

; (4.11)

es decir:

~~ξ=1

2

0 ∂ v2∂ x1− ∂ v1∂ x2

∂ v3∂ x1− ∂ v1∂ x3

∂ v1∂ x2− ∂ v2∂ x1

0 ∂ v3∂ x2− ∂ v2∂ x3

∂ v1∂ x3− ∂ v3∂ x1

∂ v2∂ x3− ∂ v3∂ x2

0

. (4.12)

Dado que es antisimétrico, el tensor ~~ξ puede también escribirse como:

~~ξ=1

2

0 ω3 −ω2

−ω3 0 ω1

ω2 −ω1 0

. (4.13)

Como a todo tensor antisimétrico, a ~~ξ puede asociarse un vector 12 ~ω =

12 (ω1,ω2,ω3), tal que:

~r · ~~ξ=1

2~ω∧ ~r . (4.14)

4.2. El tensor velocidad de rotación 65

Figura 4.2: Interpretación física de la vorticidad mediante el teorema de Sto-kes

Esto significa que ~r · ~~ξ puede reinterpretarse como una rotación de ~r con Interpretación

velocidad angular 12 ~ω.

Se comprueba muy fácilmente que ~ω es el rotacional de la velocidad, ~ω = ~~ξ y vorticidad

∇∧ ~v . El vector ~ω recibe el nombre de vorticidad. En la sección siguientedescubrimos su significado físico.

4.2.1 VorticidadEl rotacional de la velocidad, o vorticidad ~ω =∇∧ ~v , es indicativo de la ro- Def y significado

tación local del fluido; es, en concreto, dos veces la velocidad angular local“media”.

Para deducir esta interpretación, consideremos un disco de radio infinite- Por qué? Tma Stokes

simal inmerso en un fluido (Figura 4.2). El teorema de Stokes, aplicado alcampo de velocidades ~v en el disco, establece:

∮

C

~v ·d ~l =∫

S

(∇∧ ~v ) · ~nd S =

∫

S

~ω · ~nd S =

∫

S

ωn d S , (4.15)

donde C es la circunferencia que rodea el disco, ~v es el vector velocidad encada punto, d ~l es el vector diferencial de longitud de la curva (y es por tantotangente a la misma), S la superficie del disco (círculo), y ~n su vector normal.En la segunda igualdad se ha aplicado la definición de vorticidad, y en latercera se ha introducidoωn , la proyección (o componente) de la vorticidad~ω en la dirección de la normal.

Podemos re-escribir la primera integral introduciendo Vt , la velocidad tan- Con velocidad tangencialmediagencial media sobre la circunferencia, como

∮

C

~v ·d ~l = 2πr Vt , (4.16)


siendo r el radio (infinitesimal) del disco; y, dado que el disco es infinitesi-mal, podemos aproximar la última integral de superficie como

∫

S

ωn d S =ωnπr 2 , (4.17)

siendo ωn ahora el valor de la componente normal de la vorticidad en elcentro del disco.

Igualando:

2πr Vt ∼=ωnπr 2 =⇒ωn =ωn ∼ 2Vt

r, (4.18)

y por tanto la vorticidad tiene el sentido físico de (el doble de) la velocidadSignificado: velocidad an-gular media local angular (media) local del fluido. Un flujo en el que se cumple ∇∧ ~v = 0 se

denomina irrotacional. Los flujos irrotacionales, aunque infrecuentes (o casiinexistentes) en la realidad, tienen un papel muy importante en Mecánica deFluidos (más detalles en el Capítulo 9).

4.3 El tensor velocidad de deformaciónEl tensor velocidad de deformación es:Definición

ei j =1

2

∂ v j

∂ xi+∂ vi

∂ x j

, (4.19)

o, en forma de tensor (y reordenando los sumandos dentro de cada compo-nente para mostrar la simetría):

~~e =1

2

2 ∂ v1∂ x1

∂ v1∂ x2+ ∂ v2∂ x1

∂ v1∂ x3+ ∂ v3∂ x1

∂ v1∂ x2+ ∂ v2∂ x1

2 ∂ v2∂ x2

∂ v3∂ x2+ ∂ v2∂ x3

∂ v1∂ x3+ ∂ v3∂ x1

∂ v3∂ x2+ ∂ v2∂ x3

2 ∂ v3∂ x3

. (4.20)

El producto de ~r por ~~e es la velocidad de deformación:

~δvd = ~r · ~~e (4.21)

El movimiento de deformación, al contrario que el de rotación, es irrotacio-El movimiento de deforma-ción es irrotacional

4.4. Interpretación física de las componentes de los tensores 67

nal (esto es, no imparte ninguna rotación como sólido rígido). La demostra-ción (,) es sencilla si se tiene en cuenta que la velocidad de deformación,δ ~vd = ~r · ~~e , puede ponerse como el gradiente de una cierta funciónφ:

δ ~vd =∇φ , (4.22)

con

φ =1

2xk xl ek l . (4.23)

Entonces:

∇∧ ~δvd =∇∧∇φ ≡ 0 , (4.24)

por ser el rotacional de un gradiente.

4.4 Interpretación física de las componentes delos tensores

Donde vemos que, siendo combinaciones de gradientes de velocidad, los tenso-res tienen interesante información sobre como es el movimiento del fluido en elpunto

Para interpretar el significado físico de las componentes de los tensores ve- Deformación de un triedro

locidad de rotación y velocidad de deformación se utilizará el triedro de laFigura 4.3, en el que se han marcado tres segmentos de longitud unitaria encada eje (segmentos O A, O B , O C ).

Si el triedro está inmerso en el campo de velocidades de un fluido, de acuer- Ignoramos traslación...

do con lo expuesto en la Sección 4.1, los segmentos se trasladarán parale-lamente una distancia ~vδt (donde ~v es la velocidad en O y δt el intervalotemporal que se considere), y además sufrirán un cambio adicional por la ...y nos fijamos en cambio

adicionaldiferencia de velocidades entre O y los puntos vecinos A, B y C . Ignorandoel movimiento de traslación (por ser innecesario para el presente análisis),sean A′, B ′ y C ′ las nuevas posiciones de A, B y C al cabo de δt , debidas alcambio adicional mencionado.

Las nuevas posiciones de A, B y C pueden calcularse utilizando la Ecuación Deformación de cada seg-mento trivial tras Sec 4.1


4.5, en la que ~r sería sucesivamente O A, O B y O C y ~r ′ respectivamente ~O A′,~O B ′ y ~O C ′.

Así, el cambio en la componente j de ~O A, (O A) j , viene dado por:

~O A′

j−

~O A

j=

~O A

i

∂ v j

∂ xiδt . (4.25)

Puesto que ~O A = (1, 0, 0), el cambio resulta ser, en cada dirección, el siguien-te:

En dirección 1:

~O A′

1−

~O A

1=

1∂ v1

∂ x1+0∂ v1

∂ x2+0∂ v1

∂ x3

δt =∂ v1

∂ x1δt . (4.26)

En dirección 2:

~O A′

2−

~O A

2=

1∂ v2

∂ x1+0∂ v2

∂ x2+0∂ v2

∂ x3

δt =∂ v2

∂ x1δt . (4.27)

En dirección 3:

~O A′

3−

~O A

3=

1∂ v3

∂ x1+0∂ v3

∂ x2+0∂ v3

∂ x3

δt =∂ v3

∂ x1δt . (4.28)

El análisis es análogo para ~O B y ~O C , y las magnitudes resultantes han sidodibujadas en el esquema de la Figura 4.3.

4.4.1 Interpretación de ei i

La velocidad de dilatación unitaria (por unidad de longitud) a lo largo delei i velocidad de dilataciónunitaria a lo largo del eje i eje 1 resulta de dividir la Ecuación 4.26 por δt :

~O A′

1−

~O A

1

δt=∂ v1

∂ x1, (4.29)

que es la componente e11 del tensor velocidad de deformación.

Puesto que un resultado análogo se obtendría para los ejes 2 (e22) y 3 (e33), sepuede concluir que ei i es la velocidad de dilatación unitaria (por unidad delongitud) a lo largo del eje i .

4.4. Interpretación física de las componentes de los tensores 69

2

1

3

2

A

C

B

A'

B'

C'

1

1

1

∂v3∂ 1x

δt∂v2∂ 1x

δt

∂v1∂ 1x

δt∂v3∂ 2x

δt

∂v1∂ 2x

δt

∂v2∂ 2x

δtO

Figura 4.3: Deformación por el campo de velocidades de un triedro

4.4.2 Interpretación de ξi j

La Figura 4.4 indica cómo giran alrededor del eje 3 (o en el plano 1-2) los ejes1 y 2. El ángulo δα1 girado por el eje 1, puede ponerse para pequeños giros Cuánto gira el eje 1

como la tangente:

δα1 ≈∂ v2∂ x1δt

1+ ∂ v1∂ x1δt≈∂ v2

∂ x1δt . (4.30)

Análogamente, para el giro del eje 2: Cuánto gira el eje 2

δα2 ≈∂ v1

∂ x2δt . (4.31)

Por tanto, la velocidad de rotación media en dirección 3 es (escogiendo co- Rotación media


2

A

BA'

B'

1

1x∂v2∂

δtδα

δα

2x∂v1∂

dt

1

2

O

Figura 4.4: Giro en el plano 1-2

mo positivo el giro a izquierdas):

δα1+(−δα2)2

δt=

1

2

∂ v2

∂ x1−∂ v1

∂ x2

= ξ12 =1

2ω3 . (4.32)

Por lo tanto, la componenteξi j del tensor ~~ξ es la velocidad de rotación mediaξi j es velocidad de rota-ción media en el eje k (k 6= i , k 6= j ).

4.4.3 Interpretación de ei j

La velocidad de deformación angular media se calcula a partir del giro me-dio de los ejes 1 y 2:

δα1+δα22

δt=

1

2

∂ v2

∂ x1+∂ v1

∂ x2

= e12 . (4.33)

Por tanto, la componente ei j del tensor ~~e es la velocidad de deformaciónei j es velocidad de defor-mación angular media angular media en el eje k (k 6= i , k 6= j ).

4.4.4 Interpretación de la traza de ~~eRefiriéndonos de nuevo al cubo de la Figura 4.3 formado por las aristas O A,Volumen del cubo

4.5. Recapitulación 71

O B y O C y las paralelas a ellas por sus extremos se transforma al cabo deδt en el paralelepípedo dado por O A′, O B ′ y O C ′. El volumen antes dela deformación es, trivialmente, V (t ) = 1. Y el volumen del paralelepípe-do después de la deformación, V (t +δt ) viene dado por el producto mixto~O A′ ·

~O B ′ ∧ ~O C ′

, cuyo valor es:

V (t +δt ) = ~O A′ ·

~O B ′ ∧ ~O C ′

=

=

1+ ∂ v1∂ x1δt δv2

∂ x1δt ∂ v3

∂ x1δt

∂ v1∂ x2δt 1+ ∂ v2

∂ x2δt ∂ v3

∂ x2δt

∂ v1∂ x3δt ∂ v2

∂ x3δt 1+ ∂ v3

∂ x3δt

=

= 1+

∂ v1

∂ x1+∂ v2

∂ x2+∂ v3

∂ x3

δt +0

δt 2

≈

≈ 1+∂ vi

∂ xiδt . (4.34)

Por tanto, la velocidad de incremento de volumen V para este paralelepípe- Tasa de incremento del vo-lumendo unitario es:

V (t+δt )

1+∂ vi

∂ xiδt −

V (t )

1

δt=∂ vi

∂ xi=∇· ~v . (4.35)

En consecuencia, la traza del tensor ~~e , ei i =∂ vi∂ xi

que es también la divergencia Traza de ~~e es velocidad dedilatación volumétricadel campo de velocidades, es la velocidad de dilatación volumétrica por uni-

dad de volumen. Cuando el fluido no se dilata ni contrae (es decir, cuandosu densidad ρ es constante, entonces:

∇· ~v = 0 . (4.36)

4.5 RecapitulaciónComo consecuencia de lo que se ha visto en las secciones anteriores, se pue-de resumir que la velocidad en el entorno del punto ~x , ~v (~x+~r , t ), puede des-componerse en una velocidad de traslación, ~v (~x , t ), una velocidad de defor-

mación (angular y lineal), ~r · ~~e , y en una velocidad de rotación, ~r · ~~ξ:

~v (~x + ~r , t ) = ~v (~x , t ) + ~r · ~~e + ~r · ~~ξ . (4.37)

Tema 3

Fuerzas y fluidostática

5

Fuerzas en un fluido

Entre las principales aplicaciones prácticas de la Mecánica de Fluidos está elconocimiento, y modificación, de las fuerzas que actúan entre el fluido y loscuerpos que están inmersos en él. Debido a estas fuerzas, por ejemplo:

se impulsan los barcos de vela;

flotan los objetos sumergidos;

aumenta el consumo de coches y otros vehículos debido a la resisten-cia aerodinámica;

se desvían balones y pelotas en golpes “con efecto” (el liftado o cortadoen tenis);

vuelan (se sustentan) los aviones;

se bombean los fluidos, por ejemplo para llegar a los pisos altos;

se genera electricidad en aerogeneradores, turbinas hidráulicas y tur-binas de vapor;

su corazón mueve la sangre en su sistema circulatorio.

Para analizar las fuerzas que actúan en un fluido, previamente definiremoslas fuerzas de superficie y de volumen (o másicas) y estableceremos que elestado de fuerzas en cualquier punto del fluido queda determinado por untensor de segundo orden denominado tensor de esfuerzos.

75

76 Fuerzas en un fluido

S

fm

V

fs

n

dS

Figura 5.1: Volumen de fluido

5.1 Fuerzas de superficieSea un volumen V de fluido (en reposo o en movimiento) limitado, en uninstante dado, por una superficie S (Figura 5.1). Si el volumen V estaba ini-cialmente rodeado de más fluido y se aísla de éste, para que permanezca enequilibrio es necesario restituir el efecto del resto del fluido sobre los límitesde V por un sistema de fuerzas que actúen sobre la superficie que lo limita.(Estas fuerzas tienen su origen en el intercambio de cantidad de movimien-to por el movimiento browniano de las moléculas a un lado y a otro de lasuperficie S .)

Así, si la fuerza que actúa sobre un elemento diferencial de superficie d Sen (~x , t ), caracterizado por una normal ~n es d ~Fs , la fuerza de superficie seFuerza de superficie

define como ~fs tal que

d ~Fs = ~fs d S . (5.1)

Si quisiera calcular la fuerza total que ejerce el resto del fluido a través de S ,sólo tendría que integrar:

~Fs =

∫

S

~fs d S . (5.2)

Note que, por la Tercera Ley de Newton, la fuerza que “el resto” del fluidoejerce sobre el fluido encerrado por S es igual (salvo en el signo) a la que elfluido encerrado por S ejerce sobre “el resto”.

Note igualmente que, para todo lo anterior, no es necesario que “al otro lado”de S haya un fluido: el volumen V , o “el resto”, pueden ser un sólido.

5.2. Fuerzas de volumen 77

La fuerza de superficie, o fuerza por unidad de superficie, ~fs también se de-nomina esfuerzo. Esfuerzo

5.2 Fuerzas de volumenAnálogamente a lo dispuesto en el apartado anterior para las fuerzas de su-perficie, si consideramos un elemento d V sobre el que actúa una fuerza d ~Fv ,se define la fuerza de volumen ~fv como: Fuerza de volumen

d ~Fv = ~fv d V , (5.3)

o equivalentemente la fuerza másica (por unidad de masa) ~fm como: Fuerza másica

ρ ~fm = ~fv , (5.4)

donde ρ es la densidad del fluido. Note que las fuerzas másicas tienen di-mensiones de aceleración (y, por tanto, podemos llamarlas aceleraciones siqueremos).

La fuerza total ejercida sobre el fluido encerrado en V por las fuerzas volu-métricas o másicas es, entonces:

~Fv =

∫

V

~fv d V =

∫

V

ρ ~fm d V . (5.5)

5.3 Fuerzas másicas más comunes

Las fuerzas másicas más comunes en Mecánica de Fluidos son la gravitatoria ylas debidas a sistemas de referencia no inerciales. Algunas de ellas derivan de unpotencial (son conservativas); otras no.

Las fuerzas másicas ~fm que más comúnmente actúan sobre un fluido son:

La debida al campo gravitatorio ~fm = ~g (= −g ~k , si la gravedad actúa Fuerzas másicas gravitato-riaspor ejemplo en el sentido negativo del eje z ).

Las llamadas fuerzas másicas inerciales1, cuando el sistema de refe- Fuerzas másicas inerciales


Figura 5.2: Sistema no inercial

rencia es no inercial. En el caso más general, en el que el sistema con-siderado tiene aceleración lineal y está rotando con respecto a un sis-tema inercial2 (Figura 5.2), la fuerza másica correspondiente es:

~fm =− ~a0−d ~Ω

d t∧ ~x − ~Ω∧

~Ω∧ ~x

−2~Ω∧ ~v , (5.6)

donde ~a0 es la aceleración3 lineal del sistema, y ~Ω es su velocidad an-gular (en general dependiente del tiempo). El penúltimo término de laecuación anterior es la aceleración centrífuga, y el último la de Corio-lis.

En Mecánica, se dice que fuerzas derivan de un potencial (o son conserva-Fuerzas másicas conserva-tivas tivas) cuando se pueden poner como el gradiente de una cierta función U

(que es el potencial):

~fm =−∇U . (5.7)

El signo menos es simplemente una convención.

De las fuerzas másicas anteriores, las debidas a la gravedad, a la aceleraciónlineal y a la fuerza centrífuga derivan de un potencial.

La fuerza másica gravitatoria, digamos ~g = −g ~k , deriva del potencial U =− ~g · ~x = g z , ya que, con ~g = (0, 0,−g ):

~fm =−∇U =−∇(− ~g · ~x ) =−∇(g z ) =−g ~k . (5.8)1Repase si lo necesita en un buen libro de Física o Mecánica2Si el sistema se mueve con velocidad constante con respecto a otro inercial, entonces

es también inercial y no hay fuerzas másicas adicionales.3Note el uso indistinto de los términos “aceleración” y “fuerza” en la expresión anterior;

recuerde que la “fuerza” en cuestión es por unidad de masa, esto es, aceleración.

5.4. El tensor de esfuerzos, y el esfuerzo 79

La aceleración lineal ~a0 deriva de U = − ~a0 · ~x (la comprobación es similar ala de la fuerza másica gravitatoria), y la fuerza centrífuga deriva de:

−~Ω∧

~Ω∧ ~x

=−∇

−Ω2d 2

2

, (5.9)

donde d es la distancia del punto considerado ~x al eje de giro del sistema(Figura 5.2)4.

5.4 El tensor de esfuerzos, y el esfuerzo

Donde enunciamos, sin demostrarlo por ahora, un importante resultado: paracalcular el esfuerzo que actúa en un punto del fluido sobre cualquier superficieque pase por el punto basta con conocer el tensor de esfuerzos (un tensor 3×3) enel punto.

El esfuerzo, o fuerza por unidad de superficie que actúa en un punto de un El tensor de esfuerzos

fluido sobre un plano, queda determinado5 por un tensor de orden dos, eltensor de esfuerzos ~~τ.

Dado el tensor en el punto, y dada la normal ~n a cualquier plano sobre el que El esfuerzo

se desea calcular el esfuerzo en el punto, el esfuerzo viene dado por:

~fs = ~~τ · ~n . (5.10)

Es interesante notar que la ecuación anterior es válida para cualquier plano ∀ ~n !!!

(caracterizado por su normal ~n) que pase por el punto. Basta, por tanto, conconocer el tensor en el punto para conocer cualquiera de los (infinitos) es-fuerzos.

Se puede demostrar que el tensor de esfuerzos6 es simétrico; por tanto, se ~~τ es simétrico

puede escribir, en notación vectorial, como:

~~τ=

τ11 τ12 τ13

τ12 τ22 τ23

τ13 τ23 τ33

. (5.11)

4,La demostración de la ecuación anterior es sencilla si tiene en cuenta que −~Ω ∧

~Ω∧ ~x

=Ω2d ~ed , siendo ~ed el vector unitario en la dirección de d (Figura 5.2), y que∇d = ~ed .5La demostración está en la Sección 5.76La demostración está en la Sección 5.7


fstfsn

fs

n

Figura 5.3: El esfuerzo en un punto no tiene por qué estar alineado con lanormal

En notación tensorial, el tensor de esfuerzos se escribe simplemente comoτi j .

Dado que el tensor es simétrico, es igual pre-multiplicar que post-multiplicar por un vector:

~n · ~~τ= ~~τ · ~n , (5.12)

o bien, en notación tensorial (y usando el convenio de Einstein):

niτi j =τi j n j . (5.13)

El esfuerzo ~fs no es paralelo a ~n ~fs = ~~τ · ~n = ~n · ~~τ sobre una superficie S dada~fs no es necesariamenteparalelo a ~n por una normal ~n no tiene por qué estar alineado con ~n (es decir, no tiene

por qué ser normal a la superficie, ver Figura 5.3); en general, este esfuerzotendrá una componente normal a la superficie, y otra tangencial (o cortante).

La componente normal fs n del esfuerzo puede obtenerse proyectando el es-Cálculo de componentenormal fuerzo en dirección ~n :

fs n =

~n · ~~τ

· ~n = ~n · ~~τ · ~n . (5.14)

O bien, como vector7:

~fs n = fs n ~n =

~n · ~~τ · ~n

~n . (5.15)7Note el exquisito uso del símbolo de producto escalar ·; no, no están sembrados al azar.

5.5. ¿Cómo se calcula el tensor de esfuerzos? 81

La componente tangencial8 del esfuerzo puede calcularse por diferencia: Cálculo de componentetangencial

~fs t = ~fs − ~fs n = ~n · ~~τ−

~n · ~~τ · ~n

~n . (5.16)

5.5 ¿Cómo se calcula el tensor de esfuerzos?

Donde decimos, sin demostrarlo, cómo se calculan las componentes de ~~τ.

En general, cuando el fluido está en movimiento, el tensor de esfuerzos tie- Presión y esfuerzo viscoso

ne una parte esférica9 que llamamos presión, p , y otra parte que llamamos

tensor de esfuerzos viscosos, ~~τ′.

En notación vectorial: Notación vectorial...

~~τ=−p ~~I + ~~τ′ , (5.17)

donde ~~I es el tensor identidad10.

En notación tensorial, el tensor ~~τ se escribe: ...o notación tensorial

τi j =−pδi j +τ′i j , (5.18)

donde δi j es la llamada delta de Kronecker (δi j = 1 si i = j ; δi j = 0 si i 6= j ).

Note que, dado que la presión p sólo está en la diagonal del tensor, sólo con- p sólo da esfuerzo normal

tribuye a la componente normal del esfuerzo11.

El tensor ~~τ′ es el tensor de esfuerzos viscosos, relacionado con el transporte Tensor de esfuerzos visco-sosmolecular de cantidad de movimiento (vea Sección 2.4). Para fluidos newto-

nianos, viene dado por la Ley de Navier-Poisson:

τ′i j =µ

∂ v j

∂ xi+∂ vi

∂ x j

+

µV −2

3µ

(∇· ~v )δi j . (5.19)

8Esto es, paralela al plano.9Un tensor esférico es uno que en el que las únicas componentes no nulas son las de la

diagonal, y son idénticas.10Unos en la diagonal, y ceros fuera.11Compruébelo si quiere; haga ~~τ· ~n y vea que p acaba multiplicando a ~n ; es trivial a partir

de la Ecuación 5.17.


Aquí, µ es la viscosidad dinámica, y µV es el segundo coeficiente de visco-sidad, o viscosidad volumétrica.

El primer paréntesis del segundo miembro, es, por cierto, (dos veces) la ve-Repase Sec 4.3

locidad de deformación ei j :

ei j =1

2

∂ v j

∂ xi+∂ vi

∂ x j

. (5.20)

El coeficiente µV es generalmente mucho menor que µ, y es nulo para gasesmonoatómicos. Además,µV tampoco influye en flujos de densidad constan-te, porque veremos en el Capítulo 9 que para estos flujos∇· ~v = 0.

Para densidad constante, el tensor es por tanto:

~~τ′ =µ

2 ∂ v1∂ x1

∂ v1∂ x2+ ∂ v2∂ x1

∂ v1∂ x3+ ∂ v3∂ x1

∂ v1∂ x2+ ∂ v2∂ x1

2 ∂ v2∂ x2

∂ v2∂ x3+ ∂ v3∂ x2

∂ v1∂ x3+ ∂ v3∂ x1

∂ v2∂ x3+ ∂ v3∂ x2

2 ∂ v3∂ x3

(5.21)

Note que, para poder calcular el tensor de esfuerzos, necesita conocer tantoAixó no es tot

el campo de presiones (para introducirlo en la Ecuación 5.17 como el de ve-locidades (para poder derivarlo e introducirlo en la Ecuación 5.19). Todavíano sabemos como calcular ninguno de ellos; y de hecho, salvo para un fluidoen reposo, no es trivial, como veremos en el Capítulo 9.

5.6 Cómo se calcula la fuerza

Donde resumimos todo lo anterior en los pasos necesarios, en la práctica, paracalcular la fuerza sobre una superficie.

La fuerza que el fluido ejerce sobre una superficie S (12 viene dada por:

~Fs =

∫

S

d ~Fs =

∫

S

~fs d S . (5.22)

Por tanto, para calcularla es necesario seguir los siguientes pasos:

5.6. Cómo se calcula la fuerza 83

1. Conociendo el campo de velocidades, calcule sus gradientes ∂ vi/∂ x j Gradientes de velocidad

etc. La Figura 5.4 ilustra, mediante las líneas de corriente, el campo develocidades alrededor de una válvula situada en un conducto de gasde una cocina doméstica.

2. Con estos gradientes, calcule el tensor de esfuerzos viscosos ~~τ′:

τ′i j =µ

∂ v j

∂ xi+∂ vi

∂ x j

+

µV −2

3µ

(∇· ~v )δi j . (5.23)

3. Conociendo el campo de presiones, calcule el tensor de esfuerzos ~~τ= p y tensor de esfuerzos

−p ~~I + ~~τ′. Puesto que los gradientes de velocidad y la presión puedenser función del espacio y del tiempo, también lo será el tensor de es-fuerzos, en general. La Figura 5.5 muestra el módulo del esfuerzo enla superficie de una válvula situada en el conducto. (Note que, dadoque el esfuerzo es un vector, optamos por mostrar en este problematridimensional sólo el módulo sobre la superficie de la válvula.)

4. Calcule la normal ~n en cada punto de la superficie S sobre la que desee Normal ~n

calcular la fuerza. Note que esta normal puede variar con la posiciónsobre la superficie, si ésta no es plana.

5. Integre para calcular la fuerza: Integrar

~Fs =

∫

S

d ~Fs =

∫

S

~fs d S =

∫

S

~~τ · ~nd S . (5.24)

La Figura 5.6 muestra las tres componentes de la fuerza resultante, ycontribución a la fuerza total de la presión y de los esfuerzos visco-sos. Note que ambas contribuciones pueden ser muy distintas, inclusoen órdenes de magnitud. El papel de ambas contribuciones se estudiamás detenidamente en el Capítulo 18, Aerodinámica.

La superficie S para el cálculo de una fuerza no tiene por qué ser una superfi- S es real o virtual

cie sólida; puede ser cualquier superficie (puramente geométrica) en el senodel fluido. (En la mayor parte de las aplicaciones de interés tecnológico es,sin embargo, una superficie sólida.)

Dado que cualquier superficie tiene dos normales, puede dudar en qué nor- Qué normal ~n tomo?

12O viceversa, por la Tercera Ley de Newton.


Figura 5.4: Flujo en un conducto de gas de una cocina doméstica. Campo develocidades mostrado mediante líneas de corriente coloreadas con el módu-lo de la velocidad

mal tomar para calcular la fuerza (Ecuación 5.24). La respuesta está en ladeducción del tensor de esfuerzos, Sección 5.7: tome la normal a la superfi-cie que “apunta” hacia el fluido que causa la fuerza. La única diferencia entretomar una u otra normal es el sentido de la fuerza (como, por otra parte, eslógico por el llamado Principio de Acción y Reacción).

5.7 Deducción: el tensor de esfuerzos

Donde demostramos que las seis componentes del tensor de esfuerzos en un puntodan los infinitos posibles esfuerzos en ese punto.

En este apartado demostraremos que

~fs = ~~τ · ~n , ∀ ~n . (5.25)

Es decir, el tensor de esfuerzos en un punto del fluido (que tiene seis compo-nentes distintas, dado que es un tensor 3×3 pero es simétrico) proporciona,

5.7. Deducción: el tensor de esfuerzos 85

Figura 5.5: Módulo del esfuerzo en la superficie de una válvula situada en elconducto; contribución del la presión y del tensor de esfuerzos viscosos

Figura 5.6: Componentes de la fuerza resultante, y parte de la fuerza debidaa la presión y a los esfuerzos viscosos


B

C2

1

3

D

P 2

ττ

τ

τ

τ

ττ

τ

τ τ11

12

13

2122

2331

3233

n

f

f

s

n

Figura 5.7: Fuerzas sobre un tetraedro diferencial de fluido aislado de su en-torno

mediante la ecuación anterior, el esfuerzo sobre cualquier superficie que pa-se por el punto, esté como esté orientada (es decir, sea cual sea la normal ~n).

Para ello, consideraremos en el seno del fluido el tetraedro infinitesimal deEl tetraedro mágico

la Figura 5.7, compuesto por un triángulo B C D P y los tres triángulos for-mados por cada uno de los tres lados de B C D y el punto P , P B C , P B D yP C D . Demostraremos que el esfuerzo sobre el plano B D C es conocido siconocemos tres esfuerzos sobre cada uno de los tres otros planos, sea cualsea la orientación de B C D 13. Nótese que el plano B C D no pasa por P , pero,puesto que los esfuerzos varían de forma continua en el fluido y el tetrae-dro es infinitesimal, admitiremos que el esfuerzo sobre B C D es idéntico alesfuerzo sobre el plano paralelo al B C D que pasa por P , salvo infinitésimos.

Si aislamos el tetraedro P B C D del resto del fluido, hay que sustituir la acciónLo aislamos

del resto del fluido por las fuerzas que causan sobre las caras del tetraedro.Estas fuerzas las expresaremos como el esfuerzo por el área de que en cada

13Esto parece no ofrecer ninguna ventaja, pues para conocer el esfuerzo que buscamossobre B C D habría que conocer tres sobre otras tres superficies; pero afirmamos que co-nociendo esos tres conoceríamos cualquier esfuerzo sobre el plano B C D , sea cual sea laorientación de éste entre las infinitas posibles.


caso se trate.

Así, sobre B C D , el esfuerzo es ~fs , que justamente es el esfuerzo que se deseacalcular.

Sobre los planos P B C , P C D , P B D , descomponemos los esfuerzos en tres Esfuerzos sobre los planoscoordenadoscomponentes dirigidas según los tres ejes coordenados. Estos esfuerzos se-

rán denominadosτi j , y el criterio para el uso de subíndices será el siguiente:el primer subíndice, i , indica el plano al que se refiere el esfuerzo; y el segun-do subíndice, j , se refiere al eje al cual el esfuerzo es paralelo. Los esfuerzosτi i son, con esta nomenclatura, perpendiculares a la cara, y reciben el nom-bre de esfuerzos normales. Los esfuerzos τi j (i 6= j ) son paralelos a las caras,y se denominan esfuerzos cortantes.

Además, se utilizará el siguiente convenio de signos: los esfuerzos normales Convenio de signos

en cada punto τi i serán positivos cuando sean de tracción (esto es, haciafuera del fragmento fluido que se ha aislado), y negativos cuando sean decompresión; y un esfuerzo cortante en ese punto,τi j , se considerará positivocuanto tenga, con respecto a su eje j , el mismo sentido que que el esfuerzonormal positivo en ese punto, τi i , tiene con respecto a su eje i . Por ejemplo,τ23 en la Figura 5.7 es positivo en sentido que tiene en la figura, el sentidocontrario a su eje (3), porque el esfuerzo normal en el mismo punto, τ22, espositivo (de tracción) cuando tiene también el sentido contrario a su eje (2).

Sean, además:

~n el vector normal a B C D , de componentes (n1, n2, n3);

d A el área de B C D ;

fs1, fs2

, fs3

las componentes del esfuerzo ~fs .

Entonces, las áreas del resto de las caras del tetraedro son: n1d A, para la cara Áeras (geometrías)

P C D ; n2d A, para la cara P B D ; y n3d A para la cara P B C .

La Segunda Ley de Newton establece el equilibrio de fuerzas en el tetraedro. Aplicación de 2a Ley deNewtonSi d m es su masa y ~a su aceleración, el producto de ambas ha de estar equi-

librado por las fuerzas de superficie en todas las caras (d ~Fs ), y en su caso lasfuerzas de volumen (d ~Fv ); por tanto, se tiene:

d m ~a = d ~Fv +d ~Fs . (5.26)


El primer término de la ecuación anterior puede ponerse como d m ~a =d V ρ ~a , y el segundo como d ~Fv = ~fv d V . Respecto a las fuerzas de superfi-cie, éstas son, componente a componente y por referencia a la Figura 5.7, lassiguientes:Fuerzas de superficie

d Fs x = d A fs1−d An1τ11−d An2τ21−d An3τ31

d Fs y = d A fs2−d An1τ12−d An2τ22−d An3τ32 (5.27)

d Fs z = d A fs3−d An1τ13−d An2τ23−d An3τ33 .

Las ecuaciones anteriores indican que d ~Fs es del orden de d A (y por tanto unÓrdenes de magnitud

infinitésimo de segundo orden), mientras que d ~Fv y d m ~a son del orden d V(y por tanto infinitésimos de tercer orden); en consecuencia, las segundasson despreciables frente a la primera, y la Ecuación 5.26 queda reducida ad ~Fs = 0. Componente a componente, tras simplificar d A, se tiene:

fs1= n1τ11+n2τ21+n3τ31

fs2= n1τ12+n2τ22+n3τ32 (5.28)

fs3= n1τ13+n2τ23+n3τ33 ,

o bien, en forma vectorial:Resultado!

~fs = ~n · ~~τ , (5.29)

siendo ~~τ el tensor de esfuerzos, dado por:

~~τ=

τ11 τ12 τ13

τ21 τ22 τ23

τ31 τ32 τ33

(5.30)

5.7.1 El tensor ~~τ es simétrico (,)

El tensor ~~τ es simétrico, esto es,τi j =τ j i . Para demostrarlo, basta considerar~~τ es simétrico

un cubo diferencial de fluido (de aristas d x1, d x2 y d x3), y los correspondien-tes esfuerzos sobre cada cara, como se muestra en la Figura 5.8. Para que elcubo esté en equilibrio, además de igualdad de fuerzas ha de haber ausenciade momentos. Así, tomando momentos respecto a un eje paralelo al 3 que


Figura 5.8: Cubo diferencial de fluido aislado de su entorno (sólo se dibujanparte de los esfuerzos)

pase por el centro de gravedad del cubo, e igualando a cero, se tiene:

τ21d x1d x3

d x2

2+

τ21+∂ τ21

∂ x2d x2

d x1d x3

d x2

2−

−τ12d x2d x3

d x1

2−

τ12+∂ τ12

∂ x1d x1

d x2d x3

d x1

2= 0 ,

donde se ha tenido en cuenta que el resto de los esfuerzos en las seis carasno dan momento según el eje considerado.

Simplificando d x1d x3d x2/2, y despreciando a continuación los términosmultiplicados por infinitésimos de primer orden que sobreviven, de la ecua-ción se deduce que τ12 =τ21.

Procediendo de forma similar con momentos respecto a los ejes 1 y 2, se llegaa la conclusión de que τi j = τ j i , y por lo tanto el tensor de esfuerzos ~~τ essimétrico:

~~τ=

τ11 τ12 τ13

τ12 τ22 τ23

τ13 τ23 τ33

(5.31)


Por tanto, de la Ecuación 5.29, ~fs = ~n · ~~τ, se deduce que basta con conocer~~τ en un punto14 (es decir, las seis cantidades τ11, τ22, τ33, τ12, τ13,τ23) paraconocer el esfuerzo en el punto sobre cualquier plano.

14El tensor de esfuerzos puede depender del punto, y en general lo hará; hacemos notarque nada se ha dicho, por el momento, del valor de las componentes del tensor, τi j , apartede que son simétricas.

6

Fluidostática

La Fluidostática es el estudio de los fluidos en reposo1. El principal interésde este estudio es el cálculo de las fuerzas y momentos que actúan sobrecuerpos y superficies que están inmersos en un fluido en reposo (por ejem-plo, las fuerzas sobre una presa, o la flotabilidad de un pontón). El conocidoPrincipio de Arquímedes es un caso particular de estas fuerzas.

En algunas ocasiones, el fluido puede estar en movimiento con respecto alsistema de referencia en el que lo estamos analizando, pero sin embargopuede estar en reposo con respecto a un sistema no inercial (es decir, querota o tiene aceleración lineal). El capítulo termina con una extensión de lateoría de la Fluidostática estos casos.

6.1 El tensor de esfuerzos para el fluido enreposo

Donde vemos que, por definición de fluido, en el fluido en reposo no hay esfuerzostangenciales, y por lo tanto el tensor de esfuerzos se simplifica notablemente: esdiagonal; es más, es esférico.

Del Capítulo 5, para calcular la fuerza ~Fs que actúa sobre una superficie su- Recordatorio: así se calculala fuerza

1Siendo el agua el segundo fluido más abundante en la Tierra, y quizás el más impor-tante en Ingeniería, a menudo se habla de Hidrostática, en lugar de la más genérica deno-minación de Fluidostática.

91

92 Fluidostática

mergida S “basta con” calcular la normal ~n en cada punto de la superficie, eintegrar el tensor de esfuerzos ~~τ para obtener la fuerza:

~Fs =

∫

S

d ~Fs =

∫

S

~fs d S =

∫

S

~~τ · ~nd S . (6.1)

Este tensor de esfuerzos ha sido estudiado en el Capítulo 5, y tiene, en gene-ral, seis componentes distintas (pues es simétrico):

~~τ=

τ11 τ12 τ13

τ12 τ22 τ23

τ13 τ23 τ33

. (6.2)

Un fluido no admite (por definición, si se quiere) esfuerzos cortantes sin de-Si el fluido está en reposo,el tensor sólo puede ser es-férico

formarse continuamente. Puesto que la deformación continua implica mo-vimiento, se deduce que en el fluido en reposo no puede haber esfuerzoscortantes. Por tanto, las componentes de tangenciales (de fuera de la diago-nal) del tensor de esfuerzos han de ser nulas:τi j = 0 si i 6= j . Adicionalmente,se puede demostrar, con la ayuda de algunas propiedades básicas de los ten-sores, que el tensor de esfuerzos de un fluido en reposo es esférico, es decir,todos los elementos de la diagonal τi i son idénticos2.

Por convención, y dado que en la mayor parte de los casos estos esfuerzosLa presión p en un fluidoen reposo normales son de compresión (es decir, negativos según el criterio con el que

se definió el tensor de esfuerzos en la Sección 5.7), el esfuerzo se suele notarpor −p (3, de manera que se puede escribir, para el tensor de esfuerzos delfluido en reposo, que τi j =−pδi j , o, con el tensor completo:

~~τ=

−p 0 00 −p 00 0 −p

. (6.3)

La ecuación anterior constituye, si se quiere, una definición de presión parael fluido en reposo: es el esfuerzo de compresión que soporta el fluido.

Puesto que el tensor de esfuerzos para el fluido en reposo es esférico, la pre-El esfuerzo no depende dela dirección!!! (en un fluidoen reposo)

sión (el esfuerzo) que actúa sobre una superficie en un punto del fluido es lamisma sea cual sea la orientación de la superficie; matemáticamente:

~fs = ~~τ · ~n =−p ~n ,∀ ~n . (6.4)2Se puede demostrar que si los esfuerzos normales no son iguales en todas direcciones

en un punto entonces un cambio de ejes puede hacer aparecer esfuerzos tangenciales.3Así p es habitualmente positiva en un fluido en reposo.

6.2. Ecuación Fundamental de la Fluidostática 93

Las ideas anteriores no nos proporcionan, sin embargo, un método para cal- Y bien?

cular la presión, y por lo tanto las fuerzas. La Ecuación Fundamental de laFluidostática, deducida en la sección siguiente, permite calcular la presiónen cada punto.

6.2 Ecuación Fundamental de la Fluidostática

Donde, a partir del equilibrio de fuerzas y momentos, deducimos de una formamuy sencilla una ecuación diferencial para la presión en un fluido en reposo.

Consideremos un volumen V de fluido, rodeado por una superficie S (Figura Equilibrio de fuerzas

5.1). Las fuerzas de volumen debidas a agentes externos, ~fm , y las fuerzasde superficie ~fs ejercidas por el fluido circundante han de equilibrarse si elfluido está en reposo. Por tanto:

∫

V

ρ ~fm d V +

∫

S

~fs d S = 0 . (6.5)

Las fuerzas de superficie del segundo término pueden expresarse, para un Fluido en reposo, y tma deGaussfluido en reposo, como (Ecuación 6.4) ~fs = ~n · ~~τ=−p ~n . Aplicando además el

teorema de Gauss para convertir la integral de superficie en una de volumen,la Ecuación 6.5 queda:

∫

V

ρ ~fm −∇p

d V = 0 . (6.6)

Puesto que la Ecuación 6.6 es cierta para cualquier volumen V de fluidoen reposo, ha de cumplirse que el integrando es nulo: ρ ~fm −∇p = 0; o, re- Ecuación Fundamental de

la Fluidostáticaarreglando:

ρ ~fm =∇p . (6.7)

La ecuación anterior es la Ecuación Fundamental de la Fluidostática, y per-mite calcular, por integración, el campo de presiones p en un fluido en re-poso, dado el campo de fuerzas másicas ~fm .

De igual manera que la Ecuación 6.5 expresa un balance de fuerzas para el Y para momentos?

94 Fluidostática

volumen de fluido en reposo de la Figura 5.1, el balance de momentos de lasfuerzas para el fluido en reposo exige que:

∫

V

~x ∧ (ρ ~fm )d V +

∫

S

~x ∧ ~fs d S = 0 . (6.8)

Con una pequeña manipulación algebraica, la segunda integral se puede po-ner como:

∫

S

~x ∧ ~fs d S =

∫

S

~n ∧ ~x p d S =

∫

V

∇∧

~x p

d V =

=

∫

V

(∇∧ ~x )p +

∇p ∧ ~x

d V =

= −∫

V

~x ∧∇p

d V (6.9)

donde en la segunda igualdad se ha aplicado el teorema de Gauss4, en latercera simplemente se ha desarrollado el rotacional de un producto, y en lacuarta se ha tenido en cuenta que∇∧ ~x = 05.

Introduciendo el resultado de la Ecuación 6.9 en la Ecuación 6.8, ésta setransforma en:

∫

V

~x ∧

ρ ~fm −∇p

d V = 0 , (6.10)

cuyo integrando es idénticamente nulo si se cumple la Ecuación Fundamen-Misma conclusión!

tal de la Fluidostática, Ecuación 6.7. Por tanto, la Ecuación Fundamental dela Fluidostática, Ecuación 6.7, es condición necesaria y suficiente para queel fluido en reposo esté en equilibrio.

6.3 La Ley de Pascal

4En una de sus formas menos conocidas:∫

S~n ∧ ~F d S =

∫

V∇∧ ~F d V ; búsquela si lo ne-

cesita en algún buen libro de Matemáticas para Ingeniería.5¡Compruébelo si lo ve claro!

6.3. La Ley de Pascal 95

Donde integramos la Ecuación Fundamental de la Fluidostática para el caso en elque las fuerzas másicas derivan de un potencial (y, como caso particular, cuandola única fuerza másica es la gravedad).

Cuando las fuerzas másicas derivan de un potencial, ~fm =−∇U y la densidad Integral de la EFF

ρ es constante, la integración de la Ecuación Fundamental de la Fluidostá-tica es sencilla:

ρ ~fm =∇p ⇒−ρ∇U =∇p ⇒−∇

ρU

=∇p ⇒∇

p +ρU

= 0 .

Por tanto, integrando:

p +ρU =C , (6.11)

siendo C una constante de integración. Para calcular la constante, hay que El papel de P0, la condiciónde contornoconocer la presión (digamos P0) en aquellos puntos (usualmente una super-

ficie) en los que la energía potencial tiene un cierto valor (digamos U =U0).Sustituyendo estos valores en la ecuación para calcular la constante, y reor-denado, se tiene:

p = P0+ρ(U0−U ) . (6.12)

Para el caso (muy común) de que las fuerzas másicas deriven del campo gra- Para la gravedad

vitatorio terrestre, U = g z , de la Ecuación 6.12 se tiene:

p = P0+ρg (z0− z ) , (6.13)

donde ahora P0 es la presión en z = z0. La ecuación anterior es conocida aveces como ley de Pascal; indica que la presión en fluido en el campo gravi-tatorio aumenta linealmente con la profundidad z0−z desde la cota z0 en laque la presión es P0.

La ecuación anterior se puede poner como p −P0 =ρg (z0− z ), o Ley de Pascal

∆p =ρg∆h , (6.14)

siendo∆p el aumento de presión en un punto desde el nivel P0, y∆h la pro-fundidad del punto con respecto a ese nivel.

La Ecuación (6.14) (y, por extensión, la Ecuación (6.13)) se conoce como Leyde Pascal.

96 Fluidostática

H

z

z p

H-z S

p

p

1

2

P0

Figura 6.1: Presión en un fluido con una superficie sumergida

6.4 El campo de presiones en una superficiesumergida

Donde utilizamos la Ecuación Fundamental de la Fluidostática (o la Ley de Pas-cal) para calcular la presión en cualquier punto de una superficie sumergida enun fluido, e, integrando, la fuerza sobre la superficie.

En este apartado, particularizaremos la Ecuación Fundamental de la Flui-Situación

dostática a situaciones en las cuales una superficie se encuentra sumergidaen un fluido (típicamente un líquido). La situación es la de la Figura 6.1, quemuestra una superficie genérica S (supóngase de espesor nulo por sencillez)inmersa en un líquido de densidad ρ. El líquido tiene un nivel de presión P0

a una cota z =H en el sistema de coordenadas de la figura.

A menudo representaremos P0 como una superficie libre (esto es, la entrefa-se entre un líquido y un gas), pero no tiene por qué serlo necesariamente. Sien z =H hay una superficie libre a presión atmosférica, entonces P0 = Pa , lapresión atmosférica en la superficie terrestre. A efectos prácticos, Pa se con-sidera a menudo constante6, e igual a 101.325 Pascales (o N/m2) en Sistema

6Esto es, no depende la altura (para variaciones de altura de unos cuantos metros), por-que la densidad del aire es baja comparada con la de un líquido. En orden de magnitud,hacen falta 1000 m de columna de aire para producir la misma variación de presión que 1 mde columna de agua.

6.4. El campo de presiones en una superficie sumergida 97

F =-pn dSdS

n2

n1

2dS

dS2

12

F =-pn dS11

Figura 6.2: Normales y fuerzas de presión sobre un elemento diferencial desuperficie

Internacional.

El campo de presiones en cualquier punto del líquido puede calcularse a par- Campo de presiones

tir de la Ecuación Fundamental de la Fluidostática, Ecuación 6.7. Su particu-larización para el caso de fuerzas másicas gravitatorias dirigidas según el eje−z es la Ecuación 6.13:

p = P0+ρg (z0− z ) , (6.15)

donde P0 es la presión en z = z0. En el caso de la Figura 6.1, la presión P0 estáen z0 =H ; por tanto, la distribución de presiones en el líquido es:

p = P0+ρg (H − z ) . (6.16)

Si interpretamos H − z como la profundidad del punto desde la superficie La presión “por debajo” y“por encima” de la superfi-ce es la misma!!!

libre (Figura 6.1), entonces la Ecuación 6.15 indica que la presión en el senodel líquido varía linealmente con la profundidad, y sólo depende de la pro-fundidad. En particular, un punto P1 “justo por encima” de la superficie S yotro P2 situado “justo por debajo” tienen la misma presión, puesto que suprofundidad es la misma (si la superficie tiene espesor nulo).

La fuerza causada por la presión, se vio en la Sección 6.1, actúa de forma La fuerza es localmentenormal a la superficienormal a la superficie que se considere7, y es d ~Fs = −p ~nd S , donde ~n es la

7Sea ésta fluida (esto es, virtual) o sólida.

98 Fluidostática

normal interna (“hacia el fluido”) de la superficie. Si consideramos la super-ficie diferencial de espesor nulo de la Figura 6.2, la presión en las dos carasde la superficie es la misma, pero la fuerza que causa esta presión actúa ensentido distinto (debido a que las normales son iguales y de sentido contra-rio). Como resultado, si el elemento d S está bañado por el fluido por sus dosNo hay fuerza neta si la su-

perficie no tiene espesor caras, y su espesor es nulo, la superficie está en equilibrio 8.

De la misma manera, para una superficie no diferencial, la presión sobre ca-da una de las caras causa una fuerza que es en cada punto lineal con la pro-fundidad (Ecuación 6.16), perpendicular a la superficie y dirigida contra ella.

Para calcular la fuerza neta que actúa sobre una cara S de la superficie, bastaFuerza neta

con integrar para toda la cara la fuerza local sobre el elemento d S :

~F =

∫

S

−p ~nd S =−∫

S

P0+ρg (H − z )

~nd S . (6.17)

La ecuación anterior permite calcular la fuerza neta sobre la cara conocidala forma geométrica de la superficie. Puesto que el cálculo de integrales esa menudo inconveniente, y fuente de errores, la ecuación anterior se pue-Tengo que integrar, o lo

Googleleo? de manipular para deducir fórmulas que no requieren la integración; esto sehace a continuación para superficies planas y superficies curvas sucesiva-mente.

6.5 Fuerzas y momentos sobre superficies planas

Donde desarrollamos recetas sencillas para no tener que integrar para calcularlas fuerzas y momentos sobre superficies planas sumergidas.

6.5.1 FuerzaVista en el apartado anterior la forma de la distribución de presiones en elseno de líquido, en éste integraremos la Ecuación 6.17 para el caso particularen el que la superficie es plana (Figura 6.3). Puesto que la superficie planatiene una única normal, en la Ecuación 6.17 podemos prescindir de ésta, en

8 Si el espesor no es nulo, la presión es distinta en ambas caras, y por tanto la superficiepuede no estar en equilibrio; este es el origen del Principio de Arquímedes, que se verá enla sección 6.8

6.5. Fuerzas y momentos sobre superficies planas 99

CP

CGY

X

dS

ξ = h/sen θ

θF

hCG h(X,Y)

p = P0

Figura 6.3: Fuerza sobre una superficie plana

el conocimiento de que la fuerza resultante actuará contra la cara. Por tanto,la ecuación queda (siendo h =H − z la profundidad):

F =

∫

S

p d S =

∫

S

(P0+ρg h )d S = P0S +ρg

∫

S

hd S . (6.18)

Para transformar la ecuación, consideremos los sistemas de coordenadas dela Figura 6.3, donde:

θ es el ángulo que forma la superficie con la superficie libre;

Los ejes cartesianos (X , Y ) están sobre la superficie, con origen en el Ojo a estos ejes. Las ecs re-sultantes serán válidas enéstos, no en otros!!!

centro de gravedad C G de la superficie, y siendo el eje X horizontal, ypor tanto Y el que sube hacia la superficie libre;

h , como queda dicho, es la profundidad a la que se encuentra un ele-mento de superficie d S que tiene por coordenadas (X , Y ) en los ejesanteriores;

100 Fluidostática

ξ es la distancia, por la superficie, desde la superficie libre a d S .

Puesto que, de las definiciones anteriores, h = ξsinθ , y por definición decentro de gravedad, ξC G =

1S

∫

Sξd S , la Ecuación 6.18 queda:

F = P0S +ρg SξC G sinθ . (6.19)

Teniendo en cuenta queξC G sinθ = hC G , la fuerza neta es F = P0S+ρg ShC G ,y puesto que la presión en el centro de gravedad es pC G = P0 + ρg hC G , lafuerza sobre la cara de la superficie resulta ser:Fuerza, ecuación

F = SpC G . (6.20)

Luego la fuerza neta sobre una cara de una superficie plana sumergida esFuerza, interpretación

igual a su área por la presión en el centro de gravedad de la cara (indepen-diente del ángulo θ que forma la cara plana con la superficie libre).

6.5.2 Momentos y líneas de actuación

En muchas aplicaciones en Ingeniería, no basta con conocer la fuerza queLa fuerza no es nada sin sumomento actúa sobre la superficie, sino que es necesario conocer también el momento

que ésta produce respecto a algún punto. El conocimiento del momento esequivalente al conocimiento de la línea de actuación de la fuerza9, o, si sequiere, al punto de actuación (o centro de presiones), que se define como laintersección de la línea de actuación con la superficie plana.

El punto de aplicación de la fuerza resultante ~F (que se conoce como cen-Punto de aplicación, o cen-tro de presiones tro de presiones, C P ) ha de ser (por definición) tal que la fuerza ~F cause el

mismo momento que la fuerza distribuida. Si las coordenadas del centro depresiones son (XC P , YC P ), entonces, tomando momento respecto al eje X , hade cumplirse (Figura 6.3):

MX = F YC P =

∫

S

Y p d S . (6.21)

9Respecto a un punto, una fuerza produce igual momento en cualquier posición de sulínea de actuación, puesto que el módulo del momento es el producto del módulo de lafuerza por la distancia del punto a la línea de actuación, y la dirección del momento es per-pendicular al plano que forman éstos.

6.5. Fuerzas y momentos sobre superficies planas 101

Despejando de esta ecuación, puede calcularse YC P . Para ello, desarrollamosla integral como:

MX = F YC P =

∫

S

Y p d S =

∫

S

Y

P0+ρgξsinθ

d S =

= P0

∫

Y d S +ρg sinθ

∫

S

Y ξd S .

Teniendo en cuenta que, por definición de centro de gravedad,∫

SY d S =

S YC G = 0 y sustituyendo ξ= ξC G −Y , la integral queda:

MX = F YC P = ρg sinθ

∫

S

ξC G Y −Y 2

d S =

= −ρg sinθ

∫

S

Y 2d S =−ρg sinθ IX X ,

donde se ha aplicado la definición de momento de inercia de S respecto aleje X , IX X =

∫

SY 2d S , y de nuevo se ha considerado que

∫

SY d S = S YC G = 0.

El momento de la fuerza respecto a X es, por tanto: Momento con respecto a X

MX = F YC P =−ρg sinθ IX X . (6.22)

Sustituyendo en esta ecuación el valor de F , F = SpC G , y despejando: Coordenada Y de la “líneade actuación”

YC P =−ρg sinθ IX X

F=−ρg sinθ IX X

SpC G, (6.23)

que es la coordenada Y (referida a ejes que pasan por el centro de gravedad)del punto de aplicación de la fuerza. El signo negativo indica que el centrode presiones está más profundo que el centro de gravedad de la superficie.

El cálculo del momento de la fuerza F respecto al eje Y , MY y de la coorde- Momento con respecto a Yy coordenada X de la “líneade actuación”

nada X de la línea de actuación, XC P , es similar a partir de F XC P =∫

SX p d S ,

resultando respectivamente:

MY =−ρg sinθ IX Y ; (6.24)

102 Fluidostática

XC P =−ρg sinθ IX Y

F=−ρg sinθ IX Y

SpC G, (6.25)

siendo IX Y =∫

SX Y d S el producto de inercia de S respecto a los ejes X e Y .

Note que si la superficie S es simétrica con respecto al eje Y , entonces IX Y = 0y XC P = 0 (es decir, C P está en el eje Y ).

Repare una vez más en que estas ecuaciones son aplicables sólo en los ejesSólo en estos ejes!!!

en los que X e Y en que han sido deducidas.

6.6 Fuerzas y momentos sobre superficies curvas

Donde deducimos fórmulas sencillas para fuerzas y momentos sobre superficiescurvas que nos evitarán engorrosas integrales en dos o tres dimensiones

Consideraremos a continuación que S es una superficie curva. La fuerza flui-Lo que queremos hacer

dostática sobre una de las caras de esta superficie puede naturalmente cal-cularse todavía como ~F =

∫

s−p ~nd S , pero ahora la integral será incluso más

laboriosa dado que S es curva10; y lo mismo es cierto de los momentos. Parafacilitar el cálculo de fuerza y momentos, es habitual, como en el caso de lasuperficie plana, utilizar fórmulas que no requieren hacer las integrales.

Además, el cálculo de fuerzas sobre superficies sumergidas (y, en particular,Divida para simplificar

sobre superficies curvas) es a menudo mucho más sencillo cuando la fuerzase descompone en varias, más simples, que se calculan separadamente. Trasel cálculo separado, las fuerzas se combinan, sumándolas, para calcular lafuerza total; y, si es necesario calcular el momento de la fuerza resultanterespecto a algún punto, puede hacerse sumando el momento de cada unalas fuerzas contribuyentes. La descomposición de la fuerza en varias puedehacerse con los criterios más convenientes en cada caso. Por ejemplo, ensuperficies curvas (e incluso en planas) es práctica habitual descomponer lafuerza:

10Para empezar, no podemos prescindir de la normal ~n , pues ésta no es constante en lasuperficie. Por tanto, la integral vectorial es en general tres integrales escalares.

6.6. Fuerzas y momentos sobre superficies curvas 103

Figura 6.4: Superficie curva y “columna” de fluido “por encima”

en fuerzas orientadas según los ejes coordenados (es decir, en sus com-ponentes (Fx , Fy , Fz )); y/o

en fuerzas sobre diferentes partes de la superficie, cuando ésta es com-pleja; y/o

en fuerzas sobre superficies bañadas por distintos fluidos.

En este apartado deduciremos las fórmulas, libres de integrales, que se utili-zan para calcular, separadamente, las tres componentes de la fuerza sobre lasuperficie curva sumergida, los momentos que crean. En el Apéndice B unadeducción alternativa (más matemática) de estas mismas fórmulas.

Para superficie curvas, supondremos que los ejes coordenados son x , y y z ; Importante: ejes

estos ejes son arbitrarios, salvo que supondremos que x e y son horizonta-les, y z es vertical y contra la aceleración de la gravedad ~g .

Consideramos la situación de la Figura 6.411, que representa una superficie Situación

11Por sencillez, hacemos los esquemas 2D, como en esta figura; pero la superficie puedeser 3D.

104 Fluidostática

Figura 6.5: Distribución de presiones en la vertical (izda) y diagrama de sóli-do libre (dcha) mostrando componentes horizontales de las fuerzas

AB sumergida en un fluido, y en la que hemos resaltado la “columna” de flui-do “por encima de” la superficie.

Para calcular las fuerzas (y momentos) procederemos de la siguiente mane-Proceso

ra:

1. Plantearemos un diagrama de “cuerpo” libre para la columna de fluido;

2. Del equilibrio obtendremos fuerzas y momentos sobre la cara superiorde la superficie AB12;

3. Trabajaremos separadamente con cada componente de la fuerza, y elmomento que produce.

6.6.1 Componente horizontal de la fuerza y su momentoPara calcular la componente horizontal de la fuerza13, aislamos el volumenDiagrama de “sólido” libre

de fluido ABCDE por encima de la superficie (a menudo nos referiremos a

12Si quisiéramos resultados para la cara inferior, estos serían, naturalmente, iguales perode signo contrario.

13Por concisión, a menudo hablaremos simplemente de “fuerza horizontal”.


este volumen como la “columna” de fluido, y remplazamos el efecto del restode los elementos aislados por las fuerzas (horizontales) que producen.

Así, en el tramo DE el resto del fluido (a la izquierda de la línea DE) ejerce Equilibrio de fuerzas

una fuerza total (debida a la presión) FD E ; y similarmente en los tramos EA yCB. En el tramo AB, la fuerza, FAB , es ejercida por la pared sólida. Dado quela columna está en equilibrio, las fuerzas horizontales deben anularse:

FD E + FAE = FB C + FAB . (6.26)

Pero las fuerzas FB C y FD E son iguales (salvo el sentido), y por lo tanto se com- Fuerza buscada

pensan; y, por otra parte la fuerza buscada FH del fluido sobre la superficieAB es precisamente14 FH =−FAB . Por tanto, la Ecuación 6.26 queda:

FH = FAE . (6.27)

La ecuación anterior, interpretada, quiere decir que la fuerza horizontal bus- La fuerza es la que actuaríasobre la superficie (plana!)proyectada

cada sobre la superficie AB es igual a la fuerza sobre la superficie AE, resulta-do de proyectar AB en esa dirección horizontal (y denominada Sx en la Figura6.5). Esta superficie proyectada es plana, y la fuerza puede ser calculada conlas fórmulas deducidas anteriormente (Ecuación 6.20).

El mismo razonamiento sería cierto para los momentos de estas fuerzas ho- Y los momentos?

rizontales.

Por tanto, para calcular las componentes horizontales de las fuerzas flui-dostáticas sobre una superficie curva, y sus momentos, basta con proyec-tar la superficie en la dirección horizontal en cuestión y trabajar con lasuperficie proyectada (que es plana).

Tenga presente que, en el caso tridimensional, habrá dos componentes ho-rizontales de la fuerza (digamos en x e y ); ambas pueden calcularse con elmétodo anterior.

6.6.2 Componente vertical de la fuerza y momentoDe forma similar a como hemos procedido para la componente horizontal, Diagrama de “cuerpo” libre

consideramos para la componente vertical un diagrama de cuerpo libre (Fi-gura 6.6) para la columna de fluido encima de la superficie AB. Las fuerzasque actúan sobre la columna son:

14Acción y reacción.

106 Fluidostática

z

E

D C

B

VF

F1

A

F2

0F S

B

A

P0

FAB

Figura 6.6: Diagrama de sólido libre para la componente vertical de la fuerza

La fuerza F0 ejercida por la presión P0. Por ser ésta constante, la fuer-za es simplemente la presión P0 por el área de la superficie, que no essino la superficie AB proyectada en dirección vertical (digamos Sz ). Tri-vialmente, esta fuerza “actúa” en el centro de gravedad de la superficieproyectada Sz , ya que la presión que la causa P0 es constante en Sz .

Las fuerzas F1, F2 etc debidas al peso de los volúmenes de fluido (V1, V2

etc) en los que, por conveniencia, queramos dividir la columna. Cadauna de estas “actúa” en el centro de gravedad del volumen respectivo.

La fuerza FAB que la superficie ejerce sobre la columna y que es igual(pero de signo opuesto) a la fuerza buscada FV .

Por tanto:

−FAB = F0+ F1+ F 2= P0Sz +ρg V1+ρg V2 , (6.28)

o, teniendo en cuenta que −FAB = FV , la fuerza buscada es:Fuerza buscada

FV = P0Sz +ρg V1+ρg V2 . (6.29)

La interpretación de la ecuación anterior es inmediata, dado que el lado de-Interpretación


h

A O

OA

h

Figura 6.7: Superficie “sin columna” y situación equivalente “con columna”

recho son los pesos de las columnas de fluido por encima de la superficie(incluyendo el peso del fluido por encima del nivel P0, dado por P0Sz ).

Para calcular el momento de esta fuerza vertical, basta con sumar los mo- Momento

mentos de cada una de las fuerzas (que “actúan” donde se indica más arri-ba).

Por tanto, para calcular la componente vertical de las fuerzas fluidostáticassobre una superficie curva, basta con calcular los pesos de las columnas defluidos “por encima” de la superficie, y sus momentos.

6.6.3 Y si no hay columna “por encima”?

En ocasiones es necesario calcular fuerzas y momentos fluidostáticos sobresuperficies que, al contrario de lo que sucede en la Figura 6.4, no tienen unacolumna de fluido “por encima”. Un ejemplo es el caso de la Figura 6.7 (iz-quierda). El fluido ejerce una fuerza (y momento) sobre la compuerta OA,pero aparentemente no hay una columna de fluido encima que nos permitaaplicar las reglas de los dos apartados anteriores.

En estos casos, sin embargo, es fácil reducir el problema a otro equivalen- Sumerja para crear el mis-mo campo de presioneste en el que sí hay tal columna. En la situación de la Figura 6.7 (derecha), la

distribución de presiones sobre la compuerta AO es la misma que en la situa-ción original (ya que cada punto está a la misma profundidad con respectoa la superficie libre). Las fuerzas y momentos sobre la cara superior de OA

108 Fluidostática

en la situación de la derecha serán entonces iguales a aquéllas sobre la carainferior en la situación original, salvo los signos (que serán opuestos). Portanto, puede calcular en la situación de la derecha, y simplemente cambiarlos signos.

6.7 “Divide y vencerás”

Donde mostramos varios casos en los que dividir el problema en otros más senci-llos simplifica mucho los cálculos, reduciéndolos a los casos vistos más arriba

Como en otras disciplinas de la Física (y de la Ingeniería) en Fluidostáticaresulta muy ventajoso en muchas ocasiones descomponer el problema enotros más sencillos, y obtener la solución total combinando estas solucionesparciales.

En Fluidostática, este método de superposición puede aplicarse de dos ma-neras (y de cualquier combinación de ellas)15:

Descomponiendo la superficie sobre la cual se quiere calcular la fuerzao el momento en otras más simples en las que el cálculo es más obvioo más sencillo;

O descomponiendo en varios volúmenes el fluido en el que se encuen-tra inmersa la superficie, y considerando separadamente el efecto so-bre fuerzas y momentos de cada uno de estos volúmenes.

Este método de superposición puede aplicarse para simplificar cualquierconfiguración, pero es particularmente útil para reducir dos tipos de proble-ma a situaciones resolubles con las fórmulas de secciones anteriores; estosdos tipos de problema son aquéllos que incorporan superficies multievalua-das y/o varios fluidos de densidad distinta estratificados.

6.7.1 Tratamiento de superficies multievaluadasUna superficie es monoevaluada en una dirección cuando al proyectarla enMono o multi

15Anteriormente hemos usado una tercera manera: el cálculo de cada componente de lafuerza, y su momento, separadamente.

6.7. “Divide y vencerás” 109

Figura 6.8: Descomposición de superficies multievaluadas en otras mono-evaluadas

esa dirección, cada punto de la superficie da lugar a un punto distinto en laproyección. Cuando la superficie es multievaluada en una dirección variospuntos de la misma se proyectan en uno solo en esa dirección. La Figura 6.8muestra, a la izquierda, una superficie multievaluada en dirección (horizon-tal) y ; y, a la derecha, otra multievaluada en dirección (vertical) z . Note queen cada caso la superficie es monoevaluada en la otra dirección.

Las fórmulas (o recetas) anteriores no son directamente aplicables cuando la So what’s the problem, any-way?superficie es multievaluada16: para la componente horizontal, la fuerza no es

igual a la fuerza sobre la superficie (multievaluada en dirección horizontal)proyectada; para la componente vertical, no hay una columna de fluido “porencima” de una superficie multievaluada en dirección vertical.

La forma más sencilla de calcular las fuerzas fluidostáticas sobre una super- Y qué hago, entonces?

ficie multievaluada es descomponer la superficie en varias monoevaluadasen la dirección en cuestión, y calcular las fuerzas y momentos sobre cada unade estas superficies. Esta estrategia se ilustra en la Figura 6.8. En el esquemade la izquierda, la superficie es multievaluada en y , y debe descomponerseen dos (S1 y S2) antes de aplicar las fórmulas anteriores para el cálculo de fuer-zas en dirección y (pero no hace falta hacerlo para calcular la fuerza en z , alser monoevaluada en esa dirección). En el esquema de la derecha, la super-ficie es monoevaluada en y pero multievaluada en z , y habría que procedersimilarmente con una descomposición en S1, S2 y S3 para poder calcular lafuerza en z con las ecuaciones anteriores.

16Porque los diagramas de “cuerpo” libre son bastante más complicados.

110 Fluidostática

Figura 6.9: Superficies sumergidas en fluidos estratificados

6.7.2 Fuerzas y momentos sobre superficies sumergidas enfluidos estratificados

En ocasiones, la superficie sobre la cual se necesita calcular la fuerza está su-Qué son “fluidos estratifi-cados”? mergida en varios fluidos, separados por entrefases que son perpendiculares

en cada punto al campo de fuerzas másicas (por ejemplo, a la gravedad). Enestas circunstancias, si el sistema está en equilibrio, los fluidos más pesadosocupan posiciones de menor energía potencial (por ejemplo, en el caso dela gravedad, están debajo de los más ligeros), ya que la situación contrariahace la entrefase inestable. Los fluidos se dicen entonces estratificados.

Las ecuaciones anteriores no son válidas en estos casos (en general), pueshemos supuesto que había una única densidad de fluido.

En el cálculo de las fuerzas que actúan sobre una superficie sumergida enDos casos

varios fluidos estratificados, es práctico distinguir entre dos casos, según lasuperficie esté totalmente inmersa en sólo uno de los fluidos o por el con-trario la superficie esté “bañada” por varios.

En el primer caso (Figura 6.9, izquierda), y puesto que la superficie está in-Sup mojada por un solofluido mersa en un fluido sólo, basta tomar el nivel de referencia P0 en la entrefase

que separa el fluido del anterior, y aplicar las fórmulas anteriores. Típica-mente, para un solo fluido adicional de densidad ρ1 que se extiende por en-cima una distancia H1 hasta la superficie libre que está a otra presión dada(digamos P00), se tendrá que P0 = P00+ρ1g H1.

En el segundo caso, en el que la superficie está bañada por varios fluidosSup mojada por varios flui-dos distintos (Figura 6.9, derecha), la solución más práctica, en general, es des-

componer la superficie en cuestión en varias, de manera que cada una de las

6.8. El principio de Arquímedes 111

Superficiesuperior

Superficieinferior

z, infF

z, supF

Figura 6.10: Principio de Arquímedes

subdivisiones esté bañada por un sólo fluido, y calcular las fuerzas y líneasde actuación para cada subdivisión utilizando el método anterior. La fuerzaglobal puede calcularse, si fuera necesario, como la suma de las fuerzas:

Fx =∑

Fx i ; Fy =∑

Fy i; Fz =

∑

Fz i ; (6.30)

y el momento total puede hallarse sumando momentos. Si fuera necesaria,la línea de actuación puede calcularse igualando el momento total y la sumade momentos; por ejemplo, para la coordenada yC P de la línea de actuaciónde la fuerza Fx :

yC P Fx =∑

Fx i yC P i (6.31)

6.8 El principio de Arquímedes

Donde deducimos, con lo visto en este capítulo, el Principio de Arquímedes, y suversión (menos popular) para momentos.

El conocido Principio de Arquímedes (“Todo cuerpo sumergido en un flui- El principio y su relacióncon lo anteriordo experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del volumen de fluido

desalojado”) no es sino el resultado de aplicar la ecuación de la componen-te vertical de la fuerza, Ecuación 6.17, a la superficie cerrada que rodea elcuerpo.

112 Fluidostática

Consideremos un volumen de fluido V encerrado por una superficie S (Fi-Deducción

gura 6.10). Aplicando la Ecuación 6.17 se tiene:

~F =−∫

S

~np d S =−∫

V

∇p d V =−∫

V

ρ ~fm d V =−∫

V

ρ ~g d V , (6.32)

donde en la segunda igualdad se ha aplicado el teorema de Gauss17, en latercera la Ecuación Fundamental de la Fluidostática, Ecuación 6.7, y en lacuarta se ha considerado, como caso particular, que ~fm = ~g .

El significado de la ecuación anterior es muy claro cuando se consideran elInterpretación

primer y el último miembros: las fuerzas de presión sobre S son las mismas(y opuestas) que las fuerzas másicas sobre el volumen de fluido V contenidopor S ; por ejemplo, el peso del volumen de fluido si ~fm = ~g .

Aunque esta conclusión es muy parecida al Principio de Arquímedes, no esexactamente el Principio, pues éste considera en su enunciado más popularque dentro de S hay un sólido (“un cuerpo”), y no fluido como se ha con-siderado hasta ahora. Sin embargo esta distinción no es relevante para lademostración anterior, puesto que las fuerzas de presión sobre cada puntode S dependen sólo de la geometría de S (por ejemplo, en el caso de que laImporta la geometría, no

“lo que hay dentro” única fuerza másica sea la gravitatoria, de la profundidad del punto) y, portanto, son las mismas independientemente de lo que haya dentro de S (sóli-do o fluido). La Ecuación 6.32 es en consecuencia igualmente válida tanto sidentro de S hay un fluido como si hay un un sólido; nótese, en particular, quela densidad ρ que aparece en la ecuación es en cualquier caso la del fluido,pues esa densidad aparece al aplicar la Ecuación Fundamental de la Fluidos-tática al fluido. Por eso el Principio de Arquímedes menciona “el volumen defluido desalojado”.

Este resultado se podría haber deducido también, gráficamente, con lo ex-Nada nuevo...

puesto en la Sección 6.6.2, puesto que la fuerza sobre la superficie superiordel volumen es hacia abajo, e igual al peso de la columna de fluido que tieneencima; y la fuerza sobre la superficie inferior es hacia arriba e igual al pesode la columna de fluido que tendría encima; por tanto, la fuerza neta es ha-cia arriba, e igual al peso del volumen del cuerpo (que es la diferencia entrelas dos columnas).

Si bien el Principio de Arquímedes tal y como se ha enunciado (y la mitolo-Arquímedes para momen-tos

17En una de sus formas menos conocidas; vea el Capítulo 0, o un buen libro de Matemá-ticas.

6.8. El principio de Arquímedes 113

gía que le rodea18) son “vox pópuli”, no lo es tanto una segunda versión delPrincipio que se refiere al momento de las fuerzas de superficie: resulta queel momento de las fuerzas de presión es también el mismo que el momen-to de las fuerzas de volumen que actuarían sobre el líquido que ocupara V .La demostración es sencilla; tomando momentos en la fuerza de superficiedistribuida de la Ecuación 6.32:

~M =−∫

S

~x ∧ ~np d S . (6.33)

Manipulando, se tiene:

~M =

∫

S

~n ∧ ~x p d S =

∫

V

∇∧

~x p

d V =

=

∫

V

(∇∧ ~x )p +

∇p ∧ ~x

d V =

= −∫

V

~x ∧ρ ~fm d V , (6.34)

donde en la segunda igualdad se ha aplicado una forma del teorema deGauss; en la tercera una identidad de ∇ (relacionada con la derivada de unproducto; y en la cuarta se ha aplicado la ecuación fundamental de la Flui-dostática para cambiar∇p porρ ~fm . La comparación del segundo y el últimotérmino permite concluir que: Resultado

~M =−∫

S

~x ∧ ~np d S =−∫

V

~x ∧ρ ~fm d V , (6.35)

que indica que el momento de las fuerzas de presión sobre la superficie es Interpretación

igual al momento de las fuerzas de volumen que actúan sobre el líquido queestuviera encerrado por la superficie, y es por tanto la “versión” del Principiode Arquímedes, Ecuación 6.32, para momentos.

No es difícil tampoco demostrar que el punto de aplicación de la fuerza es “Punto de aplicación”

el centro de gravedad del líquido encerrado por S 19.

18ευρηκα, etc19El centro de gravedad del líquido “desalojado” y del sólido son el mismo si ambos tie-

nen densidad constante. Si las densidades varían con leyes distintas, entonces ambos cen-tros de gravedad serán en general distintos.

114 Fluidostática

Para calcular el punto de aplicación, digamos ~xC P , tomamos como de cos-tumbre momentos en la fuerza global y en la distribuida:

~xC P ∧

−∫

V

ρ ~fm d V

=

∫

V

~x ∧

− ~fmρ

d V . (6.36)

Si las fuerzas son másicas son constantes en módulo y dirección (el caso,por ejemplo, cuando ~fm = ~g ), entonces, sacándolas fuera de las integralesanteriores se tiene:

−~xC P ∧ ~fm

∫

V

ρd V =+ ~fm ∧∫

V

~xρ

d V . (6.37)

Conmutando el orden de la multiplicación en el primer miembro resulta:

~fm ∧ ~xC P

∫

V

ρd V = ~fm ∧∫

V

ρ ~x d V ⇒ ~xC P

∫

V

ρd V =

∫

V

ρ ~x d V , (6.38)

de donde se puede despejar ~xC P :

~xC P =1

∫

Vρd V

∫

V

~xρ

d V . (6.39)

El punto ~xC P dado por la ecuación anterior es por definición el centro degravedad del líquido que ocupa V , ~xC G V

(20, y es el punto de actuación de lafuerza de empuje.

6.9 Estabilidad de cuerpos sumergidos yflotantes

Donde vemos cómo el jugueteo entre el empuje fluidostático y el peso determinasi un cuerpo sumergido está o no en equilibrio estable

Cuando un cuerpo está totalmente sumergido en un fluido, el apartado an-Fuerza fluidostática y cen-tro de flotación terior ha establecido que la fuerza neta fluidostática es igual al peso del vo-

lumen desplazado, y de sentido contrario a la gravedad. Esta fuerza actúa en~xC P , el centro de gravedad del volumen de fluido desplazado, que a veces sedenomina centro de flotación, C F (Figura 6.11).

6.9. Estabilidad de cuerpos sumergidos y flotantes 115

Figura 6.11: Centros de fuerzas sobre un cuerpo sumergido, y estabilidad: (a)no equilibrio; (b) equilibrio estable; (c) Equilibrio inestable

Figura 6.12: Estabilidad de cuerpos sumergidos

Por otra parte, sobre el sólido actúa, además, la fuerza debido a su propio Peso, y centro de gravedad

peso, que tiene la dirección de la gravedad y está aplicada en el centro degravedad del sólido.

Para la estabilidad de un cuerpo sumergido, es necesario que ambas fuerzas Equilibrio

sean iguales y produzcan momento nulo. Por lo tanto, el cuerpo sumergidosólo será estable cuando ambas fuerzas estén en la misma vertical (Figura6.11), y el C G esté por debajo del C F . (Si ambos están en la misma vertical,pero el C F está por debajo del C G , el sólido está en equilibrio pero éste esinestable, pues cualquier pequeña perturbación resultaría en la aparición deun momento que tiene a girar el sólido 180o .)

Cuando el cuerpo está parcialmente sumergido (Figura 6.12), sólo la parte Inmersión parcial

sumergida contribuye al empuje. El cuerpo por lo tanto flota hasta el nivelen que la parte sumergida compensa el peso del mismo.

20que puede ser distinto del centro de gravedad del sólido.

https://www.youtube.com/watch?v=SgjzbhJXANs

116 Fluidostática

Figura 6.13: Sistema con gravedad y rotación

6.10 Fuerzas másicas no gravitatorias

Donde lo estudiamos que le pasa a su vaso de coca-cola en un tiovivo o en uncoche que frena

En algunas ocasiones, aunque el fluido que consideramos puede no estar enreposo en un sistema de referencia dado, sí puede estarlo en otro, posible-mente no inercial. Por ejemplo, una taza de café en un tren en movimientono está en reposo con respecto a ejes fijos a tierra, pero sí en ejes fijos al tren.Si el tren está además acelerando, el sistema de ejes fijos al tren es no inercial.

Toda la teoría desarrollada hasta ahora en este capítulo es aplicable en unY qué cambia, entonces?

sistema de ejes en el cual el fluido está en reposo. Si embargo, hemos con-siderado que la única fuerza másica es la gravitatoria; sin embargo, si estesistema es no inercial, además es necesario considerar las fuerzas másicasRepáselas en Sec 5.3

inerciales.

En este apartado veremos dos casos particulares, muy comunes, de esta si-tuación. El primero es aquél en el que el sistema de referencia está girandocon respecto a uno inercial; y el segundo es aquél en el que el sistema dereferencia está acelerándose.

6.10.1 Rotación y gravedadPara un sistema rotante, en el que la velocidad de rotación es constanteFuerzas másicas que inter-

vienen

6.10. Fuerzas másicas no gravitatorias 117

(∂ ~Ω/∂ t = 0) y la velocidad del fluido es nula ( ~v = 0), las fuerzas másicasen presencia de un campo de fuerzas gravitatorio son (Ecuación 5.6):

~fm = ~g − ~Ω∧

~Ω∧ ~x

, (6.40)

donde el último término es la fuerza centrífuga. El potencialU del que deriva Potencial de fuerzas mási-caseste campo de fuerzas másicas es:

U =− ~g · ~x −Ω2d 2

2= g z −

Ω2d 2

2, (6.41)

donde se ha supuesto que ~g = −g ~k . Note que si elegimos z como el eje degiro21, entonces la distancia d del potencial anterior es el radio polar, d 2 =x 2+ y 2 (ver Figura 6.13).

Cuando la densidad es constante, la Ecuación Fundamental de la Fluidostá- Campo de presiones, de laEFFtica, en su forma de la Ecuación 6.11, establece que el campo de presiones

viene dado por la ecuación:

p +ρg z −ρΩ2d 2

2=C1 , (6.42)

siendo C1 una constante.

En consecuencia, las superficies isobáricas (p = cte) son paraboloides cuya Forma de las superficiesisobáricasecuación es:

ρg z −ρΩ2

x 2+ y 2

2=C2 , (6.43)

donde de nuevo C2 es una constante.

Un problema clásico en un sistema como el considerado en esta sección es Calcular constantesusando condiciones decontorno para obtenerpresiones

el caso particular de que el fluido que gira tenga una superficie libre. La su-perficie libre es una superficie isobárica, en la cual la presión es la atmosfé-rica, Pa . Si se conoce que la superficie libre pasa por el punto (0, 0, z0) (porejemplo), podemos sustituir en la Ecuación 6.42 p = Pa , z = z0, y d = 0 paradespejar C1. Calculando el valor de C1 e introduciéndolo en la Ecuación 6.42,se obtiene la ecuación para la presión en el fluido:

p −Pa =ρg (z0− z )+ρΩ2d 2

2. (6.44)

https://www.youtube.com/watch?v=Zip9ft1PgV0

118 Fluidostática

Figura 6.14: Sistema con gravedad y aceleración

6.10.2 Aceleración y gravedadCuando el sistema en el que se está analizando el fluido tiene una acelera-Fuerzas másicas que inter-

vienen ción ~a0 con respecto a un sistema inercial y además existe una fuerza gravi-tatoria ~g , la fuerza másica sobre el fluido es (Ecuación 5.6):

fm = ~g − ~a0 . (6.45)

Para la gravedad dirigida según el eje −z , el correspondiente potencial dePotencial de fuerzas mási-cas fuerzas es:

U =− ~g · ~x + ~a0 · ~x = g z + ~a0 · ~x = a0x x +a0y y +

a0z + g

z . (6.46)

La Ecuación Fundamental de la Fluidostática, Ecuación 6.11, establece queForma de las superficiesisobáricas la presión en el fluido es, p +ρU = C , y por tanto las superficies isopoten-

ciales (U = cte) son también las isobáricas p = cte. Note que, por simplegeometría de superficies, la primera igualdad de la Ecuación 6.46 indica queestas superficies isopotenciales e isobáricas son planos perpendiculares a lacomposición de los vectores − ~g y ~a (véase la Figura 6.14).

Sustituyendo en la Ecuación Fundamental de la Fluidostática, Ecuación 6.11,Ecuación de las superficiesisobáricas U por el valor anterior resulta la ecuación para las superficies isobáricas:

p −ρ ~g · ~x +ρ ~a0 · ~x = p +ρ

a0x x +a0y y +

a0z + g

z

=C1 . (6.47)

Para conocer el campo de presiones, basta una condición de contorno paraCampo de presiones

p en la ecuación anterior que permita calcular C1.

21Siempre podemos hacerlo, así que no hay pérdida de generalidad.

7

Tensión superficial

La tensión superficial es una fuerza que aparece cuando existe una entrefaseque separa dos fluidos distintos. Puesto que la tensión superficial actúa enuna superficie, veremos que es una condición de contorno que relaciona lostensores de esfuerzos de los fluidos a ambos lados de la entrefase, estén éstosen reposo o en movimiento.

7.1 Naturaleza de la tensión superficial

Donde explicamos la tensión superficial como una energía asociada a la super-ficie de entrefase entre fluidos, y debida al distinto empaquetamiento de las mo-léculas de los fluidos a un lado y a otro

Una molécula situada en el seno de un líquido está sometida a las fuerzas Moléculas en la proximi-dad de una entrefasecohesivas de todas las moléculas que la rodean, y por lo tanto la fuerza neta

debido a estas fuerzas cohesivas es nula. Sin embargo, las moléculas próxi-mas a la entrefase pueden no estar igualmente rodeadas por todas partes porotras moléculas. Por ejemplo, si a un lado de la entrefase hay un líquido y alotro lado hay un gas (que puede ser su propio vapor), las mayores distanciasintermoleculares en el gas implican que las fuerzas cohesivas hacia el ladodel gas son muy débiles (Figura 7.1). Como consecuencia, las moléculas pró-ximas a la superficie de la entrefase tienden a ser atraídas hacia el interior delfluido; diríamos por tanto que la superficie de la entrefase está “tensionada”.

119

120 Tensión superficial

Figura 7.1: Fuerzas intermoleculares en un fluido con entrefase

El fenómeno puede formularse físicamente como una energía por unidad deEnergía por unidad deárea... superficie asociada a la entrefase. Esa energía recibe el nombre de tensión

superficial, σ. Por lo tanto, para incrementar la superficie de entrefase end S es necesario hacer un trabajoσd S . La tensión superficial puede tambiéninterpretarse como una fuerza por unidad de longitud1. Si un elemento d S...o fuerza por unidad de

longitud de entrefase entre dos fluidos es aislado (Figura 7.2), y la acción del restode la entrefase sobre este elemento es sustituida por las correspondientesfuerzas, éstas son σd l , siendo d l la longitud de cada uno de los lados de lasuperficie. La fuerza debida a la tensión superficial es tangente a la superficie(pues representa la acción del resto de la entrefase).

Naturalmente, sobre la superficie también actúan las fuerzas debidas a losTambién tensores de es-fuerzos dos fluidos (digamos a y b ) a ambos lados de la entrefase. La fuerza ejercida

por el fluido a es ~~τa · ~na d S , y similarmente para el fluido b . En secciones pos-teriores haremos un balance de todas estas fuerzas en dirección tangencialy en dirección normal a la superficie, para investigar el papel de la tensiónsuperficial.

La tensión superficial es una función de estado, y depende no sólo del fluidosino también de la temperatura.

Cuando la entrefase es entre dos fluidos y un sólido, ésta tiene la forma deuna línea (Figura 7.3), llamada a veces línea triple. La superficie de entrefa-se entre los dos fluidos forma, en la línea de contacto, un cierto ángulo con

1Compruebe que al menos esto es dimensionalmente posible.

7.1. Naturaleza de la tensión superficial 121

n dsata

1sd

n dsbtb

d1

Figura 7.2: Elemento d S de superficie, y fuerzas que actúan sobre él

a

bq

qq

q < p/2 q > p/2

Figura 7.3: Ángulo de contacto

la superficie sólida. Este ángulo, θ , se denomina ángulo de contacto, y esfunción de los dos fluidos y del sólido.

Cuando uno de los fluidos (digamos a , Figura 7.3) es un gas y b un líquido, Moja o no moja

si θ <π/2 se dice que el líquido b moja el sólido.

La tensión superficial es el origen de muchos fenómenos cotidianos. Entre Fenómenos explicados porla tensión superficialotros:

Las gotas y burbujas son esféricas debido a que la energía asociada a latensión superficial tiende a minimizarse en el equilibrio, y la esfera esla figura geométrica con menor superficie por unidad de volumen. Laforma de gotas y burbujas será deducida formalmente más adelante.


El efecto menisco, por el que una superficie libre plana se curva en lapresencia de una pared sólida, es también una manifestación de la ten-sión superficial y el ángulo de contacto.

El efecto capilar, por el que un líquido asciende hasta una determina-da altura por un tubo estrecho, es debido a la tensión superficial y elángulo de contacto, como se deducirá más adelante.

Muchos pequeños objetos, de mayor densidad que el agua, flotan sinembargo en la misma. (Por ejemplo, con mucho cuidado se puede de-positar un clip metálico en la superficie del agua en reposo.) Esto esdebido a que la fuerza de la tensión superficial puede compensar ladiferencia entre el peso del objeto y la fuerza de flotabilidad genera-da por la parte sumergida del mismo. La tension superficial compensatambién el peso de pequeños insectos, que pueden entonces caminarsobre el agua.

Los tratamientos de impermeabilización y resistencia a las manchasde prendas y tejidos (por ejemplo, mediante el recubrimiento de lasfibras con teflón) se basan en aumentar el ángulo de contacto.

Los detergentes y líquidos limpiadores utilizan sustancias (llamadassurfactantes) que disminuyen la tensión superficial del agua para faci-litar su penetración en el tejido.

7.2 Efecto en los esfuerzos normales

Donde estudiamos el efecto de la tensión superficial en el campo de fuerzas nor-males dentro de los fluidos, haciendo un balance de fuerzas en dirección normala la superficie

Para estudiar el efecto de la tensión superficial en el campo de fuerzas den-tro de los fluidos, haremos un balance de fuerzas en dirección normal a lasuperficie (en esta sección) y en dirección tangencial (en la siguiente). Paraeste balance, supondremos el caso más general en el que los fluidos están enmovimiento.

Las fuerzas que actúan sobre un elemento δS de entrefase aislada del restoFuerzas que actúan

de la entrefase son:

7.2. Efecto en los esfuerzos normales 123

dFt12

dFn12

dF12

dq / 21

Fluido b

dl 2

dl1

Fluido a

dFn11

dF11

dFt11

dF11 dq / 21

R1R1

dq 1

dq 2

dq 1

R2

dl 2

dl 1

R2

n =

e2

e1nb

na

dq /21 dFt22

dF22

dFn22

dq / 22

dF21

dF11

dFt21

dFn21

Figura 7.4: Elemento δS , geometría y fuerzas que actúan

Las de tensión superficial, que actúan en cada uno de los lados de lasuperficie en dirección tangente a la misma, y cuyo módulo es σδl ,siendo δl la longitud del lado;

Las fuerzas que ejerce el fluido a sobre δS , que son ~~τa · ~na d S ;

Y, similarmente, las fuerzas que ejerce el fluido b .

Puesto que los fluidos a y b pueden estar en movimiento, las fuerzas ejer- Fuerzas fluidas en generalno normalescidas por los fluidos no estarán generalmente alineados con la normal a la

superficie.

Consideremos el elemento d S de la Figura 7.4. La superficie tiene en general Geometría del problema

curvatura, cuyos radios en dos planos ortogonales y normales a la superficieson son R1 y R2. Los ángulos subtendidos son δθ1 y δθ2. Los lados del ele-mento tienen por dimensiones δl1 y δl2. Sobre la superficie tomamos una


base de vectores ortogonales ~e1 y ~e2; dirigidas en dirección perpendicularestán las normales ~na , interior al fluido a , y ~nb , interior al fluido b .

La fuerza total debida a la tensión superficial es, en cada lado, el productoFuerza debida a la tensiónsuperficial de la tensión superficial por la longitud de lado (σδl ):

δF11 = σδl2

δF12 =

σ+∂ σ

∂ x1δl1

δl2

δF21 = σδl1

δF22 =

σ+∂ σ

∂ x2δl2

δl1 , (7.1)

donde se ha tenido en cuenta que σ puede ser variable, y se ha hecho undesarrollo en series de Taylor para calcular su valor en los lados del elemento.

La componente normal se obtiene proyectando las anteriores en direcciónComponente normal de lafuerza normal:

δF n11 = σδl2 sin(δθ1/2)

δF n12 =

σ+∂ σ

∂ x1δl1

δl2 sin(δθ1/2)

δF n21 = σδl1 sin(δθ2/2)

δF n22 =

σ+∂ σ

∂ x2δl2

δl1 sin(δθ2/2) , (7.2)

La fuerza total debida a la tensión superficial en dirección normal es por tan-Fuerza total sumando

to la suma de las cuatro anteriores. Despreciando infinitésimos, aproximan-do los senos por sus ángulos (puesto que los ángulos son infinitesimales), ytendiendo en cuenta que δli =Riδθi queda:

F nt s =σR2δθ1δθ2+σR1δθ1δθ2 . (7.3)

Respecto a las fuerzas de superficie causadas por los fluidos a y b sobre d S ,Fuerzas de superficie en losfluidos

7.3. Efecto en los esfuerzos tangenciales 125

si ~~τa y ~~τb son los tensores de esfuerzos en los respectivos fluidos, éstas son:

F ns f =

~nb · ~~τb

· ~n +

~na · ~~τa

· ~n

δl1δl2 =

=

~n · ~~τb

· ~n −

~n · ~~τa

· ~n

R1R2dθ1dθ2 , (7.4)

donde se ha considerado que ~n = ~nb =− ~na .

Puesto que la superficie no tiene masa, la condición de equilibrio implica la Balance

igualdad de ambas fuerzas:

F nt s = F n

s f ⇒σ

1

R1+

1

R2

=

~n · ~~τb

~n −

~n · ~~τa

~n

. (7.5)

La ecuación anterior indica que al cruzar una entrefase en la que hay tensión Significado

superficial y curvatura, la componente normal del tensor de esfuerzos novaría de forma continua, sino que experimenta un saltoσ(1/R1+1/R2).

Cuando los fluidos están en reposo, el tensor de esfuerzos es simplemente En fluidostática

~n · ~~τ=−p ~n y por tanto el lado derecho de la ecuación anterior es:

~n · ~~τb

· ~n −

~n · ~~τa

· ~n

= pa −pb , (7.6)

y por tanto introduciéndolo en la Ecuación 7.5, el salto de presiones a travésde la entrefase para fluidos en reposo es:

pa −pb =σ

1

R1+

1

R2

. (7.7)

Note que, por la deducción, pa es la presión del fluido en el lado cóncavo de Ojo: lado cóncavo y conve-xola superficie, y pb en el convexo. La presión en el lado cóncavo es por tanto

superior a la presión en el lado convexo de la entrefase.

7.3 Efecto en los esfuerzos tangenciales

Donde estudiamos el efecto de la tensión superficial en el campo de fuerzas tan-genciales dentro de los fluidos, haciendo un balance de fuerzas en dirección tan-gencial a la superficie


Para estudiar el efecto de la tensión superficial en los esfuerzos tangenciales,plantearemos el equilibrio de fuerzas en dirección tangencial de forma simi-lar a lo desarrollado en el apartado anterior para el equilibrio en direcciónnormal.

En primer lugar, las componentes tangenciales de las fuerzas debidas a laTensión superficial, com-ponentes tangenciales tensión superficial son, proyectando las fuerzas de las ecuaciones 7.1 (Figura

7.4):

δF t11 = σδl2 cos(

δθ1

2)

δF t12 =

σ+∂ σ

∂ x1δl1

δl2 cos(δθ1

2)

δF t21 = σδl1 cos(

δθ2

2)

δF t22 =

σ+∂ σ

∂ x2δl2

δl1 cos(δθ2

2) (7.8)

La fuerza de tensión superficial en dirección tangencial es el vector que re-Resultante vectorial

sulta de componer vectorialmente las anteriores. Teniendo en cuenta quepara los ángulos diferenciales considerados podemos aproximar el cosenopor la unidad, la fuerza neta es:

~F tt s =

δF t12−δF t

11

~e1+

δF t22−δF t

21

~e2 =

∂ σ

∂ x1~e1+

∂ σ

∂ x2~e2

d S

= (∇Sσ)δS , (7.9)

donde la última igualdad representa el gradiente de la tensión superficial σa lo largo de la superficie.

Por otro lado, la fuerza en dirección tangencial debida a los fluidos por elFuerzas en los fluidos

lado a y b es la diferencia entre la fuerza total y su componente normal:

~F ts f =

~~τa − ~~τb

· ~n −

~n ·

~~τa − ~~τb

· ~n

~n . (7.10)

En el equilibrio, ambas fuerzas son iguales (ya que el elemento diferencialBalance

de superficie no tiene masa):

~F tt s = ~F t

s f ⇒∇Sσ=

~~τa − ~~τb

· ~n −

~n ·

~~τa − ~~τb

· ~n

~n , (7.11)

7.4. Forma de la entrefase entre fluidos en reposo 127

que por tanto expresa el cambio en las componentes tangenciales de los ten-sores de esfuerzos cuando se atraviesa la entrefase.

Cuando los fluidos están en reposo, el segundo miembro es cero (el fluido en En fluidostática

reposo no tiene esfuerzos cortantes), y por tanto la ecuación anterior queda

∇Sσ= 0 , (7.12)

es decir, la tensión superficial σ es constante en la superficie de separacióndos fluidos en reposo.

7.4 Forma de la entrefase entre fluidos enreposo

Donde, usando lo anterior, deducimos dos casos límite para la forma de una su-perficie de entrefase cuando los fluidos están en reposo: plana y esférica

Para un fluido en reposo, cuando las fuerzas másicas ~fm derivan de un po- Campo de presiones, deEFFtencial, ~fm =−∇U , y la densidad es constante, la Ecuación Fundamental de

la Fluidostática queda (ecuación (6.11)) p +ρU =C .

Por tanto, si los dos fluidos a y b cumplen las condiciones anteriores, enton-ces sus respectivos campos de presiones pa y pb están dados por:

pa +ρaU =Ca ; pb +ρb U =Cb . (7.13)

Restando ambas se tiene:

pa −pb +

ρa −ρb

U =C1 . (7.14)

Sustituyendo en la Ecuación 7.7 resulta:

σ

1

R1+

1

R2

−

ρb −ρa

U =C1 . (7.15)


Si suponemos que la gravedad actúa según el eje x3 y en sentido negativo, elpotencial de fuerzas másicas es U = g x3, y se tiene:

σ

1

R1+

1

R2

−

ρb −ρa

g x3 =C1⇒

⇒

1

R1+

1

R2

−ρb −ρa

σg x3 =C2⇒

⇒1

R1+

1

R2−

x3

l 2c

=C3⇒ lc

1

R1+

1

R2

−x3

lc=C4 , (7.16)

donde hemos introducido el parámetro lc , que tiene dimensiones de longi-tud, y está definido como:

lc ¬√

√ σ

(ρb −ρa )g. (7.17)

De su definición, lc es la escala de longitud en la que los efectos de la tensiónlc compara fuerzas mási-cas y de tensión superficial superficial son comparables a los de la fuerza másica gravitatoria. Cuando

lc 1, la tensión superficial es la fuerza dominante; cuando lc 1, lo es lagravedad.

La Ecuación 7.16 proporciona la forma de la entrefase para un fluido en re-Dos casos límite

poso2. En esta forma podemos considerar de forma sencilla los dos casoslímite siguientes:

Cuando lc

1R1+ 1

R2

>> x3lc

, entonces 1R1+ 1

R2=C , que indica que la super-

ficie tiene curvatura constante (R1 =R2 =R , digamos), y por lo tanto esesférica. (Éste es por ejemplo el caso de gotas o burbujas esféricas). Dela Ecuación 7.7, podemos deducir el salto de presiones entre la partecóncava y la parte convexa de la superficie:

pa −pb =2σ

R(7.18)

Alternativamente, cuando lc

1R1+ 1

R2

<< x3lc

entonces x3lc=C y por tanto

la superficie libre es un plano horizontal.

2Para ello, habría que poner los radios de curvatura como función de la geometríaf (x1, x2, x3) = 0 de la superficie. El resultado es una ecuación diferencial, que habría queintegrar.

7.5. Efecto capilar 129

pb

pa

a

q

qR

pa

pb

H

Figura 7.5: Efecto capilar

7.5 Efecto capilar

Donde la tensión superficial explica el ascenso de un líquido por un tubo estrechoen el que se encuentra parcialmente sumergido

El efecto capilar es el ascenso de un liquido por un conducto de pequeño Qué es

diámetro desde el nivel de un reservorio. Este ascenso es un efecto de la ten-sión superficial y el ángulo de contacto entre los dos fluidos y un sólido; uti-lizando los resultados del análisis anterior se puede deducir una expresiónpara la altura alcanzada por el fluido como función del resto de los paráme-tros.

Consideremos la geometría de la Figura 7.5, en la que el conducto es de sec- Geometría

ción circular. Sea H la altura alcanzada por el líquido en el capilar sobre elnivel del reservorio, a el radio del capilar, R el radio de la entrefase (esféri-ca, bajo las hipótesis que dan lugar a la Ecuación 7.18), y sea θ el ángulo decontacto entre los fluidos y el sólido.

Por consideraciones trigonométricas, R = a/cosθ , y, por tanto, de la Ecua- Salto de presiones y trigo-nometríación 7.18:

pa −pb =2σ

R=

2σcosθ

a. (7.19)


Por otra parte, aplicando la Ecuación Fundamental de la Fluidostática, pa =De fluidostática

pb +ρb g H 3 y por tanto, combinando con la ecuación anterior:

H =2σ

ρb g

cosθ

a, (7.20)

que da el ascenso H del fluido por el capilar.Ascenso capilar

3Para esta aplicación se ha supuesto que pa es la misma en la parte superior de la co-lumna de fluido b y en el nivel del reservorio. Para que ello sea así, ha de cumplirse queρa ρb , como es el caso, por ejemplo, para aire y agua

Tema 4

Ecuaciones fundamentales

8

It’s all about a balance

Pronto (en el próximo capítulo) deduciremos las ecuaciones que gobiernan Ecuaciones fundamentales

el flujo fluido. Éstas son, entre otras, las ecuaciones de continuidad, cantidadde movimiento, momento cinético, especie química y energía (esta última ensus varias formas); las llamamos Ecuaciones Fundamentales.

En preparación para ello, en este capítulo deduciremos las ecuaciones pa-ra una propiedad genérica, que después particularizaremos muy eficiente-mente para cualquier propiedad de interés.

Primero deduciremos una forma integral de la ecuación, mediante la realiza- Ecuación=balance

ción de un balance de esta propiedad genérica en un volumen genérico. Por-que la ecuación es un balance, a veces se llama ecuación de conservación.En el primer apartado de este capítulo se definirá este volumen genérico conprecisión, y se constatará que los volúmenes de interés para el análisis de losproblemas no son siempre los más sencillos para formular las ecuaciones in-tegrales de conservación. Ello conducirá a la consideración de los llamadosvolúmenes fluidos y volúmenes de control, y a las correspondientes leyes deconservación que constituyen los Teoremas del Transporte de Reynolds.

A partir de la ecuación integral deduciremos en cada caso, de una forma Dos por el precio de una

muy sencilla, la ecuación diferencial; ésta puede interpretarse como el mis-mo principio de conservación, pero aplicado a un volumen diferencial defluido.

133

134 It’s all about a balance

8.1 Volúmenes fluidos y de control

Donde introducimos dos sencillos conceptos que ya no nos dejarán hasta el finalde la asignatura

Si queremos hacer el balance de una cantidad, hemos de empezar definien-Balance dónde?

do dónde queremos hacer el balance. En Mecánica de Fluidos, los balancesse hace en dos tipos de volumen: el volumen fluido y el volumen de control.

Se denomina volumen fluido (o volumen material, o sistema cerrado) a unVolumen fluido

volumen constituido por partículas fluidas. Como consecuencia, los lími-tes del volumen fluido (la llamada superficie fluida) se desplazan en cadapunto con la velocidad local del fluido (que denominamos ~v a lo largo de es-ta asignatura), y no existe flujo macroscópico (convectivo) de propiedadesfluidas a través de los límites. (Sí puede existir en general, sin embargo, flujomolecular, debido al transporte neto de propiedad asociado al movimientobrowniano de las moléculas.)

Se denomina volumen de control (o sistema abierto) a una región del espa-Volumen de control

cio rodeada por una superficie (llamada superficie de control) que se muevecon una velocidad arbitraria impuesta (que llamaremos a lo largo de estaasignatura ~vc ); como caso particular, que esta velocidad puede ser nula. Através de los límites del volumen de control (que se denominan superficiede control) sí puede haber flujo macroscópico de propiedades fluidas, puesla velocidad de la superficie no será, en general, coincidente con la del fluidoen cada punto.

Pronto veremos que las ecuaciones que gobiernan el flujo de fluidos se de-Y por qué dos?

ducen muy fácilmente en un volumen fluido; sin embargo, la mayor partede los volúmenes que se utilizan en el análisis de problemas de flujo fluidoson de control.

En particular, si el volumen tiene entradas o salidas de fluido (piense, porejemplo, en un tramo de tubería, o en una habitación con sus puertas y ven-tanas abiertas), la superficie de control en la entrada o salida se toma nor-malmente como fija en el espacio, mientras que la superficie fluida sería mó-vil. Cuando el volumen es completamente cerrado (por ejemplo, el conjunto

8.2. Teoremas del transporte de Reynolds 135

cilindro-pistón del motor de un coche en el tiempo de compresión), es tantoun volumen fluido como de control.

8.2 Teoremas del transporte de Reynolds

Donde enunciamos y deducimos tres teoremas clave (muy parecidos) para escri-bir balances de propiedades

Los tres Teoremas del Transporte de Reynolds (TTR) permiten calcular la va- TTR=“lado izquierdo” delbalanceriación temporal de propiedades fluidas en volúmenes fluidos y de control.

Por lo tanto, son esenciales para hacer balances de propiedades en esos vo-lúmenes, ya que la variación es, si quiere, el “lado izquierdo”; al otro lado delsigno igual, en el “lado derecho” del balance, están los fenómenos que ha-cen cambiar la cantidad de propiedad en el volumen; de este “lado derecho”hablaremos más adelante (pero no en esta sección).

Los dos primeros Teoremas del Transporte de Reynolds, respectivamente pa-ra volúmenes fluidos y de control, tienen una forma muy similar1.

Consideremos una propiedad intensiva genérica del fluido,φ. Intensiva sig- φ es una propiedad inten-siva genéricanifica por unidad de masa; piense por ejemplo en energía (J/kg). Entonces,

ρφ es la propiedad por unidad de volumen (J/m3).

El primer Teorema del Transporte de Reynolds establece cuánto varía la 1er TTR (TTR1)

cantidad de ρφ contenida en un volumen fluido Vf :

d

d t

∫

Vf

ρφd V =

∫

Vf

∂

ρφ

∂ td V +

∫

Sf

ρφ ~v · ~nd S . (8.1)

En la ecuación anterior, Vf es el volumen fluido, y Sf la superficie que lo ro-dea; ~v es la velocidad local del fluido, y por tanto también la de la superficiedel volumen (ya que ésta se mueve a la velocidad del fluido por ser un volu-men fluido); y ~n es la normal exterior a la superficie. Naturalmente, todas lasvariables dependientes en la ecuación pueden cambiar con el espacio y conel tiempo (pero omitimos ponerφ(~x , t ) etc para abreviar).

La interpretación de la Ecuación 8.1 es sencilla: la variación temporal de la TTR1 en palabras

1Presentamos por ahora estos teoremas sin su deducción; ésta puede encontrarse másadelante en esta sección.


cantidad de propiedad ρφ contenida en el volumen fluido Vf (lado izquier-do de la ecuación) tiene dos contribuciones (lado derecho): la primera esdebida a la variación local de la propiedad (incluso aunque el volumen nose mueva); la segunda contribución es debida a que el volumen se mueve enun campo en el que la propiedad no es constante. Note la similitud de estainterpretación con la de la derivada sustancial que hicimos en el Capítulo 3 .

El segundo Teorema del Transporte de Reynolds proporciona la variación2do TTR (TTR2)

temporal de ρφ en un volumen de control:

d

d t

∫

Vc

ρφd V =

∫

Vc

∂

ρφ

∂ td V +

∫

Sc

ρφ ~vc · ~nd S . (8.2)

Las variables en la ecuación anterior se definen de forma similar a las delprimer teorema, Ecuación 8.1, salvo que el volumen y la superficie son aho-ra de control, y ~vc es la velocidad local de la superficie de control (que pres-cribimos nosotros según nuestro interés, y por supuesto puede, como casoparticular, ser nula). La interpretación de la ecuación es también similar.

Las ecuaciones de la Mecánica de Fluidos pueden escribirse más fácilmente,Vf mejor para escribir la ec;Vc mejor para analizar pro-blema

en forma integral, en volúmenes fluidos: al ser sistemas cerrados, por cuyoslímites no hay un flujo macroscópico de propiedad, es más sencillo hacer so-bre ellos un balance. Sin embargo, en Ingeniería es más útil una formulaciónde las ecuaciones integrales en volúmenes de control, en los que el analis-ta puede prescribir cómo desea que se muevan los límites del dominio quepretende analizar.

Como corolario, parece importante encontrar una relación entre la derivadaPor qué un tercer teorema?

temporal en un volumen fluido (en el que se deducen las ecuaciones) y en unvolumen de control (en el que interesa aplicarlas). Dicha relación es el TercerTeorema del Transporte de Reynolds, y resulta de restar las ecuaciones 8.1 y8.2.

Para ello, consideraremos un volumen V en el tiempo t (Figura 8.1). La cla-ve es que ese volumen V en un tiempo dado t puede ser considerado tantoVf y Vc pueden ser el mis-

mo V en un t dado como un volumen fluido como un volumen de control. Es sólo un instantedespués, en t +δt , que podemos distinguir si es un volumen fluido (cuyospuntos se habrán movido localmente con la velocidad del fluido ~v para con-vertirse en t +δt en Vf (t +δt )) o un volumen de control (cuyos puntos sehabrán movido con una velocidad arbitraria ~vc para convertirse en t +δt enVc (t +δt )).


V (t+dt)

V (t+dt)

c

f

V (t) = f V (t)c

v

vc

Figura 8.1: Evolución con el tiempo de un volumen considerado alternativa-mente como fluido y de control

Por tanto restando las ecuaciones 8.1 y 8.2: TTR1-TTR2

d

d t

∫

Vf (t )

ρφd V =d

d t

∫

Vc (t )

ρφd V +

∫

Vf (t )

∂

ρφ

∂ td V −

∫

Vc (t )

∂

ρφ

∂ td V +

+

∫

Sf (t )

ρφ ~v · ~nd S −∫

Sc (t )

ρφ ~vc · ~nd S . (8.3)

Teniendo en cuenta que Vf (t ) =Vc (t ), podemos cancelar el segundo y tercer Cancelamos y agrupamos

término del lado derecho; y dado que Sf (t ) = Sc (t ), podemos agrupar los dosúltimos bajo la misma integral. La ecuación queda: 3er TTR (TTR3)

d

d t

∫

Vf (t )

ρφd V =d

d t

∫

Vc (t )

ρφd V +

∫

Sc (t )

ρφ ( ~v − ~vc ) · ~nd S , (8.4)

que es el Tercer Teorema del Transporte de Reynolds, y relaciona la deri-vada de la cantidad de propiedad φ en un volumen de control Vc (t ) con la


Figura 8.2: Volumen de fluido móvil

derivada de la cantidad de esa propiedad en el volumen fluido Vf (t ) que enel tiempo t coincide con Vc (t ).

Note que ~v − ~vc es la velocidad de fluido relativa a la superficie de control, yVelocidad de ingestión ytérmino de ingestión ( ~v − ~vc ) · ~n es la velocidad normal del flujo saliente (o entrante) a través de la

superficie de control Sc , y se denomina velocidad de ingestión. La integralque contiene esta velocidad de ingestión se denomina término de ingestión.

El término de ingestión es nulo cuando ( ~v − ~vc )· ~n es cero; es decir, allí dondeCuando es nulo el términode ingestión? el fluido no cruza la superficie de control, bien porque aquél tiene la veloci-

dad de ésta ( ~v = ~vc ), bien porque la velocidad relativa entre ambas es en cadapunto paralela a la superficie de control (( ~v − ~vc ) ⊥ ~n). Ejemplos de superfi-cie de control en las que el término de ingestión es nulo incluyen aquellassuperficies que coinciden con paredes sólidas o con superficies libres.

8.2.1 Deducción del Primer y Segundo Teoremas

En este apartado deduciremos el primer y segundo Teoremas del Transportede Reynolds (Ecuaciones 8.1 y 8.1).

Consideremos un volumen V (t ) de un fluido, cuyos límites S (t ) se muevenSituación considerada

con una velocidad genérica2 vS (~x , t ), Figura 8.2. Debido a esta velocidad, ent + δt el volumen es V (t +δt ). Sea φ una propiedad intensiva del fluido(esto es, una propiedad definida por unidad de masa).

2Genérica quiere decir que, por el momento, no especificaremos si es la velocidad delfluido u otra cualquiera impuesta.


dS

vSv

S

n

dV*= v n dt dSSn

Figura 8.3: Volumen de fluido en t y en t +δt

La cantidad total de propiedadφ en V es, en t : φ en V en t

I (t ) =

∫

V (t )

ρ (t )φ (t )d V , (8.5)

y, en t +δt : φ en V en t +δt

I (t +δt ) =

∫

V (t+δt )

ρ (t +δt )φ (t +δt )d V . (8.6)

La derivada de la cantidad de φ con respecto al tiempo puede calcularse a Definición de derivada

partir de la definición de derivada como

d I

d t= lımδt→0

I (t +δt )− I (t )δt

(8.7)

Para calcular la derivada anterior se tendrán en cuenta dos resultados querelacionan las propiedades en t con las propiedades en t +δt .

En primer lugar, mediante un desarrollo truncado en series de Taylor puede Trasiego entre t y t + δtusando Taylorescribirse:

ρ (t +δt )φ (t +δt ) =ρ (t )φ (t )+∂

ρ(t )φ(t )

∂ tδt +O

δt 2

. (8.8)

En segundo lugar, una integral de cualquier función f (~x , t ) extendida al vo- Trasiego entre V (t ) y V (t +δt ) usando Leibnizlumen en t , V (t ), puede relacionarse con la integral en el volumen en t +δt ,

V (t +δt ) como sigue:∫

V (t+δt )

f (~x , t )d V =

∫

V (t )

f (~x , t )d V +

∫

S (t )

f (~x , t ) ~vS · ~nδt d S . (8.9)


Esta ecuación no es sino una generalización de la regla de Leibniz (que sepuede encontrar en cualquier buen libro de Cálculo); pero también puedeexplicarse gráficamente con la ayuda de la Figura 8.3.

Con referencia a esta figura, último término de la Ecuación 8.9 representa el“Demostración” gráfica

volumen barrido por los límites de V (t ) (esto es, por S (t )) cuando se muevencon velocidad ~vS (t ) durante un tiempo δt (esto es, ~vS · ~nδt d S puede inter-pretarse como el d V ∗ indicado en la Figura 8.3). En una parte de la superficieel producto ~vS · ~n es negativo, y el volumen correspondiente (punteado en laFigura 8.3) se resta en la Ecuación 8.9, mientras que en la otra zona de lasuperficie es positivo, y el volumen barrido (rayado en la Figura 8.3) se su-ma. En consecuencia, el último término de la Ecuación 8.9 es justamente ladiferencia entre los primeros.

Por tanto, utilizando las Ecuaciones 8.8 y 8.9 en la definición de derivada(Ecuación 8.7), se tiene:

d I

d t= lımδt→0

δI

δt= lımδt→0

1

δt[I (t +δt )− I (t )]≈

≈ lımδt→0

1

δt[

∫

V (t+δt )

ρ(t )φ(t ) +∂ (ρφ)∂ t

δt

d V −

−∫

V (t )

ρ(t )φ(t )d V ] =

= lımδt→0

1

δt[

∫

V (t )

ρ(t )φ(t ) +∂ (ρφ)∂ t

δt

d V +

+

∫

S (t )

ρ(t )φ(t ) +∂ (ρφ)∂ t

δt

δt ~vS · ~nd S −∫

V (t )

ρ(t )φ(t )d V ] =

=

∫

V (t )

∂ (ρφ)∂ t

d V +

∫

S (t )

ρ(t )φ(t ) ~vS · ~nd S ,

donde se ha tenido en cuenta en la última igualdad que los términos quequedan multiplicados por δt tienden a cero cuando δt lo hace.

Por tanto, del primer y último término:

d I

d t=

d

d t

∫

V

ρφd V =

∫

V

∂

ρφ

∂ td V +

∫

S

ρφ ~vS · ~nd S , (8.10)

8.3. Ecuación integral 141

en la que todas las variables, volúmenes y superficies están evaluadas en t .

En la deducción de la Ecuación 8.10 no se ha utilizado ninguna hipótesisen relación a la velocidad genérica ~vS con la que se mueve la superficie Sdel volumen V . Como casos particulares, ~vS puede ser la velocidad local delfluido, ~v (y entonces el volumen y la superficie S son fluidos, Vf y Sf ), o puedeser una velocidad impuesta ~vc , (y entonces el volumen V y la superficie S sonde control, Vc y Sc ). Ambas situaciones dan lugar, respectivamente, al primery segundo Teorema del Transporte de Reynolds (Ecuaciones 8.1 y 8.1):

Primer teorema del Transporte de Reynolds ( ~vS = ~v , V =Vf , S = Sf ):

d

d t

∫

Vf

ρφd V =

∫

Vf

∂

ρφ

∂ td V +

∫

Sf

ρφ ~v · ~nd S .

Segundo Teorema del Transporte de Reynolds ( ~vS = ~vc , V =Vc , S = Sc ):

d

d t

∫

Vc

ρφd V =

∫

Vc

∂

ρφ

∂ td V +

∫

Sc

ρφ ~vc · ~nd S .

8.2.2 What’s nextUsando estos teoremas del transporte de Reynolds, en las secciones siguien-tes se desarrolla el procedimiento para deducir las ecuaciones que gobier-nan el flujo fluido. El procedimiento lo aplicaremos a una propiedad gené-rica intensivaφ.

El procedimiento es el siguiente: las ecuaciones integrales se deducen esta-bleciendo la conservación de las propiedades en un volumen fluido; estasecuaciones integrales pueden después ser transformadas en ecuaciones di-ferenciales con sencillas manipulaciones matemáticas.

8.3 Ecuación integral

Donde, usando los Teoremas del Transporte de Reynolds para hacer un balance,deducimos una ecuación integral para la conservación de la propiedadφ


Debido a que las ecuaciones integrales para una propiedad del fluido se de-Ecuaciones de conserva-ción, o de transporte rivan de principios de conservación de esa propiedad, a menudo se deno-

minan ecuaciones de conservación. Las ecuaciones diferenciales se deno-minan también ecuaciones de conservación, y a menudo alternativamenteecuaciones de transporte3.

8.3.1 DeducciónConsideremos de nuevo la propiedad intensivaφ. Puesto queφ es una pro-El balance es de ρφ

piedad por unidad de masa de fluido, ρφ es la cantidad deφ por unidad devolumen de fluido. (Si le resulta difícil manejarse en este nivel de abstrac-ción, piense que la propiedad φ es la entalpía por unidad de masa, o unafracción másica de una especie química.)

A continuación consideremos un volumen fluido arbitrario Vf . En el volu-En un volumen fluido Vf ...

men fluido no hay ingestión macroscópica de fluido, y por tanto no hay in-gestión macroscópica deφ. La cantidad deφ en el volumen sólo puede cam-biar con el tiempo debido al flujo molecular de propiedad (por ejemplo, porla ley de Fick) a través de límites del volumen, o por la generación o des-trucción deφ en el volumen (por ejemplo, por reacción química). Esta fraseanterior se expresa matemáticamente como:... éste es el balance

d

d t

∫

Vf

ρφd V =−∫

Sf

ρφ ~vd · ~nd S +

∫

Vf

wφd V . (8.11)

Aquí, ~vd es una velocidad de difusión de φ, que es a menudo causada porgradientes de la propia propiedad, por ejemplo ~vd = −Dφ∇φ); y la integrales el flujo difusivo deφ a través de la superficie. En el último término, ωφ esla tasa de generación volumétrica deφ.

El Primer Teorema del Transporte de Reynolds nos permite cambiar el pri-mer miembro, para expresar:

∫

Vf

∂

ρφ

∂ td V +

∫

Sf

ρφ ~v · ~nd S =−∫

Sf

ρφ ~vd · ~nd S +

∫

Vf

wφd V . (8.12)

Para analizar un problema, casi siempre necesitamos hacer este balance enEn un volumen de control

un volumen cuyo movimiento (o ausencia de) nosotros prescribimos; estoes, en un volumen de control. Para transformar el balance en un balance en

3Porque describen cómo se transporta la propiedad.

8.3. Ecuación integral 143

Figura 8.4: Interpretación de la ecuación integral como un balance en el vo-lumen de control; note los fenómenos que tienen lugar sólo a través de lasuperficie. El vector rojo inferior es la velocidad de ingestión, ( ~v − ~vc ) · ~n

un volumen de control, podemos utilizar el Tercer Teorema del transportede Reynolds, resultando:

d

d t

∫

Vc

ρφd V +

∫

Sc

ρφ ( ~v − ~vc )· ~nd S =−∫

Sc

ρφ ~vd · ~nd S+

∫

Vc

wφd V . (8.13)

Cualquiera de las tres ecuaciones (8.11)-(8.13) expresa el balance deφ en unvolumen; de ellas, la última (Ecuación 8.13) tiene la ventaja de estar formu-lada en un volumen de control, la velocidad ~vc de cuyos límites podemosdefinir arbitrariamente con independencia de la velocidad del fluido.

8.3.2 Significado físico

La Ecuación 8.13 tiene una interpretación física muy sencilla; sus términos Familiarícese con esto; leayudará en teor y probs!se llaman, y significan, lo siguiente (vea la Figura 8.4 para una ilustración):

d

d t

∫

Vc

ρφd V

I T

+

∫

Sc

ρφ ( ~v − ~vc ) · ~nd S

I I

=−∫

Sc

ρφ ~vd · ~nd S

I D

+

∫

Vc

wφd V

I G

.


IT es el término transitorio, e indica cómo cambia con el tiempo la can-tidad extensiva4 comprendida en el volumen de control como conse-cuencia del resto de procesos en la ecuación.

II es el término de ingestión, del cual hemos hablado en la Sección 8.2. Re-presenta cuánta propiedadφ entra y sale del volumen de control con elfluido que atraviesa sus límites (que son la superficie de control). Sóloes distinto de cero donde (1) hay velocidad relativa entre la superficiede control y el fluido (( ~v − ~vc ) 6= 0) y (2) esa velocidad relativa atraviesala superficie (( ~v − ~vc ) · ~n 6= 0). Note que, tal y como está escrito, la velo-cidad relativa es saliente del volumen de control; por eso este términoestá con signo positivo en el lado izquierdo (o, si quiere, estaría consigno negativo en el lado derecho): cuando es positivo, II disminuye lacantidad de propiedad encerrada en el volumen de control.

ID es un término difusivo, debido a los procesos que llamábamos en el Ca-pítulo 2 fenómenos de transporte. Estos fenómenos están representa-dos en esta ecuación por una velocidad de difusión ~vd ; como sabemos,la difusión es a menudo una función, más o menos sofisticada, de losgradientes de la variable. Note que sólo hay contribución al balancecuando hay intercambio difusivo con el exterior del volumen de con-trol; naturalmente, los flujos difusivos dentro del volumen no cambianel balance deφ.

IG es el término fuente, de generación o destrucción deφ en cada punto delvolumen de control, por las causas que sean (por ejemplo, la genera-ción de una especie por la reacción química; o de calor por radiación).

(La interpretación de las ecuaciones integrales en volúmenes fluidos es, mu-tatis mutandis, similar.)

8.4 Ecuación diferencial

Donde, de una manera muy sencilla, transformamos el balance en un volumenen el balance en un punto; esto es, la ecuación integral en una ecuación diferen-cial

4φ, recuerde, es intensiva (por unidad de masa); por ejemplo J/kg;ρφ es por unidad devolumen, por ejemplo J/m3; la integral son J (es decir, energía); e IT es potencia, por ejemploW (es decir, como cambia la energía por unidad de tiempo).

8.4. Ecuación diferencial 145

8.4.1 DeducciónUna ecuación diferencial para φ puede deducirse fácilmente a partir de laecuación integral (Ecuación 8.12). Para ello, primero aplicamos el Teoremade Gauss para transformar las integrales de superficie en integrales de volu- Aplicamos teorema de

Gaussmen. La ecuación queda:∫

Vf

∂ (ρφ)∂ t

d V +

∫

Vf

∇·

ρφ ~v

d V =−∫

Vf

∇·

ρφ ~vd

d V +

∫

Vf

wφd V ; (8.14)

o, rearreglando: Pasamos todo a un miem-bro...

∫

Vf

∂ (ρφ)∂ t

+∇·

ρφ ~v

+∇·

ρφ ~vd

− wφ

d V = 0 . (8.15)

Puesto que la ecuación es válida para cualquier volumen de control Vf (o si ...espolvoreamos con pol-vos mágicos...se quiere, haciendo tender Vf → d V ), concluimos que el integrando ha de

ser nulo: ...et voilà

∂ ρφ

∂ t+∇·

ρφ ~v

=−∇·

ρφ ~vd

+ wφ . (8.16)

La ecuación anterior es la ecuación diferencial de conservación (o transpor-te) deφ.

8.4.2 Significado físicoDado que la ecuación diferencial es, por así decirlo, una adaptación de la Parecido a ec integral

ecuación integral para hacer el balance en un punto, no es sorprendente quela interpretación de sus términos sea parecida. Así:

∂ ρφ

∂ tT T

+∇·

ρφ ~v

T C

=−∇·

ρφ ~vd

T D

+ wφ

T F

TT es el término transitorio, responsable del cambio local (en el punto con-siderado) de la propiedad con el tiempo como resultado del balancedel resto de los términos de la ecuación.

TC es el término convectivo, que aporta la contribución al balance del mo-vimiento deφ por el campo de velocidades (es decir, de la conveccióndeφ). Recuerde de la Sección 0.10 que la divergencia∇· no es sino unbalance de flujos, en este caso de los flujos convectivosρφ ~v que salendel punto.


TD es un término difusivo, responsable de la contribución al balance localde los flujos moleculares (fenómenos de transporte).

TF es el término fuente, de generación o destrucción local deφ (por ejem-plo, la generación de una especie por la reacción química; o de calorpor radiación).

8.5 En forma de derivada sustancial

Donde otra simple transformación nos permite, con la ecuación diferencial, leerleel futuro a la partícula fluida

8.5.1 DeducciónLa ecuación diferencial anterior puede modificarse ligeramente para trans-Transformar por transfor-

mar es tontería, pero si hayque transformar se trans-forma

formarla en una derivada sustancial, que expresa, como hemos visto en elCapítulo 3, el cambio deφ en la partícula fluida.

Desarrollando el primer miembro de la Ecuación 8.16 se tiene:Derivada del producto yagrupación conveniente

∂ ρφ

∂ t+∇·

ρφ ~υ

=φ

∂ ρ

∂ t+∇·

ρ ~v

+ρ∂ φ

∂ t+ρ ~v ·∇φ , (8.17)

donde el término entre corchetes es nulo, como se verá más adelante, porser el lado izquierdo de la ecuación de continuidad, Ecuación 9.7.

Por tanto, la ecuación de conservación (8.16) se puede escribir alternativa-mente (sin ninguna hipótesis sobre la densidad) como:

ρ∂ φ

∂ t+ρ ~v ·∇φ =−∇·

ρφ ~vd

+ wφ . (8.18)

El lado izquierdo de la ecuación anterior es la definición de derivada sustan-Aparece la derivada sustan-cial cial (multiplicada por la densidad):

ρ

∂ φ

∂ t+ ~v ·∇φ

=ρDφ

D t, (8.19)

y por tanto la ecuación de conservación puede escribirse como:Ec en forma de derivadasustancial

ρDφ

D t=−∇·

ρφ ~vd

+ wφ . (8.20)

8.5. En forma de derivada sustancial 147

8.5.2 Significado físicoLa ecuación anterior indica el cambio total de φ (multiplicado por la den-sidad) que experimenta la partícula fluida a medida que se mueve. En el la-do derecho aparecen las dos posibles causas del cambio: el flujo difusivo depropiedad (debido a fenómenos de transporte, Capítulo 2); y la generacióno destrucción local deφ.

9

Ecuaciones de conservación

En este capítulo deduciremos las ecuaciones generales que gobiernan el flu-jo fluido.

Para ello, nos basaremos en las ecuaciones integral y diferencial genéricas(para una variable intensiva cualquiera φ) desarrolladas en el capítulo an-terior. Particularizaremos estas ecuaciones generales para obtener las ecua-ciones para las principales variables de interés en Mecánica de Fluidos: lamasa, la cantidad de movimiento, el momento cinético y la energía.

El capítulo concluye con un resumen de las ecuaciones diferenciales y algu-nas consideraciones sobre sus correspondientes condiciones de contorno.

9.1 Ecuación de continuidad

Donde deducimos la ecuación de continuidad, que expresa la conservación demasa

9.1.1 Forma integralLa ecuación de continuidad en forma integral puede formularse de una for- La masa se conserva en un

volumen fluidoma muy sencilla en un volumen fluido. Dado que no hay flujo neto flujo netode materia a través de la superficie fluida1, la masa encerrada en el volumen

1 El movimiento browniano de las moléculas no produce un flujo neto de masa.

149

150 Ecuaciones de conservación

fluido se conserva; es decir, su variación es nula:

d

d t

∫

Vf

ρd V = 0 . (9.1)

Note las dimensiones (o unidades, si quiere particularizar en un sistema deDimensiones, dimensio-nes! medida) del término izquierdo: la densidad es masa por unidad de volumen

(kg/m3); la integral es masa (kg); y la ecuación es masa por unidad de tiempo(kg/s).

El primer miembro puede transformarse, para introducir la derivada dentroUsando TTR1

de la integral, usando el Primer Teorema de Transporte de Reynolds, Ecua-ción 8.1 conφ = 1:

d

d t

∫

Vf

ρd V =

∫

Vf

∂ ρ

∂ td V +

∫

Sf

ρ ( ~v · ~n )d S . (9.2)

Por tanto, la Ecuación 9.2 queda:Ecuación de continuidaden un volumen fluido

∫

Vf

∂ ρ

∂ td V +

∫

Sf

ρ ( ~v · ~n )d S = 0 , (9.3)

que otra forma de la ecuación de continuidad en un volumen fluido.

En flujos con densidad constante la ecuación anterior se simplifica a:Si ρ cte

∫

Sf

( ~v · ~n )d S = 0 , (9.4)

que indica que no hay flujo volumétrico neto a través de Sf .

La ecuación de continuidad puede escribirse para un volumen de controlTTR3

aplicando al primer miembro de la Ecuación 9.1 el Tercer Teorema de Trans-porte de Reynolds, Ecuación 8.4, conφ = 1:

d

d t

∫

Vf

ρd V =d

d t

∫

Vc

ρd V +

∫

Sc

ρ[( ~v − ~vc ) · ~n ]d S . (9.5)

Teniendo en cuenta nuevamente que el primer miembro es nulo, la ecuaciónContinuidad en un volu-men de control de continuidad en un volumen de control queda:

d

d t

∫

Vc

ρd V +

∫

Sc

ρ [( ~v − ~vc ) · ~n ]d S = 0 . (9.6)

9.1. Ecuación de continuidad 151

El segundo término de la Ecuación 9.6, o término de ingestión, representa el Interpretación

gasto másico que sale de Vc a través de Sc , debido a la diferencia de velocida-des entre el fluido, ~v , y la superficie del volumen de control, ~vc . La ecuaciónindica que este flujo saliente neto es el que hace variar la cantidad de masaencerrada en el volumen, que es el primer término.

La ecuación de continuidad se usa a menudo para calcular: Para qué se usa?

Un área (por ejemplo, de salida del fluido);

Una velocidad (por ejemplo, de salida del fluido);

La variación de un volumen (primer término en la ecuación), por ejem-plo del volumen de líquido encerrado en un depósito que se está lle-nando.

En cualquiera de los casos hay que conocer, por supuesto, el resto de térmi-nos de la ecuación (por ejemplo, sucesivamente en relación a la lista ante-rior: el resto de áreas y todas las velocidades en entradas y salidas; el resto develocidades y todas las áreas en entradas y salidas; todos los gastos másicosen entradas y salidas).

9.1.2 Forma diferencialLa ecuación de continuidad en forma diferencial se deduce a partir de la Ec de continuidad diferen-

cialecuación integral en el volumen fluido, Ecuación 9.3, siguiendo el procedi-miento descrito en la Sección 8.4. El resultado es:

∂ ρ

∂ t+∇·

ρ ~v

= 0 , (9.7)

que es la ecuación de continuidad en forma diferencial.

Para densidad constante, la ecuación se simplifica a: Si ρ cte

∇· ~v = 0 . (9.8)

Un resultado relacionado con el anterior es la Ecuación 4.36, que establece Ya lo había dicho yo

que ∇ · ~v , que es la traza del tensor velocidad de deformación (ei i ) y es lavelocidad de dilatación volumétrica unitaria local, es nula si la densidad esconstante. La Ecuación 9.8 es el mismo resultado, deducido a partir de laecuación de continuidad.


9.2 Ecuación de conservación de una especiequímica

Donde deducimos una ecuación para la conservación de la especie química ha-ciendo un balance, en el que consideramos, en el lado derecho, los procesos quepueden hacer cambiar la cantidad de especie química en un volumen fluido: ladifusión y la reacción química

El estado químico de los sistemas fluidos multicomponente (en las que co-Cómo se mide cuánta espe-cie hay existen varias especies químicas) se caracteriza localmente por su composi-

ción. Existen varias formas de especificar la cantidad local de cada especiequímica2, pero en este apartado se utilizará la fracción másica, o masa de ca-da especie por unidad de masa de mezcla (por ejemplo, kilogramos de oxí-geno por kilogramo de aire). La fracción másica de una especie A se denotarápor yA.

9.2.1 Forma integral

La forma integral de la ecuación de conservación de una especie química APor qué varía yA en un volfluido? expresa la variación de masa de A en un volumen fluido o de control. En el

volumen fluido, dicha variación es generalmente debida a sólo dos causas:

1. El flujo difusivo (molecular) de A a través de los límites Sf del volumen,que se representará como el producto de la densidad ρ por una velo-cidad de difusión ~vdA

. (Puesto que el volumen es fluido, no hay flujomacroscópico de materia a través de sus límites).

2. La reacción química, que crea (o destruye) especie A mediante sutransformación a partir de (o en) otras especies químicas. Este términose representará por ωA (dimensiones: masa de A por unidad de volu-men y tiempo, eg kg de A/m 3s ).

Las contribuciones al cambio de especie A en el volumen fluido indicadasBalance

2Fracción másica, fracción molar, concentración molar y molalidad, entre otros.

9.2. Ecuación de conservación de una especie química 153

anteriormente se expresan matemáticamente como:

d

d t

∫

Vf

ρyAd V =−∫

Sf

ρyA ~vdA· ~nd S +

∫

Vf

ωAd V , (9.9)

donde puede comprobar que el primer miembro es cuanto cambia la masa Interpretación

de A encerrada volumen de control por unidad de tiempo (kgA/s) en el signonegativo del segundo término indica que ~vdA

se considera velocidad saliente.Por tanto, el producto ~vdA

· ~n , que es positivo (por que la normal es externa),contribuye negativamente a la derivada del primer término (disminuye lacantidad de A en el volumen de control).

Utilizando en la Ecuación 9.9 el Primer Teorema del Transporte de Reynolds Ec para yA en vol fluido

(Ecuación 8.1) conφ = yA queda:

∫

Vf

∂

ρyA

∂ td V +

∫

Sf

ρyA ~v · ~nd S =−∫

Sf

ρyA ~vdA· ~nd S+

∫

Vf

ωAd V . (9.10)

La velocidad de difusión ~vdAresponde frecuentemente a la ley de Fick (Ecua- Ley de Fick

ción 2.4):

−yA ~vdA=DA∇yA , (9.11)

donde DA es el coeficiente de difusión de A en la mezcla multicomponentede especies químicas.

La Ecuación 9.10 queda, por tanto, en un volumen fluido y si difusión es se- Ec para yA en vol fluido conFickgún la Ley de Fick:

∫

Vf

∂

ρyA

∂ td V +

∫

Sf

ρyA ~v · ~nd S =

∫

Sf

ρDA∇yA · ~nd S+

∫

Vf

ωAd V . (9.12)

La ecuación anterior puede expresarse en un volumen de control utilizando Ec para yA en vol controlcon Fickel Tercer Teorema de Transporte de Reynolds (Ecuación 8.4):

d

d t

∫

Vc

ρyAd V +

∫

Sc

ρyA[( ~v − ~vc ) · ~n ]d S =

∫

Sc

ρDA∇yA · ~nd S+

∫

Vc

ωAd V .

(9.13)

Un uso típico de esta ecuación es el cálculo de la concentración (fracciónmásica) de una especie química a la salida, conociendo el resto de los térmi- Para qué se usa?

nos.


9.2.2 Forma diferencialProcediendo como en la Sección 8.4 con la Ecuación 9.12, queda:Ec diferencial para yA

∂

ρyA

∂ t+∇·

ρyA ~v

=∇·

ρDA∇yA

+ ωA , (9.14)

que es la ecuación de conservación de la especie química en forma diferen-cial3.

9.3 Ecuación de conservación de la cantidad demovimiento

Donde deducimos la ecuación de conservación de la cantidad de movimientoρ ~v ,que no es otra cosa que un balance de fuerzas (Segunda Ley de Newton)

9.3.1 Forma integralEn Mecánica se denomina cantidad de movimiento, o momento lineal, alQué es cantidad de movi-

miento? producto de la masa por la velocidad. En Mecánica de Fluidos, denomina-mos cantidad de movimiento al producto ρ ~v (que, por tanto, estrictamentees cantidad de movimiento por unidad de volumen).

Para φ = ~v en la ecuación general, Ecuación 8.11, se obtiene en el lado iz-quierdo la variación de la cantidad de movimiento contenida en el volumenfluido. La Segunda Ley de Newton establece que este cambio es debido a lasQué hace variar la cantidad

de movimiento fuerzas que actúan sobre el fluido encerrado en el volumen, fuerzas que pue-den ser de superficie ( ~n · ~~τ, que actúan sobre cada diferencial de superficieRepase Cap 5

en Sf ) o de volumen (ρ ~fm , que actúan sobre cada diferencial de volumen enVf ):

d

d t

∫

Vf

ρ ~v d V =

∫

Sf

~n · ~~τd S +

∫

Vf

ρ ~fm d V . (9.15)

Equivalentemente, aplicando el Primer Teorema del Transporte de ReynoldsCantimov en vol fluido

3El tratamiento del término difusivo en la ecuaciones de esta sección es mediante unmodelo muy simplificado que puede ser insuficiente para algunas aplicaciones en Ingenie-ría Química. Para el desarrollo completo del término difusivo, véase, por ejemplo, “Com-bustion Theory”, F. A. Williams, The Benjamin/Cummings Publishing Company, 1985.

9.3. Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento 155

al primer miembro:

∫

Vf

∂ ρ ~v

∂ td V +

∫

Sf

ρ ~v ( ~v · ~n )d S =

∫

Sf

~n · ~~τd S +

∫

Vf

ρ ~fm d V . (9.16)

La ecuación en un volumen de control se obtiene mediante el Tercer Teore- Cantimov en vol control

ma del Transporte de Reynolds:

d

d t

∫

Vc

ρ ~v d V +

∫

Sc

ρ ~v [( ~v − ~vc ) · ~n ]d S =

∫

Sc

~n · ~~τd S+

∫

Vc

ρ ~fm d V . (9.17)

El uso más frecuente de la ecuación integral de cantidad de movimiento es el Para qué se usa?

cálculo de las fuerzas entre el fluido y una superficie sólida; esto es, el primertérmino del segundo miembro (con la integral restringida a la superficie só-lida en cuestión). Para ello, hay que conocer (o suponer valores para) el restode los términos de la ecuación.

9.3.2 Forma diferencialDe forma análoga a como se procedió en la Sección 8.4, la Ecuación 9.16 Cantimov diferencial

queda en forma diferencial:

∂

ρ ~v

∂ t+∇·

ρ ~v ~v

=∇· ~~τ+ρ ~fm . (9.18)

La ecuación anterior es una ecuación vectorial (esto es, está compuesta de Achtung! Ec vectorial

tres ecuaciones escalares para cada una de las tres componentes del vectorvelocidad). Note que el producto ~v ~v es un producto diádico, y no escalar. Achtung! ~v ~v producto diá-

dicoEl resultado de este producto diádico es un tensor, cuya componente i j esvi v j .

Frecuentemente, la contribución del tensor de esfuerzos se expresa explíci- Desdoblamos ~~τ

tamente como la suma de la parte de presión y la parte de esfuerzos viscosos,

∇· ~~τ=−∇p +∇· ~~τ′.

Introduciéndolo en la Ecuación 9.18 queda la siguiente forma:

∂

ρ ~v

∂ t+∇·

ρ ~v ~v

=−∇p +∇· ~~τ′+ρ ~fm , (9.19)

ecuación en la que aparecen, en el lado derecho, las tres posibles fuerzas que Tres fuerzas aceleran elfluidocausan la aceleración del fluido: el gradiente de presión, las fuerzas viscosas


y las fuerzas másicas. Si está última interpretación le parece ininteligible esque no ha estudiado bien la Sección 8.5, en la que demostramos que el ladoizquierdo de la ecuación puede ponerse como4:Cantimov como: masa ×

aceleración = suma defuerzas ∂

ρ ~v

∂ t+∇·

ρ ~v ~v

=ρD ~v

D t, (9.20)

con lo que la Ecuación 9.19 queda:

ρD ~v

D t=−∇p +∇· ~~τ′+ρ ~fm , (9.21)

donde en el lado izquierdo puede reconocer la aceleración del fluido (de lapartícula fluida, para hablar con propiedad), y en el lado derecho las tresfuerzas mencionadas.

Si no es usted un groupie de las ecuaciones vectoriales5, puede trabajar conEscalarización

una ecuación escalar sin más que tomar una componente, por ejemplo la i ,en la ecuación vectorial 9.19. Esto no es materia de premio Nobel; basta conque mire, en cada término, cuál su componente i . Por ejemplo, la compo-nente i del término de fuerzas másicas es ρ fm i ; la del término temporal es∂ ρvi/∂ t ; la del gradiente de presiones es ∂ p/∂ xi . Las divergencias son másrebeldes, pero ya sabe que es el subíndice no contraído el que indica la direc-ción; por ejemplo, la componente i del término convectivo es ∂ ρvi v j/∂ x j

Con ello, la componente i de la Ecuación 9.19 es:Ec escalar ahora (compo-nente i )

∂ ρvi

∂ t+∂

∂ x j

ρvi v j

=∂ τi j

∂ x j+ρ fmi

=−∂ p

∂ xi+∂ τ′i j

∂ x j+ρ fmi

. (9.22)

La ecuación (y en particular el término de esfuerzos) se simplifica algo en elcaso de densidad constante. Puesto que el tensor de esfuerzos viscosos es∇· ~~τ′ para ρ cte

τ′i j =µ

∂ v j

∂ xi+∂ vi

∂ x j

+

µv −2

3µ

(∇· ~v )δi j , (9.23)

cuando la densidad ρ es constante (y por tanto∇ · ~v = 0), entonces la com-ponente i de la divergencia del tensor de esfuerzos viscosos vale:

∇·~~τ′

i

=∂

∂ x j

µ

∂ vi

∂ x j+∂ v j

∂ xi

=µ

∂ 2vi

∂ x 2j

+∂

∂ xi

∂ v j

∂ x j

=µ∇2vi , (9.24)

4Lo hicimos para la ecuación escalar paraφ, no para una ecuación vectorial como estapara ~v ; pero si no lo ve claro puede hacer las transformaciones correspondientes para lacorrespondiente ecuación escalar para la componente vi , ver más adelante en esta sección.

5Mal asunto; conviértase ahora que es joven.

9.4. Ecuación del momento cinético 157

ya que ∂ v j/∂ x j =∇· ~v .

Por tanto la divergencia del tensor ~~τ′ es, en este caso:

∇· ~~τ′ =µ∇2 ~v . (9.25)

La ecuación de cantidad de movimiento en estas condiciones es, en conse- Cantimov diferencial paraρ ctecuencia:

∂ ρ ~v

∂ t+∇·

ρ ~v ~v

=−∇p +µ∇2 ~v +ρ ~fm . (9.26)

Note que en la ecuación anterior el término viscoso involucra, explícitamen- Cantimov es de orden 2...

te, los gradientes del campo de velocidades; al tomar divergencia (para hacerel balance en el punto) aparecen como derivada segunda, aumentando el or-den de la ecuación (que sería, sin este término, de orden 1). Naturalmente,también en el caso general, por ejemplo Ecuación 9.18, intervienen deriva-das segundas del campo de velocidades, ya que ~~τ involucra en su definiciónderivadas primeras.

Además de ser de orden 2, la ecuación de cantidad de movimiento es no li- ...y no lineal

neal (ya que involucra el producto ~v ~v , o vi v j ). La no linealidad de la ecua-ción de cantidad de movimiento es el origen de numerosos fenómenos deimportancia en Ingeniería.

9.4 Ecuación del momento cinético

Donde deducimos una ecuación integral para el momento angular,ρ ~x ∧ ~v , y de-cimos por qué no hay una ecuación diferencial

9.4.1 Forma integralEn Mecánica, se llama momento angular al producto m ~x ∧ ~v , donde m es Qué es el momento angular

la masa, ~v su velocidad, y ~x es el vector de posición del punto en el que estála masa desde un cierto origen de momentos (por ejemplo, pero no necesa-riamente, el origen de coordenadas). En Mecánica de Fluidos, sin embargo,llamamos momento angular a lo que, en realidad, es el momento angularpor unidad de volumen, es decir a ρ ~x ∧ ~v . Aquí, ~v es la velocidad del fluidoen el punto, y ρ su densidad.


La ecuación del momento cinético se obtiene tomandoφ = ~x ∧ ~v en la ecua-Obtención

ción general, Ecuación 8.11, e insertando en el lado derecho las causas decambio del momento cinético en el sistema, que no son sino el momentocinético de las fuerzas de superficie y el de las fuerzas másicas.

Por tanto, en un volumen fluido:Momcin en un volumenfluido

d

d t

∫

Vf

~x ∧ρ ~v d V =

∫

Sf

~x ∧

~n · ~~τ

d S +

∫

Vf

~x ∧ρ ~fm d V . (9.27)

Para un volumen de control, aplicando el Tercer Teorema del Transporte deMomcin en un volumen decontrol Reynolds:

d

d t

∫

Vc

~x ∧ρ ~v d V +

∫

Sc

~x ∧ρ ~v

[( ~v − ~vc ) · ~n ]d S =

=

∫

Sc

~x ∧

~n · ~~τ

d S +

∫

Vc

~x ∧ρ ~fm d V . (9.28)

El uso más frecuente de la ecuación integral del momento cinético es elPara qué se usa?

cálculo de momentos sobre superficies sólidas; esto es, el primer términodel segundo miembro (con la integral restringida a la superficie sólida encuestión). Para ello, hay que conocer (o suponer valores para) el resto de lostérminos de la ecuación.

9.4.2 Forma diferencialLa ecuación diferencial del momento cinético no existe. De la transforma-Lucky you!

ción de la ecuación integral a una ecuación local (diferencial) se deduce ex-clusivamente la simetría del tensor de esfuerzos (ver Sección 5.7).

9.5 Ecuación de la energía cinética

Donde deducimos la ecuación de una de las (varias posibles) energías del fluido,la energía cinética, a partir de la ecuación diferencial de cantidad de movimiento(es decir, sin seguir el procedimiento habitual!)

9.5.1 Forma diferencialLa energía cinética (por unidad de volumen) es ρv 2/2.Qué es la energía cinética

9.5. Ecuación de la energía cinética 159

A diferencia del método seguido hasta ahora para deducir las ecuaciones an- Método de deducción

teriores, para la ecuación de la energía cinética obtendremos en primer lu-gar su forma diferencial a partir de la ecuación de cantidad de movimiento, ydespués obtendremos la forma integral mediante la integración de la ecua-ción diferencial en un volumen fluido o de control.

Para deducir la ecuación diferencial de la energía cinética, multiplicaremosla ecuación de cantidad de movimiento en forma vectorial escalarmente por~v . Equivalentemente, podemos multiplicar la ecuación escalar 9.22 por vi , ysumar aplicando el convenio de Einstein:

∂ ρ(v 2i /2)

∂ t+∂ (ρv j v 2

i /2)

∂ x j=−vi

∂ p

∂ xi+ vi

∂ τ′

i j

∂ x j+ρ fmi

vi . (9.29)

Teniendo en cuenta que v 2i = vi vi = v 2, y retomando la notación vectorial, la

ecuación queda:

∂

ρ v 2

2

∂ t+∇·

ρ ~vv 2

2

=− ~v ·∇p + ~v ·

∇· ~~τ′

+ρ ~v · ~fm , (9.30)

que es la ecuación diferencial de la energía cinética.

Un resultado crucial en Mecánica de Fluidos resulta de la manipulación del Esto es importante

término ~v ·

∇· ~~τ′

; este término puede escribirse (cambiado temporalmente

a notación tensorial por claridad, y usando la derivada de un producto en lamanipulación) como:

vi

∂

∂ x jτ′

i j

=∂

viτ′

i j

∂ x j−τ

′

i j

∂ vi

∂ x j=∇·

~v · ~~τ′

− ~~τ′ :∇ ~v , (9.31)

donde el último término es el producto diádico (o doblemente contraído) del Repase Sec 0.3

tensor de esfuerzos viscosos y el tensor gradiente de velocidad. Este produc-to se conoce como función de disipación de Rayleigh, o disipación viscosa: Disipación viscosa ΦV

ΦV =~~τ′ :∇ ~v . (9.32)

Lo que hace importante a este término, como veremos pronto, es que essiempre positivo6. ΦV ≥ 0


Introduciendo la disipación viscosa ΦV , la ecuación diferencial de la energíacinética queda:Ec diferencial enercin

∂

ρ v 2

2

∂ t+∇·

ρ ~vv 2

2

=− ~v ·∇p +∇·

~v · ~~τ′

−ΦV +ρ ~v · ~fm . (9.33)

9.5.2 Ecuación integral

La ecuación integral de la energía cinética se deducirá siguiendo un caminoDeducción

inverso al utilizado hasta ahora para deducir las ecuaciones diferenciales apartir de las integrales (camino indicado en la Sección 8.4.

El primer paso es integrar la ecuación diferencial Ecuación 9.33 en un volu-Integramos en vol fluido

6Esto se puede demostrar. La demostración (,) es como sigue:

ΦV =τ′

i j

∂ vi

∂ x j=τ

′

i j

ei j +ξi j

(1)= τ

′

i j ei j(2)=

= 2µei j ei j +

µV −2

3µ

(∇· ~v )δi j ei j =

= 2µ

ei j ei j −1

3(∇· ~v )δi j ei j

+µV (∇· ~v )δi j ei j(3)(4)=

= 2µ

ei j ei j −2ei j1

3(∇· ~v )δi j +

1

3(∇· ~v )ei jδi j

+µV (∇· ~v )2(4)(5)=

= 2µ

ei j ei j −2ei j1

3(∇· ~v )δi j +

1

9(∇· ~v )2δ2

i j

+µV (∇· ~v )2 =

= 2µ

ei j −1

3∇· ~vδi j

2

+µV (∇· ~v )2 ≥ 0

En la demostración anterior se ha tenido en cuenta:

1. τ′

i jξi j = 0, por ser la contracción doble de un tensor simétrico y otro antisimétrico.

2. Definición de τi j

3. Sumamos y restamos, en el término entre corchetes, 13 (∇· ~v )ei jδi j

4. ei jδi j =∇· ~v

5. δi jδi j = 3


men fluido:

∫

Vf

∂ ρ v 2

2

∂ td V +

∫

Sf

ρv 2

2[ ~v · ~n ]d S =

=

∫

Vf

− ~v ·∇p +∇·

~v · ~~τ′

−ΦV +ρ ~v · ~fm

d V . (9.34)

El primer Teorema del Transporte de Reynolds permite transformar el pri- Usamos TTR1 y TTR3

mer miembro:∫

Vf

∂ ρ v 2

2

∂ td V +

∫

Sf

ρv 2

2[ ~v · ~n ]d S =

d

d t

∫

Vf

ρv 2

2d V ; (9.35)

y con el tercer teorema, el primer miembro queda:

d

d t

∫

Vf

ρv 2

2d V =

d

d t

∫

Vc

ρv 2

2d V +

∫

Sc

ρv 2

2[( ~v − ~vc ) · ~n ]d S . (9.36)

Sustituyendo en la Ecuación 9.34, y transformando el segundo término del Y ahora Gauss

segundo miembro en una integral de superficie usando el teorema de Gauss,la ecuación integral de la energía cinética queda:

d

d t

∫

Vc

ρv 2

2d V +

∫

Sc

ρv 2

2[( ~v − ~vc ) · ~n ]d S =

=−∫

Vc

~v ·∇p d V +

∫

Sc

( ~v · ~~τ′) · ~nd S −∫

Vc

ΦV d V +

∫

Vc

ρ ~v · ~fm d V .

Finalmente, teniendo en cuenta que −

~v ·∇p

= −∇ ·

~v p

+ p∇ · ~v y ~~τ =

−p ~~I + ~~τ′, la ecuación anterior puede ponerse como:

d

d t

∫

Vc

ρv 2

2d V +

∫

Sc

ρv 2

2[( ~v − ~vc ) · ~n ]d S =

=

∫

Vc

p∇· ~v d V +

∫

Sc

( ~n · ~~τ) · ~v d S −∫

Vc

ΦV d V +

∫

Vc

ρ ~v · ~fm d V ,

(9.37)

que es la forma más común de la ecuación integral de la energía cinética.

El cambio de energía cinética (primer término) es por tanto debido a las si- Tarareando la partitura...

guientes contribuciones (que son sucesivamente el resto de los términos):


La ingestión de energía cinética (esto es, la energía cinética que meteo saca el fluido que entra o sale de Vc ).

La potencia generada en la expansión del fluido (que es nula si el fluidoes incompresible,∇· ~v = 0).

La potencia ( ~n · ~~τ) · ~v que las fuerzas de superficie, actuando sobre loslímites del volumen, comunican al fluido que está en el volumen (porejemplo, una superficie móvil que usamos para impulsar el fluido).

La potencia que se pierde (debido al signo negativo) como disipaciónviscosa en cada punto (ΦV ).

Y la potencia que comunican al fluido las fuerzas másicas en cada pun-to, ~v · ~fm .

La ecuación de la energía cinética se usa a menudo cuando se necesita unaPara qué se usa?

ecuación adicional; por ejemplo, porque desconocemos tanto un área comouna velocidad, y entonces la ecuación de continuidad no es suficiente pararesolver el problema. Se utiliza también para calcular presiones (por ejem-plo, la presión a la entrada, o a la salida, dados el resto de los términos); opara calcular la disipación viscosa total en el sistema,

∫

VcΦV d V (dados el

resto de los términos). Repare en que la única forma de calcular la disipa-ción viscosa (con ecuaciones integrales) es a través de esta ecuación; por lotanto, si utiliza esta ecuación para calcular otra cosa a menudo tendrá quedespreciar la disipación viscosa (o arrastrarla sin resolverla hasta la soluciónfinal).

9.5.3 Ecuación de Bernoulli

Donde, simplificando la ecuación diferencial de la energía cinética para ciertoscasos particulares, deducimos la ecuación que nos llevaríamos a una isla desierta

La ecuación de Bernoulli es una forma integral (a lo largo de una línea deQué y por qué

corriente) de la ecuación diferencial de la energía cinética. Aunque su apli-cabilidad estricta está limitada por las (severas) simplificaciones que se re-quieren para su deducción, es una ecuación muy utilizada por su sencillez.

Pare deducir la ecuación Bernoulli, partimos de la ecuación de la la ecuaciónPartimos de enercin


diferencial de la energía cinética, Ecuación 9.30, que manipulamos ligera-mente para sacar la velocidad de los términos temporal y convectivo usandolas operaciones que aprendimos en la Ecuación 8.17; el resultado es:

ρ∂ v 2

2

∂ t+ρ ~v ·∇

v 2

2=− ~v ·∇p + ~v ·

∇· ~~τ′

+ρ ~v · ~fm . (9.38)

Las condiciones necesarias para deducción de la ecuación de Bernoulli, en Cuatro condiciones

la forma que se hará en esta sección, son:

1. movimiento estacionario (∂⊙

/∂ t = 0);

2. densidad ρ constante;

3. viscosidad µ nula7 (y por tanto no hay esfuerzos viscosos: ~~τ′ = 0); y

4. fuerzas másicas derivan de un potencial ( ~fm =−∇U ).

En estas condiciones, la ecuación diferencial de la energía cinética, Ecuación Simplificamos enercin

9.39, queda:

ρ ~v ·∇v 2

2=− ~v ·∇p −ρ ~v ·∇U . (9.39)

Operando:

~v ·∇

p

ρ+

v 2

2+U

= 0 , (9.40)

Teniendo en cuenta que el producto ~v ·∇ es la derivada en la dirección de la Derivada a lo largo de unalínea de corrientelínea de corriente, y representando esta derivada como ∂ /∂ s (s es la coor-Repase Sec 0.5 y Sec 3.3.1

denada a lo largo de una línea de corriente), la ecuación queda:

v∂

∂ s

p

ρ+

v 2

2+U

= 0 . (9.41)

Puesto que en general v 6= 0, entonces la ecuación anterior es equivalente a:

∂

∂ s

p

ρ+

v 2

2+U

= 0 . (9.42)

Integrando a lo largo de la línea de corriente s : Ec de Bernoulli

7El fluido para el que µ= 0 se denomina fluido ideal


p

ρ+

v 2

2+U =C . (9.43)

La ecuación anterior es la ecuación de Bernoulli. Es aplicable sólo entrepuntos del dominio unidos por una línea de corriente (pues se ha integra-do a lo largo de una de ellas), y la constante C será en general distinta deuna línea otra. Considerando dos puntos en el campo fluido unidos por unalínea de corriente, la ecuación anterior puede ponerse como:

p1

ρ+

v 21

2+U1 =

p2

ρ+

v 22

2+U2 . (9.44)

Ésta es una de las formas más usadas de la Ecuación de Bernoulli. Note que,frecuentemente, U = g z .

La ecuación de Bernoulli se usa habitualmente para las mismas misionesPara qué se usa?

que la ecuación de la energía cinética; de hecho, para usar ésta hay que ha-cer a menudo simplificaciones (como despreciar la disipación viscosa) queresultan ser formalmente equivalentes a las hipótesis necesarias para dedu-cir la ecuación de Bernoulli.

Note las exigencias de que: (1) los puntos estén en una misma línea de co-Restricciones ocultas!

rriente; y (2) el flujo esté en estado estacionario. Combinadas ambas, con-cluimos que la ecuación de Bernoulli no es aplicable cuando la línea de co-rriente cambia con el tiempo. En muchas aplicaciones, en un sistema de re-ferencia fijo a tierra la línea de corriente cambia, mientras que en un siste-ma de referencia móvil no cambia; en estos casos la ecuación de Bernoullise puede aplicar en el segundo sistema de referencia, pero no en el primero.Note también que, si hay fuerzas másicas debidas al movimiento del siste-ma de referencia, para aplicar esta forma de la ecuación de Bernoulli han dederivar de un potencial (esto es, ser conservativas).

9.6 Ecuación de la energía mecánica

Donde transformamos la ecuación de la energía cinética para incluir la energíapotencial, y obtener así una ecuación para la suma de ambas (que se llama ener-gía mecánica)

Cuando las fuerzas másicas derivan de un potencial, la suma de las energíasQué es la energía mecánica

9.6. Ecuación de la energía mecánica 165

cinética v 2/2 y potencial U , (v 2/2+U ), recibe a veces el nombre de ener-gía mecánica8. Las ecuaciones de la energía cinética pueden transformarsefácilmente en ecuaciones para la energía mecánica, como sigue.

Si las fuerzas másicas derivan de un potencial, ~fm =−∇U , el término de po- Manipulamos término depotencia fuerzas másicaspara pasarlo al primermiembro de las ecs

tencia de las fuerzas másicas de las ecuaciones de la energía cinética, ~fm · ~v ,puede ponerse como:

ρ ~fm · ~v = −ρ (∇U ) · ~v =−∇·

ρU ~v

+U∇·

ρ ~v

=

= −∇·

ρU ~v

−U∂ ρ

∂ t+U

∂ ρ

∂ t+∇·ρ ~v

=

= −

U∂ ρ

∂ t+∇·

ρU ~v

, (9.45)

donde:

En la segunda igualdad se ha usado la derivada de un producto;

En la tercera igualdad, se ha sumado y restado el término U ∂ ρ/∂ t ;

Y en la última se ha tenido en cuenta que el término entre corchetes[⊙

] es cero por ser el lado izquierdo de la ecuación de continuidad.

Si, además, el potencial U no depende del tiempo9, la igualdad final de la Condición adicionalimportanteecuación anterior puede ponerse como:

ρ ~fm · ~v =−

∂ ρU

∂ t+∇·

ρU ~v

. (9.46)

Integrando la ecuación anterior en un volumen fluido, y aplicando sucesiva- Usamos TTR para pasarloal primer miembro de la ecintegral

8Note que, como siempre, es energía por unidad de volumen.9Éste es muchas veces el caso: por ejemplo, en el caso de fuerzas másicas gravitatorias;

o un sistema que se acelera con aceleración constante; o que gira con velocidad angularconstante. Repase Sección 5.3.


mente el primer y tercer Teorema del Transporte de Reynolds, resulta:

∫

Vf

ρ ~fm · ~v d V = −∫

Vf

∂ ρU

∂ t+∇·

ρU ~v

d V =

= −d

d t

∫

Vf

ρU d V =

= −

d

d t

∫

Vc

ρU d V +

∫

Sc

ρU [( ~v − ~vc ) · ~n ]d S

.(9.47)

Las ecuaciones diferencial e integral de la energía mecánica resultan de sus-Enermec diferencial e inte-gral tituir respectivamente la Ecuación 9.46 en la Ecuación 9.33 y la Ecuación

9.47 en la Ecuación 9.37. Tras pasar los términos recién sustituidos al primermiembro de la ecuación en cada caso, el resultado es:

∂

ρ

v 2

2 +U

∂ t+∇·

ρ ~v

v 2

2+U

=− ~v ·∇p +∇·

~v · ~~τ′

−ΦV . (9.48)

d

d t

∫

Vc

ρ

v 2

2+U

d V +

∫

Sc

ρ

v 2

2+U

[( ~v − ~vc ) · ~n ]d S =

=

∫

Vc

p∇· ~v d V +

∫

Sc

~n · ~~τ

· ~v d S −∫

Vc

ΦV d V . (9.49)

Tenga en cuenta que en la deducción de las ecuaciones 9.48 y 9.49 se ha re-Achtung!

querido que la energía potencial U no dependa del tiempo.

La ecuación de la energía se usa habitualmente para las mismas funcionesPara qué se usa?

que la de la energía cinética. Frente a ésta, y cuando es aplicable, tiene laventaja de que evita la engorrosa integración volumétrica de la potencia delas fuerzas másicas.

9.7 Ecuación de la energía total

Donde deducimos ecuaciones para la energía total del fluido (esto es, la mecánicamás la interna) “in the good old-fashioned way”: haciendo un balance

9.7. Ecuación de la energía total 167

9.7.1 Ecuación integralLa energía contenida en el volumen fluido tiene, en el caso más general, dosformas: energía cinética (v 2/2), para la que se ha deducido una ecuación enun apartado anterior, y energía interna (e ). Dicha energía, suma de ambas,se denomina a menudo energía total. Definición

Los procesos que pueden dar lugar a un cambio en la energía total en un Qué cambia la enertot enun volumen fluido?volumen fluido son, en general:

La potencia que aportemos al fluido (o extraigamos) mediante las fuer-zas de presión y viscosas que actúan a través de los límites del volumenfluido, ~n · ~~τ · ~v ;

La potencia de las fuerzas másicas que actúan sobre el fluido, ~v ·(ρ ~fm );

El calor transferido por conducción a través de los límites del volumenfluido, −~q (el signo negativo es una convención que indica que ~q escalor saliente);

En su caso, el calor transferido por radiación desde otras partes del flui-do, Qr , y el calor generado por reacción química Qq .

Por tanto, considerando la ecuación genérica con φ = e + v 2/2, e introdu- Enertot en vol fluido

ciendo los términos anteriores en el lado derecho, la ecuación de la energíatotal en forma integral queda, en el volumen fluido:

d

d t

∫

Vf

ρ

e +v 2

2

d V =

∫

Sf

~n · ~~τ

· ~v d S +

∫

Vf

ρ ~v · ~fm d V −

−∫

Sf

~q · ~nd S +

∫

Vf

Qr +Qq

d V . (9.50)

Utilizando el Tercer Teorema del Transporte de Reynolds, para un volumen Enertot en vol control (víaTTR3)de control se tiene:

d

d t

∫

Vc

ρ

e +v 2

2

d V +

∫

Sc

ρ

e +v 2

2

[( ~v − ~vc ) · ~n ]d S =

=

∫

Sc

~n · ~~τ

· ~v d S +

∫

Vc

ρ ~v · ~fm d V −∫

Sc

~q · ~nd S +

∫

Vc

Qr +Qq

d V .

(9.51)


(En algunas formulaciones la energía interna del fluido e incluye la energíaquímica de las especies reactivas, que resulta de los diferentes calores de for-mación. En ese caso, en las ecuaciones anteriores no aparece la generaciónde calor por reacción química, Qq .)

La ecuación de la energía se usa cuando la energía térmica del fluido cambiaPara qué se usa?

sustancialmente en el problema. En estos casos, la ecuación permite, porejemplo, calcular la energía interna (y por lo tanto la temperatura) en unasalida.

9.7.2 Ecuación diferencialLa ecuación diferencial de la energía total se obtiene de la Ecuación 9.50 porEnertot diferencial por el

método habitual el método habitual, resultando:

∂

∂ t

ρ

e +v 2

2

+∇·

ρ ~v

e +v 2

2

=

=∇·

~~τ · ~v

+ρ ~fm · ~v −∇ · ~q +Qr +Qq . (9.52)

La Ecuación 9.52 puede transformarse para hacer aparecer la entalpía (h =Que quiere entalpía, dice?

e +p/ρ), manipulando ligeramente el término de potencia de las fuerzas desuperficie:

∇·

~~τ · ~v

=−∇·

p ~v

+∇·

~~τ′· ~v

. (9.53)

Introduciendo estos cambios y rearreglando, se obtiene:Ec diferencial entalpía +enercin

∂

∂ t

ρ

h +v 2

2

+∇·

ρ ~v

h +v 2

2

=

=∇·

~~τ′ · ~v

+ρ ~fm · ~v −∇ · ~q +Qr +Qq +∂ p

∂ t, (9.54)

que es una ecuación para la entalpía más energía cinética.

9.8 Ecuación diferencial de la energía interna

Donde deducimos ecuaciones para la energía interna simplemente restando lasde la energía total y cinética

9.9. Ecuación para la entropía (,) 169

En este punto, la forma más conveniente para deducir una ecuación para la Restamos

energía interna e es restar a la Ecuación 9.52 de la energía total (e + v 2/2) laEcuación 9.33 de la energía cinética (v 2/2), resultando:

∂

ρe

∂ t+∇·

ρ ~v e

=∇·

~~τ · ~v

− ~v ·

∇· ~~τ

−∇· ~q +Qr +Qq . (9.55)

Los dos primeros términos del lado derecho pueden re-escribirse como:

∇·

~~τ · ~v

− ~v ·

∇· ~~τ

=∂

∂ x j

τi j vi

− vi

∂ τi j

∂ x j=τi j

∂ vi

∂ x j=

= pδi j

∂ vi

∂ x j+τ′i j

∂ vi

∂ x j= −p (∇· ~v ) +ΦV ,

donde−p (∇· ~v ) es la potencia de compresión de las fuerzas de presión; yΦV ,

definida como τ′i j∂ vi/∂ x j =~~τ′ :∇ ~v , es la función de disipación (viscosa) de

Rayleigh (ya introducida en la Sección 9.5.1).

Por tanto, la ecuación de la energía interna queda:

∂

ρe

∂ t+∇·

ρ ~v e

=−p (∇· ~v )+ΦV −∇· ~q +Qr +Qq . (9.56)

El papel de la disipación viscosa, ΦV , en la Ecuación 9.56 se revela (al ser El papel de la disipaciónviscosaΦV siempre positiva) como análogo al de una adición de calor (puesto que

ambas incrementan e ). Por tanto, la disipación viscosa convierte energía ci-nética (pues aparece con signo negativo en la Ecuación 9.33) y la convierteen energía interna.

9.9 Ecuación para la entropía (,)

Donde, con todo lo anterior, deducimos en dos pasos una ecuación diferencialpara la entropía

Una ecuación para la entropía del flujo puede deducirse muy fácilmente en Definición, de Td

este momento a partir de la definición de entropía:

T d s = d e +p d

1

ρ

= d e −p

ρ2dρ . (9.57)


Usando esta definición (dividida por d t ), se tiene:Dividimos por d t para ob-tener derivada sustancial

TD s

D t=

D e

D t−

p

ρ

1

ρ

Dρ

D t=

D e

D t+

p

ρ(∇· ~v ) , (9.58)

donde en la segunda igualdad hemos tenido en cuenta que , por continui-Usamos continuidad

dad:

∇· ~v =−1

ρ

Dρ

D t. (9.59)

Finalmente, sustituyendo10 la derivada sustancial D e /D t por su valor laEcuación 9.56, se obtiene la ecuación para la entropía:

ρTD s

D t=ΦV −∇· ~q +Qr +Qq . (9.60)

(Si le molesta la forma de derivada sustancial, puede cambiarla a derivadasparciales usando lo visto en la Sección 8.5.)

Recuerde ahora que la disipación viscosa ΦV es siempre positiva; como enInteresante: ΦV aumenta laentropía esta ecuación es un término fuente, podemos concluir que la disipación vis-

cosa aumenta siempre la entropía del fluido.

9.10 Ecuación para la temperatura (,)

Donde de forma igualmente sencilla deducimos una ecuación diferencial para latemperatura

De Termodinámica, se tiene:

Cp

D T

D t= T

D s

D t+βT

ρ

D p

D t, (9.61)

donde β es el coeficiente de expansión térmica,

β =−1

ρ

∂ ρ

∂ T

p. (9.62)

10Sugerencia: hágalo como ejercicio.

9.11. Resumen: ecuaciones diferenciales que gobiernan el movimiento de un fluido 171

Por tanto, insertando de la Ecuación 9.60 el valor de la derivada sustancialD s/D t , queda la ecuación diferencial de la temperatura:

ρCp

D T

D t=ΦV −∇· ~q +Qr +Qq +βT

D p

D t. (9.63)

Note una vez más que la disipación viscosa ΦV , siempre positiva, aumentala temperatura.

9.11 Resumen: ecuaciones diferenciales quegobiernan el movimiento de un fluido

Donde listamos seguidas las ecuaciones diferenciales, deducidas anteriormente,que dictan cómo se comporta un fluido, y hablamos de sus condiciones de con-torno

9.11.1 Ecuaciones

En este capítulo se han deducido las ecuaciones diferenciales (llamadas de Ecuaciones

conservación o de transporte) que gobiernan el flujo de fluidos. En el casomás común, éstas son:

La ecuación de continuidad:

∂ ρ

∂ t+∇·

ρ ~v

= 0 . (9.64)

La ecuación (vectorial) de cantidad de movimiento:

∂

ρ ~v

∂ t+∇·

ρ ~v ~v

=−∇p +∇· ~~τ′+ρ ~fm . (9.65)

La ecuación de la energía interna:

∂

ρe

∂ t+∇·

ρ ~v e

=−p (∇· ~v )+ΦV −∇· ~q +Qr +Qq . (9.66)


(Dependiendo del problema pueden ser necesarias otras ecuaciones, comoPueden hacer falta otras

las de conservación de la especie química, Ecuación 9.14, si hay reacción quí-mica en el fluido; o la de la energía interna o alguna de sus variantes cuandolos cambios de temperatura son relevantes.)

Las ecuaciones de conservación anteriores deben, en el caso más general,Relaciones auxiliares

ser suplementadas por relaciones auxiliares (usualmente ecuaciones alge-braicas) para las propiedades termodinámicas y de transporte que aparecenen ellas, así como para el resto de los términos que no son directamente unavariable dependiente; por ejemplo:

Dos ecuaciones de estado permiten calcular la densidad y la tempera-tura a partir del resto de las variables, por ejemplo:

f1

ρ, T , p

= 0 ; f2

T , e ,ρ

= 0 . (9.67)

El tensor de esfuerzos viscosos está relacionado con el tensor gradientede velocidad a través de la ecuación de Navier-Poisson:

τ′i j =µ

∂ vi

∂ x j+∂ v j

∂ xi

+

µv −2

3µ

(∇· ~v )δi j (9.68)

Las fuerzas másicas ~fm son un dato del problema (eg g ~k ).

La disipación viscosa está dada por el producto doblemente contraídodel tensor de esfuerzos viscosos y el tensor gradiente de velocidad:

ΦV =τ′i j

∂ vi

∂ x j. (9.69)

La conducción de calor viene dada por la ley de Fourier, o similares:~q =−k∇T

El calor generado por reacción química (Qr ) o por radiación (Qq ) es, enprincipio, calculable11 a partir de variables dependientes (tales comoconcentraciones y temperaturas).

El sistema tiene, por tanto, cinco ecuaciones escalares (la Ecuación 9.64), lasSistema completo...

11Se dice en principio porque tal cálculo es complicado en muchas aplicaciones prácti-cas, particularmente en lo que se refiere al calor transferido por radiación; pero ésta es unadificultad físico-matemática, más que conceptual.


tres Ecuaciones 9.65), y la Ecuación 9.66); y 5 incógnitas p , e , y las tres com-ponentes de la velocidad ~v . Sin embargo, estas ecuaciones son matemáti-camente complejas (en particular, son no lineales), que unido a la (posible)complejidad geométrica del dominio de interés (si éste es un dominio real),hacen que el problema no tenga solución analítica salvo en (muy) conta- Pero raramente integrable

analíticamentedos casos12. En la mayor parte de los casos, la investigación del flujo ha deproceder por vías numéricas (mediante la resolución de las ecuaciones di-ferenciales por ordenador, rama de la Mecánica de Fluidos que se conocecomo Fluidodinámica Computacional), o mediante la experimentación enmodelos a escala real, reducida o ampliada.

En particular, las ecuaciones 9.64 y 9.65 se denominan ecuaciones de Ecuaciones de Navier-StokesNavier-Stokes13.

9.11.2 Condiciones de contorno e iniciales

Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el movimiento del fluido, y quehan sido resumidas en la sección anterior, necesitan, para ser resueltas, con-diciones iniciales y de contorno.

Condiciones iniciales

Cuando el problema depende del tiempo, la solución de las ecuaciones ante- Condición inicial

riores requiere la especificación en un tiempo inicial (t = 0, por convenien-cia) de cada una de las variables dependientes (por ejemplo, ~v , p y e ó T ).Esta especificación recibe el nombre de condición inicial.

Las condiciones iniciales están en ocasiones sujetas a restricciones. En una ∂⊙

/∂ d t puede con to-do...ecuación de transporte como las deducidas en este capítulo, el término tran-

sitorio permite “absorber” condiciones iniciales arbitrarias al compensar elresto de los términos y por tanto “cuadrar” el balance de la ecuación.

Cuando ese término transitorio está ausente en la ecuación, entonces el ... Pero ojo si está ausente

campo de valores iniciales debe ser tal que la ecuación se verifique en t = 0.Éste es el caso de la ecuación de continuidad en flujos con densidad cons-tante. Puesto ρ es constante, ∂ ρ/∂ t = 0, y la ecuación de continuidad sereduce a∇· ~v = 0, incluso para casos transitorios. El campo inicial de veloci- Campos iniciales de ~v sole-

noidales

12A algunos de estos casos con solución analítica se verán en capítulos posteriores13En honor de los dos científicos, el francés Claude Luis M. H. Navier (1785-1836) y el

británico George Gabriel Stokes (1819-1903), que las dedujeron independientemente.


dades ha de cumplir también esta condición. El campo que cumple∇· ~v = 0se denomina a veces solenoidal.

Condiciones de contorno

Las condiciones de contorno especifican los valores de las variables depen-Qué son

dientes (o sus derivadas) en los límites del dominio. La especificación decondiciones de contorno en Mecánica de Fluidos es en general una tarea notrivial, estrechamente relacionada con la teoría de existencia y unicidad de lasolución de un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Acontinuación se dan algunas indicaciones generales, que no son exhaustivasni universalmente aplicables.

Las condiciones de contorno más frecuentes son aquéllas que hemos de es-Tipos más frecuentes

pecificar en entradas, en salidas, en paredes, en ejes o planos de simetría yen superficies libres del dominio de interés donde estamos resolviendo lasecuaciones diferenciales.

En entradas y salidas, en general se especifican los valores de las variablesEntradas y salidas

dependientes (por ejemplo, velocidades y presiones)14. En salidas a menudose especifican gradientes de las variables (por ejemplo, gradiente nulo).

En ejes y planos de simetría, la condición de contorno es de flujo nulo (porSimetría

simetría, el mismo flujo atraviesa la condición de contorno en ambos senti-dos). La condición de flujo nulo equivale a una condición de máximo o mí-nimo local. Matemáticamente, la condición, para la variable genérica φ, es

∂ φ

∂ n

g

= 0 , (9.70)

donde n representa la dirección normal al lugar geométrico g donde se dala condición de simetría.

En la pared impermeable de un sólido15, la velocidad y temperatura del flui-Paredes

do son las del sólido, ~v = vs , T = Ts . En ocasiones, la temperatura del sólidoTs no es conocida, pero sí lo es el flujo de calor por unidad de superficie que

14 En flujo incompresible, o en flujo compresible estacionario, las velocidades (y, en ge-neral, presiones) no se pueden fijar libremente en todo el contorno de entrada/salida, puesdebe garantizarse que se cumple la ecuación integral de continuidad.

15Nos referimos en este párrafo al caso de fluidos con viscosidad no nula. Las condicio-nes de pared para fluidos con viscosidad nula (fluidos ideales) se discuten más adelante.


pasa de la pared al fluido, q ′′s ; en estas circunstancias la condición de con-torno es:

−~q · ~n = −k∂ T

∂ n

f

=−~qs · ~n = −ks

∂ Ts

∂ n

s

, (9.71)

donde el subíndice s indica el lado del sólido, f el del fluido, y ~n es la normala la superficie. k y ks son respectivamente las conductividades térmicas delfluido y el sólido. Cuando ks es nula o muy pequeña, ~q · ~n ∼ 0, y la pared sedice adiabática.

Cuando el contorno es una superficie libre, o en general una entrefase entre Superficies libres

fluidos, la continuidad del campo de velocidades exige la igualdad de ~v aambos lados; sin embargo, los esfuerzos viscosos experimentan un salto devalor debido a la presencia de tensión superficial. El balance de fuerzas en la Repase Capítulo 7

entrefase entre dos fluidos a y b implica que, en dirección tangencial,∇sσ=

~~τa − ~~τb

· ~n− [ ~n ·

~~τa − ~~τb

· ~n ] · ~n ; en dirección normal, el balance es σR1+ σ

R2=

[

~n · ~~τb

· ~n −

~n · ~~τa

· ~n ]. Para temperaturas, la condición de contorno es laigualdad de T a ambos lados de la entrefase, y la igualdad, por conservaciónde la energía, de los flujos normales de calor.

10

Flujo ideal

Como implícitamente su nombre apunta, los fluidos (o flujos) ideales só-lo existen conceptualmente; sin embargo, presentan algunas característicasque hacen su teoría particularmente atractiva. En primer lugar, la ecuacio-nes que los gobiernan son en un gran rango de casos resolubles analítica-mente1, y ésta es una cualidad infrecuente en Mecánica de Fluidos.

Precisamente por permitir la resolución analítica de las ecuaciones de la Me-cánica de Fluidos, el análisis de flujo ideal fue extraordinariamente desarro-llado y utilizado desde principios del siglo XX. En conjunto con la Teoría deCapa Límite, que se introduce en el Capítulo 19 , permitieron el desarrolloincipiente de la aerodinámica aplicada en general, y en particular de la avia-ción.

En nuestros días, la teoría de flujo ideal se usa para hacer un análisis rápidoy sencillo de los problemas, o para obtener cifras aproximadas sin tener quehacer medidas en el flujo o cálculos sofisticados del mismo por ordenador.

1Pero no las resolveremos en este capítulo; puede consultar las soluciones de algunosflujos ideales canónicos en muchos libros de Mecánica de Fluidos.

177

178 Flujo ideal

10.1 Definición de fluido ideal y ecuaciones delflujo

Donde establecemos las ecuaciones para el flujo ideal sin más que eliminar tér-minos de intercambio molecular (y alguno más), y concluimos que el flujo ideales isentrópico

Se define el fluido ideal como aquél en el que no hay flujos difusivos (mo-leculares); por tanto, las propiedades de transporte (tales como µ, k , D ) sonFluido y flujo ideal

nulas. En algunas definiciones de fluido ideal, se exige también ρ = c t e ; eneste capítulo, a menudo supondremos que la densidad es constante. Por ex-tensión, el flujo de fluidos ideales se llama habitualmente flujo ideal.

Las ecuaciones del movimiento de un fluido ideal se obtienen a partir de lasecuaciones generales suprimiendo los flujos difusivos antes mencionados.Ecuaciones completas

(Navier-Stokes) Las ecuaciones generales de las que partimos son:

Continuidad:

∂ ρ

∂ t+∇·

ρ ~v

= 0 . (10.1)

Cantidad de movimiento (en forma vectorial):

∂

ρ ~v

∂ t+∇·

ρ ~v ~v

=−∇p +∇· ~~τ′+ρ ~fm . (10.2)

Energía interna:

∂

ρe

∂ t+∇·

ρ ~v e

=−p (∇· ~v )+φV +∇· (k∇T )+Qr +Qq . (10.3)

Cuando los flujos difusivos son nulos, la densidadρ es constante y no hay ge-neración de calor por radiación ni reacción química (Qr = Qq = 0), las ecua-ciones anteriores quedan en la siguiente forma simplificada:Ecuaciones de Euler

Continuidad

∇· ~v = 0 . (10.4)

10.2. Condición de contorno en paredes 179

Cantidad de movimiento:

∂ ~v

∂ t+∇· ( ~v ~v ) =−

∇p

ρ+ ~fm . (10.5)

Energía interna:

∂ e

∂ t+∇· ( ~v e ) = 0 . (10.6)

Estas ecuaciones (particularmente 10.4 y 10.5) se denominan ecuaciones deEuler. (Las ecuaciones con término viscoso, Ecuaciones 10.2 y 10.3, que seconocen con el nombre de ecuaciones de Navier-Stokes.)

El movimiento de un fluido ideal en las condiciones enunciadas en su defi- , hasta el final de la Sec-ción

El flujo ideal es isentrópiconición más arriba es isentrópico. Para comprobarlo, basta simplificar la ge-neral para la entropía del fluido (Ecuación 9.60) con las hipótesis actuales(esto es, la nulidad de µ, k , Qr y Qq ), para obtener:

D s

D t= 0 .

La partícula fluida en flujo ideal con Qq = Qr = 0 no cambia su entropía, ypor tanto el flujo es isentrópico.

Una consecuencia de la isentropía es que, si en un tiempo inicial t = 0 elcampo de entropía es constante en todo el dominio, s (x , y , z , t = 0) = cte,entonces lo sigue siendo para todo tiempo. Este tipo de flujo se llama ho-mentrópico.

10.2 Condición de contorno en paredes

Donde establecemos que, en un flujo ideal, el fluido en contacto con una paredno tiene la velocidad de la pared, y esto tiene implicaciones físicas y matemáticas.

El fluido viscoso (real) y el fluido ideal exhiben una sustancial diferencia ensu comportamiento en contacto con paredes sólidas. El fluido viscoso tiene µ 6= 0: no hay deslizamiento

en la pareden el punto de contacto con la pared la velocidad de ésta ( ~v = ~vp , Figura10.1, izquierda), condición que se conoce como de no deslizamiento. Sin

180 Flujo ideal

nv = vp n

v - vp

vvp

Figura 10.1: Condición de contorno en la pared en flujo viscoso (izquierda)e ideal (derecha)

embargo, esta condición de no deslizamiento no se cumple necesariamentepara un fluido ideal.

En fluido ideal, la velocidad normal del fluido relativa a la pared en contactoµ= 0: hay deslizamiento enla pared con la misma es nula (esto es, ( ~v − ~vp ) · ~n = 0 en la pared), pues lo contra-

rio implicaría que el fluido atraviesa la pared. Sin embargo, el fluido puedetener una velocidad relativa a la pared en dirección tangencial (Figura 10.1,derecha).

Este diferente comportamiento puede justificarse con argumentos físicos enla ausencia de viscosidad (o de flujo molecular de cantidad de movimiento)en el fluido ideal, que es el mecanismo que causa la adherencia del fluidoa la pared. Matemáticamente, la condición sobre la componente tangencialSi µ = 0 no hay derivadas

segundas en la ec de canti-mov

de la velocidad del fluido no se puede satisfacer debido a que la ecuacióndiferencial de cantidad de movimiento es un orden inferior con respecto ala correspondiente ecuación para un fluido real (no hay término viscoso, desegundo orden).

10.3 Ecuación de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli, del capítulo de Ecuaciones Fundamentales, ahora endos sabores

La ecuación de Bernoulli, ya introducida en la Sección 9.5.3, se emplea fre-cuentemente en flujo ideal como sustituta de las ecuaciones de cantidad de

10.3. Ecuación de Bernoulli 181

movimiento. En la Sección 9.5.3, la ecuación se dedujo a partir de la ecua-ción de la energía cinética; a continuación, se deducirá como una integral Re-deducida a partir de

cantimovde las ecuaciones de Euler (cantidad de movimiento).

La ecuación de cantidad de movimiento para un fluido ideal, Ecuación 10.5, Partimos de cantimov paraflujo idealqueda, cuando las fuerzas másicas derivan de un potencial ( ~fm =−∇U ) co-

mo:

∂ ~v

∂ t+ ~v ·∇ ~v =−

∇p

ρ−∇U , (10.7)

donde hemos transformado ligeramente el lado izquierdo, como lo hicimosen la Ecuación 8.172:

∂ ρ ~v

∂ t+∇·

ρ ~v ~v

=ρ∂ ~v

∂ t+ρ ~v ·∇ ~v (10.8)

La derivada convectiva de la Ecuación 10.7 ~v ·∇ ~v puede ponerse, utilizando Manipulamos el términoconvectivouna identidad vectorial (véase Capítulo 0) como:

~v ·∇ ~v =∇v 2

2+ (∇∧ ~v )∧ ~v =∇

v 2

2+ ~ω∧ ~v . (10.9)

Por tanto, la Ecuación 10.7 queda:

∂ ~v

∂ t+∇

v 2

2

+∇p

ρ+∇U = ~v ∧ ~ω . (10.10)

Si la densidad es constante3, agrupando los términos en gradiente la Ecua- Casi la ec de Bernoulli

ción 10.10 queda:

∂ ~v

∂ t+∇

v 2

2+

p

ρ+U

= ~v ∧ ~ω . (10.11)

Hay dos formas de anular el lado derecho de la ecuación anterior, que dan El truco es anular el ladoderecholugar a las dos formas de la ecuación de Bernoulli que se detallan en las sec-

ciones siguientes.

2La transformación en cuestión no necesita suponer que la densidad sea constante; re-pase Ecuación 8.17

3Estrictamente, no hace falta que la densidad sea constante; si la densidad es variablepero es función sólo de la presión se llega a una forma muy parecida de la ecuación de Ber-noulli.

182 Flujo ideal

10.3.1 Ecuación de Bernoulli a lo largo de una línea decorriente en estado estacionarioEsta forma de la ecuación es idéntica a la obtenida (entonces a partir de laecuación de la energía cinética) en la Sección 9.5.3. En esta sección la obte-Proyectamos ec a lo largo

de línea de corriente nemos proyectando la Ecuación 10.11 a lo largo de una línea de corriente,localmente de vector unitario ~s (4, resulta:

~s ·∂ ~v

∂ t+ ~s ·∇

v 2

2+

p

ρ+U

= ~s · ( ~v ∧ ~ω) .

Suponiendo estado estacionario (∂ ~v /∂ t = 0), y teniendo en cuenta que ~s ·∇es la derivada en la dirección ~s (es decir, en la dirección de la línea de co-rriente), que notaremos por ∂ /∂ s , la ecuación queda:

∂

∂ s

v 2

2+

p

ρ+U

= 0⇒v 2

2+

p

ρ+U =C (ldc) . (10.12)

La Ecuación 10.12 es aplicable a lo largo de una línea de corriente, y la cons-Sobre C

tante de integración C (ldc) depende de la línea de corriente (es decir, en ge-neral puede ser distinta para distintas líneas de corriente).

10.3.2 Ecuación de Bernoulli para flujo irrotacionalUna segunda versión de la ecuación de Bernoulli se obtiene para flujo irro-Sin vorticidad

tacional. Para este flujo, la vorticidad (es decir, el rotacional de la velocidad)es nula, ~ω =∇∧ ~v = 0, y entonces ~v deriva de un potencial (digamos φ), demanera que se puede poner ~v =∇φ(5.

La Ecuación 10.11 queda:

∂

∇φ

∂ t+∇

v 2

2+

p

ρ+U

= ~v ∧ ~ω= 0 . (10.13)

Por tanto:

∇

∂ φ

∂ t+

v 2

2+

p

ρ+U

= 0 , (10.14)

y

∂ φ

∂ t+

v 2

2+

p

ρ+U =C (t ) . (10.15)

10.4. ¿Cuándo es un flujo irrotacional? 183

La Ecuación 10.15, a diferencia de la otra forma de la ecuación de Bernoulli Ojo: válida entre dos pun-tos cualesquiera(Ecuación 10.12) es válida en entre dos puntos cualesquiera en el dominio

(aunque no estén unidos por una línea de corriente); y es válida tambiénpara flujos transitorios, en los que la velocidad ~v , y por tanto su potencialφ, pueden depender del tiempo. La constante C es la misma para todo eldominio (pero puede depender del tiempo).

10.4 ¿Cuándo es un flujo irrotacional?

10.4.1 Ecuación de la vorticidadLa sección anterior, en la que se re-introduce la ecuación de Bernoulli, apun- Por qué es importante sa-

ber responderta una ventaja (en la solución del problema) de los flujos irrotacionales:cuando el flujo es, además de no viscoso, irrotacional, entonces la ecuaciónde Bernoulli es aplicable entre dos puntos cualesquiera del dominio, no ne-cesariamente situados en la misma línea de corriente. Parece por tanto con-veniente disponer de técnicas para identificar flujos irrotacionales a priori,esto es, antes de resolverlos6.

Una forma general de determinar si el fluido es irrotacional en un dominio Cómo saberlo

es mediante la deducción y el análisis de una ecuación para la vorticidad,esto es, para ~ω=∇∧ ~v .

La deducción se hará en general para un fluido viscoso (pero de densidad (Deducción ,)

constante y con fuerzas másicas potenciales), y empieza tomando rotacionalen la ecuación de cantidad de movimiento:

∇∧

∂ ~v

∂ t+ ( ~v ·∇) ~v =−

1

ρ∇p −∇U +ν∇2 ~v

. (10.16)

Término a término, la ecuación se manipula como sigue para llegar a unaecuación para la vorticidad:

1. Rotacional del término temporal:

∇∧∂ ~v

∂ t=∂

∂ t(∇∧ ~v ) =

∂ ~ω

∂ t. (10.17)

4Naturalmente, ~s = ~v /| ~v |.5Note que ahora no usamos signo menos en la definición del potencial, como hacemos

para las fuerzas másicas; es una cuestión de convenciones arbitrarias.6Naturalmente, una vez resuelto el flujo, bastaría con calcular la vorticidad∇∧ ~v y com-

probar si es cero en cada punto.

184 Flujo ideal

2. Rotacional del término convectivo. Teniendo en cuenta que

( ~v ·∇) ~v = (∇∧ ~v )∧ ~v +1

2∇ ( ~v · ~v ) , (10.18)

el rotacional del término convectivo se puede escribir como:

∇∧ ( ~ω∧ ~v ) +1

2∇∧∇ ( ~v · ~v ) . (10.19)

3. Rotacional del término de presión y potencial de fuerzas másicas:puesto que es el rotacional de un gradiente, es idénticamente cero:

−∇∧∇

p

ρ+U

= 0 . (10.20)

4. Rotacional del término viscoso:

ν∇∧∇2 ~v = ν∇2 (∇∧ ~v ) = ν∇2 ~ω . (10.21)

La ecuación de la vorticidad queda, con las anteriores simplificaciones, dela siguiente forma:

∂ ~ω

∂ t+∇∧ ( ~ω∧ ~v ) = ν∇2 ~ω . (10.22)

Haciendo uso de una identidad vectorial7, el segundo término puede poner-se como:

∇∧ ( ~v ∧ ~ω) = ~v (∇· ~ω) + ( ~ω ·∇) ~v − ~ω (∇· ~v )− ( ~v ·∇) ~ω , (10.23)

donde el primer y tercer términos del segundo miembro son nulos por con-tener respectivamente la divergencia de un rotacional y la divergencia de uncampo de velocidades de un fluido incompresible.

Introduciendo el resultado anterior y reordenando, la ecuación de transpor-te para la vorticidad queda:Ec para la vorticidad!

∂ ~ω

∂ t+ ( ~v ·∇) ~ω= ( ~ω ·∇) ~v +ν∇2ω ; (10.24)

O, reconociendo en el primer miembro la definición de derivada sustancial:Fin de ,En forma de derivada sus-tancial

D ~ω

D t= ( ~ω ·∇) ~v +ν∇2ω . (10.25)

10.4. ¿Cuándo es un flujo irrotacional? 185

La ecuación indica los mecanismos (lado derecho) que cambian la vortici- Interpretación

dad de la partícula fluida. Éstos son dos: el primer término es la generaciónde vorticidad por interacción con el campo de velocidades8, y el segundo ladifusión por efecto de la viscosidad (intercambio de molecular) de la vor-ticidad de partículas vecinas. Nótese que la ecuación es, por supuesto, unaecuación vectorial.

Es interesante considerar en qué condiciones cada uno de los términos del Cuándo se conserva la vor-ticidadlado derecho de la Ecuación 10.25 es siempre nulo, pues en esas condiciones

la vorticidad de la partícula fluida se conserva. Estas condiciones9 son:

El término de difusión ν∇2ω es cero en flujo ideal, ya que ν= 0. (Tam-bién es nulo cuando∇2ω= 0, pero ésta es una condición más difícil decomprobar, en general.)

El término de producción/redistribución ( ~ω ·∇) ~v es cero en dos cir-cunstancias de especial interés:

1. Cuando el flujo es bidimensional (digamos en el plano x1 x2), puesen esas condiciones ~ω sólo tiene componente según 3 (ω3), ypor el contrario el tensor gradiente de velocidad (∇ ~v ) no tienecomponentes para la tercera dimensión (pues ∂ u3/∂ xi = 0 y∂ ui/∂ x3 = 0);

2. Cuando el fluido es no viscoso y, además, en algún momento (di-gamos, por sencillez, en t = 0) ~ω= 0. En esas condiciones, el ladoderecho de la Ecuación 10.25 es inicialmente cero, y por lo tantola vorticidad de la partícula fluida (lado izquierdo de la ecuación)no cambia nunca.

En las condiciones anteriores, la vorticidad de la partícula fluida se conser-va. Si además todas las partículas fluidas han sido cuando irrotacionales en Ahora sí: cuando es nula la

vorticidad?algún tiempo dado (que puede ser distinto para cada partícula), el flujo es

7∇∧

~A ∧ ~B

= ~A

∇· ~B

+

~B ·∇

~A− ~B

∇· ~A

−

~A ·∇

~B8 Puede comprobarse que las componentes de la velocidad que actúan en la dirección

de la vorticidad aumentan o disminuyen la misma al estirar o comprimir (respectivamente)la partícula fluida en esa dirección; y las componentes de la velocidad en otras direccionescambian la orientación de la vorticidad, ocasionando una redistribución de la misma entresus (en general) tres componentes.

9Ojo: son condiciones para que la vorticidad se conserve, no para que sea nula!

186 Flujo ideal

irrotacional en todas partes. En particular, cuando todas las partículas pa-san por (o tienen su origen en) una zona en la que el flujo es irrotacional (porejemplo, una zona con velocidad constante), entonces el flujo es irrotacionalen todo el dominio. (Recuérdense además las hipótesis bajo las que ha sidodeducida la Ecuación 10.25 de la vorticidad: flujo de densidad constante, y~fm =−∇U .)

11

Dé gracias por la turbulencia

Si no necesita empezar a mezclar el viernes por la noche el cubalibre que setomará el sábado por la noche, es gracias a la turbulencia. Si sus pulmones notienen el tamaño la copa de un árbol (si está usted en reposo) o de un bosqueentero (si está haciendo ejercicio), es gracias a la turbulencia. Si el motor desu coche cabe en su coche, es gracias a la turbulencia. Si hay electricidad ensu casa, es gracias a la turbulencia.

La turbulencia es uno de los aspectos de la Mecánica de Fluidos más impor-tantes tecnológicamente, más estudiados, y, quizás, menos comprendidoscientíficamente.

Casi todos los flujos de interés son turbulentos; y la turbulencia confiere alflujo propiedades sin las cuales nuestro modo de vida actual, y posiblementela propia vida, serían imposibles tal y como los conocemos.

En este capítulo hacemos una muy breve introducción al flujo turbulento,con especial énfasis en sus principales efectos.

11.1 Retrato robot

La turbulencia aparece en el flujo cuando las fuerzas de inercia en el fluido Cuándo hay turbulencia

(el término convectivo, segundo término en la ecuación siguiente) dominansobre las fuerzas viscosas (el término de transporte molecular de cantidad

187

188 Dé gracias por la turbulencia

de movimiento, cuarto término en la ecuación siguiente):

∂

ρ ~v

∂ t+∇·

ρ ~v ~v

=−∇p +∇· ~~τ′+ρ ~fm , (11.1)

Cuando el flujo no es turbulento, se llama laminar.

En el Capítulo 12, Análisis dimensional, veremos que el ratio entre ambasEl número de Reynolds co-mo ratio de fuerzas fuerzas (fuerzas de inercia a fuerzas viscosas) es el número adimensional

de Reynolds:

Re=ρV L

µ, (11.2)

donde V es una velocidad característica del fluido (por ejemplo, la velocidadno perturbada del viento en un flujo externo; o la velocidad media del fluidoen un conducto); y L es una longitud característica (por ejemplo, el lado deun cartel publicitario; o el diámetro de una tubería). El flujo es turbulentopara Re suficientemente alto1.

El flujo turbulento aparece como desordenado, caótico, siempre cambiante;Son of Anarchy

el flujo no turbulento, o flujo laminar (en el que dominan las fuerzas visco-sas), es por el contrario un flujo “ordenado”.

En un famoso experimento en el Siglo XIX, Osborne Reynolds2 visualizó laEl experimento deReynolds transición entre flujo laminar y turbulento en el flujo en un conducto a me-

dida que se aumentaba el caudal (y por tanto V en la Ecuación 11.2). La tran-sición se ponía en evidencia a través de un hilo de tinta marcadora inyectadoen la tubería: para flujo laminar, el hilo permanece intacto un largo tramo;para flujo turbulento, por el contrario, rápidamente se “difumina”. Puede en-contrar vídeos que reproducen este histórico experimento de Reynolds enInternet.

Algunas características esenciales de la turbulencia son las siguientes:

El flujo turbulento es siempre tridimensional, y siempre transitorio. (ElSiempre 3D y siempre tran-sitorio flujo laminar puede ser unidimensional, y estacionario.)

La turbulencia se manifiesta como un rango de torbellinos de muy dis-Torbellinos de tamañosdispares pares tamaños:

1Qué es suficientemente no se puede establecer en general; depende del tipo de flujo.2El número de Reynolds fue llamado así en su honor muchos años después.

11.2. Ecuaciones 189

• Los torbellinos grandes son del tamaño de las dimensiones delflujo (digamos L);

• Los torbellinos más pequeños son del tamaño que les permitenlas fuerzas viscosas (este tamaño se llama escala de Kolmogorov,η).

• La separación de tamaños entre L y η es muy grande; puede de-mostrarse que L/η ≈ Re3/4 (y Re > 106 en muchos flujos prác-ticos!). La separación entre escalas temporales es también muygrande.

Los torbellinos grandes “extraen” energía del flujo medio, la transfieren Cascada de energía

a los de tamaño inferior, y se disipa (desaparece) en los más pequeñosdebido a disipación viscosa (este proceso de transferencia de energíase conoce como cascada de energía, energy cascade).

Como consecuencia, el flujo turbulento es altamente disipativo (mu- Disipación viscosa

cha energía cinética se transforma en calor), comparado con el flujolaminar.

La turbulencia crea densidad de isosuperficie, a través de la cual ac- Mezcla mejorada

túan los procesos moleculares; en consecuencia, la turbulencia mejorala mezcla (ver Figura 11.2).

11.2 Ecuaciones

Donde deducimos ecuaciones de transporte promediadas que evitan el excesivodetalle en el flujo turbulento, y que son formalmente idénticas a las instantáneassalvo un término adicional: la convección turbulenta

Las ecuaciones diferenciales desarrolladas en el Capítulo 9 son válidas tanto Ecuaciones anteriores váli-das...para flujo laminar como para flujo turbulento3. Para flujo turbulento, que es

transitorio y tridimensional, las ecuaciones son siempre transitorias y tridi-mensionales. Junto con el amplio rango de escalas temporales y espacialesinvolucradas en la turbulencia (ver más arriba), esto significa que las ecua-ciones contienen más información de la que es necesaria para la mayor partede los problemas de Ingeniería.

3En ningún momento en su desarrollo hemos hecho hipótesis alguna al respecto.


Figura 11.1: Promedios temporal (izquierda) y en realizaciones (derecha) deuna variable

En particular, raramente es necesario el conocimiento del flujo en todas las... pero demasiada infor-mación escalas presentes en el mismo. En una tubería en flujo turbulento, por ejem-

plo, normalmente no le importará el torbellino que en un momento dadopasa por un punto; más bien, se conforma con conocer la velocidad media,o el esfuerzo medio en la pared, o una concentración media de una espe-cie química en un punto. De hecho, el exceso de información es contrapro-ducente; por ejemplo, no es difícil demostrar que es imposible (por falta depotencia de cálculo) resolver numéricamente todas las escalas espaciales ytemporales de un flujo turbulento práctico.

Para filtrar esta información innecesaria, y retener la información sobre losvalores medios, se utiliza el promediado de las ecuaciones.

11.2.1 El promediadoPara eliminar el excesivo detalle en las ecuaciones instantáneas de transpor-Promediado para filtrar

te cuando el flujo es turbulento se utilizan a menudo valores promedios delas variables de interés. Hay dos tipos fundamentales de promedio: el pro-medio temporal y el promedio en realizaciones.

El promedio temporal de una variable φ se define (Figura 11.1, izquierda)como

φ (t ) = lım∆t→∞

1

∆t

∫ t+∆t

t

φ

t ′

d t ′ . (11.3)

Es por tanto un promedio apropiado cuando la variable en cuestión no de-pende, “en media”, del tiempo; el proceso se dice en estos casos estadística-mente estacionario.

11.2. Ecuaciones 191

Cuando la variable depende “en media” del tiempo (Figura 11.1, derecha) nose puede usar el promedio temporal anterior, y se usa un promedio en rea-lizaciones. Éste consiste en imaginar que el flujo tiene lugar muchas veces,desde las mismas condiciones iniciales, y en promediar la variable (en cadainstante temporal), para esas (digamos N ) realizaciones. Matemáticamente,si k indica una realización:

⟨φ (t )⟩= lımN→∞

1

N

N∑

k=1

φk (t ) (11.4)

Cuando el flujo es estadísticamente estacionario, se cumple queφ = ⟨φ⟩. No-te además que ambos promedios son simplemente sumas, por lo que tienenlas mismas propiedades matemáticas (por ejemplo, la propiedad distributi-va frente a producto; o conmutación con derivadas).

Sea cual sea la técnica de promediado, el valor instantáneo φ de la variable Descomposición deReynoldspuede descomponerse en la suma del valor medioφ y la fluctuación turbu-

lentaφ′ (esta descomposición se llama descomposición de Reynolds):

φ =φ+φ′ o φ(t ) = ⟨φ(t )⟩+φ′(t ) . (11.5)

Ambos promedios tienen algunas importantes propiedades que utilizare- Propiedades del promedio

mos luego. Las propiedades son las mismas que tienen los promedios quehabrá visto en Estadística, y se derivan del hecho de que ambos promedios(temporal y en realizaciones) son simplemente sumas. Entre otros:

El promedio conmuta con la derivada:

∂ ∂ ⊗=∂ ∂ ⊗

;

El promedio de la fluctuación es nulo:φ′ = 0;

Sin embargo, el promedio del cuadrado de la fluctuación no es nulo, yes de hecho una forma de cuantificar la intensidad (local) de la turbu-lencia:φ′2 6= 0;

El promedio conmuta con la suma (el promedio de la suma es la sumade los promedios):φ+ϕ =φ+ϕ;

El promedio del promedio es igual al promedio:φ =φ;


El promedio de un producto de una variable por un promedio es elproducto de los promediosφϕ =φϕ;

Y, crucialmente en este capítulo, el promedio del producto no es el pro-ducto de los promedios, sino el producto de los promedios más la me-dia del producto de las flucuaciones4:φϕ =φϕ+φ′ϕ′

11.2.2 Ecuaciones promediadasEn esta sección obtendremos las ecuaciones diferenciales promediadas; uti-lizaremos para referirnos a cualquiera de los dos promedios (temporal oen realizaciones), ya que el resultado es el mismo (al ser matemáticamente lamisma operación: una suma). Supondremos, por sencillez, que la densidades constante5

La ecuación de continuidad instantánea es:Promediado de continui-dad

∇· ~v = 0 . (11.6)

Promediando:

∇· ~v = 0⇒∇· ~v = 0 , (11.7)

donde, en el implica, hemos conmutado el promedio con el igual, con la su-ma (implícita en la divergencia) y con las derivadas de la divergencia.

Similarmente para cualquier variable dependiente φ, la ecuación instantá-Promediado de ec paraφ

nea es:

∂

ρφ

∂ t+∇·

ρ ~vφ

−∇·

Γ∇φ

= Sφ . (11.8)

Promediando:

∂

ρφ

∂ t+∇·

ρ ~vφ

−∇·

Γ∇φ

= Sφ , (11.9)

y, conmutando el promedio con iguales, sumas y derivadas (y teniendo encuenta que las constantes, como la densidad, salen del promedio):

∂

ρφ

∂ t+∇·

ρ ~vφ

−∇·

Γ∇φ

= Sφ , (11.10)

4El promedio de este producto se llama, en Estadística y también en Mecánica de Flui-dos, correlación.

5Cuando es variable, el promediado de las ecuaciones es un poco más complicado, perono mucho más.

11.3. Manifestaciones 193

donde hemos supuesto que Γ es constante6

El término clave en la ecuación anterior es el término convectivo, cuyo pro- El tema está en el términoconvectivomedio puede ponerse como:

~vφ = ~v φ+ ~v ′φ′ . (11.11)

Con ello, la ecuación promediada paraφ queda:

∂

ρφ

∂ t+∇·

ρ ~v φ

+∇·

ρ ~v ′φ′

−∇·

Γ∇φ

= Sφ . (11.12)

Es decir, la ecuación promediada es formalmente idéntica a la instantánea, Formalmente casi idénticaa la instantáneasalvo que

1. La variable dependiente es φ, la variable promediada, en lugar de lainstantáneaφ; y

2. Aparece un nuevo término ∇ · ρ ~v ′φ′, que surge del promediado deltérmino convectivo.

Este término adicional se llama convección turbulenta; su significado es La convección turbulenta

muy claro: aparece cuando existe una correlación entre las fluctuaciones(turbulentas) de la variable y las fluctuaciones (turbulentas) de la velocidad,que da lugar a una convección ρ ~v ′φ′ adicional a la convección del campomedio por la velocidad media, ρ ~v φ.

Los nuevos términos tipo ~v ′φ′ que aparecen al promediar las ecuaciones son El “problema de cierre”

desconocidos7, y su cálculo, a partir de otras variables conocidas, es el llama-do problema “de cierre” del modelo de flujo turbulento, un asunto sobre elque se han escrito millones de páginas. Aquí sin embargo no diremos muchomás de lo que sigue en la próxima sección.

11.3 Manifestaciones

6No es una restricción esencial.7Al resolver las ecuaciones, obtendremos ~v ,φ, etc; pero no ~v ′φ′.


Figura 11.2: La turbulencia ayuda a la mezcla creando superficie adicionalde entrefase en la que los fenómenos moleculares de difusión tienen másoportunidad de actuar

Donde mencionamos brevemente dos de los efectos del flujo turbulento: la mejorade la mezcla y (relacionado con ello) la modificación del esfuerzo entre un fluidoy una superficie sólida

11.3.1 Mezcla mejoradaLos modelos de difusividad turbulenta recogen uno de los principales efec-La turbulencia de oportu-

nidades de actuar a la difu-sión molecular

tos de la turbulencia: el aumento de las tasas de mezcla en el fluido. Aunquela turbulencia no mezcla, ya que sólo mezclan los procesos moleculares, laturbulencia aumenta la superficie a lo largo de la cual este proceso mole-cular puede tener lugar; por ejemplo, si tiene en una taza café y leche, per-fectamente segregados, y los mezcla con una cucharilla, la turbulencia crea,en los torbellinos turbulentos, superficie adicional de entrefase café-leche,gracias a la cual la mezcla molecular sucede mucho más rápido en la (másreducida) superficie original (ver ilustración en Figura 11.2).

Por ello, el cierre más sencillo, más usado, y el único que consideraremos eneste curso para el término de convección turbulenta,ρ ~v ′φ′, es el que suponeque este término introduce en el flujo una difusión adicional, que “refuerza”la difusión molecular:

−ρ−→v ′φ′ = Γtur∇φ . (11.13)

La variable Γtur se denomina difusividad turbulenta, y este tipo de modelosDifusividad y viscosidadturbulenta se llaman modelos de difusividad turbulenta (eddy viscosity models). Cuando

φ es una componente de la velocidad, Γtur es una viscosidad, llamada visco-sidad turbulenta, µtur.


Con un cierre de este estilo, la ecuación promediada, Ecuación 11.12, queda: Ecuación cerrada

∂

ρφ

∂ t+∇·

ρ ~v φ

−∇·

(Γ + Γtur)∇φ

= Sφ . (11.14)

donde todo es calculable8. La suma de las dos difusividades, Γ +Γtur, se llamahabitualmente difusividad efectiva, Γeff:

Γeff = Γ + Γtur (11.15)

Naturalmente, este cierre refleja sólo un de los efectos de la turbulencia, aun-que quizás el más importante. Es por tanto sólo un “modelo” de la realidad;y, como tal modelo, es imperfecto.

11.3.2 Turbulencia, esfuerzos y paredesIgual que la turbulencia mejora la mezcla (esto es, la transferencia) de cafe yleche, o de ginebra y tónica, también mejora la transferencia de cantidad demovimiento; esto es, los esfuerzos que unas partes del fluido ejercen sobreotras.

11.3.2.1 Los esfuerzos de Reynolds

Cuando la variable φ es una componente de la velocidad (y por lo tanto la Los esfuerzos de Reynolds

ecuación es una de las ecuaciones de cantidad de movimiento), el término es(digamos)ρ ~v ′u ′ =ρ(u ′2, u ′v ′, u ′w ′); éstas componentes, junto con las equi-valentes cuando φ = v y φ = w , se conocen como esfuerzos de Reynolds.

Aunque físicamente los esfuerzos de Reynolds no son esfuerzos, es obvio que Por qué esfuerzos?

aparecen en las ecuaciones con el mismo papel que los esfuerzos viscosos,~~τ′. Esto se ve claramente cuando se agrupan los esfuerzos de Reynolds bajola misma divergencia que los viscosos; por ejemplo, para cantidad de movi-miento en dirección x , el término de convección turbulenta es: Convección turbulenta de

u

∇· (ρ ~v ′u ′) =∂ ρu ′u ′

∂ x+∂ ρv ′u ′

∂ y+∂ ρw ′u ′

∂ z(11.16)

8El término fuente promediado Sφ puede ser muy difícil de calcular; y también es nece-sario encontrar un modelo matemático para Γtur.


Consideramos ahora la ecuación de cantidad de movimiento (en direcciónx ) promediada en el tiempo (la equivalente a la Ecuación 11.12 para u , ob-tenida promediando por ejemplo la Ecuación 9.22):

∂ ρu

∂ t+∇· (ρ ~v u )+∇· (ρ ~v ′u ′) =

∂ τx x

∂ x+∂ τx y

∂ y+∂ τx z

∂ z+ρ fmx

(11.17)

Insertando el desarrollo anterior, Ecuación 11.16, para la convección turbu-lenta de u ,∇· (ρ ~v ′u ′), y reagrupando, queda:

∂ ρu

∂ t+∇· (ρ ~v u ) =

=∂

∂ x

τx x −ρu ′u ′

+∂

∂ y

τx y −ρv ′u ′

+∂

∂ z

τx z −ρw ′u ′

+ρ fmx

(11.18)

Como ve, los esfuerzos viscosos τx x y de Reynolds ρu ′u ′ (y los otros dossimilares) aparecen (tras manipular) en el mismo término de divergencia;y por eso los segundos se llaman esfuerzos, y a veces se representan con τ.Cuando se usan modelos tipo “difusividad turbulenta”, los esfuerzos de Rey-nolds se modelan como un término de “esfuerzos viscosos adicionales”; porejemplo, para u el modelo es:Compare con Ecuación

11.13

−ρ ~v ′u ′ =µtur∇u (11.19)

11.3.2.2 Turbulencia y paredes

La turbulencia aumenta por tanto el intercambio de cantidad de movimien-Turbulencia mejora inter-cambio to (al dar, como queda dicho, a la difusión molecular más oportunidades de

que actúe en la entrefase adicional que la turbulencia crea).

Aunque esto tiene implicaciones en cualquier parte del flujo, en ningún si-Perfil de velo cerca de paredmuy distinto en lam y turb tio es posiblemente más obvio este efecto que en la presencia de paredes.

Cerca de paredes, la más eficiente transferencia de cantidad de movimientodesde la corriente libre (desde lejos de la pared) resulta en perfiles “más lle-nos” en flujo turbulento (esto es, en mayores velocidades cerca de la pared,y gradientes más altos de velocidad media, ver Figura 11.3.

Cerca de la pared el flujo es a menudo, en media, unidireccional (digamos enEcuación del flujo cerca deuna pared dirección x ; por tanto v = w = 0). La ecuación de cantidad de movimiento


y

uPared

Laminar

Turbulento

Figura 11.3: Perfil de velocidad cerca de una pared en flujo laminar y turbu-lento

promediada para u es, de la Ecuación 11.18:

∂ ρu

∂ t+∂

∂ x(ρu u ) =

=∂

∂ x

τx x −ρu ′u ′

+∂

∂ y

τx y −ρv ′u ′

+∂

∂ z

τx z −ρw ′u ′

+ρ fmx,

(11.20)

donde hemos tachado términos que son cero o despreciables (más sobre es-to en el Capítulo 19). En particular, el esfuerzo de Reynolds ρv ′u ′, asociadoa la transferencia de cantidad de movimiento en dirección normal a la pared(dirección y ), es mucho mayor que los otros dos.

Por lo tanto, los dos esfuerzos dominantes, ambos en dirección y perpendi- Esfuerzo “laminar” y “tur-bulento”cular a la pared, son:

El esfuerzo viscoso, debido al intercambio molecular, que llamaremos(impropiamente!) laminar: τlam =τx y ;

Y el esfuerzo de Reynolds, que llamaremos turbulento: τtur =−ρv ′u ′.

El intercambio total (a veces llamado efectivo) de cantidad de movimientoen dirección transversal es la suma de ambos, según la Ecuación 11.20:

τeff =τlam+τtur (11.21)


y

0

τ

τ

τ

τ

lam

tur

eff

pared

u

u

Capaexterna

turbulenta

Capa de transición

y

Capa viscosa cerca de la pared

Figura 11.4: Contribuciones al esfuerzo total (τeff) del esfuerzo“laminar”(τlam, debido a fenómenos moleculares) y del esfuerzo turbulento o de Rey-nolds (τtur) cerca de una pared

Lejos de la pared, (ver Figura 11.4) la mayor parte del esfuerzo es debido aLejos de la pared

la contribución de la turbulencia; ésta contribución es habitualmente variosórdenes de magnitud mayor que la contribución del esfuerzo viscoso τlam =τx y , ya que lejos de la pared los gradientes de velocidad media son a menudopequeños, y por tanto también lo es τx y .

A medida que nos acercamos a la pared (Figura 11.4), no sólo los gradientesCerca de la pared

de velocidad media u son más altos, sino que tanto u ′ como v ′ tienden acero (ya que la pared limita el tamaño de las fluctuaciones, o el tamaño delos torbellinos; y en la pared u ′ = v ′ = 0); por tanto, el esfuerzo turbulentoτtur =ρv ′u ′ tiende a cero a medida que nos acercamos a la pared (y es ceroen la pared): el esfuerzo viscoso τlam domina en esa zona.

11.3.2.3 La velocidad y el esfuerzo cerca de la pared: Ley de la Pared

El apartado anterior ha resumido algunas de las características de la veloci-Por qué es importante

dad, y el esfuerzo, cerca de la pared en un flujo turbulento. La velocidad localmedia (u , y el esfuerzo resultante entre pared y fluido (τp ), tienen una gran


importancia en muchas aplicaciones de la Mecánica de Fluidos en Ingenie-ría; por ejemplo, en el flujo en conductos, o en aerodinámica de vehículos yaeronaves, en las que la estimación del esfuerzo es el objetivo principal delanálisis. Por ello, es interesante conocer más sobre la velocidad, el esfuerzoy la relación entre ellos9.

En un flujo turbulento, la relación entre la velocidad local en un punto cer- La Ley de la Pared entre u yτpca de la pared u y el esfuerzo en la pared τp está descrita por una ley que

es aproximadamente (y afortunadamente) aplicable a muchos casos de in-terés práctico (entre otros, los conductos y la aerodinámica que menciona-mos antes), y se denomina Ley de la Pared10. Para ello, el flujo medio debeser prácticamente unidireccional, la pared debe ser sustancialmente plana(no hay curvatura en la dirección principal del flujo), no debe haber grandesgradientes de presión, ni otros efectos que compliquen el flujo (tales comouna alta transferencia de calor entre pared y fluido).

Esta relación cuasi-universal entre el esfuerzo en la pared y la velocidad me- Aplicable a capas viscosa yde transicióndia es aplicable a las capas viscosa y de transición mostradas en la Figura 11.4;

ambas capas son muy cercanas a la pared. En la tercera capa de la figura, lacapa externa, el flujo depende del problema que estemos considerando. Porejemplo, la relación entre velocidad y esfuerzo en la pared es similar para elala de un avión o un conducto de gas en las capas viscosas y de transición;pero depende del problema en la capa externa.

Si y es la distancia de un punto a la pared, y u (= func(y )) es la velocidad Variables adimensionaleshabitualesmedia en ese punto, en el análisis de la ley de la pared se usan, a menudo, las

siguientes tres variables:

u∗ =

√

√τp

ρ; u+ =

u

u∗; y+ =

y u∗ν

, (11.22)

donde τp es el esfuerzo viscoso en la pared. La primera, u∗, se denomina ve-locidad de fricción (porque tiene dimensiones de velocidad, aunque no esuna velocidad física); la segunda es una velocidad adimensional (coloquial-mente llamada u plus); y la tercera (y plus) es una distancia adimensional ala pared, y también un número de Reynolds.

En la capa viscosa, el flujo es prácticamente laminar. El espesor de la capa Ley para la capa viscosa

9Más sobre esto en el Capítulo 19, Capa Límite.10 La deducción de esta Ley de la Pared combina teoría y experimentos; en esta sección

no hacemos tal deducción, sino que reportamos directamente el resultado.


viscosa es muy pequeño, y el gradiente de velocidad es muy alto; por ello,la velocidad es prácticamente lineal con la distancia hasta la pared y , y elesfuerzo en la pared puede ponerse como:

τp =µu

y. (11.23)

Introduciendo las definiciones de la Ecuación 11.22, queda, simplemente:

u+ = y+ , 0≤ y+ ≤ 5 , (11.24)

que, como se indica, es una relación válida desde la pared hasta una distan-cia y+ ≈ 5.

En la capa de transición, la relación entre u e y+ es logarítmica:Ley para la capa de transi-ción

u+ =1

κln y++B , (11.25)

dónde κ≈ 0.40 y B ≈ 5 son constantes.

Las Ecuaciones 11.25 y 11.25 se representan a menudo en gráficos simila-Representación gráfica

res a los de la Figura 11.5. Note que ambos u (y ) (la velocidad media localdel fluido a una distancia y de la pared) y τp (el esfuerzo en la pared) sonincógnitas.


Figura 11.5: Ley de la Pared. En azul, Ecuaciones 11.25 y 11.25; en rojo: unperfil de velocidad real típico.viscous sublayer = capa viscosa; log-law region = capa de transiciónFuente: By aokomoriuta (Own work) [CC-BY-SA-3.0-2.5-2.0-1.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0) or GFDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)], via Wikimedia Commons

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0

http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html

Tema 5

Análisis dimensional ysemejanza

12

Hay otros mundos pero estánen éste

(AKA: Análisis dimensional)

Las ecuaciones diferenciales de la Mecánica de Fluidos, deducidas en el Ca-pítulo 9, son, como queda dicho, raramente resolubles de forma analítica.Las ecuaciones se pueden resolver numéricamente (usando técnicas que seconocen como Fluidodinámica Computacional). La solución numérica deproblemas de fluidos es vez más fiable, pero tiene a menudo incertidum-bres (por ejemplo, para el estudio de dominios complejos, flujos turbulentos,reactivos, multifásicos) que aconsejan el uso de herramientas alternativas oadicionales en el análisis de un productos o un proceso.

En estas circunstancias, es muy común acudir al análisis experimental pa-ra tener un conocimiento detallado del problema. Sin embargo, el análisisexperimental es en general muy costoso, y por tanto cualquier metodologíaque permita abaratarlo es de gran valor en Mecánica de Fluidos.

El Análisis Dimensional es una de estas metodologías. Aunque es aplica-ble a otras áreas de la Técnica o de la Ciencia, es en la Mecánica de Fluidosdonde, posiblemente, ha alcanzado un mayor desarrollo y un uso más ge-neralizado. En este Capítulo y en el siguiente desarrollaremos la teoría delAnálisis Dimensional, e ilustraremos sus principales aplicaciones. Veremosque el Análisis Dimensional comporta tres sustanciales ventajas:

205

206 Hay otros mundos pero están en éste

Permite ordenar la información, teórica o experimental, que se tienesobre un fenómeno, reduciendo por ejemplo el número de experimen-tos necesarios para comprenderlo o caracterizarlo;

Permite el diseño de experimentos en condiciones distintas a las de larealidad (por ejemplo, a otras escalas, o con otros fluidos), y el trasladode los resultados obtenidos en el laboratorio en estas condiciones a larealidad;

Permite realizar análisis de órdenes de magnitud, para determinar quéefectos y parámetros son relevantes en un flujo determinado, y cuálespueden despreciarse.

12.1 Ejemplo ilustrativo

Donde mostramos, en un ejemplo, que medir por medir es tontería

Supongamos que una empresa aeronáutica que se especializa en la cons-Empresario aguerrido

trucción de dirigibles1 (“zeppelin”) de varios tamaños desea conocer en de-talle cuál es la fuerza de resistencia al avance que experimenta el dirigiblecuando vuela.

El departamento de I+D de la empresa sabe, por ejemplo por su experiencia,Conocimiento previo delproblema que, para una familia de dirigibles, dicha fuerza de resistencia, D , es función

de la longitud l del dirigible, de la velocidad de avance V , y de las propieda-des del aire en el que avanza (en particular, de la densidad ρ y la viscosidadµ). Esta dependencia puede expresarse, de forma genérica, como una ciertafunción que queremos conocer: D = f (l , V ,ρ,µ).

Una posibilidad para tener un conocimiento completo del fenómeno (es de-Medir para conocer com-pletamente es inviable cir, de la función f ) es hacer ensayos en una instalación experimental para

(digamos) 5 valores de cada una de las variables de las que depende D , mi-diendo D en cada caso. Sin embargo, esta estrategia plantea varios inconve-nientes prácticos:

1Los dirigibles se usan hoy en día para diversas funciones, incluyendo publicidad, re-transmisiones deportivas, o vigilancia. A menudo aparecen en los medios de comunicaciónnoticias de planes comerciales para recuperar el dirigible para transporte a larga distanciade carga aérea, o incluso de pasajeros en viajes turísticos.

12.1. Ejemplo ilustrativo 207

Incluso para un moderado número de ensayos por variable (digamoscinco), el número de total ensayos a realizar es alto; por ejemplo, cincolongitudes, cinco velocidades, cinco densidades y cinco viscosidadesimplican 54 = 625 ensayos. A razón de (digamos) un ensayo cada día,esto puede suponer dos años de trabajo.

Hay que construir 5 dirigibles distintos, a escala real, lo cual es caro.

Hay que construir un laboratorio (piense en un túnel de viento o nave)de un tamaño suficiente para albergar holgadamente el dirigible másgrande.

Hay que utilizar para los ensayos 25 fluidos distintos (a razón de unfluido por cada pareja densidad/viscosidad).

Hay que impulsar el fluido a la velocidad V por la instalación. (Sólo elcoste de este aspecto puede hacer el experimento muy caro.)

El análisis dimensional nos indicará, sólo basándose en las dimensiones de Y sin saber nada más defluidos!las magnitudes que intervienen en el problema, que la relación dimensional

anterior, D = f (l , V ,ρ,µ), puede en realidad escribirse de forma más sencillacomo:

D12ρV 2l 2

= F

ρV l

µ

,

donde, como se puede comprobar, los grupos de variables que aparecen sonadimensionales (el segundo es el número de Reynolds, Re).

Las consecuencias de esta nueva relación en la campaña experimental son Muchas ventajas!

drásticas:

En primer lugar, puesto que ahora sólo hay un parámetro dependien-te, Re=ρV l /µ, sólo necesitamos cinco ensayos para extraer la mismacantidad de información experimental que antes con 625.

En segundo lugar, podemos jugar con los “ingredientes” de este pa-rámetro para conseguir experimentos viables. Por ejemplo, podemosjugar con el producto l V para ensayar dirigibles a escala reducida (porejemplo 1:10) a costa de aumentar la velocidad, lo cual reduce el costede fabricar el prototipo y de impulsar el fluido. Lo mismo es cierto pa-ra la combinaciónρ/µ. En realidad, el análisis dimensional revela que


no hace falta hacer ensayos con 25 fluidos distintos, sino sólo a cinconúmeros de Reynolds distintos.

El análisis dimensional ha convertido en viable una estrategia experimentalY esto es lo que el Análi-sis Dimensional puede ha-cer por ti

que era inviable, o extraordinariamente costosa; y lo ha hecho, se verá, conmuy poco esfuerzo analítico.

12.2 Principio de homogeneidad dimensional

Donde vemos por qué la mayor parte de las ecuaciones se pueden usar en cual-quier sistema de unidades

La Ecuación de Bernoulli, tal como fue introducida en capítulos anteriores,Ejemplo

expresa la conservación a lo largo de una línea de corriente (y bajo ciertascondiciones) de la energía de la partícula fluida. Entre dos puntos en unalínea de corriente, 1 y 2, la ecuación establece que:

p1

ρ+

v 21

2+ g z1 =

p2

ρ+

v 22

2+ g z2 . (12.1)

Es fácil comprobar que todos los términos tienen las mismas dimensiones2:Dimensiones

p

ρ

=M /LT 2

M /L 3=

L 2

T 2;

v 21

2

=L 2

T 2;

g z1

=L

T 2L =

L 2

T 2.

Esto es cierto de cualquier ecuación bien formulada, debido al principio dehomogeneidad dimensional.

El principio de homogeneidad dimensional establece que cualquier ecua-El principio

ción que describe por completo un proceso físico debe ser dimensionalmen-te homogénea; esto es, todos sus términos deben tener las mismas dimen-siones.

En la comprobación de las dimensiones de términos en derivadas parcialesDimensiones de derivadas,integrales

2Usaremos corchetes, como en [⊙

], para indicar que nos referimos a las dimensionesde la cantidad

⊙

.

12.3. El teorema Pi de Vaschy-Buckingham 209

o con integrales ha de tenerse en cuenta que:

∂ a

∂ b

=[a ][b ]

;

∂ 2a

∂ b 2

=[a ][b ]2

; [

∫

a d b ] = [a ][b ] .

En Ingeniería se emplean en ocasiones fórmulas que no responden al Prin- Ingeniería rancia

cipio de Homogeneidad Dimensional. Dichas fórmulas, cuya supervivenciapuede atribuirse a la costumbre, fueron frecuentemente deducidas a partirde estudios experimentales en los que sus autores ignoraban (o ignoraron)las ventajas del análisis dimensional como forma de organizar y generali-zar el conocimiento experimental. Entre otras desventajas, las ecuacionesque no son dimensionalmente homogéneas sólo se pueden usar en su for-ma original en el sistema de unidades en el que fueron deducidas. (Para otrossistemas, hay que introducir factores de conversión, cosa que no sucede conlas ecuaciones dimensionalmente homogéneas.)

Un ejemplo frecuentemente citado es la fórmula de Manning, que da la ve- Formula de Manning

locidad (media) de un fluido que fluye por un canal abierto (tal como unaacequia): V = R 2/3

h S 1/2/n donde V es la velocidad, ([V ] = L/T ), n es un nú-mero (adimensional) que depende del tipo de superficie del canal, R es elradio hidráulico ([R ] = L), y S es la pendiente del canal (adimensional). Laecuación de Manning no es por tanto dimensionalmente homogénea, y porsólo puede ser utilizada en el sistema de unidades (Internacional, Anglosa-jón, Imperial, etc) en el que ha sido deducida.

12.3 El teorema Pi de Vaschy-Buckingham

Donde enunciamos, sin demostrarlo, el teorema que permite obtener resultadoscomo los del zeppelin, y la metodología para hacerlo.

12.3.1 Ejemplo: descarga de un depósitoPara entender la esencia del análisis dimensional, empezaremos con unejemplo en el que es posible calcular una solución analítica aproximada.

Consideremos la descarga de un depósito como el de la Figura 12.1. El de- Descarga de depósito

pósito, de una sección transversal At , descarga a través de un conducto desección As a una presión ps (relativa a la atmosférica). Para una altura h delfluido en el depósito, queremos estimar la velocidad de descarga, vs .


h

vt

At

A , v , p s s s

Figura 12.1: Descarga de un depósito; en rojo, volumen de control para apli-car la ecuación de continuidad

El problema puede resolverse analíticamente de una forma sencilla (y apro-ximada) mediante la aplicación de las ecuaciones de continuidad y Bernou-lli.

La primera establece simplemente que:Continuidad

At vt = As vs , (12.2)

siendo vt la velocidad de descenso de la superficie libre (con el sentido indi-cado en la Figura 12.1).

La ecuación de Bernoulli, aplicada entre un punto en la superficie libre y otroBernoulli

en la salida3 es:

v 2t

2g+h =

v 2s

2g+

ps

ρg. (12.3)

De las ecuaciones anteriores, se puede despejar la velocidad de descarga co-Solución

mo:

vs =

√

√ 2

1− (As/At )2

g h −ps

ρ

. (12.4)

Por tanto, la velocidad de descarga así estimada es función de otras seis va-El problema tiene 1+6 varsdimensionales

3Asumiremos, sin más explicación, que se cumplen las condiciones para aplicarla; re-cuerde que estamos estimando la velocidad de descarga.


riables:

vs = f

ρ, g , h , As , At , ps

(12.5)

La Ecuación 12.4 puede hacerse adimensional dividiendo porp

g h (o igual- Adimensionalización, sinanestesiamente por

p

2g h ; el número 2 no tiene dimensiones):

vsp

2g h=

√

√ 1

1− (As/At )2

1−ps

ρg h

. (12.6)

Por tanto, utilizando parámetros adimensionales, la Ecuación 12.5 puedeponerse como:

vsp

2g h= F1

As

At,

ps

ρg h

. (12.7)

Como se aprecia comparando las Ecuaciones 12.5 y 12.7, el uso de paráme- 1+2 parámetros adimen-sionales!tros adimensionales ha resultado en una reducción en el número de pará-

metros de la función de siete a tres.

En el ejemplo sencillo anterior, las relación funcional f de la Ecuación 12.5 es En este caso la reducciónno tiene mérito...conocida; por tanto para la obtención de los parámetros adimensionales ha

sido suficiente una simple manipulación algebraica, y la reducción del nú-mero de parámetros tiene poco interés dado que se conoce completamentela función f . Sin embargo, la importancia del análisis dimensional radica enque permite realizar reducciones similares aun cuando la forma de la fun-ción f es desconocida.

El teorema Pi de Vaschy-Buckingham demuestra que tal reducción es posi- ...pero el teorema Pi permi-te hacerlo sin resolver!ble, cuantifica cuántos parámetros pueden reducirse, y establece un proce-

dimiento sistemático para la reducción.

12.3.2 InformalmenteAntes de enunciar el teorema, puede ayudarle conocer en términos infor-males cómo funciona el proceso de adimensionalización de un problema.Si no entiende ahora este apartado, vuelva a leerlo tras haber hecho algúnproblema.

La idea es sencilla. Dado que las ecuaciones han de ser dimensionalmentehomogéneas, sus variables dimensionales no se pueden combinar de “cual-quier manera”, sino que han de hacerlo de forma que el resultado sea dimen-sionalmente coherente. (Ésta es la principal lección del ejemplo anterior.)


Para analizar cómo se pueden combinar las variables dimensionales, expre-samos las dimensiones de unas variables en función de las dimensiones deotras; por ejemplo, la viscosidad no tiene dimensiones [µ] =M L−1T −1, sino“dimensiones de” V lρ.

Por tanto, “remplazamos” las dimensiones originales (M , L , T , etc) presen-tes problema por otras tantas variables dimensionales (por ejemplo V , l ,ρ).Estas variables dimensionales “elegidas” se denominan base dimensional.La mayor parte de los problemas en Mecánica de Fluidos tienen tres dimen-siones (L , M , T ), así que sólo puede elegir tres variables dimensionales paraesta base; algunos problemas tienen menos (por ejemplo, L y T ); otros tie-nen más (por ejemplo, añaden la temperatura Θ).

Estas variables elegidas para la base dimensional se utilizarán para expresar,combinándose entre ellas, las dimensiones del resto de las variables dimen-sionales del problema, formando así grupos adimensionales. Las variablesde la base dimensional pueden en principio ser cualesquiera de las presen-tes en el problema, pero debido a esta función de base sus dimensiones hande ser linealmente independientes (ésta es la única manera de que puedanreproducir, combinándose, las dimensiones de cualquier otra variable).

12.3.3 Formalmente: El teorema PiEnunciado

Si un proceso físico está gobernado por una relación dimensionalmente ho-Problema dimensional

mogénea que comprende n parámetros dimensionales xi (4 tal que

x1 = f (x2, x3, x4, . . . , xn ) , (12.8)

entonces existe una relación equivalente que contiene un número menor (n−Problema adimensional

k ) de parámetros adimensionales Πi (5 tal que:

Π1 = F (Π2,Π3, . . . ,Πn−k ) , (12.9)

donde Πi son grupos adimensionales6 construidos a partir de las variablesdimensionales xi .

4Por ejemplo, xi = l , V ,ρ,µ,...5El uso de la letra griega Π da nombre al teorema. Algunos autores indican que el uso

del símboloΠ, y el nombre del propio teorema, se deben a que el número π= 3.14159 . . . es,como ratio entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, uno de los primeros númerosadimensionales (si no el primero) de la historia de la Ciencia.

6 Por ejemplo, D12ρV 2l 2

, ρV lµ , As

At, psρg l , ...


El valor k de la reducción es el rango de la matriz de dimensiones de los Reducción

parámetros x1, x2, . . . , xn , que se obtiene como sigue.

Reducción k

Sea m el número de dimensiones fundamentales (Dj ) de las x j (7. Entonces, Dimensiones fundamenta-leslas dimensiones de cada xi pueden ponerse como:Dimensiones de cada xi

[xi ] =D αi 11 D αi 2

2 . . . D αi mm . (12.10)

(Por ejemplo, las dimensiones de la presión son [p ] =M L−1T −2.)

La matriz de dimensiones es: Matriz de dimensiones

[α] =

α11 α12 α13 · · · α1m

α21 α22 α23 · · · α2m...

...... · · ·

...αn1 αn2 αn3 · · · αnm

. (12.11)

La reducción k es el rango8: si el rango de la matriz es k , entonces existen Reducción k es el rango

n −k parámetros adimensionales.

Cálculo de los Πi

Supongamos 9 que las k primeras filas de la matriz dan determinante no nu- La base dimensional

lo. Esto quiere decir que las dimensiones de las correspondientes variablesdimensionales x1 a xk son linealmente independientes. Por tanto estas varia-bles pueden constituir una base dimensional que se puede usar, combinadolas variables, para generar el resto de dimensiones del problema.

Es decir, el resto de parámetros dimensionales xk+1 a xn pueden adimen- Adimensionalización delresto de parámetrossionalizarse con los parámetros x1 a xk , dando lugar a los los parámetros

adimensionales Π1a Πn−k como sigue:

xk+1 = Π1 xβ(k+1)11 x

β(k+2)22 · · · x

β(k+q )kk

......

...... · · ·

...

xn = Πn−k x βn11 x βn2

2 · · · x βnk

k

. (12.12)

7Por ejemplo, Dj =M , L , T , ..., por Masa, Tiempo, Longitud, etc8El rango de una matriz es la dimensión del mayor determinante no nulo.9Sin pérdida de generalidad, ya que si no fuera así las filas de la matriz pueden reorde-

narse.


Las ecuaciones anteriores pueden utilizarse para despejar los parámetrosadimensionales Π j como función de las variables dimensionales xi .

Las k variables x1 . . . xk que forman parte de la base dimensional se deno-Magnitudes fundamenta-les minan también variables (o magnitudes) fundamentales.

12.3.4 Aplicación al ejemplo anteriorLa aplicación del teorema Pi a un problema comporta los siguientes pasos,que ejemplificaremos para la descarga del depósito del apartado 12.3.1 (Fi-gura 12.1).

Paso 1 Establecer de qué parámetros dimensionales depende el fenó-Parámetros dimensionales

meno. En el ejemplo considerado, la velocidad de descarga es vs =f

ρ, g , h , As , At , ps

Paso 2 Establecer qué dimensiones intervienen en el problema, y formar laDimensiones fundamenta-les y dimensiones de las va-riables

matriz de dimensiones, [α]. En este caso, las dimensiones que intervie-nen en todas las variables dimensionales son longitud (L), masa (M )y tiempo (T ). (La temperatura, θ , es otra dimensión que aparece fre-cuentemente en problemas de Mecánica de Fluidos, aunque no en esteejemplo). La matriz de dimensiones [α] es:

M L T[ρ] =M L−3 1 -3 0[g ] = LT −2 0 1 -2[h ] = L 0 1 0[ps ] =M L−1T −2 1 -1 -2[vs ] = LT −1 0 1 -1[As ] = L 2 0 2 0[At ] = L 2 0 2 0

Paso 3 Establecer el rango de la matriz de dimensiones [α].Rango de la matriz de di-mensiones

En el ejemplo, este rango es 3, pues al menos las tres primeras filas dela matriz proporcionan un determinante no nulo (y el rango no puedeser mayor que tres al haber sólo tres columnas):

1 −3 00 1 −2 = 0+0+0−0−0+2= 2 6= 00 1 0

. (12.13)


Paso 4 Establecer el número de parámetros adimensionales Π del proble- Número de Π que resultan

ma, y el número de variables dimensionales fundamentales. Dado quen = 7 es el número de variables dimensionales, y k = 3 es el rango de[α], entonces hay n−k = 4 númerosΠ y k = 3 variables fundamentales.

Paso 5 Escoger las k variables fundamentales de entre las del problema, te- Escoger base dimensional

niendo en cuenta que sus dimensiones han de ser linealmente inde-pendientes. En el problema de la descarga del depósito, las variablesρ,g y h tienen dimensiones linealmente independientes (pues el deter-minante correspondiente, calculado en el paso 3, es no nulo), y seránusadas como variables fundamentales.

Los principios del análisis dimensional y semejanza (que veremos en Y qué variable escojo?

el capítulo siguiente) son válidos para cualquier grupo de variables quecumplan las condiciones anteriores. No obstante, es una buena prác-tica escoger estas variables de manera que aparezcan los grupos adi-mensionales más usados en Mecánica de Fluidos, que se estudian enel capítulo siguiente. Por ejemplo, si en el problema hay una viscosi-dad dinámica µ, es habitual seleccionar para la base dimensional unadensidad, una velocidad y una longitud, para que todas formen un nú-mero de Reynolds. Realmente, que sea la viscosidad o que sea la densi-dad la que esté en la base dimensional no es relevante desde el puntode vista del procedimiento: en ambos casos obtendrá, al adimensiona-lizar la otra, un número de Reynolds; pero con el conjunto densidad,velocidad, longitud en la base dimensional será (casi siempre) capazde construir más parámetros adimensionales estándar que si cambiauna de ellas por la viscosidad.

Paso 6 Formar los números Π expresando las variables dimensionales no Deducir los Π′s

fundamentales (en este caso, ps , vs , As , At ) en función de las dimensio-nales de manera que el resultado sea dimensionalmente homogéneo.

El método sistemático para ello consiste en formar, para cada ecua-ción de las del sistema 12.12, un sistema de ecuaciones que permitancalcular los exponentes β que proporcionan homogeneidad dimen-sional. En el ejemplo, un número adimensional, digamos Π1, resultade la homogeneidad dimensional de la ecuación:

ps =Π1ρβ11 g β12 hβ13 . (12.14)

Para que las dimensiones sean homogéneas, ha de cumplirse:

[ps ] = [Π1][ρ]β11[g ]β12[h ]β13 . (12.15)


Teniendo en cuenta queΠ1 es adimensional (esto es, [Π1] = 1), la igual-dad de dimensiones implica:

M L−1T −2 =

M L−3β11

LT −2β12 (L )β13 , (12.16)

de donde resulta el sistema de ecuaciones:

M → 1 = β11

L → -1 = −3β11+β12+β13

T → -2 = −2β12

, (12.17)

cuya solución es: β11 = 1, β12 = 1, β13 = 1.

Sustituyendo estos valores en la Ecuación 12.14 se obtiene una relaciónpara Π1:

Π1 =ps

ρg h. (12.18)

Procediendo igual para vs , se obtiene Π2:

vs =Π2 ρβ21 g β22 hβ23 . (12.19)

El correspondiente sistema de ecuaciones para las dimensiones es10:

M → 0 = β11

L → 1 = −3β11+β12+β13

T → -1 = −2β12

, (12.20)

cuya solución es: β21 = 0, β22 = 1/2, β23 = 1/2. Por tanto:

Π2 =vs

p

g h. (12.21)

Los dos númerosΠ restantes, que involucran áreas, se pueden deduciranálogamente; o bien, reconociendo que éstos tienen dimensiones deh 2, puede escribirse directamente:

Π3 =As

h 2; Π4 =

At

h 2. (12.22)

Por tanto, el fenómeno queda descrito por una relación funcional que invo-Resultado para el ejemplo

lucra estos parámetros adimensionales Π1, . . . ,Π4; por ejemplo:

vsp

g h= F2

ps

ρg h,

As

h 2,

At

h 2

. (12.23)

12.4. Ejemplos de aplicación del teorema Pi 217

Comparando la ecuación anterior (deducida usando el teorema Pi) con la Diferencia con soluciónanalítica?Ecuación 12.7 (deducida de la solución analítica), se comprueba que son

idénticas, salvo las siguientes diferencias:

El término en vs aparece dividido porp

2 en la Ecuación 12.7 y no en Constantes, pero no cuen-tan (son adim)la Ecuación 12.23. Puesto que se trata de una constante adimensio-

nal, puede considerarse englobada en las funciones F1 o F2, y por tantopuede añadirse o suprimirse libremente.

Los dos grupos As/h2 y At /h

2 de la Ecuación 12.23 aparecen dividi- Más Π’s, pero...

dos como As/At en la Ecuación 12.7; nuevamente, esta división puedeser una de las operaciones que componen la función F2. Por tanto el re-sultado obtenido con el análisis dimensional (Ecuación 12.23) es com-patible con el obtenido analíticamente (Ecuación 12.7), si bien resultaen la aparición de un parámetro adimensional más. Naturalmente, elanálisis dimensional, en el que la reducción de parámetros se basa pu-ramente en cuestiones dimensionales (sin ningún conocimiento del ..es que esto no usa nada de

MdF!fenómeno, o sea, de f ), no puede proporcionar una mayor reducciónque el estudio analítico en el que la forma exacta de f es conocida.

12.4 Ejemplos de aplicación del teorema Pi

Donde aplicamos el teorema Pi, todavía con olor a nuevo, a la reducción de al-gunos problemas clásicos de la Mecánica de Fluidos.

12.4.1 Resistencia aero- o hidrodinámicaSea un cuerpo de una longitud l inmerso en un fluido de densidadρ y visco- El zeppelin revisitado

sidad µ (Figura 12.2)11. El fluido y el cuerpo tienen una velocidad relativa12

V , y como consecuencia aparece en el cuerpo una fuerza de arrastre D . Paraencontrar los parámetros adimensionales del problema, seguimos los pasosindicados en el apartado anterior para la aplicación del teorema Pi:

10Note que el lado derecho del sistema es el mismo que el deΠ1, sistema 12.17, dado quelas variables fundamentales son las mismas.

11Este es el problema con el que empezamos este capítulo, Sección 12.112Característica.


V

r, m

l

Figura 12.2: Resistencia aero- o hidrodinámica: parámetros dimensionales

Paso 1 Parámetros dimensionales relevantes. Según el enunciado: D =f

V , l ,ρ,µ

Paso 2 Dimensiones, y matriz de dimensiones. Las dimensiones de los pará-metros del problema son M , L y T , y la matriz es:

M L TV 0 1 -1l 0 1 0ρ 1 -3 0µ 1 -1 -1D 1 1 -2

Paso 3 Rango de la matriz de dimensiones. El rango de la matriz anterior esk = 3 (por ejemplo, el determinante formado por las tres primeras filases no nulo).

Paso 4 Número de parámetros adimensionales y de magnitudes fundamen-tales. Hay n −k = 5−3= 2 parámetros adimensionales y k = 3 magni-tudes fundamentales.

Paso 5 Elección de las magnitudes fundamentales. Se pueden elegir cuales-quiera tres magnitudes fundamentales, siempre que sus dimensionessean linealmente independientes. En este caso, tomaremos V , l y ρcomo magnitudes fundamentales.

Paso 6 Formación de números Π. Los números Π resultan de postular rela-ciones entre los parámetros fundamentales y el resto de los parámetrosdimensionales, y resolver los sistemas de ecuaciones que resultan de


l

D

e

s

V

Figura 12.3: Pérdida de carga en una tubería: parámetros dimensionales

imponer la coherencia dimensional de la relación. En este caso, paralos dos parámetros adimensionales, tenemos, de forma sucinta:

µ=Π1V β11 l β12ρβ13 ⇒β11 =β12 =β13 = 1⇒Π1 =µ/V lρ.

Normalmente se utiliza el inverso del número anterior, Π1 =V lρ/µ, que es un número de Reynolds, Re. Matemáticamente, eluso del inverso de parámetro es lícito, porque puede ser asumidoen la forma genérica de la relación funcional que se postula.

D =Π2V β21 l β22ρβ23 ⇒β21 = 2; β22 = 2; β23 = 1⇒Π2 = F /ρV 2l 2

Π2 es el coeficiente de resistencia, CD . Frecuentemente, se dividepor la constante adimensional 1/2(13: CD =D / 1

2ρV 2l 2.

Por tanto, la relación funcional reducida es:

D12ρV 2l 2

= F

V lρ

µ

ó CD = F (Re) (12.24)

12.4.2 Pérdidas de carga en un conductoConsideramos un tramo recto de tubería de longitud l y de sección constan- La Mecánica de Fluidos pa-

ra el 99 % de los Ingenierosdel mundo, menos afortu-nados que usted.

te (diámetro D ), por la que circula un fluido incompresible con una veloci-dad media v (Figura 12.3). La ecuación de Bernoulli, aplicada (en las condi-ciones en que es aplicable, véase Capítulo 9) entre la entrada e y la salida sindica que:

pe +1

2ρv 2

e +ρg ze = ps +1

2ρv 2

s +ρg zs , (12.25)

13 Recordemos que la multiplicación del número adimensional por constantes adimen-sionales es también lícita, pues quedan asumidas en la forma genérica de la relación fun-cional.


que expresa la conservación de la suma de energías de presión, cinética ypotencial entre la entrada y la salida.

Sin embargo, cuando el fluido es viscoso, la ecuación anterior no se cum-ple14. La diferencia entre el miembro izquierdo y el derecho, que tiene di-mensiones de presión, se denomina pérdida de presión o pérdida de carga:

p +ρg zs

e=∆pp , (12.26)

donde se ha tenido en cuenta que en este caso ve = vs .

La pérdida de presión∆pp se expresa a veces en dimensiones de altura comohp =∆pp/ρg , y se denomina altura de pérdidas.

La pérdida de presión es función de:

∆pp = f (v, D ,ρ,µ, l ,ε) , (12.27)

donde ε es la rugosidad de la tubería.

Los pasos para la aplicación del teorema Pi a este caso son los siguientes:

Paso 1 Parámetros dimensionales relevantes. Según el enunciado: ∆pp =f (v, D ,ρ,µ, l ,ε)

Paso 2 Dimensiones, y matriz de dimensiones. Las dimensiones de los pará-metros del problema son M , L y T , y la matriz es:

M L Tv 0 1 -1D 0 1 0ρ 1 -3 0µ 1 -1 -1l 0 1 0ε 0 1 0∆p 1 -1 -2

14El mecanismo que causa un imbalance de la suma anterior entre entrada y salida esla disipación viscosa, Ecuación 9.33, ausente si consideramos el fluido ideal al aplicar laecuación de Bernoulli.


Paso 3 Rango de la matriz de dimensiones. El rango de la matriz anterior estres (por ejemplo, el determinante formado por las tres primeras filases no nulo).


Paso 5 Elección de las magnitudes fundamentales. Tomaremos v , D y ρ co-mo magnitudes fundamentales; hemos comprobado en el paso 3 quesus dimensiones son linealmente independientes.

Paso 6 Formación de números Π. Obviamente, podemos formar directa-mente los números adimensionales

Π1 =l

D;Π2 =

ε

D, (12.28)

el segundo de los cuales se denomina rugosidad relativa.

Para calcular el resto de los parámetros Π, procederemos de la formasistemática, postulando relaciones entre los parámetros fundamenta-les y el resto de los parámetros dimensionales, y resolviendo los siste-mas de ecuaciones que resultan de imponer la coherencia dimensionalde la coherencia dimensional de la relación. Por tanto:

µ=Π3V β31 D β32ρβ33 ⇒Π3 =µ

ρv D, (12.29)

o, equivalentemente usando su inverso: Π3 =ρV D /µ=Re.

∆pp =Π4V β41 D β42ρβ43 ⇒Π4 =∆Pp

ρv 2, (12.30)

o, equivalentemente Π4 =∆pp/12ρv 2.

Por tanto la relación adimensional buscada es:

∆pp

12ρv 2

= f (Re,l

D,ε

D) =

l

Dλ(Re,

ε

D) , (12.31)

donde en la segunda igualdad se ha utilizado el argumento de que laspérdidas de carga han de ser lineales con la longitud l del tramo paradeducir la forma concreta de la dependencia de f con l /D . La fun-ción λ ha sido ampliamente estudiada experimentalmente. Su expre-sión más conocida es en la forma de un diagrama, denominado dia-grama de Moody (Figura 12.4, en la que se representa la función λ en


Figura 12.4: Diagrama de Moody. La ordenada es λAutores: S Beck and R Collins, University of Sheffield. Licencia Creative Commons CC BY-SA 3.0

ordenadas, frente al número de Re en abscisas para varios valores dela rugosidad relativa).

12.4.3 Propulsión de un barcoEn este ejemplo analizaremos la fuerza de propulsión FP que proporcionauna hélice de diámetro D que gira con velocidad angular ω inmersa en unfluido de densidad ρ y viscosidad µ, y que avanza en el fluido con una velo-cidad v0.

Paso 1 Parámetros dimensionales relevantes. Por tanto, según lo anterior, larelación funcional dimensional es:

FP = f (ρ,ω, D , v0,µ, a ) (12.32)

Paso 2 Dimensiones, y matriz de dimensiones.

Las dimensiones que intervienen en los parámetros anteriores son M ,L , y T .


wD

v

Figura 12.5: Hélice de un barco: parámetros dimensionales

M L Tρ 1 -3 0D 0 1 0ω 0 0 -1v0 0 1 -1µ 1 -1 -1a 0 1 -1FP 1 1 -2

Paso 3 Rango de la matriz de dimensiones. El rango de la matriz anterior estres (por ejemplo, el determinante formado por las tres primeras filases no nulo).


Paso 5 Elección de las magnitudes fundamentales. Escogemosρ,ω y D , cu-yas dimensiones son linealmente independientes.

Paso 6 Formación de números Π. Estos pueden formarse a través de los sis-temas de ecuaciones basados en las dimensiones de la variables. Sinembargo, teniendo en cuenta que ωD tiene dimensiones de veloci-dad lineal, no es difícil componer directamente los siguientes núme-ros (usando sólo las variables de la base dimensional, o magnitudesfundamentales, ρ,ω y D ):

El ratio

Π1 =v0

ωD(12.33)


relaciona la velocidad de avance de la nave con (dos veces) la ve-locidad lineal periférica de la hélice.

Un número de Reynolds Re, basado en la anterior velocidad, pue-de construirse como:

Π2 =ρωD D

µ(=Re) . (12.34)

La velocidad del sonido, adimensionalizada conωD , es el núme-ro de Mach M asociado a (el doble de) la velocidad lineal perifé-rica de la hélice:

Π3 =ωD

a(=M) . (12.35)

Finalmente, la fuerza ejercida se puede adimensionalizar con lasvariables fundamentales escogidas como sigue:

Π4 =FP

ρω2D 4. (12.36)

Por tanto, la relación adimensional involucra los siguientes paráme-tros:

FP

ρω2D 4= F

v0

ωD,ρωD 2

µ,ωD

a

(12.37)

13

Semejanza

No

En el capítulo anterior hemos demostrado la utilidad del Análisis Dimensio-nal para simplificar problemas; por ejemplo, para reducir el número de casosque hay que estudiar. También hemos apuntado (en el ejemplo del zeppelin)cómo se puede usar para estudiar el problema en otras condiciones distin-tas de las reales, cuando hacerlo reporta alguna ventaja. Por ejemplo, hemosvisto que es posible cambiar de escala, o de fluido, o de velocidad.

Las condiciones en las que es posible trasegar conclusiones entre el proble-ma real y este otro problema sintético se denominan semejanza, y se estu-dian en este capítulo.

En la semejanza juegan un papel importante, como puede imaginarse, losparámetros adimensionales que gobiernan el problema. Algunos (pocos)parámetros han sido introducidos, vía ejemplo, en el capítulo anterior. En és-te haremos una aproximación más sistemática a estos parámetros adimen-sionales como paso previo a estudiar las condiciones de semejanza.

225

226 Semejanza

13.1 Adimensionalización de las ecuaciones quegobiernan el flujo fluido

Donde, como “todo está en las ecuaciones” (y en sus condiciones de contorno), ex-traemos sistemáticamente los principales parámetros adimensionales de la Me-cánica de Fluidos simplemente adimensionalizando las ecuaciones del Capítu-lo 9

El análisis dimensional desarrollado en apartados anteriores es una potenteAlles ist wunderbar...

herramienta en la simplificación de un problema, y en la ordenación de lainformación que sobre el mismo se tiene o se necesita. Como se ha visto, elanálisis dimensional requiere poco esfuerzo analítico para las reduccionesque se consiguen; sin embargo, entre las dificultades del análisis se encuen-tra la incertidumbre respecto a qué parámetros dimensionales (y, por tanto,adimensionales) intervienen en el problema.

Puesto que las ecuaciones diferenciales deducidas en el Capítulo 9 contie-...pero cómo saco los Π pa-ra un problema dado? nen toda la información sobre el flujo fluido, cabe esperar que en su adimen-

sionalización, y en la de las correspondientes condiciones de contorno, apa-rezcan los parámetros adimensionales que, de forma más general, puedentener una influencia en un problema concreto. En este apartado adimen-De las ecuaciones!

sionalizaremos tres de las ecuaciones más usadas (continuidad, cantidad demovimiento y energía)1, y extraeremos algunos parámetros adimensionalesmuy comunes.

Las ecuaciones (dimensionales) de partida son, digamos, las de continuidad,Ecs dimensionales

cantidad de movimiento y energía interna:

∂ ρ

∂ t+∇·

ρ ~v

= 0 . (13.1)

∂

ρ ~v

∂ t+∇·

ρ ~v ~v

=−∇p +∇· ~~τ′+ρ ~fm . (13.2)

cv

∂

ρT

∂ t+ cv∇·

ρ ~v T

=∇· (k∇T )−p (∇· ~v )+ΦV . (13.3)

1La adimensionalización de otras ecuaciones (por ejemplo, la de conservación de la es-pecie química) da lugar a la aparición de nuevos parámetros adimensionales.

13.1. Adimensionalización de las ecuaciones que gobiernan el flujo fluido 227

(En la última ecuación, de la energía interna e , hemos supuesto por sencillez,pero sin pérdida de generalidad, que e = cv T , con cv = cte. También hemosprescindido del calor generado por radiación y reacción química, Qr y Qq .)

El procedimiento de adimensionalización es muy sencillo. Consiste en su- Procedimiento de adimen-sionalización: ξ= ξ0ξ

∗poner que cualquier variable dimensional ξ, independiente o dependien-te, puede ponerse como el producto de un valor típico constante, ξ0 y unavariable adimensional (llamada también variable reducida) ξ∗; por tanto:ξ= ξ0ξ

∗.

Para las ecuaciones anteriores, es necesario adimensionalizar las siguientes Variables a adimensionali-zarvariables (dependientes o independientes):

t = t0t ∗ ~x = l0 ~x∗ ~v = v0 ~v

∗

ρ =ρ0ρ∗ p = p0p ∗ ~fm = fm 0

~fm∗

µ=µ0µ∗ k = k0k ∗ T = T0T ∗

Sustituyendo la descomposición anterior en las ecuaciones dimensiona- En las ecuaciones queda...

les 13.1-13.3, y sacando de las derivadas los valores ξ0, que son constantes,éstas quedan, respectivamente:

ρ0

t0

∂ ρ∗

∂ t ∗+ρ0v0

l0∇∗ ·

ρ∗ ~v ∗

= 0 ; (13.4)

ρ0v0

t0

∂

ρ∗ ~v ∗

∂ t ∗+ρ0v 2

0

l0∇∗ ·

ρ∗ ~v ∗ ~v ∗

=

−p0

l0∇∗p ∗+

µ0v0

l 20

∇∗ · ~~τ′∗+ρ0 fm0ρ∗ ~f ∗m ; (13.5)

ρ0cv T0

t0

∂

ρ∗T ∗

∂ t ∗+ρ0v0cv T0

l0∇∗ ·

ρ∗ ~v ∗T ∗

=

k0T0

l 20

∇∗ · (k ∗∇∗T ∗)−p0v0

l0p ∗ (∇∗ · ~v ∗) +

µ0v 20

l 20

Φ∗V . (13.6)

En las ecuaciones anteriores, el símbolo ∇∗ representa el operador ∇ adi-mensional,

∂ /∂ x ∗1 ,∂ /∂ x ∗2 ,∂ /∂ x ∗3

. Para adimensionalizar el tensor de es-fuerzos viscosos, se ha tenido en cuenta que sus dimensiones son las de laviscosidad por un gradiente de velocidad, y por tanto se adimensionaliza con

228 Semejanza

µ0v0/l0; y la disipación viscosa se adimensionaliza igualmente teniendo encuenta que sus dimensiones son las del tensor de esfuerzos viscosos por ungradiente de velocidad.

Note que las ecuaciones anteriores son todavía dimensionales (tienen lasDe ecs dimensionales aadimensionales mismas dimensiones que la original respectiva). Se pueden adimensiona-

lizar las ecuaciones dividiendo cada una por el factor dimensional que mul-tiplica a su respectivo término convectivo; de esta manera queda:

l0

v0t0

St

∂ ρ∗

∂ t ∗+∇∗ ·

ρ∗ ~v ∗

= 0 ; (13.7)

l0

v0t0

St

∂

ρ∗ ~v ∗

∂ t ∗+∇∗ ·

ρ∗ ~v ∗ ~v ∗

=

−p0

ρ0v 20

Eu

∇∗p ∗+µ0

ρ0l0v0

1/Re

∇∗ · ~~τ′∗+l0 fm0

v 20

1/Fr2

ρ∗ ~f ∗m ; (13.8)

l0

v0t0

St

∂

ρ∗T ∗

∂ t ∗+∇∗ ·

ρ∗ ~v ∗T ∗

=

k0

ρ0cv l0v0

γ/Pe

∇∗ · (k ∗∇∗T ∗)−P0

ρ0cv T0

Ec/M2

p ∗ (∇∗ · ~v ∗) +µ0v0

ρ0cv T0l0

γEc/Re

Φ∗V . (13.9)

Los grupos de valores característicos que aparecen delante de cada términoY así han aparecido los nú-meros adimensionales! son adimensionales. Se indica, bajo las cajas, el nombre con el que se co-

nocen en Mecánica de Fluidos los números adimensionales que componencada grupo. Estos números serán discutidos en los siguientes apartados.

13.2 Números adimensionales

13.2. Números adimensionales 229

Donde diseccionamos los números adimensionales que hemos obtenido, estu-diando su significado físico

13.2.1 Número de StrouhalEl número de Strouhal multiplica los términos transitorios de todas las Número de Strouhal, St

ecuaciones, y está dado por:

Stdef=

l0

v0t0=

l0/v0

t0. (13.10)

El cociente l0/v0 es una longitud típica del problema dividida por una velo- Dos escalas de tiempo delproblemacidad típica del fluido; por lo tanto, es un tiempo de residencia típico de la

partícula fluida en el dominio de interés, o si se quiere, una escala de tiempodel movimiento del fluido. El tiempo t0, por otra parte, es un tiempo carac-terístico asociado al término no estacionario de la ecuación (pues resulta deadimensionalizar el tiempo). Es por tanto una escala de tiempo, frecuente-mente asociada a una condición de contorno que convierte el problema enno estacionario. Por ejemplo, cuando uno de los límites del dominio está os-cilando con frecuenciaω, t0 ≈ 1/ω.

El ratio de ambos tiempos, St, indica si el tiempo responsable de la no esta- Quién gana?

cionareidad es comparable al tiempo de residencia. Así, para St 1, la escalade tiempo en la que el problema es no estacionario es mucho mayor que eltiempo de residencia, y el problema puede por tanto considerarse estacio-nario. Por el contrario, si St 1, la causa de no estacionareidad (por ejemplo,la condición de contorno) ha cambiado significativamente en el tiempo enel que una partícula fluida atraviesa el dominio, y el problema es no estacio-nario.

13.2.2 Número de ReynoldsEl número de Reynolds es el inverso del factor que multiplica al término de Y por fin Re es presentado

formalmenteviscoso de la ecuación adimensional de cantidad de movimiento, Ecuación13.8:

Redef=ρ0v0l0

µ0. (13.11)

Por construcción2 representa el ratio del término viscoso al término de iner- Significado: lucha de fuer-zas

2Esto es, porque así lo hemos obtenido.

230 Semejanza

cia, esto es, de las fuerzas viscosas a las de inercia.

Números de Reynolds altos indican que las fuerzas de inercia son dominan-Laminar o turbulento?

tes en el flujo; para números de Reynolds suficientemente altos, el flujo seráturbulento. Por el contrario, para bajos números de Reynolds las fuerzas vis-cosas son dominantes, y el flujo será laminar3.

13.2.3 Número de Euler y sus cuatesNúmero de Euler

El coeficiente que acompaña al término de presión de la ecuación adimen-Número de Euler, Eu

sional de cantidad de movimiento, Ecuación 13.8, es el número de Euler:

Eudef=

p0

ρ0v 20

, (13.12)

y representa (por construcción) la importancia relativa de las fuerzas de pre-Otra lucha de fuerzas

sión y de inercia.

Del número de Euler se derivan otros números adimensionales frecuente-Sus cuates

mente usados en Mecánica de Fluidos: el coeficiente de presión, y los nú-meros de Mach y de cavitación

Coeficiente de presión

El coeficiente de presión, Cp , se obtiene cuando, en lugar de una presiónCoeficiente de presión, Cp

característica, en la Ecuación 13.12 se utiliza una diferencia de presiones,∆p :

Cpdef=∆p

12ρ0v 2

0

. (13.13)

(El factor 1/2 es adimensional, y por lo tanto puede añadirse libremente a laecuación. En la forma anterior, el denominador de la definición es la presióndinámica típica, 1

2ρ0v 20 .)

Número de Mach

El número de Mach4 es el ratio entre una velocidad del fluido y la velocidadEl número de Mach, M

3 El valor de Re que para el que se produce la transición entre flujo laminar y turbulen-to, por ejemplo como consecuencia de un incremento progresivo en la velocidad del fluido,depende del flujo en cuestión; en el caso del flujo desarrollado en tuberías rectas, esta tran-


del sonido en el fluido:

Mdef=

v0

a0(13.14)

El número de Mach aparece en el número de Euler, Ecuación 13.12, cuando M y Eu

se tiene en cuenta la compresibilidad del fluido, es decir, las variaciones desu densidad debidas a las variaciones de la presión.

La deducción a partir del número de Euler es sencilla usando un par de re- Deducción: Eu y gas ideal

sultados (entre otros, la ecuación del gas ideal):

Eudef=

p0

ρ0v 20

=p0

ρ0

1

v 20

[1]

=RT0

1

v 20

[2]

=RT0γ1

γv 20

[3]

=a 20

1

γv 20

[4]

=1

γM2 . (13.15)

Los pasos en esta deducción son: Pasos

1. Ley de los gases ideales.

2. Multiplicar y dividir por γ, el ratio de calores específicos, γ= cp/cv (5.

3. La velocidad del sonido6 característica es a 20 = γRT0

4. El número de Mach es M= v0/a0.

El número de Mach tiene un papel muy importante en Mecánica de Fluidos: Significado físico: compre-sibilidadavisa de si el fluido ha de considerarse compresible, como justificaremos a

continuación.

Como hemos visto en el Capítulo 9, velocidad y presión están muy relacio- La velocidad y la presión,otra vez

sición se produce para valores de Re alrededor de 23004Posiblemente el número más maltratado de la Mecánica de Fluidos; repare: ni Match

ni Macht.5cp es aquí el calor específico a presión constante, no Cp , el coeficiente de presión de la

Ecuación 13.13.6 La velocidad del sonido en un fluido es por definición

adef=

∂ p

∂ ρ

s

1/2

,

donde la derivada está tomada a entropía constante. Puede comprobar que, a partir de estadefinición, se deduce que, para un gas ideal: a =

p

γp0/ρ0 =p

γRT .

232 Semejanza

nadas en un fluido. Por ejemplo, en el caso de flujo ideal, la ecuación de Ber-noulli indica que la presión p y la presión dinámicaρv 2/2 se están cambian-do continuamente cromos, y de forma reversible. En fluidos viscosos no esaplicable la ecuación de Bernoulli estrictamente, pero la relación velocidad-presión sigue existiendo, y como en un fluido hay zonas con velocidades dis-tintas, también hay presiones distintas (o viceversa).

¿Significa esto que la densidad del fluido, si ésta depende de la presión, debeY qué es la compresibili-dad? considerase variable? Estrictamente sí, pero puede que los cambios de den-

sidad debidos a estas diferencias de presión debidas a estas diferencias develocidad en el flujo sean pequeños7, y entonces podemos considerar que ladensidad es constante (y el fluido incompresible).

El número de Mach es el whistleblower que avisa de si, debido a las variacio-Todo sobre mi Mach

nes de presión dinámica (esto es, de velocidad, si quiere) en el fluido, éste hade considerarse compresible.

A entropía constante, las variaciones de presión ∆p y densidad ∆ρ estánDe∆p a∆ρ

relacionadas por:

∆p =

∂ p

∂ ρ

s

∆ρ ∼ a 20∆ρ . (13.16)

Por otra parte, las variaciones de la presión p debido a las variaciones de laDe v 2/2 a∆p

presión dinámica ρv 2 pueden estimarse como:

∆p ∼1

2ρ0(v

20 −02) , (13.17)

donde hemos supuesto que las variaciones de la velocidad son del orden dela velocidad característica v0; es decir, que la velocidad varía entre 0 (valorpara el que p estará cerca de sus máximos en el flujo) y v0 (para el que pestará cerca de sus mínimos).

Combinando ambas ecuaciones resulta:Finalmente, de v 2/2 a∆ρ

∆ρ

ρ0∼

1

2

v 20

a 20

=1

2M2 , (13.18)

que indica que el cambio (relativo, o por unidad) en la densidad depende delSignificado físico

número de Mach al cuadrado; por tanto, para M altos, los efectos de compre-sibilidad son importantes.


Normalmente, se considera que el flujo es incompresible para aproximada- Algunas cifras

mente M < 0.3. Note que esto implica, sustituyendo en la Ecuación 13.18,que las variaciones de la densidad debido a las variaciones de presión diná-mica son a lo sumo del orden del 5 %.

Número de Weber

El número de Weber, We, resulta de considerar la diferencia de presiones Número de Weber, We

que aparece en una superficie libre como consecuencia de la tensión super-ficial (ver Sección 7.2).

Si el radio de curvatura típico es l0, entonces el salto de presión típico es (ver,por ejemplo, la Ecuación 7.7) ∆p = σ/l0, donde σ es la tensión superficial.Introduciendo este∆p en el número de Euler, Ecuación 13.12, queda el nú-mero de Weber:

∆p

ρ0v 20

=σ

ρ0v 20 l0

def=We , (13.19)

El número de Weber indica la importancia de los efectos de tensión superfi- We compara tensión super-ficial e inerciacial (por comparación con las fuerzas de inercia). Cuando We 1, los efectos

de la tensión superficial en el flujo con superficie libre son importantes.

13.2.3.1 Número de cavitación

El número de cavitación, Ca, se emplea para cuantificar la tendencia del Número de cavitación, Ca

flujo de un líquido a cavitar. El número compara la presión p del fluido, supresión de vapor pv y la presión dinámica típica (ρ0v 2

0 /2)8:

Cadef=

p −pv12ρ0v 2

0

. (13.20)

Cuando Ca∼ 1, la diferencia entre la presión del fluido y la de vapor es del or- Cavitar o no cavitar

den de magnitud de la presión dinámica típica; por tanto, cambios (aumen-tos) locales en ésta pueden hacer caer la presión en el fluido por debajo de lade vapor, y el fluido cavitará. Por el contrario, si Ca 1, la presión del fluidoes suficientemente superior a la de vapor, y cambios en la presión dinámicano la harán disminuir por debajo de ésta; el fluido no cavitará. Finalmente,cuando Ca 1 el fluido muy probablemente cavitará.

7Por ejemplo, menores que un 5 %, si le gusta esa cifra mágica.8El rol de la presión dinámica es parecido al que tenía para la compresibilidad; vea apar-

tado sobre el número de Mach más arriba.

234 Semejanza

13.2.4 Número de FroudeEl número de Froude9, Fr, es el parámetro asociado al término de fuerzasNúmero de Froude, Fr

másicas en la Ecuación 13.8. Para fm0 = g resulta:

Fr2def=ρ0v 2

0 /l0

ρ0g=

v 20

g l0. (13.21)

Por tanto, el número de Froude es Frdef= v0/

p

g l0(10, y expresa la importanciaSignificado físico

relativa de inercia típicas con respecto a las fuerzas de las fuerzas másicastípicas.

Entre los flujos en los que Fr es relevante están aquellos con superficie libreCuándo es Fr relevante?

(como, por ejemplo, la hidrodinámica de embarcaciones), porque la formade la superficie libre está determinantemente influenciada por las fuerzasmásicas gravitatorias.

13.2.5 Números de Péclet y PrandtlEl número de Péclet, Pe, aparece en el término de conducción de la ecuaciónNúmero de Péclet, Pe

de la energía, Ecuación 13.9:

Pedef=ρ0v0l0cp

k0, (13.22)

y es (por construcción) indicativo del ratio del flujo de calor por convecciónal flujo de calor por conducción en el seno del fluido.

El número de Prandtl, Pr, es un número derivado de los de Reynolds y Péclet,Número de Prandtl, Pr

y representa el ratio de difusividad de cantidad de movimiento (viscosidadcinemática) a difusividad térmica:

Prdef=

Pe

Re=µ0cp

k0=ν0k0ρ0cp

=ν0

α0, (13.23)

siendo α0 la difusividad térmica típica del fluido.

A diferencia de la mayor parte de los números adimensionales en este capí-tulo, que son propiedades del flujo al involucrar cantidades como l0 o v0, elnúmero de Prandtl depende exclusivamente del fluido.

9Como Mach, tampoco sale muy bien parado en los concursos de ortografía: Froude, yno Froid o Freud.

10Algunos autores definen Frdef= v 2

0 /g l0, en lugar de su raíz cuadrada.


13.2.6 Número de Eckert

El número de Eckert, Ec, aparece en los términos de potencia de compre- Número de Eckert, Ec

sión y disipación viscosa de la ecuación adimensional de la energía, Ecua-ción 13.9.

El número de Eckert es: Definición

Ecdef=

v 20

cp T0, (13.24)

y compara los niveles de energía cinética con los de energía térmica. Cuan- Significado físico

do Ec 1, los niveles de energía cinética son tales que pueden contribuirsignificativamente, a través de la potencia de compresión y de la disipaciónviscosa, a la energía térmica del fluido.

13.2.7 Resumen: ecuaciones adimensionales

Con los números adimensionales definidos anteriormente, las ecuacionesde la Mecánica de Fluidos en forma adimensional quedan como sigue:

Continuidad:

St∂ ρ∗

∂ t ∗+∇∗ ·

ρ∗ ~v ∗

= 0 .

Cantidad de movimiento:

St∂

ρ∗ ~v ∗

∂ t ∗+∇∗ ·

ρ∗ ~v ∗ ~v ∗

=

−Eu∇∗p ∗+1

Re∇∗ · ~~τ′∗+

1

Fr2ρ∗ ~f ∗m . (13.25)

Energía:

St∂

ρ∗T ∗

∂ t ∗+∇∗ ·

ρ∗ ~v ∗T ∗

=

γ

Pe∇∗ · (k ∗∇∗T ∗)−

Ec

M2 p ∗ (∇∗ · ~v ∗) +γEc

ReΦ∗V . (13.26)

236 Semejanza

13.3 Prototipos, modelos y semejanza

Donde por fin establecemos las reglas para pasar de un mundo a otro, en la formade condiciones de semejanza

Como quedó de manifiesto en el ejemplo que abría el capítulo anterior, en-Por qué “modelos”

tre las ventajas del Análisis Dimensional se cuenta el que permite cambiar laescala del problema, y hacer ensayos en la nueva escala cuyos resultados sonaplicables a la escala real. En el ejemplo en cuestión el análisis dimensionalpermitía reducir el tamaño del problema (del zeppelin), hasta hacerlo trata-ble en el laboratorio. Ésta es la situación más común en la experimentaciónen Mecánica de Fluidos: la aerodinámica o hidrodinámica de submarinos,vehículos, aviones, edificios, puertos, bahías, ríos, reactores industriales, etc,suele analizarse en el laboratorio en reproducciones a escala reducida, deno-minados genéricamente modelos11. En otras ocasiones interesa justamenteel efecto contrario: aumentar en el laboratorio el tamaño del dispositivo, porejemplo porque el dispositivo real es demasiado pequeño para instrumen-tarlo (piense, por ejemplo, en una válvula cardiaca artificial).

En la terminología utilizada en Análisis Dimensional y Semejanza, se deno-Modelos y prototipos

mina prototipo al dispositivo en el mundo real, y modelo al dispositivo quese analiza en el laboratorio, a otra escala (aumentada o reducida), o con otrofluido, o con otra velocidad, etc. No obstante esta terminología, puede consi-derar con total tranquilidad que ambos modelo y prototipo son simplemen-te mundos distintos entre los cuales desea trasegar datos y resultados.

La clave para el trasiego de datos y resultados entre modelo y prototipo esmuy simple: si las ecuaciones adimensionales, y sus condiciones de con-torno adimensionales, son las mismas, entonces el problema es el mismo,Vía la Tierra Media

y la solución (adimensional) es la misma. Para usar la semejanza, debe portanto (ver Figura 13.1):

1. Trasladar las condiciones de operación (digamos x1 y x2) del prototipoal modelo, asegurando que los parámetros adimensionales indepen-dientes (digamos Π1) son los mismos en modelo y prototipo (flechasazules en la Figura 13.1).

11O, a veces modelos físicos, para distinguirlos de los modelos matemáticos.

13.3. Prototipos, modelos y semejanza 237

Figura 13.1: Ciclo típico de uso de la semejanza. Flechas azules: trasiego delas condiciones del problema del prototipo al modelo; flechas verdes: trasie-go de los resultados del modelo al prototipo

2. Encontrar la solución o resultado (digamos x3) en el mundo dimensio-nal en el modelo.

3. Trasladar este resultado, vía el mundo adimensional, al prototipo (fle-chas verdes en la Figura 13.1). Dado que los parámetros adimensiona-les independientes (digamos Π1) son comunes a modelo y prototipo(asegurado en el primer paso), también lo han de ser los dependientes(digamos Π2).

Las condiciones en las que se asegura que el mundo adimensional es co-mún a modelo y prototipo se denominan semejanza . La semejanza consiste Semejanza

esencialmente en unas reglas de escalado (escalado geométrico, de veloci-dades, de fuerzas, etc), que se definen con más detalle a continuación.

238 Semejanza

Distinguiremos tres grados de semejanza: geométrica, cinemática y dinámi-Tres niveles de semejanza

ca12:

Semejanza geométrica. Prototipo y modelo tienen semejanza geomé-trica cuando sus longitudes están en igual proporción, y sus ángulosson iguales. En la Figura 13.2, lp/hp = lm/hm , y θp = θm .

Semejanza cinemática. Prototipo y modelo tienen semejanza cine-mática cuando, además de tener semejanza geométrica, tienen igualrelación de velocidades, e igual orientación de las mismas con res-pecto al objeto. En la Figura 13.2, si v1 y v2 son las velocidades endos puntos del prototipo y en sus puntos homólogos del modelo, en-tonces la semejanza cinemática exige igual relación de velocidades,v1p/v2p = v1m/v2m , e igualdad de orientaciones de las mismas,ϕp =ϕm

para v1 (y similarmente para v2).

La existencia de semejanza cinemática implica la existencia de una es-cala de tiempos entre el modelo y el prototipo. En efecto, si la escalade longitudes es (Figura 13.2) lm/lp = α, y la escala de velocidades esvm/vp = β , entonces el fluido recorre distancias homólogas en tiem-pos que están en una escala α/β :

lm/vm

lp/vp=

lm/lp

vm/vp=α

β. (13.27)

Semejanza dinámica. Prototipo y modelo están en semejanza diná-mica cuando además de tener semejanza geométrica y cinemática, lasfuerzas en el fluido en ambos están también en escala; es decir, los po-lígonos de fuerzas en puntos homólogos son homólogos (Figura 13.3).

La semejanza dinámica es más difícil de obtener (y comprobar) quelas semejanzas geométrica o cinemática. En general, la semejanza di-námica se obtiene imponiendo la igualdad de los números adimensio-nales que intervienen en la ecuación de cantidad de movimiento, y ensus condiciones de contorno, para el problema concreto. Por ejemplo,un problema en el que sólo sean relevante, en la ecuación de cantidadde movimiento los términos convectivo (de inercia) y viscoso, el man-tenimiento del número de Reynolds entre prototipo y modelo aseguraque las fuerzas de inercia y viscosas están en la misma escala en am-bos.

12Puede haber más; por ejemplo, térmica.

13.3. Prototipos, modelos y semejanza 239

Figura 13.2: Semejanzas geométrica y cinemática

Figura 13.3: Semejanza dinámica Under The Sea

En general, los números adimensionales que hay que mantener entre proto- Y qué números mantengo?

tipo y modelo dependen del tipo de flujo, y los fenómenos que intervienenen el mismo; esto es, de las ecuaciones de conservación que lo gobiernan yde sus condiciones de contorno. Como norma general, para flujos estacio-narios se puede seguir el siguiente criterio:

Cuando el flujo es incompresible, y no hay una superficie libre, el úni- Flujo incompresible sinsup libreco parámetro que hay que conservar es el número de Reynolds, Rep =

Rem .

Cuando el flujo es incompresible, pero tiene una superficie libre (por Flujo incompresible consup libreejemplo, el flujo alrededor de un barco), entonces es necesario con-

servar el número de Reynolds Rep = Rem , y el de Froude, Frp = Frm . Si

240 Semejanza

además la tensión superficial juega un papel relevante, entonces se de-be mantener el número de Weber, Wep =Wem ; y, si queremos estudiarla cavitación, el número de cavitación, Cap =Cam .

Cuando el flujo es compresible, en general es necesario mantener losFlujo compresible

números de Reynolds, Rep =Rem , Mach, Mp =Mm , y el ratio de caloresespecíficos, cp p

/cv p = cp m/cv m

13.4 Semejanza parcial

Donde vemos que no siempre es posible mantener la semejanza, y presentamosqué se puede hacer en esos casos

En algunas ocasiones, no es posible mantener la igualdad de todos los pará-La semejanza no es siem-pre posible metros adimensionales relevantes entre el modelo y el prototipo. En Mecáni-

ca de Fluidos hay en particular dos tipos de flujos de gran interés técnico enlos que se da esta imposibilidad: algunos flujos con superficie libre y algunosflujos compresibles.

Cuando esto sucede, se adopta frecuentemente la estrategia de mantenerQué es la semejanza parcial

sólo algunos de los parámetros adimensionales entre modelo y prototipo, yextrapolar los otros; esta estrategia se conoce con el nombre de semejanzaparcial.

13.4.1 Flujos con superficie libreEn determinados flujos en los que el efecto de una superficie libre es rele-Ejemplos prácticos

vante (por ejemplo, la hidrodinámica de barcos), es necesario mantener losnúmeros de Reynolds y Froude.

Del mantenimiento del número de Froude se obtiene:Si mantenemos Fr hay unaescalas de longitudes y ve-locidades

Frp = Frm ⇒v 2

p

g lp=

v 2m

g lm⇒

lm

lp=

vm

vp

2def=α , (13.28)

donde α es la escala de longitudes. Es decir, la condición Frp = Frm implicaque, dada una escala de longitudes, la escala de velocidades viene dada (oviceversa).

13.4. Semejanza parcial 241

De la igualdad de números de Reynolds, utilizando las escalas anteriores, se Si además mantenemos Rehay una escala de viscosi-dades

deduce una relación de viscosidades entre el prototipo y el modelo:

Rep =Rem ⇒vp lp

νp=

vm lm

νm⇒νm

νp=

lm

lp

vm

vp=α3/2 .

Si la escala geométrica es, por ejemplo, α = 1 : 10 (es decir, el tamaño delmodelo es un décimo del prototipo), la viscosidad del modelo ha de serνm = 0.032νp . De entrada, esto impide utilizar el mismo fluido en el mo-delo que en el prototipo (por ejemplo, si se trata de hidrodinámica de bar-cos, agua, que es abundante y conveniente). Pero, adicionalmente, no existe Incluso para escalas de lon-

gitud moderadas, no exis-ten fluidos!

ningún líquido con una viscosidad tan baja como 0.032 veces la del agua.La situación es todavía más desfavorable cuando se consideran mayores re-ducciones de escala (por ejemplo, 1:100). Por tanto, no se pueden mantenersimultáneamente los números de Reynolds y Froude entre prototipo y mo-delo.

Una solución práctica a este caso, y a otros similares en los que no se pue-den conservar todos los parámetros, es la emejanza parcial. La idea es hacer Semejanza parcial: mante-

ner unos y extrapolar otrosexperimentos manteniendo sólo algunos de los parámetros y variando losotros, y utilizar la información experimental para extrapolar los resultadosobtenidos en el laboratorio a los valores que se dan en la realidad.

En el ejemplo anterior, si se mantiene el número de Fr, se escoge una escala Ej: mantenemos sólo Fr en-tre M y Pde longitudes α (y por tanto de velocidades α1/2, Ecuación 13.28), y se utiliza

el mismo fluido (y en consecuencia la misma viscosidad ν) en prototipo ymodelo, la escala de números de Re es:

Rem

Rep=

vm

vp

lm

lp=α1/2α=α3/2 . (13.29)

La escala de Re implica que, para una escala geométrica de (digamos) α= 1 :100, sólo podemos conseguir en el laboratorio Rem que son 0.013/2 = 0.001veces los del prototipo13 (Figura 13.4). La única forma de obtener resultados En el ejemplo, Rem y Rep

están separados por un fac-tor de 1000

para los números de Reynolds del prototipo consiste en hacer ensayos en elmodelo para varios Rem , manteniendo Fr constante, y midiendo la variabledeseada (por ejemplo, el coeficiente de resistencia CD en la Figura 13.4)14.

13Si queremos mantener Fr y usar el mismo fluido.14Cómo conseguir un rango de Rem para hacer ensayos en el laboratorio requiere alguna

consideración. En principio, puede cambiarse la viscosidadνm del fluido; o, si queremos se-guir usando agua u obtener un rango de Rem mayor que el que las viscosidades disponiblesproporcionan, se pueden hacer ensayos con distintas escalas α.

242 Semejanza

Laboratorio,modelo

Realidad,prototipo

Re

CD C = f (Re, Fr = cte)D

Figura 13.4: Semejanza parcial: extrapolación

A continuación extrapolamos la medidas (con un cierto error o incertidum-Extrapolación

bre) al rango de Re del prototipo, en el caso del ejemplo separado en un factorde 1000 de los del modelo (Figura 13.4). Para que la extrapolación sea fiable,la función medida (CD en este caso) debe variar suavemente con el paráme-tro extrapolado (idealmente, podría ser constante).

A menudo, en semejanza parcial, se escoge Re como el número que no seUsualmente NO mantene-mos Re mantiene. Esto es así porque muchos fenómenos no dependen significati-

vamente de Re cuando éste es suficientemente alto.

La Figura 13.4 es una representación bidimensional de la función CD =En 3D

F (Re, Fr), que es en realidad tridimensional. (La representación es bidimen-sional porque la curva de la Figura 13.4 es para Fr = cte.) La función 3D seha representado en la Figura 13.5. Al mantener en todo el análisis el núme-ro de Fr, la semejanza parcial restringe el problema al plano Fr = cte, y a lacurva intersección con la superficie que representa CD , curva que es la quese muestra en la Figura 13.4.

13.4.2 Flujos compresibles

Una situación similar a la descrita en la sección anterior se da en flujos dondeRe y M en flujos compresi-bles los efectos de compresibilidad son relevantes (esto es, flujos en los que el

número de Mach es mayor que aproximadamente 0.3, Ecuación 13.18). Enestos casos, es necesario mantener los números de Reynolds y Mach entremodelo y prototipo.

13.4. Semejanza parcial 243

Re

CD

Fr

Fr = cte

Laboratorio, modelo

Realidad, prototipo

Figura 13.5: Semejanza parcial: función tridimensional CD , y plano Fr = cteen el que se trabaja en semejanza parcial (Figura 13.4)

El mantenimiento de ambos implica, respectivamente: Si mantenemos ambos...

vp lp

νp=

vm lm

νm;

vp

ap=

vm

am, (13.30)

que combinadas resultan en una ley para la escala geométrica entre proto-tipo y modelo:

lp

lm=νp ap

νm am. (13.31)

Si, como es frecuentemente el caso, el fluido del prototipo es aire en con-diciones próximas a las atmosféricas, la ecuación anterior indica la escalaalcanzable en función de las propiedades (velocidad del sonido y viscosi-dad) del fluido del modelo. Utilizar gases distintos del aire en el modelo es ... no hay fluidos baratos y

seguroscaro o/y peligroso, y no permite grandes escalas; y variar la temperatura y/opresión en el modelo (por ejemplo para disminuir la velocidad del sonidoam disminuyendo la temperatura Tm ) resulta también en general muy caro.Por tanto, la alternativa práctica en la mayor parte de los casos es utilizar lasemejanza parcial de manera similar a la indicada en el apartado anterior.

Tema 6

Flujo unidireccional

14

Flujo unidireccional

En este capítulo analizaremos una clase de flujos para los que las ecuaciones Qué

diferenciales de la Mecánica de Fluidos, deducidas en el Capítulo 9, tienenuna solución analítica. Se trata de flujos unidireccionales, esto es, aquéllosen los que sólo existe una componente de la velocidad.

En flujo unidireccional, como se verá en el primer apartado de este capítu- Por qué

lo, las ecuaciones de cantidad de movimiento se simplifican notablemente.En particular, los términos convectivos, que son no lineales y dificultan engeneral la solución analítica de las ecuaciones, son idénticamente nulos.

Dos de los flujos clásicos en Mecánica de Fluidos, el flujo de Couette y el de Dos flujos tipo

Hagen-Poiseuille, pertenecen a esta clase de flujos unidireccionales, y seránestudiados en este capítulo1.

14.1 Hipótesis y ecuaciones

Donde establecemos las ecuaciones diferenciales (simplificadas) que gobiernanlos flujos unidireccionales, y extraemos algunas importantes propiedades de esosflujos

En este capítulo consideraremos fluidos de densidad constante, con movi- Sólo tres hipótesis

1 Hay otros flujos unidireccionales, entre ellos las llamadas corrientes de Rayleigh y deStokes, que no serán presentadas.

247

248 Flujo unidireccional

y

z

xi

Figura 14.1: Flujo unidireccional

miento unidireccional que, sin pérdida de generalidad, serán en direcciónx (por tanto, ~v = u (x , y , z , t )~i , v = 0, w = 0, Figura 14.1). Consideraremostambién que las fuerzas másicas derivan de un potencial, ρ ~fm =−ρ∇U .

14.1.1 Continuidad y cantidad de movimientoEn las condiciones anteriores, la ecuación de continuidad es ∇ · ~v = 0; te-Continuidad muy simplifi-

cada niendo en cuenta que las componentes v y w son nulas, la ecuación de con-tinuidad se reduce a:

∂ u

∂ x= 0 . (14.1)

Note que esto quiere decir que la única componente de la velocidad no de-pende de la posición en la dirección x del flujo (pero puede depender de laposición en las direcciones y y z trasversales ).

Las ecuaciones de cantidad de movimiento también se simplifican conside-Cantimov también

rablemente. En dirección x , la ecuación queda:

ρ∂ u

∂ t+ρu

∂ u

∂ x0

−µ(∂ 2u

∂ x 2

0

+∂ 2u

∂ y 2+∂ 2u

∂ z 2) =−

∂ p

∂ x−ρ∂U

∂ x=−∂ (p +ρU )∂ x

, (14.2)

donde los términos marcados como nulos lo son por la ecuación de conti-nuidad (14.1).

14.1. Hipótesis y ecuaciones 249

La suma p+ρU , que aparece en el segundo miembro de la ecuación anterior, Presión motriz

se conoce como presión motriz, que denotaremos p ∗; por tanto el segundomiembro queda como el gradiente de la presión motriz2.

Con ello, la ecuación de cantidad de movimiento en dirección x queda: Cantimov en la dir del flujo

ρ∂ u

∂ t−µ

∂ 2u

∂ y 2+∂ 2u

∂ z 2

=−∂ p ∗

∂ x. (14.3)

Respecto a las ecuaciones de cantidad de movimiento en direcciones y y z , Cantimov en dir transversalal flujo muy simples!al ser v = w = 0, el lado izquierdo de cada una de las ecuaciones es nulo, y

por tanto las ecuaciones se reducen a:

0=−∂ p ∗

∂ y, (14.4)

0=−∂ p ∗

∂ z. (14.5)

Las dos ecuaciones anteriores expresan un importante resultado: en flujo Importante en un flujo uni-dirunidireccional, la presión motriz es constante en las direcciones perpendi-

culares al flujo. (Según las condiciones de la deducción, el flujo ha de sertambién incompresible, y las fuerzas másicas deben derivar de un poten-cial.)

Otro importante resultado es que el gradiente de p ∗ en la dirección del flu- También importante; Aten-ción: nos referimos ahoraal gradiente

jo, ∂ p ∗/∂ x , no depende ni de x , ni de y , ni de z . La no dependencia de yni de z es un resultado trivial de las ecuaciones 14.4 y 14.5: puesto que p ∗

no depende ni de y ni de z , cualquier función de p ∗ (y en particular su gra-diente en dirección x , ∂ p ∗/∂ x ) tampoco lo hace. La no dependencia de xse deduce indirectamente de las ecuaciones de continuidad14.1 y cantidadde movimiento 14.3. De la primera se deduce que u no es función de x ; porlo tanto, el lado izquierdo de la segunda, que es una función sólo de u , tam-poco es función de x ; por tanto, el lado derecho, que es justamente ∂ p ∗/∂ x ,tampoco es función de x .

Puesto que ∂ p ∗/∂ x no es función de ninguna de las coordenadas espaciales, Notación simplificada delgradiente, que usaremos amenudo2Cuando las fuerzas másicas derivan de un potencial y la densidad es constante, es fre-

cuente trabajar en las ecuaciones de cantidad de movimiento con el gradiente de la presiónmotriz, en lugar de trabajar con la suma del gradiente de presión −∇p más las fuerzas má-sicas ρ ~fm . En capítulos posteriores usaremos esta alternativa.


p*

p*2

p*

p*

p*1

x

x= cte

L

Figura 14.2: PL (t ) =−∂ p ∗/∂ x = (p ∗1 −p ∗2 )/L en un flujo undireccional

sólo es, a lo sumo, función del tiempo, y se puede poner como:

PL (t ) =−∂ p ∗

∂ x=

p ∗1 −p ∗2L

, (14.6)

donde p ∗1 y p ∗2 son las presiones motrices en dos puntos (1) y (2) separadosuna distancia L en la dirección del flujo (Figura 14.2). Note que, puesto queel gradiente no depende del espacio, PL es independiente de los puntos (1)y (2), siempre que estén separados una distancia L en la dirección del flujo(dirección x ).

Introduciendo está notación para el gradiente, la ecuación de cantidad demovimiento en dirección x queda:

ρ∂ u

∂ t−µ

∂ 2u

∂ y 2+∂ 2u

∂ z 2

= PL . (14.7)

14.1.2 Ecuación de la energía cinéticaLa ecuación de la energía cinética (que es el balance de energía en el flujo)Enercin tb muy simplifica-

da también se simplifica notablemente. La ecuación para un flujo genérico es(Ecuación 9.33):

∂

ρ v 2

2

∂ t+∇·

ρ ~vv 2

2

=− ~v ·∇p +∇·

~v · ~~τ′

−ΦV +ρ ~v · ~fm . (14.8)

14.2. Flujo de Couette 251

Teniendo en cuenta que v = w = 0 y ∂ u/∂ x = 0, la ecuación de la energíacinética para el flujo unidireccional queda:

ρ∂ u 2/2

∂ t= uPL

− ~v ·∇p+ρ ~v · ~fm

+µ

∂ 2u 2/2

∂ y 2+∂ 2u 2/2

∂ z 2

∇·

~v · ~~τ′

−µ

∂ u

∂ y

2

+

∂ u

∂ z

2

ΦV

,

(14.9)

donde los tres términos de la derecha son, sucesivamente, la potencia lasfuerzas de presión y fuerzas másicas (por unidad de volumen), la difusiónviscosa de energía cinética, y la disipación viscosa (por unidad de volumen).

Recuerde:

u no depende de la posición en la dirección del flujo;

p no varía en la dirección transversal al flujo;

∇p es constante.

A continuación particularizaremos las ecuaciones anteriores para algunosflujos clásicos en Mecánica de Fluidos.

14.2 Flujo de Couette

Donde diseccionamos uno de los flujos más clásicos de la Mecánica de Fluidos: elque se establece entre dos placas paralelas, una de las cuales se mueve

Consideremos dos placas paralelas de longitud L en una dirección e infini- Qué es

tas en la otra, y separadas una distancia h (Figura 14.3). Cuando una de lasplacas se mueve con velocidad U en dirección x y no existe gradiente depresión motriz entre los extremos de las placas (p ∗1 = p ∗2 en la Figura 14.3), elflujo que se establece recibe el nombre de flujo de Couette.

Puesto que el problema es estacionario, ∂⊙

/∂ t = 0,y puesto que las placas Ecuación, adaptada


h

Lz

x

y

p*2

p*1

U

Figura 14.3: Flujo de Couette

son infinitas en una dirección (digamos z ),∂⊙

/∂ z = 0, con lo que laEcua-ción 14.7 queda:

∂ 2u

∂ y 2= 0 . (14.10)

Las condiciones de contorno están dadas por la adherencia del fluido a lasCondiciones de contorno

paredes estacionaria y móvil, respectivamente:

u (y = 0) = 0 ; u (y = h ) =U . (14.11)

No son necesarias condiciones iniciales puesto que el problema es estacio-Sin condiciones iniciales

nario.

Integrando dos veces la Ecuación 14.10, queda:Campo de velos

u (y ) =C1 y +C2 (14.12)

siendo C1 y C2 constantes de integración. Introduciendo las condiciones decontorno para calcular las constantes, el perfil de velocidades resulta ser:

u (y ) =U

hy . (14.13)

Por tanto, la velocidad varía linealmente con la distancia transversal entre elvalor en cada una de las placas que limitan el flujo.

Respecto a la presión, dado que (p ∗1 − p ∗2 )/L = PL = 0, la presión motriz esY la presión?

14.2. Flujo de Couette 253

constante en la dirección del flujo (además de serlo en dirección transversal,como en todos los flujos unidireccionales).

Conocidos los campo de velocidades y presiones, puede calcularse cualquier Resto de parámetros delflujootro parámetro del flujo; algunos de los más relevantes se calculan a conti-

nuación.

(a) Tensor de esfuerzos viscosos (Ecuación 5.21):

~~τ′ =µ

2 ∂ u∂ x

∂ u∂ y +

∂ v∂ x

∂ u∂ z +

∂ w∂ x

∂ u∂ y +

∂ v∂ x 2 ∂ v

∂ y∂ v∂ z +

∂ w∂ y

∂ u∂ z +

∂ w∂ x

∂ v∂ z +

∂ w∂ y 2 ∂ w

∂ z

=

0 µUh 0

µUh 0 0

0 0 0

, (14.14)

que, como se aprecia, para este problema es constante en todo el do-minio.

(b) Esfuerzo viscoso sobre el fluido en las placas. El esfuerzo (la fuerza por

unidad de área) es ~fs = ~n ·~~τ′, con ~n = (0, 1, 0) para el esfuerzo sobre

el fluido en la placa superior y ~n = (0,−1, 0) para la placa inferior. Portanto:

• Para la placa superior: ~fs =

µUh , 0, 0

• Para la placa inferior: ~fs =

−µUh , 0, 0

(c) Potencia por unidad de superficie comunicada por la placa móvil. Lapotencia comunicada es el producto de la velocidad de la placa por lafuerza ejercida: W =U fs =µU 2/h

(d) Disipación viscosa por unidad de volumen. De su definición, Ecuación9.32, para este flujo unidireccional la disipación viscosa vale:

φV =µ

∂ u

∂ y

2

=µU 2

h 2. (14.15)

Para el volumen V = 1h entre ambas placas limitado por una unidadde superficie en cada placa (Figura 14.4), la disipación viscosa es, portanto:

ΦV =

∫

VφV dV =φV 1h =µ

U 2

h, (14.16)

que es igual a la potencia por unidad de superficie que comunica laplaca móvil. Esto indica que, en ausencia de gradientes de presión mo-triz, toda la potencia comunicada por la placa móvil se emplea en di-sipación viscosa.


h

1

Figura 14.4: Volumen V = 1h entre las placas limitado por una unidad desuperficie en cada placa

h

Lz

x

y

p*2

p*1

Figura 14.5: Flujo de Hagen-Poiseuille

14.3 Flujo de Hagen-Poiseuille

Donde atacamos el otro flujo clásico, y de gran relevancia en Ingeniería: el que seestablece cuando imponemos un gradiente de presiones en el flujo unidireccional

A continuación consideramos el flujo estacionario entre dos placas planasQué es

paralelas, estacionarias e infinitas en una de sus dos direcciones; en la otra,su longitud es L (Figura 14.5). Las placas están separadas una distancia h ,y entre los extremos de las mismas existe gradiente de presión motriz (p ∗1 6=p ∗2 ). El gradiente de presiones origina, como pronto veremos, un flujo en ladirección de las placas, que recibe el nombre de flujo de Hagen-Poiseuille.

14.3. Flujo de Hagen-Poiseuille 255

La ecuación de cantidad de movimiento en dirección x , Ecuación 14.7, es Cantimov

para este caso (∂⊙

/∂ t = 0, ∂⊙

/∂ z = 0):

PL +µ∂ 2u

∂ y 2= 0 . (14.17)

Las condiciones de contorno para u (u ) están dadas por la adherencia del Condiciones de contorno

fluido a las paredes en y = 0 e y = h :

u (y = 0) = 0; u (y = h ) = 0 . (14.18)

No son necesarias condiciones iniciales puesto que el problema es estacio- No hacen falta cond inicia-lesnario.

Integrando dos veces la Ecuación 14.17, el perfil de velocidades resulta ser: Perfil de velocidades

u (y ) =−PL

µ

y 2

2+C1 y +C2 . (14.19)

Sustituyendo las condiciones de contorno para calcular las constantes deintegración, se tiene: C1 = PL h/2µ y C2 = 0. Por tanto, el perfil de velocidadeses:

u (y ) =PL

2µy

h − y

, (14.20)

que es un perfil parabólico. La velocidad máxima está en el centro del con-ducto, y = h/2, y vale:

umax = u

y =h

2

=PL h 2

8µ. (14.21)

Con el perfil de velocidades de la Ecuación 14.20 pueden calcularse diversas Otros parámetros del flujo

cantidades derivadas:

(a) Caudal (por unidad de longitud perpendicular al papel). Integrando elperfil de velocidades:

Q =

∫ h

0

u (y )1d y =PL

2µ

h 3

2−

h 3

3

=PL

12µh 3

(b) Velocidad media. Dividiendo el caudal Q por el área transversal entreplacas, 1h :

u =Q

1h=

PL

12µh 2 =

2

3umax


(c) Tensor de esfuerzos. Teniendo en cuenta que el único gradiente de lavelocidad no nulo es

∂ u

∂ y=

PL

2µ

h −2y

, (14.22)

el tensor de esfuerzos queda:

~~τ′ =µ

0 PL2µ (h −2y ) 0

PL2µ (h −2y ) 0 0

0 0 0

.

(d) Esfuerzo sobre el fluido. El esfuerzo (la fuerza por unidad de área) es~fs = ~n ·

~~τ′, con ~n = (0, 1, 0) para el esfuerzo sobre el fluido en la placasuperior y ~n = (0,−1, 0) para la placa inferior. Por tanto:

• Para la placa superior:

~fs = (0, 1, 0) · ~~τ′ =PL

2(h −2y )

y=h

=−PL h

2;

• Para la placa inferior:

~fs = (0,−1, 0) · ~~τ′ = −PL

2(h −2y )

y=0

=−PL h

2.

(e) Disipación viscosa. De su definición, Ecuación 9.32, para este flujoqueda:

φV =µ

∂ u

∂ y

2

=µP 2

L

4µ2

h 2+4y 2−4h y

.

Por tanto, para el volumenV entre ambas placas limitado por una uni-dad de superficie en cada placa, la disipación viscosa es, integrando:

ΦV =

∫

VφV dV =

∫ h

0

µP 2

L

4µ2

h 2+4y 2−4h y

1d y =P 2

L h 3

12µ.

La expresión anterior es igual a PLQ para este flujo, que es la potenciaempleada en mover el caudal Q entre dos puntos separados la unidadde longitud. El resultado indica por tanto que esta potencia se pierdeen disipación viscosa.

14.4. Flujo de Hagen-Poiseuille axisimétrico 257

R

L

qx

y (radial)

p*2

p*1

Figura 14.6: Flujo de Hagen-Poiseuille axisimétrico

14.4 Flujo de Hagen-Poiseuille axisimétrico

Donde resolvemos el mismo problema pero en dominios cilíndricos (por ejemplo,tuberías)

El flujo de Hagen-Poiseuille axisimétrico (Figura 14.6) resulta de considerar Igual pero axisimétrico

las mismas condiciones del apartado anterior pero en un dominio axisimé-trico (tal como en un tramo de conducto recto de sección circular). En ambosextremos del tramo considerado la presión motriz es constante en la seccióntransversal, e igual respectivamente a p ∗1 y p ∗2 (con p ∗1 6= p ∗2 ).

Para analizar el flujo, utilizaremos coordenadas cilíndrico-polares, siendo x Hacen falta cilíndrico-polares; familiarícese si nolo está!

la coordenada axial y r la coordenada radial. La ecuación de cantidad de mo-vimiento en dirección x , Ecuación 14.7, queda, para este flujo y en cilíndrico-polares:

PL +µ1

r

d

d r

rd u

d r

= 0 . (14.23)

Integrando una vez: Integramos una vez...

rd u

d r=−PL

µ

r 2

2+C1 .

La primera condición de contorno a emplear considera que, por simetría, la ... e imponemos CC sobre laderivada antes de integrarde nuevo!

velocidad tiene un extremo en el eje (r = 0), por lo que su derivada primerad u/d r es nula. Por tanto, la constante de integración en la ecuación anteriorha de ser nula: C1 = 0.


Integrando de nuevo:Segunda integración y CC

u (r ) =−PL

2µ

r 2

2+C2 .

La segunda condición de contorno implica que en la pared r =R la velocidades nula (u = 0). Por tanto, sustituyendo y despejando la segunda constante,se tiene que C2 = PL R 2/4µ; en consecuencia, el perfil de velocidades en elconducto es:Perfil de velos

u (r ) =PL

4µ

R 2− r 2

, (14.24)

que es una parábola con el máximo en el eje (r = 0), donde la velocidad vale:

umax = u (r = 0) =PL R 2

4µ.

Integrando en la sección recta obtenemos el caudal:Caudal y velo media

Q =

∫ R

0

u2πr d r =πPL R 4

8µ;

y, dividiendo por el área, la velocidad media u :

u =Q

πR 2=

PL R 2

8µ=

umax2

. (14.25)

La ecuación anterior permite también calcular la diferencia de presión entrePérdida de carga

los extremos del tramo de conducto (que, recordamos del Capítulo 12, seconoce en Mecánica de Fluidos como pérdida de carga) como función de lavelocidad media. Si ponemos la caída de presión por unidad de longitud, PL ,como la diferencia de presión∆p ∗ entre los extremos del tramo dividida porla longitud L del tramo, PL =∆p ∗/L , entonces la velocidad media, Ecuación14.25, puede escribirse como:

u =∆p ∗

L

D 2

4

1

8µ(14.26)

Operando con esta ecuación, la pérdida de carga, adimensionalizada con lapresión dinámica. es:

∆p ∗

12ρu 2

=64ρuDµ

L

D=

64

R e

L

D. (14.27)

Usaremos esta ecuación más adelante, al analizar las pérdidas de carga enconductos.

15

Flujo en conductos

El flujo de fluidos en conductos es una de las principales aplicaciones de laMecánica de Fluidos (en algunas universidades y titulaciones es la única).

El principal reto de esta parte de la Mecánica de Fluidos es el dimensiona-miento de los conductos, y sus instalaciones auxiliares. En el movimiento deun fluido en un conducto se pierde energía, por lo que a menudo (aunque nosiempre) necesitamos aportar potencia para contrarrestar estas pérdidas. Enotras ocasiones, deseamos extraer potencia del fluido, y la potencia extraíblese verá disminuida por estas pérdidas.

En este capítulo veremos, entre otras cosas, a qué se deben las pérdidas deenergía (llamadas pérdidas de carga) en un conducto; cómo estimarlas; có-mo estimar el caudal, y otras condiciones de operación del conducto; y cómodimensionar el conducto.

Gracias a la teoría desarrollada en capítulos anteriores, las respuestas a al-guna de estas cuestiones son casi inmediatas. Por ejemplo, ya debería sabera qué se deben las pérdidas de energía...

15.1 La Ingeniería es dinero (AKA: El balance de energía en unconducto)

Donde, gracias a las herramientas desarrolladas en el Capítulo 9, concluiremos,sin necesidad de anestesia, que las pérdidas de energía, y por tanto el tremendocoste de impulsar fluidos en el mundo, son debidos a... la disipación viscosa! (Si

259

260 Flujo en conductos

hablar de dinero le desilusiona o le deprime, cierre los ojos y piense en las emisio-nes de CO2.)

15.1.1 La ecuación de la energíaPara entender el funcionamiento de una instalación de fluidos1, es a menudoSM El Balance de Energía

imprescindible realizar un balance de energía. Para ello, se aplica una de lasecuaciones integrales de la energía a un volumen de control que comprendael fluido en la instalación. Si las variaciones de energía interna del fluido sondespreciables, el balance puede hacerse utilizando la ecuación integral de laenergía cinética (Ecuación 9.37):

d

d t

∫

Vc

ρv 2

2d V +

∫

Sc

ρv 2

2[( ~v − ~vc ) · ~n ]d S =

=

∫

Vc

p∇· ~v d V +

∫

Sc

~n · ~~τ

· ~v d S −∫

Vc

ΦV d V +

∫

Vc

ρ ~v · ~fm d V .

(15.1)

Recordemos que la ecuación tiene dimensiones de potencia; puede repasarel significado físico de sus términos en el Capítulo 9.

Frecuentemente se utiliza una forma de la ecuación anterior en la que el úl-timo término (la potencia de las fuerzas másicas) se manipula para que apa-rezca en el primer miembro como energía potencial. La forma alternativa sedenomina ecuación de la energía mecánica (porque la suma de la energíacinética y potencial, v 2/2+U se llama energía mecánica), y se ha deducidorigurosamente en el Capítulo 9 a partir de la ecuación de la energía cinética;la ecuación es (Ecuación 9.49):Ec de la energía mecánica

d

d t

∫

Vc

ρ

v 2

2+ g z

d V

I T

+

∫

Sc

ρ

v 2

2+ g z

[( ~v − ~vc ) · ~n ]d S

I I

=

=

∫

Vc

p∇· ~v d V

I C

+

∫

Sc

~n · ~~τ

· ~v d S

I S

−∫

Vc

ΦV d V

I D

. (15.2)

Para deducir esta ecuación a partir de la ecuación de la energía cinética,Ecuación 15.1, es necesario que las fuerzas másicas deriven de un potencial

1O de cualquier dispositivo que involucre un fluido.

15.1. La Ingeniería es dinero (AKA: El balance de energía en un conducto) 261

U ( ~fm =−∇U ), y que ese potencial U no dependa del tiempo. En la ecuaciónanterior hemos supuesto además que las únicas fuerzas másicas son las gra-vitatorias ( ~fm =−g ~k ), cuyo potencial (U = g z ) no depende del tiempo.

Los términos de la Ecuación 15.2 tienen también dimensiones de potencia, Recordatorio: significadofísicoy su significado físico es:

I T es el aumento o disminución con el tiempo de la cantidad totalenergía mecánica contenida en el volumen de control, debido al ba-lance de los procesos restantes;

I I es la diferencia entre la energía mecánica que sale y entra en el vo-lumen de control (el término de ingestión);

I C es la potencia asociada a la expansión (∇· ~v ) del fluido (y es nula siel fluido es incompresible,∇· ~v = 0);

I S es la potencia realizada sobre el fluido por las fuerzas en la super-ficie de control si la velocidad ~v del fluido es no nula en esa superficie(en particular, es la potencia comunicada al fluido por los álabes deuna turbomáquina);

I D son pérdidas de energía mecánica (que se transforma en calor, verCapítulo 9) debido a la disipación viscosa.

15.1.2 Aplicación a un conducto

Donde vemos que las pérdidas de energía son debidas a la disipación viscosa, ydefinimos las “pérdidas de carga”

Utilizaremos la Ecuación 15.2 para hacer un balance de energía en un tramo Situación considerada

de tubería, en la que el flujo está en estado estacionario (es decir, no dependedel tiempo) y es desarrollado (es decir, el perfil de velocidades en cualquiersección transversal es el mismo). Para ello, utilizaremos el volumen de con-trol de la Figura 15.1.

El caudal Q que atraviesa la sección recta S (o que “circula por la tubería”) es Caudal y gasto

constante (por continuidad), y viene dado por:

Q =

∫

S

~v · ~nd S (15.3)


q

L

z

z

xS

1

2tp

1

2

Figura 15.1: Volumen de control para la aplicación de la ecuación integral dela Energía y de Cantidad de Movimiento

siendo ~n la normal a la sección recta; y el gasto G (también constante) esG =ρQ .

Los términos de la Ecuación 15.2 valen, en este volumen de control:Integración de la ec ener-mec

I T = 0, por ser estado estacionario.

I I =G g z2−G g z1, siendo z1 y z2 las cotas del centro de gravedad de lassuperficies de entrada y salida2. Las contribuciones de la energía ciné-tica v 2/2 se anulan en entrada y salida, pues el perfil de velocidades esel mismo y las normales son opuestas.

I C = 0, por ser el fluido incompresible.

El balance del término de fuerzas de superficie en la entrada 1 y en la

salida 2 es I S1 + I S2 = p1Q − p2Q , puesto que la parte viscosa ~~τ′ · ~n se

anula, al ser el perfil de velocidades (y por tanto el tensor ~~τ′) el mismo,pero las normales opuestas.

2Dedúzcalo!

15.1. La Ingeniería es dinero (AKA: El balance de energía en un conducto) 263

El término de fuerzas de superficie en las paredes sólidas p es nulo,I Sp = 0, pues ~v = 0.

La ecuación queda, por tanto: Ecuación simplificada

G g z2−G g z1 =Q p1−Q p2−∫

Vc

ΦV d V . (15.4)

O, reordenando y dividiendo por G g : Balance de energía

p1

ρg+ z1

−

p2

ρg+ z2

=1

g G

∫

Vc

ΦV d V . (15.5)

La ecuación anterior es el balance de energía entre la entrada y salida del Significado

conducto. La ecuación establece que la pérdida de presión más altura (ener-gía potencial) entre entrada y salida es debida a la disipación viscosa. Noteque, dado que la disipación viscosa es siempre positiva, el lado izquierdo estambién siempre positivo: es decir, el fluido sale con menos energía que conla que entró3. Esta pérdida de energía entre dos puntos del conducto se llama Pérdida de carga

habitualmente en Ingeniería pérdida de carga. A menudo se expresa, comoen la ecuación anterior, con dimensiones de altura, y se denomina entoncestambién altura de pérdidas, h f : Altura de pérdidas

h f =1

g G

∫

Vc

ΦV d V , (15.6)

La altura de pérdidas no es por tanto sino las pérdidas de energía (debidas Altura de pérdidas = pérdi-das de energía= disipaciónviscosa

a la disipación viscosa) en unidades de altura. Por tanto, la ecuación de laenergía queda:

p1

ρg+ z1

−

p2

ρg+ z2

= h f ; (15.7)

O bien, usando la definición de presión motriz (p ∗ = p +ρg z ):

p ∗1 −p ∗2ρg

= h f . (15.8)

Por tanto, la pérdida de presión motriz entre entrada y salida es exactamentela altura de pérdidas,


En flujo ideal, la aplicación de la ecuación de Bernoulli (que es una forma deSi flujo ideal...

la ecuación de la energía) a una línea de corriente entre la entrada y la salidaproporciona (con v1 = v2):

p1

ρg+ z1

−

p2

ρg+ z2

= 0 . (15.9)

La diferencia por lo tanto con la ecuación de la energía en el flujo viscoso,Diferencia: disipación vis-cosa Ecuación 15.7, es la aparición en el caso viscoso de las pérdidas h f . Éstas son

las pérdidas debidas a la viscosidad, que no son sino el término de disipaciónviscosa en la ecuación de la energía, expresado en alturas, Ecuación 15.6.

15.2 Pérdida de carga lineales en conductosEn esta sección seguiremos considerando un tramo de conducto de longitudSituación: la de antes

L y de sección transversal arbitraria (esto es, no necesariamente circular),pero de área constante y recto (sin codos), Figura 15.1. El conducto puedeestar inclinado (con respecto a la gravedad). Por él circula un fluido de den-sidad constante.

Supondremos que el flujo es unidireccional y desarrollado4.

15.2.1 ¿Por qué se mueve el fluido?

Donde recordamos que en un flujo unidireccional el fluido se mueve por una dife-rencia de energía potencial y/o de presión (es decir, por una diferencia de presiónmotriz)

¿Por qué se mueve el fluido? En el Capítulo 14, donde hemos analizado elPor un gradiente de presiónmotriz flujo unidireccional, hemos visto que la causa del movimiento en estas cir-

cunstancias es una diferencia (un gradiente) de presión motriz (ver Ecuación14.7).

Para secciones de conducto circulares, el flujo resultante es el llamado deRecordamos...

3Si el área de la sección recta del conducto variara, también variaría la velocidad, y ha-bría que tener en cuenta las variaciones de energía cinética entre entrada y salida, según laEcuación 15.2.

4Recuerde: desarrollado quiere decir que, tras una zona de desarrollo del flujo (porejemplo, cerca de la entrada al conducto), el perfil transversal de velocidades no cambiaa lo largo del conducto.

15.2. Pérdida de carga lineales en conductos 265

Hagen-Poiseuille, y la ecuación de cantidad de movimiento axial puede in-tegrarse analíticamente para obtener la velocidad axial como función de laposición radial r (Ecuación 14.20):

u (r ) =p ∗1 −p ∗2

4µL

R 2− r 2

, (15.10)

donde R es el radio del conducto, y la presión motriz p ∗ es la presión máspotencial de fuerzas másicas: p ∗ = p +ρU (usualmente p ∗ = p +ρg z ).

Cuando la sección del conducto no es circular, no hay en general una solu- Y si el conducto no es circu-lar?ción analítica de las ecuaciones diferenciales (deducidas en el Capítulo 14)

que proporcione un campo analítico de velocidades como el de la Ecuación15.10. Pero, dado que el flujo sigue siendo unidireccional, sabemos la presiónmotriz es constante en la sección transversal del conducto; y por supuesto esla diferencia de presiones motrices lo que mueve el fluido (ver Capítulo 14).

15.2.2 El balance de fuerzas

Donde, gracias a la ecuación de cantidad de movimiento, podemos hacer un ba-lance de fuerzas en dirección axial, y comprobar que es el gradiente de presiónmotriz el que equilibra la fuerza fluido–pared

La ecuación integral de cantidad de movimiento proporciona un balance de Cantimov, general

fuerzas en el conducto (Figura 15.1); la ecuación general es:

d

d t

∫

Vc

ρ ~v d V +

∫

Sc

ρ ~v [( ~v − ~vc ) · ~n ]d S =

∫

Sc

~n ·~~τd S+

∫

Vc

ρ ~fm d V . (15.11)

La componente de esta ecuación5 en la dirección del flujo es, con considera- En la dir del flujo...

ciones similares a las realizadas para los términos de la ecuación de la ener-gía, Ecuación 15.2:

0= p1A−p2A−∫

Ap

τp d A+ρg AL sinθ , (15.12)

donde Ap es área de pared, igual al perímetroP por la longitud L , Ap =P L .

5Recuerde que esta ecuación es vectorial.


El esfuerzo en la paredτp no varía en la dirección axial (pues el flujo es desa-rrollado) pero puede hacerlo a lo largo del perímetro (si la sección no es cir-cular). En este caso es conveniente definir un esfuerzo promedio en la paredEsfuerzo promedio

τp =

∫

Ap

τp d A/Ap . (15.13)

Con ello, y teniendo en cuenta que L sinθ = z1− z2, la ecuación anterior que-Conclusión: balance defuerzas da:

p1−p2+ρg (z1− z2) =P L

Aτp , (15.14)

que es el balance de fuerzas en la dirección axial. Este balance indica quela fuerza entre el fluido y el conducto es compensada por la diferencia depresiones motrices entre la entrada y la salida del tramo considerado.

15.2.3 Las pérdidas son debidas al esfuerzo en la pared

Donde deducimos que las pérdidas de carga, explicadas antes mediante un ba-lance de energía como debidas a la disipación viscosa, son igualmente debidas,en un balance de fuerzas, al esfuerzo entre el fluido y la pared

Comparando las ecuaciones de la energía (Ecuación 15.7):Comparamos balances deenergía y fuerzas

p1

ρg+ z1

−

p2

ρg+ z2

= h f (15.15)

y de cantidad de movimiento (Ecuación 15.14):

p1

ρg+ z1

−

p2

ρg+ z2

=P L

ρg Aτp (15.16)

podemos obtener una expresión para la altura de pérdidas como función delesfuerzo en la pared:

h f =P L

ρg Aτp . (15.17)

Por tanto, la altura de pérdidas (que como vimos en la Ecuación 15.6 es de-Altura de pérdidas debida aesfuerzos fluido-pared


bida a la disipación viscosa) tiene su origen en el esfuerzo que la pared hacesobre el fluido, τp .

Para una tubería de sección circular, poniendo el área A y el perímetroP en Tubería circular

función del radio R , la expresión para la altura de pérdidas es h f es:

h f =2L

ρg Rτp . (15.18)

15.2.4 La ecuación de Darcy-Weisbach y el factor de fricción

Donde por fin decimos cómo se calcula la altura de pérdidas

De la Ecuación 15.18, todo lo que necesitamos para conocer las pérdidas decarga en el conducto es el esfuerzo viscoso en la pared, τp . Éste es funciónde la densidad ρ, la velocidad media v , la viscosidad µ, el diámetro D , y larugosidad ε de la tubería; usando el análisis dimensional:

8τp

ρv 2= f(ReD ,

ε

D) ⇒ τp =

ρv 2 f

8, (15.19)

donde en la segunda ecuación abreviadamente nos referimos a la relaciónfuncional como simplemente f , el factor de fricción6. Factor de fricción

Insertando esta expresión para τp en la Ecuación 15.18, resulta la ecuaciónde Darcy-Weisbach: Ecuación de Darcy-

Weisbach...

h f = fL

D

v 2

2g(15.20)

Para calcular la pérdida de carga, por tanto, basta con conocer el factor de ... para calcular h f

fricción f (del cual sabemos, hasta ahora, que depende del número de Rey-nolds ReD y de la rugosidad relativa ε/D ).

15.2.5 f para tuberías circulares y flujo laminar

6A veces se denota por λ.


Donde decimos cómo se calcula f , parte 1

Para flujo unidireccional en tuberías circulares (flujo de Hagen-Poiseuille)Del flujo de H-P...

calculamos en la Ecuación 14.27 que la pérdida de presión motriz vale, exac-tamente:

∆p ∗

12ρv 2

=64

Re

L

D⇒ h f =

∆p ∗

ρg=

64

Re

L

D

v 2

2g(15.21)

Comparando con la Ecuación 15.20, en estas condiciones (flujo unidireccio-Factor de fricción

nal, y por tanto laminar, y en tuberías de sección circular) el factor de fricciónvale:

f =64

Re. (15.22)

Note que, en este caso, el factor de fricción no depende de la rugosidad de latubería.

15.2.6 f para tuberías circulares y flujo turbulento


Para flujo turbulento, la experiencia dice que el factor de fricción f dependede la rugosidad de la tubería.

Alrededor de 1935, Ludwig Prantdl dedujo la siguiente expresión para fTubería lisa

cuando el flujo es turbulento y la tubería es lisa (esto es, ε= 0):

1

f 1/2= 2.0 log

ReD f 1/2

−0.8 . (15.23)

(Esta ecuación es trascendente en f : f no se puede despejar, sino que hayque iterar para calcularlo.)

Para tuberías con rugosidades altas y flujo muy turbulento (Re muy altos), fTubería muy rugosa

viene dada por la ecuación de von Kármán:

1

f 1/2= 2.0 log

ε/D

3.7. (15.24)


Figura 15.2: Diagrama de MoodyAutores: S Beck and R Collins, University of Sheffield. Licencia Creative Commons CC BY-SA 3.0

Note que en este caso el factor de fricción f depende de la rugosidad relativa(ε/D ) pero no de Re.

A partir de estos dos casos límite (tubería lisa, cualquier Re; tubería rugosa, Rugosidades intermedias

Re muy altos), es posible interpolar expresiones para f que cubran situacio-nes intermedias. La interpolación más usada es la debida a Colebrook (1939):

1

f 1/2=−2.0 log

ε/D

3.7+

2.51

ReD f 1/2

. (15.25)

En la época, calcular f en esta ecuación trascendente sin ordenadores o ni si- Año 41 AX (antes de Excel):Diagrama de Moodyquiera calculadoras era tedioso. Moody propuso en 1944 una representación

gráfica muy usada, y que se conoce como diagrama de Moody (Figura 15.2)7

7Muy útil en 1944. Hoy se pueden usar las ecuaciones anteriores, codificadas en una ho-ja de cálculo; pero el diagrama es un buen resumen gráfico para entender cómo se comportael factor de fricción.


15.2.7 f para secciones no circulares


Para calcular el factor de fricción f cuando la tubería no es circular partimosEstrictamente cierto

de la Ecuación 15.17, que es válida puesto que se dedujo sin hipótesis sobrela forma de la sección:

h f =P L

ρg Aτp (15.26)

Se define radio hidráulico como sección recta de la sección dividido por pe-Radio y diámetro hidráuli-cos rímetro mojado8 de la misma, Rh = A/P , y diámetro hidráulico como Dh (9.

Análogamente a lo dispuesto para tuberías circulares, para conductos no cir-De anadim

culares se tiene mediante análisis dimensional:

8τp

ρv 2= fN C (ReDh

,ε

Dh) , (15.27)

donde fN C es el factor de fricción para la tubería no circular. Por tanto, laaltura de pérdidas es:

h f = fN C

L

Dh

v 2

2g. (15.28)

Para calcular la altura de pérdidas por tanto es inevitable conocer el factorLa Ingeniería es lo que tie-ne de fricción para el conducto, fN C . Aunque hay por supuesto técnicas más

sofisticadas para estimarlo, a menudo se utiliza, como una “buena” aproxi-mación para fN C , su valor f para tuberías de sección circular; el error es delorden del 40 % para flujo laminar, y del 15 % para flujo turbulento, y esto seconsidera admisible para muchas aplicaciones (en las que la instalación, encualquier caso, se sobredimensiona para compensar éste y otros errores).

15.3 Pérdidas de carga singulares, y pérdida totalAdemás de las pérdidas de carga lineales, en una instalación existen tambiénQué son

las llamadas pérdidas de carga singulares10, que son las que ocurren en ele-mentos de la instalación en las que el flujo no es desarrollado, tales como:

8Es decir, la parte del perímetro “bañada” por el fluido.9Note que, de estas definiciones, para una tubería circular de radio R y diámetro D se

tiene que Dh =D pero Rh =R/2.10A veces se llaman también menores (aunque pueden no serlo).

15.3. Pérdidas de carga singulares, y pérdida total 271

Válvulas;

Contracciones;

Expansiones;

Codos;

Tes;

Entradas al conducto;

Salidas del conducto.

Las pérdidas de energía hm (en dimensiones de altura) en estos elementos El coeficiente de pérdidas

se cuantifican a través de un coeficiente de pérdidas k :

hm = kv 2

2g. (15.29)

El coeficiente de pérdidas k está tabulado en casi todos los libros de Mecáni-ca de Fluidos (y en muchos sitios en Internet) para distintas singularidades.

En general, una instalación tendrá varias pérdidas singulares hmi, asociadas Pérdidas totales en una ins-

talacióna diversos elementos i cada uno de los cuales tiene un coeficiente de pérdi-das ki . Por tanto, para la instalación las pérdidas totales son la suma de laslineales y las singulares:

hp = h f +∑

i

hmi=

fL

D+∑

ki

v 2

2g. (15.30)

Con razonamientos análogos a los usados para llegar a la Ecuación 15.8, po- Presión motriz compensapérdidasdemos concluir que para que el fluido se mueva en el conducto esta pérdida

de carga ha de ser compensada por una diferencia de presión motriz (es de-cir, de presión o de energía potencial) entre la entrada y la salida:

p ∗1 −p ∗2ρg

= hp . (15.31)

16

Flujo en canales

Figura 16.1: El Canal Imperial de Aragón: Puente de América“Puente de América (Canal Imperial)” by Unknown - http://www.canalimperial.com/index.php?sec=4.LicensedunderPublicdomainviaWikimediaCommons-http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Puente_de_Am%C3%A9rica_(Canal_Imperial).jpg

El flujo en canales es una de las aplicaciones más clásicas de la Mecánica deFluidos; el uso de los canales para navegar (y comerciar) y para irrigar dio

273

http://www.canalimperial.com/index.php?sec=4. Licensed under Public domain via Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Puente_de_Am%C3%A9rica_(Canal_Imperial).jpg



274 Flujo en canales

lugar al desarrollo de esta disciplina.

En este capítulo estudiaremos cómo es el flujo en un canal, y cómo calcularel caudal como función del resto de los parámetros del canal. Por “canal” seha de entender no sólo un canal de riego, o de navegación, sino cualquierconducto en el que un líquido fluye con una superficie libre; por ejemplo,pero no sólo: ríos, tuberías parcialmente llenas, o alcantarillas.

16.1 Qué es un canal, y qué tipos de flujopresentan

Donde establecemos la situación que consideramos, y los tipos de flujos que pue-den darse

En este capítulo consideraremos los flujos de líquidos en conductos, en losSuperficie libre, y pendien-te que existe una superficie libre. Por lo tanto, el líquido no ocupa toda la sec-

ción recta del conducto, y ésta es por tanto una primera diferencia con losflujos estudiados en el Capítulo 15, en el que el fluido (gas o líquido) llena-ba completamente el conducto1. Una segunda diferencia es que, por ello, elmovimiento del líquido en el conducto es debido a la pendiente del canal;esto es, el líquido no se puede impulsar (por ejemplo con una bomba) si tieneuna superficie libre. Ejemplos de estos flujos son ríos, alcantarillas, canalesde riego, o tuberías parcialmente llenas por un líquido.

Consideraremos que la sección recta de la conducción puede tener cual-Sección recta y velo

quier forma (rectangular, trapezoidal, segmento circular, etc). La velocidaddel líquido no es constante en la sección recta (debido entre otras cosas, co-mo ya sabemos, a la fricción de la pared); pero en este capítulo en generalconsideraremos que lo es (o, expresado con más rigor, utilizaremos a menu-do una velocidad media).

El principal problema a resolver es uno de diseño, e involucra el caudal; porQué buscamos

ejemplo: ¿Qué caudal obtenemos para unas ciertas dimensiones, material ypendiente? O ¿qué pendiente hemos de tener para conseguir un cierto cau-dal, dados el resto de los parámetros?

1En la terminología de Mecánica de Fluidos se dice que el fluido moja todo el perímetrodel conducto.

16.2. Ecuaciones, y presión en el canal 275

El flujo en el canal puede ser laminar o turbulento; en casi todas las aplica- Laminar o turbulento

ciones prácticas, el flujo es en realidad turbulento, pero se trabaja con varia-bles promediadas que hacen que el flujo sea en muchas ocasiones unidirec-cional (como en el flujo turbulento en conductos del Capítulo 15).

Junto con sección recta, caudal, y pendiente, el cuarto parámetro más im- Calado y tipos de flujo

portante en un canal es el calado, o altura del líquido con respecto a la basedel canal. Según variación de calado y con la distancia a lo largo del canal,el flujo en el canal se clasifica como (ver Figura 16.2):

Flujo uniforme: el calado y es constante, y velocidad media del líquidotambién lo es (suponemos que la sección recta del canal es siempre lamisma).

Flujo lentamente variable: el calado y es variable, también lo es la ve-locidad media del líquido. Dado que el caudal es constante (por conti-nuidad) esto significa que la sección transversal ocupada por el líquidodebe ser también variable.

Flujo rápidamente variable: el calado y varía rápidamente, y el flujono puede ser considerado undireccional.

De ellos, estudiaremos los dos primeros, analíticamente, en este capítulo. Eltercero sólo puede ser analizado con herramientas experimentales o compu-tacionales.

Note que el símbolo y no se utiliza habitualmente en flujo en canales como y no es coordenada!

una coordenada, sino que se usa para denotar el calado; las coordenadas sonx (a lo largo del canal) y z , en la dirección vertical (contra la gravedad).

16.2 Ecuaciones, y presión en el canalConsideraremos el flujo en el canal unidireccional2, y por lo tanto usaremos Ecs de flujo unidir: nada

nuevo!las ecuaciones del flujo unidireccional del Capítulo 14.

Recuerde (Sección 14.1) que en flujo unidireccional la presión motriz p ∗ = Presión motriz y presión enel fondo

2Cuando el área transversal ocupada por el flujo cambia, el flujo no es estrictamenteunidireccional; pero dado que el cambio es lento se considera así. Igualmente, el flujo tur-bulento no es unidireccional, pero se considera que lo es en media.


Flujo uniformeFlujo

lentamentevariable

Flujolentamente

variable

Flujorápidamente

variableFlujo uniforme

Figura 16.2: Tipos de flujo en un canal, en función de la variación del caladoy

p + ρg z es constante en dirección perpendicular al flujo. En la superficielibre, p = 0 y z =H0+ y , y en el fondo del canal p = pf y z =H0(3. Igualandoambas obtenemos el valor de la presión en el fondo del canal, pf :

pf =ρg y . (16.1)

16.3 Número de Froude y velocidad de onda

En un canal las perturbaciones (ondas) se propagan con velocidad c =pg y rela-tiva a la velocidad del fluido; el ratio entre la velocidad del fluido y esta velocidadde propagación es el número de Froude

Una onda en un canal es una “ola” de altura infinitesimal (Figura 16.3). De-mostraremos al final de este apartado la onda se desplaza a una velocidadc = pg y relativa a la velocidad del fluido en el canal. Dado que el líquidoen el canal se está moviendo (de aguas arriba a aguas abajo) a una velocidad(digamos) v , cabe preguntarse cuál de las dos velocidades es mayor: si c > v ,

3Note que esto no es estrictamente cierto, pues el calado no está alineado con z si elcanal está inclinado; pero la inclinación suele ser tan pequeña que en general se suponeque las expresiones anteriores son correctas.

16.3. Número de Froude y velocidad de onda 277

δ y

yAgua enreposo δ v

c

Figura 16.3: Onda que se propaga con velocidad c en el canal

la onda se propaga aguas arriba por el canal contra la velocidad del líquido;pero si si c < v , la perturbación viaja aguas abajo (y por tanto nada de lo quepasa aguas abajo influencia el flujo aguas arriba).

El ratio de ambas velocidades (velocidad del fluido a la velocidad de la onda)es el número de Froude: Número de Froude, Fr

Fr=v

c=

vp

g y. (16.2)

Por tanto: Subcrítico, crítico, super-crítico

Cuando Fr< 1, el flujo se dice subcrítico, y cualquier perturbación (on-da) pueden propagarse aguas arriba (con velocidad c − v ).

Cuando Fr> 1, el flujo es supercrítico, y las perturbaciones (ondas) nopueden propagarse aguas arriba.

Cuando Fr= 1, el flujo es crítico.

Para deducir la velocidad c de propagación de la onda usamos un volumen c de continuidad y canti-dad de movimientode control que se mueva con la misma (Figura 16.4), y aplicamos en estos


d y

c- d vc

r g y r g(y+dy)

P = 0a D

t = 0w

Volumen de

control

Ondafija

Figura 16.4: Volumen de control para el cálculo de la velocidad de propaga-ción de la onda c

ejes móviles la ecuación de continuidad y la de cantidad de movimiento. Laecuación de continuidad es:

d

d t

∫

Vc

ρd V +

∫

Sc

ρ ( ~v − ~vc ) · ~nd S = 0 , (16.3)

que, en este volumen de control, es:

ρ(c −δv )(y +δy )b −ρc y b = 0 , (16.4)

siendo b la anchura en dirección perpendicular al papel.

La ecuación de cantidad de movimiento es:

d

d t

∫

Vc

ρ ~v d V +

∫

Sc

ρ ~v [( ~v − ~vc ) · ~n ]d S =

∫

Sc

~n · ~~τd S +

∫

Vc

ρ ~fm d V (16.5)

16.4. La energía específica 279

En la dirección del movimiento, y despreciando los esfuerzos sobre el fondo,queda:

ρ (c −δv )(y +δy )b︸︷︷︸

c y b

(c +δv )−ρc y b c =ρg

y +δy2

b

2−ρg y 2b

2, (16.6)

donde el término sobre la llave vale c y b por la ecuación de continuidad,Ecuación 16.4.

Despejando de la ecuación de continuidad (16.4) el cambio en velocidad delfluido:

δv = cδy

y +δy, (16.7)

insertándolo en la de cantidad de movimiento y despejando c 2:

c 2 = g y

1+δy

y

1+δy

2y

(16.8)

Para una onda de altura infinitesimal, δy → 0 y la velocidad de propagaciónc queda:

c =p

g y (16.9)

Por tanto, una onda infinitesimal se propaga con una velocidad c = pg yrelativa al fluido.

16.4 La energía específica

Donde definimos la energía específica, una de las principales magnitudes en eldiseño y análisis de canales, y desvelamos su significado físico. Y demostramosque el flujo con mínima energía específica es el flujo crítico (v = c )

La energía mecánica E en un punto del canal es, expresada en alturas: Energía mecánica

E =p

ρg+

v 2

2g+ z = y +

v 2

2g+ z , (16.10)


donde hemos tenido en cuenta que variación de la presión p con la profun-didad es aproximadamente la hidrostática porque, aunque el fluido no estáen reposo, el flujo es unidireccional. (Repase Capítulo 14.)

Se define la energía específica Es como:Energía específica

Esdef= y +

v 2

2g. (16.11)

(La energía específica se llama también carga hidráulica.)

Si la anchura b del canal es constante, y el caudal es Q , entonces, por conti-nuidad:

Es = y +1

2g

Q 2

b 2 y 2, (16.12)

que muestra como la energía específica Es varía con el calado y .

Cuando el flujo es uniforme (calado y y anchura b constantes), la energíaEn flujo uniforme

específica Es si es constante a lo largo del canal. Por tanto, la única variación...Es constante, y...

de energía a lo largo del canal es la variación de la cota del mismo (las z ’s en laEcuación 16.10 de la energía mecánica) debido a la pendiente. Esta variación... energía potencial com-

pensa pérdidas viscosas de energía potencial debe, por tanto, compensar exactamente la disipaciónviscosa (que es la pérdida de energía en el canal).

La representación gráfica del calado y frente a la energía específica Es es(para un caudal dado, fijo) como se muestra en la Figura 16.6. Su análisisarroja algunos resultados interesantes. En tal análisis, es importante tenersiempre presente que la curva es para un caudal constante.

16.4.1 Contribuciones a la energía específica

Una línea horizontal en la gráfica de la Figura 16.6 indica la energía específi-ca del flujo para ese calado y (y para ese caudal dado). La energía tiene doscontribuciones, como indica la Figura 16.6: una debida a la presión (repre-sentada por el calado), que va en la gráfica hasta a la bisectriz Es = y , y otra ala energía cinética, que va desde la bisectriz hasta la curva. Note que el pesode cada contribución cambia significativamente, incluso a caudal constante,con el calado y .

16.4. La energía específica 281

z

y

Referencia de energía potencial

Nivel de energía (Carga hidráulica)

v2

2g

ES

Figura 16.5: Energía específica, sus componentes y sus significados físicos

y

y

y Calado crítico (Fr =1)c

Es

E = y

s(Q constante)

Es, min

2v2g

Rama s

ubcrí

tica (

Fr < 1)

Rama supercrítica (Fr >1)

Figura 16.6: Calado y frente a energía específica Es , y punto crítico


16.4.2 La energía específica mínimaEs también fácil comprobar en la Ecuación 16.12 que hay una energía espe-cífica mínima, por debajo de la cual no es posible que haya flujo en el canal.Asociada a esa energía mínima, hay un caldo mínimo (vea la Figura 16.6).

Para un caudal Q dado, el calado de mínima energía específica puede hallar-Es mínima, y su calado

se haciendo d Es/d y = 0; el calado, y la correspondiente energía, resultanser:

y = yc =

Q 2

b 2g

1/3

; Es ,mi n =3

2yc . (16.13)

De la primera de las ecuaciones anteriores es posible despejar el caudal, ypor lo tanto la velocidad, en este punto de mínima energía como funcióndel resto de los parámetros.

Operando, la velocidad del fluido en estas condiciones de mínima energía esv =pg yc . Ésta es también la velocidad de propagación de onda c , calculadaen la Sección 16.3; en consecuencia, en el punto de mínima energía v = c ,y Fr = 1; y, por esta razón, este punto se llama punto crítico. El flujo crítico,Flujo crítico es el de menor

energía específica por tanto, es el que tiene menor energía específica.

Note que es alrededor de este punto crítico donde pequeñas variaciones enPunto crítico fuente deinestabilidades la energía específica dan lugar a las variaciones más grandes en el calado;

este comportamiento es una fuente de inestabilidades, y por eso se sueleevitar trabajar cerca del punto crítico.

16.4.3 Dos posibles calados para una energía dadaPara energías específicas mayores que la crítica, Es > Es ,mi n , hay dos posiblescalados (para el mismo caudal Q ): uno (el mayor) da flujo subcrítico, y otro(el menor), supercrítico (ver los dos ramales de la gráfica de la Figura 16.6).

16.5 Flujo uniforme

Donde vemos cómo calcular la velocidad en un canal en el que el calado no varía,dados el caudal y resto de parámetros, e introducimos la fórmula de Manning

16.5. Flujo uniforme 283

Cuando el flujo es uniforme, el calado y es constante y la sección recta es lamisma, y por lo tanto también es constante la velocidad (v =Q/A). En estascondiciones, la energía cinética a la entrada y a la salida del canal son lasmismas (flujo desarrollado) y por lo tanto toda la disminución de la energíapotencial en un tramo es igual a las pérdidas en ese tramo.

En el tramo 1−2 de la Figura 16.7, la variación de energía potencial (en uni-dades de altura) es z1− z2 = LS0 (siendo S0 = tgα la pendiente del canal). Portanto, si la altura de pérdidas es hp :

hp = LS0 . (16.14)

La altura de pérdidas hp puede deducirse similarmente al caso de flujo enconductos:

hp = fL

Dh

v 2

2g, (16.15)

siendo f el factor de fricción (ver Capítulo 15 ).

Por tanto, igualando ambas ecuaciones,

LS0 = fL

Dh

v 2

2g, (16.16)

de donde podemos despejar el valor de la velocidad v (recuerde que Dh =4Rh ):

v =

√

√8g

f

p

S0Rh =Cp

S0Rh . (16.17)

En esta ecuación, C =p

8g / f se denomina coeficiente de Chézy. El factor Coeficiente de Chézy

de fricción f puede obtenerse del diagrama de Moody, o de las correspon-dientes fórmulas; por ejemplo, para un canal rugoso y flujo turbulento puedeusarse la fórmula de Colebrook (Ecuación 15.25):

f =

2.0 log(14.8Rh/ε)−2

. (16.18)

Alternativamente al uso de la Ecuación 16.17, puede usarse el cálculo mássimple de C propuesto (un siglo antes de Moody) por Gauckler (1868) y Man-ning (1889): Coeficiente de Manning


zz

(1)

z

(2)

y y

x x x

v = v = cte

y = y = cte

1

1

11

2

2

2

a

1 2

2

L

Figura 16.7: Flujo uniforme

C =a

nR 1/6

h , (16.19)

donde a = 1 m1/3/s (en Sistema Internacional), Rh es el radio hidráulico, yn es el llamado coeficiente de Manning, dependiente de la rugosidad y ta-bulado para los diversos materiales. Con este coeficiente, la velocidad y elcaudal vienen dados por la llamada fórmula de Manning:Fórmula de Manning

v =a

nR 2/3

h S 1/20 ; Q =

a

nAR 2/3

h S 1/20 . (16.20)

16.6 Flujo lentamente variable

Donde estudiamos como se calculan los parámetros del flujo cuando éste es len-tamente variable, esto es, el calado cambia a lo largo del canal

Cuando el flujo es lentamente variable, el calado no es constante, pero suFlujo lentamente variabletambién es unidireccional variación es lenta; y el área de la sección recta también puede variar len-

tamente. El flujo se considera no obstante unidireccional, y por lo tanto la

16.6. Flujo lentamente variable 285

presión motriz es aproximadamente constante en la sección recta (o, equi-valentemente, la presión en cada punto es aproximadamente la misma quela hidrostática).

Para obtener una ecuación para la evolución del calado y , tendremos en Método para obtener y

cuenta que las variaciones de energía mecánica son iguales a las pérdidas.Aplicaremos este balance a un elemento de longitud d x del canal, y comoresultado obtendremos, tras unas manipulaciones simples, una ecuación di-ferencial para el calado y .

La energía mecánica en un punto del canal, expresada en alturas, es (ver Energía mecánica

Ecuación 16.10):

E =p

ρg+

v 2

2g+ z = y +

v 2

2g+ z , (16.21)

Diferenciando esta energía mecánica E con respecto de la coordenada a lolargo del canal, x :

d E

d x=

d

d x

y +v 2

2g+ z

=d y

d x+

v

g

d v

d x+

d z

d x. (16.22)

Por otro lado, en un tramo de longitud diferencial d x , la altura de pérdidasd hp es:

d hp = fd x

Dh

v 2

2g. (16.23)

Se define la pendiente de fricción Sf como la altura de pérdidas por unidadde longitud del canal: Pendiente de fricción

Sf =d hp

d x

= f1

Dh

v 2

2g

. (16.24)

Diferenciando la ecuación de continuidad Q = cte= v b y :

0= v bd y

d x+

d v

d xb y ⇒

d v

d x=−

v

y

d y

d x. (16.25)

Además, se tiene que:

d E

d x=−

d hp

d x=−Sf (16.26)


zz

(1)

z

(2)

yy

x x x

1

1

1

2

2

2

α

L

v1

hL

Referenciaenergía potencial

v2

Nivel de energíav12

2gv2

2

2g

Figura 16.8: Flujo lentamente variable

y

d z

d x=−S0 , (16.27)

siendo S0 = tgα la pendiente del canal.

Insertando los tres últimos resultados en la Ecuación 16.22, queda:

S0−Sf =d y

d x−

v 2

g y

d y

d x=

d y

d x(1−Fr2) . (16.28)

Por tanto, despejando:Ec diferencial para y

d y

d x=

S0−Sf

1−Fr2 , (16.29)

ecuación diferencial que puede integrarse para obtener el calado como fun-ción de la distancia x . Note que d y /d x puede ser positivo o negativo (y portanto el calado aumentar o disminuir) dependiendo del signo del numera-dor y denominador.

16.7. El resalto hidráulico 287

Figura 16.9: Cree un resalto hidráulico confortablemente en su casa

Calculado el calado y (x ), la velocidad v (x ) puede obtenerse a partir del cau-dal (constante por continuidad): Q = v b y .

16.7 El resalto hidráulico

Donde introducimos el resalto hidráulico, vemos que el ratio de calados (antes ydespués) es función de Fr, calculamos la disipación viscosa, y comprobamos queel flujo antes del resalto ha de ser supercrítico para no violar la conservación deenergía

El resalto hidráulico es una estructura altamente disipativa en la que el flu- Qué es

jo en el canal pasa de supercrítico (Fr > 1) a subcrítico (Fr < 1). El resaltohidráulico es la familiar estructura circular que aparece en el fregadero cuan-do el chorro del grifo impacta (Figura 16.9). En Ingeniería Hidráulica se usaa menudo para disipar la energía cinética del flujo cuando ésta es alta, y asíevitar que dañe el lecho de un canal o un río.


P = 0a D

t = 0w

Volumen de

control

r g y1

r g y 2A C

V2

D

B

V1 y2

y1

Figura 16.10: Resalto hidráulico, y volumen de control ABCD empleado parasu análisis

El análisis del resalto hidráulico mediante ecuaciones integrales es muy si-Análisis con ec integrales

milar al realizado en la Sección 16.3 para la velocidad de onda; el volumende control es de hecho muy parecido: es el volumen ABCD de la Figura 16.10.Aplicaremos simplemente las ecuaciones de continuidad, cantidad de mo-vimiento y energía.

La aplicación de la ecuación de continuidad resulta (trivialmente) en:Continuidad

V1 y1 =V2 y2 ; (16.30)

y, la de cantidad de movimiento, similarmente a lo realizado en la Sec-Cantimov

ción 16.3:

−ρV 21 y1+ρV 2

2 y2 =−1

2ρg

y 22 − y 2

1

(16.31)

Introducimos a continuación el ratio de calados después y antes del resalto,Ratio de calados y despeja-mos η= y2/y1, y despejamos V 2

1 :

V 21 =V 2

2 η+1

2g y1

η2−1

=V 2

1

η+

1

2g y1

η2−1

. (16.32)

Teniendo en cuenta que, de la ecuación de continuidad:Manipulamos...

V 22 y2 =V1V2 y2 , (16.33)

16.7. El resalto hidráulico 289

y sustituyendo en la anterior:

V 21 =

η

η−1

1

2g y1

η2−1

=1

2g y1η

η+1

. (16.34)

Re-arreglando obtenemos el número de Fr como función del ratio de cala-dos:

Fr21 =

1

2η

η+1

, (16.35)

o, despejando η, viceversa: Y obtenemos relación entreFr e y2/y1

η=y2

y1=−

1

2+

1

2

q

1+8Fr21 . (16.36)

La disipación viscosa de energía en el resalto puede calcularse mediante un Disipación viscosa de ba-lance de energíabalance de energía mecánica (Ecuación 16.10) en (1) y en (2): el defecto de

energía es la energía disipada. Por tanto las pérdidas, expresadas en altura, Pérdidas de energía

son4:

h f = E1−E2 =

z1+ y1+V 2

1

2g

−

z2+ y2+V 2

2

2g

=

y2− y1

3

4y1 y2. (16.37)

Como sabemos, la disipación viscosa es positiva, y por tanto h f > 0. En la Condición sobre Fr paraconservación de energíaecuación anterior, esto implica que y2 > y1, o η = y2/y1 > 1; por tanto, de la

Ecuación 16.35:

Fr21 =

1

2η

η+1

⇒ Fr1 > 1 . (16.38)

Es decir, para que no se viole la ecuación de conservación de la energía esnecesario que el flujo aguas arriba (en (1)) sea supercrítico.

4La última igualdad no es inmediata; para pasar al tercer miembro, hay que hacer algu-nas manipulaciones, sencillas pero largas, en el segundo, usando las ecuaciones de conti-nuidad y cantidad de movimiento.

Tema 7

Flujo en láminas delgadas ylubricación

17

Flujo en láminas delgadas ylubricación

El análisis que se hace en este capítulo puede considerarse una generaliza-ción de los flujos unidireccionales del Capítulo 14. En aquél, el fluido se mo-vía estrictamente en una única dirección, y por tanto la velocidad no teníacomponente en la dirección transversal a la del movimiento. En este capí-tulo, aunque el fluido puede tener una componente transversal a la direc-ción principal del flujo, esta componente será mucho menor que la princi-pal. Además, impondremos que las fuerzas viscosas sean dominantes sobrelas de inercia (en el Capítulo 14, esta imposición no era necesaria pues el tér-mino convectivo era idénticamente nulo). Como consecuencia, se obtendráque la presión motriz es prácticamente constante en la sección transversalal flujo (era estrictamente constante en flujo estrictamente unidireccional).

Las condiciones descritas se dan a menudo en el flujo entre dos placas o su-perficies con movimiento relativo que están separadas una distancia que espequeña comparada con las dimensiones de las mismas.

Una aplicación práctica muy frecuente se da cuando la misión del flujo en-tre las superficies es justamente mantenerlas separadas y facilitar su movi-miento relativo. Esta aplicación, de gran relevancia en Ingeniería Mecánica,recibe el nombre de lubricación fluidodinámica. Por ser la aplicación quizásmás utilizada de la teoría desarrollada en este capítulo, frecuentemente seconoce esta teoría con ese nombre.

Sin embargo, las aplicaciones de los métodos que se exponen en este capí-

293

294 Flujo en láminas delgadas y lubricación

Ua

Ub

a = cte

b

ah = h(a,b,t)

y

h/t

b = cte

Figura 17.1: Problema considerado

tulo son más generales que la lubricación fluidodinámica en Ingeniería Me-cánica1.

17.1 Situación considerada y ecuaciones

Donde establecemos la condición esencial para la teoría de este capítulo (que lalámina de fluido sea delgada), y presentamos las ecuaciones que gobiernan elflujo en coordenadas curvilíneas.

En este capítulo estudiaremos el movimiento de un fluido entre dos superfi-Dos placas, y coordenadascurvilíneas cies sólidas separadas por un fluido de densidadρ = cte. De forma genérica,

estas superficies se han representado en la Figura 17.1. Consideraremos quelas placas pueden ser alabeadas; y por tanto utilizaremos coordenadas ge-neralizadas (curvilíneas) para describir el espacio entre ellas ocupado por elfluido2. Llamaremos α y β a las coordenadas a lo largo de las placas, e y a lacoordenada en la dirección que separa las placas. Supondremos que una deCrucial: y es coordenada

transversal las placas (por ejemplo la superior, sin pérdida de generalidad) se mueve enla dirección α con velocidad Uα, y en la dirección β con velocidad Uβ .

1De hecho, no abordaremos el estudio con esta teoría del flujo en cojinetes, que es qui-zás el escenario más clásico de lubricación fluidodinámica.

2Antes de que salga corriendo a buscar el desfibrilador más cercano, le avisamos de quelas únicas coordenadas que usaremos (prácticamente) son cartesianas y cilíndrico-polares.

17.1. Situación considerada y ecuaciones 295

La distancia que separa las placas es h (α,β , t ), y es por tanto en general fun- Separación mucho menorque longitudción del espacio y del tiempo (las placas pueden alejarse o acercarse, para-

lelamente a sí mismas, con velocidad h = ∂ h/∂ t ). Supondremos que la dis-tancia máxima de separación, digamos H , es mucho menor que la longitudL de las placas en cualquiera de sus dimensiones, H L .

Simplificaremos las ecuaciones que gobiernan este flujo eliminando los tér-minos que son mucho menores que otros. Para descubrir cuáles son, realiza-remos un análisis de órdenes de magnitud. Para ello, necesitamos conside- Valores característicos de

las variablesrar valores característicos para las variables que intervienen en el problema.Estos valores son, en este caso, los siguientes:

El valor característico de la velocidad del fluido en las dos direccionesα y β , uα y uβ , será U (a efectos del análisis de órdenes de magnitud,considere por ejemplo que U =max(Uα,Uβ )).

Llamaremos V a un valor característico de la velocidad en direccióntransversal a las placas; el valor de V es de momento desconocido, peroen breve estimaremos su orden de magnitud.

La longitud característica en la dirección de las placas será L , la longi-tud de las propias placas. Si ésta es distinta en las dos dimensiones delas placas, podemos tomar por ejemplo L =mın(Lα, Lβ ).

La longitud característica en dirección y será H , por ejemplo la distan-cia de separación h máxima.

El tiempo característico del problema será t0. (Éste sería, por ejemplo,el tiempo que tardarían las placas en desplazarse en dirección verticalla distancia que las separa.)

La diferencia de presión motriz característica en dirección de las placasserá ∆αp ∗ en dirección α, y análogamente en dirección β . (Esta dife-rencia de presiones está frecuentemente impuesta por las condicionesde contorno, y por tanto es dato.)

La diferencia de presión (motriz) característica en dirección transver-sal a las placas será∆y p ∗. (Esta diferencia de presiones no es conocidaa priori, pero pronto estimaremos su orden de magnitud.)

La densidad y la viscosidad serán consideradas constantes, y por tantosus valores característicos son ρ y µ.


y α βCoordenada y r θFactor métrico g 1 1 r

Tabla 17.1: Coordenadas cilíndrico-polares y sus factores métricos

A continuación se listan la ecuaciones de conservación en coordenadas cur-Ecuaciones y órdenes demagnitud vilíneas para este flujo de densidad constante. Encima de cada término se

indica la nomenclatura que se usará en esta sección para referirnos a él deforma concisa, y debajo el orden de magnitud del término en base a los valo-res característicos correspondientes de cada una de las variables que se aca-ban de definir (más adelante se indica cómo se determinan estos órdenes demagnitud).

En las ecuaciones, gα y gβ son los factores métricos de las coordenadas cur-vilíneas respectivas (ver Apéndice A para más detalles). Típicamente, usa-remos coordenadas cartesianas o cilíndrico-polares3; en cartesianas, todoslos factores geométricos son 1; en cilíndrico-polares, las coordenadas y susfactores métricos son las de la Tabla 17.1.

El orden de magnitud de los términos es fácil de calcular. Considere porEjemplo de cálculo de or-den de magnitud ejemplo el término [cmα:D]. Éste representa la derivada del producto ρuαv

en la dirección transversal y . Si, digamos, una variación típica de uα es∆uα ≈U −0=U , y similarmente∆v ≈V −0=V y∆y ≈H , entonces

[cmα:D]≈ρ(U −0)(V −0)

H=ρ

U V

H.

Las ecuaciones en coordenadas curvilíneas son:

Ecuación de continuidad:

[c:A]︷︸︸︷

1

gαgβ1

∂ (gβ1uα)

∂ α︸︷︷︸

U /L

+

[c:B]︷︸︸︷

1

gαgβ1

∂ (gα1uβ )

∂ β︸︷︷︸

U /L

+

[c:C]︷︸︸︷

1

gαgβ1

∂ (gαgβv )

∂ y︸︷︷︸

V /H

= 0 (17.1)

3Ocasionalmente, se usan también coordenadas cónicas y esféricas.

17.2. Análisis de órdenes de magnitud y simplificaciones 297

Ecuación de cantidad de movimiento, en dirección α (igualmente endirección β , intercambiando α↔β ):

[cmα:A]︷︸︸︷

∂ ρuα∂ t

︸︷︷︸

ρU /t0

+

[cmα:B]︷︸︸︷

1

gαgβ1

∂ gβ1ρuαuα∂ α

︸︷︷︸

ρU U /L

+

[cmα:C]︷︸︸︷

1

gαgβ1

∂ gα1ρuαuβ∂ β

︸︷︷︸

ρU U /L

+

[cmα:D]︷︸︸︷

1

gαgβ1

∂ gαgβρuαv

∂ y︸︷︷︸

ρU V /H

=−

[cmα:E]︷︸︸︷

1

gα

∂ p ∗

∂ α︸︷︷︸

∆αp ∗/L

+

[cmα:F]︷︸︸︷

µ

gαgβ1

∂ 2 gβ1gα

uα

∂ α2

︸︷︷︸

µU /L 2

+

[cmα:G]︷︸︸︷

µ

gαgβ1

∂ 2 gα1gβ

uα

∂ β 2

︸︷︷︸

µU /L 2

+

[cmα:H]︷︸︸︷

µ

gαgβ1

∂ 2 gαgβ1 uα∂ y 2

︸︷︷︸

µU /H 2

(17.2)

Ecuación de cantidad de movimiento, en dirección y :

[cmy:A]︷︸︸︷

∂ ρv

∂ t︸︷︷︸

ρV /t0

+

[cmy:B]︷︸︸︷

1

gαgβ1

∂ gβ1ρv uα∂ α

︸︷︷︸

ρV U /L

+

[cmy:C]︷︸︸︷

1

gαgβ1

∂ gα1ρv uβ∂ β

︸︷︷︸

ρV U /L

+

[cmy:D]︷︸︸︷

1

gαgβ1

∂ gαgβρv v

∂ y︸︷︷︸

ρV V /H

=−

[cmy:E]︷︸︸︷

∂ p ∗

∂ y︸︷︷︸

∆y p ∗/H

+

[cmy:F]︷︸︸︷

µ

gαgβ1

∂ 2 gβ1gα

v

∂ α2

︸︷︷︸

µV /L 2

+

[cmy:G]︷︸︸︷

µ

gαgβ1

∂ 2 gα1gβ

v

∂ β 2

︸︷︷︸

µV /L 2

+

[cmy:H]︷︸︸︷

µ

gαgβ1

∂ 2 gβ gα1 v

∂ y 2

︸︷︷︸

µV /H 2

(17.3)

En la sección siguiente se analizan los órdenes de magnitud de cada término,y se simplifican las ecuaciones a partir de ellos.

17.2 Análisis de órdenes de magnitud ysimplificaciones

Donde, gracias al análisis de órdenes de magnitud, simplificamos sustancial-mente las ecuaciones hasta el punto de hacerlas (casi) tratables analíticamente


17.2.1 Ecuación de continuidadLos términos [c:A] y [c:B] de la ecuación de continuidad tienen el mismo or-den de magnitud. El término [c:C] es por tanto a lo sumo del mismo orden,y entonces la velocidad característica en dirección transversal es del orden:

U

L∼

V

H⇒V ∼

H

LU . (17.4)

Ya que H /L 1, una consecuencia importante de este análisis es por tantoque V U , es decir, la componente transversal de la velocidad es muchoImportante: V U

menor que las componentes en las direcciones de las placas.

17.2.2 Ecuación de cantidad de movimiento en la direcciónde las placasEn la ecuación de cantidad de movimiento en direcciónα, Ecuación 17.2, losTérminos viscosos longi-

tudinales mucho menoresque transversal

términos viscosos [cmα:F] y [cmα:G] son claramente mucho menores que eltérmino [cmα:H], pues los dos primeros son del orden de 1/L 2 mientras queel tercero es de orden 1/H 2.

Por otro lado, los dos términos convectivos [cmα:B] y [cmα:C] son del mismoTodos los términos convec-tivos del mismo orden orden. El término [cmα:D] es también de ese orden. Para comprobarlo basta

con sustituir V por su orden de magnitud de la Ecuación 17.4:

ρU

HV =ρ

ρU

H

H U

L=ρU 2

L. (17.5)

A continuación, exigiremos que estos términos convectivos, que son todosCondición para convecti-vos viscosos del mismo orden, sean mucho más pequeños que el viscoso [cmα:H]. Para

ello ha de cumplirse que:

ρU 2

Lµ

U

H 2⇒ρU H

µ

H

L 1 . (17.6)

El cociente ρU H /µ es un número de Reynolds R eH basado en Uα o Uβ y enH .

A continuación deduciremos la condición para que el problema sea cuasi-estacionario4, es decir, para que el término transitorio [cmα:A] en la ecua-ción de cantidad de movimiento sea despreciable frente al término viscosoCondición para cuasi-

estacionario4Note que el problema no es estacionario, en general, ya que las placas se están acer-

cando o alejando.


[cmα:H]. Para ello, ha de cumplirse:

ρU

t0µ

U

H 2⇒ t0

ρH 2

µ. (17.7)

Reteniendo el término de gradiente de presión, cuyo orden de magnitud Retenemos gradiente depresiónvendrá a menudo impuesto por una condición de contorno en las direccio-

nes α y β de las placas, la ecuación de cantidad de movimiento en dirección Cantimov en dir α

α queda:

−1

gα

∂ p ∗

∂ α+µ∂ 2uα∂ y 2

= 0 . (17.8)

La ecuación de movimiento en dirección β se analizaría similarmente, coniguales consecuencias. El resultado es: Cantimov en dir β

−1

gβ

∂ p ∗

∂ β+µ∂ 2uβ∂ y 2

= 0 . (17.9)

17.2.3 Ecuación de cantidad de movimiento en la direccióntransversalLa ecuación de cantidad en la dirección y transversal a las placas puede ana- Análisis parecido

lizarse utilizando las mismas técnicas anteriores. En particular, se concluyeque:

El término viscoso transversal [cmy:H] es dominante frente a los lon-gitudinales [cmy:F] y [cmy:G].

La condición para que los términos convectivos sean despreciablesfrente a los viscosos es la misma que para la ecuación de cantidad demovimiento en dirección longitudinal (Ecuación 17.6).

La condición de cuasi-estacionareidad es la misma (Ecuación 17.7).

Con ello, y dado que el término en gradientes de presión [cmy:E] es a lo sumo Dir trans: grad p del ordende viscosodel orden de magnitud del término viscoso [cmy:H] (dado que son los dos

únicos que sobreviven), resulta que la diferencia de presión característicaen dirección transversal es:

∆y p ∗

H∼µ

V

H 2. (17.10)


En dirección longitudinal, las diferencias de presión son del orden (compa-Similarmente dir longitu-dinal rando los términos [cmα:E] y [cmα:H]):

∆αp ∗

L∼µ

U

H 2. (17.11)

Combinando ambas ecuaciones, y usando la Ecuación 17.4 para el orden deVariación de p en dir y que en dir longitudinal magnitud de V , resulta que las diferencias de presión en dirección transver-

sal son mucho menores que en las direcciones longitudinales:

∆y p ∗ ∼∆αp ∗

H

L

2

∆αp ∗ . (17.12)

Por ello, es frecuente asumir, en flujos en estas condiciones, que las presionesPor tanto∆y p ∗ ≈ 0

en dirección transversal no varían. Por tanto asumiremos que∆y p ∗ ≈ 0, y laecuación de cantidad de movimiento en dirección transversal queda:

∂ p ∗

∂ y= 0 . (17.13)

Note que esta conclusión es idéntica a la que se obtuvo para flujos unidirec-Compare con flujo unidir

cionales en el Capítulo 14: la presión motriz es uniforme en la sección trans-versal al flujo. La igualdad era, sin embargo, estricta en el caso en el que elflujo era estrictamente unidireccional, mientras que es aproximada en esteflujo en el que la componente transversal de la velocidad es pequeña, perono necesariamente nula.

17.2.4 Resumen de las ecuacionesCon las consideraciones anteriores, las ecuaciones de cantidad de movi-miento quedan:

−1

gα

∂ p ∗

∂ α+µ∂ 2uα∂ y 2

= 0 (17.14)

−1

gβ

∂ p ∗

∂ β+µ∂ 2uβ∂ y 2

= 0 ; (17.15)

∂ p ∗

∂ y∼ 0 . (17.16)

Las ecuaciones anteriores son sólo válidas cuando se cumplen las condicio-Ojo a condiciones


nes en las que se han deducido. En particular, han de cumplirse las condi-ciones geométricas, de dominancia de las fuerzas viscosas (Ecuación 17.6) yde cuasi-estacionareidad (Ecuación 17.7); respectivamente:

H

L 1 ;

ρU H

µ

H

L 1 ; t0

ρH 2

µ. (17.17)

Veremos en la subsección siguiente que, con las dos primeras ecuaciones(Ecuación 17.14 y Ecuación 17.15) es posible calcular los perfiles de veloci-dad y los caudales entre las placas, salvo por los gradientes de presión queseguirán siendo desconocidos. El cálculo del campo de presiones, y su gra-diente, se hace, habitualmente, con las técnicas que se detallarán después, yque se basan en la ecuación de Reynolds de la lubricación.

17.2.5 Velocidades y caudalesLa Ecuación 17.8, de cantidad de movimiento en dirección transversal, pue-de integrarse de movimiento en dirección y teniendo en cuenta que ∂ p ∗/∂ α Integración de cantimov

para dar la velocidadno depende de y (Ecuación 17.13), resultando un perfil parabólico para lavelocidad en dirección α:

∂ 2uα∂ y 2

=1

µgα

∂ p ∗

∂ α⇒ uα =

1

µgα

∂ p ∗

∂ α

y 2

2+Ay +B . (17.18)

Las constantes de integración A y B se calculan aplicando condiciones decontorno en y ; en este caso:

uα(y = 0) = 0 ⇒ B = 0 ; (17.19)

uα(y = h ) =Uα ⇒ A =−1

µgα

∂ p ∗

∂ α

h

2+

Uαh

. (17.20)

Por tanto, el perfil de velocidad en dirección α es: Velocidad uα

uα =1

2µgα

∂ p ∗

∂ αy

y −h

+Uαy

h. (17.21)

Como se puede apreciar en esta ecuación, la velocidad del fluido entre lasplacas es la superposición de dos contribuciones diferenciadas. El primertérmino del segundo miembro es un perfil parabólico en y (de Hagen-Poiseuille), originado por el gradiente de presiones; el segundo, es un perfiltriangular (de Couette), cuya causa es el movimiento de la placa superior.


a

b

1

Figura 17.2: Caudal en dirección α por unidad de anchura en dirección β

El caudal qα que atraviesa el espacio entre las placas en dirección α (FiguraEl caudal integrando

17.2) puede calcularse integrando la velocidad anterior en y ; lo calcularemospor unidad de anchura según β (por tanto, d A = 1d y ):

qα =

∫ h

0

uα1d y =−h 3

12µgα

∂ p ∗

∂ α+Uα

h

2. (17.22)

Implícitamente se ha supuesto al aplicar las condiciones de contorno (Ecua-Si se mueve la placa supe-rior ciones 17.19 y 17.20) que la placa que se mueve es la superior, mientras que

la inferior está fija. Para la situación contraria (placa inferior móvil y superiorfija), el mismo procedimiento resultaría en el perfil de velocidad:

uα =1

2µgα

∂ p ∗

∂ αy

y −h

+Uα

1−y

h

, (17.23)

y, obviamente, el mismo caudal5.

Para el perfil de velocidades y caudal según β , uβ (y ) y qβ , los resultados an-teriores son aplicables sin más que intercambiar α↔β .

En las ecuaciones de esta sección, sin embargo, aparece el término de gra-Pero no tenemos el gra-diente de presión diente de presión en la dirección de las placas, ∂ p ∗/∂ α (y el correspondien-

te en dirección β , ∂ p ∗/∂ β ) que es desconocido (sabemos, sin embargo, queno depende de y ). En el apartado siguiente se presentará un método paracalcular la presión. Con ello, el problema del flujo entre las placas quedarácompletamente resuelto.

5Como un sencillo ejercicio, puede calcular perfil y caudal cuando se mueven ambasplacas.

17.3. La ecuación de Reynolds de la lubricación 303

F1

F2

F3

F4

h

g daa

g dbb

Figura 17.3: Volumen infinitesimal limitado por las placas

17.3 La ecuación de Reynolds de la lubricación

Donde haciendo un balance de masa obtenemos una ecuación diferencial quepermite calcular la presión: la ecuación de Reynolds

La ecuación de Reynolds de la lubricación surge de hacer un balance de ma- Balance de masa

sa (o aplicar la ecuación de continuidad, si prefiere) a un volumen infinite-simal entre las placas, de altura h (la separación entre las placas) y de baseun diferencial de área, gαdαgβdβ (6 (Figura 17.3). El balance de masa se ha-rá considerando el gasto másico que atraviesa cada una de las cuatro caraslibres del volumen (las dos caras que coinciden con las placas no son atra-vesadas por el fluido).

El gasto Φ1 por la cara izquierda (Figura 17.3) es: Primera cara en dir α

Φ1 =ρqαgβdβ , (17.24)

donde qα es el caudal que circula entre las placas en dirección α por unidadde longitud en dirección β (Ecuación 17.22).

6Por qué gα, gβ ? Dado que α y β son coordenadas curvilíneas, las distancias asociadasa cambios dα y dβ son gαdα y gβdβ .


El gasto por la cara opuesta (la derecha en la figura), Φ2, lo calcularemos me-Segunda cara en dir α conTaylor diante un desarrollo en series de Taylor (hasta términos de orden 1):

Φ2 =Φ1+1

gα

∂ Φ1

∂ αgαdα . (17.25)

Procediendo igualmente en las caras normales a la dirección β :Caras en dir β

Φ3 =ρqβgαdα ; (17.26)

Φ4 =Φ3+1

gβ

∂ Φ3

∂ βgβdβ . (17.27)

La variación de masa m en el volumen, debida al cambio del mismo (y, enCambio de masa en el volu-men su caso, al cambio en la densidad si no fuera constante), es:

d m

d t=

dρV

d t=∂

ρhgαdαgβdβ

∂ t. (17.28)

Por conservación de la masa, este cambio ha de ser igual a la suma de losBalance

gastos másicos entrantes al volumen (Φ1,Φ3) menos los salientes (Φ2,Φ4):

∂

ρhgαdαgβdβ

∂ t=Φ1−Φ2+Φ3−Φ4 ; (17.29)

Insertando los valores de los flujos, queda:Operando

∂

ρhgαdαgβdβ

∂ t=−1

gα

∂

∂ α

ρqαgβdβ

gαdα−1

gβ

∂

∂ β

ρqβgαdα

gβdβ .

(17.30)

Simplificando dα y dβ queda la ecuación de Reynolds de la lubricación:Ec de Reynolds

∂

∂ t

ρhgαgβ

+∂

∂ α

ρqαgβ

+∂

∂ β

ρqβgα

= 0 . (17.31)

El valor de la ecuación de Reynolds es que sirve de ecuación adicional conInterés

la que calcular el campo de presiones (aunque no se vea explícitamente enla ecuación anterior): sustituyendo los valores de los caudales qα y qβ por laexpresión deducida en la Ecuación 17.22 y (la análoga para qβ ) queda unaecuación diferencial en derivadas parciales en la que la única incógnita es lapresión.

17.3. La ecuación de Reynolds de la lubricación 305

Para resolver el problema quedan por especificar condiciones de contorno Condiciones de contornopara p o q(en α y β ) para la ecuación de Reynolds, Ecuación 17.31. Las condiciones de

contorno más habituales son aquéllas en las que la presión es conocida (porejemplo, en un contorno abierto a un reservorio de presión), o aquéllas en lasque el caudal es conocido (por ejemplo, una inyección de caudal o una paredsólida, en la que el caudal es cero). Note que una condición de contorno decaudal no es (ver Ecuación 17.22) sino una condición de contorno para laderivada de la presión.

Si una parte del contorno está descrito por la superficie dada por la ecuaciónC (α,β ) = 0, la condición de contorno será por tanto, típicamente, una de lassiguientes:

(a) p ∗

α,β

= p0, conocida, en C

α,β

= 0; o bien:

(b) Caudal ~q · ~n = nαqα+nβqβ = q0, dato en el contorno C

α,β

= 0 (siendo~n = (nα, nβ , 0) la normal a la superficie).

Para resolver un problema utilizando la ecuación de Reynolds y la teoría de lubri-cación, los pasos a seguir son típicamente los siguientes (Naturalmente puedenvariar, dependiendo del problema y de lo que se necesite calcular como resulta-do.).

1. Escogemos cuidadosamente los ejes coordenados del problema (α, β , y ),teniendo en cuenta que la dirección y debe ser, para usar la nomenclaturade este capítulo, la que separa las placas.

2. Determinamos gα, gβ , Uα, Uβ .

3. Establecemos si hay simetrías en el problema que permitan eliminar deri-vadas (por ejemplo, ∂

⊙

/∂ β = 0 ?).

4. Calculamos los caudales por unidad de longitud qα, qβ .

5. Los introducimos en la ecuación de Reynolds, y la simplificamos si pode-mos.

6. Establecemos las condiciones de contorno; éstas serán típicamente caudalo de presión.


L

Ux

y

p1

h0

1

p0

Figura 17.4: Cuña lineal

7. Integramos la ecuación de Reynolds para calcular p , poniendo especialcuidado en las dependencias de h: ¿depende h de t , o de α o de β?; y apli-camos las condiciones de contorno para determinar las constantes.

8. Con ∂ p/∂ α y ∂ p/∂ β , calculamos qα, qβ , uα, uβ .

9. Con p (α,β ), calculamos, integrando, las fuerzas sobre las placas en direc-ción y .

10. Con uα, uβ , calculamos los esfuerzos en sobre las placas e integrando lasfuerzas en dirección α y β .

En el resto de este capítulo veremos la aplicación de las ecuaciones de la teo-ría de lubricación para algunas configuraciones típicas sencillas, siguiendolos pasos anteriores.

17.4 Cuña lineal y efecto de sustentación

17.4. Cuña lineal y efecto de sustentación 307

Donde vemos que, en ciertas configuraciones, uno de los efectos de la lubricaciónes una fuerza que tiende a separar las placas, y que es mucho mayor que la fuerzanecesaria para moverlas

La cuña lineal es una configuración (bidimensional), como la de la figura En qué consiste la cuña li-neal17.4, en la que las dos placas son planas, pero tienen una inclinación relati-

va. Una de las placas, digamos la inferior, se mueve paralelamente a sí mismacon una velocidad U . En los extremos de las placas hay unas presiones da-das (por ejemplo p0 y p1). Supondremos que las fuerzas másicas gravitatoriaspueden ser ignoradas (p ∗ = p en las ecuaciones).

Para resolver el problema, seguimos en general los pasos indicados en la sec-ción anterior7.

17.4.1 Campo de presiones, y efecto sustentadorPara calcular el flujo entre las placas utilizaremos coordenadas cartesianas: Elegimos coordenadas

α= x , gα = 1, Uα =U , β = z , gβ = 1, Uβ = 0. Por ser el problema bidimensio-nal, ∂

⊙

/∂ z = 0.

Según la Ecuación 17.22, el caudal entre las placas es: Calculamos el caudal, salvo∂ p∂ x

qx =−h 3(x )12µ

d p

d x+

U h (x )2

, (17.32)

donde hemos usado derivadas totales y no parciales porque para este pro-blema p no es función de z (ni tampoco de y , como en todos los flujos deeste capítulo). Hemos puesto explícitamente la dependencia de h con x pararecalcarla.

Como se ha indicado en la sección anterior, la presión se calcula insertando Ec de Reynolds

la expresión para el caudal en la ecuación de Reynolds, Ecuación 17.31. Pa-ra densidad constante y coordenadas cartesianas, la ecuación de Reynoldsqueda:

∂ h (x )∂ t

+∂ qx

∂ x+∂ qz

∂ z= 0 . (17.33)

Teniendo en cuenta que el primer término es cero (h varía con x , pero no Simplificamos e integra-mos una vez

7Sin embargo, para este problema, usamos algún atajo para llegar de forma más sencillaa la solución.


con t ), y el último también (nada depende de z ):

∂ qx

∂ x= 0⇒ qx =C , (17.34)

siendo C una constante de integración; o, con la Ecuación 17.32 para el cau-Introducimos expresióncaudal dal:

−h 3(x )12µ

d p

d x+

U h (x )2

=C . (17.35)

Despejando de la última ecuación:Despejamos caudal paraintegrar de nuevo

d p

d x=

12µ

h 3(x )

U h (x )2

−C

. (17.36)

Para integrar de nuevo en x , es necesario poner h en función de x , (o d x enO h o x , pero no ambas

función de d h). Para la configuración en estudio ambas cosas son triviales;de la configuración de la Figura 17.4, h (x ) vale:

h (x ) = h0−h0−h1

Lx ⇒ d h =−

h0−h1

Ld x . (17.37)

Sustituyendo e integrando entre x = 0 y x = L , donde la presión es conocida,Integramos con inteligen-cia obtenemos la constante de integración C (que es también el caudal qx ). Co-

mo paso intermedio, sin embargo, integraremos sólo hasta x , lo que resultaen la distribución de presiones (salvo la constante C desconocida):

p (x )−p0 =

∫ x

0

12µ

h 3

U h

2−C

d x

=

∫ h

h0

12µ

h 3

U h

2−C

−L

h0−h1d h

= −6µUL

h0−h1

∫ h

h0

d h

h 2+12µC

L

h0−h1

∫ h

h0

d h

h 3. (17.38)

Por tanto, la distribución de presiones es:Distribución de presiones,pero con constante C

p (x )−p0 =6µU L

h0−h1

1

h (x )−

1

h0

−6µC L

h0−h1

1

h 2(x )−

1

h 20

. (17.39)

La constante C (que, de acuerdo con la Ecuación 17.34, es también el caudalCalculamos C de una for-ma no habitual


entre las placas, qx ), puede calcularse particularizando para x = L (y h = h1);entonces la presión p (x ) del lado izquierdo es p (L ) = p1, y, despejando:

C = qx =h 2

0 h 21

6µL (h0+h1)

6µU L

h0h1+

p0−p1

, (17.40)

que, sustituida en la Ecuación 17.39 completa la descripción del campo depresiones y la solución del problema.

En lo que sigue supondremos que p0 = p1. Aunque este caso es (ligeramente) Para p0 = p1

menos general, las expresiones son mas sencillas, y los resultados son cuali-tativamente iguales. En estas condiciones, el caudal es: Caudal

qx =h0h1

h0+h1U . (17.41)

La variación de presión a lo largo de las placas (dado por la Ecuación 17.39) Soluciones a lo largo de lasplacasse ha dibujado de forma cualitativa en la Figura 17.5, junto con el perfil de

velocidades (dado por la Ecuación 17.21). Con el gradiente de presiones, da-do por la Ecuación 17.21, las tres ecuaciones que involucradas en la gráficason:

u

y

=1

2µ

d p

d xy

y −h

+U

1−y

h

d p

d x=

12

h 3µ

U h

2−qx

p (x )−p0 =−6µU L

h0−h1

1

h−

1

h0

−6µqx L

h0−h1

1

h 2−

1

h 20

En el campo de presiones aparecen dos zonas en las que el gradiente tiene El rol de d p/d x

signos distintos, con un máximo en un punto intermedio.

Entre la entrada (A) y el máximo en (B), el gradiente de presiones espositivo, y en la ecuación de la velocidad el perfil de Hagen-Poiseuillese resta con el de Couette.

En un cierto punto intermedio (B), el gradiente de presiones se hacecero, y por tanto la única contribución al flujo es la de Couette.

En la zona entre (B) y la salida (C), el gradiente de presiones es negativo,y las contribuciones de Couette y Hagen-Poiseuille al flujo se suman.


p1

BA

C

p2

x

dp/dx=0

p2

Figura 17.5: Presiones y velocidades (cualitativas) en la cuña lineal

Una consecuencia de esta configuración es que la presión es mayor en elSustentación!

centro de la cuña que en los extremos (ver Figura 17.5); el campo de pre-siones tiende por tanto a separar las placas, lo que se conoce como efectosustentador.

17.4.2 Fuerzas sobre la cuña

A continuación deduciremos la fuerza en dirección y que actúa sobre placaFuerzas en cuestión

superior (fuerza sustentadora) y la fuerza en dirección x que actúa sobre laplaca inferior (fuerza motora). La Figura 17.6 muestra el diferencial de su-perficie, y las normales involucradas en el cálculo8.

Calcularemos en primer lugar la fuerza necesaria para mover la placa infe-Fuerza motriz

8 El sentido de las normales es el que da la fuerza sobre la placa.


dSx

y

a

dSn

n

Figura 17.6: Fuerzas sobre la cuña

rior. Sobre el elemento diferencial de superficie, esta fuerza es:

d ~F = ~n · ~~τ

y=0d S , (17.42)

cuya componente en dirección x , teniendo en cuenta que ~n = (0, 1) en la Cálculo del esfuerzo

placa inferior, es:

d Fx =µ

τx y

y=0d S =µ

∂ u

∂ y+∂ v

∂ x

y=0

d S ≈µ

∂ u

∂ y

y=0

d S . (17.43)

En la segunda igualdad se ha tenido en cuenta que, según el análisis de ór-denes de magnitud de la Sección 17.2, ∂ u/∂ y ∂ v /∂ x . Utilizando el perfilde velocidades calculado en la Ecuación 17.21, y poniendo d S = 1d x :

d Fx =−

µU

h+

h

2

d p

d x

d x . (17.44)

Insertando el gradiente de presión de la Ecuación 17.36 e integrando para Integración

calcular la fuerza total, queda:

Fx =

∫ L

0

−

µU

h+

h

2

d p

d x

d x =

= −∫ L

0

µU

h+

h

2

12

h 3µ

uh

2−qx

d x =

=L

h0−h1

4µU ln

h1

h0

+6µqx

1

h1−

1

h0

. (17.45)


Para el caso p0 = p1, con el caudal calculado en la Ecuación 17.41, la fuerzavale:

Fx = 2µUL

(h0−h1)

−2 ln

h0

h1

+3h0−h1

h0+h1

(17.46)

A continuación calcularemos la fuerza en dirección y que actúa sobre la pla-Fuerza sustentadora

ca superior. Puesto que la normal es ~n = (−sinα,−cosα), la componente endirección y del esfuerzo sobre los planos orientados según la placa superiores:

~n · ~~τ

· ~j =−τx y sinα−τy y cosα=

=−µ

∂ u

∂ y+∂ v

∂ x

sinα+

(p −p0)−2µ∂ v

∂ y

cosα . (17.47)

Por ser el ángulo α muy pequeño (ya que L h0, h1), se puede aproximarcosα ≈ 1 y sinα ≈ ∆h/L , siendo ∆h = h0 − h1. Con los órdenes de magni-tud utilizados en la Sección 17.2, no es difícil comprobar que el término depresión (p −p0) es mucho mayor que el resto9, y por lo tanto es la principalcontribución a la fuerza. En consecuencia, aproximando cosα≈ 1, la fuerzavertical queda:

d Fy = (p −p0)d x , (17.48)

donde hemos puesto d S = 1d x . Note que la presión no depende de y , y portanto no es necesario particularizar para y = h .

Cambiando d x por d h e insertando el valor de la presión:Con perfil de p

d Fy =−(p (x )−p0)L

h0−h1d h =

=

−6µL 2

(h0−h1)2

U

1

h−

1

h0

+qx

1

h 2−

1

h 20

d h ;

e integrando para calcular la fuerza total:Integrando

Fy =

∫ h1

h0

d Fy =

=6µL 2

(h0−h1)2

U

lnh1

h0−

h1−h0

h0

+qx

h1−h0

h0h1+

h0−h1

h 20

.

9 Compruebe que los órdenes de magnitud de los sumandos de la Ecuación 17.47 sonrespectivamente µU /L , µU (∆h )2/L 3, µU L/(∆h )2, µU /(∆h ). El tercero, que es el del tér-mino (p −p0)cosα, es claramente el dominante.

17.5. Lubricación fluidostática 313

Con qx calculado para p0 = p1, la fuerza es:

Fy = 6µU

L

h0−h1

2

lnh0

h1−2

h0−h1

h0+h1

(17.49)

Como se aprecia comparando las Ecuaciones 17.49 y 17.46, la fuerza susten- Fy Fx

tadora es mucho mayor que la fuerza motriz:

Fy ∼

L

h0−h1

2

Fx ∼

L

h0−h1

. (17.50)

17.5 Lubricación fluidostática

Donde, usando la metodología anterior, estudiamos la lubricación fluidostática,en la que la inyección de un fluido en una capa delgada mantiene separadas dossuperficies

La configuración de la figura 17.7 recibe el nombre de lubricación fluidostá- Situación

tica. Las placas, sobre una de las cuales suponemos que hay una carga queejerce una fuerza F , se mantienen separadas mediante la inyección de unfluido por el eje de una de ellas. La presión de alimentación del fluido es p0,y en la descarga hay presión atmosférica pa t .

Supondremos que las placas son circulares, por lo que usaremos coordena- Coordenadas y factoresmétricosdas cilíndrico-polares. Por tanto, α= r , gα = 1, Uα = 0, β = θ , gβ = r , Uβ = 0:

Los caudales valen (Ecuación 17.22): Caudales

qr =−h 3

12µg r

∂ p

∂ r+Ur

h

2=−h 3

12µ

∂ p

∂ r; (17.51)

qθ =−h 3

12µgθ

∂ p

∂ θ+Uθ

h

2= 0 , (17.52)

ya que ∂⊙

/∂ θ = 0.

Insertando los caudales en la ecuación de Reynolds: Ec Reynolds


R

F

h0

p0

pat pat

R1

2

Figura 17.7: Lubricación fluidostática (R1R2 exagerado en la figura)

∂

∂ t(r h )+

∂

∂ r

−r h 3

12µ

∂ p

∂ r

= 0 , (17.53)

donde el primer término es nulo ya que h no depende del tiempo.

Simplificando la ecuación anterior, e integrando dos veces10:Simplificamos e integra-mos

d

d r

rd p

d r

= 0⇒ rd p

d r= A⇒ p = A ln r +B . (17.54)

El valor de las constantes de integración se determina mediante la aplicaciónCondiciones de contorno

de condiciones de contorno en dirección r , que en este caso son sobre lapresión (Figura 17.7): p (r = R1) = p0; p (r = R2) = pa t . Note que la condicióninterior es en r = R1; entre r = 0 y r = R1 el flujo no es cuasi-unidireccional,y la teoría de lubricación no es aplicable (supondremos p = p0 en esa zona).Por tanto:

P0 = A ln R1+B ; Pa t = A ln R2+B . (17.55)

Resolviendo para calcular las constantes, e insertándolas en la ecuación paraFinalmente, ley para la pre-sión entre las placas

10Cuando una de las condiciones de contorno es sobre el caudal y otra sobre la presión,puede ser más eficiente integrar una sola vez, imponer esa condición, y luego integrar denuevo para imponer la segunda.

17.6. Aplastamiento de lámina 315

la presión, queda:

p (r )−pa t =

p0−pa t

ln r /R2

ln R1/R2(17.56)

El caudal radial, por unidad de longitud en dirección angular, vale por tanto: Caudal, pu longitud y total

qr =−h 3

12µr

p0−pa t

ln (R1/R2), (17.57)

y el caudal total que circula entre los discos (igual al caudal inyectado en eleje) es:

Q =

∫ 2π

0

qr r dθ = 2πr qr =πh 3

6µ

p0−pa t

ln (R2/R1). (17.58)

El peso que la placa superior puede sustentar es igual a la fuerza que el fluido Fuerza transversal

ejerce sobre ella; por tanto:

F =πR 21

p0−pa t

+

∫ R2

R1

p −pa t

2πr d r , (17.59)

donde se ha supuesto que, como se ha dicho, la presión hasta r =R1 es cons-tante e igual a p0 (primer sumando del segundo miembro), y que la presiónatmosférica actúa también por el lado de la carga.

Sustituyendo la ley para la variación de la presión entre R1 y R2 de la Ecuación17.56, e integrando11:

F = πR 21

p0−pa t

+

∫ R2

R1

p0−pa t

ln (R1/R2)ln

r

R2

2πr d r

=π

2

R 22 −R 2

1

ln (R2/R1)

p0−pa t

. (17.60)

17.6 Aplastamiento de lámina

11La integral ha de hacerse por partes:∫ R2

R1ln

rR2

r d r =−R 22−R 2

14 − R 2

12 ln

R1R2


h(t)

L

y

x

F

Figura 17.8: Aplastamiento de lámina

Donde estudiamos una segunda configuración sencilla, en la que la lámina del-gada es aplastada por una fuerza, y calculamos la velocidad de acercamientocomo función de ésta

Consideramos ahora el caso en el que dos placas planas paralelas se acercanSituación

(o se alejan) a una velocidad constante V (Figura 17.8). Las placas se consi-derarán rectangulares, e infinitas en dirección perpendicular al papel, y portanto, ∂

⊙

/∂ z = 0. En el plano del papel la longitud de las placas es L , y aambos lados de las mismas hay presión atmosférica.

Para densidad constante y coordenadas cartesianas (α = x , gα = 1,Uα =Coordenadas y ec de Rey-nolds 0,β = z , gβ = 1,Uβ = 0), la ecuación de Reynolds queda:

∂ h

∂ t+∂ qx

∂ x+∂ qz

∂ z= 0 (17.61)

El último término del primer miembro es nulo, y el caudal qx vale (EcuaciónCaudal

17.22):

qx =−h 3

12µ

∂ p

∂ x+Ux

h

2=−

h 3

12µ

d p

d x, (17.62)

Poniendo además ∂ h/∂ t =−V (siendo V la velocidad de acercamiento), laSustituyendo caudal (cui-dado: ∂ h/∂ t 6= 0) ecuación queda:

−V =d

d x

h 3

12µ

d p

d x

. (17.63)

17.6. Aplastamiento de lámina 317

La integración es trivial, y con p = pa t en x = 0 y x = L como condiciones de Integración y CC

contorno, la distribución de presiones es:

p (x ) = pa t +6µV

h 3x (L − x ) . (17.64)

La integral de la distribución anterior sobre la placa es la fuerza necesaria pa- Relación F −V

ra mantener el aplastamiento con velocidad constante −V , y vale, por uni-dad de anchura b perpendicular al papel:

F

b=

∫ L

0

p −pa t

d x =

∫ L

0

6µV

h 3x (L − x )d x =

µV L 3

h 3. (17.65)

El caudal que atraviesa la sección transversal entre las placas en la posición Cálculo del caudal

x es (por unidad de anchura):

q (x )b= qx =

−h 3

12µ

d p

d x=V

x −L

2

. (17.66)

Como se aprecia, depende de x , y es nulo en el plano central x = L/2, comocabría esperar dado que es un plano de simetría.

Finalmente, si las placas fueran circulares, de radio R , el correspondiente Y para placas circulares...

análisis (similar al anterior) da como resultados:

p −pa t m =3µV

h 3

R 2− r 2

; (17.67)

F =3π

2µ

R 4

h 3V ; (17.68)

qr =V r

2; (17.69)

Q = 2πR qr (r =R ) =πV R 2 , (17.70)

siendo Q el caudal total que sale por el borde de las placas.

Tema 8

Aerodinámica y capa límite

18

Aerodinámica externa

En este capítulo analizamos, brevemente, el flujo alrededor de cuerpos queestán inmersos en una corriente uniforme (esto es, una corriente, que lejosde la perturbación introducida por el cuerpo, tiene una velocidad constan-te). Aunque el capítulo se llama aerodinámica, el fluido puede ser cualquiera(agua, en particular, en cuyo caso se hablaría de hidrodinámica).

El capítulo está muy relacionado con el de Capa límite, Capítulo19. La capalímite es la zona del flujo muy próxima a la superficie, en la que la velocidaddel fluido cambia, muy rápidamente, del valor en la corriente libre al valoren la superficie del cuerpo (cero, por ejemplo, si el cuerpo está fijo). Esta ca-pa límite es muy delgada (típicamente menos de un 0.1 % de la longitud delcuerpo). El orden lógico para estudiar la aerodinámica es, posiblemente, elinverso: primero capa límite, y después del flujo alrededor de cuerpos. Sinembargo, el estudio de la aerodinámica externa es más llevadero que el dela capa límite, y al hacerlo en este orden, esperamos que encuentre suficien-te motivación para abordar la capa límite con un mejor conocimiento delcontexto1.

La aerodinámica (e hidrodinámica) son disciplinas extraordinariamente ex-tensas, y tecnológicamente muy desarrolladas. En este capítulo sólo abor-damos algunas cuestiones generales. Tiene a su disposición mucha infor-

1La desventaja es que algunos de los conceptos de capa límite que manejamos, talescomo “gradiente adverso de presión”, “desprendimiento de capa límite” y otros no serándefinidos en detalle hasta más tarde; pero el conocimiento intuitivo de los mismos puedeser suficiente para este capítulo, y siempre puede volver a leerlo tras haber estudiado capalímite.

321

322 Aerodinámica externa

mación, en las bibliotecas y en Internet, para estudiar otros aspectos. Sontambién disciplinas muy visuales, y en Internet tiene también muchos re-cursos gráficos (fotos, vídeos, animaciones) que le ayudarán a comprenderlas ideas esenciales.

18.1 Fuerzas y momentos sobre cuerpos inmersosen una corriente

Donde comprobamos que la mayor parte del trabajo está ya hecho, e introduci-mos algo de nomenclatura

El principal objetivo de la Aerodinámica es el cálculo de las fuerzas, y los mo-Objetivo: fuerzas ymomentos mentos, que actúan sobre un cuerpo que se mueve relativamente a un fluido.

Estas fuerzas, como hemos visto en el Capítulo 5, no son sino el resultado dela acción del tensor de esfuerzos ~~τ actuando sobre la superficie del cuerpoS :

~F =

∫

S

~~τ · ~nd S , (18.1)

donde ~n es la normal a la superficie que apunta hacia el fluido, si queremoscalcular la fuerza del fluido sobre la superficie.

El momento de las fuerzas viene dado, similarmente, por

~M =

∫

S

~r ∧ (~~τ · ~n )d S , (18.2)

siendo ~r el vector de posición de d S con respecto al origen de momentos.

A lo largo del curso hemos visto varias formas de obtener estas fuerzas y mo-Cómo obtenerlos?

mentos:

1. Si conocemos el campo de velocidades ~v y de presión p (2, la formamás obvia es componer el tensor de esfuerzos ~~τ (Sección 5.5), y hacerlas integrales anteriores.

2Por ejemplo, porque hemos resuelto numéricamente las ecuaciones diferenciales delCapítulo 9.

18.1. Fuerzas y momentos sobre cuerpos inmersos en una corriente 323

2. Si no conocemos el campo de velocidades y presiones en todos lospuntos, pero sí en algunos, podemos hacer un balance integral de fuer-zas y momentos (utilizando las ecuaciones integrales del Capítulo 9),en el que las únicas incógnitas sean las integrales anteriores, 18.1 y18.2.

3. En ausencia de lo anterior, uno puede medir las fuerzas y los momen-tos (por ejemplo, en un túnel de viento).

Cualquiera que sea la ruta, el Capítulo 12 nos ha enseñado el valor de presen- Adimensionalice!

tar estos resultados de forma adimensional. En este capítulo haremos usomasivo de la adimensionalización.

En tres dimensiones, tanto las fuerzas como los momentos tienen usual- Nombres

mente tres componentes, que reciben nombres especiales; así, las compo-nentes de las fuerzas se denominan:

Arrastre (drag force), la componente en la principal dirección de la ve-locidad.

Sustentación (lift force), la componente en dirección transversal ver-tical.

Fuerza lateral (side force), la componente en dirección transversal ho-rizontal.

Sustentación y fuerza lateral son nulas si tanto el cuerpo como el flujo sonsimétricos en esa dirección.

Los momentos reciben los siguientes nombres:

Alabeo o balanceo (roll) el momento alrededor de un eje en la direc-ción del flujo (por ejemplo, en un avión el eje a lo largo de fuselaje).

Cabeceo (pitch), el momento alrededor de un eje en dirección trans-versal horizontal (por ejemplo, en un avión el eje a lo largo de las alas).

Guiñada (yaw), el momento alrededor de un eje en dirección trans-versal vertical (por ejemplo, en un avión el eje vertical por el centro delavión).


18.2 Los coeficientes de fuerza

18.2.1 DefinicionesLas fuerzas (y también los momentos) anteriores se presentan habitualmen-te en Aerodinámica de forma adimensional; repase los Capítulos 12 y 13 sinecesita recordar las buenas razones para hacerlo así.

Las fuerzas se adimensionalizan habitualmente con la presión dinámica yun área, y dan lugar a un coeficiente de fuerza.

El coeficiente de arrastre se define como:Coeficiente de arrastre

CD =D

12ρV 2A

, (18.3)

donde D es la fuerza de arrastre, V la velocidad del fluido relativa al cuerpo, yA es un área. Típicamente, A es el área (proyectada) enfrentada a la corrienteexterna; por ejemplo, si el cuerpo es una esfera, A es el área del círculo pro-yectado. Sin embargo, a veces este área es otro. Por ejemplo, en cuerpos muyesbeltos (“aerodinámicos”), como un ala, puede ser el área planar (el áreadel ala). En hidrodinámica, puede ser el “área mojada” del cuerpo. Si usa uncoeficiente CD tomado de una referencia (libro, internet), compruebe a quéárea está referido.

El coeficiente de sustentación se define como:Coeficiente de sustenta-ción

CL =L

12ρV 2A

, (18.4)

donde L es la fuerza de sustentación, y A es habitualmente el “área planar”(por ejemplo, superficie de un ala); pero compruébelo en cada caso.

Se pueden definir similarmente coeficientes para el resto de fuerzas y mo-mentos, pero su uso es menos frecuente.

18.2.2 ValoresLos ingenieros han dedicado (y dedican) ingentes cantidades de tiempo adeterminar los valores de los coeficientes anteriores para numerosos cuer-pos: geométricos (una esfera, un cono, un panel rectangular), naturales (unárbol), o comerciales (un Seat Ibiza).

18.2. Los coeficientes de fuerza 325

CD Cuerpo0.001 Placa plana, paralela al flujo, laminar (R e < 106)0.005 Placa plana, paralela al flujo, turbulento (R e > 106)0.022 Avioneta Learjet240.027 Avioneta Cessna 172/1820.031 Boeing 7870.034 Boeing 747

0.1 Esfera lisa, R e = 106

0.23 Mercedes-Benz CLA-Class Type C 1170.24 Tesla Model S0.25 Toyota Prius (3a generación)0.26 BMW i80.26 Nissan GT-R (2011-2014)0.27 Nissan GT-R (2007-2010)0.29 Mazda3 20070.3 Saab 92 (1949), Audi 100 C3 (1982)

0.47 Esfera lisa, R e = 105

0.48 Esfera rugosa, R e = 106

0.48 Volkswagen Beetle0.58 Jeep Wrangler TJ (1997-2005)0.75 Cohete, típicamente1.0 Bicicleta urbana y ciclista, posición de paseo

1.0–1.1 Esquiador1.0–1.3 Cables1.0–1.3 Persona (posición vertical)1.1-1.3 Saltador de esquí

1.28 Placa plana 3D perpendicular al flujo1.3–1.5 Empire State Building1.8–2.0 Torre Eiffel

1.98–2.05 Placa plana 2D perpendicular al flujo

Tabla 18.1: Coeficientes de resistencia CD para algunos cuerpos típicosFuente: Adaptado de http://en.wikipedia.org/wiki/Drag_coefficient

Muchos de estos coeficientes se encuentran tabulados en libros de Mecánica Valores de CD tabulados

de Fluidos, en artículos científicos sobre Aerodinámica, y, por supuesto, enartículos en Internet. La Tabla 18.1 muestra algunos valores típicos.

http://en.wikipedia.org/wiki/Drag_coefficient


Figura 18.1: Estructura del flujo alrededor de un cuerpo (por ejemplo, unaesfera)Fuente: Adaptado de “Three flows over the sphere” by Bernard de Go Mars - Own work. Licensed under Creati-ve Commons Attribution-Share Alike 3.0 via Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Three_flows_over_the_sphere.png

18.3 Estructura del flujo y resistenciaaerodinámica

Donde explicamos por qué las pelotas de golf tienen hoyuelos

En el flujo alrededor de un objeto, digamos la esfera de la Figura 18.1, se dis-Estructura del flujo

tinguen varias zonas:

En la parte delantera, donde la corriente indice sobre el cuerpo, hayuna zona de remanso, en los que la velocidad es baja (incluyendo unoo más puntos de remanso, en los que es nula). Como sabemos, estaszonas de velocidad baja son habitualmente de presión alta; por lo tan-to, la fuerza de presión en esta zona tiende a arrastrar el objeto, inclu-so aunque la fuerza viscosa no lo haga (por ejemplo, porque el flujosea simétrico en esa dirección y los esfuerzos viscosos se anulen). Encuerpos muy aerodinámicos, como un ala, esta zona se llama borde deataque (leading edge).

El flujo tras la zona de remanso se divide, y rodea el cuerpo. En estazona, a altos números de Reynolds, se forma la capa límite, boundary

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Three_flows_over_the_sphere.png

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Three_flows_over_the_sphere.png

18.3. Estructura del flujo y resistencia aerodinámica 327

layer, (que estudiamos en el Capítulo 19). En esta zona, los gradientesde velocidad en la superficie son altos, y la principal contribución delas fuerzas al arrastre es a través de las fuerzas viscosas.

Aguas abajo, el gradiente de presión adverso disminuye progresiva-mente la velocidad del fluido; en un determinado punto la velocidaddel fluido junto a la superficie se invierte: es el punto de despren-dimiento de la capa límite, flow or boundary layer separation, (Sec-ción 19.8).

Finalmente, tras el desprendimiento de la capa límite el flujo se vuel-ve muy desordenado (tridimensional); es la llamada estela (wake) delflujo, y la principal contribución de las fuerzas de superficie al arrastrees de nuevo a través de la presión. Ésta es habitualmente una presiónnegativa; junto con la presión positiva en la zona de remanso, ambasejercen una fuerza neta en la dirección del flujo que contribuye a lafuerza de arrastre.

En la fuerza de resistencia aerodinámica total existen por tanto en generaldos contribuciones: la debida a las fuerzas viscosas y la debida a las fuerzasde presión. La primera se llama resistencia de fricción (skin friction, friction Resistencia de fricción

drag), debido a que su origen es la fuerza viscosa entre el cuerpo y el fluido.La segunda, debida a la presión, se denomina resistencia de forma, (pres- Resistencia de forma

sure drag) debido a que el campo de presiones alrededor del cuerpo vienedeterminado, fundamentalmente, por la geometría.

La importancia de cada una de estas contribuciones depende fundamental- Resistencia de fricción vsresistencia de formamente de la geometría del objeto. Así:

En el caso (límite) de una placa plana sin espesor alineada con el flu-jo, el 100 % de la fuerza de arrastre es debido a la fricción (la presiónsobre la placa actúa en dirección perpendicular a la misma, y por tan-to al flujo; y además se compensa exactamente por ambas caras de laplaca).

En el caso (límite) de una placa sin espesor enfrentada al flujo, el 100 %de la fuerza de arrastre es debida a la resistencia de forma (es decir, ala presión). En efecto, la fuerza de fricción actúa predominantementeen dirección paralela a la placa (y por lo tanto perpendicular al flujo),pero además se anula por simetría entre la mitad superior y la inferior.


En formas intermedias, la fracción de resistencia debida a la fricción y ala forma es también intermedia. En un cuerpo muy aerodinámico (unala, por ejemplo), sólo el 10 % de la resistencia es aproximadamentedebida a la forma, y el 90 % restante a la fricción. En el caso de unaesfera estas fracciones puede, aproximadamente, invertirse.

La importancia relativa de ambas contribuciones (fricción y forma) al arras-tre puede variar también con el número de Reynolds del flujo. Entre los casosmás estudiados de la dependencia del arrastre con el número de R e están losde los casos canónicos de cilindros y esferas, por su importancia en tecnolo-gía (por ejemplo, bancos de tubos en intercambiadores de calor) o en otroscampos (por ejemplo, flujo alrededor de bolas y pelotas).

La Figura 18.2 muestra la dependencia de CD con R e para el flujo alrededorde una esfera lisa (línea azul) y rugosa (línea roja).

A números de R e muy bajos, del orden de 1 o menores (zona 2 en lafigura), el flujo rodea ordenadamente la esfera (no hay desprendimien-to ni estela); es el llamado régimen de Stokes (o creeping flow). En estazona, CD = 24/R e para la esfera.

A medida que aumenta R e , el flujo se desprende (a R e ≈ 10) en la partede atrás de la esfera, y empieza el desprendimento de vórtices (a R e ≈90, zona 3 en la figura).

Para R e moderadamente altos (en el rango aproximado 103 ® R e ®105, zona 4 en la figura) la capa límite en la parte frontal de la esferaes laminar, y la estela aguas abajo es altamente turbulenta. El flujo (lacapa límite) se desprende en el punto θ ≈ 80o, medido desde el puntode remanso frontal (Figura 18.1). CD es aproximadamente constanteen esta zona.

En algún momento en la zona 105 ® R e ® 106 (entre 4 y 5 en la figura)la capa límite se vuelve turbulenta. (Este punto de transición ocurreantes para la esfera rugosa que para la lisa.) El coeficiente de arrastreCD disminuye súbitamente cuando se produce esta transición de ca-pa límite laminar a turbulenta (zona a la izquierda de 5 en la figura).Este fenómeno se llama en Aerodinámica the drag crisis. La razón deeste descenso súbito es que la capa límite turbulenta resiste mejor elgradiente adverso de presión, y por lo tanto se separa más tarde que la

18.3. Estructura del flujo y resistencia aerodinámica 329

laminar (típicamente, a θ ≈ 140o). Al separarse más tarde, la zona de laestela es más reducida, y por lo tanto lo es también la contribución dela resistencia de forma (debida a la presión) a la fuerza de arrastre. Laconsecuencia es que el coeficiente de arrastre CD disminuye.

Este drag crisis se usa a menudo para gestionar la capa límite, forzando si Gestión de crisis

es ventajoso su transición a turbulenta para disminuir la fuerza de arrastre3

de los cuerpos (por ejemplo, sobre las alas de un avión; o sobre un coche; osobre pelotas de tenis o de golf).

Una forma típica de acelerar la transición de capa límite laminar a turbulen-ta, y por lo tanto de adelantar (en R e ) el drag crisis, es introducir rugosidaden la superficie. En cuerpos aerodinámicos, la mayor parte de la fuerza de Cuerpo aerodinámico vs

cuerpo romoresistencia es debida a la resistencia de fricción, y ésta es mayor en capaslímite turbulentas que en laminares (ver Capítulo 19); por lo tanto, no in-teresaría, si fuera evitable, que la capa límite fuera turbulenta. Sin embargo,en cuerpos romos (por ejemplo una pelota, o un perfil alar a altos ángulos deataque) la contribución de la resistencia de forma a la fuerza aerodinámicatotal es importante (o incluso dominante sobre la de fricción); en este caso,el retraso en el desprendimiento de la capa límite reduce el área de estela ypuede disminuir la resistencia de forma (y la total) del cuerpo.

3Note que un CD inferior no significa necesariamente una fuerza de arrastre menor, yaque ha de multiplicarlo por la velocidad al cuadrado para obtener la fuerza. Sin embargo,en el caso del drag crisis esta disminución en CD se produce a R e (y por lo tanto V ) prácti-camente constante, y por lo tanto sí supone una disminución de la fuerza.


Figura 18.2: Coeficiente de arrastre CD para una esfera, y dependencia conel número de Reynolds.Fuente: “Drag sphere nasa” by NASA - http://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/airplane/dragsphere.html. Licensed under Public domain via Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Drag_sphere_nasa.svg

http://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/airplane/dragsphere.html

http://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/airplane/dragsphere.html

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Drag_sphere_nasa.svg

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Drag_sphere_nasa.svg

19

Capa límite

En este capítulo, complementario del Capítulo 18, estudiamos el flujo alre-dedor de cuerpos. En particular, estudiamos el flujo muy cerca de las super-ficies sólidas inmersas en la corriente de un fluido, en la denominada capalímite.

Estos flujos son muy relevantes en Ingeniería: una gran parte de la fuerzaque se ejerce entre un fluido y un sólido tiene lugar en esta zona debido alas fuerzas viscosas. (Otra parte es debido a las fuerzas de presión origina-das por el campo fluido alrededor del objeto; éstas se estudian en el capítuloCapítulo 18).

La teoría de capa límite, que permite el estudio detallado de esta importantezona, fue desarrollada inicialmente por Ludwig Prandtl a principios del sigloXX. La teoría de capa límite fue esencial en el desarrollo de la aerodinámica(y, en particular, de la aviación), y de la hidrodinámica de barcos.

La teoría de capa límite permite separar el problema de la ae-ro/hidrodinámica externa de cuerpos en dos zonas, la corriente externa y lacapa límite. Las soluciones obtenidas separadamente para estas dos zonasse acoplan (a través principalmente de condiciones de contorno) paraobtener el análisis conjunto. Una condición esencial para poder realizareste estudio es que la capa límite sea muy delgada; de hecho, sólo cuandoes muy delgada se puede llamar propiamente capa límite.

331

332 Capa límite

19.1 Qué (y cómo) es la capa límite

Donde introducimos la capa límite: una zona muy estrecha del flujo cerca de unasuperficie donde las fuerzas viscosas son importantes, o muy importantes

Consideraremos el flujo alrededor de una superficie sólida inmersa en unacorriente uniforme, como se muestra en la Figura 19.1). En el flujo se dis-tinguen dos zonas: la zona llamada de corriente libre (o externa), suficiente-mente lejos de la superficie; y la zona de capa límite (suficientemente cercade la superficie).

Suficientemente lejos de la superficie, en la zona de la corriente externa, elCorriente externa: fuerzasviscosas despreciables flujo no está perturbado por la presencia de la pared, y por lo tanto es prác-

ticamente uniforme1; al no existir gradientes altos de velocidad en esa zona,las fuerzas viscosas son muy pequeñas, y el flujo es esencialmente ideal. Lateoría desarrollada en el Capítulo 10 es por tanto aplicable; por ejemplo, lapresión puede calcularse con buena aproximación usando la ecuación deBernoulli.

Cerca de la superficie, la transferencia de cantidad de movimiento entre laCapa límite: fuerzas visco-sas importantes pared y el fluido da lugar a gradientes de velocidad, y por tanto a la existencia

de fuerzas viscosas; en esta zona las fuerzas viscosas son comparables a lasde inercia, o incluso mucho mayores si nos acercamos suficientemente a lapared (dado que la imposición de la velocidad en la pared crea gradientesde velocidad altos). Ésta es la zona de capa límite, que será estudiada eneste capítulo. Una de las principales características de esta zona, que haceCL muy estrecha!

posible su estudio, es su reducida anchura o espesor (δ en la Figura 19.1),comparada con las dimensiones de la superficie o cuerpo.

La frontera de la capa límite (que determina el espesor de capa límite, δ)Hasta dónde llega la capalímite? puede definirse de varias maneras. Una forma física es la que se ha usado

antes: es la zona en la que las fuerzas viscosas son comparables (o superio-res) a las de inercia. Otra, que posiblemente agradará más a las mentes car-tesianas de los estudiantes de Ingeniería, usa el valor local de la velocidad: lacapa límite acaba allá donde la componente longitudinal u de la velocidades casi la de la corriente libre ue . “Casi” se suele expresar como un porcen-

1Veremos que la componente longitudinal de la velocidad en la corriente externa puedecambiar ligeramente.

19.2. Ecuaciones de capa límite 333

u

u

Borde de ataque

Laminar

Empieza

Transición

δ

y

Zona de transición(estrecha)

Fin de la capa límite

Turbulenta

U = 0.99 u

x

ee

Figura 19.1: Estructura del flujo alrededor de una superficie sólida, y termi-nología usada en capa límite

taje, habitualmente el atrayente 99 %: u = 0.99ue marca el final de la capalímite.

Veremos pronto que la delgadez de la capa límite está relacionada con el nú- Reynolds altos para capasdelgadasmero de Reynolds. Sólo para números de Reynolds altos (digamos 10 000,

basado en la longitud a lo largo de la placa y en la velocidad de la corrienteexterna) es esta zona estrecha (digamos un 1 % de la longitud de la placa), yse puede hablar propiamente de capa límite.

El flujo en la capa límite es inicialmente (en el borde de ataque, Figura 19.1) Transición laminar-turbulentalaminar; pero, a medida que se avanza a lo largo de la placa, puede experi-

mentar una transición a turbulento (esta transición se produce a númerosde Reynolds del orden de 106).

19.2 Ecuaciones de capa límite

Donde, a partir de las ecuaciones generales, y con la magia de análisis de órde-nes de magnitud (¿recuerda de capítulos anteriores?) deducimos unas ecuaciones

334 Capa límite

muy simplificadas para la capa límite, que “casi” son resolubles analíticamente.

En el caso de densidad constante, en dos dimensiones y en coordenadas car-ρ cte, 2D

tesianas, las ecuaciones que describen la aerodinámica del problema son lasContinuidad

de continuidad:

∂ u

∂ x+∂ v

∂ y= 0 , (19.1)

y las de cantidad de movimiento en dirección x :Cantimov x

ρ∂ u

∂ tCMx::T

+ρu∂ u

∂ xCMx::Cx

+ρv∂ u

∂ yCMX::Cy

=−∂ p

∂ xCMx::P

+µ∂ 2u

∂ x 2

CMx::Dx

+µ∂ 2u

∂ y 2

CMx::Dy

; (19.2)

y en dirección y :Cantimov y

ρ∂ v

∂ tCMy::T

+ρu∂ v

∂ xCMy::Cx

+ρv∂ v

∂ yCMy::Cy

=−∂ p

∂ yCMy::P

+µ∂ 2v

∂ x 2

CMy::Dx

+µ∂ 2v

∂ y 2

CMy::Dy

. (19.3)

En las ecuaciones anteriores hemos supuesto que no hay fuerzas másicas,Y las ~fm ?

o que son despreciables frente a las de inercia o a las viscosas; alternativa-mente, si las hubiera y derivaran de un potencial, el análisis que sigue en estecapítulo siendo válido si remplazamos la presión p por la presión motriz, p ∗.

Note que las ecuaciones anteriores están escritas en coordenadas cartesia-Superficies no planas?

nas; y, además, la mayor parte de los ejemplos y esquemas que usamos eneste capítulo son para superficies planas. En realidad, la teoría también pue-de aplicarse a superficies curvas. Si la superficie es “poco curva”2 se utili-zan habitualmente los resultados para superficies planas. Si fuera necesario,las ecuaciones pueden plantearse, y el problema resolverse, en coordenadascurvilíneas3.

19.2.1 Simplificación de las ecuacionesPara simplificar las ecuaciones anteriores, haremos un análisis de órdenesMagnitudes características

2Y qué es “poco” curva? Como siempre en Mecánica de Fluidos, use un análisis de ór-denes de magnitud para buscar la luz. Si el espesor de capa límite δ es mucho menor queel radio de curvatura de la superficie, la capa límite “ve” la superficie como plana, de igualmanera que usted ve el mar como plano desde un bote.

3Por ejemplo, como las que hemos usado en el Capítulo 17, Flujo en láminas delgadasy lubricación.


de magnitud, utilizando como magnitudes características las siguientes:

Para la componente longitudinal de velocidad u , y sus variaciones tí-picas, supondremos un valor característico U (que será el valor de lavelocidad de la corriente libre, ue );

para la componente transversal v , y sus variaciones típicas, una velo-cidad característica V cuyo valor determinaremos más adelante;

para las distancias en dirección longitudinal x , la longitud de la super-ficie o placa L ;

y para las distancias en dirección transversal y , el espesor de capa lí-mite δ (que ha sido introducido en la Sección 19.1 y será definido conmás precisión más adelante).

Por ejemplo, usando los valores característicos obtenemos como sigue los Ej: grad de velos

órdenes de magnitud de los cuatro gradientes de velocidad (ver Figura 19.2):

∂ u

∂ y∼∆u

∆y∼

U −0

δ=

U

δ; (19.4)

∂ u

∂ x∼∆u

∆x∼

U −0

L=

U

L; (19.5)

∂ v

∂ y∼∆v

∆y∼

V −0

δ=

V

δ; (19.6)

∂ v

∂ x∼∆v

∆x∼

V −0

L=

V

L. (19.7)

De forma similar obtendríamos los órdenes de magnitud de las derivadassegundas, y de las derivadas cruzadas.

Supondremos que el espesor de la capa límite es mucho menor que la longi- Suponemos δ L

tud de la placa, δ L ; más adelante, deduciremos en qué condiciones éstees el caso.

Dado que los dos términos de la ecuación de continuidad son del mismo De continuidad...

336 Capa límite

Figura 19.2: Velocidades y longitudes características.U ∼ ue ; V a determinar.

orden4, se tiene:

∂ u

∂ x∼∂ v

∂ y⇒

U

L∼

V

δ; (19.8)

es decir, el orden de magnitud V de la componente transversal de la veloci-...orden de magnitud de v !!!

dad v es:

V ∼Uδ

LU . (19.9)

Dado que la componente trasversal es mucho menor que la longitudinal, elflujo es cuasi-unidireccional.

En la ecuación de cantidad de movimiento en dirección x , Ecuación 19.2, seDifusión en dir x despre-ciable tiene que el término difusivo en dirección longitudinal es mucho menor que

el término difusivo en dirección transversal:

CMx::Dx∼µU

L 2µ

U

δ2∼CMx::Dy . (19.10)

Y similarmente en la ecuación de cantidad de movimiento en dirección y ,19.3:

CMy::Dx∼µV

L 2µ

V

δ2∼CMy::Dy . (19.11)


Los términos convectivos en dichas ecuaciones son sin embargo del mismo Términos convectivos delmismo orden de magnitudorden de magnitud; respectivamente en las ecuaciones de cantidad de mo-

vimiento en x e y se tiene (usando la Ecuación 19.9):

CMx::Cx∼ρU 2

L∼ ρ

U V

δ∼CMx::Cy ; (19.12)

CMy::Cx∼ρU V

L∼ ρ

V 2

δ∼CMy::Cy . (19.13)

Supondremos, a continuación, que los términos de fuerzas de presión en las Términos de presión?

ecuaciones de cantidad de movimiento son a lo sumo del orden de magnitudde los términos convectivos. Si denominamos∆x p y∆y p a las diferencias depresión en la capa límite en las direcciones, respectivamente, longitudinal ytransversal, de esta hipótesis se deduce:

CMx::P =∂ p

∂ x∼∆x p

L∼ρ

U 2

L⇒∆x p ∼ρU 2 (19.14)

CMy::P =∂ p

∂ y∼∆y p

δ∼ρ

V 2

δ⇒∆y p ∼ρV 2 ∼ρU 2

δ

L

2

(19.15)

Comparando ambas se deduce que

∆y p ∼∆x p

δ

L

2

∆x p ; (19.16)

es decir, las diferencias de presión en dirección transversal en la capa límite p aprox constante en dirtransversal!!!son mucho menores que en dirección longitudinal; en otras palabras, la pre-

sión puede considerarse aproximadamente constante en la dirección trans-versal, e impuesta por tanto por la corriente externa.

Finalmente, supondremos que el proceso es cuasi-estacionario; para ello, Condición para cuasi-estacionareidad: St 1exigiremos que el tiempo característico t0 asociado a la no estacionareidad

(por ejemplo, debido al cambio temporal de una de las condiciones de con-torno), sea tal que el término temporal sea mucho menor que el convectivo:CMx::TCMx::Cx; para ello ha de cumplirse:

CMx::TCMx::Cx⇒ρU

t0ρ

U 2

L⇒ t0

L

U. (19.17)

4Por estar igualados a cero, no son sólo del mismo orden; son localmente iguales (salvoel signo).

338 Capa límite

Es decir, en términos del número de Strouhal St:

St=L/U

t0 1 . (19.18)

Puede comprobar que la condición para que el término de variación tempo-ral sea despreciable en la ecuación de cantidad de movimiento en direccióny es la exactamente la misma.

19.2.2 Ecuaciones simplificadas y condiciones de contornoSi introduce las simplificaciones anteriores en las Ecuaciones 19.1 a 19.3Ecuaciones de capa límite

(pruebe a tacharlas), el resultado son las llamadas ecuaciones de capa lí-mite:

La ecuación de continuidad:

∂ u

∂ x+∂ v

∂ y= 0 . (19.19)

La ecuación de cantidad de movimiento en la dirección transversal alflujo:

∂ p

∂ y= 0 . (19.20)

La ecuación de cantidad de movimiento en la dirección del flujo:

ρu∂ u

∂ x+ρv

∂ u

∂ y=−

d p

d x+µ∂ 2u

∂ y 2, (19.21)

donde se ha usado la derivada total en el gradiente de presiones endirección x puesto que la presión no depende de y .

Las condiciones de contorno para las ecuaciones anteriores son:Condiciones de contono

en la superficie sólida, ambas componentes de la velocidad se anulan:en y = 0, u (x , 0) = 0= v (x , 0);

y, lejos del sólido, la velocidad es la velocidad de la corrienteexterna:y →∞, u (x , y ) = ue (x , y ).

19.3. Parámetros de la capa límite 339

19.2.3 Ecuaciones para la corriente externaComo hemos visto, la Ecuación 19.20 indica que la presión en la seccióntransversal de la capa límite es constante, y por lo tanto igual a la presiónen la corriente externa en y ≈δ para esa x . Frecuentemente, en la corrienteexterna (y >δ) los efectos viscosos son despreciables5, y la velocidad ue y la Bernoulli...

presión p están relacionadas por la ecuación de Bernoulli:

p +1

2ρu 2

e = cte . (19.22)

O, derivando 6 si el flujo externo es aproximadamente unidireccional: Cantimov...

ρue

d ue

d x=−

d p

d x. (19.23)

La ecuación anterior indica la relación entre el gradiente de presión y el cam-bio de velocidad en la corriente externa. Note que, debido al signo negativo,tienen tendencias opuestas: cuando la velocidad disminuye la presión au-menta, y viceversa.

19.3 Parámetros de la capa límite

Donde demostramos que la capa límite es muy estrecha si el número de Reynoldses suficientemente alto, demostramos que es muy rotacional, y estimamos el es-fuerzo viscoso y la disipación viscosa

En esta sección usamos el mismo análisis de órdenes de magnitud anteriorpara estimar los valores aproximados de algunos parámetros importantesde la capa límite: el espesor, la vorticidad, el esfuerzo viscoso, la disipaciónviscosa.

19.3.1 Orden de magnitud del espesor de capa límiteHasta ahora, tras definir el espesor de capa límiteδ, hemos “exigido” que sea Cuando es δ L?

5Porque los gradientes de velocidad, que dan lugar a lo esfuerzos viscosos, son peque-ños.

6Alternativamente, puede llegar a esta ecuación como la ecuación diferencial de canti-dad de movimiento en dirección longitudinal para la corriente externa.

340 Capa límite

mucho menor que la longitud de la placa (δ L) para poder simplificar lasecuaciones; no sabemos todavía, sin embargo, en qué condiciones éste es elcaso.

Una estimación del orden de magnitud del espesor de capa límite δ puedeδ sin colorantes ni conser-vantes efectuarse si definimos la capa límite como la zona en la que el flujo es per-

turbado por la presencia de la pared, a través de los esfuerzos viscosos entreel fluido y la misma. Es perturbación se traduce en gradientes altos de ve-locidad, y por lo tanto en fuerzas viscosas importantes. En la corriente libre(lejos de la pared) los gradientes de velocidad son menores, y por tanto lasfuerzas viscosas no son tan importantes, comparadas con las de inercia.

Definamos el espesor de capa límite como la distancia desde la pared a laÓrdenes de magnitud

que las fuerzas viscosas y las de inercia son comparables en importancia.Entonces, del análisis de órdenes de magnitud anterior en la ecuación decantidad de movimiento en dirección x , Ecuación 19.2, se tiene que:

CMx::Cx∼CMx::Dy⇒ρU 2

L∼µ

ue

δ2⇒δ2 ∼

L 2

ρue Lµ

∼L 2

ReL, (19.24)

siendo ReL el número de Reynolds basado en la velocidad de la corrienteexterna y en la longitud de la placa.

Por tanto, el espesor de capa límite es menor cuanto mayor es ReL ; de hecho,Re altos, capas estrechas!

varía con el inverso de su raíz cuadrada:

δ∼L

Re1/2L

. (19.25)

La ecuación anterior permite establecer para qué números de ReL es aplica-Cuándo es aplicable la teo-ría de capa límite ble la teoría de capa límite. Por ejemplo, si queremos que L/δ > 1000, en-

tonces de la ecuación anterior el número de Reynolds ha de ser mayor que106.

19.3.2 La vorticidad en la capa límiteUna de las características de la capa límite es la alta vorticidad. Recordandoque la definición vorticidad es ~ω = ∇ ∧ ~v , y que el principal gradiente develocidad en la capa límite es ∂ u/∂ y (7, se tiene que el orden de magnitud

7El otro gradiente, ∂ v /∂ x , es muy pequeño por comparación; Si no lo tiene claro, hagacomo ejercicio un análisis de sus órdenes de magnitud.

19.4. Los espesores de capa límite, de desplazamiento y de cantidad de movimiento 341

de la vorticidad es:

ω∼∂ u

∂ y∼

ue

δ∼

ue

LRe1/2

L . (19.26)

Por tanto, dado que los números de Reynolds son altos, la vorticidad también Capa límite es muy rotacio-nallo es.

19.3.3 El esfuerzo viscosoEl esfuerzo viscoso entre el fluido y la pared es responsable de gran parte dela fuerza intercambiada entre ambos (ver Capítulo 18); puede estimarse, enórdenes de magnitud, como sigue8:

τp =µ∂ u

∂ y∼µ

ue −0

δ∼µ

ue

L/Re1/2L

=Re1/2

L u 2e

ue Lρµ

ρ =ρu 2

e Re1/2L

ReL=ρu 2

e

Re1/2L

. (19.27)

19.3.4 La disipación viscosaA estas alturas del curso ya sabe que el mecanismo responsable de las pér-didas de energía, y por lo tanto de que gastemos dinero en impulsar fluidoso en propulsar vehículos, es la disipación viscosa. Ésta puede estimarse, enun punto de la capa límite, y en ordenes de magnitud, como sigue:

φV =µ

∂ u

∂ y

2

∼µ

ue −0

δ

2

∼µ

ue

L/Re1/2L

2

=ρu 3

e

L. (19.28)

Note que depende de la velocidad de la corriente externa, ue , al cubo. Mucha disipación

19.4 Los espesores de capa límite, dedesplazamiento y de cantidad demovimiento

8El esfuerzo en la pared es, posiblemente, el parámetro más importante en la capa lí-mite, y esta estimación, relativamente basta, nunca será candidata al Premio Príncipe deAsturias a las Estimaciones de Órdenes de Magnitud. El resto de este capítulo es sobre co-mo calcular τp con cierta precisión.

342 Capa límite

Donde definimos, con más precisión, el espesor de capa límite, que ha sido defini-do cualitativamente hasta ahora, e introducimos otros dos espesores con impor-tantes significados físicos: el de desplazamiento y el de cantidad de movimiento.

19.4.1 El espesor de capa límiteEl espesor de capa límite ha sido definido cualitativamente más arriba comoDefinición informal

la anchura de la zona, próxima a la superficie sólida, en la que las fuerzasviscosas en el fluido “son importantes” (esto es, mayores que, o comparablesa, las de inercia).

Una definición más matemática es la siguiente: el espesor de capa límite esDefinición formal

la distancia desde la pared a la que la velocidad longitudinal del fluido esuna cierta fracción grande (digamos un 99 %) de la velocidad de la corrienteexterna:

u (x ,δ (x )) =αue (x ) , (19.29)

con α∼ 0.99 usualmente.

Note que, naturalmente, δ varía (aumenta) a lo largo de la placa: δ=δ(x ).δ depende de x

19.4.2 El espesor de desplazamientoEl espesor de desplazamiento es la distancia que habría que desplazar laDefinición

superficie hacia el flujo, supuesto éste uniforme (velocidad constante) paraque en esta situación ficticia pasara el mismo gasto másico que pasa en lasituación real.

El espesor de desplazamiento es, por tanto, una medida de cuánto gasto dejaSignificado físico

de pasar porque la presencia de la pared frena el flujo.

El espesor de desplazamiento puede obtenerse igualando el gasto por enci-Deducción

ma de la pared en la capa límite y en un flujo uniforme ficticio, el espesor dedesplazamiento es la distancia δ∗ tal que:

∫ ∞

0

ρud y

[A]

=

∫ ∞

δ∗

ρe ue d y

[B ]

. (19.30)

19.4. Los espesores de capa límite, de desplazamiento y de cantidad de movimiento 343

Para obtener una fórmula más compacta para δ∗, sumamos a ambos miem-

bros∫ δ∗

0ρue d y , y pasamos el término [A] al lado izquierdo:

∫ δ∗

0

ρue d y

[C ]

=

∫ δ∗

0

ρue d y

[C ]

+

∫ ∞

δ∗

ρue d y

[B ]

−∫ ∞

0

ρud y

[A]

. (19.31)

Resolviendo la integral del lado izquierdo, y agrupando todas las de lado de-recho bajo el mismo signo, se tiene:

ρeδ∗ =

∫ ∞

0

ρue −ρu

(19.32)

Por tanto, despejando: Expresión matemática

δ∗ =

∫ ∞

0

1−u

ue

d y . (19.33)

19.4.3 El espesor de cantidad de movimientoEl espesor de cantidad de movimiento es la distanciaδ∗∗, adicional aδ∗ que Definición

habría que desplazar la superficie hacia el flujo, supuesto éste uniforme (ve-locidad constante), para que en esta situación ficticia hubiera (en direccióntransversal) el mismo flujo de cantidad de movimiento que hay en la situa-ción real.

La expresión matemática para el espesor de cantidad de movimiento se ob- Deducción

tiene igualando el flujo de cantidad de movimiento por encima de la pareden el flujo real (que incluye la capa límite) y en un flujo ficticio uniforme:

∫ ∞

0

ρu 2d y =

∫ ∞

δ∗+δ∗∗ρu 2

e d y . (19.34)

Con operaciones similares a las que hicimos para el espesor de desplaza- Expresión matemática

miento δ∗ en la sección anterior, se tiene:

δ∗∗ =

∫ ∞

0

u

ue

1−u

ue

d y . (19.35)

344 Capa límite

El espesor de cantidad de movimiento es, por tanto, una medida del déficitde cantidad de movimiento en la capa límite debido a la presencia de la pa-red. Dicho déficit se debe compensar (por conservación de cantidad de mo-vimiento) con la fuerza transmitida entre la placa y el flujo, y de esto se deri-va la principal interpretación física del espesor de cantidad de movimiento:puede demostrarse9 que el espesor de cantidad de movimiento es una me-Es la fuerza de arrastre!

dida de la fuerza de arrastre sobre la placa. Específicamente, la fuerza F porunidad de anchura de placa b es:

F

b=ρu 2

eδ∗∗ . (19.36)

19.5 La capa límite 2D, plana y laminar: soluciónde semejanza

Donde reproducimos una de las deducciones más clásicas, y elegantes, de la Me-cánica de Fluidos: la solución de Blasius para una capa límite, plana, laminar,y bidimensional; y la explotamos para calcular los principales parámetros de lacapa límite en estos casos

19.5.1 Deducción

Las ecuaciones de capa límite, Ecuaciones 19.19 y 19.21 no son resolublesDe derivadas parciales a ecdiferencial ordinaria... (en general) analíticamente. Pero con ciertas manipulaciones pueden trans-

formarse en una ecuación diferencial ordinaria, mucho más fácil de resolvernuméricamente que las originales.

La solución se denomina solución de Blasius o solución de semejanza, en...usando semejanza

referencia a su autor (Paul Richard Heinrich Blasius, en 1908) y al hecho deque se usa la teoría de Semejanza (ver Capítulo 13) en su deducción.

La solución utiliza la definición de función de corriente (ver Sección C), queIntroducimos función decorriente es una función Ψ(x , y ) cuyas derivadas parciales son las componentes de la

9Usando las ecuaciones integrales de continuidad y cantidad de movimiento en x , perono lo demostramos.

19.5. La capa límite 2D, plana y laminar: solución de semejanza 345

velocidad10:

u =∂ Ψ

∂ y, v =−

∂ Ψ

∂ x. (19.37)

La función de corriente satisface (trivialmente) la ecuación de continuidad(Ecuación 19.19):

∂ u

∂ x+∂ v

∂ y=∂

∂ x

∂ Ψ

∂ y

+∂

∂ y

−∂ Ψ

∂ x

= 0 (19.38)

Cuando la placa es plana, la velocidad ue de la corriente externa es constan- Placa plana⇒ d p/d x = 0!

te, y por lo tanto también lo es la presión. Dado que la presión en la capalímite viene dada impuesta la presión de la corriente externa (ver Ecuación19.16 y párrafo que la sigue), entonces se tiene que d p/d x = 0, y la ecuaciónde cantidad de movimiento 19.21 se reduce a:

u∂ u

∂ x+ v∂ u

∂ y= ν∂ 2u

∂ y 2. (19.39)

Sustituyendo la función de corriente, Ecuación 19.37, en la ecuación anterior Ψ en cantimov

queda:

∂ Ψ

∂ y

∂ 2Ψ

∂ x∂ y−∂ Ψ

∂ x

∂ 2Ψ

∂ y 2= ν∂ 3Ψ

∂ y 3, (19.40)

u, operando ligeramente:

∂

Ψ/pν

∂

y /pν

∂ 2

Ψ/pν

∂ x∂

y /pν −∂

Ψ/pν

∂ x

∂ 2

Ψ/pν

∂

y /pν2 =

∂ 3

Ψ/pν

∂

y /pν3 . (19.41)

Al cambiar la variable dependiente (de u y v aΨ), es necesario cambiar tam- Traducimos CC a Ψ

bién las condiciones de contorno:

En la placa (y = 0), donde u = v = 0, las nuevas condiciones son, tri-vialmente: ∂ Ψ/∂ x = ∂ Ψ/∂ y = 0.

En la corriente libre (y →∞) se tiene que u = ue , es decir ∂ Ψ/∂ y = ue .

La Ecuación 19.41, junto con las condiciones de contorno, indican que la Problema dimensional

variable Ψ/pν es función de x , y /

pν, y ue (la dependencia con ue entra a

través de la condición de contorno); es decir, para:

Ψpν= func

x ,ypν

, ue

. (19.42)

346 Capa límite

Aplicando análisis dimensional a la relación funcional anterior, queda:Problema adimensional

Ψp

2νue x= f

s

ue

2νxy

. (19.43)

Definiendo la nueva variable independienteNueva var independiente η

η=s

ue

2νxy , (19.44)

podemos escribir más simplificadamente:

Ψ =p

2νue x f

η

. (19.45)

La función f puede introducirse en la ecuación de cantidad de movimien-Derivadas de Ψ en funciónde f to 19.41 si previamente transformamos derivadas parciales de Ψ en deriva-

das parciales de f usando la regla de la cadena; por ejemplo:

∂ Ψ

∂ y=∂ Ψ

∂ η

∂ η

∂ y. (19.46)

Además notaremos la derivada de f con respecto deη, d f /dη, como f ′ (da-do f sólo depende de η, la derivada es total); y similarmente usaremos f ′′ yf ′′′ para las derivadas sucesivas.

Con esto, las derivadas de Ψ son:

∂ Ψ

∂ y=

p

2νue x 1/2 f ′∂ η

∂ y= ue f ′ = u (19.47)

∂ 2Ψ

∂ y 2=∂ u

∂ y= ue f ′′

s

ue

2νx(19.48)

∂ 3Ψ

∂ y 3= ue f ′′′

ue

2νx(19.49)

∂ 2Ψ

∂ x∂ y= ue f ′′

−η

2x

(19.50)

Note que la primera de estas ecuaciones, Ecuación 19.47, da justamente laVelo u , a partir de f

componente u de la velocidad; específicamente, el ratio de velocidad locala velocidad de la corriente externa es:

u

ue= f ′ (19.51)


De la Ecuación 19.37, la componente v vale: Velo v , a partir de f

v = −∂ Ψ

∂ x=−

∂

∂ x

p

2νue x f

η

=

=p

2νue

1

2p

xf

η

+p

2νue x f ′

η

s

ue

2νy

−1

2

x−3/2 =

=s

νue

2xf −

p

2νue x

s

ue

2νxy

1

2xf ′ =

=1

2

√

√2νue

x

f −η f ′

. (19.52)

Sustituyendo las expresiones para las derivadas (Ecuación 19.47 a 19.50) en Ecuación de Blasius susti-tuyendo derivadasla ecuación diferencial paraΨ (Ecuación 19.41) queda una ecuación diferen-

cial ordinaria para f , que es la ecuación de Blasius:

f ′′′+ f f ′′ = 0 (19.53)

Las condiciones de contorno para esta ecuación resultan de traducir las de Traducimos CC a f

Ψ (que a su vez fueron obtenidas de las de u y v ). Por tanto:

En y = 0, las condiciones u = v = 0 (o ∂ Ψ/∂ x = ∂ Ψ/∂ y = 0) resultanen la siguiente condición para f :

η= 0, f ′ = f = 0 (19.54)

En la corriente externa, y →∞, la condición u = ue (o ∂ Ψ/∂ y = ue )da lugar a la siguiente condición para f :

η→∞, f ′→ 1 (19.55)

19.5.2 IntegraciónA pesar de su sencillez, no es posible integrar analíticamente la ecuación de Numérica

Blasius (Ecuación 19.53) ( f ′′′+ f f ′′ = 0). Sin embargo, la solución númericaes muy sencilla (incluso “a mano” con una hoja de cálculo, si se tienen unosconocimientos elementales de cálculo numérico).

La solución se ha puesto de forma gráfica en la Figura 19.3, y tabulado en laTabla 19.1. Note que, como hemos deducido en la sección anterior (Ecuación19.47), el ratio u/ue es precisamente f ′.

10Esto sólo tiene sentido en flujos 2D, y con densidad constante; pero puede extenderse

348 Capa límite

η f ′′ f ′ f0 0.4696005 0 00.2 0.46930657 0.093905401 0.00939154220.4 0.4672547 0.18760534 0.037549240.6 0.46173493 0.28057576 0.0843856630.8 0.45119049 0.37196365 0.149674681 0.43437958 0.46063307 0.232990351.2 0.41056575 0.54524709 0.333657741.4 0.37969252 0.62438697 0.45072411.6 0.34248737 0.69670022 0.582956921.8 0.3004455 0.76105808 0.7288732 0.25566929 0.8166954 0.886797742.2 0.21057998 0.86330501 1.05494822.4 0.16756036 0.90106625 1.23152892.6 0.12861283 0.93060206 1.41482562.8 9.5113386 e-2 0.95287624 1.60328513 6.7710286 e-2 0.96905538 1.79556963.2 4.6370361 e-2 0.98036575 1.99058283.4 3.0535214 e-2 0.98797122 2.18746933.6 1.9328694 e-2 0.99288865 2.38559263.8 1.1758678 e-2 0.99594502 2.58450114 6.8740853 e-3 0.99777083 2.78388894.2 3.861352 e-3 0.99881904 2.98355794.4 2.0840747 e-3 0.99939734 3.18338554.6 1.0807525 e-3 0.99970394 3.38329894.8 5.3848399 e-3 0.99986013 3.58325715 2.5778052 e-4 0.99993659 3.78323775.2 1.1856508 e-4 0.99997256 3.98322915.4 5.2395285 e-5 0.99998882 4.18322545.6 2.2246211 e-5 0.99999588 4.3832245.8 9.0750329 e-6 0.99999883 4.58322356 3.556875 e-6 1. 4.7832234

Tabla 19.1: Solución (numérica) de la ecuación de Blasius. La línea horizontalmarca el espesor de capa límite, u/ue = f ′ = 0.99


0,00#

0,20#

0,40#

0,60#

0,80#

1,00#

1,20#

0,00# 1,00# 2,00# 3,00# 4,00# 5,00# 6,00# 7,00#

Figura 19.3: Solución numérica de la ecuación de Blasius

19.5.3 ExplotaciónCon la integración numérica de la ecuación de Blasius, y por lo tanto con losvalores de f y sus derivadas ( f ′, f ′′, . . .) es posible calcular todos los paráme-tros de interés en la capa límite.

El espesor de capa límite se define como la distancia a la pared a la que la Espesor de capa límite, δ

velocidad es “casi” la velocidad de la corriente libre; por ejemplo, u/ue =0.99. El ratio u/ue es, como hemos dicho, f ′; y, según la solución numéricade la ecuación de Blasius (ver Tabla 19.1), f ′(η) = 0.99 para η∼ 3.53; es decir:

s

ue

2νxy ∼ 3.53 . (19.56)

Por tanto, esa coordenada y es la del espesor de capa límite, δ99 %; y la evo-lución del espesor de capa límite con la longitud x a lo largo de la placa es,despejando de la expresión anterior:

s

ue

2νxδ99 % ∼ 3.53⇒

δ99 %

x=

3.53Æ

ue x2ν

=5

Re1/2x

(19.57)

Por tanto:

δ99 %

x=

5

Re1/2x

(19.58)

a densidad variable.

350 Capa límite

El espesor de desplazamiento se calcula a partir de su definición (EcuaciónEspesor de desplazamiento

19.33) como:

δ∗ =

∫ ∞

0

1−u

ue

d y =

∫ ∞

0

1− f′ dηÆ

ue2νx

=

=

√

√2νx

uelımη→∞

η− f

η

, (19.59)

donde hemos tenido en cuenta que f

η= 0

= 0.

Usando para el límite anterior la solución numérica de la Tabla 19.1, se tieneque el espesor de desplazamiento varía como:

δ∗

x=

1.721

Re1/2x

(19.60)

Análogamente, el espesor de cantidad de movimiento es (de la EcuaciónEspesor de cantimov

19.35):

δ∗∗ =

√

√2νx

ue

∫ ∞

0

f ′

1− f ′

dη=

√

√2νx

uef′′(0) . (19.61)

Entre los parámetros más importantes está el esfuerzo en la pared (que per-Esfuerzo en la pared

mite calcular fuerzas); éste viene dado por

τp =µ∂ u

∂ y

y=0

=µ∂ 2Ψ

∂ y 2

y=0

=µue

s

ue

2νxf′′(0) , (19.62)

donde f′′ (0) se obtiene de la solución numérica (Tabla 19.1). El resultado,

tras operar, es:

τp (x ) =0.332ρ1/2µ1/2u 3/2

e

x 1/2(19.63)

Integrando el esfuerzo se obtiene la fuerza que el fluido ejerce sobre la pla-Fuerza

ca11:

F (x ) =

∫ x

0

τp (x∗)d x ∗ = 0.664ρ1/2µ1/2u 3/2

e x 1/2 (19.64)

11Usamos x ∗ como variable muda de integración.

19.6. Ecuación integral de von Kármán 351

(por unidad de anchura perpendicular al papel).

El coeficiente de arrastre puede calcularse a partir de la fuerza anterior, y es,para una placa de longitud L y anchura b :

CD =F (L )b

12ρu 2

e b L=

1.328

Re1/2L

. (19.65)

(Note que hemos adimensionalizado con la presión dinámica ρu 2e /2, y que

la fuerza es sobre una cara; si quiere el coeficiente para las dos caras de laplaca, debe multiplicar por dos.)

19.5.4 Advertencia finalRecuerde que toda esta sección es válida sólo para capas límite laminares,bidimensionales y planas (es decir, sin gradientes de presión). (Intente veren qué punto usamos cada una de estas hipótesis!)

19.6 Ecuación integral de von Kármán

Donde buscamos una alternativa cuando no se cumplen algunas de las hipótesispara aplicar la ecuación de Blasius; por ejemplo, cuando la placa no es plana(hay gradiente de presión), o el flujo es turbulento.

La ecuación de von Kármán se puede utilizar en lugar de la ecuación de Bla- Blasius no siempre aplcia-blesius cuando ésta no es aplicable, por ejemplo porque la placa no es plana

(y por tanto hay un gradiente de presión, d p/d x 6= 0) o porque el flujo esturbulento12.

La ecuación de von Kármán es una ecuación integral (cantidad de movi-miento se resuelve integrada en la dirección transversal), manipulada demanera que se cumplan tantas condiciones de contorno como sea posible.

19.6.1 DeducciónPara deducir la ecuación integral de von Kármán, partimos de las ecuacio- Empezamos con cont y

cantimov12Hay más alternativas al método de von Kármán en estos casos, que no veremos

352 Capa límite

nes de continuidad y cantidad de movimiento en dirección x (para densidadconstante):

∂ u

∂ x+∂ v

∂ y= 0 ; (19.66)

u∂ u

∂ x+ v∂ v

∂ y= ue u ′e

−d p/d x

+ν∂ 2u

∂ y 2, (19.67)

donde hemos puesto el gradiente de presión como (ver Ecuación 19.23):

−d p

d x= ue u ′e (19.68)

Multiplicando la Ecuación 19.66 por (ue − u ) y restando la Ecuación 19.67Las combinamos en una

queda13 queda:

∂

∂ x[u (ue −u )] +

∂

∂ y[v (ue −u )] + (ue −u )u ′e =−ν

∂ 2u

∂ y 2(19.69)

Integrando entre y = 0 y y =∞:Integramos en dir transver-sal

∫ ∞

0

∂

∂ x[u (ue −u )]d y +

∫ ∞

0

∂

∂ y[v (ue −u )]d y+

+

∫ ∞

0

(ue −u )u′

e d y =−ν∫ ∞

0

∂ 2u

∂ y 2d y (19.70)

Operando:

d

d xu 2

e

∫ ∞

0

u

ue

1−u

ue

d y

δ∗∗

+ v (ue −u )|∞00

+

+ue u′

e

∫ ∞

0

1−u

ue

d y

δ∗

= −µ

ρ

∂ u

∂ y

∞

0

(19.71)

Teniendo en cuenta que:Manipulamos

µ

ρ

∂ u

∂ y

y=∞= 0 ;

µ

ρ

∂ u

∂ y

y=0

=τp

ρ, (19.72)

13El resultado no es inmediato

19.6. Ecuación integral de von Kármán 353

la ecuación integral queda:

d

d x

u 2eδ∗∗+ue u ′eδ

∗ =τp

ρ, (19.73)

que, tras hacer la derivada del producto del primer término y dividir por u 2e Ec de von Kármán

da lugar a la ecuación integral de von Karman:

dδ∗∗

d x+

u ′eue[2δ∗∗+δ∗] =

τp

ρu 2e

(19.74)

19.6.2 UsoEl uso de la ecuación integral de von Kármán es muy sencillo, y consiste enlos siguientes pasos:

1. Suponga una relación para la velocidad u como función de δ, u =u (δ), usualmente involucrando constantes genéricas a determinar(por ejemplo, un polinomio).

2. Use las condiciones de contorno para calcular las constantes de la re-lación u = u (δ).

3. Con u = u (δ), halle τp , δ∗∗, δ∗.

4. Sustituya éstos en al ecuación de Von Karman (Ecuación 19.74), que-dando una ecuación diferencial en δ.

5. Resuelva (integre) la ecuación para para hallar δ (x ).

19.6.3 EjemploComo ejemplo, resolveremos la placa plana en régimen laminar que ya he-mos resuelto antes con la ecuación de Blasius. Dado que la placa es plana,d p/d x = 0, y por tanto u ′e = 0; la ecuación de von Kármán queda reducidaa:

dδ∗∗

d x=τp

ρu 2e

. (19.75)

La aplicación de los pasos de la sección anterior es como sigue:

354 Capa límite

1. Suponga una relación entre u y δ, por ejemplo un polinomio de gradotres:

u

ue= a + b

y

δ+ c

y 2

δ2+d

y 3

δ3, y <δ (19.76)

u

ue= 1, y≥δ . (19.77)

2. Dado que hay cuatro constantes, precisamos cuatro condiciones; éstasson:

u

y = 0

= 0;

∂ 2u∂ y 2

y=0= 0 (de la Ecuación 19.21 con d p/d x = 0 para placa pla-

na);

u

y =δ

= ue ;

∂ u∂ y

y=δ= 0.

3. Utilizando las condiciones anteriores, halle las constantes, y sustituyaen la relación original, Ecuación 19.75:

u

ue=

3

2

y

δ

−1

2

y

δ

3

4. Calcule el espesor de cantidad de movimiento:

δ∗∗ =

∫ ∞

0

1−u

ue

u

ued y =

∫ δ

0

1−u

ue

u

ue

d y =39

280δ

5. Calcule el esfuerzo en la pared:

τp

ρu 2e

= ν∂ u

∂ y

y=0

1

u 2e

=3

2

ν

δue

6. Introduzca ambos en la Ecuación 19.75:

39

280

dδ

d x=

3

2

ν

ueδ(19.78)

7. Integre en x , con δ= 0 en x = 0:

δ= 4.64

√

√νx

ue

19.7. La capa límite turbulenta 355

Laminar

Esp

esor

Turbulenta E

spes

or Perfil más pronunciado

Figura 19.4: Capa límite laminar y capa límite turbulenta; efecto de la mayoreficiencia en la transferencia de cantidad de movimiento

Si compara este resultado con el equivalente (Ecuación 19.58) obtenido dela ecuación de Blasius (que es “casi” exacta), verá que la constante es 5 ensolución exacta.

19.7 La capa límite turbulenta

Donde atacamos, usando la ecuación integral de von Kármán, la capa límite tur-bulenta, que es la más común, y la más importante tecnológicamente

La mayor parte de las capas límite de interés (en la Naturaleza o en tecnolo- Casi siempre turbulenta!

gía) son turbulentas14. Comparada con la capa límite laminar, la capa lími-te turbulenta tiene un perfil de velocidad “más inclinado” cerca de la pared(ver Figura 19.4); esto es debido a que, en flujo turbulento, los fenómenosde transferencia molecular son más eficientes (ver Capítulo 11), y por tantotambién lo es la transferencia de cantidad de movimiento entre el flujo librey la pared.

El flujo turbulento en una capa límite es tridimensional y transitorio, pero enpromedio la velocidad puede considerarse cuasi-unidireccional (u v , w ).

14Si no lo cree, calcule ReL para algunas situaciones; coches, aviones, barcos, meros, elviento en la playa.

356 Capa límite

Cuando el flujo es turbulento, el esfuerzo en la pared no esEsfuerzo en la pared

τp 6=µ∂ u

∂ y

y=0

(19.79)

Experimentalmente se comprueba que

τp

ρu 2e

= 0.0225

µ

ρueδ

1/4

, (19.80)

y que el perfil de velocidades es:Perfil de velocidades (exp)

u

ue=

y

δ

1/7

, y <δ

u = ue , y ≥δ .

Para resolver la capa límite, utilizaremos la ecuación integral de von Kármán,Solución con v-K

suponiendo la placa plana:

dδ∗∗

d x=τp

ρu 2e

. (19.81)

Con el perfil de velocidades anterior, el espesor de cantidad de movimientoEspesor de cantimov

vale:

δ∗∗ =

∫ δ

0

1−u

ue

u

ued y =

7

72δ . (19.82)

Por tanto, introduciendo esfuerzo y espesor de cantidad de movimiento enEn v-K

la ecuación de von Kármán:

δ1/4dδ=72

70.0225

µ

ρue

1/4

d x . (19.83)

E integrando, con δ= 0 en x = 0, obtenemos la variación del espesor δ de laIntegramos

capa límite turbulenta con x :

δ

x= 0.37

µ

ρue x

1/5

. (19.84)

Calculado δ, pueden calcularse el resto de parámetros de la capa límite; enEsfuerzo

19.8. Donde la capa límite pierde su casto nombre 357

particular, el esfuerzo (adimensionalizado como coeficiente de fricción) es,a partir de la Ecuación 19.80:

C f =τp

12ρu 2

e

= 0.0576

µ

ρue x

1/5

=0.0576

Re1/5x

. (19.85)

La fuerza hasta una distancia x se obtiene integrando el esfuerzo15: Fuerza

F (x ) =

∫ x

0

τp (x∗)d x ∗ =

0.037xρu 2e

Re1/5x

(19.86)

(por unidad de anchura perpendicular al papel).

Operando se obtiene el coeficiente de arrastre:

CD =F (x )

12ρu 2

e x=

0.074

Re1/5x

. (19.87)

(Note que la fuerza es sobre una cara; si quiere el coeficiente para las doscaras de la placa, debe multiplicar por dos.)

19.8 Donde la capa límite pierde su casto nombre

Donde brevemente abordamos el asunto de la destrucción de la capa límite debi-da a gradientes adversos de presión

En este capítulo hemos tratado, sobre todo, placas planas, en las que la ve-locidad de la corriente externa es constante y, en consecuencia, el gradientelongitudinal de presión es nulo (Ecuación 19.23).

Cuando la placa es curva, el flujo exterior converge o diverge, y respectiva- Placa curva es lo más habi-tualmente se acelera o decelera (dado que el mismo caudal tiene que pasar por,

respectivamente, menos o más área). Éste es el caso en muchas aplicacio-nes prácticas: en pelotas y balones, el flujo inicialmente converge, y despuésdiverge; lo mismo es cierto en perfiles alares (por ejemplo, el flujo de aire al-rededor del ala de un avión); o en toberas, que son conductos convergentes-divergentes.

Según la Ecuación 19.23, el gradiente longitudinal de presión sigue una ten- Curvatura implica gradien-te de presión en la corrientelibre15Usamos x ∗ como variable muda de integración.

358 Capa límite

Figura 19.5: Divergencia del flujo, deceleración, gradiente de presión adversoy desprendimiento de capa límite

dencia opuesta a la aceleración: es negativo (la presión disminuye) cuandoel flujo se acelera, y positivo (la presión aumenta) cuando se decelera (Figura19.5).

El gradiente de presión negativo se llama favorable (porque tiende a acele-Favorable o desfavorable

rar el flujo), y el positivo se llama desfavorable (o adverso) (porque tiende afrenarlo).

Un gradiente adverso suficientemente alto (y mantenido) puede llegar a in-Gradiente adverso puededar lugar a desprendimien-to de CL

vertir el sentido de la velocidad en la capa límite, por tanto ésta deja de ser-lo. Este fenómeno se llama desprendimiento de capa límite, y tiene mucharelevancia tecnológica. Entre otras cosas, aumenta (como se ve en el Capí-tulo 18) la resistencia aero/hidrodinámica de los cuerpos.

Se define el punto de desprendimiento como el punto en el que (FiguraPunto de desprendimiento

19.5):

∂ u

∂ y

y=0

= 0 . (19.88)

La predicción de la ocurrencia o no del desprendimiento, la estimación delPredicción para otra asig-natura/carrera punto de la pared en el que se produce, y el cálculo de las fuerzas entre flui-

do y objeto con desprendimiento no son asuntos triviales, y ciertamente no

19.8. Donde la capa límite pierde su casto nombre 359

pueden hacerse con las herramientas vistas en este capítulo.

Apéndices

A

Coordenadas curvilíneas

A.1 El sistema de coordenadas curvilíneasLa forma más intuitiva de introducir las coordenadas curvilíneas es por re-ferencia un sistema cartesiano, con coordenadas (x1, x2, x3) y vectores uni-tarios ~u1, ~u2 y ~u3, como el que se muestra en la Figura A.1.

Consideramos en este sistema cartesiano tres familias de superficies, dadasrespectivamente por las tres ecuaciones:

ξ1 (x1, x2, x3) =C1 ;ξ2 (x1, x2, x3) =C2 ;ξ3 (x1, x2, x3) =C3 , (A.1)

donde Ci es un parámetro. La Figura A.1 ilustra tres de estas superficies, quepasan por un punto P .

Las superficies se intersectan en curvas. Así, las superficies ξ1 (x1, x2, x3) =C1

y ξ2 (x1, x2, x3) = C2 se intersectan en una línea que denominaremos líneacoordenada ξ3, y a lo largo de la cual, por tanto, las dos funciones ξ1 y ξ2

constantes. Similarmente definimos las líneas coordenadas ξ1 y ξ2. Las lí-neas así definidas constituyen un sistema de coordenadas curvilíneas.

Cuando las familias de curvas se cortan en cada punto perpendicularmente,las coordenadas curvilíneas se dicen ortogonales. En lo que sigue nos referi-remos exclusivamente a coordenadas curvilíneas ortogonales.

Consideremos las tres funciones:

ξ1 = ξ1 (x1, x2, x3) ; ξ2 = ξ2 (x1, x2, x3) ; ξ3 = ξ3 (x1, x2, x3) , (A.2)

363

364 Coordenadas curvilíneas

x1

u 2 x2u 1

u 3

x3 e 1

e 3

x = const2

x = const1

x = const3

e 2

Figura A.1: Superficies y líneas coordenadas en un sistema cartesiano

que escribimos, de forma abreviada:

ξi = ξi (x j ) . (A.3)

Si este sistema es invertible, podemos entonces calcular también:

x1 = x1 (ξ1,ξ2,ξ3) ; x2 = x2 (ξ1,ξ2,ξ3) ; x3 = x3 (ξ1,ξ2,ξ3) , (A.4)

o, de forma abreviada:

xi = xi (ξ j ) o ~x = ~x (ξ j ) (A.5)

A.2 Base de vectores y factores de escalaUna línea coordenada ξ1 se obtiene por tanto variando el vector de posición~x mientras se mantienen las funciones ξ2 y ξ3 constantes; de esta manera,nos movemos a lo largo de la intersección entre las superficies ξ2 =C2 y ξ3 =C3.

El vector ∂ ~x/∂ ξ1, por tanto, es tangente a la línea coordenada. Esto se harepresentado (para dos dimensiones por sencillez), en la Figura A.2. Si lla-

mamos g1 al módulo del vector, g1def= |∂ ~x/∂ ξ1|, entonces:

∂ ~x

∂ ξ1= g1 ~e1 , (A.6)

donde ~e1 es el vector unitario a lo largo de la coordenada ξ1. Considerandoigualmente el resto de las coordenadas, los vectores ~e1, ~e2 y ~e3 forman la base

A.3. Longitudes, superficies y volúmenes diferenciales 365

x2

x1

x = cte2

x = cte1

xx

2

∂ ∂

xx

1

∂ ∂

Figura A.2: Sistema de referencia cartesiano, líneas coordenadas y vectoresbase (en dos dimensiones)

del sistema de coordenadas curvilíneas. Nótese que ~ei son ortogonales si elsistema de coordenadas lo es. Naturalmente, tanto g i como ~ei pueden variar(los últimos en dirección) con la posición en el espacio.

El factor g i se llama factor métrico (o coeficiente métrico, o factor de escala),y su significado geométrico se verá en la sección siguiente.

A.3 Longitudes, superficies y volúmenesdiferencialesEn coordenadas curvilíneas, el diferencial de vector de posición está dadopor:

d ~x =∂ ~x

∂ ~ξi

dξi = g1 ~e1dξ1+ g2 ~e2dξ2+ g3 ~e3dξ3 . (A.7)

Por tanto, el factor geométrico g i relaciona cambios en la coordenada curvi-línea con desplazamientos en el espacio; cuando ξi cambia en dξi , el des-plazamiento en el espacio es g i dξi (no Einstein).

De la expresión anterior, el diferencial de arco vale (cuando las coordenadas


dS2

x 1

dS3

x 2

x 1

dS1

x 3

h dx 3 3

h dx 2 2

h dx

1

1

Figura A.3: Superficies y líneas coordenadas

curvilíneas son ortogonales):

d l =p

d ~x ·d ~x =q

g 2i dξ2

i . (A.8)

Los diferenciales de superficie son (Figura A.3):

d S1 = g2g3dξ2dξ3 ; d S2 = g1g3dξ1dξ3 ; d S3 = g1g2dξ1dξ2 . (A.9)

Finalmente, el diferencial de volumen es:

d V = g1g2g3dξ1dξ2dξ3 . (A.10)

A.4 El operador nabla en coordenadascurvilíneas

En esta sección veremos (en ocasiones sin deducción) la forma que adop-ta, en coordenadas curvilíneas, el operador nabla. Distinguiremos cuandoel operador actúa sobre un campo escalar (gradiente de un escalar) o sobreun campo tensorial (divergencia, gradiente, rotacional de un vector y diver-gencia de un tensor).

A.4. El operador nabla en coordenadas curvilíneas 367

A.4.1 Gradiente de un escalarDeduciremos la expresión en coordenadas curvilíneas del operador gradien-te a partir de una de sus principales propiedades (ver Capítulo 0):

dφ =∇φ ·d ~x , (A.11)

dondeφ es un campo escalar, y d ~x es un vector diferencial.

Por otro lado, diferenciandoφ =φ(ξ1,ξ2,ξ3):

dφ =∂ φ

∂ ξidξi . (A.12)

En el sistema curvilíneo, la relación entre d x j y dξi viene dada por la Ecua-ción A.7:

d ~x =∂ ~x

∂ ξidξi =

∑

i

g i ~ei dξi . (A.13)

Por tanto, con las Ecuaciones A.12 y A.13, la Ecuación A.11 se cumple si:

∇φ =∑

i

1

g i

∂ φ

∂ ξi~ei , (A.14)

y el operador∇ es, en coordenadas curvilíneas:

∇=∑

i

1

g i~ei

∂

∂ ξi=

1

g1

∂

∂ ξ 1

,1

g2

∂

∂ ξ 2

,1

g3

∂

∂ ξ 3

. (A.15)

A.4.2 Nabla operando sobre un tensorCuando el ∇ nabla actúa sobre un tensor en coordenadas curvilíneas, hayque tener en cuenta que no sólo las componentes del tensor pueden variarespacialmente: también los propios vectores de la base, ~ei , pueden cambiarde dirección.

Las operaciones más frecuentes de ∇ sobre un tensor son: el gradiente deun vector, el rotacional de un vector, la divergencia de un vector o tensor ola laplaciana. Las expresiones para estos operadores se dan a continuaciónsin deducción.

Dados los campos escalar φ, vectorial ~v = vi ~ei , y tensorial de orden 2 ~~t , setienen las siguientes expresiones:


Divergencia de ~a :

∇· ~v =1

g1g2g3

∂

∂ ξ 1

g2g3v1

+∂

∂ ξ 2

g3g1v2

+∂

∂ ξ 3

g1g2v3

. (A.16)

Laplaciana de φ (deducible a partir de resultados anteriores como∇·(∇φ)):

∆φ =∇2φ =1

g1g2g3

∂

∂ ξ 1

g2g3

g1

∂ φ

∂ ξ1

+∂

∂ ξ 2

g3g1

g2

∂ φ

∂ ξ2

+∂

∂ ξ 3

g1g2

g3

∂ φ

∂ ξ3

. (A.17)

Rotacional de ~v :

[∇× ~v ]1 =1

g2g3

∂

∂ ξ 2

(g3v3)−∂

∂ ξ 3

(g2v2)

,

[∇× ~v ]2 =1

g3g1

∂

∂ ξ 3

(g1v1)−∂

∂ ξ 1

(g3v3)

,

[∇× ~v ]3 =1

g1g2

∂

∂ ξ 1

(g2v2)−∂

∂ ξ 2

(g1v1)

. (A.18)

Divergencia de ~~t :

∇· ~~t

1=

1

g1g2g3

∂

∂ ξ 1

(g2g3t11) +∂

∂ ξ 2

(g3g1t21) +∂

∂ ξ 3

(g1g2t31)

+

+t21

g1g2

∂ g1

∂ ξ2+

t31

g1g3

∂ g1

∂ ξ3−

t22

g1g2

∂ g2

∂ ξ1−

t33

g1g3

∂ g3

∂ ξ1,

∇· ~~t

2=

1

g1g2g3

∂

∂ ξ 2

(g2g3t12) +∂

∂ ξ 2

(g2g3t22) +∂

∂ ξ 3

(g1g2t32)

+

+t32

g2g3

∂ g2

∂ ξ3+

t12

g2g1

∂ g2

∂ ξ1−

t33

g2g3

∂ g3

∂ ξ2−

t11

g2g1

∂ g1

∂ ξ2,

∇· ~~t

3=

1

g1g2g3

∂

∂ ξ 1

(g2g3t13) +∂

∂ ξ 2

(g2g3t23) +∂

∂ ξ 3

(g1g2t33)

+

+t13

g3g1

∂ g3

∂ ξ1+

t23

g3g1

∂ g3

∂ ξ2−

t11

g3g1

∂ g1

∂ ξ3−

t22

g3g2

∂ g2

∂ ξ3. (A.19)

A continuación particularizaremos muchas de las expresiones para coorde-nadas cartesianas y cilíndrico-polares.

A.5. Coordenadas cartesianas 369

z

x

y

P(x,y,z)

i

k

j y

Figura A.4: Coordenadas cartesianas

A.5 Coordenadas cartesianasVectores unitarios: ~i , ~j , ~k .

Vector de posición ~x = x ~i + y ~j + z ~k .

Vector de velocidad ~v = u~i + v ~j +w ~k .

Diferencial de longitud: d ~x = d x ~i +d y ~j +d z ~k

Diferencial de superficie: d Sx = d y d z , d Sy = d x d z , d Sz = d x d y .

Diferencial de volumen: d V = d x d y d z .

Gradiente del escalarφ:

∇φ =∂ φ

∂ x~i +∂ φ

∂ y~j +∂ φ

∂ z~k . (A.20)

Divergencia del vector ~v :

∇· ~v =∂ vx

∂ x+∂ vy

∂ y+∂ vz

∂ z. (A.21)

Laplaciana de un campo escalarφ:

∆φ =∇·∇φ =∂ 2φ

∂ x 2+∂ 2φ

∂ y 2+∂ 2φ

∂ z 2. (A.22)


Laplaciana de un campo vectorial ~v :

∆ ~v =∇·∇ ~v =∆vx~i +∆vy

~j +∆vz~k . (A.23)

Rotacional del vector ~v :

∇× ~v =

∂ vz

∂ y−∂ vy

∂ z

~k +

∂ vx

∂ z−∂ vz

∂ x

~j +

∂ vy

∂ x−∂ vx

∂ y

~k . (A.24)

Divergencia del tensor de esfuerzos ~~τ:

∇· ~~τ =

∂ τx x

∂ x+∂ τx y

∂ y+∂ τx z

∂ z

~i +

+

∂ τx y

∂ x+∂ τy y

∂ y+∂ τy z

∂ z

~j +

+

∂ τx z

∂ x+∂ τy z

∂ y+∂ τz z

∂ z

~k . (A.25)

Tensor velocidad de deformación ~~e :

ex x =∂ u

∂ x(A.26)

ey y =∂ v

∂ y(A.27)

ez z =∂ w

∂ z(A.28)

ex y = ey x =1

2

∂ u

∂ y+∂ v

∂ x

(A.29)

ex z = ez x =1

2

∂ u

∂ z+∂ w

∂ x

(A.30)

ey z = ez y =1

2

∂ v

∂ z+∂ w

∂ y

. (A.31)

Ecuación de continuidad:

∂ ρ

∂ t+∂

∂ x(ρu ) +

∂

∂ y(ρv ) +

∂

∂ z(ρw ) = 0

A.6. Coordenadas cilíndrico-polares 371

z

y

q

P (r, q, z)

x

q

e r

e ze q

Figura A.5: Coordenadas cilíndrico-polares

Ecuaciones de cantidad de movimiento:

x →∂ (ρu )∂ t

+∂ (ρu u )∂ x

+∂ (ρv u )∂ y

+∂ (ρw u )∂ z

=

=∂ τx x

∂ x+∂ τx y

∂ y+∂ τx z

∂ z−∂ p

∂ x+ρ fmx

(A.32)

y →∂ (ρv )∂ t

+∂ (ρu v )∂ x

+∂ (ρv v )∂ y

+∂ (ρw v )∂ z

=

=∂ τx y

∂ x+∂ τy y

∂ y+∂ τy z

∂ z−∂ p

∂ y+ρ fmy

(A.33)

z →∂ (ρw )∂ t

+∂ (ρu w )∂ x

+∂ (ρv w )∂ y

+∂ (ρw w )∂ z

=

=∂ τx z

∂ x+∂ τy z

∂ y+∂ τz z

∂ z−∂ p

∂ z+ρ fmz

(A.34)

A.6 Coordenadas cilíndrico-polares

Vectores unitarios:


~er = +cosθ ~i + sinθ ~j (A.35)

~eθ = −sinθ ~i + cosθ ~j (A.36)

~ez = ~k . (A.37)

Vector de posición: ~x = r ~er + z ~ez .

Vector velocidad: ~v = ur ~er +uθ ~eθ +uz ~ez .

Elemento diferencial de línea: d ~x = d r ~er + r dθ ~eθ +d z ~ez .

Elementos diferenciales de superficie: d Sr = r dθd z , d Sθ = d r d z ,d Sz = r d r dθ .

Elemento diferencial de volumen: d V = r d r dθd z .

Gradiente de un campo escalarφ

∇φ =∂ φ

∂ r~er +

1

r

∂ φ

∂ θ~eθ +

∂ φ

∂ z~ez . (A.38)

Laplaciana de un campo escalarφ:

∆φ =∇·∇φ =∂ 2φ

∂ r 2+

1

r

∂ φ

∂ r+

1

r 2

∂ 2φ

∂ θ 2+∂ 2φ

∂ z 2. (A.39)

Laplaciana del campo vectorial ~v = (vr , vt he t a , vz ):

∇·∇ ~v =§

∇vr −1

r 2

vr +2∂ vθ∂ φ

ª

~er+§

∇vθ −1

r 2

vθ −2∂ vr

∂ φ

ª

~eθ+∇vz ~ez .

(A.40)

Divergencia de un campo vectorial ~v = (vr , vθ , vz ):

∇· ~v =1

r

§

∂ (r vr )∂ r

+∂ vθ∂ θ+∂ (r vz )∂ z

ª

. (A.41)

Divergencia de un tensor ~~τ:

∇· ~~τ =§

1

r

∂ (rτr r )∂ r

+1

r

∂ τθ r

∂ θ+∂ τz r

∂ z−τθθ

r

ª

~er +

+§

1

r

∂ (rτr θ )∂ r

+1

r

∂ τθθ∂ θ

+∂ τzθ

∂ z+τr θ

r

ª

~eθ +

+§

1

r

∂ (rτr z )∂ r

+1

r

∂ τθ z

∂ θ+∂ τzθ

∂ z

ª

~ez (A.42)

A.6. Coordenadas cilíndrico-polares 373

Rotacional de un campo vectorial ~v = (vr , vθ , vz ):

∇× ~v =§

1

r

∂ vz

∂ θ−∂ vθ∂ z

ª

~er+§

∂ vr

∂ z

ª

~eθ+1

r

§

∂ (r vθ )∂ r

−∂ vr

∂ θ

ª

~ez . (A.43)

Tensor velocidad de deformación ~~e :

er r =∂ ur

∂ r(A.44)

eθθ =1

r

∂ uθ∂ θ

+1

rur (A.45)

ez z =∂ uz

∂ z(A.46)

2er θ = 2eθ r = r∂ (r −1uθ )∂ r

+1

r

∂ ur

∂ θ(A.47)

2er z = 2ez r =∂ ur

∂ z+∂ uz

∂ r(A.48)

2eθ z = 2ezθ =1

r

∂ uz

∂ θ+∂ uθ∂ z

(A.49)

Ecuación de continuidad:∂ ρ

∂ t+

1

r

∂

∂ r(rρur ) +

1

r

∂

∂ θ(ρuθ ) +

∂

∂ z(ρuz ) = 0 . (A.50)

Ecuaciones de cantidad de movimiento (para densidad y viscosidadconstantes):

r →ρ§

∂ ur

∂ t+ur

∂ ur

∂ r+uz

∂ ur

∂ z+

1

r

uθ∂ ur

∂ θ−u 2

θ

ª

=

=ρ fmr−∂ p

∂ r+µ

§

∆ur −1

r 2

ur +2∂ uθ∂ θ

ª

(A.51)

θ →ρ§

∂ uθ∂ t+ur

∂ uθ∂ r+uz

∂ uθ∂ z+

1

r

uθ∂ uθ∂ θ

+ur uθ

ª

=

=ρ fmθ−

1

r

∂ p

∂ θ+µ

§

∆uθ −1

r 2

uθ +2∂ ur

∂ θ

ª

(A.52)

z →ρ§

∂ ur z

∂ t+ur

∂ uz

∂ ruz

∂ ur

∂ z+

1

ruθ∂ yz

∂ θ

ª

=

= ρ fmz−∂ p

∂ z+µ∆uz (A.53)

B

Fuerzas fluidostáticas sobresuperficies curvas

En este anexo deduciremos las fórmulas, libres de integrales, que se utili-zan para calcular, separadamente, las tres componentes de la fuerza sobrela superficie curva sumergida, y las dos coordenadas de la línea de actua-ción de cada componente. La deducción es más matemática que la realizadaen el texto principal (Capítulo 6, Sección 6.6), pero los resultados son, natu-ralmente, los mismos.

Deduciremos estas fórmulas primero para la componente vertical (según z )de la fuerza, y después para las componentes horizontales (según x e y ).

B.1 Componente vertical de la fuerza ymomento

La componente vertical de la fuerza es:

Fz = ~F · ~k =∫

S

−p ~n · ~k d S =−sgn

~n · ~k

∫

Sz

p d Sz , (B.1)

donde se ha tenido en cuenta que ~n · ~k d S = sgn

~n · ~k

d Sz , es decir, es laproyección sobre el plano x y del elemento diferencial de superficie (salvo

375

376 Fuerzas fluidostáticas sobre superficies curvas

Figura B.1: Componente en z de la fuerza

el signo)1. Sustituyendo p por su valor de la Ecuación 6.16, tenemos:

Fz =−∫

Sz

P0+ρg (H − z )

d Sz , (B.2)

donde la integral se ha extendido a la superficie proyectada Sz ya que la va-riable de integración es ahora d Sz . La integral puede dividirse en dos partes:la integral de P0 es P0Sz , mientras que la integral de ρg (H − z ) es ρg V , sien-do V el volumen de fluido de densidad ρ que la superficie tiene por encima(Figura B.2):

Fz =−

P0Sz +ρg V

. (B.3)

(Puesto que la presión P0 es generalmente debida a otro fluido que está porencima de la superficie z = H , por ejemplo aire, y la presión de este otrofluido actúa sobre la proyección Sz de la superficie S , la Ecuación B.3 puedeinterpretarse como el peso de la columna de fluidos, sean éstos líquido o gas,que están por encima de la superficie S .)

1sgn

~n · ~k

se ha supuesto de momento constante en toda la superficie, para poder sa-carlo de la integral. Más adelante se discuten las limitaciones que esta hipótesis introduce.

B.1. Componente vertical de la fuerza y momento 377

Figura B.2: Interpretación gráfica de la Ecuación B.2

Esta componente vertical de la fuerza produce momento con respecto al ejex y con respecto al eje y . El segundo, por ejemplo, vale:

M yFz=−

∫

S

x p ~n · ~k d S =−∫

Sz

x

P0+ρg (H − z )

d Sz . (B.4)

Separando la ecuación anterior en dos partes, queda:

M yFz=−P0

∫

Sz

x d Sz −ρg

∫

Sz

x (H − z )d Sz . (B.5)

La primera integral es, por definición, la coordenada x del centro de grave-dad de la superficie proyectada Sz , que denotaremos por xC G Sz

, multiplica-da por el área Sz , mientras que la segunda es la coordenada x del centro degravedad (xC G V

) del volumen de fluido por encima de la superficie S multi-plicada por dicho volumen V (Figura B.2). Por tanto el momento es:

M yFz=−P0 xC G Sz

Sz −ρg xC G VV . (B.6)

Considerando que, por definición, M yFz= Fz xC P , de la ecuación anterior

puede despejarse xC P la coordenada x de la línea de actuación de la compo-nente de la fuerza:

xC P =−P0 xC G Sz

Sz −ρg xC G VV

Fz. (B.7)

Nótese que, puesto que los ejes x e y son ambos horizontales, la coordenaday de la línea de actuación de Fz puede obtenerse de la Ecuación B.7 sin másque intercambiar x ↔ y :

yC P =−P0 yC G z

Sz −ρg yC G VV

Fz, (B.8)

y análogamente para el momento (Ecuación B.6).


Figura B.3: Componente en y de la fuerza

B.2 Componentes horizontales de la fuerza ymomentosPara calcular la componente y de la fuerza fluidostática, Fy , proyectaremosla fuerza en dirección y :

Fy = ~F · ~j =−∫

S

p ~n · ~j d s =−sgn

~n · ~j

∫

Sy

p d Sy . (B.9)

Puesto que un punto en la superficie original S y el punto homólogo sobre lasuperficie proyectada Sy tienen la misma profundidad (al ser la proyecciónen dirección horizontal, Figura B.3), la presión en el punto original y en elproyectado es la misma, y entonces la última integral puede interpretarsecomo una integral sobre la superficie proyectada. Puesto que ésta es plana,el problema de calcular Fy (y su línea de actuación) queda reducido al de unasuperficie plana, desarrollado en la Sección 6.5 (Figura B.4). La fuerza puedecalcularse utilizando la Ecuación 6.20, sin mas que considerar que el áreainvolucrada en la ecuación es ahora Sy ; la fuerza es por tanto la presión enel centro de gravedad de la superfice proyectada, por el área de la superficieproyectada:

Fy = pC GSySy = P0Sy +ρg hC GSy

Sy . (B.10)

B.2. Componentes horizontales de la fuerza y momentos 379

Figura B.4: Proyección de S en dirección y , y equivalencia con la nomencla-tura usada para la superficie plana

Los momentos originados por la fuerza pueden también ser calculados utili-zando las ecuaciones para la superficie plana, ecuaciones (6.22) y (6.24), conla precaución de recordar que las coordenadas y los momentos de inerciautilizados en esas ecuaciones están referidos a ejes sobre la superficie plana,con origen en el centro de gravedad de la superficie, y orientados horizon-talmente y verticalmente. Para distinguir estos ejes, que son distintos de losde la Figura B.4, se siguen denominado con la misma nomenclatura de laSección 6.5 (X e Y ). En estos ejes, el momento con respecto al eje X de lacomponente y de la fuerza es (de la Ecuación 6.22 con θ =π/2):

MXFy= Fy YC PSy

=−ρg IX XSy, (B.11)

donde, recordamos, Y es el eje sobre la superficie plana que se dirige haciala superficie libre. En este caso, puesto que la superficie plana Sy es perpen-dicular a la superficie libre, el eje Y es paralelo al eje z .

En ocasiones es conveniente calcular el momento con respecto a otro eje,por ejemplo con respecto a uno en la cota en la que el nivel de presión es P0.El momento pueden trasladarse sencillamente a partir de la Ecuación B.11sin más que ajustar convenientemente el brazo que lo causa. Por ejemplo,con respecto al eje x

′, paralelo al x por el nivel de presión P0, el nuevo brazo

vale hC GSy−YC PSy

, donde hC GSyes la distancia del eje anterior al nuevo eje (vea

la Figura B.4, y tenga en cuenta que YC PSyes negativo), y el nuevo momento


valdría:

Mx ′ Fy= Fy (hC GSy

−YC PSy) = [Fy ]hC GSy

− Fy YC PSy=

= [(P0+ρg hC GSy)Sy ]hC GSy

+ρg IX XSy= (B.12)

= P0Sy hC GSy+ρg Ix ′ x ′Sy

donde en la última igualdad se ha aplicado el teorema de Steiner:

IX XSy+Sy h 2

C GSy= Ix ′x ′Sy

, (B.13)

En general, la componente Fy generará también un momento con respectoal eje z , que puede calcularse usando la Ecuación 6.24; adaptada a este casoes:

MYFy= Fy XC PSy

=−ρg IX YSy. (B.14)

(Recuerde nuevamente que el eje X no es el eje original, sino que es el ejehorizontal en la propia superficie proyectada Sy que pasa por el centro degravedad de la misma.)

Puesto que la componente Fx de la fuerza es también horizontal, su cálcu-lo, y el de su momento, pueden hacerse siguiendo el mismo procedimientodescrito anteriormente para Fy .

Las líneas de actuación, de ser necesarias, pueden obtenerse trivialmente delas ecuaciones anteriores.

C

La función de corriente

La función de corriente

Cuando el flujo es bidimensional, y la densidad del fluido es constante1, laecuación de continuidad es, simplemente:

∇· ~v = 0⇒∂ u

∂ x+∂ v

∂ y= 0 . (C.1)

En estas condiciones se puede definir una función, Ψ, tal que: Definición

u =∂ Ψ

∂ y; v =−

∂ Ψ

∂ x. (C.2)

Es inmediato comprobar que u y v , definidas de esta manera, satisfacen laecuación de continuidad C.1.

La función Ψ se denomina función de corriente, ya que las líneas Ψ(x , y ) = Ψ(x , y ) = cte son líneas decorrientecte son líneas de corriente del flujo. La comprobación es sencilla:

Ψ = cte⇒ dΨ = 0⇒∂ Ψ

∂ xd x+

∂ Ψ

∂ yd y =−v d x+ud y = 0⇒

u

d x=

v

d y, (C.3)

que es la ecuación de las líneas de corriente en dos dimensiones.

Además, se cumple que Ψ (B )−Ψ (A) es el caudal2 que atraviesa el dominio Ψ (B )−Ψ (A) es caudal

entre los puntos A y B . Para demostrarlo, partimos de la definición de caudal

1Este apartado puede extenderse para densidad variable, pero no merece la pena.2Por unidad de profundidad, pues el flujo es 2D

381

382 La función de corriente

Figura C.1: Función de corriente

entre A y B (Figura C.1):

Q =

∫ B

A

~v · ~nd l . (C.4)

(El caudal que atraviesa entre A y B es el mismo para cualquier línea, porcontinuidad). A continuación tenemos en cuenta que, por geometría:

~n =1

Æ

d x 2+d y 2(d y ,−d x ) ; d l =

q

d x 2+d y 2 . (C.5)

Insertando en la integral, queda:

Q =

∫ B

A

ud y − v d x

=

∫ B

A

∂ Ψ

∂ yd y +

∂ Ψ

∂ xd x

=

∫ B

A

dΨ =Ψ (B )−Ψ (A) ,

(C.6)

como queríamos demostrar.

Alfabeto griego

alfa α Abeta β Bgamma γ Γdelta δ ∆épsilon ε,ε Edseta∗ ζ Zeta η Hzeta∗ θ ,ϑ Θ,Θiota ι Ikappa κ Klambda λ Λmu µ Mnu ν Nxi ξ Ξómicron o Opi π Πro ρ,% Psigma σ,ς Σtau τ Típsilon υ Υfi φ,ϕ Φji χ Xpsi ψ Ψomega ω Ω

* Según Diccionario de la Real Academia Española

383

Índice alfabético

ángulo de contacto, 121

Aerodinámica, 319Alabaeo, 321altura de pérdidas, 261análisis de órdenes de magnitud,

293Análisis Dimensional, 203Aplastamiento de lámina, 314Arrastre, Fuerza de, 321

Balanceo, 321Base dimensional, 211Blasius

Ecuación de, 345Solución de, 342

Borde de ataque, 324

Cabeceo, 321calado, 273cantidad de movimiento, 38Capa límite, 324, 330carga hidráulica, 278carga singulares, 268cascada de energía, 187Cavitación, Número adimensional

de, 231Chézy, Coeficiente de, 281Coeficiente de arrastre CD , 322Coeficiente de sustentación CL ,

322

Condición de no deslizamiento,177

convección turbulenta, 191correlación, 190Corriente externa, 330Couette, Flujo de, 249cuña lineal, 305Cuerpo romo, 327

Darcy-Weisbach, Ecuación de, 265derivada convectiva, 54derivada local, 54derivada sustancial, 51descomposición de Reynolds, 189descripción euleriana, 48descripción lagrangiana, 49Deslizamiento, condición de no,

177Desprendimiento, 325Desprendimiento de la capa lími-

te, 356determinante del tensor, 14diámetro hidráulico, 268diagrama de Moody, 267difusión, 37difusión molecular, 36difusividad efectiva, 193difusividad turbulenta, 192dimensiones fundamentales, 211Drag crisis, 326

385

386 Índice alfabético

Eckert, Número adimensional de,233

Ecuación de continuidad, 149ecuación euleriana de conserva-

ción, 48Ecuaciones de conservación o

transporteDiferenciales, 145Integrales, 142

ecuaciones de Euler, 177ecuaciones de Navier-Stokes, 177Ecuaciones Fundamentales, 133efecto capilar, 129efecto sustentador, 308Einstein, notación de, 9energía específica, 278escalar, 10esfuerzo, 24esfuerzos de Reynolds, 193Espesor de cantidad de movimien-

to, 341Espesor de capa límite, 330Espesor de desplazamiento, 340Estela, 325Euler, ecuaciones de, 177Euler, Número adimensional de,

228experimento de Reynolds, 186

factor de fricción, 265fenómeno de transporte, 35fenómenos difusivos, 36Fick, Ley de, 38fluctuación turbulenta, 189Fluido dilatante, 42fluido ideal, 176Fluido newtoniano, 42Fluido plástico ideal, 42Fluido plástico real, 42Fluido pseudoplástico, 42Fluido reopéctico, 43

Fluido tixotrópico, 43Flujo crítico, 275flujo de Couette, 249flujo de Hagen-Poiseuille, 252flujo estacionario, 32flujo incompresible, 32Flujo lentamente variable, 273Flujo rápidamente variable, 273Flujo subcrítico, 275flujo subsónico, 32Flujo supercrítico, 275flujo supersónico, 32flujo transónico, 32flujo transitorio, 32Flujo unidireccional, 245Flujo uniforme, 273Fourier, Ley de, 37Froude, Número adimensional de,

232fuerza de superficie, 76fuerza de volumen, 77Fuerza lateral, 321fuerza másica, 77fuerzas másicas inerciales, 77

Guiñada, 321

Hagen-Poiseuille, Flujo de, 252hipótesis del continuo, 27Homogeneidad dimensional, 206

IngestiónTérmino, 138Velocidad, 138

irrotacional, 17

Kolmogorov, escala de, 187

línea de corriente, 54línea triple, 120líneas características del flujo, 54Ley de la Pared, 197

Índice alfabético 387

lubricación fluidostática, 311

Mach, Número adimensional de,228

Magnitudes fundamentales, 212Manning

Coeficiente de, 282Fórmula de, 282

Matriz de dimensiones, 211Rango, 211

modelo, 234moja, 121

número de Knudsen, 30Navier-Poisson, Ley de, 81Navier-Stokes, ecuaciones de, 177Newton, Ley de, 39No deslizamiento, condición de,

177notación tensorial, 11

orden de magnitud, 294

Péclet, Número adimensional de,232

pérdida de carga, 256, 261partícula fluida, 49Prandtl, Número adimensional de,

232presión, 81presión motriz, 247producto doblemente contraído,

13producto escalar, 12producto mixto, 13productos contraídos, 12productos diádicos, 13promedio en realizaciones, 189promedio temporal, 188prototipo, 234punto crítico, 280

radio hidráulico, 268

RemansoZona, 324

reograma, 41reología, 40resalto hidráulico, 285Resistencia de forma, 325Resistencia de fricción, 325Reynolds

Descomposición de, 189Ecuación de – de la lubrica-

ción, 302Esfuerzos de, 193Experimento de, 186

Reynolds, Número adimensionalde, 227

Semejanza, 235Cinemática, 236Dinámica, 236Geométrica, 236Parcial, 238

senda, 56Stokes, Régimen de, 326Strouhal, Número adimensional

de, 227superficie de control, 134superficie de corriente, 55superficie fluida, 134Sustentación, Fuerza de, 321

término convectivo, 145término de ingestión, 144término difusivo, 144, 146término fuente, 144, 146término transitorio, 144, 145tensión superficial, 120tensor, 10Tensor antisimétrico, 14tensor de esfuerzos, 79tensor de esfuerzos viscosos, 81tensor gradiente de velocidad, 63

388 Índice alfabético

Tensor simétrico, 14tensor velocidad de deformación,

66tensor velocidad de rotación, 64Teorema de Gauss, 18Teorema de Stokes, 19Teorema del Transporte de Rey-

noldsPrimer, 135Segundo, 136Tercero, 136

Teorema Pi, 210tixograma, 42Transpuesto de un tensor, 14trayectoria, 56traza, 56traza del tensor, 14tubo de corriente, 55turbulencia, 185

vector, 10velocidad de deformación, 66velocidad de deformación angular

media, 70velocidad de dilatación unitaria,

68velocidad de fricción, 197velocidad de rotación media, 69viscosidad cinemática, 39viscosidad dinámica, 39viscosidad volumétrica, 82viscosidad, segundo coeficiente

de, 82volumen de control, 134volumen fluido, 134von Kármán, Ecuación de, 266von Karman, Ecuación integral de,

351vorticidad, 65

Weber, Número adimensional de,231

apuntes de teorÍa€¦ · mecÁnica de fluidos —grado ing tecnologÍas industriales apuntes de...

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