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Apuntes de Temas de Cosmología
Octubre de 2018
Los resueltos de
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Sobre estos apuntes Estos apuntes/resueltos que usted está viendo fueron creados por un alumno mientras cursaba lamateria. Es por ello que podrían haber errores1 de tipeo, errores conceptuales, de interpretación en los resultados, etc. Useestos apuntes con precaución. Estos apuntes no son oficiales de ninguna cátedra. En caso de notar algún efecto adversosuspenda inmediatamente su uso y consulte con su profesor de cabecera.
El alumno autor de estos apuntes realizó el curso corto del profesor visitante durante octubre de 2018, este link conducea la página oficial del curso.
Encontrá más resueltos de Alf en este link.
Box 1 - ¿Cómo se hacen estos apuntes?
Estos apuntes están hechos usando un programa llamado Lyxa. Para hacer los dibujos se usó Inkscape y después seinsertó las imágenes en formato svgb directamente en Lyx.En este repositorio de GitHub se encuentra la plantilla (template) que Alf usa actualmente, con todo lo necesariopara compilarla y empezar a divertirse.
aLyx es una interfaz gráfica para Latex que hace que la escritura se vuelva extremadamente fluida y veloz (al punto de podersetomar apuntes en vivo durante una clase).
bsvg es el formato nativo de Inkscape.
Bibliografía
Perturbation Theory Review, Bernandean, Colombi, et. al. (2002). Es un review de estructura a gran escala. Tiene unavisión general de los temas. No tiene inflación, pero no lo vamos a ver mucho tampoco.
Modern Cosmology de Dodelson (2003). Parece que es el libro de cosmología más moderno de todos.
Mail del docente El mail es [email protected].
1Seguro hay errores, seamos sinceros.
1
ÍNDICE ÍNDICE
Índice1. Introducción 4
2. Cosas triviales de Relatividad General 82.1. Luminosity distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Dinámica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3. Horizontes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1. Past light cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.2. Horizonte de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.3. Hubble radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.4. Evolución del horizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4. Evolución de las fluctuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3. Clase que falté 193.1. Clase siguiente a la que falté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4. Halo abundanc 224.1. Mass variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5. Trazadores de materia oscura 30
6. Peak background split 31
7. Weak lensing 327.1. Extended distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347.2. Power spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.2.1. Small angles approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
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ÍNDICE ÍNDICE
Índice de boxes1. Box 1 - ¿Cómo se hacen estos apuntes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Box 2 - Distancia física y distancia comoving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. Box 3 - Fluctuaciones de vacío y energía oscura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134. Box 4 - Sobre las actualizaciones de software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
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1 INTRODUCCIÓN
1. IntroducciónBig bang nucleosynthesis. Se forman los primeros núcleos atómicos. La temperatura es tan alta que no se puedencombinar con electrones y entonces es un gas de partículas cargadas. Los fotones no pueden propagarse.
Last scattering surface. En un momento la temperatura bajó lo suficiente como para que los núcleos y los electronesse puedan combinar y formar átomos neutros. En este momento la radiación electromagnética se pudo comenzar apropagar por un universo transparente. La CMB viene de esta superficie.
Dark ages. Es una época en la que no había nada que emitiera luz.
Matter domination. Se forman las galaxias y las estructuras que conocemos.
Diagrama de Hubble Hubble midió la distancia y la velocidad de varias estrellas y encontró algo similar a lo siguiente:
Es decir que cuanto más lejos están las estrellas mayor es la velocidad con la que se alejan. Esto nos habla de la expansióndel universo. La idea es algo así:
Nosotros estamos en A, en la tierra. Pero esto se ve igual si se hace la transformación a cualquier otro punto.Hubble en su momento lo midió para estrellas que estaban a pocos parsecs. Hoy en día con mejores instrumentos se logra
medir mucho más allá, y se observa que la ley de Hubble se sigue cumpliendo aparentemente. Para realizar estas medicionesde distancias a estrellas más lejanas se utilizan las supernovas de tipo IA.
En el año 1999 le dieron el premio nobel a dos personas que usando esto de las supernovas encontraron que el universono sólo se estaba expandiendo, sino que se expandía en forma acelerada! Esto es lo que pone las bases para la formulaciónde la energía oscura.
La radiación cósmica de fondo Proviene de la época de la recombinación, es decir el momento en que los núcleos ionizadosse pudieron combinar con electrones para formar materia neutra y así generar un universo transparente. Esta radiación tieneun espectro que responde a una temperatura de aproximadamente 2,73 K. Fue descubierta en 1965 por Penzias y Wilson.
Durante los 90 se lanzó el satélite COBE que midió la radiación cósmica de fondo en forma “posta”. Todas las medicionesprevias habían sido realizadas desde la tierra lo cual es polémico (atmósfera, etc). A bordo del COBE habían dos instrumentos:uno de medición general en todo el espectro y otro más específico que permitía medir anisotropías. Los resultados observadosfueron los siguientes:
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1 INTRODUCCIÓN
Offset (temperatura) →
Restando el offset (dipolo) →
Medida con otro instrumentoa bordo del COBE →
Como se puede ver hay tres gráficos:
1. Si se trabaja con tres cifras significativas la temperatura de la radiación cósmica de fondo es ultra pareja de 2,728 K.
2. Si se sustrae este offset se observa la presencia de una radiación de dipolo (creo que es que lo que se observa es como sila tierra se estuviese moviendo en una dirección, entonces “hacia adelante” se ve más caliente (blueshift) mientras que“hacia atrás” se ve más frío (redshift).
3. Por último tenemos un gráfico que refleja con más precisión las inhomogeneidades de la radiación.
En la actualidad se tienen los datos de dos misiones más modernas que son WMAP y Planck. Utilizando estos datos secalcula la función de correlación
ω (δθ) = 〈T (θ)T (θ + δθ)〉
T(θ)
T(θ+δθ)
δθ
La transformada de Fourier de esta función de correlación es el famoso gráfico que se ve por todos lados:
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1 INTRODUCCIÓN
A nivel teórico lo que se tiene para explicar todos estos datos es el modelo Lambda-CDM. Es un modelo que tiene sólo6 parámetros y puede ajustarse a 9 picos de la CMB. Además con los datos de la misión Plank estos parámetros se puedenobtener con una muy elevada exactitud. Este modelo permite explicar casi todo: galaxias, supernovas, etc. etc.
Con el modelo cosmológico en los 70’s había cuatro problemas:
1. Problema del universo plano (flatness problem). La densidad del universo temprano tiene que haber estado MUY cercade una densidad crítica tal que hoy el universo es casi plano. O sea, el problema es que la densidad tiene JUSTO esevalor que tiene que tener para que el universo sea plano.
2. Problema del horizonte. La temperatura del CMB es prácticamente la misma en cualquier dirección. Es decir:
Contacto causal adentro de estoscírculos, pero sin
embargo no tienen contacto causal entre
ellos (pero su temperaturaes la misma)
approx 1 grado
3. Monopolos magnéticos.
4. Otro más que no sé...
Para resolver estos cuatro problemas en 1979 se propuso el modelo inflacionario. La inflación del universo lo que dice es queen la época en que la expansión del universo estuvo dominada por la constante cosmológica Λ (energía oscura) la expansiónse volvió exponencial
R (t) ∝ eαt
donde R es el factor de escala. Esto hizo que regiones del universo que estaban en contacto causal fueron separadas muyrápido saliendo del contacto causal y por eso se explica todo lo anterior (?).
La materia oscura ¿Por qué se dice que existe la materia oscura? Existen cuatro o cinco razones para creerlo. La másfamosa tiene que ver con las curvas de rotación de las galaxias:
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1 INTRODUCCIÓN
Para poder explicar esto tenemos dos opciones: o modificar las leyes de Newton (teorías de gravedad modificada, etc.) obien proponer la materia oscura. El mismo fenómeno se observa en los clusters de galaxias. Para que puedan existir tieneque haber más materia de la que se ve.
Existen además las lentes gravitacionales (foto bullet galaxy)
x-ray gas
strong lensing mass
El otro indicador de la presencia de materia oscura tiene que ver con la estructura a gran escala del universo:
Disco de la vía lactea
Tierra
Filamentosy nodos
La cuestión es que si sólo hubiera materia bariónica (materia común) aún no habría habido tiempo de que se formen losfilamentos y los nodos y toda esa estructura que se ve. Entonces agregando materia oscura se observa que evectivamente seforma esta estructura.
Otra de las evidencias que hay para estudiar la materia oscura es el de weak lensing, que tiene que ver con observar cómose deforma la forma y orientación de una galaxia producto de la materia oscura:
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2 COSAS TRIVIALES DE RELATIVIDAD GENERAL
Las cosas que ya sabemos Los siguientes puntos son cosas que la mayoría de los cosmólogos acuerdan como que sonverdaderas y/o conocidas:
Sabemos que el universo se está expandiendo.
La expansión del universo es acelerada.
Sabemos que tiene que haber materia oscura, a pesar de que no se pudo observar en forma directa (en el LHC porejemplo). La cota que estos experimentos pusieron sobre su masa es que tiene que ser bastante baja, lo cual está encontradicción con lo que quisiéremos para que tenga una buena influencia gravitatoria.
Las condiciones iniciales para obtener esta estructura a gran escala ya las conocemos, son gaussianas. Más adelante loveremos mejor.
El modelo Lambda-CDM ajusta muy bien a las observaciones, con sólo 6 parámetros.
Hay una ecuación de estado para la energía oscura que “está acotada a 5%” (?).
Algo de los neutrinos.
Cosas que no sabemos
Si el universo no fuese Lambda-CDM, hay muy pocos modelos alternativos.
Existen algunas contradicciones en Lambda-CDM vs la realidad:
• Sin embargo existen algunas contradicciones. Si uno usa el modelo Lambda-CDM para calcular el valor de H, laconstante de Hubble, en función de los datos ajustados existe una diferencia importante entre este valor y el valormedido en forma directa.
• La escala a gran escala del universo que se observa no es exactamente la que predice el modelo Lambda-CDM.
Las condiciones iniciales deben ser gaussianas, es lo que “sabemos”. ¿Fueron efectivamente gaussanas? Es decir: lasfluctuaciones primordiales fueron gaussianas?
Masa de neutrinos.
2. Cosas triviales de Relatividad GeneralEn relatividad especial la métrica η es tal que
ds2 = ηµν dxµ dxν
= dt2 − dx2
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2 COSAS TRIVIALES DE RELATIVIDAD GENERAL
y es fija. En cambio en relatividad general la métrica es un campo. En particular tenemos la métrica de Robertson Walkerque es
ds2 = c2 dt2 − a (t)(
dr2
1− kr2 + r2 ( dθ2 + sin2 θ dφ2)) → Robertson-Walker
donde t es el cosmic time, a (t) es el scale factor que nos dice cómo se expande el universo, y (r, θ, φ) son las comovingcoordinates. k es un parámetro tal que
k < 0 → Universo abiertok = 0 → Universo planok > 0 → Universo cerrado
Lo único que nos importa de k es su signo. Siempre se pueden redefinir las unidades de modo tal quek = −1 → Universo abiertok = 0 → Universo planok = 1 → Universo cerrado
Según si el universo es abierto, cerrado o plano vamos a tener lo siguiente (relatividad general):
Flat Closed Open
Para un rayo de luz que se mueve a la velocidad de la luz tenemos que
d2s = 0→ Para un rayo de luz
con lo cual para un rayo radial (θ = φ = 0) vamos a tener que
c2 dt = a2 (t) dr2
1− kr2 → Rayo de luz radial
Supongamos entonces que en el momento te un objeto emite un rayo de luz en la posición rs y nosotros lo observamos en elmomento t0 (y la posición r = 0). Si integramos la expresión anterior vamos a tener que
t0ˆ
te
cdt
a (t) =rsˆ
0
dr
1− kr2
Si ahora ocurre lo mismo pero un rato después, vamos a tener que
t0+δt0ˆ
te+δte
cdt
a (t) =rsˆ
0
dr
1− kr2
Igualando las dos expresiones obtenemos
t0ˆ
te
cdt
a (t) =t0+δt0ˆ
te+δte
cdt
a (t)
=t0ˆ
te+δte
+t0+δt0ˆ
t0
=t0ˆ
te
−te+δteˆ
te
+t0+δt0ˆ
t0
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2 COSAS TRIVIALES DE RELATIVIDAD GENERAL
con lo cual podemos cancelar la´ t0te
a ambos lados de la igualdad y lo que nos queda es
t0+δt0ˆ
t0
dt
a (t) =te+δteˆ
te
dt
a (t)
Ahora tomamos el límite tendiendo el tiempo a cero y entoncesδt0a (t0) = δte
a (te)
Si δte tiene que ver con una fuente que emite algo en forma periódica entonces podemos usar
δt0 = λ0
c
δte = λec
con lo cual las
longitudes de onda se relacionan medianteλ0
a (t0) = λea (te)
de donde podemos despejar la definición del redshift que esλ0
λe= a (t0)a (te)
= 1 + ze→ Redshift
En lo anterior ze es el redshift asociado a la fuente.
Nota En toda esta parte el subíndice 0 debería ser un subíndice o de “observado”.Si queremos calcular la distancia comoving a la fuente tenemos que hacer
x (te) =teˆ
t0
dt′
a(t′)→ Distancia comoving
Box 2 - Distancia física y distancia comoving
La distancia física se relaciona con la distancia comoving según
λphysical = a (t)λcomoving
No sé qué representa cada una de las distancias.
Recordemos la definición de la constante de Hubble que es
Hdef= 1a
da
dt→ Hubble constant
con lo cual si reemplazamos en la expresión de la distancia comoving obtenemos
x (a) =1ˆ
a
da
a2H (a)
El a y el z se relacionan mediantea = 1
1 + z
No sé si esta expresión es una consecuencia de todo lo previo o viene de otro lugar. En particular lo que tenemos es que
z = 0 ≡ today
Para un universo dominado por materia (más adelante lo veremos mejor) tenemos que
H ∼ a−3/2→ Matter dominated
lo cual implica que
x (a) = 2H0
(1−√a)→ Matter dominated
∼ z
H0
Entonces vemos que el rol de H es relacionar el redshift con la distancia.Los resueltos de
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2.1 Luminosity distance 2 COSAS TRIVIALES DE RELATIVIDAD GENERAL
2.1. Luminosity distanceSupongamos que hay un objeto que emite luz a una distancia r1 y nosotros tenemos un detector de área A. Entonces la
potencia que le llega a nuestro detector es
P = Eobs
∆tobsEobservada = (1 + z)Eemitida
∆tobservado = ∆temitido
(1 + z)
→ = 1(1 + z)2
Eemitida
∆temitido
?→ = 1(1 + z)2
Ee∆te
A
4πr21a
2o
donde el factor ao = a (to) (a al momento de la observación) se añadió para convertir la distancia comoving en una distanciafísica. Recordemos que, producto de la expansión del universo,
∆tobs = aoae
∆te
Eo = aeaoEe
con lo cualP = 1
(1 + z)2A
4πr21a
2o
Si ahora pasamos al flujo de energía F definido por
Flujo→F = P
A
= 14πd2
L
← Esta es importante
tenemos definida la luminosity distance como
d2L = (1 + z) aor1→ Luminosity distance
Ahora queremos hacer la siguiente cuenta
r1ˆ
0
dr′√1− kr′
=t0ˆ
te
dt
a (t)→ Comoving distance to r1
donde, recordemos,
k = 1 arcsin (r1)k = 0 r1
k = −1 arcsinh (r1)tiene que ver con un universo abierto, plano o cerrado. Para ello hay que sentarse
a hacer cuentas bajón. Dijo que no lo vamos a hacer con todos los pasos, pero sí que sepamos que hay que usar que
a (t) = ao + ao (t− to) + ao (t− to)2 + . . . → Taylor
y los parámetros se definen de modo tal que
11 + z
= a (t)a0
= 1 +H0 (t− t0)− q0H2
02 (t− t0)2 + . . .
dondeq
def= − a
aH2 → Deceleration parameter
es el deceleration parameter. Entonces tenemos que
H0dL = z + 1− q0
2 z2 + . . .
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2.2 Dinámica relativista 2 COSAS TRIVIALES DE RELATIVIDAD GENERAL
Hoy es otra clase Lo que vamos a querer es encontrar objetos luminosos para poder medirles el flujo F y calcular ladistancia luminosa usando
F = L
4πd2L
→ Observacional
Vamos a seguir con la integral´ r1
0dr′√
1−kr′ =´ t0te
dta(t) . Asumamos el caso plano k = 0 para que sea más fácil. En este caso
tenemos que la cuenta queda
r1ˆ
0
dr′
︸ ︷︷ ︸r1
=t0ˆ
te
dt
a (t)
r1 =
Ahora creo que hay que reemplazar 11+z = a(t)
a0= 1 +H0 (t− t0)− q0
H20
2 (t− t0)2 + . . . y al final se termina llegando a que
H0dL = z + 12 (1− q0) z2 + . . . → Teoría
Entonces la conclusión de todo esto es que la luminosity distance nos permite relacionar la cosmología teórica con laobservacional. De la teoría tenemos la expresión previa: H0dL = z + 1
2 (1− q0) z2 + . . . . De la observación de supernovastenemos que
d2L = 4πF
L→ Observación de supernovas
Utilizando estas dos expresiones podemos relacionar observación con teoría y hacer un gráfico de dL vs z que se ve como losque están en este link.
2.2. Dinámica relativistaTodo se basas en las ecuaciones de Einstein, que no las vamos a usar pero le da más nivel al curso:
Gµν = Rµν −12gµνR = 8πGTµν→ Einstein eqs.
donde g es la métrica (Robertson-Walker), R son segundas derivadas de la métrica, T es el tensor de energía momento talque
Tµν =
ρ−p
−p−p
→ Fluido ideal
donde ρ es la densidad de energía y p la presión.La conservación de energía momento establece que
∂µ (Tµν) = 0→ Conservación de pµ
Si aplicamos la ley de conservación al tensor para el fluido ideal lo que encontramos es que
d(ρa3) = −p da3
Esto lo que nos dice es que “si el universo se expande el cambio en energía tiene que ser igual al trabajo”, lo que ya sabemosde F1.
Vamos a precisar una ecuación de estado que nos relacione la presión con la densidad
p = ωρ→ Eq. de estado
El valor de ω depende de cuál sea el componente que estamos considerando:
ω =
13 para fotones
0 para materia ordinaria0 para materia oscura (?)− 1 para Λ, energía de vacío
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2.2 Dinámica relativista 2 COSAS TRIVIALES DE RELATIVIDAD GENERAL
Reemplazando p = ωρ en d(ρa3) = −p da3 obtenemos que
d(ρa3) = −ωρ da3
Asumiendo que ρ = an se encuentra que n = −3 (1 + ω) con lo cual
ρ(R) (t) = ρ20
(a0
a (t)
)4→ Radiación
ρ(M) (t) = ρ(M)0
(a0
a (t)
)3→ Materia
ρ(Λ) (t) = constante → Para el vacío
Box 3 - Fluctuaciones de vacío y energía oscura
Las fluctuaciones de vacío (primordiales?) podrían explicar la energía oscura a nivel cualitativo. El problema es quesi uno hace las cuentas posta se encuentra que están a 120 órdenes de magnitud de lo que deberían ser para daruna explicación cuantitativa.
Si graficamos estas tres funciones para ρ obtenemos:
tiempo
Dominado por radiación
Dominado por materia
Dominado por energía oscura
z~3000 z~1100
Estudiemos ahora cómo evoluciona a (t). Para ello vamos a usar las ecuaciones de Friedmann
Friedmann→
(a
a
)2+ k
a2 = 8πG3 ρ
2 aa
+(a
a
)2+ k
a2 = −8πGp
donde ρ y p son la densidad y la presión totales. Reemplazando H = aa nos queda
H2 = 8πG3 ρ− k
a2
a
a= −4πG
3 (ρ+ 3p)
y ahora podemos despejark
a2H2 = ρ
ρcrítico− 1
con lo cualρcrítico = 3H2
8πGdonde ρcrítico es la densidad crítica que determinará la geometría del universo. Si ρ > ρcrítico entonces el universo es cerrado(lo que quiere decir que dos rayos de luz que inicialmente son paralelos terminarán acercándose. Si ρ < ρcrítico entonces eluniverso es abierto y dos rayos de luz inicialmente paralelos comenzarán a alejarse. Si ρ ≡ ρcrítico entonces el universo esplano.
En cosmología se suelen definir las densidades expresadas en función de la densidad crítica
Ωi = ρiρcrítica
→ Densidad cosmológicaLos resueltos de
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2.2 Dinámica relativista 2 COSAS TRIVIALES DE RELATIVIDAD GENERAL
En la actualidad, producto de observaciones, se sabe que
Ωtotal ≈ 1
lo cual es notable. Se tiene queΩtotal (t) = Ωmatter + ΩΛ + Ωradiation + Ωbarion
Dependiendo de en qué momento del universo estemos estudiando vamos a tirar unas u otras. Por ejemplo en las etapastempranas cuando el universo estaba dominado por radiación vamos a aproximar que Ωtotal ≈ Ωradiation. Los valores actualespara estos parámetros son
Valores actuales→
Ωm ∼ 0,3 → Materia oscura+comúnΩΛ ∼ 0,7 → Energía oscuraΩb ∼ 0,05 → Materia bariónica
Acabamos de volver del intervalo. La verdad que estoy medio perdido y no entiendo mucho.
k
a2H2 = Ωtotal − 1
Ωtotal − 1 = otra cosa
No llegué a copiar.Ahora vamos a resolver la ecuación de Friedmann para distintas situaciones:
1. Para un universo plano y dominado por materia, esto esk = 0 → Plane universe
ρ (t) = ρ0
(a0
a (t)
)3→ Matter dominated
La ecuación de Friedmann queda entonces (a
a
)2= H2 = 8πG
3 ρ0
(a0
a
)3
de donde podemos obtenera ∼ a−1/2
y entoncesa ∼ t2/3→ Matter dominated
con lo cual
a (t) = a0
(t
t0
)2/3
→ Matter dominated
2. Si ahora asumimos que el universo está dominado por la radiación entonces tenemos que ρ(R) (t) = ρ20
(a0a(t)
)4y nos
termina quedando quea ∼ t1/2→ Radiation dominated
3. La resolución de la ecuación de Friedmann en el caso general nos queda qeu
a ∼ t2
3(1+ω) → Caso general
con ω el parámetro de la ecuación de estado p = ωρ.
4. Para un universo dominado por energía oscura Λ tenemos que
H2 = ρΛ = constante
con lo cual Friedmann nos dice quea = H0a
y entoncesa ∼ eH0t→ Λ dominated
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2.3 Horizontes 2 COSAS TRIVIALES DE RELATIVIDAD GENERAL
2.3. HorizontesHay varios tipos de horizontes. Nos interesan a la hora de resolver las ecuaciones de movimiento. Si las escalas que
queremos ver son más grandes que los horizontes entonces tenemos que usar relatividad general. Si queremos ver algo que esmás pequeño que un horizonte entonces no hace falta usar relatividad.
2.3.1. Past light cone
Nos dice a qué distancia estaba un objeto cuando emitió la luz (en el momento t) que vemos hoy en día (en el momentot0). Esto es
` (t) = a (t)t0ˆ
t
cdt′
a(t′)
a ∼ tn → = 3c(t2/3t
1/30 − t
)Podemos encontrar que esta función tiene un máximo que está en
t
t0=(
23
)3→ El máximo
2.3.2. Horizonte de partículas
El horizonte de partículas es la máxima distancia desde la cual una señal puede haber llegado a un observador en algúnmomento dentro de la edad del universo. Todas las cosas que están a menor distancia que el horizonte son aquellas quepueden estar en contacto causal.
Para calcular la distancia del horizonte calculamos la comoving distance
rHˆ
0
dr√1− kr
=t0ˆ
0
cdt
a
donde rH es la comoving distance del horizonte. Ahora vamos a asumir que
a ∼ tn
donde según quién domina n =
12 para radiación23 para materia
. Se encuentra que
dH = ct
n− 1
y entonces
Distancia del horizonte→ dH =
ct si no hubiera expansión3ct si domina la materia2ct si domina la radiación
Podemos preguntarnos a qué velocidad se mueve este horizonte. Esta velocidad será simplemente
vH = HdH
= 23 t 3ct
= 2c
2.3.3. Hubble radius
Es un número que es local. Si vamos a la ley de Hubble
v = Hd→ Ley de Hubble
entonces vamos a decir que el radio de Hubble es aquella distancia d tal que la velocidad de los objetos es la velocidad de laluz:
dde Hubble = c
H→ Radio de Hubble
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2.4 Evolución de las fluctuaciones 2 COSAS TRIVIALES DE RELATIVIDAD GENERAL
Usando que a ∼ t2/3 para materia y no sé qué más tenemos que
H−1 ∼
32 t if matter dominated
2t if radiation dominated
El horizonte que más nos va a interesar es el Hubble radius pues es el que aparece en las ecuaciones. Sin embargo hablaremosindistintamente del Hubble radius y del horizonte de partículas.
2.3.4. Evolución del horizonte
Consideremos un diagrama de espacio tiempo, en el que ponemos el tiempo en el eje x y la distancia en el eje y segúnλfísica = aλcomoving Distanciaa (t) El tiempo
EqRad d
om
inate
d
Mat
ter d
omin
ated
Evolución del horizonte
Esc
ala
s g
ran
des →
Acá hay contacto causal
Acá no hay contactocausal
CMB
Last
scatte
ring su
rface
Inflación
Acá tuvieron contacto causal gracias a la inflación
Ecuaciones de Einsteindescriben las cosas
de este lado del horizonte
De este lado del horizontela descripción no es conlas ecuaciones de Einsteinsino con otra física, o algo así
El contacto causal que se gana con la inflación hace que hoy en día podamos ver la misma temperatura en todo el cielo,incluso en regiones que aparentemente no tuvieron contacto casual (pues en el pasado sí tuvieron conexión causal, como seve en el gráfico para valores de log (a) pequeños).
2.4. Evolución de las fluctuacionesPara estudiar cómo evolucionan las fluctuaciones vamos a considerar la conservación de la materia
∂ρ
∂t+ ∇ (ρv) = 0→ Conservación de materia
La ecuación anterior es una consecuencia de la ecuación de Boltzmann en un espacio que se expande es (o algo así)
df
dc= ∂f
∂t+ p
am∇rf − am∇p
∂f
∂p= 0→ Boltzmann
y tenemos que ˆ
d3p f (x, p, t) = ρ (x, t) → Primer momentoˆ
d3pp
amf = u (x, t) ρ (x, t) → Segundo momento
Del segundo momento tenemos la conservación del momento (valga la redundancia)
∂v
∂t+ v ·∇rv = −∇p
ρ−∇rptotal→ Conservación de momentum
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2.4 Evolución de las fluctuaciones 2 COSAS TRIVIALES DE RELATIVIDAD GENERAL
Por último tenemos la ecuación de Poisson∇2rΦ = 4πGρ
Entonces queremos ver cómo evoluciona la densidad ρ con el tiempo en función de las siguientes ecuaciones
Debajo del horizonte→
∂ρ
∂t+ ∇ (ρv) = 0 → Poisson
∂v
∂t+ v ·∇rv = −∇p
ρ−∇rptotal
∇2rΦ = 4πGρ
Las ecuaciones previas son no relativistas con lo cual sólo valen adentro del horizonte. Si quisiéramos resolver afuera delhorizonte deberíamos usar la relatividad general. En estas ecuaciones t y r son coordenadas físicas (o sea, coordenadas posta).
Vamos a proponer una solución de la forma
ρ (x, t) = ρ (t) (1 + δ (x, t))
donde δR es una fluctuación. Ahora está hablando de una cantidad ∆ definida según
∆ = 4πk3P
= 4πk3 | δ |2
que no sé qué es, y hay un gráfico así:
Inflación
Afuera del horizonte
Adentro del horizonte
Hoy vamos a ver cómo calcular el fragmento que dice “adentro del horizonte”.Tenemos que
r (t) = ax (t)a dτ = dt
y vamos a querer pasar de las coordenadas físicas a las coordenadas comoving, es decir
Posta→ (r, t)→ (x, τ) ← Comoving
Para hacer este cambio procedemos ⌈∂
∂r
⌋tfijo
= ∂
∂τ
∂τ
∂r︸︷︷︸=0
+ ∂
∂x
∂x
∂r︸︷︷︸1a
= 1a
∂
∂xLos resueltos de
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2.4 Evolución de las fluctuaciones 2 COSAS TRIVIALES DE RELATIVIDAD GENERAL
y ⌈∂
∂t
⌋rfijo
= ∂τ
∂t︸︷︷︸1a
∂
∂τ+⌈∂x
∂t
⌋rfijo
∂
∂x
r (t) = ax (t)
H = a
aH ≡ aH
→ = 1a
∂
∂τ− Hx
a
∂
∂x
Juntando las dos cosas las leyes de transformación nos quedan
Leyes de transformación→
∇r = 1
a∇x⌈
∂
∂t
⌋r
= 1a
∂
∂τ− Hax∇
Usando todo eso vamos a tener que
∂ρ
∂t= (1 + δ) ∂ρ
∂t+ ρ
∂δ
∂t← ρ (x, t) = ρ (t) (1 + δ (x, t))
= (1 + δ) (−3ρH) + ρ∂δ
∂t
= −3Hρ+ ρ∂δ
∂t
y
∇r (ρv) = ρ∇rv + vρ∇r (1 + δ)= 3Hρ+ ρ∇rvp + vρ∇r (1 + δ)
Metiendo esto en la ecuación de Poisson ∂ρ∂t + ∇ (ρv) = 0 nos queda
ρ∂δ
∂t+ ρ∇rvp + vρ∇r (1 + δ) = 0
ρ1a
∂δ
∂τ+ ρ
a(1 + δ) ∇vp + vp
ρ
a∇δ = ←
∇r = 1
a∇x⌈
∂
∂t
⌋r
= 1a
∂
∂τ− Hax∇
ρ
a
(∂δ
∂τ+ (1 + δ) ∇vp + vp∇ (1 + δ)
)︸ ︷︷ ︸
=0
=
y entonces finalmente obtenemos∂δ
∂τ+ ∇x (1 + δ)vp = 0
Haciendo lo mismo con las restantes dos ecuaciones del sistema
∂ρ
∂t+ ∇ (ρv) = 0
∂v
∂t+ v ·∇rv = −∇p
ρ−∇rptotal
∇2rΦ = 4πGρ
lo que nos queda es
En coordenadas comoving→
∂δ
∂τ+ ∇x [(1 + δ)vp] = 0
∂vp∂τ
+Hvp + (vp ·∇)vp = −∇Φ− ∇p
ρ
∇2Φ = 32H
2Ωmδ
El problema es que la gravedad es no lineal pues es ∼ 1r2 . Lo que se hace para resolver esto es linealizar.
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3 CLASE QUE FALTÉ
Linear evolution Definamos θ
def= ∇ · vpω
def= ∇× vp → Vorticidad
No sé bien con qué criterio pero en la primera ecuación hemos tirado el término δ · vp, con lo cual nos quedó
∂δ
∂τ+ ∇ · vp = 0
∂θ
∂τ+Hθ = 3
2ΩmH2δ − ∇p
ρ
∂ω
∂τ+Hω = 0 → Vorticidad
Recordando que H = aH = a aa la ecuación de la vorticidad es
∂ω
∂τ+ 1a
∂a
∂τω = 0
con lo cualω ∼ 1
a
y esto quiere decir que en escalas grandes no hay vorticidad. Los campos son irrotacionales en las escalas más grandes.De la segunda ecuación del sistema tenemos que
∂2δ
∂τ2 +H ∂δ∂τ
= 32ΩmH2δ
Proponiendo queδ (R, τ) = D (τ) δ (R)
nos quedad2D
dτ2 +HdDdτ
= 32ΩmH2D
Ahora vamos a considerar que Ωm ≡ 1 (que permite obtener una solución analítica) y que H = 2τ (?) y además a ∼ τ2 (?).
Entoncesd2D
dτ2 + 2τ
dD
dτ= 3
24τ2D
PoniendoD ∼ τn
se obtienen (n− 1) + 2n− 6 = 0
Ahora ya no entiendo más nada...
δ (R, τ) = aAk + a−3/2Be
= δ(+) + δ(−)
donde Ak y Be son condiciones iniciales. Para θ parece que tenemos lo mismo
θ (R, τ) = −H(Aka−
32Bka
−3/2
)lo cual se obtiene haciendo θ = − ∂δ
∂τ .
3. Clase que faltéFalté a la clase del viernes 29 de septiembre.
3.1. Clase siguiente a la que faltéHoy es la clase siguiente, y estamos viendo los temas que siguen.
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3.1 Clase siguiente a la que falté 3 CLASE QUE FALTÉ
Repaso de conceptos generales que vimos hasta el momento
1. Las fluctuaciones que vemos hoy se generaron en la inflación, y van como
Pinflación (k) ∼ kns → Espectro de potencias
con ns > 1. Recordar que el espectro de potencias era la transformada de Fourier de función de correlación de dospuntos.
P (k) = knsT 2 (k)
donde T (k) =
1 para k keq
ln(k
keq
)para k ≥ k eq
.
P(k)k^ns
k
2. Las condiciones iniciales son fluctuaciones gaussianas
δ (z) ∼ D (z) δ0→ For matter dominated
En escalas grandes
Escalas grandes→k < 0,1R ? 10 Mpc h−1
3. Las fluctuaciones gaussianas no pueden estar bien.
δ-1
Prob
GaussianaLa posta?
Lo más probable esencontrar vacíos
Pero también existenprobabilidades no nulasde encontrar δ>>1
4. Entonces tenemos que
δ = D (z) +D2 (z)ˆ
d3k1 d3k2 F2 (k1, k2) δ0 (k1) δ0 (k2) δD (k − k12) d3k1 d
3k2 +O(δ30)
Ahora tenemos que δ ya no es gaussiano, pero sí
δ0 es gaussiana
Es decir δ0 (k) es una función gaussiana.El valor medio es
〈δ0〉 = 0→ Para una gaussianaLos resueltos de
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3.1 Clase siguiente a la que falté 3 CLASE QUE FALTÉ
mientras que el primero que no dará nulo será :⟨δ3⟩ = 〈δ (x) δ (x) δ (x)〉
=ˆ
d3q1
ˆd3q2
ˆd3q3 〈δ (q1) δ (q2) δ (q3)〉 e−i(q1+q2+q3)·x
= 3D4ˆ
d3q1
ˆd3q2
ˆd3q3
ˆd3k1 d
3k2 〈δ0 (q1) δ0 (q2) δ0 (k1) δ0 (k2)〉 . . .
. . . F2 (k1, k2) e−i(q1+q2+q3)δD (q3 − k12)
Ahora tenemos que distribuir cada uno de los deltas y calcular lo términos cruzados. El término con δ0 (k1) δ0 (k2)integrará a 0, mientras que los no nulos serán δ0 (q1) δ0 (k1) y δ0 (q2) δ0 (k2). Considerando esto lo que tenemos es que
⟨δ3⟩ = 6D4
ˆd3q1 d
3k1 〈δ (q1) δ (k1)〉ˆ
d3q2 d3k2 〈δ (q2) δ (k2)〉F2e
−i(... )
≡ P (q1) δD (q1 + k1) ≡ P (q2) δD (q2 + k2)
siendo P el espectro de potencias. Esto último no lo entendí. No entendí si cada uno de los términos de arriba es iguala eso, o qué es...Parece que termina quedando que⟨
δ3⟩ = 6D4ˆ
d3q1 d3q2F2 (q1, q2)P (q1)P (q2)
= 61721
D2ˆ
dq q2P (q) 4π︸ ︷︷ ︸σ2≡〈δ2〉
2
De acá lo que sacamos es que la skewness es
Skewness→ S3 =⟨δ3⟩〈δ2〉2
= 61721 = 34
7 > 0
Como S3 > 0 entonces la distribución se está corriendo hacia los negativos y no es una gaussiana, tal como dibujamosen el gráfico anterior. Es decir:
δ-1
Prob
S4>0
S3>0
Recordemos que el espectro de potencias P (k) era tal que
δD(k + k′
)P (k) ≡
⟨δ (k) δ
(k′)⟩
Es decir queP (k) es la transformada de Fourier de la función de dos puntos ξ (r)
donde ξ (r) es “el número de pares de galaxias que hay separadas a distancia r comparadas con una distribución aleatoria”.
dp12 = r2 (1 + ξ (r)) d3v1 d3v2 →?
El tema con ξ (o con P ) es que está bueno que nos hablan de las distancias que caracterizan al universo, pero no tienen encuenta la isotropía, es decir las distintas direcciones que pueden haber. Para ello tenemos que considerar la función de trespuntos que mira la distribución de triángulos:
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4 HALO ABUNDANC
g1
g2
g3
Función de 3 puntos
Lo que vamos a tener es que usando a ξ (r12, r13, r23) nos permite definir como su transformada de Fourier a B según
δD (. . . )B (k1, k2, k3) = 〈δ (k1) δ (k2) δ (k3)〉Para un campo gaussiano esto sería nulo→ = 2F2 (k1,k2)P (k1)P (k2) + Permutaciones cíclicas
Q3 (k1,k2,k3) = B (k1,k2,k3)P (k1)P (k2) + P (k2)P (k3) + P (k3)P (k1)
Como esto es una función de muchas variables, es complicado de analizar. Pero podemos hacer un gráfico en función de θ
k1
k2k3
θ
y lo que obtenemos es
Q
θpi0
Esto es lo más probable
Esto lo que nos dice es que lo más probable es encontrar triángulos de las siguientes formas
y lo que esto nos dice es que la materia oscura tiende a formar filamentos, en lugar de tener una distribución homogénea.
4. Halo abundancAhora vamos a tratar de estudiar cómo se distribuyen los nodos que se forman entre los filamentos. Para ello vamos a
definir una densidad de nodos ρ y una δ tal queρ = ρ · (1 + δ)
Vamos a tener una distribución que es algo así:
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4 HALO ABUNDANC
x
δ
-1
δc
Los que superan el threshold δc son consideradoscomo nodos
Filtro pequeñoFiltro grande
Valor mínimo para δ = -1 por definición
Vamos a asumir un colapso esférico. Consideremos una esfera de diámetro r que tiene una masa M . Entonces vamos atener una densidad ρ tal que
M = 4π3 ρr3
Si ρ es la densidad media del universo (que sabemos cómo modelar su evolución con los modelos cosmológicos) entoncesvamos a definir R tal que
M = 4π3 ρR3 → Definimos R
Mr
ρ
Vacío
Rρ← Densidad media
del universo
Ahora nos vamos a preguntar cómo es la evolución de
r (t) → Cómo evoluciona?
Sabiendo que ρ = ρ (1 + δ) (según lo definimos más arriba) entonces
M = 4π3 ρ (1 + δ) r3 = 4π
3 ρR3
por lo tanto
δ =(R
r
)3− 1
Ahora no sé exacto de dónde salió lo siguiente, quizá es lo que vimos las primeras clases,
r2
2 −GM
r= E → Conservación de E?
y vamos a tener los dos casos
1. Para E > 0 lo que va a ocurrir es que r > 0 y entonces la esfera se va a expandir por siempre.
2. Para E < 0 lo que se tiene es que en algún momento r < 0 y entonces va a colapsar.
Para Λ 6= 0 (energía oscura) lo que se tiene es que
r2
2 −GM
r− Λr2
6 = E
En este caso r depende no sólo de E sino también de Λ, con lo cual incluso si E < 0 podría no colapsar. Me perdí. Elsubíndice i quiere decir “inicial”:
vi = 0Los resueltos de
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4 HALO ABUNDANC
⌈dridt
⌋ti
= Hiri
Energía cinética→Ki = r2i
2
= H2i r
2i
2
|Ui | = GM
ri
M = 4π3 ρ (1 + δ) r3 → = G
4π3 ρir
2i (1 + δi)
Usamos Friedman H2 = 8πG3 ρ→ = H2
i r2iΩi (1 + δi)
2
La conclusión es que
E = Ki − |Ui |= Ki −KiΩi (1 + δi)
= KiΩi(
1Ωi− (1 + δi)
)y entonces
E < 0 ⇒ 1 + δi >1Ωi
Aquí lo que vemos es que cualquier sobredensidad δi va a colapsar para un universo plano (flat) o cerrado. En el caso de ununiverso abierto va a depender de δi.
El radio máximo que alcanzará esto en su expansión antes de colapsar se encuentra pidiendo que r = 0 de donde seobtiene
E = −GMrmax
Ki −KiΩi (1 + δi) =
de donde se puede despejar (?)rmax
ri= 1 + δi
(1 + δi)− 1Ωi
Por otro lado la ecuación r2
2 −GMr = E tiene la siguiente solución exacta
Solución paramétrica exacta→r (θ) = A (1− cos θ)t (θ) = B (θ − sin θ)
donde θ es un parámetro y A y B se obtienen de
A2 = −2B2E
A = −GM2Elo cual me estaría dando
A = −GM2E
B = ± iGM
(2E)3/2
(o sea, t ∈ I????).
El parámetro θ es tal que tiene algunos puntos de interés en la evolución que son
Puntos de interés→ θ =π turn around (r = 0)2π full colapse
Parece que queremos llegar a que δ =(Rr
)2 − 1. Volviendo a las ecuaciones de Friedmann H2 = 8π3 Gρ tenemos que para un
universo dominado por la materiaH = 2
3t→ For matter dominated
por lo tantoρ ∼ 1
a3 = 16πGt2
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4 HALO ABUNDANC
yρ
4π3 R3 = M ⇒ R3 = MG
92 t
2
1 + δ =(R
r
)3
= MG92B2 (θ − sin θ)2
A3 (1− cos θ)3
De la solución que vimos antes se puede encontrar que A3 = GMB2 entonces
δ (θ) = 92
(θ − sin θ)2
(1− cos θ)3 − 1
Pensemos ahora en una evolución lineal para t pequeño, en particular para
t ≈ 13θ6
3
tenemos que
δ ≈ 3θ2
20y
δL = 320
(6tB
)2/3
→?
y entonces tenemos unrmax = 2A ⇒ A = ri
21 + δi
(1 + δi)− 1Ωi
y
B2 = A2
−2E ⇒ B2 = (1 + δi)2
4H2i Ωi
[(1 + δi)− 1
Ωi
]3Para el caso lineal tenemos
Caso lineal→ δi < 1 ⇒
Ωi = 1
Hi = 23ti
⇒ B ∼ 34 tiδ
−3/2i
δL (θ) = 35
[34 (θ − sin θ)
]2/3
Entonces hemos encontrado que
δ (θ) =
92
(θ − sin θ)2
(1− cos θ)3 − 1 → En el caso no lineal posta
δL (θ) = 35
[34 (θ − sin θ)
]2/3
→ En el caso lineal
Si hacemos un gráfico de una versus la otra tenemos que
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4 HALO ABUNDANC
Diverge
δL
δ
1.68
θ→2*pi
Por algún motivo que ahora no estoy entendiendo este valor límite para δL cuando θ → 2π es un buen valor paraδthreshold ≡ δc del principio de todo. Esto se debe a que será el momento en que esto empieza a colapsar de nuevo, o algo así.
En un momento todo esto llega a un estado virial, y en dicho momento se cumple (acto de fe) que
Uvir = −2Kvir← Acto de fe= 2Evir = 2Uturn around
rvir = rturn around
2
ρvir = 8ρturn around
(1 + δ)vir ρvir = 8 (1 + δ)turn around ρturn around
Si evaluamos
δ (π) =⌈
92
(θ − sin θ)2
(1− cos θ)3 − 1⌋θ=π
= 5,55
por lo tanto
(1 + δ)vir = 8 · 5,55(
rvirrturn around
)3= 8 · 5,55
(2ππ
)2/3
= 18π2
Entonces (???) (1 + δ)turn around = 5,55(1 + δ)vir = 178
(18π2)
En consecuencia nos queda que
avirial
ρ
a
\bar\rho
aturn around
5.55
178 ← Estado final
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4.1 Mass variance 4 HALO ABUNDANC
Entonces las zonas del universo con una densidad δi tal que
D (z) δi > 1,68→ Colapsarán
van a colapsar en algún momento. O algo así. Esto es haciendo una extrapolación lineal.
Después de comer
Supongamos una distribución de masa con una leve perturbación en algún lugar tal que la densidad es
ρ = ρ (1 + δ) → En alguna región
Si para redshift z = 1 (por ejemplo) satisface la condición
Dδ1 > 1,68
entonces quiere decir que colapsó, y para todos z en el futuro (o sea, menores que 1) la seguirá satisfaciendo pues ya colapsó.Ahora podemos pensar que esto está inmerso en una región con δ1 y δ1
δ1i
δ2i
La región con δ2 es más grande
Entonces si δi2 < δi1 lo que ocurrirá es que primero colapsará la región con δ1 y luego la δ2, y todo es consistente. Encambio, si δ2 > δ1 el colapso será al revés y nunca los vamos a contar... Esto es el problema de cloud-in-cloud.
δ1iδ2
iδ1
iδ2i
Cloud in cloud problem
4.1. Mass varianceLa varianza de la masa dentro de una esfera de radio R será
σ2 (R, z) = D2 (z)2π2
ˆP (r) W 2 (kR) k2 dk
dondeM = ρm
4πR3
3
M = Ωmρalgo4π3 R3
W (x) =
1 x < R
0 x > 0
R =[
3MΩmρinf4π
]1/3
La varianza tendrá una forma
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4.1 Mass variance 4 HALO ABUNDANC
σ
M
Se puede demostrar (???) que la probabilidad de encontrar una región con δM (siendo δM una región con masa M , o algoasí) es
P (δM ) = 1√2πσ (M)
exp(− δ2
M
2σ2M
)→ Gaussiana
Pern-Schechter (1974) Habíamos visto que si δ > δcrítico entonces la región colapsaba a un halo de masa M . Ahora estosdos señores Pern y Schechter dijeron que “la fracción de masa colapsada en halos de masa > M , F (> M), es igual a laprobabilidad de que δ > δcrítico”, es decir
P (δM (z) > δc)donde δM (z) ≡ D (z) δM (0). Esta probabilidad es
P (δM > δc) = 1√2πσM
∞
δc
e−
δ2M
2σ2M
= 12erfc
(δc
2σM
)donde
Complementary erf (x)→ erfc (x) def= 1− erf (x)y
erf (x) def=xˆ
0
e−t2
√πdt
Si tomamos el límite M → 0 obtenemos una fracción de masa
F (> 0) = 12← Fracción de masa
Ahora viene lo de Pern y Shcechter que es
F (> M) = 2P (δM > δc (t)) ← Pern-Schechter
Poniendo ese factor 2 ad hoc los tipos resolvieron la normalización
F (> 0) = 1 → Bien normalizadaX
Ese factor tiene una explicación con el grafiquito de δ pero que no entendí. Con esta nueva normalización tenemos que
F (> M) = erfc(
δc2σM
)→ Con la nueva normalización
Ahora estamos interesados en la fracción de halos de masa M ∈(M,M + δM = M ′
). Si F (> M) es la fracción de halos
con masa mayor, entonces simplemente
F (> M)− F(> M ′
)= dF
dMdM = masa en halos
masa total = MN (M)ρV
= M
ρn (M)
donde n (M) es el “number density of halos with mass M”. Entonces tenemos
n (M) dM = 2 ρ
M
∂P (δM > δc)∂M
dM
= 2 ρ
M
∂P∂σ
∣∣∣∣ ∂σ∂M∣∣∣∣ dM
El miércoles seguimos...
Clase nueva
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4.1 Mass variance 4 HALO ABUNDANC
Box 4 - Sobre las actualizaciones de software
Actualicé Lyx con una actualización automática que me propuso, y ahora no puedo escribir x2 usando el teclado.Lyx interpreta x2. Además los autocompletados en ecuaciones andan mal. Conclusión: nunca actualizar algo queanda bien.
Queremos ver cómo se distribuye la densidad de halos. Habíamos visto que
F (> m) = 2P (δm > δc) = erfc(
δc2σ (m)
)∂F
∂m(m) dm = dm Nh (m)m
M tot
⇒ NaVr
dm = Mtot
mVtot2∂P (δm > δc)
∂mdm
NaVr
= n (m) dm = ρ
m2∂P (δm > δc)
∂mdm = ρ
m2∂P (δm > δc)
∂m
dσ
dmdm
n (m) = 2 ρm
∂
∂σ
(12erf
(δ√2σ
))∂σ
∂mdm
= 2 ρm
12−2√πe− δ2
2σ2(m)
(δ√2σ2
)∂σ
∂mδm
= ρ
m
√2π
δcσ2 exp
(− δ2
c
2σ2 (m)
) ∣∣∣∣ ∂σ∂m∣∣∣∣ dm
= ρ
m
√1
2πδcσ3 exp
(− δ2
c
2σ2
)︸ ︷︷ ︸
f (ojo que no es definición estándar)
∣∣∣∣ ∂σ2
∂m
∣∣∣∣La conclusión que sacamos de acá es que dado un redshift z podemos definir una masa característicam? tal que σ (m?, z) = δc
m
n(m)log?→
m_estrella
acá es poco probableencontrar un halo
Acá es más probable encontrarlos
A medida que pasa el tiempo (a medida que baja el redshift) esta distribución se “corre hacia la derecha” del siguientemodo:
m
n(m)log?→
Muy en el pasado Presente
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5 TRAZADORES DE MATERIA OSCURA
Esto quiere decir que para redshift altos (el pasado) va a ser muy poco probable encontrar halos grandes (con mucha m).Es decir que m? es mayor a medida que pasa el tiempo.
Además tenemos quen ∼ 1
m2 para m m?
Con este problema de Lyx me estoy perdiendo toda la clase...
5. Trazadores de materia oscuraEs algo que nos permite identificar a la materia oscura. Un trazador de materia oscura es la densidad de galaxias. Entonces
vamos a tener queδgalaxias = F (δmateria oscura)
donde F es alguna función que aún no conocemos. La función más simple que podemos proponer es
δg = b1δ
donde b1 es el “bias” y δ es la densidad (o fluctuación) de materia oscura.Para medir todo esto siempre contamos el número de galaxias en regiones lo suficientemente grandes como para que la
dispersión sea pequeña, es decir δ pequeña. En el espacio de Fourier esto es mirar a k pequeños. En este caso tenemos que(?)
δg =∑ bb
k′0δk
Local bias expansion→ = b1δ︸︷︷︸Linear bias
+ b22(δ2 − σ2)︸ ︷︷ ︸
non linear bias
+
⟨δ2g
⟩= b21σ
2
⟨δ3g
⟩= 〈δgδgδg〉
= b31⟨δ3⟩+ b21
b22 3
⟨δδ(δ2 − σ2)⟩︸ ︷︷ ︸
3σ4−σ4=2σ2⟨δ3g
⟩⟨δ2g
⟩2 =b31⟨δ3⟩+ 3b21b2σ4⟨
δ2g
⟩2S(3)g = 1
b1S(3) + 3b2
b21
Qg (k1, k2, k3) = 1b1Q (k1, k2, k3) + b2
b21
Sobre uno de los problemas que deberemos resolver Martín nos va a dar un código que toma una distribución de materiaoscura δ (x) y lo interpola en una grilla δ (xG). Luego el código FFTW calcula la transformada de Fourier y nos da δ (k).Después el código hace
P (k) = 1N
∑|k |∈ki
| δ (k) δ′ (k) |2 → Espectro de potencias
Para tener en cuenta el redshift vamos a tener que multiplicar por D2
P (k, z) = D2 (z)P (k)
Nosotros estamos interesados en medir D (z). Parece que P (k) ∼ σ28 (z = 0) entonces
P (k, σ8) =(σ8
σfid8
)2P(k, σfid8
)b1σ8 (0)D (z) son degenerados
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6 PEAK BACKGROUND SPLIT
dondeb1σ8 (z)→ bías es degenerador con la cosmología!
Si el linear local bias está bien a un tiempo t∗ entonces es verdad siempre y el
b1 (t) = 1 + b1 (t∗)− 1D/D∗
(1)
. Para obtener esto hay que usar conservación de masa, o algo así.La expresión más general es
δg (x) =ˆ
d3x F(δ(x′))K(x, x′
)donde K es el “non-local kernel” o algo similar, y δ es “non linear”. Sthocasticity
δg = b1δ + ε
con ε “anything other than mass”〈δε〉 = 0
r = 〈δgδ〉√〈δgδg〉 〈δδ〉
Para eq. (1)→ = 1√1 + Pε
P1
6. Peak background splitAhora vamos a querer sacar el número de halos de masa m dado que hay un “long wavelength mode” δ`, esto es
n (m|δ`)
δ = δ` long + δs short
Lo que vamos a hacer ahora es cambiar la forma de contar. En lugar de tener un threshold dado por δc vamos a tener unthreshold dado por
δc − δ`→ Nuevo umbral
δ = δ` + δs →⟨δ2⟩ =
⟨δ2`
⟩+⟨δ2s
⟩− 〈δ`〉 〈δs〉︸︷︷︸
=0
σ2 = σ2` + σ2
s
Ahora vamos a repetir lo mismo que hicimos antes pero usando el δs. Entonces tenemos∞
δc
1√2πδs
exp(− δ2
s
2σ2s
)
ˆ
δc=δ`
1√2πδ
exp(− (δ − δ`)2
2 (σ2 − σ2` )
)
Consideremos ahora la función f que nos decía la fracción de toda la masa que colapsó en halos. Ahora amos a hacer lomismo
f = 1√2π
(δcσ3
)exp
(− δ2
c
2σ2
)
f (σ, δc|σ`, δ`) = 1√2π
δc − δ`(σ2 − σ2
` )3/2exp
(− (δc − δ`)2
2 (σ2 − σ2` )
)←→ n (m|δ`)
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7 WEAK LENSING
Ahora vamos a asumir que σlong = 0
m
M ′N (m|δ`) dm = f
∣∣∣∣ ∂σ2
∂m
∣∣∣∣ dm= f (σ, δc|δ`)
∂σ2
∂mdm
n (m|δ`) = N (m|δ`)V
= M ′
m
1Vf (σ, δc|δ`)
dσ2
dmdm
= ρ1 + δ`m
f (σ, δc|δ`)dσ2
dmdm
n (m|δ`)n (m) = 1 + δh ← Delta halo
n (m|δ` = 0) +⌈∂n∂δ`
⌋δ`=0
δ`
n (m) = ← Taylor
Ahora parece que hay que usar la expresión de f (σ, δc|σ`, δ`) para calcular esa derivada. Lo que se termina encontrando esque
1 + δh = (1 + δc)(
1− 1− ν2
δcδ`
)y finalmente queda
δh =(
1 + ν2 − 1δc
)δ`
dondeν ≡ δc
σ (m)Entonces el bias as de halos de masa m, b1 (m), será
b1 (m) =(
1 + ν2 − 1δc
)El bias es una función creciente con la masa m.
7. Weak lensingLlegué tarde pues fui a la teórica de E4, que estuvo muy buena por cierto. Hoy es 05/10/18 y es la última clase.
DOL
DLSA
Acá está
Pareciera que está acá
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7 WEAK LENSING
Encontré este dibujo (o uno muy parecido) acá.Ahora vamos a hacer la misma cuenta que hicieron antes pero en relatividad general. Consideremos la métrica
ds2 + a2 (t)[(
1 + 2φc2
)d2τ −
(1 + 2ψ
c2
)[dx2 + r (x)
(dθ2 + sin2 θ dφ2)]] → Robertson-Walker perturbado
que es el “perturbed FRW metric (newtonian gauge)”. En relatividad general
φ = ψ ≡ Newtonian potential
Ahora queremos encontrar la geodésica de un rayo de luz con estos potenciales. La ecuación de las geodésicas es
d2
dx2 (xθi) = − 2c2φ,i φ es el potencial radial (?)
donde xi = xθi definido en un plano de observación (o algo así)
θi
x
θ0
Entoncesd
dx(xθi) = − 2
c2
xˆ
0
φ,i
(x′θ(0), x′
)dx′
donde(x′θ(0), x′
)≡ (x⊥, xradial). Ahora
θi (x) = − 1x
2c2
xˆ
0
dx′x′ˆ
0
dx′′ φ,i(x′θ, x′
)Ahora consideramos
xˆ
0
dx′′x′′ˆ
0
dx′ f(x′)
=xˆ
0
dx′xˆ
x′
dx′′
︸ ︷︷ ︸x−x′
f(x′)
por lo tanto
θsi (x) = θ0s (x = 0)− 2
c2
xˆ
0
dx′ φ,i(x′θ, x′
) x− x′x
Parece que debe ocurrir que θsi (0) = θ0s (0).
Ahora
Aij = ∂θsi∂θ0j
x⊥ = χθ
∂
∂θj= χ′
∂
∂xj
→ = δij −2c2
χ
0
dx′ φ,ij(χ′θ, χ′
) χ′χ
(χ− χ′
)︸ ︷︷ ︸
∂Ψ∂θi∂θj
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7.1 Extended distribution 7 WEAK LENSING
donde recordemosAij ∼
[1− κ− γ1 −γ2−γ2 1 + κ+ γ1
]→ Se vio mientras yo no estaba
El potencial reescalado es entonces
Ψ = 2c2
ˆdχ′ Φ
(χ′θ, χ′
) χ′χ
(χ− χ′
)y
κ (θ) = 12∇θΨ
= 1c2
χ
0
dχ′ ∇2⊥Φ(θχ′, χ′
) χ′χ
(χ− χ′
)con
∇2 = ∇2⊥ +∇2
χ
El término con ∇2χ se puede integrar y demostrar que da cero.
∇2φ = 32H2
0a
Ωmδ
Warning Existe la posibilidad de que el pizarrón sea case insensitive y en todo lo anterior (y lo que sigue también) paseque χ ≡ x, Φ ≡ φ, Ψ ≡ ψ, θi ≡ θj y otros temas de notación. O quizá no. La verdad que no lo sé.
Entonces
κ (θ) =χ
0
dχ′ W(χ, χ′
)δ(χ⊥, χ
′)donde W es un “lensing kernel” que vale
W(χ, χ′
)= 3
2H2
0c2
Ωm(χ− χ′
) χ′χ
1a (x)→ Lensing kernel
7.1. Extended distributionEn la expresión κ (θ) =
´ χ0 dχ′ W
(χ, χ′
)δ(χ⊥, χ
′) tenemos
\chi
n(x)
κ (θ) =χ∞ˆ
0
dχ n (χ)χ
0
dx′ W(χ, χ′
)δ(χ′⊥, χ
′)
\chi '
\chi
χ (θ) =χ∞ˆ
0
dχ′χ∞ˆ
χ′
dχ n (χ)W(χ, χ′
)︸ ︷︷ ︸
F(χ′)
δ(χ′⊥, χ
′)
donde podemos definir (o reconocer?)
F(χ′)
=χ∞ˆ
χ′
dχ n (χ)W(χ, χ′
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7.2 Power spectrum 7 WEAK LENSING
7.2. Power spectrumAhora queremos obtener el espectro de potencias, i.e. la función de correlación. Para ello vamos a hacer⟨
κ (θ)κ(θ′)⟩→ Correlación
y haciendo la transformada de Fourier vamos a obtener el espectro de potencias.
κ (`) =ˆ
d2θ
(2π)2 κ (θ) e−iθ·`→ Fourier transform
con ` = χk⊥ ⟨κ (θ)κ
(θ′)⟩≡ˆ
d2` Pκ (`) ei`·(θ−θ′)
=ˆ
dχ F (χ) dχ′ F(χ′) ⟨
δ (θχ, χ) δ(θ′χ′, χ′
)⟩︸ ︷︷ ︸ξ(r)
donde ξ (r) es la función de correlación en “coordenadas comunes” r y χ son las coordenadas radiales y transversales, peroson equivalentes.
algo =ˆ
d3k Pδ (k) e−i(k‖(χ−χ′)+k⊥(θχ−θ′χ′))
donde k‖ es “paralelo a la dirección radial”.
7.2.1. Small angles approximation
Vamos a hacer una aproximación lineal para cuando los ángulos son pequeños. Para ello vamos a considerar el hecho deque la integral va a estar dominada por valores de k‖ tales que k‖
(χ− χ′
)> 1 y lo mismo para k⊥, k⊥
(θχ− θ′χ′
)> 1.
Entonces siθ = θ′ + δθ
k⊥θ
′ (χ− χ′)+ k⊥δθχ > 1 ← θ′ = 0
Miramos esta región
δθ
L ~ chi - chi'
δθ χ ≤ χ− χ′
k‖ ∼
1∆χ
k⊥ ∼1
χ δθ
⇒ k⊥ k‖
ˆd2k⊥ P (k⊥) dk‖e
−ik‖(χ−χ′)︸ ︷︷ ︸2πδD(χ−χ′)
e−ik1(θχ−θ′χ′)
⟨κ (θ)κ
(θ′)⟩
= 2πˆ
dχF 2 (χ)χ2
ˆd2` Pδ
(`
χ
)e−i`·(θ−θ
′)
Pκ (`) = 2πˆ
dχF 2 (χ)χ2 → Acá no hay bias
F ∼ ΩmH0×→ Integrated distances
donde la × es una cruz que había que no sé bien qué representa...
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7.2 Power spectrum 7 WEAK LENSING
Entonces lo importante es que medir esto (weak lensing) es una forma directa de medir Ωm. El problema es que medir κes complicado pues lo que nosotros medimos es el “shía” (creo que es GR en inglés, pero no sé). De la definición de la matrizA (ver más arriba) tenemos
De la definición de A→
γ1 = 12
(∂2ψ
∂θ1− ∂2ψ
∂θ2
)γ2 = ∂2ψ
∂θ1∂θ1
κ = 12
(∂2ψ
∂θ1+ ∂2ψ
∂θ2
)Para resolver esto vamos al espacio de Fourier ` y nos queda
En Fourier→
γ1 (`) = `21 − `22`2
κ (`)
γ2 (`) = 2`1`2`k (`)
κ (`) = `21 + `222 ψ = `2
2 ψ
κ (`) = `2
`21 − `22γ1 (`)
y ahora antitransformamos. Lo que nosotros medimos es
γ1 (`) , γ2 (`)→ es lo que medimos
A nivel teórico está todo bien con κ, pero es muy difícil de medirlo. En el mundo real lo que se mide es una combinación deγ1 y γ2. Existe una combinación llamada “EMB mode” o algo así
Cuando δ>0 Cuando δ<0
E modes
Los palitos indican cómo se deforman
las galaxias
y esto es una combinación de γ1 y γ2.Existe ora forma de descomponer los γ que es tal que
γt = −Re(γe−2iφ)
γx = −Im(γe−2iφ)
donde γ = γ1 + iγ2
γt<0γx=0
γx>0γt=0
γt>0γx=0
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