apuntes de regulaci´on autom´atica

Departamento de Ingenierıa de Sistemas y Automatica.Universidad de Sevilla.

Apuntes de

Regulacion Automatica

2 Curso de Ingenierıa Tecnica Industrial

Electronica Industrial

Sevilla, Octubre de 2004

Autores:

Francisco Gordillo ÁlvarezJosé Ángel Acosta RodríguezManuel López Martínez

Indice

I Introduccion y fundamentos 1

1 Introduccion a los sistemas de control. 3

1.1 Nocion de control automatico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Necesidad del modelo matematico del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Idea de realimentacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Realimentacion, retardos y oscilacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Sensibilidad y realimentacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Las Matematicas y el control automatico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Bosquejo historico del control automatico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8 Senales y sistemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.9 Servomecanismos y reguladores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Introduccion a los sistemas realimentados 17

2.1 Servomecanismo de posicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Accion proporcional mas derivada (PD). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Accion proporcional mas integral (PI). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Descripcion de los sistemas dinamicos 25

i

ii INDICE

3.1 Transformacion de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.2 Resumen de Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.3 Calculo de antitransformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Nocion de sistema dinamico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Formas de las relaciones entrada-salida en sistemas. . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.1 Sistemas estaticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.2 Sistemas dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Descripcion externa de los sistemas dinamicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.1 Respuesta impulsional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.2 Funcion de transferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5 Sistemas de control realimentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Modelado y Simulacion 43

4.1 Modelado de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.1 Exactitud del modelo frente a su sencillez . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1.2 Modelo externo e interno de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.3 Modelos deterministas y no deterministas . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1.4 Modelos parametricos y no parametricos . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1.5 Modelos con parametros concentrados y distribuidos . . . . . . . . . . . 47

4.2 Modelado de sistemas mecanicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.1 Sistemas mecanicos traslacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2.2 Sistemas mecanicos rotacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3 Sistemas hidraulicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

INDICE iii

4.3.1 Deposito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3.2 Tuberıa y valvula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3.3 Modelos de sistemas hidraulicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4 Modelado de sistemas electricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4.1 Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4.2 Condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4.3 Bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.4.4 Fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.4.5 Motores de corriente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4.6 Modelos de sistemas electricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.5 Sistemas termicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.5.1 Transferencia de calor por conduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.5.2 Transferencia de calor por conveccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.5.3 Transferencia de calor por radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.5.4 Modelos de sistema termicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.6 Linealizacion de modelos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.6.1 Punto de funcionamiento de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.6.2 Linealizacion de un sistema dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.7 Simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.7.1 Metodos numericos de integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.8 Algebra de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.8.1 Operaciones sobre senales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.8.2 Operaciones sobre bloques: reduccion de sistemas . . . . . . . . . . . . 79

iv INDICE

II Analisis en el dominio del tiempo 83

5 Sistemas dinamicos lineales de primer orden 85

5.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.2 Solucion de la ecuacion diferencial de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2.1 Senal de entrada nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2.2 Senal de entrada no nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2.3 Respuestas a senales de entrada especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.2.4 Respuesta armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.3 Ejemplos de sistemas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.4 El sistema de primer orden como integrador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6 Sistemas dinamicos lineales de segundo orden y superior 105

6.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.1.1 Respuesta de un sistema de segundo orden a una entrada en escalon . . . 108

6.1.2 Respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden . . . . . . . . . 115

6.1.3 Ecuaciones diferenciales de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7 Analisis de errores en regimen permanente 123

7.1 Relacion entre las constantes de error y los polos y ceros. . . . . . . . . . . . . . 123

7.1.1 Seguimiento de posicion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.1.2 Seguimiento de velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.1.3 Seguimiento de aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.1.4 Sistemas con error nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

INDICE v

III Analisis de sistemas dinamicos en el dominio de la frecuencia 133

8 Representacion grafica de la funcion de transferencia 135

8.1 Diagramas mas comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8.1.1 Diagrama de polos y ceros: caso racional . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8.1.2 Diagrama de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8.1.3 Diagrama logarıtmico o de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8.1.4 Diagrama de Black . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

8.2 Diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

8.2.1 Diagrama de Bode de una constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.2.2 Diagrama de Bode de una integracion pura . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.2.3 Diagrama de Bode de un sistema de primer orden . . . . . . . . . . . . . 141

8.2.4 Diagrama de Bode de una diferenciacion pura . . . . . . . . . . . . . . . 142

8.2.5 Diagrama de Bode del termino asociado a un cero . . . . . . . . . . . . . 143

8.3 Sistemas de fase mınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.4 Cırculos M y N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

IV Estabilidad de sistemas dinamicos 149

9 Estabilidad de los sistemas dinamicos 151

9.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9.2 Criterios de estabilidad relativos a la descripcion externa . . . . . . . . . . . . . 152

9.2.1 Criterio de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

9.2.2 Matriz de Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

vi INDICE

9.3 Criterio de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

9.3.1 Grado de estabilidad e interpretacion del criterio de Nyquist . . . . . . . 166

V Metodos clasicos de sıntesis 169

10 Compensacion de sistemas realimentados 171

10.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

10.2 Analisis en el dominio de la frecuencia de la red PD . . . . . . . . . . . . . . . . 174

10.3 Analisis en el dominio de la frecuencia de la red PI . . . . . . . . . . . . . . . . 177

10.4 Accion proporcional, integral y diferencial (PID) . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

10.5 Compensacion por avance de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

10.6 Efecto en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

10.7 Metodo practico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Parte I

Introduccion y fundamentos

1

Tema 1

Introduccion a los sistemas de control.

1.1 Nocion de control automatico.

De una manera intuitiva se concibe el control automatico, como la rama de la tecnica que tienepor objeto concebir ingenios que funcionen autonomamente, es decir, y hablando llanamente, quefuncionen solos. Esta nocion intuitiva requiere unas ciertas matizaciones, pero es valida comopunto de partida.

Bajo cierto punto de vista se puede considerar que en todo proceso industrial intervienen poruna parte la informacion (ordenes) y por otra la potencia. Bajo este mismo punto de vista cabeconsiderar el funcionamiento de un proceso como la adopcion de las acciones necesarias frente almismo (senales de mando o control) para la conveniente dosificacion de la energıa en los distintospuntos del proceso para que el funcionamiento del conjunto sea el conveniente.

En todo proceso, sea la fabricacion de un producto, un avion en vuelo, una maquina funcio-nando, etc.., se realizan una serie de acciones que presuponen la dosificacion de la aplicacion deenergıa en determinados puntos, bien bajo la accion de unas ordenes que se suministran al mismo,bien de una manera aleatoria por parte del medio en el que se halla inmerso.

Se puede representar un proceso de esta naturaleza, al que a partir de ahora denominaremossistema por medio de un bloque, o rectangulo, tal como el representado en la figura 1.1. A laizquierda de este bloque se han representado unas flechas que se han denotado por u1,u2... yque representan las distintas acciones que se pueden tomar sobre el proceso; se denominara enlo que sigue senales de control, mando, o entrada. A la derecha del bloque se han representadootras flechas, como saliendo del mismo, que se han denotado por y1,y2, ... y que representan losproductos que produce el proceso; sobre el caracter de estas magnitudes se volvera mas adelante.

Observese que este esquema, al nivel que se ha desarrollado hasta ahora, tiene una amplısimaaplicacion. Por ejemplo la conduccion de un automovil por una carretera puede considerarsecomo un proceso sistema representado con un diagrama similar al de la figura 1.1 siendo u1 laposicion del volante; u2 la posicion del viento sobre la estabilidad del automovil, etc.., y siendo y1

3

4 Necesidad del modelo matematico del sistema.

Sistemaa

controlar

-

-

-

-

-

-

q

q

q

q

q

q

u1

u2

un

y1

y2

ym

Figura 1.1: Sistema dinamico

la velocidad del automovil; y2 la separacion del mismo de la cuneta, etc.

De una manera intuitiva se entiende que un proceso esta automatizado cuando funciona solo, esdecir, sin intervencion del ser humano. Por ejemplo, un automovil completamente automatizadoserıa aquel que funcionase completamente solo. Se comprende que en este ejemplo trivial laautomatizacion no parece previsible para un futuro inmediato, aunque sı se han realizado ciertasautomatizaciones parciales como la del cambio de marcha.

Volviendo al problema original, se puede decir que el funcionamiento del proceso se hara apartir de la serie de senales ui que se le aplique. El problema de controlar (mandar) el proceso,se reduce al de establecer las senales de entrada (ordenes), a que debera ser sometido para que sufuncionamiento sea el apetecido.

Por lo tanto, el problema de controlar el funcionamiento de un proceso queda reducido al dela toma de decision de la secuencia de valores que deben tomar las senales de mando del mismo.Es decir, volviendo al ejemplo trivial de la conduccion del automovil, la decision de las maniobrasque debe efectuar el conductor (sobre el volante, sobre el freno, sobre el acelerador...) para que elfuncionamiento del automovil sea el adecuado.

1.2 Necesidad del modelo matematico del sistema.

Se ha visto en el apartado anterior como el gobierno de un proceso se reducıa al establecimientode la secuencia de acciones de mando que debe aplicarsele para que el funcionamiento sea elapetecido. Se va a considerar ahora un primer aspecto del establecimiento de esta secuencia.

La toma de decision sobre la senal que debe aplicarse al sistema implica que existan distintasalternativas. Es decir, que existan distintas acciones posibles cada una de las cuales darıa unresultado distinto. El problema se reduce al de elegir entre estas senales, aquellas cuyo resultadosea el apetecido.

Al existir distintas opciones respecto a la accion a tomar para gobernar el proceso, para realizarla eleccion conveniente de la senal de entrada que determine un funcionamiento apetecido, es

Introduccion a los sistemas de control. 5

necesario que se sepa predecir que resultados se obtendra de cada una de las posibles acciones. Esdecir, quien tome la decision respecto a cual de las posibles acciones a tomar debe adoptarse, debepredecir in mente, las acciones que resultaran de cada una de sus posibles opciones, con el fin deescoger aquella senal de entrada a la que corresponda un resultado que sea el buscado.

Por lo tanto, se requiere el conocimiento exhaustivo de las relaciones que existen entre lasposibles acciones a tomar sobre el sistema, y los resultados que determinaran cada una de ellas.Esto es lo que se llama un modelo matematico del proceso, y esta constituido por las relacionesformales que ligan a las senales ui e yi.

El conductor del automovil, que es quien toma la decision del posicionamiento de los distintosorganos que tiene a su alcance (volante, frenos, acelerador...) lo que hace en todo instante es prevercual sera el resultado de las decisiones tomadas con el fin de mantener el proceso que gobierna (elautomovil), en un estado de marcha y funcionamiento apetecido.

Para construir un modelo matematico de un proceso, se requiere establecer de una forma pre-cisa, las magnitudes que lo definen (senales de entrada y de salida) ası como las relaciones formalesque ligan a estas magnitudes.

En la vida ordinaria, cuando se construyen modelos, de una manera subconsciente, para latoma de decisiones, estos no tienen el nivel de formalidad que se acaba de indicar. Sin embargo,cuando se quiere automatizar un proceso, es indispensable la construccion de estos modelos for-males con el fin de poder trasladar el proceso de toma de decision a una maquina construida alefecto, ası que determinara las acciones a tomar precisamente a partir del modelo del sistema delque disponga.

La posibilidad de construir un modelo del proceso que se este considerando, constituye unade las mayores limitaciones que a priori se pueden establecer respecto a la posibilidad de au-tomatizar un determinado proceso. Considerese, por ejemplo, el problema del establecimiento deun tratamiento por un medico para uno de sus enfermos. En la medida en que fuese posible enprimer lugar definir una serie de magnitudes que caracterizasen el estado del enfermo (temper-atura, tension arterial, resultados de analisis clınicos...) y de las relaciones formales que ligan aestas magnitudes, serıa posible automatizar completamente el problema del establecimiento de untratamiento, que no es sino determinar la accion a seguir sobre el enfermo para conseguir que laevolucion del mismo estado de salud se realice en forma apetecida.

En ciertos casos es posible establecerse un modelo matematico del proceso que ligue de unamanera unıvoca a cada una de las acciones que se tomen un unico resultado. Se tiene entoncesun sistema determinista. En otros casos, para cada una de las acciones posibles, no se tienesino una prediccion estadıstica de posibles resultados; se tienen entonces los llamados sistemasestocasticos.

6 Idea de realimentacion.

1.3 Idea de realimentacion.

El conocimiento del modelo matematico del sistema sobre el que se debe tomar una decision paragobernar su funcionamiento, no es suficiente para la toma de esta decision. Se requiere ademasinformacion sobre lo que, de una forma intuitiva de momento se puede denominar estado actualdel mismo.

Es facil encontrar ejemplos que ilustren este punto. Supongase, por ejemplo, un automovilque debe hacer el recorrido Sevilla - Cadiz. Supongase que se dispone de un modelo matematicodel funcionamiento del automovil ası como un trazado minucioso de la autopista que une las dosciudades. Parece posible, en principio, prever un programa extraordinariamente detallado quepermitiese realizar por medio de un programa previo la toma de decisiones sobre la conducciondel automovil. Un programa que serıa algo ası como una secuencia de instrucciones del tipo:avanzar en lınea recta 150 m, realizar un giro a la derecha, con radio de giro de 1 km.,.... Sinembargo parece claro que en principio no quepa augurar un feliz resultado a la empresa. Este tipode programa darıa lugar a un control en bucle abierto en el que no se tiene informacion sobre lasituacion actual.

El conductor no hace sino desde su posicion de gobierno de la conduccion del automovilintroducir, especialmente por medio de sus ojos, informacion sobre el estado actual del automovil,permitiendo de esta forma el que la toma de decision respecto a la condicion del mismo, adquieraun grado de eficacia realmente fiable.

Este ejemplo, pese a su aparente artificiosidad es similar al que se presenta cuando se tratade enviar una capsula a la luna. Debe notarse que la necesidad de la realimentacion surge comoconsecuencia de la aparicion de perturbaciones aleatorias que modifican el funcionamiento delsistema de acuerdo con un plan previsto, o sencillamente por la imperfeccion del modelo delsistema que le impide una prediccion exacta, a largo plazo, del funcionamiento del mismo.

Desde un punto de vista general, cabe decir que los sistemas con realimentacion son aquellosen los que la adopcion de decisiones cara al futuro esta completamente influenciada por los efectosde las previamente adoptadas. Dicho con otras palabras, son los sistemas en los que si la accionque se lleva a efecto persigue una determinada meta, es la diferencia entre las cotas alcanzadas enesta meta, y ella misma, la que determina las acciones posteriores. Este tipo de actuaciones sonlas que se denominan control en bucle cerrado o control por realimentacion.

En la figura 1.2 se representa en forma de diagrama de bloques lo anterior. En dicha figura serepresenta por un lado el Sistema, cuya variable de Salida pretendemos controlar de forma que sigaa la Entrada. Para ello se dispone de un Elemento de medicion, que nos proporciona el valor dela senal de salida y posteriormente una vez comparada con la senal de entrada se toma la decisioncorrespondiente para actuar sobre el sistema.


Toma dedecision Planta

Elementode

medicion

- - -

6

�

SalidaEntrada

Figura 1.2: Realimentacion

1.4 Realimentacion, retardos y oscilacion.

La existencia de retardos en un circuito (bucle) de realimentacion, conduce a la aparicion defenomenos oscilatorios en el comportamiento dinamico del mismo. Este hecho tiene una im-portancia capital al considerar el comportamiento dinamico de los sistemas realimentados y granparte del problema de diseno de los mismos reside en el amortiguamiento (o anulacion) de estasoscilaciones.

Con el fin de ilustrar de una manera intuitiva este hecho, considerese a un conductor queconduce un automovil, proceso que se puede interpretar con un bucle de realimentacion tal comoel de la figura 1.3. Entre la deteccion de un obstaculo, y la accion correctora consiguiente (girar elvolante, actuar sobre los frenos...), se produce un cierto retardo que el conductor experimentadotiene perfectamente asimilado, y no constituye un obstaculo para una conduccion normal.

Ojos(Sentidos) Conduccion Coche- - - -

6

? ? ?Referencia

Perturbaciones

Posicion

Figura 1.3: Ejemplo de realimentacion

Supongase que se trata de mantener el coche en lınea recta sobre una superficie completamente

8 Sensibilidad y realimentacion.

llana, sin ningun obstaculo. Sobre el automovil solo actuan las pequenas perturbaciones (baches)del terreno y el conductor puede conseguir su objetivo con relativa facilidad.

Supongase ahora que el conductor debe realizar su cometido con los ojos cerrados, llevando asu lado un copiloto que es el que le va transmitiendo las indicaciones respecto a las desviacionesde la lınea recta que se trata de seguir. El circuito de realimentacion se modifica, en este caso, al dela figura 1.4, con ello lo que se ha introducido es de una manera artificiosa un notable retardo en elbucle de realimentacion. Es facil comprender, que en este segundo caso, y debido precisamente alretraso que se introduce en el bucle de realimentacion, la conduccion sera fuertemente oscilante.

Ojos(Sentidos)

Transmisionoral Conduccion Coche- - - - -

6

? ? ?Ref.

Perturbaciones

Posicion

Figura 1.4: Sistema con retardo

Un hecho importante que ilustra tambien el anterior ejemplo es que cuanto mayor sea la ve-locidad a la que pretende conducirse el automovil, mayores seran los efectos de oscilacion que sehan indicado. El dilema entre velocidad de respuesta (precision) y estabilidad (ausencia de oscila-ciones), constituye una de las constantes que aparecen en el estudio de sistemas realimentados.

1.5 Sensibilidad y realimentacion.

Un sistema se dice sensible a la variacion de un determinado parametro cuando este influye deforma importante en el comportamiento del mismo. Por ejemplo, la conduccion de un automoviles extraordinariamente sensible al estado del firme de la carretera. Mas adelante se dara unadefinicion precisa de este concepto; aquı, de momento, con esta nocion intuitiva es suficiente.

Los sistemas realimentados son enormemente menos sensibles a las perturbaciones que lossistemas sin realimentar. En efecto, un ejemplo trivial ayudara a fijar esta idea. Considereseque se trata de preparar una ducha de agua templada. El sistema se puede considerar en bucleabierto, es decir, sin realimentacion, si una vez realizado el ajuste de las proporciones de agua frıay caliente, este permanece inalterado durante toda la ducha. Si aparece cualquier perturbacion,por ejemplo, que en otro lugar de la casa se abra un grifo de agua caliente, lo que influye en lamezcla, las consecuencias desagradables para el que se ducha no se pueden atenuar. El sistema esenormemente sensible.


Por el contrario, si se puede actuar sobre los grifos durante todo el proceso, entonces se tiene unsistema en bucle cerrado en el que la persona que se ducha puede tomar las decisiones oportunas,y actuar sobre el sistema a traves de los grifos, para corregir cualquier perturbacion que se puedaproducir. El sistema, en conjunto, ha atenuado las posibles perturbaciones exteriores, por lo tantoha disminuido su sensibilidad sobre las mismas.

Este ejemplo ayuda tambien a poner de manifiesto uno de los problemas mas importantes quese pueden producir como consecuencia de la introduccion de la realimentacion. Considerese que:

• Los grifos se encuentran alejados del deposito de agua caliente; y

• Una pequena variacion de cualquiera de los grifos influye sensiblemente en la temperaturadel agua.

Es claro que en tales condiciones se produciran oscilaciones de la temperatura del agua, puesto quesera enormemente difıcil ajustar la misma. Ello es debido a que cualquier accion que se tome tardaun cierto tiempo en detectarse (en la espalda del que se ducha que es el organo de medida), y porlo tanto este posiblemente se pase en la correccion. El sistema se convierte entonces en un sistemainestable, y la correccion de ese tipo de inestabilidad constituye uno de los primeros problemascon los que se enfrenta el disenador de sistemas realimentados. Ello se pondra ampliamente demanifiesto a lo largo de este curso.

1.6 Las Matematicas y el control automatico.

Las matematicas tienen un doble empleo en las ciencias empıricas y aplicadas.

• Las matematicas pueden usarse como lenguaje cuando se pretende formular los problemascon la ayuda de conceptos matematicos buscando con ello la precision y claridad.

• Las matematicas pueden emplearse como herramientas cuando una vez planteado el pro-blema en terminos matematicos se resuelven las ecuaciones que resultan (analıticamente opor simulacion)

Por otra parte, cabe considerar que la ingenierıa puede describirse como una mezcla de sentidocomun y ciencia. Se trata de recurrir a planteamientos teoricos que permitan profundizar en losproblemas que se esten tratando, pero sin perder de vista que en ultimo extremo de lo que se trataes de conseguir algo que funcione.

Estas consideraciones previas deben hacerse por cuanto que, como es logico segun lo que seha visto en los apartados anteriores, las matematicas juegan un papel fundamental en la modernateorıa del control automatico. Tan es ası que en algun sentido puede considerarse la teorıa delcontrol automatico como una rama de las matematicas aplicadas.

10 Las Matematicas y el control automatico.

En la figura 1.5 se tiene un sencillo diagrama en el que se pretende expresar las fases delmetodo en control automatico. Estas fases pueden resumirse en:

1. A partir del proceso, por abstraccion, se construye el modelo matematico del mismo. Estaprimera fase no es especıfica del especialista en control, y requiere del concurso del espe-cialista en el proceso a controlar.

2. Una vez obtenido el modelo matematico se determina que tipo de accion debe efectuarsesobre el mismo para que su comportamiento se adecue a las metas propuestas. Se trata dedeterminar, lo que mas adelante se denominara ley de control.

3. Por ultimo, se trata de realizar fısicamente, la ley de control determinada en el punto anteriorpara lo que se requiere el concurso de instrumentos fısicos que realicen esta funcion. En estaultima fase se requiere de nuevo el concurso del especialista en el proceso a controlar (enforma de instrumentista).

SistemaFısico

ModeloMatematico

Sistemade Control

Ley deControl

6 6

? ?

-

-

Abstraccion Implementacion

Figura 1.5: Fases del Metodo de Control

De las tres fases anteriores, la especıfica del especialista en sistemas de control es la segunda,que tiene un caracter fundamental matematico. Se ha llegado incluso a decir que el especialistaen control en realidad no trata con los sistemas fısicos, sino exclusivamente con sus modelosmatematicos.

Por lo tanto, el terreno en que se mueve el especialista en control automatico, esta fuertementeinfluido por las matematicas aplicadas, aunque nunca debe olvidarse las consideraciones hechasmas arriba respecto a la labor del ingeniero.


1.7 Bosquejo historico del control automatico.

A lo largo de la historia de la tecnica se encuentran multiples ingenios en cuya concepcion in-terviene la idea de realimentacion. Uno de los primeros ingenios de esta naturaleza es el llamadoreloj de agua (clepsidra). Segun algunos autores, su origen es chino y se remonta a la dinastıa Chen(siglo XI - XII a.C.), y segun otros al mecanico griego Ktesibios (siglo XIII a.C.). En cualquiercaso su antiguedad e ingeniosidad son innegables.

El primer trabajo significativo en control automatico fue el regulador centrıfugo de JamesWatt. Se trata de un regulador de bolas de una maquina de vapor. En el regulador de Watt seregula la velocidad de una maquina de vapor por medio de un sencillo artificio consistente en dosbolas metalicas de cierta masa sobre las que actua las fuerzas centrıfugas al girar el eje del queson solidarias a traves de unos brazos (figura 1.6). Estos brazos estan articulados de manera quela fuerza centrıfuga que actua sobre las bolas puede determinar, a traves de dichas articulaciones,una mayor o menor apertura de la valvula de alimentacion de la maquina. Se tiene por lo tantouna cadena cerrada de acciones tal como la que se indica en el diagrama de la figura 1.7.

vapor

válvula

Cilindro

Caldera:velocidad del eje.

eje de la máquina.

ω

Figura 1.6: Regulador centrıfugo de Watt

TransmisiónMáquina

de vapor

bolas

ωc ω

ω

válvula

-

+

Figura 1.7: Diagrama de bloques: Regulador de Watt

El interes que suscita en su tiempo, la maquina de Watt es grande, puesto que en ella se presen-tan los problemas de estabilidad a los que se aludıa en los apartados 1.4 y 1.5. Tan es ası que JamesClerk Maxwell, uno de los mayores fısicos teoricos del siglo XIX se siente atraıdo por el problemay publica un trabajo titulado On governors que constituye uno de los trabajos pioneros de la mod-erna teorıa del control. Sin embargo, aparte de este trabajo, y algun otro de Routh a finales de siglo,

12 Senales y sistemas.

no es hasta los anos 30 de este siglo, cuando se acomete de una manera sistematica el estudio de lastecnicas matematicas que permitan estudiar y disenar sistemas realimentados. Durante la SegundaGuerra Mundial, la necesidad de construir sistemas de control altamente sofisticados para finesmilitares, condujo al desarrollo tanto en los Estados Unidos como en la Union Sovietica, de lo quehoy se conviene en llamar teorıa clasica de los servomecanismos, y que se estudiara mas adelanteen este curso. En aquellos anos Norbert Wiener publica la importante obra Cibernetics, en la quese recalca el caracter fundamental de la nocion de realimentacion como concepto cientıfico.

La teorıa clasica de los servomecanismos tiene enormemente limitadas su posibilidades deaplicacion por cuanto que la clase de sistemas a las que se aplica es reducida. En ello determinola realizacion de estudios teoricos que permitiesen construir una teorıa de sistemas que abarcarseuna clase mas amplia de los mismos. Con ello se ha llegado al desarrollo de la teorıa moderna delcontrol, basada sobre la nocion de estado, y que se estudiara con detenimiento a lo largo de estecurso.

1.8 Senales y sistemas.

En el estudio de los sistemas de control es fundamental adquirir previamente una idea clara de losconceptos de senal y sistema.

Se entiende por senal, en un sentido amplio, toda magnitud fısica que evoluciona en el tiempo.En un sentido mas restringido se requiere ademas que esta senal tenga cierto contenido informa-cional, es decir que sea significativa en cierto aspecto, los tipos de senales generalmente emplea-dos en sistemas de Control son tensiones o intensidad electricas, desplazamientos mecanicos ypresiones neumaticas o hidraulicas, si bien en principio no hay ningun inconveniente en incluirotro tipo de senales. Se empleara aquı la notacion habitualmente empleada en matematicas parareferirse a una magnitud fısica X que, en cada instante t, toma un cierto valor.

La definicion de sistema es mas ambigua. Se entiende por sistema un conjunto de partesentrelazadas operativamente de manera que unas actuen sobre otras y que en conjunto formen untodo. Un ejemplo de sistema de acuerdo con esta definicion lo constituye el Sistema EconomicoNacional, en el que salarios, nivel de precios, ahorro, etc, interaccionan entre sı. Aquı interesarala consideracion de sistemas mas simples en los que los elementos interactuantes son fısicos y, dehecho, puedan definirse magnitudes fısicas que describan su comportamiento. Un sistema puedetambien definirse como un procesador de senales, en el sentido de que excitado con determinadassenales responde con otras.

Es por lo tanto evidente que la consideracion del comportamiento dinamico de un sistematendra un papel preponderante, por cuanto que una senal es una magnitud fısica que evoluciona enel tiempo, y un sistema es un procesador de senales.

Normalmente, los sistemas que interesan en Automatica, tendran puntos de acceso llamadosentradas, por los que pueden ser excitados por senales llamadas senales de entrada. Ası mismotendran otros accesos en los que la evolucion de ciertas magnitudes fısicas podra leerse. Estospuntos se llamaran salidas y las magnitudes a ellos ligadas senales de salida. La voz punto,


empleada en las anteriores definiciones de entrada y salida, debe tomarse en un sentido amplioy no geometrico. Los sistemas se representan por medio de bloques tal como se indica en lafigura 1.8.

potencia perturbaciones

Señales de

u(t)

entradaSeñales desalida

y(t)


Juntamente con las senales de entrada y salida interesa considerar que un sistema puede estarsometido a otro tipo de entradas como son las de suministro de potencia o las perturbaciones. Perocon el fin de poder estudiar en su comportamiento ciertas regularidades, que permitan su estudiomatematico, se considerara que estas, o bien se mantienen constantes (potencial), o bien sufrensolo variaciones despreciables (perturbaciones), de manera que el valor de la senal de salida puedaconsiderarse funcion exclusivamente del conjunto de valores tomados por la senal de entrada. Porlo tanto normalmente la representacion de un sistema se hara como indica la figura 1.1.

Como ejemplo de lo dicho se puede considerar un motor electrico en el cual el campo semantiene constante y se varıa la velocidad actuando sobre la corriente de inducido. (Figura 1.9)

Intensidad deinducido

ExcitaciónConstante

velocidad

Figura 1.9: Motor electrico

Desde el punto de vista que se esta considerando se dira que el motor es un sistema que, a unasenal de entrada u(t) (intensidad de inducido), da una senal de salida y(t) (velocidad del motor).Se puede, en cierto aspecto, prescindir de la consideracion del campo.

1.9 Servomecanismos y reguladores.

La automatica es un campo vastısimo. En el se entrelazan aspectos teoricos y tecnologicos desuerte que es difıcil establecer en el mismo sistematizaciones de cara a su estudio. Sin embargo

14 Servomecanismos y reguladores.

atendiendo a su desarrollo historico y al interes de ciertas aplicaciones a las que, por otra parte, seha podido aplicar una teorıa sencilla y fecunda, es posible extraer de todo el complejo mundo dela automatica campos de estudio concretos como son los servomecanismos y los reguladores.

Un servomecanismo es un ingenio con el que se pretende controlar una posicion. Ejemplosde servomecanismos se encuentran en campos tan variados como son los posicionamientos de lostimones de un barco, posicionamiento de las antenas de radar, posicionamiento de las ruedas deun camion en una servodireccion, posicionamiento de la herramienta en un torno automatizado,posicionamiento de la pluma en un registrador de precision, etc... El control de la posicion se hacede acuerdo con un sencillo esquema de realimentacion como el de la figura 1.10.

amplificadore

umotor

y

-

+

Figura 1.10: Servomecanismo de posicion

Siempre que la posicion de salida no se encuentre en la posicion requerida por la referenciaaparece un error que actuando sobre el servomotor determina que este actue corrigiendo el error.La unica posicion de equilibrio es aquella en que la posicion de salida es igual a la referencia.

Por lo tanto un servomecanismo es, esencialmente, un sistema seguidor o reproductor en elque la posicion de salida sigue o reproduce a la senal de entrada (referencia). Una caracterıstica es-encial, que justifica las aplicaciones de los servomecanismos es que el nivel de potencia de la senalde salida puede ser muy superior al de la senal de entrada. En el esquema anterior se ve como loque posiciona es el servomotor, que viene actuado por una potencia externa al conjunto (el campo)y una senal que viene del servoamplificador y que es la que realmente corrige (alimentacion delinducido). Observese que la misma senal que viene del servoamplificador ha recibido, en esta,potencia del exterior. Por lo tanto un servomecanismo es un ingenio que reproduce senales deposicion a un nivel de potencia superior. El precio de esta mayor potencia en la posicion de lasalida es una perdida de calidad en la senal, es decir, de una cierta distorsion. Precisamente lastecnicas de diseno de servomecanismos tratan de conseguir que esta perdida de calidad de la senalsea mınima.

Un problema, aunque desde un punto de partida distinto al de los servomecanismos pero queconduce a planteamientos semejantes, es el de los reguladores. Una determinada magnitud fısicase dice que esta regulada si esta provista de un sistema que reaccione frente a los cambios delmedio externo que afecten a esta magnitud, de suerte que se mantenga en un valor aproximada-mente constante. Un ejemplo trivial de ello lo suministra un sistema de regulacion de temperaturaen una habitacion. El sistema calefactor, a traves de un termostato, debe reaccionar a las varia-ciones del medio (aperturas de puertas, entrada de mas o menos gente, perdidas naturales distintasen el dıa que en la noche, etc...) de suerte que la temperatura se mantenga constante.


Vr

K t

tV

Ti

Kp

cK

Ta

K

V

b

a

c

+

+

+ -

-

-

Figura 1.11: Regulador de temperatura

El esquema que permite la regulacion de temperatura es esencialmente el mismo de un ser-vomecanismo, tal y como se ve en la figura 1.11. Sin embargo, deben notarse las diferencias,desde un punto de vista fısico, entre ambos sistemas.

1. En el servomecanismo, la entrada (referencia) es variable y se pretende que la salida siga ala entrada. Mientras que en el regulador la entrada es constante.

2. En el servomecanismo la fuente de error es la variacion de la referencia. En el regulador lafuente de error son perturbaciones exteriores que separan el sistema del estado requerido.

3. En el servomecanismo se produce una amplificacion de potencia en la senal de salida, quees lo que interesa. En el regulador, la senal de salida en sı no interesa, sino que solo es unamedida de algo que sucede en la planta controlada, que es lo que realmente interesa.

Junto a estas diferencias y a otras que pudieran establecerse se presenta la profunda semejanzaentre ambos problemas, ya que los dos conducen al mismo diagrama de bloques realimentado quese muestra en las figuras 1.10 y 1.11. Basandose en esta semejanza es por lo que el estudio deambos problemas se hace simultaneo pero no debe olvidarse nunca que fısicamente se trata de dosproblemas diferentes.

16 Servomecanismos y reguladores.

Tema 2

Introduccion a los sistemasrealimentados

2.1 Servomecanismo de posicion

Vamos a dedicar esta seccion a analizar un tipo de sistema realimentado que presenta particularinteres: el servomecanismo de posicion. Con el se trata de posicionar un eje, que esta asociadoal eje de un motor, y que constituye la senal de salida del sistema. La senal de entrada es otraposicion, que se pretende que reproduzca el eje de salida del sistema. Se dispone de un mecanismoque permite detectar la discrepancia entre las posiciones de entrada y de salida. Esta discrepanciao error es amplificada convenientemente para activar el motor que, actuando sobre el eje de salida,determina su movimiento hasta anular el error; es decir, hasta conseguir alinear el eje de salida enla direccion indicada por el eje de entrada.

u(t) amplificador

J

fy(t)

Figura 2.1: Bucle abierto de un servomecanismo de posicion

En la figura 2.1 se muestra el bucle abierto de un servomecanismo. En ella se pone de mani-fiesto como, mediante una amplificador la senal u(t) adquiere el nivel adecuado para actuar sobreun motor, cuyo eje representa la posicion de salida del servomecanismo. Este eje es solidario conuna inercia J y una friccion f .

En la figura 2.2 se muestra el bucle cerrado del servomecanismo. Al esquema de la figura2.1 se ha anadido una senal de referencia r(t) que se compara con la salida del motor, y cuya

17

18 Servomecanismo de posicion

discrepancia da lugar al error e, a partir del cual se obtiene la senal u(t).

y(t)

J

f

Ku(t)e(t)r(t) +

-

amplificador

Figura 2.2: Bucle cerrado de un servomecanismo de posicion

En la figura 2.1 se puede hacer la hipotesis de que el par del motor es proporcional a la senalelectrica de alimentacion del amplificador u(t). Con este supuesto se puede escribir que la posiciondel motor y(t) viene dada por la ecuacion diferencial:

Jd2ydt2 + f

dydt

= u(t)

siendo en este caso y(t) un angulo θ, J la inercia del conjunto motor-carga, y f el coeficiente defriccion viscosa del mismo conjunto.

Para que un sistema de control realimentado actue aceptablemente, necesita satisfacer unasdeterminadas especificaciones de funcionamiento, tanto para su regimen permanente como parasu transitorio que, normalmente, no se consigue con los elementos que consituyen el bucle decontrol.

Hay veces en que un simple aumento de la ganancia estatica es suficiente para lograr precision,sin que se afecte demasiado a las caracterısticas en estado transitorio. No obstante, como lo normales que estas se vean empeoradas con una actuacion de este tipo, o en el mejor de los casos, no seconsigan exactamente las que se pretende que tenga el sistema, es por lo que se desarrollaran acontinuacion los procedimientos de compensacion que se han dado en llamar en llamar clasicosya que fueron los primeros que se utilizaron.

Se emplean tres tipos de acciones:

• Accion proporcional mas derivada (PD);

• Accion proporcional mas integral (PI) y

• Accion proporcional mas integral y mas derivada (PID).

Introduccion a los sistemas realimentados 19

2.2 Accion proporcional mas derivada (PD).

Tiene lugar cuando la senal de mando del sistema es la suma de los terminos, proporcional yderivado de la senal de error. En este caso se dice que la compensacion es del tipo PD.

Considerese el servomecanismo elemental descrito en el parrafo anterior. Se va estudiar elcaso en que la senal de mando sea proporcional al error y a su derivada, es decir el caso en que setenga una accion PD. La senal de mando sera, por lo dicho,

u(t) = K e+Kddedt

quedando

Jd2ydt2 + f

dydt

= Ke+Kddedt

(2.1)

y como e = r− y

Jd2ydt2 + f

dydt

= Kr−Ky+Kddrdt−Kd

dydt

Jd2ydt2 +( f +Kd)

dydt

+Ky = Kr +Kddrdt

(2.2)

La ecuacion 2.1 muestra que el sistema es excitado ahora por la senal de error y por un impulso.La consecuencia inmediata es que el efecto corrector (inversion del par motor) se aplica antes quecuando el control era solo proporcional, como se muestra en la figura 2.3 a) y b) En efecto, concontrol proporcional solamente, el error cambia de signo en el punto f de la figura b) mientras quesi la senal de error es del tipo PD indicado, el cambio de signo se verifica en el instante g de lafigura d, es decir, el par corrector se aplica antes de que la senal de salida llegue al valor de lade referencia. En consecuencia, la sobreoscilacion sera menor. La red PD tiene ası un caracteranticipativo, ya que en cierta manera se anticipa a lo que va a ocurrir.

Esta misma consecuencia se pone de manifiesto en la ecuacion 2.2, que muestra la ecuaciondiferencial del sistema en bucle cerrado. En ella se aprecia que el coeficiente de la primera derivadase ha incrementado en el valor Kd , es decir, el efecto ha sido aumentar la friccion del sistema prim-itivo y, por tanto, hacer que el conjunto tenga una respuesta temporal con menor sobreoscilacion.

Por otro lado, tambien en la ecuacion 2.2 se aprecia que la parte no homogenea de la ecuaciondiferencial no es un escalon, sino un escalon, mas un impulso. Ello determina que el sistemaresponda mas rapidamente ya que no solo es sensitivo a la referencia, sino que tambien lo es a suvariacion. Todo se pone de manifiesto observando las figuras 2.4

De lo anterior se desprenden las dos caracterısticas esenciales de una accion PD :

1. Disminucion de la sobreoscilacion

2. Disminucion del tiempo de subida

20 Accion proporcional mas derivada (PD).

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

yr

t

f t

t

t

t

ry

g

y

e+ dedt

dedt

e

y

Figura 2.3: Compensacion con PD.


(a)

(b)

y

y

t

r

t

r

respuesta a Kr

respuesta a Kddrdt

respuesta a Kr +Kddrdt

Figura 2.4: Respuesta temporal con red PD.

22 Accion proporcional mas integral (PI).

Estos efectos se han considerado para un caso particular y especialmente simple, el de unservomecanismo elemental de posicion. Sin embargo son igualmente validos, en general, paracualquier tipo de sistema.

2.3 Accion proporcional mas integral (PI).

En este caso, la senal de mando es la suma de un termino proporcional y otro integral, de la senalde error.

u(t) = K e+Ki

∫ t

0e dt

Sea un sistema como el de la figura 2.5, al que se le ha incorporado una accion integral en paralelocon la accion proporcional, es decir, se la ha dotado de una accion PI.

−

+θ

+K

e+

Ki∫

G(s)

Figura 2.5: Diagrama de un sistema con regulacion PI

Supongase que a dicho sistema, en un regimen estacionario, se le aplica un par externo Pe

sobre la carga, es decir, sobre el eje de salida. El sistema reaccionara tratando de anular dichopar puesto que la aplicacion del mismo, determina la aparicion de un error, el cual alimenta almotor y le obliga a suministrar un par creciente con el tiempo. Si la accion de la red fuese soloproporcional, es claro que el equilibrio se alcanzarıa cuando el par generado por el motor fueseigual al aplicado externamente.

Interesa ver con cierto detenimiento lo que ocurre cuando la accion de mando es del tipo PI.Para ello, en primer lugar, se establecen las ecuaciones que rigen la evolucion del sistema y queresultan ser

Jd2ydt2 + f

dydt

+Pe = Ke+Ki

∫ t

0e dt

siendo Pe el par externo aplicado y e = r− y

Eliminado θ se tiene

Pe + Jd2rdt2 − J

d2edt2 + f

drdt− f

dedt

= Ke+Ki

∫ t

0e dt


Pe + Jd2rdt2 + f

drdt

= Jd2edt2 + f

dedt

+K e+Ki

∫ t

0e dt

Si la referencia es un escalon, se tendra que

drdt

= 0 yd2rdt2 = 0

En el regimen permanente, cuando t→ ∞, si la introduccion del integrador no ha hecho ines-table al sistema, se tendra que

dedt

= 0 yd2edt2 = 0

con lo cual,

Pe = K ep +Ki

∫ ∞

0e dt

Como Pe es finito, la unica forma de que se cumpla la ecuacion anterior es que ep = 0 yaque en caso contrario,

∫ ∞0 edt→ ∞. En consecuencia, el sistema reacciona eliminando el error en

regimen permanente (ep).

Por lo dicho, una red PI mejora considerablemente el regimen permanente, no solo de unamanera cuantitativa, sino esencialmente cualitativa por cuanto que cambia el tipo del sistema, esdecir, no es que el sistema se mejore, sino que se convierte en otro, de caracterısticas distintas.

La interpretacion fısica del fenomeno es muy simple. La aplicacion del par externo Pe, tiendea separar la posicion del eje de salida del valor en que la ha fijado la senal de referencia (figura2.6.a). Ello trae consigo la aparicion del consiguiente error (figura 2.6.b).

Si la senal de actuacion sobre el sistema es proporcional al error, mas su integral, se aplica unasenal tal como la que se muestra en la figura 2.6.d. El fenomeno que se produce entonces puedeinterpretarse diciendo que el par del motor empezara a crecer hasta que vence al que se aplicaexteriormente. La evolucion del error y de la senal de salida se muestran en las figuras e) y f).Observese como es el elemento integrador el que mantiene la senal sobre el motor para que estevenza al par exterior.

24 Accion proporcional mas integral (PI).

a)

b)

c)

d)

e)

f)

r

θ

t

zt

e

∫

edt

t

e+∫

edt

t

∫

edt

zet

θ

r

t

Figura 2.6: Respuesta temporal a red PI

Tema 3

Descripcion de los sistemas dinamicos

3.1 Transformacion de Laplace

En esta seccion vamos a repasar la transformada de Laplace que suministra una herramienta degran interes para el estudio de los sistemas cuya descripcion matematica viene dada por ecuacioneslineales invariantes en el tiempo.

3.1.1 Definicion

El metodo de la transformada de Laplace es un metodo opcional que puede utilizarse con ventajapara la resolucion de ecuaciones diferenciales lineales. La transformada de Laplace se definecomo:

L [ f (t)] = F(s) =∫ ∞

0f (t)e−stdt

f (t) es una funcion del tiempo tal que f (t) = 0 para t < 0, s = σ+ jw una variable compleja y Lun sımbolo operacional. La existencia de la transformada F(s) esta condicionada a la convergenciade la integral.

Si existe una constante real y positiva σ tal que para σ > σc, e−σt | f (t) | tiende a cerocuando t→∞, mientras que para σ < σc tiende a infinito. El valor σc recibe el nombre de abscisade convergencia. La integral converge, y por tanto existe la transformada de Laplace, si la partereal de s,(σ) es mayor que la abscisa de convergencia σc.

En termino de los polos de la funcion F(s), la abscisa de convergencia σc, corresponde a laparte real del polo mas alejado hacia la derecha en el plano s.

25

26 Transformacion de Laplace

A la funcion f (t) se la conoce como la anti-transformada de Laplace, F(s) y se expresa ası,

f (t) = L−1 [F(s)]

En la tabla siguiente se tienen las transformadas de Laplace de las funciones mas usuales enautomatica.

Tabla de Transformadas de Laplace

Senal f (t) F(s)

Impulso δ(t) 1Escalon 1 (t ≥ 0) 1

sRampa t(t ≥ 0) 1

s2

Parabola t2(t ≥ 0) 2s3

Rampa de orden n tn(t ≥ 0) n!sn+1

Decrecimiento exponencial e−αt 1(s+α)

Onda sinusoidal senωt ω(s2+ω2)

Onda cosenoidal cosωt s(s2+ω2)

Sinusoide con decrecimiento exponencial e−αtsenωt ω((s+α)2+ω2)

Cosenoide con decrecimiento exponencial e−αtcosωt s+α((s+α)2+ω2)

3.1.2 Resumen de Propiedades

1. Linealidad: Si F1(s) y F2(s) son las transformadas de f1(t) y f2(t), F1(s)+ F2(s) es latransformada de Laplace de f1(t)+ f2(t), segun se desprende de la definicion.

2. Derivacion real: Si L [ f (t)] = F(s), entonces

L[

d f (t)dt

]

= sF(s)− f (0)

En efecto, como F(s) =∫ ∞

0 f (t) e−st , realizamos la integracion por partes haciendo

u = f (t) ; du = f ′(t) dt ;v =∫

e−st dt =−1s

e−st y dv = e−st dt

∫

u dv = uv−∫

vdu

por lo que resulta,

∫ ∞

0f (t) e−st dt =

[

− f (t)e−st

s

]∞

0−

∫ ∞

0−1

se−st f ′(t)dt =⇒

Descripcion de los sistemas dinamicos 27

F(s) =f (0)

s+

1s

∫ ∞

0f ′(t) e−st dt, pero

∫ ∞

0f ′(t) e−st dt = L

[

f ′(t)]

luego:

L[

f ′(t)]

= sF(s)− f (0) c.q.d.

3. Integracion real: Si L [ f (t)] = F(s),

L[

∫ t

0f (τ)dτ

]

=F(s)

s+

∫

f (0)dts

Si en la expresion F(s) =∫ ∞

0 f (t) e−st dt se hace:

u = e−st ; du =−se−st dt

v =∫

f (t)dt; dv = f (t)dt

se tiene que,

F(s) =∫ ∞

0f (t)est dt =

[

e−st∫

f (t)dt

]∞

0−

∫ ∞

0−se−st

[

∫

f (t)dt

]

dt =

=−∫

f (0)dt + s∫ ∞

0

[

∫

f (t)dt

]

e−st dt ;

y como∫ ∞

0

[

∫

f (t)dt

]

e−st dt = L[

∫

f (t)dt

]

=⇒

L[

∫

f (t)dt

]

=F(s)

s+

∫

f (0)dts

c.q.d.

4. Teorema del valor final:

Hay veces en que hechas las operaciones precisas con la ecuacion transformada, interesaconocer el valor de la funcion f (t) cuando t→ ∞, que en el caso de un servosistema, corre-sponderıa al regimen permanente. El procedimiento consistirıa en hallar la antitransformaday hacer que t→ ∞.

El procedimiento es laborioso y resulta mucho mas comodo verificar el valor de la variablesobre la propia ecuacion transformada.

Supondremos que existe L [ f (t)] y L [ f ′(t)] y demostraremos que,

limt→∞

f (t) = lims→0

sF(s)

Sabemos que


∫ ∞

0f ′(t)e−st dt = sF(s)− f (0) haciendo que s→ 0

lims→0

∫ ∞

0f ′(t)e−stdt = lim

s→0[sF(s)− f (0)] (3.1)

pero lims→0

∫ ∞

0f ′(t)e−st dt =

∫ ∞

0f ′(t)dt = lim

t→∞

∫ t

0f ′(τ)dτ =

= limt→∞

[ f (t)− f (0)]

y sustituyendo en 3.1, se tiene,

limt→∞

[ f (t)− f (0)] = lims→0

[sF(s)− f (0)]

y como f (0) no depende de t ni de s, queda,

limt→∞

f (t) = lims→0

sF(s) c.q.d.

5. Teorema del valor inicial:

Si lo que nos interesa conocer del sistema es su comportamiento cuando t → 0, que cor-responderıa en un servosistema a conocer su comportamiento transitorio, se puede hallartambien sobre la ecuacion transformada, ya que

limt→0

f (t) = lims→∞

sF(s)

Al igual que antes, en la expresion

L[

f ′(t)]

=∫ ∞

0f ′(t)e−st dt = sF(s)− f (0) hacemos que s→ ∞

lims→∞

∫ ∞

0f ′(t)e−stdt = lim

s→∞[sF(s)− f (0)]

y como el primer miembro es cero, lims→∞ sF(s) = lims→∞ f (0) = f (0) ya que f (0) nodepende de s y como f (0) es limt→0 f (t) quedara

limt→0

f (t) = lims→∞

sF(s) c.q.e.

6. Integral de Convolucion:

SeanF1(s) = L [ f1(t)] y F2(s) = L [ f2(t)]

El producto de ambas,


F1(s)∗F2(s) =∫ ∞

0f1(t)e

−st dt∫ ∞

0f2(τ)e−sτ dτ =

(3.2)

=∫ ∞

0

∫ ∞

0f1(t) f2(τ)e−s(t+τ) dt dτ (3.3)

Haciendo el cambio de variables,

t = u− vτ = v

v = τu = t + τ

el Jacobiano de la transformacion vale,

J(t,τu,v

) =

∣

∣

∣

∣

∂t∂u

∂t∂v

∂τ∂u

∂τ∂v

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

1 −10 1

∣

∣

∣

∣

= 1

Como t > 0, u > v luego v variara de 0 a u.

La ecuacion 3.3 queda

F1(s)∗F2(s) =∫ ∞

0

∫ u

0f1(u− v) f2(v)e

−su dv du =

=∫ ∞

0

[

∫ u

0f1(u− v) f2(v)dv

]

e−su du

luego

F1(s)∗F2(s) = L[

∫ u

0f1(u− v) f2(v) dv

]

La expresion encerrada en el corchete se conoce como integral de convolucion y representala antitransformada del producto de dos transformadas.

3.1.3 Calculo de antitransformadas

Con el calculo de antitransformadas se pretende determinar a partir de la transformada de LaplaceF(s) la correspondiente antitransformada; es decir,

f (t) = L−1[F(s)]


La transformada posee solo polos reales y simples

Supongase que el denominador de la funcion de la que se quiere hallar la antitransformada, F(s),es de la forma

d(s) = (s+ p1)(s+ p2) . . .(s+ pn)

de modo que los diferentes pi son reales y diferentes entre si. En tal caso la funcion F(s) admiteuna descomposicion en fracciones simples de la forma

F(s) =n(s)d(s)

=a1

s+ p1+

a2

s+ p2+ . . .+

an

s+ pn

los coeficientes ai reciben la denominacion de residuos de F(s) en s =−pi. Multiplicando los dosmiembros de la expresion anterior por (s+ pi) y haciendo s =−pi se tiene

ai =

[

n(s)(s+ pi)

d(s)

]

s=−pi

puesto que se sabe, de la tabla de transformadas, que

L−1 =

[

ai

(s+ pi)

]

= aie−pit

se tiene que

f (t) = a1e−p1t +a2e−p2t + . . .ane−pnt

En esta expresion se pone de manifiesto que a cada pi se asocia una funcion (una trayectoriao un comportamiento) de la forma e−pit . Estas funciones reciben la denominacion de modosnaturales del sistema. Se dice que un modo natural es asintoticamente estable si pi ≥ 0.

Ejemplo Sea la transformada de Laplace

F(s) =(s+3)

(s+1)(s+2)

se tiene que los residuos resultan ser

a1 =

[

(s+3)

(s+2)

]

s=−1= 2

a2 =

[

(s+3)

(s+1)

]

s=−2=−1

luegof (t) = 2e−t − e−2t t ≥ 0


La transformada posee polos complejos

Supongamos ahora que la transformada de Laplace posee un par de polos complejos conjugadosp1 y p1. En tal caso la descomposicion en fracciones simples tomara la forma:

F(s) =n(s)d(s)

=α1s+α2

(s+ p1)(s+ p1)+

a3

s+ p3+ . . .+

an

s+ pn

Si se multiplican los dos miembros de esta expresion por (s+ p1)(s+ p1), y se hace s =−p1,se tendra:

(α1s+α2)s=−p1 =

[

n(s)(s+ p1)(s+ p1)d(s)

]

s=−pi

Esta expresion permite determinar α1 y α2 igualando partes reales e imaginarias.

Para hallar la antitransformada correspondiente al termino asociado al par complejo bastarecordar que:

L1

[

ω((s+α)2 +ω2)

]

= e−αtsenωt

L1

[

s+α((s+α)2 +ω2)

]

= e−αtcosωt

En concreto, si se supone:

p1 = a+ jω y p1 = a− jω

se tendra

α1s+α2

(s+ p1)(s+ p1)=

α1s+α2

(s+a+ jω)(s+a− jω)=

α1

[

s+a((s+a)2 +ω2)

]

+(α2−α1a)

ω

[

ω((s+a)2 +ω2)

]

Ejemplo

Sea la transformada de Laplace

F(s) =(s+1)

s(s2 +2s+2)


Se tiene:

a3 =

[

(s+1)

(s2 +2s+2)

]

s=0=

12

Por tanto,

F(s) =12

1s− 1

2s

s2 +2s+2

=12

1s− 1

2s

(s+1)2 +1

=12

1s− 1

2s+1

(s+1)2 +1+

12

1(s+1)2 +1

De donde se tiene,

f (t) =12− 1

2e−tcosωt +

12

e−tsenωt t ≥ 0

La transformada posee polos multiples

Supongase que una de las raıces del polinomio del denominador de la transformada de Laplace esmultiple. Por ejemplo, supongase que la raız p1 tiene multiplicidad r. En tal caso el denominadoradmitira la descomposicion:

d(s) = (s+ p1)r(s+ p2) . . .(s+ pn)

En tal caso, la transformada de Laplace admite la descomposicion:

F(s) =n(s)d(s)

=br

(s+ p1)r +br−1

(s+ p1)r−1 + . . .+b1

s+ p1+

a2

s+ p2+ . . .+

an

s+ pn

Si se multiplican los dos miembros de esta expresion por (s+ p1)r se tendra:

br =

[

n(s)(s+ p1)r

d(s)

]

s=−p1

Observese que

(s+ p1)rF(s) = br +br−1(s+ p1)+ . . .+b1(s+ p1)

r−1 +a2(s+ p1)

r

s+ p2+ . . .+

an(s+ p1)r

s+ pn

derivando esta expresion con respecto a s se tiene

dds

[(s+ p1)rF(s)] = br−1 +2br−2(s+ p1) . . .+(r−1)b1(s+ p1)

r−2+

dds

[

a2(s+ p1)r

s+ p2

]

+ . . .+dds

[

an(s+ p1)r

s+ pn

]


y haciendo en esta expresion s =−p1 se tiene

dds

[(s+ p1)rF(s)]s=−p1

= br−1

Derivando de nuevo con respecto a s y procediendo analogamente se tiene

br−2 =12

d2

ds2 [(s+ p1)rF(s)]s=−p1

En general se tendra

br− j =1j!

d j

ds j [(s+ p1)rF(s)]s=−p1

Ejemplo

Sea

F(s) =s2 + s+2(s+1)3

que se descompone

F(s) =b3

(s+1)3 +b2

(s+1)2 +b1

(s+1)

Se tendra

b3 = [s2 + s+2]s=−1 = 2

b2 = [2s+1]s=−1 =−1

b1 = 1

Por tanto

F(s) =2

(s+1)3 −1

(s+1)2 +1

(s+1)

De donde se tiene,f (t) = (t2− t +1)e−t

3.2 Nocion de sistema dinamico.

Uno de los conceptos basicos empleados en automatica es el de sistema. En el lenguaje ordinariose entiende por sistema una coleccion de objetos unidos por cierta forma de interaccion o inter-dependencia. En el contexto de la automatica el concepto de sistema adquiere un significado maspreciso.

34 Nocion de sistema dinamico.

Considerese un objeto fısico, α, por ejemplo un motor electrico, al cual aparecen asociadasuna serie de magnitudes, como pueden ser su velocidad de giro, la intensidad que alimente elinducido, etc. Desde el punto de vista que interesa en automatica lo que conviene de α son lasrelaciones matematicas entre las distintas magnitudes m1(t),m2(t)...mn(t) que se asocian a dichoobjeto fısico. Estas relaciones constituyen un objeto abstracto, por abstraccion de unas carac-terısticas de un objeto fısico.

En automatica los objetos fısicos que intervienen son tales que las magnitudes fısicas que aellos se asocian se pueden clasificar en dos grupos:

1. magnitudes cuyo valor puede ser variado directamente desde el exterior del objeto fısico,que reciben el nombre de senales de entrada, de control, de mando o estımulos; y

2. magnitudes cuyo valor puede ser medido pero cuya variacion es indirecta, a traves de lassenales de entrada, y que reciben el nombre de senales de salida, de observacion o respues-tas.

Para denotar a las senales de entrada se emplea u(t) y para las senales de salida se emplea y(t),siendo, en general, u(t) e y(t) vectores.

Se entiende por sistema ∑ el objeto abstracto formado por las relaciones que ligan las senalesu(t) e y(t). Un sistema se presenta en forma esquematica como se hace en la figura 3.1, rep-resentacion que recibe el nombre de diagrama funcional del sistema. Definido ası un sistemarepresenta una formalizacion del uso vulgar de este termino.

Σu(t) y(t)


El problema de la representacion matematica de los sistemas se reduce a encontrar la formamatematica, bien sea una ecuacion o, de forma mas general, un algoritmo, que permita generar lospares de senales u(t),y(t) que definen el sistema.

Las senales u(t) e y(t) pueden registrarse o bien de una manera continua en el tiempo, o biende una forma discontinua, es decir tomando medidas cada cierto intervalo de tiempo. En el primercaso se tienen los llamados sistemas en tiempo continuo y en el segundo los sistemas en tiempodiscreto. Estos ultimos tienen un particular interes practico cuando se emplean computadorespuesto que estas maquinas trabajan de una forma discreta.


3.3 Formas de las relaciones entrada-salida en sistemas.

Se ha indicado en la seccion 3.2, que un sistema esta formado por las relaciones matematicas queliga las senales u(t) e y(t) que lo definen. En esta seccion se van a considerar algunas formasmatematicas de las relaciones que ligan a las senales u(t) e y(t) en tipos de sistemas comunmenteencontrados en la practica. Sin embargo, en el resto de estos apuntes solo se estudiara una de lasclases consideradas en esta seccion. Una posible primera clasificacion elemental de las relacionesque ligan a las senales de entrada y salida de los sistemas, es en sistemas estaticos y sistemasdinamicos.

3.3.1 Sistemas estaticos.

El caso mas simple de relacion entre las senales u(t) e y(t) es aquel en que esta se reduce a unaecuacion algebrica. Por una consideracion elemental de realizabilidad fısica es claro que en talcaso se podra escribir:

y(t) = F{u(t)} (3.4)

en donde, para los casos de interes practico F{.} es una funcion uniforme. Los sistemas queadmiten esta forma de representacion reciben el nombre de sistemas estaticos, y son aquellos enlos que el valor que toma la senal de salida y(t), en un cierto tiempo t depende exclusivamentedel valor tomado por la senal de entrada u(t) en dicho instante de tiempo t, y no de los valorestomados por u(t) en el pasado.

Los sistemas logicos combinacionales, constituyen un ejemplo de sistemas estaticos definidospor la propiedad de que las senales de entrada u(t) y salida y(t) toman sus valores del conjuntofinito U = Y = {0,1}. Para la representacion matematica de los sistemas logicos combinacionalesse recurre a tablas en las que se indican para cada combinacion posible de los valores de las senalesde entrada, los correspondientes de la senales de salida. Desde un punto de vista matematico estastablas constituyen una de las formas mas simples de representar una funcion.

3.3.2 Sistemas dinamicos

Normalmente las relaciones que ligan las magnitudes fısicas que definen un sistema no son ecua-ciones algebraicas, que conducen a sistemas estaticos, sino ecuaciones diferenciales. Ello es de-bido a que la mayor parte de las leyes de la fısica se expresan por medio de esta clase de ecuaciones.

Aquı se consideraran exclusivamente las ecuaciones diferenciales de la forma,

dnydtn + ...+an−1

dydt

+an(t)y = b0(t)dnudtn + ...+bn(t)u (3.5)

llamadas ecuaciones diferenciales lineales. El hecho de limitarse a esta clase de ecuaciones difer-enciales es debido a:

36 Formas de las relaciones entrada-salida en sistemas.

1. solo para esta clase de sistemas es posible establecer, en la actualidad, una teorıa que sea ala vez general y simple; y

2. al menos en una primera aproximacion, gran parte de los sistemas encontrados en la practicaadmiten esta forma de representacion.

Cabe considerar que la teorıa de sistemas lineales es a la teorıa de sistemas no-lineales, como lageometrıa euclıdea es a las formas de geometrıa no-euclıdea. Es sabido que la geometrıa euclıdeaes un util de un interes practico incuestionable; lo mismo sucede con la teorıa de los sistemaslineales.

Otra relacion entre la entrada y salida de un sistema es la que presentan las ecuaciones endiferencias finitas. De ellas las que mayor interes tienen son, por consideraciones semejantes a lasrealizadas mas arriba respecto a las ecuaciones diferenciales lineales, las ecuaciones en diferenciasfinitas lineales cuya forma general es,

y(t +n)+ ...+am−1y(t +1)+amy(t) = b0u(t +n)+ ...+bn−1u(t +1)+bmu(t) (3.6)

Los sistemas descritos por las ecuaciones en diferencias finitas son sistemas en tiempo dis-creto, en los que la escala de tiempos toma solo una serie de valores discretos. Esta forma derelacion se presenta en aquellas aplicaciones en las que se emplean computadores.

Por ultimo cabe recordar como otra forma de relacion entre las senales de entrada y salida deun sistema la que ofrecen los diagramas de estados de los circuitos logicos secuenciales (o, masgeneral, de los automatas). En dichos diagramas se tenıa representada la evolucion de las senalesde entrada u(t) y de salida y(t) de un sistema cuya caracterıstica adicional es que las senales deentrada y de salida solo podrıan tomar sus valores de un conjunto finito.

Los sistemas descritos por ecuaciones diferenciales, por ecuaciones en diferencias finitas, o pordiagramas de estados reciben la denominacion de sistemas dinamicos y en ellos el valor tomadopor la senal de salida y(t), en un cierto instante de tiempo t depende del valor tomado por u(t), nosolo en el instante t (como sucedıa en los estaticos), sino en todos los instantes anteriores a t.

En ellos, por lo tanto, la consideracion del tiempo juega un papel esencial. De ahı la denomi-nacion de dinamicos. Observese que los sistemas estaticos pueden considerarse como una formaparticular y degenerada de los dinamicos por lo que son estos ultimos los unicos que se consideranen lo que sigue.

En estos apuntes no se trataran explıcitamente, los sistemas logicos secuenciales. No obstantesi estos son lineales son susceptibles de ser estudiados con las tecnicas aquı desarrolladas. Sinembargo, ello no se hara aquı de forma explıcita.

La forma de representacion de los sistemas dinamicos por ecuaciones diferenciales, o porecuaciones en diferencias finitas, no tiene interes practico para el desarrollo de la automatica. Parael estudio de los sistemas dinamicos se han desarrollado dos formas peculiares de representacion,que son la descripcion externa y la descripcion interna que se pasan a estudiar a continuacion.


3.4 Descripcion externa de los sistemas dinamicos.

Puesto que las senales que definen un sistema dinamico son las de entrada u(t) y las de saliday(t) interesa disponer de una relacion explıcita directa entre ambas. Esta relacion la suministra ladescripcion externa que se define por una funcion de entrada-salida F tal que hace corresponderal conjunto de valores tomados por la senal de entrada u en un cierto intervalo (t0, t), el valortomado por la salida y(t) en el instante t. Formalmente se puede escribir,

y(t) = F(u[t0, t]) (3.7)

en donde F(.) es un funcional, es decir una funcion cuyo argumento lo constituye el conjunto devalores tomados por u(t) en el intervalo (t0, t).

Desde el punto de vista de la descripcion externa un sistema dinamico lineal se define conoaquel que cumple la propiedad de linealidad, en virtud de la cual,

F (α1u1[t0, t]+α2u2[t0, t]) = α1F (u1[t0, t])+α2F (u2[t0, t])

en donde α1, α2 son numeros reales arbitrarios. Esta propiedad recibe tambien, impropia-mente, la denominacion de principio de superposicion.

Habitualmente se emplean dos formas de descripcion externa: la respuesta impulsional y lafuncion de transferencia.

3.4.1 Respuesta impulsional.

Una forma de escribir la solucion a una ecuacion diferencial como la de la expresion (3.5) es lasiguiente:

y(t) =∫ t

−∞h(t,τ)u(τ)dτ (3.8)

en donde h(t,τ) recibe el nombre de respuesta impulsional del sistema. La expresion (3.8) es unaforma de descripcion externa de un sistema dinamico ya que corresponde al caso de una funcionlıneal.

La respuesta impulsional de un sistema puede tener las siguientes propiedades:

1. Propiedad de causalidad o realizabilidad, en virtud de la cual un efecto no puede precedera una causa, lo que implica que

h(t,τ) = 0 para t < τ

2. Propiedad de estabilidad, en virtud de la cual la estabilidad del sistema exige la convergen-cia de (3.8), lo que se traduce en

limt→∞

h(t,τ) = 0

38 Descripcion externa de los sistemas dinamicos.

3. Propiedad de estacionaridad, en virtud de la cual el sistema es invariante con el tiempo, loque se traduce en que

h(t,τ) = h(t− τ,0) = h(t− τ)

Ejemplo:

Sea el sistema dinamico descrito por la ecuacion diferencial,

dydt

+ay = bu

En donde a y b son dos numeros reales. La solucion de esta ecuacion de la forma de laexpresion (3.8) es la siguiente,

y(t) =∫ t

−∞e−a(t−τ) b u(τ)dτ

En donde la respuesta impulsional h(t,τ) = be−a(t−τ), es claro que cumple las propiedades decausalidad, estabilidad y estacionaridad.

La respuesta impulsional admite un significado adicional muy preciso. Supongase un sistemacon una sola entrada y una sola salida. Supongase, ademas, que dicho sistema se somete a lasiguiente senal de entrada:

u(t) = δ(t1)

en donde δ(t) es la funcion de Dirac. En tal caso se tiene que,

y(t) = h(t, t1)

si el sistema no es estacionario o

y(t) = h(t− t1)

si el sistema es estacionario.

En la figura 3.2 se muestra la respuesta impulsional del sistema del ejemplo anterior. De lo an-terior se desprende que la respuesta impulsional de un sistema es determinable experimentalmenteen la medida en que se pueda realizar fısicamente una senal de entrada u(t) = δ(t). Es sabido queesta ultima no tiene significado fısico, pero sin embargo se pueden concebir aproximaciones acept-ables. Debe anadirse que en la practica como realmente se miden las respuestas impulsionales espor las tecnicas de correlacion que no se van a tratar aquı.

Para sistemas multivariables, con m entradas y p salidas, la respuesta impulsional es una ma-triz, de dimension p×m, cuyo termino hi, j representa la respuesta del i-esimo canal de salida,cuando se aplica una entrada u(t) = δ(t) al canal j-esimo, siendo nulas el resto de las entradas.


t

y(t)

Figura 3.2: Respuesta Impulsional

3.4.2 Funcion de transferencia.

Para los sistemas lineales estacionarios existe una forma de descripcion externa muy empleada enla practica: la funcion (matriz) de transferencia. Se puede definir la funcion de transferencia comola transformada de Laplace de la respuesta impulsional de un sistema.

H(s) =∫ ∞

0h(τ)e−τsdτ (3.9)

Aplicando la transformacion de Laplace a la expresion (3.8), para el caso de un sistema esta-cionario, se tiene

Y (s) = H(s) U(s) (3.10)

en donde Y (s) y U(s) son, respectivamente, las transformadas de Laplace de las senales de entraday salida.

En la practica la funcion de transferencia se determina directamente a partir de la ecuaciondiferencial. Un punto muy importante a considerar es que esta determinacion se hace suponiendocondiciones iniciales nulas para las senales u(t) e y(t).

Ejemplo:

Sea el sistema descrito por la ecuacion diferencial,

d2ydt2 +a1

dydt

+a2y = bu

La transformada de Laplace de los distintos terminos de la ecuacion es la siguiente,

40 Sistemas de control realimentados

s2Y (s)+a1sY (s)+a2Y (s) = bU(s)

Con lo que se tiene,

Y (s)U(s)

= H(s) =b

s2 +a1s+a2

es decir que la transformacion de Laplace de la respuesta impulsional es la funcion de trans-ferencia.

Para el caso de sistemas multivariables con m entradas y p salidas la funcion de transferencia seconvierte en una matriz cuyo termino Hi j representa el cociente entre la transformada de Laplacede la senal de salida que se obtiene por el canal i y la transformada de Laplace de la senal deentrada que se aplica al canal j, supuestas nulas las otras senales de entrada.

3.5 Sistemas de control realimentados

Un sistema de control realimentado se representa esquematicamente como se indica en la figura3.3. Sobre este esquema vamos a recordar una serie de conceptos que consideramos de interes.

K G(s)

H(s)

��

��@@

@@��

- - - -

6

�

r(t) + e u y(t)

− m

Figura 3.3: Sistema de Control realimentado

• Cadena directa o de accion, es la que une los elementos comprendidos entre la senal deerror y la de salida. Ambas senales estan relacionadas por la expresion,

Y (s)E(s)

= KG(s)

siendo G(s) la funcion de transferencia del sistema considerado.


• Cadena de realimentacion, es la que une la senal de salida con la de informacion m(t), quees comparada con la de referencia. Ambas senales se relacionan ası,

M(s)Y (s)

= H(s)

En este caso H(s) es la funcion de transferencia de la cadena de realimentacion.

• Se llama bucle abierto, al conjunto de elementos que constituyen todo el sistema, si este seabriese por el punto m(t), es decir, como si la senal de entrada fuese e(t) y la de salida m(t).La funcion de transferencia del conjunto ası dispuesto serıa

M(s)E(s)

= KG(s)H(s)

• Se llama bucle cerrado, al sistema conectado como se indica en la figura 3.3. Las senalesy(t) y r(t) se relacionan por la conocida formula, facil de deducir,

Y (s)R(s)

=KG(s)

1+KG(s)H(s)

Observese que, en este caso, la senal de actuacion sobre el sistema es proporcional a lasenal de error. Se trata pues de un control proporcional (P). El valor de la ganancia K delamplificador sera, por tanto, un parametro susceptible de ser variado de acuerdo con lasnecesidades del problema.

En lo que sigue se supondra siempre que la cadena de realimentacion es unitaria, con loque el esquema fundamental quedara de la forma que se indica en figura 3.4 y quedando lafuncion de transferencia en bucle cerrado reducida a

Y (s)R(s)

=KG(s)

1+KG(s)

Naturalmente en este caso cadena de accion y bucle abierto son dos conceptos coincidentes.

Por el hecho de introducir una compensacion sobre el bucle antes mencionado, el esquema semodifica de alguna manera, como se muestra mas adelante. Se distinguen dos tipos de compen-sacion:

• Compensacion en serie: Cuando el elemento corrector se coloca en cascada, en la cadenade accion; y

• Compensacion por realimentacion: Cuando el elemento corrector constituye una segundacadena de realimentacion, en el bucle de control.

Los esquemas basicos para uno y otro caso se muestran, respectivamente, en las figuras 3.5 y3.6.

Como ya se ha indicado, en el caso de la compensacion en serie, la red correctora se coloca encascada con los elementos de la cadena de accion, y delante del amplificador para que el nivel depotencia a que trabaje sea el del error, es decir, bajo.

42 Sistemas de control realimentados

K G(s)��

��@@

@@��

- - - -

6

r(t) + e u y(t)

− m

Figura 3.4: Sistema de Control realimentado unitariamente

Gr(s) K G(s)��

- - - - -

6

r(t) + e u′ u y(t)

− m

Figura 3.5: Compensacion en serie

K G(s)

Gr(s)

��

��@@

@@��

��@@

@@��

- - - - -

66

�

r(t) + e u y(t)

− m

Figura 3.6: Compensacion por realimentacion

Tema 4

Modelado y Simulacion

4.1 Modelado de sistemas

En anteriores temas se ha visto que un sistema dinamico se caracteriza porque su estado evolucionacon el tiempo y que ademas se puede representar mediante ecuaciones matematicas, que tomanla forma de ecuaciones diferenciales, en el caso de ser sistemas continuos, o de ecuaciones endiferencias, en el caso de sistemas discretos.

Pero no se debe perder de vista que los sistemas dinamicos son sistemas concretos, sean realeso imaginarios, que pueden ser sistemas fısicos, biologicos, economicos, etc. Todos ellos tienenciertas magnitudes asociadas que evolucionan en el tiempo, por ejemplo la posicion de un cuerpoen el caso de un sistema fısico, o el numero de individuos de una poblacion bacteriana en uncultivo en el caso de un sistema biologico, o bien el valor de unas acciones en el mercado de laBolsa en el caso un sistema economico.

Resulta de interes obtener una forma de caracterizar las magnitudes asociadas al sistema encuestion con el fin de estudiar su comportamiento (analisis) o bien reproducir el comportamientoque va a tomar este bajo ciertas condiciones (simulacion). Este procedimiento se denomina mod-elado de un sistema. El sistema se puede caracterizar en forma de expresiones matematicas (mod-elado matematico) o bien mediante reproduccion a escala del sistema (modelado a escala). Estaultima tecnica es muy utilizada en campos como la aeronautica, en las que los fenomenos impli-cados son muy complejos y ademas permite la reproduccion de los sistemas en laboratorio. Lateorıa de sistemas esta basada en la descripcion matematica de los sistemas dinamicos, por lo queen lo sucesivo se asimila el modelado de un sistema a la obtencion de esta.

Se denomina modelo de un sistema al conjunto de expresiones matematicas que caracterizanla evolucion temporal de las magnitudes del sistema. Un modelo esta bien planteado cuando elnumero de expresiones matematicas independientes que se obtienen es igual al numero de senalesdel sistema que intervienen en el.

En un modelo, ademas de las senales, estan involucrados los parametros del sistema, que son

43

44 Modelado de sistemas

valores que lo caracterizan o distinguen de otro sistema semejante. A la hora de modelar sistemasreales, puede ser necesario obtener ciertos parametros a partir de las senales del sistema dinamicoreal, con el fin de que el modelo reproduzca lo mas fielmente posible su comportamiento. Esteprocedimiento se denomina identificacion de un sistema. Una vez identificado un sistema, elmodelo obtenido se debe validar, comparando las magnitudes reales obtenidas con las resultantesdel modelo.

4.1.1 Exactitud del modelo frente a su sencillez

Un modelo esta sujeto a errores y puede no representar exactamente el sistema. Para ilustrar estepunto se va a tomar una serie de sistemas reales que son complejos.

• El mercado de la Bolsa. En este sistema la discrepancia se puede deber a la existencia deuna serie de magnitudes cuyo comportamiento no se puede conocer de una forma precisa,estando sujetas a probabilidad, como por ejemplo el caracter impredecible de las personaso de los mercados cuya evolucion afecta al comportamiento de la bolsa.

• El tiempo atmosferico. El error en el conocimiento de su evolucion se puede deber al de-sconocimiento de algunas de las magnitudes que influyen en el sistema o a la forma en laque estas lo hacen, ası como de la impredecibilidad de ciertos eventos, como terremotos, etc.Es decir, resulta imposible establecer un conjunto de expresiones que modelen la globalidaddel sistema.

• El horno de una fabrica de yeso. En este caso se conocen los fenomenos fısicos que inter-vienen en el proceso, pero resulta impensable obtener un modelo de todos los elementosque forman el sistema. Es decir, que es posible establecer las expresiones que modelan elsistema, pero resulta tan complejo en su formulacion o bien en su utilizacion que se desechala posibilidad.

De esto se desprende que existen razones, ya sean de caracter practico o bien teorico, por lasque el modelo no se aproxima con total precision al sistema que se quiere modelar. Por tanto unmodelo de un sistema real siempre tiene asociado un grado de exactitud.

En el modelado de sistemas es importante la ponderacion entre la exactitud con la que elmodelo es capaz de representar el comportamiento del sistema y la simplicidad de este, que facilitael tratamiento del mismo. Dependiendo del uso que se vaya a hacer del modelo, este se orientahacia la exactitud o hacia la sencillez.

Por ejemplo, en modelos destinados al analisis del sistema, se suelen tomar suficientementesencillos como para que sean tratables matematicamente. Por el contrario, los modelos destina-dos a la simulacion interesa que sean precisos, de cara a reproducir con la mayor fiabilidad elcomportamiento del sistema que se pretende simular.

Modelado y Simulacion 45

4.1.2 Modelo externo e interno de un sistema

El modelo de un sistema depende del tipo de magnitudes que intervienen en el, que pueden ser:

• Variables externas:

– Salidas.

– Entradas:

∗ Entradas manipulables.

∗ Perturbaciones

• Variables internas.

Considerese un sistema para proporcionar agua caliente en una instalacion domestica. Eneste sistema, el agua se calienta en un deposito aislado termicamente hasta alcanzar una ciertatemperatura. El agua caliente y el agua frıa son conducidas por tuberıas hasta el grifo donde semezclan produciendo un solo caudal a una temperatura comprendida entre la que tiene la corrientefrıa y la que tiene la caliente. En este sistema existen varias senales que evolucionan en el tiempo:la temperatura del agua a la salida del grifo, el caudal de salida, la apertura del grifo de aguafrıa, el caudal de agua frıa, la apertura del grifo de agua caliente, el caudal de agua caliente o latemperatura del agua a la salida del termo. Para un usuario de esta instalacion, resulta de interes elestudio del comportamiento de la temperatura a la salida del grifo, sin embargo para un encargadode mantenimiento de la instalacion resulta de interes la temperatura a la salida del termo, porejemplo. Por tanto la decision de que senal del sistema se considera como una senal de salidadepende del proposito con el que se modela el sistema.

Por otro lado existen una serie de entradas manipulables al sistema, como son las aperturas delos grifos del agua caliente y frıa, que se varıan con el fin de determinar el caudal y la temperaturade la corriente de agua de salida que se desea. Existen otras senales cuya evolucion influye sobreel sistema pero que no son manipulables por el ususario, como por ejemplo la presion del aguaen la instalacion o el caudal de gas que alimenta el termo. Estas senales son perturbaciones alsistema.

El resto de senales como el caudal de agua frıa, el de agua caliente, la temperatura a la salidadel termo, etc. son senales internas al sistema.

El modelo de un sistema se hace con el fin de obtener una representacion del comportamientodinamico del mismo. Sin embargo, parece razonable centrar la representacion sobre las salidas delsistema exclusivamente, dado que son estas las senales que resultan de interes. Esta representacionse denomina modelo externo del sistema o modelo entrada-salida.

En el caso de que intervengan senales internas el modelo se denomina modelo interno delsistema y se obtiene de forma que las ecuaciones diferenciales que representan el sistema sean deprimer orden. En este caso las senales que intervienen en el modelo son variables de estado, y suconocimiento permite conocer la evolucion de todas y cada una de las senales del sistema.

46 Modelado de sistemas

En sistemas autonomos, el modelo dependera tan solo de las magnitudes internas o externaselegidas. Es decir, que partiendo de una determinada situacion inicial, el sistema evoluciona porsı mismo a lo largo del tiempo. Por tanto, la trayectoria seguida por cada magnitud dependeraexclusivamente de la situacion inicial de la que parte (condiciones iniciales del sistema). Sinembargo en sistemas no autonomos las magnitudes de entrada al sistema intervienen en el sistema,y por tanto aparecen en el modelo, sea este de tipo interno o externo. Por tanto, la trayectoriade cada magnitud asociada el sistema evolucionara dependiendo de las condiciones iniciales delmismo y de los valores que tomen las magnitudes de entrada del sistema a lo largo del tiempo.

4.1.3 Modelos deterministas y no deterministas

Se dice que un modelo es determinista cuando se parte de la base de que el modelo es capazde expresar de forma unica la evolucion del sistema. Es decir, que conocido el modelo de unsistema y las condiciones iniciales de las que parte, ası como la evolucion de las entradas (enel caso de sistemas no autonomos), el sistema siempre evoluciona de la misma forma. Por elcontrario, un modelo no determinista o estocastico considera que intervienen factores aleatorios,imposibles de modelar ni predecir. Por tanto tan solo se podran modelar ciertas caracterısticasestadısticas de las magnitudes temporales del sistema, pero no la evolucion de las mismas, puesvarıan por la influencia de eventos impredecibles. Segun esto, ante unas mismas condicionesiniciales y magnitudes de entrada, el sistema evolucionara cada vez de una forma de distinta, peroconservando una serie de caracterısticas comunes de tipo estadıstico, que son las que se puedenmodelar.

4.1.4 Modelos parametricos y no parametricos

Un sistema es una entidad compleja resultante de la integracion de sus partes en una unidad sus-tantiva. Por tanto, si se conoce el comportamiento de cada una de las partes que conforman elsistema y la forma como estas se relacionan, se puede obtener un modelo del sistema. Este tipo demodelos se denominan modelos parametricos, pues dependen de los parametros de las ecuacionesque definen el modelo de cada elemento del sistema. Para ilustrar este tipo de modelos, veanse lospropuestos en los sistemas de los temas 1 y 2.

El modelo de cada elemento que forma el sistema viene dado por las denominadas ecuacionesde fenomenos elementales. A las ecuaciones que interrelacionan a los elementos entre sı se de-nominan ecuaciones de balance del sistema.

Sin embargo el sistema se puede modelar obteniendo expresiones matematicas que relacionenmagnitudes del sistema sin considerar ni las partes que forman el sistema ni la forma como seintegran en este. Este tipo de modelos se denominan modelos no parametricos o modelos de cajanegra.

En secciones posteriores se vera como se obtienen modelos parametricos de sistemas fısicos,tales como sistemas mecanicos, electricos, termicos o hidraulicos, describiendo en cada caso lasecuaciones de los fenomenos elementales mas tıpicos, ası como las ecuaciones de balance.


4.1.5 Modelos con parametros concentrados y distribuidos

Enunciados como: ”sea una masa puntual ...”, ”considerese una carga concentrada en un punto delespacio ...”, etc. son frecuentes en cursos basicos de Fısica. Es notable sin embargo el hecho deque tales objetos no tienen existencia real. Los sistemas reales son por lo general de parametrosdistribuidos. Ası, una resistencia es un trozo de material de longitud no nula, por lo que

• La senal electrica tarda cierto tiempo en atravesarla; es decir, la transmision no es in-stantanea.

• Existe cierta inductancia y capacitancia; es decir, ademas de un valor R habrıa que tener encuenta unos valores de L y C.

Estos fenomenos son a menudo despreciados, considerando la resistencia como un elementosin inductancia ni capacitancia que transmite instantaneamente los cambios en la intensidad quecircula por ella. Los elementos idealizados de esta forma reciben el nombre de elementos deparametros concentrados.

Los modelos basados en parametros concentrados son mas faciles de desarrollar y usar que losde parametros distribuidos, por lo que suelen ser el objeto de estudio de cursos basicos de teorıade sistemas y control.

Los modelos que tienen en cuenta que los objetos reales no tienen sus propiedades concen-tradas en un punto reciben el nombre de modelos de parametros distribuidos, y son mas complejosque los de parametros concentrados, por lo que solo se usan cuando estos ultimos no producen elresultado requerido.

4.2 Modelado de sistemas mecanicos

Un sistema mecanico es aquel formado por cuerpos que varıan su posicion ante la accion de unaserie de fuerzas. Como se sabe, un cuerpo rıgido puede describir tres traslaciones y tres rotacionesindependientes entre sı. Se denomina grado de libertad a cada movimiento independiente quepuede tener un solido. Por tanto un cuerpo puede tener como maximo 6 grados de libertad.

Cada elemento que forma un sistema mecanico se modelara por una serie de ecuaciones quedeterminan el movimiento descrito por el cuerpo en funcion de las fuerzas que actuan sobre el.Las ecuaciones de balance surgen de la aplicacion de las leyes de Newton sobre cada uno de loselementos.

El area de la Fısica encargada del estudio del comportamiento dinamico de los cuerpos esla Mecanica y esta fuera del alcance de este curso el profundizar en esta disciplina. Por ellose describen a continuacion unos casos sencillos, pero que representan a un amplio espectro desistemas mecanicos, en los que se muestra como se obtienen modelos dinamicos.

48 Modelado de sistemas mecanicos

4.2.1 Sistemas mecanicos traslacionales

Un sistema mecanico en el que el movimiento de los cuerpos que lo forman se reduce a trasla-ciones en una misma direccion se denomina sistema mecanico traslacional. Por tanto todos loscuerpos del sistema tienen un solo grado de libertad y sus movimientos describen trayectorias rec-tas todas con la misma direccion. En consecuencia, la posicion de cada cuerpo viene dada porel desplazamiento que realiza en la direccion del movimiento. Los elementos mas comunes queforman un sistema mecanico traslacional son los siguientes:

Masa movil

Una masa sometida a una fuerza experimenta una aceleracion como consecuencia de esta. Apareceentonces una fuerza de reaccion a la aceleracion experimentada por el cuerpo denominada fuerzade inercia y cuya magnitud es directamente proporcional a la aceleracion del cuerpo y su sentidoel contrario al de movimiento del cuerpo.

F(t)

x

M

Fi(t)

Figura 4.1: Esquema de una masa movil .

La ecuacion que rige el movimiento de este elemento es:

Fi(t) = M · d2x(t)

dt2 = F(t) (4.1)

La constante de proporcionalidad M es la masa del cuerpo.

Notese que la fuerza ejercida sobre el cuerpo no influye directamente sobre la posicion delcuerpo, si no sobre la aceleracion que este experimenta. La aceleracion produce un cambio enla velocidad con la que se mueve el cuerpo, y la velocidad produce a su vez una variacion en laposicion de este. Por tanto, conocida la fuerza resultante que actua sobre un cuerpo, es necesariosaber tanto la velocidad como la posicion que tiene inicialmente el cuerpo para poder conocer elmovimiento que este realizara.


Resorte o muelle

Un resorte es un elemento elastico que ante la accion de una fuerza se deforma variando su lon-gitud. El resorte ejerce una fuerza que se opone a la fuerza impulsora que es funcion de la defor-macion experimentada. Una vez que la accion de la fuerza cesa, el resorte es capaz de recuperarsu posicion original, gracias a su caracterıstica elastica.

Generalmente se supone que la relacion entre la fuerza aplicada sobre el muelle y el desplaza-miento que este experimenta es lineal. A este tipo de resortes se les denomina resortes lineales.

l natural

��

��

F(t)

l(t)

Figura 4.2: Esquema de un resorte o muelle.

El modelo de este elemento viene dado por

F(t) = K · (l(t)− lnatural) (4.2)

La constante de proporcionalidad K se conoce como constante del muelle. Al desplazamientodel muelle se le denomina elongacion. Se llama elongacion natural lnatural a la longitud que tieneel muelle en ausencia de la accion de la fuerza.

Amortiguador

Un amortiguador es un elemento que se deforma bajo la accion de una fuerza ejerciendo unafuerza de reaccion que es funcion de la velocidad con la que el elemento se deforma. Elementoscon rozamiento viscoso tienen este tipo de comportamiento.

��

��

F(t)

x(t)

Figura 4.3: Esquema de un amortiguador.

Un amortiguador se denomina lineal cuando la fuerza de reaccion a la deformacion es propor-cional a la velocidad de esta.Su modelo viene dado por:

F(t) = C · dx(t)dt

(4.3)


Siendo C la constante de rozamiento viscoso y x(t) la deformacion del elemento.

Modelos de sistemas mecanicos traslacionales

Una vez conocidos los modelos de todos y cada uno de los elementos que forman el sistema, elmodelo del sistema completo surge de la aplicacion de las leyes de Newton. La segunda ley deNewton indica que la suma de las fuerzas aplicadas a un cuerpo, incluyendo las fuerzas de inerciaes nula.

Σ~F(t) = 0 (4.4)

Se debe tener en cuenta que tanto las fuerzas como los desplazamientos son magnitudes vec-toriales. Esto quiere decir que no solo influye el valor que toma la magnitud, si no su direccion ysentido. En el caso de sistemas traslacionales la direccion de todas las magnitudes esta restringidaa la direccion del movimiento, por tanto es el sentido del vector el que hay que tener en cuenta ala hora de plantear las ecuaciones de balance.

Ejemplo

Para ilustrar como obtener las ecuaciones que modelan un sistema mecanico, se va a tomarcomo ejemplo el sistema de la figura 4.4, que consiste en un sistema autonomo formado por dosmasas puntuales sin rozamiento unidas entre sı por un muelle y una de ellas unida a la pared fija.

��

��

M1 M2

K1 K2

x1

x2

Figura 4.4: Ejemplo de un sistema traslacional.

Las ecuaciones de de las fuerzas que intervienen en cada una de las masas son las siguientes:

1. Fuerzas ejercidas sobre la masa M1:

Fi1 = M1·d2x1

dt2

Fm11 = K1·(x1− l1n)

Fm21 = K2·(x2− x1− l2n)


M1

Fi1

Fm11 Fm21

Figura 4.5: Balance de fuerzas sobre el cuerpo M1

siendo Fi1 la fuerza de inercia de la masa 1, Fm11 la fuerza que el muelle 1 ejerce sobre lamasa 1, y Fm21 la fuerza que el muelle 2 ejerce sobre la masa 1.

2. Fuerzas ejercidas sobre la masa M2:

M2

Fi2

Fm22

Figura 4.6: Balance de fuerzas sobre el cuerpo M2

Fi2 = M2·d2x2

dt2

Fm22 = K2·(x2− x1− l2n)

siendo Fi2 la fuerza de inercia de la masa 2 y Fm21 la fuerza que el muelle 2 ejerce sobre lamasa 2.

Aplicando la segunda ley de Newton a cada cuerpo se llegan a las siguientes ecuaciones:

Fi1 +Fm11−Fm21 = 0 → M1·d2x1

dt2 +K1·(x1− l1n)−K2·(x2− x1− l2n) = 0

Fi2 +Fm22 = 0 → M2·d2x2

dt2 +K2·(x2− x1− l2n) = 0

Estas son las dos ecuaciones que modelan el comportamiento del sistema. Notese que dadoque el sistema tiene 2 grados de libertad, son necesarias dos ecuaciones independientes para mod-elar su comportamiento. Notese ademas que el modelo es un modelo parametrico, pues dependede parametros que definen el comportamiento de cada elemento del sistema. En este caso losparametros son M1, M2, K1, K2, l1n y l2n.


4.2.2 Sistemas mecanicos rotacionales

Se denominan sistemas mecanicos rotacionales a aquellos en los que los cuerpos que forman elsistema realizan rotaciones en el mismo plano, es decir, que los ejes de rotacion de todos loscuerpos son paralelos. En estos sistemas, los giros realizados por los cuerpos varıan por la accionde los pares de fuerzas ejercidos sobre ellos.

El movimiento de cada cuerpo que forma el sistema viene caracterizado por el giro que elcuerpo experimenta. Por tanto es el angulo girado por el cuerpo el unico grado de libertad que esteposee.

Momento de inercia

Un cuerpo de masa M sometido a un par de fuerzas experimenta un movimiento de rotacion talque el par de fuerzas de inercia cancela el par que lo impulsa.

PSfrag replacements T (t)

θ(t)

J

Figura 4.7: Giro de un cuerpo con un momento de inercia J.

Por tanto la ecuacion que rige el comportamiento de este elemento viene dada por:

J · d2θ

dt2 = T (t) (4.5)

Siendo θ el angulo girado por el cuerpo, T el par aplicado sobre este y J su momento deinercia. Este parametro esta relacionado con la masa del cuerpo y su geometrıa.

La accion del par sobre el cuerpo no afecta directamente sobre la posicion del cuerpo, sinosobre la aceleracion angular que este experimenta. La posicion angular del cuerpo dependera puesde las condiciones de velocidad y posicion de las que parta.

Muelle de torsion

Es un elemento elastico que se deforma ante la accion de un par. El elemento se opone a ser giradodesarrollando un par de reaccion proporcional al angulo girado por este al deformarse.

La ecuacion que rige el comportamiento de este elemento es la siguiente:

K · (θ−θo) = T (t) (4.6)


PSfrag replacements T (t) θ(t)K

Figura 4.8: Esquema de un muelle de torsion

Siendo K la constante de torsion del muelle y θo el angulo del muelle en estado de reposo.

Amortiguador

Un amortiguador es un elemento que se deforma bajo la accion de un par creando un par dereaccion que es funcion de la velocidad angular con la que el elemento se deforma. Elementos conrozamiento viscoso tienen este tipo de comportamiento.

PSfrag replacements

T (t) θ(t)

B

Figura 4.9: Esquema de un amortiguador de rotacion

La ecuacion que rige el comportamiento de este elemento es la siguiente:

B · dθ(t)dt

= T (t) (4.7)

Siendo B la constante de rozamiento viscoso en el giro.

Engranajes

Un engranaje es un dispositivo que transmite el movimiento giratorio de un eje a otro, transfor-mando las propiedades de este, tales como el angulo girado o el par aplicado al eje. Generalmentelos engranajes se componen de dos ruedas dentadas que engranan entre sı transmitiendo la energıade un eje a otro. Otros dispositivos de acoplamiento de ejes como por correas de transmision ocadenas son asimililables a engranajes.


La relacion entre el angulo girado por cada eje es igual a la relacion entre los radios de lasruedas dentadas, en caso de no existir deslizamiento u holguras entre ellas. Dado que el numerode dientes que tiene una rueda (N) es directamente proporcional a su radio (R), es habitual referirsea estos en vez de utilizar los radios. Por tanto:

θ2

θ1=

R1

R2=

N1

N2(4.8)

En la figura 4.10 se muestra un engranaje de ruedas dentadas. Los angulos girador por cadaeje son proporcionales, pero el sentido del giro de cada eje se invierte por efecto del engranaje.

En un engranaje ideal, no hay perdida de energıa por rozamiento, transmitiendose toda laenergıa mecanica de un eje a otro. Segun esto

θ1·T1 = θ2·T2 ⇒ T1

T2=

θ2

θ1=

N1

N2(4.9)

PSfrag replacementsθ1 T1

θ2 T2

R1

R2

Figura 4.10: Esquema de un engranaje.

Modelos de sistemas mecanicos rotacionales

Una vez conocidos los modelos de todos y cada uno de los elementos que forman el sistema, elmodelo del sistema completo surge de la aplicacion de las leyes de Newton. La segunda ley deNewton, expresada en forma de pares de fuerzas, indica que la suma de los pares aplicados a uncuerpo, incluyendo los pares de inercia, es nula.

Σ~T (t) = 0 (4.10)

Al igual que en el caso de sistemas traslacionales, a la hora de establecer las ecuaciones delmodelo del sistema se debe tener en cuenta el sentido de los pares de fuerzas, ya que son magni-tudes vectoriales.

Ejemplo


En la figura 4.11 se muestra un sistema tal que sobre un eje con un momento de inercia J1

y una constante de friccion B1 se aplica un par motor T (t). Este eje esta conectado mediante unengranaje de relacion N1/N2 = R1/R2 a otro eje que acciona una carga cuyo momento de inerciaes J2, con una constante de friccion B2.

PSfrag replacements

θ1 Te1

θ2 Te2

R1

R2

B1

B2

J1

J2

T (t)

Figura 4.11: Ejemplo de sistema mecanico rotacional

Sea θ1 el angulo girado por el eje 1 respecto a la posicion de reposo del mismo, y sea θ2 elanalogo en el eje 2.

Ecuaciones de balance sobre el eje 1:

T − J1·d2θ1

dt2 −B1·dθ1

dt−Te1 = 0 (4.11)

Ecuaciones de balance sobre el eje 2:

Te2− J2·d2θ2

dt2 −B2·dθ2

dt= 0 (4.12)

Ecuacion de balance en el engranaje:

θ1

θ2=

N2

N1(4.13)

Te1

Te2=

N1

N2(4.14)

Sustituyendo la ecuacion (4.13) en la ecuacion (4.12) de balance del eje 2 se tiene

Te2− J2·N1

N2·d

2θ1

dt2 −B2·N1

N2·dθ1

dt= 0 (4.15)

Teniendo en cuenta la ecuacion (4.14) y sustituyendo la ecuacion anterior en la ecuacion (4.11)de balance del eje 1, se llega a:

T − J1·d2θ1

dt2 −B1·dθ1

dt− N1

N2·{

J2·N1

N2·d

2θ1

dt2 +B2·N1

N2·dθ1

dt

}

= 0

56 Sistemas hidraulicos

Operando se obtiene

T −{

J1 +

(

N1

N2

)2

·J2

}

·d2θ1

dt2 −{

B1 +

(

N1

N2

)2

·B2

}

·dθ1

dt= 0

De esta ecuacion se desprende que una carga de momento de inercia J2 unida a un eje 2 queesta conectado a otro eje 1 mediante un engranaje de relacion N2/N1, es equivalente a una carga

en el eje 1 con un momento de inercia J2·(

N1N2

)2. Esto es extensible al fenomeno de friccion y

torsion del eje.

4.3 Sistemas hidraulicos

Son aquellos sistemas en los que se produce una circulacion de lıquido a lo largo de los elementosque forman el sistema bajo la accion de diferencias de presion. Los caudales de lıquido y ladiferencia de presiones son las magnitudes que se pretenden modelar. Las ecuaciones de balancesurgen de la ley de conservacion de masa.

4.3.1 Deposito

Un deposito es un elemento que, alimentado por un caudal de entrada, es capaz de acumularlıquido, suministrandolo en un caudal de salida. Como efecto de la acumulacion de lıquido, estese encuentra sometido a una presion hidrostatica que en el fondo del deposito es proporcional a laaltura del lıquido en el mismo.

El modelo de un deposito prismatico de seccion S es el siguiente:

dV (t)dt

= qneto(t) (4.16)

p(t) = pa +ρ ·g ·h(t)

V (t) = S ·h(t)

Siendo V (t) el volumen de lıquido contenido en el deposito, h(t) la altura del lıquido en eldeposito, qneto(t) el caudal de lıquido neto que entra en el deposito ,p(t) la presion hidrostaticaen el fondo del deposito, ρ es la densidad del lıquido, S la seccion del deposito, pa la presionatmosferica y g la constante gravitatoria. Normalmente se trabaja con presiones relativas (p(t)−pa), desapareciendo de los modelos la influencia de la presion atmosferica pa.


4.3.2 Tuberıa y valvula

Estos dos elementos se analizan conjuntamente por tener un modelo semejante. Por una tuberıa(o por una valvula) circula un caudal de lıquido tal que la caıda de presion a lo largo del elementoes proporcional al cuadrado del caudal circulante. Esta caıda de presion se debe a la friccion dellıquido con las paredes del elemento.

El modelo de estos elementos es el siguiente:

q(t) = Kp ·√

p1(t)− p2(t) (4.17)

Siendo q(t) el caudal de lıquido que circula a lo largo del elemento del punto de mayor presionp1(t) al de menor presion p2(t). El parametro Kp es la constante de friccion del elemento. En elcaso de una tuberıa este parametro depende de su luz y del material del que esta hecha y esconstante para una tuberıa dada. Sin embargo en el caso de una valvula, esta constante dependede la geometrıa de la valvula y de su apertura, de forma que cuanto mas cerrada este la valvula,mayor sera la friccion que esta produce, y por tanto menor sera la constante K p. Generalmente seconsidera la constante de friccion proporcional al porcentaje de apertura de la valvula.

4.3.3 Modelos de sistemas hidraulicos

Estos modelos surgen de la aplicacion de las ecuaciones de balance sobre el sistema. En este casolas ecuaciones de balance vienen dadas por la ley de conservacion de masa, por la cual la masa dellıquido que entra en un elemento es igual a la masa del lıquido que sale mas la cantidad de lıquidoque se acumula.

Ejemplo

El sistema esta formado por dos depositos interconectados entre sı. El primer deposito sellena con un caudal de entrada Qe(t). Al estar los depositos conectados entre sı, pasa el agua deldeposito 1 al 2, llenandose tambien este. El deposito 2 se vacıa mediante un conducto de formaque esta descarga se debe a la presion del agua en este deposito. El sistema se ilustra en la figura4.12

Las ecuaciones que rigen el comportamiento del sistema son las siguientes:

A1dh1dt = Qe(t)−Qi(t)

A2dh2dt = Qi(t)−Qs(t)

Qi(t) = Kh1√

h1−h2

Qs(t) = Kh2√

h2

Siendo Qi(t) el caudal de lıquido que circula del deposito 1 al 2, Qs(t) el caudal que sale del

58 Modelado de sistemas electricos

PSfrag replacements

h1

h2

Qe

QsQi

Figura 4.12: Sistema de dos depositos interconectados

deposito 2, A1 y A2 el area del deposito 1 y 2 respectivamente y Kh1 y Kh2 las constantes de friccionde las tuberıas.

4.4 Modelado de sistemas electricos

Los sistemas electricos, o circuitos electricos, estan formados por una serie de elementos inter-conectados entre sı por los que circula una intensidad electrica que da lugar a una caıda de poten-cial electrico en el mismo. La energıa potencial es la que impulsa la corriente electrica, que pierdeenergıa al paso por un elemento. Esta energıa se transforma en energıa electrostatica, magnetica obien termica.

Dado que en todo elemento electrico debe circular una intensidad, estos deben tener al menosdos puntos de conexion con el circuito o nodos. Ademas los elementos se deben conectar entresı formando bucles, es decir, de forma que no existan nodos de algun elemento sin conexion conotro.

Existe una analogıa clara entre los sistemas electricos y los hidraulicos. En estos el lıquidocircula a traves de los elementos accionado por la diferencia de presion en el lıquido. En lossistemas electricos es la intensidad (que no deja de ser un caudal de electrones) la que circulaa traves de los elementos accionada por la diferencia de potencial. Las fuentes electricas sonsemejantes a las fuentes de lıquido que surten al sistema hidraulico.

Las ecuaciones de balance surgen al aplicar las Leyes de Kirchoff al sistema. A continuacionse detallan los elementos mas comunes de este tipo de sistemas.

4.4.1 Resistencia

Es un elemento tal que al circular una intensidad por el, esta disipa energıa calorıfica (efecto Joule)produciendo una caıda de potencial. La ecuacion del modelo de la resistencia viene dado por la


ley de Ohm, que se expresa de la siguiente forma:

i(t) =V (t)

R(4.18)

Siendo V (t) la diferencia de potencial a la que se somete la resistencia, i(t) la intensidad quecircula y R la resistencia del elemento.

PSfrag replacementsV (t)

i(t)

R

Figura 4.13: Esquema de una resistencia electrica

Este elemento es analogo a una tuberıa en un sistema hidraulico.

4.4.2 Condensador

Es un elemento que al someterse a una diferencia de potencial, se genera una intensidad propor-cional a la variacion de la diferencia de potencial. La ecuacion del modelo de este elemento es:

dV (t)dt

=i(t)C

(4.19)

Se denomina al parametro C capacidad del condensador.


i(t)

C

Figura 4.14: Esquema de un condensador electrico

El condensador es analogo a un deposito en un sistema hidraulico.

60 Modelado de sistemas electricos

4.4.3 Bobina

Es un elemento que al someterse a una diferencia de potencial se genera una variacion en laintensidad que circula por este proporcional a la diferencia de potencial. Las bobinas almacenanenergıa electrica en forma de energıa magnetica. La ecuacion del modelo es la siguiente:

V (t) = L · di(t)dt

(4.20)

Siendo L la constante de autoinduccion de la bobina.


i(t)

L

Figura 4.15: Esquema de una bobina electrica

4.4.4 Fuente

Es un elemento que crea una diferencia de potencial, de forma tal que, al conectarla a elementoselectricos, se genera una intensidad, que aporta energıa electrica al circuito. Es por tanto unelemento activo.

PSfrag replacements

V (t)

i(t)

−

+

Figura 4.16: Esquema de una fuente electrica de corriente continua

Si la diferencia de potencial generada es constante a lo largo del tiempo, la fuente de denominafuente de corriente continua. Por el contrario, si la diferencia de potencial toma la forma de unaonda senoidal se denomina fuente de corriente alterna.


4.4.5 Motores de corriente continua

Son dispositivos electricos que transforman la energıa electrica en energıa mecanica de rotacion(es decir que accionan una carga rotacional con un determinado par a una determinada velocidadangular) mediante la creacion de campos magneticos.

El motor consta de dos partes: una fija llamada armadura o estator y otra movil denominadarotor. El eje motor se encuentra unido solidariamente a la parte movil del motor, es decir, al rotor.En el interior del motor existen dos circuitos electricos que inducen dos campos magneticos: el cir-cuito de la armadura y el circuito de campo. La alimentacion principal del motor es la del circuitode armadura, por el que circula la intensidad de armadura ia(t). Esta crea un campo magnetico queal interactuar con el campo generado por el circuito de campo, produce un movimiento relativoentre ellos. Ası se crea una caıda de potencial en el circuito de la armadura denominada fuerzacontraelectromitriz y que es proporcional a la velocidad angular del eje (velocidad relativa de losdos campos).

Es claro que tambien se debe alimentar el circuito de campo, aunque es frecuente que estecircuito se sustituya por un iman permanente, que produce un campo de intensidad constante,dando lugar a los denominados motores de iman permanente.

PSfrag replacements

V (t)

ia(t)

i c(t)

Ra La

Vce θ(t)

Figura 4.17: Esquema de un motor de corriente continua

Las ecuaciones que modelan un motor son:

Va(t) = Ra·ia +La·diadt

+Vce (4.21)

Vce = Kce·dθdt

T (t) = K·ia·ic

Siendo ia(t) y Va(t) la intensidad y tension (respectivamente) del circuito de la armadura, Vce

la fuerza contraelectromotriz, θ(t) el angulo girado por el eje motor y T (t) el par con el que estegira, K es la constante del par motor, Kce es la constante contraelectromotriz, ic(t) la intensidadque circula por el circuito de campo y Ra y La son la resistencia y la inductancia del circuito de laarmadura.

62 Sistemas termicos

El motor de corriente continua suele funcionar de dos modos: accionado por armadura opor campo. El funcionamiento por armadura es el mas comun y se utiliza cuando la intensidad decampo es constante o bien se sustituye el circuito de campo por un iman permanente. En este caso,variando la tension (o bien la intensidad) del circuito de la armadura, se controla la velocidad deleje motor. Notese que en este caso el par generado por el motor sera proporcional a la intensidadde la armadura ia(t), de forma que T (t) = Kr·ia(t).

En el funcionamiento por campo, es la intensidad de campo la que se varıa para controlar lavelocidad del motor, manteniendose constante (de alguna forma) la intensidad de armadura. Esteprocedimiento es mas complejo, y por lo tanto menos extendido, que el anterior.

4.4.6 Modelos de sistemas electricos

Las ecuaciones de balance de este tipo de sistemas se expresan mediante las leyes de Kirchoff.Estas leyes se enuncian de la siguiente forma:

1. La suma de las intensidades que entran en un nodo es igual a la suma de las intensidadesque salen.

2. La suma de las diferencias de potencial entre los nodos de los elementos que forman unbucle es nula.

Ejemplo

En temas anteriores se han formulado modelos de circuitos. En el apartado 2.4 del tema2 se propone modelar un circuito (vease la figura 2.4 del tema 2) y se obtienen las ecuacionescorrepondientes aplicando las ecuaciones de los elementos y las leyes de Kirchoff.

4.5 Sistemas termicos

Se denominan sistemas termicos a aquellos sistemas cuyos elementos varıan su estado termodinamico(temperatura, presion, densidad, entalpıa, entropıa, etc.) bajo la accion de aportes o transferenciasde calor. Un ejemplo de sistema termico puede ser el termo para calentar agua en las instalacionesdomesticas. Este sistema pretende calentar un caudal de agua que circula a traves de el medianteel aporte de calor fruto de la combustion de gas.

El estado termodinamico de un elemento varıa por la transferencia de calor con otro elementodel sistema o con el ambiente. La transferencia de calor puede realizarse mediante una serie demecanismos que se detallan a continuacion.


4.5.1 Transferencia de calor por conduccion

Esta transferencia de calor se produce entre elementos que estan en contacto. El calor fluye atraves del que tiene mayor temperatura al que tiene menor. La cantidad de calor que fluye de uncuerpo a otro por unidad de tiempo Q se modela considerando que es directamente proporcional ala diferencia de temperatura entre ellos.

Q = Kcond · (T1−T2) (4.22)

Siendo Kcond la constante de conduccion de calor por un cuerpo, que depende de la superficiede contacto y de las caracterısticas de los cuerpos. Cuando se calienta un cuerpo mediante unafuente de calor, por ejemplo, un metal en una fragua, se produce este mecanismo de transferenciade calor. El calor pasa de la fuente, en este caso las brasas, al metal que se encuentra en contactocon ellas.

4.5.2 Transferencia de calor por conveccion

Esta transferencia de calor se produce entre elementos que estan a distintas temperaturas, pero elmecanismo de la transferencia tiene asociado el movimiento de un fluido. Por ejemplo, cuando seenfrıa un cuerpo caliente introduciendolo en una corriente de agua frıa, el enfriamiento del cuerpose produce porque el calor se transfiere del cuerpo con mayor temperatura al caudal de agua queesta a menor temperatura, transportando el caudal de agua la energıa substraıda al cuerpo caliente.

El modelo de este tipo de transferencia viene dado por la siguiente ecuacion:

Q = Kconv · (T1−T2) (4.23)

Siendo Kconv la constante de conveccion un parametro que depende del movimiento del fluidoque interviene en la transferencia y de la superficie de contacto.

4.5.3 Transferencia de calor por radiacion

Es un fenomeno por el cual un cuerpo con una determinada temperatura emite una radiacionelectromagnetica. De esta forma, libera energıa calorica trasfiriendola a otros cuerpos. La trans-ferencia de calor entre cuerpos mediante este mecanismo, se produce por la exposicion de uno delos cuerpos a la radiacion emitida por el otro.

El modelo de este fenomeno viene dado por:

64 Sistemas termicos

Q = Krad · (T14−T2

4) (4.24)

Siendo la contante de radiacion Krad un parametro que depende de la geometrıa, de la posicionrelativa y de las propiedades de los cuerpos.

4.5.4 Modelos de sistema termicos

Los modelos de sistemas termicos surgen de la aplicacion de las ecuaciones de balance de masay de energıa al conjunto de los elementos. Las ecuaciones de balance de masa son analogas a lasque se aplican para modelar sistemas hidraulicos, y expresan que la masa de un producto que entraen un elemento es igual a la masa del producto que sale de este mas la masa que se acumula en elsistema.

Por otro lado las ecuaciones de conservacion de la energıa indican que la cantidad de calorque se aporta a un elemento menos la cantidad de calor que este desprende es igual a la cantidadde calor acumulado por este. A la diferencia entre la cantidad de calor aportado y la cantidad decalor desprendido se denomina la cantidad de calor neto. Estas ecuaciones se pueden expresar dela siguiente forma:

d(m ·Ce ·T )

dt= Qaportado− Qdesprendido = Qneto (4.25)

Siendo m la masa del elemento sobre el que se realiza el balance, y Ce el calor especıfico delelemento. Este parametro depende de la naturaleza del elemento.

Ejemplo

Vamos a ver como se obtiene el modelo de un sistema formado por una caldera que contieneun lıquido que se calienta con una fuente de calor, por ejemplo un quemador de gas. Ademas ellıquido esta en contacto con el ambiente, a una temperatura Ta, con el que intercambia calor.

Las transferencias de calor que se ven implicadas son la que se produce entre el lıquido y elambiente y el aporte de calor por la combustion. La primera de ellas se produce por conveccion,por lo que la ecuacion de la transferencia de calor es:

Qla = Kconv · (Tl−Ta)

Siendo Tl la temperatura del lıquido, Ta la temperatura del ambiente. La fuente de calor semodela como un aporte de la cantidad de calor por unidad de tiempo al lıquido constante y devalor Q. Aplicando la ecuacion de balance de energıa al lıquido se tiene que :

m ·Ce ·dTl

dt= Qneto = Q− Qla = Q−Kconv(Tl−Ta)


PSfrag replacements

Tl

Ta

Q

Figura 4.18: Calentamiento de un lıquido en una caldera

En esta ecuacion la magnitud que nos interesa es la temperatura del lıquido Tl(t), cuya evoluciondepende del calor aportado por la fuente de calor Q y de la temperatura ambiental Ta.

4.6 Linealizacion de modelos no lineales

Anteriormente se ha visto como la obtencion de un modelo conduce generalmente a la repre-sentacion del comportamiento del sistema mediante una serie de ecuaciones, generalmente ecua-ciones diferenciales, en las que se relacionan entre sı magnitudes del sistema, con derivadas deestas respecto al tiempo. A continuacion se tratara con el modelo entrada/salida o descripcionexterna del sistema, pero todo el analisis hecho es extensible a modelos internos del sistema.

El modelo del sistema en su formulacion entrada/salida tiene la forma de:

F(dny1

dtn , ...,dy1

dt,y1, ...,

dnyny

dtn , ...,dyny

dt,yny,

dmu1

dtm , ...,du1

dt,u1, ...,

dmunu

dtm , ...,dunu

dt,unu) = 0 (4.26)

Siendo y1, ...,yny las salidas del sistema a modelar, y u1, ...,unu las entradas al sistema. Lafuncion F(·) representa el conjunto de ecuaciones que relacionan las entradas con las salidasdel sistema. Para que el sistema este bien planteado, el numero de ecuaciones debe ser igual alnumero de variables a determinar, en este caso las salidas del sistema, por tanto son necesarias nyecuaciones.

Sin perdida de generalidad, y en aras de la sencillez en la exposicion, supondremos en adelanteque el sistema es monovariable, es decir, que tan solo tiene una salida y una entrada. En este casoel modelo viene dado por la ecuacion:

f (dnydtn , ...,

dydt

,y,dmudtm , ...,

dudt

,u) = 0 (4.27)

66 Linealizacion de modelos no lineales

Segun la forma que toma la funcion f se pueden clasificar los sistemas en:

• Sistemas lineales: aquellos en los que la funcion f es una funcion lineal. Es decir, en losque la ecuacion diferencial es una combinacion lineal de las entradas y salidas y de susderivadas.Por tanto toma la forma siguiente:

dnydtn +a1 ·

dn−1ydtn−1 + . . .+an−1 ·

dydt

+an · y = b0 ·dmudtm +b1 ·

dm−1udtm−1 + . . .+bm−1 ·

dudt

+bm ·u(4.28)

Siendo (a1, . . . ,an,b0, . . . ,bm) parametros constantes del modelo lineal del sistema. La lin-ealidad de los sistemas es una propiedad que les confiere una serie de caracterısticas quelos hace muy interesantes y que se detallaran en temas posteriores. Entre ellas se puedendestacar las siguientes:

1. Solucion sencilla de las ecuaciones diferenciales.

2. Tratamiento sistematico de sistemas (generalizacion de resultados), utilizando porejemplo su representacion por funcion de transferencia.

3. Aplicacion de potentes procedimientos de analisis, como la transformada de Laplaceo el analisis frecuencial.

• Sistemas no lineales: aquellos en los que la funcion f es una funcion no lineal.

4.6.1 Punto de funcionamiento de un sistema

En los procesos industriales es habitual que el comportamiento del sistema evolucione en tornoa un punto de funcionamiento. Es decir, en una situacion tal que las magnitudes del sistemaevolucionan en torno a un valor constante.

Por ejemplo, piensese en un deposito que se llena constantemente con un caudal de entradaQe y que descarga a traves de una tuberıa de forma que la descarga se produce por gravedad. Lasecuaciones del modelo son las siguientes:

A · dh(t)dt

= Qe−Qs = Qe−K ·√

h(t)

En el que A, el area del deposito, es de 1m2, h su altura y K la constante de friccion de latuberıa, de 10l/(min ·m1/2) . Se considera que el caudal de entrada Qe es constante con un valorde 10 l/min.

En la figura 4.19 se muestra la evolucion de la altura del deposito y del caudal de salidapartiendo de una situacion inicial en la que el deposito esta vacıo.

El sistema evoluciona hasta un punto en el que la altura del deposito permanece constante (enconsecuencia dh

dt = 0). En este punto el caudal de salida es igual al caudal de entrada, es decir 10


0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo (s)

altu

ra d

el d

epós

ito (

m )

0 0.5 1 1.50

2

4

6

8

10

12

tiempo (s)

Cau

dal d

e sa

lida

( l/m

in )

Figura 4.19: Evolucion de la altura y del caudal de salida.

l/min y la altura en la que se queda el deposito es:

Qs = Qe⇒ K ·√

ho = Qe⇒ ho =

(

Qe

K

)2

= 1m

El sistema permanecera en ese punto indefinidamente hasta que no cambie el caudal de en-trada. Esto quiere decir que el sistema esta en equilibrio. Al estado en el que el sistema permanecese denomina punto de equilibrio del sistema.

En el funcionamiento normal del sistema se sabe que el caudal de entrada esta en torno a 10l/min, por lo que la altura del deposito evolucionara hasta un valor en torno a 1 m y el caudal desalida en torno a 10 l/min (vease la figura 4.20). Por tanto el sistema permanecera normalmenteen torno al punto de equilibrio antes calculado. Este punto se denomina punto de funcionamiento,y corresponde al estado en el que se considera que el sistema funciona normalmente. Este puntodebe ser un punto de equilibrio.

4.6.2 Linealizacion de un sistema dinamico

Como ya se ha visto, el conjunto de ecuaciones que modelan el comportamiento dinamico de unsistema puede ser lineal o no lineal. Los sistemas lineales resultan convenientes por el hecho desu sencillez de tratamiento y analisis.

Dado que un sistema en su funcionamiento normal evoluciona en torno a un punto de fun-cionamiento, parece razonable pensar que el analisis del sistema serıa mas sencillo si tratasemosde analizar el comportamiento del sistema alrededor de este, sin considerar como sera fuera delrango en que va a evolucionar el sistema.

Es bien sabido que una funcion no lineal se puede aproximar en un determinado rango por unafuncion lineal. A este procedimiento se le denomina linealizacion de una funcion en torno a un


0 0.5 1 1.5

9

10

11

tiempo (s)

Cau

dal d

e en

trad

a (

l/min

)0 0.5 1 1.5

0

0.5

1

tiempo (s)

altu

ra d

el d

epós

ito (

m )

0 0.5 1 1.50

5

10

tiempo (s)

Cau

dal d

e sa

lida

( l/m

in )

Figura 4.20: Evolucion del caudal de salida y de la altura del deposito ante variaciones en torno alpunto de funcionamiento.

punto. Toda aproximacion esta sujeta a un determinado error, asociado al rango de aproximacion.Cuanto mayor sea este, mayor sera el error cometido por la aproximacion.

Extendiendo esto a sistemas dinamicos, parece razonable aproximar el modelo no lineal delsistema por un modelo lineal en torno al punto de funcionamiento. Este modelo lineal aproximadoguardara las caracterısticas del sistema dinamico en su evolucion en el punto de funcionamientoy en el rango de variacion del sistema en torno a este. Este modelo por ser lineal tiene todaslas caracterısticas beneficiosas de los sistemas lineales. Ademas, como toda aproximacion, tieneasociado un error que se comete y que sera tanto mayor cuanto mayor sea el rango de variaciondel sistema. A este procedimiento se le denomina linealizacion de un sistema.

Calculo del modelo lineal aproximado

Como es sabido el modelo de un sistema dinamico monovariable en general viene dado por laecuacion (4.27) en la que, para simplificar la exposicion, se va a denominar las variables delsiguiente modo:

dnydtn → yn), . . . ,

dydt→ y

dmudtm → um), . . . ,

dudt→ u

Un procedimiento para linealizar una funcion en torno a un punto es mediante un desarrolloen serie de Taylor de la funcion en ese punto. Segun esto la funcion se puede aproximar por:


∂ f

∂yn)

]

0·(yn)− yn)

]

0)+ . . .+

∂ f∂y

]

0·(y− y]0)+

∂ f∂y

]

0·(y− y]0)+

+∂ f

∂um)

]

0·(um)− um)

]

0)+ . . .+

∂ f∂u

]

0·(u− u]0)+

∂ f∂u

]

0·(u− u]0)+O(2) = 0

Siendo yn)]0, ..., y]0, y]0,y]0 los valores que toman dichas senales en el punto de funcionamientoy O(2) los terminos de orden superior, que se consideran despreciables en el modelo linealizado.Haciendo el cambio de variables siguiente:

y− y]0 → αu− u]0 → β

se tiene que :

yn)− yn)]

0→ αn)

...

y− y]0 → αy− y]0 → α

um)− um)]

0→ βm)

...

u− u]0 → βu− u]0 → β

y teniendo en cuenta que los terminos de las derivadas parciales particularizadas en el puntode funcionamiento son constantes, haciendo las siguientes asignaciones:

∂ f∂yn−1)

]

0∂ f

∂yn)

]

0

→ a1

...∂ f∂ y

]

0∂ f

∂yn)

]

0

→ an−1


∂ f∂y

]

0∂ f

∂yn)

]

0

→ an

−∂ f

∂um)

]

0∂ f

∂yn)

]

0

→ b0

...

−∂ f∂ u

]

0∂ f

∂yn)

]

0

→ bm−1

−∂ f∂u

]

0∂ f

∂yn)

]

0

→ bm

se obtiene la siguiente ecuacion

αn) +a1 ·αn−1) + . . .+an−1 · α+an ·α = b0 ·βm) +b1 ·βm−1) + . . .+bm−1 · β+bm ·β

que es la ecuacion lineal del modelo linealizado del modelo no lineal en torno al punto defuncionamiento.

Ejemplo

Para ilustrar el procedimiento se va a linealizar el modelo del sistema del deposito visto ante-riormente en torno a su punto de funcionamiento. El modelo del sistema es el siguiente:

A · dhdt

+K ·√

h−Qe = 0

En este caso, la salida del sistema, representada por y en el epıgrafe anterior, es la altura deldeposito h, y la actuacion o entrada al sistema, representada por u en el epıgrafe anterior, es elcaudal de entrada Qe.

El punto de funcionamiento viene dado por los siguientes valores:

Qe]0 = 10 l/min

h]0 = 1 m

dhdt

]

0= 0 m/s


Haciendo el cambio de variables

α = h− h]0 = h−1

β = Qe− Qe]0 = Qe−10

y calculando los coeficientes del desarrollo en serie de Taylor de la ecuacion del modelo

∂ f

∂h

]

0= A = 1

∂ f∂h

]

0=

K

2·√

h

]

0=

10

2·√

1= 5

∂ f∂Qe

]

0= −1

se obtienen los coeficientes de la ecuacion del modelo lineal. En este caso n = 1 y m = 0.

a0 =

∂ f∂h

]

0∂ f∂h

]

0

=51

= 5

b0 =−∂ f

∂Qe

]

0∂ f∂h

]

0

=−−11

= 1

Se llega a la siguiente ecuacion lineal:

dαdt

+5·α = 1·β

El modelo lineal aproxima el comportamiento del sistema en torno al punto de funcionamiento,de forma que, cuanto mas alejados estemos de este punto, mas error se cometera en el compor-tamiento obtenido por este modelo, frente al no lineal. En la figura 4.21 se muestra el compor-tamiento del modelo no lineal (lınea continua) y el del modelo linealizado (lınea a trazos). En estase muestra la evolucion del caudal de entrada Qe al deposito (vease la figura 4.21 (a)). Duranteun cierto periodo de tiempo el caudal de entrada varıa en torno al punto de funcionamiento en 10l/min. En este periodo el modelo no lineal y el linealizado representan practicamente el mismocomportamiento de la altura en el deposito y del caudal de salida (veanse las figuras 4.21 (b) y(c)). Sin embargo, despues se produce un cambio del caudal de entrada Qe evolucionando entorno a otro punto distinto, en este caso 5 l/min. Entonces se observa que el comportamiento delas magnitudes del sistema derivado del modelo no lineal difiere en gran medida del derivado delmodelo linealizado, tomando la altura incluso valores imposibles.

72 Simulacion

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 43

4

5

6

7

8

9

10

11

12

tiempo ( s )

Cau

dal d

e en

trad

a Q

e (

l/min

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 44

5

6

7

8

9

10

11

tiempo ( s )

Cau

dal d

e sa

lida

Qs

( l/m

in )

modelo no linealmodelo lineal

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

tiempo ( s )

altu

ra e

n el

dep

ósito

h (

m )

modelo no linealmodelo lineal

(a) (b) (c)

Figura 4.21: Comparacion del comportamiento del modelo no lineal con el modelo linealizado

4.7 Simulacion

El objeto del modelado de un sistema dinamico es la obtencion de una expresion matematica delcomportamiento del sistema con el fin de analizar su evolucion o bien, reproducir lo mas fielmenteposible la evolucion de sus senales. Ya sea para uno u otro fin, es necesario calcular cual va a serla evolucion de las senales del sistema bajo unas ciertas condiciones iniciales y para unas entradasdeterminadas. A este procedimiento se denomina simulacion del sistema y es una herramientafundamental en el estudio de sistemas dinamicos.

La evolucion del sistema dependera de las condiciones iniciales de las que parte el sistemay, en sistemas no autonomos, de sus senales de entrada. La eleccion de las senales de entradaque se utilizan para la simulacion condiciona la evolucion del mismo. Las senales de entradapueden ser senales de prueba, del tipo escalon, impulso o rampa, o bien senales mas realistas queimiten las condiciones de operacion del sistema fısico. Las senales de prueba se utilizan paracomprobar y comparar la evolucion del sistema de una forma sistematica, definiendo parametrosque cuantifican la idoneidad de la evolucion de la senal ante ese tipo de senales de entrada. Lasimulacion del sistema, si es suficientemente fiel al comportamiento del sistema real, permite unestudio de la influencia de la variacion de parametros o de senales de entrada o de sus condicionesiniciales, sobre el comportamiento de las magnitudes del sistema.

En modelos matematicos en forma de ecuaciones diferenciales, para obtener la evoluciontemporal de las senales es necesario integrar las ecuaciones diferenciales de este. Por tanto lasimulacion de este tipo de modelos se traduce en un procedimiento para integrar las ecuacionesdiferenciales involucradas en el modelo. Esta tarea se puede llevar a cabo de dos formas distintas:

• Analogica: Se desarrolla un circuito electronico utilizando modulos analogicos que realizanciertas funciones, por ejemplo integradores o ganancias. Por tanto el circuito electronicoobtenido es a su vez un sistema dinamico cuya evolucion es analoga a la del modelo que sedesea simular. El modelo matematico se debe manipular para poder expresarlo utilizandotan solo las funciones que realizan los modulos electronicos. Cada uno de estos modulos serealizan utilizando componentes electronicos como resistencias, condensadores o amplifi-cadores. Los parametros de estos pueden no ser constantes, pues pueden variar por ejemplo


con el tiempo o con la temperatura del circuito. Esto hace que la respuesta dinamica del cir-cuito varıe al variar estos. Por tanto la precision de la simulacion esta sujeta a la bondad delos componentes que intervienen en el circuito. Este problema, junto a la complejidad en sudiseno y la poca flexibilidad que la tecnologıa analogica permite, son las razones principalesque han condicionado su uso para el calculo, y en particular, para la simulacion.

• Digital: Para la simulacion se utiliza un computador digital, que tiene la propiedad de poderrealizar un cierto procesamiento de informacion (numeros o caracteres) y generar un resul-tado. Esta tarea se lleva a cabo en forma de secuencia de operaciones basicas, que con-stituyen un programa. Por tanto es posible realizar programas que resuelvan problemas decalculo de una forma secuencial, es decir, como una secuencia de operaciones. Este tipo dealgoritmos se denominan metodos numericos. La simulacion se reduce pues a desarrollar unalgoritmo o metodo numerico que integre ecuaciones diferenciales y codificarlo en formade programa. Una simulacion del sistema bajo unas ciertas condiciones equivale a ejecutareste programa para unos datos de entrada determinados.

Entre las caracterısticas principales de la utilizacion del calculo digital se encuentra el he-cho de que la precision del resultado de la simulacion es constante, y tan solo depende delnumero de bits que utiliza el computador para codificar las cantidades numericas. Tambienes importante el hecho de que un computador es capaz de realizar cualquier tipo de pro-grama, y ejecuciones del mismo para distintos datos de entrada.

4.7.1 Metodos numericos de integracion

Un metodo numerico de integracion consiste en un algoritmo iterativo que integra ecuacionesdiferenciales. La integracion analıtica de las ecuaciones diferenciales da como resultado la ex-presion explıcita de las senales que intervienen en ellas. Por ejemplo para el caso del modeloentrada-salida del sistema, la solucion de la integracion analıtica tiene la forma y = y(t). Estafuncion dependera en general de los parametros del modelo, de las condiciones iniciales del sis-tema ası como de las senales de entrada (y = y(t,u(t),y0,parametros)). La integracion analıtica esmuy compleja y no siempre es posible de obtener para todos los sistemas. Tan solo se conocenmetodos de integracion analıtica de ciertos tipos de ecuaciones diferenciales.

En un metodo numerico de integracion, no se obtiene la expresion analıtica de la senal comofuncion del tiempo, sino que se obtiene una secuencia de valores que toma la senal a lo largo deltiempo. Al ser un metodo iterativo, se discretiza el tiempo, de forma que se calcula en cada instanteel valor que tomara la senal en funcion del valor que tomaba esta, sus derivadas y las senales de en-trada en el instante anterior. Por tanto cada iteracion del algoritmo corresponde al calculo del valoraproximado que toma la senal en un instante determinado en funcion de los valores aproximadosde las senales obtenidas en iteraciones anteriores y(ti) = F(y(ti−1), · · · , y(t1), y(t0),u(ti−1), · · · ,u(t1),u(t0)), obteniendose la evolucion aproximada de la senal hasta ese instante. Las iteraciones terminarancuando se complete el intervalo de tiempo que se desea simular. El resultado de la simulacion espor tanto una secuencia de valores aproximados que toma la senal en una secuencia de instantesdeterminados:

[

t0 t1 t2 · · · t f inal

y(t0) y(t1) y(t0) · · · y(t f inal)

]

74 Simulacion

Al intervalo de tiempo que hay entre los instantes de la secuencia se denomina paso de in-tegracion. Como es razonable, cuanto menor sea este, mas cantidad de valores de la senal secalcularan, y por tanto mayor sera la precision con la que se obtienen los valores. El paso de inte-gracion es por tanto un parametro del metodo de integracion que es muy importante, y su eleccionesta relacionada con las caracterısticas de las ecuaciones diferenciales del modelo. Si se elige unpaso de integracion grande, la aproximacion de los valores numericos obtenidos a los analıticossera muy basta. Sin embargo, si se toma un paso de integracion muy pequeno, el numero de itera-ciones del algoritmo es mucho mayor y ademas se incurre en errores de redondeo en el calculo conel computador. Estos errores de redondeo se deben al hecho de que los computadores utilizan unnumero limitado de bits para representar los valores numericos, y por lo tanto un numero limitadode decimales en su resolucion. Por tanto si los calculos requieren un gran numero de decimales,el error cometido por la perdida de decimales debido a esta limitacion es importante.

Existen metodos de integracion en los que el paso de integracion es constante, entre los quese encuentra el metodo de Euler, y otros en los que el paso varıa, eligiendose en cada instanteen funcion de la evolucion de la senal hasta ese instante, entre los que se encuentra el metodo deRunge-Kutta.

El metodo de integracion de Euler

Para ilustrar este metodo, se va a considerar un caso concreto. Sea la ecuacion dxdt = f(t) con

condicion inicial x(0) = x0.Por tanto, en el instante de tiempo t = 0 se sabe que x(t) = x0. Ademasse sabe que

x(0) = f (0) = limt−→0

x(t)− x0

t−0≈ x(h)− x0

h

tomando un valor h = ∆t suficientemente pequeno. Es decir, que el valor de x(t) en un instanteh proximo a cero es aproximadamente x(h) ≈ x0 + h f (0). Del mismo modo, para el instante2h se puede escribir x(2h) ≈ x(h)+ h f (h), como x(h) no es conocido se puede utilizar su valoraproximado x(h) = x0 + h f (0). Queda claro que de este modo se puede obtener una secuenciade valores aproximados {x(kh)}, k = 0,1,2, · · ·. Notese que este metodo equivale a hacer unaextrapolacion lineal con la derivada en cada punto.

Para ilustrar el metodo de Euler se parte de la situacion mostrada en la figura 4.22 (a). El ejehorizontal representa la variable t, en el eje vertical se ha colocado el valor x(0) = x0. A partirde este punto se traza una recta con pendiente f (0). Sobre esta recta se halla el punto de abcisah y ordenada x(h) = x0 + h f (0). La nueva situacion es la mostrada en 4.22 (b): ahora se tomax(h) como punto de partida para trazar una nueva recta de pendiente f (h) y obtener sobre ella elpunto de abcisa 2h y ordenada x(2h) = x(h)+h f (h). En la figura 4.22 (c) se muestra el resultadoobtenido al repetir los pasos anteriores 50 veces con h = 0.1, siendo f (t) = cos(t) y x(0) = 0.Se observa que la solucion proporcionada por la integracion numerica es un conjunto de valores{x(kh)}, k = 0,1,2, · · ·50. Estos valores se han representado uniendo mediante segmentos lospuntos (kh, x(kh)), de forma que se obtiene una aproximacion mediante trozos rectos. En la citadafigura se muestra tambien con trazo punteado la solucion exacta obtenida resolviendo dx

dt = cos(t),con x(0) = 0 que da como resultado x(t) =sen(t).


0

xx(h)

ht

0

x(h) x(2h)

t2h

x

0 h

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

(a) (b) (c)

Figura 4.22: El metodo de Euler para integracion numerica

A continuacion vamos a ver como se aplica el metodo de Euler a modelos entrada/salida de laforma que se expresa en la ecuacion (4.27). Este modelo se puede poner de la forma siguiente:

dydt

= y

dydt

= y

...dyn−1)

dt= yn)

yn)(t) = g(yn−1)(t), ..., y(t),y(t),um)(t), ..., u(t),u(t))

Aplicando el metodo de Euler a cada ecuacion se obtienen las siguientes ecuaciones iterativas:

y((k +1)h) = y(kh)+ y(kh) ·hy((k +1)h) = y(kh)+ y(kh) ·h

...

yn−1)((k +1)h) = yn−1)(kh)+g([yn−1)(kh), ..., y(kh),y(kh),um)(kh), ..., u(kh),u(kh)]) ·h

Se puede observar que el valor de todas las magnitudes en el instante t = (k + 1)h dependende valores de las magnitudes en el instante anterior t = kh. Esto hace que la integracion de lasecuacion diferencial del modelo se pueda hacer mediante un algoritmo iterativo, en el que en cadaiteracion se calcula la evolucion de las senales del sistema tras un periodo de tiempo h. Esteprocedimiento termina una vez alcanzado el tiempo final hasta el que se quiere simular el sistema.

Ejemplo

Consideremos un deposito prismatico (seccion constante) alimentado por un caudal. Si urepresenta el caudal que llega al deposito medido en metros cubicos por segundo, y la altura del

76 Simulacion

nivel medida en metros y A es la seccion del deposito en metros cuadrados, se tiene que la derivadadel volumen de lıquido es el caudal aportado. Puesto que el volumen es V = Ay y A es constantese tiene que

Adydt

= u

operando se obtiene que

dydt

= y

y =1A·u

(4.29)

Aplicando el metodo de Euler se obtienen las ecuaciones iterativas:

y((k +1)·h) = y(k·h)+ y(k·h)

y(k·h) =1A·u(k·h)

(4.30)

El valor del nivel en el instante inicial y(0) es una condicion inicial necesaria para la inte-gracion de la ecuacion. Los valores tomados por la entrada son tambien necesarios para calcularla evolucion del nivel. El algoritmo iterativo para la integracion es:

1. Asignar el valor inicial k← 1.

2. Hacer:

2.1 Si k=1, se asigna el valor inicial yk← y(0)si no, se calcula el nuevo valor yk← yk−1 +h·dyk−1

2.2 Calcular dyk← 1A ·uk

2.3 Calcular t← k·h2.4 Actualizar k← k +1

2.5 Si t ≤ t f inal , ir a 2

3. Fin del algoritmo.

En el algoritmo se obtiene como resultado unos vectores con los valores de la salida y de susderivadas (en este caso denominados y y dy), en cada perıodo de integracion. El parametro h delalgoritmo es muy importante y su valor depende del comportamiento dinamico del sistema, y porlo tanto de los parametros de este. Notese que el algoritmo toma como datos de entrada el paso


−2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

u

y

t−2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

u

y

t−2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

u

y

t

a) A = 10m2, y(0) = 0m b) A = 5m2, y(0) = 0m c) A = 10m2, y(0) = 0.2m

Figura 4.23: Tres experimentos de simulacion realizados con el modelo de llenado de un deposito.

de integracion h, las condiciones iniciales del sistema y(0), el valor de la senal de entrada en cadainstante uk y el tiempo de simulacion t f inal .

En la simulacion del sistema se pueden plantear diversos experimentos:

• Analizar la influencia de la senal u en la evolucion de y. Para ello basta con proporcionar laley u(t) y usar el modelo para calcular el nivel. Vease figura 4.23 a).

• Analizar la influencia de los parametros. En este caso el unico parametro es la seccion deldeposito. La forma de proceder consiste en realizar varias simulaciones con valores de Adiferentes, manteniendo iguales el resto de condiciones. Vease figura 4.23 b).

• Analizar la influencia de los valores iniciales. La forma de proceder es similar al casoanterior. En cada experimento simulado se utiliza un valor inicial y(0) diferente. Veasefigura 4.23 c).

4.8 Algebra de bloques

Como es sabido al modelar un sistema se obtienen una serie de ecuaciones diferenciales quepueden ser lineales o no lineales. En el caso de modelos no lineales es posible obtener un modelolineal aproximado del modelo no lineal, valido en un rango de variacion de las magnitudes delsistema en torno al punto de funcionamiento. En consecuencia siempre es posible obtener unmodelo lineal de un sistema dinamico. El interes de obtener este tipo de sistemas reside en lasencillez de tratamiento y analisis de este tipo de modelos.

Es frecuente que un sistema dinamico que se pretende modelar este formado por una serie desubsistemas no autonomos interconectados entre sı. Cada subsistema tiene una magnitud de en-trada que excita al subsistema y una magnitud de salida que evoluciona en consecuencia. Al estarconectado con otros subsistemas, su salida afectara a la entrada de algun o algunos subsistemas

78 Algebra de bloques

perteneciente al mismo sistema o incluso a sı mismo. A su vez su entrada estara influida por lassalidas o entradas de otros subsistemas.

Para un analisis sistematico de los modelos de los sistemas, estos se suelen representar graficamente,describiendo cada subsistema que lo forma mediante un bloque. Cada uno de ellos tiene una mag-nitud de entrada y una magnitud de salida cuya evolucion es consecuencia de la accion de laentrada sobre el. Las senales se representan por flechas que indican cuyo sentido indican si sonentradas o salidas( ver figura 4.24) .

entrada salidaBLOQUE

(subsistema)

Figura 4.24: Representacion de un subsistema mediante un bloque

En el caso de modelos lineales de los subsistemas, cada uno de estos se puede modelar poruna ecuacion diferencial lineal. Utilizando la transformada Laplace para representar el modelodel sistema y sus magnitudes de entrada y de salida, cada bloque es equivalente a una funcionde transferencia G(s), de forma que las magnitudes de entrada y de salida se representan porsu transformada Laplace U(s) e Y (s) (vease la figura 4.25) . La senal de salida verifica queY (s) = G(s)·U(s).

entrada salida

G(s)Y(s)U(s)

Figura 4.25: Representacion de un subsistema lineal mediante un bloque y la transformada Laplace

Un sistema quedara pues representado por una serie de bloques que estan interconectados entresı formando lo que se denomina el diagrama de bloques del sistema. Esta representacion resultainteresante por una serie de razones:

• Permite la obtencion de las ecuaciones de todo el sistema o de parte de el mediante unaserie de operaciones que se realizan sobre las senales y los bloques que forman el diagrama.Estas operaciones dan lugar al algebra de bloques.

• Mantiene identificado cada subsistema, lo que permite introducir facilmente cambios en elmodelo del sistema.

• Permite visualizar de una forma sencilla las relaciones causa-efecto involucradas en el sis-tema.

• Facilita el analisis del papel que juega cada subsistema en el comportamiento global delsistema

4.8.1 Operaciones sobre senales

Estas operaciones son:


1. Bifurcacion: Representa la conexion de varios subsistemas que tienen la misma entrada. Portanto la senal se bifurca entrando en ambos subsistemas.

U(s) U(s)

U(s)

Figura 4.26: Operacion de bifurcacion de senales

2. Suma: dos o mas senales, generalmente salidas de subsistemas, se superponen formandouna unica senal, sumandose o restandose.

++

Y1(s)

Y2(s)

Y1(s) + Y2(s)

Figura 4.27: Operacion de suma de senales

3. Transformacion de una senal en un bloque: una senal al entrar en un bloque se transformagenerando una determinada senal de salida.

entrada salida

G(s)Y(s)U(s)

Y (s) = G(s)·U(s)

Figura 4.28: Transformacion de una senal en un bloque

4.8.2 Operaciones sobre bloques: reduccion de sistemas

Los diagramas de bloques representan subsistemas conectados entre sı. A veces resulta intere-sante obtener las ecuaciones de todo el sistema o bien de una parte de el. El algebra de bloquespermite realizar una serie de operaciones sobre los bloques y senales que permiten y simplificanla obtencion de bloques equivalentes de todo o parte del diagrama de bloques. Esta operacion sedenomina reduccion del diagrama de bloques.

Existen una serie de operaciones sobre bloques destinadas a la reduccion de los diagramas:


1. Bloques en cascada o en serie:

G (s)1 G (s)2

U Z YG (s)1 G (s)2·

U Y

2. Bloques en paralelo:

G (s)1

G (s)2

Y+

+

Y 1

Y 2

UG (s)1 G (s)2+

U Y

3. Realimentacion:

G (s)1

G (s)2

+

-

U Y

G (s)2G (s)1

G (s)1

1 + ·

U Y

4.

Y+

+G(s)

Z

U G(s)+

+

1/G(s)

Z

YU

5.

G(s)+

+

Z

U Y

G(s)+

+

U

ZG(s)

Y


6.

G(s)

G(s)

U Y

Z

YUG(s)

Z

7.

G(s)U

U

YG(s)

1/G(s)

U

U

Y

Ejemplo:

Calcular utilizando el algebra de bloques la funcion de transferencia del sistema dado por elsiguiente diagrama de bloques:

)(1 sG )(2 sG

)(3 sG+

+

-+

R(s) Y(s)

Observando dicho diagrama se puede ver que es equivalente al siguiente:

)(2 sG

)(3 sG

)(1 sG+-

-+

R(s) Y(s)

En este se tienen dos estructuras de realimentacion unitaria negativa anidadas, lo cual se puedereducir a

)(2 sG)()·(1)(31

1sGsG

sG+-+

R(s) Y(s)


Y de este diagrama ya se puede obtener la funcion de transferencia pedida:

G(s) =

G1(s)G2(s)1+G1(s)G3(s)

1+ G1(s)G2(s)1+G1(s)G3(s)

=G1(s)G2(S)

1+G1(s)(G2(s)+G3(s))

Parte II

Analisis en el dominio del tiempo

83

Tema 5

Sistemas dinamicos lineales de primerorden

5.1 Introduccion

Se denomina sistema lineal diferencial de primer orden de entrada u(t) y salida y(t) al sistemaregido por una ecuacion diferencial de la forma

dydt

+ay = bu (5.1)

en donde a y b son dos constantes, denominadas coeficientes de la ecuacion; u(t) es una senaldenominada senal de entrada o excitacion; e y(t) es otra senal denominada senal de salida delsistema. El conjunto se interpreta con un diagrama de bloques tal como el de la figura 5.1. Laecuacion diferencial anterior admite una solucion unica siempre que se fije el valor inicial de y(t).Este valor inicial se denotara en lo que sigue por ξ. La ecuacion (5.1) establece que la pendiente dey(t) en cada instante de tiempo, es una combinacion lineal de los valores que toma en este instanteu(t) e y(t). En la figura 5.2 se muestran las evoluciones de u(t) e y(t).

En la practica se presentan multiples sistemas que pueden ser representados por una ecuaciondiferencial de primer orden. De hecho es una de las aproximaciones mas sencillas que se puedenhacer del comportamiento dinamico de un sistema. En el apartado 5.3 se presentan distintossistemas que pueden ser representados por una ecuacion diferencial de primer orden.

85

86 Introduccion

u(t) y(t)

Figura 5.1: Sistema de primer orden (1)

u

u(t)

t

y

y(t)

ξ

t

dy(t)dt

Figura 5.2: Sistema de primer orden (2)

Sistemas dinamicos lineales de primer orden 87

5.2 Solucion de la ecuacion diferencial de primer orden

Para el estudio de la solucion de la ecuacion diferencial de primer orden, conviene distinguir doscasos:

5.2.1 Senal de entrada nula

En el supuesto de que la senal de entrada u(t) sea nula para todo t, la ecuacion diferencial deprimer orden se convierte en

dydt

=−ay y(0) = ξ (5.2)

lo que constituye la parte homogenea de la ecuacion diferencial de primer orden de (5.1). Lasolucion de esta ecuacion puede obtenerse por integracion directa haciendo,

dyy

=−a dt

cuya integracion conduce a,

ln y(t)− ln y(0) =−at

lo que, teniendo en cuenta que y(0) = ξ, puede escribirse,

yh(t) = ξe−at

El subındice h se refiere a que esta solucion lo es de la parte homogenea de (5.1).

Las figuras 5.3 y 5.4 muestran la forma general de la evolucion de yh (t) segun que a sea,respectivamente, negativa o positiva. Estas figuras muestran como se comporta un sistema enausencia de excitacion. Aparece una clara distincion entre dos formas de comportamiento quepermiten una primera clasificacion de los sistemas en estables o inestables, segun que la evolucionlibre de los mismos tienda a una estado de reposo o no.

5.2.2 Senal de entrada no nula

Se trata de resolver la ecuacion diferencial (5.1) en el caso en que u(t) no sea identicamente nula.Para simplificar la notacion se escribira v(t) = b0 u(t), con lo que la ecuacion (5.1) se convierte en

88 Solucion de la ecuacion diferencial de primer orden

t

y(t)

ξ

Figura 5.3: Primer orden divergente

t

y(t)

ξ

Figura 5.4: Primer orden convergente


dydt

+ay = v (5.3)

Se trata de determinar que funcion w(t) debe sumarse a la solucion homogenea yh (t) paraobtener la solucion de la ecuacion (5.3). Es decir, se supone que y(t) se descompone en,

y(t) = yh (t)+w(t) (5.4)

lo que llevado a la ecuacion (5.3) resulta,

d(yh +w)

dt+a(yh +w) = v yh (0)+w(0) = ξ

es decir,dyh

dt+ayh +

dwdt

+aw = v w(0) = ξ− yh (0)

que, teniendo en cuenta la expresion (5.2), se puede escribir,

dwdt

+a w = v w(0) = 0 (5.5)

Por lo tanto la ecuacion diferencial que satisface w(t) es exactamente la (5.1), pero con unanotable diferencia, y es que las condiciones iniciales para w(t) son 0. Es decir, la senal w(t)constituye la respuesta del sistema ante la senal de entrada u(t) a partir del reposo.

La discusion anterior permite interpretar la expresion (5.4) diciendo que la respuesta y(t) deun sistema dinamico lineal a una senal de entrada u(t) a partir de un valor inicial y(0) puedeconsiderarse como la suma de la respuesta del sistema, a partir del valor inicial y(0), ante unasenal de entrada nula mas la respuesta del sistema a la senal de entrada u(t) a partir del reposo. Esfacil ver que w(t) viene dada por,

w(t) = e−at∫ t

oeaζ v(ζ)dζ (5.6)

En efecto, en primer lugar es inmediato ver que w(0) = 0. Ademas sustituyendo la expresion(5.6) en la (5.5) se tiene que,

dwdt

=−a e−at∫ t

oeaζ v(ζ)dζ+ e−at d

dt

∫ t

oeaζ v(ζ)dζ =−a w+ v


Combinando los anteriores resultados se tiene que la respuesta de un sistema regido por unaecuacion diferencial lineal de la forma (5.1) ante una senal de entrada u(t) viene dada por,

y(t) = e−at ξ+ e−at∫ t

oeaζ b u(ζ)dζ (5.7)

A este mismo resultado se puede llegar empleando las tecnicas basadas en la transformada deLaplace, con las cuales se puede demostrar directamente de una forma muy sencilla la expresion(5.6). Ademas, en las aplicaciones practicas, es de esta ultima forma como se procede. Sinembargo para un planteamiento teorico mas general, conviene desarrollar el estudio de los sistemaslineales como se ha hecho anteriormente.

5.2.3 Respuestas a senales de entrada especiales

Se discuten a continuacion las respuestas de un sistema diferencial lineal de primer orden a senalesde entrada que presentan especial interes en las aplicaciones como son las senales en escalon, enrampa y sinusoidal.

Senal de entrada en escalon

Se dice que un sistema se somete a una senal de entrada en escalon en el instante inicial t = 0, sien dicho instante se somete el sistema a una variacion brusca de la senal de entrada permaneciendoesta en un valor u(t) = constante. En la figura 5.5 se representa una senal de entrada de esta forma.Si se supone y(0) = ξ, u = 1, y teniendo en cuenta la expresion (5.7), se tendra,

y(t) = e−at[

ξ+ba

(eat −1)

]

= e−at ξ+ba

(1− e−at) (5.8)

u

t

Figura 5.5: Entrada en escalon

En la figura 5.6 se representa la respuesta de un sistema lineal de primer orden a una entradaen escalon.

Para estudiar la respuesta en el tiempo de un sistema lineal de primer orden a una entrada en


ξ

y

t

Figura 5.6: Respuesta al escalon

escalon, es interesante escribir la ecuacion diferencial de primer orden de la forma siguiente:

τdydt

+ y = Ku (5.9)

en donde τ = 1/a y K = b/a. Si se supone ademas, para simplificar, que ξ = 0 se tendra que laexpresion (5.8) se puede escribir,

y(t) = K(1− e−tτ ) (5.10)

La constante K recibe la denominacion de ganancia estatica del sistema, puesto que representala relacion entre la senal de salida (y(t)) y la senal de entrada (u(t)) para t → ∞. La constante τque tiene una dimension de tiempo, se llama constante de tiempo del sistema.

El resultado (5.10) puede obtenerse de una forma mas sencilla empleando la transformadade Laplace. En efecto, la ecuacion diferencial de un sistema de primer orden viene dada por laexpresion (5.1), y puesto que la transformada de Laplace de una senal escalon es:

U(s) =1s

se tiene que la de la senal de salida sera,

Y (s) =K

s(1+ τs)=

As

+B

1+ τs

Las constantes A y B resultan ser:


A =K

(1+ τs)

∣

∣

∣

∣

s=0= K y B =

Ks

∣

∣

∣

∣

s=− 1τ

=−Kτ

con lo que se tiene Y (s), cuya antitransformada de Laplace resulta ser,

y(t) = L−1[Y (s)] = K(1− e−t/τ)

es decir la expresion (5.1)

En la figura 5.7 se representa la respuesta a una entrada en escalon de un sistema de primerorden de ganancia K y constante de tiempo τ.

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0t/τ

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y(t)

/K

0.632

Figura 5.7: Respuesta a un escalon unitario de un sistema de primer orden de ganancia K y deconstante de tiempo τ.

La constante de tiempo τ caracteriza la velocidad de respuesta del sistema, es decir, la duraciondel regimen transitorio. Ello se pone de evidencia por las dos consideraciones siguientes.

1. Existe una relacion entre la constante de tiempo y la tangente y(t) en el origen. En efectode la expresion (5.10) se tiene,

dydt

=Kτ

e−tτ (5.11)

haciendo t = 0 se tiene,

dydt

(0) =Kτ

(5.12)


lo cual puede interpretarse tal como se hace en la figura 5.8. Recuerdese que se ha hechou = 1.

τ

αK

tgα = Kτ

Figura 5.8: Relacion constante amplificacion y tang.

2. haciendo t = τ se tiene que la constante de tiempo es el tiempo al cabo del cual la senal derespuesta alcanza la fraccion

1− 1e≈ 0.632 ≈ 2

3

del valor final (figura 5.9)

K

0.64K

τ

Figura 5.9: Relacion constante de tiempo y amplificacion

Observando la figura 5.7 se tiene que la respuesta de un sistema de primer orden en una entradaen escalon alcanza su valor final con un error menor del 5 % para un tiempo ≈ 3τ.

En la figura 5.10 se representan las senales de respuesta a una entrada en escalon para distintossistemas lineales con diferentes constantes de tiempo.


τ3>τ2

τ3

τ2

Figura 5.10: Diferentes constantes de tiempo

En la practica se presenta el problema de determinar el modelo matematico de un sistema apartir del conocimiento de la respuesta del sistema a una entrada en escalon. En el caso de unsistema de primer orden, la determinacion de los parametros K y τ que aparecen en la ecuaciondiferencial (5.9), resulta extremadamente sencilla a partir de la respuesta del sistema a una entradaen escalon. En efecto, de acuerdo con la figura 5.7 el valor de la constante de tiempo τ se determinamidiendo la abscisa correspondiente a la ordenada que sea el 63,2% del valor alcanzado por elsistema en regimen estacionario. La constante estatica K es sencillamente el cociente entre elvalor alcanzado por la respuesta en regimen estacionario y la amplitud de la entrada en escalon.

Senal de entrada en rampa

Supongase una senal de entrada en rampa, es decir, una senal de entrada cuyos valores crecenlineal con el tiempo, u = ωt, tal como la que se representa en la figura 5.11. Se supondra ademas,para simplificar, que ξ = 0. De acuerdo con la expresion (5.7) se tiene que,

y(t) = wbe−at∫ t

oeaτ τdτ =

wba

(

t− 1a

+e−at

a

)

(5.13)

esta ultima expresion introduciendo la ganancia K y la constante de tiempo τ, puede escribirse,

y(t) = wK(t − τ + τe−tτ ) (5.14)

Este mismo resultado se puede obtener con ayuda de la transformada de Laplace. En efecto,para el caso de una entrada en rampa, se tiene

U(s) =ωs2

con lo que ,

Y (s) =ωK

s2(1+ τs)=

A1

s2 +A2

s+

B1+ τs


u

u = ωt

t

Figura 5.11: Entrada en rampa

siendo,

A1 =10!

[

ωK(1+2s)

]

s=0= wK

A2 =11!

[

dds

ωK(1+ τs)

]

s=0=−τωK

B =

[

ωKs2

]

s=− 1τ

= ωKτ2

de donde se desprende que y(t) tendra la forma (5.14).

En la expresion (5.14) se observa que el tercer termino del parentesis del segundo miembrotiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito. Este termino constituye el regimen transitorio de larespuesta total. Una vez desaparecido el regimen transitorio, la respuesta en regimen permanentesera,

yrp(t) = ωK(t− τ) (5.15)

Para interpretar esta respuesta cabe distinguir dos casos:

1. K = 1. En tal caso se tiene que la respuesta viene dada por

yrp = ω(t− τ) (5.16)

es decir, en el instante t la salida es igual a la entrada en el instante t − τ. La salida seencuentra retardada τ segundos con respecto a la entrada. En la figura 5.12 se representa laexpresion (5.14) para K = 1. Se observa en esta figura como la senal de salida se encuentraretardada con respecto a la senal de entrada. El error en regimen permanente es igual a ωτ.Este error recibe la denominacion de error de arrastre.


ωτ

u(t)y(t)

u(t1− τ) y(t1)τ

Figura 5.12: Respuesta a rampa.

Respecto al regimen transitorio se tiene que para t = τ

y(τ) =Kωτ

e≈ Kωτ

3(5.17)

es decir, que el sistema ha respondido solo en un tercio del valor alcanzado por la senal deentrada. En la figura 5.12 se interpreta este resultado.

La consideracion del error de arrastre en la respuesta de un sistema de primer orden, essumamente importante en ciertos casos como por ejemplo cuando el sistema en cuestiones un aparato de medida. Supongase un globo en el que se encuentra un termometro demercurio. Se supone que la temperatura varıa linealmente con la altura; se tiene entoncesque el termometro se encuentra sometido a una senal de entrada en rampa. Las lecturas deltermometro, segun las consideraciones anteriores, presentan un error de arrastre.

2. K 6= 1. La salida y entrada divergen, por lo que el error de arrastre se hace infinito.

5.2.4 Respuesta armonica

Si la senal de entrada es sinusoidal, es decir, u = senωt y suponiendo ξ = 0, se tiene que larespuesta del sistema, de acuerdo con la expresion (5.7), viene dada por

y(t) = e−at[

ξ+wb

a2 +w2

]

− ba2 +w2 (a senwt−w coswt) (5.18)

En la figura 5.13 se muestra una forma tıpica de esta respuesta.

Para t→∞, es decir un tiempo suficientemente grande, el primer termino del segundo miembrose anula, por lo que la respuesta en regimen permanente resulta ser


Figura 5.13: Respuesta armonica.

yrp(t) =b

a2 +w2 (a senwt−w coswt) (5.19)

Esta expresion se puede escribir de una forma mas sencilla haciendo,

cosϕ =a√

a2 +w2senϕ =− w√

a2 +w2(5.20)

con lo que 5.19 puede escribirse,

y(t) = Y sen(wt +ϕ) (5.21)

siendo,

tagϕ = −w/a =−wτ (5.22)

Y =b√

a2 +w2=

K√1+ τ2 w2

(5.23)

La expresion (5.21) puede interpretarse diciendo que la respuesta de un sistema lineal a unasenal sinusoidal, es otra senal sinusoidal de la misma frecuencia cuya amplitud ha variado en unarelacion Y , y que ha adquirido un desfase ϕ. Tanto la relacion de amplitudes Y como el desfase ϕ,son funcion de la frecuencia angular w de la entrada. En la figura 5.14 se representa Y (ω) y ϕ(ω).

Otra forma de representar graficamente la respuesta en frecuencia de un sistema lineal es pormedio de un diagrama polar en el que se representa vectores cuyos modulos y argumentos sonrespectivamente Y (ω) y ϕ(ω). Haciendo variar ω se obtiene un lugar geometrico, en el que ω es elparametro. En la figura 5.15 se representa la respuesta en frecuencia correspondiente a un sistemalineal de primer orden. El lugar esta graduado en frecuencias reducidas (normalizadas) u = ωϕ.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0ω

-130

-110

-90

-70

-50

-30

-10

Fas

e(gr

ados

)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0ω

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Rel

acio

n de

Am

plitu

des

Figura 5.14: Amplitud y fase.

ω = ∞ϕ

Y

ω = 0

Figura 5.15: Respuesta en frecuencia.


Existen otras formas de representar graficamente la respuesta en frecuencia de un sistemalineal que seran estudiadas mas adelante.

Filtrado con un sistema lineal.

Si la senal de entrada a un sistema lineal es una senal arbitraria, la reproduccion de la misma ala salida sera muy fiel si la constante de tiempo del sistema es suficientemente pequena. Es decir,si la constante de tiempo del sistema es menor que las mas rapidas variaciones que se produzcanen esta senal de entrada. Lo que a su vez se puede interpretar en el dominio de la frecuenciadiciendo que la constante de tiempo sea lo suficientemente pequena como para que el ancho debanda sea lo suficientemente grande para permitir el paso de todos los armonicos de la senal deentrada, (recordar la figura 5.13). La figura 5.16 ilustra este hecho.

a)

b)

τ pequeño

τ grande

Figura 5.16: Filtrados.

Por el contrario si la constante de tiempo es grande, la respuesta del sistema es lenta, por loque el sistema no puede seguir las variaciones rapidas de la senal de entrada resultando de ello queestas desaparecen de la senal de salida. El sistema actua como limando las asperezas de la senalde entrada. La figura 5.16 ilustra este hecho que recibe la denominacion de filtrado de la senal deentrada. Se puede dar del mismo una interpretacion en el dominio de la frecuencia similar a ladada mas arriba para el caso de una constante de tiempo pequena.

De hecho, el concepto de filtrado de una senal es enormemente importante y lo unico que seha hecho hasta aquı ha sido introducirlo, ilustrando una forma de comportamiento de los sistemasdinamicos lineales de primer orden.

5.3 Ejemplos de sistemas de primer orden

• Circuito electrico LR.

El circuito representado en la figura 5.17 esta regido por una ecuacion diferencial de laforma

LR

dIdt

+ I =ER

100 Ejemplos de sistemas de primer orden

considerando la senal de entrada, la tension aplicada al sistema y la senal de salida a laintensidad que recorre el circuito, se tiene un sistema de primer orden. La ganancia estaticaes 1/R y la constante de tiempo es L/R.

L

R

E

Figura 5.17: Circuito RL.

• Circuito electrico RC.

El circuito de la figura 5.18 es un circuito clasico de carga de un condensador a traves deuna resistencia, siendo la ecuacion diferencial que rige el proceso la siguiente:

RCdqdt

+q = CE

La ganancia estatica es C, puesto que Q/E es, en regimen permanente, la capacidad delcondensador. La constante de tiempo es RC.

E

R

C

qE(t)

R,Cq(t)

Figura 5.18: Circuito RC.

• Termometro de mercurio.

Un termometro puede considerarse como un sistema en el que la senal de entrada u es latemperatura del medio en el que se encuentra inmerso y la senal de salida y, es la temperaturaindicada por el mismo. Si se denota por Q la cantidad de calor intercambiada entre el medioy el termometro, y por C la capacidad calorıfica de la ampolla, se tendra que

dydt

= CdQdt

Por otra parte el flujo de calorıas que entra en el mercurio se aporta fundamentalmentepor conduccion. De acuerdo con la ley de Newton es aproximadamente proporcional a ladiferencia de temperatura entre el medio y el mercurio.


dQdt

= k(u− y)

Se concluye de las dos ecuaciones anteriores que un termometro de mercurio puede con-siderarse como un sistema lineal de primer orden. Observese que, como corresponde a unsistema de medicion, la ganancia estatica es k = 1.

Temperatura indicada (y)

Temperatura (u)

Figura 5.19: Termometro de mercurio.

• Reaccion quımica.

Supongase la descomposicion espontanea de una molecula A en dos moleculas B y C:

A → B+C

la cual se efectua de manera que la velocidad de reaccion es proporcional al numero demoleculas A presentes.

Si se denota por y la concentracion de la sustancia A, se tiene

−dydt

= ky

es decir,

1k

dydt

+ y = 0

Se trata de un sistema lineal de primer orden autonomo de constante de tiempo 1/k. Elparametro k se denomina por los quımicos constante de velocidad de la reaccion, y en lapractica presenta una gran dependencia de la temperatura.

• Dinamometro.

Se trata de medir la fuerza u por el desplazamiento y que imprime a un dinamometro decoeficiente de elasticidad k y de coeficiente de viscosidad α, figura 5.20.

Segun las leyes de la Mecanica se tiene

102 Ejemplos de sistemas de primer orden

u

α

k

Figura 5.20: Dinamometro

u = ky+αdydt

Por lo tanto un dinamometro es un sistema de medida lineal de primer orden.

• Mezcla de dos fluidos.

Supongase un recipiente (figura 5.21) en el que se contiene una masa m del lıquido quecontiene una fraccion Cr de un componente A, y supongase que el recipiente se alimentapor un caudal Q de un lıquido en el que la fraccion de componente A es Ce. Se supone quela mezcla es instantanea, es decir, que la composicion es la misma en todo instante en todoel recipiente. Se supone ademas que el flujo de entrada es igual al de salida, con lo que lamasa contenida en el recipiente es constante. Es facil ver que en estas condiciones se tiene,

Ce Q dt = Cr Q dt +M dCr

es decir,MQ

dCr

dt+Cr = Ce

Se trata por lo tanto de un sistema de primer orden.

• Motor electrico de corriente continua.

Supongase el motor electrico de corriente continua cuyo diagrama se ha representado en lafigura 5.22. El par motor supuesto el flujo φ constante, viene dado por

P = kφ I

Por otra parte la intensidad I de inducido y la tension que alimenta al inducido u (senal deentrada), estan relacionadas por la siguiente ecuacion.

u = RI +LdIdt

+Kω


Ce

M

Cr

Cr

Figura 5.21: Mezcla de Fluidos.

De acuerdo con las leyes de la Mecanica el par motor P y la velocidad de salida del motorω, estan ligados por la ecuacion,

P = Jdωdt

+Bω

R L

Φ

Jω

B

Figura 5.22: Motor electrico.

De las tres ecuaciones anteriores se obtiene,

Jdωdt

+(B+ kKφR

)ω = kφR

u

es decir, considerando como senal de entrada la tension aplicada al inducido y como senalde salida la velocidad de giro del motor, se tiene un sistema de primer orden.

104 El sistema de primer orden como integrador

5.4 El sistema de primer orden como integrador

En los apartados anteriores se ha considerado un sistema lineal de primer orden como el regidopor una ecuacion diferencial de la forma 5.1. Esta misma ecuacion puede escribirse tambien de laforma siguiente:

y(t) = y(0)+∫ t

0(bu−ay)dt (5.24)

La consideracion de esta segunda forma de escribir la ecuacion que rige el comportamiento deun sistema lineal de primer orden es sumamente interesante, por cuanto que su sentido fısico esmas claro. La accion del sistema puede descomponerse en dos partes:

• Una parte estatica (sin memoria) en la que se determina

f = bu−ay (5.25)

• Los valores de f determinados para cada instante de tiempo t se van acumulando (inte-grando) dando con ello lugar a la variable de salida y.

En la figura 5.23 se tiene representado un esquema en el que se distinguen la parte estaticadel integrador. La parte estatica puede ser no lineal, sin que por ello se alteren las anterioresconsideraciones.

Esta manera de interpretar el funcionamiento de un sistema lineal de primer orden, es masintuitiva desde un punto de vista fısico por cuanto que en la naturaleza es mas facil interpre-tar los procesos en terminos de integraciones que de diferenciaciones. De hecho la integracion(acumulacion) es un proceso normal del que es muy sencillo encontrar ejemplos, mientras que ladiferenciacion es enormemente mas artificiosa. No debe olvidarse sin embargo, que la resolucionde una ecuacion diferencial es mas simple que la de una ecuacion integral, y es por ello que encualquier caso el planteo por ecuaciones diferenciales es mas frecuente que el que aquı se presenta.

-

+uK

y1τS

Figura 5.23: Integrador.

Tema 6

Sistemas dinamicos lineales de segundoorden y superior

6.1 Definicion

Se define un sistema lineal de segundo orden como el regido por una ecuacion diferencial de laforma,

d2 ydt2 +a1

dydt

+a2 y = b0dudt

+b1 u (6.1)

En lo que sigue se considerara unicamente el caso en que b0 = 0 y b1 = β, dejandose para masadelante el estudio del caso general.

El problema del estudio de un sistema de segundo orden queda reducido a la resolucion de laanterior ecuacion diferencial cuando la senal de entrada u(t) se particulariza en una cierta funciondel tiempo. Para que la solucion este completamente determinada se requiere el conocimientode los valores iniciales de y(t) y de dy/dt. En esta seccion se puede hacer un desarrollo com-pletamente paralelo al realizado en la seccion anterior para los sistemas de primer orden. Lacomplejidad de tratamiento algebraico que esto requiere es grande, y es por ello por lo que se va aestudiar sencillamente los casos simplificados que ofrecen mayor interes practico.

En este sentido, y como primera hipotesis simplificadora, se va a suponer siempre que setrabaja con unas condiciones iniciales nulas.

La ecuacion diferencial de un sistema de segundo orden que se va a considerar aquı es,

d2 ydt2 +a1

dydt

+a2 y = β u (6.2)

La ecuacion caracterıstica de un sistema de segundo orden se define como:

105

106 Definicion

r2 +a1 r +a2 = 0 (6.3)

la cual se puede escribir tambien, en el supuesto de que sus raices sean−p1 y−p2, de la formasiguiente,

(r + p1) (r + p2) = 0 (6.4)

Otra forma frecuente de escribir la ecuacion diferencial de un sistema de segundo orden es lasiguiente,

d2 ydt2 +2 δ ωn

dydt

+ω2n y = ω2

n k u(t) (6.5)

Esta forma es especialmente util cuando se trata con sistemas cuyas raices de la ecuacion carac-terıstica son complejas. Los parametros que intervienen en esta forma reciben una denominacionespecial.

• El parametro k recibe la denominacion de ganancia estatica, y es una constante que carecede dimensiones.

• El parametro ωn recibe el nombre de frecuencia propia no amortiguada y se expresa enradianes por segundo.

• El parametro δ recibe el nombre de factor de amortiguamiento, y es un numero sin dimen-siones.

Las relaciones que ligan a los parametros de la forma (6.2) con los de la forma (6.5) son lassiguientes.

ωn =

√

1a2

k =β

ω2n

δ =a1

2ωn(6.6)

Los parametros k, ωn y δ son, normalmente, positivos.

Una ecuacion diferencial de orden n puede descomponerse en n ecuaciones diferenciales deprimer orden. Este es un resultado conocido que por otra parte sera estudiado con detalle en uncapıtulo posterior. Aquı se va a estudiar el caso n = 2; introduciendo las variables adicionalesx1 y x2, y siendo p1 y p2 las raices de la ecuacion caracterıstica, es facil ver que una ecuaciondiferencial de segundo orden del tipo 6.2 se puede escribir,

x1 = −p1 x1 +u

x2 = −p2 x2 +u (6.7)

y = c1 x1 + c2 x2 (6.8)

Sistemas dinamicos lineales de segundo orden y superior 107

siendo

c1 =β

p2 + p1y c2 =

βp1− p2

(6.9)

Para comprobar este resultado basta proceder por sustitucion, lo que se invita a hacer al lector.Mas adelante se estudiara el procedimiento general que permite este tipo de descomposiciones.

Empleando el calculo matricial, las expresiones 6.7, 6.8 y 6.9 pueden escribirse de la formasiguiente,

x = Ax+Bu (6.10)

y = Cx

en donde

A =

[

−p1 00 −p2

]

B =

[

11

]

C = [c1 c2] (6.11)

La ecuacion diferencial de la expresion 6.10 es de la misma forma de la 5.1, con la diferenciade que mientras allı se trataba con escalares aquı se trata con vectores y matrices. Por lo tanto, eldesarrollo realizado al estudiar los sistemas de primer orden, puede generalizarse al de los sistemasde segundo orden, sin mas observacion que tener presente que la diferencia basica que existe entreel algebra de los numeros reales y la de las matrices, es que esta ultima no es conmutativa.

La respuesta de un sistema de segundo orden ante una senal de entrada u(t), a partir del estadox(t), vendra dada por,

y(t) = CeAt[

ξ+∫ t

0e−Aζ B u(ζ)dζ

]

(6.12)

En esta expresion aparece la exponencial eAt , cuyo significado sera discutido mas adelante.

A partir de la expresion 6.12 se puede estudiar la respuesta de un sistema de segundo ordenante distintos tipos de senales de entrada, tal como se hizo anteriormente para los sistemas deprimer orden.

En lo que sigue se estudiara exclusivamente la respuesta de un sistema de segundo orden a unaentrada en escalon, por ser la que mas interes tiene desde un punto de vista practico. La respuestapara otro tipo de entradas, como la entrada en rampa o la entrada sinusoidal, pueden ser obtenidasde forma analoga a como se obtiene la respuesta a una entrada en escalon.

108 Definicion

6.1.1 Respuesta de un sistema de segundo orden a una entrada en escalon

Se supondra que las condiciones iniciales son nulas, ξ = 0. A partir de la expresion 6.12 se tendra,

y(t) = C eAt∫ t

0e−Aζ B u(ζ)dζ (6.13)

La entrada en escalon es constante desde t = 0 hasta infinito. Por lo tanto se tendra que,

u(ζ) = u = const (6.14)

A partir del concepto de funcion de una matriz diagonal se puede escribir,

e−At =

[

ep1t 00 ep2t

]

(6.15)

con lo que se tiene,

∫ t

0e−Aζ B u(ζ)dζ =

[

− up1

(1− ep1t)

− up2

(1− ep2t)

]

(6.16)

Recordando la expresion 6.8 se tiene,

y(t) = C1up1

(1− e−p1t)+C2up2

(1− e−p2t) (6.17)

y =

[

βup1 (p2− p1)

(1− e−p1t)+βu

(p1− p2)p2(1− e−p2t)

]

Haciendo, sin perdida de generalidad, u = 1 y tras una serie de manipulaciones algebricas, sepuede escribir,

y(t) =β

p1 p2− β

(p2− p1)p1e−p1 t − β

p2(p1− p2)e−p2 t (6.18)

Si se escribe la ecuacion diferencial de segundo orden en la forma dada por la expresion 6.5se tendra que las raices de la ecuacion caracterıstica p1 y p2 vendran dadas por:

p1 =−δωn−ωn

√

δ2−1

p2 =−δωn +ωn

√

δ2−1 (6.19)


b)

a)

c)

3.3

1.38

1

1

1

u(t)

u(t)

u(t)

ωnt

ωnt

ωnt

y(t)

y(t)

y(t)

Figura 6.1: Respuesta sistema de segundo orden

110 Definicion

Observese que,

p1 p2 = ω2n β = ω2

n p2− p1 = 2ωn

√

δ2−1 (6.20)

Este mismo resultado se puede alcanzar con mayor sencillez operativa empleando la transfor-mada de Laplace. En efecto, teniendo en cuenta que la transformada de Laplace de una entrada enescalon es U(s) = 1/s, se tiene que, de acuerdo con la expresion 5.2, la transformada de Laplacede la salida y(t) resulta

Y (s) =1s

ω2n

s2 +2δωns+ω2n

cuya antitransformada de Laplace resulta ser,

y(t) = 1 − e−δωnt

√1−δ2

sen (ω0t +ϕ)

siendo,

ω0 = ωn

√

1−δ2 ϕ = t−1g

√1−δ2

δ

factor de amortiguamiento δ

En el estudio de la respuesta a una senal de entrada en escalon de un sistema de segundo ordenpueden distinguirse tres casos segun que el factor de amortiguamiento δ sea mayor, menor o igualque uno.

1. Factor de amortiguamiento mayor que la unidad

A partir de la expresion 6.18 teniendo en cuenta las expresiones 6.20 se tiene que,

y(t) = 1 +[

2(δ2−δ√

δ2−1−1)]−1

e−(δ−√

δ2−1)ωn t

+[

2(δ2 +δ√

δ2−1−1)]−1

e−(δ+√

δ2−1)ωn t (6.21)

Esta expresion suministra la forma analıtica de la respuesta de un sistema de segundo orden,con factor de amortiguamiento mayor que la unidad, a una entrada en escalon. En la figura6.1 se representa la forma general de esta respuesta; desde un punto de vista cualitativo lacaracterıstica esencial de esta respuesta es su caracter de lentitud en alcanzar el valor y = 1.

2. Factor de amortiguamiento menor que la unidad

Si el factor de amortiguamiento δ es menor que la unidad, es decir, δ < 1, entonces sucedeque las raices p1 y p2 son complejas. En la figura 6.2 se representa la situacion de las raicesp1 y p2 en el plano complejo.


− jωn√

1−δ2

jωn√

1−δ2

Im

Re

ωn

−δωn

α

Figura 6.2: raices complejas

La consideracion del angulo α, tal como se ha indicado en la figura 6.2 permite escribir,

cosα =−δ senα =√

1−δ2 (6.22)

Escribiendo las expresiones 6.19 y 6.20, empleando en las mismas el angulo α, se tiene:

p1 = ωn e− jα p2 p1 = 2ωn jsenα (6.23)

La expresion 6.18 se puede escribir, teniendo en cuenta la expresion 6.23 de la forma si-guiente,

y(t) = 1 +e− jα

2 jsenαe−(δωn− jωn

√1−δ2)t

− e jα

2 jsenαe−(δωn− jωn

√1−δ2) t (6.24)

Esta expresion puede escribirse en forma mas compacta como sigue:

y(t) = 1+e−δωnt

√1−δ2

sen(ωn

√

1−δ2 t−α) (6.25)

Esta expresion suministra la forma analıtica en la respuesta de un sistema de segundo orden,con factor de amortiguamiento menor que la unidad, a una respuesta en escalon. La formageneral de la respuesta se tiene en la figura 6.1, en la que se observa que el comportamientode un sistema de segundo orden con factor de amortiguamiento menor que la unidad estacaracterizado por la presencia de oscilaciones. Esta forma de respuesta, que se caracterizapor una sinusoide exponencialmente amortiguada, se dice que es subamortiguada.

112 Definicion

El valor del primer pico de sobreoscilacion, y el instante de tiempo en que se produce, sondos tipos de caracterısticas muy interesantes para definir el comportamiento de un sistemade segundo orden. De la observacion de la expresion 6.25 se desprende que la frecuencia deoscilacion del sistema viene dada por,

ωp = ωn

√

1−δ2 (6.26)

La frecuencia ωp se denomina frecuencia propia del sistema. El periodo de oscilacion delsistema viene dado por

Tp =2π

ωn√

1−δ2(6.27)

Instante de tiempo al cual se produce el primer pico de oscilacion del sistema, puede obten-erse, de una forma analıtica, derivando y(t) con relacion al tiempo, e igualando esta derivadaa cero. En efecto, se tiene:

dy(t)dt

=−δωn e−δωnt

√1−δ2

sen(ωn

√

1−δ2 t−α)+ωn e−δωnt cos(ωn

√

1−δ2 t−α) = 0 (6.28)

Esta derivada se anulara cuando,

ωn

√

1−δ2 t = 0,π,2π, ..

por lo tanto, el primer pico de oscilacion se producira cuando ,

tp =π

ωn√

1−δ2(6.29)

El tiempo tp recibe la denominacion de tiempo de pico. Llevando el valor de tp a la expresion6.25 se tiene,

ymax(t) = 1+e−δπ/

√1−δ2

√1−δ2

sen(π−α) (6.30)

la cual, teniendo en cuenta de que,

sen(π−α) = senα y senα =√

1−δ2 (6.31)

puede escribirse,

ymax(t) = 1+ e

(

− δπ√1−δ2

)

(6.32)

Normalmente se expresa la amplitud de la primera oscilacion en % del valor del escalon deentrada. Genericamente se suele denominar sobreoscilacion a este tanto por ciento. Por lotanto se puede escribir:

SO = 100 e

(

− δπ√1−δ2

)

(6.33)


En la figura 6.3 se representa la sobreoscilacion, en funcion del factor de amortiguamiento,para sistemas de segundo orden.

Es interesante considerar el problema de determinar los parametros a1,a2 y β de la ecuacion6.2 a partir del conocimiento de la respuesta del sistema a una entrada en escalon especial-mente en el caso de un sistema subamortiguado.

3. Factor de amortiguamiento igual a la unidad

En el caso de que el factor de amortiguamiento sea igual a la unidad, es decir δ = 1, se tendraque las dos raices de la ecuacion caracterıstica seran iguales entre sı, es decir, p1 = p2 esuna raız doble de la ecuacion caracterıstica. En tal caso, las constantes c1 y c2 que aparecenen la expresion 6.8 no estan definidas, como se concluye observando las expresiones 6.9. Esdecir, que la anterior discusion solo era valida cuando las dos raices p1 y p2 eran distintas.

Para poder aplicar el anterior razonamiento al caso de que las dos raices sean iguales, seprocede a suponer, en principio, que estas son diferentes entre sı en una pequena cantidad ε,que posteriormente se hace tender a cero. Supongase, por lo tanto que las dos raices son:

p1 = p

p2 = p+ ε

Llevando estos dos valores a los terminos segundo y tercero, del segundo miembro, de laexpresion 6.18 se tiene,

βεp

ept − bε(p+ ε)

e(p+ε)t = βept[

1εp− eεt

(p+ ε)

]

(6.34)

Interesa determinar el lımite de esta expresion cuando ε tiende a cero. Para ello se procede,por ejemplo, a desarrollar en serie eεt y tras una serie de sencillas manipulaciones se obtiene,

limε→0

[

1εp− eεt

ε(p+ ε)

]

=1− tp

p2 (6.35)

Con este resultado es inmediato obtener que la respuesta a una entrada en escalon del sistemacon factor de amortiguamiento igual a la unidad, viene dada por,

y(t) = 1−ωn te−ωnt − e−ωnt (6.36)

Esta respuesta se ha representado en la figura 6.1. Esta respuesta se dice que esta crıticamenteamortiguada.

En la figura 6.4 se representan las respuestas a una entrada en escalon para distintos valoresdel factor amortiguamiento. Se observa como factores de amortiguamiento inferiores a la unidad,se tiene un comportamiento oscilatorio, el cual es mas oscilante cuanto menor es el valor de δ.Por otra parte, para valores del amortiguamiento mayor que la unidad, se tienen respuestas sinsobreoscilacion, pero que son considerablemente mas lentas. Esto ultimo hace que las aplicacionespracticas se tienda siempre a tener respuestas amortiguadas, puesto que son mas rapidas, aunquesiempre manteniendo oscilaciones dentro de unos lımites razonables.

114 Definicion

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0δ

0

20

40

60

80

100

Sob

reos

cila

cion

Figura 6.3: Sobreoscilacion en funcion del factor de amortiguamiento

0.0 1.2 2.4 3.6 4.8 6.0 7.2 8.4 9.6 10.8 12.0ωnt

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

y(t)

δ=0.1

0.5

0.7

1.01.2

1.52.0

5.0

Figura 6.4: Respuesta ante escalon en funcion del factor de amortiguamiento


6.1.2 Respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden

Si se aplica una senal sinusoidal a un sistema de segundo orden, es decir, si u(t) = Vo senωt, ladeterminacion de la senal de salida y(t) se puede hacer procediendo en forma similar a como sehizo en el apartado anterior. Aquı sin embargo se procedera exclusivamente a estudiar el regimentransitorio que resulta de la aplicacion de la senal sinusoidal. Es decir, se va a determinar exclusi-vamente la solucion particular de la completa cuando en la expresion 6.2 se hace u = Vosenωt. Setiene que y(t) sera de la forma,

y(t) = Yo sen(ωt +ϕ) (6.37)

siendo

Yo =Vo

√

(a2−ω)2 +a21 ω2

(6.38)

ϕ = tg−1 [

−a1/(a2−ω2)]

(6.39)

Este resultado se puede comprobar por sustitucion.

Se ha tomado como senal de entrada una senal sinusoidal de amplitud unitaria para que laamplitud de la senal de salida suministrase directamente la relacion de amplitudes entre las senalesde entrada y salida. En las figuras 6.5 y 6.6 se representan las relaciones de amplitudes y losdesfases correspondientes a distintos valores del factor de amortiguamiento.

Se observa como la forma de la respuesta en frecuencia del sistema de segundo orden dependedel factor de amortiguamiento. Cuanto menor es este, mayor es el pico de resonancia que presentala respuesta en frecuencia. El efecto de resonancia indica que para determinada frecuencia la am-plitud de la senal sinusoidal correspondiente, en el espectro de frecuencias, sufre una amplificacional atravesar el sistema.

El valor maximo de la amplitud de la respuesta en frecuencia, recibe la denominacion de factorde resonancia. Es facil demostrar que el factor de resonancia viene dado por,

Q =1

2δ√

1−δ2(6.40)

La frecuencia a la que se produce este maximo, que recibe la denominacion de frecuencia deresonancia, viene dada por,

ωR = ωn

√

1−2δ2 (6.41)

Se observa que cuando el factor de amortiguamiento es nulo la frecuencia de resonancia coin-cide con la frecuencia propia no amortiguada del sistema. De ahı la denominacion de esta ultima.

116 Definicion

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5PULSACION ω/ωn

0

1

2

3

4

5

RE

LAC

ION

DE

AM

PLI

TU

DE

S

δ=0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.7071.0

2.05.0

Figura 6.5: Amplitudes correspondientes a distintos factores de amortiguamiento.


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0PULSACION ω/ωn

-180

-150

-120

-90

-60

-30

0

DE

SF

AS

E

δ=0.10.20.3

0.4

0.50.7071.0

2.05.0

0.10.2

0.30.4

0.5

0.7071.0

2.0

δ=5.0

Figura 6.6: Desfases correspondientes a distintos factores de amortiguamiento.

118 Definicion

6.1.3 Ecuaciones diferenciales de orden n

Una vez estudiado los sistemas de primero y segundo orden, conviene recordar los resultadoscorrespondientes a sistemas de orden n. Supongase que el modelo matematico del sistema que seesta considerando tiene la forma,

dnydtn +a1

dn−1ydtn−1 + · · ·+an−1

dydt

+an y = bodm udtm + · · ·+bm u (6.42)

en donde, por razones de realizabilidad fısica que se consideraran mas adelante, n > m. Si lascondiciones iniciales son nulas, su transformada de Laplace es

Y (s)(sn + a1 sn−1 + · · ·+an−1 s+an) = U(s) (bo sm + b1 sm−1 + · · ·+bm) (6.43)

por lo tanto, la transformada de Laplace de la salida del sistema y(t), correspondiente a unaentrada u(t), cuya transformada es U(t) = L [u(t)] resulta ser

Y (s) =bo sm +b1 sm−1 + · · ·+bm

sn +a1 sn−1 + · · ·+an−1 s+anU(s) (6.44)

Puesto que U(s) se supone conocido, el problema es el de determinar Y (s), problema que sereduce al calculo de la antitransformada de Y (s). Para las funciones normalmente empleadas enAutomatica U(s) es el cociente de dos polinomios en s, por lo que Y (s) sera a su vez el cocientede dos polinomios, es decir,

Y (s) =Q(s)P(s)

=Q(s)

(s− p1)n1 (s− p2)n2 . . .(s− pq)np (6.45)

El polinomio del denominador U(s) se ha factorizado, siendo pi las raices de la ecuacionP(s) = 0, que recibe la denominacion de polos de Y (s). Para mayor generalidad, se ha supuestoque cada uno de los polos tiene una multiplicidad ni aunque normalmente ni = 1, para todo i.

El cociente de polinomios Y (s) se puede descomponer en fracciones simples, escribiendose,

Y (s) =q

∑i=1

ni

∑k=1

cik

(s− pi)k (6.46)

en donde los coeficientes cik reciben la denominacion de residuos de Y (s) en el polo pi. Losresiduos se calculan con ayuda de la expresion


cik =1

(ni− k)!

(

dni−k

dsni−k

[

(s− pi)ni Y (s)

]

)∣

∣

∣

∣

s=pi

(6.47)

Si todos los polos son simples, es decir, si todos los valores de ni son igual a la unidad, entoncesla expresion 6.46 se escribe

Y (s) =q

∑i=1

ci1

s− pi(6.48)

y los residuos se determinan por la expresion

cik = ci1 = (s− pi)Y (s) |s=pi (6.49)

expresiones que no son sino particularizaciones para ni = 1 de las correspondientes expre-siones 6.46 y 6.47.

En el caso de polos simples, los residuos pueden determinarse de forma grafica sobre el planocomplejo. Para ello, en primer lugar, considerese que Y (s) puede escribirse

Y (s) =k Πm

i=1 (s− zi)

Πni−1 (s− pi)

(6.50)

en donde se ha factorizado tambien el polinomio del numerador. Por zi se denotan las raicesde la ecuacion P(s) = 0 y estas raices se denominan ceros del sistema. Puesto que Y (s) es, engeneral, una funcion compleja, se puede escribir,

Y (s) =| Y | e jφ =| Y | 6 φ (6.51)

en donde | Y (s) | es el modulo (valor absoluto) de Y (s) y φ es el argumento de Y (s), siendo

φ = t−1an

[

Im{Y (s)}Re{Y (s)}

]

La expresion compleja Y (s), de acuerdo con la expresion 5.8, puede escribirse

Y (s) =k ∏m

i=1 | s− zi |∏n

i=1 | s− pi |6 (

m

∑i=1

φiz−n

∑i=1

φip) (6.52)

120 Definicion

es decir, puesto que Y (s), de acuerdo con la expresion 6.52, se determina como el cociente dedos expresiones complejas, cada una de las cuales es a su vez el producto de terminos elementalesde la forma (s− pi) el modulo de Y (s) sera el cociente de los productos de los respectivos modulos,mientras que el argumento sera la diferencia de las sumas de los correspondientes argumentos.

Interesa por tanto, representar en el plano complejo, los componentes elementales (s− zi)y (s− pi) con el fin de determinar sus modulos y argumentos para poder realizar con ellos lasoperaciones de multiplicacion y adicion a las que se acaba de aludir.

En la figura 6.1.3 se muestra la representacion grafica del vector asociado a (s−zi) y a (s− pi).En el caso de (si− zi) se tiene un vector que va desde el cero, zi al punto s, y analogamente parapi.

s

s−Pi

Pi

Zi

s−Zi

s

Im

Re

Figura 6.7: Vectores asociados

El residuo ci1 = ci, correspondiente al polo pi, resulta ser de acuerdo con la expresion 6.49,

ci = (s − pi)Y (s) |s=pi =k(s− pi)Πm

i=1 (s− zi)

Πni=1 (s− pi)

∣

∣

∣

∣

s=pi

cuya determinacion grafica puede hacerse siguiendo los siguientes pasos:

1. dibujar en el plano complejo los ceros, ci y los polos pi de Y (s).

2. dibujar los vectores desde todos los polos y ceros al polo pi en el que se esta determinandoel residuo.

3. determinar el modulo del residuo | ci | multiplicando los modulos de todos los vectoresdesde los ceros y dividiendolos por el producto de los modulos de todos los vectores desdelos polos.


4. determinar el argumento del residuo 6 ci sumando los argumentos de los vectores desde losceros y restandole la suma de los argumentos de los vectores desde los polos.

122 Definicion

Tema 7

Analisis de errores en regimenpermanente

7.1 Relacion entre las constantes de error y los polos y ceros.

Sea G(s) la funcion de transferencia en bucle abierto de un sistema con realimentacion unitaria.La funcion de transferencia en bucle cerrado correspondiente Td(s) sera:

Td(s) =Y (s)R(s)

=G(s)

1+G(s)(7.1)

y la relacion entre la senal de error y la referencia vendra dada por

E(s)R(s)

=1

1+G(s)(7.2)

Supongase que los polos de Td(s) se denotan por −pi y que los ceros se hacen por −ci. En talcaso se tiene:

Td(s) =k(s+ c1) (s+ c2) · · ·(s+ cm)

(s+ p1) (s+ p2) · · ·(s+ pn)(7.3)

Por otra parte desarrollando en serie E(s)/R(s) se tiene:

E(s)R(s)

= eo + e1 s+ e2 s2 + · · · (7.4)

123

124 Relacion entre las constantes de error y los polos y ceros.

Se van a estudiar a continuacion las relaciones entre las constantes de posicion kp, velocidadkv, y aceleracion ka y los polos y ceros de Td(s).

7.1.1 Seguimiento de posicion.

Supongase una entrada en escalon de posicion, de manera que R(s) = 1/s. En tal caso (7.4) seconvierte en

E(s) =eo

s+ e1 + e2 s+ ... (7.5)

Es decir que

sE(s) = eo + e1 s+ e2 s2 + ... (7.6)

Por lo tanto aplicando el teorema de valor final, el valor del error en regimen permanente erp

sera:

erp = limt→∞ e(t) = lims→0 sE(s) = lims→01

1+G(s)= eo (7.7)

Definiendo la constante de error de posicion kp como

kp = lims→0 G(s) (7.8)

se tiene que e0 viene dado por

eo =1

1+ kp(7.9)

Por otra parte puesto que

E(0)

R(0)= lim

s→0

11+G(s)

(7.10)

Y considerando (7.4), es decir e0 = E(0)/R(0), se tendra que

Analisis de errores en regimen permanente 125

E(0)

R(0)=

11+ kp

(7.11)

Ademas se sabe que

Y (s)R(s)

= 1− E(s)R(s)

(7.12)

A partir de (7.11) y (7.12), haciendo s = 0, se obtiene

Y (0)

R(0)=

kp

1+ kp(7.13)

de donde, resolviendo para kp, se tiene

kp =Y (0)/R(0)

1−Y (0)/R(0)(7.14)

Por otra parte se tiene que haciendo s = 0 en (7.1) se llega a

Y (0)

R(0)=

k Πmj=1 c j

Πnj=1 Pj

(7.15)

en donde

Πmj=1C j = producto de ceros

Πnj=1Pj = producto de polos

Llevando (7.15) a (7.14) se tiene la siguiente expresion en donde kp esta expresada en funcionde los polos y ceros.

kp =k Πm

j=1 C j

Πnj=1 Pj− kΠm

j=1 C j(7.16)

En la practica tiene un especial interes la consideracion de los sistemas de tipo 1 en bucleabierto. Este caso se presenta cuando se estudian los servomecanismos de posicion. Para los


sistemas de tipo uno, o superior, recordando la expresion (8), es inmediato que kp tiende a infinito.En tal caso, y de acuerdo con (9) es claro que e0 = 0. Por ello considerando (7.4) y (12) se tendraque

Y (s)R(s)

= 1− E(s)R(s)

= 1− e1 s− e2 s2 (7.17)

Observese que haciendo s = 0 se tiene

Y (0)

R(0)= 1 (7.18)

lo que significa que en regimen permanente no existe error de seguimiento, cosa que era sabidapara los sistemas de tipo uno.

Haciendo s = 0 en la expresion (7.3), y teniendo en cuenta (7.18) se tendra que

1 =k× c1......cm

p1 p2......pn(7.19)

Esta expresion muestra la relacion existente entre los polos ceros y la constante k de un sistemaen bucle cerrado para que el error de seguimiento en posicion sea nulo.

La constante de posicion kp es adimensional.

7.1.2 Seguimiento de velocidad.

Sea un sistema con error de seguimiento en posicion nulo (eo = 0) y supongase que se le aplicauna entrada en rampa de manera que R(s) = 1/s2. En tal caso se tiene que E(s) vendra dado por

E(s) =1/s2

1+G(s)=

e1

s+ e2 + .... (7.20)

Aplicando el teorema del valor final se tendra que el error en regimen permanente a una rampasera

erp = limt→∞

e(t) = lims→0

sE(s)


= lims→0

1s+ sG(s)

= lims→0

1sG(s)

= e1

Se define la constante de error de velocidad kv como

kv = lims→0 sG(s) (7.21)

de manera que e1 vendra dada por

e1 =1kv

(7.22)

La constante de seguimiento en velocidad kv tiene un valor finito para sistemas en bucle abiertode tipo 1, es decir, para sistemas con una integracion pura. En tal caso se tiene que e0 = 0, con loque se tiene, habida cuenta de la expresion (7.4).

Y (s)R(s)

= 1− e1 s− e2 s2− ....

Derivando esta expresion con relacion a s, y haciendo s = 0, se tiene

(

dds

Y (s)R(s)

)

s=0=−e1 =− 1

kv(7.23)

Si, ademas se tiene presente que para sistemas de tipo 1

(

Y (s)R(s)

)

s=0=

Y (0)

R(0)= 1

a partir de las dos expresiones anteriores

1kv

=−

(

dds (Y (s)/R(s))

)

s=0

(Y (s)/R(s))s=0=−

(

dds

lnY (s)R(s)

)

s=0(7.24)

Llevando la anterior expresion a (7.4) se tiene que


1kv

=−(

dds

(ln k + ln(s+ c1)+ ..− ln(s+ p1)− ..)

)

s = 0 (7.25)

lo que puede escribirse

1kv

=−(1

s+ c1+ ....− 1

s+ p1− ...)s = 0

o de forma mas compacta

1kv

=n

∑i=1

1pi−

m

∑j=1

1c j

(7.26)

Por consiguiente 1/kv es igual a la suma de los inversos de los polos menos la suma de losinversos de los ceros, todo en bucle cerrado.

Si se quiere que el error de seguimiento en velocidad sea nulo se requerira que kv tienda ainfinito, en cuyo caso se tendra que

n

∑j=1

1p j

=m

∑j=1

1c j

(7.27)

Ejemplo.

Sea un sistema de segundo orden cuya funcion de transferencia en forma normalizada se es-cribe

Y (s)R(s)

=ω2

n

s2 +2δωn s+ω2n

Este sistema presenta un error de seguimiento en posicion igual a cero, es decir Y (0)/R(0) = 1.Por lo tanto interesa calcular kv en funcion de los parametros ωn y δ. Los polos de la anteriorfuncion de transferencia seran p1,2 = −δωn± jωn

√1−δ2 y por lo tanto aplicando la expresion

(7.26) se tendra que

kv =ωn

2 δ(7.28)

La constante de velocidad kv tiene dimension de seg−1. En efecto


erp =ωkv

y como erp se mide en metros (o radianes) y ω en metros por segundo (o rad / seg) se tendraque kv vendra dada por seg−1.

7.1.3 Seguimiento de aceleracion

Sea un sistema con errores de seguimiento de posicion y velocidad nulos. Para el estudio de unseguimiento en aceleracion se procede de forma similar a como se ha hecho anteriormente. Si sesupone una entrada en aceleracion se tendra que R(s) = 1/s3, con lo que el valor de E(s) sera

E(s) =e2

s+ e3 + s e4 + ... (7.29)

Aplicando nuevamente el teorema del valor final se tendra que el error de seguimiento enaceleracion cuando el tiempo tiende a infinito sera

erp = lims→0 s E(s) = e2

Y definiendo la constante de error en aceleracion ka como

ka = lims→∞ s2 G(s)

se tendra que

e2 =1ka

Tomando la segunda derivada de (29) se tendra que

d2

ds2

(

lnY (s)R(s)

)

=(Y/R)”

Y/R−

(

(Y/R)1

Y/R

)2

de donde es facil de deducir haciendo s = 0, que

− 2ka

=1k2

v+

n

∑j=1

1

p2j

−m

∑j=1

1

c2j


expresion que permite calcular la constante de velocidad ka.

La constante de aceleracion ka tiene dimension seg−2.

7.1.4 Sistemas con error nulo

Supongase que la funcion de transferencia de un sistema en bucle cerrado viene dada, en formanormalizada, por la expresion siguiente

Y (s)R(s)

=bo sm + · · ·+bm−1 s+bm

sn +a1 sn−1 + · · ·+an−1 s+an(7.30)

Esta expresion, considerada como cociente de dos polinomios, puede desarrollarse en serie,de la forma siguiente:

Y (s)R(s)

=bo sm + · · ·+bm−1 s+bm

sn +a1 sn−1 + · · ·+an−1 s+an

= co + c1 s+ c2 s2 + · · ·

La determinacion de los coeficientes ci del desarrollo en serie, puede hacerse facilmente mul-tiplicando ese desarrollo en serie por el denominador de la funcion de transferencia, e igualandocoeficientes entre ambos miembros. Con ello se obtiene que

co =bm

an(7.31)

c1 =bm−1 co −an−1

bm

Recordando la expresion (7.4) se tiene que el error vendra dado por

E(s)R(s)

= 1− T (s)R(s)

Si se supone una entrada en escalon R(s) = 1/s, entonces es evidente que el error sera nulo enregimen permanente si c0 = 1, es decir, si an = bm.

Por consiguiente es necesario que bm = an para que el error en regimen estacionario sea nulo,cuando se aplica como senal de entrada una senal en escalon.


Para obtener un error de seguimiento en posicion nulo, para un sistema cuya funcion detransferencia sea de la forma (30), existen distintas formas posibles. Si el numerador consisteunicamente en una constante, entonces la forma que se obtiene es unica y es la siguiente

Y (s)R(s)

=an

sn + · · ·+an−1 s+an(7.32)

Supongase que c0 = 1. En tal caso, c1 se convierte en

c1 =bm−1−an−1

bm(7.33)

Ahora suponiendo una entrada en rampa, el error tendra un valor nulo en regimen permanentesi an−1 = bm−1. En tal caso una forma posible para la funcion de transferencia en bucle cerrado es

Y (s)R(s)

=an−1 s+an

sn +a1 sn−1 + · · ·+an−1 s+an(7.34)

Estas expresiones se pueden generalizar para entradas de orden superior. El interes de lasmismas radica en que permite especificar el numerador, a partir de consideraciones de compor-tamiento en regimen permanente, partiendo del denominador, obtenido por consideraciones decomportamiento transitorio.

Parte III

Analisis de sistemas dinamicos en eldominio de la frecuencia

133

Tema 8

Representacion grafica de la funcion detransferencia

Es usual emplear representaciones graficas de la funcion de transferencia. Ello es especialmentepatente en los metodos clasicos, en los que se trabaja en el dominio de la frecuencia. Vamos a veralgunas de las formas de representacion graficas mas usuales.

8.1 Diagramas mas comunes

8.1.1 Diagrama de polos y ceros: caso racional

Sea la funcion de transferencia

G(s) =K(s+ c1) . . .(s+ cm)

(s+ p1) . . .(s+ pn)

Se puede representar G(s) indicando la posicion de sus ceros −ci y de sus polos −pi en el planode la variable compleja s (fig. 8.1).

8.1.2 Diagrama de Nyquist

La funcion de transferencia G(s) se representa mediante una curva en un diagrama polar. Estacurva se construye representando para cada valor de ω el modulo y el argumento de la expresioncompleja que resulta de hacer s = jω en G(s). Como se sabe, el modulo y el argumento de G( jω)representan la amplificacion (o atenuacion) y el desfase de una senal sinusoidal que atraviese elsistema. En la figura 8.2 se representa un diagrama de esta naturaleza. Conviene observar que ωvarıa de 0 a ∞.

135

136 Diagramas mas comunes

Im

Re

K

Figura 8.1: Diagrama de polos y ceros

ω = ∞

ω = 100

ω = 10

ω = 1

ω = 0

Im

Re

Figura 8.2: Diagrama de Nyquist

Representacion grafica de la funcion de transferencia 137

El diagrama de Nyquist es por tanto una curva parametrizada en ω que, para cada punto (esdecir, para cada frecuencia), da el modulo y el argumento de la funcion de transferencia.

8.1.3 Diagrama logarıtmico o de Bode

En este caso, la funcion de transferencia G(s) se representa mediante el conjunto de las dos curvassiguientes (fig. 8.3):

log ω

log ω

log |G(jω)|

Arg G(jω)

-180o

Figura 8.3: Diagrama logarıtmico

• Curva de amplitud: log |G(s)| en funcion de logω;

• Curva de fase: argG(s) en funcion de logω.

El empleo de logaritmos para representar los modulos permite facilitar la combinacion de fun-ciones de transferencia en serie, ya que en tal caso el producto de los modulos se convierte en lasuma de sus logaritmos.

Conviene recordar que la medida logarıtmica de la relacion entre dos senales A se expresa en

• decibelios (dB), 20 log10 A

• decadas log10 A

• octavas log2 A

Este conjunto de curvas, como veremos a continuacion, es el mas utilizado en la practica pararepresentar graficamente la funcion de transferencia.

138 Diagrama de Bode

8.1.4 Diagrama de Black

En este diagrama se representa la funcion de transferencia G(s) mediante una curva parametrizadaen ω en un plano cuyos ejes de coordenadas estan definidos por arg(G( jω)) y 20log10 A (fig: 8.4).

log|G(jω)|

Arg G(jω)0

-90o

-180o

ω=1

Figura 8.4: Diagrama de Black

8.2 Diagrama de Bode

Como se ha indicado mas arriba, el diagrama de Bode consiste en la representacion grafica de lafuncion de transferencia mediante dos curvas, una relativa a la amplitud y la otra a la fase. Enambas curvas, en abcisas se representa el logaritmo de ω. En coordenadas se representa en uncaso la relacion de amplitudes en escala logarıtmica, mientras que en el segundo la fase en escalanatural (en grados o en radianes).

La representacion de una funcion de transferencia G(s) en el diagrama de Bode se hace medi-ante unas aproximaciones asintoticas que simplifican enormemente su trazado. Para estudiar estasaproximaciones consideremos la funcion de transferencia

G( jω) =k( jω+ c1)( jω+ c2) . . .

( jω)N( jω+ p1)( jω+ p2) . . .

La denominada forma de Bode de esta funcion de transferencia es la siguiente

G( jω) =

kΠci

Πp j

(

1+jωc1

)(

1+jωc2

)

. . .

( jω)N

(

1+jωp1

)(

1+jωp2

)

. . .

(8.1)


en donde la denominada ganancia de Bode viene dada por

kB = kΠci

Πp j

La expresion (8.1) es una expresion compleja en funcion de ω. Es decir, para cada valor de ωtomara un valor complejo y, por tanto, tendra un modulo y un argumento. El modulo sera tal quesi tomamos su logaritmo se podra escribir

20 log |G( jω)|= 20log |kB|+20log

∣

∣

∣

∣

(

1+jωc1

)∣

∣

∣

∣

+ . . .

+20log

∣

∣

∣

∣

1( jω)N

∣

∣

∣

∣

+20log1

∣

∣

∣

∣

(

1+jωp1

)∣

∣

∣

∣

+ . . . (8.2)

mientras que el argumento sera

20argG( jω) = 20argkB +20arg

(

1+jωc1

)

+ . . .

+20arg1

( jω)N +20arg1

(

1+jωp1

) + . . . (8.3)

Observese que mediante la adopcion de una escala logarıtmica para el modulo se ha descompuestoaditivamente en las aportaciones de cada uno de los elementos que aparecen en (8.1).

Esta descomposicion aditiva, junto con la que se da de una manera natural para el argumento,permite que se obtenga la representacion grafica en el diagrama de Bode a partir de la repre-sentacion grafica de cada uno de los elementos que aparecen en (8.1). Vamos a ver a continuacioncomo se representa graficamente cada uno de estos elementos.

8.2.1 Diagrama de Bode de una constante

La representacion en el diagrama de Bode de una constante es inmediata y se tiene en la figura8.5.

8.2.2 Diagrama de Bode de una integracion pura

El diagrama de Bode de una integracion pura

G( jω) =1jω

viene dada por una recta de pendiente -20 decibelios por decada (o -6 decibelios por octava) y conun desfase constante igual a -90 grados


ω(rad/s)

-180.0

-90.0

0.0

Fas

e(gr

ados

)

-20logK

0

20logKA

mpl

itud(

dB)

K>1

K<1

K(numero positivo)

K(numero negativo)

Figura 8.5: Diagrama de Bode de una constante

10-1

100

101

102

ω(rad/s)

-180

-90

0

90

Fas

e(gr

ados

)

-40

-20

0

20

Am

plitu

d (d

B)

-20dB/dec

Figura 8.6: Diagrama de Bode de una integracion pura


8.2.3 Diagrama de Bode de un sistema de primer orden

Sea el sistema de funcion de transferencia

1

1+jωp

Para estudiar su representacion en el diagrama de Bode consideraremos, en primer lugar, dossituaciones extremas:

•

ω� p

En tal caso se tendra que

20log | 1

1+jωp

| ≈ 20log1 = 0dB

•

ω� p

en cuyo caso

20log | 1

1+jωp

| ≈ 20log | 1jωp

|=−20logωp

Por tanto, la representacion grafica del modulo de G presenta dos asıntotas. Para valores bajos deω la asıntota es sencillamente la recta horizontal trazada en 0 dB; mientras que para valores altosde la frecuencia la asıntota es una recta de pendiente -20 dB/decada. Estas dos asıntotas se cortanen el punto ω = p.

Para completar la curva podemos considerar dos puntos interesantes:

• para ω/p = 0.5 se tiene |G( jω)|=−1 dB.

• para ω/p = 1 se tiene |G( jω)|=−3 dB.

Por lo que respecta a la fase no es posible hacer unas aproximaciones asintoticas como las queacabamos de ver para la amplitud. No obstante, se dispone de una plantilla que permite trazar lacurva de fase correspondiente.


10-1

100

101

102

ω(rad/s)

-90

-45

0

Fas

e(gr

ados

)-40

-20

0

20

Am

plitu

d(dB

)

1dB3dB1dB

Figura 8.7: Diagrama de Bode de un sistema de primer orden

8.2.4 Diagrama de Bode de una diferenciacion pura

El diagrama de Bode de un diferenciador puro

G( jω) = jω

se obtiene de forma similar al de un integrador puro. En la figura 8.8 se representa el diagramacorrespondiente. En este caso la curva de amplitud tiene pendiente positiva y la de fase es positiva.

10-1

100

101

102

ω(rad/s)

0

45

90

Fas

e(gr

ados

)

-20

0

20

40

Am

plitu

d(dB

)

+20dB/dec

Figura 8.8: Diagrama de Bode de una diferenciacion pura


8.2.5 Diagrama de Bode del termino asociado a un cero

El termino asociado a un cero

G( jω) =jωp

+1

conduce, por consideraciones analogas a las que se han hecho para un sistema de primer orden(asociado a un polo), tiene la forma que se muestra en la figura 8.9.

10-1

100

101

102

ω(rad/s)

0.0

22.5

45.0

67.5

90.0

Fas

e(gr

ados

)

0

20

40

Am

plitu

d(dB

)

+20dB/dec

1dB3dB

1dB

Figura 8.9: Diagrama de Bode del termino asociado a un cero

Combinando todo lo que se acaba de ver, y teniendo en cuenta las expresiones (8.2 y (8.3), sepuede obtener la representacion grafica de la funcion de transferencia del sistema cuya funcion detransferencia viene dada por la expresion (8.1).

8.3 Sistemas de fase mınima

Un sistema con un cero con parte real positiva recibe la denominacion de sistema de fase nomınima, mientras que si todos ceros tienen parte real negativa recibe la denominacion de sistemade fase mınima. En los sistemas de fase no mınima el valor que toma la fase es mayor, para unmismo valor de la frecuencia, que si todos los polos y ceros estuvieran en el semiplano de laizquierda (el sistema fuera de fase mınima).

Con el fin de ilustrar el concepto de sistema de fase mınima considerense los sistemas defuncion de transferencia:

G1(s) =s− zs+ p

(8.4)

y

G2(s) =s+ zs+ p

(8.5)

144 Sistemas de fase mınima

−p 0 z Re

ω

Im

ω

Im

−p−z 0Re

G1(s) G2(s)

Figura 8.10: Diagrama de polos y ceros de G1 y de G2

Vamos a comparar los diagrams de Bode de estas dos funciones de transferencia. Para ello con-siderese la figura 8.10. Es claro que

| G1( jω) |=| G2( jω) | ∀ω≥ 0

y, por tanto, las curvas de amplitud en el diagrama de Bode seran las mismas para las dos funcionesde transferencia.

Sin embargo, por la que respecta a los argumentos es claro que se tendra:

argG1( jω)≥ argG2( jω) ∀ω≥ 0

En la figura 8.11 se tienen las correspondientes curvas de fase. Se comprende la denominacion desistema de fase mınima para G2.

θ

ω

G1(jω)

G2(jω)

180o

90o

-90o

100 10

1

102

10-1

Figura 8.11: Curvas de fase en el diagrama de Bode de G1 y de G2


8.4 Cırculos M y N

Para proceder al diseno de sistemas realimentados, mediante metodos graficos, es necesario disponerde un metodo grafico que permita pasar de la funcion de transferencia en bucle abierto G(s) a lacorrespondiente a bucle cerrado T (s). Como se sabe la expresion que liga a estas dos funcionesde transferencia es la siguiente

T (s) =G(s)

1+G(s)

Si se interpreta vectorialmente esta expresion se tendra que el vector T ( jω) tendra como moduloel cociente de los vectores G( jω) y 1+G( jω), y como argumento la diferencia de los argumentosde estos dos vectores. En la figura 8.12 se tienen representados los correspondientes vectores. A

1+G

0β

Im

φ

P

αG

A Re

(−1+ j0)

Figura 8.12: Diagrama polar de la funcion de transferencia, con vectores asociados

partir de esta figura resulta que para cada valor de ω el modulo de T ( jω) se determinarıa medianteel cociente de las medidas de los segmentos OP y AP, y el argumento de T ( jω) vendrıa dado porla expresion

argC/R = α−β (8.6)

Con el fin de facilitar la aplicacion practica de este metodo grafico se procede a definir en el planopolar un sistema de coordenadas curvilıneas que permita resolver graficamente la determinaciondel modulo y el argumento de T ( jω). Para ello se procede a dibujar el lugar geometrico de lospuntos para los que el modulo (respectivamente el argumento) de T ( jω) sea constante. Sea (x,y)un punto generico del plano complejo (figura 8.13). A partir de las figuras 8.12 y 8.13 se puedeescribir

OP =√

x2 + y2

AP =√

(1+ x)2 + y2

M =OPAP

=

√

x2 + y2√

(1+ x)2 + y2

Elevando al cuadrado esta expresion, y tras algunas manipulaciones algebraicas, se tiene

y2 + x2 +2xM2

M2−1=− M2

M2−1

146 Cırculos M y N

Figura 8.13: Plano complejo

Sumando y restando a esta expresion(

M2

M2−1

)2

se tiene

y2 + x2 +2xM2

M2−1+

(

M2

M2−1

)2

=

(

M2

M2−1

)2

− M2

M2−1

de donde se concluye

y2 +

(

x+M2

M2−1

)2

=M2

M2−1

Esta expresion indica que el lugar geometrico en el plano complejo de los puntos para los que elmodulo de T ( jω) es constante viene dado por un cırculo de centro

c =− M2

M2−1

y de radio

r =

∣

∣

∣

∣

MM2−1

∣

∣

∣

∣

La familia de cırculos correspondientes a diferentes valores de M se tiene en la figura 8.14.Esta figura admite una facil interpretacion. Si en ella se dibuja la funcion de transferencia enbucle abierto G( jω) entonces leyendo esta misma curva en el sistema de coordenadas curvilıneasdefinido por los cırculos M se tiene el modulo de la funcion de transferencia en bucle cerradoT ( jω). Por lo que respecta a las fases, se puede proceder de manera analoga a como se ha hechocon los modulos. En este caso se tiene que, de acuerdo con la expresion (8.6) el argumento deT ( jω) viene dado por el angulo APO en la figura 8.12. En la figura 8.15 se representa el lugargeometrico de todos los angulos APO de valor constante. Este lugar geometrico resulta ser uncırculo, de acuerdo con una bien conocida propiedad de la geometrıa, y el valor de este anguloesta perfectamente definido en el cırculo y resulta ser de α/2, de acuerdo con la figura 8.15. Esdecir

argG

1+G= φ =

α2

= arctan1/2

y

siendo

y =G

2tan(φ)


Re

Im

Figura 8.14: Cırculos M

0−1+ j0

1+Gφ

G

α

Figura 8.15: Cırculos N

148 Cırculos M y N

De este modo se tiene definida otra familia de cırculos, los cırculos N, en los que se puede leer lafase del sistema en bucle cerrado si se dibuja en coordenadas polares la funcion de transferenciaen bucle abierto.

En la practica no se emplean los cırculos M y N en el diagrama polar, sino su traslacion aun diagrama de coordenadas rectangulares, en el que se representa en abcisas el logaritmo de ωy en coordenadas la relacion de amplitudes en decibelios. Este diagrama recibe la denominacionde abaco de Black, en libros europeos, mientras que en libros americanos es frecuente que sedenomine abaco de Nichols.

Parte IV

Estabilidad de sistemas dinamicos

149

Tema 9

Estabilidad de los sistemas dinamicos

9.1 Introduccion

La estabilidad es una propiedad cualitativa de los sistemas dinamicos a la que cabe considerarcomo la mas importante de todas. Ello es debido a que, en la practica, todo sistema debe serestable. Si un sistema no es estable, normalmente carece de todo interes y utilidad.

El estudio de la estabilidad de los sistemas dinamicos ocupa un lugar primordial en el analisisy en la sıntesis de los sistemas realimentados. De hecho, la sıntesis de un sistema de control estarapresidida por un imperativo de estabilizacion del sistema realimentado que resulte.

El presente capıtulo se va a dedicar al analisis de la estabilidad de los sistemas dinamicos,es decir, a establecer criterios que permitan discernir si un determinado sistema dinamico, dadoen una cierta forma de representacion matematica, es estable o no. En capıtulos posteriores seestudiaran las modificaciones a introducir en los sistemas dinamicos para modificar su estabilidad.

El estudio de la estabilidad de los sistemas dinamicos, se hara atendiendo a la forma de rep-resentacion adoptada; en este sentido se estudiara en primer lugar la estabilidad de los sistemasdinamicos dados por su descripcion externa, y luego se hara el estudio para la descripcion internade los mismos.

Al mismo tiempo se vera a lo largo de este capıtulo como existen distintas definiciones deestabilidad, lo que da lugar a distintos criterios, asociados a las distintas definiciones. No obstante,se vera que pese a la aparente diversidad de definiciones y criterios, existe una profunda unidadsubyacente en todo el tema.

151

152 Criterios de estabilidad relativos a la descripcion externa

9.2 Criterios de estabilidad relativos a la descripcion externa

Una forma intuitiva de afrontar el problema de la estabilidad de un sistema es considerar que estesera estable si las distintas magnitudes que lo definen no alcanzan valores infinitos. Basados enesta idea intuitiva se puede dar la siguiente definicion precisa de estabilidad.

Definicion

Un sistema, inicialmente en reposo, se dice estable si ante cualquier senal de entrada acotada,es decir, que no alcanza valores infinitos, responde con una senal de salida acotada.

Formalmente se dice de una senal x(t), definida en un cierto intervalo (t0, t1), que esta acotadaen dicho intervalo, si para todo t ε (t0, t1) existe un valor k < ∞ tal que |x(t)|< k

De una forma mas compacta puede decirse que un sistema es estable si,

senal de entrada acotada⇒ senal de salida acotada.

Desde un punto de vista intuitivo esta definicion de estabilidad es satisfactoria; tiene, ademas,la ventaja adicional de que conduce a resultados matematicos interesantes, segun se vera en lo quesigue.

Para el caso de sistemas multivariables esta definicion es igualmente valida, sustituyendo lassenales de entrada y de salida por los vectores de senales de entrada y de salida.

En los libros anglosajones a la estabilidad anteriormente definida se la llama ”estabilidadBIBO” (bounded-input bounded-output).

Si se adopta la forma de descripcion externa dada por la integral de convolucion, es decir, sila relacion entre la senal de entrada u(t) y la senal de salida y(t) esta dada por una expresion de laforma,

y(t) =∫ t

−∞h(t,τ)u(τ)dτ (9.1)

entonces el criterio de estabilidad de un sistema viene dado por el siguiente teorema.

Teorema

Un sistema, inicialmente en reposo, representado por una expresion de la forma (9.1) es establesi y solo si existe un numero finito k tal que para todo t,

Estabilidad de los sistemas dinamicos 153

∫ t

−∞| h(t,τ) | dτ≤ k < ∞ (9.2)

Demostracion

1. Suficiencia

Se trata de demostrar que si se cumple la condicion (9.2), entonces ante una senal de entradaacotada, | u(t) |< k1 para todo t, la senal de salida y(t) es tambien acotada. En efecto, setiene:

| y(t) |=|∫ t

−∞h(t,τ)u(τ)dτ |≤

∫ t

−∞| h(t,τ) | u(τ) | dτ

≤ k1

∫ t

−∞| h(t,τ) | dτ≤ kk1

2. Necesidad

Se trata de demostrar que si las senales de entrada u(t) y de salida y(t) son acotadas, entoncessiempre se cumple la expresion 9.2. Ello es equivalente a demostrar que si no se cumple laexpresion 9.2 entonces pueden existir senales de salida y(t) que no esten acotadas aunquelo este la senal de entrada u(t).

Supongase que la expresion (9.2) no se cumple, es decir

∫ t

−∞| h(t1,τ) | dτ = ∞

Si a este sistema se le aplica la siguiente senal de entrada se tiene una salida no acotada. Enefecto, sea

u(t) = sgn[h(t1,τ)]

en donde,

sgn x =

0 si x = 01 si x > 0−1 si x < 0

Es claro que u(t) es acotada. Sin embargo la senal de salida del sistema no lo es,

y(t1) =∫ t1

−∞h(t1,τ)u(τ)dτ =

∫ t1

−∞| h(t1,τ) | dτ = ∞

Queda demostrado la necesidad de que se cumpla la expresion (9.2) para que el sistema seaestable.


Para sistemas multivariables el anterior resultado se generaliza diciendo que un sistema seraestable si la propiedad de la expresion (9.2) se cumple para cada uno de los elementos de la matrizH(t,τ).

Para sistemas invariantes en el tiempo la expresion (9.1) se convierte en

y(t) =∫ t

0h(t− τ)u(τ)dτ (9.3)

Y la expresion (9.2) se convierte en,

∫ ∞

0| h(τ) | dτ < k < ∞ (9.4)

Para sistemas invariantes en el tiempo, la forma de descripcion externa usualmente empleadaes la funcion de transferencia. Interesa enunciar un criterio de estabilidad en terminos de dichafuncion de transferencia. Es lo que se hace en el siguiente teorema.

Teorema

Un sistema lineal y estacionario, representado por una funcion racional propia G(s) es establesi y solo si, todos los polos de G(s) estan situados en el semiplano izquierdo abierto del plano s.

Una forma equivalente de expresar lo anterior es decir que los polos de G(s) tienen la partereal negativa.

En el semiplano izquierdo abierto, a que se alude en el anterior teorema, se excluye el ejeimaginario. Si se incluye este eje imaginario se habla del semiplano izquierdo cerrado.

Demostracion

Si G(s) es una funcion racional propia entonces puede desarrollarse en fracciones parciales,de manera que se descompone en la suma de un numero finito de terminos de la forma,

K(s− pi)l

Y ademas, posiblemente, una constante pi denota un polo de G(s).

Al hallar la antitransformada de Laplace de G(s) se tiene que g(t) es la suma de un numerofinito de terminos de la forma t`−1 epi t y, ademas, una posible funcion δ de Dirac. Es facil de-mostrar que t`−1 epi t es absolutamente integrable si y solo si pi tiene la parte real negativa. Por lotanto el sistema G(s) sera estable si y solo si todos los polos de G(s) tienen la parte real negativa.

• Ejemplo 1


Sea el sistema cuya funcion de transferencia es G(s) = 1/s. Este sistema no es estable,de acuerdo con las anteriores definiciones. En efecto, considerese una senal de entrada enescalon U(s) = 1/s. Se tendra que la senal de salida sera Y (s) = 1/s2. Por lo tanto

y(t) = L−1(1/s2) = t

la senal de salida y(t) no es acotada y por lo tanto el sistema no es estable.

• Ejemplo 2

Segun la definicion anterior un oscilador simple es un sistema inestable. En efecto, con-siderese el sistema cuya funcion de transferencia es G(s) = 1/(1 + s2) que corresponde aun oscilador. La respuesta impulsional correspondiente es g(t) = sen t, la cual se representaen la figura 9.1 (a). Supongase ahora que se aplica a dicho sistema una senal de entradaperiodica rectangular, de amplitud unidad y de periodo el mismo del oscilador, tal como lade la figura 9.1 (b). La senal de salida viene dada por la expresion 9.3.

Supongase ahora que en la expresion 9.3 se hace t = 0. El producto de senales g(−τ) u(τ)esta representado en la figura 9.1 (c). Es claro que y(0) es precisamente el area cubiertapor dicha curva, cuando τ tiende a infinito. Por lo tanto y(0) = ∞. Es decir, el sistema esinestable.

A este mismo resultado se llega inmediatamente considerando los polos de la funcion detransferencia, que resultan estar situados en el eje imaginario.

Para sistemas multivariables se generalizan inmediatamente los anteriores resultados diciendoque un sistema multivariable definido por una matriz de transferencia G(s) sera estable si cada unode sus elementos satisface el anterior teorema.

Sea la funcion de transferencia de la forma:

H(s) =b0 sm +b1 sm−1 + · · ·+bm

sn +a1 sn−1 + · · ·+an=

b(s)a(s)

(9.5)

Figura 9.1:

Para determinar si H(s) es estable o no, es necesario:

1. comprobar si m < n;

2. determinar si las raices de a(s) estan situadas en el semiplano abierto negativo.

Para comprobar si las raices de un determinado polinomio se encuentran en el semiplanoabierto negativo, se aplica el criterio de Routh-Hurwitz que se estudia en el apartado siguiente.


9.2.1 Criterio de Routh-Hurwitz

Una funcion de transferencia T (s) representa a un sistema estable si sus polos se encuentran en elsemiplano izquierdo negativo. Por lo tanto el problema del analisis de la estabilidad de un sistemase reduce al del analisis de los ceros del polinomio del denominador.

Un polinomio se denomina un polinomio de Hurwitz si todas sus raices tienen la parte realnegativa. Por lo tanto el problema de la estabilidad se reduce al de determinar si el polinomio deldenominador es, o no, un polinomio de Hurwitz.

El metodo directo de comprobar si un determinado polinomio es o no un polinomio de Hurwitzconsiste en determinar todas las raices de dicho polinomio. Este procedimiento puede ser, ademasde excesivamente laborioso, inutil por cuanto que suministra una informacion superior a la que serequiere. No se trata de saber cuales son las raices, sino, simplemente, si su parte real sera negativao no.

El metodo de Routh-Hurwitz, permite determinar si las partes reales de las raices seran nega-tivas o no sin necesidad de determinarlas. Considerese un polinomio como el siguiente:

sn+1 +a1 sn + · · ·+an (9.6)

Para determinar si el anterior polinomio tiene raices con parte real negativa se procede comosigue:

1. Si algun coeficiente del polinomio es negativo o cero, entonces existe al menos una raiz enel semiplano cerrado derecho. El sistema es, por lo tanto, inestable.

2. En el caso de que no se cumplan los supuestos de 1), se procede a construir la siguientetabla:

n+1n

n−1n−2. . .1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 a2 a4 . . .a1 a3 a5 . . .β1 β2 β3

γ1 γ2 γ3

. . .ρ1

(9.7)

en donde la generacion de las distintas filas se hace como sigue, a partir de los elementos delas dos anteriores

β1 =a1a2−a3 ·1

a1

(9.8)

β2 =a1a4−a5 ·1

a1


La tabla anterior recibe la denominacion de tabla de Routh, y el algoritmo que permite suconstruccion se denomina algoritmo de Routh. Independientemente de los trabajos de Routh, quepublico originalmente el algoritmo que conduce a la construccion de la tabla anterior, Hurwitzpublico un criterio de estabilidad, que se estudiara en una seccion posterior de este tema, queesencialmente coincide con el de Routh. Por ello el criterio lleva conjuntamente el nombre de losdos autores.

Toda fila depende de las dos filas precedentes. Se procede sucesivamente a determinar filashasta que se determine una cuyos elementos sean todos 0. Para un polinomio de orden n sedeterminan n+1 filas.

El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz dice que el polinomio tiene sus raices en el semi-plano abierto negativo si todos los elementos de la primera columna son positivos y no nulos. Elnumero de cambios de signo en la primera columna es igual al numero de raices del polinomio(9.6) en el semiplano positivo abierto.

Ejemplo

Sea el polinomio s4 + 5s3 + 3s2 + s + 2 = 0. Para determinar el numero de raices en el semi-plano positivo, se construye la tabla de Routh y se tiene,

43210

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 3 25 1 0

14/5 2−36/14 0

2

como hay dos cambios de signo en la primera columna existiran dos raices en el semiplanoderecho. Por consiguiente el sistema es inestable.

En la practica el criterio de Routh-Hurwitz se aplica para determinar si el sistema es estableo no y, en general, no interesa saber el numero de raices en el semiplano positivo abierto. Porlo tanto, cuando lo unico que interese sea conocer si el sistema sera estable o no, se procedera aconstruir la tabla de Routh hasta encontrar un elemento de la primera columna que sea negativo ocero. Cuando aparezca un elemento negativo o nulo, se suspendera la construccion de la tabla, yse dictaminara que el sistema es inestable.

En el caso de que interesase conocer cuantas raices existiran en el semiplano positivo, o en eleje imaginario, se procede a construir la tabla de Routh completa. En la construccion de la tablade Routh, para el caso en que interese completarla aun cuando aparezcan elementos nulos en laprimera columna, se presentan los dos casos singulares siguientes :

1. Aparece un 0 en la primera columna, siendo no nulos los otros elementos de la misma fila.

2. Aparece una fila con todos los elementos nulos, antes de llegar a la fila n+2.


En el primer caso se sustituye el 0 por un numero arbitrariamente pequeno ε. Se completa la tablay se calcula el lımite de los elementos en los que aparezca haciendo ε→ 0.

Ejemplo

Considerese el polinomio: s4 + s3 +2s2 +2s+3

Al construir la tabla de Routh se encuentra un cero en la primera columna, en la fila dos. Sesustituye este cero por ε y se procede a completar la tabla, que resulta la siguiente:

43210

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 31 20→ ε 32ε−3

ε3

Una vez construida la tabla se determina el lımite de aquellos elementos en la primera columnaen los que aparezca ε, cuando ε→ 0. El elemento correspondiente a la fila 1 tiene el siguientelımite,

limε→0

2ε−3ε

=−∞

Por lo tanto, la primera columna queda como sigue:

110−∞3

Se presentan dos cambios de signo en la primera columna, y por consiguiente el sistema tienedos raices en el semiplano derecho, y es inestable.

El segundo caso particular mas arriba enunciado, es decir, el caso en que se presente toda unafila de ceros, indica que el polinomio tiene, al menos, un factor par. Es decir, que existe un parde raices reales simetricas con respecto al eje imaginario, que existen dos raices imaginarias purasconjugadas, o que existen cuatro raices complejas situadas simetricamente con relacion al origen.Cuando esto sucede se procede a formar una ecuacion subsidiaria a partir de los coeficientes de lafila anterior a aquella en la que todos los elementos sean nulos. La expresion ası obtenida resultaser el factor par del polinomio. Para obtener la fila siguiente, en la tabla de Routh, se procede aderivar esta expresion una vez con respecto a s y situar sus coeficientes en la fila cuyos elementosse habıan anulado. A partir de esta sustitucion se prosigue la construccion de la tabla de Routhnormalmente. Un ejemplo ayudara a fijar ideas.


Ejemplo

Considerese el siguiente polinomio: s4 +3s3 +3s2 +3s+2

Si se construye la tabla de Routh correspondiente al llegar a la fila 1, se encuentra que todoslos elementos son ceros. En efecto

4321

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 3 23 3 02 20 0

La ecuacion subsidiaria que se obtiene empleando los coeficientes de la segunda fila es lasiguiente:

2s2 +2 = 0

que corresponde al factor par s2 +1. La derivada de la ecuacion subsidiaria es 4s. Por lo tantola tabla se completa como sigue

43210

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 3 03 3 02 24 02

De la observacion de esta tabla se desprende que el polinomio considerado no tiene raices enel semiplano positivo. La factorizacion del polinomio anterior conduce a,

(s2 +1) (s+2) (s+1)

El anterior ejemplo muestra que sucede cuando el polinomio en cuestion tiene raices en el ejeimaginario. En tal caso estas raices dan lugar a un factor par, de la forma del que aparece en elejemplo, que se pone de manifiesto al aparecer una fila de ceros en la tabla de Routh. Procediendocomo se ha hecho en el ejemplo, se elimina la fila de ceros y se tiene una tabla de Routh queindica, por medio de los cambios de signos si existen raices en el semiplano derecho. Observeseque aunque no existan raices en el semiplano derecho, como sucede en el ejemplo anterior, elsistema sera inestable, puesto que existen raices en el eje imaginario.

La aplicacion de las dos reglas anteriores, a los dos casos singulares que se acaban de discutir,debe tomarse con ciertas reservas. En particular, la aplicacion de la primera regla (introduccionde pequenos parametros ε) solo esta justificada cuando el polinomio no tiene raices sobre el ejeimaginario. En el libro Theorie des matrices de Gantmacher, pag. 181, se tiene un ejemplo de uncaso al que la aplicacion de las reglas no es valida. Ello, sin embargo, no debe preocupar puestoque lo que normalmente interesa de la aplicacion del criterio de Routh-Hurwitz es, sencillamente,


determinar si el sistema sera estable o no, lo cual puede hacerse en todo caso sin ninguna am-biguedad, detectando si existe algun cero o algun cambio de signo en la primera columna de latabla de Routh.

El criterio de Routh-Hurwitz suministra una determinacion rapida de la estabilidad absolutade un sistema. Sin embargo no suministra ninguna indicacion respecto a la posibilidad de alterarla situacion de las raices. Su principal interes reside en su empleo como un paso previo, antes deaplicar otros metodos.

9.2.2 Matriz de Hurwitz

El criterio de Routh-Hurwitz, objeto del apartado anterior, en realidad fue desarrollado original-mente por Routh. Sin embargo es completamente analogo al desarrollado por Hurwitz, al que seva a dedicar este apartado.

Sea un polinomio a(s) tal como:

a(s) = sn +a1 sn−1 + · · ·+an−1 s+an (9.9)

Se define la matriz de Hurwitz como la matriz formada por los coeficientes del anterior poli-nomio, siguiente:

H =

a1 a3 a5 . . . 0 01 a2 a4 . . . 0 00 a1 a3 . . . 0 00 1 a2 . . . 0 0...

......

......

0 0 0 . . . an−2 an

(9.10)

El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz se puede enunciar diciendo que el polinomio a(s)es un polinomio de Hurwitz si y solo si los menores principales diagonales de H son todos posi-tivos. Los menores principales diagonales de H son los siguientes:

H1 = a1

H2 = det

(

a1 a3

1 a2

)

H3 = det

a1 a3 a5

1 a2 a4

0 a1 a3

(9.11)

Hn = det H


Si en la tabla de Routh los elementos de la primera columna se denotan por α1, β1, γ1 . . . p1,entonces es posible demostrar, despues de algunas manipulaciones algebricas, que,

H1 = α1

H2 = α1β1

H3 = α1β1γ1 (9.12)

Por ello es evidente que el procedimiento de determinar H1,H2, . . . ,Hn y ver si son positivosno nulos es equivalente al de construir la tabla de Routh. Los determinantes H1,H2, . . . reciben ladenominacion de determinantes de Hurwitz.

Para aplicaciones practicas se recomienda emplear el metodo tabular de Routh, por ser massimple que la determinacion de las matrices de Hurwitz.

9.3 Criterio de Nyquist

El criterio de Routh permite analizar la estabilidad de un sistema lineal a partir de los coeficientesde la ecuacion caracterıstica. El criterio de Nyquist (1932) permite realizar un analisis de la mismanaturaleza a partir de la representacion grafica de la funcion de transferencia.

Este criterio esta basado en un teorema de Cauchy. Consideres una funcion racional F(s)(formada por un cociente de polinomios en s). Si s representa a la variable compleja s = σ + jωentonces F(s) aplica el plano complejo s sobre un plano complejo definido por las partes realese imaginaria de F(s) (figura 9.2), de modo que a cada ”vector” de s se corresponde un vector de

F(C)

Z = 3P = 1

σ ReF(s)

ImF(s)

C

jω

Figura 9.2: Teorema de Cauchy

F(s). Conviene recordar que el argumento del vector F(s) se forma de la manera siguiente. En elplano s se definen los vectores que unen los polos y ceros de F(s) con el punto generico s. Puesbien, es facil ver que el argumento de F(s) se forma sumando los argumentos de los vectores desdelos ceros y restando los argumentos de los vectores desde los polos (figura 9.3).

Supongase ahora que se define una curva cerrada C en el plano s y la correspondiente curvaimagen F(C) en el plano F(s). Supongase, ademas, que la curva C se recorre en un determinado

162 Criterio de Nyquist

Figura 9.3: Aplicacion del contorno C1: (a) C1 no rodea ningun polo ni cero; (b) C1 rodea un polo

sentido (por ejemplo, el de las agujas del reloj). A la curva imagen F(C) se asociara tambien unsentido.

El teorema de Cauchy establece que el numero de veces que la curva F(C) rodea al origen(tomando el sentido positivo el de las agujas del reloj) es igual a la diferencia entre el numero deceros y el de polos que encierra la curva C en el plano s. Es decir,

N = Z−P

en donde N es el numero de veces que la curva F(C) rodea al origen, y Z y P representan, respec-tivamente, el numero de ceros y de polos contenidos en la curva C en el plano s.

Nyquist baso su criterio en una aplicacion muy ingeniosa del teorema de Cauchy. Consideroun sistema realimentado con realimentacion unitaria, como el de la figura 9.4. La funcion detransferencia del sistema en bucle cerrado correspondiente viene dado por la expresion

-

+UH(s)

Y

Figura 9.4: Sistema realimentado con realimentacion unitaria

T (s) =G(s)

1+G(s)

de esta expresion resulta claro que los polos de T (s) son los ceros de 1+G(s).

Para estudiar la estabilidad de un sistema en bucle cerrado Nyquit propuso definir en el planos la curva cerrada C que se muestra en la figura 9.5, y que recibe la denominacion de contorno de


Nyquist. Este contorno rodea el semiplano de parte real positiva del plano complejo. Es decir, laregion del plano complejo en la que no debe haber polos de la funcion de transferencia en buclecerrado, si se quiere que el sistema sea estable.

H(C)H(s)

0

jω

R = ∞

A

C

B

σ−1

1+H(s)

ImH(s)

ReH(s)

Figura 9.5: Contorno de Nyquist C para estudiar la estabilidad

Hemos visto que los polos de la funcion de transferencia en bucle cerrado T (s) son los cerosde 1 + G(s). Por tanto, la estabilidad del sistema en bucle cerrado estara garantizada si no existeceros de 1+G(s) en el interior del contorno de Nyquist.

Veamos ahora como se construye la funcion G(s). Para ello basta observar que el contornode Nyquist se compone de tres partes. La recta OA que corresponde al eje imaginario del planocomplejo y que, por tanto, corresponde a la funcion de transferencia G( jω) para valores positivosde ω. La recta BO correspondiente a la parte negativa del eje imaginario. Y, por ultimo, a la curvaque une AB, que se encuentra situada en el infinito del semiplano positivo del plano s. Por tanto,al recorrer OA, se esta recorriendo G( jω) para valores de ω de cero a infinito. Analogamente, alrecorrer BO se esta recorriendo G( jω) desde menos infinito a cero. Por ultimo, al recorrer de A aB se esta en valores de s con modulo infinito. En este ultimo caso, si G( jω) es tal que el grado delpolinomio del numerador es menor que el del denominador, esta funcion tomara el valor cero.

Aplicando el teorema de Cauchy, para el caso F(s) = 1+G(s), se puede decir que un sistemarealimentado, con realimentacion unitaria, es estable si y solo si G(C) rodea al punto crıtico s =−1, en el sentido de las agujas del reloj, un numero de veces igual al numero de polos inestablesde la funcion de transferencia G(s).

Conviene observar que la parte de G(C) correspondiente al semieje imaginario [0, j∞] es, enrealidad, la representacion polar de la funcion de transferencia G(s). Ası mismo, la parte corres-pondiente al semieje imaginario negativo [− j∞,0] es simetrica con relacion a esa representacionpolar. Por lo que respecta a la parte correspondiente al semicırculo de radio infinito (y eventual-mente a un semicırculo infinitesimal que rodee al origen) es evidente que si la funcion de trans-ferencia es tal que el grado del numerador es inferior a del denominador, se reduce a un punto.Por todo ello, el trazado de G(C) es inmediato conociendo la representacion polar de la funcionde transferencia G( jω).


ReH(s)

ImH(s)

ω = ∞ω =−∞−1

ω < 0

ω > 0

Figura 9.6: Diagrama polar y contorno G(C) para un sistema de primer orden

Por ejemplo, en 9.6a se tiene la representacion de la funcion de transferencia

G(s) =1

(1+ τs)

A partir de esta representacion grafica, se desprende que G(C) tendra la forma que se indica en lafigura 9.6b. Aplicando el criterio de Nyquist se tiene que este sistema es estable (lo que sucedepara todos los sistemas de primer orden cuya funcion de transferencia sea de la forma 9.6).

σ

C

R = ∞

C0

jω

−1 ω =−∞ω = ∞

R = ∞

ω−

ω+

ReH(s)

ImH(s)

H(C0)

Figura 9.7: Contorno de Nyquist y G(C) para un sistema con un polo en el origen

En la figura 9.7 se tiene otro ejemplo de aplicacion del criterio de Nyquist, el correspondientea la funcion de transferencia

G(s) =1

s(1+ τs)

en este caso se tiene que la funcion de transferencia G(s) presenta un polo en el origen, el cual debeser evitado por el contorno de Nyquist, por lo que se recurre a modificarlo ligeramente anadiendoel contorno infinitesimal C0 que se muestra en la figura 9.7. Es facil ver que la adicion de estecontorno no modifica el planteamiento anterior.


Un ultimo ejemplo que vamos a considerar es el siguiente

G(s) =s+1

s(s

10−1)

(9.13)

En este caso se tiene que el sistema presenta un polo inestable. En la figura 9.8 se tiene el trazadoG(C) correspondiente.

ω < 0

ω > 0

Re

Im

ω≈ 0

Figura 9.8: Diagrama de Nyquist del sistema del ejemplo

En el diagrama de la figura 9.8 el punto crıtico se ha representado en funcion de la gananciaK. Observese que la pequena desviacion C0 alrededor del polo s = 0 (figura 9.9) da lugar a ungran arco en el infinito. Este arco se situa en el semiplano izquierdo, ya que atraviesa el eje realnegativa debido a la contribucion de fase de 180 grados del polo en el semiplano de la derecha.

Para valores grandes de K (Kg en la figura 9.8) se observa que G(C) rodea al punto crıtico enel sentido contrario de las agujas del reloj; es decir, N =−1. Por otra parte P = 1, debido al poloen el semiplano de la derecha, por lo que

Z = N +P = 0

donde se concluye que no hay raices inestables en el sistema.

Para valores pequenos de K (Kp en la figura 9.8) la curva G(C) rodea al punto crıtico en elsentido positivo de las agujas del reloj, por lo que N = +1 y Z = 2, por lo que el sistema poseedos raices con parte real negativa y es inestable.

De los anteriores ejemplos se desprende que la aplicacion del teorema de Nyquist hay quetener especial cuidado en los dos puntos siguientes:


Re

Im

−180o

Figura 9.9: Contorno C0 para el sistema del ejemplo

• Tener en cuenta la posible presencia de polos inestables en bucle abierto;

• La evaluacion del numero de vueltas en torno al punto crıtico -1 en el caso en el que hayaramas infinitas (ver el ultimo ejemplo).

Sin embargo, para los sistemas de fase mınima, es posible enunciar la siguiente regla practica:

Regla practica de Nyquist

Un sistema realimentado es estable en el caso en el que recorriendo el trazado polar de lafuncion de transferencia en el sentido de las ω crecientes el punto crıtico -1 quede a la izquierda.

9.3.1 Grado de estabilidad e interpretacion del criterio de Nyquist

Segun se acaba de enunciar en la regla practica del criterio de Nyquist se tiene que la estabilidaddepende de la posicion del punto crıtico con relacion al trazado polar de la funcion de transferencia(figura 9.10). Este hecho sugiere la conveniencia de introducir una medida de la distancia de G(C)a este punto crıtico, por lo que se define grado de estabilidad del sistema realimentado por

• El margen de ganancia Gm = 20log101A , siendo A la ganancia correspondiente a la fase de

180 grados;

• El margen de fase Φm, que es el desfase del punto correspondiente a la ganancia unidad.

En la figura 9.10 se representan Gm y Φm. La estabilidad equivale entonces a una de las condi-ciones siguientes:


ImH( jω)

1

A

ReH( jω)−1

Φm

Figura 9.10: Grado de estabilidad

• Para el vector en bucle abierto correspondiente a un modulo unidad el desfase es superior a-180 grados.

• Para una fase de 180 grados el modulo del vector de la funcion de transferencia en bucleabierto debe ser inferior as la unidad.

De este modo, los margenes de fase y de ganancia establecen las posibles variaciones de la funcionde transferencia G(s) debidas a perturbaciones eventuales que no afecten a la estabilidad del sis-tema. En la practica se considera que un margen de fase de 50 grados y un margen de gananciade 10 dB son satisfactorios. Un margen de ganancia por debajo de los 30 grados no suele seraceptable.

Parte V

Metodos clasicos de sıntesis

169

Tema 10

Compensacion de sistemasrealimentados

10.1 Introduccion.

Un sistema de control realimentado se representa esquematicamente como se indica en la figura10.1. Sobre este esquema vamos a recordar una serie de conceptos que consideramos de interes.

K G(s)

H(s)

��

��@@

@@��

- - - -

6

�

r(t) + e u y(t)

− m

Figura 10.1: Sistema de Control realimentado

• Cadena directa o de accion, es la que une los elementos comprendidos entre la senal deerror y la de salida. Ambas senales estan relacionadas por la expresion,

Y (s)E(s)

= KG(s)

siendo G(s) la funcion de transferencia del sistema considerado.

171

172 Introduccion.

• Cadena de realimentacion, es la que une la senal de salida con la de informacion m(t), quees comparada con la de referencia. Ambas senales se relacionan ası,

M(s)Y (s)

= H(s)

En este caso H(s) es la funcion de transferencia de la cadena de realimentacion.

• Se llama bucle abierto, al conjunto de elementos que constituyen todo el sistema, si este seabriese por el punto m(t), es decir, como si la senal de entrada fuese e(t) y la de salida m(t).La funcion de transferencia del conjunto ası dispuesto serıa

M(s)E(s)

= KG(s)H(s)

• Se llama bucle cerrado, al sistema conectado como se indica en la figura 10.1. Las senalesy(t) y r(t) se relacionan por la conocida formula, facil de deducir,

Y (s)R(s)

=KG(s)

1+KG(s)H(s)

Observese que, en este caso, la senal de actuacion sobre el sistema es proporcional a lasenal de error. Se trata pues de un control proporcional (P). El valor de la ganancia K delamplificador sera, por tanto, un parametro susceptible de ser variado de acuerdo con lasnecesidades del problema.

En lo que sigue se supondra siempre que la cadena de realimentacion es unitaria, con loque el esquema fundamental quedara de la forma que se indica en figura 10.2 y quedando lafuncion de transferencia en bucle cerrado reducida a

Y (s)R(s)

=KG(s)

1+KG(s)

Naturalmente en este caso cadena de accion y bucle abierto son dos conceptos coincidentes.

• Por ultimo, en algunas ocasiones se recurrira a algun servosistema fısico, concretamenteal conocido servomecanismo elemental de posicion, que responde en bucle abierto a unaecuacion diferencial lineal de la forma

Jd2ydt2 + f

dydt

= u(t)

siendo en este caso y(t) un angulo (θ), J la inercia del conjunto motor-carga y f el coefi-ciente de friccion viscosa del mismo conjunto.

Para que un sistema de control realimentado actue aceptablemente, necesita satisfacer unasdeterminadas especificaciones de funcionamiento, tanto para su regimen permanente como parasu transitorio que, normalmente, no se consigue con los elementos que constituyen el bucle decontrol.

Compensacion de sistemas realimentados 173

K G(s)��

��@@

@@��

- - - -

6

r(t) + e u y(t)

− m

Figura 10.2: Sistema de Control realimentado unitariamente

Hay veces en que un simple aumento de la ganancia estatica es suficiente para lograr precision,sin que se afecte demasiado a las caracterısticas en estado transitorio. No obstante, como lo normales que estas se vean empeoradas con una actuacion de este tipo, o en el mejor de los casos, no seconsigan exactamente las que se pretende que tenga el sistema, es por lo que se desarrollaran acontinuacion los procedimientos de compensacion que se han dado en llamar Clasicos en razonde ser los primeros que se utilizaron.

Por el hecho de introducir una compensacion sobre el bucle antes mencionado, el esquema semodifica de alguna manera, como se muestra mas adelante. Se distinguen dos tipos de compen-sacion:

• Compensacion en serie: Cuando el elemento corrector se coloca en cascada, en la cadenade accion; y

• Compensacion por realimentacion: Cuando el elemento corrector constituye una segundacadena de realimentacion, en el bucle de control.

Los esquemas basicos para uno y otro caso se muestran, respectivamente, en las figuras 10.3y 10.4.

Como ya se ha indicado, en el caso de la compensacion en serie, la red correctora se colocaen cascada con los elementos de la cadena de accion, y delante del amplificador para que el nivelde potencia a que trabaje sea el del error, es decir, bajo. Ası mismo, se distinguiran tres tipos deacciones:

• Accion proporcional mas derivada (PD);

• Accion proporcional mas integral (PI) y

• Accion proporcional mas integral y mas derivada (PID).

174 Analisis en el dominio de la frecuencia de la red PD

Gr(s) K G(s)� ��

- - - - -

6

r(t) + e u′ u y(t)

− m

Figura 10.3: Compensacion en serie

K G(s)

Gr(s)

� ��

� ��

- - - - -

66

�

r(t) + e u y(t)

− m

Figura 10.4: Compensacion por realimentacion

10.2 Analisis en el dominio de la frecuencia de la red PD

Tiene lugar cuando la senal de mando del sistema es la suma de los terminos, proporcional yderivado de la senal de error. En este caso se dice que la compensacion es del tipo PD. La funcionde transferencia de una red de este tipo es de la forma,

Gr(s) = K (1+ τs)

La discusion del caso general se hara en el dominio de la frecuencia, en donde los resultadosadquieren mayor generalidad y sencillez. Para ello se estudiara en primer lugar la respuesta enfrecuencia de un corrector PD. Su representacion en Bode es la que se indica en la Fig. 10.5.Vemos pues que la red, a frecuencias mayores que 1

τ aumentara la fase y la magnitud de la cadenade accion del sistema en el que se introduce.

Para frecuencias algo menores que 1τ el efecto es menos notorio llegando a ser despreciable

para frecuencias bajas.

En el diagrama de Bode, que se representa en la figura 10.6, se observan dos efectos funda-mentales sobre la respuesta en frecuencia de un sistema:


1/τ-360

-310

-260

Fas

e(gr

ados

)1/τ

ω(rad/s)

Am

plitu

d(dB

)

+20dB/dec

Figura 10.5: Diagrama de Bode para red PD

1. Aumento del ancho de banda: contrapartida, en el dominio de la frecuencia, de la dismin-ucion del tiempo de subida en la respuesta temporal del sistema. Este efecto es mas notableen el diagrama de Black, como se vera un poco mas adelante, ya que allı se trata la respuestadel sistema en bucle cerrado.

2. Aumento del margen de fase: contrapartida, en el dominio de la frecuencia, de la dismin-ucion de la sobreoscilacion en el dominio del tiempo.

ω(rad/s)

Fas

e(gr

ados

)

Am

plitu

d(dB

)

Compensada

Sin compensar

Compensada

Sin compensar

MF1

MF2

0 dB

-180o

Figura 10.6: Bode sistema con compensacion PD

Las figuras 10.7 y 10.8 muestran la variacion de la funcion de transferencia en bucle abierto deun sistema en el diagrama de Black, al introducir un corrector PD. Si se elige 1

τ < wR, se consiguendos efectos:

176 Analisis en el dominio de la frecuencia de la red PD

1. Disminuir el pico de resonancia (Mr) del sistema en bucle cerrado y

2. Aumentar la frecuencia de resonancia.

-360 -270 -180 -90 0Fase(grados)

0

30

60A

mpl

itud(

dB)

Figura 10.7: Diagrama de Black red PD

-300 -240 -180 -120 -60Fase(grados)

-100

-50

0

50

100

Am

plitu

d(dB

)

Compensado

Sin compensar

Figura 10.8: Diagrama de Black sistema con comp. PD

Estos efectos de la red PD en el diagrama de Black tienen sus correspondientes en el dominiodel tiempo, a saber:

• Aumento de la frecuencia de resonancia equivale a decir aumento del ancho de banda delsistema en bucle cerrado; por tanto, el sistema deja pasar un espectro mayor de frecuencias.La consecuencia inmediata es una respuesta mas rapida y, en consecuencia, un menor tiempode subida.


• Disminuir el pico de resonancia, tiene como consecuencia un aumento del margen de fase,y se sabe que este efecto va muy ligado a una disminucion de la sobreoscilacion del sistemaen bucle cerrado.

Queda anadir, finalmente, que las redes PD, son irrealizables fısicamente, porque el gradode su polinomio numerador es mayor que el grado de su polinomio denominador. No obstante,en un sistema electrico, sı se puede conseguir una red de este tipo utilizando elementos activos,aunque aun en este caso, la solucion no tiene interes practico ya que estas redes presentan uncomportamiento muy malo frente a los ruidos.

10.3 Analisis en el dominio de la frecuencia de la red PI

En este caso, la senal de mando es la suma de un termino proporcional y otro integral, de la senalde error.

u(t) = K e+Ki

∫ t

0e dt

La compensacion es denominada PI y la funcion de transferencia de una red de este tipo sera:

Gr(s) = K(1+1τs

) = K(1+ τs

τs)

El efecto sobre el sistema es, pues, anadir un polo en el origen (cambia el tipo del mismo) y unaaccion derivada.

La respuesta en frecuencia de un corrector PI se muestra en la figura 10.9. Se ve que su accionconsiste en disminuir la fase del sistema original, aumentando simultaneamente la ganancia enbajas frecuencias. Para altas frecuencias, no modifica la respuesta.

1/τ ω(rad/s)

-90

-45

0

Fas

e(gr

ados

)

1/τ

Am

plitu

d(dB

)

-20dB/dec

Figura 10.9: Respuesta en frecuencia Red PI

178 Analisis en el dominio de la frecuencia de la red PI

ω(rad/s)

Fas

e(gr

ados

)

Am

plitu

d(dB

) Compensado

Sin compensar

Sin compensar

Compensado

MF1

MF2

-180o

0 dB

Figura 10.10: Efecto Red PI

El efecto de una red PI sobre un sistema puede verse en la figura 10.10.

La figura 10.10, muestra que 1τ debe elegirse menor que wR para afectar solamente la respuesta

del sistema a bajas frecuencias y aumentar la precision del mismo, ya que si por el contrario, seelige 1

τ > wR aumentara el pico de resonancia, pudiendo llegarse a inestabilizar el sistema original,como muestra la figura 10.10.

La accion PI se utiliza cuando se quiere mejorar el regimen permanente de un sistema, es decir,cuando se quiere disminuir el error de seguimiento, y cuando se quiere que el sistema en cuestionsea insensible a variaciones en la carga.

La introduccion de una red PI es causa de que el sistema, en bucle cerrado, tenga peor regimentransitorio. Se puede dar una interpretacion fısica de ello muy simple, y que servira para compararel efecto de esta red, con el que proporciona una red PD.

La figura 2.6 muestra en diferentes pasos, como en este caso, la inversion del par corrector serealiza con posterioridad al alineamiento de ambos ejes. La consecuencia de ello es que aumentarala sobreoscilacion y disminuira el tiempo de subida, y el sistema sera mas inestable.

En resumen una red PI:

• Cambia el tipo del sistema (anade un polo en el origen),

• Aumenta la sobreoscilacion y disminuye el tiempo de subida de la respuesta temporal enbucle cerrado.

• Aumenta la precision estatica, compensando las variaciones de la carga a la salida.

La red PI se encuentra en el mercado con facilidad, llevando normalmente incorporado el


-100 -80 -60 -40 -20 0Fase(grados)

0

25

50

Am

plitu

d(dB

)

Figura 10.11: Respuesta PI.(Black)

comparador, con lo que el conjunto forma lo que se llama un regulador de accion PI.

10.4 Accion proporcional, integral y diferencial (PID)

Como facilmente se comprende, en este caso, la senal de mando contiene tres terminos, de talsuerte que la funcion de transferencia del compensador que recibe el nombre de PID es:

u(t) = K e+Ki

∫ t

0e dt +Kd

dedt

Gr(s) = K (1+1

τ1s+ τ2s) =

Kτ1s

(1+ τ1s+ τ1τ2s2)

Se ve pues que, con una accion PID, al sistema se le anade un polo en el origen (se cambiael tipo), una accion derivada primera, y una accion derivada segunda. Tomando τ1 = τ2 = τ eldiagrama de Bode queda como indica la figura 10.12 y su efecto sobre un sistema se muestra enla figura 10.13.

Si se elige 1τ < ωR (que era condicion para el caso de correctores PD y PI) se pueden conseguir

buenas caracterısticas, tanto en el regimen transitorio como en el permanente, es decir, es posiblebeneficiarse de los efectos de ambos tipos de redes.

180 Accion proporcional, integral y diferencial (PID)

1/τ ω(rad/s)

-90

0

90

Fas

e(gr

ados

)

1/τ ω(rad/s)

Am

plitu

d(dB

)-20dB/dec 20dB/dec

Figura 10.12: Respuesta en frecuencia Red PID

-300 -240 -180 -120 -60Fase(grados)

-100

-50

0

50

100

Am

plitu

d(dB

)

Figura 10.13: Diagrama de Black sistema con comp. PID


10.5 Compensacion por avance de fase

Como se ha visto en el tema anterior una red PD aumenta la fase de la funcion de transferenciadel sistema a corregir para frecuencias proximas a 1

τ y superiores, es decir, aumenta el margen defase (disminuye la sobreoscilacion) y aumenta el ancho de banda (disminuye el tiempo de subida).Tambien se ha dicho que una red PD es irrealizable fısicamente.

No obstante, es posible conseguir elementos correctores que constituyen una aproximacion auna red PD, en el rango de frecuencias en que los efectos son interesantes. Estas redes reciben elnombre de redes de adelanto de fase.

Las redes de adelanto de fase tienen una funcion de transferencia de la forma:

Gr(s) =1+ τs

1+ατs; α < 1 =⇒ 1

τ<

1ατ

cuya representacion grafica se tiene en la figura 10.14.

1/τ 1/atω(rad/s)

-360

-330

-300

Fas

e(gr

ados

)

1/τ 1/atω(rad/s)

0 dB

|20logα|

Am

plitu

d(dB

)

Figura 10.14: Respuesta en frecuencia Red de adelanto de fase

La forma de la grafica justifica ampliamente la denominacion de red de adelanto de fase. Suefecto constituye una aproximacion excelente a una red PD. En efecto, la accion de una red deadelanto de fase sobre la funcion de transferencia del sistema en bucle abierto se muestra en lafigura 10.15; si se compara esta con la figura 10.6, se observara que los efectos sobre el anchode banda y el margen de fase son practicamente los mismos que los que produce una red PD. Ladiferencia entre ambas redes radica en el termino (1 + ατs) cuyo efecto sobre el ancho de banday sobre el margen de fase es practicamente despreciable si se elige convenientemente el valor de1/ατ. Este valor, como es natural, debe elegirse notablemente superior al de la frecuencia para lacual la ganancia es 0dB, con objeto de que su efecto sea despreciable. Los criterios que presidiranla eleccion de estos valores se veran mas adelante, al considerar los metodos de diseno. Lo queaquı interesa resaltar es el caracter de aproximacion a la red PD que presenta la red de adelanto defase.

182 Compensacion por avance de fase

10-1

100

101

102

103

ω(rad/s)

Fas

e(gr

ados

)

Am

plitu

d(dB

)

Sin compensar

Compensado

Compensado

Sin compensar

MF2

0 dB

-180o

Figura 10.15: Efecto Red de adelanto de fase

En el mercado se pueden encontrar redes de adelanto de fase de tipo neumatico, hidraulico oelectrico, por ejemplo. A continuacion se propone una red para un servosistema de tipo electrico,de facil realizacion, y que se muestra en la figura 10.16. En esta se tiene:

ei

C

R

R′ es

Figura 10.16: Realizacion de una red de avance

ei = jZ + eo con e0 = jR′

siendo

Z =R 1

jwC

R+ 1jwC

=R

1+ jwCR


ei =eo

R′Z + e0 =

e0

R′(Z +R′) =

e0

R′(

R1+ jwCR

+R′) =eo

R′R+R′+ jwCRR′

1+ jwCR

e0

ei=

R′(1+ jwCR)

R+R′+ jwCRR′=

R′

R+R′.

1+ jwCR

1+ jwC. RR′R+R′

y llamando R′R+R′ = α y τ = CR queda

G′r(s) =e0

ei= α

1+ jwτ1+ jwατ

; Gr(s) =1α

G′r(s) =es

ei=

1+ jwτ1+ jwατ

como funcion de transferencia de la red.

10.6 Efecto en el dominio de la frecuencia

La respuesta en frecuencia de esta red electrica de adelanto de fase, se muestra en la figura 10.15.

De la expresion de la funcion de transferencia se puede ver que el desfase que produce la redpropuesta es:

tanΦ =wτ−wτα1+αw2τ2

y la frecuencia a la cual se produce el maximo:

w = wm =

√

1τ

1τα

=1τ

√

1α

el valor de Φ = Φm es maximo,

tanΦm =wmτ(1−α)

1+αw2mτ2 =

wmτ(1−α)

1+1=

1−α2√

α

y de aquı

sen Φm =tanΦm

1+ tan2 Φm=

1−α2√

α√

1+ (1−α)2

4α

=1−α√

4α+1+α2−2α=

1−α1+α

relacion esta mas manejable que la anterior y que da el valor de para el margen de fase apetecido,Φm. El valor de τ se deducira de la expresion

wm =1τ

√

1α

=⇒ 1τ

= wm√

α

184 Metodo practico

sustituyendo wm por la pulsacion para la cual queremos que se produzca el maximo adelanto defase.

Debe hacerse notar que para que la ganancia estatica del sistema no quede afectada, hay queaumentar la ganancia del amplificador en el valor 1

α , siendo α la atenuacion que produce la red abajas frecuencias.

La figura 10.17. muestra el efecto de una red de adelanto de fase sobre la respuesta en buclecerrado del sistema, en el plano de Black. Puesto que se pretende un efecto del tipo PD, secomprende facilmente que la frecuencia wR debe situarse en las proximidades de la frecuencia deresonancia del sistema wR para que de esta forma la nueva frecuencia de resonancia w

′R sea menor

que wR. Asimismo, el pico de resonancia M′ sera menor que el anterior, M.

-300 -240 -180 -120 -60Fase(grados)

-150

-50

50

Am

plitu

d(dB

)

Compensada

Sin compensarωm2

ωm1Mm

Figura 10.17: Diagrama de Black sistema con Red de adelanto de fase

NOTA: Otros autores utilizan como expresion de la funcion de transferencia de la red la si-guiente expresion

1a

1+ τ′as1+ τ′s

siendo las equivalencias entre esta y la estudiada anteriormente, las siguientes:

1a

= α τwm =1√a

τ′ = ατ sen Φm =a−1a+1

10.7 Metodo practico

Para ver el metodo practico de compensacion mediante una red de avance, lo haremos con la ayudade un ejemplo. Dicho ejemplo consiste en compensar el sistema cuya funcion de transferencia enbucle abierto es:


G(s) =K

s(1+ s)(1+0.0125s)

para que cumpla las siguientes especificaciones:

1. Margen de fase > 50◦,

2. Error de seguimiento para una entrada u(t) = t, menor que el 1 %.

Resolucion:

• Para cumplir la especificacion de regimen permanente,

Kv = K =RE

=1

0.01= 100

• Las dos frecuencias de esquina son 1 y 10.0125 = 80

• En Bode se ve que el sistema es inestable. El margen de fase es de unos −2◦ aproximada-mente.

• Se compensara el sistema mediante una red de adelanto.

• Para el calculo de α, se toma un angulo Φm algo mayor que el mınimo requerido, porejemplo 55◦ y se tendra que,

sen 55◦ =1−α1+α

= 0.82 de donde α≈ 0.1

Para hallar τ se procede ası:

1. Se calcula la atenuacion total de la red, que sera:

20 logα = 20log0.1 =−20 dB

2. Se busca la frecuencia para la cual la atenuacion del sistema es la mitad que la de la red,es decir, −10 dB, y se elige aquella como la frecuencia para la que se quiere la maximadesviacion de fase. Con ello, en el nuevo punto de corte (que estara desplazado ligeramentehacia la derecha con respecto al anterior), se tendra el margen de fase buscado.

Por lo dicho,

wm =1

τ√

α= 18 rad/seg

luego

w1 =1τ

= wm√

α = 5.7 rad/seg.

w2 =1

ατ=

wm√α

= 57 rad/seg.

186 Metodo practico

Ası la funcion de transferencia de la red sera

G′r(s) = α1+ τs

1+ατs= 0.1

1+ 15.7 s

1+ 157 s

o Gr(s) =1+0.1754s1+0.01754s

Para que la ganancia a bajas frecuencias no se altere, ha de introducirse una ganancia adicionalde Ka = 1/α = 10, con lo que el sistema, una vez corregido, tendra como funcion de transferencia:

G′(s) =100(1+ 1

5.7 s)

s(1+ s)(1+0.0125s)(1+ 157 s)

Con este ejemplo se han ilustrado los pasos necesarios para la colocacion de una red de avancede fase, de forma que su aprovechamiento sea el maximo posible.

10-1

100

101

102

103

ω(rad/s)

Am

plitu

d(dB

)

ω2ωm

ω10dB

-10dB

Figura 10.18:

apuntes de regulaci´on autom´atica

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