apuntes de matemáticas para la economía i

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Universidad Carlos III de Madrid

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Unin de Estudiantes de Ciencias Econmicas | AECUC3M APUNTES MATEMTICAS PARA LA ECONOMA I Tema1FuncionesdeVariableReal1.1. LaRectaRealLos n umeros reales se pueden ordenar como los puntos de una recta.Los enteros positivos {1, 2, 3, 4, . . .} que surgen al contar, se llaman n umeros naturales(el cero se puede considerar o no como un n umero natural, nosotros no lo haremos).Las operaciones aritmeticas deadicionymultiplicacionsepuedenhacer dentrodelosn umerosnaturalesperolarestayladivisionnosllevaaintroducirlossiguientesn umeros:cero: 3 3 = 0,negativos: 2 6 = 4,fracciones: 3 5 =35.Por tanto, podemos clasicar los n umeros de la manera siguiente:Naturales: N = {1, 2, 3, 4, . . .}Enteros: Z = {. . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}el cero junto con los enteros positivos y negativosRacionales: Q =

mn: m, n Z, n = 0

Irracionales:sonlosn umerosrealesquenosonracionales, comoporejemplo2, , eReales: R = Irracionales + Racionales2 Funciones de Variable RealTodos estos n umeros aparecen como solucion de ecuaciones:x 1 = 0 x = 1,x + 3 = 0 x = 3,2x + 1 = 0 x = 12,x2= 2 x = 2,x2+ 1 = 0 x = 1/ R Son los n umerosComplejos:C = {a + bi : a, b R, i =1}.METODOSDERAZONAMIENTOMATEMATICOLa denicion de los n umeros naturales es la siguiente:1 N. Sin N, tambien pertenecen + 1Veamos como funciona esta denicion:3 N 3 + 1 = 4 N,3/2/ N 3/2 + 1 = 5/2/ N.Esta denicion de los n umeros naturales nos introduce el proceso de induccion:DemostracionporinduccionEs una tecnica para probar una armacion realizada sobre cada n umero natural:La armacion es verdadera paran = 1Si la armacion es verdadera paran N, entonces tambien es verdadera parasu sucesor:n + 1 NEsto implica que la armacion es cierta para todo n umero naturaln.Como ejemplo, podemos probar por induccion quen

i=1i =n(n + 1)2.DemostracionDirectaLa idea es probar la armacion directamentePor ejemplo, para demostrar que (a b)(a + b) = a2b2,solo tenemos que operar directamente (a b)(a + b) = a2ba + ab b2= a2b2.1.1. La Recta Real 3DemostracionporcontradiccionoReductioadabsurdumQueremos probar una hipotesisAsumimos lo opuesto a la hipotesis yTerminamos con una contradiccionConcluimos que la hipotesis es verdaderaComo ejemplo, mostraremos que 2 es irracional:2 Q 2 =abfraccion irreducible.2 =ab 2 =a2b2 a2= 2b2a2es par a par a = 2r a2= 4r = 2b2b2par b par.Sia yb son pares, entoncesabno puede ser una fraccion irreducible contradiccion!2/ Q.DESIGUALDADES,VALORABSOLUTOPropiedadesdeOrdende Ra, b, c R1. Solo una de las siguientes armaciones se verica:a < b, a = b, a > b2. Sia < b yb < c, entoncesa < c3. Sia < b entoncesa + c < b + c para todo n umero realc4. Sia < b yc > 0 entoncesac < bcSia < b yc < 0 entoncesac > bcPropiedad. Entre dos n umeros reales distintos existen innitos n umeros racionales eirracionales.Denicion1.1.1El ValorAbsoluto dex R es:|x| =

x, six 0,x, six < 0.Tenemos la denicion alternativa: |x| =x2.La idea geometrica del valor absoluto es la de distancia. Por ejemplo, que puntos estana distancia 3 del 0? La respuesta es |x| = 3, es decirx = 3.Denicion1.1.2Six, y R la distancia entrex eyesd(x, y) = |x y|.4 Funciones de Variable RealPropiedadesdelvalorabsolutox, y R1. |x| = 0x = 02. | x| = |x|3. |xy| = |x||y|4. |x + y| |x| +|y|5. ||x| |y|| |x y|Intervalosen RIntervalo abierto: (a, b) son todos los valores dex tal quea < x < b.Intervalo cerrado: [a, b] son todos los valores dex tal quea x b.Intervalo semi-abierto: [a, b) son todos los valores dex tal quea x < b.Intervalo semi-abierto: (a, b] son todos los valores dex tal quea < x b.Intervalo semi-abierto: [a, ) son todos los valores dex tal quea x < .Intervalo abierto: (a, ) son todos los valores dex tal quea < x.Intervalo semi-abierto: (, b] son todos los valores dex tal quex b.Intervalo abierto: (, b) son todos los valores dex tal quex < b.Intervalo abierto: (, ) son todos los valores dex tal quex R.Nota. no es un n umero real, indica que el intervalo se extiende sin lmite.Denicion1.1.3SeaA un conjunto de n umerosEl supremo de A es el menor elemento de R mayor o igual a todos los elementosdeA. Es la menor de las cotas superiores.El nmo deA es el mayor elemento R menor o igual a todos los elementos deA. Es la mayor de las cotas inferiores.Si el supremo pertenece aA es tambien el maximo deA.Si el nmo pertenece aA es tambien el mnimo deA.1.2. Funciones elementales 51.2. FuncioneselementalesUnafuncionf enlosrealesesunareglaqueasignaacadan umeroxun unicon umero realf(x):x y = f(x)x: variable independiente, argumento o entrada.y: variable dependiente, valor de la funcion o salida.Denicion1.2.1SeaD Runconjunto. Unafuncionf condominioDesunaregla que asigna un unico n umero real f(x) a cada n umerox enD.Des el dominio def: Dom(f) = D.El conjunto de todos los valores defforman el rango o la imagen def:Im(f) = {y R : x D, f(x) = y}.Notacion: f :D R R.Para visualizar una funcion es muy util dibujar su graca:Denicion1.2.2Seafuna funcion con dominioD, el conjunto de puntos(x, f(x)) R2conx Dforman la graca def.Como podemos reconocer la graca de una funcion? Podemos dibujar lneas verti-cales, una curva que corta cada lnea vertical como mucho una vez, es la graca de unafuncion.Por ejemplo, y2=x tiene dos solucionesy = x, por lo que hay dos cortes concada lnea vertical parax > 0, por lo tanto no es la graca de una funcion.Si dibujamos lneas verticales, podemos observar que el dominio de una funcion esel conjunto de x0 que verican que la lnea vertical x = x0 corta la graca. De la mismaforma, si dibujamos lneas horizontales, podemos visualizar la imagen como el conjuntodey0 que verican que la lnea horizontaly = y0 corta la graca.Una funcion se puede denir mediante una formula, una graca o una descripcion.Denicion1.2.3Seaf :D R una funcion:1. fes una funcion inyectiva six1 = x2implica quef(x1) = f(x2),o, de manera equivalente, sif(x1) = f(x2) entoncesx1 = x2,esto es, si asigna argumentos distintos a valores distintos.2. f :D R se dice sobreyectiva si Im(f) = R.f :D Dse dice sobreyectiva si Im(f) = D.3. fes una funcion biyectiva o uno-a-uno si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.6 Funciones de Variable Real1.3. LmitesSeaf(x) una funcion denida para todox cerca dex0, pero no necesariamente en elpropiox = x0, si el valorf(x) defse aproxima al n umeroL cuandox se aproxima aln umerox0, decimos queLesellmitedef(x)cuandoxtiendeax0.Veamos el comportamiento de la siguiente funcion en las proximidades dex = 5:f(x) =2x27x + 3x 3x 2.9 2.9999 2.999999 3 3.000001 3.0001 3.1f(x) 4.8 4.9998 4.999998 5 5.000002 5.0002 5.2lmx3f(x) = 5f(x) =2x27x + 3x 3=(2x 1)(x 3)x 3=x=32x 1.Denicion1.3.1(Weierstrass,denicion )Sea funa funcion denida en unintervaloabiertoquecontieneax0(exceptoposiblementeenx0)yseaLunn umeroreal, entonceslmxx0f(x) = L,si > 0, > 0, 0 < |x x0| < |f(x) L| < .Nota. Podemos utilizar la denicion para probar quelmx3(2x 1) = 5.Nota.Unareglageneral muy util esescribirf(x)=Lyexpresarloenterminosdex x0 todo lo que podamos, mediante la igualdadx = (x x0) + x0.Nota. En la denicion , L y x0 son n umeros nitos. Tenemos deniciones similarespara x y tambien si el valor del lmite no es un n umero nito. Tambien podemosdenirlmiteslaterales:porladerechadex0: lmxx+0f(x)yporlaizquierdadex0:lmxx0f(x).FormasIndeterminadas,, 0,00, 0, 1, 00.A menos que lleguemos a una indeterminacion, tenemos las siguientes propiedades.1.3. Lmites 7PropiedadesSupongamos que lmxx0f(x) y lmxx0g(x) existen, parax0 nito o 1. lmxx0(c1f(x) + c2g(x)) = c1 lmxx0f(x) + c2 lmxx0g(x), c1, c2 R2. lmxx0(f(x)g(x)) =lmxx0f(x) lmxx0g(x)3. lmxx0

1f(x)

=1lmxx0f(x), si lmxx0f(x) = 04. Regla del reemplazo: si f y g coinciden para todo x cerca de x0 (no necesariamenteincluyendo ax0), entonces lmxx0f(x) =lmxx0g(x)5. Regla de la funcion compuesta: si lmxx0f(x) = L ylmxLh(x) = h(L), entonceslmxx0h(f(x)) = h( lmxx0f(x))Lmitesbasicos. Seax0 nitoa) lmxx0c = c, lmxc = cb) lmxx0x = x0, lmxx = , lmx1x= 0c) lmxx0xn= xn0,n Nd) lmxx0nx =nx0, (x0 en su dominio)e) lmxx0f(x) = f(x0) funciones trigonometricas en su dominioLema1.3.2(LemadelSandwich)SeaI unintervalotal que x0 I. Seanf, gy hfunciones denidas enI, exceptoposiblementeenel propiox0. Si lmxx0g(x) =lmxx0h(x) = L y, x I,x = x0,h(x) f(x) g(x). Entonceslmxx0f(x) = L.Nota. Podemos utilizar el lema del Sandwich para probar quelmx0sen xx= 1.8 Funciones de Variable Real1.4. ContinuidadUna funcion continua es una funcion para la que, intuitivamente, peque nos cambiosen la entrada producen peque nos cambios en la salidaDenicion1.4.1Seafuna funcion denida en (x0p, x0 + p),p > 0fse dicecontinua enx0 lmxx0f(x) = f(x0)Notese que la funcion debe estar denida en x0 para poder ser continua en ese punto. Sila funcion no es continua enx0 decimos entonces que es discontinua en dicho punto:f(x) es discontinua enx0 si

lmxx0f(x) no existe, oel lmite existe pero no es igual af(x0)Denicion1.4.2Una funcionf(x) es continua enR, si es continua en cada punto(a, b), si es continua en cada punto del intervalo[a, b], si es continua en (a, b) yf(a) =lmxa+f(x), f(b) =lmxbf(x)PropiedadesbasicasSeanf, g continuas enx0, entonces las siguientes funciones son continuas enx01. c1f + c2g, c1, c2 R2. fg3.1f, sif(x0) = 04. Funcion compuesta: si g es continua en x0 y fes continua en g(x0), entonces f ges continua enx0AlgunasfuncionescontinuasLas siguientes funciones son continuas en sus dominiosa) p(x) polinomios,p(x)q(x)funciones racionales,nxb) funciones trigonometricas: sen(x), cos(x), tan(x), arcsen(x), . . .c) funciones hiperbolicas: senh(x), cosh(x), . . .d) exp(x) y ln(x)1.4. Continuidad 9Teorema1.4.3(TeoremadelValorIntermedio)Si f(x) es una funcion continuaen [a, b] yKes cualquier n umero entref(a) yf(b), entonces existe un valorc [a, b]que vericaf(c) = K.Teorema1.4.4(TeoremadeBolzano)Sif(x) es una funcion continua en [a, b] yf(a) f(b) < 0, entonces existe un valorc (a, b) que vericaf(c) = 0.Denicion1.4.5Una fun