apuntes de logica matem´atica 2. l´ogica de .el calculo proposicional no es suficientemente fuerte

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  • Apuntes de Logica Matematica

    2. Logica de Predicados

    Francisco Jose Gonzalez Gutierrez

    Cadiz, Abril de 2005

  • Universidad de Cadiz Departamento de Matematicas

    ii

  • Leccion 2

    Logica de Predicados

    Contenido2.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.1.1 Predicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.1.2 Universo del Discurso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.1.3 Predicados y Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.2 Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    2.2.1 Cuantificador Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    2.2.2 Valor de Verdad del Cuantificador Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    2.2.3 Cuantificador Existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    2.2.4 Valor de Verdad del Cuantificador Existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    2.2.5 Alcance de un Cuantificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    2.3 Calculo de Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    2.3.1 Implicacion Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    2.3.2 Equivalencia Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    2.3.3 Leyes de De Morgan Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    2.3.4 Regla general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    2.3.5 Proposiciones al Alcance de un Cuantificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    2.3.6 Predicados al Alcance de un Cuantificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    2.3.7 Asociatividad y Distributividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    2.1 Definiciones

    Cualquier teora cientfica aspira a enunciar leyes, postulados, definiciones, teoremas, etc... con unavalidez mas o menos universal y, en cualquier caso, bien precisada. A menudo interesa afirmar que todoslos individuos de un cierto campo tienen la propiedad p o que algunos la tienen.

    El calculo proposicional no es suficientemente fuerte para hacer todas las afirmaciones que se necesitanen matematicas. Por ejemplo, afirmaciones como x = 5 o x > y no son proposiciones ya queno son necesariamente verdaderas o falsas. Sin embargo, asignando valores concretos a las variables xe y, las afirmaciones anteriores son susceptibles de ser verdaderas o falsas, es decir, se convierten enproposiciones.

    En castellano tambien ocurren situaciones similares, por ejemplo,

    27

  • Universidad de Cadiz Departamento de Matematicas

    Ella es alta y rubia.

    El vive en el campo.

    Ella, el y el campo se utilizan como variables,

    x es alta y rubia.

    x vive en y

    2.1.1 Predicado

    Es una afirmacion que expresa una propiedad de un objeto o una relacion entre objetos. Estasafirmaciones se hacen verdaderas o falsas cuando se reemplazan las variables (objetos) por valoresespecficos.

    Ejemplo 2.1 La afirmacion p(x) : x es alta y rubia es un predicado que expresa la propiedad delobjeto x de ser alta y rubia. Si sustituimos la variable x por un valor determinado, por ejemplo Laura,entonces el predicado se transforma en la proposicion Laura es alta y rubia que podra ser verdaderao falsa. El predicado q(x) : x vive en y expresa una relacion entre los objetos x e y. Si sustituimos xpor Pedro e y por Madrid, obtendremos la proposicion Pedro vive en Madrid.

    Ejemplo 2.2 Los predicados se usan frecuentemente en sentencias de control en lenguajes de progra-macion de alto nivel. Por ejemplo, la sentencia

    Si x > 5, entonces z := y

    incluye el predicado x > 5. Cuando se ejecuta la sentencia, el valor de verdad de la afirmacion x > 5se determina usando el valor que tenga la variable x en ese momento. El predicado se convierte en unaproposicion cuyo valor verdadero es verdad o falso.

    Ejemplo 2.3 El predicado p(x, y) : x + y > 5 tiene dos variables.

    2.1.2 Universo del Discurso

    Llamaremos de esta forma al conjunto al cual pertenecen los valores que puedan tomar las variables. Lonotaremos por U y lo nombraremos por conjunto universal o, simplemente, universo. Debe contener,al menos, un elemento.

    Ejemplo 2.4 En una posible evaluacion del predicado p(x) : x > 5, elegiramos probablemente unconjunto numerico, por ejemplo los numeros enteros, como universo del discurso. No tendra sentidoelegir el conjunto de los colores del arco iris ya que podramos encontrarnos con situaciones tales comoazul > 5.

    2.1.3 Predicados y Proposiciones

    Si p(x1, x2, . . . , xn) es un predicado constante con n variables y asignamos los valores c1, c2, . . . , cn acada una de ellas, el resultado es la proposicion p(c1, c2, . . . , cn).

    Para transformar un predicado en proposicion, cada variable del predicado debe estar ligada.

    28

  • Logica Matematica Francisco Jose Gonzalez Gutierrez

    Ejemplo 2.5 Consideremos el predicado p(x, y) : x + y = 5 en el universo de los numeros enteros. Enprincipio las variables x e y pueden tomar cualquier valor entero, es decir estan libres.

    Si asignamos a x el valor 2 y a la y el valor 3, entonces el predicado p(x, y) se transforma en laproposicion p(2, 3) : 2 + 3 = 5 que es verdad.

    Si hubieramos asignado los valores 1 y 2 a las variables x e y, respectivamente, entonces resultarala proposicion p(1, 2) : 1 + 2 = 5 que es falsa.

    En ambos casos, las variables x e y han pasado de estar libres a estar ligadas. Hemos ligado las variablesasignandoles unos valores determinados del universo del discurso.

    Ejemplo 2.6 Las variables enteras x e y tienen los valores iniciales 3 y 8, respectivamente. Determinarlos valores de x e y despues de la ejecucion de cada una de las proposiciones siguientes. (El valor de xdespues de la ejecucion de (a) se convierte en el valor de x para la proposicion del apartado (b) y assucesivamente). (La operacion Div devuelve la parte entera de un cociente; por ejemplo, 8 Div 4=2 y 9Div 2=4).

    (a) Si y x = 5, entonces x = x 2;

    (b) Si [(2y = x) y (x Div 4 = 1)], entonces x = 4y 3;

    (c) Si [(x < 8) o (y Div 2 = 2)], entonces x = 2y, de lo contrario y = 2x;

    (d) Si [(x < 20) y (x Div 6 = 1)], entonces y = y x 5;

    (e) Si [(x = 2y) o (x Div 2 = 5)], entonces y = y + 2;

    (f) Si [(x Div 3 = 3) e (y Div 3 6= 1)] entonces y = x;

    (g) Si yx 6= 35, entonces x = 3y + 7;

    Solucion

    Los valores iniciales sonx:=3, y:=8

    (a) y x = 5 x := x 2;y x = 8 3 = 5, es decir la hipotesis es verdadera. Consecuentemente se sigue la conclusion yx := x 2 = 3 2 = 1. Los nuevos valores de x e y son, por tanto,

    x:=1, y:=8

    (b) (2y = x) (x Div 4 = 1) x := 4y 3;2y = x es falsa y x Div 4 tambien (1 Div 4 = 0), luego

    (2y = x) (x Div 4)

    es falsa y, consecuentemente, no se sigue la conclusion. Los valores de x e y siguen siendo losmismos que en el apartado anterior.

    (c) (x < 8) (y Div 2 = 2) x := 2y, de lo contrario y := 2x;x < 8 es verdadera y y Div 2 = 2 es falsa (8 Div 2 = 4) luego

    (x < 8) (y Div 2 = 2)

    es verdad y, consecuentemente, se sigue la primera de las dos conclusiones, de aqu que los nuevosvalores de x e y sean

    x:=16, y:=8

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  • Universidad de Cadiz Departamento de Matematicas

    (d) (x < 20) (x Div 6 = 1) y := y x 5;x < 20 es verdad y x Div 2 = 5 es falsa, luego

    (x < 20) (x Div 6 = 1)

    es falsa y, consecuentemente, no se sigue la conclusion, es decir, los valores de x e y no varan.

    (e) (x = 2y) (x Div 2 = 5) y := y + 2;x = 2y es verdad y x Div 2 = 5 es falsa, luego la hipotesis,

    (x = 2y) (x Div 2 = 5)

    es verdadera y, consecuentemente, y := y + 2 = 8 + 2 = 10. Los nuevos valores de x e y son, portanto,

    x:=16, y:=10

    (f) (x Div 3 = 3) (y Div 3 6= 1) y := x;x Div 3 = 3 es falsa e y Div 3 6= 1 es verdadera, por lo tanto la hipotesis

    (x Div 3 = 3) (y Div 3 6= 1)

    es falsa y los valores de x e y no cambian.

    (g) yx 6= 35 = x := 3y + 7;Como yx = 10 16 = 160 6= 35, la hipotesis es verdadera de aqu que se siga la conclusion yx := 3y + 7 = 3 10 + 7 = 37. Los valores finales de x e y son, por tanto,

    x:=37, y:=10

    Nota 2.1 En los lenguajes de programacion, aparecen estructuras de decision del tipo Si...Entonces.En este contexto, el condicional si p entonces q significa que se ejecutara q unicamente en caso de quep sea verdadera. Si p es falsa, el control pasa a la siguiente instruccion del programa.

    Ejemplo 2.7 Para cada segmento de programa contenido en los apartados siguientes, determinar elnumero de veces que se ejecuta la sentencia x := x + 1

    (a) y := 1

    Si y < 2 o y > 0 entonces

    x := x + 1

    de lo contrario

    x := x + 2

    (b) y := 2

    Si (y < 0 e y > 1) o y = 3 entonces

    x := x + 1

    de lo contrario

    x := x + 2

    (c) y := 1

    Hacer mientras y < 3

    Comienzox := x + 1

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  • Logica Matematica Francisco Jose Gonzalez Gutierrez

    y := y + 1Fin

    (d) y := 1

    Hacer mientras (y > 0 e y < 3) o y = 3

    Comienzox := x + 1y := y + 1

    Fin

    (e) y := 1

    Hacer mientras y > 0 e y < 4

    ComienzoSi y < 2 entonces

    y := y + 1de lo contrario

    y := y + 2x := x + 1

    Fin

    Solucion

    (a) Sean

    p(y) : y < 2

    q(y) : y > 0

    Otra forma de escribir el segmento de programa propuesto sera

    y:=1

    Si p(y) q(y) es verd

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