apuntes de la asignatura metodos num´ ericos de...

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

Dpto. de Matematica Aplicada I

Apuntes de la asignatura

METODOS NUMERICOS DE CALCULOTercer curso de Arquitectura.

Profesores: Marıa Angeles Rodrıguez Bellido

y Enrique Domingo Fernandez Nieto

Indice General

1 Introduccion al Calculo Numerico 3

1.1 Introduccion al Calculo Numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Introduccion al estudio del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Notacion decimal en coma flotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Condicionamiento de un problema: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Normas vectoriales y matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Normas vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Norma de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Resolucion numerica de sistemas de ecuaciones lineales 11

2.1 Condicionamiento de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 Propiedades de cond(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2 Observaciones finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Metodos directos e iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Metodos directos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.1 Observaciones concernientes a la resolucion de sistemas lineales . . 15

2.3.2 El metodo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.3 El metodo de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Metodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.1 Estudio general del Metodo Iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.2 Metodos de Jacobi, Gauss-Seidel y relajacion . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.3 Metodo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.4 Metodo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.5 Test de parada de las iteraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1

2

3 Resolucion numerica de ecuaciones diferenciales ordinarias 35

3.1 El metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.1 Tamano del paso frente al error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.2 Orden de un metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 El metodo de Heun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Metodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.1 Algoritmos de Runge-Kutta de cuarto orden . . . . . . . . . . . . . 50

3 Parte II (e. d. o. s): Resolucion numerica de ecuaciones diferenciales

ordinarias 53

3.4 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4.1 Resolucion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4.2 Ecuaciones diferenciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . 56

3.5 Problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.5.1 Caso lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4 El metodo de Diferencias Finitas 67

4.1 Esquema de mejora de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2 Otras condiciones de frontera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Apendice: Aproximacion de la derivada de una funcion a partir del desarrollo

de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5 Ecuaciones en derivadas parciales 77

5.1 Ecuaciones elıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2 Diferencias Finitas para EDP’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2.1 Tratamiento de la condicion de contorno de tipo Neumann . . . . . 82

Tema 1

Introduccion al Calculo Numerico

1. Introduccion al Caculo Numerico

(a) Introduccion al estudio del error

• Error absoluto

• Error relativo

• Notacion decimal en coma flotante (numeros maquina)

• Propagacion del error

Condicionamiento

Estabilidad

(b) Condicionamiento de un problema

(c) Estabilidad - algoritmo inestable.

2. Normas vectoriales y matriciales

3

4

1.1 Introduccion al Calculo Numerico

El Analisis Numerico es una herramienta fundamental en el campo de las Ciencias

Aplicadas.

Objetivo: Disenar metodos numericos de calculo que aproximen, de modo eficiente, la

solucion de problemas practicos previamente formulados matematicamente.

Algoritmo: Secuencia finita de operaciones algebraicas y logicas que producen una

solucion aproximada del problema matematico.

AN =⇒ diseno de algoritmos y estudio de su eficiencia

eficiencia

- requerimientos de memoria

- tiempo de calculo (rapidez)

- estimacion del error (precision)

1.1.1 Introduccion al estudio del error

El error nos proporciona la precision del metodo.

errores de

entrada

(en medidas)

+errores de

almacenamiento+

errores de

algoritmo︸︷︷︸a analizar

=

errores

de

salida

Sobre los errores de entrada nada podemos decir.

Antes de comenzar recordemos algunso conceptos que en la terminologıa estandar de

los errores se suelen usar.

Definicion 1 Error absoluto: Sea z la solucion exacta del problema y z la solucion

aproximada, se define el error absoluto como

‖z − z‖

donde ‖ · ‖ es una norma (se definira mas adelante).

(Pensar en ‖ · ‖ como el modulo).

5

Desde el punto de vista de las aplicaciones, resulta mucho mas relevante el

error relativo ∥∥∥∥z − z

z

∥∥∥∥

Nota 1 Si z = 0 solo se trabaja con errores absolutos.

1.1.2 Notacion decimal en coma flotante

Es una forma de representacion de numero que contiene la informacion relevante com-

puesta por:

signo + fraccion + signo para el exponente + exponente.

Por ejemplo, -618.45 se puede expresar como:

−618.45 + 0 − 61.845 + 1 − 6184.5− 1 − 6.1823 + 2

que significa:

−618.45× 100 − 61.845× 10 − 6184′5× 10−1 − 6.1845× 102

De todas ellas, se llama notacion decimal en coma flotante normalizada a aquella en

la que la fraccion esta comprendida entre 0 y 10.

±m ± E 1 ≤ m < 10, E ∈ N ∪ 0

• Los numeros representables de forma exacta en el ordenador se llaman numeros maquina

Nota 2 Los ordenadores almacenan la informacion en posiciones de memoria (o bit ≡Binary Digit), que solo toman valores 0/1, encendido/apagado, positivo/negativo . . . . . .

luego utilizan la representacion binaria.

Progagacion del error: Los errores anteriores se propagan a traves de los calculos, debido

a la estructura propia del algoritmo. Para estudiar esta propagacion, y por tanto el error

final, atendemos dos conceptos:

- Condicionamiento

- Estabilidad

6

Condicionamiento: mide la influencia que tendrıan los errores en los datos en el caso en que

se puede trabajar con aritmetica exacta (⇒ no depende del algoritmo, sino del problema

en si).

Estabilidad: Esta relacionada con la influencia que tienen en los resultados finales la

acumulacion de errores que se producen al realizar las diferentes operaciones elementales

que constituyen el algoritmo.

1.1.3 Condicionamiento de un problema:

Diremos que un problema esta mal condicionado cuando pequenos cambios en los

datos dan lugar a grandes cambios en las respuestas.

Para estudiar el condicionamiento de un problema se introduce el llamado numero

de condicion de dicho problema, especıfico del problema, que es mejor cuanto mas cerca de

1 (el problema esta bien condicionado) y peor cuanto mas grande sea (peor condicionado).

objetivo: Definir el numero de condicion de un problema.

La gravedad de un problema mal condicionado reside en que su resolucion puede

producir soluciones muy dispares en cuanto los datos cambien un poco (algo muy frecuente

en las aplicaciones).

Ejemplo: Tenemos el siguiente sistema lineal:

Sistema 1:

10x1 + 7x2 + 8x3 + 7x4 = 32,

7x1 + 5x2 + 6x3 + 5x4 = 23,

8x1 + 6x2 + 10x3 + 9x4 = 33,

7x1 + 5x2 + 9x3 + 10x4 = 31

=⇒

x1 = 1

x2 = 1

x3 = 1

x4 = 1

.

Sistema 2:

10x1 + 7x2 + 8x3 + 7.2x4 = 32,

7.08x1 + 5.04x2 + 6x3 + 5x4 = 23,

8x1 + 5.98x2 + 9.89x3 + 9x4 = 33,

6.99x1 + 4.99x2 + 9x3 + 9.98x4 = 31

=⇒

x1 = −81

x2 = 137

x3 = −34

x4 = 22

.

Sistema 3:

10x1 + 7x2 + 8x3 + 7.2x4 = 32,

7x1 + 5x2 + 6x3 + 5x4 = 22.9,

8x1 + 6x2 + 10x3 + 9x4 = 32.98,

7x1 + 5x2 + 9x3 + 10x4 = 31.02

=⇒

x1 = 7.28

x2 = −9.36

x3 = 3.54

x4 = −0.5

.

7

Como se ve, pequenos cambios en los datos (del orden de 2 centesimas) en algunos

elementos, producen grandes cambios en las soluciones: 136 unidades del sistema 1 al

sistema 2.

Lo mismo ocurre al perturbar el segundo miembro del sistema: cambios de aproxima-

damente 1 decima producen cambios en la solucion de aproximadamente 13 unidades.

Lo anterior se debe a que el sistema esta mal condicionado.

La gravedad de un problema mal condicionado reside en que su resolucion puede

producir soluciones muy dispares en cuanto los datos cambien un poco, cosa muy frecuente

en las aplicaciones.

1.1.4 Estabilidad

Todo algoritmo que resuelve un problema numericamente produce en cada paso un

error numerico.

Un algoritmo se dice inestable cuando los errores que se cometen en cada etapa del

mismo van aumentado de forma progresiva, de manera que el resultado final pierde gran

parte de su exactitud.

Un algoritmos es estable cuando no es inestable (controlado).

Condicionamiento y estabilidad =⇒Permiten estudiar la precision

de un algoritmo para

un problema concreto

1.2 Normas vectoriales y matriciales

Objetivo: Introducir herramientas de medicion de la variacion de los resultados:

1.2.1 Normas vectoriales

Definicion 2 Una aplicacion ‖ · ‖ : Rn −→ R+ ∪ 0 es una norma si:

a) ‖~v‖ = 0 ⇔ ~v = ~0 ∈ Rn

b) ‖λ~v‖ = |λ|‖~v‖, ∀λ ∈ R, ~v ∈ Rn

c) ‖~u + ~v‖ ≤ ‖~u‖+ ‖~v‖ ∀ ~u, ~v ∈ Rn (desigualdad triangular)

Ejemplo:

8

Dado ~v ∈ R3,

‖~v‖1 =n∑

i=1

|vi|,

‖~v‖2 =

√√√√n∑

i=1

|vi|2,

y

‖~v‖∞ = max1≤i≤n

|vi|son normas vectoriales.

~v = (1,−1, 3)

‖~v‖1 = |1|+ | − 1|+ |3| = 5, ‖~v‖2 =√

1 + 1 + 9 =√

11, ‖~v‖∞ = max1, 1, 3 = 3.

Ejercicio: Comprobar que ‖ · ‖1, ‖ · ‖2 y ‖ · ‖∞ son normas vectoriales.

Definicion 3 Dos normas vectoriales son equivalente ‖ · ‖ y ‖ · ‖′ si existen constantes

c1, c2 > 0 tales que:

c1‖~v‖′ ≤ ‖~v‖ ≤ c2‖~v‖′ ∀~v ∈ Rn.

En la practica esto significa que cuando ‖ · ‖′ esta acotada, tambien ‖ · ‖ y viceversa.

1.2.2 Norma de una matriz

Definicion 4 Una norma matricial es una aplicacion ‖| · ‖| : Mn −→ R+ ∪ 0 que

verifica las siguientes propiedades:

a) ‖|A‖| = 0 ⇔ A ≡= 0

b) ‖|λA‖| = |λ|‖|A‖|, λ ∈ R, A ∈Mn

c) ‖|A + B‖| ≤ ‖|A‖|+ ‖|B‖|, A,B ∈Mn.

d) ‖|A ·B‖| ≤ ‖|A‖| ‖|B‖|.

Las tres primeras propiedades garantizanq ue es una normal vectorial y la ultima que

es compatible con el producto de matrices.

Un resultado que nos da una forma simple de construir una norma matricial es el

siguiente:

Definicion 5 Sea ‖ · ‖ una norma en Rn, se define la norma ‖| · ‖| : Mn → R+ ∪ 0como

‖|A‖| = sup~v 6=~0

‖A~v‖‖~v‖ = sup

‖~v‖=1

‖A~v‖

9

Cuando una norma matricial se define de la forma anterior (a traves de una norma

vectorial), se dice que es una norma matricial subordinada a la norma vectorial.

Tenemos las siguiente normas matriciales subordinadas a las vectoriales:

a)

‖|A‖|1 = sup~v 6=0

‖A~v‖1

‖~v‖1

b)

‖|A‖|2 = sup~v 6=0

‖A~v‖2

‖~v‖2

c)

‖|A‖|∞ = sup~v 6=0

‖A~v‖∞‖~v‖∞

Nota 3 No todas las normas matriciales son normas matriciales subordinadas a normas

vectoriales.

Algunas propiedades de las normas matriciales subordinadas

1) ‖A~v‖ ≤ ‖|A‖|‖~v‖, A ∈Mn, ~v ∈ Rn

2) Existe un vector ~v ∈ Rn para el que se da la igualdad, es decir,

‖A~v‖ = ‖|A‖| ‖~v‖

3) ‖|I‖| = 1 (Por I denotamos la matriz identidad).

Veamos como calcular las normas matriciales subordinadas a las normas vectoriales

anteriores:

Teorema 1 Sea A = (ai,j)ni,j=1 ∈Mn, se tiene:

a)

‖|A‖|1 = max1≤j≤n

n∑i=1

|ai,j|

b)

‖|A‖|2 =√

ρ(A∗ A) =√

ρ(AA∗) = ‖|A∗‖|2donde ρ(A∗ A) es el radio espectral de A∗ A, que es el maximo de los valores absolutos

de A∗ A. (Por A∗ denotamos a la matriz adjunta de A, la cual coincide con la matriz

transpuesta cuando todos sus elementos son reales).

10

c)

‖|A‖|∞ = max1≤i≤n

n∑j=1

|ai,j|

Nota 4 ‖| · ‖|1 y ‖| · ‖|∞ se calculan a partir de los elementos de la matriz, ‖| · ‖|2 no.

Es inmediato observar que ‖|AT‖|∞ = ‖|A‖|1.

Ejemplo:

Sea

A =

1 0 −7

0 2 2

−1 −1 0

.

Calculamos la norma uno, dos e infinito:

‖|A‖|1 = max2, 3, 9 = 9

‖|A‖|∞ = max8, 4, 2 = 8

AT A =

2 0 −7

1 5 4

−7 4 53

‖|A‖|2 = 7.3648

Norma Frobenius:

Es una norma matricial no subordinada a ninguna norma vectorial. Viene dada por:

‖|A‖|F =

√√√√n∑

i,j=1

|ai,j|2

Como vemos, se calcula a traves de los elementos de la matriz.

Ejemplo:

‖|A‖|F =√

1 + 49 + 4 + 4 + 1 + 1 =√

60

Tema 2

Resolucion numerica de sistemas de

ecuaciones lineales

1. Resolucion numerica de sistemas de ecuaciones lineales

(a) Condicionamiento de sistemas

(b) Metodos directos:

• Gauss

• Gauss pivote parcial

• Gauss pivote total

• Cholesky

(c) Metodos iterativos

• Jacobi

• Gauss-Seidel

• Relajacion

11

12

2.1 Condicionamiento de sistemas

Objetivo: Resolver sistemas lineales de ecuaciones mediante metodos numericos de calculo.

La existencia de un sistema mal condicionado es una fuente de posibles errores y

dificultades a la hora de resolver un sistema lineal mediante metodos numericos.

El primer problema que se plantea es como definir y cuantificar el condicionamiento

de un sistema.

Supongamos que tenemos que resolver el sistema lineal Ax = b, donde A es una matriz

de coeficientes, b es el termino independiente y x es la solucion exacta del sistema,

que llamaremos u (el vector x recibira diferentes nombres a lo largo del tema):

Ax = b ⇒ x = u

Si modificamos el termino independiente mediante una perturbacion δb, entonces te-

nemos que resolver el sistema Ax = b + δb, que tendra una nueva solucion (distinta de la

solucion exacta) que llamaremos u + δu:

A x = b + δb ⇒ x = u + δu

El sistema esta bien condicionado si cuando δb es pequena, δu tambien lo es. Ob-

servemos que:

Au + A(δu) = b + δb

Au = b

⇒

A(δu) = δb

δu = A−1(δu)

Usando ahora la propiedad para normas matriciales, obtenemos que:

‖δu‖ ≤ ‖|A−1|‖‖δb‖ (2.1)

De la solucion exacta, ‖b‖ ≤ ‖|A‖|‖u‖, lo que implica que:

1

‖u‖ ≤‖|A|‖‖b‖ (2.2)

De (2.1) y (2.2), obtenemos:

‖δu‖‖u‖ ≤ ‖|A|‖‖|A−1‖|‖δb‖‖b‖ , (2.3)

donde‖δu‖‖u‖ representa el error relativo en los resultados, y

‖δb‖‖b‖ el error relativo en los

datos. De la relacion (2.3), parece deducirse que el numero ‖|A|‖‖|A−1‖| es el factor

determinante de la relacion, ya que si es pequeno tenemos el efecto deseado, y si no,

ocurre lo contrario. Si ‖|A|‖‖|A−1‖| = 1 y‖δb‖‖b‖ = 0.01, entonces

‖δu‖‖u‖ ≤ 0.01.

Parece entonces natural la siguiente definicion:

13

Definicion 6 Sea || · |‖ una norma matricial subordinada y A una matriz invertible.

Llamamos numero de condicion de la matriz A respecto de la norma ‖| · |‖ a la

expresion:

cond(A) = ‖|A|‖‖|A−1‖|.

De (2.3) deducimos entonces que:

‖δu‖‖u‖ ≤ cond(A)

‖δb‖‖b‖ .

En el caso en el que las perturbaciones se produzcan en la matriz del sistema A, la

matriz se transforma en A+∆A, llamaremos u+∆u a la solucion aproximada del sistema:

(A + ∆A)(u + ∆u) = b.

Usando que Au = b, obtenemos:

(∆A)(u + ∆u) + A∆u = 0 ⇒ ∆A(u + ∆u) = −A∆u,

luego

∆u = −A−1(∆A)(u + ∆u) ⇒ ‖∆u‖ ≤ ‖|A−1|‖‖|A|‖‖u + ∆u‖,y

‖∆u‖‖u + ∆u‖ ≤ ‖|A−1|‖‖|A|‖‖|∆A|‖

‖|A|‖ = cond(A)‖|∆A|‖‖|A|‖ (2.4)

2.1.1 Propiedades de cond(A)

Proposicion 1 Para cualquier norma subordinada |‖ · ‖|, se verifica:

1. cond(A) ≥ 1.

2. cond(A) = cond(A−1),

3. cond(k · A) = cond(A), ∀k ∈ R\0.

Demostracion:

1. 1 = ‖|I|‖ = ‖|AA−1|‖ ≤ ‖|A‖|‖|A−1|‖ = cond(A),

2. cond(A−1) = ‖|A−1|‖‖|(A−1)−1|‖ = ‖|A−1|‖‖|A|‖ = cond(A),

3. cond(kA) = ‖|kA|‖‖|(kA)−1|‖ = |k|‖|A|‖|k|−1‖|A−1|‖ = cond(A).

14

2

Ejemplo: Estudiar el condicionamiento del sistema Ax = b con A =

(1 1 + ε

1− ε 1

)

siendo ε > 0 en la norma ‖| · |‖∞.

Solucion: A−1 =1

ε2

(1 −ε− 1

ε− 1 1

), ‖|A|‖∞ = 2 + ε y |‖A−1‖|∞ =

2 + ε

ε2, luego

cond(A,∞) =(2 + ε)2

ε2>

4

ε2. Si ε ≤ 0.01, entonces cond(A,∞) > 40000. Esto indica que

una perturbacion de los datos de 0.01 puede originar una perturbacion de la solucion del

sistema de 40000.

Ejercicio: Repetir el ejemplo anterior con la norma |‖ · ‖|1.

2.1.2 Observaciones finales

• Un sistema lineal esta bien condicionado si la matriz A esta bien condicionada.

• Como cond(A) ≥ 1 cuanto mas cerca este su valor de 1, mejor condicionado esta el

sistema.

• En los casos en los que tenemos que resolver el sistema Au = b y cond(A) sea muy

grande, podemos intentar alterar el sistema mediante un precondicionador que

rebaje cond(A). Como cond(kA) = cond(A), no vale multiplicar el sistema por un

escalar k. Normalmente, lo que se hace es multiplicar a izquierda por una matriz

M invertible, de modo que:

A = M A,

tenga cond(A) pequeno, para despues resolver el sistema:

Au = b, donde b = M b.

2.2 Metodos directos e iterativos

Hay dos tipos de metodos para la resolucion de sistemas lineales:

• Directos: proporcionan la solucion exacta (salvo errores de redondeo) en un numero

finito de pasos: Gauss, Cholesky, etc.

15

• Iterativos: proporcionan una sucesion xk que aproxima, o converge, a la solucion

exacta:

xk −→ x.

El calculo se detiene cuando se alcanza un cierto nivel de precision.

2.3 Metodos directos

Consideramos la resolucion numerica de un sistema lineal Au = b, donde A es una

matriz inversible.

El principio de los metodos directos que vamos a estudiar reside en determinra una

matriz M inversible, tal que la matriz MA sea triangular superior. Tenemos que resolver

entonces el sistema lineal:

MAu = Mb,

por lo que llamaremos el metodo de remontada.

Este principio es la base del metodo de Gauss para la resolucion de sistemas lineales

con matrices cualesquiera, y del metodo de Cholesky para sistemas lineales para matrices

simetricas definidas positivas.

Notemos la inutilidad del calculo de la inversa de una matriz para la resolucion de un

sistema lineal (ver parrafo 2.3.1)

Por ultimo, la interpretacion matricial del metodo de Gauss es la factorizacion LU de

una matriz, que en el caso de aplicarse a matrices simetricas y definida positivas no es

sino la factorizacion de Cholesky.

2.3.1 Observaciones concernientes a la resolucion de sistemas

lineales

Contrariamente a lo que se piensa, la resolucion de un sistema lineal no es equivalente

al calculo de la matriz inversa del sistema A−1 y despues calcular A−1b. El calculo de la

matriz inversa es equivalente a la resolucion de n sistemas lineales (donde n es el orden

de la matriz A):

Auj = ej 1 ≤ j ≤ n,

donde ej es el n-esimo vector de la base Rn. Pasamos ası de resolver un sistema lineal a

resolver n sistemas lineales y multiplicar A−1 por el termino independiente b.

16

Los metodos que vamos a estudiar estan basados en el siguiente hecho: si tuviesemos

una matriz triangular superior, la resolucion numerica de un sistema lineal Au = b es

inmediata. Tendrıamos, en forma matricial:

a1,1 . a1,n−1 an

0 . . .

0 . . .

0 . . .

0 . an−1,n−1 an−1,n

0 . . an,n

u1

.

.

.

un−1

un

=

b1

.

.

.

bn−1

bn

y en forma de ecuaciones:

a1,1u1 + ... + a1,n−1un−1 + a1,nun = b1

... .

... .

... .

an−1,n−1un−1 + an−1,nun = bn−1

an,nun = bn

El determinante es det(A) = a11a22...ann 6= 0, luego el sistema se resuelve:

un = a−1nnbn

un−1 = a−1n−1,n−1(bn−1 − an−1,nun)

...

...

...

u1 = a−111 (b1 − a12u2 − ...a1,n−1un−1 − a1nun)

De ese modo, cada componente ui se escribe como combinacion lineal de las bi, bi+1, ..., bn,

luego estamos resolviendo un sitema lineal u = Cb donde C es una matriz triangular

superior. Este metodo se conoce como metodo de remontada. Dicho metodo necesita

un total de

1 + 2 + ... + n− 1 =n(n− 1)

2sumas

1 + 2 + ... + n− 1 =n(n− 1)

2multiplicaciones

n divisiones

17

2.3.2 El metodo de Gauss

El metodo de Gauss es un metodo general de resolucion de un sistema lineal de la

forma Au = b donde A es una matriz inversible. Se compone de tres etapas:

1. procedimiento de eliminacion, que equivale a determinar una matriz inversible M

tal que la matriz MA sea una matriz triangular superior,

2. calculo del vector Mb,

3. resolucion del sistema lineal MAu = Mb, por el metodo de remontada.

a) Etapa de eliminacion:

1) Al menos uno de los elementos de la primera columna de A, ai,j, 1 ≤ i ≤ n es diferente

de cero (o det(A) =0), ai,j, que llamaremos el primer pivote de la eliminacion.

2) Intercambiamos la lınea donde esta el pivote con la primera lınea, lo que equivale a

multiplicar a izquierda por la matriz de trasposicion

T (i0, i1) =

1 | |. . . | |

−− −− 0 −− 1 −− −− i0

| |−− −− 1 −− 0 −− −− i1

| | . . .

|︸︷︷︸i0

|︸︷︷︸i1

1

con det(T (i0, i1)) = −1.

P =

I si a1 1 6= 0

T (1, i) si ai 1, i 6= 1 es el pivote, det(P ) = −1

y P A = (αi j) tal que α1 1 6= 0.

Multiplicamos por combinaciones lineales adecuadas de la primera lınea de P A con

las otras lıneas de P A, de forma que se anulan todos los elementos de la primera columna

18

situados debajo de la diagonal. Es decir, multiplicamos E P A, donde

E =

1 0 . . . 0

−α2 1

α1 1

1

.... . .

−α1 1

α1 1

0 . . . 1

det(E) = 1

Nota 5 Cuando se aplican tecnicas de eliminacion, el coste (numero de operaciones ar-

titmeticas requeridas) suele ser proporcional al numero de coeficientes no cero de la matriz,

puesto que se usan tecnicas especiales para evitar los calculos asociados a los coeficientes

nulos de la matriz. Ademas, el coste de calcular A−1 suele ser del orden de n3.

Ejemplo del metodo de Gauss

A =

0 1 2 1

1 2 1 3

1 1 −1 1

0 1 8 12

b =

1

0

5

2

→

1 2 1 3 | 0

0 1 2 1 | 1

1 1 −1 1 | 5

0 1 8 12 | 2

→

1 2 1 3 | 0

0 1 2 1 | 1

0 −1 −2 −2 | 5

0 1 8 12 | 2

P1 =

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

, E1 =

1 0 0 0

0 1 0 0

−1 0 1 0

0 0 0 1

→

1 2 1 3 | 0

0 1 2 1 | 1

0 0 0 −1 | 6

0 0 6 11 | 1

→

1 2 1 3 | 0

0 1 2 1 | 1

0 0 6 11 | 1

0 0 0 −1 | 6

E2 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 1 1 0

0 −1 0 1

, P3 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

19

luego M = P3 E2 E1 P1

En la practica, la matriz “de paso” M no se calcula explıcitamente, sino que se obtienen

directamente M A y M b.

Nota 6 La matriz M verifica

det(M) =

1 si Λ es par

−1 si Λ es impar

Λ es el numero de matrices de permutacion P distintas de la identidad.

A u = b ⇔ M Au = M b.

Nota 7 En el caso de que la matriz A no es inversible, el metodo sigue siendo valido, ya

que en ese caso se considerarıa P = E = I.

Comparacion de metodos:

Cramer

(n + 1) (n!− 1) sumas

(n + 1) (n− 1) n! productos

n divisiones

Cuadro operacion operaciones totales

n Gauss Cramer Cholesky

10 805 399167999 393333

100 681500 ' 10162 338433,3

1000 668165500 ' 102573 33383433,3

El metodo de Gauss es el utilizado mas comunmente para resolver sistemas lineales

cuyas matrices no poseen propiedades particulares (sobre todo llenas).

Todo lo anterior nos permite enunciar el siguiente resultado (que no demostraremos):

Teorema 2 Sea A una matriz cuadrada, inversible o no. Existe al menos una matriz

inversible M tal que MA es triangular superior.

20

Nota 8 Para evitar divisiones por cero en la resolucion de sistemas de ecuaciones, es

conveniente intercambiar ecuaciones. El siguiente ejemplo es una muestra de la ventaja

que este intercambio supone.

Ejemplo: Consideramos el sistema de matriz A =

(2−26 1

1 1

), termino indepen-

diente b =

(1

2

), y solucion u =

(u1

u2

), donde la solucion exacta es

u1 = 2− u2 = 1.00000001490116

u2 =1− 2−25

1− 2−26≈ 0.99999998509884

luego la solucion aproxima a u1 = u2 = 1.

Resolvemos ahora con pivote de dos formas distintas:

a) Tomando 2−26 como pivote:

A =

(2−26 1

1 1

)→

(2−26 1

0 1− 226

)≈

(2−26 1

0 −226

)

b =

(1

2

)→

(1

2− 226

)≈

(1

−226

)

Luego estamos resolviendo el sistema:

−226u2 = −226 → u2 = 1

2−26u1 + u2 = 1 → u1 = 0

b) Tomando 1 como pivote:

A =

(2−26 1

1 1

)→

(1 1

2−26 1

)→

(1 1

0 1− 2−26

)≈

(1 1

0 1

)

b =

(1

2

)→

(2

1

)→

(2

1− 227

)≈

(2

1

)

luego el sistema que resolvemos es:

u1 + u2 = 2

u2 = 1

⇒ u1 = 1

Este ejemplo pone de manifiesto que los errores de redondeo con efecto desastroso

provienen de la division por pivotes “muy pequenos”. En la practica, se utiliza una de

las dos estrategias siguientes en cada etapa k:

21

a) estrategia del pivote parcial: se toma como pivote el elemento de mayor modulo

de entre los n− k ultimos elementos de la columna k-esima.

b) estrategia del pivote total: se toma como pivote el elemento de mayor modulo

de la submatriz correspondiente. Si el pivote elegido esta en la k-esima columna hay

que efectuar un cambio de columnas. Esto cambia el orden de las incognitas, lo que

introduce una dificultad adicional que hace que se use normalmente la estrategia a).

Ejemplo: Aplicamos las dos estrategias anteriores a la matriz ampliada (matriz que

posee como ultima columna el termino independiente):

−1 13 2 | 1

2 0 −1 | 2

1 9 −2 | 0

Si aplicamos la estrategia de pivote parcial, obtenemos:

2 0 −1 | 2

−1 13 2 | 1

1 9 −2 | 0

→

2 0 −1 | 2

0 13 3/2 | 2

0 9 −3/2 | −1

→

2 0 −1 | 2

0 13 3/2 | 2

0 0 −33/13 | −31/13

luego el sistema asociado tiene como solucion:

x =97

66, y =

1

22, z =

31

33.

Si aplicamos la estrategia de pivote total, obtenemos:

13 −1 2 | 1

0 2 −1 | 2

9 1 −2 | 0

→

13 −1 2 | 1

0 2 −1 | 2

0 22/13 −44/13 | −9/13

→

13 2 −1 | 1

0 −1 2 | 2

0 −44/13 22/13 | −9/13

→

13 2 −1 | 1

0 −44/13 22/13 | −9/13

0 −1 2 | 2

→

13 2 −1 | 1

0 −44/13 22/13 | −9/13

0 0 3/2 | 97/44

x =97

66, y =

1

22, z =

31

33.

22

2.3.3 El metodo de Cholesky

Definicion 7 Una matriz A se dice definida positiva si v? Av > 0 para todo vector

v distinto de 0. Si ademas A es simetrica, entonces es definida positiva si todos los

autovalores son reales y estrictamente positivos.

Si A es una matriz simetrica y definida positiva, entonces se puede obtener una factori-

zacion de la forma:

A = B C,

donde B es una matriz triangular inferior y C = BT . Los elementos de la matriz B son

de la forma:

bii =

√√√√aii −i−1∑

k=1

|bik|2

bji =1

bii

(aij −

i−1∑

k=1

bikbjk

), j = i + 1, i + 2, ..., n.

Como A = BBt, se resuelve realmente el sistema lineal Au = b en dos pasos:

Bw = b

Btu = w

Ejemplo: Usando las formulas anteriores para el sistema de matriz

A =

1 −1 0 0

−1 2 −1 2

1 −1 5 2

0 2 2 6,

obtenemos que B es de la forma

B =

1 0 0 0

−1 1 0 0

1 0 2 0

0 2 1 1

En este caso, se realizan:

23

n3

6sumas

n3

6multiplicaciones

n2

2divisiones

n raıces cuadradas

n3

3+

n2

2+ n operaciones totales

2.4 Metodos iterativos

Comenzamos enunciando algunos problemas que pueden presentar los metodos direc-

tos, como motivacion a la introduccion de los metodos iterativos que veremos a continua-

cion.

Problemas de los metodos directos para la resolucion de (SL).

1. Cuando el tamano de la matriz A es grande (n >> 100), la propagacion del error

de redondeo es tambien grande, y los resultados obtenidos pueden diferir bastante

de los exactos.

2. Muchas de las matrices que aparecen en (SL) son de gran tamano ( ' 100 000) pero

la mayorıa de sus elementos son nulos (Esto ocurre, por ejemplo, en la resolucion

de problemas mediante Elementos Finitos). Estas matrices reciben el nombre de

matrices vacıas o huecas, y se dan cuando numero de elemtnos no nulos es de orden

n.

(a) Si los elementos no nulos estan distribuidos alrededor de la diagonal principal,

son de aplicacion todavıa los metodos directos que conservan la estructura

diagonal, como LU o Cholebsky.

(b) Si no ocurre lo anterior, la matriz se dice que es dispersa, y al aplicarle los

metodos directos se produce un fenomeno conocido como rellenado (elementos

que eran nulos en la matriz A, ahora ya no lo son). Entonces, si no se realiza una

24

adaptacion de los metodos directos al caso de matrices dispersas los resultados

no van a ser, en general, buenos (No vamos a estudiar esa adaptacion).

Los metodos iterativos no tienen esos problemas porque se basan en la resolucion

(reiteradas veces) de sistemas diagonales o triangulares (por puntos o por bloques). Lo

que se intenta es que en cada iteracion el numero de operaciones sea mınimo.

2.4.1 Estudio general del Metodo Iterativo

Supongamos un (SL) Au = b, buscamos una matriz B ∈ Mn y un vector c ∈ RN de

forma que la matriz I −B sea inversible y que la unica solucion del sistema lineal

u = B u + c︸︷︷︸(I−B) u=c

es la solucion Au = b.

Sea A una matriz, dad una matriz Q inversible, podemos descomponer

A = A−Q + Q → Q = (Q−A) + A → Q×Q−1 : I = Q−1(Q−A) + Q−1A ⇒

I = (I −Q−1 A) + Q−1A.

Por lo tanto, multiplicando la ultima expresion por u y teniendo en cuenta que Au = b,

tenemos

u = (I −Q−1A)u + Q−1b.

Si definimos

B = (I −Q−1A) y c = Q−1b

tenemos que: u es solucion del sistema lineal Au = b, sı y solo sı u es solucion de

u = Bu + c. (2.5)

Tenemos entonces que encontrar la solucion de un sistema lineal se puede ver como un

problema de punto fijo (Problema (2.5)). En este caso, la forma de construir un metodo

iterativo es la siguiente:

Considermos u0 ∈ RN un vector arbitrario, se construye una sucesion de vectores

uk∞k=0 dada por

uk+1 = Buk + c, k ∈ N ∪ 0 (2.6)

y se pretende que la sucesion ukk converja a la solucion del sistema lineal.

25

Definicion 8 El metodo iterativo (2.6) es convergente si existe un vector u ∈ RN tal

que:

limk→+∞

uk = u

para cualquier vector inicial u0 ∈ RN . En ese caso,

u = B u + c

El error en cada iteracion se puede medir, por tanto como:

ek = uk − u

Se tiene que,

ek = uk − u = (Buk−1 + c)− (Bu + c) = B(uk−1 − u) = Bek−1 = . . . = Bke0

⇒ eK = BKe0.

De ese modo, el error en las iteraciones depende de las potencias sucesivas de la matriz B,

lo que nos dara el criterior para la convergencia del Metodo Iterativo.

Supondremos que A es no singular en el sistema.

Teorema 3 Sea B la matriz del Metodo Iterativo. Son equivalente:

1. El metodo iterativo es convergente.

2. ρ(B) < 1.

3. Existe una norma matricial ‖| · ‖| (que se puede tomar subordinada) tal que

‖|B‖| < 1

Recordemos que

ρ(B) = max1≤i≤n

|λi(A) : λi(A) ∈ sp(A)es el radio espectral de B.

Teorema 4 Sea B ∈Mn. Si exsite una norma matricial (subordinada o no) tal que

‖|B‖| < 1

entonces I + B es inversible y

‖|(I + B)−1‖| ≤ ‖|I‖|1− ‖|B‖| .

26

Nota 9 1) Si I + B es una matriz singular, ‖|B‖| ≥ 1, para toda norma matricial.

2) Si ‖| · ‖| es una normal matricial subordinada,

‖|(I + B)−1‖| ≤ 1

1− ‖|B‖| .

Ejemplo: La sucesion de vectores

vk =

(2

k3, 1− 1

k2, e1/k

)T

∈ R3

es convergente al vector v = (0, 1, 1)T , v = limk→+∞ vk.

Vskip 0.7 cm

El estudio de Metodos Iterativos reposa sobre la solucion de los dos problemas siguien-

tes:

1) Dada la mariz del metodo iterativo B, determinar si el Metodo Iterativo es conver-

gente.

2) Dados dos metodos iterativos convergentes, compararlos: el metodo iterativo mas

rapido es aquel cuya matriz tiene menor radio espectral.

Nota 10 1. Sea B una matriz real cualquiera y ‖| · ‖| una norma matricial (subordi-

nada o no). Entonces,

ρ(B) ≤ ‖|B‖|

2. Dada una matriz B y ε > 0, existe al menos una norma matricial subordinada tal

que

‖|B‖| ≤ ρ(B) + ε

2.4.2 Metodos de Jacobi, Gauss-Seidel y relajacion

Introducimos tres metods iteraivos clasicos para resolver el Sistema Lineal Au = b.

Todos se basan en descomponer la matriz del sistema A como suma de submatrices:

A = M −N,

donde M es una matriz inversible facil de invertir (en el sentido de que el sistema asociado

sea facil de resolver). Se verifica entonces

Au = b ⇔ (M −N) u = b ⇔ M u = N u + b ⇔

27

u = B u + c con

B = M−1N

c = M−1b

Consideramos entonces el Metodo Iterativo:

u0 ∈ RN

uk+1 = B uk + c, k ∈ N ∪ 0

Como N = M − A, entonces B = M−1N = M−1(M − A) = I −M−1A. Luego,

I −B = M−1A

que es inversible, y por lo tanto el sistema (I −B) u = c tiene solucion unica.

En la practica, en vez de resolver uk+1 como uk+1 = Buk + c, se resuleve el

sistema

Muk+1 = Nuk + M c︸︷︷︸b

. (2.7)

Nota 11 La construccion de la matrices M y N parece que “toma” elementos de A.

Parece que cuanto mas parecida sea la matriz M a A, mas se acercara la solucion a la

exacta (si N = 0 entonces M = A). Pero esto va en contra de que el sistema asociado a

la matriz M (2.7) sea facil de resolver.

Introducimos la siguiente notacion:

Dada A = (ai,j)ni,j=1 ∈ Mn con ai i 6= 0, consideramos la siguiente descomposicion de

la matriz

A =

−F

D

−E

A = D − E − F , donde

D = diag(a1 1, a2 2, . . . , an n) E = (ei j)ni,j=1 F = (fi j)

ni,j=1

con

ei j =

−ai j si i > j

0 si i ≤ j

, fi j =

−ai j si i < j

0 si i ≥ j

.

La llamamos descomposicion D − E − F por puntos de la matriz A.

28

2.4.3 Metodo de Jacobi

Consiste en tomar M = D, N = E + F .

Ası pues,

Au = b ⇔ D u = (E + F ) u + b ⇔ u = D−1(E + F ) u + D−1 b

lo que conduce al metodo de Jacobi iterativo por puntos::

u0 ∈ RN

uk+1 = D−1(E + F ) uk + D−1b k ∈ N ∪ 0o equivalentemente

u0 ∈ RN

Duk+1 = (E + F )uK + b k ∈ N ∪ 0La matriz de Jacobi (por puntos) es B = D−1(E + F ) = I −D−1A

Observemos que si

D =

a1 1

a2 2

. . .

an n

, entoncesD−1 =

1/a1 1

1/a2 2

. . .

1/an n

,

luego,

D−1A =

1 a1 2/a1 1 . . . a1 n/a1 1

a2 1/a2 2 1 . . . a2 n/a2 2

......

an 1/an n an 2/an n . . . 1

.

Por tanto, queda

xk+11

xk+12...

xk+1n

=

0 −a1 2/a1 1 . . . −a1 n/a1 1

−a2 1/a2 2 0 . . . −a2 n/a2 2

......

−an 1/an n −an 2/an n . . . 0

xk1

xk2...

xkn

+

b1/a1 1

b2/a2 2

...

bn/an n

.

de donde:

xk+1j =

bj − aj 1xk1 − aj 2x

k2 − . . .− aj j−1x

kj−1 − aj j+1x

kj−1 − . . . aj nx

kn

aj j

j = 1, . . . , n

29

Observemos que las n componentes del vector xk+1 se calculan simultaneamente a par-

tir de las componente de xk. Por eso el metodo de Jacobi tambien se conoce como el

metodo de iteraciones simultaneas.

La primera cuestion que nos planteamos es la convergencia del metodo. Observamos

que

‖I −D−1A‖∞ = max1≤i≤n

n∑

j=1,j 6=i

∣∣∣∣ai j

ai i

.

Ejemplo 1:

A =

2 −2 0

2 3 −1

α 0 2

, α ∈ R.

D =

2 0 0

0 3 0

0 0 2

, E =

0 0 0

−2 0 0

−α 0 2

, F =

0 2 0

0 0 1

0 0 0

,

J = D−1(E + F ) =

1/2 0 0

0 1/3 0

0 0 1/2

0 2 0

−2 0 1

−α 0 0

=

0 1 0

−2/3 0 1/3

−α/2 0 0

.

Definicion 9 Una matrix A = (ai j)ni,j=1 ∈ Mn se dice que es diagonal estrictamente

dominante si

|ai i| >n∑

j=1 j 6=i

|ai,j|, i = 1, . . . , n.

Teorema 5 Si A ∈ Mn es una matriz diagonal estrictamente dominante, el metodo

iterativo de Jacobi por puntos es convergente.

2.4.4 Metodo de Gauss-Seidel

Una estrategia adecuada para mejorar la convergencia del metodo de Jacobi serıa

utilizar en el paso de calculo de la componente

uk+1i

las componentes calculadas hasta el momento:

uk+11 , uk+1

2 , . . . , uk+1i−1 en vez de uk

1, uk2, . . . , u

ki−1

30

Es decir, consiste en reemplazar el sistema correspondiente al metodo de Jacobi:

ai iuk+1i = bi −

i−1∑j=1

ai jukj −

n∑j=i+1

ai jukj , (2.8)

por

ai iuk+1i = bi −

i−1∑j=1

ai juk+1j −

n∑j=i+1

ai jukj , (2.9)

Matricialmente, las ecuaciones anteriores se escriben como:

D uk+1 = b + E uk+1 + F uk,

es decir,

(D − E) uk+1 = F uk + b

Luego,

M = D − E, N = F

el metodo iterativo de Gauss-Seidel por puntos se escribe:

u0 ∈ Rn

uk+1 = (D − E)−1F uk + (D − E)−1 b, k ∈ N ∪ 0

o equivalentemente

u0 ∈ Rn

(D − E) uk+1 = F uk + b k ∈ N ∪ 0

La matrix de Gauss-Seidel (por puntos) es entonces:

B = (D − E)−1 F = I − (D − E)−1 A.

En este metodo, para calcular las componentes del vector uk+1, necesitamos tanto

las componentes de uk+1 ya calculadas, como las restantes del vector uk, por lo que se

denomina metodo de las aproximaciones sucesivas. Dicho metodo sera mas rapido ya que

la matriz M contiene mas elementos de A.

31

Ejemplo: Sea

A =

2 −2 0

2 3 −1

α 0 2

, α ∈ R.

GS = (D − E)−1 F =

2 0 0

2 3 0

α 0 2

−1

0 2 0

0 0 1

0 0 0

=

0 1 0

0 −2/3 1/3

0 −α/2 0

.

La siguiente tabla nos da los radios espectrales de las matrices de los metodos de

Jacobi y Gauss-Seidel para valores concretos del parametro α.

α ρ(GS) ρ(J)

−1 0.848656 0.860379

−3 0.97263 1.11506

−5 1.08264 1.305158

Teorema 6 Si A es diagonal estrictamente dominante, entonces el metodo de Gauss-

Seidel es convergente.

Hay muchas otras condiciones de convergencia particulares para los distintos metodos.

Entre ellas, la mas significativa es:

Teorema 7 Si A es simetrica y definida positiva, el metodo de Gauss-Seidel es conver-

gente.

Definicion 10 Una matriz A se dice definida positiva si:

vtav > 0, ∀v ∈ Rn ∪ 0

o equivalentemente si sp(A) ⊂ R+, todos sus autovalores son positivos (no nulos).

Problema:

Estudiar la convergencia de los metodos de Jacobi y Gauss-Seidel por puntos para las

matrices:

A =

1 2 −2

1 1 1

2 2 1

A =

2 −1 1

2 2 2

−1 −1 2

Problema: Metodo iterativo para el calculo de la inversa de una matriz.

32

Se consideran las sucesiones de matrices

An = An−1(I + En + E2n), En = I − AAn−1

siendo A ∈Mn inversible y A0 ∈Mn una matriz arbitraria.

1. Demostrar que En = (E1)3n−1

.

2. Probar que si ρ(E1) < 1, entonces

limn→+∞

An = A−1

3. Mostrar que si se toma A0 = A∗/tr(AA∗), entonces

limn→+∞

An = A−1.

2.4.5 Test de parada de las iteraciones

Cuando un metodo iterativo es convergente, la solucion del sistema lineal Au = b

se obtiene como lımite de la sucesion uk∞k=0 de iteraciones. Ante la impoisibilidad de

calcular todas las iteraciones, se plantea el problema de determinar un valor k ∈ N∪ 0para el cual podemos considerar que uk sea una buena aproximacion de u. Es decir, si se

desea que el error relativo sea inferior a una cierta cantidad prefijada ε, se debe cumplir,

‖uk − u‖ < ε‖u‖

para alguna norma vectorial.

Sin embargo, como u es desconocido, no se puede trabajar con esa cantidad.

Si calculamos:

‖uk+1 − uk‖ < ε‖uk+1‖puede que uk+1 no este proximo a u.

Una condicion de parada de las iteraciones adecuada viene dada a partir del vector

residuo

rk = b− Auk = A(u− uk), k ∈ N ∪ 0.Entonces, si uk ' u y Auk ' b,

‖rk‖‖b‖ =

‖A(uk − u)‖‖Au‖ < ε

33

Es decir, buscamos k ∈ N ∪ 0 tal que

‖rk‖ < ε‖b‖.

Debe procurarse que la comprobacion de los tests de parada no incremente en exceso

el numero de operaciones necesarias para realizar una iteracion. Reescribiendo los calculos

de forma adecuada obtenemos:

1. Metodo de Jacobi:

D uk+1 = b + (E + F ) uk = b + (−A + D) uk =

= b− Auk + D uk = rk + D uk

Por tanto,

D (uk+1 − uk) = rk.

De ese modo, el metodo de jacobi se implementa de la siguiente forma:

1) Se calcula rk como rk = b− Auk.

2) Se resuelve el sistema D dk = rk.

3) uk+1 = uk + dk

De esta forma, se calcula el valor uk+1 a partir de uk y se aprovechan los calculos

intermedios, en concreto rk, para el test de parada. Tenemos el esquema:

rki = bi −

∑nj=1 ai j uk

j

dki =

rki

ai i

uk+1i = uk

i + dki

2. Metodo de Gauss-Seidel Analogamente, la implementacion del metodo de Gauss-

Seidel, se realiza en las siguiente etapas:

rki = bi −

∑i−1j=1 ai j uk+1

j −∑nj=i+1 ai j uk

j

dki =

erki

ai i

uk+1i = uk

i + dki

Nota 12 Las normas vectoriales que suelen usarse con mas frecuencia en los test de

parada son ‖ · ‖2 y ‖ · ‖∞.

Tema 3

Resolucion numerica de ecuaciones

diferenciales ordinarias

El objetivo de este tema sera la resolucion numerica de ecuaciones diferenciales or-

dinarias (e.d.o.). Nuestro problema de partida sera determinar de forma aproximada,

mediante el uso de Metodos Numericos de Calculo, una solucion de una e.d.o. de primer

orden, conociendo el valor de la curva solucion en un punto.

Otros problemas que se estudiaran seran la resolucion numerica de ecuaciones diferen-

ciales de orden superior y problemas de valores frontera.

Interes: Las ecuaciones diferenciales se usan de forma habitual para construir modelos

matematicos en una amplia variedad de problemas de la ciencia y la ingenierıa. En dichos

problemas se buscan los valores de ciertas funciones desconocidas a traves de lo unico que

somos capaces de medir: como los cambios de una variable afectan a otra. Cuando esta

relacion de cambios se traducen a un modelo matematico, el resultado es una ecuacion

diferencial.

Ejemplo: Consideremos la temperatura de un objeto y(t) que se enfrıa. Podrıamos con-

jeturar que la velocidad del cambio de la temperatura del cuerpo esta relacionada con

la diferencia entre su temperatura y la del medio que lo rodea: los experimentos lo con-

firman y la ley del enfriamento de Newton establece que dicha velocidad de cambio es

directamente proporcional a la diferencia de estas temperaturas. Si denotamos por y(t)

la temperatura del cuerpo en el instante t, y A la temperatura del medio que lo rodea,

∂y

∂t= −k(y − A).

donde k es una constante positiva, y el signo negativo indica que la temperatura decrece

35

36

Figura 3.1: Solucion de la e.d.o. (3.1)

si la temperatura del cuerpo es mayor que la del medio.

Si conocemos la temperatura del cuerpo, y0, en el instante t = 0, que se denomina

condicion inicial, entonces incluımos esa informacion en el enunciado del problema, de

manera que resolvemos:

∂y

∂t= −k(y − A) con y(0) = y0. (3.1)

La solucion se calcula a traves de la tecnica de separacion de variables, obteniendo:

y = A + (y0 − A) e−k t.

Cada eleccion de y0 nos da una solucion distinta. En la Figura 3.1 se muestran varias

soluciones del problema. Se observa que, cuando t crece, la temperatura del cuerpo se

aproxima a la temperatura ambiente. Si y0 < A el cuerpo se calienta, si y0 > A el cuerpo

se enfrıa.

Definicion 11 Problemas de valor inicial

Una solucion de un problema de valor inicial

y′(t) = f(t, y), con y(t0) = y0

en un intervalo [t0, t1] es una funcion derivable y = y(t) tal que

y(t0) = y0, y′(t) = f(t, y(t)), para todo t ∈ [t0, t1].

37

Campo de direcciones o pendientes

En cada punto (t, y) del rectangulo R = (t, y); a ≤ t ≤ b, c ≤ y ≤ d

a b

c

d

t

y

la pendiente m de la solucion y = y(t) (derivada) se puede calcular mediante la formula

implıcita

m = f(t, y(t)).

Por tanto, cada valor mi,j = f(ti, yj), calculado para cada punto del rectangulo representa

la pendiente de la recta tangente a la solucion que pasa por el punto (ti, yj).

Un campo de direcciones o campo de pendientes es una grafica en la que se representan

las pendientes mi,j en una coleccion de puntos del rectangulo, y puede usarse para ver

como se va ajustando una solucion a la pendiente dada: Calculamos la pendiente en el

punto inicial (t0, y0) → f(t0, y0) para determinar en que direccion debemos movernos.

Damos un paso horizontal desde t0, t0 + h y nos desplazamos verticalmente una distancia

apropiada h f(t0, y0), llegando al punto (t1, y1) de manera que el desplazamiento total que

resulta tenga la inclinacion requerida. Una vez en el punto (t1, y1) se repite el proceso

a lo largo de la solucion. Como solo podemos dar un numero finito de pasos, el metodo

reproduce una aproximacion de la solucion.

38

3.1 El metodo de Euler

Sea [a, b] el intervalo en el que queremos hallar la solucion de un problema de valor

inicial

y′(t) = f(t, y(t))

y(t0) = y0

con f lipschitziana.

Construimos un conjunto finito de puntos (tk, yk) que son aproximaciones de la solucion

(y(tk) ≈ yk).

Problema: Construir dichos puntos verificando una ecuacion diferencial. Para f(t, y), t

seran las abcisas, y las ordenadas de los puntos (t, y). Dividimos el intervalo [a, b] en M

subintervalos (de igual tamano) en la siguiente particion:

tk = a + k h, k = 0, 1, . . . , M, h =b− a

M.

El valor de incremento de h se llama tamano del paso.

Resolucion aproximada: De y′(t) = f(t, y(t)) en [t0, tM ] con y(t0) = y0.

Suponiendo que y(t), y′(t), y′′(t) son continuas y usando el Teorema de Taylor para

desarrollar y(t) alrededor del punto t = t0, para cada punto t existe un punto c1 entre t0

y t tal que

y(t) = y(t0) + y′(t0)(t− t0) + y′′(c1)(t− t0)

2

2.

Al sustituir y′(t0) = f(t0, y(t0)), h = t1 − t0, obtenemos una expresion para y(t1):

y(t1) = y(t0) + h f(t0, y(t0)) + y′′(c1)h2

2.

Si el tamano de paso es suficientemente pequeno, h2 se puede considerar despreciable

y

y(t1) ≈ y1 = y0 + h f(t0, y0)

que es la aproximacion de Euler.

Repitiendo el proceso, generamos una sucesion de puntos que se aproximan a la grafica

de la solucion y = y(t). El paso general del metodo de Euler es:

tk+1 = tk + h, yk+1 = yk + h f(tk, yk), k = 0, 1, . . . ,M − 1.

Ejemplo:

39

Usamos el metodo de Euler para hallar una solucion aproximada del problema de valor

inicial

y′(t) = R y(t), t ∈ [0, 1], y(0) = y0, R = constante.

Debemos:

1. Elegir el tamano de paso h.

2. Usar la formula para calcular las ordenadas y(t), que se llama ecuacion en diferencia.

yk+1 = yk + hR yk = yk (1 + hR) = yk−1(1 + h R)2 =

= . . . = y0(1 + hR)k+1, k = 0, 1, . . . , M − 1.

En la mayorıa de los casos no se puede hallar una formula explıcita para determinar las

aproximaciones, pero este es un caso especial. Concretamente, es la

formula para calcular el interes compuesto a partir de un deposito inicial.

Ejemplo: Supongamos que se depositan 1000 euros durante 5 anos a un interes compuesto

del 10 %. Cual es el capital acumulado al cabo de esos 5 anos?.

y′(t) = 0.1 y en [0, 5]

y(0) = 1000

y(t) = 1000 e0.1 t

yk = y0(1 + hR)k = 1000(1 + 0.1 h)k

Tamano paso Numero iteraciones M yM ≈ y(5)

1 5 1000(1 + 0.1)5 = 1610.51

1/12 60 1000(1 + 0.1

12

)60= 1645.31

1/360 1800 100(1 + 0.1

360

)1800= 1648.61

La solucion exacta es y(5) = 1648.72 = 1000e0.5.

40

Descripcion geometrica

3.1.1 Tamano del paso frente al error

Los metodos que presentamos se llaman metodos de difererencias o metodos de varia-

ble discreta. En ellos la solucion se aproxima en un numero finito de puntos llamados

nodos. Son de la forma:

yk+1 = yk + hφ(tk, yk) (3.2)

donde φ se llama funcion incremental, y es de paso simple (o de un solo paso) porque en

el calculo del nuevo punto solo interviene el punto inmediatamente anterior.

Cuando usamos metodos de variable discreta para resolver de manera aproximada un

metodo de valor inicial, existen 2 fuentes de error:

- discretizacion

- redondeo

Definicion 12 Error de discretizacion

Supongamos que (tk, yk)Mk=0 es un conjunto finito de aproximaciones a la unica so-

lucion y = y(t) de un problema de valor inicial.

Se define el error de truncamiento global o error de discretizacion global ek como:

ek = y(tk)− yk, k = 0, 1, . . . , M.

que es la diferencia entre la solucion exacta y la calculada con el metodo en el nodo

correspondiente.

41

Se llama error de consistencia (o error de truncamiento local) εk+1 a:

εk+1 = y(tk+1)− y(tk)− hφ(tk, y(tk)), k = 0, 1, . . . , M − 1.

y es el error que se comete en un solo paso (el que lleva desde el nodo tk al tk+1).

En el metodo de Euler, en cada paso se desprecia un termino

y′′(ck)h2

2.

Si ese fuera el unico error que se comete en cada paso, al llegar al extremo superior del

intervalo (dar M pasos) el error acumulado serıa:

M∑

k=1

y′′(ck)h2

2≈ My′′(c)

h2

2=

hM

2y′′(c)h =

=(b− a)

2y′′(c) h = O(h).

Podrıa haber otros errores, pero esta estimacion es la que predomina.

Teorema 8 (Precision del metodo de Euler)

Sea y(t) la solucion de y′(t) = f(t, y)

y(t0) = y0

Si y ∈ C2([t0, b]) y (tk, yk)Mk=0 es la sucesion de aproximaciones generada por el metodo

de Euler, entonces

|ek| = |y(tk)− yk| = O(h)

|εk+1| = |y(tk+1)− y(tk)− h f(tk, y(tk))| = O(h2)

El error al final del intervalo, llamado error global final, viene dado por

E(y(b), h) = |y(b)− yM | = O(h).

Nota 13 El error global final se usa para estudiar el comportamiento del error para ta-

manos de paso diferentes, luego nos da una idea del esfuerzo computacional a realizar

para obtener las aproximaciones deseadas

E(y(b), h) ≈ c h

E(y(b),h

2) ≈ c

2h ≈ 1

2E(y(b), h)

luego si reducimos a la mitad el tamano de paso en el metodo de Euler, el error global

final tambien se reduce a la mitad.

42

Figura 3.2: Aproximacion de Euler con paso h = 1 para resolver la e.d.o. (3.1)

Figura 3.3: Aproximacion de Euler con tamanos de paso diferentes para resolver la e.d.o.

(3.1)

La siguiente tabla compara las soluciones obtenidas con el metodo de Euler, con dife-

rentes tamanos, para y′(t) = (t− y)/2 en [0, 2] con condicion inicial y(0) = 1:

43

yk

tk h = 1 h = 12

h = 14

h = 18

y(tk) exacto

0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

0.125 0.9375 0.943239

0.25 0.875 0.886719 0.897491

0.325 0.846924 0.862087

0.50 0.75 0.796875 0.817429 0.836402

0.75 0.759766 0.786802 0.811868

1.00 0.5 0.6875 0.758545 0.790158 0.819592

1.50 0.765625 0.846386 0.882855 0.917100

2.00 0.75 0.949219 1.030827 1.068222 1.103638

2.5 1.211914 1.289227 1.325176 1.359514

3.00 1.375 1.533936 1.604252 1.637429 1.669390

Por ultimo, comparamos los errores globales finales para la e. d. o. con valor incial

anterior, aproximada por el metodo de Euler, usando los tamanos de paso h = 1, 12, ..., 1

64.

Tamano de

paso h

No de

pasos N

Aproximacion

yN a y(3)

Error global final,

y(3)− yN

O(h2) ≈ C h2

con C = −0.0432

1 3 1.375 0.294390 0.25612

6 1.533936 0.135454 0.12814

12 1.604252 0.065138 0.06418

24 1.637429 0.031961 0.032116

48 1.653557 0.015833 0.016132

96 1.661510 0.007880 0.008164

192 1.665459 0.003931 0.004

3.1.2 Orden de un metodo

Supongamos que al resolver un problema tenemos

e1 −→ error h1 error correspondiente al uso del paso h1

e2 −→ error h2 error correspondiente al uso del paso h2

44

Tenemos que el error que comete es e ' c hp, y queremos determinar el valor de la

pontencia p. Entonces:

e1 = c hp1

e2 = c hp2

→ e1

e2

=hp

1

hp2

⇒ ln

(e1

e2

)= p ln

(h1

h2

)

⇒ p =ln(e1/e2)

ln(h1/h2).

Estimacion de la precision:

Si yh e yh/2 coinciden en n dıgitos, se puede suponer que esos n dıgitos son exactos.

Definicion 13 Se dice que un metodo es de orden mayor o igual a p (p > 0) si para toda

solucion y(t) del problema en [a, b], si y ∈ Cp+1([a, b]) y existe k > 0 (que solo depende

de y, φ, pero es independiente de h) tal que:

M−1∑n=0

|εn+1| ≤ k hp

Consistencia y estabilidad del metodo

Definicion 14 El metodo es consistente al problema

y′(t) = f(t, y) en [a, b]

y(a) = y0

si

limh→0

M−1∑n=0

|y(tn+1)− y(tn)− hφ(tn, y(tn); h)| = 0,

es decir, segun la definicion de εn+1, el error de consistencia,

limh→0

M−1∑n=0

|εn+1| = 0

Definicion 15 Un metodo se dice estable si existe c > 0 (constante de estabilidad)

independiente de h, tal que

yk+1 = yk + hφ(tk, yk; h)

zk+1 = zk + hφ(tk, zk; h) + ρk

0 ≤ k ≤ N, ∀yk, zk, ρk

max0≤k≤M

|yk − zk| ≤ c |y0 − z0|︸︷︷︸error inicial

+∑

0≤k≤N−1

|ρk|︸︷︷︸

suma de errores en cada etapa

45

Definicion 16 Un metodo es convergente a la solucion del problema si

limh→0

max0≤k≤M

|yk − y(tk)| = 0

Teorema 9 El metodo es consistente si y solo si φ(t, y; 0) = f(t, y) ∀t ∈ [a, b], ∀y ∈ R.

Teorema 10 Si el metodo es estable y consistente, entonces es convergente.

3.2 El metodo de Heun

La siguiente tecnica introduce una nueva idea en la construccion del algoritmo para

resolver el problema de valor inicial:

y′(t) = f(t, y(t)) en [a, b],

y(t0) = y0

Para obtener el punto (t1, y1), usamos el Teorema fundamental del Calculo, integrando

y′(t) en [t0, t1] de manera que:

∫ t1

t0

f(t, y(t)) dt =

∫ t1

t0

y′(t) dt = y(t1)− y(t0),

⇒ y(t1) = y(t0) +

∫ t1

t0

f(t, y(t)) dt.

Usamos ahora un metodo de integracion para aproximar la integral que aparece a la

derecha de la expresion anterior. Usando la regla del trapecio con incremento h = t1− t0,

el resultado es:

y(t1) ≈ y(t0) +h

2(f(t0, y(t0)) + f(t1, y(t1))) .

Ahora bien, como y(t1) (que es lo queremos aproximar) aparece tambien en la expresion

de la aproximacion, entonces aplicamos el metodo de Euler para aproximar la y(t1) que

aperece en f(t1, y(t1)):

y(t1) ≈ y(t0) + h f(t, y(t0)),

y obtenemos:

y(t1) ≈ y0 +h

2(f(t0, y0) + f(t1, y0 + h f(t0, y0)))

46

Repitiendo el proceso en cada intervalo [tk, tk+1], en cada paso la aproximacion dada

por el metodo de Euler se usa como una prediccion del valor que queremos calcular, y

luego la regla del trapecio se usa para hacer una correccion y obtener el valor definitivo.

El paso general del metodo de Heun es entonces el siguiente:

Metodo de Heun o Metodo predictor-corrector

Para tk+1 = tk + h,

pk+1 = yk + h f(tk, yk),

yk+1 = yk +h

2(f(tk, yk) + f(tk+1, pk+1))

La siguiente figura sintetiza el efecto del metodo anterior:

Tamano de paso frente al error

El termino del error de la regla del trapecio usada es:

−y(2)(ck)h3

12.

47

Si el unico error que se cometiese en cada paso fuese el anterior, entonces despues de M

pasos del metodo de Heun el error acumulado serıa:

−M∑

k=1

y(2)(ck)h3

12≈M y(2)(c)

b− a

M

h2

12= y(2)(c) (b− a)

h2

12= O(h2)

El siguiente teorema establece la relacion entre el error final y el tamano de paso, y se

puede usar para dar una idea del esfuerzo computacional requerido para el metodo si

queremos obtener una precision fijada de antemano.

Teorema 11 (Precision del metodo de Heun)

Supongamos que y(t) es la solucion de un problema de valor inicial

y′(t) = f(t, y(t)),

y(t0) = y0.

Si y(t) ∈ C3([t0, b]), y (tk, yk)Nk=0 es la sucesion de aproximaciones dadas por el metodo

de Heun, entonces:

|ek| = |y(tk)− yk| = O(h2),

|εk| = |y(tk+1)− y(tk)− h φ(tk, y(tk))| = O(h3),

donde φ(tk, y(tk)) =1

2(f(tk, y(tk)) + f(tk+1, y(tk) + h f(tk, y(tk)))). En particular, el

error global final en el extremo derecho del intervalo verifica:

E(y(b), h) = |y(b)− yM | = O(h2).

Los siguientes ejemplos ilustran el Teorema de la precision del metodo:

Si usasemos tamanos de paso h y h/2, obtendrıamos:

E(y(b), h) ≈ C h2,

E(y(b), h2) ≈ C

h2

4=

1

4C h2 ≈

1

4E(y(b), h).

Entonces, si en el metodo de Heun el tamano de paso se reduce a la mitad, el

error global final se reduce a su cuarta parte.

Ejemplo: Usamos el metodo de Heun para resolver el problema:

y′(t) =t− y

2, en [0, 3], con y(0) = 1,

y comparamos las soluciones obtenidas para tamano de paso h = 1, h = 12, h = 1

4, y

h = 18. La solucion exacta es y(t) = 3 e−t/2 + t− 2.

48

Para h = 14, t0 = 0, t1 = 1

4, y0 = 1, luego:

f(t0, y0) =0− 1

2= −0.5,

p1 = y0 + h f(t0, y0) = 1− 1

4

1

2= 0.875,

f(t1, p1) =0.25− 0.875

2= −0.3125,

y1 = y0 +h

2(f(t0, y0) + f(t1, y1)) = 1 +

1

8(−0.5− 0.3125) = 0.8984375.

Iterando en cada nodo, obtenemos:

y(3) ≈ y12 = 1.672269.

La siguiente figura nos da idea de la aproximacion obtenida con el metodo de Heun

con tamano h = 1 y h = 1/2 para y′(t) = (t−y)/2 en [0, 2] con condicion inicial y(0) = 1:

La siguiente tabla compara las soluciones obtenidas con el metodo de Heun, con dife-

rentes tamanos, para y′(t) = (t− y)/2 en [0, 2] con condicion inicial y(0) = 1:

49

yk

tk h = 1 h = 12

h = 14

h = 18

y(tk) exacto

0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

0.125 0.943359 0.943239

0.25 0.898438 0.897717 0.897491

0.325 0.862406 0.862087

0.50 0.84375 0.838074 0.836801 0.836402

0.75 0.814081 0.812395 0.811868

1.00 0.875 0.831055 0.822196 0.820213 0.819592

1.50 0.930511 0.920143 0.917825 0.917100

2.00 1.171875 1.117587 1.106800 1.104392 1.103638

2.5 1.373115 1.362593 1.360248 1.359514

3.00 1.732422 1.682121 1.672269 1.670076 1.669390

Por ultimo, comparamos los errores globales finales para la e. d. o. con valor incial

anterior, aproximada por el metodo de Heun, usando los tamanos de paso h = 1, 12, ..., 1

64.

Tamano de

paso h

No de

pasos N

Aproximacion

yN a y(3)

Error global final,

y(3)− yN

O(h2) ≈ C h2

con C = −0.0432

1 3 1.732422 -0.063032 -0.04320012

6 1.682121 -0.012731 -0.01080014

12 1.672269 -0.002879 -0.00270018

24 1.670076 -0.000686 -0.000675116

48 1.669558 -0.000168 -0.000169132

96 1.669432 -0.000042 -0.000042164

192 1.669401 -0.000011 -0.000011

Nota 14 El metodo de Heun tambien es conocido con el nombre de metodo de Euler

mejorado.

50

3.3 Metodos de Runge-Kutta

Para disenar estos metodos, la pendiente usada es un promedio entre los valores de la

pendiente en el lımite izquierdo del intervalo [tk, tk+1] y en otros puntos intermedios:

yk+1 = yk + h funcionpromedio

donde funcionpromedio = a fk + b fk′ con a y b pesos a elegir de la forma:

fk = f(tk, yk),

fk′ = f(tk + α h, yk + β h fk)

donde los parametros α, β especifican la posicion del punto intermedio.

Runge y Kutta disenaron el algoritmo eligiendo 4 parametros a, b, α y β de manera

que el resultado fuese lo mas preciso posible. Los parametros son independientes entre sı.

Las restricciones se obtienen desarrollando en serie de Taylor la funcion f en (t, y):

a + b = 1

α b = β b = 12,

que es un sistema de 3 ecuaciones con 4 incognitas. Si elegimos a = 0, b = 1, α = β = 12,

obtenemos:

Euler modificado

yk+1 = yk + h f(tk +h

2, yk +

h

2f(tk, yk))

Si a = b = 12, α = β = 1, se obtiene el metodo de Heun o Euler mejorado. Dicho

metodo y el anterior son metodos de segundo orden.

3.3.1 Algoritmos de Runge-Kutta de cuarto orden

Si incluimos mas puntos en el muestreo dentro del intervalo, el metodo basico de

Runge-Kutta puede mejorarse para que el error de truncamiento global (final) sea pro-

porcional a h4 (es decir, se trata de un metodo de cuarto orden). Despues de hacer

desarrollos en serie de Taylor, se obtiene:

yk+1 = yk +h

6(f1 + 2 f2 + 2 f3 + f4) ,

51

donde

f1 = f(tk, yk)

f2 = f(tk + h2, yk + h

2f1)

f3 = f(tk + h2, yk + h

2f2)

f4 = f(tk + h, yk + h f3)

Nota 15 En general, los metodos de Runge-Kutta son de la forma:

y0 dado

yk+1 = yk + h

(r∑

i=1

ωi ki

),

donde ki = f(tk + ci h, yk + h

(i−1∑j=1

aij kj

)), con c1 = 0, ci ∈ [0, 1], ωi ∈ R, aij ∈ R.

Tamano de paso frente al error

El termino del error de la regla de Simpson con incremento h/2 es:

−y(4)(c1)h5

2880.

Si el unico error que apareciese en cada paso fuera el anterior, entonces en N pasos el

error acumulado al llevar a cabo el metodo serıa:

−N∑

k=1

y(4)(ck)h5

2880≈

b− a

5760y(4)(c) h4 ≈ O(h4).

Teorema 12 (Precision del metodo de Runge-Kutta)

Supongamos que y(t) es la solucion del problema de valor inicial

y′(t) = f(t, y(t)),

y(0) = y0

.

Si y(t) ∈ C5([t0, b]) y (tk, yk)Nk=0 es la sucesion de aproximaciones generada por el

metodo de Runge-Kutta de cuarto orden, entonces:

|ek| = |y(tk)− yk| = O(h4),

|εk| = |y(tk+1)− yk − hTr(tk, yk)| = O(h5),

donde Tr(tk, yk) es la funcion promedio del metodo. En particular, el error global final

verifica:

E(y(b), h) = |y(b)− yM | = O(h4).

52

Es facil decucir que E(y(b), h2) ≈

1

64E(y(b), h).

Las siguientes tablas ilustran las soluciones que aparecen al resolver el problema y′(t) =

(t − y)/2 en [0, 3] con y(0) = 1 por el metodo de Runge-Kutta de cuarto orden con

diferentes tamanos de paso, y el error final cometido:

yk

tk h = 1 h = 12

h = 14

h = 18

y(tk) exacto

0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

0.125 0.9432392 0.9432392

0.25 0.8974915 0.9874908 0.8974917

0.325 0.8620874 0.8620874

0.50 0.8364258 0.8364037 0.8364024 0.8364023

0.75 0.8118696 0.8118679 0.8118678

1.00 0.8203125 0.3196285 0.8195940 0.9195921 0.8195920

1.50 0.9171423 0.3171021 0.9170998 0.9170997

2.00 1.1045125 1.1036826 1.1036408 1.1036385 1.1036383

2.5 1.3595575 1.3595168 1.3595145 1.3595144

3.00 1.6701860 1.6694308 1.6693928 1.6693906 1.6693905

Tamano de

paso h

No de

pasos N

Aproximacion

yN a y(3)

Error global final,

y(3)− yN

O(h4) ≈ C h4

con C = −0.000614

1 3 1.6701860 -0.0007955 -0.000614012

6 1.6694308 -0.0000403 -0.000038414

12 1.6693928 -0.0000023 -0.000002418

24 1.6693906 -0.0000001 -0.0000001

Tema 3

Parte II (e. d. o. s): Resolucion

numerica de ecuaciones diferenciales

ordinarias

3.4 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Consideramos el problema de valor inicial:

(S)

dx

dt(t) = f(t, x(t), y(t))

dy

dt(t) = g(t, x(t), y(t))

con

x(t0) = x0

y(t0) = y0

Definicion 17 Una solucion de (S) es un par de funciones derivables x(t), y(t), tales

que cuando t, x(t), y(t) se sustituyen en f(t, x(t), y(t)), g(t, x(t), y(t)) el resultado es igual

a las derivadas x′(t), y′(t) respectivamente, es decir:

x′(t) = f(t, x(t), y(t))

y′(t) = g(t, x(t), y(t))

con

x(t0) = x0

y(t0) = y0

Ejemplo: Consideramos el sistema

dx

dt(t) = x + 2y

dy

dt(t) = 3x + 2y

con

x(0) = 6

y(0) = 4

53

54

La solucion exacta es:

x(t) = 6e4t + 2e−t

y(t) = 6e4t − 2e−t

3.4.1 Resolucion numerica

Podemos encontrar una solucion numerica del sistema (S) en un intervalo [a, b] consi-

derando los diferenciales:

d x = f(t, x, y) dt, dy = g(t, x, y) dt

Reescribiendo los incrementos dt = tk+1 − tk, dx = xk+1 − xk, dy = yk+1 − yk, es facil

implementar el metodo de Euler:

xk+1 − xk ≈ f(tk, xk, yk) (tk+1 − tk)

yk+1 − yk ≈ g(tk, xk, yk) (tk+1 − tk)

Dividiendo el intervalo [a, b] en N subintervalos de anchura h =b− a

N, y tomando los

nodos tk+1 = tk + h, obtenemos las formulas correspondientes al metodo de Euler:

Metodo de Euler

tk+1 = tk + h

xk+1 = xk + h f(tk, xk, yk)

yk+1 = yk + h g(tk, xk, yk)), para k = 0, 1, ..., N − 1.

Sin embargo, para obtener un grado de precision razonable, es necesario utilizar un

metodo de orden mayor. Por ejemplo, las formulas para el metodode Runge-Kutta de

orden 4 son:

55

Metodo de Runge-Kutta de orden 4

xk+1 = xk +h

6(f1 + 2 f2 + 2 f3 + f4),

yk+1 = yk +h

6(g1 + 2 g2 + 2 g3 + g4) ,

donde

f1 = f(tk, xk, yk), g1 = g(tk, xk, yk),

f2 = f(tk + h2, xk + h

2f1, yk + h

2g1), g2 = g(tk + h

2, xk + h

2f1, yk + h

2g1),

f3 = f(tk + h2, xk + h

2f2, yk + h

2g2), g3 = g(tk + h

2, xk + h

2f2, yk + h

2g2),

f4 = f(tk + h, xk + h f3, yk + h g3), g4 = g(tk + h, xk + h f3, yk + h g3).

Ejemplo: Aplicamos al sistema

x′ = x + 2y,

y′ = 3x + 2ycon

x(0) = 6,

y(0) = 4

el metodo de Runge-Kutta de orden 4 en el intervalo [0, 0.2] tomando 10 subintervalos de

paso h =0.2

10= 0.02.

Para obtener el primer punto t1 = 0.02, las operaciones intermedias necesarias para

obtener x1 e y1 son:

f1 = f(t0, x0, y0) = f(0, 6, 4) = 14, g1 = g(t0, x0, y0) = g(0, 6, 4) = 26

x0 + h2f1 = 6.14 y0 + h

2= 4.26

f2 = f(0.01, 6.14, 4.26) = 14.66, g2 = g(0.01, 6.14, 4.26) = 26.94

x0 + h2f2 = 6.1466 y0 + h

2g2 = 4.2694

f3 = f(0.01, 6.1466, 4.2694) = 14.68.54, g3 = g(0.01, 6.1466, 4.2694) = 26.9786

x0 + h f3 = 6.293708 y0 + h g3 = 4.539572

f4 = f(0.02, 6.293708, 4.539572) = 15.372852 g4 = g(0.02, 6.293708, 4.539572) = 27.960268

56

Luego

x1 = x0 +h

6(f1 + 2 f2 + 2 f3 + f4)

= 6 + 0.026

(14 + 2(14.66) + 2(14.6854) + 15.372852) = 6.29354551

y1 = y0 +h

6(g1 + 2 g2 + 2 g3 + g4)

= 4 + 0.026

(26 + 2(26.94) + 2(26.9786) + 27.960868) = 4.53932490

En la siguiente tabla se recogen los valores en cada nodo para xk e yk.

k tk xk yk

0 0.00 6.00000000 4.00000000

1 0.02 6.29654551 4.53932490

2 0.04 6.61562213 5.11948599

3 0.06 6.96852528 5.74396525

4 0.08 7.35474319 6.41653305

5 0.10 7.77697287 7.14127221

6 0.12 8.23813750 7.92260406

7 0.14 8.74140523 8.76531667

8 0.16 9.29020955 9.67459538

9 0.18 9.88827138 10.6560560

10 0.2 10.5396230 11.7157807

Las soluciones ası calculadas presentan errores que se acumulan en cada paso. En el

extremo derecho del intervalo:

x(0.2)− x10 = 0.0000022

y(0.2)− y10 = 0.0000034

3.4.2 Ecuaciones diferenciales de orden superior

Las edo de orden superior son las que involucran derivadas de x(t) de orden superior,

x′′(t), x′′′(t),... Este tipo de ecuaciones aparecen en modelos matematicos de problemas

de la fısica y la ingenierıa. Por ejemplo,

mx′′(t) + c x′(t) + k x(t) = g(t)

57

representa un sistema mecanico en el que un muelle, cuya constante de recuperacion es

k, atado a una masa m, que ha sido separado de su posicion de equilibrio a la que tiende

a volver. Se supone que la amortiguacion debida al rozamiento es proporcional a la

velocidad, que g(t) es una fuerza externa, y que se conocen la posicion inicial x(t0) y la

velocidad inicial x′(t0). Despejando la derivada segunda, el problema de valor inicial se

puede escribir como:

(E)

x′′(t) = f(t, x(t), x′(t))

x(t0) = x0,

x′(t0) = y0

Si llamamos y(t) = x′(t), la e. d. o. de segundo orden se puede reescribir como un

problema de valor inicial para sistemas de primer orden con 2 ecuaciones:

(S)

dx

dt(t) = y(t),

dy

dt(t) = f(t, x(t), y(t)),

x(t0) = x0,

y(t0) = y0

Al resolver el sistema (S) con un metodo numerico de Runge-Kutta de orden 4, se generan

dos sucesiones xk, yk, siendo xk la sucesion de (E).

Ejemplo 1: Movimiento armonico amortiguado.

x′′(t) + 4 x′(t) + 5 x(t) = 0, x(0) = 3, x′(0) = −5.

a) Reescritura como sistema equivalente:

x′′(t) = −4 x′(t)− 5 x(t),

x′(t) = y(t)

y′(t) = −5 x(t)− 4 y(t)con

x(0) = 3

y(0) = −5

b)En la tabla siguiente mostramos los resultados de RK4 en el intervalo [0, 5], con N = 50

y h = 0.1, y la comparacion con la solucion exacta x(t) = 3 e−2t cos(t) + e−2t sen(t):

58

k tk xk x(tk)

0 0.0 3.00000000 3.00000000

1 0.1 2.52564583 2.52565822

2 0.2 2.10402783 2.10404686

3 0.3 1.73506269 1.73508427

4 0.4 1.41653369 1.41655509

5 0.5 1.14488509 1.14490455

10 1.0 0.33324302 0.33324661

20 2.0 -0.00620684 -0.00621162

30 3.0 -0.00701079 -0.00701204

40 4.0 -0.00091163 -0.00091170

48 4.8 -0.00004972 -0.00004969

49 4.9 -0.00002348 -0.00002345

50 5.0 -0.00000493 -0.00000490

Ejemplo 2: Deflexion de un mastil de un velero.

Consideramos un velero azotado por una fuerza f uniformemente distribuida a lo

largo del mastil. Los cables que soportan el mastil se han quitado, pero el mastil se

monta firmemente en el casco del velero. La fuerza del viento causa que el mastil se

desvıe. Las siguientes figuras representan dicha deflexion:

59

La desviacion es similar a la de una viga en voladizo. Se puede usar la siguiente

ecuacion diferencial, basada en las leyes de la mecanica, para calcular la deflexion:

d2

dz2y(z) =

f

2 E I(L− z)2 (3.1)

donde E es el modulo de elasticidad, L es la altura del mastil e I es el momento de inercia.

En z = 0,dy

dz= 0. Calcular la deflexion en el tope del mastil en donde z = L usando

metodos analıticos y numericos. Supongase que el casco no gira.

Solucion: La solucion exacta es y(z) =f

24 E I(L− z)4 + C1 z + C2. Su derivada es:

y′(z) =−f

6 E I(L− z)3 + C1 ⇒ y′(0) =

−f

6 E IL3 + C1 = 0 C1 =

f L3

6 E I

60

Para calcular la constante C2, usamos la hipotesis logica de que y(0) = 0, es decir, el

mastil no se mueve en el sitio de union con el casco del barco, lo que hace que:

C2 =f L4

24 E I,

de manera que la solucion es:

y(z) =f

6 E I

[1

4(L− z)4 + z L3 − L4

4

],

y entonces,

y(L) =f L4

8 E I.

El modelo anterior es valido siempre que el intervalo de integracion [0, L] sea pequeno,

y la desviacion del mastil (que acabamos de calcular) tambien. Los valores de f y E se

basan en datos experimentales variables y difıciles de medir exactamente.

Reescribimos la ecuacion (3.1) como un sistema de e. d. o. de primer orden que

resolvemos usando el metodo de Euler:

dy

dz= u,

du

dz=

f

2 E I(L− z)2

Usamos f = 50 libras/pie, L = 30 pies, E = 1.5 × 108 libras/pie, I = 0.06 pies4, y

obtenemos que la desviacion el el extremo superior del mastil es y(30) = 0.5625 pies.

Concretamente, para distintos valores de h:

Tamano de paso de Euler y(30)

1.0 0.5744

0.1 0.5637

0.05 0.5631

Los resultados se pueden usar para propositos de diseno. Esto es valioso en el caso en

que la fuerza no es constante sino que varıa de forma complicada en funcion de la altura

sobre la cubierta del velero.

61

3.5 Problemas de contorno

Otro tipo de ecuaciones diferenciales son de la forma:

x′′(t) = f(t, x(t), x′(t)) para a ≤ t ≤ b,

con condiciones de contorno (o frontera)

x(a) = α,

x(b) = β

Observemos que hemos sustituido las condiciones iniciales para x(t0) = x0, x′(t0) = y0

por dos condiciones para x(t). Esto se conoce como problema de contorno o problema de valores frontera.

En este caso, antes de implementar el metodo numerico es necesario garantizar que el pro-

blema de contorno posee solucion. Para ello, usamos el siguiente resultado:

Teorema 13 (Problema de contorno) Supongamos que f(t, x, y) es una funcion con-

tinua en la region:

R = (t, x, y) : a ≤ t ≤ b, −∞ < x < ∞, −∞ < y < ∞,

con derivadas parciales∂f

∂x,

∂f

∂ycontinuas en R.

Si fx(t, x, y) > 0 para todo (t, x, y) ∈ R y existe una constante M > 0 tal que

|fy(t, x, y)| ≤ M para todo (t, x, y) ∈ R, entonces el problema de contorno

x′′(t) = f(t, x(t), x′(t))

x(a) = α, x(b) = β

tiene solucion unica x = x(t) en a ≤ t ≤ b.

Nota 16 Observemos que se ha usado que y = x′(t) para la notacion del teorema anterior.

3.5.1 Caso lineal

Corolario 1 (Problemas de contorno lineales) Supongamos que la funcion f del

Teorema anterior es lineal y se puede escribir de la forma:

f(t, x, y) = p(t) y + q(t) x + r(t)

y que sus derivadas parciales∂f

∂x= q(t),

∂f

∂y= p(t) son continuas en R (lo que garantiza

que |p(t)| = |fy| ≤ M = max [a, b]|p(t)|). Si q(t) > 0 para todo t ∈ [a, b], entonces el

problema de contorno lineal:

x′′(t) = p(t) x′(t) + q(t) x(t) + r(t),

x(a) = α, x(b) = β

tiene solucion unica en a ≤ t ≤ b.

62

Metodo del disparo lineal

Pemite resolver un problema de contorno lineal descomponiendolo como dos problemas

de valor inicial especiales:

(Pb1)

u′′(t) = p(t) u′(t) + q(t) u(t) + r(t)

u(a) = α, u′(a) = 0

(Pb2)

v′′(t) = p(t) v′(t) + q(t) v(t)

v(a) = 0, v′(a) = 1.

Entonces, la combinacion lineal x(t) = u(t) + C v(t) es solucion de x′′(t) = p(t) x′(t) +

q(t) x(t) + r(t). En efecto,

x′′(t) = u′′(t) + c v′′(t) = p(t) (u′(t) + c v′(t)) + q(t)(u)t) + c v(t)) + r(t)

= p(t) x′(t) + q(t) x(t) + r(t)

La solucion x(t) toma los siguientes valores en la frontera del intervalo [a, b]:

x(a) = u(a) + c v(a) = α, x(b) = u(b) + c v(b).

Si imponemos la condicion x(b) = β, entonces debemos calcular la constante anterior de

manera que C =β − u(b)

v(b). En consecuencia, si v′(b) 6= 0, entonces la solucion unica del

problema de contorno inicial es:

x(t) = u(t) +β − u(b)

v(b)v(t).

Nota 17 La hipotesis q(t) > 0 evita el caso v(t) = 0.

Ejemplo: Resolvemos el problema de contorno:

x′′(t) =2t

1 + t2x′(t)− 2

1 + t2x(t) + 1

x(0) = 1.25, x(4) = −0.95

(3.2)

en el intervalo [0, 4]. Siguiendo los pasos del metodo del disparo lineal, descomponemos

el problema en:

(Pb1)

u′′(t) =2t

1 + t2u′(t)− 2

1 + t2u(t) + 1

x(0) = 1.25, x′(0) = 0

63

Figura 3.1: Funciones u(t), v(t) y x(t) asociadas a (3.2)

Figura 3.2: Grafica de la solucion numerica de (3.2) con h = 0.2

64

(Pb2)

v′′(t) =2t

1 + t2v′(t)− 2

1 + t2v(t)

x(0) = 0, x′(0) = 1

Usando el metodo de Runge-Kutta de orden 4 con h = 0.2, calculamos las soluciones

numericas uj, vj asociadas a los problemas 1 y 2.

Por otro lado, tomando u(4) ≈ u20 = −2.893535, v(4) ≈ v20 = 4, entonces conside-

ramos la sucesion wj definida por:

wj =b− u(4)

v(4)= 0.485884 vj.

Entonces, la sucesion numerica del problema de contorno viene dada por uj + wj. La

soluci’on exacta del problema es:

x(t) = 1.25 + 0.4860896526 t− 2.25 t2 + 2t arctg(t) +1

2(t2 − 1) ln(1 + t2).

Las siguientes tablas reflejan las aproximaciones numericas obtenidas de las funciones uj,

wj y uj + wj:

65

tj uj wj xj = uj + wj

0.0 1.250000 0.000000 1.250000

0.2 1.220131 0.097177 1.317308

0.4 1.132073 0.194353 1.326426

0.6 0.990122 0.291530 1.281652

0.8 0.800569 0.388707 1.189276

1.0 0.570844 0.485884 1.056728

1.2 0.308850 0.583061 0.891911

1.4 0.022522 0.680237 0.702759

1.6 -0.280424 0.777413 0.496989

1.8 -0.592609 0.874591 0.281982

2.0 -0.907039 0.971767 0.064728

2.2 -1.217121 1.068944 -0.148177

2.4 -0.516639 1.166121 -0.350518

2.6 -1.799740 1.263297 -0.536443

2.8 -2.060904 1.360474 -0.700430

3.0 -2.294916 1.457651 -0.837265

3.2 -2.496842 1.554828 -0.942014

3.4 -2.662004 1.652004 -1.010000

3.6 -2.785960 1.749181 -1.036779

3.8 -2.864481 1.846358 -1.018123

4.0 -2.893535 1.943535 -0.950000

Tabla 3.1: Soluciones numericas

66

tjxj

h = 0.2

x(tj)

exacto

x(tj)− xj

errortj

xj

h = 0.1

x(tj)

exacto

x(tj)− xj

error

0.0 1.250000 1.250000 0.000000 0.0 1.250000 1.250000 0.000000

0.1 1.291116 1.291117 0.000001

0.2 1.317308 1.317350 0.000042 0.2 1.317348 1.317350 0.000002

0.3 1.328986 1.328990 0.000004

0.4 1.326426 1.326505 0.000079 0.4 1.326500 1.326505 0.000005

0.5 1.310508 1.310514 0.000006

0.6 1.281652 1.281762 0.000110 0.6 1.281756 1.281762 0.000006

0.8 1.189276 1.189412 1.000136 0.8 1.189404 1.189412 0.000008

1.0 1.056728 1.056886 0.000158 1.0 1.056876 1.056886 0.000010

1.2 0.891911 0.892086 0.000175 1.2 0.892076 0.892086 0.000010

1.6 0.496989 0.497187 0.000198 1.6 0.497175 0.497187 0.000012

2.0 0.064728 0.064931 0.000203 2.0 0.064919 0.064931 0.000012

2.4 -0.350518 -0.350325 0.000193 2.4 -0.350337 -0.350325 0.000012

2.8 -0.700430 -0.700262 0.000168 2.8 -0.700273 -0.700262 0.000011

3.2 -0.942014 -0.941888 0.000126 3.2 -0.941895 -0.941888 0.000007

3.6 -1.036779 -1.036708 0.000071 3.6 -1.036713 -1.036708 0.000005

4.0 -0.950000 -0.950000 0.000000 4.0 -0.950000 -0.950000 0.000000

Tabla 3.2: Soluciones numericas y error

Tema 4

El metodo de Diferencias Finitas

La idea del metodo de Diferencias Finitas consiste en aproximar las derivadas que

aparecen en el problema de ecuaciones diferenciales ordinarias (e.d.o.) de forma que

se reduzca a resolver un sistema lineal. Una vez definido el sistema lineal se estudiara

teniendo en cuenta los resultados de los Temas 1 y 2.

Comenzamos viendo el metodo de Diferencias Finitas para un problema de contorno

de segundo orden lineal. En concreto, consideramos la ecuacion lineal:

x′′(t) = p(t) x′(t) + q(t)x(t) + r(t) t ∈ [a, b] (4.1)

con

x(a) = α, x(b) = β.

Recordamos que, segun vimos en el tema anterior, suponemos que

q(t) > 0 y que p(t) esta acotada,

bajo estas condiciones el problema de contorno tiene solucion.

Hagamos una particion de [a, b], donde:

a = t0 < t1 < . . . < tN = b,

h =b− a

Ntj = a + j h j = 0, 1, . . . , N

Usando las formulas de diferencias centradas para aproximar las derivadas tenemos (En

el Apendice de este tema se explica como se deduce la siguiente igualdad):

x′(tj) =x(tj+1)− x(tj−1)

2 h+O(h2) (4.2)

67

68

x′′(tj) =x(tj+1)− 2x(tj) + x(tj−1)

h2+O(h2) (4.3)

Reemplazando (4.2) y (4.3) en (4.1), aproximando xj ≈ x(tj) ∀ j, obtenemos:

xj+1 − 2 xj + xj−1

h2+O(h2) = p(tj)

(xj+1 − xj−1

2 h+O(h2)

)+ q(tj)xj + r(tj) (4.4)

Eliminando los terminos de ordenO(h2) en (4.4) e introduciendo la notacion pj = p(tj),

qj = q(tj), rj = r(tj), obtenemos la ecuacion en diferencias:

xj−1 − 2 xj + xj−1

h2= pj

xj+1 − xj−1

2 h+ qj xj + rj (4.5)

que se usa para calcular aproximaciones numericas a la solucion de la ecuacion diferencial

(4.1).

Reagrupando, teniendo en cuenta que las incognitas son xj j = 1, . . . , N , tenemos el

sistemas lineal de ecuaciones:

(−h

2pj − 1

)xj−1 +

(2 + h2qj

)xj +

(h

2pj − 1

)xj+1 = −h2 rj j = 1, 2, . . . , N − 1

x0 = α

xN = β

(4.6)

El sistema (4.6) es un sistema tridiagonal de N − 1 ecuaciones y N − 1 incognitas,

x1, . . . , xN−1 (pues x0 y xN son datos, las condiciones de contorno del problema). En

notacion matricial podemos escribirlo como

Ax = b,

donde x =

x1

...

xN−1

,

A =

2 + h2q1 p1h/2− 1 0 . . . . . . 0

−p2h/2− 1 2 + h2q2 p2h/2− 1 . . . . . . 0. . .

−pjh/2− 1 2 + h2qj pjh/2− 1. . .

−pN−1h/2− 1 2 + h2qN−1

69

Ademas, si denotamos e0 = (p1h/2 + 1)α, eN = (−pN−1h/2 + 1)β, tenemos

b =

−h2r1 + e0

−h2r2

...

−h2rj

...

−h2rN−1 + eN

Aplicamos ahora algunos de los resultados que hemos estudiado para resolucion numerica

de sistemas lineales. Por ejemplo, veamos si podemos utilizar los metodos iterativos de

Jacobi y Gaus-Seidel. Uno de los criterios para ver si ambos metodos son convergentes

es probar que la matriz es estrictamente diagonal dominante. Para ello, tenemos que ver

que

|2 + h2qj| > |1 + pjh/2|+ |1− pjh/2|, j = 1, . . . , N − 1.

Por un lado tenemos que h es el tamano de paso en la discretizacion, por lo que lo podemos

tomar suficientemente pequeno, de forma que

1− pjh/2 ≥ 0, 1 + pjh/2 ≥ 0 ∀j

Como ademas, tenemos que q > 0, por hipotesis (lo suponıamos al principio del tema,

para poder asegurar que el problema de contorno tiene solucion), llegamos a que

|1 + pjh/2|+ |1− pjh/2| = 1 + pjh/2 + 1− pjh/2 = 2

y

|2 + h2qj| > 2 (pues qj > 0).

Por lo tanto, la matriz del sistema es estrictamente diagonal dominante. Entonces, pode-

mos aplicar los metodos iterativos de Jacobi y Gaus-Seidel para resolver el sistema lineal

(no os parece apasionante, como justo la hipotesis que se necesita para asegurar la exis-

tencia de solucion en el problema de contorno (q > 0) es la que asegure que el sistema es

estrictamente diagonal dominante?, acabamos de relacionar dos problemas en apariencia

distintos).

En definitiva, de esta forma, resolviendo el problema lineal, con tamano de paso h,

conseguimos una aproximacion numerica: un conjunto finito de puntos (tj, xj)N−1j=1 .

Si se conoce la solucion exacta x(tj), entonces podemos comparar xj con x(tj).

70

Ejemplo: Vamos a resolver el problema de contorno

x′′(t) =2t

1 + t2x′(t) +

2

1 + t2x(t) + 1 t ∈ [0, 4]

x(0) = 1.25 x(4) = −0.95

Solucion: Aplicando el metodo de diferencias finitas y aproximando xj ≈ x(tj)

xj,1Nj=0, xj,2N

j=0, xj,3Nj=0, xj,4N

j=0

representan las aproximaciones correspondientes a los tamanos de paso h al elegir

h1 = 0.2 ⇒ N = 20, h2 = 0.1 ⇒ N = 40,

h3 = 0.05 ⇒ N = 80, h4 = 0.025 ⇒ N = 160.

Veamos, segun los distintos pasos considerados, la siguiente tabla de errores:

tjx(tj)− xj,1

h1 = 0.2

x(tj)− xj,2

h2 = 0.1

x(tj)− xj,3

h3 = 0.05

x(tj)− xj,4

h = 0.025

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.2 0.002847 0.000704 0.000176 0.000044

0.4 0.005898 0.001460 0.000364 0.000091

0.6 0.009007 0.002229 0.000556 0.000139

0.8 0.012013 0.002974 0.000742 0.000185

1.0 0.014780 0.003660 0.000913 0.000228

1.2 0.017208 0.004263 0.001063 0.000265

1.4 0.019235 0.004766 0.001189 0.000297

1.6 0.020815 0.005160 0.001287 0.000322

1.8 0.021920 0.005435 0.001356 0.000338

2.0 0.022533 0.005588 0.001394 0.000348

2.2 0.022693 0.005615 0.001401 0.000350

2.4 0.022232 0.005516 0.001377 0.000344

2.6 0.021304 0.005285 0.001319 0.000329

2.8 0.019852 0.004926 0.001230 0.000308

3.0 0.017872 0.004435 0.001107 0.000277

3.2 0.015362 0.003812 0.000951 0.000237

3.4 0.012322 0.003059 0.000763 0.000191

3.6 0.008749 0.002171 0.000541 0.000135

3.8 0.004641 0.001152 0.000287 0.000072

4.0 0.0 0.0 0.0 0.0

71

Se puede probar que las soluciones numericas tienen un error de O(h2): Veamos que si

reducimos el tamano del paso a la mitad, el error disminuye una cuarta parte (Recordamos

que si un metodo es de orden p, entonces e(h/2) = e(h)/2p):

Vamos a fijarnos en la tabla anterior, por ejemplo en t = 2, vemos que el error que

cometemos en este punto, para h1 = 0.2 es 0.022533. Dividiendo esta cantidad por cuatro

y ası sucesivamente tenemos

0.022533 0.00563325 0.0014083125 0.0035207

mientras que los valores de la tabla son

0.022533 0.005588 0.001394 0.000348

Es un pequeno ejemplo, comprobando que el esquema es de orden dos.

Teorema 14 Si la solucion del problema de contorno es suficientemente regular, x ∈C4([a, b]), entonces el error e para el metodo de diferencias finitas satisface:

‖e‖∞ ≤ C h2,

es decir, es un metodo de segundo orden.

Realmente habra ocasiones en las que nos interesa conseguir metodos de mayor orden.

Con esta finalidad estudiamos el esquema de mejora de Richardson.

4.1 Esquema de mejora de Richardson

Vamos a mejorar la precision de las aproximaciones numericas anteriormente obte-

nidas usando el esquema de mejora de Richardson para extrapolar los valores xj,1Nj=0,

xj,2Nj=0, xj,3N

j=0 xj,4Nj=0, correspondiente a los pasos h1, h2, h3 y h4, donde

h2 =h1

2, h3 =

h2

2, h4 =

h3

2,

con la finalidad de obtener 6 cifras de precision.

Para ello, primero eliminamos los terminos de orden O(h2) de xj,1Nj=0 y O((h

2)2) de

xj,2Nj=0, generando los valores

zj,1 =

4xj,2 − xj,1

3

72

Despues, se eliminan los terminos de orden O((h2)2) y O((h

4)2) de xj,2N

j=0 y xj,3Nj=0,

generando

zj,2 =

4xj,3 − xj,2

3

Se puede aplicar un segundo nivel de mejora a las sucesiones zj,1 y zj,2, generando

una tercera mejora:

zj,3 =

16zj,2 − zj,1

15

Los valores correspondientes a zj,3 ya tienen 6 cifras de precision. Como ejemplo, vease

la siguiente tabla

tj(4xj,2 − xj,1)/3

= zj,1

(4xj,3 − xj,2)/3

= zj,2

(16zj,2 − zj,1)/3x(tj)

Sol. exacta

0.0 1.250000 1.250000 1.250000 1.250000

0.2 1.317360 1.317351 1.317350 1.317350

0.4 1.326524 1.326506 1.326504 1.326505

0.6 1.281792 1.281764 1.281762 1.281762

0.8 1.189451 1.189414 1.189412 1.189412

1.0 1.056932 1.056889 1.056886 1.056886

1.2 0.892138 0.892090 0.892086 0.892086

1.4 0.703003 0.702951 0.702947 0.702948

1.6 0.497246 0.497191 0.497187 0.497187

1.8 0.282244 0.282188 0.282184 0.282184

2.0 0.064991 0.064935 0.064931 0.064931

2.2 -0.147918 -0.147973 -0.147977 -0.147977

2.4 -0.350268 -0.350322 -0.350325 -0.350325

2.6 -0.536207 -0.536258 -0.536261 -0.536261

2.8 -0.700213 -0.700259 -0.700263 -0.700262

3.0 -0.837072 -0.837119 -0.837116 -0.837116

3.2 -0.941850 -0.941885 -0.941888 -0.941888

3.4 -1.009870 -1.009898 -1.009899 -1.009899

3.6 -1.036688 -1.096707 -1.036708 -1.036708

3.8 -1.018075 -1.018085 -1.018086 -1.018086

4.0 -0.950000 -0.950000 -0.950000 -0.950000

73

4.2 Otras condiciones de frontera.

Las condiciones de frontera pueden ser distintas. Concretamente, en lugar de tomar

x(a) = α, podemos tener x′(a) y x′(b) en lugar de x(b).

Supongamos por ejemplo que:

x′(a) = α

x′(b) = βo

x′(a) = α

x(b) = βo

x(a) = α

x′(b) = β

Ahora x0 y xN son tambien incognitas, luego debemos tener 2 ecuaciones mas en el sistema

resultante.

Supongamos que tenemos la condicion x′(a) = α, podemos aproximar esta condicion

mediante:x1 − x−1

2h= α (4.7)

donde x−1 es un punto ficticio de la busqueda de x0. Entonces, escribiendo la ecuacion

aproximada por diferencias finitas para el nodo x0:

x1 − 2x0 + x−1

h2= r0 + q0x0 + p0

x1 − x−1

2h

que reordenamos como:

(−1− 1

2hq0)x−1 + (2 + h2p0)x0 + (−1 +

1

2hq0)x1 = −h2r0,

de donde, teniendo en cuenta que por (4.7)

x−1 = x1 − 2hα

La ecuacion queda

(2 + h2p0)x0 − 2x1 = −(2 + h q0)h α− h2r0. (4.8)

Razonando asimismo en el extremo b, tenemos que si imponemos x′(b) = β la ecuacion

resultante es

−2xN−1 + (2 + h2qN)xN = −h2rN + (2− h pN)hβ. (4.9)

De esta forma, las ecuaciones (4.8) y (4.9) se anadirian al sistema (4.6), obteniendo un

problema de (N + 1) incognitas con (N + 1) ecuaciones.

74

Apendice: Aproximacion de la derivada de una fun-

cion a partir del desarrollo de Taylor

En esta seccion vamos a introducir aproximaciones de y′(x) e y′′(x), a partir del desa-

rrollo de Taylor. Estas aproximaciones es la base de los metodos de diferencias finitas.

Consideramos en primer lugar el desarrollo de Taylor de tercer orden, para una funcion

y(x). Entonces,

y(t) = y(t0) + y′(t0)(t− t0) + y′′(t0)(t− t0)

2

2+ y′′′(c)

(t− t0)3

6

de donde tomando t0 = x y t = x + h, tenemos

y(x + h) = y(x) + y′(x)h + y′′(x)h2

2+ y′′′(c1)

h3

6

Tomando ahora, t0 = x, t = x− h, obtenemos:

y(x− h) = y(x)− hy′(x) + y′′(x)h2

2− y′′′(c2)

h3

6.

Restando ambas expresiones tenemos:

y(x + h)− y(x− h) = 2 h y′(x) +h3

6(y′′′(c1) + y′′′(c2))

De esta ultima aproximacion deducimos

y′(x) =y(x + h)− y(x− h)

2 h+

h2

12(y′′′(c1) + y′′′(c2))

Por lo tanto, tenemos una aproximacion de segundo orden a la derivada a la funcion en

un punto:

y′(x) ≈ y(x + h)− y(x− h)

2 h

Aproximacion de y′′(x)

Usando el desarrollo de Taylor de cuarto orden, llegamos a que

y(t) = y(t0) + y′(t0)(t− t0) + y′′(t0)(t− t0)

2

2+ y′′′(t0)

(t− t0)3

6+ yiv(c)

(t− t0)4

4!

Si t = x + h, t0 = x

y(x + h) = y(x) + y′(x)h + y′′(x)h2

2+ y′′′(x)

h3

6+ yiv(c1)

h4

4!

75

Si t = x− h, t0 = x

y(x + h) = y(x)− y′(x)h + y′′(x)h2

2− y′′′(x)

h3

6+ yiv(c2)

h4

4!

Sumando ambas expresiones y despejando el valor de y′′(x) tenemos:

y′′(x) =y(x + h)− 2y(x) + y(x− h)

h2+

h2

4!(yiv(c1) + yiv(c2))

Luego usamos la aproximacion de segundo orden de y′′(x):

y′′(x) ≈ y(x + h)− 2y(x) + y(x− h)

h2.

Tema 5

Ecuaciones en derivadas parciales

Muchos problemas en ciencia aplicada, fısica e ingenierıa se modelan mediante EDP’s.

Una EDP es una ecuacion diferencial en la que aparecen dos o mas variables indepen-

dientes. El orden de la EDP es (igual que en las edo) el de la mayor derivada parcial

que aparezca en dicha ecuacion. Nosotros nos restringiremos al caso de EDPs de segun-

do orden. Empezaremos clasificando los tres tipos de ecuaciones que vamos a estudiar,

introduciendo un problema fısico tıpico de cada clase.

Estudiamos EDPs de la forma

Aφxx + Bφxy + Cφyy = f(x, y, φ, φx, φy)

donde A, B, C son constantes. Dichas ecuaciones reciben el nombres de quasi-lineales y

son de 3 tipos:

1. Si B2 − 4AC < 0, la ecuacion se llama elıptica.

2. Si B2 − 4AC = 0, la ecuacion se llama parabolica.

3. Si B2 − 4AC > 0, la ecuacion se llama hiperbolica.

Como ejemplo de una ecuacion hiperbolica podemos considerar el modelo unidimensional

de la cuerda vibrante. El desplazamiento de la cuerda u(x, t) viene gobernado por la

llamada ecuacion de ondas

ρutt(x, t) = T uxx(x, t) 0 < x < L 0 < t < ∞

(por ρ denotamos la masa de la cuerda por unidad de longitud y por T la tension de la

77

78

cuerda) con posicion y velocidad iniciales dadas por

u(x, 0) = f(x) para t = 0, 0 ≤ x ≤ L

ut(x, 0) = g(x) para t = 0, 0 ≤ x ≤ L

y siendo los valores en los extremos de la cuerda

u(0, t) = 0 y(L, t) = 0 0 ≤ t < ∞

Como ejemplo de una ecuacion parabolica consideramos el modelo unidimensional del

flujo de calor en un alambra aislado de longitud L.

La ecuacion del calor que nos da la temperatura u(x, t) en la posicion x del alambre y en

el instante t, es

K ux x(x, t) = σ ρ ut(x, t) 0 < x < L 0 < t < ∞

donde u(x, 0) = f(x) para t = 0, 0 ≤ x ≤ L y la condicion de contorno en los extremos es

u(0, t) = c1 u(L, t) = c2

Por K denotamos el coeficiente de conductividad termica. σ es el calor especıfico del

material. ρ es la densidad del material.

79

Figura 5.1: Curvas de nivel de la funcion potencial

Como ejemplo de ecuacion elıptica consideramos la funcion potencial u(x, t), que po-

drıa representar el regimen permante de un potencial electrostatico o el regimen per-

manente de la distribucion de temperatura en una region rectangular del plano. Estas

situaciones se modelan mediante la llamada ecuacion de Laplace en un rectangulo

ux x(x, y) + uy y(x, y) = 0 0 < x < 1 0 < y < 1

con condiciones de contorno especıficadas sobre cada uno de los lados del rectangulo

anteriorment mencionado:

u(x, 0) = f1(x), u(x, 1) = f2(x) 0 ≤ x ≤ 1

u(0, y) = f3(y), u(1, y) = f4(y) 0 ≤ y ≤ 1

En la figura 5.1 se muestran las curvas de nivel u(x, y) = c cuando f1(x) = 0,

f2(x) = sen(π x), f3(y) = f4(y) = 0.

Nota 18 Las condiciones de contorno tambien se podrıan haber elegido para derivadas

normales de u, aunque no estudiaremos este caso.

5.1 Ecuaciones elıpticas

Llamamos laplaciano de la funcion u(x, y) a

∆u = ∇2u = uxx + uyy.

A partir de este operador, se pueden escribir las siguientes ecuaciones que surgen en

muchos problemas fısicos:

80

1. ∆u = 0 → Ecuacion de Laplace.

2. ∆u = g(x, y) → Ecuacion de Poisson.

3. ∆u + f(x, y) u = g(x, y) → Ecuacion de Helmholtz.

Si se conocen los valores que toma u en la frontera de la region donde esta definida (que

nosotros consideraremos un rectangulo) (problema de Dirichlet) o su derivada normal

∂u/∂η(x, y) = 0 (problema de Newmann), entonces cada uno de esos problema se

pueden resolver. Vamos a verlos mediante la tecnica de diferencias finitas.

5.2 Diferencias Finitas para EDP’s

Queremos resolver el siguiente problema de EDP con condicion de contorno de tipo

Dirichlet,

uxx + uyy = 0 en Ω

u(x, y) = g(x, y) en ∂Ω

u continua en Ω

(5.1)

Si suponemos g continua y algunas condiciones de regularidad (poco exigentes) sobre Ω,

el problema tiene solucion unica.

Para introducir el metodo, supondremos que Ω es un cuadrado:

Ω = (x, y) ∈ R2; 0 < x < 1, 0 < y < 1

Discretizacion: Introducimos una malla o red de puntos sobre Ω:

x x xy

y

y

0 1 N

0

1

N

x

y

81

Es decir, realizamos una particion del intervalo [0, 1] sobre el eje OX que viene dada por

0 = x0 < x1 < x2 < . . . < xN−1 < xN = 1

y otra particion sobre el eje OY:

0 = y0 < y1 < y2 < . . . < yN−1 < yN = 1

donde supondremos iguales los tamanos de paso:

xi−1 − xi = h, yi+1 − yi = h

(aunque en general se podrıan tomar distintos).

Entonces, un punto cualquiera de la malla anteriormente descrita viene dado por:

(xi, yj) = (i h, j h) 0 ≤ i, j ≤ N h =1

N

Entonces, la EDP (5.1) la sustituimos para cada punto (xi, yj) por la ecuacion que se

obtiene sustituyendo las derivadas segunda por una aproximacion del tipo:

f ′′(x) =f(x + h)− 2f(x) + f(x− h)

h2+O(h2)

(Ver Apendice del tema anterior).

Entonces tenemos:

uxx(x, y) =u(x + h, y)− 2u(x, y) + u(x− h, y)

h2+O(h2)

uyy(x, y) =u(x, y + h)− 2u(x, y) + u(x, y − h)

h2+O(h2)

82

Llamamos ui,j a la aproximacion del valor exacto u(xi, yj). Al sustituir la derivada exac-

ta en (5.1) por las aproximaciones anteriormente mencionadas, la ecuacion (5.1) queda

descrita para cada punto de la malla (xi, yj) como:

ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j

h2+

ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1

h2= 0,

que reordenando se convierte en:

−(4ui,j − ui−1,j − ui+1,j − ui,j−1 − ui,j+1) = 0 0 ≤ i, j ≤ N (5.2)

Con lo que tenemos un sistema de ecuaciones lineales, con incognitas ui,j, que son 2(N +1)

incognitas, y un numero equivalente de ecuaciones.

Sin embargo, conocemos los valores frontera u = g sobre ∂Ω. Luego tenemos que

u0,j = g0,j = g(0, yj), uN,j = gN+1,j = g(1, yj) j = 0, . . . , N

ui,0 = gi,0 = g(xi, 0), ui,N = gi,N = g(xi, 1) i = 0, . . . , N

De esta forma, las incognitas solo son

ui,j 1 ≤ i, j ≤ N − 1

y el sistema (5.2) solo se considera para 1 ≤ 1, j ≤ N − 1, con lo que tenemos el mismo

numero de ecuaciones que incognicas.

Nota 19 El sistema lineal que se obtiene es hueco, pues a lo sumo hay 5 terminos no

nulos en cada ecuacion. Ademas, es diagonal dominante, luego los metodos iterativos de

Jacobi y Gaus-Seidel se pueden aplicar.

5.2.1 Tratamiento de la condicion de contorno de tipo Neumann

Vamos a suponer el caso mas simple:

∂u

∂η(x, y) = 0.

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η

En el contexto de los problemas de distribucion de temperaturas, esto significa que el

contorno esta aislado y que no hay flujo de calor a traves de el.

Supongamos que solo consideramos la condicion de contorno Neumann sobre uno de

los lados de la region, en concreto sobre el lado x = 1. La condicion de contorno sobre

ese lado es:

∂u

∂η(x, y) = (

∂u

∂x,∂u

∂y) · η = 0.

En este caso, x = 1, el vector normal es η = (1, 0), por lo que la condicion queda reducida

a

∂u

∂x(1, y) = 0.

La ecuacion de diferencias finitas correspondiente a los puntos de x = 1, es decir, (1, yj)

es:

uN+1,j + uN−1,j + uN,j+1 + uN,j−1 − 4uN,j = 0, (5.3)

donde el valor de uN+1,j es desconocido, al estar fuera de la region. Usamos entonces la

formula de derivacion numerica

uN+1,j − uN−1,j

2 h≈ ∂u

∂x(xN , yj) = 0

Por lo tanto, tenemos que

uN+1,j = uN−1,j

Luego sustituyendo en la expresion (5.3) queda:

2uN−1,j + uN,j+1 + uN,j−1 − 4uN,j = 0

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Esta nueva formula sigue el esquema

apuntes de la asignatura metodos num´ ericos de...

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