apuntes de la asignatura -...

Apuntes de la asignatura

Área de Mecánica de FluidosUniversidad de Jaén

2 de diciembre del 2008

Indice

Indice i

1 Introducci on 11.1 Solidos, lıquidos y gases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Hipotesis de medio continuo: partıcula fluida. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Densidad, velocidad y energıa interna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Equilibrio termodinamico local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Variables y relaciones termodinamicas de interes. . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Fluidostatica 92.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Concepto de presion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1 Presion en un punto: Principio de Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.2 Resultante de las fuerzas de presion sobre una partıcula fluida . . . . . 11

2.4 Resultante de las fuerzas masicas sobre una partıculafluida . . . . . . . . . . . 132.4.1 Sistemas de referencia inerciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.2 Sistemas de referencia no inerciales: Fuerzas de inercia . . . . . . . . . 13

2.5 Equilibrio de una partıcula fluida en reposo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5.1 Ecuacion general de la fluidostatica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5.2 Isobaras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6 Fluidostatica de lıquidos: Aplicaciones a la medida de presion . . . . . . . . . 192.6.1 El barometro de mercurio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6.2 El manometro en U abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.6.3 El manometro diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6.4 Presion absoluta, manometrica y de vacıo. . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.7 Fluidostatica de gases: atmosfera estandar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7.1 Atmosfera isoterma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.7.2 Atmosfera estandar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.8 Fuerzas y momentos sobre superficies sumergidas. . . . . . . . . . . . . . . . 262.8.1 Fuerzas sobre superficies planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.8.2 Fuerzas sobre superficies curvas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.9 Fuerzas sobre cuerpos sumergidos y en flotacion: El Principio de Arquımedes. 312.10 Estabilidad de flotacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

i

INDICE ii

3 Cinematica 373.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1 Descripciones Euleriana y Lagrangiana. . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Movimiento uniforme y estacionario; puntos de remanso. . . . . . . . . . . . 373.3 Trayectorias y sendas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Lıneas, superficies y volumenes fluidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5 Lıneas, superficies y tubos de corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.6 Lıneas de traza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Analisis de volumenes de control 414.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Leyes de la mecanica aplicadas a volumenes fluidos. . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2.1 El principio de conservacion de la masa. . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.2 La segunda ley de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2.3 El primer principio de la termodinamica. . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3 Volumenes fluidos y volumenes de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4 Flujo convectivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5 Teorema del transporte de Reynolds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.6 Ecuacion de la continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.6.1 Gasto masico y caudal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.6.2 Aproximacion unidimensional a los terminos de flujo. . . . . . . . . . 47

4.7 Ecuacion de la cantidad de movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.7.1 Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie. . . . . . . . . . . . . . . 484.7.2 Tensor de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.7.3 Ecuacion de la cantidad de movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . 504.7.4 Aproximacion unidimensional a los terminos de flujode cantidad de

movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.7.5 Fuerzas y momentos sobre superficies sumergidas. . . . . . . . . . . 514.7.6 Un primer ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.7.7 La ecuacion de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.8 Ecuacion del momento cinetico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.9 Ecuacion de la energıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.9.1 Aproximacion unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Analisis diferencial del flujo 625.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2 Ecuacion de continuidad en forma diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.3 Ecuacion de cantidad de movimiento en forma diferencial . . . . . . . . . . . . 63

Referencias 64

Capıtulo 1

Introducci on

1.1 Solidos, lıquidos y gases

A nivel macroscopico, la principal diferencia entre solidos y fluidos estriba en su capacidadpara deformarse. Los solidos se deforman poco. Ante la aplicacion de una fuerza exterior pe-quena, el solido responde con una deformacion pequena.Tal comportamiento es debido a quelos solidos presentan una resistencia a la deformacion que es proporcional a la magnitud dedicha deformacion. Los fluidos, por el contrario, se deforman con facilidad cuando se les aplicauna fuerza de manera adecuada. La fuerza de resistencia que presentan ante una deformacionresulta no ser proporcional a la deformacion, sino a la velocidad a la que se produce esta. Estafacilidad para deformarse queda patente en la capacidad de los fluidos para adaptarse a la formadel contenedor que los limita.

La diferencia entre lıquidos y gases es menos fundamental.Por una parte, la densidad de loslıquidos es tıpicamente mucho mayor que la de los gases, loque influye de manera determinanteen la magnitud de la fuerza necesaria para producir una aceleracion dada. Por otra parte, ladiferencia mas importante entre las propiedades mecanicas de ambos estados fluidos radica ensu compresibilidad. Por ejemplo, la variacion de densidadque se produce al someter al fluido auna variacion de presion dada es mucho menor en el caso de los lıquidos que en el caso de losgases, lo cual puede expresarse mediante la desigualdad

(∂ρ

∂p

)

T,l

≪

(∂ρ

∂p

)

T,g

, (1.1)

dondeρ, p y T representan la densidad, presion y temperatura, respectivamente. Para conven-cernos de lo anterior, basta considerar un globo que contiene aire y uno que contiene agua. Laexperiencia nos dice que presionando con las manos convenientemente el primero es posiblereducir su volumen, aumentando de esta manera la densidad enel interior, mientras que el vo-lumen del globo lleno de agua permanece practicamente constante independientemente de lapresion que ejerzamos. De hecho, se necesita aumentar la presion hasta106 atmosferas para re-ducir el volumen del agua a la mitad. De manera similar, si sometemos a un fluido a variacionesde temperatura, la variacion de densidad resultante en el caso de que el fluido sea un lıquido esdespreciable comparada con la que observarıamos si el fluido fuese un gas. En vista de su bajacompresibilidad, para una inmensa mayorıa de aplicaciones resulta una aproximacion adecuadael suponer que la densidad del lıquido es constante (hipotesis de lıquido perfecto).

Todas las propiedades macroscopicas vistas anteriormente son resultado de la distinta es-tructura microscopica que presentan solidos, lıquidosy gases. Para entenderlo, hay que tener

1.1. SOLIDOS, LIQUIDOS Y GASES

en cuenta que la fuerza que se ejerce entre dos moleculas es funcion de la distancia entre suscentros,d, de acuerdo a la ley esquematizada en el grafico de la figura1.1. Cuando dicha distan-

d

d

do

F

REPULSION

ATRACCION

Figura 1.1: Representacion esquematica de la fuerza que se ejerce entre dos moleculas comofuncion de la distancia entre sus centros.

cia se hace muy pequena, las moleculas tienden a repelerse, mientras que para valores grandesded aparece una fuerza de atraccion que disminuye con la distancia. Existe un valor crıtico dela distanciad = do para el que la fuerza cambia de signo. Esta distancia, que corresponde auna posicion de equilibrio estable para el sistema de dos moleculas considerado, suele tener unvalor en torno a3 × 10−10 m.

Conocidos los valores medios de la densidad de una sustancia, ρ, y de su masa molecular,W , es facil calcular la distancia media,d, entre los centros de las moleculas

ρ =W/NA

d3≡

peso 1 moleculavolumen ocupado por 1 molecula

⇒ d =

(W

ρNA

)1/3

(1.2)

dondeNA = 6,023× 1023 moleculas/mol es el numero de Avogadro. El calculo revela que parael caso de gases a presion y temperatura ambiented ≃ 10do (por ejemplo, para el aire se tieneρ ≃ 1,2 kg/m3, W ≃ 29 · 10−3 kg/mol, por lo que obtenemosd ≃ 3,4 × 10−9 m), mientras lasmoleculas de solidos y lıquidos estan mucho mas proximas, a distanciasd ≃ do (por ejemplo,para el agua o el hielo se tieneρ ≃ 103 kg/m3, W ≃ 18 · 10−3 kg/mol, por lo que obtenemosd ≃ 3,1 × 10−10 m). Las moleculas de los gases, por tanto, experimentan fuerzas de atraccionmuy debiles en su movimiento, de forma que en primera aproximacion podemos suponer que semueven libremente, interaccionando unicamente a travesde las colisiones que sufren entre ellas.Esta estructura explica la alta compresibilidad de los gases (sus moleculas pueden acercarsemas, aumentando la densidad del medio, con relativa facilidad), ası como su capacidad paradeformarse y su tendencia a ocupar todo el espacio disponible. En el caso de solidos y lıquidos,por el contrario, las fuerzas entre las moleculas son muy importantes. La fuerza de repulsionevita que las moleculas puedan estar mas proximas de lo queestan, lo cual explica la bajacompresibilidad de lıquidos y solidos. Su distinta capacidad de deformacion se debe a que, apesar de su proximidad, las moleculas de los lıquidos se desplazan unas respecto a otras conrelativa facilidad, mientras que la posicion relativa de las moleculas de los solidos permanecefija. Cabe mencionar que, a veces, no resulta facil categorizar a una sustancia como solidoo lıquido. Por ejemplo, si dejamos reposar pintura duranteun tiempo suficientemente largoacabara comportandose como un solido elastico, caracterıstica que perdera cuando la agitamos

2

1.2. HIPOTESIS DE MEDIO CONTINUO: PARTICULA FLUIDA

violentamente. En todo caso, la inmensa mayorıa de los fluidos que aparecen en los problemasingenieriles, tales como agua o aire, responden perfectamente a la caracterizacion como gaseso lıquidos expuesta en los parrafos anteriores.

1.2 Hipotesis de medio continuo: partıcula fluida

Hay dos caracterısticas que complican el analisis del movimiento fluido. Por un lado, la ma-teria en los fluidos esta distribuida de una manera discreta. Hemos visto ya como las molecu-las de los gases estan separadas por grandes espacios vacıos. Incluso para los lıquidos, cuyasmoleculas estan empaquetadas a una corta distancia, la distribucion de la masa es tambien dis-creta, al encontrarse esta concentrada en los nucleos de los atomos. Por otro lado, resulta inutilintentar estudiar la dinamica de un fluido a partir del estudio de la dinamica de cada uno desus componentes a nivel microscopico. Por ejemplo, en una primera aproximacion al estudiode los gases monoatomicos, parecerıa adecuado aplicar las leyes de conservacion de la cantidadde movimiento a cada una de las moleculas que forman el gas. Como el movimiento de cadamolecula influye en las demas a traves de los choques que seproducen entre ellas, la resoluciondel problema conllevarıa la integracion de un conjunto deecuaciones diferenciales acopladasque podrıan en principio resolverse para determinar la evolucion de la posicion de cada una delas moleculas con el tiempo (y su velocidad por derivaciondirecta). Este analisis, aparentemen-te sencillo, resulta imposible de llevar a la practica debido al gran numero de moleculas quecomponen el fluido (1016 en un mm3 de aire y muchas mas en un mm3 de agua). Incluso aunquetal calculo fuera posible, no parece razonable que el ingeniero necesite conocer, por ejemplo,la posicion y velocidad de cada una de las moleculas de aguaque circulan por el interior deuna bomba para determinar la relacion entre la potencia de ´esta y el caudal. Claramente, estasconsideraciones nos llevan a tomar un punto de vista distinto en el analisis de los movimientosfluidos.

En cursos anteriores hemos estudiado sistemas que presentaban propiedades uniformes quese describıan con pocos grados de libertad. Por ejemplo, enel estudio de la evolucion de ungas que se encuentra en el interior de un contenedor, la termodinamica hacıa uso de la densidaddefinida como la masa total del gas dividida por el volumen total del contenedor. En mecanicadescribıamos el movimiento del solido rıgido con dos unicos vectores: el vector velocidad yel vector velocidad angular. En los fluidos, sin embargo, la experiencia nos dice que las cosasno son tan sencillas. Ası, gracias a las partıculas de polvo suspendidas en el aire, todos he-mos observado el movimiento que se origina por flotabilidad debido al calentamiento desigualde nuestro dormitorio. Claramente, un solo vector velocidad no es suficiente para describir elcampo fluido que se establece: el fluido sube y baja de manera desordenada, de forma que seobservan variaciones espaciales y temporales de velocidad. La longitud que hay que recorreren un campo fluido para ver variaciones apreciables de las distintas variables fluidas es lo quedenominamos longitud macroscopica caracterıstica de dicho campo fluido,L. Por ejemplo, parael movimiento en nuestra habitacion, es suficiente recorrer con la vista una distancia de 10 cmpara ver variaciones apreciables de la velocidad (partıculas de polvo subiendo y bajando). Loque si parece claro en relacion con dicho problema fluido, sin embargo, es que para describirel campo de velocidades con bastante fiabilidad bastarıa dar la velocidad en puntos separados1 cm (1 mm si quisieramos ser muy precisos). Uno se pregunta sies posible entonces estudiarel campo fluido dividiendolo en pequenas parcelas, llamadaspart ıculas fluidas, con respecto alas cuales definiriamos los conceptos de velocidad, densidad, etc. Cada partıcula fluida estarıa

3

1.2. HIPOTESIS DE MEDIO CONTINUO: PARTICULA FLUIDA

centrada en una posicionx, y su tamano deberıa ser mas pequeno que la longitud macroscopi-ca caracterıstica de nuestro campo fluido, de manera que el conocimiento de las propiedadesde cada partıcula fluida en un cierto instante fuera suficiente para una descripcion precisa delcampo fluido (velocidad, densidad, etc) en funcion de la posicion, x, y del tiempo,t. El suponerque podemos describir las variables fluidas como funcion continua dex y de t es lo que sedenomina hipotesis del medio continuo, que es utilizada tambien en el estudio de la elasticidady resistencia de materiales.

Como ejemplo ilustrativo, nos concentramos inicialmente en el concepto de densidad de ungas. Siguiendo la definicion que nos es familiar de cursos anteriores, parece razonable calcularla densidad de una partıcula fluida de volumenδV centrada en una posicionx de acuerdo aρ =

∑mi/δV , donde

∑mi es la masa de todas las moleculas situadas en el interior de la

partıcula fluida considerada. Para que la descripcion queproponemos tenga sentido, el valor deρ debe ser independiente deδV , de manera que en un instante determinadot podamos asignar ala posicionx un valor unıvoco deρ(x, t). El rango deδV en que esto es posible se hace patenteal representar el valor de

∑mi/δV como funcion del tamano de la partıcula fluida(δV )1/3, tal

y como se ve en la figura1.2.

x

Vδ 1

Vδ 2

Vδ( )1/3Vδ 2

Vδ 1( )1/3 L

ρ

( )1/3

Figura 1.2: Concepto de partıcula fluida.

Cuando el tamano de la partıcula fluida es muy pequeno (mucho menor que la distancia me-dia entre moleculasd), es muy probable que esta no contenga en su interior ninguna molecula,con lo que, de acuerdo a la definicion dada mas arriba, la densidad resulta ser nula. Al aumen-tar su tamano, este alcanzara un valor crıtico(δV1)

1/3 para el cual encontrarıamos por primeravez una molecula en el interior de la partıcula fluida, con lo que la densidad tomarıa un valorfinito. Para tamanos mayores, la densidad se verıa de nuevoreducida hasta que el volumen con-siderado alcanzara un valorδV2 para el que existirıa una segunda molecula en el interior de lapartıcula fluida, dando lugar a un nuevo salto en el valor de la densidad. Estas discontinuidades,que estan intimamente relacionadas con el caracter discreto de los fluidos comentado anterior-mente, se harıan progresivamente mas pequenas al ir aumentandoδV , haciendose inapreciablescuando el tamano de la partıcula fluida(δV )1/3 considerada sea mucho mayor que la distan-cia media entre moleculasd. En otras palabras, cuando la partıcula fluida contiene un numerode moleculasδV/d3 ≫ 1 el cociente

∑mi/δV se hace independiente deδV . Esta indepen-

dencia se mantiene siempre y cuando(δV )1/3 sea mucho menor que el tamano macroscopicocaracterıstico del campo fluido,L. Cuando(δV )1/3 se hace comparable aL la partıcula fluidacomienza a “engullir” parcelas de fluido con propiedades distintas, con lo que la densidad co-

4

1.3. DENSIDAD, VELOCIDAD Y ENERGIA INTERNA

mienza a variar. Por ejemplo, para estudiar el campo de densidad en las inmediaciones de unradiador, el utilizar una partıcula fluida con un tamano comparable al mismo radiador llevarıaconsigo el tener en el interior de dicha partıcula porciones de fluido con temperatura (y por tantodensidad) diferente.

La figura1.2 revela por lo tanto que para ser capaces de definir unıvocamente las variablesfluidomecanicas en un punto a traves del concepto de partıcula fluida es necesario que el tamanomacroscopico caracterıstico del campo fluido que estudiemos sea mucho mayor que la distanciamedia entre sus moleculas, esto es

d

L≪ 1. (1.3)

Recordando qued ≃ 3,4 × 10−9 m para el aire en condiciones normales, es facil adivinar quela condicion (1.3) se cumple para la inmensa mayorıa de los movimientos fluidos de interesingenieril, para los que la descripcion del campo fluido como un medio continuo resulta ade-cuada. Entre los pocos ejemplos excepcionales que no cumplen la condicion anterior, podemosmencionar el campo fluido que encontramos en los alrededoresde los vehıculos espaciales enlas altas capas de la atmosfera, donde el gas esta tan enrarecido, que la distancia media entremoleculas deja de ser pequena en comparacion con el tama˜no del vehıculo.

1.3 Densidad, velocidad y energıa interna

A partir del concepto de partıcula fluida (centrada en la posicion x en el instantet) definimosdensidad como

ρ(x, t) = lımδV →0

∑mi

δV, (1.4)

donde al tomar el lımite se entiende que(δV )1/3 ≫ d, de forma que evitamos el caracter discretodel fluido asociado a su estructura microscopica. De maneraanaloga, definimos la velocidaddel fluido como el valor medio de la velocidad de todas las mol´eculas que se encuentran enδV(velocidad del centro de gravedad de la partıcula fluida):

v = lımδV →0

∑mivi

∑mi

. (1.5)

La energıa por unidad de masa que existe en el interior deδV viene dada por∑

Ei/∑

mi,dondeEi = mi|vi|

2/2+Evi+Eri

+ · · · representa la energıa de cada molecula (energıa cineticade traslacionmi|vi|

2/2, energıa de vibracion,Evi, rotacion,Eri

, etc). Es costumbre separar dela energıa por unidad de masa la contribucion debida al movimiento medio de traslacion de lasmoleculas, de forma que podemos escribir (se deja como ejercicio el demostrarlo)

lımδV →0

∑Ei

∑mi

= e + |v|2/2, (1.6)

donde

e = lımδV →0

∑mi|vi − v|2/2 + Evi

+ Eri+ · · ·

∑mi

(1.7)

es la llamada energıa interna, que incluye en particular laenergıa cinetica asociada al movimi-ento de agitacion de las moleculas respecto al movimientomedio. Tal y como veremos, paralıquidos y gases existe una estrecha relacion entre la temperatura y la energıa interna.

5

1.4. EQUILIBRIO TERMODINAMICO LOCAL

1.4 Equilibrio termodin amico local

La termodinamica clasica trata sistemas que estan en equilibrio termico y mecanico, paralos que todas las propiedades termodinamicas de la materiason uniformes en el espacio y enel tiempo. Cuando por ejemplo estudiamos mediante la leyes de la termodinamica clasica laevolucion de un cierto sistema, lo que suponemos es que dicha evolucion es tan lenta que escomo si el sistema estuviera en equilibrio en cada instante.Entre otros resultados de utilidad,la termodinamica establece que podemos caracterizar el estado de un sistema de composicionhomogenea con solo dar dos variables de estado independientes, estando todas las demas ligadasa estas dos a traves de las llamadas ecuaciones de estado.

La mecanica de fluidos, sin embargo, estudia sistemas que noestan en equilibrio y cuyaspropiedades presentan variaciones espaciales y temporales. Estrictamente hablando, los resul-tados de la termodinamica clasica no serıan por tanto aplicables al estudio de la mecanica defluidos. Afortunadamente, los resultados correspondientes a estados de equilibrio son aproxi-madamente validos para la inmensa mayorıa de los estados de no-equilibrio que analizamos enmecanica de fluidos. Un observador moviendose con la velocidad local puede describir el estadodel fluido mediante las variables de la termodinamica, cuyas interrelaciones estan determinadaspor las mismas ecuaciones de estado que se aplican a estados de equilibrio.

Mediante la Teorıa Cinetica, esta hipotesis deequilibrio termodin amico local encuentrajustificacion teorica rigurosa para el caso de los gases, mientras que para el caso de lıquidos lajustificacion proviene de la amplia evidencia experimental que se tiene al respecto. Las molecu-las de un gas intercambian cantidad de movimiento y energıaa traves de las colisiones con susvecinas, ajustando su estado de esa manera al estado de agitacion termica que existe localmente.Las colisiones entre moleculas constituyen por tanto el mecanismo a traves del cual el gas alcan-za el equilibrio termodinamico. Siempre y cuando la distancia entre choquesλ, tambien llamadarecorrido libre medio, sea mucho mas pequena que la longitud caracterıstica macroscopicaL,cada molecula sufrira un numero muy elevado de choques antes de alcanzar regiones donde laspropiedades macroscopicas cambian apreciablemente. En todo momento es como si el fluido seencontrara en cada punto muy cerca del equilibrio termodin´amico correspondiente a los valoreslocales de densidad y energıa interna.

El criterio que se debe satisfacer para que un gas se encuentre en equilibrio termodinamicolocal es por tanto

λ

L≪ 1 (1.8)

dondeλ/L es el llamado numero de Knudsen. Para que se produzca un choque, el volumenbarrido por una cierta molecula en su movimiento (≃ d2

oλ) debe ser igual al volumen de gas quele corresponde a cada molecula (d3), lo que nos permite escribirλ/d ≃ (d/do)

2 (por ejemplo,en condiciones normales se obtieneλ ≃ 4× 10−7 m)1. Cabe hacer notar que el criterio dado enla Ec. (1.8) es mas restrictivo que el correspondiente a la hipotesisdel medio continuo (1.3).

1Si el gas esta evolucionando con un tiempo caracterısticode variacion de las propiedades fluidas macroscopi-casT , razonamientos similares a los expuestos mas arriba nos llevan a concluir que la condicion que se habrıa decumplir para que existiera equilibrio termodinamico local en todo instante esT ≫ τ , dondeτ es el tiempo medioentre colisiones de las moleculas (τ = 10−9 s para aire en condiciones normales de presion y temperatura).

6

1.5. VARIABLES Y RELACIONES TERMODINAMICAS DE INTERES

1.5 Variables y relaciones termodinamicas de interes

La hipotesis del equilibrio termodinamico local nos va a permitir por tanto describir el estadodel fluido dando su velocidadv(x, t) y dos variables termodinamicas cualquiera. La definicionde densidad y energıa interna esta dada mas arriba en las Ecs. (1.5) y (1.7). Las demas variablestermodinamicas quedan automaticamente definidas a trav´es de las ecuaciones de estado corres-pondientes. Por ejemplo, existe una ecuacion de estados = s(e, ρ) (o e = e[s, ρ]) que determinala entropıa. Puesto que

de = Tds − pd(1/ρ) (1.9)

obtenemos la temperatura y la presion a partir de

T =

(∂e

∂s

)

ρ

(1.10)

y

p = −

(∂e

∂ρ−1

)

s

. (1.11)

De manera analoga, se define entalpıa a partir de los conceptos anteriores comoh = e + p/ρ.En lugar de continuar resumiendo conceptos generales de termodinamica, pasamos ahora adescribir algunas de las ecuaciones de estado que nos serande mas utilidad en el analisis de losproblemas fluidotermicos, particularizando nuestro tratamiento a dos estados fluidos idealizadosque cubren la inmensa mayorıa de las aplicaciones de inter´es, esto es, lıquidos perfectos y gasesperfectos.

L ıquidos perfectos

Un lıquido perfecto cumple que su densidad y su calor espec´ıfico, c, son constantes, demanera que podemos escribir

ρ = ρo (1.12)

ye = cT + eo, (1.13)

dondeeo es la energıa interna correspondiente al cero absoluto de temperatura. A partir de ladefinicion de entalpıa obtenemos

h = cT + eo + p/ρo, (1.14)

mientras que por integracion de (1.9) determinamos la entropıa en la forma

s = c ln(T ) + so. (1.15)

Muchos lıquidos se comportan como perfectos en intervalosrazonablemente grandes de presiony temperatura. Por ejemplo, el agua puede suponerse un lıquido perfecto de densidadρo = 103

kg/m3 y calor especıficoc = 4180 J/(kg · K).

Gases perfectos

Un gas perfecto tiene una ecuacion de estado de la forma

p/ρ = RgT, (1.16)

7

1.5. VARIABLES Y RELACIONES TERMODINAMICAS DE INTERES

donde la constanteRg = Ro/W se determina a partir de la constante universal de los gases,Ro = 8,314 J/(mol · K), y del peso molecular medio del gas,W . La energıa interna, entalpıa yentropıa se determinan a partir de

e = cvT + eo, (1.17)

h = cpT + eo, (1.18)

s = cv ln(p/ργ) + so, (1.19)

dondecv y cp = cv + Rg son, respectivamente, los calores especıficos a volumen y presionconstante, yγ = cp/cv. El comportamiento del aire se aproxima mucho al de un gas perfectoconRg = 287 J/(kg · K) y cv = 717 J/(kg · K). La ecuacion (1.16) deja de ser valida a altaspresiones, siendo reemplazada por ecuaciones de estado mas complejas (ecuacion de Van derWaals). Por otra parte, los calores especıficoscv y cp son en realidad funcion de la tempera-tura, lo que se hace patente cuando la temperatura aumenta losuficiente (a las temperaturastıpicamente alcanzadas en los procesos de combustion, por ejemplo).

8

Capıtulo 2

Fluidostatica

2.1 Introduccion

En este tema abordamos el estudio de fluidos que estan en equilibrio mecanico en un ciertosistema de referencia, dejando a un lado el efecto de la tension superficial. Tras presentar laecuacion general de la fluidostatica, se estudia la distribucion de presiones en fluidos en reposo,y en movimiento como solido rıgido, en presencia de la gravedad, y se determina la distribucionde presiones en la atmosfera estandar como un problema cl´asico de fluidostatica de gases. Enel caso particular del equilibrio de lıquidos se estudian las fuerzas sobre superficies sumergidasplanas y curvas. Como resultado relevante se deriva el principio de Arquımedes, que permitecalcular facilmente las fuerzas y momentos que ejerce un l´ıquido sobre un cuerpo sumergido.

2.2 Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie

Las fuerzas que actuan en un fluido (o en un solido) se puedenclasificar en dos tipos: fuerzasde largo alcance (tambien denominadas fuerzas de volumen ofuerzas masicas) y fuerzas decorto alcance (tambien denominadas fuerzas de superficie).

Las fuerzas de largo alcance, que incluyen en particular la gravedad y las fuerzas de inercia,son fuerzas que decrecen lentamente con la distancia (su distancia caracterıstica de decaimientoes mucho mayor que la distancia media entre moleculas,d), y su radio de accion es comparableal tamano caracterıstico del campo fluidoL. Dichas fuerzas son capaces de penetrar en el inte-rior del campo fluido y actuar sobre todos los elementos de su interior. Su magnitud es constanteen el interior de cada elemento fluido y por tanto son proporcionales a la masa (o volumen) delmismo. Por este motivo, tambien se conocen comofuerzas de volumeno fuerzas masicas.

Las fuerzas de corto alcance, que tienen un origen moleculardirecto, decrecen muy rapida-mente con la distancia y son solo apreciables a distancias del orden de la separacion media entremoleculasd. Puesto que las fuerzas de corto alcance decaen en una distancia comparable ad, suresultante sobre una partıcula fluida de tamanoδV (δV 1/3 ≫ d) es proporcional a la superficie(y no al volumen) de dicha partıcula fluida. Por este motivo,tambien se conocen comofuerzasde superficie. Como se indica en la figura2.1, la fuerza que se ejerce a traves de un elementode superficie de areadA y orientacionn que separa dos elementos fluidos puede escribirse portanto en la forma

fn(n, x, t)dA, (2.1)

donde la fuerza por unidad de superficie (o esfuerzo)fn es funcion de la orientacionn, ademas

2.3. CONCEPTO DE PRESION

-

6

ndA

x9

fn(n, x, t)dA

*

Figura 2.1:Fuerza superficial que se ejerce a traves de un elemento de superficie de areadA y orien-tacion n. Por convenio,fn representa el esfuerzo que ejerce el fluido situado en el ladohacia dondeesta dirigidon sobre el fluido situado en el lado contrario.

de la posicionx y del tiempot. En la notacion que se sigue tradicionalmente,fn es el esfuerzoque ejerce el fluido situado en el lado hacia donde esta dirigido n sobre el fluido situado en ellado contrario.

2.3 Concepto de presion

Un fluido que esta en reposo (v = 0) respecto a algun sistema de referencia no puede sopor-tar esfuerzos cortantes, o de cizalladura. En consecuencia, el esfuerzo sobre cualquier plano deun fluido en reposo es siempre perpendicular a dicho plano. A continuacion demostraremos quetodos los esfuerzos normales que actuan sobre un punto de unfluido en reposo son, de hecho,identicos. A este valor unico del esfuerzo normal sobre cualquier plano que pasa por un puntode un fluido en reposo se le denominapresion.

2.3.1 Presion en un punto: Principio de Pascal

En la figura2.2 se muestra un pequeno elemento de un sistema fluido en reposode aris-tas ∆x, ∆z, ∆s y anchura∆y perpendicular al papel. Supongamos que los esfuerzos nor-males sobre cada superficie son constantes, por ser las superficies muy pequenas, aunque enprincipio podrıan ser distintos entre sı. Denominemospx, pz y pn a los esfuerzos normalesen las superficies∆z, ∆x y ∆s, respectivamente. Si el elemento fluido esta en reposo, laresultante de las fuerzas en las direccionesx y z, incluyendo el peso del volumen de fluidodW = ρg 1

2∆x∆y∆z k, debe ser nula:

∑

Fx = px∆y∆z − pn∆y∆s sin θ = 0 (2.2)∑

Fz = pz∆y∆x − pn∆y∆s cos θ − ρg1

2∆y∆x∆z = 0 (2.3)

Utilizando en estas ecuaciones las relaciones geometricas

sin θ =∆z

∆s, cos θ =

∆x

∆s, (2.4)

finalmente se puede escribir

px = pn, pz = pn +1

2ρg∆z. (2.5)

10


pn

∆x

θpx

∆z

∆y

∆s

pz

θ

-

6

x

z

dW

Figura 2.2:Equilibrio de una pequena cuna de fluido en reposo

En consecuencia, del hecho de que un fluido en reposo no puede soportar esfuerzos tangencialesse deduce que en un fluido en reposo:

• No hay variacion de presion en la direccion horizontal

• La variacion de presion en la direccion vertical dependede la densidad, la gravedad y ladiferencia de alturas.

Imaginemos ahora que reducimos el tamano del elemento manteniendo su forma (es decir,sin modificar el anguloθ) hasta convertirlo en un punto tomando el lımite∆z → 0. En ese casolas ecuaciones (2.5) adoptan la forma simplificada:

px = pz = pn ≡ p, (2.6)

de donde se extrae una nueva conclusion:

• En un fluido en reposo, la presion que actua sobre cualquierplano que corta una partıculafluida es independiente de la orientacion de dicho plano.

2.3.2 Resultante de las fuerzas de presion sobre una partıcula fluida

Como hemos visto en el apartado anterior, la presion en un punto de un fluido en reposono depende de la orientacion. Esto implica, como veremos a continuacion, que la presion noproduce fuerza resultante sobre una partıcula fluida, a menos que existan variaciones espacialesde presion.

En la figura2.3se representa un elemento fluido de tamano infinitesimal∆x∆y∆z. Supon-gamos que el fluido esta sometido a una distribucion de presion

p = p(x, y, z) (2.7)

que varıa espacialmente de forma arbitraria. Podemos calcular la fuerza resultante que ejerce es-ta distribucion de presion sobre las superficies que encierran el elemento fluido. Ası, la presion

11


p(x, t) p(x + ∆x, t)

∆x

∆z

∆y

-

6

x

z

y

Figura 2.3:Fuerza resultante segunx sobre un elemento fluido debida a las variaciones espacialesdepresion.

que actua sobre la cara izquierda del elemento fluido ejerceuna fuerzap(x, y, z)∆y∆z en direc-cionx mientras que la que actua sobre la cara derecha ejerce una fuerzap(x + ∆x, y, z)∆y∆zen direccion−x. En las direccionesy y z ocurre exactamente lo mismo. Utilizando entonces eldesarrollo en serie de Taylor para escribir

p(x + ∆x, y, z) = p(x, y, z) +∂p

∂x∆x (2.8)

se obtienen las tres componentes de la resultante de las fuerzas de presion

Fp,x = p ∆y∆z −

(

p +∂p

∂x∆x

)

∆y∆z = −∂p

∂x∆x∆y∆z (2.9)

Fp,y = p ∆x∆z −

(

p +∂p

∂y∆y

)

∆x∆z = −∂p

∂y∆x∆y∆z (2.10)

Fp,z = p∆x∆y −

(

p +∂p

∂z∆z

)

∆x∆y = −∂p

∂z∆x∆y∆z (2.11)

es decirFp = Fp,xi + Fp,y j + Fp,zk = −∇p ∆x∆y∆z (2.12)

donde

∇p =∂p

∂xi +

∂p

∂yj +

∂p

∂zk (2.13)

representa el vectorgradiente de presion.Sin mas que dividir ahora por el volumen del elemento fluido,∆x∆y∆z, se obtiene la

resultante de las fuerzas de presion por unidad de volumen

fp = −∇p (2.14)

que viene dada por el gradiente de presion cambiado de signo. Como puede observarse, no es lapresion sino las variaciones espaciales de presion las que originan una fuerza sobre el elementofluido. Esto permite concluir que en ausencia de variacionesespaciales de presion la fuerza netasera nula.

Para que el fluido este en reposo, la resultante de las fuerzas de presion sobre cada ele-mento fluido debe estar en equilibrio con la resultante de lasfuerzas masicas, que discutimos acontinuacion.

12

2.4. RESULTANTE DE LAS FUERZAS MASICAS SOBRE UNA PARTICULA FLUIDA

2.4 Resultante de las fuerzas masicas sobre una partıcula flui-da

Ademas de las fuerzas superficiales, la partıcula fluida estara sometida en general a fuerzasde volumen, debidas por ejemplo al campo gravitatorio o a lasfuerzas de inercia en el caso desistemas de referencia no inerciales. Las fuerzas de volumen de origen electromagnetico tieneninteres en ciertas aplicaciones especıficas pero, por sencillez, no las incluiremos en nuestroestudio.

La resultante de las fuerzas masicas que actuan sobre la partıcula fluida de la figura2.3, devolumen∆x∆y∆z, puede expresarse como

Fm = ρfm(x, y, z)∆x∆y∆z, (2.15)

donde ahoraρfm es la magnitud de la fuerza por unidad de volumen, yfm representa por tantola fuerza masica por unidad de masa (con dimensiones de aceleracion).

Para escribir (2.15) hemos despreciado la variacion de las fuerzas de largo alcance en elinterior de la partıcula fluida, lo que siempre es posible puesto que la distancia caracterısticade decaimiento defm es mucho mayor qued (por ejemplo, para observar un decaimiento apre-ciable de la gravedad terrestreg hemos de separarnos de la superficie de la tierra una distanciacomparable a su radioR ≃ 6400 km).

2.4.1 Sistemas de referencia inerciales

Si el fluido esta en reposo respecto a un sistema de referencia inercial y suponemos que exis-te un campo gravitatorio con aceleraciong, la unica fuerza de volumen que sufrira la partıculafluida representada en la figura2.3, de masam = ρ∆x∆y∆z, sera su peso

Fg = mg = ρg∆x∆y∆z (2.16)

o, alternativamente, en terminos de fuerza por unidad de masa

fm = g. (2.17)

En problemas de fluidostatica tomaremos por convenio el ejez en la direccion vertical haciaarriba, lo que permite escribirg = −gk, siendog = 9,81 m/s2 la aceleracion de la gravedad enla superficie terrestre.

2.4.2 Sistemas de referencia no inerciales: Fuerzas de inercia

Si el fluido esta en reposo respecto a un sistema de referencia no inercial que gira convelocidad angularΩ y cuyo origen sufre una aceleracion lineala0, como se indica en la figura2.4, a la fuerza de la gravedad habra que sumarle las fuerzas de inercia asociadas al movimientono uniforme del sistema de referencia

fm = g −

[

ao + Ω ∧ (Ω ∧ x) +dΩ

dt∧ x

]

, (2.18)

dondex = xi + yj + zk (2.19)

13

2.5. EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA FLUIDA EN REPOSO

-

6

K

1

x

x′

y

y′

z′z

j

Ω

a0

x

0

>∆x∆y∆z

0′

Figura 2.4:Elemento fluido∆x∆y∆z en reposo en un sistema de referencia no inercial (x, y, z) quegira con velocidad angularΩ y sufre una aceleraciona0 del origen respecto a la referencia inercial (x′,y′, z′).

representa el vector de posicion relativo al sistema de referencia no inercial. Si miramos elsegundo miembro de la ecuacion (2.18) comprobamos queao es la aceleracion de arrastre,Ω ∧ (Ω ∧ x) es la aceleracion centrıpeta, ydΩ/dt ∧ x la aceleracion debida a variacionestemporales de la velocidad angular. Observese que la aceleracion de Coriolis−2Ω ∧ v quedaexcluida de las fuerzas de inercia por ser nula la velocidad relativa del fluido,v = dx/dt = 0,en el sistema de referencia considerado.

Algunas de las fuerzas masicas que aparecen en (2.18) son conservativas, esto es, derivande un potencialU tal quefm = −∇U . Ası, podemos escribir

g − ao − Ω ∧ (Ω ∧ x) = −∇[−g · x + ao · x − (Ω ∧ x) · (Ω ∧ x)/2]. (2.20)

Sin embargo, se puede demostrar que el termino correspondiente a la aceleracion debida avariaciones de la velocidad angular no deriva de un potencial, algo que, como veremos masabajo, tiene importantes implicaciones en fluidostatica de lıquidos.

2.5 Equilibrio de una part ıcula fluida en reposo

2.5.1 Ecuacion general de la fluidostatica

La ecuacion general de la fluidostatica se obtiene de la condicion de equilibrio estatico deun elemento fluido infinitesimal. Como hemos visto mas arriba, sobre una partıcula fluida enreposo actuan dos tipos de fuerzas: las fuerzas de superficie y las fuerzas masicas, entre las quese encuentran la fuerza de gravedad y las fuerzas de inercia (si elegimos un sistema de referenciano inercial para describir matematicamente nuestro problema). En el equilibrio, la resultante deestas fuerzas sobre el elemento fluido de la figura2.3debe ser nula, es decir

Fp + Fm = −∇p ∆x∆y∆z + ρfm∆x∆y∆z = 0 (2.21)

Dividiendo la ecuacion anterior por el volumen del elemento fluido se obtiene laecuaciongeneral de la fluidostatica

−∇p + ρfm = 0 (2.22)

14


Tomando el rotacional de la ecuacion (2.22) y teniendo en cuenta que∇ ∧ (∇p) = 0 entodo el campo fluido sea cual sea el campo de presion,1 se obtiene la siguientecondicion decompatibilidad para el vector de fuerzas masicas

∇ ∧ (ρfm) = 0 (2.23)

que debe cumplirse siempre si queremos que el fluido este en reposo. Si las fuerzas masicas nosatisfacen esta condicion, no es posible que el fluido permanezca en reposo. En particular, esfacil comprobar que la condicion (2.23) se verifica identicamente en los siguientes casos:

• Fuerza gravitatoriafm = −gk conρ = ρ(z).

• Fuerza de inerciafm = −a0 debida a la traslacion del origen del sistema de referencia.

• Fuerza de inerciafm = −Ω ∧ (Ω ∧ x) debida a la rotacion del sistema de referencia.

Tambien es facil comprobar que, en el caso de lıquidos (ρ = cte), la fuerza de inerciaρ dΩ/dt∧xdebida a la aceleracion angular del sistema de referencia no cumple la relacion de compatibili-dad y, por tanto, no es compatible con el reposo del fluido.

En resumen, teniendo en cuenta la forma del vector de fuerzasmasicasfm dada por lasecuaciones (2.17) y (2.18), e ignorando en esta ultima el termino debido a la aceleracion angulardel sistema de referencia, la ecuacion (2.22) toma la forma

−∇p + ρg = 0 sistema de referenciainercial (2.24)

−∇p + ρ [g − ao − Ω ∧ (Ω ∧ x)] = 0 sistema de referenciano inercial (2.25)

2.5.2 Isobaras

Dado que el gradiente de presion∇p es, por definicion de gradiente de una funcion escalar,perpendicular en todos los puntos a las superficies de presi´on constante, oisobaras, y teniendoen cuenta que la Ec. (2.22) muestra que∇p tiene la direccion del vector fuerzas masicasfm, po-demos concluir que las isobaras son superficies perpendiculares en todo punto al vector fuerzasmasicasfm. A continuacion se obtienen las isobaras en varios ejemplos de interes practico.

L ıquido en reposo sometido a la accion de la gravedad En primer lugar consideraremosun lıquido que permanece en reposo sometido a la accion de la gravedad como unica fuerzamasica. En este caso, en cualquier punto del fluido la resultante de las fuerzas masicas vienedada porfm = −gk. Por estar alineada con la gravedad, la normal a las superficies de presionconstante sera vertical en todos los puntos del fluido, luego las isobaras son planos horizontales.

Este razonamiento cualitativo se puede formalizar matematicamente utilizando la ecuaciongeneral de la fluidostatica (2.22). Por ser la resultante de las fuerzas masicas nula en las direc-cionesx ey tenemos

∂p

∂x=

∂p

∂y= 0 → p = p(z) (2.26)

1Resulta sencillo comprobar este resultado utilizando un sistema de coordenadas cartesiano rectangular

∇∧ (∇p) =

∣∣∣∣∣∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

∂p∂x

∂p∂y

∂p∂z

∣∣∣∣∣∣

=

(∂

∂y

∂p

∂z−

∂

∂z

∂p

∂y

)

i +

(∂

∂z

∂p

∂x−

∂

∂x

∂p

∂z

)

j +

(∂

∂x

∂p

∂y−

∂

∂y

∂p

∂x

)

k = 0

donde la ultima relacion es consecuencia de la igualdad delas derivadas cruzadas de la presion.

15


luego la presion es solo funcion de la coordenada vertical, z. En esta direccion, la condicion deequilibrio toma la forma

−∂p

∂z− ρg = 0 (2.27)

cuya integracion proporcionap + ρgz = cte (2.28)

Ası pues, las isobarasp = cte se reducen en este caso a superficiesz = cte, esto es, planoshorizontales, como habıamos anticipado con el razonamiento cualitativo.

L ıquido en reposo sometido a la accion de la gravedad y una aceleracion lineal uniformeConsideraremos el mismo caso del apartado anterior, pero suponiendo ahora que el lıquido seencuentra en reposo respecto a un sistema de referencia no inercial que sufre una aceleracionlineala0i constante segunx. Para estudiar el equilibrio del lıquido en dicho sistema de referen-cia es preciso anadir una fuerza de inercia constante−ρa0i al vector de fuerzas masicas, queahora tiene la formafm = −gk − a0i. Este vector es constante en todo el espacio, por lo queconcluimos que las isobaras son planos perpendiculares al mismo, al igual que sucedıa en elcaso anterior.

En efecto, integrando la ecuacion general de la fluidostatica

−∂p

∂y= 0 → p = p(x, z) (2.29)

−∂p

∂x− ρa0 = 0 → p + ρa0x = C1(z) + cte (2.30)

−∂p

∂z− ρg = 0 → p + ρgz = C2(x) + cte (2.31)

de donde se obtienep + ρ(gz + a0x) = cte (2.32)

Por tanto, las isobarasp = cte son en este caso planos, dados por la ecuacion implıcitagz +a0x = cte, que estan inclinados un anguloα = arctg(a0/g) respecto a la horizontal.

L ıquido contenido en un recipiente cilındrico cerrado que gira con velocidad angular cons-tante y sometido a la accion de la gravedad En este caso consideramos el recipiente cilin-drico cerrado de la Fig.2.5. Supondremos que el recipiente, de radioR, esta parcialmente llenode lıquido hasta una alturaH0, estando el resto del volumen ocupado por un gas. Se trata deestudiar la distribucion de presiones que aparece en presencia de la gravedad cuando el depositose pone a girar alrededor de su eje de simetrıa con velocidadangular constanteΩ.

Para la descripcion del problema conviene utilizar un sistema de referencia no inercial gi-rando con el deposito, respecto al cual los fluidos se encuentran en reposo. Elegimos arbitraria-mente el origen del sistema de referencia en el punto de la entrefase agua-aire situado en el ejede giro, con el ejez orientado en la direccion de la vertical local, de manera que Ω = Ωk. Con-viene observar que la posicion del origen del sistema de referencia es, en principio, desconociday debera obtenerse como parte de la solucion del problema.

16


H0

6

?

gas

lıquido

-r

fm

z

6

0

?g

(a)

T0

? s

-

6

Ω = Ωk

fm

6

?

H

?

F (r)

6

fm−gk

Ω2rer

(b)

?U

-

?

Figura 2.5:Recipiente cilındrico parcialmente lleno de un lıquido de densidadρ, con el resto del volu-men ocupado por un gas ideal: (a) en reposo; (b) girando con velocidad Ω = Ωk alrededor del eje delcilindro.

En dicho sistema de referencia, la resultante de las fuerzasmasicasfm incluye tanto lagravedad−gk como la fuerza centrıfuga de inercia

− Ω ∧ (Ω ∧ x) = −Ωk ∧

∣∣∣∣∣∣

i j k0 0 Ωx y z

∣∣∣∣∣∣

= −Ωk ∧ (−Ωyi + Ωxj)

=

∣∣∣∣∣∣

i j k0 0 −Ω

−Ωy Ωx z

∣∣∣∣∣∣

= Ω2(xi + yj) = Ω2rer (2.33)

donder es la distancia del punto considerado al eje de giro yer es el versor unitario en direccionradial, como se indica en la Fig.2.5.

La Ec. (2.33) muestra que la fuerza centrıfuga tiene direccion radialy crece linealmente conla distanciar al eje de giro. Ası pues, la resultante de las fuerzas masicas en un punto genericodel lıquido depende ahora de la posicion del punto considerado. Por ejemplo, a lo largo deleje de giro,r = 0, el termino de fuerza centrıfuga se anula y el vector de fuerzas masicas sereduce a la aceleracion de la gravedad, luego las isobaras son localmentehorizontales. Por elcontrario, si consideramos puntos a distancias crecientesdel eje, la fuerza centrıfuga aumentacon r y con ella cambia la fuerza masica neta aplicada sobre cada punto, tanto en direccioncomo en modulo.

Podemos anticipar, por tanto, que las isobaras seran superficies de revolucion que formaranun angulo creciente con la horizontal a medida que nos alejemos del eje de giro, y con pendiente

17


nula en el propio eje. En efecto, si integramos la ecuacion fundamental de la fluidostatica

−∂p

∂x+ ρΩ2x = 0 → p −

ρΩ2x2

2= C1(y, z) + cte (2.34)

−∂p

∂y+ ρΩ2y = 0 → p −

ρΩ2y2

2= C2(x, z) + cte (2.35)

−∂p

∂z− ρg = 0 → p + ρgz = C3(x, y) + cte (2.36)

obtenemos

p + ρ

(

gz −Ω2r2

2

)

= cte (2.37)

donder = (x2 + y2)1/2 es la distancia al eje del cilindro. Por tanto, las isobarasp = cte son, eneste caso, paraboloides de revolucion de la formaz − Ω2r2/(2g) = cte.

Para evaluar el valor de la constante de integracion que aparece en (2.37) particularizamosel lado izquierdo de la ecuacion en el origen del sistema de referencia, lo que permite escribirpara la fase lıquida

p = p0 − ρ

(

gz −Ω2r2

2

)

, (2.38)

dondep0 es precisamente la presion en el origen, en principio desconocida.Para poder integrar el campo de presiones en la fase gaseosa se requiere informacion adi-

cional de la ley de temperaturas. Por ejemplo, si suponemos que la temperatura del aire es cons-tante e igual aT0 podemos integrar la ecuacion fundamental de la fluidostatica con densidadρg = p/(RgT0) variable para obtener2

p = p0 exp

[

−(gz − Ω2r2/2)

RgT0

]

(2.39)

A lo largo de la superficie de separacion entre los dos fluidos, zs = F (r), la presion ha deser igual en el lıquido y el gas, con lo que se debe verificar

p0 exp

−g

RgT0

[

F (r) −Ω2r2

2g

]

= p0 − ρg

[

F (r) −Ω2r2

2g

]

(2.40)

relacion que solo puede satisfacerse siF (r) = Ω2r2/(2g), que representa la forma de la entre-fase lıquido-gas. Tal y como puede verse, la forma de ficha entrefase resulta ser independientede los valores deρ, T0, p0 y Rg.

Finalmente, conocida la forma de la entrefase lıquido-gasestamos en disposicion de calcularla posicion del origen del sistema de referencia, cuya elevacionH sobre el fondo del deposito sepuede calcular imponiendo la conservacion del volumen de lıquido entre la condicion de reposo(a) y la condicion de giro (b) indicadas en la Fig.2.5

πR2H0 = πR2H +

∫ R

0

2πrF (r)dr (2.41)

2Observese que la relacion2.39 puede ser linealizada para valores deξ = (gz − Ω2r2/2)/(RgT0) muchomenores que la unidad

p = p0 exp ξ = p0(1 + ξ + . . . ) = p0 + ρ0(gz − Ω2r2/2) + . . .

lo que es equivalente a considerar el aire como incompresible. En particular, paragz − Ω2r2/2 ≪ RgT0 laaproximacion de presion constante resulta suficientemente buena.

18

2.6. FLUIDOSTATICA DE LIQUIDOS: APLICACIONES A LA MEDIDA DE PRESION

Hg

p1, z1

p2, z2

pa

6

z

6

?

h

vacıo

Figura 2.6:Representacion esquematica de un barometro de mercurio.

La solucion del problema queda ası completamente determinada excepto por el nivel de presionp0 en el origen, que solo podrıa determinarse dando el valor dela presion en algun punto.

2.6 Fluidostatica de lıquidos: Aplicaciones a la medida depresion

2.6.1 El barometro de mercurio

La aplicacion practica mas sencilla de la ecuacion general de la hidrostatica es el barometrode mercurio, un instrumento que sirve para medir la presionatmosferica. Se puede construir unbarometro llenando con mercurio un tubo cerrado por uno de sus extremos, dandole la vueltay sumergiendo el extremo abierto en un recipiente lleno de mercurio, como se indica en laFig. 2.6. Esto produce un vacıo en la parte superior del tubo, dado que la presion de vapor delmercurio a la temperatura ambiente es muy pequena (pvap,Hg = 0,16 Pa a 20oC). Al estar lasuperficie superior del mercurio a presion nula, la presion atmosferica fuerza a la columna demercurio a elevarse hasta una alturah ≃ 760 mm, de modo que el peso de la columna de lıquidocompensa exactamente el efecto de la presion atmosferica.

La ecuacion general de la fluidostatica aplicada al mercurio toma la forma

p + ρHggz = C ≡ p2 + ρHggz2 = pvap,Hg + ρHggh (2.42)

dondeρHg = 13545 kg/m3 es la densidad del mercurio,g = 9,81 m/s2 la aceleracion de lagravedad, y la constante de integracion se ha evaluado en lasuperficie libre dentro del tubo(punto 2), dondep2 = pvap,Hg es la presion de vapor del mercurio yz2 = h la altura de lacolumna de lıquido. Particularizando ahora el lado izquierdo de (2.42) en la superficie libre delrecipiente (punto 1) se obtiene una expresion explıcita para la presion atmosferica

p1 + ρHggz1 = pvap,Hg + ρHggh → pa ≃ ρHggh ≃ 101300 Pa = 1 atm (2.43)

donde hemos sustituidop1 = pa, z1 = 0 y hemos despreciado la contribucion de la presion devapor del mercurio, por ser mucho menor quepa.

19


En los barometros se utiliza el mercurio por ser el lıquidocomun mas denso que existe; unbarometro de agua requerirıa una columna de altura

hagua ≃pa

ρagua g= 10,3 m (2.44)

En 1643 el fısico y matematico italiano Evangelista Torricelli descubrio el principio delbarometro, por el que paso a la posteridad, demostrando ası la existencia de la presion at-mosferica. Este principio fue confirmado posteriormente por Pascal, realizando mediciones adistintas alturas.

2.6.2 El manometro en U abierto

Un manometro es un instrumento de medicion que sirve para medir la presion de un fluidocontenido en un recipiente cerrado. Los manometros basados en columna lıquida emplean unlıquido manometrico, generalmente mercurio, que llena parcialmente un tubo en forma de Ucomo se observa en la Fig.2.7. Cuando uno de los extremos se conecta a una camara presuri-zada, el mercurio se eleva en el tubo abierto hasta que se alcanza el equilibrio. La diferenciahentre los dos niveles de mercurio es una medida de la presionmanometrica: la diferencia entrela presion absoluta en la camara y la presion atmosferica en el extremo abierto.

La ecuacion general de la fluidostatica aplicada al fluido contenido en la camara, A, y alfluido manometrico, B, toma la forma

p + ρAgz = CA ≡ p1 + ρAgz1 (2.45)

p + ρBgz = CB ≡ pa + ρBgz2 (2.46)

donde la constante de integracion del fluido B se ha evaluadoen la superficie libre del tuboabierto a la atmosfera, dondep = p2 ≡ pa y z = z2, y la constante del fluido A se ha evaluadoen la entrefase A-B, dondep = p1 (desconocida) yz = z1. Particularizando (2.46) en el punto1 obtenemos la presion en la entrefase

p1 = pa + ρBg(z2 − z1) = pa + ρBgh (2.47)

y utilizando este valor en (2.45) podemos determinar finalmente la presion en el interior delacamara

p0 = pa + ρBgh + ρAg(z1 − z0) (2.48)

Conviene hacer notar que en una entrefase plana entre dos fluidos en reposo el equilibrio defuerzas aplicado a un elemento diferencial de la entrefase implica que las presiones a amboslados de la misma deben ser iguales. Por este motivo hemos podido evaluarp1 utilizando (2.46)y a continuacion utilizar este valor en (2.45).

La Ec. (2.48) admite una simplificacion importante cuando el fluidoA se trata de un gas. Eseste caso la densidad del fluido A es muy pequena comparada con la del fluido B,ρA ≪ ρB, ysiempre quez1 − z0 sea comparable ah podremos despreciar el terminoρAg(z1 − z0) debidoa la diferencia de alturas entre el punto 1 y el deposito. En este caso, la presion en el depositovendra dada por

p0 ≃ p1 = pa + ρBgh (A es un gas) (2.49)

20


p2, z2

p1, z1

z B

6

6

?

h0

pa

Ap0, z0

Figura 2.7:Representacion esquematica de un manometro en U abierto.

B

p1, z1

p2, z2

z

h

6

6

?

A

A

- -dispositivode flujo

I II

Figura 2.8:Representacion esquematica de un manometro en U diferencial.

2.6.3 El manometro diferencial

El manometro diferencial es un instrumento de medicion que permite medir la diferenciade presion entre dos puntos I y II aguas arriba y aguas abajo de un dispositivo de flujo situadoen un conducto por el que fluye un cierto fluido de trabajo, al que llamaremos fluido A. Dichodispositivo de flujo puede ser de cualquier tipo: un filtro, una valvula, un estrechamiento, undifusor, un codo, una bomba, u otros. Al igual que el manometro en U abierto, el manometrodiferencial emplea un lıquido manometrico, al que llamaremos fluido B, que llena parcialmenteun tubo en forma de U. Como ilustra la Fig.2.8, uno de los extremos del tubo se conecta ala seccion I aguas arriba del dispositivo de flujo y el otro a la seccion II aguas abajo. Comoconsecuencia de la diferencia de presion entre I y II, el fluido manometrico se eleva en el tubode la derecha hasta que se alcanza el equilibrio. En el equilibrio, la diferenciah entre los nivelesde mercurio en las dos ramas del manometro es una medida de ladiferencia de presion entreambos puntos.

21


La ecuacion general de la fluidostatica aplicada al fluido Aen reposo contenido en las ramasizquierda y derecha del manometro toma la forma

p + ρAgz = CA1 ≡ p1 + ρAgz1 (A rama izquierda) (2.50)

p + ρAgz = CA2 ≡ p2 + ρAgz2 (A rama derecha) (2.51)

mientras que para el fluido manometrico tenemos

p + ρBgz = CB ≡ p2 + ρBgz2 (B) (2.52)

donde las constantes se han evaluado en las entrefases A-B izquierda, Ec. (2.50), y derecha,Ecs. (2.51) y (2.52). Restando ahora la Ec. (2.50) particularizada en I de la Ec. (2.51) particula-rizada en II

pI +ρAgzI = p1 + ρAgz1

−[pII+ρAgzII= p2 + ρAgz2

]

↓

(pI + ρAgzI) − (pII + ρAgzII) = (p1 − p2) + ρAg(z1 − z2) (2.53)

y utilizando la Ec. (2.52) particularizada en 1 para expresar la diferencia de presionesp1 − p2

en la formap1 − p2 = ρBg(z2 − z1) (2.54)

se obtiene finalmente

(pI + ρAgzI) − (pII + ρAgzII) = (ρB − ρA)g(z2 − z1) = (ρB − ρA)gh (2.55)

ecuacion que liga las presiones y alturas en las secciones Iy II aguas arriba y aguas abajodel dispositivo de flujo con la diferencia de densidad entre el fluido manometrico y el fluido detrabajo,ρB−ρA, y la diferenciah entre los niveles de mercurio en las dos ramas del manometro.Observese que, de acuerdo con la Ec. (2.55), la sensibilidad del manometro sera tanto mayorcuanto menor sea la diferenciaρB − ρA entre la densidad del fluido manometrico y el fluido detrabajo.

La ecuacion anterior puede simplificarse aun mas en dos casos de interes practico. Si elconducto es horizontal tenemoszI = zII y la Ec. (2.55) se reduce a

pI − pII = (ρB − ρA)gh (conducto horizontal) (2.56)

mientras que si el fluido de trabajo es un gas podemos despreciar todos los terminos que con-tengan la densidad del gas por serρA ≪ ρB y escribir directamente

pI − pII ≃ ρBgh (A es un gas) (2.57)

Notese que en este ultimo caso la posible diferencia de altura entre los puntos I y II deja deafectar al resultado, pues va multiplicada porρAg y su efecto resulta por tanto despreciable.

22

2.7. FLUIDOSTATICA DE GASES: ATMOSFERA ESTANDAR

2.6.4 Presion absoluta, manometrica y de vacıo

La medida de la presion en un fluido puede hacerse relativa a un nivel de presion nula, encuyo caso se denominapresion absoluta, o relativa a la presion atmosferica local, como ocurresi se utiliza el manometro abierto, y se habla en este segundo caso depresion manometrica, sila presion local es mayor que la atmosferica, o depresion de vacıo, si la presion local es menorque la atmosferica. Es decir,

presion absoluta p

presion manometricap′ = pman = p − pa cuando p > pa

presion de vacıo pvac = pa − p cuando p < pa

Insistimos en que la presion manometrica y de vacıo estan referidas a lapresion atmosfericalocal, que no tiene por que coincidir con la presion atmosfericaa nivel del mar en condicionesestandard (1 atm = 101300 Pa). Por ejemplo, si una medida de presion se realiza en un lugary momento en que la presion atmosferica es depa = 90000 Pa (porque, por ejemplo, estamosa cierta altura sobre el nivel del mar, o la medida se realiza en un dıa de bajas presiones) y seobtiene una medida dep = 120000 Pa, la presion manometrica sera en este caso depman =p − pa = 30000 Pa.

2.7 Fluidostatica de gases: Distribucion de presiones en laatmosfera estandar

La ecuacion general de la fluidostatica (2.22) aplicada a un gas perfecto en reposo en unsistema de referencia inercial toma la forma

−∇p + ρg = −∇p +p

RgTg = 0, (2.58)

donde se ha utilizado la ecuacion de estado de los gases perfectos (p = ρRgT ) para tener encuenta las variaciones de densidad debidas a los cambios de presion o temperatura. Por ser lagravedadg = −gk la unica fuerza masica, podemos escribir

∂p

∂x=

∂p

∂y= 0 → p = p(z) → −

dp

dz−

p

RgTg = 0, (2.59)

o biendp

p+

g

RgTdz = 0, (2.60)

ecuacion que relaciona la variaciones de presion,p, con las variaciones de altura,z, en ungas perfecto sometido a la accion de la gravedad. En la ecuacion anterior, la aceleracion de lagravedadg y la constante del gasRg toman valores fijos, mientras que la temperatura podrıa,en principio, variar con la altura. Ası pues, antes de integrar la Ec. (2.60) es preciso especificarla leyT = T (z).

23


2.7.1 Atmosfera isoterma

Si suponemos que la temperatura es constante,T = T0, como ocurre, por ejemplo, en laatmosfera terrestre cerca de la superficie, podemos integrar la Ec. (2.60)

∫dp

p+

g

RgT0

∫

dz = 0, (2.61)

para obtener

ln p +g

RgT0z = cte. (2.62)

Particularizando esta ecuacion enz = 0, donde supondremos conocido el valor de la presion,p = p0, obtenemos el valor de la constante (cte = ln p0) que, sustituida en (2.62), proporcionala ley para la presion en funcion de la altura en un gas isotermo

p = p0 exp

(

−g

RgT0z

)

. (2.63)

Como puede verse, en un gas isotermo la presion cae exponencialmente con la altura, con unadistancia caracterıstica de decaimiento∆z ∼ RgT0/g ≈ 8,4 km paraT0 = 288K.

2.7.2 Atmosfera estandar

Aunque cerca de la superficie terrestre la aproximacion de atmosfera isoterma resulta apro-piada, para determinar correctamente la distribucion de presion atmosferica hay que tener encuenta que la temperatura atmosferica disminuye linealmente desde la superficie hasta una al-tura de aproximadamente 11000 m (troposfera), se mantiene constante entre los 11000 y los20000 m (estratosfera), y vuelve a aumentar por encima de los20000 m. Matematicamente, laley que expresa la variacion de la temperatura con la alturase puede escribir en la forma

T =

T0 − Bz 0 < z < 11000 m,

T1 11000 < z < 20000 m,(2.64)

dondeT0 es la temperatura a nivel del mar (z = 0), B es el gradiente termico en la troposfera, i.e.la velocidad a la que decae la temperatura con la altura, yT1 es la temperatura de la estratosfera.Los valores deT0 y B varıan ligeramente de un dıa a otro y de un lugar a otro, peroexisteun acuerdo internacional por el que se definen los valores estandar:T0 = 288,16 K y B =0,00650 K/m ≡ 6,5 K/km, lo que conduce al valorT1 = 288,16 − 6,5 · 11 = 216,66 K ≡−56,5oC. En la Fig.2.9(a) se representa la variacion de temperatura con la alturaen dichaatmosfera estandar.

Introduciendo esta expresion para la variacion de la temperatura con la altura en la Ec. (2.60)resulta ∫

dp

p= −

g

Rg

∫dz

T0 − Bz(2.65)

que se puede integrar facilmente para dar

ln p −g

RgBln(T0 − Bz) = cte (2.66)

24


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

p (atm)

z (k

m)

−60 −40 −20 0 20T (ºC)

0 0.5 1 1.5

94%

84%

69%

39%

ρ (kg/m3)

Figura 2.9:Distribucion de (a) temperatura, (b) presion y (c) densidad en la atmosfera estandar. Lınearoja: troposfera (0 < z < 11 km), lınea azul: estratosfera (11 < z < 20 km).

El valor de la constante de integracion se puede obtener particularizando esta expresion a niveldel mar,z = 0, donde la presion atmosferica,p = pa, es conocida. De este modo tenemos

cte = ln pa −g

RgBlnT0 (2.67)

Finalmente, sustituyendo este valor en (2.66) obtenemos la distribucion de presiones en laatmosfera estandar

p = pa

(

1 −Bz

T0

) gRgB

0 < z < 11000 m (2.68a)

dondez representa la altura sobre el nivel del mar. Por encima de los11000 m se debe utilizarla Ec. (2.63) escrita en la forma

p = pa

(

1 −B · 11000

T0

) g

RgB

︸︷︷︸

p11 km

exp

[

−g

RgT1

(z − 11000)

]

11000 < z < 20000 m (2.68b)

Las Figs.2.9(b) y (c) ilustran, respectivamente, la variacion de la presion con la altura y lacorrespondiente variacion en la densidad del aire con la altura en la atmosfera estandar, estaultima calculada utilizando las leyes (2.64) y (2.68) junto con la ley de los gases ideales,ρ =p/(RgT ).

En la Fig.2.9(c) se indica el valor de la densidad del aire a cuatro alturasdistintas elegidascon fines puramente ilustrativos. La primera lınea corresponde a la altura media de Madrid (650m), la segunda representa la altura del puerto de Navacerrada (1780 m), la tercera la altura

25

2.8. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS

?

6

n n

Fl→fondo = −pfondoAn Fl→fondo = −

∫p(x)ndA

A

= −(pa + ρgh)Ak

pa

6

?

h

6

z

?g

Figura 2.10:Fuerza ejercida sobre el fondo de un deposito por el lıquido contenido en el mismo cuandoel fondo esta horizontal (izquierda) e inclinado (derecha). Cuando la superficie sobre la que queremoscalcular la fuerza no es horizontal, la presion varıa de unos puntos a otros y la fuerza se determinamediante una integral extendida a toda la superficie.

del Teide (3718), y la cuarta la del Everest (8848 m). Se observa que la densidad atmosfericadisminuye apreciablemente con la altura, de modo que en el techo del mundo la densidad delaire es un 39 % de la densidad atmosferica a nivel del mar. A dicha altura un volumen de airedado contiene tan solo un 39 % del oxıgeno que contendrıa anivel del mar, lo que puede llegara provocar la muerte por asfixia en pocas horas.

2.8 Calculo de fuerzas y momentos sobre superficiessumergidas

2.8.1 Fuerzas sobre superficies planas

El diseno de estructuras de contencion requiere el calculo de las fuerzas hidrostaticas sobrelas superficies solidas en contacto con el fluido. Estas fuerzas estan relacionadas con el efectodel peso del fluido sobre las superficies que lo contienen. Porejemplo, el lıquido contenido en eldeposito de la izquierda de la Fig.2.10, con una base plana y horizontal de areaA, ejercera unafuerza vertical hacia abajo en el fondo del deposito igual aFl→fondo = −(pa + ρgh)Ak, dondepa es la presion atmosferica,ρ es la densidad del lıquido yh la altura de agua. Si el depositose inclina y el fondo deja de estar horizontal, como ocurre enel deposito de la derecha, serequeriran calculos adicionales para determinar las componentes de la fuerza.

En particular, si consideramos un lıquido de densidad constante sometido a la accion de lagravedad, la Ec. (2.28) nos dice que la presion sobre cualquier superficie sumergida varıa lineal-mente con la profundidad. El calculo de la resultante de lasfuerzas de presion sobre superficiesplanas exige, por tanto, la integracion de una funcion lineal. Como veremos a continuacion, lacomplejidad de este tipo de integrales es mınima cuando la forma geometrica de la superficiees sencilla, y se reduce al calculo de la posicion del centro de gravedad de la superficie cuandola forma de esta es mas compleja.

26


Fuerzas y momentos sobre una placa plana rectangular vertical Con fines ilustrativos,comenzaremos por calcular la fuerza ejercida por un lıquido en reposo sobre una placa planarectangular, de alturah y anchurab perpendicular al papel, en posicion vertical como muestrala Fig. 2.11. Tomando el origen dez en la base de la placa, la distribucion de presiones puedeescribirse en la forma

p + ρgz = p0 + ρgh ≡ cte → p(z) = p0 + ρg(h − z) (2.69)

dondep0 representa la presion en el punto mas alto de la placa (z = h). Como se indico masarriba, la presion crece linealmente con la profundidad desde este valor hasta su valor maximo(p0 + ρgh) en la base de la placa (z = 0). El campo de presiones sobre la placa resulta ası de lasuperposicion de una distribucion de presion constante, p0, a la que llamaremos distribucionI,y una distribucion de presion triangular,ρg(h − z), a la que llamaremos distribucionII.

La fuerza ejercida por el lıquido sobre el lado derecho de laplaca,F = F i, vendra dada porla suma de las resultantes de presion de las distribucionesI y II,

F =

∫

A

p(z)dA =

∫ h

0

[p0 + ρg(h − z)]b dz

=

∫ h

0

p0 b dz +

∫ h

0

ρg(h − z)b dz

= p0hb +ρgh

2hb = FI + FII

(2.70)

mientras que el momento respecto a la base de la placa (punto 0) se puede expresar en la forma

M0 =

∫

A

p(z)zdA =

∫ h

0

p0z b dz +

∫ h

0

ρg(h − z)zb dz

= p0

[z2

2

]h

0

b + ρg

[hz2

2−

z3

3

]h

0

b

= p0h2

2b + ρg

h3

6b = FI

h

2+ FII

h

3

(2.71)

donde el momento se toma positivo en sentido horario (M0 = M0ey).Una vez calculada la resultante y el momento de las fuerzas depresion resulta sencillo calcu-

lar la posicionzCP del centro de presiones, definido como el punto de accion de la resultante delas fuerzas de presion. Para ello basta imponer que el momento M0 debe ser igual al momentozCPF de la resultanteF respecto al punto 0, es decir

M0 = zCPF → zCP =p0hbh

2+ ρgh

2hbh

3

p0hb + ρgh2

hb=

12

+ ρgh2p0

13

1 + ρgh2p0

h =12

+ Λ13

1 + Λh (2.72)

donde se observa quezCP/h depende solo del parametroΛ = ρgh/(2p0), que representa elcociente entre la presion media de la distribucion lineal, ρgh/2, y la presion media de la distri-bucion uniforme,p0, siendo

lımΛ→0

zCP =h

2, lım

Λ→∞

zCP =h

3, (2.73)

De acuerdo con la definicion dada en (2.72), las Ecs. (2.70) y (2.71) muestran que la re-sultante de la distribucion uniforme actua en el punto medio de la placa,zI

CP = h/2, mientras

27


-

--

-

-

-

-

-

-

- -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

6

?

h/2 6

?

h/3

6

?

zCP6z

-p0ρgh p0

6

?

hFI

FII

F

x ρgh

p(z)

n dA = bdz n dA n dA

0

Figura 2.11:Distribucion de presion sobre una placa plana rectangular en posicion vertical, de alturahy anchurab en la direccion perpendicular al dibujo. Tal y como se ha representado, la distribucion generalse puede descomponer en una distribucion de presion uniforme (I) y una distribucion de presion lineal(II), cuyas resultantes,FI = p0hb y FII = (ρgh/2)hb, actuan en el centro de la placa y a un tercio dela altura de la misma, respectivamente.

que la resultante de la distribucion lineal actua a un tercio de la altura de la placa,zIICP = h/3.

Esto permite explicar el significado fısico de los lımitesΛ → 0 y Λ → ∞: cuandoΛ → 0(ρgh ≪ p0) las variaciones de presion debidas a la distribucion lineal son despreciables frente ala presion uniformep0 y la distribucion de presiones puede aproximarse por el valor constantep0, cuya resultante actua en el punto medio de la placa. Lo contrario ocurre cuandoΛ → ∞(ρgh ≫ p0) en cuyo caso podemos despreciar la presion uniformep0 frente a las variaciones depresion debidas a la distribucion lineal, cuya resultante actua en este caso en el puntoh/3.

Notese que para un fluido dado (ρ) y una compuerta de geometrıa dada (h) el valor deΛ solopuede cambiar debido a las variaciones de la presionp0 en el punto superior de la compuerta. Deeste modo, para una compuerta situada en la pared de un deposito, al aumentar el nivel de lıquidoen el deposito aumentara el valor dep0 y por tanto disminuira el valor deΛ, desplazandose elcentro de presiones de la compuerta hacia arriba, sin llegarnunca a superar el punto medio dela placa.

Se deja como ejercicio al alumno demostrar que para una placarectangular inclinada unangulo0 ≤ θ ≤ π/2 respecto a la horizontal (θ = 0: placa horizontal,θ = π/2: placa vertical)los resultados anteriores se mantienen sin mas que cambiarg porg sen θ.

Fuerzas y momentos sobre una placa plana sumergida de forma arbitraria En este apar-tado vamos a generalizar los resultados para fuerzas sobre placas planas al caso mas generalposible. La Fig.2.12muestra una placa plana de forma arbitraria sumergida completamente enun lıquido. La placa forma un anguloθ con la horizontal, de forma que su profundidad varıa deun punto a otro. Sih es la profundidad de un elemento diferencial de areadA de la placa, segunla ecuacion general de la fluidostatica la presion sobre dicho elemento serap = pa + ρgh.

Para deducir expresiones que tengan en cuenta la forma de la placa, tomemos un sistema decoordenadasx, y sobre el plano de la placa con origen en el centro de gravedad de la placa, ocentroide,3 y una coordenada mudaξ que mide la distancia por debajo de la superficie libre sobreel plano de la placa. La fuerza hidrostatica total sobre la cara superior de la placa sera entonces

F =

∫

A

p dA =

∫

A

(pa + ρgh) dA = paA + ρg

∫

A

h dA (2.74)

3La posicion del centroide de una superficie plana de area A se define comoxCG = 1A

∫

AxdA

28


La integral que queda por determinar se calcula teniendo en cuenta que, segun la Figura2.12,h = ξ sin θ y, por definicion, la distancia del centroide a la superficiees tal que

ξCG =1

A

∫

ξdA (2.75)

Por tanto, comoθ es constante sobre la placa, la Ec. (2.74) queda

F = paA + ρg sin θ

∫

ξ dA = paA + ρg sin θ ξCGA (2.76)

Finalmente, recordando queξCG sin θ = hCG es la profundidad del centroide de la placa, ten-dremos

F = paA + ρg hCGA = pCGA (2.77)

En resumen, la fuerza sobre una cara de cualquier superficie plana sumergida en un fluido dedensidad uniforme es igual a la presion que hay en el centro de gravedad de dicha cara por elarea de la misma, independientemente de la forma de la placao del angulo de inclinacionθ.

Debido al incremento de la presion con la profundidad, el punto de actuacion de la fuerzaresultanteF no se encuentra en el centroide, sino mas abajo, hacia la zona de presiones maselevadas. Su lınea de accion pasara por el centro de presiones CP de la placa, como se indicaen la Figura2.12. Para hallar las coordenadas(xCP, yCP) sumamos los momentos de todas lasfuerzas elementalesp dA respecto al centro de gravedad e igualamos al momento de la resultanteF . Para calcularyCP, haremos

FyCP =

∫

yp dA =

∫

y (paA + ρg sin θ ξ) dA = ρg sin θ

∫

y ξdA (2.78)

donde el termino∫

paydA se anula por definicion de centro de gravedad. Introduciendo ξ =ξCG − y, obtenemos

FyCP = ρg sin θ

(

ξCG

∫

ydA −

∫

y2dA

)

= −ρg sin θIxx (2.79)

donde de nuevo∫

y dA = 0 e Ixx =∫

y2dA es el momento de inercia del area de la placarespecto a su eje centralx, calculado en el plano de la placa. Sustituyendo F por su valor,resulta

yCP = −ρg sin θIxx

pCGA(2.80)

El signo negativo de la Ec. (2.80) muestra queyCP esta por debajo del centro de gravedad,a una profundidad mayor y, contrariamente aF , sı depende del angulo de inclinacionθ. Siponemos la placa a profundidades mayores,yCP se acerca al centro de gravedad, ya que todoslos factores de la Ec. (2.80) permanecen constantes, exceptopCG que aumenta.

La determinacion dexCP es completamente analoga y proporciona

xCP = −ρg sin θIxy

pCGA(2.81)

donde ahoraIxy =∫

xy dA es el producto de inercia de la placa, calculado en el plano delaplaca con respecto a ejes que pasan por el centro de gravedad.Notese que siIxy = 0, lo que

29


Superficie libre p = pa

h (x, y)

hCG

Fuerza

resultante

F = pCG

A

Vista lateral

CP

x

y

CG

Vista en planta

dA = dx dy

=h

sin

Figura 2.12:Superficie plana de forma arbitraria sumergida en un lıquido en reposo, indicando la po-sicion del centro de gravedad, CG, de la superficie, o centroide, y del centro de presiones, CP, definidocomo el punto de actuacion de la resultante de las fuerzas depresion (el punto respecto al cual la dis-tribucion de presiones da momento nulo). En general, el centro de gravedad y el centro de presiones nocoinciden, salvo que la superficie sea horizontal, en cuyo caso la resultante de fuerzas de presion actuaprecisamente en el centro de gravedad de la superficie.

suele implicar simetrıa de la placa respecto al ejey, tenemosxCP = 0 y el centro de presionesesta inmediatamente debajo del centroide, sobre el ejey.

En muchos casos la presion ambientepa se desprecia porque actua en ambos lados de laplaca. Por ejemplo, cuando el otro lado de la placa es la cara interior del casco de un barco o lacara seca de una compuerta o presa. En este casopCG = ρghCG y el centro de presiones resultaindependiente de la densidad del fluido:

F = ρg hCGA, yCP = −Ixx sin θ

hCGA, xCP = −

Ixy sin θ

hCGA(2.82)

2.8.2 Fuerzas sobre superficies curvas

La resultante de las fuerzas de presion sobre una superficiecurva arbitraria como la de laFig.??viene dada por la integral extendida a la superficie de las fuerzas elementales sobre cadaelemento de area

F f→s =

∫

A

p(−n) dA = −

∫

A

p n dA (2.83)

30

2.9. FUERZAS SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS Y EN FLOTACION: EL PRINCIPIODE ARQUIMEDES

donden es el vector normal unitario perpendicular a la superficie, que, de acuerdo con la nota-cion habitual, apunta hacia el lıquido si queremos calcular la fuerza del lıquido sobre el solido.En general, el calculo de esta integral es complicado. Las fuerzas elementales de presion, poractuar perpendicularmente a la superficie en cada punto, varıan en direccion a lo largo de esta,lo que se traduce en que, ademas de la propia presion, el vector normaln tambien varıa. Noobstante, si la superficie tiene una forma geometrica simple (p.ej., un cilindro, un paraboloi-de, una seccion de esfera, etc.) el calculo de la integral (2.83) puede abordarse sin demasiadosproblemas.

Veremos a continuacion que existe, sin embargo, una forma mas sencilla de determinar laresultante de las fuerzas de presion sobre dicha superficiecurva, estableciendo el equilibrio dela columna vertical de fluido situada encima de la superficie.La Figura??muestra el diagramade cuerpo libre de la columna de fluido contenida en la proyeccion vertical hacia arriba de lasuperficie curva. Para estudiar el equilibrio de fuerzas sobre el fluido definimos las fuerzas queactuan sobre el. Ası,Hs→f y Vs→f son las fuerzas ejercidas por la superficie sobre la columna defluido, iguales a las que ejerce el fluido sobre la superficie pero de sentido contrario,H f→s =−H s→f , V f→s = −V s→f . Se muestran tambien las fuerzas debidas al peso y a la presion queactua sobre las paredes verticales. La columna de fluido debe estar en equilibrio estatico. Enla parte superior de la columna,bcde, las componentes horizontalesF1 se equilibran y sonirrelevantes en la discusion. En la parte inferior, la region irregular de fluidoabc proxima ala superficie curva, el equilibrio de fuerzas muestra que la componente horizontalH s→f , queejerce la superficie sobre el fluido, ha de ser igual a la fuerzaFH que actua en la pared verticalizquierda. Esta ultima puede calcularse con las expresiones conocidas para superficies planas,segun se ve en la Ec. (2.77), aplicadas a la proyeccion sobre un plano vertical de la superficiecurva considerada. La siguiente regla general simplifica elanalisis:

• La componente horizontal de la fuerza ejercida sobre una superficie curva es igual a lafuerza ejercida sobre el area plana formada por la proyeccion de aquella sobre un planovertical normal a dicha componente.

Si existen dos componentes horizontales, ambas pueden calcularse utilizando el procedimientoanterior. La suma de las fuerzas verticales muestra que

FV = W1 + W2 + Waire (2.84)

Podemos resumir esto de la siguiente forma:

• La componente vertical de las fuerzas de presion que actuan sobre una superficie curva esigual en magnitud y direccion al peso de la columna de fluido,lıquido y aire atmosfericoque hay encima de dicha superficie.

Por tanto, el calculo deFV es poco mas que encontrar el centroide de gravedad de la columnade fluido; quizas una pequena integracion si la region inferiorabc de la Figura??tiene una formaparticularmente compleja.

2.9 Fuerzas sobre cuerpos sumergidos y en flotacion: El Prin-cipio de Arquımedes

El modulo de la fuerza que actua sobre una superficie sumergida en un fluido uniforme solodepende del valor de la presion en los puntos de la superficiey de su forma. Por tanto, las

31


A CB D

6

z

?g

- L

-

6

?

6

?

L

nAB

nCD

F l→CD

F l→AB

pa

6

?

h

Figura 2.13:La fuerza que ejerce el lıquido sobre las superficies planasAB y CD es igual en modulopero de sentido contrario.

D

A C

B

6

z

?g

nAB

dA

F l→CD

F l→AB

pa

nCD

dA

Figura 2.14:La fuerza que ejerce el lıquido sobre las superficies curvasAB y CD tambien es igual enmodulo pero de sentido contrario.

32


fuerzas sobre dos superficies identicas situadas a la mismaprofundidad en el seno de un fluidouniforme seran identicas en modulo, aunque pueden tenersentidos opuestos si la orientacion delas superficies respecto al fluido es distinta. Por ejemplo, en la Fig.2.13se representa un conte-nedor lleno de lıquido en el que hay dos superficies planas horizontales, AB y CD, situadas a lamisma profundidad y con areas iguales,A = Lb, dondeb representa la anchura del recipiente enel plano perpendicular al papel. Por serAB y CD superficies horizontales, en todos sus puntosla presion es la misma,pAB = pCD ≡ pa + ρgh. De este modo, la fuerza sobre la superficie ABviene dada por

F1→AB = −nAB(pa + ρgh)Lb, (2.85)

mientras que la fuerza sobre la superficie CD es

F1→CD = −nCD(pa + ρgh)Lb. (2.86)

Dado que los vectores unitarios normales a las superficie tienen sentidos contrarios,nAB =−nCD, tenemos

F1→AB = −F1→CD, (2.87)

es decir, las dos fuerzas son identicas en modulo y direccion, pero de sentido contrario. Esteresultado es consecuencia directa del hecho de que en un fluido en reposo la presion en unpunto no depende de la orientacion. Ası el fluido contenidoen el volumen de la figura??ejercela misma fuerza “hacia abajo” sobre la superficie AB que “hacia arriba” sobre la superficie CD.

Del mismo modo, las fuerzas sobre las superficies curvas AB y CD de la Fig.??, situadas ala misma profundidad en el seno de un lıquido y tienen la misma forma, son iguales en moduloy direccion, pero de sentido contrario. La fuerza sobre la superficie AB se puede calcular comola integral sobre la superficie de la fuerza que se ejerce sobre el diferencial de area dA:

F1→AB = −

∫ B

A

nABp(z)dA,

La fuerza sobre CD se calcula de forma equivalente como:

F1→CD = −

∫ D

C

nCDp(z)dA.

Al recorrer las superficies AB y CD estaremos sumando las fuerzas sobre diferenciales desuperficie identicos situados a la misma alturaz en el lıquido, y por tanto soportando la mismapresionp(z). La unica diferencia entre las dos integrales vendra dadapor el sentido opuestode los vectores normales a los elementos diferenciales de superficie. Independientemente de laforma concreta de estas integrales tendremos

F1→AB = −F1→CD (2.88)

De nuevo, en el caso de superficies curvas las fuerzas ejercidas por el fluido sobre dos superfi-cies iguales situadas a la misma profundidad son identicasen modulo y direccion, y si las dossuperficies tienen orientaciones opuestas respecto al fluido, las fuerzas tienen sentidos opuestos.

Este resultado permite calcular fuerzas sobre superficies curvas en un fluido usando el equi-librio de una columna de fluido aun cuando no exista una columna de fluido directamente sobrela superficie. Para ello podemos establecer el equilibrio enuna columna de fluido “imaginaria”situada sobre una superficie identica y a la misma profundidad en el fluido.

33


g

6

z

pa

?

6

F l→s

?

?

1 2W1

W2

Σ1

Σ2

Figura 2.15:Volumenes fluidos utilizados en la demostracion del principio de arquımedes.

Los mismos principios que empleamos para calcular las fuerzas hidrostaticas sobre super-ficies pueden aplicarse al calculo de la resultante sobre uncuerpo completamente sumergido oun cuerpo flotante. Se deducen entonces las dos leyes de flotacion enunciadas por Arquımedesen el siglo III a.C.:

1. Un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de flotacion vertical igual alpeso del fluido que desaloja.

2. Un cuerpo que flota desaloja su propio peso en el fluido en queflota.

Estas dos leyes se deducen facilmente observando la Figura??. En la Figura??a vemos queel cuerpo esta limitado por una superficie superior curvada1 y otra inferior, tambien curvada,2. La Ec. (2.84) nos indica que el cuerpo experimenta un empuje vertical de

FF = FV (2) − FV (1) = (peso del fluido sobre 2) - (peso del fluido sobre 1)

= peso del fluido desplazado por el cuerpo (2.89)

Alternativamente, en la Figura?? podemos sumar las fuerzas verticales elementales queactuan sobre el cuerpo

FF =

∫

cuerpo(p2 − p1) dAH = −ρg

∫

(z2 − z1) dAH = ρg (volumen cuerpo) (2.90)

Ambos resultados son la expresion matematica de la primera ley de Arquımedes expuestaanteriormente.

La Ec. (2.90) supone que el fluido tiene un peso especıficoρg uniforme. La lınea de accionde la fuerza de flotacion pasa por el centro de volumen del cuerpo, que coincide con el centrode gravedad si el cuerpo tiene densidad uniforme. Este puntoen el que actuaFF se denominacentro de flotacion, designado conF o CF en la figuras. Es evidente que el punto F no tienepor que coincidir con el centro de gravedad del cuerpo, que puede tener densidad variable.

34

2.10. ESTABILIDAD DE FLOTACION

La Ec. (2.90) se puede generalizar para el caso de fluidos estratificados (FE) sumando lascontribuciones de cada capa de densidadρi desalojada por el cuerpo

FF (FE) =∑

i

ρg (volumen desplazado)i (2.91)

Cada capa desalojada tendrıa su propio centro de volumen y habrıa que sumar los momentosde las distintas fuerzas para encontrar el centro de flotación del cuerpo.

Como los lıquidos son relativamente pesados, somos conscientes de sus fuerzas de flotacion,pero los gases tambien ejercen fuerzas analogas en los cuerpos sumergidos en ellos.

Por ejemplo, los seres humanos tienen un peso especıfico medio de aproximadamente 60lbf/ft3. El peso de una persona es de unas 180 lbf y su volumen,por tanto, de 3,0 ft3. Sinembargo, al hacer esto estamos despreciando la flotacion producida por el aire ambiente. Encondiciones normales, el peso especıfico del aire es de 0,0763 lbf/ft3 y, por tanto, la fuerzade flotacion es aproximadamente 0,23 lbf. Si se midiera en elvacıo, el peso de una personaaumentarıa en 0,23 lbf. En el caso de globos y dirigibles, lafuerza de flotacion no solo noes despreciable, sino que es el factor dominante en el diseno. Muchos otros fenomenos, comola conveccion natural del calor y la mezcla vertical en los oceanos, dependen de fuerzas deflotacion que, pese a ser muy pequenas, juegan un papel decisivo.

Los cuerpos que flotan son un caso especial, ya que solo una parte esta sumergida, perma-neciendo el resto por encima de la superficie libre. La Figura?? ilustra este caso, apareciendosombreado el volumen desplazado. En este caso, la Ec. (2.90) se modifica ligeramente y queda

FF = ρg (volumen desplazado) = (peso del cuerpo) (2.92)

La fuerza de flotacion no solo equilibra el peso, sino que debe estar aplicada en la mis-ma lınea vertical, ya que en equilibrio estatico no puede haber momentos. La Ec. (2.92) es elequivalente matematico de la segunda ley de Arquımedes, citada anteriormente.

En ocasiones, un cuerpo puede tener el peso y el volumen adecuados para que su pesoespecıfico sea igual al del fluido. En estos casos, el cuerpo tendra flotabilidad neutra y permane-cera en el punto en el que se le sumerja. En visualizacion seutilizan a veces partıculas pequenascon flotabilidad neutra, y cierto tipo de boya, el flotador Swallow [2], se utiliza para seguir lascorrientes oceanicas. Un submarino puede adquirir flotabilidad negativa, neutra o positiva albombear agua hacia dentro o hacia fuera de los tanques de lastre.

2.10 Estabilidad de flotacion

Un cuerpo que flota, como el de la Figura??, puede encontrarse en una posicion de equi-librio inestable. En este caso, el cuerpo volcara a la primera oportunidad, como un lapiz queesta apoyado sobre su punta y se desplaza ligeramente de la vertical. La mas mınima pertur-bacion le llevara a buscar otra posicion de equilibrio estable. Los ingenieros deben cuidar losdisenos para impedir la inestabilidad de la flotacion. La única forma de asegurar que una po-sicion de equilibrio es estable consiste en perturbar ligéramente la posicion de equilibrio delcuerpo y comprobar si aparece un momento restaurador que lo lleve a su posicion de equi-librio original. Si esto ocurre, la posicion es estable; encaso contrario, es instable. Este tipode calculos, para cuerpos flotantes arbitrarios, constituyen un arte especıfico de los ingenierosnavales.

35

2.10. ESTABILIDAD DE FLOTACION

La determinacion de la estabilidad de cuerpos en flotacioncon formas irregulares es difıcilincluso para los expertos. Estos cuerpos pueden tener dos o mas posiciones estables. Por ejem-plo, un barco puede flotar en su posicion normal o invertido.Incluso las formas simples, comoun cubo de densidad uniforme, presentan numerosas orientaciones de flotacion estables, quepueden ser no simetricas; ası, los cilindros circulares homogeneos pueden flotar con el eje desimetrıa inclinado con respecto a la vertical.

La inestabilidad de flotacion es comun en la naturaleza. Los peces nadan generalmente man-teniendo su plano de simetrıa en posicion vertical. Cuando mueren, esta posicion es inestablepor lo que acaban flotando con su plano de simetrıa horizontal. Los icebergs gigantes puedengirar sobre sı mismos al cambiar sus condiciones de estabilidad cuando se derrite parcialmentela parte sumergida. Este espectacular fenomeno se ha presenciado en muy pocas ocasiones.

Un ejemplo de cuerpos flotantes de forma irregular son los icebergs. Estas masas de hielo,formadas por agua dulce congelada procedente de los glaciares, tienen una densidad media esde unos 900 kg/m3. De esta forma, cuando un iceberg esta flotando sobre el aguadel mar, cuyadensidad media es de 1025 kg/m3, aproximadamente una fraccion 900/1025 = 87.8 % de suvolumen queda sumergida.

36

Capıtulo 3

Cinematica

3.1 Introduccion

3.1.1 Descripciones Euleriana y Lagrangiana

Para describir el campo de velocidades en un fluido, es posible adoptar dos puntos de vis-ta diferentes, que corresponden a las descripciones Euleriana y Lagrangiana. En la primera,se describe el campo de velocidades,v(x, t), en funcion de la posicionx y del tiempot. Enotras palabras, es como si en cada instante se diera la distribucion espacial de la velocidad (yde todas las demas variables fluidomecanicas de interes)en todo el interior del campo fluido.Este punto de vista es analogo al que se utiliza, por ejemplo, en la descripcion de los camposelectromagneticos.

Una forma alternativa de especificar la velocidad, que corresponde a la descripcion Lagran-giana, consiste en estudiar el movimiento de cada una de las partıculas fluidas, cuya trayectoria

x = xT(x0, t) (3.1)

es funcion de la posicion que ocupa en el instante inicial,x0, y del tiempo. La velocidad y laaceleracion en esta descripcion se obtienen por derivacion de las trayectorias de las partıculasfluidas de acuerdo av = ∂xT/∂t y a = ∂2xT/∂t2. Esta aproximacion, que resulta apropiadaen mecanica para el estudio de la dinamica del punto, da lugar en mecanica de fluidos a unaformulacion compleja de las leyes de conservacion. Por lotanto, aun cuando la descripcionLagrangiana puede resultar util en el analisis de algunosproblemas particulares, en lo que sigueutilizaremos la descripcion Euleriana, que resulta mas acorde con el estudio de los medioscontinuos.

3.2 Movimiento uniforme y estacionario; puntos deremanso

Decimos que un movimiento fluido esuniforme cuando no existen variaciones espacialesde las variables fluidas. Ası, un campo de velocidad es uniforme siv = v(t). De manera similar,decimos que un movimiento fluido esestacionariocuando no existen variaciones temporalesde las variables fluidas. Diremos, por ejemplo, que el campo de velocidad es estacionario siv = v(x). En ocasiones, la estacionariedad de un movimiento dependedel sistema de referencia

37

3.3. TRAYECTORIAS Y SENDAS

que se considere. Por ejemplo, para estudiar el flujo alrededor de un cuerpo en movimiento,que es claramente no estacionario en ejes fijos al laboratorio, conviene adoptar un sistema dereferencia viajando con el cuerpo, en el que el problema resulta ser estacionario.

Un punto de remansose define como un punto en que la velocidad es nula. Por lo tanto,dado el campo de velocidadesv = v(x, t), los puntos de remanso han de satisfacer la ecuacion

v(x, t) = 0. (3.2)

Claramente, los puntos de remanso dependen del sistema de referencia elegido.

3.3 Trayectorias y sendas

En su movimiento, una partıcula fluida inicialmente situada en x = x0 va variando suposicion, que resulta ser por tanto funcion del tiempo, tal y como se expresa en la Ec.3.1.Conocido el campo de velocidadesv(x, t), esta ley de movimiento de la partıcula fluida, otrayectoria, se obtiene por integracion de

dx

dt= v(x, t) (3.3)

con condiciones inicialesx = x0 ent = t0. Si desarrollamos esta ecuacion vectorial obtenemoslas tres ecuaciones

dx

dt= u(x, t),

dy

dt= v(x, t),

dz

dt= w(x, t) (3.4)

que deben integrarse con condiciones inicialesx = x0, y = y0 y z = z0. La solucion delproblema serıa de la forma dada en la Ec.3.1, que para el caso de coordenadas cartesianasrectangulares queda

x = xT(x0, y0, z0, t)

y = yT(x0, y0, z0, t) (3.5)

z = zT(x0, y0, z0, t)

La trayectoria contiene la informacion referente al camino osendaque recorre cada partıcu-la fluida, ası como la rapidez con la que lo recorre. Las ecuaciones que describen la senda sepueden obtener a partir de la Ec.3.1sin mas que eliminar el tiempo.

3.4 Lıneas, superficies y volumenes fluidos

Siempre y cuando el campo de velocidad sea continuo, las partıculas fluidas que se encuen-tran en el instante inicial a lo largo de una lınea seguiranformando una lınea en su movimien-to posterior. La ecuacion para la evolucion de estal ınea fluida se obtiene particularizando laecuacion para las trayectorias dada en Ec.3.1a aquellas partıculas fluidas que se encuentran ent = t0 a lo largo de la lınea inicial.

Analogamente, las partıculas fluidas que se encuentran inicialmente en una superficie con-tinuan en su movimiento formando una superficie (superficie fluida) . Si la superficie fluidaesta inicialmente cerrada, se mantendra cerrada en su evolucion posterior. Al fluido limitado pordicha superficie fluida cerrada se le denominavolumen fluido, un concepto que nos sera util enla aplicacion de los principios de conservacion que gobiernan el movimiento fluido.

38

3.5. LINEAS, SUPERFICIES Y TUBOS DE CORRIENTE

3.5 Lıneas, superficies y tubos de corriente

Para un instante dado, se denominanl ıneas de corrientea aquellas lıneas que son tangentesen cada uno de sus puntos al vector velocidad local. La condicion de tangencia nos permiteescribir las ecuaciones que determinan dichas lıneas de corriente

dx

u(x, y, z, t)=

dy

v(x, y, z, t)=

dz

w(x, y, z, t)(3.6)

Al elegir las dos constantes asociadas a la integracion de las dos ecuaciones diferenciales an-teriores estamos identificando una lınea de corriente de entre la doble infinitud que existe paraun instante determinado. Por ejemplo, uno podrıa en un problema dado identificar una lınea decorriente dando la posicion(x0, y0) del punto donde corta al plano horizontal. Notese que de ladefinicion de lınea de corriente se desprende que sus puntos de interseccion son necesariamentepuntos de remanso (que pasarıa si dos lıneas de corriente se cortaran en un punto de velocidadno nula?).

Es importante recalcar que mientras las trayectorias contienen informacion de la evoluciontemporal del flujo, las lıneas de corriente son representaciones instantaneas del flujo: al calcu-lar la trayectoria determinamos la evolucion temporal de la posicion de una partıcula fluida,mientras que las lıneas de corriente se definen para un instante determinado, y son en principiodiferentes al considerar dos instantes distintos.

En relacion con las lıneas de corriente, existen otros dosconceptos que conviene definir. Ala superficie formada por todas las lıneas de corriente que se apoyan en una lınea arbitraria se ledenominasuperficie de corriente. Si la lınea elegida es cerrada, la superficie formada serauntubo de corriente.

3.6 Lıneas de traza

Las lıneas de traza se definen como las sendas de las partıculas fluidas que en el pasado pasa-ron por un mismo punto. Imaginemos un flujo en el que se inyectan pequenas burbujas siempreen el mismo punto y que estas burbujas siguen exactamente la trayectoria de las partıculas flui-das y van dejando una marca, una traza, allı por donde pasan.Las lıneas formadas por estasmarcas serıan las lıneas de traza.

De lo visto anteriormente, queda claro que las lıneas de corriente, lıneas de traza y lassendas no coinciden en general. Existe, sin embargo, un casoparticular en el que si lo hacen. Siel movimiento fluido es estacionario,v = v(x), entonces las lıneas de corriente, sendas y lıneasde traza coinciden. Vease, por ejemplo, la Fig.3.1.

39

3.6. LINEAS DE TRAZA

(a)

(b)

Figura 3.1: Flujo estacionario alrededor de un perfil aerodinamico: (a) a bajos angulos de ataqueel flujo es estacionario y las lıneas de traza, visualizadasexperimentalmente mediante fluidocoloreado introducido aguas arriba, coinciden con las sendas y las lıneas de corriente; (b) a altosangulos de ataque la corriente se desprende y el flujo se haceno estacionario (especialmente enla estela), en estas condiciones las lıneas de corriente y las sendas no coinciden con las lıneasde traza.

40

Capıtulo 4

Analisis de volumenes de control

4.1 Introduccion

Las ecuaciones de conservacion de la mecanica de fluidos sederivan al aplicar los prin-cipios de conservacion de la masa, cantidad de movimiento yenergıa a volumenes fluidos ytransformarlos mediante la aplicacion delteorema de transporte de Reynoldsen ecuacionessobre volumenes de control. Para posibilitar la derivaci´on anterior, vemos primero como se es-criben las leyes de la mecanica en un volumen fluido, y pasamos a estudiar el concepto deflujoconvectivo, ası como la derivacion temporal de integrales extendidas a volumenes fluidos y avolumenes de control. Seguidamente, derivamos el teoremade transporte de Reynolds y de ella ecuacion de conservacion de la masa o ecuacion de continuidad, la ecuacion de conservacionde la cantidad de movimiento, la ecuacion de conservaciondel momento cinetico y la ecuacionde conservacion de la energıa enforma integral para volumenes de control.

4.2 Leyes de la mecanica aplicadas a volumenes fluidos

Las leyes de la mecanica se obtienen al aplicar los principios de conservacion de la masa,cantidad de movimiento y energıa a un sistema cerrado, estoes, a un sistema que contiene siem-pre la misma materia. La eleccion de un sistema cerrado, quees trivial en mecanica de solidos,es un poco mas delicada en un fluido en movimiento. Debe ser unvolumen que que contengasiempre las mismas partıculas fluidas, y las siga en su movimiento, esto es, unvolumen fluido.

Supongamos un volumen fluidoVf(t), conteniendo un fluido de densidadρ = ρ(x, t), mo-viendose con velocidadv = v(x, t) y con energıa por unidad de masae(x, t)+v2(x, t)/2. Noteseque tanto la posicion como la forma y el tamano del volumen fluido pueden ser variables en eltiempo, de ahı que hayamos escritoVf(t).

Aplicados a este sistema, los principios de conservacion de la mecanica toman la forma quese indica a continuacion.

4.2.1 El principio de conservacion de la masa

La masa de un sistema cerrado se debe conservar. Dado que la masa total contenida en unvolumen fluido se obtiene integrando la densidadρ a todo el volumen como

M =

∫

Vf (t)

ρdV (4.1)

41

4.3. VOLUMENES FLUIDOS Y VOLUMENES DE CONTROL

el principio de conservacion de la masa en un volumen fluido se escribe

dM

dt=

d

dt

[∫

Vf (t)

ρdV

]

= 0 (4.2)

4.2.2 La segunda ley de Newton

De acuerdo con la segunda ley de Newton, la variacion temporal de la cantidad movimientode un sistema cerrado es igual a la resultante de las fuerzas exteriores sobre el sistema. Dado quela cantidad de movimiento en un volumen fluido se obtiene a partir de la cantidad de movimientode un elemento fluidoρvdV integrada a todo el volumen fluido,

∫

Vf (t)ρvdV , el principio de

conservacion de la cantidad de movimiento en un volumen fluido se escribe

d

dt

[∫

Vf (t)

ρvdV

]

=∑

Fext (4.3)

Una forma alternativa de la segunda ley de Newton se expresa en funcion del momentocinetico: la variacion temporal del momento cinetico respecto a un punto de un sistema cerradoes igual al momento de las fuerzas exteriores respecto al mismo punto. En un volumen fluido:

d

dt

[∫

Vf (t)

ρr ∧ vdV

]

=∑

Mext (4.4)

Donder es la distancia al punto respecto al que se calcula el momentocinetico. Si en el sistemade referencia elegido ese punto esx0, entoncesr = x − x0.

4.2.3 El primer principio de la termodinamica

El primer principio de la termodinamica establece que la variacion temporal en la energıatotal de un sistema cerrado es debida al trabajo de las fuerzas exteriores sobre el sistema y alcalor aportado al sistema desde el exterior. Como la energıa contenida en un volumen fluidose obtiene integrando la energıa de los distintos elementos fluidos que lo componen,

∫

Vfρ(e +

v2/2)dV , el primer principio de la termodinamica en un volumen fluido se escribe

d

dt

[∫

Vf (t)

ρ(e + v2/2)dV

]

= Wext + Q (4.5)

dondeQ representa el calor aportado al sistema por unidad de tiempoQ = dQ/dt y Wext =dW ext/dt el trabajo realizado por las fuerzas exteriores por unidad de tiempo, o potencia apor-tada por las fuerzas exteriores.

4.3 Volumenes fluidos y volumenes de control

Como hemos visto, las leyes de la mecanica aplicadas a volumenes fluidos se obtienendirectamente al aplicar los principios de conservacion dela masa, cantidad de movimiento yenergıa a un volumen fluido. Pero elegir, describir y controlar un volumen fluido, que contenga

42

4.4. FLUJO CONVECTIVO

siempre las mismas partıculas fluidas y por tanto las siga ensu movimiento puede resultarmuy complicado (recordemos que el seguimiento lagrangianode las partıculas fluidas en sumovimiento resultaba complejo).

Por otro lado, la informacion que precisa un ingeniero a la hora de disenar un sistema flui-do no es tanto la informacion lagrangiana, que indicarıa como se mueve un volumen fluido,que fuerzas actuan sobre el, y que cambios de energıa conlleva este movimiento, sino cuantofluido pasa por una cierta region del sistema, que fuerza hace sobre las partes solidas del sistemay cuanta energıa proporciona el mecanismo o es precisa para hacerlo funcionar.

Por tanto, para estudiar la dinamica de sistemas fluidos, esmas conveniente transformar lasleyes obtenidas sobre volumenes fluidos en leyes que se puedan aplicar a un volumen cualquie-ra, fijo o movil a nuestra conveniencia, que contenga las partes del sistema sobre las que nosinteresa obtener informacion. Este tipo de volumen se denominavolumen de control. Veremosen las proximas secciones que para escribir las leyes de la mecanica en un volumen de controltendremos que aplicar una transformacion matematica entre la variacion temporal de integralesextendidas a volumenes fluidos y la variacion temporal de integrales extendidas a volumenesde control. Esta transformacion, que se conoce como elteorema del transporte de Reynolds,permite transformar las ecuaciones de conservacion sobreun volumen fluido de la seccion4.2en ecuaciones escritas para un volumen de control.

4.4 Flujo convectivo

El objetivo de este apartado es el de aprender a calcular el flujo convectivo de una magnitudfluida, esto es, la cantidad de magnitud fluida que cruza una superficie en la unidad de tiempodebido al movimiento medio del fluido. En lo que sigue,φ(x, t) representa la cantidad de unacierta magnitud fluida extensiva que existe por unidad de volumen. Ası,φ = 1 representa elvolumen por unidad de volumen,φ = ρ representa la masa por unidad de volumen,φ = ρv esla cantidad de movimiento por unidad de volumen yφ = ρ(e+v2/2) es la energıa por unidad devolumen. Estas magnitudes intensivas se pueden utilizar para evaluar la cantidad de magnitudfluida total que existe en el interior de un cierto volumen. Por ejemplo, la cantidad de cantidadde movimiento contenida en un cierto instante en el interiordeV viene dada por

∫

VρvdV .

Consideramos la superficie fijaΣo de la figura adjunta. Al desplazarse, el fluido cruza lasuperficie anterior, transportando en su movimiento masa, cantidad de movimiento y energıa.

σd

dtv

o

n

Σ

Figura 4.1: Flujo convectivo.

43

4.5. TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS

El volumen de fluido que cruza en el tiempo dt a traves del elemento diferencial de superficiedA y orientacionn, es el que esta contenido en el paralelepıpedo de area dA y aristavdt de lafigura. La cantidad de magnitud fluida que cruza dicho elemento de superficie puede calcularsea partir del volumen del paralelepıpedov · ndAdt para darφv · ndAdt, por lo que el flujoconvectivo total (magnitud fluida que cruzaΣo en la unidad de tiempo) vendrıa dado por

∫

Σo

φv · ndA. (4.6)

A los vectoresv, ρv y ρ(e + v2/2)v se les denomina vector flujo volumetrico, vector flujomasico y vector flujo de energıa. Sus proyecciones en una direccion dada del espacion determi-nan, respectivamente, la cantidad de volumen, masa y energ´ıa que cruza en la unidad de tiempola unidad de superficie contenida en el plano perpendicular an. De manera analoga,ρvv es elllamado tensor flujo de cantidad de movimiento, y el vectorρvv · n es la cantidad de cantidadde movimiento que cruza en la unidad de tiempo la unidad de superficie contenida en el planoperpendicular an.

Si la superficieΣo es cerrada (yφv es continuo), entonces podemos hacer aplicacion delteorema de Gauss para reescribir el flujo convectivo en la forma

∫

Σo

φv · ndA =

∫

Vo

∇ · (φv)dV, (4.7)

dondeVo es el volumen encerrado por la superficieΣo. Haciendo aplicacion de la ecuacionanterior a un volumen infinitesimal, podemos concluir que, por ejemplo,∇ · (ρv) representala cantidad de masa que abandona la unidad de volumen en la unidad de tiempo debido almovimiento del fluido a traves de sus paredes. De la misma manera,∇ · v es la cantidad devolumen que abandona la unidad de volumen en la unidad de tiempo.

Para finalizar, cabe anadir que, para extender la nocion deflujo convectivo a una superficiemovil Σc(t) cuyos puntos se desplazan con velocidadvc(xc, t), basta rehacer el razonamientobasado en la figura4.1, reemplazando, claro esta, la velocidad del fluidov por la velocidadrelativa a la superficiev − vc. La ecuacion (4.6) se verıa por tanto modificada para dar

∫

Σc(t)

φ(v − vc) · ndA. (4.8)

4.5 Teorema del transporte de Reynolds

Estudiamos ahora la variacion con el tiempo

d

dt

[∫

Vf (t)

φ(x, t) dV

]

(4.9)

de la cantidad de una cierta magnitud fluida contenida en un volumen fluidoVf(t) que esta li-mitado por la superficieΣf (t). Podemos adelantar que va a aparecer una contribucion asociadaa la no-estacionariedad del campo fluido,φ(x, t), ası como una contribucion asociada al despla-zamiento del volumen fluido,Vf(t). Para verlo, estudiamos la evolucion entre los instantest yt + dt del volumen fluido que esquematiza en la figura4.2.

44

4.5. TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS

(t)

dσ

v dt

Σ

Σ

(t + dt)

Figura 4.2: Evolucion infinitesimal de un volumen fluido.

La derivada temporal (4.9) se puede escribir en la forma

d

dt

[∫

Vf (t)

φ(x, t) dV

]

= lımdt→0

∫

Vf (t+dt)φ(x, t + dt)dV −

∫

Vf (t)φ(x, t)dV

dt. (4.10)

El lımite de la ecuacion (4.10) se puede descomponer en las dos contribuciones siguientes.

lımdt→0

∫

Vf (t)[φ(x, t + dt) − φ(x, t)] dV

dt+ lım

dt→0

∫

Vf (t+dt)−Vf (t)φ(x, t + dt)dV

dt. (4.11)

Para evaluar la primera de ellas hacemos uso del desarrolloφ(x, t+dt)−φ(x, t) = (∂φ/∂t)dt,con lo que obtenemos

lımdt→0

∫

Vf (t)[φ(x, t + dt) − φ(x, t)] dV

dt=

∫

Vf (t)

∂φ(x, t)

∂tdV. (4.12)

Por otra parte, la segunda integral no es mas que la integraldeφ(x, t) extendida a la diferenciade regiones ocupadas porVf(t+dt) y Vf(t), la cual puede evaluarse a partir del flujo convectivoque ha atravesado la superficieΣf (t) en el intervalo de tiempo dt, de forma que

lımdt→0

∫

Vf (t+dt)−Vf (t)φ(x, t + dt)dV

dt= lım

dt→0

∫

Σf (t)φv · ndAdt

dt=

∫

Σf (t)

φv · ndA. (4.13)

Finalmente, podemos escribir

d

dt

[∫

Vf (t)

φ(x, t) dV

]

=

∫

Vf (t)

∂φ(x, t)

∂tdV +

∫

Σf (t)

φ(x, t) v(x, t) · n dA. (4.14)

Los dos terminos de (4.14) reflejan, tal y como anteriormente mencionamos, que la cantidad demagnitud fluida que hay contenida en un volumen fluido varıa debido a la no estacionariedaddel campo fluido y tambien debido al movimiento del volumen fluido.

La resolucion de un problema fluido determinado involucra en general el estudio del fluidocontenido en una cierta region del espacio, que puede ser fija o variar con el tiempo dependien-do del problema. A dicha region del espacioVc(t) la denominamos en lo que siguevolumen de

45

4.6. ECUACION DE LA CONTINUIDAD

control, que estara en general limitado por una superficieΣc(t) cuyos puntos se mueven convelocidadvc(xc, t). Puesto que los principios de conservacion de la mecanicade fluidos se apli-can a volumenes fluidos, conviene relacionar la variaciontemporal de la cantidad de magnitudfluida que hay contenida en un volumen de control, con la variacion temporal que tiene lugaren un volumen fluido que ocupa en el instante considerado el mismo lugar en el espacio. Parael volumen de controlVc(t), el mismo razonamiento que nos ha llevado a derivar (4.14) nospermite escribir

d

dt

[∫

Vc(t)

φ(x, t) dV

]

=

∫

Vc(t)

∂φ(x, t)

∂tdV +

∫

Σc(t)

φ(x, t) vc(x, t) · n dA. (4.15)

Teniendo en cuenta que hemos elegido que el volumen de control Vc(t) y su superficie lımiteΣc(t) coincidan en el instante considerado conVf (t) y Σf (t), los dominios de integracion de lasintegrales que aparecen en (4.14) y (4.15) coinciden, con lo que al sustraer dichas ecuacionesobtenemos la expresion delteorema de transporte de Reynolds

d

dt

[∫

Vf (t)

φ(x, t) dV

]

=d

dt

[∫

Vc(t)

φ(x, t) dV

]

+

∫

Σc(t)

φ(x, t) (v − vc) · n dA. (4.16)

Esta ecuacion, que nos sera util en la derivacion de las ecuaciones de conservacion, indica que lavariacion temporal de una magnitud fluida (masa, cantidad de movimiento, energıa, etc) ligadaa un volumen fluido es igual a la suma de la variacion temporalen un volumen de control quecoincide en el instante considerado con el volumen fluido mas el flujo convectivo a traves de lasuperficie lımite de dicho volumen de control (ver Ec. (4.8)).

4.6 Ecuacion de la continuidad

La masa contenida en un volumen fluido no varıa con el tiempo,como indica la ecuacion deconservacion de la masa (Ecuacion (4.2)). Sustituyendo esta ecuacion en (4.16) expresamos suequivalente para un volumen de control

d

dt

[∫

Vf (t)

ρdV

]

=d

dt

[∫

Vc(t)

ρdV

]

+

∫

Σc(t)

ρ(v − vc) · ndA = 0. (4.17)

La lectura de la ecuacion anterior refleja lo que es obvio desde un punto de vista fısico, esto es,el incremento por unidad de tiempo de la cantidad de masa que hay contenida en un volumende control es igual a la cantidad de masa que entra por unidad de tiempo a traves de la pared dedicho volumen−

∫

Σc(t)ρ(v − vc) · ndA.

El balance masico anterior admite formas simplificadas cuando el volumen de control ele-gido es fijo en el espacio ∫

Vo

∂ρ

∂tdV +

∫

Σo

ρv · ndA = 0, (4.18)

y tambien cuando el fluido es incompresible∫

Σc(t)

v · ndA = 0. (4.19)

46

4.6. ECUACION DE LA CONTINUIDAD

4.6.1 Gasto masico y caudal

Definimos elflujo masicoo gasto masicomΣ a traves de una superficieΣ como el valorabsoluto del flujo convectivo de masa a traves de ella:

mΣ =

∣∣∣∣

∫

Σ

ρ(v − vc) · ndA

∣∣∣∣

(4.20)

y el caudal o flujo volumetrico QΣ como el valor absoluto del flujo de volumen a traves de lasuperficie:

QΣ =

∣∣∣∣

∫

Σ

(v − vc) · ndA

∣∣∣∣

(4.21)

4.6.2 Aproximacion unidimensional a los terminos de flujo

En muchos casos se pueden considerar la densidad y la velocidad en las entradas y salidasde un volumen de control como uniformes, se dice entonces quelas entradas y salidas sonunidimensionales. En estos casos el flujo de masa a traves deuna superficie de entrada de areaAe, perpendicular a la direccion del movimiento donde la velocidad esve, la densidadρe (y quesuponemos para simplificar que esta fija respecto a nuestro sistema de referencia:vc = 0) es

∫

Σe

ρve · ndA = ρe(−ve)

∫

Σe

dA = −ρeveAe (4.22)

dondeve · n = −ve puesto que la normaln esta dirigida hacia fuera de la superficie de entraday la velocidad tiene el sentido opuesto, hacia dentro.

El flujo de masa a traves de una superficie de salida de areaAs perpendicular al movimientodonde la velocidad esvs y la densidadρs(y que de nuevo suponemos fija respecto a nuestrosistema de referenciavc = 0):

∫

Σs

ρvs · ndA = ρsvs

∫

Σs

dA = ρsvsAs (4.23)

dondevs · n = vs puesto que ahora la normaln y la velocidad tienen el mismo sentido, haciafuera del volumen de control.

Por tanto el gasto masico y el caudal en unaentrada unidimensional con densidadρe,velocidadve, y areaAe se pueden escribir como:

me = ρeveAe, Qe = veAe, (4.24)

mientras que el gasto masico y caudal en unasalida unidimensionaldonde la densidad esρs,la velocidad esvs y el area esAs son:

ms = ρsvsAs, Qs = vsAs, (4.25)

En un sistema con una sola entrada y una sola salida unidimensionales la ecuacion de con-tinuidad se escribe

d

dt

[∫

Vo

ρdV

]

− me + ms = 0, (4.26)

es decir, la variacion de masa en el interior del volumen de control es igual a la diferencia entreel flujo masico que sale del volumen de control y el flujo masico que entra.

47

4.7. ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Si el flujo es estacionario, entonces la masa en el interior del volumen de control no varıa yla ecuacion de continuidad es

me = ms, (4.27)

esto es, el flujo masico que entra al volumen de control es igual al flujo masico que sale delvolumen de control.

Si, ademas, el fluido es incompresible, la densidad no varıa y la ecuacion de continuidad es

Qe = Qs, (4.28)

es decir, el flujo volumetrico o caudal que entra al volumen de control es igual al flujo vo-lumetrico o caudal que sale.

4.7 Ecuacion de la cantidad de movimiento

4.7.1 Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie

Recordemos que las fuerzas que actuan en un fluido se pueden clasificar en dos tipos dis-tintos: fuerzas de largo alcance (tambien denominadas fuerzas de volumen o fuerzas masicas) yfuerzas de corto alcance (tambien denominadas fuerzas de superficie). Las primeras, que inclu-yen en particular la gravedad y las fuerzas de inercia, son fuerzas que decrecen lentamente conla distancia (su distancia caracterıstica de decaimientoes mucho mayor que la distancia me-dia entre moleculas,d), y su radio de accion es comparable al tamano caracterıstico del campofluido L.

Si la fuerza masica que actua sobre una partıcula fluida devolumendV esρfm(x, t)dV lafuerza sobre un volumen fluido sera la resultante de integrar estas fuerzas sobre el volumenVf :

∫

Vf

ρfm(x, t)dV. (4.29)

Del mismo modo si la la fuerza que se ejerce sobre un elemento de superficie de area dA yorientacionn esfn(n, x, t)dA, entonces la resultante de las fuerzas de superficie sera laintegralsobre la superficie: ∫

Σc

fn(n, x, t)dA. (4.30)

4.7.2 Tensor de esfuerzos

El esfuerzo o fuerza por unidad de superficie sobre una superficie con orientacionn se definecomo:

fn = ¯τ · n, (4.31)

donde

¯τ =

τ11 τ12 τ13

τ21 τ22 τ23

τ31 τ32 τ33

(4.32)

es el denominado tensor de esfuerzos. La Ec. (4.31) indica que el esfuerzo por unidad de su-perficie en la direccionn se puede expresar en funcion de las nueve componentes del tensor ¯τ ,que son en principio funcion de la posicion e instante considerados. En realidad, el resultado

48


admite una simplificacion mayor, puesto que el tensor de esfuerzos resulta ser simetrico, con loque solo tiene seis componentes diferentes.

Si el fluido esta en reposo en un cierto sistema de referencia, las fuerzas de superficie actuansiempre en la direccion normal, y su magnitud no depende de la direccion, pudiendo en generalexpresarse como

fn = −pn, para un fluidoen reposo (4.33)

El tensor de esfuerzos superficiales asociado se reduce a

¯τ = −p¯I, para un fluidoen reposo (4.34)

dondeI representa el tensor identidad.Cuando el fluido esta en movimiento, ademas de las fuerzas de presion, aparecen fuerzas de

superficie adicionales que se denominan fuerzas de viscosidad, que se expresan con la ayuda deun tensor de esfuerzos viscosos¯τ ′ tal que

¯τ = −p¯I + ¯τ ′. (4.35)

donde¯τ ′ es de nuevo un tensor de 9 componentes:

¯τ ′ =

τ ′

11 τ ′

12 τ ′

13

τ ′

21 τ ′

22 τ ′

23

τ ′

31 τ ′

32 τ ′

33

(4.36)

que de nuevo resulta ser simetrico, por lo que solo tiene 6 componentes diferentes. La relacionentre los esfuerzos viscosos y las diferentes variables fluidas puede ser en principio complicada.En el caso de los fluidosincompresiblesy newtonianos, que incluyen la mayorıa de los lıqui-dos de interes ingenieril, se observa experimentalmente que existe una proporcionalidad entrelos esfuerzos viscososτ ′

ij y las velocidades de deformacion, que puede expresarse en la forma

τ ′

ij = µ

(∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

)

(4.37)

siendoµ la viscosidad del fluido. Tal y como puede verse, los esfuerzos viscosos son funcionde las velocidades de deformacion, que aparecen explıcitamente en (4.37), ası como del estadotermodinamico local a traves del coeficientes de viscosidadµ. Ademas del coeficiente de vis-cosidadµ, juega un papel relevante en mecanica de fluidos el llamado coeficiente de viscosidadcinematica (o difusividad viscosa) definido a partir deν = µ/ρ. Los valores caracterısticos deν para el agua a presion atmosferica sonν = 1,14×10−6 m2/s aT = 288 K, y ν = 0,31×10−6

m2/s aT = 368 K.La existencia de equilibrio termodinamico local nos permite estudiar la dependencia de la

viscosidad con el estado termodinamico en funcion de dos variables termodinamicas indepen-dientes cualquiera, por ejemplop y T . Tanto la teorıa cinetica en el caso de gases, como laevidencia experimental que existe tanto para lıquidos como para gases, muestran que la depen-dencia con la presion de los coeficientes de viscosidad es despreciable. En cuanto a la depen-dencia con la temperatura, la viscosidad de los gases aumenta conT , mientras que la viscosidadde los lıquidos disminuye, un comportamiento que se explica debido al distinto origen de lasfuerzas superficiales en uno y otro caso. Ası, las fuerzas superficiales en el caso de los gasestienen su origen en el transporte de la cantidad de movimiento asociado a la agitacion termica,

49


que es mayor cuanto mayor sea la temperatura. Por otra parte,en el caso de lıquidos las fuerzasentre moleculas proximas, que son funcion de la distancia entre ellas, contribuyen de mane-ra importante a las fuerzas de viscosidad que aparecen. Al aumentar la temperatura aumenta(ligeramente) la distancia entre las moleculas del lıquido, con lo que la viscosidad disminuye.Tanto en gases como en lıquidos, siempre que la temperaturano varıe mucho, resulta una apro-ximacion razonable el suponer que la viscosidad permanececonstante, una simplificacion queadoptaremos a menudo en el desarrollo del curso.

4.7.3 Ecuacion de la cantidad de movimiento

Una vez descritas las fuerzas de volumen y superficie que act´uan sobre un volumen fluidopodemos reescribir la segunda ley de Newton (Ecuacion (4.3)) como:

d

dt

[∫

Vf (t)

ρvdV

]

=

∫

Σf (t)

¯τ · ndA +

∫

Vf (t)

ρfmdV. (4.38)

Desarrollando el tensor de esfuerzos¯τ de acuerdo a (4.35), y utilizando el teorema de Reynoldsdado en (4.16), podemos reescribir la ecuacion anterior para un volumende controlVc(t) en laforma

d

dt

[∫

Vc(t)

ρvdV

]

+

∫

Σc(t)

ρv(v − vc) · ndA = −

∫

Σc(t)

pndA +

∫

Σc(t)

¯τ ′ · ndA +

∫

Vc(t)

ρfmdV.

(4.39)La ecuacion anterior expresa matematicamente como el incremento por unidad de tiempo dela cantidad de movimiento que hay en el volumen de control es igual a la suma del flujo con-vectivo de cantidad de movimiento que entra en el volumen de control a traves de sus paredes−

∫

Σc(t)ρv(v − vc) · ndA, la resultante de las fuerzas de presion−

∫

Σc(t)pndA, la resultante de

las fuerzas de viscosidad∫

Σc(t)¯τ ′ · ndA y la resultante de las fuerzas masicas

∫

Vc(t)ρfmdV .

Particularizando la Ec. (4.39) a un volumen de control fijo se obtiene[∫

Vo

∂ρv

∂tdV

]

+

∫

Σo

ρvv · ndA = −

∫

Σo

pndA +

∫

Σo

¯τ ′ · ndA +

∫

Vo

ρfmdV. (4.40)

Es conveniente recalcar que se trata de unaecuacion vectorial, es decir, que da lugar a tresecuaciones, una para cada componente de la cantidad de movimiento.

4.7.4 Aproximacion unidimensional a los terminos de flujo de cantidad demovimiento

En un sistema con una sola entrada y una sola salida unidimensionales donde la velocidadde entrada esve y la de salida esvs la ecuacion de cantidad de movimiento (4.39) se puedeescribir

d

dt

[∫

Vo

ρvdV

]

− meve + msvs =∑

Fext, (4.41)

Si el flujo es estacionario, entonces

meve + msvs =∑

Fext, (4.42)

50


y usando la ecuacion de continuidad, que indica que el flujo masico es constante

me = ms = m, (4.43)

se tienem (vs − ve) =

∑

Fext, (4.44)

es decir, la diferencia entre el flujo de cantidad de movimiento que sale y el flujo que entra enel volumen de control viene dada por las fuerzas exteriores que actuan sobre el.

4.7.5 Fuerzas y momentos sobre superficies sumergidas

La resultanteF de las fuerzas de presion y viscosidad que se ejerce sobre una superficieΣde normaln dirigida hacia el fluido es:

F = −

∫

Σ

pndA +

∫

Σ

¯τ ′ · ndA. (4.45)

De manera similar, el momentoM respecto a un puntoxo de las fuerzas de presion y viscosidadsobre una superficieΣ se obtiene a partir de

M = −

∫

Σ

(x − xo) ∧ pndA +

∫

Σ

(x − xo) ∧ ¯τ ′ · ndA. (4.46)

Estas ecuaciones se pueden utilizar, en particular, para determinar la fuerza que ejerce el fluidosobre un solido que se encuentra inmerso en el. La superficie Σ coincide en este caso con lasuperficie del solido, con la normaln dirigida hacia el fluido.

4.7.6 Un primer ejemplo

Considere el movimiento de un lıquido que circula por el interior de un conducto que pre-senta una contraccion, tal y como se indica en la figura adjunta.

2

zr

n

n n

n

n n

U1

U2

p2

Σ1

Σ l

Σ l

A1 A2

p1

Σ

Figura 4.3: Flujo en una contraccion.

Para resolver el problema definimos un volumen de control, que tiene que ser cerrado y con-tener exclusivamente fluido en su interior. En este caso, el volumen de control que utilizaremosen el analisis esta limitado aguas arriba y aguas abajo porlas secciones de entrada y salida a lacontraccion, que denominaremosΣ1 y Σ2. Por otra parte, la superficie lateral del volumen de

51


controlΣl, la haremos coincidir con la pared del conducto, tal y como seindica en la figura.En este volumen de control fijo (vc = 0) el problema resulta ser estacionario, por lo que lasEcs. (4.17) y (4.39) se reducen a

∫

Σo

v · ndA = 0 (4.47)∫

Σo

ρv(v · n)dA = −

∫

Σo

pndA +

∫

Σo

¯τ ′ · ndA. (4.48)

Por simplificar la presentacion, se han ignorado en este caso los efectos de las fuerzas gravita-torias que, tal y como se comento anteriormente, podrıan incorporarse facilmente sustituyendola presion por la presion motriz o reducidap + ρU .

La primera ecuacion indica que el caudal de lıquido que sale del volumen de control debeser nulo. El flujo volumetrico es nulo enΣl, donde la velocidad es nula (debido a la condicionde adherencia que discutiremos mas adelante). Para poder evaluar el flujo volumetrico en lassecciones de entrada y salida tenemos que conocer la distribucion de velocidad. En este caso,supondremos que dicha distribucion es uniforme e igual av = U1ez y v = U2ez, respectiva-mente, dondeez es el vector unitario en la direccion axialz. En la pared, la velocidad es nula,por lo que debemos permitir la existencia de una region delgada proxima a la pared donde losperfiles uniformes que suponemos dejan de ser validos.

Para evaluar el flujo volumetrico tenemos que tener en cuenta que el sentido del vectorunitario normal a la superficie del volumen de control,n, es siempre hacia el exterior, por loquen = −ez enΣ1 y n = ez enΣ2. Al evaluar el flujo volumetrico que abandona el volumende control a traves deΣ1 obtenemos

∫

Σ1

v · ndA = −U1

∫

Σ1

dA = −U1A1, (4.49)

que resulta ser negativo porque el lıquido entra en el volumen de control. De forma analoga,∫

Σ2v · ndA = U2A2, por lo que finalmente obtenemos

U1A1 = U2A2 (4.50)

como resultado de aplicar la ecuacion de conservacion de masa (4.47).Procedemos de manera analoga a evaluar los distintos terminos de la ecuacion de conser-

vacion de la cantidad de movimiento (4.48). El flujo de cantidad de movimiento es nulo en lasuperficie lateralΣl, a traves de la que no pasa fluido (v · n = 0), mientras que en las superficiesΣ1 y Σ2 obtenemos

∫

Σ1ρv(v · n)dA = −ρU2

1 A1ez y∫

Σ2ρv(v · n)dA = ρU2

2 A2ez.Pasamos ahora a evaluar la resultante de las fuerzas de superficie. Puesto que la velocidad es

uniforme en las secciones de entrada y salida a la contracci´on, las velocidades de deformacion y,por tanto, los esfuerzos viscosos, resultan ser identicamente nulos, por lo que la resultante de lasfuerzas de superficie actuando enΣ1 y Σ2 se debe exclusivamente a la presion, que proporciona−

∫

Σ1pndA = p1A1ez y −

∫

Σ2pndA = p2A2ez, dondep1 y p2 son los valores de la presion a

la entrada y salida de la contraccion (que suponemos uniformes). No es posible, sin embargo,evaluar directamente la resultante de las fuerzas de superficie enΣl, puesto que desconocemosla distribucion de presion y de esfuerzos viscosos en dicha superficie.

Con la informacion obtenida podemos escribir (4.48) en la forma

(ρU22 A2 − ρU2

1 A1)ez = (p1A1 − p2A2)ez −

∫

Σl

pndA +

∫

Σl

¯τ ′ · ndA, (4.51)

52


indicando que el flujo de cantidad de movimiento de la vena fluida se modifica debido a laaccion de las fuerzas de presion actuando en las seccionesde entrada y salida y a la fuerza desuperficie actuando enΣl.

i

n

n

n

nn

n

n pa

pa

Σe

Σe

Σ

Figura 4.4: Superficie para el calculo de la fuerza sobre la contraccion.

Es interesante hacer aparecer de manera explıcita en el resultado anterior el valor de lafuerza que ejerce el lıquido sobre el conducto,FL→C . Para el calculo de esta, siguiendo elprocedimiento indicado anteriormente, consideramos la superficieΣi, que cubre en interior delconducto, para dar

FL→C = −

∫

Σi

pndA +

∫

Σi

¯τ ′ · ndA, (4.52)

donde el vector unitarion esta dirigido hacia el exterior del conducto (esto es, hacia el inte-rior del lıquido). Comparando ahora el resultado obtenidocon las integrales que aparecen a laderecha en la Ec. (4.51), donde el vectorn esta definido con sentido contrario, obtenemos

FL→C = (p1 + ρU21 )A1ez − (p2 + ρU2

2 )A2ez, (4.53)

que permite determinar la fuerza que ejerce el lıquido sobre la contraccion a partir de los valoresdeU1, U2, p1 y p2.

Cabe mencionar que, para calcular la fuerza total que se ejerce sobre el conductoFC , ala fuerza que hace el lıquido habrıa que anadirle aquellaque ejerce el aire situado alrededor.Para calcularla, consideramos ahora la superficieΣe que cubre el exterior del conducto. Si elaire en el exterior esta en reposo, los esfuerzos viscosos resultan ser nulos, por lo que el valorde la fuerza que ejerce el aire sobre el conducto se reduce a laaccion del campo de presiones(uniforme)

FA→C = −

∫

Σe

pandA. (4.54)

Para evaluar la integral, conviene descomponer la superficie de integracionΣe de acuerdo alesquema de la figura4.5.

Figura 4.5: Descomposicion utilizada para el calculo de la integral (4.54).

53


Ası, consideramos la superficie cerrada que se genera al anadir aΣe las dos caras situadasen las secciones de entrada y salida. De esa forma, el calculo deFA→C se puede realizar consi-derando primero la resultante depa actuando en la superficie cerrada, y sustrayendo al resultadolas integrales extendidas a las dos carasΣ1 y Σ2 que hemos anadido. Es facil demostrar, poraplicacion del teorema de Gauss, que la resultante de un campo de presion uniforme actuandosobre una superficie cerrada es identicamente nula, por lo que al final se tiene

FA→C = −

(

−

∫

Σ1

pandA −

∫

Σ2

pandA

)

= pa(A2 − A1)ez (4.55)

Sustituyendo esta expresion en la Ec. (4.53) conFC = FL→C + FA→C obtenemos

FC = [(p1 − pa) + ρU21 ]A1ez − [(p2 − pa) + ρU2

2 ]A2ez. (4.56)

Tal y como puede verse, para tener en cuenta la presencia de laatmosfera en el calculo de lafuerza sobre el conducto, basta sustituir el valor absolutode la presion en la entrada y la salidade la contraccion por sus valores manometricos (la diferencia de presion con el ambiente).

4.7.7 La ecuacion de Bernoulli

El estudio del flujo sin friccion a traves de un tubo de corriente infinitesimal, como el quese muestra en la Fig.4.6, proporciona una relacion muy utilizada entre la presion, la velocidady la altura, que se denominaecuacion de Bernoulli. Esta ecuacion, muy ligada a la ecuacionde la energıa para flujo estacionario, fue formulada inicialmente por Daniel Bernoulli en 1738,aunque la deduccion completa se debe a Leonhard Euler, en 1755. Aunque la ecuacion deBernoulli es muy famosa y tiene numerosas aplicaciones, es muy importante recordar siemprecuales son las hipotesis que conducen a ella, que restringen de un modo importante los casos enlos que es aplicable. Fundamentalmente, para emplear correctamente la ecuacion de Bernoullihay que limitar su aplicacion a regiones del flujo en las que la friccion sea despreciable. Enesta seccion (y, en mas detalle, cuando hablemos de la ecuacion de la energıa) se discutiran lascondiciones adecuadas para el uso de la ecuacion de Bernoulli.

La Fig.4.6representa un volumen de control que coincide con un tubo de corriente infinite-simal de area variableA(s) y longitudds, dondes representa la distancia medida a lo largo de lalınea de corriente. Las propiedadesρ(s, t), U(s, t), p(s, t) pueden variar cons y con el tiempot, pero se consideran uniformes sobre la seccion transversal A, que tomaremos lo suficiente-mente pequena para hacer de esta una buena aproximacion.El tubo de corriente esta inclinadoun angulo arbitrarioθ respecto a la horizontal, de forma que la variacion de altura entre lassecciones de entrada y salida esdz = ds sen θ. La figura muestra una friccion inevitable en lasparedes del tubo de corriente que aquı vamos a despreciar, lo que constituye la hipotesis masrestrictiva del analisis que se presenta a continuacion.

La ecuacion de conservacion de la masa1

∫

Vc(t)

∂ρ

∂tdV +

∫

Σc(t)

ρ(v · n)dA = 0 (4.57)

1En la Eq. (4.57) hemos utilizado el teorema del transporte de Reynolds paraescribir

d

dt

∫

Vc(t)

ρdV =

∫

Vc(t)

∂ρ

∂tdV +

∫

Σc(t)

ρ(vc · n)dA

54


ds

A

es

A + dA

n

n

?

θ

g

ρ, U , p

ρ + dρ

Horizontal

U + dU

p + dp

?dW

¯τ ′ = 0 6

dz

?

Tubo decorriente

Figura 4.6:Volumen de control utilizado para derivar la ecuacion de Bernoulli.

puede escribirse para el volumen de control infinitesimalδV en la forma

∂ρ

∂tδV + dm = 0 (4.58)

dondedm = msal − ment es el flujo masico neto que sale del volumen de control, que vienedado por la diferencia entre el flujo masico que sale por la seccion de salida y el flujo masicoque entra por la seccion de entrada. El flujo convectivo a traves de la superficie lateral delvolumen de control es nulo por tratarse de una superficie de corriente, es decir, una superficietangente en todos sus puntos al vector velocidad. En este tipo de superficies el vector velocidades perpendicular al vector unitario normal en todos los puntos, luegov · n = 0.

A continuacion escribimos la ecuacion de conservacion de la cantidad de movimiento y laproyectamos en la direccion de la corriente, tomando la componente paralela al vector veloci-dad,2 v = Ues,

∫

Vc(t)

∂(ρv)

∂tdV +

∫

Σc(t)

ρv(v · n)dA

= −

∫

Σc(t)

pndA +

∫

Σc(t)

¯τ ′ · ndA +

∫

Vc(t)

ρgdV

· es (4.59)

Para el volumen de control infinitesimal de la Fig.4.6, despreciando el termino de esfuerzos

2Para esto basta multiplicar escalarmente la ecuacion de cantidad de movimiento por el vector unitarioes en ladireccion del vector velocidad.

55


viscosos, esta ecuacion adopta la forma simplificada

∂(ρU)

∂tδV + d(mU) = −(∇p · es) δV + ρ(g · es) δV (4.60)

donded(mU) = (mU)sal − (mU)ent es el flujo convectivo neto de cantidad de movimientoque sale del volumen de control. Para escribir la ecuacion anterior hemos tenido en cuenta quela resultante de las fuerzas de presion por unidad de volumen es igual al gradiente de presioncambiado de signo,3 luego para el volumen de control infinitesimalδV la resultante de lasfuerzas de presion puede escribirse en la forma

−

∫

Σc(t)

pndA = −∇p δV (4.61)

Desarrollando ahora las derivadas del lado izquierdo de la Eq. (4.60) y proyectando los vectores∇p y g segun la direccion de la corriente tenemos

ρdU

dtδV + U

∂ρ

∂tδV + Udm

︸︷︷︸

0

+mdU = −

[∂p

∂s+ ρg sen θ

]

δV (4.62)

donde los terminos indicados con la llave se cancelan en virtud de la Eq. (4.58) de continuidad.Sustituyendo para terminarδV ≈ Ads y m = ρUA y dividiendo la ecuacion resultante porρAresulta

∂U

∂tds + UdU = −

[1

ρ

∂p

∂s+ g sen θ

]

ds (4.63)

que, reuniendo todo en el primer miembro y teniendo en cuentala relaciondz = ds sen θ,conduce a la ecuacion diferencial

∂U

∂tds + d

(U2

2

)

+1

ρ

∂p

∂sds + gdz = 0 (4.64)

que es la ecuacion de Bernoulli para flujo no estacionario sin friccion a lo largo de una lınea decorriente.

Esta ecuacion puede integrarse entre dos puntos cualesquiera 1 y 2 a lo largo de una lıneade corriente para dar

∫ 2

1

∂U

∂tds +

∫ 2

1

dp

ρ+ (U2

2 − U21 ) + g(z2 − z1) = 0 (4.65)

donde si quisieramos evaluar las dos integrales restantesdeberıamos estimar los efectos noestacionarios∂U/∂t y dar la ley de variacion de la densidad con la presion.

Si consideramos el caso de flujo estacionario (∂/∂t = 0) e incompresible (ρ = cte) obtene-mos finalmente la ecuacion de Bernoulli

p2 − p1

ρ+ (U2

2 − U21 ) + g(z2 − z1) = 0 (4.66)

para el flujo (I) estacionario (II) sin friccion (III) de un fluido incompresible (IV) a lo largo deuna lınea de corriente. Esta ecuacion tambien se puede escribir en la forma

p1

ρ+

U21

2+ gz1 =

p2

ρ+

U22

2+ gz2 →

p

ρ+

U2

2+ gz ≡ cte (4.67)

3Si no se recuerda este resultado, quizas serıa conveniente repasar el capıtulo de fluidostatica.

56

4.8. ECUACION DEL MOMENTO CINETICO

que permite concluir que en este tipo de flujos la combinacionp/ρ+U2/2+gz permanece cons-tante a lo largo de las lıneas de corriente. Notese que la constante que aparece en la Eq. (4.67)no tiene por que ser la misma para todas las lıneas de corriente, es decir, puede variar de unalınea de corriente a otra(!).

Es interesante observar que la ecuacion de Bernoulli no es mas que una generalizacion dela ecuacion general de la fluidostatica para fluidos con densidad constante que se mueven de unmodo estacionario sin efectos de viscosidad. En efecto, la ecuacion general de la fluidostaticase recupera sin mas que hacerU = 0 en (4.67).

4.8 Ecuacion del momento cinetico

La ecuacion de conservacion del momento cinetico para unvolumen de control arbitrarioVc(t) se obtiene sustituyendo la expresion del principio de conservacion del momento cineticoen un volumen fluido (4.4) en el teorema de transporte de Reynolds (4.16) como

d

dt

[∫

Vc(t)

ρ(x − xo) ∧ vdV

]

+

∫

Σc(t)

ρ[(x − xo) ∧ v][(v − vc) · n]dA =∑

Mext (4.68)

Las fuerzas exteriores sobre la unidad de volumen o superficie son las fuerzas de volumen y desuperficiefm y fn presentadas en la seccion4.7.1, podemos escribir su momento respecto a unpunto O enxo como la integral del momento de la fuerza que actua sobre la unidad de volumeno de superficie(x − xo)∧ fm y (x − xo)∧ fn. Escribiendo estas integrales en la expresion (4.68)se tiene

d

dt

[∫

Vc(t)

ρ(x − xo) ∧ vdV

]

+

∫

Σc(t)

ρ[(x − xo) ∧ v][(v − vc) · n]dA =

(4.69)

−

∫

Σc(t)

(x − xo) ∧ (pn)dA +

∫

Σc(t)

(x − xo) ∧ (¯τ ′ · n)dA +

∫

Vc(t)

ρ(x − xo) ∧ fmdV.

Es decir, la variacion del momento cinetico en un volumen de control viene dada por el flujoconvectivo de momento cinetico que entra a traves de la superficie de control

−

∫

Σc(t)

ρ[(x − xo) ∧ v][(v − vc) · n]dA

mas el momento angular de las fuerzas exteriores que actuan sobre el volumen y la superficiede control. De nuevo se trata de una ecuacion vectorial.

4.9 Ecuacion de la energıa

Utilizando la ecuacion de conservacion de la energıa en un volumen fluido (4.5) y el teoremade transporte de Reynolds (4.16) podemos escribir la ecuacion de conservacion de la energıa enun volumen de control arbitrarioVc(t) como

d

dt

[∫

Vc(t)

ρ(e + |v|2/2)dV

]

+

∫

Σc(t)

ρ(e + |v|2/2)(v − vc) · ndA = Wext + Q (4.70)

57

4.9. ECUACION DE LA ENERGIA

dondeWext es el trabajo por unidad de tiempo (esto es, potencia) realizado por las fuerzasexteriores (fuerzas masicas y fuerzas de superficie) yQ la aportacion de calor por unidad detiempo (por conduccion a traves de la superficieΣc(t), y por radiacion y reaccion quımica enel interior del volumen fluido). En general, esta ultima cantidad puede expresarse en funcionde las variables termodinamicas y de la composicion, tal ycomo se estudia en asignaturas masavanzadas de combustion y de transmision de calor.

Alternativamente, se puede escribir la ecuacion (4.70) en funcion del trabajo por unidadde tiempo que realiza el fluido sobre el exteriorW = −Wext. El signo asociado al trabajopor unidad de tiempo muestra que el trabajo realizado por lasfuerzas exteriores (Wext > 0)contribuye a aumentar la energıa de sistema, mientras que el trabajo que el sistema realizasobre el entorno (W = −Wext > 0) contribuye a reducirla.

Las fuerzas exteriores que actuan sobre un volumen de control son las fuerzas masicas y desuperficie (presion y esfuerzos viscosos) descritas en la seccion4.7.1. El trabajo que realizanpor unidad de tiempo sobre el fluido se puede entonces descomponer en trabajo de las fuerzasde presionWp, trabajo de las fuerzas de friccion o viscosasWv y trabajo de las fuerzas masicasWm

Wext = Wp + Wv + Wm (4.71)

La potencia o trabajo por unidad de tiempo de las fuerzas que actuan sobre una partıculafluida de volumen dV y superficie dA se puede obtener como el producto de la fuerza por lavelocidad de la partıcula,fn · vdA para las fuerzas de superficie yρfm · vdV para las fuerzasmasicas. Integrando la expresion de la potencia a un volumen o superficie de control se tendra lapotencia de las fuerzas de volumen o superficie. Ası, el ritmo de aportacion de trabajo o potenciade las fuerzas masicas que actuan sobre un volumen de control es

Wm =

∫

Vc(t)

ρfm · vdV, (4.72)

y se puede demostrar que si las fuerzas masicas derivan de unpotencial estacionarioU comofm = −∇U , esta aportacion de trabajo resulta en un aumento por unidad de tiempo−U en laenergıa potencial.

En concreto, si las unicas fuerzas masicas son las fuerzasgravitatoriasfm = g = −∇(−g · x) =−∇(gz) podemos sustituir el trabajo que realizan por un termino adicional en la ecuacion de laenergıa representando la variacion en el volumen de control y el flujo a traves de su superficiede una energıa potencial por unidad de masa(−gz). Es decir, el trabajo por unidad de tiempode las fuerzas gravitatorias sobre un volumen de control se puede sustituir por su efecto sobrela energıa potencial

Wm =d

dt

[∫

Vc(t)

ρ(−gz)dV

]

+

∫

Σc(t)

ρ(−gz)(v − vc) · ndA (4.73)

El trabajo realizado por unidad de tiempo o potencia aportada por las fuerzas de presionsobre la superficie de controlΣc(t) es

Wp = −

∫

Σc(t)

pv · ndA (4.74)

y el trabajo de los esfuerzos viscosos

Wv =

∫

Σc(t)

v · (¯τ ′ · n) dA (4.75)

58


Analicemos esta ultima expresion en varios tipos de superficies.

• En superficies solidas fijasv = 0, y por tanto el trabajo de los esfuerzos viscosos es nulo.

• En entradas y salidas con velocidad uniforme (es decir, unidimensionales)τ ′ = 0, y es denuevo nulo.

• A lo largo de las superficies de corriente es, en principio, diferente de cero.

• En superficies solidas moviles, donde~v no se anule, es tambien diferente de cero.

Estas ultimas superficies corresponden a las superficies m´oviles de maquinas (alabes debombas o ventiladores, pistones,...) que interaccionan con el fluido. El trabajo que realizan sobreel sistema fluido por unidad de tiempo, el trabajo motorWmotor suele ser un requerimiento dediseno o dato del problema o uno de los resultados buscados.Por esta razon es comun separar eltrabajo motor, o trabajo de las superficies moviles del trabajo realizado por las fuerzas viscosasy la presion en el resto de superficies y escribir

Wext = Wp + Wv + Wmotor + Wm (4.76)

La ecuacion general de conservacion de la energıa en un volumen fluido se puede escribirdirectamente utilizando las expresiones integrales del trabajo por unidad de tiempo realizadopor las fuerzas externas (4.72), (4.74), (4.75) en la ecuacion (4.70)

d

dt

[∫

Vc(t)

ρ(e + |v|2/2)dV

]

+

∫

Σc(t)

ρ(e + |v|2/2)(v − vc) · ndA = (4.77)

−

∫

Σc(t)

pv · ndA +

∫

Σc(t)

v · (¯τ ′ · n) dA +

∫

Vc(t)

ρfm · vdV + Q

Particularizando a un caso en el que actuen unicamente fuerzas de volumen de tipo gravi-tatorio se obtiene usando (4.73) y agrupando enWmotor los efectos del trabajo (de presion yde fuerzas viscosas) de las superficies solidas moviles y en Wv los efectos viscosos sobre otrassuperficies (que, como hemos visto, son solo diferentes de cero en superficies de corriente):

d

dt

[∫

Vc(t)

ρ(e + |v|2/2)dV

]

+

∫

Σc(t)

ρ(e + |v|2/2)(v − vc) · ndA = −

∫

Σc(t)

pv · ndA

+ Wmotor + Wv −d

dt

[∫

Vc(t)

ρgzdV

]

−

∫

Σc(t)

ρgz(v − vc) · ndA + Q (4.78)

Los dos terminos de la derecha dependientes degz representan cambios en la energıa poten-cial gravitatoria, y pueden incluirse como un termino masde la variacion de energıa en el ladoizquierdo. Del mismo modo el termino correspondiente a lasfuerzas de presion puede incluirseen el termino de flujo convectivo. De esta forma se tiene finalmente

d

dt

[∫

Vc(t)

ρ(e + |v|2/2 + gz)dV

]

+

∫

Σc(t)

ρ(e + |v|2/2 + gz +p

ρ)(v − vc) · ndA

= Wmotor + Wv + Q (4.79)

59


Recordando la definicion de entalpıa en funcion de la energıa interna, presion y densidad

h = e +p

ρ(4.80)

tenemos finalmente una ecuacion para la conservacion de laenergıa en un volumen de control,si las fuerzas de volumen son de tipo gravitatorio

d

dt

[∫

Vc(t)

ρ(e + |v|2/2 + gz)dV

]

+

∫

Σc(t)

ρ(h + |v|2/2 + gz)(v − vc) · ndA

= Wmotor + Wv + Q (4.81)

Es conveniente senalar en este punto que podemos escribir la ecuacion (4.81) de formaequivalente utilizando el trabajo que realiza el fluido sobre las superficies moviles (maquinas)del sistemaWfluido→motor = −Wmotor como

d

dt

[∫

Vc(t)

ρ(e + |v|2/2 + gz)dV

]

+

∫

Σc(t)

ρ(h + |v|2/2 + gz)(v − vc) · ndA

= −Wfluido→motor + Wv + Q (4.82)

Para poder aplicar esta ecuacion a un sistema concreto necesitaremos conocer la expresionde la energıa interna por unidad de masae y la entalpıa por unidad de masah en funcion delas otra variables termodinamicas. Recordemos del capıtulo 1 que en lıquidos perfectos y gasesperfectos la energıa interna y entalpıa son funcion de latemperatura:

• En l ıquidos perfectos

e = cT + eo, (4.83)

h = cT +p

ρ+ eo (4.84)

• Engases perfectos

p/ρ = RgT, (4.85)

e = cvT + eo, (4.86)

h = cpT + eo (4.87)

4.9.1 Aproximacion unidimensional

En un sistema con una entrada y una salida con propiedades uniformes (entrada/salida uni-dimensionales) la ecuacion (4.81) se puede escribir

Wmotor + Wv + Q =d

dt

[∫

Vc(t)

ρ(e + |v|2/2 + gz)dV

]

+[m(h + |v|2/2 + gz)

]

s−

[m(h + |v|2/2 + gz)

]

e(4.88)

donde[m(h + |v|2/2 + gz)]e,s son los flujos convectivos de energıa a traves de las superficiesde entrada (e) y salida (s).

60


Si ademas el flujo es estacionario entonces se tiene

Wmotor + Wv + Q =[m(h + v2/2 + gz)

]

s−

[m(h + v2/2 + gz)

]

e(4.89)

Utilizando la expresion de la ecuacion de continuidad para un flujo estacionario en un volumende control unidimensional, se obtiene que los flujos masicos de entrada y salida son iguales

me = ms = m (4.90)

Finalmente, la expresion unidimensional para la conservacion de energıa en un flujo esta-cionario, donde solo actuan fuerzas de volumen de tipo gravitatorio es

Wmotor

m+

Wv

m+

Q

m=

(h + v2/2 + gz

)

s−

(h + v2/2 + gz

)

e(4.91)

61

Capıtulo 5

Analisis diferencial del flujo

5.1 Introduccion

En este capıtulo veremos una forma alternativa de las ecuaciones de conservacion de lamecanica de fluidos, su forma diferencial, que se obtiene mediante transformaciones sencillasde las ecuaciones de conservacion en forma integral aplicadas a un volumen de control fijo.

5.2 Ecuacion de continuidad en forma diferencial

La ecuacion de continuidad escrita en un volumen de control(4.17) admite formas simplifi-cadas cuando el volumen de control elegido es fijo en el espacio

d

dt

[∫

Vo

ρdV

]

+

∫

Σo

ρv · ndσ = 0. (5.1)

Mediante el uso del teorema de Gauss (ver Ec.4.7) y teniendo en cuenta queVo es unvolumen de control fijo, podemos reescribir5.1en la forma

∫

Vo

[∂ρ

∂t+ ∇ · (ρv)

]

dV = 0. (5.2)

Para que la ecuacion anterior se cumpla independientemente del volumen de controlVo elegido,se debe de satisfacer en todos los puntos del espacio la identidad

∂ρ

∂t+ ∇ · (ρv) = 0, (5.3)

ecuacion que constituye la forma diferencial del principio de conservacion de la masa. Unamanera equivalente de escribir esta relacion es

1

ρ

Dρ

Dt= −∇ · v, (5.4)

dondeDφDt

es eloperador derivada sustancial

Dφ

Dt=

∂φ

∂t+ v · ∇φ, (5.5)

62

5.3. ECUACION DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN FORMA DIFERENCIAL

que expresa la variacion temporal de una magnitud escalar intensivaφ siguiendo al fluido. Elprimer termino es simplemente la variacion temporal local de la variable que estamos estudian-do. El segundo termino es la derivada convectiva, que recoge las variaciones deφ debidas almovimiento del fluido. La propiedadφ de una partıcula fluida varıa de hecho por dos causas:la no estacionareidad del campo fluido que puede resultar en una derivada temporal no nula(∂φ

∂t6= 0) y el desplazamiento de la partıcula a zonas del campo fluidodonde la propiedadφ

es diferente por existir una derivada espacial no nula deφ (∇(φ) 6= 0). Encontraremos estaexpresion del operador derivada sustancial en la derivacion de todas las formas diferenciales delas ecuaciones de conservacion.

En el caso de un fluido incompresible la ecuacion diferencial de continuidad (5.3) se reducea

∇ · v = 0. (5.6)

Por ultimo, cabe senalar que la ecuacion de continuidad correspondiente al movimiento esta-cionario de gases es

∇ · (ρv) = 0, (5.7)

esto es, la masa que abandona la unidad de volumen en la unidadde tiempo es nula.

5.3 Ecuacion de cantidad de movimiento en forma diferen-cial

Particularizando la ecuacion de conservacion de la cantidad de movimiento en un volumende control (4.39) a un volumen de control fijo se obtiene

[∫

Vo

∂ρv

∂tdV

]

+

∫

Σo

ρvv · ndσ = −

∫

Σo

pndσ +

∫

Σo

¯τ ′ · ndσ +

∫

Vo

ρfmdV. (5.8)

Al igual que hicimos anteriormente al derivar la ecuacion5.3, para derivar la ecuacion dela cantidad de movimiento en forma diferencial transformamos a traves del teorema de Gausslas integrales de superficie que aparecen en5.8en integrales de volumen. Igualando entonces acero el integrando de la integral de volumen resultante obtenemos

∂

∂t(ρv) + ∇ · (ρvv) = −∇p + ∇ · ¯τ ′ + ρfm. (5.9)

Utilizando ahora la ecuacion de continuidad (5.3) e introduciendo la derivada sustancial delvector velocidad o aceleracion convectiva como

Dv

Dt=

∂v

∂t+ v · (∇v) , (5.10)

la ecuacion diferencial de cantidad de movimiento puede reescribirse en la forma

ρDv

Dt= ρ

[∂v

∂t+ ~v · ∇(v)

]

= −∇p + ∇ · ¯τ ′ + ρfm, (5.11)

que es la expresion de la segunda ley de Newton sobre una partıcula fluida.Una forma alternativa de esta ecuacion se obtiene reescribiendo el termino~v · ∇(v)

ρ

[∂v

∂t+ ∇(|v|2/2) − v ∧ (∇∧ v)

]

= −∇p + ∇ · ¯τ ′ + ρfm, (5.12)

63

Bibliograf ıa basica

[1] F. M. White,Mecanica de Fluidos, McGraw-Hill, 5a ed, 2004.

64

Bibliograf ıa complementaria

[1] A. L. Sanchez,Procesos Fluidotermicos. Apuntes de la asignatura, Area de Mecanica deFluidos, UC3M, 2005.

[2] A. Crespo,Mecanica de Fluidos, Thomson Paraninfo, 2006.

[3] B. R. Munson, D. F. Young, T. H. Okiishi,Fundamentos de Mecanica de Fluidos,Addison-Wesley Iberoamericana, 2002.

[4] Y. A. Cengel, J. M. Cimbala,Mecanica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones,McGraw-Hill, 2006.(Contiene material multimedia de interes.)

[5] E. J. Shaughnessy, Jr., I. M. Katz, J. P. Schaffer,Introduction to Fluid Mechanics, OxfordUniversity Press, 2005.(Contiene material multimedia de interes.)

[6] R. W. Fox, A. T. McDonald, P. J. Pritchard,Introduction to Fluid Mechanics, John Wiley& Sons, 2004.

[7] J. H. Spurk,Fluid mechanics: problems and solutions, Springer, 1997.(Aunque el librocorresponde a un curso mas avanzado, algunos problemas pueden serutilies para estaasignatura.)

[8] D. J. Tritton,Physical Fluid Dynamics, Oxford University Press, 2a ed, 1988.

65

apuntes de la asignatura -...

Documents