18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 1/44Estosapuntesestnanenprocesodeelaboracin,porelloestnincompletosypuedenexistiralgunoserrores.GEOLOGAESTRUCTURALPosgradoenCienciasdelaTierra,UNAMTemario2007Juriquilla,Qro.Profesoresdelcurso:AngelF.NietoSamaniegoSusanaA.AlanizAlvarezDescripcingeomtricadelasestructurastectnicas.FracturasyfallasSimbologaynomenclaturaPartesqueconstituyenunafalla,tiposdefallasytiposdefracturasLosplanosdefracturasenlosensayosmecnicosInterpretacindelasdeformacionesfrgilesnaturales:Fallas(descripcingeomtrica).Fallasyjuntasdecizallamiento,grietasdetensinydiaclasas.FosasyPilarestectnicoscuencasenextensin.Fallasderumboodecorrimientolateralyfallastransformantes.FallasInversasycabalgaduras.Bibliografa:Twiss,R.J.,andMoores,E.M.,1992,StructuralGeology.NewYork,W.H.FreemanandCo.,p.5071Pliegues:Clasificacin,morfologa,orientacinytcnicasdeproyeccin,seccionesyperfiles.Mecanismosdeplegamiento:CapassimplesymltiplesDeformacinyestructurasapequeaescalaenpliegues.Plieguessuperpuestos.Bibliografa:Ramsay,J.G.yHuber,M.I.,1983.TheTechniquesofModernStructuralGeology,Volume2:FoldsandFractures.AcademicPress,p.309699.MercierJ.L.yVergelyP.1992,Tectonique.Gosciences,Dunod.Paris.214p.EsfuerzoIniciamosestosapuntesconelestudiodelasdeformacionesporqueenlanaturalezaloqueobservamos18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 2/44ypodemosmedirsonjustamentedeformaciones.Alintentardeformaruncuerponosencontramosqueexisteciertaresistenciaalprocesodeformante,esaresistenciapuededeberseamltiplescausas,proejemplocuandouncuerpoqueestencontactoconotropresentaunaresistenciaaldeslizamientosobelasuperficiedecontacto,lacualesconocidacomofuerzafriccionalyqueesproporcionalalafuerzaperpendicularqueactasobrelasuperficiededeslizamiento.Demanerasemejantepodemosencontrarresistenciasadesplazamientosdelaspartculasqueformanuncuerpodebidoaqueimplicanruptura,nopordeslizamientosinoporseparacindelaspartes,obienporfriccinentrepartculas.Enelcasodeladeformacincristalplstica,serequiereciertaenergaqueactiveymantengalosprocesosdetransferenciademateriaqueproducencomoresultadoladeformacin,esaenergaesintroducidaalsistemaamaneradecaloryporlaaplicacindefuerzas.Delamecnicaclsicapodemosdeducirlarelacinqueguardanlasdeformacionesconalgunasfuerzas.DeacuerdoconlaleyF=ma(siendoFunafuerza,munamasayaunaaceleracin),paraacelerar(odesacelerar)unamasacualquieraserequiereunaFuerzaquevenzaunaresistenciaacambiarsucondicindemovimiento(oreposo),queserigualalamasamultiplicadaporlaaceleracinlograda.Loanteriorejemplificalasrelacionesqueexistenentrefuerzasydeformacin,sepuedegeneralizarqueexistendostiposdefuerzasfundamentalesqueactansobrelosmediosgeolgicos:LasFuerzasdeCuerpoylasFuerzasdeSuperficie.Lasprimerasdeellassonlasqueactansobrecadaunadelaspartculasqueformanelcuerpoderocaylasdesuperficieactansobrecarasdeloscuerpososegmentosdeesoscuerpos.Enelcasoquenosocupatrataremossobrelasfuerzasdesuperficie,queeselmbitodelaGeologaEstructuralydejaremosdelado(salvoqueseespecifiquelocontrario)lasfuerzasdecuerpo,quecaenmsenelmbitodelaTectnica.Siconsideramossolamentelasfuerzasdesuperficie,entoncesresultaintuitivoquerequerimosasociardichasfuerzasalreadelasuperficiedondeactan,loquedemaneranaturalnosintroduceelconceptodeesfuerzo.Podemosdefinirelesfuerzocomolacantidaddefuerzaactuanteporcadaunidaddesuperficieyformalmenteseexpresacomo ,donde eselesfuerzoyFlafuerzaqueactasobreelreaA.Comosevermsadelanteelestadodeesfuerzosalqueestsometidounapartculaquedadefinidoporuntensordesegundoordendenominadotensordeesfuerzosyquerepresentaremoscomo .Lasconsideracionesanterioresnosllevan,porloprontoydemanerageneral,aasociarunestadodeformadoaunestadodeesfuerzos,yaquelosdesplazamientosdelaspartculasdelcuerpodeformadorequerirnfuerzasquevenzanlaresistenciaaladeformacin.Alaexpresinformaldeestacondicinladenominamosecuacinconstitutivadedeformacinesfuerzo(consideraremosenestecursosolamentelateoraelstica)yseexpresacomo ,donde esuntensordecuartoordenrelacionalinealmenteladeformacinconelesfuerzos.Dentrodelmarcodereferenciaquenosdaloanterior,nosadentraremosenalgunosdetallesdelanlisisdeesfuerzosaplicadodlasdeformacionesdeloscuerposderoca.EsfuerzosobreunplanoPartiendodeladefinicindeesfuerzomencionadaarriba,donde ,yconsiderandoqueunafuerzaesunvector,podemosverqueesposiblecambiarnuestraideadefuerzaqueestactuandosobreuna18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 3/44superficieaconsiderarunesfuerzoactuandosobreesamismasuperficie,yaquesteesfuerzoloobtendremossimplementededividirlamagnituddelafuerzaentreelreadelasuperficiedondeestactuando.Evidentemente,elesfuerzoasobtenidosertambinunvector,yaqueunvector(fuerza)multiplicadoporunescalar(rea)esigualaotrovector(esfuerzo).Sinembargosedebetenerenmentequelosesfuerzossolamentesonsusceptiblesdesertratadoscomocantidadesvectorialescuandoestnasociadosaunplano.Engeneralunestadodeesfuerzosenunacantidadtensorial,eltratamientomatemticoesigualqueenelcasodeltensordedistorsin( )yaquealigualqueeste,setratadeuntensorsimtricodesegundoordenesdecir,noexistelaparterotacional(tensorantisimtrico).Consecuentemente,unestadodeesfuerzostambinsepuederepresentarporunelipsoide.Ladeduccindeltensordeesfuerzossevermsadelante,porloprontosolamenterequerimostenerenmentesucarctertensorial.Siconsideramosunplanoqueseencuentrasometidoaunestadodeesfuerzos,latotalidaddelestadodeesfuerzos(recurdesequeesunacantidadtensorialconnuevecomponentesentresdimensiones)quedarresueltaporunsolovectoractuandosobreelplano,esdecirseresolverenunacantidadvectorialcontrescomponentesentresdimensiones.Aestevectorlodenominaremosvectortraccin.Delclculotensorialsesabequeuntensordesegundoordenesunoperadorlinealquerelacionadosvectoresaplicandoestapropiedadanuestrocaso,yrepresentandoelplanopormediodeunvectorunitarioperpendicularal,podemosobtenerfcilmenteelvectortraccin,dondeTieselvectortraccin(vectordeesfuerzo)ynjelvectorunitarioperpendicularalplanodondeactadichoesfuerzo.Comnmenteseconsiderandoscomponentesdelvectortraccinqueactansobreelplano,elvectornormal(alplano)llamadoesfuerzonormal yelvectorparaleloalplanollamadoesfuerzodecizalla .LoanteriorseilustraenlaFiguraIIIa.FiguraIIIa.Esquemaquemuestralasrelacionesgeomtricasentreelvectortraccinyunplanodefalla.Laflechaencimadelasletrasindicasucarctervectorial.Estosconceptossonespecialmenteimportantesenelanlisisdelasfallas,yaquelaresistenciafriccionalaldeslizamientoesproporcionalalesfuerzonormal ylamagnitud,direccinysentidodeldeslizamientosonproporcionalesalesfuerzodecizallamximoqueactasobreelplanodefalla .Laaplicacinacasosespecficossevermsadelante.18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 4/44TensordeEsfuerzosNota:Porconvencin,consideraremoslosesfuerzoscompresivoscomopositivosylosesfuerzostencionalescomonegativos.Entrminosgeneralesuntensoresunentematemticoquerelacionaunaciertacantidaddenmeros,denominadoscomponentesdeltensor,conunsistemadereferencia.Ennotacindesubndices,tambinconocidacomonotacintensorial,untensorseexpresacomoaijk,dondeijk... puedentomarlosvalores1,2,3,...Alnmerodesubndicesseleconocecomoordendeltensoryalnmero(n)devaloresquepuedentomarestossubndicesseleconocecomorangodelsubndice.Deestasdefinicionesresultaevidentequeunvectoresuntensordeorden1,recurdesequepuedeserexpresadocomoai.Enelcasoquenosocupaenestaseccin,estaremosutilizandoTensoresCartesianosdeSegundoOrden,loscualespuedenserrepresentadoscomoaij.Paraentenderelsignificadodeltensordeesfuerzos,imaginemosunplanodereainfinitesimalperpendicularaunodelosejesdereferencia,digamosalejeX,.Unesfuerzocualquieraqueactasobredichoplano,puedeserdescompuestoenlastrescomponentesparalelasalosejesdereferencia.Lacomponenteperpendicularalplanoserdenominada ,dondeelprimersubndiceindicaelejealcualesperpendicularelplanosobreelqueestactuando,yelsegundosubndiceelejealolargodelcualestactuandoelesfuerzo.Habrotracomponente , queactasobreelmismoplanoenladireccindeY,yunatercera, ,queactasobreelmismoplanoenladireccindeZ(FiguraIII.b).FiguraIII.b.AnlogamentepodemosobtenerlascomponentesdelosesfuerzosqueactansobreplanosperpendicularesaYyaZ,queformanlascarasdelcubomostradoenlaFiguraIII.b,conloqueobtenemosel18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 5/44totaldenuevecomponentes,lascualesdefinentotalmenteelestadodeesfuerzosqueactaenunpuntoestassoncomponentessonSilosejesdelsistemadereferenciasonrotadoshastaquelosplanosperpendicularesaellosseanasuvezperpendicularesalvectordeesfuerzosqueactasobrecadaunadelascaras,entoncesnohabresfuerzosdecizallasobrelascarasdelcuboesdecir paratodoij,quedandosolamentelascomponentesdiagonalesdeltensor.Aestascomponentesqueformanladiagonalselasdenominacomponentesprincipalesdeltensoroesfuerzosprincipalesdeltensorysonrepresentadaspor , , .Enformadematrices,eltensorenfuncindesuscomponentesprincipalesseescribe.Estaformasimplificamuchoelanlisisdelosesfuerzos,porloqueescomnmenteadoptada,especialmenteenelestudiodefallasenlaGeologaEstructuralyseutilizaparadefinirlaformadelelipsoidedeesfuerzosentrminosdelosesfuerzosprincipales,paraelloseutilizalarazndeesfuerzos .Comoseviomsarriba,esconvenienteconocerlosesfuerzosnormalydecizallaqueactansobreunplano,loscualesseobtienenfcilmenteapartirdenuestrotensorelesfuerzoenfundndelosesfuerzosprincipaleselnormalestdadopor:,yelesfuerzodecizallapor,dondeSiunelvectorunitarioparaleloalesfuerzodecizalla.Cabecomentarquecomnmenteseasumequelaestradedeslizamientosobreelplanodefallaesparalelaalmximoesfuerzodecizallasobredichoplano,conlocuallaorientacindeSilaobtenemoscomodatodecampo.Esfuerzoisotrpico,esfuerzomedioyesfuerzodesviatrico.Otrosparmetrosmuytilesparacaracterizarunsistemadeesfuerzossonelesfuerzomedio( ),isotrpico( )yeldesviatrico( ).Estosparmetrossonequivalentesalosparmetrosvistosenelcaptulodedeformacin.Considreseelsignificadodecadaunodeestosparmetros:Elesfuerzoisotrpicoestdadopor recurdesequeladeltadeKronecker(tambinllamadamatrizidentidad)tomavaloresde1parai=jyde0paraij.Representalapartedelestadodeesfuerzosaportadaporlosesfuerzosnormalesyqueesigualentodasdirecciones,obsrvesequelascomponentesdecizallafueroneliminadasal18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 6/44hacer paratodoslosijentonces,setratadeunesfuerzohidrosttico.Elesfuerzomedioquedadefinidopor ,obsrvesequeenestecasonosetratadeunestadodeesfuerzossinodeunacantidadescalarporltimoelesfuerzodesviatricoestdefinidopor ,esdecirporlosesfuerzosnoincluidosenelestadohidrosttico,dadoqueelesfuerzodesviatricocontienelapartedelsistemadeesfuerzosquesedesvadelestadohidrosttico,eselresponsabledeproducirflujodematerial.Adicionalmenteesconvenienteconsiderarelvalorabsolutomximodedesviacinquetieneelestadodeesfuerzostotalconrespectoalestadodeesfuerzoshidrosttico,alaesevalorlodenominamosdiferenciadeesfuerzosoesfuerzodiferencialyquedadefinidoporladiferenciaentrelasmagnitudesdelesfuerzoprincipalmximoymnimo,esdecir .Estevaloresmuytilcomomedidadelaintensidadconqueseimponeelesfuerzodesviatrico.CrculodeMohrparaesfuerzosEnesteapartadoanalizaremoselcasobidimensional,siesrequeridoseanalizarenclaseelcasodelCrculodeMohrentresdimensiones.Laasuncinprincipalparaelcasobidimensionalesqueelesfuerzoprincipalintermedionointerviene.EnelAnexo3sepresentaunadeduccindelaecuacindelcrculodeMohrparaesfuerzos,porelloaqunosenfocaremosensuscaractersticasmsimportantesascomosusaplicacionesmscomunes.Partamossimplementedeque ,queeslaecuacindeuncircunferenciaconcentrofueradelorigenenunsistemacoordenadosdondelosesfuerzosnormalydecizallaenlosejesxyyrespectivamente.Resultaclaroqueelvalormximodelacizallaestardadoparaelvalordondeelesfuerzonormalesigualalacoordenadadelcentrodelcrculo,comoseobservaenlafigurasiguiente.Elvalormximodelacizallaestarlocalizadoconunngulo2=90,siendoelnguloformadoentreladireccindelanormalalplanoyelesfuerzoprincipalmximo.Nteseque=45enelespaciofsicodadoqueenunespacioMohrlosngulossondobles,porejemploobsrveseque1y3formanunngulode180enelespacioMhor(FiguraIII.c.).18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 7/44FiguraIII.c.UncrculoMohrrepresentaunestadodeesfuerzos,unpuntoenlacircunferenciarepresentalasolucindelestadodeesfuerzossobreunpuntoenunplanoorientadodeacuerdoconelngulo.Lacircunferenciaensutotalidadrepresentatodoslosplanosparalelosaladireccinde2yquevaranensungulodeinclinacinconrespectoa1.Bibliografa:Bott,M.H.P.,Themechanicsofobliqueslipfaulting,Geol.Magazine,v.96,p.1112Hafner,W.1951,Stressdistributionandfaulting,BulletinoftheGeologicalSocietyofAmerica,v.62,p.373396Hubbert,M.K.,1981,MechanicsofDeformationofCrustalRocks:HistoricalDevelopmentinMechanicalbehavoirofcrustalrocks,TheHandinvolume,Carter,N.L.,Friedman,M.Logan,J.M.,GeophysicalMonograph,24,NietoSamaniego,A.F.,AlanizAlvarez,S.A.,ApuntesdeGeologaEstructural,(captuloPaleotensordeesfuerzos)Twiss,R.J.,andMoores,E.M.,1992,StructuralGeology.NewYork,W.H.FreemanandCo.,532p.(captulo8)DeformacinConsideracionesiniciales.Materialesgeolgicoscomomediosheterogneosydiscontinuos.Entrminosgeneraleslasrocassonmediosheterogneosydiscontinuos.Estosehaceevidentealanalizarsunaturalezafsicaendistintasescalas.Consideremosquelosconstituyentesdelasrocassoncristalesymatriz,surgiendoaslaheterogeneidaddelcuerporocosoenlaescalamspequea.Enotraescala,lasrocaspresentanvariacionescomposicionalesytexturalesdefinidasporlanaturalezamismadelasrocasporejemploenlasrocassedimentariaslosestratostendrncomposicionesdiferentes,pudiendoocurrirtambinvariacioneslaterales.Condicionessemejantessetienenparalasrocasgneasymetamrficas,dondeloscambioscomposicionalestantohorizontalescomoverticalessonlanorma.Paraelestudiodelasdeformacionesdeloscuerposrocosos,seanalizanlasconsecuenciasmecnicasdeloscambiosenlacomposicindelasrocas(heterogeneidades).AlcambioespacialenelcomportamientomecnicodelasrocasselodenominaAnisotropa.Unacaractersticadelasrocaseslapresenciadediscontinuidades,quesonplanosozonasquerompenlacontinuidaddelmedioejemplosdeellassondiaclasas,planosdeestratificacin,fallas,foliacionesfrgiles(pizarrosas),etc.,cuyaexistenciaestligadaalagnesismismadeloscuerposderocayasuevolucinalolargodeltiempogeolgico,yporlotantoenlaprcticapodemosconsiderarquesiempreestarnpresentesenlanaturaleza.Porloanterior,podemosdecirqueuncuerporocosoes,engeneral,anisotrpicoydiscontinuo,oquepresentadiscontinuidades.Mecnicadelmediocontinuo,porqueseaplica?.18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 8/44Enelsentidomsgeneral,paraestudiarlasdeformacionesdelasrocasseutilizandosaproximacionesdelafsica(ofsicamatemtica),unadeellaslamecnicadelmediocontinuo(continuummechanics)ylaotralafsicadelestadoslido.Laprimeradeellasenfocaelaspectogeomtricoymecnico,considerandounaescalamesoymacroscopicalasegundaseenfocasobrelosfenmenosocurridosanivelatmicoylasconsecuenciasquestostienen,considerandocambiosmineralgicos,qumicosodendolesimilarqueocurrenduranteladeformacin.EnlaGeologaEstructuralutilizamoslamecnicadelmediocontinuo,porloqueconvieneteneralgntipodedefinicinquenossirvacomomarcodereferencia:unmediocontinuo(ocontinuum)esunaidealizacindeunmedioenelquelaspartesquelocomponenestnlocalizadassinquehayahuecosentreellas,esdecir,esunagregadocontinuoadicionalmente,eltamaodedichaspartessonsuficientementegrandesparaquelascaractersticasatmicasdelmedioseannegligiblesysuficientementepequeasparaquepuedanserconsideradaspuntosqueocupanunaposicinenunsistemadecoordenadas.Lasdefinicionesdelostrminosennegritassonprecisadasmsadelante.Ahorabien,silamecnicadelmediocontinuonotrataobjetosdiscontinuoscomolosonloscuerposderocaporqueusamosestaherramienta?Larespuestaesmsdecarcterprctico:porqueesunesquematericoslidamentefundamentado,relativamentesencilloyquenospermiteunaaproximacinsuficienteparalagranmayoradelasobservacionesypararesolverlosproblemasqueenfrentamosenlaGelogaEstructural.Esmuyimportanteconsiderarque,aligualqueenelcasodeladiferenciaentrelafsicadelestadoslidoylamecnicadelmediocontinuodondeunelementodeterminanteeslaescala,enelprimercasoatmicaysubatmicayenelsegundomacroscpica,podemosconsiderarcomocontinuounmediosicontienediscontinuidadespequeasrelativasalvolumentotalqueestamosconsiderando.Entoncespodertratarunarocacomounmediocontinuosereduceaunproblemadeescala.Porejemplo,enungranitoexistennumerosasfracturaspequeasenlaescaladeloscristales,haycruceroenloscristalesysuperficiesintercristalinasqueconstituyenfracturas,todosestoselementossondiscontinuidades,peropuedenserignoradassitrabajamosenescalademetrosadecenasdemetrosypodemosconsiderarqueelcuerpoescontinuo.Elcomportamientomecnicodelgranitoserindependientedelasfracturasaescalacristalinapodemostrabajarbajoesaconsideracin.Sinembargo,siseconsideranlasdiaclasasquetpicamentehayenloscuerposgranticoscuyasdimensionessondemetrosacentenasdemetros,stastendrnungraninfluenciaenelcomportamientomecnicodelcuerpograntico,considerandolarupturacomoprocesodedeformacin,seguramenteesasdiaclasassernactivadascomozonasdecizalla(fallas)duranteladeformacinyejerciendouncontrolimportanteenelproceso.Nuevamente,sicambiamosdeescalayconsideramosladeformacindelcuerpogranticoalaescalaentredecenaskilmetrosacientosdekilmetros,esasdiclasaspodrnserignoradaspodremostratarelcuerpocomounmediocontinuo.Otracaractersticadelosmediosrocososnaturalesquenospermitenhacerusodelmediocontinuoesquelasestructurasfrgiles,quesondiscontinuidadesdelmedio,sepresentanenconjuntosdenumerososmiembrostodosellosasociadosauncampodedeformacinyconsideradosenconjuntotodosesoselementosfrgiles,esposibleaproximarelcomportamientodeunmediocontinuoestoseilustraenlaFiguraIa.Definirsiexistennumerosasestructurasqueconstituyenunsistemadedeformacinesnuevamenteunasuntodela18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 9/44escaladeobservacin.Unafallacuyasdimensionessondeunaescalacualquieraestarconstituidapornumerosasestructurassemejantescondimensionesdemenorescala.Esteaspectoescaladodelasfracturasyfallas,ydemuchosotrosobjetosgeolgicos,esmuyconocidoporlosgelogosyaqueesunaobservacincotidianaduranteeltrabajodecampo.Delasconsideracionesanterioressurge,deunamaneraintuitiva,unadelasideasfundamentalesdelageologa,elcarcterescaladodemuchosdelosobjetosgeolgicos,locualnosllevademaneranaturalaconsiderarqueunestudiomscompletodecualquierobjetogeolgicodebesermultiescalaryesecambiodeescalanospermiteutilizarlamecnicadelmediocontinuosinperdidadeobjetividad.I.2.Definiciones:MarcodeReferencia.Regindelespaciofsicoqueseconsiderafija.SistemasdeCoordenadas.Sistemadereferenciafijoconrespectoalmarcodereferencia.PuedeconsiderarseunnmerocualquieradesistemasdecoordenadasparaunmismoMarcodereferencia..Partcula.Pequeaspartesdematerial.Punto.Objetogeomtricoquesedefineporunaposicinenelsistemadecoordenadas.Posicin.Coordenadasdelpunto.Vectorposicindelpunto.Velocidadinstantnea.Vectorconorigenenunpunto,queindicaladireccin,sentidoymagnituddelmovimientodedichopunto.Campodevelocidadesinstantneas.Conjuntodevectoresdevelocidadinstantneadeuncuerpo.Tensordegradientesdevelocidad.Enuncampodevelocidadeshomogneo(lneasrectasparalelassemantienenparalelas)tenemosquelascomponentesdelvectorvelocidadestndadaspor:Estadoinicial.Conjuntodeposicionesqueguardanlospuntoseneltiempot0Estadofinal.Conjuntodeposicionesqueguardanlospuntoseneltiempot1Desplazamiento.Cambiodeposicindeunpunto.Puedeserinfinitesimal(minsculo)ofinito(grande)yessusceptibledeserrepresentadoporunvector18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 10/44quequedadefinidoporlosvectoresposicindelosestadosinicialyfinal.Encoordenadas,undesplazamientoseexpresa:,yenvectores:,dondeiyfindicanlosestadosinicialyfinal,respectivamenteFiguraIa.FiguraIa.Esquemaqueilustraelcambiodeposicindeunpuntodesdelaposicinihastalaf.Esecambiodeposicinpuedeexpresarseporelcambioenelvalordelascoordenadasxxyyydeacuerdoconlascantidadesayb,obienporelvectordesplazamiento .Campodedesplazamientos.Conjuntodevectoresdesplazamientoquemuestranloscambiosdeposicindelospuntosentrelostiempost0yt1DesplazamientoHomogneoyTraslacin.Todoslos soniguales.DesplazamientoHeterogneoTodosoalgunosdelos sondistintos.Deformacin.Cambiodeposicindelaspartculasdeunobjetoentrelosestadosinicialyfinal.Podemosrepresentarladeformacinporuncampodedesplazamientos.Deahsededucequepuedehabercambiosdeposicindelaspartculasconrespectoalmarcodereferenciaascomocambiodeposicinrelativoentreellas(distorsin).18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 11/44DeformacinLineal.Paramedirladeformacinlinealsehaceusodedistintosparmetros,losmsutilizadosenlaliteraturageolgicasonlossiguientes:Ladeformacinlinealserefierealcambiodelongitudexperimentadoporunalneadespusdeserdeformada.Estopuederepresentarsepor:Extensin(e):Eselcambiodelongitudporunidaddelongitud.Elongacin(stetch):Eslarazndelalongitudpostdeformacinconrespectoalalongitudinicial.Elongacincuadrtica().Eselcuadradodelalongituddeunalneaoriginalmenteunidad.Distorsinnaturalologartmica().Esteparmetrosurgedelaconsideracindequelaextensintotalseacumulaporlasumademuchaspequeasextensionesysedefinepor:,ysiseconsideranincrementosinfinitesimalesseobtiene:.Estamedidaestil,considresequecuandounalneaseacortaenormemente, tiendeamientrasqueetiendea1.Lavariacindeeparadeformacionesmuygrandesentrey+esmsrepresentativaquelmitesdee.Deformacinangularporcizalla(psi).Sedefinecomoladesviacinangularquesufrendosrectasoriginalmenteortogonales.Deformacinporcizalla().Sedefinecomolatangentedeladeformacinangularporcizalla:=tan.DeformacinHomognea.Ladeformacinhomogneaquedadefinidaporlassiguientescaractersticas:Laslneasparalelasenelestadoinicialsiguensiendoparalelasenelestadofinal.Laslneasparalelasenelestadoinicialpermanecenparalelasenelestadofinal.Laslneasconlamismadireccinenelcuerpodeformadotienenlosmismosvaloresdee,,,y.18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 12/44DeformacinHeterogneaLaslneasparalelasenelestadoinicialnosonparalelas(almenosalgunas)enelestadofinal.Laslneasrectasenelestadoinicialseconviertenencurvasenelestadofinal.Losvaloresdee,,,ysonvariablesparacualquierdireccindadadelcuerpoenelestadodeformado.Sepuedeverconfacilidadqueladeformacinhomogneaesuncasoespecialdeladeformacinheterogneaoseadeladeformacingeneral.Aunquedistintosgradosdedeformacinheterogneaestpresenteenlosobjetosgeolgicosdeformados,enlagranmayoradeloscasossusdeformacionesqueseaproximanmuchoalahomognea.Tambinsedebeconsiderarqueuncambiodeescalapuedehacerqueelcuerpodeformadoseaproximemuchoaladeformacinhomognea,comoseilustraenlaFiguraIb.FiguraIb.Obsrvesequeenconjuntoelcuadradohasufridodeformacinheterognea,perolasfigurasqueestndentrodelhansufridodeformacinheterogneaobienhomogneasegnsutamao.Bibliografa:Ramsay,J.G.,1967,Foldingandfracturingofrocks:NewYork,McGrawHill,568p.MarshakS.yMitra,G.,1988,BasicMethodsofStructuralGeology,PerenticeHall,446p.(Captulo15)Means,W.D.,1990,Reviewpaper:Kinematics,stress,deformationandmaterialbehavior,JournalofStructuralGeology,v.12,p.953971Marrett,R.,yPeacock,D.C.P.,1999,Strainandstress,JournalofStructuralGeology,v.21,p.10571063.DePaor,D.G.,1983,Orthographicanalysisofgeologicstructures,I.Deformationtheory,JournalofStructuralGeology,v.5,p.255278.Elliot,D.1972.Deformationpathsinstructuralgeology,GeologicalSocietyofAmericaBulletin,v.83,p.26212638.Simpson,C.yDePaor,D.,1991,Deformationandkinematicsofhighstrainzones,Shortcoursenotes,1991AnnualGSAmeetingSanDiego.ElipsoidedeDeformacin(Distorsin):Sienelestadonodeformadoconsideramosunaesfera,aldeformarelcuerpopormediodeunadeformacinhomognea,entonceselcrculosetransformarenunelipsoideaesteelipsoideselodenominaelipsoidededeformacin.Sisetrabajaenunespaciobidimensional,seobtieneunaelipse,denominadaelipsededeformacin.18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 13/44Sirealizamoslaoperacincontraria,consideramosunaesferaenelestadodeformadoyluegoretrodeformamoselcuerpohastasuestadonodeformado,entoncesobtenemoselelipsoidededeformacinrecproca.Comocualquierelipsoide,elelipsoidededeformacintienetresplanosdesimetraespecular.Lasinterseccionesdeesosplanosformanlostresdimetrosprincipalesdelelipsoide,loscualesconstituyenlasdireccionesprincipalesdedistorsin.Paraexpresardichasdireccionesseutilizacomnmentealletralambdaiyseconsideraquelaesferaoriginalfuederadiounitario,porloquelosradiosdelelipsoideestndefinidosporlaselongacionessobrelasdireccionesprincipalesi.Unparmetroquedefinelaformadecualquierelipseeslarazndesusradios,alocualseledenominaelipticidad(R),laqueenelcasodelaelipsededeformacinestdadapor: .******************************Demostracin.Ecuacindelaelipsededeformacininternaodistorsin)FiguraIc.Esquemamostrandolasrelacionesdelosdesplazamientosocurridosduranteunadeformacinhomogneadeuncuadrado.DelafiguraIc,podemosverque ,dondea,b,cydsoncoeficientesquemodificanalasvariablesxyy.Losvaloresdecadaunadeellasson: .Deloanteriorpodemosestablecerlaecuacingeneraldeldesplazamientousandonotacindesubndices.18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 14/44.EnnotacindematricesseraAhorapodemosaplicarnuestraecuacindedesplazamientoacualquierobjetogeomtrico,loaplicamosaunacircunferenciaderadiounitariocuyaecuacines ,lacualrepresentanuestroestadonodeformadoyobtenemoslaecuacingeneraldeunaelipse(seomitenlospasosdelasolucinporsimplicidad,peropuedenconsultarseenlabibliografarecomendada)******************************Tiposdedistorsin:Uniaxica:SolamenteunadireccinprincipaltieneelongacinBiaxica:Solamentedosdireccinprincipaltieneelongacintambinselellamadistorsinplana.Triaxica:Lastresdireccinprincipaltieneelongacin:Sepudeclasificardeacuerdoconlasrelacionesqueguardanlasmagnitudesdeelongacinenlasdireccionesprincipales.ConsideremosconfinesilustrativoselcasobidimensionaldeacuerdoconlasfigurasId.FiguraId.Elcrculorojorepresentaelestadonodeformado,enaseilustraunaelipsededistorsinuniaxicayenbunadistorsinbiaxica.DebeconsiderarsequeenelcasodelaFiguraIda,elcrculonoexperimentdeformacinensuejevertical,esdecirlaformaelpticanoimplicanecesariamentedeformacinensusdosejes.Estascaractersticasseextiendendirectamentealcasotridimensional.Porotraparte,delaFiguraIesevefcilmentequeenlaelipsesiempresepuedetrazaruncrculoquequedecontenidoelella,sisecomparaesecrculoconelcrculooriginaldelestadonodeformadoobtendremosuncambioderea,odevolumensiconsideramostresdimensiones.Aladeformacinqueproduceestecambiodereaovolumenlodenominamoslaparteisotrpicadeladeformacinyalresto,representadoporlaspastesdelaelipsequequedanfueradelcambiodereadelcrculo,ladenominamoslapastedesviatricadeladeformacin.Engeneral,unelipsoidededeformacinpuededeformarseporuncambiodevolumen(deformacinisotrpica)obienadquirirdosformasfundamentalesdenominadasProladacomoapareceenlaFiguraIeayObladacomoapareceenlaFiguraIfb18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 15/44FiguraIf.Unaelipsededeformacinpuedeadquirirdosformasfundmentales,decigarrodenominadaprolada(a)obiendeplato,denominadaoblada(b).LasformasdelaselipsesdedeformacinsonanalizadascuantitativamenteutilizandolosdiagramasdeFlinn(FiguraIg).Enestosdiagramassepuedenseparardominiosenlosqueseproducenestructurasplanaresyestructuraslineales,deacuerdoconlasmagnitudesrelativasdeelongacinenlosejesprincipalesdeladeformacin.Algunascaractersticasdelosdistintosdominiosserntratadasenelaula.FiguraIg.DiagramadeFlinnComponentesdeladeformacin.Ladeformacingeneraldeuncuerpoestpodemosdefinirlacomoelcambiodeposicindelaspartculasqueloconstituyen.Deestadefinicingeneralsepuedeverque,sitodaslaspartculassemuevenconrespectoaunsistemadereferencia,perosemantienensinmovimientorelativoentreellas,eseeventoquedarcomprendidodentrodenuestradefinicin.Estetipodedeformacinesuncasoespecial,cuyacaractersticaesqueelobjetosecomportacomouncuerporgido.Analizandolasmanerasenquepuedeocurrirladeformacindecuerporgido,sehaceevidentequehaydosmodosfundamentalesdeberecordarsequeenamboscasoslaspartculasqueformanelobjetomantienen18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 16/44lasdistanciasrelativasentreellas.Enmodoesenelquelosvectoresdedesplazamientodetodaslaspartculassonparalelosydelamismamagnitud,alcualselodenominadotraslacinelotroesaquelenelquelosvectoresdedesplazamientosonnoparalelosydedistintamagnitud,alquesedenominarotacindecuerporgidooEspn.Regresandoanuestradefinicingeneral,vemosquepuedeocurrirtambinmovimientorelativoentrelaspartculasqueconformanelobjetodeformado,aestoseledenominadeformacininternaodistorsin.Suexpresinmselementaleselcambioentreladistanciaqueexisteentredospartculas,quesequedaexpresadaporlaelongacin.Considrenseseparadamentedosdelaspartculasqueconstituyenuncuerpoeneltiempoto,ylaposicinqueesapartculaocupaeneltiempot1despusdeocurridaunadeformacin.Deacuerdoconlodiscutidoenlosprrafosanteriores,eldesplazamientodeesapartculapuededescomponerseenunmovimientodetraslacin,unoderotacinyunaelongacin.Siseconsiderantodaslaspartculasdelcuerpo,decimosqueelconjuntodevectoresdedesplazamientocorrespondientesalaspartculasdeesecuerpoconstituyenelcampodedeformacindeeseevento(FiguraIh).FiguraIh.Lasflechasmuestranlosdesplazamientosdevariaspartculaselcuerpodeformado.Elconjuntodevectoresdedesplazamientodetodaslaspartculasconstituyeelcampodedeformacinfinita.Unarestriccinmuyimportanteconsideradacomnmenteenelanlisisdeladeformacindeloscuerposrocososesqueelvolumensemantiene.Sabemosqueenlanaturalezahayvariosmecanismosdetransferenciadematerialyelcambiodevolumenqueocurredeberserconsideradoenalgunoscasos.Confinesdesimplicidadyclaridad,enestepuntodenuestroanlisisasumiremosqueelcuerposedeformasincambiodevolumen.Generalizandolosconceptosanteriores,decimosquelascomponentesprincipalesdeladeformacinsontres:Traslacin,Rotacin(tambinllamadavorticidad)yElongacin.Lasdefinicionesanteriorespermitenobtenerunaideaclaradeloqueesladeformacinypermitenvisualizarcmoabordarsuanlisis.Enuncampodedeformacinhomogneapodemoslocalizardosejes(tresentresdimensiones)alolargodeloscualesocurrenelmayoralargamientoyelmayoracortamientoesdecir,elongacionesmayoresymenoresqueuno,respectivamente.Porloprontoconsideraremossolamentedosdimensiones,entoncesesosejescorrespondenalosejesprincipalesdelaelipsededeformacinyalos18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 17/44eigenvectores(vectorescaractersticos)deltensordedeformacinysondenominadosejesprincipalesdeladeformacin.Considerandolamaneraenqueocurreladeformacinconrespectoalosejesdeladeformacin,podemosclasificarlaendeformacincoaxialoirrotacionalydeformacinnocoaxialorotacional,mscomnmentedenominadasenGeologaEstructuralcomoCizallaPurayCizallaSimple(estaltimaesenrealidaduntipoespecialdedeformacinrotacional),respectivamente.Cualquierdeformacinhomognea(recurdesequesondeformacionessincambiodevolumen)podemosdescomponerlaenunaCizallaPurayunaCizallaSimple.Pasemosadefinirlascaractersticasdeestostiposdedeformacin.EnlaCizallaPuralaslneasmaterialesparalelasalosejesprincipalesdeladeformacinnorotarn,solamentesernelongadasporelloesaslneasmaterialespermanecernparalelasalosejesprincipalesdeladeformacinconformeestaporestacaractersticasedenominacoaxialaestetipodedeformacin.Todaslasdemslneasmateriales,esdeciraquellasquenocoincidenconlosejesprincipalessernrotadasyelongadasendistintosgrados,dependiendodesuposicinenelcuerpodeformado.ElcampodedeformacinenunaCizallaPuraessimtricoconrespectoalosejesprincipalesdeladeformacin(simetraortorrmbica),porloquesisumamostodaslasrotacionesqueocurrenalinteriordelcuerpoelresultadoserceroesdecirlasrotacionesseanularndadalasimetradelsistemayaselcuerpoensuconjuntonoexperimentarrotacindeahsudenominacindedeformacinirrotacional.***********************************DeduccinCizallaPura:FiguraIiDeacuerdoconlafiguraIi,considerandolaaristahorizontalsuperiordelcuadradoquesedeformaarectngulo,laelongacin(S)deesaaristaestdadaporlaraznDef_x/Undef_x=S,quedeacuerdoconlasdefinicionesyavistastambinesigualaS=(1+e),dondelaextensinestdadapore=(def_xUndef_x)/Undef_x.Deaqusedesprende,deacuerdoconlafiguraquelaecuacindetransformacindexes18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 18/44x=(e+1)x+0y.Ahoraobtengamoslaecuacindetransformacinparay.Paraelloconsideremosquelacizallapuraesunadeformacindondesemantieneconstanteelvolumen,porlotantoAcuad=Arect.Elreadelrectnguloes(Def_x)(Def_y)ysertambinigualalreadelcuadrado,porloquepodemosescribir(Def_x)(Def_y)=(Undef_x)(Undef_y),yentonces(Def_x)/(Undef_x)=(Undef_y)/(Def_y),ydeacuerdoconlodefinidoarribaparalaelongacintambinpodemosescribir(e+1)1=(Def_y)/(Undef_y)Lacoordenadaenydespusdeladeformacinparaelpuntoanalizadoesproporcionalalaelongacineindependientedelacoordenadax,porloquepodemosescribiry=0x+[1/(e+1)]y.Delasecuacionesdetransformacindeducidaspodemosobtenerlamatrizdetransformacinparalacizallapuraapartirde,lacualser:***********************************EnlaCizallaSimple,laslneasmaterialesrotanpasandoatravsdelosejesprincipalesdeladeformacin.Lasnicaslneasmaterialesquenorotansonaquellaslneasmaterialesparalelasaladireccindelacizalla.ElcampodedeformacinproducidoporlacizallasimpletieneunasimetramenorqueelproducidoporlaCizallaPura.ConsidreseeldibujodelaFiguraIj,dondelosplanosconsimetraespecularobtenidaparaladeformacinporCizallaPurasehanperdidoysesloseconservaelejedesimetraconrotacinde180perpendicularalplanodelsistemadecoordenadas.Obsrvesetambinquetodaslasrotacionesdelaslneasmaterialessonconsistentesconelsentido(horariooantihorario)delacizalla.Slolaslneasmaterialesparalelasalacizallapermanecensinelongarseytodaslasdemsexperimentarnalargamientooacortamientosegnsoposicinentrodelcuerpo.EnlaCizallasimple,aunquelosejesprincipalesdeladeformacinpermanezcanconlamismaorientacinduranteladeformacin,durantecadaetapainstantneasernlneasmaterialesdiferenteslasquesernparalelasadichosejesprincipales.UnadeformacinproducidaproCizallaSimplesepuedeobtenersiaplicamosunacizallasimpleysobreellaunarotacindecuerporgidoadecuadas.Esteconceptoresultatilparafinesprcticosenelestudiodeloscuerposderoca,yaqueenescalasdeterminadasesposibledefiniraquelloscuerposquesecomportaroncomorgidosduranteunadeformacinydeesamanerapodemossepararaquellasrotacionesquefueronproducidasduranteladeformacinporcizallasimpledeuncuerpo,acomodadapormecanismosdedeformacinqueocurrenalinteriordelcuerpodeformado,ylarotacindelcuerpocomountodo.18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 19/44***********************************Deduccindelamatrizdetransformacinparalacizallasimple:ConsidreselaFiguraIj,dedondeseobtieneque ycomosedefiniconanterioridadque,podemosescribir .Figura.IjUsandounsistemadecoordenadasconelejexparaleloaladireccindelacizallaelcambiodeposicindeunpuntocualquieradebidoalacizallasimpleestardefinidocomo,dedondeobtenemoslamatrizdetransformacinparalacizallasimple.***********************************Amaneradesntesisconsidrenselasclasificacionessiguientescomounaguaparaidentificarlascomponentesdeladeformacinobservadaenloscuerposderoca.Clasificacin(a)(a)Traslacin(b)VorticidadoRotacin:Espn(rotacindecuerporgido)RID(Rotacininducidapordistorsin)(c)ElongacinClasificacin(b)Componentesdecuerporgido:a)Traslacin.b)EspnComponentesdecuerpodeformado18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 20/44a)ElongacinRID(Rotacininducidapordistorsin)Comportamientodeelementosestructuraleslinealesyplanosduranteladeformacin.Bibliografa:Tolson,G.1992,CizallaSimplementePura,CizallaPuramenteSimpleyCombinacionesdeAmbas:LasMatemticasdeDeformacinysuAplicacinalaGeologaEstructural,UnidadTerica,PosgradodeGeofsicaRamsay,J.G.,1967,Foldingandfracturingofrocks:NewYork,McGrawHill,568p.ParticindelaDeformacin.Paradeanalizarlaparticindeladeformacinsobefallasyfracturasrequerimoshacerunasconsideracionesprevias:Paraanalizarladeformacinquegenerallasfallasconsideraremosaunafallacomounsistemadedeformacinqueconsistedeunplano(planodelafalla)ydevectordedeslizamientoqueactasobredichoplano.Esesistemadedeformacinliberarnecesariamentedeformacinbidimensionalrotacional.BidimensionalporquenohabrelongacinenunadireccinperpendicularalvectordedeslizamientoylocalizadasobreelplanodelafallayrotacionalporqueelcuerpoexperimentarunarotacinensuconjuntosobreunejeperpendicularalvectordedeslizamientoyenunsentidocompatiblecondichovectorloanteriorseilustraenlaFiguraIl.FiguraIl.Seilustraelsistemadedeformacingeneradoporunasolafalla.Enasepuedededucirquenohabrdeformacinperpendicularalvectordedesplazamiento,mientrasqueenbseobservalarotacinproducidaporeldeslizamiento.Siconsideramoselcasogeneraldeunadeformacinbidimensionalrotacionalydeacuerdoconloexpuestoanteriormente,esperamosqueexistaunsistemadecizallaqueliberemseficientementedichadeformacin,pormediodeunafallaconvectordedeslizamientooblicuo.Supngaseahoraqueelplanodefallaalolargodelcualseliberarladeformacinyaexiste,estoquieredecirquelasorientacionesdelosvectoresdedeslizamientoestnsujetasalaspermitidasporlasuperficiedelplanodefalla(aquellasqueestncontenidasel18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 21/44l).Paraliberarladeformacinconunsolosistemadecizalla,elvectordedeslizamientodeberserperpendicularaladireccinprincipaldeelongacinnula,comosemostrenlaFiguraIl.Sinembargo,dadoquelaorientacindelplanoyaestdeterminada,esposiblequelasdireccionespermitidasimpidanlaliberacintotaldeladeformacinimpuesta,obienquehayaotrossistemasqueliberenladeformacindemaneramseficiente.Siesteeselcasoseproducirnnuevossistemasdecizallasobreotrafallaexistente,obiensepuedengeneralnuevasfallas,ytodoslossistemasactuarnsimultneamenteparaacomodarladeformacindelamaneramseficiente.Cuandoestoocurresedicequeladeformacinhasidoparticionada.FiguraIm.Modeloidealizadodedosfallasqueparticionanunadeformacinplanarotacional.Lasvariablescrticasson:losngulosdeconvergencia(acortamiento)yelngulodeinclinacindelafallabusante.Obsrvesequeladireccindedeslizamientosoberlafallaverticaleshorizontalmientrasqueenlafallainclinadaesoblicua.Sehanpropuestovariasmanerasdemedirlaeficienciarelativadelossistemasdecizalla,engeneralseasumequeseactivarnaquellossistemasdecizallacuyasumaminimicelaenergadisipada(olacantidaddecizalla).Considreseporejemploelcasodeunplanoinclinadoyunovertical,queenunesquemadetectnicadeplacasocurrecomnmenteenzonasdeconvergenciaoblicua(FiguraIm).Enlaliteraturaalrespecto,comnmenteseasumequelafallaverticaltendrundesplazamientodetipolateralylafallainclinadaundesplazamientodetipoinversouoblicuo.Loanteriorsebasaenobservacionesrealizadasennumerosaszonasdeconvergenciaoblicua(e.g.Jones,C.H.,andWesnousky,S.G.,1992,VariationsinstrengthandslipratealongtheSanAndreasFaultSystem:Science,v.256,p.8386).Sehacenecesariodefinirunavariablegeomtricaqueminimicelaenergadisipada,porejemplosepuedeelegirelnguloformadoentreelvectordedeslizamientoylahorizontal,medidosobreelplanodelafallainclinada.Entoncessebuscaunaecuacindelaforma,siendo,donde eselvectordeconvergencia, elnguloentreelvectordeconvergenciayelrumbodelasfallas,elechadodelafallainclinada.Puedenutilizarseotrasvariablesqueseconsiderenadecuadasalmodelocinemticoqueseestanalizando.Estosesquemasdeparticindeladeformacinsonbastantergidosyaqueimponennumerosasrestriccionesalmodelocinemtico.Unaaproximacinmsgeneral,annoexplorada,eselusodelateorade18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 22/44deformacinplsticapordeslizamientosobreplanos(gliding)propuestaporTaylor(1938)yBishop&Hill(1951).EstateorafueaplicadaporOertel(1965)paraexplicarlasfracturasformadasenpastelesdearcillayporReches(1978)paraexplicarelorigendelospatronesortorrmbicosdefallas,loscualessegeneranencamposdedeformacintridimensionalirrotacional.Actualmente,enelInstitutodeGeologadelaUNAM,sedesarrollaunproyectodeinvestigacinsobrelaaplicacindeestateoraauncuerpoderocaquecontienevariosplanosdedebilidadsusceptiblesdeliberarladeformacin.Basadosenestateora,sepodrnconsiderarenelanlisiscinemticounnmeromsgrandedesistemasdecizalla,representadosporfallasenelcasodelacortezaterrestre.Elmodeloasumirqueserpreferidaaquellacombinacindesistemasdecizallaqueacomodeladeformacinimpuestaconelmnimodeenergadisipada.Sepodrconsiderarquelasfallastienendeslizamientosimultneo,oqueseactivaronporgruposenfasesdistintasdeuneventodedeformacin.Actividadesadesarrollarenelaula:1.UsodelprogramaFluDef.Explicacinymanipulacinparaentendersufuncionamientoyfamiliarizarseconsumanejo.2.Calcularlascomponentesdelamatrizdedeformacinparaloscasossiguientes:Unadeformacinisotrpicaconcambiodevolumende+50%.Unarotacindecuerporgidode225ensentidodelasmanecillasdelreloj.Unacizallasimplequeproduzcaunarotacinde25enelsentidodelasmanecillasdelreloj.Unacizallapuraqueproduzcaunaelongacinde150%enlahorizontal.Simularladeformacinqueproduceunafallanormalcondeslizamientoigualal25%delaaristadelcuboquedeforma.Bibliografa:Jones,C.H.,andWesnousky,S.G.,1992,VariationsinstrengthandslipratealongtheSanAndreasFaultSystem:Science,v.256,p.8386.Kostrov,B.V.1974,Seismicmomentandenergyofearthquakes,andseismicflowofrock:Izv. Acad. Sci. USSR Phys. SolidEarth,v.1,p.2344.Krantz,R.W.,1988,Multiplefaultsetsandthreesimensionalstrain:theoryandapplication:JournalofStructuralGeology,v.10,p.225237.NietoSamaniego,A.F.,Alanizlvarez,S.A.yLabartheHernndez,G.,1997,DeformacinCenozoicaenlapartesurdelaMesaCentral,Mxico,RevistaMexicanadeCienciasGeolgicas,v.14,p.1325.Reches,Z.,1978,Analysisoffaultinginthreedimensionalstrainfields.Tectonophysics,v.47,p.109129.Reches,Z.,1983,Faultingofrocksinthreedimensionalstrainfields,II:Theoreticalanalysis.Tectonophysics,v.95,p.133156.II.6.TensordedeformacinParaelestudiodeladeformacinutilizandoelclculotensorialesconvenienteestablecerladiferenciaentreladeformacininfinitesimalyladeformacinfinita.Decimosqueunadeformacininfinitesimalesaquellaextremadamentepequeayquepodemosasociarconunfenmenoinstantneo.Elanlisisdeladeformacininfinitesimaltienelaventajadesersencilloypodemosconsiderarenmuchoscasosqueseajustaalanaturalezaporsermuypequeaenrelacinconlaescaladetrabajo.Ladeformacininstantneatambinesunaformade18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 23/44expresarladeformacininfinitesimalytienelaventajadepermitirnosconocerquesucededuranteeleventodedeformacin.Porotraparteladeformacinfinitaserefiereadeformacionesgrandes,quesededucendelosestadosinicialyfinaldedeformacinentreloscualesseconsideraocurrilatotalidaddeleventodeformacional.Lostensoresdedeformacininfinitesimalyfinitasonsemejantes,sinembargotienendiferenciasimportantesquesevernposteriormentealadeduccindeltensordedeformacininfinitesimal.FiguraIk.Esquemadeunadeformacingeneral.Seasumequelospuntossemovieroncomoloindicanlosvectoresdedesplazamiento.ConsidreselaFiguraIk,enellaseobservaqueuncuerpocualquierahasidodeformadoyanalizaremosloqueocurreadospuntosdentrodeesecuerpo.LospuntossonP(xi)yQ(xi+dxi)esospuntosdespusdeladeformacinpasanaP(x+ui)yQ(xi+dxi+ui+dui).Dondeuiyui+duisonlosdesplazamientosdePyQrespectivamente.Dadoqueladeformacininternadeuncuerposerefierealcambiodeposicinrelativadelaspartculasqueloconstituyen,podemosutilizarcualquieradeellasparadefinirelvectordetraslacindedichocuerpoennuestrocasoelegimosuicomolacomponentetrasnacionaldelcuerpo,queesigualparaambospuntos,yentoncesduiesladiferenciadedesplazamientoentreambospuntosinducidaporlaelongacinylarotacin.Asumamosahoraquelaspartculassonadyacentesyquelasdiferenciasdedesplazamientosonmuypequeas,tambinquelosdesplazamientossonunafuncincontinuasobrelostresejescoordenados,entoncespodemosconsiderarqueelvectordesplazamientoyenconsecuenciasuscomponentesvarandemaneracontinuasobrecadaunodelosejesxi,porlocualpodemosescribirlaecuacindeltensordegradientesdedesplazamiento,delaquepodemosobtenereldesplazamientodiferencialentredospuntoscualquieradelcuerpoesedesplazamientodiferencialrepresentaladistorsindelcuerpo.Untensorasimtricodesegundoorden,comoloeseltensordegradientesdedesplazamientosiemprepuederepresentarse(odescomponerse)enlasumadeuntensorsimtricoyunoantisimtrico.Untensorsimtricoes18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 24/44talqueaij=ajiyunoantisimtricoaquelenqueaij=aji,porloquepodemosescribiraij=(aij+aji)+(aijaji),queennuestrocasoserEnnotacindematriceseltensorasimtricodeladistorsinseescribe:,dondelamatrizdetransformacinesuntensorasimtrico,elcualpodemosdescomponerloenunosimtrico,enelcuallostrminosqueestnquetienenyocupanposicionesopuestasenlamatriztienenigualvalor.Aestetensorlodenominamostensordedistorsinylodefinimospor .Laparteantisimtricaser,ntesequeladiagonalesceroaestetensorlodenominamoseltensorderotacinodevorticidadylodefinimoscomo .Regresandoanuestroplanteamientoinicial,laexpresintotaldeladeformacinser:Enestaexpresinpodemosverqueseencuentranseparadaslascomponentesdeladeformacinquesevieronanteriormentedesdeunpuntodevistageomtrico,estassonlaspartesdetraslacin,dedistorsinyderotacin.Sirequiriramosanalizarelcambiodeposicindeunsolopuntonosbastaraconlapartedetraslacinuisiconsideramoselcasoirrotacionaldeladeformacin,porejemploenungrabensimtrico,requerimos18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 25/44solamenteeltensor ysiconsideramosuncasorotacional,comoeseldeunasolafallaoungrabenasimtricorequerimosamboseltensordedistorsinyelderotacin .Cuandoanalizamoselelipsoidededeformacinvimosquesepuedeidentificarunaparteisotrpicadeladeformacin,ascomounadesviatrica,lascualesseidentificaronusandolaelipsededeformacin.Laexpresinmatemticasdeestasdoscomponentesdeladeformacineslasiguiente:DefinamosprimeroladeltadeKronecker,esunoperadordenominadoporlaletra ,yquetienalapropiedadedeseriguala0paratodosloscasosenqueijyadquiereelvalor1paratodosloscasosenquei=j.Entoncesdefinimoslaparteisotrpicacomo(recurdesequelaconvencindesumanosdiceque a seleconocecomoladilatacincbica).Ylapartedesviatricaserladiferenciadelaparteisotrpicaconladistorsintotal,lacualrepresentaelcambiodeforma,yestdadapor.Confinesdidcticosreduciremosadosdimensioneslosejerciciosenelaula,conlocuallostensorestendrnsolamentecuatrocomponentes.Nota:Paraunentendimientomscompletodelsiguienteapartadoserecomiendalalecturacomplementaria01(Anexo)(NietoSamaniego,A.F.,1996,Principiostericosdelfallamientofrgilporcizalla.ParteI:ladeformacinbidimensional:UninGeofsicaMexicana,Geos,v.16,p.146151).Adicionalmente,puedeestudiarlalecturacomplementaria02(Anexo),enelquesededuceelCrculodeMohrparaelestadodeformado,estaherramientaesmuytilenelanlisisdelasdeformaciones,aunquenoestancomnsuuso.Bibliografa:Means,W.D.,1990,Reviewpaper:Kinematics,stress,deformationandmaterialbehavior,JournalofStructuralGeology,v.12,p.953971Fossen,H.,yTikoff,B.,1993,Thedeformationmatrixforsimultneoussimpleshearing,pureshearingandvolumechangeanditsapplicationtotranspressiontranstensiontectonicsRamsay,J.G.,1967,Foldingandfracturingofrocks:NewYork,McGrawHill,568p.Mecanismosdedeformacin.Bibliografa:Means,W.D.,1995,Shearzonesandrockhistory,Tectonophysics,v.247,p.157160.Twiss,R.J.,andMoores,E.M.,1992,StructuralGeology.NewYork,W.H.FreemanandCo.,p.507118/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 26/44Anlisisfenomenolgicodelarespuestadelasrocasalesfuerzo.CriteriodeCoulombEnunaprimeraaproximacinpodemossuponerqueuncuerposeromperporcizalla(diaclasasdecizallayfallas)debidoalesfuerzodecizallayporelloalolargodeplanoquecontengaaste.Deahsedesprendeunaprimeraideadequelarupturaocurrirdondelacizallaseamxima(lapartemsaltadelcrculodeMohr).Sinembargo,paraqueeldeslizamientoocurraporcizallahayquevencerlafuerzafriccionalqueseresistealdeslizamientoentrelosplanos,yrecordemosqueestafuerzafriccionalesproporcionalalesfuerzonormalaplicado,elfactordeproporcionalidadesconocidocomocoeficientedefriccininterna.Entonces,larupturaporcizallaocurrirendondelarelacinentreelesfuerzodecizallaqueinduceeldeslizamientoigualealafuerzafriccionalqueimpideeldeslizamiento.Expresandoloanterioramaneradeecuacinescribimos,,donde eselcoeficientedefriccininternadelcuerpo.EnelespacioMhorlaecuacinanterioresunarectaquepasaporelorigenyquetieneunapendienteigualalvalordelcoeficientedefriccininterna.Laexperiencianosdicequeunarocapresentarunaresistenciaalarupturaporcizallaaunquenoexistaesfuerzonormal,aesevalordelacizallaseleconocecomocohesin,ydeberservencidoporlacizallaparaquetengalugarlafractura.Considerandoloanteriorpodemosescribir:,aestaecuacinseleconocecomoelcriterioderupturadeCoulombylainterpretacindadasurgeenrealidaddedatosexperimentales.Sisesometeunaprobetaaunestadodeesfuerzosconunesfuerzonormalmediodeterminadoysemodificaladiferenciadeesfuerzoshastaalcanzarlaruptura,yeseexperimentoserepiteparavariosvaloresdelesfuerzomedio,entoncestrazandolaenvolventealoscrculosdeMohrobtendremosunarectaquesatisfacelaecuacindescritaarriba,comosemuestraenlafigurasiguiente(FiguraIII.d.).Losvalorescy caracterizanunmaterialysonsusparmetrosderupturaalacizalla.FiguraIII.d.AhoraconsidresequeconocemoslaenvolventedeMohrparunarocadeterminadasometidaaunestadodeesfuerzoscualquieraQumodificacionesdelestadodeesfuerzospodraproducirlarupturadeesa18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 27/44roca?SiobservamoslaFiguraIII.c.podemosdeducirqueelcrculodeMohralcanzaralaenvolventesiseaumentasuficientementeelradiodelacircunferencia,estoequivaleaaumentarladiferenciadeesfuerzos,queeselvalormximodelesfuerzodesviatricoanalizadoconanterioridad.Porotrapartetambinalcanzaremoslaenvolventesi,manteniendoladiferenciadeesfuerzostrasladamoslacircunferenciahaciaelorigendelsistemadecoordenadas,loqueequivaleadisminuirelesfuerzonormalqueactasobrelosplanospotencialesderuptura.Considreseahoraqueyaexisteunplanoyqueremosanalizarcundoocurrirdeslizamientosobrel.ElcriteriodeCoulombdeldeslizamientosobreunplanotienelamismaformaqueelderupturaporcizalla,esdecir,dondeceslacohesinqueexistesobreelplanoy elcoeficientedefriccindelplano.Ahorabien,sienelplanoexisteunapresindefluidos(f),esapresinsoportarpartedelesfuerzonormalqueestsiendoaplicadosobreelplanodedeslizamiento.Aladiferenciaentreelesfuerzonormalaplicadoylapresindefluidosenelplanoseledenominaesfuerzonormalefectivoyconstituyeelesfuerzorealaplicado,porloquenuestraecuacinsevemodificadacomosigue:.Obsrvesequeunaumentoenfequivaleaunadisminucinden.Tpicamentelosvaloresdecy sonmenoresquelosdecy ,aunquenosiempretienequeseras.Porejemploenunafracturaabiertacserceroysihaymaterialdefallacomosalbandaobrecha,sucohesinsermuchomenorqueladelarocasanaalgosemejanteocurreconlafriccin,aunqueentrminosgeneralesloscoeficientesdefriccindedosparedesderocasanatienencoeficientesdefriccinsemejantesaelcoeficientedefriccininternadelarocaintacta,silafallaestrellenaconmaterialesarcillosos,loqueesmuycomn,yespecialmenteenloscasosdecontenermontmorillonitaoilita,tendrncoeficientesdefriccinbastantemsbajosqueelcoeficientedefriccininternadelarocaintacta.EnunespacioMohr,larectadeCoulombdeunafallapreexistenteserunalnearectaquecortaalacoordenadaverticalenunpuntomsabajoquelaenvolventedeCoulombyposiblementeconunapendienteunpocomenor(FiguraIII.e).FiguraIII.e.Elarcodequeselocalizaentrelasrectasderupturaydedeslizamientosobreunplanoconstituyeunazonadeinestabilidad,enlaquelosplanosconesasorientacionesyqueseencuentrensometidosalestadodeesfuerzosrepresentadosporelcrculodeMohrocurrirdeslizamientosinquesealcancelarupturadelmaterial18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 28/44sano.Estaesunasituacincomnenlanaturalezayaquesiempreexistenplanosdedebilidadenlasrocas,porejemplofoliaciones,diaclasas,planosdeestratificacin,fallaspreexistentes,etc.Ejerciciosenclase:DibujeuncrculodeMhorparalossiguientesestadosdeesfuerzos:a).Presinhidrostticacualquiera.b).Unestadodeesfuerzosconelesfuerzoprincipalmnimoigualacero.d).Unestadodeesfuerzosconelesfuerzoprincipalmnimotensional(negativo).e).Unestadodeesfuerzosquenoalcanzalaenvolvente.Expliquequepasarenesecasoconlaprobeta.f).Unestadodeesfuerzosquerebasalaenvolvente.Expliquequepasarconlaprobetaenesecaso.g).Cmointerpretaraunaenvolventehorizontal?h).Entremayorsealapendientedelaenvolventecmoserelnguloderuptura?i).DibujeunesquemaenespacioMohrilustrandounaumentoenlapresindefluidosyotroilustrandounadisminucinenlapresindefluidos.j).QuepasaalcrculodeMohrdeunestadodeesfuerzoshidrostticosiaumentalapresindefluidos?ComportamientodelasrocasalsersometidasaesfuerzoLasrocassonmaterialesquetienendoscararactersticasmuyimportantesparasucomportamientoaladeformacin,setratadematerialespolicristalinosconmineralesdedistintascomposicionesycontieneplanosdedebilidadquevandesdezonasconcomportamientoreolgicodistintohastafracturasabiertas.Lasrocaspresentasndoscomportamientosaladeformacinenlamacroescala,frgilydctil.Ladiferenciaesqueenelprimeroocurrefracturamientodelmaterialesdecirelmaterilpierdelacohesinenalgunasdesuspartesyenelsegundosedaelcambiodeformasinquehayaprdidadecohesindelmaterial.Losmecanismosdeunoyotrotiposdedeformacinnoserntratadosaqu,solamenteapuntaremosalgunasdesuscaractersticasprincipales.Losfactoresquetienenmayorinfluencia(nolosnicos)paradeterminarsiladeformacinserfrgilodctilsonlapresin,latemperatura,lavelocidaddedeformacinylapresenciadefluidos.Ladeformacindctilocurredevariasmaneras,unaespordeformacinfrgil(deslizamientosobreplanos)enescalasmenoresaladeobservacinydeesamaneranohayprdidadecohesinalaescalaobservada,estetipodedeformacinlotenemosdemaneradominanteenelplegamientodecoberturaotraesportransferenciadematerialvadisolucinprecipitacin,quecomnmenteseasociatambinalosfenmenosdeplegamiento,ypordeformacincristalplstica,queesladominanteenlosprocesosdedeformacinconmetamorfismoasociado.Ladeformacinfrgilesunfenmenocontroladofundamentalmenteporlapresin,oporlafriccinsegnsequieraver,recurdesequelafuerzafriccionalesproporcionalaelesfuerzonormalporotrapartelosprocesoscristalplsticossonfenmenoscontroladosporlatemperatura(tipoArrenius).EnunesquemasimplificadoperoilustrativocomoelquesemuestraenlaFiguraIII.f,sepuedeverificarqueespecificadaslascondicionesdetemperaturaypresenciadefluidos,cambiosenlavelocidaddedeformacinpuedeproducirdeformacinfrgilodctil.18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 29/44FiguraIII.f.Silavelocidaddedeformacinvsuperaalavelocidadconqueocurreelprocesodedisolucinyprecipitacin,sedarlafracturadelmaterial.Ambasvelocidadespuedentenervariacioneseneltiempo,porloquepuedepresentarseunasuperposicindeambostiposdedeformacin.ElcasodeladeformacincristalplsticaesanlogoaldelaFiguraIIIf,siendoenesecasolatemperaturalaquepermiteunamayorvelocidaddedeformacinporprocesoscristalplstico.Losplanosdedeslizamientoenensayosmecnicos.Cuandounarocaessometidaacompresin,tienenlugarunaseriedefenmenosqueculminanconlafracturadelmaterial.Elresultadodependerdelascondicionesenlasqueserealizaelexperimento.EnlaFiguraIII.gsemuestranlosresultadostpicosparadistintoscasos.FiguraIII.g.Fracturasproducidasenprobetasbajodistintascondiciones.1enausenciadepresinconfinantesegeneralfracturasporextensin(splitting),2encondicionesdeconfinamientoseproducenfracturasdecizalla(tipoCoulomb),3conunapresinconfinantealtaseproducenfracturastipoCoulombperolaprobetaexperimentaciertogradodedeformacindctil,4enunapruebadetensinseproducenfracturasporextensin.Siseiniciaconunaprobetasana,enrespuestaaladeformacin(oalosesfuerzosaplicados)seiniciaelcrecimientodepequeasmicrofracturasapartirdelosdefectosexistentes.Todaslasmicrofractrurascrecenpormediodelapropagacindefracturasdetensinenlaspuntasdelosdefectos(FracturasTipoI)yduranteelprocesoocurreelenlacedeaquellasqueseencuentrancercanas.Sobrelasfracturasmayoresseresolverunesfuerzonormalyunodecizallasegnestnorientadasyhabrmayorpropensinaldeslizamientoenaquellasorientadasadecuadamenteconrespectoalsistemadeesfuerzosgeneral(comoyaseanalizconanterioridad)aslasfracturasorientadasmsfavorablementecrecernmsrpidoyelprocesoculminarconlaformacinde18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 30/44fracturasmayoresconorientacinCoulombquerompenlaprobeta.Bibliografa:Stearns,D.W.,etal.,Understandingfaultingintheshallowcrust:ContributionsofselectedexperimentalandtheoreticalstudiesMarshakS.yMitra,G.,1988BasicMethodsofStructuralGeology,PerenticeHall,446p.(Captulo10)Scholz,C.,ThemechanicsofEarthquakesandfaulting,CambridgeUniversityPress,Atkinson,K.,FractureMechanicsofrocks,AcademicPressGeologySeries(captulos1y2).LosdominiosdeladeformacingeolgicaLaszonasdecizallasepresentanenlacortezadedosmodosextremos,amaneradefallasfrgilesycomozonasdedeformacindctil,enamboscasosformancuerposaproximadamentetabulares.EnlaFiguraIII.hsemuestraladistribucinconlaprofundidadqueseobservaenlasfallas,staspasandeserzonasdedeformacinquebradizaenlapartesuperiordelacorteza,formandorocaspocoonocohesivascomolasbrechas,salbandasycataclasitasaunazonadedeformacindctildondeseformanmilonitas,entreestosdosdominiossepresentaunazonadetransicindondecoexistenambostiposderocas.Lazonadetransicinselocalizaentre12y15kmaproximadamente.FiguraIII.h.Esquemaquemuestralosdominiosdeladeformacinfrgilydctilsegnlaprofundidadytemperaturaenlacorteza,tambinsemuestraeltipoderocadefallaqueeformaylasfaciesmetamrficas.EnlaFiguraIII.imuestraladistribucindelaresistenciamximadelasrocascorticalesalesfuerzodesviatrico,paralascondicionesdetemperaturaypresindefluidosindicadasenella.Porejemplo,unarocapuederesistirhasta200MPaaprofundidadesaproximadasdeentre4y17km,amenorprofundidadsefracturarformandounafallafrgil,yamayorprofundidadsedeformardctilmenteformandounazonamilontica.Obsrvesequeselocalizalazonadetransicinfrgildctilentrelos12y15kmdeprofundidadaproximadamente.18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 31/44FiguraIII.i.Grficaquemuestralaresistenciadelacorteza.ObsrvesequesepuedendeducirlosdominosdelasdeformacionesfrgilydctilmostradosenlaFiguraIII.h.Bibliografa:Sibson,R.H.,1986,Earthquakesandrockdeformationincrustalfaultzones,Ann.Rev.EarthPlanetSci,14,149175NietoyAlaniz,ApuntesdeGeologaEstructural,Geometradefallasaprofundidad.Wiseetal.,1984,Faultrelatedrocks:Suggestionsforterminology,Geology,v.12,p.391394Schmid,S.M.andHandy,M.R.,1991.Towardsageneticclassificationoffaultrocks:Geologicalusageandtectonophysicalimplications,Controversiesinmoderngeology.AcademicPressLimited,pp.339361.LadeformacinfrgildelosmediosrocososdiscontinuosLaactivacindelasfallasexistentesCriteriosdedeslizamientoyorientacindeldeslizamientosobreplanospreexistentesCinemticadefallasenunmediorocosofracturadoBibliografa:AlanizAlvarez,S.A.,yNietoSamaniego,A.F.,1997,Representacingrficadelosdominiosderupturaydeslizamiento:aplicacinalaFalladeOaxaca,Mxico:Univ.Nal.Autn.Mxico,Inst.Geologa,RevistaMexicanadeCienciasGeolgicas,v.14,p.2637.Morris,A.,Ferril,D.A.,yHenderson,D.B.,1996,Sliptendencyanalysisandfaultreactivation,Geology,24,p.275278.Hancock,P.L.,Editor,1994,Continentaldeformation,PergamonPress,OxfordNewYork,Seoul,Tokyo,421p.(Captulo14)Twiss,R.J.,andMoores,E.M.,1992,StructuralGeology.NewYork,W.H.FreemanandCo.,532p.(captulo9)Inicioypropagacindefallasenunmediorocoso18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 32/44Ahorapasaremosaanalizardemaneraespecficacomosedesarrollanlasfallasenlacortezaterrestre.Enesteapartadotrataremoslasfallascomoobjetosindividualesysolamenteveremoslainteraccinqueocurreentrefallasqueseencuentrancercanas.Posteriormente,enlaltimaparteestudiaremoslasfallasyfracturascomoconjuntosdeestructuras.Esgeneralmenteaceptadoquelasfallascrecendedosmaneras,porpropagacindeunafracturaapartirdesuscolasyporenlacededosfracturascercanasparaformarunademayortamao.Iniciaremospordefinirlostresmodosbsicosenquesepropagaunafractura,loscualesseilustranenlaFiguraIII.h.FiguraIII.h.Esquemadelosprincipalestiposdefractura.ModoIsonfracturasdeextensindondeeldesplazamientoesperpendicularalasparedesdelafractura.ModoIIsonaquellasenlasquelelacizallaesparalelaaladireccindepropagacindelafractura.ModoIIIsonaquellasenlasquelacizallaesperpendicularaladireccindepropagacindelafractura.Esgeneralmenteaceptadoquelasfracturasseinicianapartirdeundefecto(crack),estepuedesermuypequeo,porejemplounapequeafracturaoelclivajeenuncristal,ocualquierotrodefectoqueconstituyaunazonaoplanodediscontinuidadmuypequeoconrelacinaalobjetoqueseestdeformando,aestaszonaslasdenominaremoszonasdenucleacindefracturas.Haydosmanerasdeanalizarlascondicionesquehacenquelafracturasepropagueapartirdeesospequeosdefectos.Losbasadosenelbalancedeenerga(elstica)enelsistema,basadosenlateoradeGriffitylosqueanalizanladistribucinespacialdelsistemadeesfuerzosalrededordeldefectoofractura,denominadosdemaneragenricamecnicadelafractura.EnelcasodelateoradeGriffitsepuededeterminarlascondicionesenlascualesuncracksepropaga,semantieneestableosecicatriza.EnelcasodelaMecnicadelaFracturaLinealElstica,sedefinelageometradelapropagacin,locualesespecialmentetilenlageologaestructural.EnlaFiguraIII.isemuestranlastrayectoriasqueseguirnlascolasdeunamicrofracturaendoscircunstancias:Enunapequeafracturaaislada,lascolascrecernsiempreenmodoIconunatendenciaaalinearseperpendicularesalesfuerzomnimocompresivo(3)enlanotacinquehemosseguido,independientementedelmodoenelqueseencuentrelafracturapequeaestascolaspuedencrecerhastaunalongitudfinita,yaquealcrecerelesfuerzonecesarioparaproducirsupropagacinaumentahaciendoimposiblequesupropagacincontine.Cuandodosfracturasseaproximan,lascolastiendenaseguirlastrayectoriasdel18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 33/44esfuerzo,dichastrayectoriasestnperturbadasporlasfracturasmismas,porellotiendenacurvarsehastainterceptarseunaconotra.FiguraIII.i.ElesquemadelaizquierdamuestraqueuncracksujetoacizalladadoelestadodeesfuerzosgeneralsepropagarporelcrecimientodesuscolassiempreenelModoI,lascolastiendenaorientarseperpendicularesalesfuerzocompresivomnimo.Enelesquemadeladerechasemuestranlastrayectoriasdelosesfuerzosenlasinmediacionesdelacoladelcrack1,laslneassonperpendicularesalesfuerzomnimocompresivolocal.Alcrecerelcrack2,tiendeaseguirlastrayectoriasdelesfuerzolocaladquiriendounaformacurva.Enesteesquemasesimplificelcasosuponiendoqueelcamposeesfuerzossloestaafectadoporelcrack1,peroenrealidadtantoelcrack1comoel2generarnunazonadeperturbacinenelcampodeesfuerzossiendoelresultadoquelasdoscolassecurvensimtricamente.ElestadodeesfuerzosenlavecindaddelascolasdedosfracturascercanasseilustraenlaFiguraIII.j.Elcasoilustradoesdefallaslateralesderechas,enelcasoaconunsaltoizquierdoyelcasobconunsaltoderecho.Enelcasoasedefineunreaentrelasdoscolasqueestsometidaacompresinyelreaconesfuerzoprincipalmnimotensionalesmuypequeayrestringidaaunazonamuycercanaalascolasdelasfracturasdadalaconfiguracindelastrayectoriasdelosesfuerzosprincipalesseformarnfracturasdecizallasecundariastalcomoseilustrantesequelasfracturasdetensintendernaalejarsedelafracturavecinaunazonaderelevocomostaevolucionaraunazonacomplejaconnumerosasfracturasdecizalla.Enelcasobcasitodalazonalicalizadaentrelascolasdelasfracturastieneunesfuerzoprincipalmnimotensional,loquehacefcileldesarrollodefracturasenmodoIquealseguirlastrayectoriasdelosesfuerzosparaorientarseperpendicularalesfuerzoprincipalmnimo(vasefiguraIII.i),tendernaunirambasfracturas.18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 34/44FiguraIII.j.Elprocesodeenlacedefracturasenescalasmayoresserelacionantimamenteconeldesarrollodeunsistemadefracturassecundarioquesegeneraenlaszonasdecizalla(zonasdecizallasimple),conocidoengeneralcomosistemasRiedel.AunquedebeaclararsequeeltrminofracturasRiedelserefiereaungrupoespecficodefracturasconunaorientacindeterminadadentrodelazonadecizalla(FiguraIII.k).LosconjuntosdefracturasRiedeltienenlacaractersticadeformarseencasitodaslaszonasdecizalla,tantoenexperimentosanalgicosconarcillasyarenascomoenfallasdegrandesplazamientooinclusoenlosfracturamientosasociadosagrandeeventosssmicos.LaFiguraIII.kmuestraunsistemaRiedel,laelipsededeformacinfinitaproducidaylasdireccionesprincipalesdelosesfuerzosasociados.Laexperiencianosmuestraqueenlosmediosrocososnaturalesexistennumerosasfracturasdemuydiversostamaosycomnmentetambinconorientacionesdiversas,porelloengeneralcuandounafracturaseestpropagandoseaproximaaotrasfracturasytendrlugarunenlace.Cuandosepropagaunafracturapequeaestafracturaseaproximaraaotrasfracturasyalunirseformarnfracturasmayoresquepodrnconstituirseenzonasdenucleacindefracturasenparaunaescalamayor,yelprocesodecrecimientodecolasenModoIsepuederepetirenlanuevaescalaformandoasestructurascadavezmayores.Msadelantediscutiremoscmoesteprocesopuedeserelresponsabledelescalamientodelasfracturas.18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 35/44FiguraIII.k.Esquemamostrandolasrelacionesgeomtricasdelasestructurasformadasenunsistemadecizallaizquierdo.R=FracturasRiedel,sonfracturasdecizallasintticasconelsistemadecizallageneral,R=FracturasconjugadasRiedelconcizallaantittica,enestecasocizalladerecha,T=Fracturasdetensin(abiertas),sonparalelasalesfuerzoprincipalmximocompresivo,XFracturasdecizalladerecha,P=Fracturasdecizallasintticasconlacizallageneral.Laszonasdecizallaevolucionanalaumentarladeformacinfinita,desarrollandolasfracturasmostradasenlaFiguraIII.k,esasfracturassedeformanyrotanprogresivamenteconformeavanzaladeformacinproduciendoelenlacedesegmentosdefallayestructurasenrombosyestructurastrenzadasquecomnmentesonobservadastantoenlanaturalezacomoenmodelosanalgicos.LageneracindefracturasRiedel,estructurasrmbicas,lentessigmoidalesyestructurastrenzadasrepresentanfasespaulatinamentemsavanzadasdeladeformacin.Recurdesequelacaractersticaprincipaldelacizallasimpleesquelaslneasmaterialesrotanconformeladeformacinavanza,pudiendopasardeundominiodeacortamientoaunodealargamiento.EnlaFiguraIII.lsemuestraunejemplodeenlacedefallasenunmodelodearcillapormediodelcrecimientodefracturasRyP.18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 36/44FiguraIII.l.Enunazonadecizallaseformanademsdelasfracturasdecizallaotrasestructuras,tantodeacortamientocomodealargamiento.EnlaFiguraIII.mseilustraladisposicindeesasestructurasconrespectoallazonadecizalla.FiguraIII.m.18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 37/44Crecimientodefallas,terminacindefallasyzonasderelevo.Losenlacessepuedenagruparendostiposmayores,enlacedbiloincompletoyenlacefuerteocompleto.Elenlacedbilserefierealestadoenelcualdosfracturascercanasempiezanainteractuar,generandounazonadetransferenciaendondeaparecenestructurastalescomorampasyfallassecundarias.Elenlacefuerteserefierealestadoenelcualyasegeneraronfracturassecundariasqueunenlasfracturasoriginalesformndoseasunasolaestructuracompleja.EnlaFiguraIII.n.Semuestraeldesarrollodeunafallanormalmayorapartiddelenlacedefallasmenores,quealunirseformansegmentosdelafallacompletamentedesarrollada.Elenlaceocurreenfracturasyentodoslostiposdefallas(normales,inversasylaterales).FiguraIII.n.Laszonasdetransferenciapuedenserdedistintostiposdependiendodelacinemticadelasfallasinvolucradas,suformaylasestructurasqueenellassedesarrollandependentambindelacantidaddetraslapequehayaentrelasfallasenlaFiguraIII.osepresentauncuadroconlostiposdezonasdetransferenciaparafallasnormales.18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 38/44FiguraIII.o.Cadatipodetransferenciadependerdelacinemticadelasfallasydecmoseaproximanunasaotrasduranteelprocesodecrecimiento.Amaneradeconclusinpodemosdecirquelasfractrurasyfallascrecenprincipalmentepordosmecanismosfundamentales:(a)porpropagacin,enestecasoelregistroquedaamanerademltiplesfracturasabandonadasqueselocalizanenlosalrededoresdelaestructuramayory(b)porenlace,enestecasolaestructuradesarrolladaadquirirunaformaenzigzagoanastomosadaparaestadiosavanzadosdedeformacin(FiguraIII.p).FiguraIII.p.Esquemaquemuestraelcrecimientodeunafallaporpropagacin(A)yporenlaceconotraestructura(B).TomadodeAlessioyMartelFaultterminationsandbarrierstofaultgrowthJournalofStructuralGeology26,p.18851896.18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 39/44Bibliografa:Peacock,D.C.P.,2002,Propagation,interactionandlinkageinnormalfaultsystems,EarthSciencieReviews,58,p.121142Hancock,P.L.,Editor,1994,ContinentaldDeformation,PergamonPress,OxfordNewYork,Seoul,Tokyo,421p.(Captulo6)EstructurasregionalesyconjuntosestructuralesLatectnicaencompresinLainversintectnicaBibliografa:Hancock,P.L.,Editor,1994,ContinentalDeformation,PergamonPress,OxfordNewYorkSeoulTokio,421p.EguiluzdeAntuanoetal.,2000,TectnicadelaSierramadreOccidental,BoletndelaSociedadGeolgicaMexicana,v.LIII,p.126.Napasdecoberturassedimentariasydedespegue(decollement).Napasdebasamentopordeformacindctil.Deformacindctilenextensin.Loscomplejosdencleometamrfico(Metamorphiccorecomplex)Bibliografa:Auboin,J.,1980,Tratadodegeologa,tomoIIITectnicaTectonofsicayMorfologa,EdicionesOmega.339p.LePichon,X.,yChamotRooke,N.Extensionofcontinentalcrust,Controversiesinmoderngeology.AcademicPressLimited,pp.313339.MartnezReyes,J.,yNietoSamaniego,A.F.,1990,EfectosgeolgicosdelatectnicarecienteenlapartecentraldeMxico:UniversidadNacionalAutnomadeMxico,InstitutodeGeologa,Revista,v.9,p.3350.NietoSamaniego,A.F.,Ferrari,L.,AlanizAlvarez,S.A.,LabartheHernndez,G.,yRosasElguera,J.,1999,VariationofCenozoicextensionandvolcanismacrossthesouthernSierraMadreOccidentalVolcanicProvince,Mxico,GeologicalSocietyofAmericaBulletin,v.111,p.347363.Suter,M.,LpezMartnez,M.,QuinteroLegorreta,O.,CarrilloMartnez,M.,2001,QuaternaryintraarcextensioninthecentralTransMexicanvolcanicbelt,GeologicalSocietyofAmericaBulletin,v.113,p.693703.EscalamientodefracturasyfallasIV.GeometraFractalLosobjetosgeolgicostienendistintostamaos,loshaydesdelaescalamicroscpicahastalaescalaplanetaria.Esevidentequesenosfacilitaestudiaraquelloscuyostamaossoncercanosalnuestro,desdetamaosquepodemosobservarconunalupadeaumentohastaaquellosquepodemosrecorrerloscaminando.Paraestudiarobjetosmspequeosrequerimosdetomarmuestrasytrasladarlasalaboratoriosdondepodamosobservarlasoanalizarsuconstitucinqumicaofsicautilizandodiversosaparatosparaestudiarlosmsgrandesrequerimoselusodealgunastecnologascomofotografasareasoimgenesdesatlite,porejemplo.Esteconceptodeescalaodedistintasmagnitudesdelosobjetospodemostrasladarlomsalldeloreferenteasusdimensionesfsicas,esdecir,msalldelamedidadelasmagnitudesdesusfronteras.Laobservacindelosobjetosnosmuestraquehayobjetosmscomplejosqueotros,porejemplouncubodehierrofundidoesmenoscomplejoqueunrbol.Bajoestaconsideracinpodemossuponerquelacomplejidaddelosobjetospuedevariarmuchoypodramostambinhablardeescalasdecomplejidad.Unejemploilustrativodeestoeselsiguiente:obsrveselaFiguraIV.a,dondeapareceunalneadelongitudxasuderechaapareceunalneaquebradadelamismalongitud.Apesardequeambassonunasolalneaysunico18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 40/44parmetro,sulongitud,eselmismo,paraunobservadoresevidentequelalneaquebradatieneunaformamscomplicadaquelalnearecta.Vayamosmsadelante,adiferenciadelalneadelaparteizquierdadondelalongitudsemantuvoconstante,aladerechasetieneunalneacerradaqueseconstruydemaneraquedebidoalosdobleces,sulongitudaumenta.Suponiendoqueelnmerodedoblecesopliegueshechosalalneaesinfinito,sepudeinferirqueesalneatendrunalongitudinfinita,peroencerrarunreafinita.Enestecasosehacemuchomsevidentequelalneadeladerechadelafiguraesmuchomscomplejaqueladelaizquierda.FiguraIV.aEsteejemplotienelafinalidaddeilustrarquealestudiarlageometradeunobjeto,ademsdelaescalaentamao,sehacenecesarioconsiderarlaescaladelacomplejidaddelobjetoparapoderdescribirloyesacomplejidadserposibledeterminarlautilizandounaovariasescalasadecuadasdeobservacinyaque,aquelloqueesevidenteaunaescala,noloesaotra.Enestapartedelcursonoscentraremosprincipalmenteenestudiarlacomplejidaddelosobjetosgeolgicos,particularmentedelasfracturasyconjuntosdefracturas.Iniciemosdiferenciandoloqueescontarymedir.Mediresunprocesocontinuo,lamedidadeunalongitud(lacaradeunobjetoporejemplo)dependersolamentedelaprecisindelinstrumentodemedicinqueutilicemos,oimplcitamentedelaescalaalacualestemosrealizandolamedicin.Encambio,contaresunprocesodiscreto,contamosuno,dosytresobjetos,nodependedelaescaladeobservacin.Delamismamanera,hayprocesosquesoncontinuoseneltiempooenelespacioyporlotantoalgraficarlosvariarndeunpuntoaotrocontinuamente.Hayotrosprocesosquesondiscretosoquesecomportanensaltosdiscretosesdecir,pasandeunestadoaotro.EstudiaremosestetipodeprocesosyaqueellossonloqueseencuentranenelcoraznmismodelCaos.IteracinyautoreferenciaLaautoreferenciaeslacondicinenlacualunenunciadohacereferenciaasmismo.Comose18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 41/44explicarmsadelante,estacaractersticatieneunaenormetrascendenciaenelresultadodeunproceso.Unaiteracin,entrminossimplesyclaros,esunafuncindesmisma.Ladiferenciaentreautoreferenciaeiteracinesquelaprimeraeslacondicindereferirseasmismo(existonoexiste),mientrasquelaiteracinesunarepeticinquepuedeproducirseunnmerodeterminadodeveces.Tomemoscomoejemplolafuncin ,entoncespodemosdefinirunafuncindeestamismafuncin ,dedondesehaceevidentequerequerimosprimerodefinir ,esdecirespecificarunvalorpara ,digamosporejemplopara ,entoncesobtenemos.Decimosqueestaeslasegundaiteracindelafuncin parunvalorinicialde .Deesteejemplopodemosverquelosvaloresde paracadaiteracinnovariarncontinuamente,sinoensaltosteniendounvalordefinidoparacadaiteracinquedependerdelvalorinicialdex.Veamosahoraquelosvaloresdelasiteracionesdeciertasfuncionesvariarnenormementedependiendodeelvalorinicialdex.Considreselafuncin .Enlasiguientetablasiguientesemuestranlosvaloresquetomalafuncinparadistintosvaloresinicialesdex.ValorinicialdexrbitadexValoresdelafuncinparalasiteraciones1,2,3,comenzandoconelvalorinicialdex2 2,4.1,16.91,286.05,81823.61,0.6 0.6,0.46,0.3116,0.1971,0.1388,0.4 0.4,0.26,0.1676,0.128,0.1164,0 0,0.1,0.11,0.112,0.125, Vemosenlatablaquelasrbitassonmuydiferentesdependiendodelvalorinicialpara2,losvaloresdelarbitaaumentanindefinidamente,para0.6elvalordisminuyeconcadaiteracinpara0.4elvalordelasiteracionesdisminuyeperoaunatazamspequeaquepara.6,ypara0losvaloresdelasiteracionesaumentarnperoteniendocomolmite0.1127.Pasemosahoraadecirquelosprocesoscaticossonprocesosnolinealesquepuedensersimuladospormediodeiteracionesmatemticas,ademsahorasabemosquemuchosprocesosnaturalesyespecficamenteprocesosgeolgicossecomportandemaneracatica.Siestoesverdad,delsencilloejemplomencionadoarribainferimosquenosoloesnecesarioconocerlafuncin,sinoademsconocerelvalorexactoinicialdelavariable(olasvariables)involucradasparapoderpredecirelresultadodelaiteracinn,aesosvaloresinicialledenominamoscondicionesinicialesyresultaintuitivamenteobvioqueenunprocesonaturalesimposibleconocerlosvaloresinicialesdetodaslasvariablesinvolucradas.Yavimosqueuncambiomuypequeoenlascondicionesinicialespuedeproducirresultadosdramticamentedistintos.EstaeslaesenciadelCaos.EspaciodeFase18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 42/44ElEspaciodeFasesunespaciohipotticoqueposeetantasdimensionescomoelnmerodevariablesqueintervienenenunsistemadinmicodeterminado.Cadavariableestararepresentadaporunejecoordenadoyunpuntoenelespaciodefaserepresentaraelconjuntodevaloressimultneosdetodaslasvariables.Sigraficamoslosvaloressimultneosqueadquierenlasvariablesparadiferentesmomentoslospuntosenelespaciodefasedibujarnunatrayectoriaquesedenominarbita.Cuandoenunsistemadefaseunarbitatiendeaunpuntooconjuntodepuntos,sedicequeeseconjuntodepuntosesunatractor.Porejemploalgraficarlarbitaenelespaciodefasevelocidadposicindeunpnduloestesiempreterminarenunpuntoquerepresentaelestadodereposo(cuandoelpnduloestquieto,localizadoenlaverticalyconvelocidadcero).Esepuntoeselatractorparaunpndulo.Puedenexistirmuchosotrosatractores,porejemplounacircunferencia,perolossistemascaticostienenatractoresdiferentes,llamadosatractoresextraos,ycuyacaractersticaesquesudimensinesfractal.Pasemosentoncesadefinirqueesladimensindeunobjeto.DimensionestopolgicasydimensinfractalNoestansencillodefinirladimensindeunobjeto,parafinesprcticosdeestecursoconsideraremossimplementequeladimensintopolgicaesaquellaqueobtenemosdedefinirenuncuerpolapartemspequeaysimplequenospermitedividirlo,yaladimensineuclidianadeesecuerpolesumamos1.Porejemplounalneapuedeserdivididaporunpunto,entoncessudimensines1yaqueunpuntotienedimensin0yalsumarle1obtenemos1perounasuperficienopuedeserdivididaporunpunto,requerimosunalneaparadividirla,porlocualsudimensintopolgicaser1+1=2yparauncuerpoquetienevolumenrequeriremosunplanoparapoderdividirlo,assudimensintopolgicaser3.Lasdimensionesobtenidasdeestamanerasonintuitivassiconsideramoslalibertaddemovimientoquenospermitecadaobjeto,porejemploenunalneaslopodemosmovernosenunadireccin(endossentidos,claroest)yentoncestendremosquelalneatienedimensin1,enelplanopodemosmovernosendossentidos(dimensin2)yenuncuerpoentressentidos(dimensin3),vaselecturacomplementaria3.ParapoderobtenerunamedidadeladimensindeunobjetoacudimosaladenominadaDimensinHausdorffBesicovich.ParaellopartimosdequeunobjetopuedeserllenadoporunnmerodeterminadodeobjetosdeformasemejanteN(r)conunfactordesemejanzaquedenominaremosrentoncesladimensintopolgicaserigualalvalorDdeacuerdocon ,porloque .Veamosahoraquepasaconladimensindeuncuadradoporejemplo,lopodemosdividirencuatrosubcuadradosquelollenancompletamente,entoncesr=1/2yN=4,larazndesemejanzaresunmedioyaqueparaobtenerelsubcuadradoloquehicimosfuesacarmitadalasmagnitudesdelosladosdelcuadradomayor.Entoncesdeacuerdoconnuestraecuacintenemosque ,locualcoincideconnuestradimensintopolgicadeuncuadrado.18/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 43/44Siaplicamosesteprocedimientoaotrosobjetos,encontraremosqueparaalgunosdeelloselvalordeDnoesenterosinofraccionario,aesosobjetoslosdenominamosFractales.Losfractalestienenunadimensinfraccionariacuyovalorestentreelvalordeladimensintopolgicadelosobjetosqueloconstituyen(losquepuedendividirlo)ladimensininmediatamentesuperior.Porejemplounfractalqueestcompuestoporlneas,queseraelcasodeunmapacontrazasdefallas,tendrunadimensinentre1y2.Unaexplicacinmsextensasepuedeconsultarenlalecturacomplementaria03(Anexo)Enlalecturacomplementaria04(Anexo)aparecenalgunosfractalesclsicos,suscaractersticasysusdimensiones.TodosestosfractalessonDeterminsticos.EsmomentodeintroducirunadefinicindeFractal,podemosdecirqueesunobjetocompuestoporpartesquesonsemejantesalobjetoensuconjunto.Existenvariostiposdefractales,aquellosenlosquelaspartesqueloscomponensonidnticas(oestadsticamentesemejantesparalosfractalesnodeterminsticos)alobjetomayor,dadaesacaractersticasiempreobservaremoselmismoobjetoindependientementedelaescaladeobservacin.Estecasoesmuyconocidoporlosgelogosyaqueenunafloramientorequerimosdeunaescalaparaconocereltamaodelasestructurasgeolgicas,puessonsemejantesindistintasescalasaestosfractalesselosdenominaAutosimilares.Cuandolasemejanzadelaspartesconeltodosedaconjuntamenteconunadeformacin,esdeciralcambiardeescalaseobservaelmismoobjetoperodeformado,decimosquesetratadeunfractalAutoafn.Porltimo,hayfractalesquecumplenconlasemeanzaalcambiardeescalaperoqueestncompuestosporotrosobjetosfractales,aestoslosdenominamosMultifractales.AplicacinalasFracturasyFallasLaaplicacindelageometrafractalalestudiodelasfracturashatenidoungranaugeenlosltimosaosylaliteraturaalrespectoesyamuynumerosa.Losestudiosseenfocanadeterminarcaractersticastalescomodistribucindelongitudes,distribucindedesplazamientos,clustering(agrupamiento),yapartirdelosparmetrosfractalesdelaspoblacionesdefracturasdeterminarporosidadesyconectividad.Enestecasoabordaremos,amaneradeejemplodeaplicacindelageometrafractalalestudiodelasfracturas,elproblemadedeterminarlacantidadtotaldefracturaquepuedecontenerunafallamayor.Nota:EjerciciosparagenerarconjuntosdefracturascondistintosparmetrosusandoelprogramaFautGrowthydeterminarsudimensindecajautilizandoelprogramaFractalAnlisis.Seharunejercicioutilizandounaimagendeuncuerpofracturadoparadeterminarsudimensindefragmentacin,densidaddefracturaysedeterminarsugradodefracturamientorelativo.Bibliografa:MarrettR.,Allmendinger,R.W.,1992,Amountofextensiononsmallfaults:AnexamplefromtheVikinggraben,Geology,v.20,p.4750MarrettR.,Allmendinger,R.W.,1990,KinematicanalysisoffaultslipdataJournalofStructuralgeology,v.12,No.8,p.97398618/6/2015 CLASEhttp://www.geociencias.unam.mx/~afns/Apuntes.htm 44/44Scholz,C.H.,Cowie,P.A.,1990,Determinationoftotalstrainfromfaultingusingslipmeasurements,nature,v.346,p.837839.LaPointe,P.R.,Hudson,J.A.,1985,Characterizationandinterpretationofrockmassjointpatterns,SpecialPaper199,GeologicalSocietyofAmerica.25p.NietoSamaniego,A.F.,AlanizAlvarez,S.A.,Tolson,G.,Oleschko,K.,Korvin,G.,Xu,S.S.,yPrezVenzor,J.A.,enprensa(enpginawebdeA.Nieto),Spatialdistribution,scalingandselfsimilarbehavioroffracturearrays:PureandAppliedGeophysics.,NietoSamaniego,A.F.,AlanizAlvarez,S.A.,Tolson,G.,Xu,S.S.,yPrezVenzor,J.A.,2003,Estimacindedensidades,distribucionesdelongitudylongitudtotaldefracturasuncasodeestudioenlaFalladeLosPlanes,LaPaz,B.C.S.:BoletndelaSociedadGeolgicaMexicanaTomoLVI,p.19.