apuntes de cálculo de estructuras
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Apuntes de Cálculo de Estructuras con ejemplos resueltos. Correspondientes a la asignatura del mismo nombre impartida en el Grado de Ingeniería Civil de la Escuela Politécnica de Mieres. Curso 2012-2013.TRANSCRIPT
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7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
1/203
Apuntes de Clculo de
Estructuras
Grado en Ingeniera Civil
Escuela Politcnica de Mieres
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1.1 .
1.2 . E ,
.
/ :
E , ,
A,
O ,
M
D P
F
P C P
D
A (
) , ,
. C :
E.L. ( )
-
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6
E.L. S ( )
E
. D , (, ).
L : (S275, S355) (HA25, HA35) (C20, D50)
T : , , ,
T : ,
T : , , ( )
C : , , , ,
S : , , , , .
T : , ( )
P : M F, M G, MM, C, E F, M G
,
, . E E
.
, .
-
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7
, , . E
.
. E ,
. O
.
S .
-
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8
. L
. N .
S . A
( , ),
( ) .
E : .
E : , , ( )
E
S .
. S ( )
. S . (F. )
, . S
( )
( ) (
) . E . (F. )
. S
( ) . (F.
)
, . S
(
) ( )
( ) . E .
(F. )
-
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9
E , (, ,
). S ,
(
).
L , . S ( ). E
( ). E
.
L ( ).
L .
E .
-
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L
: , , . E
. E .
L . E ,
.
E ,
. U
( ).
-
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, , , .,
, . S , ,
.
:
(, ). L ,
O (),
. E
.
,
.
L (N, N)
(N/,
N/). E (N/, N/). E (F, P) (, )
-
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( ). S
( 1.17). S 4
.
: ( 1.17). E
( )
. S 4 .
( 1.17). S
,
. S 4 .
E ,
, .
3
.
U 6 (...) 6
.
3 : , , , . 3 : , , , , , .
L , ,
( ) .
P
(R, R, R) (M , M, M),
.
6 , 6 (3
3 R, R, R, M, M, M) .
3 , 3 (3
R, R, R)
-
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E
. E 2D,
.
2
U 3 (...) 3
.
2 : , ,
1 : .
P
(R, R) (M),
. E .
, 2 (R, R).
, 1 (R R,
).
3 , 3 (2 1 R, R, M).
1 ,
2 (1 R R 1 M).
-
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Apoyo articulado fijo Apoyo articulado mvil Empotramiento
CASOS REALES DE APOYOS EN ESTRUCTURAS DE ACERO
Apoyo articulado fijo Apoyo articulado mvil Empotramiento
CASOS REALES DE APOYOS EN ESTRUCTURAS DE HORMIGN
(
, ) ( , ). L , R M ,
( , = S).
-
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L
( , ) , ,
.
E
.
E
. S
(A, M C)
, .
. L
.
. S
.
( ,
, )
P : GH= R 3=R3
3 , 3 ( M,
V N). S , ,
-
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. E
, (M=0).
P : GH=3 C C(B A1)=
=3CC(BA1)
H ( 1) .
GH=GH+ GH
L , :
GH= B+ R2 =B+R2N
E (
). L ( ) .
L :
GH= R 3=R3
, ,
. GH=0. S
.
GH=R3=33=0 GH=3CC(BA1)=30[(11)+(11)=0 GH=GH+GH=0
O : GH=B+R2N=1+322=0
GH=R3=33=0 GH=3CC(BA1)=30=0 GH=GH+GH=0
E ( ) . S
(M=0).
GH=R3=43=1 GH=3CC(BA1)=30[(21)+(11)=1 GH=GH+GH=0
-
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(GH0). E
.
. S ,
.
GH=R3=43=1 GH=3CC(BA1)=30[(11)=0 GH=GH+GH=1
3 . S , .
GH=R3=63=3 GH=3CC(BA1)=30=0 GH=GH+GH=3
.
.P :
: ,
, H. : . L .
-
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G :
. S .
. N .
: (1+2) 1
2.
Equilibrio en la estructura sin deformar: teora de primer orden
Equilibrio en la estructura deformada: teora de 2 orden. Se tiene en cuenta el desplazamiento Y 1 para obtener losmomentos.
-
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L :
, . S . T
(N, N, .).
. S
. T (N, N, , .).
(
. S . T (N, N, ,
.).
, .
E ,
. R :
2 (R, R).
1 (R R, ).
3 (2 1 R, R, M).
2 (1 R R 1 M).
L
. :
F = 0
F = 0
M + F ( )=0
-
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D ,
. L 1
,
3 .
E,
.
S 3,
,
. R GH=R3
P . E
:
M =0
E 3 .
P :
1. C .
2. C
. P ,
.
3. L ( ) (
)
: M + F ( )4. L ( ) .
5. L ( ) .
P ( )
. P (N/) L (),
L (N) .
O (, )
( ) M, C A .
q
L L
qL
-
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(V)
(M) .
. E.:
. E.:
, . E.:
. L . E
.
.
-
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( )
. D
.
.
0, . E . E
, .
N,
:
,
:
1
=0
H
(). =0
RB
RH
3P/L
RA
-
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( A
). S
( ).
=0
D R=P/2
I R R=P/2
E .
E .
E .P , .
P , , ,
.
C . D
.
E P/2.
E ( )
E .C .
N .
2
3P/L
P/2
3P/LL/6
P/2L/6L/12
L/2 L/2
5PL/24
P/2
P/2
RB
RH
M
RA
-
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0 =0
( A
)
=0D R=M/L
I R R=M/L,
.
E .
E M
E .C ( , )
( ).
C . D
.
E .
E ( )C .
N .
3
0 =0
M
M/2
M/2
M/L
M/L M/L
RA
=PL
RB
RH
PL P
-
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( A
)
=0D R=0
I R R=P
E .
E M
E . P .
C
( ).
C . D
.
E . P B .
E ( )
L P.C .
N .
1
=0
=0
( B
, )
=0D M=M
P
PL
P P
RB
RH
M MB
-
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E .
E M
E M.
E . P M .
C
( ).
C . D
.
N .
N .
2
P =0
=0
( B
)
=0D M=0
D R=P
E .
E M=PL
E . P M=PL.
E .C
( ).
M
M M
RB
RH
P MB=PL PL
P
-
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27
C . D
.
R,
P. T PL B
0 M.
E R=P.
E ( )
L P.C .
N .
1
+ =0
=0
( B
)
=0
N 3 ( ) ( ). D :
, ( 0) :
M=RL/2=0
L =0
S M=M,
B .
D =0
E .
PL
P P
MB
RB
RHRA
M
-
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E M
E M=M.
E .
E . P M .
C
( ).
C . D
.
N .
N .
1
+ =0
+ =0
( B
). A, R
B.
=0N 5 ( ) (
, ). D
:
1, ( 0) :
M=RLM =0
MM
M
M
RA
RHB
M
RHA
RBMB
rot2rot1
-
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29
2, ( 0) :
M=RL+M=0
D 1 : R=M/L
S : R=M/L. C
, R ( ).
S R 2 : M=M
S M : R=M/L
S R : R=M/L. C ,
R ( ).
E .
E M
E M=M.
E .
E . P M .
C
( ).
C . D
.
E .
E ( )C
( ). E
, M/L.
C .
M/LM/L M/L
M/L M
M
M
M
-
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30
E .
E ( )C
( ). E
, M/L.N , ,
(+ , ).
C .
2
+ P=0
+ + 2P=0
( B
). A, R
B.
=0
M/LM/L
M/L
M/L-M/L
-M/L
P
RA
RHB
RBMB
rot2rot1
RHA
2P
-
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31
N 5 ( ) (
, ). D
:
1, ( 0) :
M=RL =0, R=0
2, ( 0) :
M=RL+M=0
S R=0 : R=2P C
, R ( ).
S R 2 : M=2PL
S M : R=P/2
S R : R=P/2.
E .
L .
E M=2PL.
E .
E .C
( ).
U .
E ,
:
C . D
.
2PL
2P
P/2
P/2
2P
2PL
PL/4
-
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32
E .
E ( )
L P.C
( ). E
, P/2 .
C .
E .
E ( )C
2P ( ). E
, , 0.
N , ,
(+ , ).
C .
1
+ =0
=0
2P
P/2
P/2
-P/2-P/2
MB
RB
RH
RA
M
-
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33
( B
). =0N 3 ( ) (
). D :
, ( 0) :
M=R2L+M =0
D : R=M/2L C
, R ( ).
S : R=M/2L.
S R : M=M/2. C ,
M ( ).
E .
E M.
E M=M/2.
E . P M .
C
( ).
C . D .
E ( )
E .
L .
T ,
.
C .
N .
M/2L
M/2
M
M/2LM/2L
-
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34
2
+ =0
=0
( B
).
=0N 3 ( ) (
). D :
, ( 0) :
M=R2LM =0D : R=M/2L
S : R=M/2L. C
, R ( ).
S R : M=M/2.
E .
E M.
E M=M/2.
E .C
( ).
U
. J ,
:
C . D
.
E ( )
E .
L
.
T .
MB
RB
RHM
RA
M/2L
M/2
M/2
M/2
-
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35
C .
N .
a=L/3
M1=M2=PL/2
-
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36
-
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1
2 1 1 S GH=R3=33=0
GH=3CC(BA1)=31=3GH=3
2
1 1
1 3 (R, R M)S S GH=R3=63=3
GH=3CC(BA1)=0GH=3
3
E 2
2 21 10 GH=R3=43=1GH=B+R2N=21+4210=5GH=GHGH=51=4
-
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38
4
6 1 2 . C 3 .
GH=R3=63=3GH=3CC(BA1)=31[(21)+(21)=1GH=4
GH=GH=1
GH=GH=4
-
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39
S . P :
A
C
B
E
S ,
. N .
1. L . D
,
. L , ,
.
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
40/203
40
2. H . E
. P
:
C
. P ,
.
P
P
P
P/2
P/2
P/2
P/2
q
L/2L/2
qL/2
q
q
qL/2
-
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41
3. L ,
2D .
E :
) Q , ,
.
) Q
. D
.
:
D S A( X).
N
.
S N/
, B L.
C := B/2 [N/
C :P = L= BL/2 [N
L (, , ,
, .) , ,
.
E , ,
,
.
PP P P P
P/2P/2
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
42/203
42
S , .
A .
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
43/203
43
P ,
. E
,
( ) .
A , . L
.
. G
. E
.
. S
, , . E
.
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
44/203
44
S ( ) ,
,
( )
S ( ).
S 2 .
S .
S 2 . A .
C . E 3 .
S . E
. T
.
(1) (2) (3) (4)
(1) (2) (3) (4)
Cordn superior
CerchaViga en celosaCordn inferior
Diagonal
Montante
MontanteCordn su erior
Cordn inferiorDiagonal
-
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45/203
45
C
.
S
. L , ,
( ).
G =N +N 2(N )
+2
0
0
0
E
.
. C
. .
. L .
.
. S
,
.
Generacin internaGeneracin externa Unin por tres barras
-
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46/203
46
2
( ) .
S :
1. L .
2. L .
E : F=0
E : F=0
E . A,
, ,
. E
.
3. A
. E ,
. A,
.
NINII
R FF
NI RNII
F
Fuerzas sobre el nudo Equilibrio de vectores de fuerza
III
B
F
Nudo con 2 barras alineadas
Equilibrio imposible en el nudo ALneas de accin de las reacciones concurrentes
Equilibrio de momentos imposiblerespecto a B
CELOSAS DE VARIACI N INSTANTNEA
AF
FF
F
Variante Invariante Variacin instantnea
-
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47/203
47
4. E 0
.) 2 : 0.
) 3 , . L
0 .
L , :
1) O ,
, .
2) E 0.
3) P (2 )
2 (2 ),
.
4) A
.
2
. .
(a)
FF
(b)
0
0
0
F
Eliminacin sucesiva de barras de esfuerzo 0
F
NI=TraccinNII=Compresin
R F
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
48/203
48
E .F=0 R+RPP=0F=0 0M=0 R4LP3LPL=0
E , . U .
E , . H ( 4 7) . T .
S ( 1).
C . D
.
L ,
:
0
0 0
0
-P
+P +P
-P 2 -P 2
De modo simplificado:
0 0
0
0 0
0
-P
+P +P
-P 2 -P 20 0
P
Nudo 5
N56
45
Solucin nudo 5
45N52
-P 2
P P
-P 2
P
Nudo 1
N15
N12
45
-P
-P 2
P
Solucin nudo 1
PP
P P
0
0 0
0
1 2 3
4
5 6
7
PP
3L
4L
L
RV1
RV3
RH1
L
1 2 3
4
5 6
7
PP
2L4L
L
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
49/203
49
E
.
L , :
1) O ,
, .
2) E 0.
3) A 3 (3 ). L 3
. H
3 .
4) P 3 . L , ,
1 2 ( ).
S ,
, .
0
0P
VR
H
C
B
MB=0 N5
MC=0 N2FV=0 N3FH=0 N4
Otra posibilidad de seccin:
Corta 4 barras con esfuerzo no nulo, pero 3 deellas concurren en B y as es posible resolver
planteando inicialmente MB=0
N2
N3
N4 N5
R
P
0
0P
VR
H
V
H
N1
N2
N3
A
B
MA=0 N3
MB=0 N1
FV=0 N2
Considerar barras deesfuerzo 0 y obtener
reacciones
Mtodo de lassecciones
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
50/203
50
C
.
L
:
L .
L .
C ,
M
N. A, M/
M.
/
P . S
, C M ? P
R
. O , , ,
,
.
S
MS
VS
MSVS
NcordS
NcordI
Ndiag
h
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
51/203
51
E
:
C .
C .
L
. C N=V:
=/
E .
S
I. P
, :
A 75% . S 0,75
.
I=0,75I
E , A S. N
I,
S.
I=2[I+A(/2)
2A(/2)
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
52/203
52
S .
D
.
L PANDEO. E
.
L , ,
. I .
L 2D
.
S 3 (3 ).S 3 .
S S .S () 6.
E , +3
S (N, R,
), .
RyRx
Rz
VIGA PRATT: diagonales traccionadas.BIEN
VIGA HOWE: diagonales comprimidas.MAL
V
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
53/203
53
E
:
(
. S . T
(N, N, , .). S ( )
( ).
R .
=0 =0
( A
).
=0
D R=P/2
I R R=P/2
E . D ,
P .
PA
A B
C
D
LL
C
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
54/203
54
N
.
D . S
(). D .
E AB AD =(0,5)= 26,565
.
T A
B. E .
A
B
C
D /2/2
PP
P+1,118P+1,118P
B N
N
A
/2
N
N
A
B
C
D /2/2
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
55/203
55
R .
E
.
D . S
(). D .
D . S
(). D .
N
N
P
PAN
N
P
AB
C D
L
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
56/203
56
R , .
=0 =0
( A
).
=0
D R=P/2
I R R=P/2
E . D ,
P .
A B C
D E
L
LL
A
B
C D
+P
P+P2
P
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
57/203
57
N
.
D . S
(). D .
T A
D B. P B 3
, ,
. P ,
.
P N=P/2N=N
P DE D. P
, A D
. N B.
B
45
N
N
/2
45
N
A
/2
45
N
N
A B C
D E /2/2
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
58/203
58
P :
T D:
T B:
E :
E A:
A B C
D E /2/2
2
A
D/2
N
N
N
A B C
D E /2/2
1
A B C
D E /2/2
P/2 P/2
+P
+P/2 +P/2P/2 P/2
D
45
N
/2
45
/2
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
59/203
59
E , , .
L 2L
:
V 0 PL/2. P
M
.
E
. U N D. P :
E ( ) . U
N B. P :
PL/2
P/2
P/2
A B C
D E /2/2
P/2 P/2
+P
+P/2 +P/2P/2 P/2
A
/2
45
N
N
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
60/203
60
E .
D
, :
E , , .
:
L L
P20
+P+P +P
L L
A B C
D E /2/2
P/2 P/2
+P
+P/2 +P/2P/2 P/2
/2
/2
N
N
/2
/2
N
N
-(Barra BE)+(Barra EC)
+(Barra AD)-(Barra DB)
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
61/203
61
: 67, 34 28
:
: =102
:
A
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
62/203
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
63/203
63
3.1 .
1. : .
2. : H,
.
3. :
.
4. :
. E , .
5. :
.
6. :
. S 2 5.
3.2 . P
:
: , ( ) .
: .
: H, .
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
64/203
64
E .
(X, Y, Z).
.
S (, , ) .
.
A (, , )
:
S , 6
( ).
. C H. L L H
L. E
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
65/203
65
( M Y) P . E
.
.
E
(, ) . Y
,
. P ,
PTV.
()S :
. C
.
. T
.
(A )
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
66/203
66
. T=T. S
.
P :
1. U .2. U .
S , PTV (PDV PFV)
U ( ) .
S ( ),
. T , .
U ( ) .
S .
.
E (F, R, .)
(, , .) (M) () E ,
.
E ,
PTV .
E ,
PTV. E , F,
.
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
67/203
67
.
E (N, V, M, M ) .
E ,
.
E . E . L
( ).
L :
C (EA, GA, EI, GK) E
, G , A , A
, I K .
E :
1. E
.
+++= Lt
LLLi dMdMdVduNT
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
68/203
68
2. E
.
:
S ,
() .
E PFV .
:
S , ()
.
E PDV
.
...
... ( ) I D D
H D F E.
... (. ) I D . E
H D G E.
C , PTV .
D :
1. E .
2. L
. E
.
3. S , ,
.
4. E PFV ,
.
T i = N duL + V d + M d + M t d
L
L
L
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
69/203
69
D ( )
L P .
P
. C ,
, , ,
.
T ,
.
Sistema real de desplazamientos y deformaciones Sistema virtual de fuerzas externas e internasA , P F V,
.
T = ()
T = +
N ()
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
70/203
70
D :
N .
3 3
1. 3 3BB
L L
e iT TPL PL PL
M VM dx V dx EI GA EIEI GA
=
= + = +
P
, . S ,
.
A,
M M , ,
L/3 M M. S PL L
PL/3. E (EI), ,
.
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
71/203
71
S ,
.
D
:
1. S
2. E
3. E ,
. L ( )
.
D (
) .
D A
PDV.
P
,
R. E,
( ) .
C , (
) , . E ,
. L
.
A , P D V,
.
T =R + C
BA
P
L /2 L /2
C
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
72/203
72
T =0. Y .
N (R)
P , , ,
P
( R).
D C
PDV.
P
. E,
.
E M . S , M . C ,
.
T = C
T = M
N (M)
A A A
e i
e
i
T T
PT R P R P 0 R2 2 2T 0
=
= + + = =
=
BA
P
L/2 L/2
C
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
73/203
73
C ,
, ,
. A (
) .
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
74/203
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
75/203
75
C ,
(GH>0). P ( )
P T V (P.D.V.
P.F.V.)
C , P D V
M (
) F F.
E M F,
. P
.
P M F
. L , 3 :
, (R, R, M). S
,
( ).
GH=R3=(3+)3=
N .
GH=3CC(BA1)=0
1 2 i k n......
pP
M
...
A . E
, . A,
, .E .
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
76/203
76
.
S ,
.
1. E . Y
C 1:
GH=R3=(3+)3=
GH=3CC(BA1)=0
GH=
S
GH=B+R3N
2. E
. E ,
. A,
( ).
3. A ,
. E .
D =
+
X.
E (
). E . D :
01
m
i i ik k
k
X =
= + =
D:
= .
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
77/203
77
= .
X=
= ()
( )S PFV M C U.
P (
)
.
E, PFV : 1=T 0.
1.L L L
L L L
e i
o o o
io i i i i mo
muelles
o o oio i i i i mo
muelles
T T
M N VM dx N dx V dx F
EI EA GA
M N VM dx N dx V dx FEI EA GA
=
= + + +
= + + +
P : 0
( ) ( ). E
.
A, . E
( ) ( ).
1 2 i k n......
pP
M...
io
1 2 i k n...... ...
1
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
78/203
78
P
.
1 2 i k...... ...
ik
Xk
= 1
1 2 i k...... ...
1
E, PFV : 1=T .
1. L L L
L L L
e i
k k k
ik i i i i mk muelles
k k kik i i i i mk
muelles
T T
M N V
M dx N dx V dx FEI EA GA
M N VM dx N dx V dx F
EI EA GA
=
= + + +
= + + +
P :
( ) (
). E
.
A, . E
( )
( ).
C
.
C
:
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
79/203
79
1 1 1
1
1
1
0
. . .
. . .
0
n
o k k
k
n
i io i k k
k
n
n no n k k
k
X
X
X
=
=
=
= + =
= + =
= + =
E . P
.
C ,
. E :
C +1 : X (0) , .
O .
L +1 .
+=
+=
+=
=
=
=
n
iio
n
iio
n
iio
1i
1i
1i
XVVV
XNNN
XMMM
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
80/203
80
ECAD: E ,
.
DA: = 6E/5
AE= E/65
E =
AE = A= .
L EI ( E I).
E EI .
L , AE( ).
E AE
, . L
GA= .
L 1:
E F ( ). P
, . E
A .
GH=R3=53=2
P ,
B . A
2 , AB .
P
Sm
AE EI
EI
EI
A
DE
x
y
F
B
EI
4m
2m
2m 1m
2m3m
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
81/203
81
GH=3CC(BA1)= (21) =1
E GH=21=1. P
.
L
: . D
,
. E AB
A . P 4 (3 F 1 A).
GH=43=1
P ,
. C
,
. A, AB A, ( )
, X.
P , A
X .
O
X AB. L .
S .
P
X1
Sm
AE EI
EI
EI
A
DE
F
CB
EI
X X
A B
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
82/203
82
A:
D A = A
+ A .
= = + = 0
= 1 ( A). E 0 A.
= 1 .
= 1 1.
= 1
( 0)
( 1).
0 1 , E ,
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
83/203
83
1
. E
2/5 1/5 .
( 1 0) .
GA= AB EA= .
C , . D
,
:
D , ( 2):
E , AB
0 .
E , 0
0, 0 0.
:
D
( 1).
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
84/203
84
P ( 1 1)
.
D , :
E AB , EA, :
E :
P :
P A, 0:
= + X= 0
S , .
L A P/9 (
).
S 0 1
.
M , M = M+ MX
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
85/203
85
E , = +
E , = +
D .
:
E . E
.
. C
.
:
. (
)
E
:
.
( ) .
.
E
:
C A, :
>
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
86/203
86
E ,
.
E , ,
.
( 0).
Sistema hiperesttico Sistema base sin incgnitas=S0
E 0 =
. E ,
,
, , .
Sistema hiperesttico Sistema base sin incgnitas=S0
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
87/203
87
0
= . E ,
, , ,
. (EA) .
0
=()/ . E ,
, ( )
()/ , ,
. (EI) .
: .
Caso de carga simtrica Caso de carga antisimtrica
, .
A A
A A
, ,
:
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
88/203
88
L . P
, :
( ).
E .
E /
, V .
P
. E
.
A .
Carga simtrica Carga antisimtrica
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
89/203
89
.
E
( ).
.
,
:
.
.
E
/ ,
.
. E
. A
.
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
90/203
90
,
,
, ,
. I
.
E (
) .
.
C ,
, :
1. (
)
2. E ( ).
3.
.
4. C (
0) ( 1, 2).
5. .
6.
.
. E ,
3, .
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
91/203
91
E C 2 2.5. S ,
.
C AE. S
. T 1
Sistema hiperesttico (sobra una barra para serisosttico)
Sistema base (sistema isosttico con incgnitahiperesttica X1)
GH=B+R2N=6+324=1 GH=R3=33=0 GH=GHGH=1
D ,
: X.
L C X . L ,
.
S , .
1 .
1 1 X.
Sistema 0 (sistema base sin X1) Sistema 1 (con carga unidad en la incgnita X1)
E 1 0, . E
1 1 11 1 0o X = + =
L
( ). A,
.
i
barrasn
1i
1ii
barrasn
1i
ioo LAE
NNyL
AE
NN 1i111i1
=
=
=
===
P1
P2A
B
P1
P
X1 X
1
1
1
A
B
P1
P2
1
1
A
B
1
1
X1= 1
X1
= 1
A
B
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
92/203
92
E X
X 1 X
.
P D
,
D .
Sistema real de deformaciones (sistema total) Sistema virtual de fuerzas (carga unidad)
E ,
.
11
1.
n barrasin barras
i iii ii
i
VD
VD
TVE TVIN
N LNN L AE
AE
==
==
=
==
E ,
D .
DA: = 6E/5
AE= E/65
E =
AE = A= .
P 1 P 2
B
V D D
C A
1
B
A
D
C
P
Sm
AE EI
EI
EI
A
DE
x
y
F
B
EI4m
2m
2m 1m
2m3m
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
93/203
93
A, AB.
.
.
A
.
AB.
,
.
.
(AE E
).
E =6/9
6/9
.
E . E
.
AB. C ,
AB.
E .
.
2P/EI
2P/9EI16P/9EI
6P/9EI
P/9AE P/9AE
1t
2tm
2tm
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
94/203
94
( )
1muelleVD m
L L AB
TVE TVI
M NM dx M N dx
EI AE
=
= + +
D EF,
:
A, DE:
E , ()
.
T AB
.
E :
A , ( ).
P :
E ,
.
E .P
.
(16P/9+6P/9)/20=(16P/9)/=1620/22=165/11
D .
E , . A B
=(N/AE)L=P3/9AE , AB .
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
95/203
95
E : =/.
.
E
, :
C .
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
96/203
96
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
97/203
97
4 1
2 . C
3
.
G=3=43=1
G=3CC(BA1)=31(21)+(21)=1G=2
.
. , ,
().
, , :
C , , .
C , .
E 1,
.
D
,
:
.
E :
=++=0
=++=0E
=. (D )
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
98/203
98
E
2
1
8
5
G=3=33=0G=B+2=8+325=1
G=10=1
.
E
. D
.
, :
. .
D
,
: 1
1.
E :
=+ 1 0
.
2
1
3
1
G=3=63=3
G=3CC(BA1)=30(21)=1G=31=2
.
A ,
. A, :
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
99/203
99
C , , .
C , .
L , .
: D ,
: 2 2.E :
=+X+X=0=+X+X=0Q 2 0 .
XX
X
T
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
100/203
100
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
101/203
101
,
, , , ,
.
, 0,10 , 1,2.10
.
. .
C AE GA
. E
.
(1 ) (2
). .
G=3=43=1
,
.
G=1
.
,
.
.
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
102/203
102
: E :
=+X=0T ) ) , .
P . E , 1 X
( 0) ( 1).
L .
0: E 0 , .
S .
E . A , .
1:
E 1.S M, V N.1 O R=3/2, R=1/2, R=02 O
E 0 1, :
3/2
1
1/2
L/2
1
=T=1,21050
)T=50C
X
)T=50C )T=20C T=20C
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
103/203
103
310 1 0
31 3,610
2
TVE TVI
N dx T L m
=
= = =
C , ,
, . E
.
E 1 1, :
31
11 1
1 1 1 11
3 2 2 2 3 2 2 8
TVE TVI
M L L L L L LM dx L
EI EI EI EI
=
= = + =
D ,
, . P
, L/2
L.
D +X=0 :
101 2
11
12
T EIX
L
= =
A , EI, . L 1
.
L 0 1
X. = = 0+ 1
M , M = M+ MX. T M .
E , V = V+ VX. T V .
E , N = N+ NXT N .
D X
.
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
104/203
104
P
=T
.
1 B:
E , B.S M, V N.
1 O R=1, R=1, R=12 O
D :
E M M
E N .
N ( ).
N ( ).
1 6 11 1
3B B B
TVE TVI
M TEIM dx N dx L L T L T L
EI L EI
=
= + = + =
C ,
B.
11
1 1
1
L
L
1
18TEI/L
12TEI/L
6TEI/L
6TEI/L
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
105/203
105
1 D:
E , D.S M, V N.1 O R=1/L, R=1/L, R=02 O
D , . S
.
1 6 1 11 1
3D D B
TVE TVI
M TEIM dx N dx L T L T
EI L EI L
=
= + = + =
0: E 0 , .S .S ,
. (TT)/2=0
E . A , . , .
1:
E 1.E )
=(TT)/
)T=20C T=20C
1/L
1/L
1
1
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
106/203
106
E 0 1, :
10 1 01 0
TVE TVI
M dx
=
= =
C , ,
, . E
. A M
, .
E 1 1. E ):
31
11 1
1 1 1 11
3 2 2 2 3 2 2 8
TVE TVI
M L L L L L LM dx L
EI EI EI EI
=
= = + =
D +X=0 :
1 0X =
E , ), .
S : M, V N . S
CD.
P
=(TT)/
.
1 B:
E
, B.Y ).
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
107/203
107
D
E M .
N ( , )
.
2( ) ( )11
2 2i s i s
B B
TVE TVI
T T T T LM dx L L
h h
=
= = =
1 D:
E , D.Y ).
N , (
) . S MD .
1 0D D
TVE TVI
M dx
=
= =
C ,
D. P
=0 ).
1/L
1/L
1
1
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
108/203
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
109/203
109
,
, ,
1. ,
.
2. ( ,
).
3. .
2,1.10/
, 1210
, 1627010
, 0,30 1,2.105
3330
3(1)31(21)+(21)1
1
.
. , .
+0.
.
0
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
110/203
110
E 0 , , .U AC AB.
=T=1,21025=310
=(TT)/=1,210
[12,5(12,5)/0,3=10
1
E 1.R:
R=0R=R=0
D .D AB BC,
. S
. T
1 0,
0 . A, 1 0.
3 410 1 0 1 0
1 810 17 1310 30 0,077
2M dx N dx m = + = + =
21 111 1 1
1 1 1 2 8817 130 2,1310
3AC
M NM dx N dx m
EI AE EI AE
= + = + =
D =+X=0.
X=0,077/2,1310=3,61 N
:
M , M = M+ MX.
E , V = V+ VX.
1 1
1 1
T
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
111/203
111
E , N = N+ NX.
E
. H .
A .
S : A.
R:R=1
N , . E . A 0.
N ,
.
38 8
1 1 1 2 28,9817 810 17 0
3 2,110 1627010 2
0,00864
A A A A
MM M dx N dx
EI
m
= + + = + + =
=
B .
S : B.
1
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
112/203
112
R:R=1/30R=1/30
N , . E . A 0.
N ,
.
31 0 0,510 17 0 0,0425
2
B B B B
MM dx M dx N dx rad
EI
= + + = + =
E .
A.P
. E 2, :
A, ,
.
S : A.
R:R=1
N ,
.
4
4 8
1 13,630 1310 30 0,00857
1210 2,110A A AN
N N dx mAE
= + = = L .
C =M/EI+
,
. E ,
.
E .
1
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
113/203
113
,
1. ,
.
2. ,
.
3. .
, 510
,
3532
3(1)0
2
,
.
.
,
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
114/203
114
D , , . P X=X.A, X= X=X. A B F .E :
=
+
X=0
0: P 0 . A .
1:
E
1 2 . P . R .
D . N , .
T ,
(EA=). A ( ).
010 1
1 1 2 2202
2
MM dx
EI EI
= =
20 N
10 N10 N
XX
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
115/203
115
111 1
1 1 2 222
3
MM dx
EI EI
= =
D +X=0
X=/=15 N
:
M , M = M+ MX.
E , V = V+ VX.
E , N = N+ NX.
O M N V.
B F , , =.
P , . P .
S : B.
R:R=1M=2S , .
N ,
M.
55
1 1 1 1 140 140 2202 (20 10)22 9,3310
3 2 3 3510B BM
M dx mEI EI EI EI
= = + = = =
59,3310F
m =
.
C E , , =. P ,
. P .
S : C.
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
116/203
116
R:M=1S , .
N ,
M.
55
1 1 10 10 (20 10)12 210
2 510D DM
M dx radEI EI EI
= = = = =
5210E
rad =
.
P
. A,
.
N
EA=.
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
117/203
117
, AB
BC, .C:
. D (,
).
. D C
D: AE=3E/2, =73/(8E)
:
.
E , , E, .
E :
=+X=0
X=/M
L LL/2
1 1
1 1
1
0
T
X X
X X
B
(=1)
T
E, I, L
A
B
C
D
A, E, , L
E, I, L
T
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
118/203
118
:
:
X=/=L
D :
=M+MX
=V+VX
=N+NX
D
:
=
L
qLL/2
qL2
T
N
+1
N
1
V
L
V
*/EI + * /AE2
*/EI + *
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
119/203
119
D C:
M
L
1
S
C*/EI
L
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
120/203
120
E
:
D . B D E
DA:
E=1,310
; =10 ; =260 ; =
/2E
=9,3610
= =
=6,9210
P .
L,E,IL,E,I
H
A
S=EI/L
M=PL/2
P
L/2L/2L/2
R EI
S=4EI/L
S=EI/L
P/2
L, E, I
R EI
S=3EI/2L
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
121/203
121
:
D D A B
DA:
E=10000 ; =4 ; =4 ; =50
C;
=10C; AE=8000 ; AE==1,8310
A B
DA: AE=48E/
L/2,E,I L/2,E,I
2,A,E,A,E
=30=30
2QQ
T
L,E,I
L,A,E,
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
122/203
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
123/203
123
C C 1, :
1. ( )
2. (, , )
3. .
E
() . D
:
) C:
) P : ( )
.
) E: ( )
.
) P :
.
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
124/203
124
L
. E M M
I. P
.
E ,
.
E : E, C L
:
M F ( ). R
. M R ( ). P .
L . L
. E
, ,
. P ,
.
A (
) (
). E ,
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
125/203
125
A
,
().
S
( G.L.).
. L
.
L . P
, .
C ,
.
C =
( GL ) ( 1 GL 0 )
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
126/203
126
S . E ,
(,).
S ,
. E
3
(, , , , , ) (F, F, F, M, M, M). S
,
.
P 2
(, , ).
E
(F, F, M)
.
u (A) F (A)
AA
x
A A
y
A A
Fu
v F
M
= =
E
(, ) .
E
(F, F) .
u F x
y
Fu
Fv
= =
E
(, , ).
E
(F, M, M).
u Fz
x x
y y
w F
M
M
= =
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
127/203
127
E 3
(, , )
.
E 3
(F, F, F) .
u Fx
y
z
u Fv F
w F
= =
( )
P
3 3
(, , , , , ).
E 3
3 (F, F, F, M, M,
M) .
u F
x
y
z
x x
y y
z z
u Fv F
w F
M
M
M
= =
S
, . L
. L
(,
).
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
128/203
128
L
, .
E (
), ( )
.
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
P
NV
M
N
V
M
= =
L
.
E .1 1
2 2
P N
N
= =
L
,
.
E ,
.
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
F
V
M
T
V
M
T
= =
( )
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
= =
1 1
2 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
N
V
VT
M
M
N
V
V
T
M
M
P
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
129/203
129
E , ()
. E
.
E A
,
.
E B
.
S
. E , .
P (
). P P
, H
.
A, : (
) .
P ,
.
L , ,
. E
(= ).
= M ( )
= M ( )
C , ,
.
L :
P ,
1 ...
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
130/203
130
P
( ).
C
3 : .
S 0
:
P :
... () 1 (=1) 2 (=1) 3 (=1)
1 (N) EA
L
2 () 312EI
L
2
6EI
L
3 (M) 26EI
L
4EI
L
1 .
E
1
=
M
M
1
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
131/203
131
E
. =
A A 1:
A,
,
:
3 2
2
0 0
12 60
6 40
EA
LN uEI EI
V vL L
MEI EI
L L
=
E 3 ,
3 33.
11 1 1 11 1
1
1
1
i j n
i ii ij ini i
j ji jj jnj j
n ni nj nnn n
k k k k P
k k k k P
K K
k k k k P
k k k k P
= =
L L L
M M M MM M
L L L
M M M MM M
L K L
M M M MM M
L L L
,
.
= ,
.
E :
= +...+ +... + +...+
, .
1
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
132/203
132
P . L
...
.
1 0 1 00 0 0 0
k1 0 1 0
0 0 0 0
EA
L
=
S 66 3 ...
.
E
.
I
EA
L
sim0 12EIL
3
0 6EI
L24EI
L
EAL
0 0 EA
L
0 12EI
L36EI
L2 0
12EI
L3
0 6EI
L
2
2EI
L
0 6EI
L
2
4EI
L
K =
K=
12EI
L3
6EI
L24EI
L
sim
12EI
L36EI
L212EI
L3
6EIL
2 2EIL 6EIL
2 4EIL
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
133/203
133
E , 6
. C 2 , 2 .
K=
12EI
sim
0
4EI
L
0 GJt
L
0
0
0
12EI
L3
6EI
L2
00
6EI
L2
2EI
L
0
6EI
L2
4EI
L
L3
6EI
L2
GJtL
GJtL
12EI
L3
x
y
z
2
6
8
12
1185
2
14
6 34 10
5
3
1
9
11
7
912 10
7
K =
EA
L
0 12EIz
L3
0 0 12EIy
L3
0 0 0GJt
L
0 0- 6EIy
L2
04EIy
L
0
6EI
L2 0 0 0
4EIzL
EA
L
0 12EIz
L3
0 0 12EIy
L3
0 0 0GJt
L
0 0
-
6EIy
L2
04EIy
L
0 6EI
0 0 0 4EIz
L
EA
L
0
0
0
0
0
-
L
2
12EIz
L3
0
0
0
6EI
L
2
12EIy
L3
0GJt
L
- 6EIy
L2
0
0 0
-
-
z
0
0
00 0 0
0 0- 6EI
L2
z
06EIy
L2 0
0
0
0
2EIy
L
2EIz
L0
sim
z
-
z
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
134/203
134
E .
( ),
,
.
, .
.
:
= +
= +
, :
'
'
cos
cosx x
y y
P Psen
senP P
=
, :
1'
'
cos
cosx x
y y
P Psen
senP P
=
D , ,
:
cos
cos
senR
sen
=
=
z
Py'
Px
Px'
x'
x
y
y'
Py
ny'
nx'
P
Pysen
Pycos
Px sen
Px cos
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
135/203
135
S
( 66) , :
i i
j j
i i
j j
T
T
T
T
R 0P' P'
P' P0 R
R 0''
' 0 R
T
T
P L P
y
L
= =
= =
E
.
T
cos 0 0 0 0
cos 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0L
0 0 0 cos 0
0 0 0 cos 0
0 0 0 0 0 1
sen
sen
sen
sen
=
L :
( )P ' ' ' ' 'T T Tk L P k L P L k L = = =
C P=, :
' Tk L k L=
S L:
cos 0 0 0 0
cos 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0L
0 0 0 cos 0
0 0 0 cos 0
0 0 0 0 0 1
sen
sen
sen
sen
=
A,
L L.
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
136/203
136
P . D
66 (3 .. ).
S ,
, 3 ... .
P
P
:
P=
P
F . E .
F=
E , , ,
.
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
137/203
137
E
1, 2 3.1 2 3
1
2
3
a a a a
b b
c c
d d
u
u
u
u
= = =
==
=
E , :
i i i B u
( 1) ( ) ( 1)d d n n
=
=
=
= .B= ( )
=
=
.
L .
1 2 3 0a a a a
F P P P = E ,
:
i i iF
( 1) ( ) ( 1)
C P
n n d d
=
=
F=
P=
.
C= (
)
L
. P=
11 1aa ab
a a
b b
ba bb
k kP
Pk k
=
() 1
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
138/203
138
22 2aa ac
a a
c c
ca cc
k kP
Pk k
=
() 2
33 3aa ad
a a
d d
da dd
k k
PP
k k
=
() 3
D :
1 2 3 0a a a a
F P P P = =
. E
.
( ){ { {
ab ac adaa
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3a aa a ab b aa a ac c aa a ad d aa aa aa a ab b ac c ad d
K K KK
F k u k u k u k u k u k u k k k u k u k u k u= + + + + + = + + + + +1442443
D ,
.
D ,
.
1 1
i iii ij
j jji jj
n n
F u
. .. .
. .. .
. .. .
F u. . . K . . . K . . .
. .. .
.. .. .
. .. .F u. . . K . . . K . . .
. .. .
. .. .
. .. .
F u
F K u
= =
Fila"i"
Fila"j"
Col "i" Col "j"
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
139/203
139
9 .. (3 ) .
2.
.
,
:
cos 0 0 0 0
cos 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0L
0 0 0 cos 0
0 0 0 cos 0
0 0 0 0 0 1
sen
sen
sen
sen
=
3.
...
. .
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
140/203
140
E .
E M.
L ""
.
S , ( =
).
E
. L
, ...
.
L ...
. L
...
.
P ... :
L=
R= . E .
L 1, 2, 3, 16 17
.
E
.
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
141/203
141
:
L L
R R
L LLL LR
RL RRR R
F uF u K KF ,
K KF u F uu
= = =
:
E .
E (EACCE) F.
LL L LRF K u K uL R= + RL L RRF K u K uR R= +
:
LL LF K uL=
F
.
, , , ,
.
: R RL LF K u=
.
C
.
.
(, , ). A,
:
T TP' L P L k = =
, , :
T' ' ' k' L P k = =
,
.
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
142/203
142
E
( )
. S , (
.. , )
.
A,
,
.
E ,
.
E ()
()
.
E P
. P
. E
(P) .
C :
P=
P L:
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
143/203
143
P=LP
C
REACCIONES POR
APOOS EN CADA NO DE LOS G.D.L. RESRINGIDOS ( ).
(
)
' ' ' 'empP k P= +
E , :
P
. H
.
) ) ) ) ( )nbci
ij *iji i i i i itotal eq externa
j 1
F F F F C Pexterna eq
=
= + = +
P
.
) ) ) )ij ij ij ij ij ijtotal emp emp empT
P' P' P' ' ' P' ' L P'ij ij ij ijk k = + = + = +
E ,
. E
, 0,
P P
.
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
144/203
144
L
( ) ( ). C
(= L
).
P== L
L , ,
, .
P=L P
= LP
O, :
E
.
( )nbci
ij ij oiji total i externa i eq i externa i i eq
j 1
F ) F ) F ) F ) C P P=
= + = + +
Tij ij ij ij ij oijtotal emp empP' ) k' L P' ) P' )
= + +
C
.
A = 1 2( )
2
T T +
C = 1 2( )T T
h
D
.
P ()
. E ()
().
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
145/203
145
P ,
AB,
(). L B :
B
1 2( )
2
T Tu L
+=
B .
1 2( )T TLh
=
B A.
21 2( )
2
T Tv L
h
= ( )
D ,
.
.
1 2' #emp
21 2
1 2
0
00 00
( )0P k'' k' k' 2
( )
2( )
T TL
uT T
v Lh
T TL
h
+ = = =
P
:
E
(3 6).
1 2
1 2
' #emp
1 2
1 2
( )
20
( )
P( )
20
( )
T TEA
T TEI
h
T TEA
T TEI
h
+
= +
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
146/203
146
L.
P=L P
= LP
E
. S .. .
) ) ( )nbci
ij ij oij #iji i i i itotal externa
j 1
F F C P P Peq
=
= + + +
) ) ) )Tij ij ij ij ij oij #ij
total emp emp empP' k' L P' P' P' = + + +
S ,
C ,
L.
P=L P
= LP
E
. S .. .
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j 1
F F C P P P Peq
=
= + + + +
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total emp emp emp empP' k' L P' P' P' P'= + + + +
P
. E
. S L
D .
P'emp =k' ' donde ' =
0
0
0
0
0
& & &
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
147/203
147
L
.
E ,
0.
0D
u' u'
u' v'
' '
= =
P
:
LL LL D L
D DL DD D
F K K u
F K u F K K u
= =
S F,
, :
= L
F= L F
C ,
F:
' 'T T
L LL LD L
D DL DD D
F K K L u
F L K L K L u
=
S , ,
. A,
3 , , ,
.
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
148/203
148
E ,
. A:
1
2
3
0 0
siendo 0 0
0 0
ap
ii
k
K k
k
=
ap api ii iy F = K u
,
( ).
E , ,
. E
:
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
149/203
149
( )
:
1 0 1 0
0 0 0 0k
1 0 1 0
0 0 0 0
EA
L
=
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
150/203
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
151/203
151
,
.
: 210, 1,210
, 1 , 2,8610
, 2,7810
L ,
, . E
, (3 4)
.
P AB ,
. E ,
.
P
.
0 1 0 1 0 0 96
0 0 0 0 0 0 02' '
(2 ) 1 0 1 0 (2 ) 962
0 0 0 0 0 0 0
empAB AB
EAP k
T L T LL
= = =
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
152/203
152
.
.
44 60.
1
2
3
4
1 30 0
2 24896
3 1 0 0 0 48 32 2 '96 481 3
0 002 2 48 3
3 10 0
2 2
eqAB empAB empABP P L P
= = = =
(6).
,
.
11
22
3
4
5
56
6
48
48 3
48
48 3 100
R
R
F
R
R
+
=
1 1
2 2
43 33
44 44
5 5
6 6
0 0
0 0
2,8610
2,7810
0 0
0 0
uu
u
= =
.
.
= + = : =
+
60
1
2
4
3
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
153/203
153
1 1' 1'
2 2' 2'
4 3 3' 3'
4 4 4' 4'
1/ 2 3 / 2 0 01 0 1 0 0 96 115,5
0 0 0 0 3 / 2 1/ 2 0 0 0 0 02'
1 0 1 0 2,8610 96 115,52 0 0 1/ 2 3 / 20 0 0 0 2,7810 0 00 0 3 / 2 1/ 2
AB
EAP
L
= + =
BC
BC .
4 3 3' 3'
4 4 4' 4'
5 5' 5'
6 6' 6'
1 0 1 0 57, 22,8610
0 0 0 0 02,7810'
1 0 1 0 57,20
0 0 0 0 00
BC
EAP
L
=
=
=
=
= =
D .
57 2
115 5
4
3
6
5
57,2
1
2
4
3
115 5
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
154/203
154
, , :
) .
)
.
) .
:
10
5
510
210/
1,2 10
10
10
D . A
.
A AB BC,
:
1 0 1 0
0 0 0 0' '
1 0 1 00 0 0 0
AB BC
EAk k
L
= =
1 0 1 0
0 0 0 0'
1 0 1 02
0 0 0 0
AC
EAk
L
=
L
:
L
:
P AB: 0. L
.
P BC: 90
P AC: 45
C ,
.
2
14
3
6
5
A B
C
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
155/203
155
2 2
2 2
2 2
2 2
cos cos cos cos
cos cos ' /
cos cos cos cos
cos cos
T
sen sen
sen sen sen senk L k L AE L
sen sen
sen sen sen sen
= =
AB
:
1
2
3
4
1 0 1 0
0 0 0 0
1 0 1 0
0 0 0 0
AB
EAk
L
=
BC (90) CD (45) :
3
4
5
6
0 0 0 0
0 1 0 1
0 0 0 0
0 1 0 1
BC
EAk
L
=
11 1 1 12 2 2 2
21 1 1 12 2 2 2
51 1 1 12 2 2 2
61 1 1 12 2 2 2
2AC
EAk
L
=
. A,
( ).
5 61 2 3 4
1
2
3
4
5
6
1 1 1 11 1 0
2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1
0 02 2 2 2 2 2 2 2
1 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 11 1 1 1
0 02 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1
0 1 12 2 2 2 2 2 2 2
m
EAL
mEA
L
S
EA SKL
+ +
= +
+
A/.
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
156/203
156
3 5 61 2 4
1
2
3
4
5
6
1,35 0,35 01 0,35 0,35
0,35 0,39 0 0 0,35 0,35
5000 1 0 1,04 0 0 0
0 0 0 1 0 1
0,35 0,35 0 0 0,35 0,35
0,35 0,35 0 1 0,35 1,35
K
=
D (2,3 4) (1,5 6) .
.
D .
10C AC.
1'
2'
5'
6'
00 1 0 1 0 6
00 0 0 0 0 0' '
1 0 1 0 62 ( 2 )0 0 0 0 0 00
empAC AC
AC
EAP k
TL L T L
= = =
(
45) .
1
2
5
6
1 1 0 0 6 11 1 0 0 0 12
' 3 20 0 1 1 6 12
0 0 1 1 0 1
eqAC empAC empAC P P L P
= = = =
(6).
,
.
1
12
3
4
5
56
6
3 2
10 3 2
10
5
3 2
3 2
R
F
R
R
+ =
+
1
22
33
44
5
6
0
0
0
u
uu
u
=
C , (1, 5 6)
0, .
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
157/203
157
(2, 3 4) :
LL L LRF K u K uL R= + , LL LF K uL=
0 .
2 3 42 222
3 333
4 444
LL L
10 3 20,39 0 0
F K u 10 50000 1,04 0
50 0 1
L
u
u
u
+ = =
10+3
10=50001,04
5=5000
(1, 5 6) :
RL L RRF K u K uR R= + , RL LF K uR=
0 .
2 3 41 3 21 1
5 3 35 5
6 3 466
3 2 2,95100,35 1 0
F K u 3 2 5000 1,92100,35 0 0
103 2 0,35 0 1
R RL L
R
R
R
= + =
:
==200(2,9510
)=0,59 ( )
= =200(1,9210
)=0,38 ( )
= +
AB
AB .
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
158/203
158
1 1' 1'
3 2 2' 2'
3 3 3' 3'
3 4 4' 4'
1 0 1 0 0 9,6
0 0 0 0 2,9510 0'
1 0 1 0 1,9210 9,6
0 0 0 0 10 0
AB
EAP
L
=
=
=
=
= =
BC . 90.
3 3 3'
3 4 4'
5 5'
6 6'
1 0 1 0 0 1 0 0 51,9210
0 0 0 0 1 0 0 0 010'
1 0 1 0 0 0 0 1 50
0 0 0 0 0 0 1 0 00
BC
EAP
L
= =
AC 45
( ).
1 1' 1'
3 2 2' 2'
5 5' 5'
6 6' 6'
1 0 1 0 1 1 0 0 0 6 13,3
0 0 0 0 1 1 0 0 2,9510 0 02'
1 0 1 0 0 0 1 1 0 6 13,322
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
AC
EAP
L
= + =
. C , .
2
1
4
3
9,6
13,3
5
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
159/203
159
, ,
) . .
) ,
.
) .
) .
10
10/
210/
10
120
/
10
. ( =
) . 2
.
,
.
3 2 3 2
1 3 2 4 3 5 4 6
1 32 23
2 4
3 2 3 2 3 5
4 6
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2 1, 2 6 1, 2 6
' ' 10 6 40 6 2012 6 12 6
1, 2 6 1,2 6
6 20 6 406 2 6 4
AB BC
EI EI EI EI
L L L L
EI EI EI EI
L L L Lk k
EI EI EI EI
L L L LEI EI EI EI
L L L L
= = =
. ,
( ).
2
1
4
3
6
5
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
160/203
160
1 2 3 4 5 61
2
3 3
4
5
6
1,6 6 1, 2 6 0 0
6 40 6 20 0 0
10 1,2 6 2, 4 0 1, 2 6
6 20 0 80 6 20
0 0 1, 2 6 1,2 60 0 6 20 6 42
K
=
.
.
.
,
.
3' 32
4' 4
5' 5
6' 6
2
2 5
25312'
52 253
12
empBC empBC
qL
qL
P P
qL
qL
=
=
=
=
= = =
3
4
5
6
5
253
525
3
eq BC empBC P P
= =
(6).
,
.
1
2
33
4253
55
6253
10
0
5
120
5
RF
R
=
11
22
3
44
5
66
0
0
u
u
uu
u
=
, (3 5)
0, .
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
161/203
161
(1, 2, 4 6)
:
LL L LRF K u K uL R= + , LL LF K uL=
0 .
1 2 4 61 1 1
12 3 2 2
2
4 4 43353 4
25 6 6 63 4
LL L
10 1,6 6 6 0
F K u 0 10 6 40 20 0
6 20 80 20
0 0 20 42
L
u
u
u
u
= =
1
LL LKLu F
=
(3 5) :
RL L RRF K u K uR R= + , RL LF K uR=
0 .
1
1 2 4 63 23 3 3
5 45 5
6
0,028
5 0,0026F K u 10 1, 2 6 0 6
5 0,00320 0 6 6
0,0013
R RL L
R
R
= =
:
==410(0,028)=11,2 ( )
= =210(0,0013)=2,6
= +
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
162/203
162
AB
.
1 1' 1'
2 2' 2 '3
3 3' 3'
4 4' 4 '
1, 2 6 1, 2 6 0,028 1, 2
6 40 6 20 0,0026 0
' 10 1, 2 6 1, 2 6 0 1, 2
6 20 6 40 0,0032 12
ABP
=
=
=
=
= =
BC
,
.
3 3' 3' 3'
4 4' 4 ' 4'3
5 5' 5 ' 5 '
6 6' 6 ' 6 '
1, 2 6 1, 2 6 0 5 16, 4
6 40 6 20 0, 0032 8,33 110,3' 10
1, 2 6 1, 2 6 0 5 6, 46 20 6 40 0,0013 8,33 3,6
BC
P
=
=
=
=
= + =
. ,
B 120 , .
12
1 21 2
3 6
6 4
110 3
16 4
3,612
16 4
1 2
AB
B C
110 3
6 4
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
163/203
163
,
, .
) .
) .
)
.
0
0
0/
000
,0
0
6 (2 ):
:
:
/=210/
2/2=210/
,
3 :
5
1 0 1 0
0 0 0 0k' 210
1 0 1 0
0 0 0 0
=
.
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
164/203
164
3
45BC
5
6
1 0 1 0
0 0 0 0k 210
1 0 1 0
0 0 0 0
=
, 90 (=1,
=0, =0 )
1
25AB
3
4
0 0 0 0
0 1 0 1k k' 210
0 0 0 0
0 1 0 1
TL L
= =
, 45 (=1/2,
=1/2, =1/2 )
1
25
AC
5
6
1 1 1 12 2 2 2
1 1 1 12 2 2 2k k' 2101 1 1 1
2 2 2 21 1 1 1
2 2 2 2
TL L
= =
66.
.
1 2 3 4 5 61
2
5 3
4
5
6
0,5 0,5 0 0 0,5 0,5
0,5 1,5 0 1 0,5 0,5
210 0 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 00,5 0,5 1 0 1,5 0,5
0,5 0,5 0 0 0,5 0,5
K
=
.
.
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
165/203
165
3'
4'
5'
6'
0 1 0 1 0 0 240
0 0 0 0 0 0 0 0' '
1 0 1 0 240
0 0 0 0 0 0 0 0
empBC BC
EA T
EAP k
TL TL EA T L
= = = =
>
(3 6 )
==:
,
( ) :
3 3'
4 4'
5 5'
6 6'
240
0'
240
0
empBC empBC P P
=
=
=
=
= =
3
4
5
6
240
0
240
0
eq BC empBC P P
= =
(6).
,
. .
1 1
2 2
3 3
4
5 5
6 6
240
1000
240
R
R
RF
R
R
=
+
4
0
0
0
0
0
uu
=
(4) :
LL L LRF K u K uL R= + , LL LF K uL=
0 .
5
41000 210 u =
-
7/14/2019 Apuntes de Clculo de Estructuras
166/203
166
D :
34 510Lu u m
= =
(1, 2, 3, 5, 6)
:
RL L RRF K u K uR R= + , RL LF K uR=
0 .
:
==10000(0,005238)=52,38
[ ]
41 1
12 225
3 343
5 55
6 66
00
10001240 210 0,005 0
0240 0
00
0
R
R
R
R
R
= = +
=0
=1000
=0+240=240
=0240=240
=0
BC = + ,
.
3' 3' 3' 3'
4' 4' 4 ' 4'5BC BC
5' 5' 5' 5'
6' 6 ' 6' 6'
1 0 1 0 0 240 240
0 0 0 0 0,005 0 0P' =k' ' ' 210 1 0 1 0 0 240 240
0 0 0 0 0 0 0
BC empBC
kN
PkN