apuntes combinatoria

7/17/2019 APUNTES COMBINATORIA

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COMBINATORIA

La Combinatoria es la parte de las Matemática que estudia las diversas formas deagrupar los elementos de un conjunto, cuantificando dichas agrupaciones.

NOCIONES PREVIAS:

FACTORIALSe define por inducción:

0 N nSi : 1!0

1!1

2)!1.(! n sinnn

Ejemplo

5! = 5.4! = 5.4.3! = 5.4.3.2! = 5.4.3.2.1! = 5.4.3.2.1

Propiedad: n! = n.(n-1).(n-2)……….1 para n1

Se prueba por inducción:

Para n = 1 : 1! = 1 por definición.

Para n = h : h! = h.(h-1).(h-2)…..1 ( Hipótesis inductiva)

Para n = h+1: (h+1)! = (h+1).h! (por definición) =

= (h+1).h.(h-1).(h-2)……1 (por hipótesis inductiva)

Por lo tanto: n! = n.(n-1).(n-2)……….1



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PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN

Si una actividad A1 puede ser realizada mediante k 1 procedimientos, luego para cada

una de estas formas de A1 otra actividad A2 puede ser realizada por k 2 métodos, después

cada una de estas , tanto de A1 como de A2, una tercera actividad A3 puede ser efectuada

por k 3 procedimientos, etc...y así sucesivamente hasta una m-ésima actividad Am, la cual puede ser realizada mediante k m métodos, entonces "A1 y A2 y A3 y ... y Am" se

pueden efectuar de k 1·k 2·k 3·...·k m formas posibles.

Ejemplo :

Tres carreteras principales unen la población A con la población B; y dos

carreteras principales unen la población B con la población C.

Determinar el número de formas de realizar un viaje de la población A a la

población C; pasando por la población B.

Para ir de A a B existen 3 posibilidades y para ir de B a C hay 2 posibilidades.De este modo, conforme al Principio de Multiplicación existen 3.2 = 6 formas de

realizar el viaje.

COMBINATORIA

Existen distintas formas de agrupar los elementos de un conjunto, según se repitan

elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si

influye o no el orden de colocación de los elementos:

COMBINATORIA SIMPLE

VARIACIONES SIN REPETICIÓN

Las variaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n se definen como

las distintas agrupaciones formadas con n elementos distintos, eligiéndolos de entre los

m elementos de que disponemos, considerando un grupo distinto de otro tanto si

difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.

Fórmula:

)!(

!)1().........2).(1.(

nm

mnmmmmV nm

Ejemplo :

¿Cuantos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras

significativas del sistema decimal?



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Al tratarse de números el orden importa y además nos dice "cifras distintas" luego no

pueden repetirse.

Por tanto, se pueden formar 504 números :

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN

Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como las distintas formas

de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el

orden de colocación de sus elementos.

Fórmula:

!

1

!

!0

!

)!(

!n

nn

nn

nV P n

nn

Ejemplo :

Con las letras de la palabra DISCO ¿cuantas palabras distintas se pueden formar?

Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Y además n = m, es decir

tenemos que formar palabras de cinco letras con cinco elementos D, I, S, C, O que no

están repetidos.

Por tanto, se pueden formar 120 palabras :

COMBINACIONES SIN REPETICIÓN:

Las combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n se definencomo las distintas agrupaciones formadas con n elementos distintos, eligiéndolos de

entre los m elementos de que disponemos, considerando un grupo distinto de otro sólo

si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).

Fórmula:

)!!.(!nmn

mC nm

Ejemplo :

Cuantos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de una clase.

(Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno)

No importa el orden (son grupos de alumnos). No puede haber dos alumnos iguales en

un grupo evidentemente, luego sin repetición.



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Por tanto, se pueden formar 142506 grupos distintos :

COMBINATORIA CON REPETICIÓN

VARIACIONES CON REPETICIÓN

Las variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n se definen como

las distintas agrupaciones formadas con n elementos que pueden repetirse, eligiéndolosde entre los m elementos de que disponemos, considerando un grupo distinto de otro

tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.

Fórmula:

nn

m mVR

Ejemplo :

¿Cuantos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas

del sistema decimal?

Al tratarse de números el orden importa y además no dice nada sobre "cifras distintas"

luego si pueden repetirse.

Por tanto, se pueden formar 729 números :

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN:

Llamamos permutaciones con repetición de n elementos cuando en los n elementosexisten elementos repetidos (un elemento aparece a veces, otro b veces, otro c veces,

etc) verificándose que a+b+c+...=n.

Fórmula:

!!!

!,,

cba

n PR

cba

n

Ejemplo :

¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son

blancas, 3 amarillas y 2 azules?



5

El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (están

repetidas) y además n = m, es decir colocamos 9 bolas en linea y tenemos 9 bolas para

colocar.

Por tanto, tenemos 1260 modos de colocarlas :

COMBINACIONES CON REPETICIÓN:

Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n se definencomo las distintas agrupaciones formadas con n elementos que pueden repetirse,

eligiéndolos de entre los m elementos de que disponemos, considerando un grupodistinto de otro sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación

de sus elementos).

Fórmula:n

nm

n

m C CR 1

Ejemplo :

En una confitería hay cinco tipos diferentes de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden

elegir cuatro pasteles?

No importa el orden (son pasteles). Puede haber dos o más pasteles del mismo tipo en

un grupo, se trata entonces de combinaciones con repetición.

Por lo tanto tenemos 70 formas de elegirlos:

70)!15(!4

!84

145

4

5

C CR

Pautas para la resolución de problemas

Si en cada agrupación figuran sólo algunos de los elementos disponibles,

importando el orden de colocación de éstos, entonces es un problema de

variaciones. Si en cada agrupación figuran todos los elementos disponibles, importando su

orden de colocación, entonces se trata de un problema de permutaciones. Si en cada agrupación figuran sólo algunos de los elementos disponibles, sin

importar el orden de colocación de éstos, entonces estamos ante un problema de

combinaciones.



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NÚMEROS COMBINATORIOS

Se define número combinatorio o coeficiente binómico como el valor numérico de las

combinaciones ordinarias (sin repetición) de un conjunto de m elementos tomados engrupos de n, siendo m y n dos números enteros y positivos tales que m ≥ n.

Matemáticamente, un número combinatorio se expresa como:

)!!.(

!,

nmn

mC

n

mnm

Los números combinatorios se leen «m sobre n».

Propiedades de los números combinatorios

Los números combinatorios presentan algunas propiedades muy interesantes que

justifican el amplio uso que se hace de ellos en algunas ramas científicas:

Los números combinatorios complementarios son iguales

nm

m

n

m

porque :

)!(!

!

nmn

m

n

m

y

n

m

nnm

m

nmmnm

m

nm

m

!)!(

!

))!(()!(

!

Cualquier número sobre 0 es igual a 1.

10

m

Porque1

!.1

!

)!0(!0

!

0

m

m

m

mm

Todo número sobre sí mismo es igual a 1.

1

m

m



7

Porque por la primera propiedad

10

m

m

m

Un número sobre 1 es siempre igual al número.

mm

1

Porquem

m

mm

m

mm

)!1(1

)!1.(

)!1(!1

!

1

Triángulo de Tartaglia

En el siglo XVI, el italiano Tartaglia propuso un triángulo regular de números tales

que:

Todas las filas del triángulo comienzan y terminan en 1, y son simétricas con

respecto al valor central.

Cada número del triángulo es igual a la suma de los dos situados encima de él

(salvo los extremos).

La suma de todos los elementos de cada fila coincide con el valor 2n, siendo n el

orden de la fila.

Esta disposición es de tipo combinatorio y se conoce como triángulo de Tartaglia o de

Pascal.

Este triángulo adquiere particular significación si se expresa en forma de números

combinatorios, y ayuda a comprender las propiedades de los mismos.



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BINOMIO DE NEWTON

Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar un binomio a cualquier potencia de

exponente natural n. Esto es la forma de obtener

Para ello veamos como se van desarrollando las potencias de (a + b) :

Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta

secuencia

O sea que cada uno de esos números corresponde al valor de un número combinatorio

así:

nba

baba 1

222

2 bababa 32232223

332 babbaababababababa

43223434464 babbabaabababa



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Por otra parte, observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias de

a empiezan elevadas a n, va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero. A los

exponentes de b les ocurre lo contrario.

Y ya podemos escribir la fórmula general del llamado binomio de Newton

que también se puede escribir de forma abreviada así:

En general el término de lugar h en el desarrollo de es

1)1(

1

hhn

h bah

nT

Ejemplos:1) 5)32( y x

54322345 )3(5

5)3)(2(

4

5)3()2(

3

5)3()2(

2

5)3()2(

1

5)2(

0

5 y y x y x y x y x x

La fila 5 del triángulo de Tartaglia es: 1, 5, 10, 5, 10, 5, 1 ; que serán los valores de los

coeficientes.

2) Calcular sin desarrollar el término que ocupa el lugar 50 en el desarrollo de:

(a2+3/b)100

=

nnnnnnb

n

nab

n

nba

nba

na

nba

1221

1...

210

nh

h

hhnnba

h

nba

0

n

ba

49

512

50

3

49

100

baT

49

4910228 3

..10.89,9 ba



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