apuntes cdy
TRANSCRIPT
Universidad Nacional Autónoma de México F a c u l t a d d e I n g e n i e r í a
División de Ingeniería en Ciencias de la Tierra Caracterización Dinámica de Yacimientos
Grupo: 02
“Apuntes de Caracterización Dinámica
de Yacimientos, Semestre 2009 - 1”
Alumno:
Bruno Armando López Jiménez
Profesor: Ing. Israel Castro Herrera
México, D. F., a 5 de Enero de 2009
1
INDICE GENERAL
1. Variables adimensionales .......................................................................... 1 1.1 Tipos de variables adimensionales ........................................ 2 1.2 Ecuación de difusión ....................................................................... 5
1.2.1 Solución a la ecuación de difusión ......................... 9 1.2.2 Construcción de la curva tipo.................................. 11 1.2.3 Aproximación logarítmica de la solución línea
fuente...................................................................................... 13 2. Pruebas de presión ...................................................................................... 17
2.1 Pruebas de interferencia ............................................................ 17 2.2 Pruebas de incremento de presión ...................................... 23
2.2.1 Método de Horner.............................................................. 24 2.3 Pruebas de decremento de presión ..................................... 32
1. Variables adimensionales Estas variables son una combinación de variables del yacimiento para formar grupos adimensionales, cuyo objetivo es eliminar la presencia de variables del yacimiento en la solución. Las variables adimensionales son directamente proporcionales a la variable real. Ejemplo: realensionala PP ∝dim . La adimensionalización de las variables se puede realizar en función de:
a. Geometría de flujo. b. Tipo de fluido.
1.1 Tipos de variables adimensionales
i. Presión.
ii. Gasto. iii. Tiempo. iv. Distancia.
Tipo de flujo Variable
Flujo lineal Flujo radial Flujo esférico
Presión LBqPhbkPooo
D ⋅⋅⋅⋅Δ⋅⋅⋅
=μα
2.887=α ooo
D BqPhkP
μα ⋅⋅⋅Δ⋅⋅
=
2.141=α ooo
wD Bq
PrkP
μα ⋅⋅⋅Δ⋅⋅
=
Tiempo 2Lctkt
ToD ⋅⋅⋅
⋅⋅=
μφβ
410637.2 −×=β 2
wToD rc
tkt⋅⋅⋅
⋅⋅=
μφβ
2wTo
D rctkt⋅⋅⋅
⋅⋅=
μφβ
Distancia LxxD =
wD r
rr = w
D rrr =
Gasto o
ooD Phbk
tqLBq
Δ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=)(μα
wfio PPP −=Δ o
ooD Phk
tqBq
Δ⋅⋅⋅⋅⋅
=)(μα
ow
ooD Prk
tqBq
Δ⋅⋅⋅⋅⋅
=)(μα
Tabla 1.- Definiciones de las variables adimensionales correspondientes a diferentes tipos de flujo.
donde: - k_ Permeabilidad, [md]. - h_ Espesor del intervalo, [ft]. - oB _ Factor de volumen del aceite, [1]. - α _ Constante particular para cada tipo de flujo, [1]. - PΔ _ Caída de presión (aplicable tanto para pruebas de un solo pozo como para
pruebas multipozo), [psi]. - oq _ Gasto de aceite, [bpd].
- oμ _ Viscosidad del aceite, [cp]. - L_ Longitud del canal o de la fractura, [ft]. - b_ Ancho del canal o de la fractura, [ft].
2
- wr _ Radio del pozo, [ft].
- c _ Compresibilidad totaT l, [psi]-1. - φ _ Porosidad, [1].
Ejercicio I.- Calcular el valor de .
olución:
Dr
conocidoq ][27.0 ftrw =
][1200 ftr =
¿?=P
pulsantePozo _
observadorPozo _
r S
44.444427.0
1200===
wD r
rr
NOTA.-
i. Si 1=Dr ⇒ w
wD r
rr = ∴ se está analizando el pozo mismo.
ii. Si se está analizando algún punto lejano al pozo o incluso la frontera
OTA.- Para estimar el valor de k, se requiere realizar el análisis para cuando se
Ejercicio II.- Determinar y para flujo radial, en el sistema inglés de campo
Variable
1>Dr ⇒del yacimiento.
Npresenta flujo radial transitorio durante las pruebas de presión.
DP D
con los siguientes datos:
t
Valor k 5 5 [md]
wr 0.25 [ft]
h 95 [ft]
oμ 0.8 [cp]
oq 600 [bpd]
φ 0.11
oB 1.2
Tc 12 x 1 psi]-10-6 [
PΔ 1 [psi] t 1 [h]
3
Solución:
064243.08.02.16002.141
19555=
⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
Δ⋅⋅=
oooD Bq
PhkPμα
21975025.010128.011.0
15510637.226
4
2 =⋅×⋅⋅⋅⋅×
=⋅⋅⋅
⋅⋅=
−
−
wToD rc
tktμφβ
Ejercicio III.- Determinar y para flujo radial, en el sistema inglés de campo
Variable
DP D
con los siguientes datos:
t
Valor k 1 ] 00 [md
wr 0.30 [ft]
h 700 [ft]
oμ 0.7 [cp]
oq 6000 [bpd]
φ 0.05
oB 2.5
Tc 20 x 1 psi]-10-6 [
1PΔ 2 [psi]
1t 4 [h]
2PΔ 2.4 [psi]
2t 3 [h]
Solución:
i.
][21 psiP =Δ , ][41 ht =
094428706.07.05.260002.141
2700100=
⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
Δ⋅⋅=
oooD Bq
PhkPμα
714.167428530.010207.005.0
410010637.226
4
2 =⋅×⋅⋅⋅⋅×
=⋅⋅⋅
⋅⋅=
−
−
wToD rc
tktμφβ
ii. ][4.22 psiP =Δ , ][32 ht =
113314447.07.05.260002.141
4.2700100=
⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
Δ⋅⋅=
oooD Bq
PhkPμα
286.125571430.010207.005.0
310010637.226
4
2 =⋅×⋅⋅⋅⋅×
=⋅⋅⋅
⋅⋅=
−
−
wToD rc
tktμφβ
4
Ejercicio IV.- Demostrar que DP (para flujo lineal y radial) y Dt (para flujo radial) son variables adimensionales.
Solución:
i. Flujo lineal: D P
]1[11 1113
212
=⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅Δ⋅⋅⋅
=−−−
−−
LTMLTLTMLLLL
LBqPhbkPooo
D μα
ii. Flujo radial: DP y Dt
]1[11 1113
212
=⋅⋅⋅
⋅⋅=
⋅⋅⋅Δ⋅⋅
=−−−
−−
TMLTLTMLLL
BqPhkP
oooD μα
]1[1
122111
2
2 =⋅⋅⋅
⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅
=−−− LLTMTMLTL
rctkt
wToD μφ
β
1.2 Ecuación de difusión
Ésta se puede expresar en:
a) Coordenadas cartesianas:
tP
kc
zP
yP
xP To
∂∂⋅⋅
=∂∂
+∂∂
+∂∂ μφ
2
2
2
2
2
2
b) Coordenadas cilíndricas:
tP
kc
rP
rrP To
∂∂⋅⋅
=∂∂
++∂∂ μφ1
2
2
Ejercicio V.- Transformar la ecuación de difusión en coordenadas cartesianas a
variables adimensionales. Solución: Considerando que sólo existe flujo en “x”, la ecuación de difusión en coordenadas cartesianas se reduce a:
tP
kc
xP To
∂∂⋅⋅
=∂∂ μφ
2
2
…. (1)
Para transformar la ecuación (1) a variables adimensionales, se requiere de la definición de para flujo lineal: DP
LBqPhbkPooo
D ⋅⋅⋅⋅Δ⋅⋅⋅
=μα
; )(tPPP i −=Δ
5
Por lo tanto:
LBqtPPhbk
Pooo
iD ⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅=
μα)]([
⇒ hbk
LBqPtP ooo
i ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−=μα
)( …. (2)
Así también son necesarias las definiciones de y : Dt Dx
2Lctkt
ToD ⋅⋅⋅
⋅⋅=
μφβ
…. (3) ; LxxD = …. (4)
Derivando la ecuación (2) respecto a t:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂∂∂
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−=∂∂
tt
tP
hbkLBq
tt
tP
hbkLBq
tP D
D
Dooo
D
DDooo μαμα…. (5)
donde ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂t
tD se obtiene derivando la ecuación (3) respecto a t:
2Lck
tt
To
D
⋅⋅⋅⋅
=∂
∂μφ
β …. (6)
Sustituyendo (6) en (5):
D
D
T
oo
ToD
Dooo
tP
LchbBq
Lck
tP
hbkLBq
tP
∂∂
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅⋅⋅
∂∂
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−=∂∂
φβα
μφβμα
2 …. (7)
Por otra parte, ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
xP
se obtiene derivando la ecuación (2) respecto a x:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−=∂∂
∂∂
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−=∂∂
xx
xP
hbkLBq
xx
xP
hbkLBq
xP D
D
Dooo
D
DDooo μαμα…. (8)
donde ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂x
xD se obtiene derivando la ecuación (4) respecto a x:
LxxD 1
=∂
∂…. (9)
Sustituyendo (9) en (8):
D
Dooo
D
Dooo
xP
hbkBq
LxP
hbkLBq
xP
∂∂
⋅⋅⋅⋅⋅
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−=∂∂ μαμα 1
…. (10)
6
Para obtener ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
2
2
xP
se sabe que:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
xP
xxP2
2
Por lo tanto:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⋅⋅⋅⋅⋅
−∂
∂=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⋅⋅⋅⋅⋅
−∂∂
=∂∂
xx
xP
hbkBq
xxx
xP
hbkBq
xxP D
D
Dooo
DD
D
D
Dooo μαμα2
2
2
2
2
2 1
D
Dooo
D
Dooo
D xP
LhbkBq
LxP
hbkBq
xxP
∂
∂⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⋅⋅⋅⋅⋅
−∂
∂=
∂∂ μαμα
…. (11)
Sustituyendo las ecuaciones (7) y (11) en la (1) queda:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅
=∂
∂⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−D
D
T
ooTo
D
Dooo
tP
LchbBq
kc
xP
LhbkBq
φβαμφμα
2
2
Eliminando términos semejantes, finalmente nos queda la expresión de la ecuación de difusión en coordenadas cartesianas en variables adimensionales:
D
D
D
D
tP
xP
∂∂
=∂
∂β2
2
…. (12)
Ejercicio VI.- Transformar la ecuación de difusión en coordenadas cilíndricas a
variables adimensionales. Solución: La ecuación de difusión en coordenadas cilíndricas en variables reales es:
tP
kc
rP
rrP To
∂∂⋅⋅
=∂∂
++∂∂ μφ1
2
2
…. (13)
Para transformar la ecuación (13) a variables adimensionales, se requiere de la definición de para flujo radial: DP
oooD Bq
PhkPμα ⋅⋅⋅
Δ⋅⋅= ; )(tPPP i −=Δ
Por lo tanto:
ooo
iD Bq
tPPhkP
μα ⋅⋅⋅−⋅⋅
=)]([
⇒hkBq
PtP oooi ⋅
⋅⋅⋅−=
μα)( …. (14)
7
Así también son necesarias las definiciones de y : Dt Dr
2wTo
D rctkt⋅⋅⋅
⋅⋅=
μφβ
…. (15) ; w
D rrr = …. (16)
Derivando la ecuación (14) respecto a t:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂∂∂
⋅⋅⋅⋅
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
⋅⋅⋅⋅
−=∂∂
tt
tP
hkBq
tt
tP
hkBq
tP D
D
Dooo
D
DDooo μαμα…. (17)
donde ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂t
tD se obtiene derivando la ecuación (15) respecto a t:
2wTo
D
rck
tt
⋅⋅⋅⋅
=∂
∂
μφβ
…. (18)
Sustituyendo (18) en (17):
D
D
wT
oo
wToD
Dooo
tP
rchBq
rck
tP
hkBq
tP
∂∂
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅⋅⋅
∂∂
⋅⋅⋅⋅
−=∂∂
22 φβα
μφβμα
…. (19)
Por otra parte, ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
rP
se obtiene derivando la ecuación (14) respecto a r:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂∂∂
⋅⋅⋅⋅⋅
−=∂∂
∂∂
⋅⋅⋅⋅
−=∂∂
rr
rP
hkBq
rr
rP
hkBq
rP D
D
Dooo
D
DDooo μαμα…. (20)
donde ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂rrD se obtiene derivando la ecuación (16) respecto a r:
w
D
rrr 1
=∂
∂…. (21)
Sustituyendo (21) en (20):
D
D
w
ooo
wD
Dooo
rP
rhkBq
rrP
hkBq
rP
∂∂
⋅⋅⋅⋅⋅
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⋅⋅⋅⋅
−=∂∂ μαμα 1
…. (22)
Para obtener ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
2
2
rP
se sabe que:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
rP
rrP2
2
8
Por lo tanto:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⋅⋅⋅⋅⋅
−∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⋅⋅⋅⋅⋅
−∂∂
=∂∂
rr
xP
hbkBq
rrr
rP
rhkBq
rrP D
D
Dooo
DD
D
D
D
w
ooo μαμα2
2
2
2
22
2 1
D
D
w
ooo
wD
D
w
ooo
D rP
rhkBq
rrP
rhkBq
rrP
∂
∂
⋅⋅
⋅⋅⋅−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⋅⋅⋅⋅⋅
−∂∂
=∂∂ μαμα
…. (23)
De la ecuación (16) se obtiene r:
wD rrr ⋅= …. (24) Sustituyendo las ecuaciones (19), (22), (23) y (24) en la (13) queda:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅−
⋅⋅=
∂∂
⋅⋅⋅⋅⋅
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
+∂
∂
⋅⋅
⋅⋅⋅−
D
D
wT
ooTo
D
D
w
ooo
wDD
D
w
ooo
tP
rchBq
kc
rP
rhkBq
rrrP
rhkBq
22
2
2
1φ
βαμφμαμα
Eliminando términos semejantes, finalmente nos queda la expresión de la ecuación de difusión en coordenadas cilíndricas en variables adimensionales:
D
D
D
D
DD
D
tP
rP
rrP
∂∂
=∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂
∂β1
2
2
…. (25)
Ecuación de difusión Coordenadas
Variables reales Variables adimensionales
Cartesianas tP
kc
zP
yP
xP To
∂∂⋅⋅
=∂∂
+∂∂
+∂∂ μφ
2
2
2
2
2
2
D
D
D
D
D
D
D
D
tP
zP
yP
xP
∂∂
=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂β2
2
2
2
2
2
Cilíndricas tP
kc
rP
rrP To
∂∂⋅⋅
=∂∂
++∂∂ μφ1
2
2
D
D
D
D
DD
D
tP
rP
rrP
∂∂
=∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂
∂β1
2
2
Tabla 2.- Ecuación de difusión para los diferentes sistemas coordenados, tanto en variables reales como adimensionales.
1.2.1 Solución a la ecuación de difusión
Para obtener la solución a la ecuación de difusión para flujo radial en variables adimensionales considerando un yacimiento infinito y homogéneo:
D
D
D
D
DD
D
tP
rP
rrP
∂∂
=∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂
∂β1
2
2
son necesarias las siguientes condiciones:
i. Condición inicial: 0),( =DDD trP ; 0≤D
iit .
. Condición de frontera interna: pozo que produce a gasto constante,
.1−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
D
DD r
Pr
9
iii. Condición de frontera externa: yacimiento infinito, 0), . (lim =∞→Dr
DDD trP
Asimismo, se requiere de la aplicación de la transformada de Laplace, la ecuación de Bessel modificada de orden cero, y las funciones Bessel, para finalmente obtener la solución línea fuente:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
D
DiD t
rEP
421 2
donde: - DP _ Presión adimensional para flujo radial, la cual está en función de Dr y Dt . - iE _ Integral exponencial.
- Dr _ Radio adimensional para flujo radial. - Dt _ Tiempo adimensional para flujo radial. Observación.- El desarrollo completo y detallado de la solución a la ecuación de difusión se presenta en el archivo Sol_línea_fuente_pdf. La solución línea fuente puede ser aplicada tanto a pruebas multipozo como a pruebas en un solo pozo.
Cuando 04
2
>−D
D
tr
, entonces 1EEi = y puede ser calculado mediante un
polinomio, por lo tanto:
1E
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
D
DD t
rEP
421 2
1 …. (26)
Observación.- El polinomio mediante el cual se puede calcular se presenta en el archivo
1EIntegral Exponencial.
Para pruebas de presión en un solo pozo 1=Dr , lo cual implica que:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
DD t
EP41
21
1
NOTA.- Dentro de las pruebas de presión en un solo pozo se encuentran:
i. De incremento. ii. De decremento.
iii. De inyectividad. iv. Fall-off.- Esta prueba se lleva a cabo cuando los pozos no tienen energía para
llevar los fluidos hasta la superficie. Debido a que para la estimación de las propiedades del yacimiento se requiere de una perturbación, ésta es generada mediante la inyección de un fluido (salmuera, aceite de la formación o diesel). Los periodos de inyección son cortos.
10
1.2.2 Construcción de la curva tipo Una curva tipo es una gráfica universal, por lo que ésta debe de estar en variables adimensionales. Es universal porque es aplicable para todos los yacimientos que cumplan con las premisas para la obtención de la solución línea fuente (yacimiento infinito y homogéneo, flujo radial, gasto constante). El procedimiento para la construcción de la curva tipo es el siguiente:
i. Suponer valores para 2D
D
rt en escala logarítmica: 0.01, 0.02, 0.03, …., 0.1,
0.2, 0.3, …., 1, 2, 3, …., 10, 20, 30, …., 100, 200, 300, …., 1000.
ii. Calcular D
Dt
r4
2
.
iii. Evaluar ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
D
D
trE4
2
1 mediante el polinomio:
a. Para 10 ≤≤ x , donde: D
D
tr
x4
2
= :
)ln(00107.000976.005519.024991.099999.057721.0)( 5432
1 xxxxxxxE −+−++−++−=
b. Para ∞<≤ x1 , donde: D
D
tr
x4
2
= :
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅++++++++
=xexxxx
xxxxxE 157332.963295.2509965.2195849.3
57332.805901.1863476.826777.0)(432
432
1
iv. Calcular ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
D
DD t
rEP
421 2
1 .
v. Graficar DP vs. 2D
D
rt , con lo que se obtendrá la curva correspondiente a la
solución de la ecuación de difusión (solución línea fuente), a emplear en la interpretación y análisis de las pruebas de presión. Dicha curva es la que se presenta a continuación:
11
Sol. Línea Fuente
0.01
0.1
1
10
0.01 0.1 1 10 100 1000
tD/rD2
P D
Fig. 1.- Curva tipo de la solución línea fuente.
Observación.- Los cálculos del procedimiento anteriormente descrito, así como la gráfica de la curva tipo, se encuentran en el archivo Curva tipo.xls. Es importante recordar que la solución línea fuente se obtiene a partir de la condición de que el radio del pozo tiende a cero, por lo que el valor de tiende a infinito respectivamente. Es por ello que se ha considerado que la curva tipo de la solución línea fuente corresponde a un valor de , es decir; que la solución línea fuente
es válida para cualquier valor de
Dr
20≥Dr
2D
D
rt que cumpla con la condición de que .
Con base en lo anterior, se puede establecer que la curva tipo es aplicable sin ningún error para pruebas multipozo, mientras que cuando se estén empleando pruebas de un solo pozo, es necesario tener en cuenta que el análisis solamente será correcto, empleando la solución línea fuente, para cuando se cumpla que , de lo contrario; se estarían incurriendo en graves errores.
20≥Dr
20≥Dr
12
1=Dr
2=Dr
20=Dr
De aquí en adelante, se puede emplear la solución línea fuente a pruebas de un solo pozo.
Fig. 2.- Comparación de las curvas correspondientes a valores de rD = 1, 2, y 20;
con respecto a la curva tipo de la solución línea fuente.
Ejercicio VII.- Si ][3.0 ftr , ¿cuánto debe valer r para que se cumpla 20>Dr ? w = Solución:
wD r
rr = ⇒ Dw rrr ⋅=
][6)20(])[3.0( ftftr =⋅= ∴ ][6 ftr >
1.2.3 Aproximación logarítmica de la solución línea fuente
La aplicación de la ecuación:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
D
DD t
rEP
421 2
1
es tediosa aunque no complicada, debido a la forma de evaluar . )(1 xE
Una aproximación es considerar a la serie infinita:
( ) ∑∞
= ⋅⋅−
−+−=1
1 !)1(1ln)(
n
nn
nnx
xxE γ , 577216.0=γ (Constante Euler).
como una serie finita para valores de 01.0≤x , por lo que dicha serie se reduce a:
( )xxE 1ln)(1 +−= γ , D
D
tr
x4
2
= ⇒ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= 21
4ln)(
D
D
rt
xE γ …. (27)
13
Aplicando las propiedades de los logaritmos a la ecuación (26) queda:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−= 221 ln386294361.1577216.0ln4ln577216.0)(
D
D
D
D
rt
rt
xE
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= 21 ln809078361.0)(
D
D
rt
xE …. (28)
Sustituyendo la ecuación (28) en la (26) queda:
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= 2ln809078361.0
21,
D
DDDD r
ttrP …. (29)
Sustituyendo las definiciones de de , y para flujo radial en la ecuación (29): DP Dt Dr
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅⋅⋅⋅
+=⋅⋅⋅
Δ⋅⋅2ln809078361.0
21
rctk
BqPhk
Toooo μφβ
μα…. (30)
Ahora, se procede a cambiar la ecuación (30) de logaritmo natural a logaritmo base 10, para lo cual se recuerda lo siguiente:
302585093.21302585093.2)10(log302585093.2)10ln( 10 =⋅=⋅=
∴ )(log302585093.2)1ln( 10 xx ⋅=
Al aplicar la propiedad de los logaritmos anterior a la ecuación (30), se tiene lo siguiente:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅+=⋅⋅⋅
Δ⋅⋅210log302585093.2809078361.0
21
rctk
BqPhk
Toooo μφβ
μα…. (31)
Aplicando las propiedades de los logaritmos a la ecuación (31):
( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅⋅⋅+=
⋅⋅⋅Δ⋅⋅ t
rck
BqPhk
Toooo1010210 logloglog302585093.2809078361.0
21 β
μφμα
Simplificando la ecuación anterior, se tiene:
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅⋅
⋅+=⋅⋅⋅
Δ⋅⋅ 57888987.3loglog302585093.2809078361.021
10210 trc
kBq
Phk
Toooo μφμα
14
Tomando como factor común 2.302585093 para todo el término de la derecha de la ecuación anterior:
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅⋅
+=⋅⋅⋅
Δ⋅⋅ 57888987.3loglog302585093.2809078361.0
2302585093.2
10210 trc
kBq
Phk
Toooo μφμα(32)
Simplificando términos semejantes en la ecuación (32):
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
Δ⋅⋅ 227511603.3loglog2
302585093.210210 t
rck
BqPhk
Toooo μφμα…. (33)
Sustituyendo el valor de α para flujo radial en la ecuación (33), y despejando , finalmente se obtiene la aproximación logarítmica en el sistema ingles de campo, aplicables tanto para pruebas multipozo como para un solo pozo; bajo la consideración de yacimiento infinito, y flujo radial a gasto constante:
PΔ
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=Δ 227511603.3loglog5625076.162
10210 trc
khk
BqPTo
ooo
μφμ …. (34)
Aplicando la ecuación (34) al pozo ( wrr = ):
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=Δ 227511603.3loglog5625076.16210210 t
rck
hkBqP
wTo
ooo
μφμ …. (35)
Ejercicio VIII.- Dos pozos A y B están a un espaciamiento de 660 [ft] terminados en
el mismo yacimiento. Ambos pozos han estado cerrados por mucho tiempo y ya no se observan cambios drásticos de la P en el tiempo. El pozo A es abierto a producción a un gasto ][30 bpd , ¿cuál será la caída de presión en el pozo B al final de 1 y 10 días? Considérense los siguientes datos:
qA =
Variable Valor
k 11 [md]
wr 0.33 [ft]
h 13 [ft]
oμ 0.7 [cp]
iP 2000 [psi]
bP 1427 [psi]
φ 0.14
oB 1.3
oc 11.3 x 10-6 [psi]-1
wc 3.1 x 10-6 [psi]-1
fc 4.5 x 10-6 [psi]-1
os 0.89
ws 0.11
15
Solución:
][30 bpdqA =
][660 ftr =
¿?_1 =Δ díaP ¿?_10 =Δ díasP
fwwooT cscscc +⋅+⋅=
[ ][ ] ][104898.1)105.4()11.0101.3()89.0103.11( 151666 −−−−−− ×=×+⋅×+⋅×= psipsicT
i. t = 1 [día] = 24 [h]:
109464208.0660104898.17.014.0
241110637.225
4
22 =⋅×⋅⋅
⋅⋅×=
⋅⋅⋅⋅⋅
=−
−
rctk
rt
ToD
D
μφβ
Con el valor de 109464208.02 =D
D
rt
, se entra a la curva tipo y se lee su
correspondiente valor de , el cual es 0.018. DP De la definición de para flujo radial se despeja la incógnita DP PΔ :
][485214545.01311
7.03.1302.141018.0 psihk
BqPP oooD =
⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅
⋅⋅⋅⋅=Δ
μα
ii. t = 10 [día] = 240 [h]:
094642082.1660104898.17.014.0
2401110637.225
4
22 =⋅×⋅⋅
⋅⋅×=
⋅⋅⋅⋅⋅
=−
−
rctk
rt
ToD
D
μφβ
Con el valor de 094642082.12 =D
D
rt
, se entra a la curva tipo y se lee su
correspondiente valor de , el cual es 0.55. DP De la definición de para flujo radial se despeja la incógnita DP PΔ :
][826.141311
7.03.1302.14155.0 psihk
BqPP oooD =
⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅
⋅⋅⋅⋅=Δ
μα
NOTA.- Para pruebas de interferencia es común que la caída de presión se encuentre en el siguiente rango: [ ]psiP 101 <Δ< .
16
2. Pruebas de presión
2.1 Pruebas de interferencia Para el análisis e interpretación de la información obtenida a partir de pruebas de interferencia, se hacen uso de los siguientes métodos:
i. Método Semilog Considérese la aproximación logarítmica:
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=Δ 227511603.3loglog5625076.162
10210 trc
khk
BqPTo
ooo
μφμ
la cual es válida para 252 ≥D
D
rt
, aunque algunos autores consideran 1002 ≥D
D
rt
ó
52 ≥D
D
rt
.
La ecuación (34) implica que una gráfica de PΔ vs. tiene una porción recta, de la cual se puede estimar la pendiente “m” y la ordenada al origen.
)log(t
A partir de la pendiente “m”, se puede calcular la permeabilidad mediante la siguiente expresión:
mkBq
k ooo
⋅⋅⋅⋅
=μ5625076.162
…. (36)
Por otra parte, a partir de la ordenada al origen se puede conocer lo siguiente:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Δ−
×⋅
=⋅227511603.3
2
_1
10 mP
oT
h
rkc
μφ …. (37)
NOTA.- Esta técnica presenta poca utilidad debido a que es impráctico realizar una prueba suficientemente larga para que los datos en el pozo observador presenten una línea recta.
Ejercicio IX.- Calcular cuánto tiempo debe durar una prueba de interferencia, de tal forma que sea aplicable la aproximación logarítmica de la solución línea fuente. Considérense los siguientes datos:
Variable Valor
1k 500 [md]
1oμ 0.5 [cp]
1Tc 35 x 10-6 [psi]-1
1r 1200 [ft]
2k 1 [md]
17
2oμ 2 [cp]
2Tc 16 x 10-6 [psi]-1
2r 800 [ft]
φ 0.08 Solución:
i. Primer caso:
22 rctk
rt
ToD
D
⋅⋅⋅⋅⋅
=μφβ
kr
rctt
D
ToD
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅=
βμφ
2
2
Para poder aplicar la aproximación logarítmica se debe cumplir que 252 ≥D
D
rt
, por lo
tanto:
225rc
tk
To ⋅⋅⋅⋅⋅
≤μφβ
⇒k
rct To
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
≥βμφ 225
][92718999.15][2525597.38250010637.2
120010355.008.0254
26
díasht ==⋅×⋅
⋅×⋅⋅⋅≥
−
−
ii. Segundo caso:
][001011.6472][0243.155328110637.2
8001016208.0254
26
díasht ==⋅×⋅
⋅×⋅⋅⋅≥
−
−
ii. Método Match Point
El procedimiento establecido en este método es el siguiente:
i. Graficar los datos de PΔ vs. tΔ en escala logarítmica para ambas variables. La escala logarítmica a utilizar debe manejar el mismo número de ciclos que la de la curva tipo.
ii. Una vez graficados los datos de la prueba de interferencia, proceder a ajustar manualmente la curva de datos reales a la curva tipo. Para ello se mantiene fija la curva tipo, mientras que se mueve vertical como horizontalmente la curva real hasta realizar el ajuste.
Fig. 3.- Ajuste de la curva real a la curva tipo.
18
iii. Hecho el ajuste, se escoge cualquier punto que pertenezca tanto a la curva real como a la curva tipo, el cual será el punto de ajuste (Match Point).
Fig. 4.- Selección del “Match Point”.
iv. Al seleccionar el punto de ajuste, se leen sus valores correspondientes de las
siguientes parejas ordenadas: ),( Pt ΔΔ y ),( 2 DD
D Pr
t , en la curva real y en la
curva tipo, respectivamente. v. A partir de los datos obtenidos de las parejas ordenadas anteriores, se procede a
realizar el cálculo de la permeabilidad y compresibilidad total, mediante las siguientes expresiones respectivamente:
M
Dooo
PP
hBq
k ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Δ
⋅⋅⋅=
μ2.141…. (38) ;
MD
DoT
rt
tr
kc⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅⋅×
=−
2
2
410637.2μφ
…. (39)
Ejercicio X.- De una prueba de interferencia se obtuvo la siguiente información:
][htΔ ][ psiPΔ
20 1.2 30 3.6 40 6.5 50 9.5 60 11.5 70 14 80 17 90 19.5
100 21.5 110 23 120 24.5 140 28 160 32 180 36
A partir de ella y con los siguientes datos:
Variable Valor
oq 1200 [bpd]
oμ 1.2 [cp]
19
h 150 [ft]
oB 1.3
φ 0.08 r 900 [ft]
calcular la permeabilidad y la compresibilidad total. Solución: Primeramente se grafican los valores de PΔ vs. tΔ en escala logarítmica:
0.01
0.1
1
10
100
0.01 0.1 1 10 100 1000
Δt [h]
ΔP
[psi
]
Posteriormente se procede a ajustar la curva real a la curva tipo, tal y como se muestra a continuación:
0.01
0.1
1
10
0.01 0.1 1 10 100 1000
tD/rD2
P D
0.01
0.1
1
10
100
0.01 0.1 1 10 100 1000
Δ t [h]
ΔP
[psi
]
Una vez hecho el ajuste, se escoge el punto de ajuste (Match Point), el cual para este caso es:
( )4,10),( =ΔΔ Pt
( )1.0,08.0),( 2 =DD
D Pr
t
20
Con base en las parejas ordenadas anteriores, se procede a calcular la permeabilidad y la compresibilidad total, respectivamente:
][0544.4441.0
1502.13.112002.1412.141
mdP
Ph
Bqk
MM
Dooo =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅⋅
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Δ
⋅⋅⋅=
μ
][10867468056.108.0
109002.108.044054410637.210637.2 15
2
4
2
2
4−−
−−
×=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅⋅⋅×
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅⋅×
= psi
rt
tr
kcM
MD
DoT μφ
][0544.44 mdk = ; ][10867468056.1 15 −−×= psicT
Ejercicio XI.- De una prueba de interferencia se obtuvo la siguiente información:
][htΔ ][ psiPΔ
0 0 1.0 2.0 1.5 5.0 2.0 7.0 3.0 12.0 5.0 21.0
10.0 33.0 18.0 41.0 24.0 48.5 36.0 57.5 50.0 67.5 90.0 75.0
120.0 81.0 150.0 86.0 180.0 89.0
A partir de ella y con los siguientes datos:
Variable Valor
oq 427 [bpd]
oμ 0.8 [cp]
h 23 [ft]
oB 1.12
φ 0.12 r 340 [ft]
calcular la permeabilidad y la compresibilidad total.
21
Solución: Primeramente se grafican los valores de PΔ vs. tΔ en escala logarítmica:
0.01
0.1
1
10
100
0.01 0.1 1 10 100 1000
Δt [h]
ΔP
[psi
]
Posteriormente se procede a ajustar la curva real a la curva tipo, tal y como se muestra a continuación:
0.01
0.1
1
10
0.01 0.1 1 10 100 1000
tD/rD2
PD
0.01
0.1
1
10
100
0.01 0.1 1 10 100 1000
Δ t [h]
ΔP
[psi
]
Una vez hecho el ajuste, se escoge el punto de ajuste (Match Point), el cual para este caso es:
( )8.0,09.0),( =ΔΔ Pt
( )05.0,02.0),( 2 =DD
D Pr
t
Con base en las parejas ordenadas anteriores, se procede a calcular la permeabilidad y la compresibilidad total, respectivamente:
][798887.1468.005.0
238.012.14272.1412.141
mdP
Ph
Bqk
MM
Dooo =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅⋅
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Δ
⋅⋅⋅=
μ
22
][10569698847.102.009.0
3408.012.0798887.14610637.210637.2 15
2
4
2
2
4−−
−−
×=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅⋅⋅×
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅⋅×
= psi
rt
tr
kcM
MD
DoT μφ
][798887.146 mdk = ; ][10569698847.1 15 −−×= psicT
Observación.- Los dos ejercicios anteriores se encuentran también resueltos en el archivo Pruebas de interferencia.xls.
2.2 Pruebas de incremento de presión
- Objetivos
a. Estimar parámetros del yacimiento (permeabilidad, distancia a las fronteras, conocimiento del tipo de fallas).
b. Estimar el factor de daño. c. Determinar la presión media del área de drene.
- Ventajas
a. La medición de la presión en el fondo del pozo es una medición suave (sin
ruido). b. El gasto del pozo es constante ( 0=q ).
- Desventajas
a. Se tiene que cerrar el pozo. b. Dificultad en mantener el gasto constante antes del cierre.
][ht
][ psiP
pt t
iP
wfP
Δ
Fig. 5.- Efectos sobre el gasto al introducir la sonda en una prueba de incremento de presión,
][bpdqo
][ht
1oq
2oq
es por ello que se mide un gasto antes de introducirla, así como ésta ya está dentro del pozo.
23
2.2.1 Método de Horner Este método se emplea para el análisis exclusivo de pruebas de incremento de presión. Hace uso del principio de superposición en tiempo, y es por ello que se considera que el pozo produce a dos gastos diferentes:
][ht
][ psiP
pt tΔ
][bpdqo
1oq
1oq−
][ht
iP
wfP
Fig. 6.- Suposición de dos gastos diferentes en el método de Horner. En la Fig. 6 se puede observar como el se extrapola durante el tiempo , tal y como lo muestra la línea punteada, aun cuando se sabe que esto no es cierto. Dicha extrapolación únicamente se realiza para fines de análisis.
1oq tΔ
En cuanto a la aplicación del principio de superposición en tiempo, éste obedece a lo siguiente:
)()( tqttqtotal opoPPP Δ−Δ+ Δ+Δ=Δ …. (40)
A partir de la definición de para flujo radial, se despeja DP PΔ :
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=Δhk
BqPP oooD μα
…. (41)
24
Sustituyendo la ecuación (41) en la (40):
)()(
)(tD
ooottD
ooototal P
hkBq
PhkBq
Pp ΔΔ+ ⋅⋅
⋅⋅−⋅+
⋅⋅⋅⋅⋅
=Δμαμα
…. (42)
Factorizando la ecuación (42), queda:
( ))()( tDttDooo
total PPhkBq
Pp ΔΔ+ −
⋅⋅⋅⋅⋅
=Δμα
…. (43)
Por otra parte, la aproximación logarítmica para considerando el daño es: DP
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= S
rt
PD
DD 2ln809078361.0
21
2 …. (44)
Como el análisis se está realizando para pruebas de incremento (de un solo pozo), por lo tanto, la ecuación (44) se simplifica de la siguiente manera:
( )[ ]StP DD 2ln809078361.021
++= …. (45)
Observación.- Para mayores detalles acerca de la definición de daño y su inclusión en la aproximación logarítmica, consultar el archivo Daño_pdf.pdf. Sustituyendo la definición de para flujo radial en la ecuación (45): Dt
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅⋅⋅⋅
+= Src
tkPwTo
D 2ln809078361.021
2μφβ
…. (46)
Al aplicar la aproximación logarítmica de la ecuación (46) a la ecuación (43), quda:
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅⋅
Δ⋅⋅+−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅⋅
Δ+⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅⋅
=Δ
Srctk
Src
ttk
hkBq
P
wTo
wTo
p
ooototal
2)(ln809078361.021
2)(
ln809078361.021
2
2
μφβ
μφ
β
μα…. (47)
Simplificando términos semejantes en la ecuación (47):
( ))ln()ln( ttthkBq
P pooo
total Δ−Δ+⋅⋅
⋅⋅⋅=Δ
μα…. (48)
25
Aplicando las propiedades de los logaritmos a la ecuación (48), se obtiene finalmente la expresión conocida como la ecuación de Horner:
⎟⎟⎠
⎜⎝ Δ⋅⋅ )( thktotal
NOTA.- Es importante señalar que el método de Horner es utilizado cuando los tiempos de producción (tp) son muy grandes, puesto que el emplearlo para c
⎞⎜⎛ Δ+⋅⋅⋅
=Δ)(
lnttBq
P pooo μα …. (49)
uando stos sean pequeños, conlleva a errores en los cálculos realizados. Es por ello que para
impulso.
i. Gra
écuando los tiempos de producción son cortos, se emplea el método de El procedimiento establecido en el método de Horner es el siguiente:
ficar los datos medidos con la sonda en el fondo del pozo: wsP vs.
⎟⎞
⎜⎛ Δ+ tt p , siendo la primera
⎠⎝ Δtsegunda, en escala logarítmica.
variable en escala normal, mientras que la
la pendiente de la misma, la cual o de un ciclo completo de la escala logarítmica. Sus unidades
ii. Trazar una línea recta de tendencia a los puntos de la gráfica que muestran comportamiento lineal, los cuales representan al flujo radial transitorio.
iii. Una vez trazada la recta, determinar corresp nderá a la
⎥⎤
⎢⎣⎡
ciclopsi . serán
⎦
Fig. 7.- Periodos identificados a partir del análisis de una prueba de incremento de presión.
iv. A partir del valor de la pendiente, realizar el análisis de la prueba de incremento.
Efecto de almacenamiento
Zona de transición
Zona de transición
R
tra (tendencia
lineal)
Presencia de
(tendencia dife la
tiempos largos)
una frontera
rente delineal, a
espuesta del yacimiento: Flujo radial
nsitorio
Prueba de incremento de presión
4940
4950
4960
4970
4980
4990
5000
110100100010000100000
Pws
[psi
]
(tp+Δt)/Δt
26
NOTA.- El efecto de almacenamiento corresponde a un efecto del pozo, mas no del yacimiento; debido al llenado del pozo. Este efecto cesa una vez que el pozo está lleno y en ese momento, la presión en el pozo es la misma que en el yacimiento. Mientras más compresible sea el fluido del yacimiento, el efecto de almacenamiento durará más
empo. Además del almacenamiento, dentro de los efectos del pozo se encuentran:
bservación.- Para mayores detalles acerca del efecto de almacenamiento, consultar el
tisegregación de fluidos, problemas de acomodo de fluidos, entre otros. Oarchivo Almacenamiento_pdf. El análisis de las pruebas de incremento de presión mediante este método permite
alizar el cálculo de la permeabilidad, el daño, la caída de presión debida al daño y la eficiencia de flujo, mediante las siguientes expresiones respectivamente:
re
hmBq
k ooo
⋅⋅⋅⋅
−=μ6.162
…. (50)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎝ ⋅
10oμφ
⎜⎛
⋅⋅−
−
−= 2275.3log1513.1 2
][1_
wT
wfhws
rck
mPP
S …. (51)
ShkBq
P oooS
⋅⋅⋅=Δ
⋅μ2.141 …. (52) ;
wf
Swf
PP −*
El valor de ][1_ hwsP se obtiene trazando una recta de valor
PPPEF
Δ−−=
*
…. (53)
( )1+pt paralela al eje de las
transitorio. Del punto de intersección entre las dos rectas, se obtiene ][1_ hwsP . En lo que
respecta a *
ordenadas hasta intersecar la línea recta de tendencia correspondiente al flujo radial
P , ésta se presenta cuando tΔ → ∞ , y gráficamente corresponde a la intersección entre el ej de las ordenadas y la extrapolación de la línea recta ajustada a e
estan la tendencia lineal. Para *Plos datos de la pruebas que manifi se cumple la
lo que determina dónde debe ser trazada la línea cta de tendencia así como la selección apropiada de los puntos a los cuales se les ha
siguiente condición: iPP ≅* . Para llevar a cabo el análisis de las pruebas de incremento, es indispensable que el método de Horner se complemente con una herramienta de diagnóstico que permita identificar cuándo inicia y finaliza el periodo de flujo radial transitorio. La identificación de este periodo es rede ajustar dicha tendencia lineal. Se ha demostrado que la función derivada ( )'Pt Δ⋅Δ , definida por Bourdet y olaboradores, es un medio efc ectivo para érmino se
define de la siguiente manera:
el diagnóstico de flujo. El t ( )'PΔ
11 −+ Δ−Δ11' −+Δ − Δ
=Δ ii PPP …. (54)
as líneas rectas presentan pendientes de 1, ½, ¼, 0 oestacionario o almacenamiento, lineal, bilineal, radial y esférico, respectivamente.
ii tt
De esta forma, una gráfica doble logarítmica de esta función contra tΔ permite determinar el (los) tipo (s) de flujo de una prueba, que para el caso de una de incremento de presión, el que interesa es el flujo radial. Los datos de diferentes tipos de flujo exhiben líneas rectas de pendientes diferentes, esto es, l
y -½ para flujo pseud
27
Fig. 8.- Diagnóstico de flujo a partir de la función derivada.
bservación.- Para mayores detalles acerca del diagnóstico de flujo, consultar el rchivo Pruebas de incremento_pdf.
Fig. 9.- Periodos identificados a partir de la aplicación de la función derivada a una prueba de presión en un solo pozo.
Oa
28
Ejercicio XI.- Un pozo produjo durante tres días (72 [h]) a un gasto de 500 [bpd] y luego se cerró para una prueba de incremento de presión, cuyos datos son los siguientes:
][htΔ ][ psiPws
0 1150 2.0 1794 4.0 1823 8.0 1850
16.0 1876 24.0 1890 48.0 1910
A partir de ella y con los siguientes datos:
Variable Valor
Tc 20 x 10-6 [psi]-1
oμ 1 [cp]
h 22 [ft]
oB 1.3
φ 0.20 rw 0.3 [ft]
Calcular la permeabilidad, el daño, la caída de presión debida al daño y la eficiencia de flujo. NOTA.- Las formas de cerrar un pozo son:
i. En superficie. ii. En fondo.- Este tipo de cierre disminuye el efecto de almacenamiento.
Solución: El procedimiento detallado para el cálculo de cada una de las incógnitas de este ejercicio, se presenta en el archivo Prueba de incremento.xls. A continuación se presentan los resultados:
][81129919.48 mdk = ; 55893466.1=S ][2394765.133 psiPS =Δ ; 833179571.0=EF
Ejercicio XII.- En un pozo productor bajosaturado que había estado produciendo por 150 [h] se tomó una prueba de incremento de presión, cuyos datos son los siguientes:
][htΔ ][ psiPws
0 3534 0.15 3680 0.2 3723 0.3 3860
29
0.4 3866 0.5 3920 1.0 4103 2.0 4250 4.0 4320 6.0 4340 7.0 4344 8.0 4350
12.0 4364 16.0 4373 20.0 4379 24.0 4384 30.0 4393 40.0 4398 50.0 4402 60.0 4405 72.0 4407
A partir de ella y con los siguientes datos:
Variable Valor
Tc 17 x 10-6 [psi]-1
oq 250 [bpd]
oμ 0.8 [cp]
h 69 [ft]
oB 1.136
φ 0.39 rw 0.198 [ft]
Calcular:
a. La permeabilidad, el daño, la caída de presión debida al daño y la eficiencia de flujo.
b. Encontrar el tiempo tΔ cuando cesan los efectos de almacenamiento del pozo. Solución: El procedimiento detallado para el cálculo de cada una de las incógnitas de este ejercicio, se presenta en el archivo Prueba de incremento_1.xls. A continuación se presentan los resultados:
a.
][724176429.6 mdk = ; 856548821.5=S ][9455222.404 psiPS =Δ ; 559602477.0=EF
b. El tiempo cuando cesan los efectos de almacenamiento del pozo es:
][5.7 ht =Δ
30
Ejercicio XIII.- A un pozo que estuvo produciendo 72 [h], se le tomó una prueba de incremento de presión, cuyos datos son:
][htΔ ][ psiPws
0 4943.34833 0.001 4950.41815
0.001296 4952.27639 0.001679 4954.37544 0.002176 4956.68371 0.00282 4959.13968
0.003655 4961.65367 0.004736 4964.11781 0.006137 4966.4239 0.007953 4968.48513 0.010307 4970.25521 0.013356 4971.73497 0.017308 4972.96309 0.02243 4973.99818
0.029067 4974.89897 0.037667 4975.7118 0.048813 4976.46886 0.063256 4977.18957 0.081973 4977.8852 0.106228 4978.56382 0.13766 4979.22962
0.178393 4979.88481 0.231178 4980.53273 0.299581 4981.17474 0.388225 4981.81039 0.503098 4982.44153 0.651961 4983.06915 0.844871 4983.69199 1.094861 4984.31419 1.418822 4984.9431 1.83864 4985.58565
2.382679 4986.25416 3.087696 4986.95994 4.00132 4987.70665 5.18528 4988.49602
6.719563 4989.32594 8.707829 4990.18557
11.284407 4991.0646 14.623374 4991.95146 18.950316 4992.82671 24.557565 4993.68042 31.823956 4994.50065 41.240414 4995.27075 53.443128 4995.97977 69.256529 4996.62754 89.748991 4997.20185
116.305012 4997.70163 150.71875 4998.13334
31
195.315242 4998.49542 253.107486 4998.79536
328 4999.04737 A partir de la información anterior y apoyándose en la función derivada, realizar un análisis cualitativo de la prueba y enunciar las conclusiones que resultaron de dicho análisis. Solución: El procedimiento detallado para la obtención de las herramientas necesarias para el análisis cualitativo, se presenta en el archivo Prueba de incremento_2.xls. A continuación se presentan las conclusiones resultantes del análisis:
i. Con base en la gráfica de ´Pt Δ⋅Δ vs. tΔ , se puede apreciar que el flujo radial se presenta en un intervalo de 5.11.0 <Δ< t , por lo que análisis del método de Horner sólo es válido para este intervalo.
ii. Con base en el método de Horner para el intervalo anteriormente mencionado,
se pueden calcular k, S, ΔPs, EF. iii. Con base en la gráfica de ´Pt Δ⋅Δ vs. tΔ , se observa que el periodo de
almacenamiento es muy pequeño, y a su vez se aprecia claramente el efecto de daño y almacenamiento, de estos dos últimos sus efectos combinados.
iv. Posteriormente al flujo radial, el periodo pseduoestacionario es muy corto,
después del cual se manifiesta otro cambio de flujo, cuyo comportamiento no es característico de ningún tipo de flujo identificable a partir de la herramienta de diagnóstico de flujo. Es por ello que posiblemente corresponda a alguna zona de transición, lo cual indique que posterior a ésta, de haber durado más la prueba hubiese sido posible identificar algún tipo de flujo conocido, pero para que se manifestara tal flujo era necesario una duración mayor de la prueba, de ahí que éste no sea perceptible.
v. Las curvas de ´Pt Δ⋅Δ vs. tΔ y la de PΔ vs. tΔ no presentan la misma
pendiente al inicio de la prueba, lo cual puede ser un indicador de que la selección del tiempo de inicio de la prueba no fue el correcto, por lo que posiblemente los valores de k, S, ΔPs, EF; obtenidos a partir del análisis de Horner serán erróneos.
vi. Para valores de 150>Δt , se aprecia una estabilización de la presión, es decir;
aunque continúe el pozo cerrado por mucho tiempo, el valor de ΔP no variará en gran medida, por lo que se alcanzará un valor máximo de Pws que será cercano a la presión inicial del yacimiento.
2.3 Pruebas de decremento de presión
- Objetivos
a. Estimar parámetros del yacimiento (permeabilidad, daño, caída de presión
debida al daño, eficiencia de flujo). b. Diseñar el aparejo de producción.
32
c. Estimar la productividad de un pozo. d. Estimar el volumen poroso (a partir de la prueba de límite de yacimiento para
flujo pseudoestacionario). NOTA.- Las pruebas de límite de yacimiento se recomiendan que se realicen en pozos exploratorios. Este tipo de pruebas son las únicas que permiten identificar el flujo pseudoestacionario, el cual se manifiesta una vez que se han alcanzado todas las fronteras. Este flujo se puede identificar a partir de la función derivada, cuyo comportamiento característico es una línea recta de pendiente igual a 1 para periodos de tiempo largos, ya que una línea recta de pendiente igual a 1 para periodos de tiempo cortos corresponde al almacenamiento.
1
10
100
1000
0.0010 0.0100 0.1000 1.0000 10.0000 100.0000 1000.0000
Δt
Δt Δ
P´
1.0000
10.0000
100.0000
1000.0000
ΔP
Almacenamiento (pendiente igual a 1,
a tiempos cortos) Flujo radial transitorio
Flujo pseudoestacionario
(pendiente igual a 1, a tiempos largos)
Fig. 10.- Periodos identificados a partir del análisis de una prueba de
decremento de presión aplicando la función derivada. Una vez que se determina dónde inicia el flujo pseudoestacionario, en la gráfica de
vs. o la de vs. se traza una línea recta de tendencia a los puntos que manifiestan este tipo de flujo y se obtiene la pendiente de la misma, la cual se identifica como . A partir del valor de la pendiente, se determinar el volumen poroso mediante la siguiente expresión:
PΔ tΔ wfP
*
tΔ
m
φ⋅⋅⋅⋅⋅
=hAc
Bqm
T
oo2339.0* ⇒
*2339.0
mcBq
VT
oop ⋅
⋅⋅= …. (54)
NOTA.- Las pruebas de incremento de presión no pueden utilizarse para estimar el volumen poroso.
33
P vs Δt
5840.0000
5860.0000
5880.0000
5900.0000
5920.0000
5940.0000
5960.0000
5980.0000
6000.0000
0.0000 50.0000 100.0000 150.0000 200.0000 250.0000 300.0000 350.0000 400.0000 450.0000 500.0000
Δt [h]
Pwf [
psi] Efectos de
p Comportamiento infinito
(transitorio)
ozo
m*
Flujo pseudoestacionario
Fig. 11.- Prueba de decremento de presión y sus periodos característicos. El análisis de las pruebas de decremento de presión, al igual que las de incremento, permite realizar el cálculo de la permeabilidad, el daño, la caída de presión debida al daño y la eficiencia de flujo, mediante las siguientes expresiones respectivamente:
hmBq
k ooo
⋅⋅⋅⋅
−=μ6.162
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅⋅⋅−
−
−= 2275.3log1513.1 2
][1_
wTo
hwfi
rck
mPP
Sμφ
…. (55)
ShkBq
P oooS ⋅
⋅⋅⋅=Δ
μ2.141 ; wf
Swf
PPPPP
EF−
Δ−−= *
*
El valor de se obtiene trazando una recta de valor ][1_ hwfP 1=Δt paralela al eje de las ordenadas hasta intersecar la línea recta de tendencia correspondiente al flujo radial transitorio. Del punto de intersección entre las dos rectas, se obtiene . En lo que
respecta a][1_ hwfP
*P , ésta corresponde a la , es decir al primer valor de registrado durante la prueba de decremento de presión.
iP wfP
La herramienta de diagnóstico que permite identificar cuándo inicia y finaliza el periodo de flujo radial transitorio, determinar dónde debe ser trazada la línea recta de tendencia así como la selección apropiada de los puntos a los cuales se les ha de ajustar dicha tendencia lineal, es la función derivada ( )'Pt Δ⋅Δ , tal y como es en el caso de las pruebas de incremento de presión. Con la gráfica doble logarítmica de esta función contra , se identifica la línea recta de pendiente igual a cero, la cual corresponde al flujo radial.
tΔ
34
Ejercicio XIV.- A un pozo productor se le tomó una prueba de decremento de presión, cuyos datos son los siguientes:
][htΔ ][ psiPwf
0.0000 6000.0000 0.0010 5998.9121 0.0016 5998.2930 0.0025 5997.2998 0.0040 5995.7695 0.0064 5993.4282 0.0102 5989.9248 0.0162 5984.8438 0.0258 5977.8022 0.0410 5968.6499 0.0652 5957.7842 0.1036 5946.3613 0.1649 5935.9907 0.2622 5927.9468 0.4171 5922.4390 0.6634 5918.7622 1.0552 5916.0391 1.6783 5913.7183 2.6696 5911.5625 4.2461 5909.4849 6.7538 5907.4507
10.7424 5905.4424 17.0867 5903.4497 27.1777 5901.4570 43.2282 5899.3652 68.7579 5896.8242
109.3648 5893.1475 173.9532 5887.3813 276.6862 5878.2173 440.0911 5863.6416
A partir de ella y con los siguientes datos:
Variable Valor
Tc 2.5 x 10-6 [psi]-1
oq 348 [bpd]
oμ 1.22 [cp]
h 150 [ft]
oB 1.14
φ 0.08 rw 0.3 [ft]
Calcular el volumen poroso, la permeabilidad, el daño, la caída de presión debida al daño y la eficiencia de flujo.
35
36
olución:
l procedimiento detallado para el cálculo de cada una de las incógnitas de este
S Eejercicio, se presenta en el archivo Prueba de decremento.xls. A continuación se presentan los resultados:
][1016.4 38 ftVp ×=
] ; [39358285.52 mdk = 600008746.2=S
[60914164.22 psiPS =Δ ; 834193259.0=EF ]