El Binomio de Newton

1 Generalidades

Una expresion de la forma a+ b es llamado un binomio. Aunque, en principio puedeparecer facil elevar a+ b a cualquier potencia, elevar este binomio a una potencia muy alta,puede resultar una tarea tediosa. Existe una formula para la expansion de (a+ b)n paracualquier numero natural n . Para encontrar esta formula, veamos algunos modelos parapotencias sucesivas de a+ b .

(a+ b)1 = a+ b

(a+ b)2 = a2 + 2ab +b2

(a+ b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 +b3

(a+ b)4 = a4 + 4a3b +6a2b2 +4ab3 +b4

(a+ b)5 = a5 + 5a4b +10a3b2 +10a2b3 +5ab4 +b5

...

De la expansion de (a+ b)n se tienen las siguientes consecuencias :

1. Hay n+ 1 terminos, el primero es an y el ultimo es bn .

2. Los exponentes de a decrecen en 1 , termino a termino, mientras que los exponentesde b crecen en 1 .

Ejemplo:En el desarrollo de (a+ b)5

Los exponentes de a decrecen :

(a+ b)5 = a5 + 5a4b1 + 10a3b2 + 10a2b3 + 5a1b4 + b5

Los exponentes de b crecen :

(a+ b)5 = a5 + 5a4b1 + 10a3b2 + 10a2b3 + 5a1b4 + b5

3. La suma de los exponentes de a y b en cada termino es n .

2 El Triangulo de Pascal

Con estas observaciones se puede escribir la forma de la expansion de (a+ b)n paracualquier numero natural n.

1

Ejemplo :

Si escribimos un signo de interrogacion para los coeficientes, sabemos que,

(a+ b)8 = a8+?a7b+?a6b2+?a5b3+?a4b4+?a3b5+?a2b6+?ab7 + b8

Para completar la expansion, necesitamos determinar estos coeficientes. Para determi-narlos, escribamos los coeficientes de la expansion de (a+ b)n para los primeros valoresde n en un arreglo triangular conocido como el Triangulo de Pascal.

(a+ b)0 1

(a+ b)1 1 1

(a+ b)2 1 2 1

(a+ b)3 1 3 3 1

(a+ b)4 1 4 6 4 1

(a+ b)5 1 5 10 10 5 1

La fila correspondiente a (a+ b)0 , llamada la fila cero, se incluye para probar la simetradel arreglo.

Propiedad del Triangulo de Pascal

Toda entrada (distinta de 1) es la suma de las dos entradas diagonales anteriores.El triangulo de Pascal no es practico para encontrar (a+ b)n para valores muy grandes

de n . La razon es que el metodo usado para encontrar las sucesivas filas del triangulo dePascal es recursivo. As, para encontrar la fila 100 de este triangulo, se necesitan encontrarlas filas anteriores.Examinando la forma de los coeficientes se puede establecer una forma que calcula di-

rectamente cualquier coeficiente de la expansion binomial.

3 El Coeficiente Binomial

Sean n y k numeros naturales tales que 0 k n .El coeficiente binomial, denotado por

(n

k

)

es definido por (n

k

)=

n!

k! (n k)!

donde n! es el factorial del numero natural n que en forma recursiva se define como

{0! = 1

n! = (n 1)! n

Es decir,n! = 1 2 3 . . . (n 1) n

2

Propiedades de los Coeficientes Binomiales

Para cualquier par de numeros naturales k y n con 0 k n ,

PB1.

(n

0

)=

(n

n

)= 1

Esto es inmediato, ya que (n

0

)=

n!

n! 0!= 1

y (n

n

)=

n!

0! n!= 1

PB2.

(n

n k

)=

(n

k

)

En efecto : (n

n k

)=

n!

(n k)! (n n+ k)!=

n!

(n k)!k!=

(n

k

)

PB3.

(n 1k 1

)+

(n 1k

)=

(n

k

)

En efecto;

(n 1k 1

)+

(n 1k

)=

(n 1)!(k 1)! (n k)!

+(n 1)!

k! (n 1 k)!

=(n 1)!

k! (n 1 k)!

[1

n k+1

k

]

=(n 1)!

k! (n 1 k)!

[n

k (n k)

]

=n!

k! (n k)!(n

k

)

4 El Teorema del Binomio

Si n N entonces,

(a+ b)n =

(n

0

)an +

(n

1

)an1b+

(n

2

)an2b2 + +

(n

n 1

)abn1 +

(n

n

)bn

Utilizando el smbolo de sumatoria, se reduce a

(a+ b)n =n

k=0

(n

k

)ankbk

Esta formula, conocida como el Binomio de Newton, se prueba directamente medianteinduccion.

3

Ejemplo :

Para encontrar la expansion de (a+ b)6 , se tiene que

(a+ b)6 =

(6

0

)a6 +

(6

1

)a5b+

(6

2

)a4b2 +

(6

3

)a3b3 +

(6

4

)a2b4 +

(6

5

)ab5 +

(6

6

)b6

= a6 + 6a5b+ 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6

Termino General de la Expansion Binomial

El termino del lugar r en la expansion de (a+ b)n es

Tr =

(n

r 1

)anr+1br1

y el termino que contiene ar en la expansion de (a+ b)n es

(n

n r

)arbnr

4

5 Ejercicios

1. Demostrar que,

a) 2n! (n 1) (n 1)! = n! + (n 1)!

b)n

(n+ 1)!=1

n!

1

(n+ 1)!

2. Calcule el valor de,

a)

(5

2

)b)

(7

4

)c)

(13

9

)d)

(m

m 1

)e)

(m

m

)

3. Determine el valor de n si

a)

(n

2

)= 36 b) 2

(n

4

)= 3

(n

3

)c)

(n+ 1

4

)= 6

(n 12

)

4. Hallar x sabiendo que (7

x2 x

)=

(7

2x 2

)

5. Encuentre la suma

S =

(n

0

)+

(n

2

)+

(n

4

)+

(n

6

)

6. Desarrollar las siguientes potencias .

a)(2

3)5

b)(x+

y)4 c)

(2a2 +

1

a

)6

d)(3

2 +

3)3

e) (1 + x 2x3)4 f)(1 3

2 x

)3

7. Demuestre, usando el desarrollo del binomio que,

a)

n

k=0

(n

k

)= 2n b)

n

k=0

(n

k

)(1)k = 0

8. Encuentre, el termino indicado y simplifique :

a) El quinto termino de

(2a

b

3

)8

b) El noveno termino de

(x

1

x1

2

1

2

)8

c) El decimo segundo termino de

(x1/2

42y

x3/2

)18

d) El termino medio de

(x2/3 +

1

x1

2

1

2

)10

5

1. Hallar la suma de los terminos quinto y septimo del desarrollo de (2x+ x2)10 .

2. Determine x sabiendo que el termino central del desarrollo de(x+ 1

2

)8, vale

(8

4

).

3. Determine x del desarrollo de

(2x+

3

2

)7, sabiendo que T3 + T6 = 0 .

4. Determine el valor de n , para que los terceros terminos de los desarrollos

(x2 +

1

x

)ny

(x3 +

1

x2

)n

sean iguales.

5. Determine,

a) El termino que contiene a y12 en el desarrollo de(y3

x

3

)9.

b) El termino que contiene a x4 en el desarrollo de

(2

xx2

4

)14.

6. Determine el coeficiente de x6 en el desarrollo de (x2 2x+ 1)5 .

7. Encuentre el termino independiente de x en el desarrollo de

(3

2x2

1

3x

)9.

======================================================curso : algebra i - ingenieria

UTA - i semestre 2009

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