apunte principio de hamilton

Ingeniera CivilFacultad de CienciasFsicas y MatemticasUniversidad de Chile CI4203: Dinmica de Estructuras

11.1.1. Principio de Hamilton o Ecuaciones de Lagrange

En la mayora de los casos, la segunda ley de Newton o equilibrio dinmico es suficiente para determinarel sistema de ecuaciones de movimiento para un sistema de varios grados de libertad (NGDL). Sin embargo,para sistemas de varios grados de libertad ms complejos un mtodo mas riguroso y sistemtico es necesario.

mm

m

2m

u

m

L

Mk

k k

Las ecuaciones de Lagrange es un mtodo basado en energa que permiten escribir las ecuaciones demovimiento en trminos de un set de coordenadas generalizadas zi, i = 1, 2, . . . , n.

Prof. Fabin Rojas B., Ph.D. 193 Captulo 11


Las ecuaciones de Lagrange son derivadas usando el principio de Hamilton, el cual es expresado como(mtodo variacional):

t2t1

(Ec Ep) dt+ t2t1

Wnc dt = 0

Donde:

Ec= Energa cintica total.

Ep= Energa potencial del sistema, incluye la energa por deformacin y cualquiera producida porfuerzas conservativas externas.

Wnc= Trabajo hecho por las fuerzas no conservativas que estn actuando sobre el sistema, incluyendoamortiguamiento y cualquier carga arbitraria externa.

=Variacin tomada durante el intervalo de tiempo.

Para la mayora de los sistemas mecnicos, la energa potencial (Ep) puede ser expresada en trminos delas coordenadas generalizadas y la energa cintica en trminos o funcin de las coordenadas generalizadasy sus primeras derivadas en el tiempo (velocidad).

Ep = Ep(z1, z2, . . . , zn)



Ec = Ec(z1, z2, . . . , zn, z1, z2, . . . , zn)

El trabajo virtual de las cargas no conservativas puede ser expresado como una funcin lineal:

Wnc = Q1z1 +Q2z2 + . . .+Qnzn

Donde Q1, Q2, . . . , Qn son las fuerzas correspondientes a cada coordenada generalizada respectiva.

Con esto se obtiene: t2t1

(Ecz1

z1 + . . .+Eczn

zn +Ecz1

z1 + . . .+Eczn

zn

Epz1

z1 . . . Epzn

zn +Q1z1 + . . .+Qnzn)dt

Integrando por partes (

uv dx = uv

uv dx) los trminos relacionados con la velocidad, resultaen la expresin general por componente, igual a:

t2t1

Eczi

zidt =SU Eczi

zi

-----t2

t1

t2t1

d

dt

AEczi

Bzidt

TVSin embargo, una condicin bsica usada en el principio de Hamilton es que zi(t1) = zi(t2) = 0 con



lo cual

t2t1

Eczi

zidt = t2t1

d

dt

AEczi

Bzidt

Sustituyendo esto, se obtiene: t2t1

Y][Nk=1

Cddt

AEczi

B+ Ec

zi Ep

zi+Qi

Dzi

Z^\ dt = 0

Pero como zi, i = 1, ..., n son desplazamientos virtuales arbitrarios e independientes, la solucin tieneque satisfacerse para cada termino dentro de los parntesis rectangulares. Esto definen las ecuaciones deLagrange

d

dt

AEczi

B Ec

zi+ Ep

zi= Qi i = 1, .., n

Para sistemas Conservativos (Qi = 0) la ecuacin de Lagrange se reduce a

d

dt

AEczi

B Ec

zi+ Ep

zi= 0 i = 1, .., n



Para sistemas discretos se puede expresar la energa potencial como:

Ep =12

Ni=1

Nj=1

kijzizj

Donde kij representa la componente (i, j) de la matriz de rigidez y la energa cintica como:

Ec =12

Ni=1

Nj=1

mij zizj

Donde mij representa la componente (i, j) de la matriz de masa



Ejemplo: Determinar la ecuacin de movimiento para el siguiente sistema de dos grados de libertad.u

m

L

Mk Podemos usar coordenadasgeneralizadaz1 = u, z2 =

La energa cinemtica en el sistema es :

Ec =12Mu

2 + 12mR2

Donde R es la velocidad total de la masa m.

L

/FRV u

/

MNX

u

FRV FRV

cos() = cos(180 ) = cos()

Ahora si usamos la ley de cosenos para un triangulo que dice:

ca

b

c2 = a2 + b2 2abcos()



con lo que:

R2 = u2 + L22 2u(L)cos()

R2 = u2 + (L)2 + 2u(L)cos()

Ec = 12Mu2 + 12m(u

2 + (L)2 + 2u(L)cos())

O si usamos las variables generalizadas (z1, z2)

Ec = 12Mz21 +

12m(z

21 + (Lz2)2 + 2z1(Lz2)cos(z2))

Ahora la energa potencial en el sistema es:

Ep =12ku

2 +mgL(1 cos()) = 12kz21 +mgL(1 cos(z2))

Ahora para reemplazar esto en las ecuaciones de Lagrange, se necesita calcular:

i = 1, z1 = u

Eczi

= Mz1 +mz1 +m(Lz2)cos(z2)



d

dt

AEczi

B= Mz1 +mz1 +m(Lz2)cos(z2)mLz22sen(z2)

Eczi

= 0

Epzi

= kz1

Ahora la ecuacin de movimiento para la variable z1 = u es:

d

dt

AEcz1

B Ec

z1+ Ep

z1= 0

(M +m)z1 +mLz2cos(z2)mLz22sen(z2) + kz1 = 0Para ngulos pequeos cos(z2) 1 y sen(z2) z2, con lo cual z22 0, con esto la ecuacin se reducea:

(M +m)z1 +mLz2 + kz1 = 0

Ahora haciendo algo similar para i = 2, z2 =

d

dt

AEcz2

B Ec

z2+ Ep

z2= 0



Donde:

Ecz2

= mL2z2 +mLz1cos(z2)

d

dt

AEcz2

B= mL2z2 +mLz1 cos(z2)

1mLz1z2sen(z2)

0

d

dt

AEcz2

B= mL2z2 +mLz1

Ecz2

= mz1(Lz2) sen(z2) z2

0c

Epz2

= mgLsen(z2) mgLz2Reemplazando esto en la ecuacin de lagrange:

mL2z2 +mz1L+mgz2L = 0M 1L

mLz2 +mz1 +mgz2 = 0



SWU(M +m) mLm mL

TXVY_]_[z1z2

Z_^_\+

SWUk 00 mg

TXVY_]_[z1z2

Z_^_\ = 0

SWU(M +m) mL

m mL

TXVY_]_[u12

Z_^_\+

SWUk 00 mg

TXVY_]_[u12

Z_^_\ = 0


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