apunte mea (6)
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8/17/2019 Apunte MEA (6)
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8/17/2019 Apunte MEA (6)
2/286
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8/17/2019 Apunte MEA (6)
3/286
σ2
R2
R̃2
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8/17/2019 Apunte MEA (6)
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t
Di = {0, 1}
Y i Y i
Resultado P otencial =
Y 1i, Di = 1Y 0i, Di = 0
Y 0i i
Y 1i
Y 1i Y 0i
i
Y i
Y i =
Y 1i, Di = 1Y 0i, Di = 0
= Y 0i + (Y 1i − Y 0i)Di
(Y 1i − Y 0i)
Y 1i Y 0i
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
14/286
E [Y i|Di = 1] − E [Y i|Di = 0]
Diferencia observada
= E [Y 1i|Di = 1] − E [Y 0i|Di = 1]
Efecto tratamiento sobre tratados
+ E [Y 0i
|Di = 1]
−E [Y 0i
|Di = 0] Sesg o de seleccin
Di
Di
E [Y i|Di = 1] − E [Y i|Di = 0] = E [Y 1i|Di = 1] − E [Y 0i|Di = 0]= E [Y 1i|Di = 1] − E [Y 0i|Di = 1]
Y 0i Di
ρ = Y 1i − Y 0i
Y i = α
E [Y 0i]
+ ρ
(Y 1i−Y 0i)
Di + ηi
Y 0i−E [Y 0i]
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
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E [Y i|Di = 1] = α + ρ + E [ηi|Di = 1]E [Y i|Di = 0] = α + E [ηi|Di = 0]
E [Y i|Di = 1] − E [Y i|Di = 0] = ρ efecto tratamiento
+ E [ηi|Di = 1] − E [ηi|Di = 0]
Sesg o de seleccin
ηi
Di
E [ηi|Di = 1] − E [ηi|Di = 0] = E [Y 0i|Di = 1] − E [Y 0i|Di = 0]
-
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-
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β = ∆Simce
∆
β
∆Simce = β · ∆
= −5,7 · 1
β
Simce = β 0 + β 1 ·
β 0 β 1
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
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-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
22/286
m1m2
r2
m1 m2
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
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x
y
ρyx = E {[x − E (x)] [y − E (y)]}
√ var(x)var(y)=
σxy
√ σ2xσ
2y
ρ̂yx =
∑ni=1
xi − X
yi − Y
∑ni=1
xi − X
2 ∑ni=1
yi − Y
2
X = 1n
∑ni=1 xi Y =
1n
∑ni=1 yi
ˆ
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
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8/17/2019 Apunte MEA (6)
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0
1 0
0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0 0
4
0 0 0 0 0 0
s a l a r i o
8 10 12 14 16 18
xx
x xx x x
x xx
Figura 2: Distribución de los salarios para distintos niveles de educación.
Recta de regesiónpoblacional (RRP)
Escolaridad
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
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Figura 3: Ingreso semanal y Gasto semanal. Distribución simétrica
i i
i
E (Y |X i) = f (X i)
·
·
i i
E (Y |X i) = β 0 + β 1X i
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
29/286
β 0 β 1 β 0 β 1
i
ui = Y i − E (Y |X i)
Y i = E (Y |X i) + ui
ui
Y i X i
X i Y i
ui
Y i
i
→
ui →
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
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i i
Y i = E (Y |X i) + ui= β 0 + β 1X i + ui
i
E (Y i|X i) = E [E (Y |X i)|X i] + E (ui|X i)= E (Y |X i) + E (ui|X i)
E (Y i|X i) = E (Y |X i)
E (ui|X i) = 0
ui
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
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-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
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1 2
Ŷ i = β̂ 0 + β̂ 1X i
Ŷ i i β̂ 1 β 1 β̂ 2
β 2
primera muestra (tabla 3)
segunda muestra (tabla 4)
FRM2FRM1
Regresión basadaen la primera
muestra
ingreso semanal
G a s t o d e c o n s u m o s e m a n a l
Figura 4: Rectas de Regresión basadas en dos muestras distintas
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
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Y i = β̂ 0 + β̂ 1X i + ûi
Y i = β 0 + β 1X i + ui
Y i = β̂ 0 + β̂ 1X i + ûi
Figura 5: Rectas de Regresión muestral y poblacional
Y i
Y i = Ŷ i + ûi
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
34/286
Y i = E (Y |X i) + ui
i
Ŷ i E (Y |X i)
Ŷ i E (Y |X i)
β̂ 0
β̂ 1
β 0
β 1
E (β̂ ) − β
β̂
E (β̂ ) = β
β̂
β̂
EC M (β̂ ) = E [(β̂ − β )2]
EC M (β̂ ) = V ar(β̂ ) + [Sesgo(β̂ )]2
β̂
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
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X 1 X 2 X n
∀ε > 0, ĺımn→∞
P r[|X n − X | < ε] = 1
plim X n = X
plim(
X Y
)
plimX plimY
plim (X · Y ) plimX · plimY
yi
c
ui
yi = c componente fijo
+ ui componente aleatorio
ui ∼ N (0, σ2u)
µ = E (yi) = c
V (yi) = E [(yi − E (yi))2] = E [u2i ] = σ2u
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
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yi
µ̂ = Y = 1
n(y1 + y2 + ... + yn) =
1
n
ni=1
yi
E (µ̂) = µ
E (µ̂) = E (Y )= E
1n
(y1 + y2 + ... + yn)
= 1
n(E (y1) + E (y2) + ... + E (yn))
E (yi) = E (c) + E (ui)
0
= c
E (µ̂) = c = µ
V ar(µ̂)
V ar(µ̂1)
yi
µ̂ = Y E (Y ) = c V ar(Y )
σ2un
µ̂1 = yi E (yi) = c V ar(yi) = σ2u
µ̂
µ̂1
µ̂
µ
µ̂1
µ̂
µ̂1
µ̂
plim(µ̂) = plim(Y ) = c
ĺımn→∞ V ar(Y ) = 0 ⇒ plim(Y ) = c
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
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ûi = Y i − Ŷ i= Y i − β̂ 1 − β̂ 2X i
β
∑ûi =
∑(Y i − Ŷ i)
û2i =
(Y i − Ŷ i)2
=
(Y i − β̂ 0 − β̂ 1X i)2
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
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Figura 6: Mínimos Cuadrados Ordinarios
β̂ 0 β̂ 1
∑û2i
ḿınβ̂0,β̂1
(Y i − β̂ 0 − β̂ 1X i)2
∂ ∑ û2i∂ β̂ 0
= −2(Y i − β̂ 0 − β̂ 1X i) = −2 ûi = 0 ∂ ∑
û2i
∂ β̂ 1= −2
(Y i − β̂ 0 − β̂ 1X i)X i = −2
ûiX i = 0
Y i = nβ̂ 0 + β̂ 1
X i
Y iX i = β̂ 0
X i + β̂ 1
X 2i
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
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β̂ 0
β̂ 0 =
∑Y i − β̂ 1
∑X i
n
Y iX i =
∑Y i − β̂ 1
∑X i
n
·
X i + β̂ 1
X 2i
β 1
β̂ 1 = n ·∑ Y iX i −∑X i∑Y i
n ·∑X 2i − (∑X i)2
β̂ 1 =
∑xiyi∑x2i
xi = X i − X yi = Y i − Y X = 1n
∑ni=1 X i Y =
1n
∑ni=1 Y i
β̂ 0 =
∑X 2i∑
Y i −∑
X i∑
X iY in ·∑X 2i − (∑X i)2
= Y − β̂ 1X
Y i = β̂ 0 + β̂ 1X i + ûi
Y = β̂ 0 + β̂ 1X + ûi
(Y i − Y ) = β̂ 1(X i − X ) + ûiyi = β̂ 1xi + ûi
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
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ḿınβ̂1
(yi − β̂ 1xi)2
∂ ∑
û2i
∂ β̂ 1= −2
(yi − β̂ 1xi)xi = 0
β 1 β 0
β̂ 0 = Y − β̂ 1X
Ŷ i = β̂ 0 + β̂ 1X i
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
41/286
2 0
4 0
6 0
8 0
P u n t a j e
T e p s i
0 20 40 60 80Peso al nacer en 100 grs
Fuente: Elaboración propia en base a ELPI
Puntaje Tepsi y Peso al nacer
β̂ 1
β̂ 2 β 1 β 2
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
42/286
β̂ 1 β̂ 2 Ŷ i i Y i = β 1+β 2X i +ui
Y i X i ui
X i ui Y i β 1 β 2
Y i = β 1 + β 2X i + ui
ui
ui
E (ui|X i) = 0
ui
ui
ui
ui
Figura 7: Distribución condicional del término de error ui
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8/17/2019 Apunte MEA (6)
43/286
ui
ui
var(ui|X i) = E [ui − E (ui)|X i]2= E (u2i |X i) por supuesto 3= σ2
ui
Figura 8: Homocedasticidad
X i
X i
Figura 9: Heterocedasticidad
var(ui|X i) = σ2i
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
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X i X j ̸= ui u j
cov(ui, u j |X i, X j) = E {[ui − E (ui)]|X i}{[u j − E (u j)]|X j}= E (ui|X i)(u j|X j)= 0
Y i = β 1 + β 2X i + ui ui
u j Y i X i
u j
X i Y i
u
ui X i E (uiX i) = 0
cov(ui, X i) = E [ui − E (ui)][X i − E (X i)]= E [ui(X i − E (X i)] por supuesto E (ui) = 0= E (uiX i) − E (ui)E (X i) por supuesto E (X i) no estocastica= E (uiX i) por supuesto E (ui) = 0
= 0
u
u
Y 1
X 1
Y 1 = β 1 + β 2X 1 + u1
β 2
β 2 =
∑xiyi∑x2i
xi = X i −X yi = Y i −Y X 1 = X
Y 1 = Y β 2
β 1
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
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⇒ X i = X β 2 β 1
β 1 β 2
β 2
β̂ 2 =
∑xiyi∑x2i
yi = β 2xi+ui
yi β 2
β̂ 2 =
∑xi(β 2xi + ui)∑
x2i
= β 2
∑x2i∑x2i
+
∑uixi∑x2i
= β 2 +
∑uixi∑x2i
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
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E (β̂ 2) = β 2 + E
∑uixi∑x2i
= β 2 +
∑E (ui)xi∑
x2i
por supuesto 2
= β 2 por supuesto 3
β̂ 2
β 2
var(β̂ 2) = E [β̂ 2 − E (β̂ 2)]2= E (β̂ 2 − β 2)2
= E
[∑
xiui]2
[∑
x2i ]2
E (u2i ) = σ2
E (uiu j) = 0
var(β̂ 2) = σ2∑x2i
σ2
σ2
u2i ûi ui
σ̂2 = ∑ni=1 û
2i
n
β 1 β 2
yi = β 2xi + (ui − u)
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
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ûi = yi − β̂ 2xi
ûi = β 2xi + (ui − u) − β̂ 2xi
E
û2i
= E (β̂ 2 − β 2)2
x2i + E
(ui − u)2
(i)−2 E
(β̂ 2 − β 2)
xi(ui − u)
(ii)= var(β̂ 2)
x2i + (n − 1)var(ui) − 2E
∑xiui∑x2i
xi(ui − u)
= σ2 + (n − 1)σ2 − 2σ2= (n − 2)σ2
(i) E
(ui − u)2
= E
(u2i − 2uiu + u2)
= E
u2i − 2u
ui + nu
2
= E u2i − 2u nn ui + nu2= E
u2i − 2nu2 + nu2
= E
u2i − nu2
= E
u2i − n
∑ui
n
2= nσ2 − n
nσ2
= (n−
1)σ2
(ii) E
(β̂ 2 − β 2)
xi(ui − u)
= E
(β̂ 2 − β 2)
xi(ui − u)
= E
∑xiui∑x2i
xi(ui − u)
= E
(∑
xiui)2∑
x2i− u
∑xiui
∑xi∑
x2i
= σ2
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
48/286
σ2 σ2 = ∑ û2in − 2
σ2
σ2
σ2 = 1n − 2E
û2i
= σ2
yi
X 1 x1i
yi = β 1 + β 2x2i + β 3x3i + ... + β kxki + ui i = 1,...,n
x j
y1y2
yn
=
11
1
β 1 +
x21x22
x2n
β 2 +
x31x32
x3n
β 3 + ... +
xk1xk2
xkn
β k +
u1u2
un
×
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
49/286
y1y2
yn
=
1 x21 x31 · · · xk11 x22 x32 · · · xk2
1 x2n x3n · · · xkn
·
β 1β 2
β k
+
u1u2
un
⇒ Y = X β + u
Y
×
X
×
u
×
E (u) =
E (u1)E (u2)
E (un)
= n×1
E (uu′) =
E (u21) E (u1u2) · · · E (u1un)
E (u2u1) E (u22) · · · E (u2un)
E (unu1) E (unu2) · · · E (u2n)
=
σ2 0 · · · 0
0 σ2 · · · 0
0 0 · · · σ2
= σ2 I
n×n
u ∼
n×1, σ2 I
n×n
S E β̂
S E (β̂ ) =n
i=1
û2i = û′û
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
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û = Y −
X β̂
ḿınβ̂
S E (β̂ ) = mı́nβ̂
(Y − X β̂ )′(Y − X β̂ )
= mı́n
β̂
Y ′Y − 2β̂ ′X ′Y + β̂ ′X ′X β̂
∂S E (β̂ )
∂ β̂ ′= −2X ′Y + 2X ′X β̂ = 0
⇒ β̂ = (X ′X )−1X ′Y
X ′(Y − X β̂ ) = 0 ⇒ X ′û = 0
β̂
X ′X β̂ = X ′Y ⇔
1 1 1 · · · 1x2,1 x2,2 x2,3 · · · x2,n
x3,1 x3,2 x3,3 · · · x3,n
xk,1 xk,2 xk,3 · · · xk,n
1 x2,1 x3,1 · · · xk,11 x2,2 x3,2 · · · xk,21 x2,3 x3,3 · · · xk,3
1 x2,n x3,n · · · xk,n
ˆβ 1β̂ 2β̂ 3
β̂ k
=
1 1 1 · · · 1x2,1 x2,2 x2,3 · · · x2,nx3,1 x3,2 x3,3 · · · x3,n
xk,1 xk,2 xk,3 · · · xk,n
y1y2y3
yn
⇔
n
∑ni=1 x2,i
∑ni=1 x3,i · · ·
∑ni=1 xk,i∑n
i=1 x2,i∑n
i=1 x22,i
∑ni=1 x2,ix3,i · · ·
∑ni=1 x2,ixk,i∑n
i=1 x3,i∑n
i=1 x3,ix2,i∑n
i=1 x23,i · · ·
∑ni=1 x3,ixk,i
∑ni=1 xk,i
∑ni=1 xk,ix2,i
∑ni=1 xk,ix3,i · · ·
∑ni=1 x
2k,i
β̂ 1β̂ 2β̂ 3
β̂ k
=
∑ni=1 yi∑n
i=1 yix2,i∑ni=1 yix3,i
∑ni=1 yixk,i
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
51/286
≥ k
×
(X ′X )−1 = X −1(X ′)−1
β̂ = (X ′X )−1X ′Y = X −1(X ′)−1X ′Y = X −1Y
û = Y − X ˆ
β = Y − X (X −1
Y ) = Y − Y = 0n
β̂
β̂
β̂ = (X ′
X )−1
X ′
Y = (X ′
X )−1
X ′
(Xβ + u) = β + (X ′
X )−1
X ′
u
E (β̂ ) = E (β ) + E [(X ′X )−1X ′u]
= β + (X ′X )−1X ′E (u)
β
⇒ E (β̂ ) = β
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
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β̂ − β = (X ′X )−1X ′u
β̂
var(β̂ ) = E [(β̂ − E (β̂ )) · (β̂ − E (β̂ ))′]= E [(β̂ − β ) · (β̂ − β )′]= E [(X ′X )−1X ′uu′X (X ′X )−1]
= (X ′
X )−1
X ′
E (uu′
)X (X ′
X )−1
= (X ′X )−1X ′(σ2I n)X (X ′X )−1
= σ2(X ′X )−1
β̂
σ2
σ2 = u′un − k
β̂
β
y
E (β̂ )
β
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
53/286
β = Ay
β
A
×
A = A − (X ′X )−1X ′
β = [A + (X ′X )−1X ′]Y = [A + (X ′X )−1X ′](Xβ + u)
= AXβ + β + [A + (X ′X )−1X ′]u
E (β ) = AXβ + β + [A + (X ′X )−1X ′]E (u)
= AXβ + β
β
0k×k
β = β + [A + (X ′X )−1X ′]u
cov(
β ) = E [(
β − β )(
β − β )′]
= E {
([A + (X ′X )−1X ′]u)([A + (X ′X )−1X ′]u)′
}= σ2AA′ + σ2(X ′X )−1 cov(β̂)
AA′
β
β̂
β
β̂
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
54/286
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
55/286
yi = β 1 + β 2x2i + β 3x3i + · · · + β kxki + ui
i = 1 . . . n
yi = β̂ 1 + β̂ 2x2i + β̂ 3x3i + · · · + β̂ kxki + ûi
Ȳ = β̂ 1 + β̂ 2x̄2 + β̂ 3x̄3 + · · · + β̂ kx̄k
β̂ 1 = Ȳ − β̂ 2x̄2 + β̂ 3x̄3 + · · · + β̂ kx̄k
yi −
Ȳ = β̂ 2(x
2i −x̄2) + β̂
3(x
3i −x̄3) +
· · ·+ β̂
k(x
ki −x̄
k) + û
i
M 0
n × n
M 0 = I n×n
−ii′
n =
1 0 · · · 00 1 · · · 0
0 0 · · · 1
− 1
n
1 1 · · · 11 1 · · · 1
1 1 · · · 1
=
1 − 1n
− 1n
· · · − 1n− 1
n 1 − 1
n · · · − 1
n
− 1n
− 1n
· · · 1 − 1n
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
56/286
×
M 0
M 0
M 0M 0
M 0
M 0
M 0Y = Y − 1n
ii′Y =
y1y2
yn
− 1n∑n
i=1 yi∑ni=1 yi
∑ni=1 yi
=
y1 − Ȳ y2 − Ȳ
yn − Ȳ
M 0Y = M 0Xβ + M 0u
Y = X β + u
n × 1
n × k
n × 1
T SS =n
i=1
(Y i − Ȳ )2
M 0Y = M 0X β̂ + M 0û
X = [i X 2]
β ′ = [β 1 β 2] M
0i = 0
M 0û = û
M 0Y = M 0iβ̂ 1 + M 0X 2β̂ 2 + M
0û
= M 0X 2β̂ 2 + û
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
57/286
Y ′M 0Y = Y ′(M 0X 2β̂ 2 + û)
= (X β̂ + û)′(M 0X 2β̂ 2 + û)
= β̂ ′X ′M 0X 2β̂ 2 + β̂ ′X ′û + û′M 0X 2β̂ 2 + û
′û
Y ′M 0Y = β̂ 2X ′2M
0X 2β̂ 2 + û′û
T SS = ES S + RSS
R2
R̃2
R2 = ES S
T SS
R2 = 1 − RSS T SS
RSS ≤
T SS
RSS T SS
≤ 1
X ′û = X ′(Y − X β̂ ) = X ′Y − X ′Y = 0
-
8/17/2019 Apunte MEA (6)
58/286
M 0
R2 ≥ 0
R2
Y = β 1 + β 2X + u
n × 1
Y − X = β 1 + γX + u
β 2 ≈ 1 R2
R2
R2
R2
R̃2
R̃2 = 1 − û′û/(n − k)
Y ′MY /(n − 1)
R̃2 = 1 − (1 − R2) (n − 1)(n − k)
-
8