2012

APUNTE MATEMATICAS I1ra Edición

Jaime Alucema Vargas Ingeniero Civil Industrial

2

INDICE

I. UNIDAD I : NÚMEROS REALES Y ALGEBRA BÁSICA

1. OPERACIONES ELEMENTALES DE NÚMEROS REALES

1.1 Operatoria de Números Enteros

1.2 Operatoria de Números Racionales

1.3 Operatoria de Números Decimales

2. POTENCIAS

2.1 Potencia de Números Enteros y Racionales

2.2 Notación Científica

3. RAÍCES

4. LOGARITMOS

5. RAZONES

6. PROPORCIONES

7. PORCENTAJES

8. UNIDADES DE MEDIDA

9. ECUACIONES DE PRIMER GRADO

10. SISTEMA DE ECUACIONE LINEALES

11. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

II. UNIDAD II : ALGEBRA ELEMENTAL

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y REDUCCION DE TERMINOS

2. MULTIPLICACION DE MONOMIOS, BINOMIOS Y POLINOMIOS

3. PRODUCTOS NOTABLES

4. SUMATORIAS

V

2

I. UNIDAD I : NÚMEROS REALES Y ALGEBRA BÁSICA

1. OPERACIONES ELEMENTALES DE NÚMEROS REALES

1.1 Operatoria de Números Enteros

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

1.2 Operatoria de Números Racionales

a.

b.

c.

d.

V

2

e.

Volver al Índice

f.

g.

h.

i.

1.3 Operatoria de Números Decimales

a.

b.

c.

d.

e.

f.

2. POTENCIAS

2.1 Potencias

a.

b.

V

2

c.

d.

Volver al Índice

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

m.

2.2Notación Científica

a.

b.

c.

d.

e.

V

2

f.

g.

Volver al Índice

3. RAICES.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

4. LOGARITMOS.

a. log 27 (3) =

b. log 5 (0,2) =

V

2

c. log 2 (0,25)=

d. log 0,5 (16) =

e. log 0,1 (100) =

f. log 5 (25) log 5 (5) =

g. log 4 (64) + log 8 (64) =

h. log (0,1) log (0,01) =

k. log (5) + log (20) =

l. log (2) log (0,2) =

m. log (32) / log (2) =

n. log (3) / log (81) =

Medida del pH en química

En la naturaleza existen sustancias ácidas, como el limón, o básicas, como el agua de mar, lo que provoca la mayor o menor acidez es la concentración del ión hidronio de fórmula H3O+. La

concentración es muy pequeña y se expresa por en moles. El pH se define como:

Dadas las siguientes concentraciones determine el pH de

Compuesto Concentración pH Compuesto Concentración pH

Jugo gástrico 0.1259 Suero sanguíneo

Jugo de naranja Agua de Mar

Leche Clara de huevo

1. La actividad física en el adulto mayorSe diseñó (Durnin y Womersley) un modelo matemático para determinar el porcentaje de grasa en personas de ambos sexos para mayores de 50 años, utilizando la suma de cuatro pliegues (Bicipital, Tricipital, subescapular y suprailíaco), con la cual se obtiene la densidad del tejido adiposo de cada persona, según:

V

2

Hombres

Mujeres

donde:

DC= densidad corporal p= suma de los cuatro pliegues en mm

a. Calcule la densidad corporal para un hombre cuya suma de pliegues haya sido igual a 70mm.

b. Calcule la densidad corporal para una mujer cuya suma de pliegues haya sido igual a 64mm.

c. Si se sabe además que la grasa individual es calculada por el modelo

(fórmula de Siri)

Calcule el porcentaje de grasa del hombre y la mujer propuestos en a) y b).

5. RAZONES

a. Se sabe que la cantidad de trabajadores en el departamento de electrónica de una tienda es de 28 trabajadores y en el de mueblería es de 49 trabajadores.

i. ¿Cuál es la razón que existe entre la cantidad de trabajadores del departamento de electrónica y el departamento de mueblería?

ii. ¿En qué razón se encuentra el número de trabajadores en el departamento de mueblería y el total de trabajadores que existe en ambos departamento?

b. Si los lados de un rectángulo miden 256cm y 32cm respectivamente.

i. ¿En qué razón se encuentran el lado más largo con el lado más corto?

ii. ¿En qué razón se encuentra el lado más largo con su perímetro?

iii. ¿En qué razón se encuentran el lado más corto con su área?

c. Una empresa cuenta con dos camiones de carga, si se sabe que el primer camión siempre lleva una carga de 2500 kilos y el segundo 2 toneladas.

i. ¿Cuál es la razón que existe entre la carga del primer camión con la carga del segundo camión?

V

2

ii. ¿Cuál es la razón que existe entre la carga del primer camión y el total de carga que llevan ambos camiones?

d. Se sabe estadísticamente que en el año llueve 100 veces en una localidad del sur de Chile. Usando el caculo de razones

i. ¿Cada cuántos días llueve en el año?

ii. ¿Cada cuántos meses llueve en el año?

iii. Sabiendo que un año se conforma de 52 semanas. ¿Cuál es la razón que existe entre la cantidad de lluvias y la cantidad de semanas que tiene el año? Interprete su respuesta.

e. Sé que una mezcla de líquidos debe tener la siguiente razón en sus cantidades de cada una, si se quieren mezclar dos líquidos, uno del tipo A otro del tipo, de manera que ambas cantidades estén en la razón 4: 9 respectivamente. Si ambos líquidos deben conformar 169 litros ¿cuántos litros del tipo A y B deben ser respectivamente?

f. Dos hermanos deciden realizar una inversión, de manera que la razón entre la inversión del hermano mayor con la del menor están en la razón 17:12 respectivamente.

i. Si el hermano menor invirtió $600.000. ¿Cuánto debe invertir el hermano mayor?

ii. Si en total los hermanos invierten $7.250.000. ¿Cuánto invierte cada uno?

g. Tres números están en la razón 3: 5: 7.

i. Si el número menor es 84. ¿Qué valor tienen los otros dos?

ii. Si los tres números suman 240. ¿Qué valor tiene cada número?

h. Si el lado de un cuadrado se duplica

i. En qué razón se encuentra el área del cuadrado inicial con el cuadrado de longitud duplicada.

ii. En qué razón se encuentra el perímetro del cuadrado inicial con el cuadrado de longitud duplicada.

i. Se construye un edificio, de tal manera que este proyecte una sombra que mida el triple de lo que mide su altura a cierta hora.

i. Si se requiere que el edificio proyecte una sombra de 150m. ¿Cuánto debe medir el edificio?

ii. Si la sombra mide 5m menos que en el caso anterior ¿Cuánto debe medir el edificio?

V

2

iii. Si se decide reducir la altura del edificio a 120m. ¿Cuánto debe medir la longitud de su sombra?

6. PROPORCIONES

a.

b.

c.

d.

e.

f. Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas botellas llenará en hora y media?

g. Un corredor de maratón ha avanzado 2,4 km en los 8 primeros minutos de su recorrido. Si mantiene la velocidad, ¿cuánto tardará en completar los 42 km del recorrido?

h. Si un automóvil viajando a 60km/h demora 3 horas en llegar a su destino. ¿A cuánta velocidad se necesita viajar en el auto para tardar 1 hora?

i. En una parcela, 12 caballos han consumido 720 kg de alfalfa durante un mes. ¿Cuánta alfalfa consumirán 15 caballos durante un mes?

j. Una torres mide 30m y la sombra que proyecta mide 40m. ¿Cuántos metros tiene que aumentar su longitud la sombra para que la razón que exista entre la longitud de la torre la sombra estén en la razón 3:5?

k. El piso de una pieza se compone de 20 tablas de 5 pulgadas de ancho. Al renovarlo se colocaron tablas de 2 pulgadas de ancho ¿Cuántas tablas se ocuparon?

V

2

l. Para un viaje pedagógico los 30 alumnos arrendaron un bus y cada uno de ellos deberá cancelar $ 2.500. Si deciden ir solamente 25 alumnos ¿Cuánto deberá cancelar cada uno de ellos por el bus?

m. Entre 4 personas pintan una casa en 3 días. ¿Cuántas personas se necesitan para realizar el mismo trabajo en 2 días?

n. Un bus demora 6 horas entre Valparaíso y Talca a una velocidad promedio de 80 km/hr. ¿A qué velocidad promedio se desplazó otro vehículo que hizo el mismo recorrido en 8 horas?

7. PORCENTAJES

a. La cantidad de sangre en el cuerpo humano se estima en un 7,7 % del peso de unapersona. Si un individuo perdió 1Kg de sangre y pesa 80Kg ¿Qué porcentaje de su sangre perdió?

b. En un Centro Médico se tiene reservadas el 90% de las horas médicas para elpróximo lunes. Si sólo asisten 324 personas que equivalen al 72% de las horasreservadas. ¿Cuál es la capacidad máxima de atención del centro médico?

c. Si 10 sesiones de kinesiología cuestan debiendo un paciente, si pagó $ 184500?

d. El examen que rindió Claudia tenía 125 preguntas y ella contestó correctamente el 64%. ¿Cuántas preguntas contestó correctamente?

e. Una vendedora recibe de sueldo fijo mensual de $140500; más una comisióndel 5,5% de sus ventas. Si en el mes de Marzo, ella recibió $269750. ¿A cuántoascendieron sus ventas en este mes?

f. Un abogado recuperó el 72,5% de una demanda de $3.860.000 y por sus servicios él ha cobrado el 14,2% del dinero recuperado. Calcular la cantidad de dinero que recibió su cliente.

g. El entrenador de Tenis de Fernando descubrió que, si al menos el 85% de losprimeros servicios de Fernando son correctos, gana el partido. En el partido actual, el 72 de los 98 primeros servicios han sido buenos. ¿Ganará el partido? Justifique

h. Un equipo de básquetbol de la Universidad ha ganado 4 de los 8 partidos queha jugado. Si en los próximos 2 encuentros gana un partido ¿Qué porcentaje de

V

2

partidos habrá ganado?

i. El mes pasado Macarena pagó por el teléfono $24.010. Este mes Macarena hapagado un 7% más. ¿Cuánto ha pagado Macarena de teléfono este mes?

j. Un kinesiólogo gana el 24% del valor de las consultas a domicilio. ¿Cuánto ganará si ha realizado en una semana 15 consultas diarias de Lunes a Viernes a $47.850 cada consulta? ¿Qué porcentaje queda?

8. UNIDADES DE MEDIDA

a.b.c.d.e.f.g.

Problemas de planteo:

a. Un estanque rectangular de 6m de largo por 450cm de ancho y 3,5m de alto se llena con agua.ii. ¿Cuántos litros de agua se necesitan para llenarlo?

iii. Si el costo de 1 m3 de agua es de 155,3 pesos, ¿cuánto costaría llenar el estanque a la mitad?

b. Un adulto bebe diariamente 2 litros de agua. ¿Cuántos m3 de agua bebió durante el año 2009?

c. ¿Cuántos m3 de agua consume usted para bañarse en un mes? ¿Cómo podría calcularlo?

d. Un paciente afectado a la rodilla después de un choque, es infiltrado por un kinesiólogo en su rodilla izquierda obteniéndose 8000mm3 ¿Cuántos dl se obtuvo?

e. Una embarazada de 34 semanas tiene 0,0006m3 de líquido amniótico. ¿A cuántos ml equivale?

V

2

f. Un individuo que padece de neumonía contiene 0,34dm3 de líquido en el pulmón, ¿a cuántos dl equivale este volumen de líquido pleural?

g. Un individuo sano y normal tiene 15cm3 de líquido pleural, ¿cuántos dl de líquido tiene?

h. La capacidad pulmonar de una mujer es de 0,32Dal. ¿a cuántos cm3 equivale?

9. ECUACIONES DE PRIMER GRADO

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i. Un número excede a otro en 5 y su suma es 29. ¿Cuáles son los números?

j. La diferencia entre dos números es 8. Si se le suma 2 al mayor el resultado será tres veces el menor. ¿Cuáles son dichos números?

k. ¿Cuáles son los números cuya suma es 58 y su diferencia 28?

l. Encontrar tres números consecutivos cuya suma sea 84.

m. La suma de dos números es 8 y si a uno de ellos se le suma 22 resulta 5 veces el otro. ¿Cuáles son los números?

n. La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 121. Hallar los números.

o. Un padre es cuatro veces mayor que su hijo; en 24 años mas el tendrá el doble de la edad de su hijo. Encontrar sus edades.

p. La edad de Alejandro es 6 veces la edad de Bernardo y en 15 años mas la edad de Alejandro será el triple de la edad de Bernardo. ¿Cuál es la edad de cada uno?

q. La suma de las edades de Cristián y Antonio es 30 años y 5 años después Cristián tendrá el triple de la edad de Antonio. ¿Cuáles son sus edades respectivas?

r. Un padre desea repartir su herencia a todos sus hijos, pero en cantidades distintas. Se sabe que la cantidad de hijos que recibirán la herencia son 4, al mayor le corresponde la tercera parte, al

V

2

segundo hijo le corresponde la cuarta parte, al tercero la octava parte y al menor la décima parte. ¿Qué parte de la herencia sobró?

10. SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

10.1 Método de Reducción

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

10.2 Método de Igualación

V

2

a.

b.

c.

d.

e.

f.

10.3 Método de Sustitución

a.

b.

c.

V

2

d.

e.

f.

11. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

Resuelva los siguientes problemas mediante la ecuación de segundo grado.

a. Encuentre dos números pares consecutivos, tal que el producto entre ambos números sea 4224.

V

2

b. Un sitio rectangular tiene un área de 448m2 y el largo mide 4 metros más que el doble de su ancho. ¿Cuánto mide cada lado?

c. El número de sillas en un salón es 180. Si están colocadas en filas, y el número de sillas por fila es 8 más que el número de filas que hay. ¿Cuántas filas hay y cuántas sillas hay por filas?

d. Un matrimonio tiene de cada hijo tantos nietos como hijos ha tenido. Si la suma de los hijos y nietos es 56 ¿Cuántos hijos y nietos tiene?

e. En un rectángulo, la medida del largo es 15cm y la de su ancho es 8cm. ¿En cuántos centímetros habrá que disminuir el largo y el ancho para que la medida de la diagonal disminuya en 4cm?

f. Con un cartón cuadrado se quiere construir una caja sin tapa. Al cartón se le corta un cuadrado de 3cm de lado en cada una de sus esquinas. Calcule la medida del lado del cartón, sabiendo que el volumen de la caja debe ser 192cm3.

g. Un paseo a los glaciares del Sur tiene un costo para un grupo de turistas de US$800, costo que se divide en partes iguales entre los turistas que forman el grupo. A última hora, 5 personas desisten de hacer el viaje, lo que significa que la cantidad que al resto aumenta en US$8. ¿Cuántos turistas eran inicialmente?

h. Durante la liquidación de accesorios deportivos en un centro comercial, un atleta gastó $231.000 en camisetas para su club. Si cada camiseta hubiera tenido un costo de$1250, habría podido comprar cinco camisetas más por la misma cantidad de dinero. ¿Cuántas camisetas compró originalmente? ¿Cuál fue el precio original de cada camiseta?

i. Las medidas en centímetros de la hipotenusa y del cateto mayor de un triángulo rectángulo son números naturales consecutivos. Si al cateto menor le faltan 7cm para igualarse con el mayor. ¿Cuánto miden los tres lados?

II. UNIDAD II : ALGEBRA ELEMENTAL

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y

REDUCCION DE TERMINOS

V

2

Reducir por términos semejantes las siguientes expresiones algebraicas:

a.

b.

c.

d.

e.

Factorice las siguientes expresiones algebraicas:

a.

b.

c.

d.  

e.

f.

g.

2. MULTIPLICACION DE MONOMIOS, BINOMIOS Y POLINOMIOS

a. (2 x + 1)(2 x − 1)

b. ( x + 1)( x + 1)

c. (5 x + 3)(4 x + 6)

d. (4 x − 2)(4 x − 6)

e. (−2 x − 3)(3 x + 6)

f. (7 − 3 x)(4 x − 9)

g. (15a + 30)(15a − 30)

h. (a x+ b)(a x− b)

i. (2 x 2 − 3) (4 x 2 + 6 x + 9)

j. ( x − 4) ( x + 4)

V

2

k. ( x + 3) ( x + 1) ( x − 4)

l. (2 x + 1) (3 x − 2) (3 − x)

m. (2 x 2 + 3) (9 x 2 ) + (3 x3 − 2) (4 x)

n. ( x3 − 2 x + 1) (2 x) + ( x 2 − 2) (3 x 2 − 2)

o. (2 x3 − x 2 ) (6 x − 5) + (3 x 2 − 5 x) (6 x 2 − 2 x)

p. ( x 4 − 3 x 2 + 5) (2 x + 3) + ( x 2 + 3 x) (4 x 2 − 6 x)

3. PRODUCTOS NOTABLES

Calcule las siguientes expresiones usando factorización y productos notables si es necesario

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

Factorice las siguientes expresiones algebraicas mediante el uso de productos notables:

a.

b.

V

2

c.

d.

e.

f.

g.

h.

4. SUMATORIAS

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

m.

V

2

n.

o.

p.

q.

V