apunte de física moderna- gonzalo palma

8/17/2019 Apunte de Física Moderna- Gonzalo Palma

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Apuntes de Fısica ModernaParte I: Relatividad Especial

Clase 1: Vectores y formas

En esta primera c´atedra repasaremos algunos conceptos b´ asicos de algebra vectorial.Esta exposici on no pretende ser ni exhaustiva ni rigurosa.

1.1 Espacios vectorialesUn espacio vectorial V es un espacio habitado por objetos llamados vectores quepueden ser sumados entre sı, y multiplicados por cantidades escalares (n´ umeros realeso complejos), dando como resultado nuevos vectores. Es decir, si u y v son vectores,y a y b son escalares, entonces

w = au + bv , (1.1)

tambien es un vector. Si permitimos que los escalares sean reales, entonces decimosque V es real. Por otro lado, si los escalares son numeros complejos, entonces decimosque V es un espacio vectorial complejo. Los espacios vectoriales incluyen al vector 0,que satisface la propiedad u + 0 = u . Luego, los vectores de un conjunto u i , coni = 1 , · · · , m , se dicen linealmente independientes si

a 1 u 1 + a 2 u 2 + · · · + am u m = 0 , sı y solo sı a i = 0 . (1.2)

De otro modo decimos que los u i son linealmente dependientes. La dimensi´on de V corresponde al numero m aximo de vectores linealmente independientes que existanen V . Supongamos que la dimensi on de V es n. Luego, podemos denir un conjuntode n vectores e i linealmente independientes, que llamaremos base, de modo que unvector arbitrario v puede ser expresado de la siguiente forma:

v = v1

e 1 + v2

e 2 + · · · + vn e n . (1.3)Las cantidades v1 , v 2 , · · · , vn corresponden a las componentes del vector v , con re-specto a la base e 1 , e 2 , · · · , e n . Una forma conveniente de reescribir (1.3) es

v = v i e i , (1.4)

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en donde estamos usando la llamada convenci´on de Einstein sobre la suma de ındices.Esta convenci on dicta que cada vez que hayan ındices repetidos en una expresi´ on,uno arriba y el otro abajo, existe una suma completa desde i = 1 hasta i = n. Estaconvencion nos libera de usar el tradicional sımbolo de suma Σ.

1.2 Formas

Una forma es una funci on lineal que recoge un vector para retornar un escalar. Esdecir, si f es una forma y v un vector, entonces f (v ) ∈R si V es real, o f (v ) ∈C siV es complejo. Que una forma f sea una funcion lineal signica que cumple

f (av + bu ) = af (v ) + bf (u ), (1.5)

donde v y u son vectores, y a y b son escalares. Llamemos V ∗ al espacio de todas lasformas que act uan sobre los vectores de V , entonces diremos que V ∗ es el dual de V .Es posible vericar que V ∗ es un espacio vectorial con la misma dimensi on de V . Sitrabajamos con una base e i entonces podemos escribir:

f (e i ) ≡ f i . (1.6)

Los f i son escalares reales o complejos, dependiendo de si V es real o complejo. Luego,la accion de una forma sobre un vector arbitrario queda determinada de forma ´ unicaal conocer el valor de los f i de la siguiente manera:

f (v ) = f (vi e i ) = v i f (e i ) = v i f i . (1.7)

Dado que V ∗

es un espacio vectorial, tambien podemos introducir el uso de bases.Dado que ya estamos trabajando con una base para describir V , es conveniente in-troducir una base df i de tal modo que

df i (e j ) ≡ δ i j , (1.8)

Donde δ ji es la afamada delta de Kronecker, que viene denida por:

δ ji = 1 si i = j0 si i = j

, (1.9)

En efecto, se puede demostrar que el conjunto de formas df i denidas de esta

manera es linealmente independiente. Dicha base permite expresar cualquier formaf de la siguiente manera:f = f i df i , (1.10)

donde los coecientes f i son las componentes de la forma con respecto a la base df i .Es facil demostrar que estos f i coinciden con aquellos de la ecuacion (1.6).

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1.3 Metrica y producto escalar

Una metrica g(·, ·) es una funcion h ermıtica no-degenerada que, dado dos vectores

u y v arbitrarios, nos entrega de regreso un escalar. Cumple con las siguientes trespropiedades: Es lineal en el segundo argumento

g(u , v + aw ) = g(u , v ) + ag (u , w ), (1.11)

es hermıticag(u , v ) = g(v , u ), (1.12)

y no degenerada, es decir, por cada vector u = 0 existe un vector v tal que

g(u , v ) = 0 . (1.13)

Las propiedades anteriores nos permiten inferir la siguiente relaci´ on:

g(v + aw , u ) = g(v , u ) + ag (w , u ), (1.14)

donde a es el complejo conjugado de a. La metrica nos permite denir un productoescalar, provisto que la dotemos de la propiedad adicional de que sea positiva denida:

u = 0 =⇒ g(u , u ) > 0. (1.15)

Una forma conveniente de trabajar con la metrica es conociendo c´ omo actua sobre

una base dada e i . Es decir, podemos escribir:

g(e i , e j ) = gıj . (1.16)

Los coecientes gıj contienen toda la informaci´on necesaria para saber como est´adenido un producto escalar dada una base. A los sımbolos gıj se les denominacomponentes de la metrica. Si pensamos en la metrica como una matriz, entonces gıj

son los elementos de una matriz donde ı y j indican las y columnas respectivamente.Observen que hemos puesto una barra a la i en los ındices de las componentes dela metrica. Esto es para recordarnos que la metrica satisface la propiedad de ser

hermıtica. Noten adem´ as que si conocemos los componentes gıj , entonces podemoscalcular la acci on de la metrica sobre un par de vectores u y v de la siguiente manera

g(u , v ) = g(u i e i , v j e j ) = u ı v j g(e i , e j ) = gıj u ı v j , (1.17)

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donde u ı representa el complejo conjugado de ui . Noten que en la segunda igualdadusamos la propiedad expresada por la ecuaci´on (1.11). En terminos de componentes,la ecuacion (1.15) se lee

gıj v ı v j > 0, (1.18)

lo que signica que la metrica gıj es positiva denida.Para simplicar la acci on de la metrica sobre dos vectores, dadas las componentes

vi de vector v , podemos denir componentes vi con ındices abajo mediante el uso dela metrica:

vı ≡ gıj v j . (1.19)

En forma an aloga, si tenemos los valores conjugados u ı , podemos usar la metrica paradenir:

vi ≡ v¯ g¯ i. (1.20)

En ambos casos estamos usando la metrica para hacer descender un ındice. Estanotaci on es conveniente, ya que nos permite escribir

g(u , v ) = u i vi = u ı vı , (1.21)

lo que representa una manera m´as compacta de calcular un producto escalar.

1.4 Inversa de la metrica

Independiente de si g es producto escalar o no, las tres propiedades que denen a unametrica permiten que gıj tenga inversa. A dicha inversa la denominamos gi ¯ y es talque

g j k gki = δ ji , gık gk ¯ = δ ¯ ı . (1.22)

Donde δ ji es la delta de Kronecker introducida anteriormente, y δ ¯ ı tambien es una

delta de Kronecker:

δ ¯ ı =

1 si ı = 0 si ı =

, (1.23)

La inversa nos permite subir ındices. Es decir, si tenemos un unas componentes vi ,podemos usar gıj para hacer ascender el ındice de la forma:

v ı = v j g j ı . (1.24)

Por otro lado, si tenemos unas componentes vı , podemos usar gıj para escribir:

vi = gi ¯ v¯ . (1.25)

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En denitiva, estamos usando gıj para hacer descender ındices, y gi ¯ para hacer as-cender ındices.

1.5 Relaci´ on entre formas y producto escalar

Notemos que podemos utilizar la metrica para construir V ∗ a partir de V , de modoque a cada vector v ∈ V , le corresponde una unica forma v ∈ V ∗ . Para ello, essuciente escribir:

v(·) ≡ g(v , ·). (1.26)

De esta manera, la acci on de v sobre un vector u es el producto escalar de v con u .Por ejemplo, a un elemento de la base ei le corresponde la forma

df ı (·) ≡ g(e i , ·). (1.27)

Luego, es directo constatar que la base df i discutida en la Seccion 1.2 viene dadapor:

df i (·) = gi ¯ df ¯ (·) = gi ¯ g(e j , ·). (1.28)

En efecto, se puede comprobar que esta construcci´ on satisface df i (e j ) = δ i j . Porultimo, vale la pena vericar que los vi de la ecuacion (1.19) corresponden a lascomponentes de la forma v con respecto a la base df i . Esto quiere decir que al usarlas componentes de la metrica gıj para bajar un ındice a las componentes (complejo-conjugadas) v¯ de un vector v , estamos generando las componentes de una forma v.Lo opuesto ocurre al usar gij para subir un ındice. En denitiva, una forma es ni m´ asni menos que un vector traspuesto, y el producto de v con u , puede ser entendidocomo la accion de la forma v sobre u

g(v , u ) = v(u ), (1.29)

donde v es la forma construida a partir de v .

1.6 Resumen

Durante esta clase hemos aprendido que:

• Un vector v puede ser expandido utilizando la convenci´on de Einstein: v = v i e i ,donde los vi son las componentes del vector con respecto a la base e i .

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• Una forma f (·) tambien es un vector, y puede ser escrita como f (·) = f i df i (·),donde df i (·) es la base de las formas denida tal que df i (e j ) = δ i j . Los f i sonlas componentes de la forma con respecto a dicha base.

• La accion de una metrica sobre dos vectores es g(u , v ) = gıi u ı v j , donde losgıi = g(e i , e j ) son las componentes de la metrica con respecto a la base e i .

• Dadas las componentes de la metrica gıj , es posible denir la inversa de lametrica gi ¯ que cumple gi k g¯kj = δ i j y gık gk ¯ = δ ı¯ .

• Los gıj pueden ser usados para bajar ındices, mientras que los gi ¯ pueden serusados para subir ındices.

• La metrica permite construir el espacio de las formas a partir del espacio devectores. Es decir, dado un vector v , podemos denir una forma v al escribirv = g(v , ·).

• Es posible vericar que df i (·) = gi ¯ g(e j , ·).

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Clases 2 y 3: Cambio de bases, Rotaciones y Ten-sores

A partir de ahora nos enfocaremos en espacios vectoriales reales. Esto quiere decirque ya no es necesario utilizar la notaci on con ındices conjugados i. Ahora, cualquierobjeto con ındices del tipo i, puede ser escrito completamente con ındices i (sinbarras). Por ejemplo:

gıj → gij , vı → vi . (2.1)

Esto simplicar a enormemente la discusi on que contin ua, aunque siempre es posibleextender los resultados que veremos a espacios vectoriales complejos.

2.1 Cambios de base y transformaciones lineales

Supongamos que contamos con una base arbitraria e i con la cual trabajamos para

resolver un problema. Si lo deseamos podemos denir una nueva base e i medianteuna transformaci´on lineal L de la siguiente manera:

e i = e j L ji . (2.2)

Los coecientes L ji caracterizan la nueva base e i en terminos de la base original

e i . Para que la base e i sea completa y linealmente independiente, es necesarioque los coecientes L j

i sean elementos de una matriz invertible (donde j e i cor-responden a las y columnas respectivamente). Por lo tanto es posible escribir unaecuacion analoga a (2.2) pero expresando la relaci´on inversa:

e i = e j L ji . (2.3)

Noten que si insertamos (2.3) de vuelta en (2.2) obtenemos:

e i = e j L ji = ek L k

j L ji . (2.4)

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Dado que las dos bases son completas, para que dicha relación sea consistente, lascomponentes L j

i contraıdas con Lk j necesariamente deben cumplir:

Lk

j L j

i = δ k

i . (2.5)En forma an aloga, si hubiesemos insertado (2.2) en (2.3) habrıamos obtenido

Lk j L j

i = δ k i . (2.6)

Observen que si interpretaramos estas relaciones en terminos de la multiplicaci´ on dematrices, serıan equivalentes a L− 1L = LL − 1 = I .

Veamos ahora como luce un vector v = vi e i cuando es expresado con respecto a lanueva base e i . Insertando la expresión (2.3) en v = vi e i obtenemos:

v = vi

e i = vi

(e j L j

i ) = ( L j

i vi

)e j . (2.7)Es importante notar que hemos cambiado la base, pero no el vector. El vector siguesiendo el mismo, pero expresado en una nueva base. Esto quiere decir que en la nuevabase el vector tiene componentes distintas, pero que pueden ser relacionadas con lascomponentes que el vector tenıa en la base original. Es decir, en la nueva base e i podemos escribir:

v = vi e i , (2.8)

donde vi son las componentes del mismo vector original pero en la nueva base. Com-parando esta ecuación con (2.7), vemos que las componentes vi pueden ser expresadas

en terminos de las antiguas:vi = L i

i vi . (2.9)

Mas aun, podemos contraer la expresión (2.9) con los elementos L i j que corresponden

a la inversa de Li j . En dicho caso obtenemos:

vi = L i j v j . (2.10)

Noten que la diferencia entre Li j y Li

j esta en la posicion de las primas (arriba ala izquierda o abajo a la derecha). Esta notaci on democr´ atica enfatiza que ambasexpresiones (2.9) y (2.10) son equivalentes, y no favorece una base por sobre la otra.

2.2 La metrica en un cambio de base

Supongamos que la metrica g(·, ·) dene un producto escalar. Dado que gij es positivadenida, entonces siempre podemos encontrar una base para la cual gij es igual a la

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unidad. Para ver esto en forma explıcita, consideremos una base e i arbitrariasobre la cual act ua una transformacion lineal L apropiada. El producto escalar entreelementos de la nueva base es:

gi j = g(e i , e j ) = g(e i L ii , e j L j

j ) = gij L ii L j

j = gij L ii L j

j . (2.11)

Escribamos esta ecuación nuevamente, para apreciarla mejor:

gi j = gij L ii L j

j . (2.12)

Esta expresi on es importante. Nos informa la manera en la cual transforman loselementos de la metrica bajo un cambio de bases. Necesariamente habr´ a una expresi onanaloga, donde las primas aparecen en los ındices opuestos:

gij = gi j L ii L j

j . (2.13)

Ahora podemos usar estas expresiones para encontrar una ecuaci´ on general relacio-nando Li

j y Li j . Partamos por considerar (2.12) y contraigamos ambos lados de

dicha ecuaci on con L jk (contrayendo el ındice j ):

gi j L jk = gij L i

i L j j L j

k . (2.14)

Dado que L j j L j

k = δ jk , obtenemos

gi j L j

k = gij Lii δ

jk = gik L

ii . (2.15)

Ademas, dado que tanto gi j tiene inversa, podemos nalmente deducir:

L i j = g jk L k

l gl i . (2.16)

Notese que para escribir esta última expresi on hemos reordeando y ındices. Cómo yase ha hecho habitual, esta expresión puede ser re-escrita para deducir una expresi´ onanaloga, donde las primas aparecen en ındices opuestos:

L i j = g j k Lk

lgli . (2.17)

Estas ecuaciones, (2.16) y (2.17), nos dicen como obtener L i j a partir de Li

j (y viceversa) siempre y cuando conozcamos los valores de la metrica y su inversa. Volveremosa estas expresiones m as adelante.

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2.3 Bases ortonormales

Regresemos a la ecuacion (2.12). Si gij corresponde a un producto escalar, es posible

ver que si escogemos los coecientes Li j en forma apropiada, podemos imponer que

en la nueva base se cumplagi j = δ i j , (2.18)

donde δ i j es la delta de Kronecker pero con sus dos ındices abajo. Dicha base tienela propiedad de ser ortonormal, dado que el producto escalar entre sus elementoscumple:

g(e i , e j ) = δ i j = 1 si i = j0 si i = j

. (2.19)

Es directo ver que en dicha base la inversa es simplemente gi j = δ i j , es decir la

delta de Kronecker pero con ındices arriba. En este curso trabajaremos con basesortonormales, por lo que muchas de las expresiones formales son realmente sencillas.Por ejemplo, la relaci on entre componentes con ındices arriba y abajo es simplemente

vi = δ ij v j = vi . (2.20)

Un ejemplo cotidiano de bases ortonormales 3D son las bases empleadas para expresarvectores en coordenadas Cartesianas.

2.4 Sistemas de coordenadas y espacios Euclidianos

Consideremos un espacio continuo M de dimension n cuyos puntos pueden ser de-scritos mediante una colecci on ordenada de n umeros reales, x1, x 2, · · · , xn , quellamaremos coordenadas. A todo punto P en M le corresponde una coordenada

x i : P ∈ M → x iP ∈R n . (2.21)

Mas aun, en cada punto P podemos denir un espacio vectorial V P de dimensionn . Esta construcci on nos permitir a describir vectores asociados al punto P (porejemplo, la velocidad de una partıcula que en tiempo t pasa por el punto P , descrito

por las coordenadas xiP ). Para cada espacio vectorial V P podemos construir una basee(P )

1 , e(P )2 , · · · , e(P )

n . No solo eso, tambien podemos construir un espacio dual V ∗P

de las formas que act uan sobre los vectores de V P y podemos denir un productoescalar a traves de una metrica gP (·, ·). Luego, por cada punto P existe una metrica

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g(P )ij . Todo lo anterior signica que las componentes de la metrica, gij , depende de las

coordenadas x1, x 2, · · · , xn :

gij = gij (x1, x 2, · · · , xn ). (2.22)

La gura 1 muestra un ejemplo de un espacio 2D donde cada punto tiene una baseortogonal. Ahora bien, es posible concebir un espacio M tal que, para todos los puntos

Figure 1: Cada punto en este espacio está caracterizado por tener una base de vectoresortogonales.

P ∈ M, las bases e(P )1 , e(P )

2 , · · · , e(P )n , pueden ser diagonalizadas y orientadas de

tal forma queg(P )

ij = δ ij , ∀P. (2.23)

Es decir, las componentes de la metrica son independientes de la posici´ on en M . Aeste tipo de espacio se le llama espacio Euclidiano, y las coordenadas x1, x 2, · · · , xn pasan a llamarse coordenadas Cartesianas. Es posible visualizar este tipo de espaciocomo un espacio que tiene una base x1, x2, · · · , xn comun para todos los puntos deM . La gura 2 muestra el mismo espacio anterior, pero ahora con todas las basesalineadas. El hecho de que haya una base común, posibilita mezclar coordenadas ybases para describir la posici on de un punto P mediante un vector posición de laforma:

r P ≡ x iP x i . (2.24)

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Figure 2: Ahora todas las bases est´an alineadas.

Pero debemos ser cautos, no siempre es posible diagonalizar y alinear las bases paraque se cumpla la ecuaci on (2.23). En tal caso, simplemente no es posible denir elconcepto de vector posici on.

2.5 Coordenadas cilındricas (casi)

Ahora que tenemos una noci´on de que es un espacio Euclidiano, apliquemos las no-ciones anteriores para revisar un ejemplo cotidiano. Supongamos que estamos trabajando con un espacio Euclidiano 2D, de modo que la metrica viene dada por:

gij (x, y ) = δ ij , (2.25)

para todo punto xi en el espacio 2D. Esto nos permite escribir x1 = x y x2 = y , querepresenta una notaci on mas tradicional. Consideremos el siguiente cambio de basepor cada punto x, y de este espacio:

r = xx + yy , (2.26)

θ = − y

x2 + y2x + x

x2 + y2y . (2.27)

Notemos que este NO corresponde al tradicional cambio de bases cartesianas a basescilındricas. Veamos con que tipo de cambio de coordenadas estamos lidiando. Para

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ello, primero calculemos los L s . De las ecuaciones anteriores, es directo ver que

L rx =

x

x2

+ y2

, L ry =

y

x2

+ y2

, L θx = − y, L θ

y = x. (2.28)

Observen que los elementos de L dependen de la posicion del espacio. La gura 3muestra el resultado de esta transformaci´ on llevada a cabo en cada punto del espacio.Se puede apreciar que el largo de θ depende del radio r = x2 + y2. Ahora calculemos

x

y

Figure 3: La gura muestra una distribuci´ on de bases en un sistema de coordenadascilındricas.

las componentes de la metrica en las nuevas bases:

grr = g(r , r ) = 1 , (2.29)grθ = g(r , θ) = 0 , (2.30)gθr = g(θ, r ) = 0 , (2.31)gθθ = g(θ, θ) = r 2, (2.32)

donde hemos denido r =

x2 + y2. Esta base consiste en vectores ortogonales,

pero no orto-normales. La utilidad de estas bases, es que ahora las componentes devectores que describen velocidades de partıculas en coordenadas cilındricas son m´ assencillos. Por ejemplo:

v = x x + yy = r r + θθ. (2.33)

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Es posible ver que las componentes de la velocidad vi en coordenadas cilındricas son:

vr = r, v θ = θ. (2.34)

Esto signica que las componentes de la forma v vienen dadas por:

vr = r, v θ = r 2 θ. (2.35)

Lamentablemente las componentes de la aceleraci´ on no son tan simples (pero estono lo discutiremos por ahora). Observemos ahora que la velocidad al cuadrado, enambas bases, es:

v · v = x2 + y2 = r 2 + r 2 θ2. (2.36)

Este resultado coincide con el resultado habitual que conocemos de cursos anteriores.

2.6 Rotaciones

Dejemos atr as la discusion de los espacios Euclidianos, y volvamos a discutir un soloespacio vectorial V de dimension 3. Supongamos que la base original es ortonormal(tal como nos gusta), y por lo tanto se cumple que g(e i , e j ) = δ ij . Luego, un cambiode base representado por la transformaci´ on Li

j da como resultado:

gi j = g(e i , e j ) = g(e i L ii , e j L j

j ) = gij L ii L j

j = δ ij L ii L j

j . (2.37)

Esto quiere decir que un cambio de base con Li j arbitrario no necesariamente nos

entregará de vuelta gi j = δ i j . Solo una clase especial de transformaciones lograque la nueva base sea ortogonal (es decir, que en la nueva base se siga cumpliendogi j = δ i j ). A dichas transformaciones se les llama rotaciones, y designaremos a suselementos de la siguiente notación R i

j (para recordar que estamos hablando de unL que es una rotaci on). La condicion de que las bases permanezcan ortonormalesbajo este tipo de transformaciones es equivalente a exigir que gi j = δ i j . En otraspalabras:

δ ij R ii R j

j = δ i j . (2.38)

Por supuesto, una relación analoga debe cumplirse para los coecientes R i j de la

rotaci on inversa:δ i j R i

i R j j = δ ij . (2.39)

Notemos que si contraemos (2.38) con vi y v j obtenemos:

δ ij R ii R j

j vi v j = δ i j vi v j . (2.40)

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Pero dado que vi = R ii vi entonces podemos escribir:

δ ij vi v j = δ i j vi v j , (2.41)

En forma explıcita, en el caso de espacios de tres dimensiones, la ecuaci´on (2.41)corresponde a

(v1)2 + ( v2)2 + ( v3)2 = ( v1 )2 + ( v2 )2 + ( v3 )2, (2.42)

que es una expresi on familiar.Volvamos a la ecuaci on (2.16), que nos da una relaci on lineal entre una rotaci´on

dada y su inversa. En el caso en que L = R , obtenemos:

R i j = δ jk R k

l δ l i . (2.43)

En forma explıcita, esta relaci´ on se lee de la siguiente forma:R 1

1 = R11 R1

2 = R 21 R1

3 = R 31 (2.44)

R 21 = R1

2 R22 = R 2

2 R23 = R 3

2 (2.45)R 3

1 = R13 R3

2 = R 23 R3

3 = R 33 . (2.46)

Una forma de interpretar esta relaci´ on es poniendo atenci on a la posicion de los ındicesen terminos de las y columnas. Para ser concretos, supongamos como ejemplo unarotaci on R cuyos elementos R i

m vienen dados por:

R im =

cos θ − sin θ 0sin θ cosθ 0

0 0 1. (2.47)

Entonces, la inversa R − 1 tendr a elementos Rmi dados por

R 11 = R1

1 = cos θ, (2.48)R 1

2 = R21 = sin θ, (2.49)

R 21 = R1

2 = − sin θ, (2.50)R 2

2 = R22 = cos θ, (2.51)

que si ordenamos en las y columnas viene a ser

R mi =

cos θ sin θ 0− sin θ cosθ 0

0 0 1. (2.52)

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En lenguaje matricial, esto quiere decir que R − 1 corresponde a la traspuesta de R:

R − 1 = R t . (2.53)

Veamos adem as como actua sobre las componentes vi de un vector v. De acuerdo ala expresion (2.9) con L = R , se tiene

vi = R i j v j . (2.54)

De donde tenemos que:

v1 = R1 j v j = R 1

1v1 + R 12v2 = cos θv1 + sin θv2, (2.55)

v2 = R2 j v j = R 2

1v1 + R 22v2 = − sin θv1 + cos θv2, (2.56)

v3 = R3 j v j = R 3

3v3 = v3. (2.57)

Revisemos tambien como transforman las componentes vi con ındices abajo:

v1 = R j1 v j = R 1

1 v1 + R 21 v2 = cos θv1 + sin θv2, (2.58)

v2 = R j2 v j = R 1

2 v1 + R 22 v2 = − sin θv1 + cos θv2, (2.59)

v3 = R j3 v j = R 3

3 v3 = v3. (2.60)

Y por lo tanto vemos que en efecto se cumple que:

vi = δ i j v j . (2.61)

2.7 Rotaciones en espacios Euclidianos de dimensi´ on 3

Consideremos un sistema de coordenadas Cartesianas en tres dimensiones x,y,z .Para simplicar la discusi on, usaremos la notaci on x1 = x , x2 = y, x3 = z . Tal comovimos en la Seccion 2.4 resulta natural denir una base vectorial en la cual los vectoresunitarios x i apuntan en la direcciones asociadas a las coordenadas x i . La Figura4 muestra esta situación. Esto quiere decir que una rotación necesariamente afectarála orientaci on de los vectores unitarios de la base. Veamos esto en alg un detalle:Supongamos un punto P en el espacio 3D que tiene por coordenadas los valores xi

P .Podemos asignar a este punto un vector xP que va desde el origen del sistema hastael punto P . Dicho vector ser a:

xP = x iP x i . (2.62)

Al haber una rotación del sistema de coordenadas, cambiarán la orientaci on de lasbases x i , y los valores de las componentes x i

P pero no cambiar a la ubicacion del punto

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Figure 4: Los vectores unitarios x i estan orientados en las direcciones asociadas alas coordenadas x i .

P . Es decir, el punto P seguira en la misma posicion independiente de las coordenadasque escojamos para describirlo. Ahora, como ya hemos visto, una rotaci´ on afectar aa las bases de acuerdo a la relaci on:

x j = x i R i j , (2.63)

mientras que la relaci on inversa sera:

x i = x j R ji . (2.64)

Reemplazando esta ultima relaci on en la ecuacion (2.62) obtenemos:

xP = x iP x j R j

i = ( R ji x i

P )x j . (2.65)

Podemos identicar la expresi´on en parentesis como las componentes de xP en el

nuevo sistema de coordenadas, de modo que podemos escribir:xP = x i

P x i , donde xiP = R i

j x jP . (2.66)

En otras palabras, bajo una rotaci´ on de las coordenadas, las bases x i transforman conla ayuda de los coecientes R i

j , mientras que las componentes xi transforman con la

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ayuda de los coecientes R i j pertenecientes a la rotación inversa. Para apreciar esto

veamos un ejemplo concreto. Consideremos la rotación del ejemplo (2.47). Entonces,las nuevas bases x i estar an dadas por:

x = x cos θ + y sin θ, y = − x sin θ + y cosθ, z = z, (2.67)

mientras que las nuevas coordenadas xiP del punto P estar an dadas por:

xP = cos θx P + sin θyP , yP = − sin θx P + cos θyP , z P = z P . (2.68)

La Figura 5 muestra este ejemplo particular. En el ejemplo, el punto P no ha cam-biado de ubicaci on. En su lugar, ha cambiado la forma de describir su ubicaci´ on conrespecto al punto de vista representado por la elecci´ on de coordenadas empleada.

Figure 5: Ejemplo de una rotación sobre las coordenadas cartesianas.

2.8 Inversiones

Un tipo de cambios de coordenadas particularmente importante son las inversiones.Una inversi on corresponde a invertir la orientaci´ on de un numero impar de bases.En el caso particular de 3-dimensiones, esto quiere decir cambiar la direcci´ on de unabase, o de todas. La gura 6 muestra una inversi´ on en donde se han invertido la ori-

entaci on de todas las bases. Si se considera un cambio de coordenadas en donde solose invierten un n umero par de bases, entonces el cambio de coordenadas es necesaria-mente equivalente a una rotaci´ on. El ejemplo de la gura 7 ilustra esta situación. Pordicho motivo, se dice que las bases en general pueden tener dos orientaciones posibles.Estas dos familias de orientaciones están conectadas por una inversión. En este caso,

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Figure 6: Ejemplo de una inversi on. Se requiere un numero impar de bases invertidas.

tenemos una base en tres dimensiones (una triada), en donde es relativamente f´ acilapreciar esta propiedad.

En este curso consideraremos un tipo particular de inversi´ on llamada paridad. Unatransformaci´on de paridad L = P es simplemente una inversi on donde los tres ejesson invertidos. Es decir, corresponde al caso en que:

P i j =

− 1 0 00 − 1 0

0 0 − 1

. (2.69)

Esto quiere decir que bajo esta transformaci´ on las bases transforman de acuerdo a:

x i → x i = − δ ii x i . (2.70)

En esta expresi on hemos insistido en usar el sımbolo δ ii para no mezclar ındicescon primas ( ) a un lado con ındices sin primas al otro lado. La inversa de dichatransformaci´on es trivial, y puede ser expresada como:

P i j =

− 1 0 00 − 1 0

0 0 − 1

. (2.71)

Si consideramos que un vector v no cambia aun cuando hayamos cambiado las coor-denadas, entonces las coordenadas del vector necesariamente cambian bajo paridad:

vi = P i j v j = − δ i j v

j . (2.72)

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Figure 8: Bajo una transformaci´on de paridad el vector no cambia, pero sı sus com-ponentes (que son relativas al sistema de referencia).

2.9 Tensores

Ahora que entendemos como lidiar con vectores y la rotaci´ on de sistemas de coorde-nadas, estamos en posici on de denir objetos m as generales. Un 3-tensor T de rangoN es un objeto lineal que puede ser escrito de la siguiente forma

T = T ij ··· k x i ⊗ x j ⊗ · · ·⊗ xk

N times

, (2.77)

donde los coefficients T ij ··· k se llaman las components del tensor T . En la expresionanterior, x i⊗x j ⊗ · · ·⊗xk corresponde a un producto directo de las bases individualesx i , y por lo tanto constituyen tambien una base para expresar tensores. Es decir,consideramos que xi

⊗ x j es differente a x j⊗ x i cuando i = j . Un tensor de rango

2 conocido es el tensor de stress F ij en mecanica, que nos da informaci on sobre laintensidad de la fuerza interna F i actuando sobre una supercie innitesimal dS j , enalgun elemento de volumen dado. Otro tensor ejemplar es el tensor de inercia.

Los tensors constituyen una generalizaci´ on natural del concepto de vector. Si con-

sideramos una transformaci´on de las coordenadas (un cambia en nuestro punt devista), al reorientar las bases ˆx i , el tensor T seguira siendo el mismo, pero sus com-ponentes T ij ··· k relativas a la base x i ⊗ x j ⊗ · · ·⊗ xk necesariamente cambiaran. Esdirecto constatar (compruebelo usted mismo) que si hay un cambio de coordenadas

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del tipo:x i = x i L i

i , (2.78)

entonces las componentes transformar´ an de acuerdo a la siguiente reglaT i j ··· k = L i

i L j j · · · L k

k T ij ··· k . (2.79)

En el caso particular de las rotaciones, simplemente consideramos L = R y obtenemos:

T i j ··· k = R ii R j

j · · · R kk T ij ··· k .. (2.80)

Si el tensor es de rango 2, con componentes T ij tenemos:

T i j = R ii R j

j T ij = R ii T ij R j

j , (2.81)

que, en notaci on matricial, puede ser interpretado simb´ olicamente de la siguienteforma:

T = RT R T . (2.82)

Consideremos por un instante el caso particular en que T tiene por componentes a ladelta de Kronecker. Es decir T ij = δ ij . Entonces, gracias a la denici on de rotacionesexpresada por la ecuaci on (2.38) vemos que se cumple

T i j = R ii R j

j δ ij = δ i j . (2.83)

En consecuencia la delta de Kronecker corresponde a un tensor invariante bajo rota-ciones (i.e. que preserva su forma en cualquier sistema de referencia rotado). Dehecho, los elementos de la delta de Kronecker son las componentes del tensor metrico

gij en una base ortonormal, que en efecto transforma de acuerdo a la regla (2.79) engeneral, o de acuerdo a la regla (2.80) en el caso particular de rotaciones.

2.10 El sımbolo de Levi-Civita

El sımbolo de Levi-Civita viene denido de la siguiente forma:

ijk =+1 si ijk es permutaci on par de 123− 1 si ijk es permutaci on impar de 1230 de cualquier otro caso

(2.84)

El sımbolo de Levi-Civita presenta una propiedad interesante. Al ser completamenteanti-simetrico ba jo el intercambio de sus ındices, es un objeto muy restringido. En

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particular, si uno tiene una matriz de 3 × 3 con componentes M i j (i siendo las y jsiendo columnas), entonces se puede vericar la siguiente propiedad:

ijk M im M

jn M

kl = det M mnl . (2.85)

Esta propiedad es puramente algebraica y, si se quiere, constituye una denici´ on deldeterminante de una matriz. Es importante que el estudiante se familiarice con estaexpresion y se convenza de su validez. (Sugerencia: Para vericar que la identidad(2.85) es correcta, reemplaze m = 1, n = 2, y l = 3 y analice que tipo de terminosaparecen sumados en la izquierda).

2.11 El sımbolo de Levi-Civita y cambio de coordenadas

Ahora, supongamos que existe un tensor Aijk que en cierto sistema de coordenadasCartesianas tiene por componentes al sımbolo de Levi-Civita. Es decir, tenemos:

A ijk = ijk . (2.86)

Si A ijk es un tensor, entonces bajo un cambio de coordenadas sus nuevas componentesA i j k estar an relacionadas con aquellas originales Aijk de acuerdo a la regla

A i j k = L ii L j

j L kk A ijk . (2.87)

Pero dado que Aijk tiene por coordenadas al sımbolo de Levi-Civita, entonces ten-dremos que:

A i j k = Lii L j

j L kk

ijk

= det L i j k , (2.88)

donde i j k es el mismo sımbolo de Levi-Civita, pero ahora expresado en terminosde los ındices i , j y k . En el caso particular de una rotaci on tenemos det R = 1,y por lo tanto Ai j k tiene exactamente la misma forma que tenıa en el sistema decoordenadas originales. Por dicho motivo, se dice que el sımbolo de Levi-Civita esun tensor invariante bajo rotaciones. Sin embargo, no es un tensor invariante bajoinversion de las coordenadas. Supongamos que L representa una transformaci´ on deparidad (recordar la discusi´on de la seccion 2.8) en donde el cambio de coordenadas estal que las nuevas coordenadas Cartesianas x , y , z son relacionadas con las antiguasx,y,z de acuerdo a la transformaci´on:

x → x = − x, y → y = − y, z → z = − z. (2.89)

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En dicho caso, L = P tiene por componentes

P i j =

− 1 0 00 − 1 00 0 − 1

, (2.90)

(o simplemente P i j = δ i j ) de donde se desprende que det P = − 1. Bajo este cambio

de coordenadas uno tiene:

A i j k = − A ijk δ i i δ j j δ k k

= − ijk δ i i δ j j δ k k

= − i j k . (2.91)

Es decir, A ijk no preserva su forma bajo inversi on de todas las coordenadas (paridad).Por dicho motivo en general no se habla de tensor de Levi-Civita, y se insiste conel termino sımbolo . El sımbolo de Levi-Civita est´a denido en (2.84) independientedel sistema de coordenadas, y si un tensor genuino tiene por componentes al sımbolo,entonces dicho tensor es invariante bajo rotaciones pero no bajo inversiones espaciales.

Veamos un ejemplo no trivial de su uso. Supongamos que contamos con un tensoranti-simetrico Aij arbitrario. Sin perdida de generalidad, es posible escribirlo de lasiguiente forma:

A ij = ijk V k . (2.92)

En notaci on matricial, esto corresponde a:

A ij =0 V 3

−V 2

− V 3 0 V 1

V 2 − V 1 0. (2.93)

Nos gustarıa saber que tipo de objeto es V k que, de acuerdo a la notaci´on que estamosempleando, parece ser un vector. Pero debemos ser cuidadosos: Dado que nuestropunto de partida es aceptar que A ij es un tensor, entonces estamos obligados a aceptarque bajo un cambio de bases x i = L j

i x j este transforma de acuerdo a la siguienteregla:

A i j = Lii L j

j A ij . (2.94)

Si procedemos a insertar (2.93) en (2.94), vemos que:A i j = Li

i L j j

ijk V k (2.95)= Li

i L j j Lk

kijk L m

k V m (2.96)= det L i j k L k

m V m (2.97)

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Dado que Ai j tambien es anti-simetrico, para ser coherentes con la notaci´ on (2.92)podemos escribir:

A i j = i j k V k . (2.98)

Esto quiere decir que las componentes V m transforman de acuerdo a la regla:

V m → V m = det L L mm V m , (2.99)

lo que impide que sea reconocido como un vector, que necesariamente transforma deacuerdo a la regla (2.9). Si L es una rotaci on, entonces det L = 1 y vemos que enefecto V m transforma como un vector. Sin embargo, si L = P corresponde a unatransformaci´on de paridad, tal como en (2.90), entonces vemos que las componentesno cambian

V m → V m = δ mm

V m , (2.100)

al contrario que un vector. Para no enredar las cosas, se dice que V m son las compo-nentes de un pseudo-vector (o un vector axial), para distinguirlo de un vector genuino.Estrictamente hablando, un pseudo-vector aparece en la denici´ on de un tensor an-tisimetrico, tal como lo hemos introducido aquı, pero la pr´ actica usual es olvidar (odesconocer) este hecho y derechamente pensar en V m como un objeto en si mismo.De hecho, ya estamos acostumbrados a trabajar con pseudo-vectores! Dos ejemplosnotables son el campo magnetico B i y el momento angular Li :

B ij =

0 B 3 − B 2

− B 3 0 B 1

B 2 − B 1 0, L ij =

0 L3 − L2

− L3 0 L1

L 2 − L 1 0. (2.101)

Es realmente importante convencerse de que el campo magnetico y el momento angu-lar son en realidad componentes de tensores y no vectores. Se sugiere que el estudiantele dedique tiempo a pensar en estas cantidades fısicas y analizar que ocurre con ellascuando hay una inversi´on de las coordenadas. La gura 9 ilustra el efecto de unainversion sobre las componentes de un pseudo vector (un verdadero vector seguirıasiendo el mismo objeto bajo un cambio de coordenadas).

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Clase 4: Principios relativistas

Comenzaremos nuestro estudio estableciendo los principios b´ asicos tras la formulaci onintroducida por Einstein acerca del espacio y del tiempo (o simplemente espacio-tiempo). Primero, desarrollemos algunos conceptos elementales que ciertamente ya

nos son familiares, pero que nos seran tremendamente ´utiles.

4.1 Sistemas de referencias

Partamos considerando, por simplicidad, un espacio Euclidiano de dos dimensiones.En un espacio tan simple como este usualmente nos interesa hablar de puntos y,si fuese posible, de guras geometricas mas complejas. Por ahora, hablemos s´ olode puntos. De m as est a decir que un sistema compuesto de un solo punto es pocointeresante, por lo que consideremos una situaci´ on en la cual existen dos puntos P 1 yP 2 , tal como lo muestra la siguiente gura:

Tıpicamente, para estudiar estos puntos resulta ´ util introducir el concepto de sis-temas de referencias. Ciertamente, el sistema de referencia m´ as familiar consiste enel sistema Cartesiano, en el presente caso constituido por dos ejes ordenados ( x, y)dispuestos en forma perpendicular. Llamemos K a este sistema.

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En tal sistema podemos usar las coordenadas ( x1 , y1 ) para caracterizar la posición delprimer punto y ( x2 , y2 ) para la posici on del segundo. Mas aun, podemos decir queambos puntos están separados por una distancia ∆ r dada por

∆ r 2 = ∆ x2 + ∆ y2 , (4.1)

donde ∆ x = x2 − x1 y ∆y = y2 − y1 . Notemos, sin embargo, que bien pudimos haberadoptado el mismo sistema cartesiano pero con una conguraci´ on distinta relativaal primer sistema de referencia K . Supongamos por ejemplo un segundo sistema K rotado en un angulo θ con respecto al primero.

En tal sistema los puntos están caracterizados por las coordenadas ( x1 , y1 ) y (x2 , y2 )respectivamente. Noten sin embargo que, dado que sabemos que el segundo sistemade referencia est a rotado en un angulo θ con respecto a K , podemos establecer una

relacion entre las coordenadas de ambos puntos en ambos sistemas. Mas concreta-mente, podemos escribir:

x1 = x1 cosθ + y1 sin θ, y1 = − x1 sin θ + y1 cosθ, (4.2)x2 = x2 cosθ + y2 sin θ, y2 = − x2 sin θ + y2 cosθ. (4.3)

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En terminos de vectores y matrices, estas relaciones se pueden escribir de forma m´ assucinta:

X 1 = R · X 1 X 2 = R · X 2 (4.4)

donde X 1 = ( x1 , y1 ), etc... y la matriz de rotación R viene dada por

R = cosθ sin θ− sin θ cosθ

. (4.5)

Quizas mas importante que estas relaciones, es el hecho que los vectores diferencia∆ X = X 2 − X 1 y ∆ X = X 2 − X 1 pueden ser relacionados mediante relacionessimilares

∆ X = R · ∆ X. (4.6)

Utilizando el hecho que Rt · R = R · R t = 1 (donde t denota la traspuesta) podemosinferir la siguiente relaci on:

|∆ X |2 = ∆ X t ∆ X = ∆ X t R t R∆ X = |∆ X | 2 (4.7)

Reconociendo que |∆ X |2 = ∆ r 2 = ∆ x2 + ∆ y2 y |∆ X |2 = (∆ r )2 = (∆ x )2 + (∆ y )2 ,hemos pues deducido nuestro primer resultado importante:

(∆ r )2 = ∆ r 2 . (4.8)

En otras palabras, la distancia es una cantidad invariante bajo rotaciones. No im-porta como elijamos la conguraci on de nuestros sistemas de referencia para describirlos puntos P 1 y P 2 , la distancia entre ambos puntos es una cantidad que no puededepender de tales disposiciones.

Ejercicio 1. En el ejemplo anterior consideramos dos sistemas de referencia rela-cionados por una rotación. Esto signica que necesitamos proveer un sólo parametropara relacionar las coordenadas en un sistema con otro. Extienda los resultados an-teriores para el caso en que ambos sistemas no sólo estan rotados uno con respecto alotro, pero tambien el origen de uno est´ a trasladado con respecto al otro. ¿Cu´ antospar ametros se requieren para relacionar las coordenadas en ambos sistemas?

Ejercicio 2. Evidentemente, la discusión anterior puede extenderse a tres di-

mensiones o mas. En el caso de tres dimensiones la cantidad relacionando a dospuntos que resulta invariante bajo rotaciones y traslaciones viene dada por ∆ r 2 =∆ x2 + ∆ y2 + ∆ z 2 . Repita el ejercicio anterior para el caso de tres dimensiones.¿Cuantos par ametros se requieren ahora para relacionar las coordenadas de dos sis-temas cartesianos?

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4.2 Principio de relatividad Euclidiano

Hasta el momento hemos notado que la distancia entre dos puntos (partıculas) en

un espacio Euclidiano no depende de la forma (sistema) que elijamos para describir-los. Esto es ciertamente facil de aceptar, ya que los sistemas de referencia los hemosimpuesto nosotros para poder describir relaciones entre ambos puntos, pero la exis-tencia de los puntos es independiente de nosotros, y por lo tanto, de nuestra elecci´ onde sistemas.

Evidentemente las relaciones fısicas entre dos partıculas, tales como interacciones,tampoco puede depender de la forma que escojamos para describirlas. Sin embargo,quizas por costumbre, insistimos en escribir las leyes de la fısica de tal forma queparecen depender de nuestros sistemas de referencia. Escribamos por ejemplo lasegunda ley de Newton de una forma que nos resulte familiar:

ma = m ¨ X = F . (4.9)

En la expresi on anterior X es el vector designando la posicion de una partıcula demasa m relativa al origen de cierto sistema, a la cual se le aplica una fuerza F .Sin embargo, otro observador, dotado de intenciones y capacidades similares a lasnuestras, pero contando con su sistema de referencia propio, escribir´ a exactamentela misma ecuacion, provisto que tal sistema es estático con respecto al nuestro (esdecir que las rotaciones y traslaciones que relacionan a su sistema con el nuestro novarıan en el tiempo). Para ser m´ as concretos, supongamos que estamos interesadosen describir la interacción gravitacional de dos partıculas P 1 y P 2 con masas m 1 y m2

respectivamente, cuyas coordenadas en nuestro sistema K vienen dadas por X 1 y X 2respectivamente. La fuerza en tal caso vienen dadas por

F = −GN m1 m2

∆ r 2

∆ X ∆ r

, (4.10)

donde ∆ r 2 = ∆ x2 + ∆ y2 + ∆ z 2 y ∆ X = X 2 − X 1 , y por lo tanto, las ecuaciones demovimiento para ambas partıculas viene dada por

¨ X 1 = GN m2

∆ r 2 ∆ X ∆ r , ¨ X 2 = − GN m1

∆ r 2 ∆ X ∆ r (4.11)

Supongamos que el sistema de referencia K de este segundo observador está rotadocon respecto a nuestro sistema K mediante una matriz de rotaci´ on R constante. Esto

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aquel en el cual un cuerpo en movimiento libre (un cuerpo en movimiento sobre elcual no est an siendo aplicadas fuerzas externas) permanece moviendose a velocidadconstante. Si dos sistemas de referencia se mueven uniformemente uno respecto alotro, y uno de ellos es inercial, entonces el otro tambien es necesariamente inercial.Es decir, existe una clase de equivalencia innita de sistemas inerciales.

Estrictamente hablando, las ecuaciones de gravitaci´ on de Newton (4.11) s olo puedenser escritas de tal forma si el sistema de referencia es inercial. Notemos por ejemploque si no hubiese interacci on gravitacional entre ambas partıculas (lo que correspondea apagar el acoplamiento de Newton GN → 0) entonces uno simplemente tendrıa

¨ X 1 = 0, ¨ X 2 = 0, (4.14)

y por lo tanto ambas partıculas se moverıan libremente a velocidad constante. Recorde-mos que para analizar la situaci´on en la cual GN = 0 debemos pensar en ambaspartıculas como parte de un sistema compuesto caracterizadas por un centro de masas

X 0 = m1 X 2 + m2 X 1

m1 + m2. (4.15)

De esta forma, ambas partıculas son componentes de una partıcula compuesta cuyaubicacion en nuestro sistema de coordenadas viene dada por X 0 . En tal caso esfacil comprobar que tal partıcula compuesta se mueve libremente con una velocidadconstante, dado que en virtud de las ecuaciones de movimiento uno tiene la relaci´ on:

¨ X 0 = 0. (4.16)

Si estuviesemos muy lejos de este sistema compuesto de partıculas, de hecho solopodrıamos distinguir una ´ unica partıcula P 0 a velocidad uniforme. Esto revela quenuestro sistema inicial en el cual escribimos las ecuaciones (4.11) efectivamente erainercial.

4.4 Principio de la relatividad

Usando como motivaci on nuestra ley de la relatividad Euclidiana, resulta naturalhacer un esfuerzo para extenderla incorporando el concepto mas amplio de sistemasde referencia inerciales. La formulaci on de este principio es de hecho sencillo: Las leyes de la naturaleza deben poder ser escritas de forma identica en todos los sistemas de referencia inerciales . En otras palabras, las ecuaciones de movimiento expresando

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las leyes de la naturaleza son invariantes con respecto a las transformaciones de co-ordenadas desde un sistema inercial a otro. Pero ¿Cu´ ales son las transformacionescorrectas relacionando las coordenadas de dos sistemas de referencia inerciales?

4.5 Principio de relatividad Galiliano

Supongamos dos observadores O y O moviendose a una velocidad relativa v constante.Ambos observadores pueden, por derecho propio, establecer sus sistemas de referenciaK y K con los orıgenes centrados en ellos mismos (ver gura). Tales sistemas son,

por denicion, sistemas de referencias inerciales. La experiencia nos revela que unabuena relaci on matem atica entre ambos sistemas de coordenadas K y K bajo estas

circunstancias viene dada por las celebres transformaciones de Galileo. En el caso enque ambos sistemas est an convenientemente alineados y la velocidad v de O relativaa O es en la direccion del eje x, entonces estas transformaciones adquieren la formasencilla

x = x − vt, y = y z = z, (4.17)

donde por simplicidad, tambien hemos asumido que en t = 0 la posicion de ambosobservadores es coincidente. Es f acil vericar que si un cuerpo se mueve a velocidadu en K , entonces el observador en O lo registrara en su sistema de referencia K auna velocidad

u = u− v. (4.18)

La verdadera importancia de las transformaciones de Galileo es que las leyes de New-ton son invariantes bajo su acci´on, en el sentido que dichas leyes son expresadas deforma identica en ambos sistemas. Por dicho motivo, resulta natural especicar que

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el principio de relatividad expresado en 4.4 debe ser complementado con las transfor-maciones de Galileo. Veremos, sin embargo, que esta actitud es algo apresurada.

4.6 Interacciones

Observemos que las ecuaciones (4.11) poseen una propiedad desconcertante. Si seinterviene en el sistema descrito por estas ecuaciones desplazando una de las partıculasde su posicion, la segunda partıcula sentir´ a dicho efecto en forma instantánea. Estose debe a que, en general, en mec anica Newtoniana, la fuerza entre partıculas puedeser deducida a partir de un potencial de energıa, que es funci on unicamente de lascoordenadas de las partıculas (m´ as bien de la distancia relativa).

Sin embargo, resulta natural exigir que la interacci´ on entre partıculas no sea in-

stantáneo, y que, si algun cambio toma lugar en alguna de las partıculas del sistema,inuenciar a a otras partıculas s´ olo despues de un cierto lapso de tiempo. Esto implicala existencia de una velocidad m axima vmax de propagacion de interacción.

Dicha velocidad vmax es maxima dado que, si hubiesen partıculas o cuerpos quefuesen capaces de exceder tal velocidad, serıa posible realizar un proceso incluyendouna interacción con una velocidad mayor a la ya acordada velocidad máxima de inter-accion. Cuando nos reramos a interacciones propag´ andose a tal velocidad, hablare-mos de senales.

4.7 Principio de relatividad especial de EinsteinSi existe una velocidad m axima de propagaci on de senales, claramente el principiode relatividad Galiliano no puede ser correcto. En efecto, si las transformacionesde Galileo fuesen correctas, siempre se podrıa constatar una velocidad mayor que lade las senales mediante el movimiento relativo adecuado. Esto implica que debemoscambiar dr asticamente nuestra visi´ on del espacio y del tiempo, puesto que si hemosde persistir con el principio de relatividad expresado en la Sección 4.4, debemosaceptar que la velocidad vmax es universal y registrada de forma identica por todoslos observadores utilizando sistemas de referencia inerciales para escribir las leyes de

la naturaleza. En otras palabras, vmax es necesariamente una constate universal. Lavelocidad de la luz es un candidato ideal para ser identicada como dicha constante.Mas adelante veremos que en efecto este es el caso y, por lo tanto

vmax = c = 299792Km/ s. (4.19)

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4.8 Sobre el concepto de simultaneidad

Es posible notar desde ya que ciertas nociones forjadas en el estudio de la mec´ anica

no relativista (Newtoniana) son radicalmente afectadas. Una de ellas es el conceptode simultaneidad. En efecto, supongamos la misma situaci´ on descrita por la gura5.3. Esta vez, sin embargo, el observador O observa la siguiente situación: Dossenales abandonan una fuente A en reposo con respecto a K en direcciones opuestasa lo largo del eje x. Dos receptores B y C , tambien en reposo con respecto a K se encuentran a la misma distancia de A, y est an dispuestos sobre el eje x parainterceptar las señales. Desde el punto de vista de O , claramente ambas señales llegan

a B y C en forma simult anea, en tiempos tB = tC . Dado que hemos aceptado que lavelocidad de la luz es una constante universal, debemos concluir que el observador O,utilizando su sistema de referencia K para registrar eventos, percibir´ a que las senalesson interceptadas por B y C a tiempos tB y tC que no coinciden (ver siguiente gura).Para llegar a esta conclusión no hemos hecho mas que aceptar dos principios básicos.Primero, el principio de la relatividad, que establece que las leyes de la naturalezadeben ser escritas en forma identicas en todos los sistemas inerciales. Y segundo,la existencia de una velocidad m axima de propagaci on para las interacciones. Lacombinacion de ambos principios es lo que se denomina el principio de relatividad de

Einstein.Es importante señalar, sin embargo, que la Mec anica de Newton no carece de

“relatividad” en el mismo sentido profundo del principio de relatividad de Einstein,ya que, como hemos visto, las leyes de Newton son invariantes bajo transformacionesde Galileo, las que relacionan a observadores en sistemas inerciales. El verdadero

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cambio conceptual llega a partir de aceptar la existencia de una velocidad m´ aximade propagacion de se˜nales. Historicamente, esto fue posible s olo gracias a un mayorentendimiento de los fen omenos electromagneticos y la naturaleza ondulatoria de laluz.

4.9 Intervalos espacio-temporales

Evidentemente, para poder entender este tipo de discrepancias debemos reeducarnuestra noci on del espacio-tiempo. Para ello resulta conveniente introducir ciertosconceptos b asicos que nos seran utiles en el estudio de la relatividad especial. Engeneral, trabajaremos con espacios geometricos donde el tiempo puede ser represen-tado mediante un eje coordenado, al igual que el resto de las coordenadas espaciales(tal como en la gura anterior). En dichos espacios, eventos vienen representados porpuntos, caracterizados por coordenadas determinando el tiempo en el que el eventoocurre y las coordenadas espaciales. Por otro lado, una partıcula puede ser represen-tada como una sucesi on de eventos, siguiendo la trayectoria de la partıcula. La curvacompuesta por tal sucesi´on de eventos es denominada lınea mundo, y en el caso quela partıcula se propague a velocidad constante, la lınea mundo corresponde una linearecta en un sistema de referencia inercial.

Ahora bien, supongamos dos eventos P 1 y P 2 arbitrarios. En general, dado unsistema inercial K , podremos asignar a estos eventos coordenadas espacio-temporales(t1 , x1 , y1 , z 1 ) y (t2 , x2 , y2 , z 2 ) respectivamente. Denamos al intervalo espacio tempo-

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ral ∆ s 2 entre ambos eventos de la siguiente forma:

∆ s 2 = − c2 ∆ t2 + ∆ x2 + ∆ y2 + ∆ z 2 , (4.20)

donde c es la velocidad de la luz y ∆t = t2 − t1 , ∆ x = x2 − x1 , ∆ y = y2 − y1 y∆ z = z 2 − z 1 . Por otro lado, en otro sistema inercial K estos eventos vendr an descritospor las coordenadas espacio-temporales ( t1 , x1 , y1 , z 1 ) y (t2 , x2 , y2 , z 2 ) respectivamente,por lo que podemos denir una cantidad similar en terminos de las coordenadas deK :

(∆ s )2 = − c2 (∆ t )2 + (∆ x )2 + (∆ y )2 + (∆ z )2 , (4.21)

donde ∆ t = t 2 − t1 , ∆ x = x2 − x1 , ∆ y = y2 − y1 y ∆z = z 2 − z 1 . Supongamos porun momento que ambos eventos están separados por un intervalo espacio-temporalcaracterizado por ∆ s 2 = 0. La ecuaci on ∆ s 2 = 0 corresponde ni m as ni menos que auna curva rectilınea en la cual una se˜ nal se propaga desde P 1 a P 2 a la velocidad dela luz. Sin embargo sabemos que la propagaci on de una senal es registrada en todoslos sistemas de referencia con la misma velocidad (ya que corresponde a la velocidaduniversal m axima). Por lo tanto, si ∆ s 2 = 0 en K , necesariamente uno debe registrar(∆ s )2 = 0 en K . En otras palabras (∆ s)2 = 0 y (∆ s )2 = 0 son equivalentes. Notenque esta conclusión es completamente independiente de la orientaci´ on relativa de los

ejes, o desplazamiento del origen de ambos sistemas, uno con respecto a otro.Preguntemonos ahora cómo estan estos intervalos, escritos en distintos sistemas

inerciales, relacionados para eventos P 1 y P 2 arbitrarios (es decir, no necesariamenteconectados por se nales). Para ello, consideremos primero el caso en que tales eventosestan innitesimalmente cerca el uno del otro. En tal caso nos permitimos escribir el

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intervalo espacio-temporal en forma innitesimal

ds 2 = − c2 dt 2 + dx2 + dy2 + dz 2 . (4.22)

Claramente, si la separaci´on de dos eventos es innitesimal en K , tambien lo debe seren K . De modo que la unica relaci on entre ds y ds aceptable es una relaci´on linealde la forma:

ds = ads . (4.23)

Observen que ninguna otra cantidad innitesimal puede entrar en esta relaci´ on, dadoque para ds = 0 sabemos que debemos invariablemente reobtener ds = 0. Mas aun, elcoeciente a solo puede depender del valor absoluto de la velocidad relativa de ambossistemas K y K . En efecto, observen primero que a no puede depender ni de lascoordenadas espaciales ni del tiempo, de otro modo distintos puntos en el tiempo y enel espacio no serıan equivalentes. En forma similar, a tampoco puede depender de ladireccion de la velocidad relativa, pues eso introducirıa una anisotropıa del espacio almomento de describir la relaci on entre ambos eventos 1 . Noten que en total analogıa,pudimos haber escrito

ds = ads, (4.24)

donde a es precisamente la misma funci on. Por lo tanto podemos deducir que a = ± 1.Notemos sin embargo que un caso particular corresponde a aquel en que v = 0, encuyo caso debemos reobtener ds = ds . Por dicho motivo, debemos concluir que a = 1y en general:

ds = ds . (4.25)

Dado que hemos supuesto homogeneidad e isotropıa del espacio-tiempo, este resultadopuede ser extendido a intervalos nitos

∆ s = ∆ s . (4.26)

De esta forma, hemos llegado a un resultado crucial: El intervalo espacio-temporal∆ s 2 caracterizando dos eventos arbitrarios es una cantidad invariante en todos lossistemas de referencia inerciales.

1

Resulta ´ util pensar en estas dos reglas para el caso ya conocido que consideramos en la secci´ on4.1. Ahı bien pudimos haber deducido que el intervalo espacial dr 2 = dx 2 + dy 2 + dy 2 est a relacionadoal intervalo dr 2 = dx 2 + dy 2 + dy 2 mediante una relaci´ on lineal de la forma dr = adr . En tal casoresulta natural entender por que a no puede depender ni de las coordenadas ni de los ´ angulos de lamatriz de rotaci´ on R , por exactamente las mismas razones

12



P 1 ) necesariamente est´a dentro del cono, mientras que si es tal que ∆ s2 > 0 (a unadistancia tipo espacio de P 1 ) necesariamente est´a fuera del cono.

Figure 1: La gura muestra la supercie ∆ s 2 = − c2 (∆ t)2 +(∆ x)2 +(∆ y)2 +(∆ z )2 = 0proyectada sobre el plano ( ct,x,y ). Esta supercie es denominada cono de luz.

14



Clase 5: Transformaciones de Lorentz

Ahora procedemos a deducir y estudiar las celebres transformaciones de Lorentz, rela-

cionando sistemas de referencia inerciales para observadores en movimiento relativouniforme.

5.1 Tiempo propio

Antes de deducir las transformaciones de Lorentz, resulta ´ util introducir un conceptofundamental en el estudio de la cinem´atica relativista. Supongamos un observadorinercial O junto a su sistema de referencia K . Por denici on, este observador ver apartıculas libres en movimiento uniforme y rectilıneo. Supongamos en particular unapartıcula con velocidad v con respecto a O. Ya sabemos que si dicha partıcula es fısica(real), entonces v < c y su lınea de mundo debe ser tipo tiempo. Es decir, cualquierpar de eventos P 1 y P 2 localizados sobre su lınea mundo deben estar separados porun intervalo espacio-temporal tal que

∆ s2 = − c2 (∆ t)2 + (∆ x)2 + (∆ y)2 + (∆ z )2 < 0. (5.1)

Mas aun, dado que el movimiento es rectilıneo, tendremos que la la velocidad de lapartıcula satisface

v2 =∆ x∆ t

2

+∆ y∆ t

2

+∆ z ∆ t

2

. (5.2)

Por otro lado, debe existir un sistema inercial K donde dicha partıcula se registraen reposo. Esto signica que para el mismo par de eventos P 1 y P 2 localizados sobresu lınea mundo estos estaran caracterizados en K por ∆ x = 0, ∆ y = 0 y ∆ z = 0.Tendremos por lo tanto la relaci´ on

− c2 (∆ t )2 = − c2 (∆ t)2 + (∆ x)2 + (∆ y)2 + (∆ z )2 . (5.3)

Noten que t es la coordenada utilizada para medir el tiempo en el sistema de referenciaen reposo con respecto a la partıcula en cuesti´ on y por lo tanto corresponde al tiempopercibido por la partıcula. Es m´ as, si reemplazasemos a la partıcula por un reloj,este serıa precisamente el tiempo indicado por dicho reloj, al ser observado por O.Por lo tanto, nos referiremos a este tiempo como el tiempo propio τ de la partıcula.Notemos que un cierto periodo propio ∆ τ = ∆ t viene relacionado con un periodo detiempo medido por un reloj en K de la siguiente forma

(∆ τ )2 = (∆ t)2 − (∆ t)2

c2

∆ x∆ t

2

+∆ y∆ t

2

+∆ z ∆ t

2

, (5.4)

15



y por lo tanto, podemos escribir ∆ τ = ∆ t 1 − v2 /c 2 . Esto quiere decir que el tiempode un reloj en movimiento es percibido por un observador O pasando en forma m aslenta que aquel registrado por su reloj

∆ t = ∆ τ

1 − v2 /c 2. (5.5)

5.2 Sobre el concepto de medici´ on

Hay algo que a primera vista resulta extra˜ no en la conclusion anterior. Supongamosque en vez de una partıcula en movimiento rectilıneo uniforme tenemos un observadorO con un reloj. Este, al observar O moviendose a una velocidad − v con respecto asi mismo habrıa deducido, correctamente, que el tiempo propio de O transcurre de

forma mas lenta que aquel que marca su reloj. De hecho el constatarıa que∆ t =

∆ t

1 − v2 /c 2. (5.6)

donde ∆ t es ahora el intervalo de tiempo propio de O. En otras palabras, ambosobservadores perciben que el reloj del observador contrario marca el tiempo a inter-valos regulares mas lentos que el suyo. ¿C omo podemos explicar esta aparente con-tradicci on? Para responder a esta pregunta debemos aclarar el concepto de medici´ on.De hecho, hay cierta asimetrıa en la labor de medir y comparar relojes. Para sermas precisos, y volviendo al caso anterior de la Seccion 5.1, si el observador O de-seara medir el tiempo propio de un reloj en movimiento rectilıneo y uniforme, estar´ aobligado a construir un arreglo de relojes, todos calibrados, y ubicados en distintospuntos espaciales de su sistema de referencia (ver gura). En otras palabras, el obser-vador requiere construir un arreglo de relojes consistente con su sistema de referenciapara comparar el tiempo con el reloj en movimiento. Hay por lo tanto una asimetrıainevitable al momento de intentar comparar relojes. Lo mismo ocurre si ahora reem-plazamos al reloj por un observador O y este desease comparar como evoluciona eltiempo marcado por el reloj de O con sus sistema de referencia.

5.3 Transformaciones de Lorentz

Supongamos dos observadores O y O con una velocidad relativa entre ambos dada porv. Ambos observadores estar an tentados en utilizar sus propios diagramas espacio-temporales (sistemas de referencia) para ubicar eventos. Por dicho motivo distin-guimos entre los sistemas de referencias K y K caracterizados por coordenadas

16



(t ,x,y,z ) y (t , x , y , z ) respectivamente. En la clase anterior vimos que, sin importarla orientaci on de los ejes, o desplazamiento del origen de dichos sistemas, dado doseventos arbitrarios P 1 y P 2 , existe una cantidad invariante, denominada el intervaloespacio-temporal ∆ s 2 , dada por

(∆ s)2 = − (c∆ t)2 + (∆ x)2 + (∆ y)2 + (∆ z )2

= − (c∆ t )2 + (∆ x )2 + (∆ y )2 + (∆ z )2 , (5.7)

donde ∆ t = t2 − t1 , ∆ x = x2 − x1 , etc... Es deseable contar con una transformaci´ onmatem atica relacionando directamente a las coordenadas de ambos sistemas que cum-

plan con la propiedad de mantener (∆ s)2

. Al igual que con las rotaciones que vimosen la Seccion 4.1, estas transformaciones deben ser relaciones lineales entre las difer-encias (∆ t, ∆ x) y (∆ t , ∆ x ). Esto es evidente, pues buscamos mantener invarianteuna cantidad que es cuadr´atica en la diferencia de coordenadas.

En general estas transformaciones son complicadas (las deduciremos en su formageneral un poco mas adelante) pero podemos simplicar el problema de deducirlassi acordamos que ambos observadores tienen sus sistemas de referencia con los ejesespaciales alineados y que el movimiento relativo es a lo largo del eje x, tal comolo muestra la gura. Partamos considerando la existencia de dos eventos P 1 y P 2ubicados en el plano (t, x ) de K . Estos eventos est an caracterizados por un intervalo∆ s 2 = − (c∆ t)2 + (∆ x)2 . Evidentemente estos eventos continuar´ an siendo registradosen el plano (t , x ) en K , por lo que solo debemos considerar la invariancia del intervalo(∆ s )2 = − (c∆ t )2 + (∆ x )2 . Tenemos pues

− (c∆ t)2 + (∆ x)2 = − (c∆ t )2 + (∆ x )2 . (5.8)

17



Para deducir las transformaciones lineales teniendo lugar entre las coordenadas deambos sistemas usemos el siguiente truco. Notemos que al escribir η = ict y η = ict ,la expresion anterior puede ser reexpresada de la forma

(∆ η)2 + (∆ x)2 = (∆ η )2 + (∆ x )2 . (5.9)

Esta expresi on es de hecho conocida. Corresponde ni mas ni menos que al intervaloinvariante bajo rotaciones en el plano ( η, x) examinado en la Secci on 4.1. Para talsituaci on sabemos bien cuales son las transformaciones entre coordenadas. Estas son

∆ η = ∆ η cos θ − ∆ x sin θ, ∆ x = ∆ x cos θ + ∆ η sin θ, (5.10)

mientras que sus inversas vienen dadas por

∆ η = ∆ η cos θ + ∆ x sin θ, ∆ x = ∆ x cos θ − ∆ η sin θ. (5.11)

Para entender el signicado de θ en este caso, consideremos la linea de mundo deuna partıcula en reposo en el sistema K . Desde la perspectiva de O, esta partıculase mueve a una velocidad v y sigue un movimiento rectilıneo. Supongamos que loseventos P 1 y P 2 interceptan el paso de esta partıcula. Luego, tendremos ∆ x/ ∆ t = v.Desde la perspectiva de O , los dos eventos P 1 y P 2 estan caracterizaos por ∆ x = 0,dado que la partıcula no se desplaza en su sistema de coordenadas. Por lo tanto,tenemos

∆ η = ∆ η sin θ, ∆ x = − ∆ η sin θ. (5.12)

18



Dividiendo la segunda relaci on por la primera, tenemos

v = ∆ x

∆ t = − ic tan θ. (5.13)

Es decir, θ esta directamente relacionado con la velocidad relativa de ambos sistemasK y K . En virtud de esta última relaci on, podemos escribir

sin θ = iv/c

1 − v2 /c 2, cosθ =

1

1 − v2 /c 2. (5.14)

Volviendo a las ecuaciones (5.11), y reescribiendo η = ict y η = ict deducimosnalmente las transformaciones de Lorentz:

∆ t = ∆ t + v∆ x /c 2

1 − v2 /c 2 , ∆ x = ∆ x + v∆ t

1 − v2 /c 2 . (5.15)

Para deducir las relaciones inversas, podemos invertir directamente las relacioneslineales anteriores, o alternativamente, recordar que ellas son deducidas del mismorazonamiento anterior pero con v reemplazado por − v. Estas vienen dadas por

∆ t = ∆ t − v∆ x/c 2

1 − v2 /c 2, ∆ x =

∆ x − v∆ t

1 − v2 /c 2. (5.16)

Es facil comprobar que en efecto (∆ s)2 es un invariante bajo estas transformaciones.Terminemos esta sección senalando que si los eventos P 1 y P 2 estan adicionalmenteseparados por componentes ∆ y y ∆z perpendiculares al eje x, donde el movimientorelativo entre los observadores se realiza, entonces estas no sufrir´ an cambios bajo lastransformaciones. En otras palabras

∆ y = ∆ y , ∆ z = ∆ z . (5.17)

Para convencerse de esto podemos volver a la notación auxiliar mediante la cualescribimos ic∆ t = ∆ η. En tal caso tenemos (∆ s)2 = (∆ η)2 + (∆ x)2 + (∆ y)2 + (∆ z )2 .Este intervalo es invariante bajo rotaciones en un espacio de cuatro dimensiones. Sinembargo, ya vimos que si el movimiento entre los sistemas de referencia es a lo largodel eje x, la transformaci on entre ambos sistemas equivale a una rotaci´ on en el plano(η, x). Tal rotación en efecto deja sin modicacion a las cantidades ∆ y y ∆z .

19



5.4 Longitud propia

Como primera aplicaci on de las transformaciones de Lorentz, discutamos la medici´ on

del largo de un objeto extendido en movimiento, por ejemplo una barra. Supongamosque contamos con una barra rıgida que en reposo mide 0 . Dado que este es el largomedido en un sistema de referencia donde la barra est´ a en reposo, nos referiremos aeste como el largo propio de la barra. Supongamos ahora que la misma barra est aen movimiento, con una velocidad constante v con respecto a un observador O, y enuna direcci on que coincide con el largo de la barra. Como es costumbre, alineemos ladireccion del movimiento (y del largo) con el eje x del sistema de referencia K utilizadopor O para registrar eventos. En dicho sistema de referencia, O podra constatar que labarra cubre una regi´on de dos dimensiones en el plano (x, t ) delimitada por dos lıneas mundo denotando los extremos de la barra (ver siguiente gura). Es usual denominar

a tal regi on como sabana mundo . Es conveniente pensar en los extremos de la barracomo partıculas. Dado que la barra pretende ser un objeto fısico, los extremos de labarra deben seguir lineas de mundo tipo tiempo (recuerden la discusi´ on de la Seccion4.10). En el presente caso, el observador O claramente ver a los extremos de la barraen movimiento rectilıneo uniforme, a velocidad v. Por otro lado un observador Oen reposo con respecto a la barra, pero a velocidad v con respecto a O, vera que losextremos de la barras corresponden a lıneas mundo completamente verticales en elplano (x , t ) de su sistema de referencia, la primera en x1 y la segunda en x2 . Parael observador O , la diferencia de las coordenadas corresponde a 0 , es decir

∆ x = x2 − x1 = 0 . (5.18)

20



Para establecer la medición del largo de la barra que hace O, debemos primero acor-dar que para este, la medición del largo de un objeto extendido se hace en formasimult anea. Es decir, el observador O debe registrar la posici on de los extremos dela barra a tiempos iguales. Por lo tanto, para el, el largo de la barra consistir´ a a ladistancia espacial entre dos eventos P 1 y P 2 caracterizados por ∆ t = 0 (ver siguientegura). Utilizando (5.18) y la segunda ecuación de (5.16), vemos pues que

∆ x = 0 1 − v2 /c 2 . (5.19)

Dado que 1 − v2

/c2

< 1, vemos que el largo medido por O es menor que el largopropio de la barra. A esto se le denomina contracción de Lorentz. Notemos que laforma en que hemos deducido este resultado fue asociando a los extremos de la barralineas de mundo, y asociando dos eventos P 1 y P 2 a la interseccion de estas lıneasde mundo con una curva a t =constante. Para O, estos eventos son simult aneos,que es la unica forma que el o ella puede medir longitudes (piensen bien esto!). Porotra parte, estos eventos no ser´ an simult aneos para un observador O en reposo conrespecto a la barra (ver gura anterior). De hecho la primera ecuaci´ on (5.16) nos diceque si bien P 1 y P 2 estan separados por una distancia ∆ x = 0 en K , tambien sonregistrados por O a destiempo:

∆ t = t2 − t1 = − v∆ x/c 2

1 − v2 /c 2= − v 0 /c 2 , (5.20)

donde hemos usado (5.19) en la segunda igualdad. Este es quizás el aspecto mascaracterıstico de la relatividad especial, es decir, el que no exista una forma absoluta

21



de denir simultaneidad. Aquellos eventos que ocurren en forma simult anea para unobservador inercial O no seran observados como simult aneos para un observador Oen movimiento con respecto a O.

Para terminar, observen que en el calculo anterior necesitamos especicar si elorigen de ambos sistemas de referencia coinciden o no. Es decir, no fue necesarioacordar que los relojes utilizados en ambos sistemas de referencia est´an sincronizadosde tal forma que para ( t, x ) = (0 , 0) uno tiene ( t, x ) = (0 , 0), lo que es utilizado enmuchos textos. De hecho, en general tal convenci´on es completamente irrelevantepara resolver problemas en relatividad especial, ya que nuestro interes es tıpicamentedescribir la relaci on entre dos o mas eventos, en donde intervienen diferencias decoordenadas, y no la ubicaci on de los orıgenes de los sistemas de referencia.

22




Clase 6: Transformaciones de Lorentz II

6.1 Notaci´ on β y γ

En ocasiones resulta util introducir dos par´ametros β y γ para simplicar la escriturade las transformaciones de Lorentz. Estos son:

β = vc

, γ = 1

1 −β 2. (6.1)

Teniendo en cuenta estos par´ ametros, las transformaciones de Lorentz pueden serreexpresadas como

c∆ t = γ (c∆ t + β ∆ x ), ∆ x = γ (∆ x + βc∆ t ), (6.2)

(donde hemos omitido las relaciones adicionales ∆ y = ∆ y y ∆ z = ∆ z ) mientras quesus inversas son

c∆ t = γ (c∆ t −β ∆ x), ∆ x = γ (∆ x −βc∆ t). (6.3)

Noten tambien que por conveniencia hemos multiplicado por c en ambos lados, demodo que ∆ t y ∆ t siempre vienen acompa nados del factor c.

6.2 Adici´ on de velocidades

Claramente podemos repetir la deducci´ on de las transformaciones de Lorentz para elcaso en que dos eventos P 1 y P 2 estan innitesimalmente separados. En tal caso las

transformaciones de Lorentz adquieren la formac dt = γ (c dt + βdx ), dx = γ (dx + βc dt ), (6.4)

junto a las relaciones dy = dy y dz = dz . Supongamos ahora que nuestro obser-vador O constata una partıcula en movimiento a velocidad u a lo largo del eje x. El

1



lo largo del mismo eje en el cual los observadores O y O presentan un movimientorelativo. Supongamos ahora que la partıcula tiene componentes perpendiculares al ejex. Es decir, la velocidad de la partıcula corresponde a un vector u con componentes

ux = dxdt

, uy = dydt

, uz = dz dt

. (6.11)

Las transformaciones de Lorentz nos dicen que los innitesimales dt, dx, dy, dz aso-ciados al movimiento de la partıcula en el sistema de referencia K estan relacionadoscon los innitesimales dt , dx , dy , dz en el sistema de referencia K (utilizado porun observador O en movimiento con respecto a O con velocidad v a lo largo del ejex) en la forma siguiente:

c dt = γ (c dt + βdx ), dx = γ (dx + βc dt ), dy = dy , dz = dz . (6.12)

Repitiendo el calculo hecho en la ultima secci on de la clase anterior, pero ahorateniendo en cuenta las componentes a lo largo de los ejes y y z , obtenemos

ux = ux + v1 + vux /c 2 , uy =

uy 1 −v2 /c 2

1 + vux /c 2 , uz = uz 1 −v2 /c 2

1 + vux /c 2 . (6.13)

Por otro lado, las relaciones inversas, corresponden a

ux = ux −v1 −vux /c 2 , uy =

uy 1 −v2 /c 2

1 −vux /c 2 , uz = uz 1 −v2 /c 2

1 −vux /c 2 . (6.14)

Es decir, las componentes transversales al movimiento relativo de ambos observadores,son registrados por ambos observadores en forma distinta en sus sistemas K y K respectivos.

6.4 Aberraci´ on de la luz

Como aplicacion del resultado anterior, analicemos una situaci´ on relevante para laastronomıa. Supongamos primero que la partıcula de nuestro ejemplo anterior tieneuna velocidad u caracterizada solo por componentes a lo largo del plano x−y. Debidoa las relaciones anteriores, sabemos que la partıcula tambien se constatar´ a moviendoseen el plano x −y por el observador O pero con componentes distintas. En los dossistemas de referencia K y K podemos descomponer la velocidad de la partıcula ensus componentes de la siguiente manera (ver gura siguiente)

ux = u sin θ, uy = u cos θ, ux = u sin θ , uy = u cos θ . (6.15)

3



Deberıa ser claro que en general u = u y θ = θ (esto tambien es cierto en mecánicaNewtoniana, utilizando las transformaciones de Galileo). Utilizando las relaciones(6.13), podemos entonces deducir

u sin θ = u sin θ + v1 + vu sin θ /c 2 , u cos θ =

u cos θ 1 −v2 /c 2

1 + vu sin θ /c 2 . (6.16)

Dividiendo ahora la primera ecuación por la segunda obtenemos entonces

tan θ = u sin θ + v

u cos θ

1 −v2 /c 2

. (6.17)

Esta es una relaci on interesante. Nos entrega el ángulo θ medido en K como funcionde la velocidad u y el angulo θ medidos en K . Noten que la unica diferenciacon el resultado deducido a traves del uso de las transformaciones de Galileo es elfactor 1 −v2 /c 2 multiplicando el lado derecho. Como ya es habitual, si quisieramosobtener la relaci on inversa, ahora entre el ángulo θ medido en K y u y el angulo θmedidos en K , simplemente debemos invertir el rol de todas las cantidades y cambiarv → −v:

tan θ = u sin θ −v

u cos θ 1 −v2 /c 2. (6.18)

El caso que nos interesa es aquel en que la partıcula corresponde a un fot on (uncuanto de luz). En tal caso, dado que la velocidad de la luz es universal, debemosusar u = u = c. Remplazando estas cantidades en la relaci on (6.18), obtenemosnalmente

tan θ = sin θ −β cos θ 1 −β 2

, (6.19)

4



donde β = v/c . Esta es la ecuaci on relativista para la aberraci´ on de la luz. Pensemosahora en una situación cotidiana. Supongamos que estamos interesados en observaruna estrella determinada y para ello contamos con las coordenadas de la estrellautilizadas para la observación de la misma seis meses atr as. La ecuacion anteriornos senala que debemos realizar una corrección al angulo θ de nuestro telescopio conrelacion al eje en el cual la tierra se mueve (ver gura). Dado que la estrella se

encuentra muy distante, para cualquier efecto el movimiento de esta no es del todorelevante para este problema, por lo que lo importante es la velocidad relativa dela tierra con respecto a su velocidad seis meses atrás. Llamemos a esta cantidad v.

Para calcular la corrección que debemos aplicara a nuestro telescopio para observar laestrella, constatemos primero que para β = 0 (es decir v = 0) tendremos θ = θ. Estoquiere decir que para pequeñas velocidades v c tendremos peque nas correccionesal angulo modicando la relaci on θ = θ. Denamos por lo tanto ∆ θ de la forma

θ = θ + ∆ θ. (6.20)

Reemplazando esta expresión en la ecuacion (6.19) y expandiendo ambos lados lin-ealmente en ∆ θ y β (que son pequenas), obtenemos

tan θ + ∆ θcos2 θ + O(∆ θ

2

) = tan θ − β cos θ + O(β

2

). (6.21)

Luego, despreciando las cantidades cuadr´ aticas, obtenemos

∆ θ −vc cos θ. (6.22)

5



Esta ecuaci on nos entrega la correcci on que debemos considerar para orientar untelescopio en el cielo. Vale mencionar que esta relaci on fue deducida antes de lallegada de relatividad especial, y fue utilizada para medir estimar la velocidad de laluz.

6.5 Cambios de unidades

Continuemos profundizando nuestro entendimiento de las transformaciones de Lorentz.Resulta conveniente introducir una notaci´ on que persistir a a lo largo de este curso.Observemos que en todo momento hemos tenido que lidiar con la combinaci´ on ct enlugar de solamente t. Esto se debe a que las transformadas de Lorentz intercam-bian coordenadas temporales por espaciales (y vice versa) por lo que necesitamos una

cantidad con unidades de velocidad para realizar dicho intercambio. Por supuesto,dicha velocidad es precisamente la luz, que tiene un rol universal. Denamos entoncesnuevas coordenadas t y x exclusivamente con unidades de longitud:

t ≡ct, x ≡x. (6.23)

Claramente esta denición es redundante para x. Observen que si bien t tieneunidades de longitud, en realidad mide el tiempo. Diremos entonces que podemosmedir longitudes haciendo referencia al tiempo (y vice versa). Por ejemplo, la dis-tancia de la estrella más cercana (Próxima Centauri) es de 4.24 a nos luz. Lo que enterminos de Kilómetros signica

∆ t = c ×(4.24 ×3.15 ×107 s), (6.24)= 2 .99 ×108

×4.24 ×3.15 ×107 Km (6.25)= 39 .93 ×1015 Km. (6.26)

Ahora las transformaciones de Lorentz pueden ser escritas de la forma:

∆ t = γ (∆ t + β ∆ x ), (6.27)∆ x = γ (∆ x + β ∆ t ). (6.28)

Supongamos que nos interesa describir la trayectoria de una se˜ nal de luz dxdt = c.

Luego, en las nuevas coordenadas la velocidad de la luz viene dada por

c = dxdt

= 1c

dxdt

= cc

= 1. (6.29)

6



Es decir, con estas nuevas unidades la velocidad universal lımite es simplemente 1.La conveniencia de trabajar con estas coordenadas es precisamente esta, que lasvelocidades no tienen unidades, ya que se miden con respecto a la velocidad de laluz. Por ejemplo, una partıcula que se mueve con velocidad dx

dt = v en el sistema deunidades antiguas, descritas con las nuevas unidades lo har´ a a una velocidad:

v = dxdt

= 1c

dxdt

= vc

= β. (6.30)

A partir de ahora continuaremos trabajando con estas nuevas unidades. Dado que lanotaci on con barras es redundante, simplemente usaremos el par t y x, y aceptaremosque c = 1. Esto es, simplemente trabajaremos en un sistema de unidades donde c = 1.

6.6 Transformaciones de Lorentz pensadas como rotaciones

Dada que las transformaciones de Lorentz corresponden a una relaci´ on lineal entrelas diferencias de coordenadas ( t, x ) y (t , x ), las expresiones anteriores pueden serreexpresadas de la forma

∆ t∆ x

= γ γβ γβ γ

∆ t∆ x

. (6.31)

Noten que la inversa de la matriz usada en la última expresi on es precisamente lamisma matriz pero con β → −β . En otras palabras, las relaciones inversas vienendadas por

∆ t∆ x

= γ −γβ −γβ γ

∆ t∆ x

. (6.32)

Noten que estas matrices dependen únicamente de un parámetro, es decir β = v.De hecho resulta conveniente parametrizar estas matrices introduciendo el siguientepar ametro θ (no confundir con el angulo usado en la Seccion anterior)

tanh θ = β. (6.33)

Dado que −1 < β < 1, la relacion anterior corresponde a un mapa de uno a unoentre v y θ ∈R . Observen adicionalmente que, dada la denici´ on anterior, podemosescribir:

γ = cosh θ, γβ = sinh θ. (6.34)

La transformación (6.31) puede ahora ser escrita de la siguiente forma

∆ t∆ x

= Λ( θ) ∆ t∆ x

, donde Λ(θ) ≡cosh θ sinh θsinh θ cosh θ

, (6.35)

7



mientras que la transformaci´ on inversa (6.32) puede ser escrita como

∆ x

∆ x= Λ − 1 (θ) ∆ t

∆ x, donde Λ− 1 (θ)

≡

coshθ −sinh θ

−sinh θ coshθ. (6.36)

En la expresi on anterior Λ − 1 corresponde a la inversa de Λ. Es decir Λ − 1 Λ = ΛΛ− 1 =1. Noten que la matriz Λ( θ) satisface varias propiedades interesantes. Primero quenada Λ− 1 (θ) = Λ(−θ). Mas aun, en general, para dos valores θ1 y θ2 arbitrarios, lasmatrices Λ( θ1 ) y Λ(θ2 ) satisfacen (veriquen esto):

Λ(θ1 )Λ(θ2 ) = Λ( θ1 + θ2 ). (6.37)

Este ultimo resultado es de hecho muy sugerente: Dos transformaciones de Lorentzaplicadas sucesivamente, caracterizadas por par´ ametros θ1 y θ2 respectivamente, cor-responde a una sola transformación de Lorentz caracterizada por un par´ ametro θ1 + θ2 .Analicemos esto en mas detalle. Supongamos tres observadores O, O y O utilizando,como es habitual, sistemas de referencia K , K y K para registrar eventos. Supong-amos que la velocidad de O con respecto a O es v, a lo largo del eje x, y que lavelocidad de O con respecto a O es u, tambien a lo largo del eje x. Dada la presentesituaci on, sabemos bien que existen transformaciones de Lorentz relacionando inter-valos en el espacio-tiempo registrados K , y K por O y O respectivamente. Estasson:

∆ t∆ x

= Λ( θ1 ) ∆ t∆ x

, donde θ1 ≡arctanh( v). (6.38)

Por otro lado, existen transformaciones de Lorentz relacionando intervalos en elespacio-tiempo registrados K , y K por O y O respectivamente. Estas son:

∆ t∆ x

= Λ( θ2 ) ∆ t∆ x

, donde θ2 ≡arctanh( u). (6.39)

Juntando ambas ecuaciones podemos pues deducir

∆ t∆ x

= Λ( θ1 )Λ(θ2 ) ∆ t∆ x

= Λ( θ1 + θ2 ) ∆ t∆ x

. (6.40)

Por lo tanto, Λ( θ1 + θ2 ) corresponde a la transformación de Lorentz relacionando

intervalos en el espacio-tiempo registrados K , y K . Noten que, por denici on, elpar ametro β = u /c asociando a esta transformación satisface β = tanh( θ1 + θ2 ). Dehecho, es posible constatar la siguiente relación trigonometrica

tanh( θ1 + θ2 ) = tanh θ1 + tanh θ2

1 + tanh θ1 tanh θ2. (6.41)

8



De este modo, al hacer los reemplazos tanh θ1 = v, tanh θ2 = u y tanh( θ1 + θ2 ) = u ,obtenemos

u = u + v

1 + vu/c2 , (6.42)

que es precisamente la regla de adici on de velocidades obtenida anteriormente.

Clase 7: Diagramas de Minkowski

Hasta el momento hemos estudiado las transformaciones de Lorentz actuando sobrediferencias de coordenadas caracterizando dos eventos arbitrarios P 1 y P 2 en el espa-cio tiempo. Por simplicidad, en este análisis hemos utilizado sistemas de referenciainerciales con ejes convenientemente alineados. Es decir, hemos convenido en que si

hay dos observadores inerciales O y O en movimiento relativo, entonces el observadorO usa un sistema de referencia K en el cual el observador O se mueve en la direccionpositiva de su eje x, mientras que el observador O usa un sistema de referencia K en el cual el observador O se mueve en la direccion negativa de su eje x .

Por otro lado, en ning un momento nos hemos visto en la necesidad de hacer coin-cidir los orıgenes de ambos sistemas de referencia. Esto debido al hecho que estamosdescribiendo diferencias de coordenadas, por lo que poco importa donde est´ an cen-trados los orıgenes. Sin embargo, nada nos impide en convenir que ambos sistemasde referencias est an calibrados, de modo que el evento ( t ,x,y,z ) = (0 , 0, 0, 0) en K coincide con el evento (t , x , y , z ) = (0 , 0, 0, 0) en K . Al convenir esto, un evento ar-bitrario P con coordenadas ( tP , xP , yP , z P ) relativas al origen (0 , 0, 0, 0) en K estar aregistrado con coordenadas ( tP , xP , yP , z P ) en K dadas por

tP = γ (tP + βx P ), (7.1)xP = γ (xP + βtP ), (7.2)yP = yP , (7.3)z P = z P . (7.4)

De hecho estas transformaciones son válidas para cualquier evento P en el espacio-

tiempo, por lo que no necesitamos especicar el evento en cuestión, y simplemente

9



escribir la siguiente relaci on entre coordenadas:

t = γ (t + βx ), (7.5)

x = γ (x + βt ), (7.6)y = y , (7.7)z = z . (7.8)

Lo importante aquı es recordar que estas relaciones son s´ olo validas para sistemas dereferencias donde los orıgenes coinciden.

7.1 Relacionando sistemas de coordenadas

Nuestro prop osito es adquirir una idea m as profunda de la estructura del espaciotiempo. Si bien hemos insistido en que los sistemas de coordenadas son meramenteformas arbitrarias de registrar eventos, el estudio de c´ omo dos sistemas de coordenadasestan relacionados nos resultar´a tremendamente provechoso. Como de costumbre,ignoremos por el momento las coordenadas y y z y consideremos unicamente lo quepasa en el plano t-x. Dado que hemos calibrado los sistemas de referencia para quelos orıgenes coincidan, ahora las transformaciones de Lorentz vienen dadas por

t = γ (t + βx ), x = γ (x + βt ), (7.9)t = γ (t −βx ), x = γ (x −βt ). (7.10)

Estas transformaciones relacionan a cualquier par de coordenadas ( t, x ) en K conotro par de coordenadas ( t , x ) en K . Un evento cualquiera P registrado en K concoordenadas ( t , x ) sera por lo tanto registrado con coordenadas ( t, x ) en K .

Dado que las relaciones (7.9)-(7.10) tienen inversas bien denidas, estas pueden serpensadas como mapas de uno a uno (biyecciones) entre dos espacios R 2 . Es posible,por lo tanto, gracar ambos sistemas de coordenadas en un s´ olo diagrama! Veamoscomo hacer esto. Partamos considerando el sistemas de coordenadas K de la formausual, es decir, con los ejes t y x perpendiculares el uno con respecto al otro. Lagura 1 muestra el plano x vs t. Tambien hemos gracado (en rojo) las diagonales

t = ±x que consisten en las trayectorias rectilıneas seguidas por se˜ nales de luz a partirdel origen (el cono de luz). Sobre este diagrama, intentemos ahora gracar la posici´ onde los ejes t y x del sistema de referencia K . Esto corresponde a gracar un conjuntode eventos caracterizados por ciertas condiciones. Por ejemplo, el eje t correspondea un conjunto de eventos caracterizados por la condici´ on x = 0. Utilizando esta

10



Figure 1: Los ejes t y x del sistema inercial K son perpendiculares el uno con respectoal otro. La gura tambien muestra la proyecci´ on del cono de luz correspondiente alas curvas t = ±x.

condicion junto a la relaci on (7.10), podemos concluir que tal conjunto de eventosesta caracterizado por

t = x/β. (7.11)

Esta lınea se intercepta con el origen y tiene una pendiente β − 1 con respecto al ejex. Para gracar el eje x podemos proceder en forma an aloga. En efecto, el ejex corresponde al conjunto de eventos caracterizados por la condici´ on t = 0, y talcondicion arroja la ecuaci on

t = βx. (7.12)

Esta lınea se intercepta con el origen y tiene una pendiente β con respecto al eje x.La gura 2 muestra los ejes t y x (en azul) de K , superpuestos sobre los ejes t y x deK . Vemos entonces que es posible gracar los ejes t y x del sistema K en el sistemade referencia K . De hecho podemos comparar ambos sistemas de referencia de formaexhaustiva. Para ello podemos continuar con el procedimiento anterior para gracarel cuadriculado del sistema K sobre el cuadriculado del sistema de coordenadas K .Por ejemplo, para gracar los ejes temporales caracterizados por x =constante, basta

11



Figure 2: Es posible gracar los ejes t y x del sistema K en el sistema de referenciaK . Desde el punto de vista del observador O , estos son perpendiculares!

usar la segunda ecuaci on de (7.10) para obtener la ecuaci´on:

t = 1β

x − xγ

. (7.13)

De igual forma, si deseamos tracar los ejes espaciales caracterizados por t =constante,usamos la primera ecuaci on de (7.10) para obtener:

t = βx + tγ

. (7.14)

La gura 3 muestra el resultado de este procedimiento. Con esta forma de gracar,podemos ubicar eventos en forma simult´anea en ambos sistemas de referencia.

12



Para nalizar, es importante reconocer que el an´ alisis anterior puede ser repetido,pero ahora desde el punto de vista del observador O, que dibujarıa sus ejes t y x deforma ortogonal. En este caso debemos superponer los ejes t y x del sistema K sobreel sistema de referencia K . Repitiendo los pasos anteriores, obtenemos la gura 4.

Figure 4: El diagrama muestra la situaci´ on desde el punto de vista de O.

14



Figure 5: La gura muestra las dos hiperbolas constituidas por todos los eventos auna misma distancia tipo tiempo del origen. Una de ellas est´ a dentro del cono futurodel origen, mientras que la otra est´a dentro del respectivo cono pasado.

Figure 6: La gura muestra las dos hiperbolas constituidas por todos los eventos auna misma distancia tipo espacio del origen.

16



Figure 7: La gura muestra las dos hiperbolas constituidas por todos los eventos auna misma distancia tipo espacio del origen.

Para nalizar, superpongamos las guras 3 y 7. El resultado de esta superposici´ onlo muestra la gura 8. Puede apreciarse que los ejes temporales de K , caracterizadospor x =constante son tangentes a las hiperbolas fuera del cono (de eventos a unadistancia tipo espacio del origen). Por su parte, los ejes espaciales de K , caracteri-zados por t =constante son tangentes a las hiperbolas dentro del cono (consistentesen eventos a una distancia tipo tiempo del origen).

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Figure 8: La gura muestra la superposici´on de las guras 3 y 7.

18




Clase 8: Notaci on covariante

A partir de ahora comenzaremos a usar una nueva notaci´ on en la cual la coordenadatemporal recibe el mismo tratamiento que las coordenadas espaciales. A dicha no-taci on se le llama covariante y, como veremos, es extraordinariamente poderosa a la

hora de discutir aspectos formales del espacio-tiempo. Primero que nada, en lugarde continuar utilizando las coordenadas t, x, y y z , introducimos nuevas coordenadasx0 , x1 , x2 y x3 denidas como

x0

≡ ct, (8.1)x1

≡ x, (8.2)x2

≡ y, (8.3)x3

≡ z . (8.4)

Es conveniente referirnos colectivamente a cualquiera de estas coordenadas simple-mente escribiendo xµ , con µ = 0, 1, 2, 3. Es decir, usando un superındice griego.Tambien es conveniente usar la notaci´ on xi , con i = 1, 2, 3, para las coordenadaspuramente espaciales x1 , x2 y x3 . Es decir, usando un superındice latino. Noten quehemos introducido superındices y no subındices. Esto es claramente convencional. Sinembargo, y como veremos mas adelante, una vez adoptada tal convenci´ on, resultar aimprescindible continuar con ella.

En terminos de estas coordenadas, el intervalo espacio-temporal puede ser escritode la forma:

∆ s 2 = −(∆ x0 )2 +i

(∆ xi)2 . (8.5)

Dado que una transformación de Lorentz mezcla los ejes temporales con los ejes espa-ciales (mediante una transformaci´ on lineal) de dos sistemas de referencia inerciales,es preciso introducir una notación en la cual no haya una distinción tan explıcitaentre la coordenada temporal y las coordenadas espaciales. Para ello consideremos la

1



siguiente matriz:

ηµν →

−1 0 0 00 +1 0 00 0 +1 00 0 0 +1

. (8.6)

Es decir, una matriz η cuyas componentes son η00 = −1, η0 i = ηi0 = 0 y ηij = δ ijdonde δ ij es la delta de Kronecker. Con la ayuda de esta matriz podemos escribir

∆ s 2 =3

µ,ν =0

ηµν ∆ xµ∆ xν . (8.7)

La expresion anterior puede de hecho ser escrita en una forma a´un mas sucinta alomitir la sumatoria:

∆ s2

= ηµν ∆ xµ∆ xν . (8.8)En esta ultima expresi on estamos usando la llamada convencion de Einstein para lasuma de ındices. Esta convenci´on nos permite omitir el sımbolo de sumatoria cada vez que esten siendo multiplicadas dos cantidades, una con un indice griegoarriba (superındice) y la otra con el mismo indice griego abajo (subındice). Algunosejemplos de esta regla son:

V µU µ =3

µ=0

V µU µ , M νµ U µ =3

µ=0

M νµ U µ , M νµ V ν U µ =3

µ,ν =0

M νµ V ν U µ .

(8.9)La matriz ηµν tiene un rol central en el estudio de la relatividad especial. Se denominametrica, y nos permite realizar productos entre vectores y tensores. M´ as adelanteestudiaremos en alg un detalle su signicado geometrico y su utilidad. Por ahora,simplemente ser a un sımbolo que simplica bastante la notaci´ on del intervalo espacio-temporal ∆ s2 . Dado que ∆ s2 es un invariante bajo transformaciones de Lorentz,tambien podemos escribir

∆ s2 = ηµ ν ∆ xµ ∆ xν , (8.10)

donde xµ son las coordenadas usadas para describir puntos otro sistema de referenciainercial K . Noten que las componentes de la metrica ηµ ν no cambian de un sistemaa otro. Es decir

ηµ ν →−1 0 0 00 +1 0 00 0 +1 00 0 0 +1

. (8.11)

2



Tambien es posible expresar una transformaci´ on de Lorentz explotando la convenciónanterior. Dado que una transformaci´ on de Lorentz corresponde a una transformaci´ onlineal relacionando diferencias de coordenadas ∆ xµ y ∆ xµ de dos sistemas inercialesK y K , podemos escribir

∆ xµ = Λµν ∆ xν , (8.12)

donde xµ y xµ corresponden a las coordenadas usadas en K y K . Dado que larelacion inversa tambien corresponde a una transformaci´ on de Lorentz, esta deberáser expresada en forma an aloga:

∆ xµ = Λµν ∆ xν . (8.13)

Noten que la unica diferencia entre ambas expresiones es la posici on de la prima enlos indices. Combinando ambas relaciones podemos escribir:

∆ xµ = Λµν Λ

ν ρ∆ xρ. (8.14)

Dado que esta relaci on es valida para toda diferencia ∆ xµ caracterizando pares deeventos, podemos concluir que en general:

Λµν Λ

ν ρ = δ µρ , (8.15)

donde δ µρ es la delta de Kronecker en su versi on 4-dimensional. Es decir, δ µρ = 1 siµ = ν y δ µρ = 0 si µ = ν . De igual forma podemos deducir:

Λµν Λ

ν ρ = δ µρ . (8.16)

Por otro lado, insertando la relaci´ on (8.13) en la ecuacion (8.8) y recordando que ∆ s 2

es un invariante, podemos escribir

ηµν ∆ xµ∆ xν = ηµ ν ΛµµΛν

ν ∆ xµ∆ xν . (8.17)

Usando nuevamente el hecho que esta relación es valida para todo par de eventoscaracterizados por la diferencia ∆ xµ , encontramos la expresi on general:

ηµν = ηµ ν Λµ µΛν ν . (8.18)

Mas aun, utilizando la relación inversa (8.16), podemos llegar a la expresi on analoga:

ηµ ν = ηµν Λµµ Λν

ν . (8.19)

3



Las relaciones anteriores son todas ejemplos de relaciones que hemos usado frecuente-mente en el curso hasta ahora, pero explotando la convenci´ on de suma de ındices deEinstein. Esta nueva notaci´ on es frecuentemente denominada notaci´ on covariante .El signicado preciso de esta nomenclatura lo entenderemos m´ as tarde.

A primera vista, la notación covariante parece ser sumamente abstracta, pero sim-plemente hacen referencia a operaciones cotidianas, tales como transformaciones lin-eales. Por ejemplo, en el caso particular en que K fuese un sistema inercial de unobservador en movimiento con velocidad β = v (recuerden que ahora c = 1) en ladireccion del eje x1 con respecto a un observador en reposo en el sistema inercial K (nuestro ejemplo de costumbre), entonces Λ µ

ν adquirirıa la forma

Λµ

ν =

γ γβ 0 0γβ γ 0 00 0 1 00 0 0 1

, (8.20)

donde γ = 1 −β 2 , mientras que la transformación inversa vendrıa caracterizadapor

Λµν =

γ −γβ 0 0

−γβ γ 0 00 0 1 00 0 0 1

. (8.21)

Por otro lado, no olvidemos que una rotación tambien es una transformaci´ on linealque deja invariante al intervalo espacio temporal ∆ s2 . Por ejemplo, dos sistemas decoordenadas xµ y xµ relacionadas por una rotacion en un ´ angulo θ en torno al eje x3

vendr an caracterizadas por una matriz Λ µν con componentes

Λµν =

1 0 0 00 cosθ sin θ 00 sin θ cosθ 00 0 0 1

, (8.22)

mientras que la transformaci´ on inversa estarıa caracterizada por

Λµν =

1 0 0 00 cosθ −sin θ 00 −sin θ cosθ 00 0 0 1

. (8.23)

4



Para concluir esta discusi´on, mencionemos que hoy en dıa es com un denominar trans-formacion de Lorentz a toda transformaci´ on lineal de las diferencias de coordenadas∆ xµ dejando invariante al intervalo espacio temporal ∆ s2 = ηµν ∆ xµ∆ xν , incluyendorotaciones. En dicho contexto, a las transformaciones del tipo (8.20) y (8.21) se lesdenomina boosts, para distinguirlas de las rotaciones. M´ as adelante deduciremos laforma mas general de una transformaci´on de Lorentz (incluyendo boosts y rotaciones),algo que tenemos pendiente.

5



8.1 Vectores y formas

Ahora estamos en condiciones de extender el formalismo que desarrollamos para

estudiar espacios vectoriales de 3-dimensiones al caso de 4-dimensiones. Para de-scribir vectores en 4-dimensiones, basta denir una base de cuatro vectores unitarios

e 0 , e 1 , e 2 , e 3 . De este modo, un vector dado u puede escribirse de la forma

u = uµ e µ . (8.24)

Las componentes del vector corresponden a la colecci´on uµ , con µ = 0, 1, 2, 3. Lagura 1 muestra dos vectores u y w en un diagrama donde los vectores unitarios e 0

y e 1 son dibujados en un angulo recto el uno con respect al otro. Las proyecciones deestos vectores sobre la base corresponden a las componentes uµ y wµ respectivamente.El vector u es tipo tiempo, mientras que w es tipo espacio.

ˆ

e 0

ˆ

e 1

u

ww

0

u0

u1

w1

Figure 1: La gura muestra dos vectores u y w . Las proyecciones de estos vectoressobre la base corresponden a las componentes uµ y wµ respectivamente.

Tal como vimos en el caso de espacios vectoriales de 3-dimensiones, nos interesaque las bases transformen de acuerdo a la siguiente regla

e µ = e ν Λν µ . (8.25)

Dado que el vector u no cambia bajo una transformaci´on de Lorentz (que despuesde todo corresponde a un cambio de perspectiva), la regla anterior implica que lascomponentes de u transforman de la manera:

uµ = Λµν uν , (8.26)

6



donde Λµν es la transformaci on inversa de Λµ

ν . En 4-dimensiones, el que los e µ seanunitarios, signica que

g(e µ , e ν ) = ηµν , (8.27)

donde g(·, ·) es la metrica Minkowskiana, y ηµν sus componentes en la base e ν . Note-mos que g(e 0 , e 0 ) = −1. Es decir, el vector base e 0 es unitario, pero tipo tiempo. Lomismo se cumple para la base e µ obtenida a traves de transformaciones de Lorentz.Estas cumplen

g(e µ , e ν ) = ηµ ν , (8.28)

y por lo tanto mantienen la propiedad de ser ortogonales los unos con respecto a losotros. La gura 2 muestra dos bases e µ y e µ conectadas a traves de transformacionesde Lorentz en un mismo diagrama, junto con las curvas invariantes que muestran queestos vectores se mantienen unitarios, a pesar de las transformaciones de Lorentz.Es posible apreciar que los vectores e µ no aparecen en angulos rectos. A pesar deesto, cumplen la condici on de ser ortonormales. Tambien hemos dibujado un vectoru tipo espacio. Claramente este vector tendr´ a distintas componentes, dependiendode que base se utilice para expandirlo. Si ahora decidimos dibujar los vectores de la

ˆ

e 0

ˆ

e 1

ˆ

e 1 0

ˆ

e 0 0

u

Figure 2: La gura muestra dos bases e µ y e µ conectadas a traves de transformacionesde Lorentz. El vector u es tipo espacio

base e µ en angulos rectos los unos con respecto a los otros, entonces obtenemos undiagrama donde los vectores e µ ya no aparecen en angulos rectos. La gura3 muestraesta situaci on. Noten que el vector u cambio su aspecto. Esto se debe a que suscomponentes relativas a e µ son distintas a las componentes relativas a la base e µ .

7



ˆ

e 0

ˆ

e 1

ˆ

e 1 0

ˆ

e 0 0

u

Figure 3: La gura muestra dos bases e µ y e µ conectadas a traves de transformacionesde Lorentz. El vector u es tipo espacio

Por cierto, tambien podemos denir formas. El espacio de las formas tendr´ a comobases el conjunto df 0 (·), df 1 (·), df 2 (·), df 3 (·). Los elementos de esta base cumplenla condicion

df µ(e ν ) = δ µµ . (8.29)

De este modo que una forma arbitraria df (·) puede expresarse de la manera

df (·) = f µdf µ

(·). (8.30)Luego, la accion de una forma df (·) sobre un vector u = uµ e µ viene dado por:

df (u ) = f µuµ . (8.31)

Ahora podemos usar la metrica para establecer un mapa de uno a uno entre formasy vectores de la siguiente manera:

v → dv(·) = g(·, v ). (8.32)

Luego, es facil comprobar que las componentes vµ de dv(

·) con respecto a la base

df µ(·) vienen dadas porvµ = ηµν vν . (8.33)

Recordemos que la metrica permite realizar productos escalares entre dos vectores.El resultado es la contracci´on de una forma con un vector. Por ejemplo, el producto

8



Figure 5: Curva describiendo la trayectoria de una partıcula fısica.

Observen que a lo largo de la curva tenemos

dτ = −ηµν dxµdxν = dt −ηµν dxµ

dtdxν

dt = dt√ 1 −v2 , (9.7)

dondev2

≡i

(vi)2 . (9.8)

En la expresi on anterior hemos usado dx0 /dt = 1 (dado que x0 = t) y vi = dxi /dt .Noten que los vi’s corresponden precisamente a las componentes de la velocidad de lapartıcula medida en el sistema K . Por lo tanto, vemos que las componentes espacialesi del vector u satisfacen:

ui = dxi(τ )

dτ =

1√ 1 −v2

dx i

dt =

vi

√ 1 −v2= γvi . (9.9)

De este modo, hemos deducido que, en terminos de la velocidad de la partıcula vi

medida en K , el vector tangente tiene componentes:

uµ = ( γ,γv i) = ( γ,γβ i). (9.10)

A este vector se le denomina 4-velocidad. Desde el punto de vista del espacio-tiempo4-dimensional, es precisamente la velocidad de la partıcula. Recordemos que en ge-ometrıa Euclidiana, al usar un par´ ametro afın para describir una curva, el vector

11



tangente de la curva es unitario. En el caso de la geometrıa Minkowskiana pasaexactamente lo mismo. Para apreciar esto, notemos que:

u ·u ≡ ηµν uµ

uν

= −(u0

)2

+ i (ui

)2

= −γ 2

(1 −β 2

) = −1. (9.11)

Como mencionamos anteriormente, para calcular productos de vectores debemos uti-lizar la metrica. Esto aún no lo hemos demostrado, pero en este ejemplo la ideade por que la metrica es el objeto que permite tal operaci´ on queda algo clara. Porotro lado, noten que el vector uµ al cuadrado u ·u = −1 ha dado como resultado unnumero negativo. Esto es parte de la esencia de la geometrıa Minkowskiana. Obser-ven que el resultado u ·u = −1 es independiente del par ametro τ . Este resultado hasido obtenido por construcción, y se desencadena del hecho que hemos elegido comopar ametro al tiempo propio de la partıcula describiendo la trayectoria.

Es importante no confundirse con los signicados de los objetos apareciendo en lascomponentes de uµ . Las componentes espaciales ui de la 4-velocidad NO correspondena la velocidad de la partıcula vi medida en K , dado que hay un factor γ de por medio.Por otro lado, la importancia de contar con uµ es que su forma de transformar desdeun sistema de referencia a otro es extraordinariamente sencilla de expresar en terminosde nuestra nueva notación. Dado que dτ es un invariante bajo transformaciones, alusar las relaciones (9.2) podemos escribir

uµ = dxµ

dτ =

Λµν dxν

dτ = Λµ

ν dxν

dτ = Λµ

ν uν , (9.12)

donde usamos dτ = dτ . En otras palabras, encontramos que

uµ = Λµν u

ν , uµ = Λµν u

ν . (9.13)

Estas relaciones expresan cómo transforma la 4-velocidad bajo transformaciones deLorentz. Como veremos, la 4-velocidad es un ejemplo particular de un 4-vector,cuya propiedad m as signicativa es el hecho de que es un objeto cuyas componentestransforman de la forma (9.13).

9.1 La 4-aceleraci´ on

Habiendo denido la 4-velocidad, resulta natural dar un paso adicional y denir la4-aceleracion aµ de la siguiente forma:

aµ = duµ

dτ =

d2 xµ

dτ 2 . (9.14)

12



Antes de ver la forma precisa que tiene, veamos como relacionar la 4-aceleraci´onexpresada en dos sistemas distintos. Diferenciando la segunda expresi´ on en (9.13)con respecto a τ , vemos que:

duµ

dτ =

ddτ

(Λµν u

ν ) (9.15)

= ddτ

(Λµν u

ν ) (9.16)

= Λµν

duν

dτ , (9.17)

en donde, para pasar desde la primera igualdad a la segunda, usamos el hecho de quedτ = dτ , mientras que para pasar de la segunda igualdad a la tercera, se us´ o queΛµ

ν es constante. La expresi on anterior se puede reescribir como:

aµ = Λµν aν . (9.18)Si contraemos ambos lados de la relaci on anterior con Λρ

µ a traves del indice µ yusamos la identidad Λ ρ

µΛµν = δ ρν obtenemos:

aρ = Λρµaµ . (9.19)

Esta corresponde a la transformaci´ on inversa a (9.18). Observen que (9.18) y (9.19)son identicas en forma a las relaciones en (9.13). Esta caracterıstica com´ un es lo quehace que ambos uµ y aµ sean denominados 4-vectores. Veamos ahora en que consisteaµ . Primero, diferenciemos la componente u0 = γ con respecto a τ (c.f. (9.10)):

du0

dτ = dγ

dτ (9.20)

= ddτ

(1 −v2 )− 1 / 2 (9.21)

= 12

(1 −v2 )− 3 / 2 d(v2 )dτ

(9.22)

= (1 −v2 )− 3 / 2

i

vi dvi

dτ . (9.23)

Pero, dado que dτ = dt√ 1 −v2 , podemos continuar el c alculo anterior de la siguiente

forma:du0

dτ = (1 −v2 )− 2

i

vi dvi

dt (9.24)

= γ 4

i

vi a i , (9.25)

13



donde a i = dv i

dt son las componentes espaciales de la aceleracion fısica mas familiar. Aldiferenciar las componentes ui = γvi con respecto a τ , un calculo similar nos conduceal siguiente resultado:

du i

dτ = γ 4 a i + γ 4

j

v j (vi a j −a iv j ). (9.26)

Una forma iluminadora de reescribir la relación anterior es:

du i

dτ = γ 4

j

(δ ij −v2 P ij )a j , (9.27)

dondeP ij = δ ij

− viv j

v2 , (9.28)

es la matriz de proyecci on al espacio ortogonal a la direcci on vi . Es decir, en generalse cumple que:

j

P ij v j = 0 yi

P ij vi = 0 . (9.29)

La notaci on usada en (9.27) revela en forma inmediata que:

i

ui du i

dτ = γ 5

i

vi a i . (9.30)

Por otro lado, la ecuaci on (9.25) nos dice que

u0 du0

dτ = γ 5

i

vi a i . (9.31)

Por lo tanto, vemos que

−u0 du0

dτ +

i

ui dui

dτ = 0. (9.32)

O, explotando la notación de Einstein:

ηµν uµaν = 0 . (9.33)

Este sencillo resultado pudo haber sido obtenido en forma mucho m´ as directa aldiferenciar la expresi on ηµν uµuν = −1 con respecto a τ . Sin embargo, el caminoseguido aquı revela la forma en que la aceleración fısica a i aparece en las componentesespaciales a i = du i

dτ de la 4-aceleracion aµ .

14




Clase 10: 4-momentum

Para continuar nuestro estudio del movimiento de las partıculas en el espacio-tiempo,es imprescindible extender resultados bien establecidos en Mec´ anica Newtoniana alcaso relativista.

10.1 4-momentum

Uno de los pilares de la Mecanica Newtoniana es la segunda Ley de Newton, queestablece la existencia de un 3-vector denominado momentum, que en ausencia defuerzas se mantiene constante. Si deseamos que dicha ley sea independiente del ob-servador inercial, y por lo tanto, del sistema de coordenadas en el cual se exprese(principio relativista), es necesario que el 3-momentum sea la componente de alg´ untipo de tensor (ya veremos tensores espacio-temporales en m´ as detalles). La posi-bilidad m as simple, es que sea la 3-componente de un 4-vector. Veriquemos esta

posibilidad y examinemos sus consecuencias.Denimos el 4-momentum asociado a una partıcula de masa m como un vector de

las siguiente forma pµ

≡mu µ . (10.1)

De forma explıcita, las componentes del 4-momentum son: p0 = mγ y pi = mγv i .Notese que

pµ pµ = −m 2 . (10.2)

Es decir, bajo la presente denici´on, la masa m es un invariante bajo transformacionesde Lorentz. Mas aun, en el contexto del lenguaje tensorial, podemos decir que la masaes un escalar. Por supuesto, a´un no hemos demostrado que la cantidad m puede serefectivamente identicada como la masa de una partıcula. Para ello, examinemos ellımite no relativista v2 1 de las componentes del 4-momentum. Recordemos que

1



t i debe ser igual a la suma de los momenta en un cierto tiempo nal tf . En otraspalabras:

part . iniciales

pµ (t i ) =part . nales

pµ (t f ). (10.10)

Lo importante de esta relaci´on es que si la reescribimos en otro sistema de referenciainercial K , sera igualmente v alida.

10.3 Colisiones elasticas

Un ejemplo sencillo de conservacion de 4-momentum es el caso en que inicialmenteexisten dos partıculas a y b, cuya unica interacci on posible es mediante colisioneselasticas. En dicho caso, debemos escribir:

pµa (t i ) + pµb (t i ) = pµa (t f ) + pµb (t f ). (10.11)

La componente µ = 0 de la relaci on anterior se puede leer como conservaci on deenergıa:

E tot = E a (t i ) + E b(t i ) = E a (t f ) + E b(t f ). (10.12)

O en forma mas explıcita:

m 2a + p2

a (t i ) + m 2b + p2

b(t i ) = m 2a + p2

a (t f ) + m 2b + p2

b(t f ). (10.13)

Si las partıculas son no-relativista, es decir p2a m 2

a y p2b m 2

b , usando la ecuaci on

(10.9) obtenemosm a +

p2a (t i )2m a

+ m b + p2

b(t i )2m b

= m a + p2

a (t f )2m a

+ m b + p2

b(t f )2m b

, (10.14)

que, despues de cancelar las masas en ambos lados, nos da la relaci´on usual de con-servacion de energıa cinetica:

p2a (t i )2m a

+ p2

b(t i )2m b

= p2

a (t f )2m a

+ p2

b(t f )2m b

, (10.15)

valida para colisiones el asticas. Sin embargo, en el caso m as general, en que laspartıculas son relativista, no podemos usar esta relaci´ on, y debemos conformarnoscon la ecuacion (10.13).

Para completar el desarrollo del ejemplo que estamos considerando, notemos tambienque la conservaci on de las componentes espaciales requiere:

pitot = pi

a (t i ) + pib(t i ) = pi

a (t f ) + pib(t f ). (10.16)

3



Supongamos que conocemos los momentos iniciales pia (t i ) y pi

b(t i ). Entonces, cono-cemos tanto pi

tot como el valor de E tot , que es conservado. Luego, usando (10.13),deducimos que

m 2b + p2

b(t f ) = E tot − m 2a + p2

a (t f ), (10.17)

pib(t f ) = pi

tot − pia (t f ). (10.18)

Dado que pµtot es un 4-vector, resulta conveniente denir una masa total M tot que

corresponde al invariante de Lorentz obtenido de la forma

M 2tot ≡ − pµtot p

totµ = E 2tot − pi

tot ptoti . (10.19)

Tambien es conveniente denir la diferencia de masas ∆ m 2 como

∆ m 2 = m 2a −m 2

b . (10.20)

Si ahora elevamos (10.17) y (10.18) al cuadrado, obtenemos respectivamente:

p2b(t f ) − p2

a (t f ) = E 2tot −2E tot m 2a + p2

a (t f ) + ∆ m 2 , (10.21)

p2b(t f ) − p2

a (t f ) = p2tot −2 ptot

i pia (t f ). (10.22)

Igualando ambas expresiones, obtenemos

E tot

m 2

a + p2

a(t f ) =

1

2(M 2

tot + ∆ m 2) + cos θp tot pa (t f ), (10.23)

donde hemos denido el angulo θ a traves de la relaci´on

cos θ = ptot

i pia (t f )

ptot pa (t f ), (10.24)

donde ptot y pa (t f ) son los modulos de ptoti y pi

a (t f ) respectivamente. En otras palabras,θ es el angulo con el que la partıcula a emerge de la colision con respecto al momentototal ptot

i . Elevando una vez mas al cuadrado, nalmente obtenemos una ecuaci´ oncuadr atica para pa (t f ):

(E 2tot −cos2 θp2tot ) p2

a (t f )−(M 2tot +∆ m 2)cos θp tot pa (t f )+ m 2a E 2tot −

14

(M 2tot +∆ m 2)2 = 0 .

(10.25)Esta ecuaci on puede ser resuelta para obtener p2

a (t f ) en funcion de θ y de otrascantidades conocidas (como los momentos y energıas iniciales).

4



10.3.1 Sistemas de laboratorio y centro de momentum

El sistema de laboratorio corresponde a aquel en donde una de las partıculas, por

ejemplo la partıcula b, permanece en reposo previo a la colision. En dicho caso, secumple

pib(t i ) = 0 , E b(t i ) = m b. (10.26)

Luego, pitot y E tot vienen dados por

pitot = pi

a (t i ), E tot = p2a (t i ) + m 2

a + m b, (10.27)

y es posible mostrar que M 2tot viene dado por

M 2tot = ∆ m 2 + 2 m bE tot (10.28)

En este sistema, podemos usar la ecuacion (10.25) para obtener p2a (t f ) como funcion

de θ. En este caso, el angulo θ es el angulo de scattering de la partıcula a con respectoal momento que tenıa previo a la colisi´on.

Por otro lado, el sistema de centro de momento (CM) se dene como aquel sistemade referencia en donde un observador constata que el 3-momento total satisface:

pitot = 0 . (10.29)

Notemos que en este caso se cumple adem as:

M tot = E tot . (10.30)

Para continuar, notemos que la ecuacion (10.18) nos dice que p2b(t f ) = p2

a (t f ). Luego,la ecuacion (10.17) se simplica, de modo que:

m 2b + p2

a (t f ) = E tot − m 2a + p2

a (t f ) (10.31)

Elevando al cuadrado ambos lados de esta ecuaci´ on, obtenemos:

2E tot m 2a + p2

a (t f ) = E 2tot + m 2a −m 2

b , (10.32)

De donde se deduce nalmente que:

p2a (t f ) =

14E 2tot

E 2tot + m 2a −m 2

b2

−m 2a . (10.33)

Este resultado determina el valor nal de la magnitud del momentum p2a (t f ) de la

partıcula a (y por lo tanto tambien de la partıcula b). Este sistema de ecuaciones nonos permite deducir la direcci´on en la cual las partıculas emergen. Para ello reque-rimos mas informacion, como el tipo de interacci on mediante el cual las partıculasintercambian momentum y energıa, y el par´ ametro de impacto de la colisi on.

5



10.3.2 Relacionando ambos sistemas

Evidentemente, los sistemas de laboratorio y centro de masas pueden relacionarse

mediante una transformaci´ on de Lorentz. Esto es:

pµtot = Λµ

ν pν tot , (10.34)

donde pµtot corresponde a las componentes del momento total en el sistema de labora-

torio, y pν tot corresponde a las componentes en el sistema de centro de masas. Dado

que para el sistema de centro de momento pitot = 0 y E tot = M tot , entonces Λµ

ν debeser tal que

pµtot = Λµ

0 M tot . (10.35)

Supongamos, por ejemplo, que el momento inicial en el laboratorio es tal que pitot

apunta en la dirección x, luego encontramos que Λµ ν tiene entre sus compoentes

Λ00 =

E tot

M tot, Λ1

0 = ptot

M tot. (10.36)

Pero dado que Λ µν debe ser una transformación de Lorentz a lo largo de la direcci on

x , entonces deducimos que (restringiendonos a dos dimensiones):

Λµν =

1M tot

E tot ptot

ptot E tot. (10.37)

10.4 Energıa interna

Uno de los resultados mas interesantes que emerge de la ecuación (10.9) tiene relaci oncon el concepto de energıa interna. Es posible apreciar que el primer termino en laexpansi on es una constante dada por la masa de la partıcula. Esta cantidad no tienemayor signicado en el caso de considerar colisiones elasticas. Sin embargo, nadaimpide que dicha cantidad pueda ser aprovechada como fuente de energıa. En par-ticular, en procesos inel asticos, dicha cantidad puede ser extremadamente relevante.Consideremos el caso de una partıcula inestable a de masa M a que puede decaer endos sub-partıculas identicas b de masa m b. Haciendo el calculo en el sistema de centrode momentum, en donde el momentum de la partıcula inicial es p = 0, vemos que laconservaci on de energıa requiere:

M a = 2 m 2b + p2

b . (10.38)

6




Clase 11: Tensores

La notaci on anterior se vuelve particularmente efectiva para discutir ciertos objetosmatem aticos conocidos como tensores. Como veremos, cualquier cantidad fısica enla naturaleza debe ser algún tipo de tensor! Elaboremos esta discusión en forma

sistematica.

11.1 Vectores

Como ya hemos dicho, un 4-vector V µ es un objeto que tiene componentes relativos alas coordenadas de un sistema de referencia K . Es decir, V 0 es la componente de V µ

a lo lago del eje temporal t = x0, mientras que V 2 es la componente de V µ a lo largodel eje x2 = y. La principal propiedad que caracteriza a un 4-vector es la manera enque transforman sus componentes cuando hacemos una transformaci´ on de Lorentz.Un 4-vector V µ respeta la siguiente regla bajo una transformaci´ on de Lorentz:

V µ = Λµν V ν . (11.1)

La transformación inversa puede ser naturalmente escrita como:

V µ = Λµν V ν , (11.2)

donde Λµν es la transformaci on inversa de Λµ

ν . Es decir, se cumplen: Λµν Λν

ρ = δ µρy Λµ

ν Λν ρ = δ µρ .

11.2 Co-vectores (formas)A partir de un vector V µ podemos denir un co-vector V µ . Observen que la unicadiferencia es la posicion del ındice Griego! La forma de denir V µ es la siguiente:

V µ ≡ ηµν V ν . (11.3)

1



Observen que estamos usando la metrica ηµν para denir V µ a partir de V µ . Se podrıadecir que estamos usando la metrica para bajar el super-ındice y ası convertirlo enun sub-ındice. En terminos concretos, vemos que

V 0 = − V 0 , (11.4)V i = δ ij V j . (11.5)

El aspecto m as relevante de un co-vector es la manera en que transforma. Esta puedeser deducida directamente de la regla (11.1) y de la ecuaci´ on ηµν = ηµ ν Λµ

µΛν ν . En

efecto, observen que juntando ambas ecuaciones obtenemos:

V µ = ηµν V ν (11.6)= ηµν Λν

ρ V ρ (11.7)

= ( ηµ ν Λµ

µΛν

ν )Λν

ρ V ρ

(11.8)= ηµ ν Λµµ (Λν

ν Λν

ρ )V ρ (11.9)= ηµ ν Λµ

µ δ ν ρ V ρ (11.10)

= Λµµηµ ν V ν (11.11)

= ΛµµV µ . (11.12)

(11.13)

En el ultimo paso usamos la denici on de co-vector V µ = ηµ ν V ν . De modo quehemos deducido la regla de transformación:

V µ = Λµ

µV µ . (11.14)La transformación inversa es claramente:

V µ = Λµµ V µ . (11.15)

Es importante comparar el par de ecuaciones (11.14) y (11.15) con el par an´ alogo(11.1) y (11.2), y apreciar que V µ transforma de manera inversa a V µ . Esta es larazon por la cual la posicion de los indices es tan importante.

Y ahora un resultado importante: Al contraer un co-vector V µ que satisface (11.14)con un vector U µ que satisface (11.2) obtenemos la siguiente relación:

V µ U µ = (Λ µ µ V µ )(Λµν U ν ) (11.16)

= (Λ µµ Λµ

ν )V µ U ν (11.17)

= δ µν V µ U ν (11.18)= V µ U µ . (11.19)

2



Es decir, la contracci´on V µU µ se escribe de forma identica en cualquier sistema decoordenadas. Esta es la raz´on del nombre co-vector: mientras el vector transforma,el co-vector “co-transforma”, de manera que ambas operaciones se compensan la unacon la otra.

Ahora que contamos con el concepto de co-vector, vemos que podemos denir unaco-velocidad uµ a partir de la 4-velocidad uµ de forma que la relacion ( ?? ) se reescribede manera m as simple:

uµuµ = − 1. (11.20)

Otra relaci on conocida que tambien podemos simplicar consiste en:

uµaµ = 0 . (11.21)

11.3 La inversa de la metricaDada la metrica,

ηµν →

− 1 0 0 00 +1 0 00 0 +1 00 0 0 +1

. (11.22)

resulta natural denir su inversa usando la siguiente notaci´ on:

ηµν →

− 1 0 0 00 +1 0 00 0 +1 00 0 0 +1

. (11.23)

Observen que para denotar a la inversa estamos usando super-ındices en lugar de sub-ındices. Evidentemente ηµν y ηµν tienen las mismas componentes, lo que a primeravista hace que la denici on de ηµν sea redundante. Sin embargo, dado que sabemosque un co-vector transforma de manera opuesta a un vector, podemos sospechar queηµν cumplir a un rol importante. Primero que nada observemos que, por denici´ on,se cumple

ηµρ ηρν = δ ν µ . (11.24)

Esta expresi on, junto con ηµν = ηµ ν ΛµµΛν

ν , nos permite inferir que

ηµ ρ Λµµ Λρ

ρηρν = δ ν µ . (11.25)

3



Luego, contrayendo ambos lados de esta ecuación con Λµσ a traves de µ, obtenemos

ηµ ρ (ΛµµΛµ

σ )Λρρηρν = δ ν

µ Λµσ . (11.26)

Esta ecuaci on se puede simplicar para obtener una relaci´ on sumamente interesante:

Λν σ = ησ ρ Λρ

ρηρν . (11.27)

Es decir, si conocemos la transformación de Lorentz Λρρ , podemos deducir mediante

simples contracciones con la metrica y su inversa la transformaci´ on inversa Λρρ . Por

supuesto, la siguiente expresión analoga tambien se cumple:

Λν σ = ησρ Λρ

ρ ηρ ν . (11.28)

Finalmente, repitiendo pasos similares, podemos deducir una ´ ultima ecuaci on querelaciona las componentes de la inversa de la metrica en un sistema K con las respec-tivas componentes en un sistema K :

ηµ ν = ΛµµΛν

ν ηµν . (11.29)

Como ya es costumbre, la relaci on inversa es obtenida al intercambiar ındices conprimas por ındices sin primas:

ηµν = Λµµ Λν

ν ηµ ν . (11.30)

Nuevamente podemos constatar que mientras ηµν (un objeto con sub-ındices) trans-forma de cierta manera bajo transformaciones de Lorentz, la inversa ηµν (un objetocon super-ındices) transforma de la manera opuesta (o co-transforma).

11.4 La derivada parcial

La derivada parcial de una función con respecto a las coordenadas xµ se puede escribirusando la siguiente notación:

∂ ν = ∂ ∂x ν . (11.31)

Observen que estamos usando un sub-ındice al lado izquierdo. La raz´ on de esto sevuelve evidente al analizar la manera en que transforma este operador. De hecho,podemos deducir esta manera directamente de la regla de la cadena. Recordemos que

dxµ = Λµν dxν . (11.32)

4



Esta relaci on implica inmediatamente que

∂x µ

∂xν = Λµ

ν . (11.33)

De manera an aloga, tambien tenemos

∂x µ

∂x ν = Λµν . (11.34)

Luego, usando la regla de la cadena, obtenemos:

∂ ν = Λµν ∂ µ , (11.35)

al igual que

∂ ν = Λµ

ν ∂ µ . (11.36)

11.5 La derivada parcial de un vector

Preguntemonos cómo transforma la derivada parcial de un vector. Supongamos quetenemos un campo vectorial V µ = V µ (x). Es decir, una funci on de las coordenadasxµ que transforma de acuerdo a la regla (11.1) en cada punto del espacio tiempo. Unejemplo de esto podrıa ser el perl de 4-velocidades de un uido: en cada punto xµ

del espacio-tiempo un uido tiene un elemento de volumen moviendose a una cierta4-velocidad uµ . Esto darıa como resultado un campo V µ (x) = uµ(x). Luego, podemosderivar V µ (x) con respecto a las coordenadas. En particular, la derivada parcial conrespecto a xν se puede escribir usando la siguiente notación:

∂ ν V µ = ∂V µ

∂x ν . (11.37)

Repitiendo los pasos usados en las secciones anteriores, es realmente fácil deducir quela regla de transformación de ∂ ν V µ viene dada por

∂ ν V µ = Λ ν ν Λµ

µ∂ ν V µ . (11.38)

Previsiblemente, tambien podemos escribir

∂ ν V µ = Λ ν ν Λ

µµ ∂ ν V µ , (11.39)

relacion que denota la regla inversa.

5



11.6 La derivada parcial de un co-vector

Dadas las discusiones anteriores, no es difıcil deducir que la derivada parcial de un

co-vector V µ satisface las siguientes reglas de transformaci´on:∂ ν V µ = Λν

ν Λµµ ∂ ν V µ , (11.40)

∂ ν V µ = Λν ν Λ

µµ∂ ν V µ . (11.41)

11.7 Denici´ on de tensores

Hasta el momento hemos visto que la posici on de los ındices de distintos objetoses fundamental para entender de que manera transforman dichos objetos. Casosparticulares son las derivadas parciales de un vector y un co-vector. Por ejemplo,la derivada parcial de un vector ∂ ν V µ es un objeto que tiene un super-ındice y unsub-ındice, mientras que la derivada parcial de un co-vector ∂ ν V µ es un objeto condos sub-ındices. Estos dos objetos son casos particulares de tensores, cuya denici´ onpretende generalizar la manera en que transforman los objetos que hemos discutido.

Diremos que un tensor T del tipo-(k, l) es un objeto T µ 1 ··· µk

ν 1 ··· ν l con un numero desuper-ındices k y un numero de sub-ındices l, que transforma bajo transformacionesde Lorentz de acuerdo a la siguiente regla:

T µ 1··· µ k

ν 1 ··· ν l= Λµ 1

µ 1 · · · Λµ kµk Λν 1

ν 1· · · Λν l

ν lT µ 1 ··· µ k

ν 1 ··· ν l . (11.42)

La ecuacion anterior nos revela la regla algebraica relacionando las componentes deun tensor dado T en dos sistemas de referencia inerciales. Es decir, si un tensor T esobservado teniendo componentes T µ 1 ··· µ k

ν 1 ··· ν l en cierto sistema de referencia inercial K con coordenadas xµ , entonces inmediatamente podemos calcular con que componentesT µ 1

··· µk

ν 1 ··· ν les observado el mismo tensor pero en otro sistema de referencia inercial

K con coordenadas xµ (y relacionado con el primer sistema de referencia K mediantela transformaci´on de Lorentz Λ). La relaci on inversa puede ser deducida f acilmenterepitiendo el mismo procedimiento que hemos usado en los c alculos anteriores:

T µ 1 ··· µ k

ν 1 ··· ν l = Λµ 1

µ 1· · · Λµk

µkΛν 1

ν 1 · · · Λν lν l T µ 1

··· µ k

ν 1 ··· ν l. (11.43)

Con esta denici on, podemos ver que ∂ ν V µ es un tensor del tipo-(0 , 2), mientrasque ∂ ν V µ es del tipo-(1, 1). De igual forma, vemos que un 4-vector es un tensor deltipo (1 , 0) mientras que un co-vector es un tensor del tipo (0 , 1). La metrica es untensor del tipo (0 , 2) y su inversa es del tipo (2, 0). La delta de Kronecker δ µν , que

6



resulta de la contracción de la metrica y su inversa, es por lo tanto un tensor deltipo (1 , 1). Tambien existen cantidades que no transforman bajo transformaciones deLorentz. Un ejemplo de esto es la contracción de un vector con un co-vector:

f = U µ V µ , (11.44)

como ya hemos visto, la relacion entre f = U µV µ expresado en un sistema de referenciaK con f = U µ V µ expresado en un sitema de referencia K es sencillamente:

f = f . (11.45)

Es decir, no hay ninguna transformaci´ on lineal Λ de por medio. De hecho, f es untensor del tipo (0 , 0), lo que es evidente por la ausencia de ındices. Es frecuentereferirse a los tensores del tipo (0 , 0) como “escalares”.

Hoy en dıa se espera que toda cantidad fısica sea alg´ un tipo de tensor. M as adelanteveremos ejemplos de tensores relevantes en la fısica, tales como el campo electro-magnetico.

11.8 La metrica

Resulta conveniente pensar en la metrica como un objeto que permite subir y bajarındices. Es decir, dado un tensor T tipo (2, 0), con componentes T µν , podemosdenir un unico tensor T tipo (1, 1) pero ahora con componentes T µν con la ayuda

de la metrica: T µν = T µρ ηρν . (11.46)

En forma an aloga, tambien podemos denir un único tensor T tipo (1, 1) pero ahoracon componentes T ν

µ :T ν

µ = T ρν ηρµ . (11.47)

Por ultimo, tambien podemos denir un ´ unico tensor T tipo (0, 2) con componentesT µν :

T µν = T ρσ ηρµ ησν . (11.48)

Dado que todos estos tensores están relacionados de forma unıvoca, podemos per-mitirnos pensar que todos ellos son un mismo tensor T , y por ello usamos el mismosımbolo T para referirnos a cada caso. Esta misma situaci´ on puede ser aplicada paracasos mas complicados. Por ejemplo, podemos escribir expresiones del tipo:

T µνραβ = ηνσ T µ ρ

σ αβ . (11.49)

7



De esta forma, encontramos que:

Λµν →

γ − βγ 0 0

− βγ γ 0 00 0 1 00 0 0 1

, (11.64)

donde ahora identicamos µ con las y ν con columnas. Observen que la repre-sentaci on matricial de Λ µ

ρ Λρν = δ µν corresponde a (noten el orden de los indices)

γ βγ 0 0βγ γ 0 00 0 1 0

0 0 0 1

γ − βγ 0 0− βγ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

=

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

0 0 0 1

, (11.65)

mientras que la representaci´ on matricial de Λ µρΛρ

ν = δ µν corresponde a

γ − βγ 0 0− βγ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

γ βγ 0 0βγ γ 0 00 0 1 00 0 0 1

=

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

. (11.66)

Veamos otro ejemplo. Consideremos esta vez el caso en que Λ µν corresponde a una

rotaci on en torno al eje x3

. Sabemos que en tal caso podemos escribir:

Λµν →

1 0 0 00 cosθ − sin θ 00 sinθ cosθ 00 0 0 1

, (11.67)

donde θ es el angulo de la rotaci on. Al igual que antes, en la expresi on anteriorhemos identicado µ con las y ν con columnas. Luego, realizando el mismo tipo deoperaciones, encontramos que:

Λ1 1 = η1 µ η1ν Λν µ = η1 1 η11Λ1 1 = (+1)(+1)cos θ = cos θ, (11.68)Λ1

2 = η1 µ η2ν Λν µ = η1 1 η22Λ2

1 = (+1)(+1) sin θ = sin θ, (11.69)Λ2

1 = η2 µ η1ν Λν µ = η2 2 η11Λ1

2 = (+1)(+1)( − sin θ) = − sin θ, (11.70)Λ2

2 = η2 µ η2ν Λν µ = η2 2 η22Λ2

2 = (+1)(+1)cos θ = cos θ. (11.71)

10



Luego, la representaci on matricial para Λ µν esta dada por:

Λµν →

1 0 0 0

0 cosθ sin θ 00 − sin θ cosθ 00 0 0 1

. (11.72)

11.10 Manipulaci´ on de ındices

Hay una serie de operaciones que podemos realizar con tensores que se reducenunicamente a manipular ındices en la forma correcta. Una operaci´ on basica con-siste en la contracci on de ındices, que lleva a un tensor del tipo ( k, l) a otro de tipo(k − 1, l − 1). Consideremos por ejemplo un tensor T del tipo (3, 2), con componentesT µνρ αβ , entonces podemos denir un nuevo tensor S tipo (k − 1, l − 1) a traves de lasuma de un superındice con un subındice de la forma:

S µρσ = T µνρ

σν , (11.73)

donde estamos sumando el ındice ν (recuerden la regla de suma de ındices de Einstein).Es posible conrmar que, en efecto, S denido de esta forma es un tensor genuino (esdecir, sus componentes transforman de la forma adecuada). Tambien podemos denirotros tensores tipo ( k − 1, l − 1) mediante contracciones de otros ındices, sin embargo,algo que no debemos olvidar es que el orden de los ındices importa. Esto signica

que tensores con contracciones denidas sobre ındices distingos por lo general sondistintos:

T µνρσν = T µρν

σν . (11.74)

Otra operaci´on basica que no debemos olvidar es que la metrica puede ser utilizadapara subir y bajar ındices en tensores. Por ejemplo, dado un tensor T µνρ

αβ , podemosusar la metrica para denir nuevos tensores que elegimos denominar con la mismaletra T :

T µνραβ = ηασ T µνρ

σβ , (11.75)

T νρ

µ αβ = ηµσ T σνρ

αβ , (11.76)T αβ

µνρ = ηµσ ηνδ ηρ ηαγ ηβτ T σδγτ , (11.77)

etc... Observen que el acto de subir y bajar un ındice no cambia su posici´ on relativaa otros ındices. Tambien, noten que un ındice libre (uno que no est´ a siendo sumado)

11



debe ser el mismo en ambos lados de la ecuacion, mientras que un ındice que est´ asiendo sumado, aparece s olo una vez en un lado de la ecuacion (es decir, nuncaescribiremos expresiones del estilo S ν

α = T µαµ V µ ηµν ). Casos particulares de lasexpresiones anteriores son los casos ya familiares:

V µ = ηµν V ν , ωµ = ηµν ων . (11.78)

Notemos que dado un vector con componentes V µ = ( V 0 , V 1 , V 2 , V 3), entonces elco-vector V µ vendra dada por:

V µ = ( − V 0 , V 1 , V 2 , V 3). (11.79)

De igual forma, dado un co-vector ωµ = ( ω0, ω1, ω2, ω3), entonces el vector ωµ vendr a

dado por: ωµ = ( − ω0, ω1, ω2, ω3). (11.80)

A veces un tensor puede respetar ciertas reglas de simetrıas. Por ejemplo, la metricaes (por denicion) un tensor simetrico, en el sentido que ηµν = ηνµ . Esta propiedadpuede darse en forma m as general. Por ejemplo, si

S µνρ = S νµρ , (11.81)

entonces diremos que S es simetrico en sus dos primeros ındices. En forma an´ aloga,si se da que

S µνρ = S ρνµ , (11.82)diremos que S es simetrico en el primer y tercer ındice, etc... Tambien puede darseque un tensor sea simetrico en todos sus ındices. Por ejemplo, si

S µνρ = S νµρ = S ρνµ = S νρµ = S ρµν = S µρν , (11.83)

entonces diremos que S es totalmente simetrico. Tambien es posible que un tensorsea antisimetrico en un par de ındices. Por ejemplo, si

Aµνρ = − Aνµρ , (11.84)

entonces decimos que A es antisimetrico en sus dos primeros ındices. En general notiene sentido hablar de simetrıa o antisimetrıa entre pares de indices involucrando unındice superior y un ındice inferior.

12



Dado un tensor, siempre es posible simetrizar o anti-simetrizar pares de indices.Por ejemplo, dado un tensor T µν , podemos denir su simetrizaci on T (µν ) mediante:

T (µν ) = 12(T µν + T νµ ). (11.85)

Observen que en efecto, se tiene que T (µν ) = T (νµ ) . De la misma forma, podemosdenir su antisimetrizacion T [µν ] mediante:

T [µν ] = 12

(T µν − T νµ ). (11.86)

Observen que T [µν ] = − T [νµ ]. Noten que un tensor arbitrio T µν siempre puede serdescompuesto en su parte simetrizada y su parte antisimetrizada:

T µν = T (µν ) + T [µν ]. (11.87)

Notemos por ultimo que, dado que una derivada parcial ∂ µ transforma de la manera

∂ µ = Λν µ ∂ ν , (11.88)

entonces su acci on sobre un tensor arbitrario del tipo ( k, l), dene un nuevo tensordel tipo (k, l + 1). Por ejemplo, dado un tensor T µν , podemos denir un nuevo tensor

S ρµν = ∂ ρT µν . (11.89)

13




Clase 11: Tensores-II

11.1 Clasicaci´ on del grupo de Lorentz

El grupo de Lorentz consiste en el conjunto de todas las transformadas de Lorentz.Recuerden que estas vienen denidas como aquellas transformadas lineales de lascoordenadas xµ que dejan invariante al intervalo espacio-temporal

ds 2 = ηµν dx µ dx ν . (11.1)

Recordemos que si Λµν es una de tales transformaciones, y Λ µ

ν su inversa, entoncespodemos escribir:

Λµν = ηµρ ην σ Λσ

ρ . (11.2)

Notemos que la expresi on anterior puede ser reescrita de la forma:

Λµν = ηµρ Λ σ

ρ ησ ν , (11.3)

donde Λ σρ es la transpuesta de Λ σ

ρ . Luego, si Λµ

ν corresponden a los elementos de

una matriz Λ, la expresi on anterior puede ser escrita en la forma matricial:

Λ = η− 1 (Λ− 1 )t η. (11.4)

donde el sımbolo t es utilizado para distinguir la operación transpuesta. Calculandoel determinante de la relación anterior obtenemos:

(detΛ) 2 = 1 . (11.5)

Para llegar a esta expresión necesitamos recordar que el determinante es un mapamultiplicativo que satisface las propiedades det( A · B ) = det( A)det(B), det( A− 1 ) =(det A)− 1 y det( A t ) = det A. (Noten adem as que det η = − 1 y det η− 1 = − 1). Vemosentonces que una transformación de Lorentz Λ satisface

detΛ = ± 1. (11.6)

En general una transformada de Lorentz cae dentro de una de las cuatro siguientescategorıas:

1



11.1.1 Grupo ortocrono propio

Estas corresponden a las transformadas de Lorentz caracterizadas por det Λ = +1 y

Λ0

0 > 0. Ejemplos de tales transformadas son todas las que hemos estudiado hastael momento, es decir boosts y rotaciones.

11.1.2 Inversiones espaciales

Estas corresponden a las transformadas de Lorentz caracterizadas por detΛ = − 1 yΛ0

0 > 0. Dichas transformadas siempre involucran una inversi´ on espacial. Ejemplossencillos son:

Λµ

ν =

1 0 0 00 − 1 0 00 0 1 00 0 0 1

y Λµ

ν =

1 0 0 00 − 1 0 00 0 − 1 00 0 0 − 1

. (11.7)

Observen que en el primer ejemplo hemos invertido la direcci´on de una de las coor-denadas, la del eje x1 , mientras que en el segundo hemos invertido las direcciones detodas. Noten por otro lado, que la transformaci´ on

Λµν =

1 0 0 00 − 1 0 00 0 − 1 0

0 0 0 1

, (11.8)

aunque parece estar invirtiendo el sentido espacial de las coordenadas, pertenece algrupo ortocrono propio, y de hecho corresponde a una rotaci´ on! (Una rotacion en180 en torno al eje x3 ).

11.1.3 Inversiones temporales

Estas corresponden a las transformadas de Lorentz caracterizadas por detΛ = − 1y Λ0

0 < 0. Dichas transformadas siempre involucran una inversi´ on temporal. Un

ejemplo sencillo es:

Λµν =

− 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

. (11.9)

2



11.1.4 Inversiones temporales y espaciales

Estas corresponden a las transformadas de Lorentz caracterizadas por detΛ = +1

y Λ0

0 < 0. Dichas transformadas siempre involucran una inversi´ on temporal y unainversion espacial. Un ejemplo sencillo es:

Λµν =

− 1 0 0 00 − 1 0 00 0 − 1 00 0 0 − 1

. (11.10)

Observen que estas transformaciones pueden ser obtenidas a partir de la aplicaci´ onsucesiva de una inversi on temporal y una transformaci´ on espacial.

11.2 El tensor de Levi-Civita

Olvidemos por un rato el algebra de tensores que hemos desarrollado, y denamos unsımbolo con n -ındices ˜ i 1 ...i n (con cada uno de sus ındices tomando valores entre 1 yn (es decir ik = 1 , . . . n con k = 1 , . . . n ) de la siguiente forma:

˜i 1 ...i n =+1 si i 1 . . . i n es una permutación par de 1, 2, 3, . . . , n− 1 si i 1 . . . i n es una permutación impar de 1, 2, 3, . . . , n0 de cualquier otra forma

. (11.11)

El que i1 . . . i n sea una permutación par (impar) de 1 , 2, 3, . . . , n signica que el ordeni 1 . . . i n ha sido obtenido mediante un número par (impar) de intercambios de ındicessucesivos. Por ejemplo, para el caso n = 3, el orden de ındices i1 i 2 i3 = 123 es unapermutación par de 123, ya que hay cero intercambios de ındices de por medio. Elorden de ındices i1 i2 i 3 = 213 es una permutación impar de 123, ya que para llegar ai 1 i2 i3 = 213 a partir de 123 se requiere una permutaci on 12 → 21 de los dos primerosındices. El orden de ındices i 1 i2 i 3 = 312 es una permutación par de 123, ya que parallegar a i1 i 2 i3 = 312 a partir de 123 se requieren dos permutaciones sucesivas: primerola permutación 23 → 32 y luego la permutaci on 13 → 31.

El objeto denido en la ecuaci on (11.11) es el llamado simbolo de Levi-Civitadenido sobre un espacio n-dimensional. Nos ofrece la posibilidad de denir al de-terminante det A de una matriz n × n arbitraria A, con componentes Ai

j , en formaelegante:

(det A)˜ i 1 ...i n ≡ A j 1

i 1· · · A j n

i n j 1 ...j n , (11.12)

3



donde estamos usando la convención de Einstein para la suma de ındices. Para con-vencernos de que tal denici on es correcta, evaluemos el caso i 1 . . . i n = 1 , 2, 3, . . . , n :

det A = A j 1

1 · · · A j n

n j 1 ...j n . (11.13)Observen que ˜ j 1 ...j n evita que se repitan elementos de Ai

j en la multiplicaci on decada termino, y adem´ as, dada la anti-simetrıa de ˜ i 1 ...i n cada termino en la suma vacambiando de signo.

Nada nos impide denir el sımbolo de Levi-Civita para el caso particular del espacio-tiempo 4-dimensional. Dado un sistema de coordenadas xµ , denimos el sımbolo deLevi-Civita como aquel ob jeto con ındices griegos que tiene por elementos

˜µνρσ =+1 si µνρσ es una permutación par de 0123− 1 si µνρσ es una permutación impar de 01230 de cualquier otra forma

(11.14)

Utilizando la denici on de determinante de la ecuación (11.12), encontramos que dadoun tensor Aµ

ν del tipo (1, 1) (donde µ denota las y ν columnas), tenemos:

(det A)˜µνρσ ≡ Aαµ Aβ

ν Aγ

ρAδσ ˜αβγδ . (11.15)

En particular, si bien sabemos que Λ no es un tensor, podemos utilizar la propiedadalgebraica de la ecuaci on (11.15) para escribir:

Λµµ Λν

ν Λρρ Λσ

σ ˜µνρσ = det Λ ˜ µ ν ρ σ . (11.16)

Supongamos ahora que denimos un tensor tipo (0, 4) cuyas componentes µνρσ

coincidan con los del sımbolo de Levi-Civita, en cierto sistema de coordenadas xµ . Esdecir

µνρσ ≡ ˜µνρσ . (11.17)

Dicho tensor es conocido como el tensor de Levi-Civita. Preguntemonos ahora comose ve este tensor en otros sistemas de referencia. Para ello debemos calcular lascomponentes µ ν ρ σ del tensor de Levi-Civita en otro sistema de coordenadas. Dadoque conocemos sus componentes en un sistema de referencia determinado, podemoscalcular sus componentes en cualquier otro sistema mediante la relaci´ on:

µ ν ρ σ = Λµµ Λν

ν Λρρ Λσ

σ µνρσ . (11.18)

Con la ayuda de (11.15) podemos calcular el lado derecho de la ecuación anterior paraobtener el resultado:

µ ν ρ σ = (detΛ) ˜ µ ν ρ σ . (11.19)

4



Este resultado nos permite escribir

˜i j k U k = R ii R j

j ˜ ijk U k . (11.26)

Recordemos sin embargo que una rotaci´on satisface R jk R k

i = δ ji . Por lo que laexpresion anterior puede ser reescrita de la manera:

˜ i j k U k = ( R ii R j

j R kk ˜ijk )R k

l U l = det R ˜i j k R kl U l , (11.27)

en donde usamos el resultado general para expresar un determinante con la ayuda delsımbolo de Levi-Civita. Dado que una rotaci´ on satisface det R = 1, vemos que

˜i j k U k = ˜ i j k R klU l . (11.28)

De aquı, deducimos que U i = R i j U j . Para concluir, recuerden que R i

j = δ i k δ jl R lk .

Por lo tanto, nalmente podemos escribirU i = R j

i U j , (11.29)

donde hemos bajado los ındices de U i con la 3-metrica δ ij . Vemos por lo tanto queU i , al igual que V i , transforma como un 3-vector. Esto quiere decir que un tensorantisimetrico del tipo (0 , 2) acomoda en forma natural dos 3-vectores. No olviden quepodemos usar la metrica para subir y bajar ındices, por lo que Aµ

ν y Aµν tambienacomodan pares de 3-vectores.

Ejercicio: Es importante tener en mente que esta propiedad es ´ util solo si consider-amos rotaciones. Si consideramos boosts, las componentes de V i y U i necesariamentese mezclaran las unas con las otras. Estudie como transforma Aµν bajo la aplicacionde un boost.

11.4 Ecuaciones de Maxwell

Una de las aplicaciones mas importantes y poderosas del formalismo tensorial consisteen expresar las ecuaciones de Maxwell en forma covariante (escrita unicamente enterminos de tensores). Recordemos que, en el vacıo, estas est´ an dadas por ( c = 1)

∇ × B − ∂ t E = , (11.30)∇ · E = ρ, (11.31)

∇ × + ∂ t B = 0 , (11.32)∇ · B = 0 , (11.33)

6



donde ∇× es el rotor y ∇· es la divergencia. Recordemos que E es el campo electrico, B es el campo magnetico, es la corriente electrica, y ρ es la densidad de carga

electrica. Para elucidar como expresar estas ecuaciones en forma covariante, es-cribamoslas primero usando notacion 3-tensorial. Para ello, observen primero queel rotor aplicado sobre un vector V tiene por componentes

(∇ × V )i = ijk ∂ j V k . (11.34)

Ası mismo, la divergencia de un vector ∇ · V puede ser escrita como:

∇ · V = ∂ i V i . (11.35)

Luego, podemos reescribir las ecuaciones de Maxwell de la forma:ijk ∂ j B k − ∂ 0 E i = j i , (11.36)

∂ i E i = ρ, (11.37)ijk ∂ j E k + ∂ 0 B i = 0 , (11.38)

∂ iB i = 0 . (11.39)

Sabemos por experiencia que E i y B i transforman como 3-vectores bajo rotaciones.Debemos preguntarnos entonces de que objetos 4-dimensionales pueden E i y B i ser 3-componentes. Sin duda, la primera alternativa que debemos explorar es la posibilidadde que estos pertenezcan a 4-vectores con componentes E µ y B µ . Esto signica quedebemos buscar entre las ecuaciones de Maxwell cantidades fısicas que sean candidatas

a ser identicadas con E 0

y B0

. Lamentablemente, a parte de ρ y ji

(que son cuatrocantidades), no hay m´as objetos a partir de los cuales podemos elegir candidatos paraE 0 y B 0 . Por otro lado, sabemos que las ecuaciones de Maxwell son v alidas aun enla ausencia de densidades de cargas ρ y corrientes j i , por lo simplemente no podemosacomodar E i y B i en pares de 4-vectores.

Estamos por lo tanto obligados a considerar un tensor de otro tipo. El siguientecaso que podemos considerar es el caso de un tensor con dos ındices. Por ejemplo untensor tipo (0 , 2). Como hemos visto en la seccion anterior, un tensor antisimetricopermite acomodar dos 3-vectores en forma natural. Resulta atractivo entonces denirun tensor antisimetrico F µν de la forma:

F µν =

0 − E 1 − E 2 − E 3E 1 0 B 3 − B 2

E 2 − B 3 0 B 1

E 3 B 2 − B 1 0

. (11.40)

7



Resulta que en efecto es posible utilizar este tensor para reescribir las ecuaciones deMaxwell en forma covariante. No es difıcil mostrar que (haga este ejercicio!):

∂ µ F νµ = j ν , (11.41)µνρσ ∂ ν F ρσ = 0 . (11.42)

Donde j ν = ( ρ, j i). Noten que tambien fue necesario ordenar ρ y j i en un 4-vector! Aesta cantidad se le denomina 4-corriente. Estas son las celebres ecuaciones de Maxwellen forma covariante. El hecho de que estas pueden efectivamente ser escritas en formacovariante es de fundamental importancia: Recuerden que uno de los cimientos queusamos para justicar los principios de la relatividad especial fue el hecho de que laluz, cuya din amica est a descrita por las ecuaciones de Maxwell, se propaga a unavelocidad universal, y que todas las leyes de la fısica deben ser escritas en formaidentica en sistemas de referencia inerciales.

Para concluir, recordemos que es posible denir un potencial vectorial A y unpotencial electrostático φ de modo que

B = ∇ × A, (11.43) E = −∇ φ − ∂ t A. (11.44)

No es difıcil comprobar que φ y A pueden ser acomodados en un s olo 4-vector Aµ =(φ, A i ), de modo que

F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ . (11.45)

Al 4-vector Aµ se le llama campo de gauge , y es uno de los objetos mas importantesen la fısica contemporánea. Una de las propiedades m as importantes es que F µν esinvariante bajo la siguiente transformaci´ on abstracta

Aµ → Aµ = A µ + ∂ µ λ, (11.46)

donde λ = λ(x) es una funcion escalar arbitraria. En efecto, es fácil ver que F µν =∂ µ Aν − ∂ ν Aµ = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ . Observen que tal transformación no es una transfor-macion de las coordenadas espacio-temporales xµ , sino que una simple redenici on

del campo A.

8



Apuntes de Fısica ModernaParte II: Mecanica Cuantica

Clase 14: La necesidad de una teorıa cuantica

La mecanica clasica presupone la posibilidad de explicar sistemas fısicos en terminosde leyes que describen la interacci on entre los constituyentes más pequenos de talessistemas. Una vez comprendidas dichas leyes, seremos capaces de deducir toda clase

de comportamientos posibles en el sistema m´ as grande compuesto por los consti-tuyentes m´ as peque˜ nos . Este esquema no tiene n. El siguiente paso será comprenderla naturaleza de los constituyentes ya mencionados en terminos de nuevas leyes, m´ asfundamentales, que afectan a constituyentes aun m´ as pequenos que componen a losanteriores. La estabilidad de un sistema dado tendr´ a que ser entendida en terminos dela estabilidad de sus sub-sistemas, y ası indenidamente. Sin embargo, los terminosgrande y peque˜ no son conceptos relativos que hacen referencia a una escala de longi-tud. Por un lado, es difıcil concebir una salida al esquema anterior, donde siempre esposible visualizar una escala de tamaño mas pequena que la anterior, y por lo tanto,constituyentes más pequenos. Por el otro, resulta arbitrario exigir que el nivel m´ as

fundamental sea aquel donde la escala de longitud sea la más pequena.Existe una salida poco intuitiva. La ciencia, despues de todo, se basa en la re-

alizacion de observaciones, las que necesariamente consisten en intervenir el sistemaque nos interesa comprender mediante una inuencia externa al propio sistema. Valerecordar que en mec anica clasica siempre es posible reducir el efecto de la inuenciaexterna, de modo que podemos extraer informaci´ on del sistema sin que el observadorafecte el contenido de esta información. Por otro lado, la reacci on de un sistema auna inuencia externa permite concebir un tipo de jerarquıa distinto a aquel ofrecidopor la escala de tama no. De este modo, podemos concebir una jerarquıa en la cualexiste un nivel fundamental, con leyes que ya no pueden ser reducidas m´ as alla dedicho nivel.1 Si para un sistema dado somos capaces de reducir el efecto de la inu-encia externa utilizada para realizar observaciones, entonces estamos lejos de dichonivel fundamental. Si, por el contrario, no somos capaces de reducir el efecto de la

1 Al menos no en terminos del mismo esquema, como en el caso cl´ asico.

1



inuencia externa sobre el sistema, entonces estaremos en el dominio de la teorıa m´ asfundamental, que llamaremos mecánica cu antica.

Una teorıa con dichas caracterısticas tendr´ a la ventaja de contar con un nivel funda-mental, a partir del cual podemos entender otros niveles. En particular, nos permitir´ aentender que tan buena es una observaci´ on, al entregarnos una escala absoluta quenos revela que tan pequeña puede ser una inuencia externa sobre un sistema dado.

14.1 El experimento de las dos rendijas

En lo que sigue intentaremos establecer los principios de la mecánica cu antica. Paraello, partiremos considerando el celebre experimento de las dos rendijas. Este experi-mento revelar a la insuciencia de la mecanica clasica para describir el comportamiento

de un sistema en el cual es imposible reducir la inuencia de un observador. Además,nos ofrecera una guıa para la deducci´ on de la ecuacion de Schrodinger, que constituirála base de nuestro estudio de los fen omenos cuanticos.

14.1.1 Primer paso

Para comenzar, consideremos una conguraci on en la cual hay dos paredes. Laprimera, pared- A, consiste en una pared con una rendija. La segunda, pared- B ,consiste en una pared capaz de medir la intensidad de las ondas electromagneticasque incidan en esta (por ejemplo, una placa fotogr´ aca). Desde la izquierda incide

una onda electromagnetica plana sobre la pared- A. La mayor parte de la onda esreejada por la pared, sin embargo, tal como lo indica la Figura 1, parte de la ondalograr a penetrar por la rendija, permitiendo que de esta emerja una onda de perlradial. Esta onda necesariamente tendr´ a una dependencia angular (con respecto ala linea horizontal) tal que para ´ angulos θ ∼ ±π/ 2 la intensidad de la onda ser apr acticamente nula, mientras que para ´ angulos |θ| π/ 2 la intensidad ser a maxima.El resultado ser a que el perl de la intensidad registrada por la placa fotogr´ aca dela pared- B tendr a un perl parecido al de una funci on Gaussiana, como lo muestrala Figura 1. La ecuaci on que describe esta situación en forma te orica es la ecuacionde campo de Maxwell. A partir de ella, es posible demostrar que la intensidad I dela onda que nalmente es registrada por la placa fotogr´ aca sobre la pared- B vienedada por

I ∝ | E pared |2, (14.1)

2



Intensidad

Figure 1: La gura muestra un frente de onda electromagnetica incidiendo deizquierda a derecha, golpeando la pared- A. Esta pared tiene una peque˜na ranurapor la cual pasa un poco de radiaci on. Esta llega a la pared- B con un perl dedensidad como la mostrada en el lado derecho de la gura.

donde E pared es el campo electrico que caracteriza a la onda electromagnetica sobrela pared. Recordemos que las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones de movimientolineales para los campos E y B , para las cuales hay que denir condiciones de con-torno.

14.1.2 Segundo paso

Consideremos ahora lo que pasa cuando la pared- A tiene dos ranuras en lugar deuna. En dicho caso parte de la onda electromagnetica tendr´ a la chance de pasar porla ranura superior, y parte podr´ a pasar por la ranura inferior. Por lo tanto, las dosranuras ser an fuentes de ondas radiales, tal como en el paso anterior. Estas ondasincidir an en la pared- B . Dado que hay dos fuentes, el campo electrico sobre la pared-B estar a dado por E pared = vecE superior + E inferior , y en consecuencia, la intensidadregistrada por la placa fotogr´aca vendr a dada por:

I ∝ | E superior + E inferior |2. (14.2)

3



Como resultado, la pared- B mostrar a patrones de interferencia (ver Figura 2). Estose debe a la naturaleza ondulatoria de la radiaci´ on. Habr an zonas de la pared donde laonda proveniente de la ranura superior E superior llegara con una fase opuesta a aquellade la onda proveniente de la pared inferior E inferior produciendo una cancelación entreambas contribuciones. Por otro lado, habr´ an zonas donde ambas fases se reforzar an.

Intensidad

Figure 2: La gura muestra el efecto de tener dos rendijas. Sobre la pared- B habr an

patrones de interferencia debido a la cancelaci´ on y reforzamiento de las fases carac-terizando a las ondas provenientes de ambas ranuras.

14.1.3 Tercer paso

Repitamos el primer paso, pero esta vez con un frente de muchas partıculas —enlugar de una onda electromagnetica— incidiendo sobre la pared- A desde la izquierda.En este caso, cierta fracción partıculas lograran pasar por las rendijas para continuar

su camino hasta la pared- B , donde una placa registrará el impacto. Si el numero departıculas N tot que nalmente impacta la pared- B es muy grande, podemos generaruna funci on densidad de n´ umero n(x), donde x es la coordenada que recorre la pared,de modo que el numero de partıculas dN (x) que impacta B entre x y x + dx esta

4



dado pordN (x) = n(x)dx. (14.3)

Claramente tendremos que

N tot = dN = + ∞

−∞n(x)dx, (14.4)

donde hemos asumido que la pared- B tiene una extensi on innita para el propósitodel experimento. En este caso, esperamos que la mayor cantidad de partıculas quelogra pasar por la rendija impactar´ a a la parte de la pared- B frente a la rendija, demodo que el perl de n(x) se asemejar a a una funci on Gaussiana, tal como lo muestrala Figura 3. El contar con una densidad de número n(x) nos permite deducir una

Densidad denúmero

Figure 3: La gura muestra el resultado de que un frente de muchas partıculas incidansobre la pared- A. Cierta fracci on lograra pasar por la rendija, y golpearán la pared- Bmostrando un perl de densidad de número del tipo Gaussiano.

densidad de probabilidad ρ(x) que nos informa sobre la probabilidad dP (x) de queuna partıcula dada (que haya pasado por la rendija) nalmente golpee a la pared- Bentre las posiciones x y x + dx. La densidad ρ(x) simplemente viene dada por

ρ(x) ≡ n(x)N tot

, (14.5)

5



y la probabilidad dP (x), por:dP (x) = ρ(x)dx. (14.6)

Es posible ver que la probabilidad total de que una partıcula que pase por la rendijagolpee a la pared-B es

P tot = + ∞

−∞ρ(x)dx = 1, (14.7)

lo cual tiene sentido. En otras palabras, dada la naturaleza corpuscular de laspartıculas, en lugar de utilizar el concepto de intensidad, podemos emplear el conceptode densidad de n umero (o densidad de probabilidad) para referirnos a la situaci´ onregistrada por la pared- B .

14.1.4 Cuarto paso

Ahora la cosa se pondr a interesante. Repitamos el paso anterior, pero esta vez condos rendijas. En este caso esperamos que cierta fracción de partıculas logre pasarpor la rendija superior, mientras que otra fracci´ on similar logre pasar por la rendijainferior. Dado que estamos lidiando con partıculas, esperamos que el n´ umero total departıculas dN (x) que llega a la pared-B entre x y x + dx este dado por una expresiónde la forma

dN (x) = dN superior (x) + dN inferior (x), (14.8)

donde dN superior (x) y dN inferior (x) corresponden a los n umeros totales de partıculas

que llegan a B atravesando las rendijas superior e inferior respectivamente. M´ asaun, como conocemos el resultado del experimento del tercer paso, anticipamos quedN superior (x) y dN inferior (x) vendran dados, cada uno, por curvas Gaussianas (o deperl similar), y por lo tanto la curva de densidad de n´ umero nal, registrada porB sera de la forma descrita por la Figura 4. Sin embargo, esto no es lo que ocurreal realizar el experimento. Por el contrario, se observa que la curva de densidad denumero nal, que registra el impacto de partıculas en la pared- B presenta patronesde interferencias, tal como aquella mostrada en la Figura 5. Este resultado va encontra de nuestra visión cl´ asica de partıcula, que nos condujo a anticipar el resultadoesperado de la Figura 4. Para comprender que est´ a fallando en nuestra intuición

tendremos que repetir este cuarto paso, pero de una forma m´ as controlada.

6



Densidad de

númeroB

Figure 4: La gura muestra el resultado que esperamos cuando hay dos rendijas.Dado que estamos hablando de partıculas, y no ondas, esperamos que el n´ umero departıculas se sume.

Densidad de

númeroA B

Figure 5: La gura muestra el resultado que ocurre en la realidad. La pared- B

mostrar a patrones de interferencias, dando a entender que hay cierto tipo de cancela-ciones en el numero de partıculas que inciden nalmente sobre la pared.

7



14.1.5 Quinto paso

Para entender el resultado anterior, volvamos a repetir el cuarto paso, pero esta vez de

una manera que revele la naturaleza del patr´ on de interferencia. M as concretamente,en lugar de enviar un frente de muchas partıculas de izquierda a derecha incidiendosobre la pared- A, procuremos que las partıculas sean disparadas una por una contrala pared- A. Esto nos servira para descartar la posibilidad de que las partıculas in-teractúen las unas con las otras al pasar por las rendijas en grandes n´ umeros. Ahoralas partıculas que logren pasar por las rendijas pasar´ an una por una, y solo habráque esperar un tiempo lo sucientemente largo para que la pared- B sea golpeada porun gran n umero de partıculas. Lo que se descubre es que el resultado del cuartopaso se mantiene. Es decir, al gracar el resultado nal de la densidad de n´ umerode partıculas n(x), este describe un patr´ on de interferencia, tal como lo muestra lagura 6. Este resultado nos obliga a sospechar que el patrón de interferencia en lapared- B es producto de la din amica individual de cada partıcula que logra atravesarla pared- B , de tal modo que debemos abandonar la noción de que la partıcula pasópor alguna de las dos rendijas. Podemos sospechar que cada partıcula que logra atrav-

Densidad de

númeroA B

Figure 6: La gura muestra que ocurre cuando la pared- A es bombardeada partıcula

por partıcula.

esar la pared- A pasa por ambas rendijas a la vez, ayudada por un proceso parecido aaquel seguido por la onda electromagnetica de la primera parte de este experimento.

8



14.1.6 Sexto paso

Reforcemos esta interpretaci´ on con una ultima variante de este experimento. Veri-

quemos si es posible determinar por cu al rendija pas o una partıcula que nalmenteimpacta la pared- B . Para ello ubicamos un detector sobre una de las dos rendijas,por ejemplo, la superior. Dado que las partıculas vienen desde la izquierda una poruna, el detector nos informará claramente si una partıcula que llega a B atraves o larendija superior o inferior. Obviamente, el detector es un detector ideal, que reduceal mınimo su interferencia sobre el paso de cada partıcula. El resultado nal de esteexperimento lo muestra la Figura 7. Al saber por cu´ al rendija pas o una partıcula en

A

C

Densidad de

número

Figure 7: La gura muestra lo que ocurre cuando instalamos un detector para infor-marnos por cu al rendija pasa cada partıcula.

cuesti on, la distribuci on nal de partıculas en la pared- B tiene la forma que habrıamosesperado clasicamente, discutida en la Sección 14.1.4. Es decir, desaparece el patrónde interferencia, y la distribución nal consiste en la suma de las distribuciones indi-viduales asociadas a cada rendija. En otras palabras, al saber por cual rendija pas´ o

una partıcula dada, ya no podemos armar que esta siente la inuencia de la otrarendija, y se comporta como una partıcula que efectivamente pas´ o por una, y solouna, rendija!

9



14.2 Introduciendo la funci´ on de onda

Es importante apreciar que el experimento de las dos rendijas contiene elementos rela-

cionados con la discusion inicial, que pretendıa cuestionar la mec´ anica clasica comoparadigma para describir la naturaleza en todas sus escalas. En este experimento,la inuencia del observador sobre el sistema estudiado es denitiva, y no puede sereliminada mejorando el detector. Al ocurrir esto, las partıculas se maniestan demanera distinta a la que estamos acostumbrados a concebir.

Para lidiar con los resultados de este experimento, introduzcamos el concepto defuncion de onda. Esto lo hacemos, en parte, motivados por la similitud de los resul-tados de los pasos cuarto y quinto con el caso de la onda electromagnetica, dondese observan patrones de interferencia. La idea a plantear es la siguiente: existe unafuncion ψ( x, t) que es funcion de la posicion y el tiempo, y que describe la dinamicade una partıcula. Por ejemplo, en el caso del experimento de las dos rendijas, lafuncion ψ( x, t) describe una onda que viaja de izquierda a derecha, y por lo tanto escapaz de pasar por ambas rendijas al mismo tiempo, para luego incidir sobre la paredB. Exigiremos que esta funci on de onda nos entregue informaci on sobre la ubicaci onde la partıcula en forma de una densidad de probabilidad ρ( x, t). Es decir, queremosconstruir una teorıa tal que:

ρ( x, t) = |ψ( x, t)|2. (14.9)

Este resultado es similar a aquel descrito por la ec. (14.1). Para ser lo m´ as generalposible, permitiremos que ψ( x, t) sea una funci on compleja. La probabilidad de en-contrar a la partıcula descrita por ψ( x, t) en un volumen del espacio dV = dxdydz delimitada por x y x + dx, y y y + dy, z y z + dz estar a dada por:

dP ( x, t) = ρ( x, t)dV = |ψ( x, t)|2dV. (14.10)

Mas aun, la probabilidad total de encontrar a la partıcula en alguna parte del universonecesariamente es igual a 1, por lo que ψ esta normalizada

P tot = |ψ( x, t)|2dV = 1. (14.11)

Dado que estamos hablando de una densidad de probabilidad, es importante queρ( x, t) satisfaga una ecuaci on de continuidad. Es decir, que exista una corriente deprobabilidad J ( x, t) tal que:

∂ ∂t

ρ( x, t) + ∇ · J ( x, t) = 0 . (14.12)

10



Esta corriente describe el cambio temporal en la probabilidad de encontrar a lapartıcula en una regi´ on dada. Es decir, si la probabilidad de encontrar a la partıculaen mi bolsillo disminuye, es porque la probabilidad de encontrar a la partıcula fuerade mi bolsillo ha aumentado, y ası, la probabilidad total de encontrar a la partıculadentro y fuera de mi bolsillo sigue siendo la misma. Si integramos la ecuaci on anterioren una cierta regi on ja del espacio Ω obtenemos:

∂ ∂t Ω

ρ( x, t) = − Ω∇ · J ( x, t). (14.13)

Pero, el lado izquierdo corresponde a la derivada temporal de P Ω, que es la probabil-idad de encontrar a la partıcula dentro en la regi´ on Ω, mientras que el lado derechopuede integrarse usando el teorema de Gauss:

∂ ∂t

P Ω = − ∂ Ωd S · J ( x, t). (14.14)

Vemos entonces que si la probabilidad P Ω disminuye en el tiempo, es porque hay unujo total de corriente positivo atravesando la supercie ∂ Ω que encierra al volumenΩ. Este ujo es la suma (integral) de los ujos d S · J ( x, t) que atraviesan cadaporcion de porcion de la supercie ∂ Ω. Si la region Ω consiste en todo el espacio,entonces la supercie ∂ Ω esta en innito, y no podr a uir corriente a traves de ella (laprobabilidad de que la partıcula se escape fuera del universo es cero), y obtenemos

∂ ∂t P tot = 0, (14.15)

lo que es consistente con el resultado de la ec. (14.11), que nos dice que P tot = 1.

Clase 15: La ecuaci´ on de Schr¨ odinger

Tenemos como desafıo deducir una ecuaci´on de movimiento para la funci on de ondaψ( x, t) propuesta durante la clase anterior. Dado que la funci´ on de onda fue intro-ducida para entregarnos la densidad de probabilidad ρ( x, t) de encontrar a la partıcula

en cierta regi on, dicha ecuaci on tendr a que ser tal que se respete la ecuaci on de con-tinuidad (14.12). Para avanzar en esta discusi´ on, acordemos que toda la informaci onsobre la probabilidad de encontrar a la partıcula en cierta regi´ on esta contenida enψ( x, t). Esto quiere decir que la corriente J ( x, t) tambien debe estar determinada porla funcion de onda ψ( x, t). Dado que ψ( x, t) es una funcion cuadr´atica en ψ( x, t),

11



propongamos que J ( x, t) tambien sea cuadr´ atica en ψ( x, t). Por otro lado, J ( x, t) esun vector, lo que quiere decir que debemos ser capaces de construir un vector a partirde ψ( x, t). La unica forma de hacerlo es a traves de gradientes. La forma m´ as generalde armar un vector a partir de ψ( x, t), que dependa cuadráticamente de ψ( x, t), yque sea real, es

J ( x, t) = iα (ψ∗∇ψ −ψ∇ψ∗) + β ∇|ψ|2, (15.1)

donde α y β son constantes reales que debemos determinar. Utilicemos esta expresi´ onpara la corriente en la ecuacion de continuidad (14.12). Obtenemos:

ψ∗ψ + ψ∗ ψ + ∇ · iα (ψ∗∇ψ −ψ∇ψ∗) + β ∇|ψ|2 = 0. (15.2)

Esta ecuaci on podemos reescribirla de la siguiente forma:

ψ ψ∗−iα∇2ψ∗+ β ∇

2ψ∗ + ψ∗ ψ + iα∇2ψ + β ∇

2ψ + 2 β ∇ψ ·∇ψ∗= 0 . (15.3)

Observemos que si β = 0, entonces la ecuaci on de continuidad estarıa garantizadapor una ecuaci on lineal para ψ de la forma

ψ + iα∇2ψ = 0. (15.4)

En efecto, β = 0 impide que la ecuaci on de continuidad sea resultado de una ecuaci´ onlineal para ψ. Por dicho motivo, impongamos β = 0. Por otro lado, la ecuación(15.4) no es la ecuacion lineal mas general que garantiza la validez de la ecuación de

continuidad. De hecho, podemos introducir un termino adicional de la forma

ψ + iα∇2ψ + if ( x)ψ = 0, (15.5)

donde f ( x) es una funcion real de las coordenadas por determinar (de hecho, tambienpuede depender del tiempo, pero por ahora omitiremos esa posibilidad para aliviar ladiscusion).

15.1 La ecuaci on de Schr¨ odinger en su versi´ on estandar

La ecuacion (15.5) es esencialmente la ecuaci on de Schrodinger. Sin embargo, en lugarde usar α y f ( x) es preferible introducir las cantidades , m y V (x) de tal forma que:

α =

2m, f ( x) =

V (x) . (15.6)

12



Ahora podemos escribir la ecuaci on de Schrodinger en su version mas est andar:

i ψ =

−

2

2m∇

2ψ + V (x)ψ. (15.7)

Evidentemente la cantidad m es redundante, ya que podemos absorberla en la denici´ onde y V (x). Aun ası, veremos que es conveniente introducirla de esta manera. Enlo sucesivo, nos enfocaremos en la ecuacion de Schrodinger en una dimensi on. En talcaso, escribiremos

i ψ = − 2

2mψ + V (x)ψ, (15.8)

donde la prima corresponde a una derivada espacial con respecto a x.

15.2 Estadıstica con la funci´ on de onda

En este punto, vale recordar que la distribuci´ on de probabilidad puede ser usada paracalcular cantidades estadısticas relevantes. Por ejemplo, si contamos con una funci´ ondel espacio g = g(x), podemos calcular el valor de expectaci on g de la siguientemanera:

g = dxρ(x, t )g(x). (15.9)

Notemos que g no es funcion de x, pero si puede depender del tiempo t a travesde ρ(x, t ). Dado que ρ(x, t ) viene determinado por ψ, es usual escribir el valor deexpectaci on

g de la forma:

g = dx ψ∗(x, t ) g(x) ψ(x, t ). (15.10)

Es decir, al interior de la integral, g(x) est a atrapado por ψ∗(x, t ) por el lado izquierdo,y por ψ(x, t ) por el lado derecho. Tambien podemos calcular varianzas. Por ejemplo,la varianza σg de la funcion g(x) viene dada por

σg = g2 −g 2. (15.11)

Un valor de expectaci on interesante es el valor de expectaci´on de la corneada espacialx. En este caso tenemos

x (t) = dx ψ∗(x, t ) x ψ(x, t ). (15.12)

Hemos escrito (t) al lado derecho de x para enfatizar que x es una funcion deltiempo. Notemos que x (t) es el valor medio de la posicion de la partıcula descrita

13



por ψ(x, t ), pero no necesariamente el valor m´as probable. Si queremos insistir enpensar que una partıcula es una entidad puntual, entonces x (t) sera lo mas cercanoal concepto de posicion clasica de dicha partıcula. Por otro lado, la varianza asociadaa dicha posicion sera:

σ2x = dx ψ∗(x, t ) x2 ψ(x, t ) − dx ψ∗(x, t ) x ψ(x, t )

2

, (15.13)

la que tambien puede depender del tiempo.

15.3 Un calculo interesante

Como primer uso de la ecuaci on de Schrodinger, consideremos la derivada temporal

de x (t). Es posible ver que la dependencia temporal de x (t) proviene de la de-pendencia temporal de ψ(x, t ) y ψ∗(x, t ) en la ecuacion (15.12). Luego, la derivadatemporal de x (t) viene dada por:

∂ ∂t

x = dx ψ∗x ψ + ψ∗x ψ . (15.14)

Pero ahora podemos usar la ecuaci´on de Schrodinger para reemplazar ψ y ψ∗ dentrode la integral. Haciendo esto, obtenemos:

∂

∂tx =

dx

− i

2mψ∗ + i

V (x)

ψ∗ x ψ + ψ∗x

i

2mψ

−iV (x)

ψ . (15.15)

Es directo ver que los terminos que contienen a V (x) se cancelan, y por lo tanto laexpresion se reduce a:

∂ ∂t

x = i

2m dx −ψ∗ x ψ + ψ∗xψ . (15.16)

Por otro lado, podemos realizar varias integraciones por parte, para nalmente reducirla expresion aun mas, y obtener (despues de algunas cancelaciones interesantes):

∂ ∂t x = dx ψ

∗

−i

m∂

∂x ψ. (15.17)

Esta expresi on es muy interesante. Por un lado, dado que x es lo mas cercano quetenemos del concepto de posici on de la partıcula descrita por ψ, esperamos que ∂

∂t xnos entregue informaci on sobre la velocidad con la cual se propaga. Por lo tanto, es

14



razonable esperar que ∂ ∂t x corresponda al valor de expectaci´on de alguna cantidad

v de la forma:v =

∂

∂tx . (15.18)

Por otro lado, el calculo explıcito de ∂ ∂t x nos muestra que la cantidad v viene dada

por:

v ≡ −i

m∂

∂x. (15.19)

La cantidad v es ni mas ni menos que una derivada espacial. Si hubiesemos hechoeste calculo en 3-dimensiones, habrıamos obtenido:

v = −i

m∇. (15.20)

De hecho, es mas comun utilizar el concepto de momento p = mv. Esto nos conducea introducir el operador diferencial momento p, dado por

ˆ p ≡ −i ∂ ∂x

. (15.21)

Lo anterior nos permite escribir:

ˆ p = m ∂ ∂t

x . (15.22)

Para que todo esto tuviese sentido, es crucial que adopt´ aramos la convenci on de laecuacion (15.10). Ahora tenemos el desafıo de entender el rol del operador p.

Clase 16: Mecanica clasica vs mecanica cuantica

Para elucidar la conexi´on entre esta nueva teorıa cu´ antica que estamos desarrollando(pero que aun no hemos terminado de formular) y la mec´ anica clasica, retomemos elcalculo de la clase anterior, y realicemos un paso m as calculando esta vez la derivadatemporal de ˆ p . Es decir desarrollemos el lado derecho de la siguiente ecuaci on:

∂ ∂t

ˆ p = ∂ ∂t dx ψ∗ −i

∂ ∂x

ψ. (16.1)

Al igual que en el caso anterior, podemos introducir la derivada parcial temporaldentro de la integral, y permitir que act´ ue sobre ψ y ψ∗ que son las cantidades quedependen del tiempo. El resultado es:

∂ ∂t

ˆ p = dx ψ∗ −i ∂ ∂x

ψ + ψ∗ −i ∂ ∂x

ψ . (16.2)

15



Ahora podemos usar la ecuaci on de Schrodinger para reemplazar ψ y ψ∗ dentro de laintegral. El resultado es

∂ ∂t ˆ p = dx − i 2m ψ∗ + iV (x) ψ∗ −i ∂ ∂x ψ

+ ψ∗ −i ∂ ∂x

i

2mψ −i

V (x) ψ . (16.3)

Luego, realizando varias integrales parciales ocurren varias cancelaciones, y obten-emos:

∂ ∂t

ˆ p = − dx ψ∗V (x)ψ. (16.4)

En otras palabras, hemos derivado la segunda ley de Newton:

ddt

ˆ p + V (x) = 0 . (16.5)

Dado que ˆ p solo depende del tiempo, hemos reemplazado ∂/∂t por una derivadatotal d/dt . Alternativamente, la ecuaci´ on anterior puede ser escrita como

m d2

dt2 x + V (x) = 0 . (16.6)

Este es un resultado muy importante. Hemos sido capaces de deducir la segunda ley

de Newton a partir de la ecuaci´on de Schrodinger. De paso, hemos comprendido deque manera se recobra la mec´anica clasica. Esta consiste en una teorıa que relacionavalores de expectaci on a traves de ecuaciones de movimiento.

16.1 El rol de

Notemos que la constante desapareci o por completo de la ecuacion (16.6), lo cual,despues de todo, era deseable. Sin embargo, re-aparece si consideramos las varianzasde x y ˆ p. Es posible demostrar la siguiente desigualdad satisfecha por σx y σ p:

σx σ p ≥

2. (16.7)

A esta desigualdad, que demostraremos m´ as adelante, se le conoce como principiode incertidumbre de Heisenberg. La desigualdad nos revela que es imposible predecircon toda precisi on la posicion y el momento de una partıcula simult´ aneamente. Por

16



ejemplo, si conocemos la funcion de onda que describe a una partıcula entonces somoscapaces de deducir el valor de expectación de la posicion de la partıcula x , y sumomento

p . Sin embargo, estas predicciones no nos sirven de nada si no tenemos

una nocion de que tan buenas son. Para ello es imprescindible calcular las varianzasσx y σ p que nos informan sobre la certeza de observar a la partıcula en la posici´ onx con momento p . Sin embargo, la desigualdad (16.7) nos dice que mientras más

certeza haya sobre la posici on de la partıcula, menor ser´ a la certeza sobre el momento(y vice versa).

Es muy importante notar que esta desigualdad no solo tiene que ver con prediccionesque podemos hacer con la teorıa. La desigualdad es intrınseca a la din´ amica de lapartıcula, de modo que si realizamos una observaci´ on de la posicion de la partıculacon una precisi on dada σx , entonces la desigualdad nos garantiza que no podemos

determinar de manera experimental el momento con una precisi´ on mayor a aquellaimpuesta por el lımite / 2σx .

16.2 La ecuaci on de Schr¨ odinger nuevamente

Escribamos nuevamente la ecuación de Schrodinger, pero esta vez, usemos el hechode que ∂ x = i

ˆ p. Realizando tal reemplazo, obtenemos:

i ψ = ˆ p2

2m + V (x) ψ. (16.8)

Es posible apreciar que el parentesis del lado derecho de la ecuación coincide, enforma, con el Hamiltoniano de una partıcula sometida a la inuencia de un potencialV (x). Por dicho motivo, denamos el operador Hamiltoniano H de la siguiente forma:

H ≡ ˆ p2

2m + V (x). (16.9)

De esta manera, ahora la ecuación de Schrodinger tiene el siguiente aspecto:

i ψ = Hψ. (16.10)

Volveremos a esta ecuaci on mas adelante.

16.3 La ecuaci on de Schr¨ odinger estacionaria

Notemos que la ecuaci on (16.8) es separable. Esto quiere decir que, sin contar ψ quedepende del espacio y el tiempo, los objetos que aparecen a la izquierda (16.8) son

17



independientes del tiempo, y los objetos que aparecen a la derecha son independientesdel tiempo. Luego, podemos adivinar las soluciones de ψ al escribir:

ψ(x, t ) = φ(x)T (t), (16.11)

donde φ(x) es una funcion que solo depende de la coordenada x y T (t) solo dependedel tiempo. Si insertamos este ansatz a la ecuación (16.8) obtenemos:

i T (t)T (t)

= 1φ(x)

ˆ p2

2m + V (x) φ(x). (16.12)

El lado derecho de esta esta ecuaci on es claramente independiente del tiempo. Porlo tanto el lado derecho tambien, y concluimos que i T (t)/T (t) debe ser igual a unaconstante. Llamemos a esta constante E y escribamos:

i T = ET. (16.13)

Ahora tenemos una ecuación diferencial de primer orden para T . La solucion de estaecuacion es

T = C 1e− iEt/ , (16.14)

donde C 1 es una constante de integración. Esta constante es irrelevante, ya quepodemos absorberla en la denici on de φ(x). Por dicho motivo, escojamos C 1 = 1.Volviendo a la ecuaci on (16.12), ahora vemos que esta tiene la forma:

ˆ p2

2m + V (x) φ(x) = Eφ(x). (16.15)

A esta ecuacion se le conoce como la ecuacion de Schrodinger estacionaria. Pararesolverla, es necesario conocer la forma del potencial V (x) que describe al sistemade interes. Otra forma de escribir esta ecuaci´ on es

Hφ(x) = Eφ(x). (16.16)

Usualmente, al resolverla tambien se determinar´ an los posibles valores de E . Para

apreciar esto, en la pr oxima clase veremos que la funcion φ(x) (o ψ(x, t )) puede serpensada como un vector. En dicho caso la ecuación (16.16) tiene la forma de unaecuacion de autovalores, donde los E son los autovalores del operador lineal H . Comoen toda ecuaci on de autovalores, al resolverla no solo encontraremos los autovaloresE , sino que tambien los autoestados φE (x) correspondientes a dichos autovalores.

18



Luego podemos multiplicar ambos lados de esta expresi´on por φ∗E (x) e integrar:

E

C E

dx φ∗E (x)φE (x) e− iEt 0 / =

dx φ∗E (x)ψ(x, t 0). (17.4)

Dado que contamos con la ecuaci on (16.19) podemos desarrollar el lado izquierdopara nalmente deducir el valor de las constantes C E :

C E = dx φ∗E (x)ψ(x, t 0)eiEt 0 / . (17.5)

Por otro lado, no debemos olvidar que ψ(x, t ) est a normalizada a la unidad. A partirde la ec. (17.2) vemos que la normalizaci on de ψ(x, t ) implica que:

1 = dx ψ∗(x, t )ψ(x, t )

= dxE E

C ∗E C E φ∗E (x)φE (x) e− i(E − E )t/

=E E

C ∗E C E δ EE e− i(E − E )t/

=E

|C E |2. (17.6)

En otras palabras, los coecientes C E satisfacen la relaci on de normalizaci on:

E |C E |2 = 1 . (17.7)

Es posible calcular esta relaci on directamente de la ecuacion (17.5). Este resultadonos invita a sospechar que la probabilidad P E de que la partıcula este en el estado E viene dada por

P E = |C E |2. (17.8)

Mas adelante corroboraremos esta sospecha. Esto concluye nuestro problema de en-contrar soluciones a la ecuaci on de Schrodinger. Veremos multiples ejemplos de comose aplica este metodo para distintos tipos de potencial V (x).

20



17.2 Ejemplo visto en clase auxiliar: La caja con paredesinnitas

Repasemos un ejemplo visto en clase auxiliar: Una caja de largo a con paredes innitasen una dimensi on espacial. Tal situación se describe con el siguiente potencial:

V (x) =+ ∞ x ≤0

0 0 < x < a+ ∞ a ≤x

(17.9)

Las paredes de potencial innito impiden que la funci´ on de onda pueda existir fuerade la caja, y por lo tanto la partıcula est a connada al dominio 0 < x < a (de-mostraremos esto de forma rigurosa más adelante). Esto quiere decir que ψ(x, t ) = 0

para x ≤ 0 y a ≤ x. En particular, tendremos que imponer condiciones de bordedadas porψ(0, t ) = 0 , ψ(a, t ) = 0 , (17.10)

validas para todo tiempo t. Dado que V = 0 para 0 < x < a , la ecuacion deSchrodinger estacionaria, valida al interior de la caja, puede escribirse de la siguientemanera

φ (x) + k2φ(x) = 0 , k = 2m 2

E. (17.11)

bajo el entendimiento de que los φ(x) satisfacen las condiciones de borde:

φ(0) = 0 , φ(a) = 0 . (17.12)

La ecuacion (17.11) es simplemente la ecuaci on de un oscilador armonico. Su soluciontiene la forma:

φ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (17.13)

Imponiendo la primera condición de borde φ(0) = 0, obtenemos A = 0. Por otrolado, la segunda condici on de borde φ(a) = 0 requiere que se cumpla

sin(ka) = 0 . (17.14)

Esto implica que k solo puede tomar ciertos valores “cuantizados”, que denotaremoskn , dados por:

kn = nπ

a , n = 1, 2, 3, ·. (17.15)

21



El caso n = 0 est a descartado, ya que equivale a que no exista solución alguna. Larelacion anterior implica que el autovalor E tambien est a cuantizado, y por lo tantopodemos escribir

E n = n2π2 2

2ma 2 . (17.16)

Luego, los autoestadodos de la ecuaci on de Shrodinger estacionaria vienen dados porφn (x) = Bn sin (nπx/a ). Solo falta determinar el valor de los coecientes Bn que,como hemos dicho, son determinados por la condici on de normalizaci on

dx φ∗n (x)φm (x) = δ nm . (17.17)

En el presente caso, esta condición se lee:

B∗

n Bm a

0dx sin nπx

asin mπx

a = δ nm . (17.18)

La integral del lado izquierdo es f acil de resolver, y viene dada por:

a

0dx sin

nπxa

sinmπx

a =

a2

δ nm . (17.19)

Esto implica que |Bn |2 = 2 /a , con lo cual vemos que los autoestados vienen dadospor:

φn (x) =

2

a sin

nπx

a. (17.20)

Observen que para escribir esta última relacion, tomamos la decisi´ on de ajustar la fasede los Bn , de modo que estos sean puramente reales: Bn = 2/a . La fase de los Bn

es convencional. Despues de todo, recuerden que los φn (x) son construidos de formaconveniente para que sean ortonormales. La Figura 8 muestra los primeros cuatromodos de la caja. Al modo n = 1 le corresponde el autovalor energıa E 1 = π2 2/ 2ma 2.Esta es la energıa de menor valor para una partıcula atrapada en una ca ja de paredesinnitas, y se llama la energıa base del sistema. Por su lado, a la funci´ on de ondaφ1(x), se le llama el estado base del sistema. A la funci on de onda φ2(x) se le llamael primer estado excitado, a φ3(x) el segundo estado excitado, y ası sucesivamente.Es posible ver que a mayor energıa, mayor valor de k y, por lo tanto, menor valor dela longitud de onda λn , que viene dada por

λn = 2πkn

. (17.21)

22



x

φ n (x ) n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

a

Figure 8: La gura muestra los primeros cuatro modos de la caja con paredes innita.

Este es un resultado tıpico, que luego entenderemos con mayor generalidad. Lalongitud de onda de cada auto-función reeja cuanto momento o energıa acarrea lapartıcula asociada a dicha funci´ on de onda. Para nalizar esta discusión, escribamosla solucion completa:

ψ(x, t ) = 2a

n

C n sin nπxa

e− iE n t/ . (17.22)

Recordemos que los C n son determinados por las condiciones iniciales, y en este casoestan dados por:

C n = 2a dx sin

nπxa

ψ(x, t 0) eiE n t 0 / . (17.23)

17.3 La notaci´ on de Dirac

Para avanzar en nuestra formulaci´ on de la mecanica cu antica, introduzcamos unanotaci on debida a Dirac para lidiar con funciones de onda en mecánica cu antica.Primero que nada, debemos reconocer que el espacio de las funciones corresponde aun espacio vectorial. Si sumamos dos funciones obtenemos una nueva función. Simultiplicamos una función por un escalar, obtenemos una nueva funci´ on. Existe la

23



Luego, la accion de un bra u| sobre un ket |v viene dado por un braket :

u|v =i

u∗(i)v(i). (17.31)

Notemos que:v|u ∗= u|v . (17.32)

Por ultimo, el producto interno de un de un vector |v consigo mismo viene dado por:

v|v =i

|v(i)|2. (17.33)

La proyeccion de un ket (vector) sobre un bra (forma) corresponde a la componentede un vector. Por ejemplo:

i|v = i| j

v( j )| j = j

v( j ) i| j = j

v( j )δ ij = v(i). (17.34)

De igual manera, podemos escribir:

v∗(i) = v|i . (17.35)

Notemos adem as que podemos escribir la unidad I , que es un operador que no afectaa los vectores sobre los cuales actua, de la siguiente manera:

I =i

|i i|. (17.36)

Por ejemplo, podemos ver que la unidad actuado sobre un ket |v corresponde a laoperaci on:

I |v =i

|i i|v =i

|i v(i) = |v . (17.37)

Ademas, tambien podemos escribir:

u

|v = u

|I

|v = u

| i |i i

| |v =

i

u

|i i

|v =

i

u∗(i)v(i). (17.38)

25



17.4 Operadores lineales

Un operador lineal es un objeto que act´ua sobre un vector para entregarnos un nuevo

vector. Es decir, dado un ket |v y un operador A, podemos escribir

|u = |Av = A|v , (17.39)

donde |u = |Av es un nuevo ket, que nos dice que es el resultado de aplicar eloperador A sobre |v . Tambien podemos escribir esta relaci´ on en terminos de bras:

Av| = v|A†, (17.40)

donde A† es el hermıtico conjugado de A. Si A† = A decimos que A es un operadorhermetico (y es posible mostrar que sus autovalores son reales). Notemos que lasrelaciones anteriores nos permiten escribir

|A†v = A†|v , A†v| = v|A (17.41)

Desde luego, muchas veces es conveniente entender como un operador afecta a lasbases. Por ejemplo, podemos escribir

|u = |Av = A|v = A j

| j j | |v = j

A| j j |v = j

A| j v( j ) (17.42)

Por otro lado, sabemos que u(i) = i|Av . Luego, la ecuacion anterior nos permitededucir:

u(i) = j

i|A| j v( j ). (17.43)

Ahora, si denimosAij ≡ i|A| j , (17.44)

podemos escribiru(i) =

j

Aij v( j ). (17.45)

Las cantidades Aij corresponden a las componentes de una matriz. A la vez, estamatriz representa la acci´on del operador A en una cierta base |i dada. Evidentementetambien se satisface

u∗(i) = j

A∗

ij v∗( j ). (17.46)

26



Y por lo tanto, el producto escalar de un ket |ψ consigo mismo viene dado por:

ψ

|ψ =

dx

|ψ(x)

|2. (18.13)

Evidentemente ψ|ψ ≥ 0. Con este formalismo en nuestras manos, ahora podemosprescindir de trabajar con una funci´ on de onda φ(x) y optar por la notaci´on un pocomas abstracta |φ . Trabajar con kets y bras es muy poderoso para ejecutar c´ alculoscomplicados en mecanica cu antica. Ya veremos algunos ejemplos notables.

18.1 Incorporando el tiempo

Ahora podemos considerar funciones que adem´as de depender del espacio, dependen

del tiempo. Estas funciones son simplemente las componentes de un vector (conrespecto a la base |x ) que depende del tiempo. Es decir:

|ψ(t) = dx ψ(x, t )|x , ψ(x, t ) = x|ψ(t) . (18.14)

En otras palabras, el vector |ψ(t) cambia en el tiempo con respecto a la base |x quepermanece est atica. Ahora, el producto interno ψ(t)|ψ(t) viene dado por

ψ(t)|ψ(t) = dx |ψ(x, t )|2. (18.15)

En particular, si |ψ es el ket cuya funcion de onda describe el estado de una partıcula,tendremos

ψ(t)|ψ(t) = 1 , (18.16)

que nos recuerda que la probabilidad de encontrar a la partıcula en alg´ un lugar deluniverso es 1.

18.2 Operadores nuevamente

Dado que estamos en presencia de vectores |ψ , podemos considerar la acci on de

operadores sobre ellos. Por ejemplo, la acci on de un operador A sobre un ket |ψ nosentrega un nuevo ket, que podemos llamar |φ = |Aψ , de modo que:

|φ = |Aψ = A|ψ . (18.17)

29



Luego, el bra φ| = Aψ| viene dado por

φ| = Aψ| = ψ|A†, (18.18)

donde A† es el hermetico conjugado de A. Si A† = A decimos que A es un operadorhermetico (y es posible mostrar que sus autovalores son reales). Desde luego, muchasveces es conveniente entender cómo un operador afecta a las bases. Por ejemplo,podemos escribir:

|φ = |Aψ = A|ψ = dy A|y y|ψ = dy A|y ψ(y). (18.19)

Dado que φ(x) = x|φ , podemos deducir

φ(x) = Aψ(x) = dy Â(x, y)ψ(y), (18.20)

donde A(x, y) = x|A|y . Esta expresi on es analoga a aquella que escribimos enla ecuacion (17.45). Tambien podemos escribir la expresión analoga a la ecuacion(17.48), que viene dada por

φ∗(x) = Aψ∗(x) = dy ψ∗(y) A†(y, x), (18.21)

donde hemos denido:A†(y, x) = A∗(x, y). (18.22)

Desde luego, es posible conrmar que

A†(y, x) = y|A†|x . (18.23)

Con lo cual, si un operador es hermıtico, entonces se debe cumplir:

A∗(y, x) = A(x, y). (18.24)

18.3 Una relaci´ on util para identicar operadores hermıticos

Consideremos el siguiente objeto: ξ |ˆ

A|ψ . Este consiste en un operador Â atrapadopor un bra ξ | por la izquierda y un ket |ψ por la derecha. Introduciendo bases de

coordenadas vemos que

ξ |A|ψ = dx dy ξ ∗(x) A(x, y)ψ(y), (18.25)

30



mientras que ξ |A†|ψ viene dado por:

ξ

|A†

|ψ =

dx

dy ξ ∗(x) A†(x, y)ψ(y) =

dy

dx A(y, x)ξ (x)

∗

ψ(y). (18.26)

Luego, si A es hermıtico, se debe cumplir

dx dy ξ ∗(x) A(x, y)ψ(y) = dy dx A(y, x)ξ (x)∗

ψ(y) (18.27)

Otra forma de escribir esta relaci on es aprovechando la notaci on introducida en(18.20). En dicho caso, la ecuaci on anterior se lee:

dx ξ ∗(x) [Aψ(x)] = dx [Aξ (x)]∗ψ(x). (18.28)

En la pr oxima seccion usaremos esta f ormula para probar que el operador momentoes un hermıtico.

18.4 Operador momento

Recordemos que introdujimos el operador momento p como un operador diferencialque act ua sobre las funciones de onda. Esto es:

ˆ pψ(x) ≡ −i ψ (x) (18.29)

Digamos que φ(x) es el resultado de aplicar p sobre ψ(x). Es decirφ(x) = −i ψ (x). (18.30)

Entonces, deber´a existir un operador P que actuando sobre un estado |ψ , nos en-tregue el estado |φ dado por

|φ = |Pψ = P |ψ , (18.31)

Luego, si actuamos sobre la ecuaci on (18.31) con x|, obtenemos:

φ(x) = P ψ(x) = x

|P

|ψ =

−i ∂ x ψ(x). (18.32)

Aprovechemos la notaci on introducida en las secciones anteriores. Si denimos P (x, y) =x|P |y , vemos que

Pψ(x) = dy P (x, y)ψ(y) = −i ∂ x ψ(x). (18.33)

31



De este modo, P (x, y) representa los elementos de una matriz que se hace cargo deimplementar una derivada −i ∂ x sobre la funcion ψ(x). A continuaci on, comprobare-mos que P es hermıtico. Para ello, consideremos el siguiente objeto

φ

|P

|ψ . Este

viene dado por

φ|P |ψ = dx φ|x x|P |ψ = dx φ∗(x) [−i ψ (x)] . (18.34)

Por otro lado, tenemos

φ|P †|ψ = dx φ|P †|x x|ψ = dx [−i φ (x)]∗ψ(x). (18.35)

Sin embargo, es posible ver que, mediante una integraci´ on por partes, se cumple:

dx φ∗(x) [−i ψ (x)] = dx [−i φ (x)]∗ψ(x). (18.36)

Esto quiere decir que φ|P †|ψ = φ|P |ψ , y por lo tanto P es hermıtico.

18.5 La base de momento

Ahora que sabemos que P es un operador hermıtco, podemos resolver la ecuaci´on deautovalores:

P | p = p| p . (18.37)

Aquı, p es el autovalor del operador P , y | p los autovectores correspondientes. Dadoque P es hermıtico, entonces los p’s son numeros reales. Para proceder, proyectemosla ecuacion anterior sobre x|:

x|P | p = p x| p . (18.38)

Ahora, introduzcamos la notaci´ on:

u p(x) ≡ x| p . (18.39)

Luego, la ecuacion (18.38) puede reescribirse como:

−i u p(x) = pu p(x). (18.40)

Esta es una ecuaci on diferencial de primer orden. La soluci on es sencilla:

u p(x) = C peipx/ . (18.41)

32



La constante C p no esta determinada por la ecuación. Sin embargo, es convenientenormalizar los modos u p(x) de tal forma que

dx u∗ p (x)u p(x) = δ ( p − p). (18.42)

Esta normalización requiere que C p = 1/ √ 2π , y por lo tanto

u p(x) = 1√ 2π

eipx/ . (18.43)

Por otro lado, es muy interesante notar que nada nos impide escribir

dp u∗ p(x )u p(x) = δ (x −x). (18.44)

Usaremos este resultado más adelante.Para concluir esta discusión, notemos que podemos usar los | p como base (la base

de momento). Por ejemplo, podemos expresar la unidad en terminos de | p de lasiguiente manera:

I = dp| p p|. (18.45)

Supongamos ahora que tenemos un vector |ψ . Luego podemos expresar |ψ en labase de momento

|ψ = I |ψ = dp| p p|ψ = dp| p ψ( p), (18.46)

donde hemos denido:ψ( p) = p|ψ . (18.47)

Para entender que son los ψ( p), proyectemos ahora (18.46) sobre x|. Obtenemos:

ψ(x) = 1√ 2π dp ψ( p) eipx/ . (18.48)

Este es un gran resultado! Nos dice que ψ( p) es ni mas ni menos que la transformadade Fourier de ψ(x). Ademas, nos dice que el momento está relacionado con la longitudde onda λ de una funcion de onda, mediante la siguiente relación:

p = 2π

λ . (18.49)

33



A este resultado se le llama la relaci on de de Broglie . Evidentemente, tambien pode-mos escribir:

ψ( p) = 1

√ 2π dx ψ(x) e− ipx/ , (18.50)

que es la forma explıcita de la transformada de Fourier de ψ(x). Es importante notarque para estudiar un estado dado |ψ , podemos trabajar en el espacio de coordenadas,y por lo tanto trabajar con la funci´ on de onda ψ(x), o alternativamente, podemostrabajar en espacio de momento, y por lo tanto trabajar con la transformada deFourier ψ( p). La ventaja de trabajar con ψ( p) es que en ese espacio el momento yano es un operador, y pasa a ser un simple n´umero p. Es decir, si en la ec. (18.48)dejamos que ˆ p actue sobre ψ(x), entonces vemos que:

ˆ pψ(x) = 1

√ 2π dp p ψ( p) eipx/ . (18.51)

Es decir, p ψ( p) es la transformada de Fourier de p ψ(x), y por lo tanto el n umero prepresenta la acci´on de ˆ p en espacio de Fourier.

Ejercicio: Utilice la base de momento para calcular P (x, y), y compruebe que secumple P ∗(x, y) = P (y, x), lo que ratica que P es un operador hermıtico.

34



Clase 19: De Broglie

Durante la clase anterior obtuvimos una relaci´ on que conecta la longitud de onda de

una funci on de onda y el autovalor del operador momento, dada por:

p = 2π

λ . (19.1)

Dicha relaci on aparece debido a la conexi on entre espacio de Fourier y espacio demomento, despues de haber introducido la base de momento como alternativa a la basede coordenadas. En esta clase revisaremos algunos conceptos relacionados con estarelacion, que emergen al estudiar la ecuación de Schrodinger estacionaria. Partamosrecordando que esta ecuación viene dada por

φE (x) + 2m 2 [E −V (x)] φE (x) = 0 , (19.2)

donde los φE (x) son las auto-funciones del operador Hamiltoniano, caracterizadas porel autovalor E . El signo de E −V (x) es muy importante para entender el compor-tamiento de φE (x) en una regi on dada. Antes de discutir la ecuación de Schrodingerestacionaria (19.2) una vez más, recordemos brevemente lo que ocurre clásicamentecon una partıcula con energıa E sometida a la inuencia de un potencial V (x).

19.1 Partıcula clasica

La segunda ley de Newton que describe el movimiento de una partıcula bajo la inu-encia de una fuerza conservativa, viene dada por

mxcl + V (xcl) = 0 . (19.3)

La energıa E ≡mx2cl/ 2 + V (xcl) es una cantidad conservada, y podemos usarla para

entender el movimiento de la partıcula en terminos del potencial V (xcl). Mas precisa-mente, podemos deducir que la velocidad de la partıcula viene dada por (omitiendola notaci on xcl)

x = ± 2m [E −V (x)], (19.4)

donde el signo ±nos revela si la partıcula se mueve hacia la derecha o izquierda. Paraque exista movimiento, es necesario que E −V (x) > 0. Cuando E −V (x) = 0, lavelocidad es nula ( x = 0), y los puntos donde esto ocurre se conocen como puntos de

35



retorno. De este modo, el movimiento está connado a regiones donde E −V (x) > 0,los que estan delimitados por puntos de retorno. La Figura 9 muestra un ejemplo deuna situaci on tıpica, donde se describe una situaci´ on en la cual existe una partıculacon cierta energıa E sometida a la inuencia de un potencial V (x) de cierto perl.En el ejemplo de la gura, hay cuatro valores para la energıa E , dadas por E 1, E 2,

E 1

E 2

E 3

E 4

V (x )

x

Figure 9: La gura muestra un potencial y cuatro niveles de energıa. El movimientode la partıcula clásica depende de cuanta energıa tenga.

E 3 y E 4. Es posible ver que E 1 no es una situaci on posible, ya que E −V (x) < 0para todo valor de x. Por lo tanto, simplemente no debe ser considerada como unasolucion real de la ecuacion de movimiento. Por otro lado, el caso E 2 si permiteque exista movimiento, el cual está connado a al mınimo del potencial, en el ladoderecho del graco. Revisemos con mas detalle los otros dos casos, aquellos dondela energıa tiene valores E 3 y E 4. En el caso de E 3, hay dos regiones (regiones I yII) que permiten el movimiento de la partıcula. La primera regi´ on I esta delimitadapor los puntos de retorno xr1 y xr2 , mientras que la regi on II est a delimitada porlos puntos de retorno xr3 y xr4 , mostrados en la Figura 10. Es importante notarque cada regi on corresponde a un posible movimiento permitido para la partıcula.Es decir, la partıcula o est´ a en la region I o esta en la region II. Si la partıculaesta en la region I est a permanecer a connada a ella oscilando por siempre, concierta velocidad determinada por la ecuaci´ on (19.4). Lo mismo podemos decir si

36



E 3

V (x )

xx r2x r1 x r3 x r4

Figure 10: La gura muestra las regiones que permiten el movimiento para unapartıcula de energıa total E 3.

la partıcula permanece en la regi´ on II, con la diferencia que la partıcula alcanzar´ avelocidades mayores a aquella que puede alcanzar en la región I, debido a que ladiferencia entre E 3 y V (x) podr a alcanzar valores m as amplios en la region II. Porultimo, consideremos el caso en que la energıa viene dada por E 4. En dicho caso, lapartıcula estar´ a connada a una sola regi on, delimitada por xr1 y xr2 , como lo muestrala Figura 11. En este caso, la partıcula transitar´ a por los dos mınimos locales del

potencial, adquiriendo mayor velocidad cuando esta pasa por el mınimo de la derecha,que es mas profundo que el mınimo de la izquierda.

19.2 Partıcula cuantica

Veamos ahora que pasa en el caso cu antico. Ahora no lidiamos directamente conuna partıcula puntual, sino que con una funci´ on de onda que satisface la ecuaci onde Schrodinger, que a su vez puede ser reducida a la ecuación de Schrodinger esta-cionaria (19.2). Esta ecuación introduce el autovalor E que puede ser identicadacomo una cantidad de energıa. Para discutir soluciones a esta ecuaci´ on es conve-

niente dividir las regiones del espacio en zonas donde la energıa es mayor que elpotencial, y vice versa. M as concretamente, si estamos en una regi´ on del espaciodonde E > V (x), entonces escribimos:

φE (x) + k2(x)φE (x) = 0 , donde k2(x) = 2m

2 [E −V (x)] , (19.5)

37



V (x )

x

E 4

x r2x r1

Figure 11: La gura muestra la región que permite el movimiento para una partıculade energıa total E 4.

por otro lado, si estamos en una regi on del espacio donde E < V (x), entonces escribi-mos:

φE (x) −s2(x)φE (x) = 0 , donde s2(x) = 2m

2 [V (x) −E ] . (19.6)

Ahora bien, estas dos ecuaciones nos resultan familiares: La primera ecuaci´ on separece mucho a la ecuaci on de un oscilador arm onico, pero con la coordenada espacialx en lugar del tiempo t, y con una frecuencia k(x) que es una funcion de la variablex. La segunda ecuacion tambien, solo que tiene el signo opuesto al del oscilador.Estas identicaciones nos permiten aventurarnos a anticipar el tipo de soluciones quedeberıamos obtener al resolver estas ecuaciones. Para ser m´ as concretos, si k(x) fuerauna constante k, entonces la solucion es del tipo oscilante:

φE = A cos(kx) + B sin(kx). (19.7)

Esto quiere decir que para las regiones donde E > V (x), aunque k(x) no sea unaconstante, deberıamos esperar soluciones donde la funci´ on de onda oscile a lo largo

de la coordenada x. Mientras m as grande sea la diferencia entre E y V (x), mayorsera el valor de k(x), y por lo tanto habrán mas oscilaciones a lo largo del espacio. LaFigura 12 muestra una situaci´ on tıpica, en una región del espacio donde E > V (x). Esimportante notar que la longitud de onda en estas soluciones φE (x) es esencialmenteλ(x) = 2 π/k (x). Luego, la relacion de de Broglie nos permite dar un paso adicional,

38



V (x )

x

E

φE (x )

Figure 12: La gura muestra una situaci on tıpica, en una region del espacio dondeE > V (x). Es posible ver que la solucion de onda oscila mas mientras mayor es ladiferencia entre E y V (x).

y apreciar que a mayor energıa, mayor momento, y por lo tanto, menor longitudde onda (mas oscilaciones). Todos los conceptos empiezan a calzar de manera muyelegante!

Por otro lado, para las regiones donde E < V (x) tenemos que considerar laecuacion (19.6). En este caso, si s(x) fuera una constante s, entonces la solucioncorresponde a una combinación lineal de exponenciales:

φE = Aesx + Be− sx . (19.8)

Esto quiere decir que para las regiones donde E < V (x), aunque s(x) no sea unaconstante, deberıamos esperar soluciones donde la funci´ on de onda se comporte comola combinacion de exponenciales. Notemos que e− sx es una exponencial que decaehacia la derecha (o crece hacia la izquierda), mientras que esx es una exponencial

que decae hacia la izquierda (o crece hacia la derecha). En general decimos que enlas regiones donde E < V (x) las soluciones φE decaen. De este modo, mientras másgrande sea la diferencia entre E y V (x), mayor ser a el valor de s(x) y, por lo tanto,mayor ser a el decaimiento a lo largo del espacio. La Figura 13 muestra una situaci´ ontıpica, en una región del espacio donde E < V (x). Notemos que cuando E < V (x) los

39



V (x )

x

E

φE (x )

Figure 13: La gura muestra una situaci on tıpica, en una region del espacio dondeE < V (x). Es posible ver que la solucion de onda crece hacia la derecha debido a laexponencial esx , mientras que crece hacia la izquierda, debido a la exponencial e− sx .Estos crecimientos no pueden detenerse, a menos que entremos en una regi´ on dondeE > V (x).

crecimientos de la funci on de onda, hacia la derecha e izquierda, no pueden detenerse,

a menos que la curva entre en una regi´on donde E > V (x). Por ejemplo, la Figura 14muestra seis tipos de soluciones que sı son posibles (en azul) y dos que no lo son(en rojo). El punto a apreciar aquı es que una vez que una exponencial empiezaa crecer en cierta direcci on, la unica forma de que revierta esta tendencia es quepasemos de E < V (x) a E > V (x), en donde la solucion tendr a la posibilidad deempezar a oscilar. Para ganar experiencia con estos tipos de situaciones, veamosa continuaci on un par de ejemplos donde podemos leer el comportamiento de lassoluciones en forma cualitativa, sin tener que resolver en forma explıcita la ecuaci´ onde Schrodinger estacionaria. Estos ejemplos aclarar´ an la raz on por la cual decimosque las exponenciales corresponden a decaimientos.

19.2.1 Ejemplo 1

Partamos considerando el oscilador arm´ onico, que corresponde a un potencial V (x) =k e

2 x2, donde ke es la constante de elasticidad que caracteriza al potencial del oscilador.

40



x

no

no

sısısı

sısı

sı

Figure 14: La gura muestra seis tipos de soluciones (en azul) para regiones carac-terizadas por E < V (x). Tambien muestra en rojo, dos curvas que no pueden sersoluciones.

En este caso, para cierto valor E > 0, habr an tres regiones de interes (ver Figura 15).Una de ellas corresponde a la regi on central (regi on-II), donde E > ke

2 x2. Esta est adescrita por la ecuaci on (19.5) y podemos inferir que la solucion debe ser oscilante.Por otro lado, hay dos regiones (regiones I y III) donde E < ke

2 x2, las que estar an

descritas por la ecuaci on (19.6). En dichas regiones la solucion debe ser del tipoexponencial. El punto a apreciar es que en estas regiones no es posible que la funciónde onda tengan crecimientos en forma indenida. Es decir, para la regi´ on-III, lacomponente que crece hacia la derecha no puede estar presente, ya que la funci´ onde onda no serıa normalizable. Por lo tanto, la funci´ on de onda solo puede decaerhacia la derecha. El mismo argumento puede ser usado para concluir que la funci´ onde onda solo puede decaer hacia la izquierda. Dicho de otra forma, en la región-III lasolucion (19.8) debe tener A = 0, mientras que en la región-I la solucion (19.8) debetener B = 0.

Otro punto que debemos destacar es que la funci´ on de onda es distinta de cero enregiones que est an excluidas para una partıcula cl´ asica. Es decir, hay una probabilidadno nula de encontrar a la partıcula en aquellas regiones donde E < V (x). La partıculapuede penetrar la barrera de potencial. A dicho fen´ omeno se le conoce como efecto

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V (x )

x

E

φE (x )

I II III

Figure 15: La gura muestra una solución φE (x) tıpica para el oscilador arm´ onico.

t unel.

19.2.2 Ejemplo 2

Volvamos al ejemplo de la seccion anterior, donde discutimos el movimiento cl´ asico.En este caso tenemos un potencial con dos mınimos locales y, por lo tanto, tenemoscinco regiones relevantes (ver Figura 16). En las regiones I, III, y V las solucionesson del tipo exponencial, mientras que en las regiones II y IV las soluciones oscilan.Para que la funci on de onda sea normalizable, las soluciones deben ser tales queen I y V decaigan completamente (es decir, que en la región-I la solucion decaigahacia la izquierda y que en la regi on-V la solucion decaiga hacia la derecha). En laregion-III la situaci on es distinta. Aquı es posible tener una suma de los dos tipos decomportamientos (ver gura).

Nuevamente, debemos destacar que la partıcula puede ser encontrada dentro de laregion-III, que est a excluida clasicamente. Esto signica que la partıcula puede transi-

tar desde la regi on-II a la region-IV, donde es mucho m as probable de ser encontrada,a traves de la región-III gracias al efecto t unel.

42



representa al estado del sistema:

i d

dt |ψ(t) = ˆ

H|ψ(t) . (20.15)

Efectivamente, si proyectamos esta ecuaci´ on sobre la base de coordenadas x| (que esindependiente del tiempo), obtenemos:

i ∂ ∂t

ψ(x, t ) = x| 12m

P 2 + V ( X ) |ψ(t) . (20.16)

El lado derecho de esta ecuaci on puede ser desarrollado de la siguiente forma: Enprimer lugar, notemos que el primer termino del lado derecho puede ser escrito como

x| 12m

P 2|ψ(t) = 12m

x|P |φ(t) , (20.17)

donde hemos denido moment aneamente |φ(t) = P |ψ(t) . Sin embargo, recordemosque x|P |φ(t) = −i ∂ x x|φ(t) . Luego, tenemos que

x| 12m

P 2|ψ(t) = − i

2m∂ x x|P |ψ(t) . (20.18)

Repitiendo este paso una vez m´as, vemos que

x| 12m

P 2|ψ(t) = − 2

2m∂ 2x x|ψ(t) = −

2

2mψ (x, t ). (20.19)

Por otro lado, el segundo termino del lado derecho viene dado por:x|V ( X )|ψ(t) = x| V 0I + V 0 ( X −x0I ) +

12

V 0 ( X −x0I )2 + · · · |ψ(t) . (20.20)

Dado que x|X = x|x, es posible ver que:

x|V ( X )|ψ(t) = V 0 + V 0 (x −x0) + 12

V 0 (x −x0)2 + · · · x|ψ(t) = V (x)ψ(x, t ).

(20.21)Juntando todos estos resultados, nalmente obtenemos la ecuaci´ on de Schrodinger ensu version mas familiar:

i ∂ ∂t

ψ(x, t ) = − 2

2mψ (x, t ) + V (x)ψ(x, t ). (20.22)

Sin embargo, debemos reconocer que la ecuacion (20.15) constituye una version m´ asfundamental, independiente de la base de coordenadas.

46



20.4 Los autoestados del Hamiltoniano

El Hamiltoniano es un operador hermıtico, por lo que podemos considerar la ecuaci´ on

de autovectores: ˆH|E = E |E . (20.23)

Los kets |E corresponden a los autoestados del Hamiltoniano, y proveen de una baseortonormal:

E |E = δ E E . (20.24)

Expandamos |ψ(t) en esta base. Dado que los |E son independientes del tiempo,pero |ψ(t) sı depende del tiempo, debemos escribir la expansión de la siguientemanera

|ψ(t) =

E

f E (t)

|E , (20.25)

donde los f E (t) son coecientes que dependen del tiempo. Insertando esta relaci onen la ecuacion de Schrodinger (20.15), obtenemos:

i

E

˙f E (t)|E =E

Ef E (t)|E . (20.26)

Esto quiere decir que las funciones del tiempo f E (t) satisfacen la siguiente ecuaci ondiferencial:

i ˙f E (t) = Ef E (t). (20.27)

La solucion es f E (t) = C E e−

iEt/

, donde los C E son constantes de integración. Luego,|ψ(t) viene dado por:

|ψ(t) =E

C E |E e− iEt/ . (20.28)

Dado que |ψ(t) esta normalizado, deducimos que E |C E |2 = 1. M as aun, proyectandola ecuacion anterior sobre la base x|, vemos que

ψ(x, t ) =E

C E x|E e− iEt/ . (20.29)

Comparando esta ecuación con (17.2), descubrimos que

x

|E corresponde ni mas ni

menos que a las soluciones de la ecuacion de Schrodinger estacionaria:

φE (x) = x|E . (20.30)

47



Clase 21: El principio de incertidumbre

21.1 Valores de expectaci´ on

Supongamos que |ψ es el estado de un sistema (por ejemplo, una partıcula bajo la in-uencia de un potencial), para un cierto tiempo dado (que no es necesario especicar).Notemos que ψ|X |ψ nos entrega el valor de expectaci on x :

ψ|X |ψ = dx ψ|x x|X |ψ = dx ψ∗(x)xψ(x) = x . (21.1)

De igual forma, ψ|P |ψ nos entrega el valor de expectaci on p :

ψ

|P

|ψ =

dp ψ

| p p

|P

|ψ =

dp ψ∗( p) pψ( p) = p . (21.2)

Estos son solo ejemplos de un resultado m as general. Dado un operador A, podemoscalcular el valor de expectaci on asociado a A, el cual corresponde a:

A = ψ|A|ψ (21.3)

Antes de discutir el caso m as general, veamos el caso donde el operador en cuesti ones el Hamiltoniano H :

H = ψ| ˆH|ψ . (21.4)

Para empezar, recordemos que:

|ψ =E

C E |E e− iEt/ . (21.5)

Luego, el calculo explıcito de H arroja

H =E E

C ∗E C E E |H |E e− i (E − E )t/

=E E

C ∗E C E Eδ E E e− i(E − E )t/

=E

E

|C E

|2.

(21.6)

Este resultado refuerza nuestra sospecha de que P E = |C E |2 corresponde a la proba-bilidad de encontrar a la partıcula en un estado con energıa E .

48



Mas generalmente, si contamos con un operador hermıtico A, podemos escribir laecuacion de autoestados

A

|a = a

|a . (21.7)

La etiqueta a corresponde al autovalor real del operador A. Luego, podemos nor-malizar los estados |a de modo que

a |a = δ a a . (21.8)

Ahora podemos expandir |ψ(t) en la base |a :

|ψ(t) =a

C a (t)|a . (21.9)

Dado que |ψ(t) esta normalizado, vemos que necesariamente los coecientes C a (t)deben satisfacer:

a|C a (t)|2 = 1 . (21.10)

Mas aun, ahora vemos queA =

a

a|C a (t)|2. (21.11)

Esta ecuaci on sugiere que la cantidad P a ≡ |C a (t)|2 puede ser identicada comola probabilidad de encontrar a la partıcula en el estado |a , con autovalor a. Loscoecientes C a (t) vienen determinados por la propia ecuaci´on de Schrodinger. Es

decir, insertando la expansi´on (21.9) en (20.15) obtenemos

i

a

C a (t)|a =a

C a (t) ˆH|a . (21.12)

Luego, proyectando sobre a | obtenemos

C a (t) = 1i

a

H a a C a (t), (21.13)

donde H a a = a | ˆH|a . Notemos que esta es una ecuacion diferencial que tiene la

siguiente forma: ddt

C = H · C. (21.14)

Luego, para obtener los C a (t) debemos resolver esta ecuaci on junto con condicionesiniciales C a (t0).

49



21.2 La relaci´ on de incertidumbre de Heisenberg (nuevamente)

Ya estamos en condiciones de probar el principio de incertidumbre de Heisenberg

discutido en la Seccion 16.1. Para comenzar, notemos que la desigualdad de CauchySchwartz, en notaci´on de Dirac, tiene la forma:

φ|φ ξ |ξ ≥|φ|ξ |. (21.15)

Consideremos las siguientes deniciones:

P = P − p , X = X − x . (21.16)

Los operadores P y X son simplemente los operadores momento y posici on centradosen sus valores medios. De este modo, es posible ver que

P= 0 y

X= 0. Luego,

usemos en la desigualdad de Cauchy Schwartz las siguientes deniciones:

|φ ≡ X |ψ , |ξ ≡P |ψ , (21.17)

donde |ψ es el estado normalizado que describe al sistema. Luego, la desigualdadnos entrega:

ψ|X 2|ψ ψ|P 2|ψ ≥|ψ|XP|ψ |. (21.18)

Notemos que ψ|X 2|ψ y ψ|P 2|ψ son ni mas ni menos que las varianzas σx yσ p respectivamente. Luego, tenemos:

σx σ p ≥ |ψ|XP|ψ |. (21.19)

Ahora solo falta desarrollar el lado derecho de la desigualdad. Para ello, escribamos:

XP = 12

(XP−PX ) + 12

(XP + PX ). (21.20)

El primer termino del lado derecho es ni m´as ni menos que el conmutador entre X y

P . Es decir:

XP = 12

[X , P ] + 12

(XP + PX ). (21.21)

Sin embargo, es facil comprobar que [X , P ] = X, P . Luego, tenemos que

XP = 12

i + 12

(XP + PX ). (21.22)

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Clase 22: Los principios de la mecanica cuantica

Ya estamos en condiciones de establecer, de una vez por todas, los principios de la

mecanica cu antica.

22.1 Principio I: La existencia de un estado cuantico

Un sistema fısico esta descrito por un vector (o ket) |ψ(t) que depende del tiempo.A este vector lo denominamos estado . Por convenci on, dicho estado est a normalizadoa la unidad:

ψ(t)|ψ(t) = 1 . (22.1)

El estado describe todas las propiedades fısicas del sistema que son relevantes para

un observador.

22.2 Principio II: Ecuaci´ on de Schr¨ odinger

Mientras no se realicen observaciones, la evoluci on temporal del estado |ψ(t) estaregido por la ecuacion de Schrodinger:

i ddt |ψ(t) = ˆH|ψ(t) , (22.2)

donde ˆ

H es un operador hermıtico denominado Hamiltoniano.

22.3 Principio III: El Hamiltoniano

Para resolver la ecuaci´on de Schrondinger es necesario conocer la forma explıcita delHamiltoniano. Para el caso de una partıcula sometida a la inuencia de un potencial,este viene dado por:

ˆH= 12m

P 2 + V ( X ), (22.3)

donde P es el operador momento y X es el operador posicion. Estos cumplen la

relacion algebraica: X, P = i I . (22.4)

Los autovalores de X corresponden a las posibles posiciones en que la partıcula puedeser observada.

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22.4 Principio IV: Observables

Los observables son operadores lineales hermıticos. Los autovalores de estos oper-

adores constituyen las posibles mediciones hechas por un experimento dado. Dadoun observable A, la ecuacion de autoestados viene dada por

A|a = a|a , (22.5)

donde |a corresponde a un autoestado de A con autovalor a. Estos denen una baseortonormal que satisface a |a = δ a a , y que en consecuencia nos permite expandir elestado |ψ(t) de la forma:

|ψ(t) =a

ψa (t)|a , ψa (t) ≡ a|ψ(t) . (22.6)

Dado que ψ(t)|ψ(t) = 1, se verica que a |ψa (t)|2 = 1.

22.5 Principio V: Probabilidades

La probabilidad P a de medir un resultado a por un experimento dado, está dada por

P a = |ψa (t)|2 = ψ(t)|a a|ψ(t) . (22.7)

Naturalmente, la probabilidad de que un experimento mida cualquier resultado a

viene dada por a P a = 1.

22.6 Principio VI : Colapso de la funci´ on de onda

Supongamos que se realiza un experimento para medir un autovalor a asociado a unobservable A. Supongamos adem as que esta medici on se hace en tiempo t0. Antes ydespues de realizar la medición, el estado del sistema |ψ(t) evoluciona de acuerdo ala ecuacion de Schrodinger. Si la medicion arroja el resultado a, entonces en t = t0,la funcion de onda se reduce a:

|ψ(t0) =

|a . (22.8)

En otras palabras, el autoestado |a constituye la condici on inicial para el estado

|ψ(t) para tiempos posteriores a la medición t > t 0.

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Para continuar con la discusi´on, supongamos que las condiciones iniciales son talesque en t = 0 el sistema se encuentra en el estado base |E − . Luego, es posible verque necesariamente C + = 0, y

|C −

|2 = 1. Sin perdida de generalidad, podemos tomar

C − = 1 y la solucion estar a dada por:

|ψ(t) = e− iE − t/

|E − . (22.15)

Es decir, en la medida que el tiempo pasa, el sistema permanecer´ a en el estado base.Ahora viene la parte importante. Supongamos que pretendemos hacer una medici´ on

en tiempo t = t0 asociada al observable A. Esto quiere decir, que hemos dise nado unexperimento capaz de medir los autovalores de A. Los posibles resultados del experi-mento ser an a1 o a2. No podemos determinar con certeza cual autovalor mediremos,pero si podemos determinar la probabilidad de medir a1 o a2. De acuerdo al principioV, las probabilidades de medir a

1 o a

2 vienen determinadas por ψ

1(t)

≡ 1

|ψ(t) y

ψ2(t) ≡ 2|ψ(t) respectivamente, que en el presente ejemplo vienen dados por:

ψ1(t) ≡ 1|ψ(t) = e− iE − t/ 1|E − = 1√ 2e− iE − t/ 1, 0

1i

= 1√ 2e− iE − t/ , (22.16)

ψ2(t) ≡ 2|ψ(t) = e− iE − t/ 2|E − = 1√ 2e− iE − t/ 0, 1

1i

= i√ 2e− iE − t/ . (22.17)

De estos resultados, es directo ver que las probabilidades de medir a1 o a2 son:

P 1 = 12

, P 2 = 12

. (22.18)

Observen que estas probabilidades son independientes del tiempo. Luego, ambosresultados, a1 y a2, son igualmente probables. Cuando hagamos el experimento,mediremos a1 o a2. Supongamos a continuaci on que en tiempo t = t0 medimosa2. Luego, el sistema saltar a desde el estado en el cual se encontraba, previo a lamedicion, al nuevo estado |ψ(t0) = |2 . Como ya hemos dicho, lamentablemente losprincipios de la mecanica cuantica no nos revela c omo ocurre este salto. Sin embargo,el resultado de la medici on nos da la certeza de que en t = t0 el sistema est a en elestado |2 . Usando la ecuacion (22.12), evaluada en t = t0, podemos determinar losnuevos valores de C − y C + a partir de la medici on. En efecto, igualando |ψ(t0) y |2obtenemos:

C − e− iE − t 0 / |E − + C + e− iE + t 0 / |E + = |2 . (22.19)

Proyectando esta ecuaci´on sobre E − |, obtenemos

C − = E − |2 eiE − t 0 / = 1√ 2 1, −i

01

eiE − t 0 / = − i√ 2eiE − t 0 / . (22.20)

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Por otro lado, proyectando la ecuaci´ on sobre E + |, obtenemos

C + = E +

|2 eiE + t 0 / =

1

√ 21, + i

0

1eiE + t 0 / = +

i

√ 2eiE + t 0 / . (22.21)

Luego, a partir de t = t0, el estado del sistema viene dado por

|ψ(t) = − i√ 2e− iE − (t− t 0 )/

|E − + i√ 2e− iE + (t− t 0 )/

|E + , (22.22)

que puede ser escrito en forma m as explıcita como:

|ψ(t) = sin[α(t −t0)/ ]cos[α(t −t0)/ ]

e− iH 0 (t− t 0 )/ , t ≥ t0. (22.23)

Notemos que en t = t0 el estado efectivamente coincide con |2 . Es posible ver, sinembargo, que transcurrido en cierto tiempo, el sistema dejar´ a de estar en el estado

|2 . En particular, es posible ver que en t = t0 + π /α el estado coincidira con |1 .Para concluir, ahora nos podemos preguntar que pasa si en un tiempo t1 > t 0 nos pro-ponemos hacer una nueva medici´on asociada al observable A. Repitiendo los c alculosanteriores, es posible ver que las probabilidades de medir a1 y a2 respectivamentevienen dadas por

P 1 = sin 2 [α(t −t0)/ ] , P 2 = cos2 [α(t −t0)/ ] . (22.24)

Esta vez, las probabilidades dependen del tiempo, lo que se debe a las condicionesiniciales en t = t0. Es interesante notar que en t = t0 + π /α tenemos una certezaabsoluta de medir a1. Tambien podemos preguntarnos cu´ al es la probabilidad deobservar la energıa E + en un tiempo t > t 0. Esto queda propuesto como ejercicio.

22.8 Cantidades conservadas

Supongamos que tenemos un observable A que conmuta con el Hamiltoniano ˆH. Estoquiere decir que se cumple la siguiente relaci on:

[ A, H] = 0. (22.25)

Otra forma m as simple de escribir esto, es:

A ˆH= ˆH A. (22.26)

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Para apreciar la importancia de los observables que conmutan con el Hamiltoniano,consideremos la ecuacion de autoestados del observable A:

A|a = a|a (22.27)

Luego, si denimos, |φa ≡ ˆH|a , es directo ver que |φa tambien es un autoestado deA con autovalor a:

A|φa = a|φa . (22.28)

Este resultado es una consecuencia directa de (22.25). Supongamos ahora que ent = t0 hacemos una medici on a. Luego, el estado del sistema colapsa al autoestado

|a , y por lo tanto este corresponde a la condici´on inicial de |ψ(t) para t > t 0. Veamosque pasa una fracci on de tiempo (innitesimal) despues de realizar dicha medici´ on.La ecuacion de Schrodinger implica que el estado

|ψ(t

0 + ) evaluado en t = t

0 +

viene dado por

|ψ(t0 + ) = |ψ(t0) + i

ˆH|ψ(t0) . (22.29)

Sin embargo, recordemos que |ψ(t0) = |a . Luego podemos escribir la ecuacionanterior de la siguiente manera:

apunte de física moderna- gonzalo palma

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