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APLICACIONES DE LA DERIVADA EN OPTIMIZACION Juan Espinoza B. Profesor de Matemática

Facultad de Agronomía - Universidad de Concepción

INTRODUCCION Optimizar es un problema matemático con muchas aplicaciones en el “mundo real”.

Consiste en encontrar los máximos o mínimos de una función de una o varias variables, con

valores en una determinada región del espacio multidimensional.

En casi todas las situaciones de la vida cotidiana se requiere “optimizar algo”. En

efecto, los responsables por la toma de decisiones en los más variados campos de la

actividad humana se enfrentan, cotidianamente, con ese tipo de necesidad.

Son considerables las aplicaciones en el área de optimización, entre otras

mencionamos las siguientes: Lanzamiento de satélites, diseño de circuitos eléctricos,

control de producción, inventarios y asignación óptima de recurso en la teoría moderna de

finanzas.

Muchas veces, la clase de problema, la demanda de resultados precisos o la propia

curiosidad permiten formalizar variables, restricciones y objetivos, de tal forma que surge

la naturaleza matemática del problema.

En este artículo sólo se considerará, el caso de una función con una variable.

FUNDAMENTOS TEORICOS

A continuación se dan algunas definiciones y se enuncian algunos teoremas, sin

demostración.

DEFINICIÓN DE EXTREMOS

Sea f una función definida en un intervalo I que contiene a c.

( )cf es el mínimo de f en I si ( ) ( ) Ix xfcf

( )cf es el máximo de f en I si ( ) ( ) Ix xfcf

El máximo y el mínimo de una función en un intervalo, se llaman valores extremos

o extremos de la función en ese intervalo.

DEFINICIÓN DE VALOR CRITICO Diremos que 0x es un valor crítico de f si y sólo si 0)x´(f 0 = , o bien, si la

derivada no existe en 0x .

Los máximos o mínimos de una función que ocurren en un valor crítico, se llaman

máximo y mínimos relativos de la función.

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TEOREMA 1: Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene un

máximo y también un mínimo en ese intervalo. El máximo y el mínimo de una función

en un intervalo cerrado, se llaman máximo y mínimos absolutos. PROCEDIMIENTO PARA IDENTIFICAR LOS PUNTOS MÁXIMOS Y MINIMOS ABSOLUTOS

Si se tiene la función continua f definida en el intervalo cerrado [a, b]. Para hallar

los máximos y mínimos absolutos de f.

1º) Localice todos los valores críticos de f que se hallen dentro del intervalo [a, b]. Es

decir, se deben encontrar los valores de x0 en el intervalo [a, b], tal que 0)x´(f 0 = ,

o bien donde, )x´(f 0 no exista.

2º) Calcule ( )af , ( )bf y ( )0xf para todos los valores críticos x0 ∈ [a, b]. Compare

estos valores de f. El máximo absoluto es el mayor de estos valores y el mínimo absoluto es el menor de ellos. Puede ocurrir entonces, que un máximo (o

mínimo) absoluto coincida con un máximo (o mínimo) relativo de una función.

Con el siguiente ejemplo, se ilustra el procedimiento para determinar los puntos

máximos y mínimos absolutos de una función.

Consideremos la función continua ( ) 5x62

2x7

3

3xxf - ++= en el intervalo 10x2 .

1º) Al calcular la primera derivada e igualar a cero, se obtiene

( ) ( )( )1x6x6x72xx,f --- =+= , ( ) 1x 6x 0x,f 000 ===

El único valor crítico dentro del intervalo [2, 10] es x0 = 6

2º) Los valores de f(x) en los puntos extremos del intervalo son:

( )( )

( ) ( )( )

( )31

32 485106

2

2107

3

31010fy 5526

2

227

3

322f -- =++==++=

Evaluando f en x0 = 6, se obtiene ( )( )

( ) 135662

267

3

366f -- =++= .

Al comparar ( ) ( ) ( )10fy 6f,2f , se observa que el mínimo absoluto es el punto

(6,-13) y que el máximo absoluto es el punto )3

148 ,10( .

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TEOREMA 2: CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA.

Sea 0x un valor crítico de una función f continua en un intervalo abierto I, que

contiene 0x . Si f es derivable en el intervalo, excepto quizá en 0x , Entonces

)x(f 0 puede clasificarse como sigue:

1. Si ,f cambia de negativa a positiva en I, )x(f ,x( 00 ) es un Mínimo Relativo de f.

2. Si ,f cambia de positiva a negativa en I, )x(f,x( 00 ) es un Máximo Relativo de f.

3. Si ,f no cambia de signo en I, )x(f,x( 00 ), no es ni Mínimo ni Máximo Relativo.

a b x0

f ’(x)<0

f ’(x) >0

Figura 2: La derivada cambia de

(-) a (+), f tiene un mínimo

relativo en x0

a b x0

f ’(x)<0

f ’(x) >0

Figura 3: La derivada cambia de

(+) a (-), f tiene un máximo

relativo en x0

y

x 2 10 0

(6, -13)

Mínimo Absoluto

(10, 483

1 )

Máximo absoluto

Figura 1. El máximo y el mínimo absoluto de

( ) 5x62

2x7

3

3xxf - ++= , en el intervalo [2, 10] .

20

TEOREMA 3: EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Suponga que 0x es un valor crítico de f , es decir, 0)x(,f 0 = , o bien )x(,f 0 no

existe.

Si 0 )x(,,f 0 > entonces f tiene un Mínimo Relativo en 0xx = .

Si 0 )x(,,f 0 < entonces f tiene un Máximo Relativo en 0xx = .

Sin embargo, si 0 )x(,,f 0 = , el criterio no concluye nada y f puede tener un

máximo relativo, o un mínimo relativo, o no tener ningún extremo relativo en 0xx = .

Esto se ejemplifica a continuación.

La función, 4x)x(f = , satisface f’(0) = 0 y f’’ (0) = 0. Sin embargo, f (x) presenta

un mínimo relativo en x = 0 (figura 4a).

Igualmente, la función 4x)x(g -= , satisface g’(0) =0 y g ’’ (0) = 0. Sin embargo,

g (x) presenta un máximo relativo en x = 0 (figura 4b).

También, la función, 3x)x(h = , satisface h’ (0) = 0 y h ’’ (0) = 0, pero h (x) es

creciente en todo el eje real y no presenta extremo relativo en x = 0 (figura 4c).

El un criterio de la enésima derivada permite clasificar estos casos.

x

y

0

x

y

0

y

x 0

Figura 4a. 4x)x(f = Figura 4b. 4x)x(g -= Figura 4c. 3x)x(h =

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TEOREMA 4: PRUEBA DE LA DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR

Como el criterio de la segunda derivada no siempre es concluyente, en ocasiones se

debe aplicar la prueba o criterio de la derivada de orden superior, con el cual siempre se

conseguirán resultados.

1) Si f tiene un valor crítico en 0x , determine la derivada de más bajo orden cuyo

valor no sea cero en 0x . Denote esta derivada como ( )( )xnf donde n es su orden.

2) Si el orden n de esta derivada es par, ( )0xf será un Máximo relativo cuando

( )( ) 0xnf 0 < y un Mínimo relativo cuando ( )( ) 00 >xn

f .

3) Si el orden n de la derivada es impar, el punto crítico será un Punto de inflexión.

Un punto de inflexión es donde cambia la concavidad de una función, por ejemplo

(0, 0) es un punto de inflexión de h(x) = x3 (Ver figura 4c).

PASOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PASO 1: Hacer un dibujo cuando sea apropiado.

PASO 2: Asignar una letra a cada una de las cantidades mencionadas en el problema.

PASO 3: Seleccionar la cantidad que se debe maximizar o minimizar y expresarla en

función de las otras cantidades.

PASO 4: Usar la información del problema para eliminar todas las cantidades, excepto

una, de modo que tengamos una función de una variable. Determinar el

dominio posible de esta función.

PASO 5: Utilizar los métodos para encontrar el máximo o el mínimo.

Se ilustra el procedimiento anterior con algunos ejemplos.

22

EJEMPLO 1:

Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un río recto de

300 metros de ancho. El punto D está a 600 metros de B y en su misma orilla. (figura 5).

Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costo por metro de

cable es el 25% mas caro bajo el agua que por tierra. ¿Cómo se debe tender el cable, para

que el costo total sea mínimo?.

Solución

Sea Q el punto sobre la misma orilla y a una distancia x de B donde termina el tramo

de cable bajo el agua.

Se puede definir ahora las constantes y variables del problema:

x: distancia de B a Q; 600x0

y: distancia de A a Q; (longitud de cable bajo el agua).

600 – x: distancia de Q a D; (longitud de cable por tierra).

p (constante): costo por metro de cable por tierra.

p45 (constante): costo por metro de cable por agua.

C : costo total (función a minimizar).

De acuerdo al teorema de Pitágoras, 300xy 2 += (1)

Ahora, la función costo total viene dada por:

Figura 5. Trazado del cable telefónico desde A hasta D.

22 300x +

23

( ) )x600(pypC45 −+= (2)

Sustituyendo (1) en (2), la función costo total puede escribirse en términos solamente de la

variable x así:

( ) )x600(p300xp)x(C 2245 −++= ; con 600x0 ≤≤ (dominio de C (x)).

)x600(p)300x(p)x(C 2122

45 −++= (3)

Como C (x) es una función continua en un intervalo cerrado, C (x) alcanza un valor

máximo y un valor mínimo en [0, 600] (Teorema 1).

Al derivar en (3) e igualar a cero, se obtienen los valores críticos:

0p)300x)(x2(p)x(C 2122

21

45' =−+⋅= −

Factorizando y simplificando se obtiene 01)300x(4

x5p

2122

=

−

+

030001)300x(4

x5 222 2

1=+=

−

+⇒⇒ 2

x4-5x

x53002 =+⇒ 2x4 , de aquí se obtiene x = 400.

Entonces x = 400 es el único valor crítico y de acuerdo al criterio de la segunda derivada,

corresponde a un mínimo relativo (verifíquelo). En consecuencia, el mínimo absoluto es el

menor entre los siguientes valores:

C (0), C (400) y C (600).

p975p600300p)0(C 245 =+= . Esto significa geométricamente, que el cable se tira

desde A hasta B bajo el agua y desde B hasta D por tierra, implicando un gasto de 975 p

pesos. (figura 6a)

p5,838p5375300600p)600(C 2245 =+= . Esto indica geométricamente, que el

punto Q coincide con D, y en este caso el cable se tiende directamente desde A hasta D por

agua, demandando un gasto total de p5,838p5375 pesos.. (figura 6b).

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Figura 7. Un rayo de luz se refracta (se desvía de su trayectoria)

cuando pasa de un medio a otro. θ1 es el ángulo de incidencia y θ2

es el ángulo de refracción.

p825p200300400p)400(C 2245 =++= . Esto significa que si el punto Q está a

400 metros de B y se tiende el cable bajo el agua desde A hasta Q y por tierra desde Q hasta

D, demandaría un gasto de 825p pesos, este es el costo mínimo, para la compañía (figura

6c).

EJEMPLO 2. Principio de Fermat y ley de Snell. La velocidad de la luz depende del medio en el

que viaja, y en general es más lenta en los medios más densos. En el vacío, la luz viaja a

c =3 x 108 m/s, pero en la atmósfera de la Tierra va más lenta, y en el vidrio aún más.

El principio de Fermat establece que para ir de un punto a otro la luz sigue aquella

trayectoria para el cual el tiempo de viaje es mínimo. Hallemos la trayectoria que

sigue un rayo de luz que va de un punto A en un medio en el que la velocidad de la luz es

c1, a otro punto B en otro medio en el que la velocidad es c2.

Figura 6.a Figura 6.b Figura 6.c

Y ángulo de

A incidencia Medio 1

a θ1 θ1

P

x d X

O ángulo de

θ2 refracción

Medio 2 b B

d - x

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Solución

Suponemos que los dos puntos están en un plano xy y que el eje x separa los dos

medios, como se observa en la figura 7 . En cada uno de los medios, la velocidad de la luz

permanece constante, y “tiempo más corto” significa “trayectoria más corta”, por lo que el

rayo de luz seguirá una recta. Entonces, la trayectoria de A a B consistirá en un segmento

de recta desde A a un punto de la frontera P, seguido de otro segmento de recta desde P

hasta B.

Así x = OP , 0 ≤ x ≤ d, AP = 22 da + , PB = 22 )x-d(b +

De acuerdo a la fórmula: velocidad

ciatandistiempo = .

El tiempo requerido por la luz para viajar de A a P será 1

22

11 c

xa

c

APt

+== .

De P a B, el tiempo será 2

22

22 c

)x-d(b

c

PBt

+== .

Se trata de minimizar 2

22

1

22

21 c

)x-d(b

c

xatt)x(T

++

+=+= (4)

Derivando (4), se encuentra que

22

222

1 )xd(bc

)xd(

xac

x

dx

dT --++

= (5)

o bien, si usamos los ángulos θ1 y θ2 de la figura 7. 2

2

1

1c

θsen

c

θsen

dx

dT -= . (6)

En el intervalo 0 ≤ x ≤ d, T(x) tiene derivada negativa en x = 0 y positiva en x = d (Ver

figura 8), luego dT/dx se anula para algún valor x, digamos en xc, donde

2

2

1

1c

θsen

c

θsen= (7)

26

0 x

xc d

T

Figura 8

En la figura 8, se indican las direcciones de las tangentes a la curva, considerando T como

función de x, en esos tres puntos x = 0, x = xc y x = d, y de acuerdo al criterio de la

primera derivada T tendrá un mínimo en x = xc, de manera que:

>

=

<

=

c

c

c

2

2

1

1

xxpara positiva es

,xxpara cero es

,xxpara negativa es

c

θsen

c

θsen

dx

dT -

En lugar de determinar explícitamente xc, suele caracterizarse la trayectoria seguida

por el rayo de luz dejando la ecuación para dT/dx =0, en la forma (7), que es la conocida

ley de refracción o ley de Snell.

PROBLEMAS 1. Un hombre tiene un muro de piedra al costado de un terreno. Dispone de 1200 m.

de material para cercar y desea hacer un corral rectangular, utilizando el muro como uno de

sus costados. ¿Qué dimensiones debe tener el corral para que encierre la mayor área

posible? Respuesta: 300 m x 600 m

2. Un cultivador de agrios de Florida estima que si se plantan 60 naranjos, la

producción media por árbol será de 400 naranjas. La producción media decrecerá en 4

naranjas por árbol adicional plantado en la misma extensión. ¿Cuántos árboles debería

plantar un cultivador para maximizar la producción total? Respuesta: 20 árboles más.

3. Una caja con base cuadrada debe tener un volumen de 250 m

3. El material para la

base y la tapa cuesta 2 dólares por m2 y el material para los costados cuesta 1 dólar por m

2.

Hallar las dimensiones de la caja que tenga un costo mínimo. Respuesta: 5 x 5 x 10 m.

4. Un alambre de 60 cm. de largo se va a cortar en dos pedazos. Uno de los pedazos

se doblará para formar un círculo y el otro se usará para formar un triángulo equilátero.

¿Dónde debe cortarse el alambre para que la suma de las áreas de las dos figuras sea:

a) máxima, b) mínima?

Respuesta: a) se ocupa todo el alambre para el círculo.

b) 22,61 cm. para el círculo.

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5. Una carretera que corre de norte a sur y otra que corre de este a oeste se intersecan

en un punto P. Un ciclista que se dirige al este con una velocidad de 20 Km./h pasa por

P a las 10:00 AM. En el mismo momento otro ciclista que viaja hacia el sur a una

velocidad de 50 Km./h se encuentra dos Km. al norte de P.

Calcular cuando se encuentran los dos ciclistas más cerca uno del otro y encuentre

un valor aproximado de la distancia mínima entre ellos.

Respuesta: Al cabo de 2,07 minutos, la distancia entre los ciclistas es de 0,74 Km.

6. Dos pasillos de 6 y 9 pies de ancho están unidos en ángulo recto (Ver figura 9).

Encuentre la longitud de la barra recta mas larga que puede pasarse horizontalmente de un

pasillo a otro por una esquina. Respuesta: 23

32

32

)23(3 + pies.

BIBLIOGRAFIA [1] Cálculo Aplicado, L. D. Hoffmann / G. L. Bradley, Editorial Mc GRaw-Hill 2002.

[2] Cálculo con Geometría Analítica, Protter Murray, Editorial Addison Wesley

Iberoamericana 1994. [3] Cálculo, Larson / Hostetler/ Edwards, Edit Mc GRaw-Hill 2002.

[4] Cálculo, Earl Swokowski, Editorial Mc GRaw-Hill. 1998.

[5] Cálculo, Thomas/ Finney, Editorial Mc GRaw-Hill. 2000.

[6] El cálculo, Louis Leithold, Editorial El Harla. 2001.

[7] En Internet http://www.udec.cl/~juanpesp.

Figura 9. Ejercicio 6

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Un hombre tiene un muro de piedra al costado de un terreno. Dispone de 1200 m.

de material para cercar y desea hacer un corral rectangular, utilizando el muro como uno de

sus costados. ¿Qué dimensiones debe tener el corral para que encierre la mayor área

posible?

SOLUCION:

1200 – 2x

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

Sea A el área y x el ancho, luego el largo es 1200 – 2x, porque se dispone de 1200 de

material.

AREA= A = A (x) = x (1200 – 2x) = 1200 x – 2x2

Observar que 0 < x < 600 ¿Por qué?

Un cultivador de agrios de Florida estima que si se plantan 60 naranjos, la producción

media por árbol será de 400 naranjas. La producción media decrecerá en 4 naranjas por

árbol adicional plantado en la misma extensión. ¿Cuántos árboles debería plantar un

cultivador para maximizar la producción total?

SOLUCIÓN:

1º) Debemos hallar una función para la producción total.

Sea x el número de árboles adicionales que se plantarán.

Producción total = Nº de árboles x producción media

x x

MURO

Debemos maximizar el área, considerando que uno

de los costados ya está cerrado.

29

P (x) = (60 + x) · (400 – 4x) = 24.000 + 160 x – 4 x2

2º) Una vez hallada la función se deben indicar las restricciones, si existen, en este caso x

debe ser un entero positivo.

3º) Derivamos e igualamos a cero para hallar los valores críticos

P` (x) = 160 – 8 x = 0 Ψ 8 x = 160 Ψ x = 20

4º) Aplicamos el criterio de la segunda derivada para asegurarnos que el valor hallado sea

un máximo relativo.

P" (x) = - 8 x Ψ P" (20) = - 160 < 0

∴ x = 20 es máximo

La producción total máxima es:

P (20) = 24.000 + 160.20 – 4.202 = 25.600 naranjas

NOTA: Resuelva el ejercicio sin usar derivadas, use sus conocimientos acerca de las

funciones cuadráticas.

La derivada nos da

A’ (x) = 1200 – 4 x

Y se anula para x = 300

Calculamos la segunda derivada A” (x) = - 4

Así tenemos un máximo relativo en x = 300

Observar que también es el máximo absoluto

Respuesta el terreno debe tener 300 metros de ancho por 600 metros de largo.

30

EJEMPLO 2: Una caja con base cuadrada debe tener un volumen de 250 m3. El material

para la base y la tapa cuesta 2 dólares por m2 y el material para los costados cuesta 1 dólar

por m2. Hallar las dimensiones de la caja que tenga un costo mínimo.

SOLUCIÓN: Sea x la longitud de la base (x > 0)

Sea y la altura de la caja (y > 0)

El volumen es x2y = 250 Ψ y = 250

x2

El área de la base y la tapa es 2x2

El área de las cuatro caras laterales es 4xy = 4 (250) = 1000

x2

x2

El costo c, depende de la longitud de la base

c = c (x) = 2 (2x2) + 1 · (1000) = 4x

2 + 1000

x2

x2

Derivamos e igualamos a cero

EJEMPLO: max. y min.

Un alambre de 60 cm. de largo se va a cortar en dos pedazos. Uno de los pedazos se

doblará para formar un ⊗ y el otro se usará para formar un ∆ equilátero. ¿Dónde debe

cortarse el alambre para que la suma de las áreas de las dos figuras sea:

a) Máxima:

b) Mínima?

SOLUCIÓN:

x el perímetro del círculo ⇒ x = 2 r

r = x

2 60 – x el perímetro del ∆ equilátero de lado a

⇒ 3 a = 60 – x

a = 60 – x

3

31

La suma de las áreas es:

Min. ∴ en x = 22,61 se tiene un mínimo, el área mínima es A (22,61) = 107,94

Max. Si x = 60 todo el alambre se ocupa para el circulo A = 268,48

Si x = 0 todo el alambre se ocupa para el ∆ A = 173,21

MÁXIMOS Y MINIMOS

Una carretera que corre de norte a sur y otra que corre de este a oeste se intersecan en un

punto P. Un ciclista que se dirige al este con una velocidad de 20 Km./h pasa por P a las

10:00 AM. En el mismo momento otro ciclista que viaja hacia el sur a una velocidad de

50 Km./h se encuentra dos Km. al norte de P.

Calcular cuando se encuentran los dos ciclistas más cerca uno del otro y encuentre un valor

aproximado de la distancia mínima entre ellos.

SOLUCION:

v = d d = v · t t horas t 0

t

Hacemos f (t) = d2 = 4 – 200 t + 2900 t2

f’ (t) = -200 + 5800 t f’ (t) = 0

t = 200 = 1 horas ⇒ 1 · 60 = 60:29= 2,07 min.

5800 29 29 200

f’’ (t) = 5800

Así f’’ ( 1 ) = 5800 > 0 ∴·

29

32

f (0) = 4

f (1/29) ≈ 0,55 ∴ 1 hr ≈ 2,07 minutos se tiene un mínimo

29

La distancia mínima es:

f (1/29) = 0,55 = 0,74 km

33

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE DERIVADAS

A) MÁXIMOS Y MINIMOS

EJEMPLOS:

1) Encontrar las dimensiones del rectángulo con área máxima que tenga perímetro de 200

p.

SOLUCIÓN:

Para resolver este tipo de problemas se debe hallar una función que represente los datos del

problema.

En este caso