APROXIMACIN POR MNIMOS CUADRADOS

MTODO DE LOS MNIMOS CUADRADOS

El trmino mnimos cuadrados describe un enfoque frecuentemente usado para resolver sistemas de ecuaciones sobre determinados o especificados inexactamente en algn sentido apropiado. En lugar de resolver las ecuaciones exactamente, se busca solamente minimizar la suma de los cuadrados de los residuales. Muchos de los problemas que aparecen en las ciencias y en las aplicaciones se pueden reducir a la solucin de un problema de mnimos cuadrados, o bien contienen subproblemas de mnimos cuadrados. Asimismo, en la actualidad los mtodos de mnimos cuadrados son de fundamental importancia en la teora y solucin de los problemas inversos as como de los problemas mal planteados. Estos problemas usualmente no tienen solucin o bien la solucin no es nica y, en el mejor de los casos, la solucin no es continua respecto de los datos. En una gran cantidad de estos problemas es necesario regularizar el problema para encontrar una solucin. En este documento abordaremos el problema de mnimos cuadrados lineales, estudiaremos el problema desde el enfoque de proyecciones ortogonales, presentaremos el mtodo de solucin factorizacin QR.

Ajuste de curvas. Mnimos cuadrados lineales Una fuente comn que da origen a problemas de mnimos cuadrados es el ajuste de curvas a un conjunto de datos dados. Sea x una variable independiente y sea y(x) una funcin desconocida de x la cual queremos aproximar. Suponiendo que tenemos m observaciones.

Donde yi y (xi), i = 1, 2,..., m, la idea es modelar y(x) por medio de una combinacin de n funciones base 1(x), 2(x),..., n(x). En el caso lineal suponemos que la funcin que se ajusta a los datos es una combinacin lineal de la forma:

Entonces, los datos deben satisfacer de manera aproximada

La ultima expresin constituye un sistema de m ecuaciones con n incgnitas c1, c2,..., cn. En el ajuste de curvas el nmero de funciones base n es generalmente menor que el nmero de datos m, es decir, m > n. En forma matricial la condicin puede expresarse de la siguiente forma:

A la matriz de este sistema A = (aij) con aij = j (xi) se le denomina matriz de diseo .El enfoque de mnimos cuadrados consiste en buscar aquel vector de coeficientes c que minimice el residual r = yA c. Es decir, para encontrar el ajuste de mnimos cuadrados debemos encontrar el vector de coeficientes c = (c1,..., cn)T que minimiza la suma de cuadrados.

BIBLIOGRAFIA:http://sgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/hect/material_didactico/notas-ALN-MinCuad-Opt.pdf