CÁLCULO INTEGRALTrabajo Colaborativo Fase 1

Grupo: 100411_4

TUTOR:DIEGO FERNANDO SENDOYA LOSADA

Ingeniero Electrónico

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

INTRODUCCIÓN

En este trabajo colaborativo encontraremos las referencias estudiadas en la fase

uno del curso cálculo integral, abarcando temas tales como anti derivadas,

propiedades de las integrales, integrales indefinidas y teoremas, a los cuales

trataremos de dar explicación por medio de la solución de los problemas

planteados con respecto a los tema antes mencionados.

OBJETIVO GENERAL

Comprender e interiorizar en cada uno de los ejercicios de la primera fase del

curso cálculo Integral, para poderlos aplicar en diferentes escenarios del saber,

utilizando las teorías y definiciones que se soportan en el curso académico.

Además de trabajar en grupo colaborativo para socializar y compartir

conocimientos.

PROBLEMAS

La anti derivada de una función f (x) es otra función g(x) cuya derivada es f(x). En algunos textos la anti derivada de f recibe el nombre de integral indefinida de f. La anti diferenciación es el proceso inverso a la diferenciación.

Hallar la solución de las siguientes integrales paso a paso, teniendo en cuenta las propiedades de las integrales indefinidas, las cuales son consecuencia de las aplicadas en la diferenciación.

1. ∫ x5+3x−2x3

dx=¿

Aplicar la regla de la suma:

¿ ∫ x5

x3dx+ ∫ 3 x

x3dx−∫ 2

x3dx

¿ x3

3+ 3x−(−1x2 )

Simplificar

¿ x3

3+ 1x2

−3x

Agregar una constante a la solución:

¿ x3

3+ 1x2

−3x+C

2. ∫ ( sen ( x )+3 se c2 ( x ) )dx=¿

Aplicar la regla de la suma:

¿ ∫ sen(x )dx+ ∫ 3 se c2 ( x )dx

¿−cos ( x )+3 tan ( x )

Agregar una constante a la solución

¿3 tan (x)– cos (x)+C

3. ∫ √ t−t+t3

3√ tdt=¿

Aplicar la regla de la suma:

∫ √ t3√ tdt−∫ t

3√tdt+∫ t3

3√ tdt

¿ 6 t76

7 −3 t

53

5 +3 t

113

11

¿6 t

76

7 −3 t

53

5 +3 t

113

11 +C

4. ∫ tan3 ( x )dx

tan3 ( x )=tan2 (x ) tan (x)

¿∫ tan2 ( x ) tan (x )dx

Usar la siguiente identidad:tan2 ( x )=−1+sec2(x)

¿∫ (−1+sec2 ( x ) ) tan ( x )dx

Aplicar integración por sustitución

Sec ( x )=u :dx= 1tan ( x ) sec ( x )

du

¿∫ (−1+u2 ) tan ( x ) 1tan ( x ) u

du

¿∫ u2−1udu

Simplificar

¿∫u−1u du

Aplicar la regla de la suma

¿∫udu−∫ 1u du

¿∫ u2

2−ln (u )

Sustituir en la ecuación u=sec (x )

¿sec2(x )2

− ln (sec ( x ) )

Simplificar

¿ sec2(x )2

−ln( 1cos ( x ) )+C

El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se llama integral indefinida de f respecto a x, y se denota por el símbolo ∫ f ( x )dx=F ( x)+C Resolver las siguientes integrales indefinidas:

5.∫ x2

1+x6dx

Aplicar integración por sustitución: u=x3 : u=3x2dx , dx=13 x2

du

¿∫ x2

1+x613 x2

du

¿∫ 13x6+3

du

u=x3

¿∫ 13u2+3

du

Factorizamos: ∫ 13u2+3

¿∫ 13(u¿¿2+1)du

¿

Sacamos la constante:

¿ 13∫

1u2+1

du

Aplicamos la regla de integración: ∫ 1u2+1

du=arctan (u)

¿ 13arctan (u)

Sustituimos la ecuación: u=x3

¿ 13arctan (x3)

Simplificamos

¿arctan (x3)

3

Agregamos una constante a la solución

¿arctan (x3)

3+C

6.∫ [e¿¿ x−( 5√1−x2

)¿+2 sen( x)]dx=¿¿¿

Aplicamos la regla de la suma:

¿∫ex dx−∫ 5√1−x2

+2 sen (x)dx

¿ex− (5arcsen (x )−2cos (x ) )

Simplificamos

¿ex−5 arcsen ( x )−2cos (x )

Agregamos una constante a la solución

¿ex−5 arcsen ( x )−2cos (x )+C

7.∫ cos4 ( x ) ∙ Sen ( x )dx

Aplicamos la integración por sustitución:

u=cos ( x ): du=−sen ( x )dx ,dx=( −1sen (x) )du

¿∫u4 sen(x )( −1sen (x))du

¿∫−u4du

Sacamos la constante:

¿−∫u4du

Aplicamos la regla de la potencia:

¿− u4+1

4+1

Sustituimos en la ecuación: u=cos ( x )

¿−cos4+1(x)4+1

Simplificamos

¿−cos5(x)5

Agregamos una constante a la solución

¿− cos5 ( x )5

+C

8.∫ cos3 (t )+1

cos2(t)dt

Aplicamos la regla de la suma:

∫ cos3 ( t )+1

cos2( t)dt+∫ 1

cos2( t)dt

¿ sen (t )+ tan(t )

Agregamos una constante a la solución:

¿ sen (t )+ tan (t )+C

Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación lógica o matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre las hipótesis y la tesis o conclusión.

9. Encuentre el valor promedio de g( x )=x2 √1+x3 en el intervalo [0, 2].

gavg ( x )=12∫02

x2√1+x3dx

Sustituimos y derivamos

u=1+ x3

du=3 x2dx

Reemplazamos

gavg ( x )=12∫02

x2√u du3 x2

Simplificamos

gavg (u )=16∫02

√u du

Al dar la solución obtenemos:

gavg (u )=16u32

32 | 2¿0

Donde u=1+ x3

Obtenemos la siguiente solución:

gavg ( x )=19

(1+x3 )32| 2¿0

=19

[ (1+23 )32−(1+0 )

32 ]=29

6

10. Halle el valor medio de la función g ( x )=2 x−2x2 en el intervalo [0,1 ]

Utilizamos la ecuación de valor promedio:

gavg ( x )= 1b−a∫a

b

g( x)dx

Reemplazamos:

g ( x )=2 x−2x2

En el intervalo [0,1 ] reemplazando la ecuación anterior:

gavg ( x )=11∫01

2x−2x2dx

Resolvemos:

gavg ( x )=∫0

1

2 x−2x2dx=(2 x22 −2 x3

3 )| 1¿0Al reemplazar los valores extremos obtenemos el valor promedio así:

gavg ( x )=(2 x22 −2 x3

3 )| 1¿0=1−23=13

11. Sea H ( x )=∫

1

x2

(2t−4 ) dt Hallar H’(x).

Aplicamos la regla de la cadena:

U=x ²

Primer teorema fundamental del cálculo:

H (x )= ddu

¿

¿(2u – 4)(2 x)

¿(2x ²−4)(2 x)

¿4 x ³−8 x

12. Aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo para resolver

∫0

π4

sen3 (2x ) cos (2 x )dx.

f ( x )=∫0

π4

sen3 (2 x ) cos (2 x )dx

Segundo teorema fundamental del cálculo:

∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F (a)

Solucionamos:

f ( x )=∫0

π4

sen3 (2 x ) cos (2 x )dx

u=sen (2 x )

du=2cos (2x )dx

f ( x )=∫0

π4

u3cos (2x ) du2cos (2 x )

=∫0

π4u3

2du

f ( x )=(u4

8 )|π /4¿0=sen4 (2x )8 |π /4

¿0=sen (2 π4 )8

=sen ( π2 )8

=18

CONCLUSIONES

Identificamos los principios del cálculo integral para asimilar la teoría de las

integrales.

Se aplicaron los diferentes métodos de integración.

Se comprendió el concepto de integral definida e indefinida.

Interpretamos diferentes teorías, definiciones y teoremas del cálculo integral

para poder comprender en diversos escenarios, la mejor manera de

utilizarlos.

A través de la anterior actividad se lograron adquirir nuevas habilidades,

destrezas y conocimiento que fortalecen el proceso de aprendizaje.

BIBLIOGRAFÍA

Bonnet, J. (2003). Cálculo Infinitesimal: Esquemas teóricos para estudiantes de ingeniería y ciencias experimentales. Recuperado de http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral- 100411_version_AVA/Calculo_Infinitesimal.pdf

Instituto ISIV. (1 de diciembre de 2010). Integrales Indefinidas: Definición - Matemáticas II. [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=tB0NQate3wE

Ríos, J. (20 de agosto de 2011). Ejercicio de integral indefinida. [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=6Yer--EF1EY

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Ríos, J. (29 de julio de 2012). Teorema Fundamental del Cálculo. [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=SCKpUCax5ss

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