aplicacions de la derivada : gràfiques de funcions i problemes d'optimització. m'ònica...
TRANSCRIPT
APLICACIONS DE LA
DERIVADA
Per Mònica Orpí i Mañé
APLICACIONS DE LA DERIVADA
GRÀFICA DE FUNCIONS
PROBLEMES D’OPTAMITZACIÓ
REGLA DE L’HÔPITAL
LES DERIVADES SÓN MOLT ÚTILS PER ESTALVIAR :
MINIMITZANT EL MATERIAL
Problema per utilitzar el mínim
alumini :
Quines dimensions ha de tenir un cassó
en forma de cilindre d’un litre de capacitat
perquè la superfície total d’alumini sigui
mínima ?
Com ho fem perquè ens càpiga el màxim de coses si
fem una capsa amb una planxa quadrada de cartró de 10
dm de costat? Com hem de tallar les puntes peraconseguir el màxim volum ?
LES DERIVADES SÓN MOLT ÚTILS PER MAXIMITZAR EL RENDIMENT :
LES DERIVADES SÓN MOLT ÚTILS PER ARREGLAR PETITS PROBLEMES DOMÈSTICS :
Situació familiar :A casa teníem un mirall
rectangular que feia 2m per 1m i
se'ns ha escantonat.
Volem recuperar la forma
rectangular del mirall retallant-lo
de tal manera que el mirall que en
resulti, sigui el més gran possible
TAMBÉ SÓN ÚTILS PER REPRESENTAR LES FUNCIONS
En la representació de funcions és molt útil conèixer què passa en cada interval :
* És creixent o decreixent en aquell interval
* Podem localitzar el valor màxim i mínim en aquest interval?
* La funció és còncava o convexa ?
Les derivades donen resposta a totes aquestes
preguntes !!!
APLICACIONS DE LA DERIVADA : o Aproximacions del valor d’una funció fent
𝑓 𝑥 ≈ 𝑓 𝑎 + 𝑓′ 𝑎 · (𝑥 − 𝑎)
Exemple : f(x)= 𝑥 i volíem conèixer 144
145 = 144 +1
2 144(145 − 144)
oResolució d’algunes indeterminacions : Regla de L’Hôpital
o Representació de les gràfiques de funcions
oProblemes d’optimització
LA REGLA DE L’HÔPITAL
És una regla que serveix per resoldre
indeterminacions del tipus0
0𝑖
∞
∞
És basa amb el teorema següent :
Si on f i g són
derivables en un entorn d’a i existeix el límit :
Aleshores coincidirà amb
El mateix enunciat serveix quan els límits de f(x) i g(x) van a l’∞
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/lhospital.1/index.html
1r Exemple
Últim Exemple
→
→
REPRESENTACIÓ DE FUNCIONS
Passos a seguir per a poder representar una funció f(x) :
Domini de f(x)
Punts de tall amb els eixos
Càlcul de les asímptotes ( AV, AH i AO)
Intervals de creixement i decreixement. Màxims i mínims
Curvatura (concavitat i convexitat) i punts d’inflexió
Altres aspectes interessants :
Simetries (parell o senar )
SIMETRIES :
Simetria parell f(-x)=f(x) Simetria senar f(-x)= - f(x)
INTERVALS DE CREIXEMENT : DIREM QUE UNA FUNCIÓ CONTÍNUA ÉS ESTRICTAMENT CREIXENT EN UN INTERVAL QUAN COMPLEIX QUE :
Recorda que la derivada d’una funcióy=f(x) en un punt x indica la pendent de larecta tangent en aquest punt.
Si ens els punts 𝑥0, 𝑥1 𝑖 𝑥2 les rectes tenentangents de pendent positiva, la funció éscreixent en aquest punts
Si f(x) és derivable tenim que
f’(x)>0 ⇒ f(x) és creixent
INTERVALS DE DECREIXEMENT : DIREM QUE UNA FUNCIÓ CONTÍNUA ÉS ESTRICTAMENT DECREIXENT EN UN INTERVAL QUAN COMPLEIX QUE :
Recorda que la derivada d’una funció
y=f(x) en un punt x indica la pendent de la
recta tangent en aquest punt.
Si ens els punts 𝑥0, 𝑥1 𝑖 𝑥2 les rectes tenen
tangents de pendent negativa, la funció és
decreixent en aquest punts
Si f(x) és derivable tenim que
f ’(x)<0 ⇒ f(x) és decreixent
PUNTS SINGULARS: SÓN ELS PUNTS D’UNA FUNCIÓ CONTÍNUA QUE TENEN PENDENT HORITZONTA L.
COM QUE LA TANGENT ÉS HORITZONTAL, LA PENDENT ÉS 0 I PER AQUESTA RAÓ LA DERIVADA ENS AQUEST PUNTS ÉS 0.
x=a és un punt singular ⇔f’(a)=0
Hi ha tres casos :
El punt 𝑐1 s’anomena mínim relatiu
f’(𝑐1) = 0
El punt 𝑐2 s’anomena punt d’inflexió de tangent horitzontal
f’(𝑐2) = 0
El punt 𝑐3 s’anomena màxim relatiu
f’(𝑐3) = 0
Màxim relatiu Mínim relatiu
PUNTS D’INFLEXIÓ
Observa que les rectes tangent passen a estar damunt de la corba a estar sota o al revés
EXEMPLE : ESTUDIA ELS INTERVALS DE CREIXEMENT I DECREIXEMENT I PUNTS SINGU LARS DE
Conclusió :
La funció és decreixent en −∞, −1 𝑖 0,1
La funció és creixent en (-1,0) i (0, ∞)
Hi ha dos mínims en (-1,f(-1))=(-1,-1) i en (1,f(1))=(1,-1)
Hi ha un màxim en (0,f(0))=(0,0)
Calculem primer els punts on s’anul·la la
derivada i localitzem els punts singulars
• Estudiem el signe que
tindrà la derivada en
els intervals que
determinen els punts
singulars
ESTUDI DE LA CONCAVITAT D’UNA FUNCIÓ : Com hem vist, la primera derivada f’ ens dóna informaciósobre la funció f(x). Si derivem f’ obtenim la derivada de f’,que denotarem per f’’(x). Aquesta ens donarà informació def’(x)
Així com f’>0 ens informa que f és creixent, f’’>0 ensinforma que f’ és creixent. Això ens indica que la corba de f(x)està per sobre de les seves tangent (ja que les pendentspassen a ser negatives a ser positives i per tant f’ creix). Enaquest cas direm que f és còncava
En el cas que f’’<0 ens informa que f’ és decreixent. Això es tradueix que la corba de f(x) està per sota de les tangents i direm que f(x) és convexa
o f’’>0 en un interval ⇒ f és còncava ∪o f’’<0 en un interval ⇒ f és convexa ∩
EL TEST DE LA SEGONA DERIVADA PER DETECTAR MÀXIM I MÍNIMS :
També podem detectar que un punt singular és un màxim oun mínim amb el test de la 2a derivada
Si f’(a)=0 i f ’’(a)>0 ⇔ f presenta un mínim en x=a
Si f’(a)=0 i f’’(a)<0 ⇔f presenta un màxim en x=a
EL TEST DE LA SEGONA DERIVADA PER DETECTAR PUNTS D’INFLEXIÓ:
x=a és un punt d’inflexió de f(x) si enaquell punt on la corba canvia decurvatura
f(x) presenta un PI en x=a si f’’(a)=0.
Si a més, tenim que f’(a)=0 i f ’’(a)=0aleshores diem que en x=a f presentaun punt d’inflexió de tangenthoritzontal
EXEMPLE : EN LA FIGURA ES MOSTRA EL GRÀFIC DE LA FUNCIÓ F(X).
COMPLETA LA TAULA SEGÜENT AMB ELS SIGNES DE F, F’ I F’’ EN ELS PUNTS DELGRÀFIC A, B, C, D I E :
Solució :
A= (a,f(a)) B=(b,f(b)), C=(c,f(c)), D=(d, f(d)) i E=(e, f(e))
f(a)=0, f’(a)=0 perquè presenta un mínim (tangenthoritzontal) i f’’(a) >0 perquè es còncava
f(b)>0, f’(b)>0 ja que la recta tangent tindrà pendentpositiu ja que f és creixent i f’’(b)<0 ja que és convexa
f(c)>0, f’(c)=0 ja que presenta un màxim i f’’(c)<0 ja queés convexa
f(d)>0, f’(d)<0 ja que f decreix i f’’(d)<0 perquè ésconvexa
f(e)<0, f’(e)>0 ja que f creix, f’’(e)>0 ja que f és còncava
ALGUNS EXEMPLES DE GRÀFIQUES :
1) Domini ℝ- 0
2) Punts de tall amb els eixos
Eix OX ⇒ y=0 𝑥+1
𝑥2 =0 ⇒ x+1=0 ⇒x=-1
Punt (-1,0)
Eix OY ⇒ x=0 ( No talla l’eix ja que x=0 no pertany al domini de f(x)
3) Asímptotes
AV en x=0 lim𝑥→0±
𝑥+1
𝑥2 =1
0+ = +∞ AV x=0
AH lim𝑥→±∞
𝑥+1
𝑥2 =∞
∞⇒ lim
𝑥→±∞
𝑥+1
𝑥2 = 0± AH y=0
No té AO
4. Intervals de creixement i decreixement – Màxims i mínims
f és decreixent (−∞,-2) i de (0, +∞)f és creixent de (-2, 0) i presenta un mínim en (-2, -1/4)
5. Curvatura (Intervals de concavitat i convexitat-Punts d’inflexió
En (-3, f(-3)) presenta un PI
LA GRÀFICA DE F(X)=𝑥+1
𝑥2
Talla l’eix OX en (-1,0)
Té AV en x=0 i AH en y=0
f és decreixent (−∞,-2) i de (0, +∞)
f és creixent de (-2, 0)
Presenta un mínim en (-2, -1/4)
Té en (-3, -2/9) Punt d’inflexió
És convexa de (-∞, −3) i còncava (-3, 0) i de
(0, +∞)
• Intervals de creixement i decreixement :
f’(x)=3𝑥2 𝑥2−1 −𝑥3(2𝑥)
𝑥2−1 2 =3𝑥4−3𝑥2−2𝑥4
𝑥2−1 2 =𝑥4−3𝑥2
𝑥2−1 2
f’(x)=𝑥4−3𝑥2
𝑥2−1 2 = 0 ⇒ 𝑥4 − 3𝑥2=0⇒𝑥2 𝑥2 − 3 = 0
⇒ 𝑥 = 0 𝑖 𝑥 = ± 3 fem el test de la 2a derivada pe avaluar
si són màxims, mínims o punts d’inflexió
𝑓′′ 𝑥 =2𝑥3+6𝑥
𝑥2−1 3 i si avaluem en els punts singulars f’’(0)=0⇒
(0, 0) és Punt d’inflexió de tangent horitzontal
𝑓′′( 3)>0 ⇒( 3, 𝑓 3 é𝒔 𝒖𝒏 𝒎í𝒏𝒊𝒎
f′′(− 3)<0 ⇒(− 3, 𝑓 −3 é𝒔 𝒖𝒏 𝒎à𝒙𝒊𝒎
La gràfica
de f(x)=𝑥3
𝑥2−1
Un problema es diu que es de màxims o mínims o, en general, d’extrems, sempre que es vulguiresoldre una situació en la qual una determinada magnitud M depèn d’una altra magnitud x, demanera que M = f(x), i s’hagi de trobar un màxim o un mínim de M.
En el cas d’un problema de màxims, es tractarà de trobar un màxim de f(x) i, per tant, s’hauràde buscar x0 tal que f ’(x0) = 0 i, a més, f ’’(x0) < 0.
En canvi, en el cas d’un problema de mínims, es tractarà de trobar un mínim de f(x) i, per tant,s'haurà de buscar x0 tal que f ’(x0) = 0 i, a mes, f ’’(x0) > 0.
QUINES DIMENSIONS HA DE TENIR UN CASSÓ EN FORMA DECILINDRE D’UN LITRE DE CAPACITAT PERQUÈ LA SUPERFÍCIETOTAL SIGUI MÍNIMA. CALCULEU LA SUPERFÍCIE MÍNIMA
Em d’expressar la funció que volem minimitzar. En aquest cas, el
que volem minimitzar és la superfície de cassó :
S(r,h)=𝟐𝝅𝒓𝒉 + 𝝅𝒓𝟐
La funció S depèn de dues variables, la variable h i r
Hem de trobar la manera d’expressar aquesta funció de manera que
només depengui d’una variable, o de la r o de la h
Substituint l’expressió (1) en la funció
S(r,h)=𝟐𝝅𝒓𝒉 + 𝝅𝒓𝟐 tenim que
⇒
Com que volem un mínim, hem de
imposar que la derivada és 0
El cassó que té una capacitat de volum fixat i la superfície del qual és mínima, és aquell que l’alçada és igual al radi. Qualsevol altra opció és més costosa en material !!
Amb una peca de cartolina de 10 dm de costat es vol construir unacaixa retallant en cada vèrtex del quadrat peces quadrades decostat x. Quin valor s’ha de donar a x perquè el volum de la caixasigui el màxim?
Hem de maximitzar la funció Volum e la caixa.
Com que la caixa és un prisma rectangular, podem trobar el volum multiplicant amplària, per llargària i per
altura:
V(x) = (10 – 2x)𝟐 ・ x = 4𝒙𝟑 – 40𝒙𝟐 + 100x
Així, doncs, el volum de la caixa dependrà del valor de x.
S’ha de trobar un màxim d’aquesta funció en l’interval (0, 5), ja que el tall en els extrems no pot superar els 5
dm. El volum de la caixa, tant en 0 com en 5 és igual a 0: V(0) = V(5) = 0. Vegem si podem trobar el màxim
en l’interior d’aquest interval. Per això, tractarem de trobar un punt, x=a, que compleixi les condicions d’un
màxim
V’(a) = 0 i V’’(a) < 0
V(x) = (10 – 2x)𝟐 ・ x = 4𝒙𝟑 – 40𝒙𝟐 + 100x
La funció derivada de V(x) és: V’(x) = 12𝑥2 – 80x + 100 = 4(3𝑥2 – 20x +25)
Com volem trobar x tal que V’(x)=0, hem de resoldre l’equació de 2n grau 4(3𝑥2 – 20x +25)=0
La derivada de V(x) s’anul·la en x=5 i x=5/3 El primer valor no es troba dintre de l’interval (0,5) per tant, només
podem considerar x = 5/3 com a possible solució que maximitza el volum
Per saber si en aquest punt tenim un màxim o un mínim de la funció hem de calcular la segona derivada i avaluar-la
en x=5/3
V’’(x) = 24x – 80 i V’’(5/3) = 24・ 5/3 – 80 < 0
Per tant, per x = 5/3 obtenim un màxim de la funció.
Conclusió :
Així doncs, per obtenir el màxim volum en la caixa, hem de retallar petits quadrats, aproximadament, de 1,66
dm, i el volum màxim que s’obtindrà amb aquest valor serà de:
V(5/3) = (𝟏𝟎 − 𝟐𝟓
𝟑)𝟐·
𝟓
𝟑= (20/3)^2・ 5/3 = 2000/27 74,07 dm3.
Qualsevol altra opció tindrà un volum inferior a aquest
EN UN DISC METÀL·LIC RETALLEM UN SECTOR DE MANERA QUE AMB LA PART RESTANT CONSTRUÏM UN CON DE VOLUM MÀXIM. DETERMINEU L’ANGLE DEL SECTOR QUE RETALLEM.
TROBAR EL RECTANGLE INSCRIT EN LA SEMICIRCUMFERÈNCIA D’ÀREA MÀXIMA
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/applications.1/index.html
→ →
→
Bale
Bale - Özil
???
Bale - Özil
???
UN NOU PROBLEMA QUE TÉ PER SOLUCIÓ EL PUNT DE FERMAT :“DONATS TRES POBLES, ON S’HA DE CONSTRUIR UN HOSPITAL DE MANERA QUE ELCAMÍ TOTAL QUE HAURIA DE RECÓRRER LES AMBULÀNCIES SIGUI MÍNIM”.
EL MÈTODE DE CONSTRUCCIÓ DEL PUNT DE FERMAT D’UN TRIANGLEACUTANGLE AMB REGLA I COMPÀS: SOBRE CADA COSTAT DEL TRIANGLE ORIGINALCONSTRUÏM TRIANGLES EQUILÀTERS I UNIM EL VÈRTEX EXTERIOR DE CADASCUND’AQUESTS TRIANGLES AMB EL VÈRTEX OPOSAT D’AQUELL. ELS TRES SEGMENTS ESTALLARAN EN EL PUNT DE FERMAT. VEGI’S L’ESQUEMA SEGÜENT: ( OBSERVEU QUE NO COINCIDEIX AMB ELBARICENTRE DEL TRIANGLE )
Baricentre d’un triangle
El baricentre d’un triangle és el punt d’intersecció
de les seves medianes.