aplicaciones reales de metodos numericos
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MtodosNumricosVistos
-AplicacionesReales-
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Ejemplo1Lacaidadetemperaturadeuna
plantadetratamientodepetroleocrudoestadadaporlafuncion:
Encontrarlasoluciondeesa
funcion
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Ejemplo2
Graficade:f(x)=sen10x+cos3x
EncontrarlasracesdeunasealssmicamedidaHeneuncomportamientodada
porlaecuacin:
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Ejemplo2(cont.)
Graficade:f(x)=sen10x+cos3x
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YEsoparaque?
Parabuscarpetrleo
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SolucinParaesHmarelvalorinicialde ipodemosdesarrollarelbinomio(1+i)npara
aproximarloalasegundapotencia.Elresultadoes
Sesugierevalidarlosdatosdeentrada.Elcapitalaobtenerdebesermayorque
eldepsitoporelnmerodeabonos,esdecir
A>nP
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EjemplosresueltoenExcel
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Sistema de ec. lin. Matriz asociada
T0
T1
T2
. . . Tn
Tn+1
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Funcion en Matlab..
function A = mcalor1(n)v = ones(1,n-1);
A = 2*eye(n) - diag(v,1) - diag(v,-1);
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Otrosusos(Deotrosmtodosque
vienen)
TomadodelCursodeMatemHcaComputacionaldeS.Botello(CentrodeInvesHgacindematemHcasAplicadas)
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Otrosusos(Deotrosmtodosque
vienen)
Notapublicitaria:ElInsHtutodeMedicinaLegaldeBucaramanga,harunllamadoaingenierosparadesarrollarunsistemadereconstruccinderostrosaparHrderestoscranealesydeanlisisdecontusiones.
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Otrosusos(Deotrosmtodosque
vienen)
NotaPublicitaria2:ElgrupodeinvesHgacinGIEMAestarequiriendoestudiantesdepregradoparahacerproyectodegradoendinmicadefluidoscomputacionalenconjuntoconestudiantesdeingenieramecnica: AnlisisdeFlujocompresibleenoleoductosysistemasdecaeras
ApoyoalestudiodecalidaddelaireenBucaramanga ApoyoaldesarrollodeunainterfazdeaccesoremotoatnelesdevientoubicadosenFrancia
yEEUU
TuneldeVientoVirtual
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ProcesamientodeImgenesMdicas
NotaPublicitaria3:ProgramasmixtosdeestudiosGIIB-GOTSyCEMOS
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(UnParentesis)
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ScienHficCompuHng
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ParallelScienHficCompuHng
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ProgrammingLanguagetoScienHfic
CompuHng*
InstudyingComputerLanguages,wewanttostudyanewwaytointeracHngwiththecomputer
ComputersaremachinesthatexecuteinstrucHons.Ifsomeoneisnottellingthe
computerwhattodo,itdoesnothing. ComputerProgramminglanguagesallowhumans
asimplifiedmeansofgivingthecomputerinstrucHons.
ScienHficCompuHngimpliesin(almost)allcases,ParallelCompuHng.*FromParallelScienHficCompuHnginC++andMPI,ASeamlessApproachtoParallelAlgorithmsandTheirImplementaHon,ByG.Em
KarniadakisandR.M.KirbyII,CambridgePress2003
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TopTenAlgorithmsofthe20th
Century*1. 1946:MonteCarloMethod2. 1947:SimplexMethodforlinearProblems3. 1950:KrylovSubspaceIteraHonMethodforfastlinearSolversand
Eigensolvers
4. 1951:ouseholderMatrixdecomposiHontoexpressamatrixasaproductofsimplematrices
5. 1957:FORTRANcompiler6. 1959-1961:QRAlgorithmtocomputemanyeigenvalues7. 1962:QuicksortAlgorithm8. 1965:Fastfouriertransform9.
1977:IntegerrelaHondetecHonalgorithm,whichisusefulforbifurcaHonsandquantumfieldtheory
10. 1987:FastMulHpleAlgorithmforN-BodyProblems*FromParallelScienHficCompuHnginC++andMPI,ASeamlessApproachtoParallelAlgorithmsandTheirImplementaHon,ByG.Em
KarniadakisandR.M.KirbyII,CambridgePress2003
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MathemaHcalParallelism
MathemaHcaloperaHonsthathaveahighdegreeofparallelism(theycanperform
simultaneouslyandindependently)
Ci=xi,yi,I=1,..,N. PerfectMathemaHcalParallelism:
Nodependenciesamongthedifferentpairsofdata EmbarrassinglyParallel
oneforwhichlileornoeffortisrequiredtoseparatetheproblemintoanumberofparalleltasks
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SomeCases
ApproximaHonFourierSeriesRepresentaHon
RootsandIntegralsNumericalIntegraHonMethods
PropagaHonAdvecHonDiffusionEquaHon
FastLinearSolversCholeskyFactorizaHon
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ApproximaHon
InterpolaHonofdiscretedata
ApproximaHonbyknownfuncHonsofthe
numericalsoluHon
Dataarenotalwaysnicelydistributedona
uniformlaceorgrid
RepresentaHonbypolynomials
Wavelets(sinesandcosines)
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FourierSeriesRepresentaHon
InterpolaHonsbasedonbasesk=eikx,coskxandsinkx Convergence(DirichletCondiHons)
f(x)isdefinedeverypointintheinvervalx[-,] f(x)issinglevalued,piecewiseconHnous,andfinite(f(x)=logxisexcluded) f(x)isboundedvariaHon,thatis,f(x)cannothaveaninfinitenumberofmaxima
andminima.
AfuncHonthatsaHsfiestheDirichletcondiHonscanbeexpandedintothefollowingconvergentinfiniteseries: f(x)=ao+a1cosx+a2cos2x++b1sinx+b2sin2x+, TheFouriercoefficientsarecomputedfrom:
ak1/-f(x)coskxdx
andbk1/
-f(x)sinkxdx
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UseExamples:
Filters NoisyData(Using
TrigonometricInterpolaHon)
FastFourierTransform(FFT)
FFTisarecursivealgorithm FFThaslessround-offerror
thanthedirectsummaHonapproach.
FFTscanbeperformbysplingthefuncHonin
severalparts. FFTcanbecomputedin
halfthenumberofoperaHons.
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RootsandIntegrals
UsetofindsoluHonsoflinearandnonlinearequaHons ApproximateIntegraHonofafuncHonisaveryold
subject.
Archimedesusesthemethodofinscribedandcircumscribedpolygonstoobtainlowerandupperboundsforthevalueoftheareaofacircle.
SimpleIntegraHonAlgorithm: I=abf(x)dx
IR(h)=hi=1nfi-1/2(Midpoint-RectangleRule) IT(h)=h[1/2f0+f1++fn-1+1/2fn](TrapezoidRule)
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SomeIntegraHonMethods
MidpointRectangleandTrapezoidMethods
RombergsMethod(ExtrapolaHontothelimit)
SimpsonsMethod AdvancedQuadrature
Method(Gauss)
JacobiPolynomials Gauss-Chebyshev
Quadrature
MulHdimensionalIntegraHon
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PropagaHon NumericalDiffusionandDispersion MixeddiscreHzaHonforiniHalvalue
problemsandboundaryvalueproblems
AdvecHonEquaHon: LinearizedwaveoradvecHonequaHon:
/t=U/x=0(orD/Dt=0)
Whichexpressesthe(passive)advecHonofheatora
speciesinonedimensionbytheflowwithtransportvelocityU(x,t)
PeriodicboundarycondiHons:(0,t)=(1,t) IniHalcondiHons:(x,0)=0(x)=sin2x ExactsoluHon:=0(x-Ut)=sin2(x-Ut) DispersionorDiffusion:
t=-xleadstonodissipaHve,nondispersivesoluHons
t=xxleadstodissipaHvesoluHons t=xxxleadstonodissipaHvebutdispersive
soluHons
t=-xxxxleadstodissipaHvesoluHons(similarjusHficaHonasabove)
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AdvecHonDiffusionEquaHon
PhysicaldissipaHonbyincludingasecond-orderderivate(inspace)tolinearizedadvecHonequaHon.
/t+U/x=2/x2,-
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FastLinearSolvers
DirectandIteraHveSoluHonsoflargelinearsystems.
GaussianeliminaHon LUDecomposiHon
ParallelLUDecomposiHon
SparseSystems CholeskyFactorizaHon
QRFactorizaHon ouseholder
TransformaHon
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CholeskyFactorizaHon SpecialCaseoftheLUdecomposiHonforasymmetricposiHve-definiHvematrixA
A=LLT
MatrixUisequaltothetransposeofLbecauseofsymmetry. CholeskyAlgorithm(summary)
forj=1,n
jj=(ajj-k=1j-1(2jk))
forI=j+1,n
jj=(ajj-k=1
j-1
(jkjk))/jjendfor
endfor
CholeskyfactorizaHonalgorithmisstableandthusitdoesnotrequirepivoHng CholeskyAlgorithmrequiresabouthalfthememoryandabouthalftheoperaHons
oftheLYdecomposiHon
PosiHve-definiHvepropertyisimportantinobtainingthe ijwithoutparHalpivoHng.ParHalpivoHngcandestroythesymmetryofthematrixA
InsomecasesanincompleteorapproximateCholeskydecomposiHonisrequired.
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RecommendedLecturesandSites
ParallelScienHficCompuHnginC++andMPI,ASeamlessApproachtoParallelAlgorithmsandTheir
ImplementaHon,ByG.EmKarniadakisandR.M.
KirbyII,CambridgePress2003
hp://www.scienHfic-compuHng.com/ hp://www.scienHficcompuHng.com hp://www.hpcwire.com/
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