aplicaciones numéricas -...

105

9 Aplicaciones Numéricas

9.1 Introducción. En este capítulo se realiza inicialmente la validación de la formulación programada en Matlab® del elemento finito descrito en el capítulo 5. La validación se realiza comparando los resultados obtenidos con los publicados por otros autores así como con la solución exacta. Posteriormente se muestran los resultados obtenidos tras la aplicación del Algoritmo de Optimización mediante el método de las Superficies de Respuesta. Seguidamente se muestran los resultados obtenidos tras la aplicación de la Optimización mediante el método de las Superficies de Respuesta + el Algoritmo Heurístico. Finalmente se muestra la curva de error que se obtiene al aplicar la optimización mediante el método de las Superficies de Respuesta + el Algoritmo Heurístico. El material utilizado para el estudio es Grafito-Epoxi y tiene las siguientes propiedades elásticas:

E1 = 175 GPa; E2 = 7 GPa; G12 = 3.5 GPa; G13 = 3.5 GPa; G23 = 1.4 GPa; v12 = 0.25; v21 = v12E2/E1

Con la intención de validar el presente modelo fueron escogidas diferentes relaciones a/h y así aplicar el modelo a diferentes tipos de laminados con distintos espesores.

9.2 Laminado Cross-Ply simplemente apoyado. El ejemplo analizado corresponde a un laminado cuadrado simétrico formado por láminas del mismo espesor cuya secuencia de apilamiento es [0/90/90/0]. La placa está simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida, conforme se muestra en la Fig.9.1. Las condiciones de contorno del laminado simplemente apoyado son:

x=0 a x=a → v0=w0=ϕy= 0 y=0 a y=b → u0=w0=ϕx= 0

Figura 9.1. Geometría y Condiciones de Contorno de un laminado Cross-Ply simplemente apoyado con carga uniformemente distribuida q0 =10 N/m2 y a/b=1 m.


La carga distribuida es q0=10N/m2 y las dimensiones de la placa son a=b=1m. En este ejemplo serán analizados los desplazamientos y las tensiones máximas. Dichos valores han sido adimensionalizados de acuerdo a las siguientes expresiones, tal y como publican otros autores.

100 2 , 2 ; 2 , 2 , 2

2 , 2 , 4 ; 0,0, 2

0, 2 , 0 ; 2 , 0,0

9.3 Validación del Modelo FEM. Comparativa de Resultados. h/a Referencias

0.25

Presente Trabajo HSDT 1.8454 0.8375 0.6250 0.0461 0.1724 0.2480Pagano ESL 1.9500 0.7200 0.6630 0.0467 0.2190 0.2920

Rastgar, Aagaah TSDT 1.9000 0.6810 0.6470 0.0451 0.2190 0.2440Rastgar, Aagaah FSDT 1.7000 0.4060 0.5760 0.0308 0.1960 0.1400

Khoa, Thinh HSDT 1.9241 1.0133 0.7300 0.0461 0.1824 0.2530

0.1


Rastgar, Aagaah TSDT 0.7320 0.5510 0.3940 0.0451 0.2110 0.1630Rastgar, Aagaah FSDT 0.6630 0.4990 0.3610 0.0241 0.1300 0.1670

Khoa, Thinh HSDT 0.7429 0.6475 0.4269 0.0247 0.2814 0.1775

0.01


Rastgar, Aagaah TSDT 0.4350 0.5390 0.2750 0.0216 0.3080 0.1290Rastgar, Aagaah FSDT 0.4320 0.5380 0.2700 0.0213 0.1010 0.1780Rastgar, Aagaah CLPT 0.4320 0.5390 0.2700 0.0213 0.1390 0.3370

Khoa, Thinh HSDT 0.4363 0.5417 0.2732 0.0206 0.2876 0.1318

Tabla 9.1. Desplazamiento y tensiones , , , y en los puntos de interés, en una Placa Cuadrada simplemente apoyada [0/90/90/0] bajo una distribución de carga

uniformemente distribuida de amplitud q.

9.3.1 Gráficos de Tensiones adimensionalizadas. En las siguientes figuras 9.2-9.5 se representan las tensiones adimensionalizadas en los puntos de interés del laminado h/a=0.25 a lo largo del espesor. Puede observarse la discontinuidad de las tensiones además del hecho que predice la teoría de Reddy acerca del comportamiento parabólico de las tensiones transversales a lo largo del espesor de la placa. Las tensiones transversales y , satisfacen el hecho de que se anulan en el contorno, en la lámina superior e inferior.


Figura 9.2 Tensión Normal adimensionalizada a través del espesor.

Figura 9.3 Tensión Normal adimensionalizada a través del espesor.

-0.8 -0.7 0 0.7 0.8 -0.9 0.9

; 0.25

; 0.25


Figura 9.4 Tensión Transversal adimensionalizada a través del espesor.

Figura 9.5 Tensión Transversal adimensionalizada a través del espesor.

; 0.25

; 0.25


9.3.2 Visualización de las tensiones a lo largo del espesor de la placa. A continuación se representan los gráficos de tensiones que se obtienen mediante la aplicación de una función de gráficos del programa Matlab® que ha sido implementada en el programa desarrollado en el presente trabajo. El código de colores que utiliza dicha funcionalidad representa los valores positivos en color rojo intenso tendiendo hacia corinto conforme mayor sea dicho valor. A medida que dicho valor va disminuyendo, y siempre y cuando sea positivo, tiende a amarillo y cuando está próximo a cero se convierte en verde. Cuando se tienen valores negativos, el color azul intenso representa el valor negativo más alto en valor absoluto, pasando por un color azul y ciano conforme disminuimos dicho valor y a verde cuando tiende a cero. Esta funcionalidad presenta el inconveniente de que la aplicación de este código de colores la realiza sobre el máximo y el mínimo de la matriz que se esté representado.

Figura 9.6 Tensiones a través del espesor.

Lámina 1(0°)z/h = -0.5

Lámina 1(0°)z/h = -0.375

Lámina 1(0°)z/h = -0.25

Lámina 2(90°)z/h = -0.25


Lámina 2(90°)z/h = -0.125

Lámina 2(90°)z/h = 0

Lámina 3(90°)z/h = 0

Lámina 3(90°)z/h = 0.125

Lámina 3(90°)z/h = 0.25

Lámina 4(0°)z/h = 0.25


9.3.3 Comparativa Modelo FEM con Ansys. En un artículo publicado por Mokhtar. B., Fodil. H. y Mostapha. K. compararon los resultados obtenidos mediante la aplicación de la Teoría de Reddy con los que proporcionaban los elementos Shell99 y Solid46 de la librería de Ansys. El material utilizado para el estudio tenía las siguientes propiedades elásticas:

E1 = 25 MPa; E2 = 1 MPa; G12 = 0.5 MPa; G13 = 0.5 MPa; G23 = 0.2 MPa; v12 = 0.25; v21 = v12E2/E1

El estudio se realizó sobre una Placa Cuadrada simplemente apoyada [0/90/90/0] bajo una distribución de carga uniformemente distribuida de amplitud q=1N/m2 y a/h=0,1, sobre un modelo de un cuarto de placa.

Tabla 9.2. Desplazamientos máximos para una placa cuadrada simplemente apoyada con a=b, con laminado cross-ply simétrico [0/90/90/0] y carga transversal uniform. distribuida.

Elemento Reddy [25] ANSYS Modelo FEM (Presente Trabajo)

SHELL 99 0.0683 0.0692 0.070805 SOLID 46 0.0683 0.0676 0.070805

Tabla 9.3. Tensiones máximas para una placa cuadrada simplemente apoyada con a=b, con laminado cross-ply simétrico [0/90/90/0] y carga transversal uniformemente distribuida.

Tensiones Solid46 (Nodo 51 y 1) Shell99 (Nodo 1) Modelo FEM (Presente Trabajo)

Lámina Superior

σxx -8118.79 -8558.88 -8438.70 σyy -364.39 -374.65 -340.50 τxy 0.000 0.240 0.9

Lámina Inferior

σxx 8119.00 8558.88 8438.70 σyy 364.16 374.65 340.50 τxy 0.000 -0.240 -0.9

Lámina 4(0°)z/h = 0.375

Lámina 4(0°)z/h = 0.5


9.4 Algoritmo de Optimización mediante el uso de Superficies de Respuesta. Como ya se ha dicho anteriormente, el método de las Superficies de Respuestas consiste en obtener una curva multidimensional o superficie a través de los puntos que resultan de la respuesta experimental o del cálculo numérico de un número de ensayos determinado y de la utilización de una función de regresión, también llamada función base. La función base generalmente es un polinomio de primer orden o segundo orden o está compuesta por términos que son funciones trigonométricas. Los coeficientes de la función base pueden ser estimados como una regresión matemática, utilizando el método de los mínimos cuadrados. El modelo empírico resultante es llamado Superficie de Respuesta.

Figura 9.7 Método de las Superficies de Rspuesta.

Validación del Diseño

Superficie de Respuesta

Valor Óptimo

Resultado de la Experimentación, FEM,…


Figura 9.8 Problema de Optimización mediante el Método de las Superficies de Respuesta.

En el diagrama de flujo que se muestra a continuación se define la secuencia de aplicación del algoritmo.

Figura 9.9 Diagrama de Flujo del algoritmo del Método de las Superficies de Respuesta.

Problema de Optimización

Variables de Diseño, Función Objetivo, Restricciones

Creación de la Superficie de Respuesta

La función es aproximada

Cálculo Optimizado

Usando la Superficie de Respuesta

Valor Óptimo


En el siguiente ejemplo, se considerarán los siguientes datos:

i) Largo de la placa = 1000 mm; ii) Ancho de la placa = 1000 mm; iii) Espesor de las láminas hk = 0,5mm; iv) Carga distribuida q0 = 6 N/mm2; v) Carga de tracción Nx = 4 KN; vi) Carga de tracción Ny = 2 KN; vii) Estudio de Laminados (Población inicial) = 30 laminados; viii) Número de láminas inicial = 16; ix) Número de experimentos realizados =100;

Se trata de un laminado simétrico con 4 orientaciones de láminas posibles 0°,-45º,45º y 90°.

Figura 9.10. Laminado Óptimo simétrico con 16 láminas, tras aplicar el RSM.



En el siguiente ejemplo tan sólo se aplicó carga en el eje x, con lo cual esperábamos que el laminado óptimo resultante fuera aquel en el que la orientación de las fibras se encuentran con un ángulo de 0º, es decir, en el sentido de las cargas aplicadas. Se considerarán los siguientes datos:

i) Largo de la placa = 1000 mm; ii) Ancho de la placa = 1000 mm; iii) Espesor de las láminas hk = 0,5mm; iv) Carga de tracción Nx = 30 KN; v) Estudio de Laminados (Población inicial) =50 laminados; vi) Número de láminas = 12; vii) Número de experimentos=100;

A continuación se representa el resultado obtenido:


Figura 9.14. Laminado Óptimo cuando se aplica carga en el eje x.

Número de láminas igual a 12, tras aplicar el RSM.

En el siguiente ejemplo tan sólo se aplicó carga en el eje y, con lo cual esperábamos que el laminado óptimo resultante fuera aquel en el que la orientación de las fibras se encontraran con un ángulo de 90º, es decir, en el sentido de las cargas aplicadas. Se considerarán los siguientes datos:

i) Largo de la placa = 1000 mm; ii) Ancho de la placa = 1000 mm; iii) Espesor de lámina hk = 0,5mm para todas las láminas; iv) Carga de tracción Ny = 40 KN; v) Población inicial =50 laminados; vi) Número de láminas = 12; vii) Número de experimentos=100;

A continuación se representa el resultado obtenido:

Superficie de Respuesta=1


Figura 9.15. Laminado Óptimo cuando se aplica carga en el eje y.

Número de láminas igual a 12, tras aplicar el RSM.

9.5 Algoritmo de Optimización mediante el uso de Superficies de Respuesta + Algoritmo Heurístico. Se describe en la presente sección la integración del Método de las Superficies de Respuestas y el Algoritmo Heurístico en las estructuras laminadas, incorporando los términos, individuo y población. El objetivo es obtener la estructura laminada que presente menor Factor de Rechazo, es decir, mayor coeficiente de seguridad, siendo el laminado simétrico.

La geometría del laminado es definida como placa plana rectangular y simplemente apoyado en las 4 aristas. La Figura 9.1 representa esquemáticamente las cargas y dimensiones del laminado. Las variables continuas del proyecto son las orientaciones de las láminas, que pueden variar entre los valores 0º,-45º,45º y 90º y la función objetivo es maximizar el coeficiente de seguridad de acuerdo a la aplicación del Criterio de Tsai-Wu.

Con este objetivo se ejecutará el algoritmo programado en Matlab® programado durante el desarrollo de este trabajo. El código escrito está disponible en el Apéndice A.

El programa permite entrar en las especificaciones del laminado, o sea, propiedades de los materiales de las láminas, el espesor ek para cada lámina, las dimensiones ancho a y largo b

Superficie de Respuesta=1


del laminado y el valor de las cargas Nx y Ny. El número de iteraciones máximo del Algoritmo Heurístico, así como la población inicial, o sea, los laminados estudiados en la primera iteración.

Otros parámetros son fijos: número de láminas que sufrirán mutación y cruce entre 3 láminas. En este algoritmo, la posición del cruce se elige de forma aleatoria en cada iteración, propiciando la optimización. Un punto peculiar de este algoritmo es la formulación elitista, manteniendo el mejor Laminado de 1º generación y eliminando el peor Laminado de 2º generación, esto se aplicará en cada una de las iteraciones.

En este ejemplo, se considerarán los siguientes datos:

i) Largo de la placa = 1000 mm; ii) Ancho de la placa = 1000 mm; iii) Espesor de lámina hk = 0,5mm para todas las láminas; iv) Carga distribuida q0 = 6 N/mm2; v) Carga de tracción Nx = 4 KN; vi) Carga de tracción Ny = 2 KN; vii) Población inicial=50 laminados; viii) Número de generaciones = 200 ix) Número de láminas inicial = 16; x) Número de experimentos=100;

Se trata de un laminado simétrico con 4 orientaciones de láminas posibles 0°,-45º,45º y 90°.

En el diagrama de flujo que se muestra a continuación se define la secuencia de aplicación del algoritmo:

1.- De los experimentos realizados obtengo la Superficie de Respuesta.

2.- Creo la población inicial.

3.- Aplico los operadores genéticos definidos en el Algoritmo Heurístico.

4.- Calculo el Coeficiente de Rechazo mediante la aplicación de la Superficie de Respuesta.

5.- Identifico los Laminados que posean mayor y menor Coeficiente de Rechazo con el objetivo de eliminar el Laminado que presenta peor aptitud en la siguiente iteración y cambiarlo por el laminado que posea mejor aptitud de la iteración previa.

6.- Aplico el criterio de parada previsto. La parada se produce al alcanzar un máximo de iteraciones; una vez que se alcanza este máximo se calcula la media aritmética de los resultados de la aplicación del Criterio de Tsai-Wu sobre el laminado que presentó menor Coeficiente de Rechazo en cada iteración, o sea el que presenta mejor aptitud, y si este valor es menor o igual a 0.6, se aplicará una reducción en el espesor del laminado eliminando dos láminas.


Figura 9.16 Diagrama de Flujo del algoritmo del Método de las Superficies de Respuesta + Algoritmo de Búsqueda Heurística.

Los resultados obtenidos se muestran a continuación:


Figura 9.17. Determinación de la Superficie de Respuesta Óptima.

Laminado simétrico con 16 láminas.

Figura 9.18. Laminado Óptimo simétrico con 16 láminas, tras aplicar el Método de las

Superficies de Respuesta + Algoritmo Heurístico.


9.6 Error por aplicación del Método de las Superficies de Respuesta.

En la siguiente gráfica se observa el error medio que se obtiene de la aplicación del Método de las Superficies de Respuestas para hallar el Factor de Rechazo sobre un conjunto de laminados aleatorios, comparándolo con el valor del Factor de Rechazo que se obtiene de la aplicación del Método de Tsai-Wu.

Figura 9.25. Error Medio cometido por la aplicación de las distintas funciones base del Método

de las Superficies de Respuesta.

En cada iteración se incrementa el número de experimentos realizados previamente para hallar las funciones base de cada Superficie de Respuesta, de esta manera puede evaluarse la dependencia del error con el número de experimentos realizados.

aplicaciones numéricas -...

Documents