REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD FERMÍN TORO FACULTA DE INGENIERÍA

LARA-CABUDARE

Participante:

Cordero Ricardo

CI: 24001557

Sergio Alberto

CI: 20669292

Marleny de Parra

SAIA D

Matematica IV

JUNIO 2014

Contenido Capítulo I .......................................................................................................................... 3

El Problema ................................................................................................................. 3

Capítulo 2. ........................................................................................................................ 7

Marco teórico .................................................................................................................... 7

CIRCUITO RC ............................................................................................................. 10

CIRCUITO RL .............................................................................................................. 12 OSCILACIONES EN UN CIRCUITO LC ................................................................ 14

CIRCUITO RCL............................................................................................................ 14 CIRCUITO RCL EN PARALELO SIN FUENTES ................................................. 14

CIRCUITO RCL EN PARALELO SUBAMORTIGUADO ......................................... 16

CIURCUITO RCL EN SERIE SIN FUENTES ............................................................. 17

RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RCL ...................................................... 18

CONCLUSIONES .......................................................................................................... 19

RECOMENDACIONES ................................................................................................ 20

Capítulo I El Problema

Planteamiento del problema:

Con frecuencia es útil y esencial, analizar el comportamiento de un

Circuito RLC, antes de ser empleado en la construcción de un dispositivo.

Algunas técnicas de análisis, se centran en la utilización de ecuaciones

diferenciales, que facilitan el tratamiento matemático del problema.

En el análisis del circuito RLC prevalece la utilización de las ecuaciones

diferenciales ordinarias lineales, con coeficientes constantes.

Aplicar las ecuaciones diferenciales al análisis del circuito RLC, permite

describir por ecuaciones diferenciales, utilizando las leyes de Kirchoff. La

consecuente resolución de las mismas nos permite encontrar las ecuaciones

del los circuitos RLC, cuyo análisis nos lleva a conclusiones sobre el

comportamiento de los mismos.

Objetivos Generales:

Analizar la aplicación de las ecuaciones diferenciales en la resolución de

problemas de electricidad, mediante la resolución de las ecuaciones

diferenciales correspondientes a circuitos RLC.

Objetivos Específicos:

Plantear la metodología empleada en la resolución de ecuaciones

diferenciales lineales.

Plantear las leyes que rigen los circuitos RLC.

Plantear y analizar la ley de Kirchoff.

Plantear y resolver las ecuaciones diferenciales correspondientes a un

circuito RLC.

Analizar las ecuaciones correspondientes a un circuito RLC.

Justificación:

El uso de circuitos es parte de la vida diaria pues aparatos cotidianos

que hacen un poco más fácil nuestro entorno tiene como base un circuito

eléctrico para su funcionamiento, ahora la información que se va a estudiar

se basa en el circuito RCL para lo cual se necesitan ciertos conceptos

básicos de electromagnetismo.

La presencia de inductancia y capacitancia en el mismo circuito

produce un sistema de segundo orden, es decir uno caracterizado por la

ecuación diferencial lineal que incluye una derivada de segundo orden o dos

ecuaciones diferenciales lineales simultáneas de primer orden.

La selección de una onda que viene de una emisora se efectúa

mediante un circuito eléctrico que consta de una bobina de inductancia L y

un condensador de capacitancia variable C. La onda electromagnética

entrante genera en el circuito RLC sintonizador o circuito oscilador primario,

que es un circuito resonante.

La respuesta exponencial es invariablemente una función exponencial

decreciente del tiempo, teniendo a un valor constante al hacerse infinito el

tiempo.

Para el análisis de dichos dispositivos, se utilizan distintas estrategias

entre ellas nos encontramos el modelaje matemático de los mismos, a

través de las ecuaciones diferenciales.

Para la resolución de dichas ecuaciones diferenciales se emplean los

métodos de resolución de ecuaciones diferenciales de orden n con

coeficientes constantes.

El estudio de los circuitos RLC, constituye un eslabón importante en el

pensulm de estudio de las diferentes carreras técnicas, que están

relacionadas con el área de las tecnologías de la comunicación.

Alcances y limitaciones:

La investigación abarca aplicaciones básicas de las ecuaciones

diferenciales al estudio de los sistemas RLC, circuitos amortiguados y no

amortiguados mediante la aplicación de principios básicos de la electricidad.

No cubrirá aplicaciones mas avanzadas como el estudio de la función de

transferencia. Se limitará por lo tanto a las aplicaciones básicas citadas en el

párrafo anterior.

Capítulo 2.

Marco teórico

Antecedentes de la investigación

A partir de que Benjamín Franklin demostró, en 1752, que los rayos son

chispas eléctricas gigantescas, descubrimiento de la electricidad; grandes

inventos fueron revolucionando este concepto, pues las grandes distancias

cada vez se fueron acercando. 1836 año en que Samuel F. B. Morse creo lo

que hoy conocemos Telégrafo. Tomas Edison, en 1874, desarrolló la telegrafía

cuádruple, la cual permitía transmitir dos mensajes simultáneamente en ambos

sentidos.

A pesar de este gran avance, no era suficiente lo que lograba comunicar,

es decir, esto era insuficiente pues se requería de algún medio para la

comunicación de la voz. Ante esto, surge el teléfono, construido con bobinas

capacitores y resistencias, inventado por Alexander Graham Bell, que logra la

primera transmisión de la voz en 1876.

Los sistemas de ecuaciones diferenciales se usan en teoría en ingeniería

en telecomunicaciones en señales para obtener la salida de un sistema cuando

tenemos una entrada determinada. Suponiendo que el sistema está descrito

por una ecuación diferencial de segundo orden, lo que se hace es aplicar

alguna transformada en ambos miembros (se utilizan por ejemplo las

transformadas de la place, de Fourier, o la transformada Z si se trabaja con

señales discretas), y se obtiene la respuesta en frecuencia. Anti transformando

la respuesta en frecuencia obtenemos la respuesta al impulso (respuesta del

sistema cuando la entrada es un impulso eléctrico). Esa respuesta al impulso

describe completamente el sistema, y es lo más útil que podes sacar de un

sistema LTI utilizado en la ingeniería en telecomunicaciones dando así mucha

más importancia a nuestra carrera.

Bases Teóricas

1. Solución de la ecuación diferencial lineal de orden n, con coeficientes

constantes:

1.1. Caso homogéneo

La forma general de esta ecuación es:

0)()()( tcytybtya

Para resolverla, se deben hallar las soluciones de la ecuación característica:

02 cba

De acuerdo a la naturaleza de las soluciones, se obtienen tres casos:

Caso 1:

21 , raíces reales y distintas. La solución de la EDO es:

tt

eCeCty 21

21)(

Caso 2:

21 , raíces reales e iguales. La solución de la EDO es:

tt teCeCty

21)(

Caso 3:

ii 21 , , raíces complejas conjugadas. La solución de la EDO es:

tt

eCeCty 21

21)(

(Solución compleja)

teCteCty tt sencos)( 21 (Solución real)

Vemos que en cada uno de estos casos existe un espacio de soluciones,

resultante de la combinación lineal de dos funciones. El conjunto de estas dos

funciones se conoce como base de soluciones de la EDO homogénea.

1.2. Caso no homogéneo

La forma general de esta ecuación es:

)()()()( tftcytybtya

Para resolverla, se debe hallar primero la solución de la ecuación homogénea

asociada:

0)()()( tcytybtya

y la solución es de la forma:

)()()( tytyty ph ,

donde hy es la solución de la homogénea asociada, y py es una solución

particular del problema no homogéneo que se obtiene a partir de uno de los

métodos: coeficientes indeterminados o la variación de parámetros.

Método De Los Coeficientes Indeterminados

Este método se aplica cuando la función f(t) es una combinación lineal de

productos (finitos) de funciones tales que derivadas den el mismo tipo de

función. Son ellas:

polinomios en t

función exponencial eat

combinaciones lineales de cos(t) y sen(t)

Para resolverla, se usa una función de prueba que es una combinación

lineal del mismo tipo de funciones, cuyos coeficientes se determinarán

reemplazándola en la EDO.

El caso más general es:

)sen()()cos()()( ttqttpetf ht

Donde h, 0 y p(t), q(t) polinomios de grado n.

La función de prueba general es:

tsentltllttktkkety n

n

n

n

t

p 121121 cos)(

donde k, l son los coeficientes a determinar. Si i son las raíces de la

homogénea asociada (lo que ocurre cuando esta función de prueba es solución

del problema homogéneo), yp(t) debe multiplicarse por t.

Método de variación de los parámetros

Es un método más general, y válido aun cuando los coeficientes de la

EDO no sean constantes, sino funciones. En este caso la solución particular

toma la forma:

2211 yvyvy p

Donde v1 y v2 se obtienen del sistema:

a

tfyvyv

yvyv

)(

0

2211

2211

donde y1 y y2 son las funciones de la base de soluciones de la EDO

homogénea asociada. Estas funciones deben ser linealmente independientes,

para lo cual deben cumplir con la condición:

021

21

yy

yyW

Esto es, su determinante Wronskiano no debe ser idénticamente nulo.

CIRCUITO RC

Los circuitos RC son circuitos que están compuestos por una resistencia

y un condensador.

Se caracteriza por que la corriente puede variar con el tiempo. Cuando el

tiempo es igual a cero, el condensador está descargado, en el momento que

empieza a correr el tiempo, el condensador comienza a cargarse ya que hay

una corriente en el circuito. Debido al espacio entre las placas del

condensador, en el circuito no circula corriente, es por eso que se utiliza una

resistencia.

Cuando el condensador se carga completamente, la corriente en el

circuito es igual a cero.

La segunda regla de Kirchoff dice: C

qR·IV

Donde q/C es la diferencia de potencial en el condensador.

En un tiempo igual a cero, la corriente será: R

VI cuando el

condensador no se ha cargado.

Cuando el condensador se ha cargado completamente, la corriente es

cero y la carga será igual a: Q = C·V

CARGA DE UN CONDENSADOR

Ya se conoce que las variables dependiendo del tiempo serán I y q. Y la

corriente I se sustituye por dt

dq (variación de la carga dependiendo de la

variación del tiempo):

dt

dqR = V –

C

q

dt

dq =

R

V –

C·R

q

Esta es una ecuación

Diferencial. Se pueden C·R

qVC

dt

dq

Separar variable C·R

dt

VCq

dq

Al integrar se tiene

C·R

dt

VCq

dq

RC

t

VC

VCqln

RC

tVClnVCqln

VClnRC

tVCqln

VClnK

KRC

0VC0ln

0)0(q:Como

KRC

tVCqln

Despejando q

)e1·(VCq

VCeVCqeVC

VCq

RC

t

RC

t

RC

t

El voltaje será t(vc ) = V RC

t

e

DESCARGA DE UN CONDENSADOR

Debido a que la diferencia de potencial en el condensador es C

qR·I , la

razón de cambio de carga en el condensador determinará la corriente en el

circuito, por lo tanto, la ecuación que resulte de la relación entre el cambio de la

cantidad de carga dependiendo del cambio en el tiempo y la corriente en el

circuito, estará dada remplazando I = dt

dq en la ecuación de diferencia de

potencial en el condensador:

q = Q e-t/RC

Donde Q es la carga máxima

La corriente en función del tiempo entonces, resultará al derivar esta

ecuación respecto al tiempo:

I = Q/(RC) e-t/RC

Se puede concluir entonces, que la corriente y la carga decaen de forma

exponencial.

CIRCUITO RL

Los circuitos RL son aquellos que contienen una bobina (inductor) que

tiene autoinductancia, esto quiere decir que evita cambios instantáneos en la

corriente. Siempre se desprecia la autoinductancia en el resto del circuito

puesto que se considera mucho menor a la del inductor.

Para un tiempo igual a cero, la corriente comenzará a crecer y el

inductor producirá igualmente una fuerza electromotriz en sentido contrario, lo

cual hará que la corriente no aumente. A esto se le conoce como fuerza

contraelectromotriz.

Esta fem está dada por: V = -L (inductancia) dt

dI

Debido a que la corriente aumentará con el tiempo, el cambio será

positivo dt

dI y la tensión será negativa al haber una caída de la misma en el

inductor.

Según kirchhoff: dt

dlLR·IV

IR = Caída de voltaje a través de la resistencia.

Esta es una ecuación diferencial y se puede hacer la sustitución:

x = (V/R) – I es decir; dx = -dI

Sustituyendo en la ecuación: x + dt

dx·

R

L= 0

dtL

R

x

dx

Integrando: dtL

R

x

dx

L

R

x

xln

0

·t

Despejando x: L

Rt

0exx

Debido a que R

Vx0

El tiempo es cero

Y corriente cero R

V – I =

R

V e –Rt / L

I( t ) = R

V(1 - e –Rt / L)

El tiempo del circuito está representado por = L/R

I = R

V (1 – e – 1/

)

Donde para un tiempo infinito, la corriente de la malla será I = V/R. Y se

puede considerar entonces el cambio de la corriente en el tiempo como cero.

Para verificar la ecuación que implica a y a I, se deriva una vez y se

reemplaza en la inicial: dI/dt = V/L e – 1/

Se sustituye: V = (IR) + [L (dI / dt)]

V = [ (V/R) (1 – e – 1/)R + (L V/ L e – 1/

)]

V – V e – 1/ = V – V e – 1/

OSCILACIONES EN UN CIRCUITO LC

Cuando un condensador se conecta a un inductor, tanto la corriente

como la carga den el condensador oscila. Cuando existe una resistencia, hay

una disipación de energía en el sistema porque una cuanta se convierte en

calor en la resistencia, por lo tanto las oscilaciones son amortiguadas. Por el

momento, se ignorará la resistencia.

En un tiempo igual a cero, la carga en el condensador es máxima y la

energía almacenada en el campo eléctrico entre las placas es U = Q2máx/(2C).

Después de un tiempo igual a cero, la corriente en el circuito comienza a

aumentar y parte de la energía en el condensador se transfiere al inductor.

Cuando la carga almacenada en el condensador es cero, la corriente es

máxima y toda la energía está almacenada en el campo eléctrico del inductor.

Este proceso se repite de forma inversa y así comienza a oscilar.

En un tiempo determinado, la energía total del sistema es igual a la suma de

las dos energías (inductor y condensador): U = Uc + UL

U = [ Q2/(2C) ] + ( LI2/2 )

CIRCUITO RCL

CIRCUITO RCL EN PARALELO SIN FUENTES

La combinación particular de elementos ideales es un modelo adecuado

para varias partes de comunicación, por ejemplo, representa una parte

importante de algunos de los amplificadores electrónicos que se encuentran en

cualquier receptor de radio, haciendo posible que una gran amplificación de

tensión dentro de una gran banda estrecha de frecuencias de la señal y una

amplificación casi cero fuera de la banda.

En consecuencia basta decir que la compresión del comportamiento

natural del circuito RCL en paralelo es de fundamental importancia para

estudios de redes de comunicación y diseño de filtros.

Si una bobina física se conecta en paralelo con un condensador y la

bobina tiene asociada con ella a la resistencia óhmica no nula, puede

mostrarse que la red resultante tiene un modelo de circuito equivalente, tal

como se muestra en la figura.

Las pérdidas de energía en la bobina física se tiene en cuenta mediante la

presencia de la resistencia ideal, cuyo valor R depende de (pero, no es igual a)

la resistencia óhmica de la bobina.

Se puede escribir la ecuación con el circuito de referencia :

01

00

t

t dt

dVC)t(iVdt

LR

V

Obsérvese que el signo menos es consecuencia de la dirección que se a

supuesto para i .

v = Aest permitiendo que A y s sean números complejos si es necesario.

Si cualquiera de los dos primeros factores se iguala a cero, entonces v(t) = 0.

Sumando las ecuaciones diferenciales y agrupando términos semejantes:

0 )v (v L

1

dt

)v d(v

R

1

dt

)v (v d C 21

21

2

2 1

2

Se ve que la suma de las dos soluciones también es una solución, así

tenemos la forma de la repuesta natural.

v = A1es

1 t + A2

es2t

En donde s1 y s2 son dos constantes arbitraria, ya que lo exponentes s1t

y s2t deben ser adimensionales.

Las unidades de este tipo se llaman frecuencias, representemos 1/ √ LC

por ω0 (omega).

ω0 = 1/ √ LC

Llamaremos 1/ 2RC frecuencia neperina o coeficiente de

amortiguamiento exponencial y lo representamos por α (alfa).

α = 1/ 2RC

esta última expresión descriptiva se utiliza porque α es una medida de la

rapidez con que la repuesta natural decae o se amortigua hasta encontrar un

valor final permanente (cero generalmente).Por último s, s1 y s2, reciben el

nombre de frecuencias complejas, la repuesta natural del circuito RCL en

paralelo es:

v(t) = A1es

1 t + A2

es2t

CIRCUITO RCL EN PARALELO SUPERAMORTIGUADO

Es evidente que si LC > 4R2 C 2, α será mayor que ω0 y α2 será mayor

que ω02. En este caso, el radical que nos interesa será real y tanto s1 como s2

serán reales. Además las siguientes desigualdades,

√ α2 - ω02 < α

(-α -√ α2 - ω02 ) < (-α + √ α2 - ω0

2 ) < 0

se puede aplicar para mostrar que tanto s1 como s2 son números reales

negativos. Por tanto la respuesta v(t) puede expresarse como la suma de dos

términos exponenciales decrecientes acercándose los dos a cero cuando el

tiempo aumenta sin límite. En realidad como el valor absoluto de s2 es mayor

que el de s1, el término que contiene a s2 tiene un decrecimiento más rápido y

para valores grandes del tiempo, podemos escribir la expresión límite.

V(t) → A1es

1 t → 0 cuando t → ∞

AMORTIGUAMIENTO CRITICO

El caso superamortiguado está caracterizado por :

α > ω0

o

LC > 4R2 C 2,

Y conduce a valores reales negativos para s1 y s2 y una respuesta

expresada como la suma algébrica de dos exponenciales negativas.

Ajustemos ahora los valores de los elementos de modo que α y ω0 sean

iguales, es éste caso muy especial que se denomina amortiguamiento crítico.

Así pues el amortiguamiento se consigue cuando:

α = ω0

o

LC = 4R2 C

2

o

L = 4R2 C

Para el amortiguamiento, la ecuación se escribiría de la siguiente

manera:

v(t) = A1es1

t + A2es2

t

Debe observarse que la solución puede expresarse por la suma de dos

términos, de los cuales una es la exponencial negativa ya conocida, pero el

segundo es t veces una exponencial negativa.

CIRCUITO RCL EN PARALELO SUBAMORTIGUADO El coeficiente de amortiguamiento α disminuye mientras que ω0

permanece constante, α2 se hace menor que ω

2 y el radicando que aparece en

las expresiones de s1 y s2 se vuelve negativo. Utilizando números complejos, la

respuesta exponencial se convierte en una respuesta sinusoidal; esta

respuesta se compone enteramente de cantidades reales, siendo necesarias

las cantidades complejas solo para la deducción.

La ecuación se puede escribir como:

v(t) = e-αt (A1ejwd

t + A2e

-jwd)

escribiendo de la otra forma se obtiene:

v = e-αt (B1cosw dt + B2senwdt)

Si estamos considerando el caso subamortiguado, hemos dejado aun lado los

números complejos. Esto es cierto, ya que como α, ωd y t son cantidades

reales, también v(t) a de ser una cantidad real y por tanto B1 y B2 son

cantidades reales.

CIURCUITO RCL EN SERIE SIN FUENTES Queremos obtener la repuesta natural de un circuito modelo compuesto

por una resistencia física concentrada por el circuito LC en serie o en uno RCL,

o bien las perdidas óhmicas y las del núcleo ferromagnético de la bobina, o

puede ser utilizada para representar todos estos y otros dispositivos que

absorban energía. En caso especial el valor de la resistencia real puede incluso

a ser exactamente igual que la resistencia medida para el alambre con el que

se ha construido la bobina física. El circuito RCL es el dual del circuito RCL en

paralelo.

Las condiciones iniciales para la tensión del condensador y la corriente de la

bobina son equivalentes a las condicione iniciales para la corriente de la bobina

y la tensión del condensador; la respuesta de la tensión se convierte en una

repuesta de corriente.

Utilizando el lenguaje dual y obtener, de este modo, una descripción

completa del circuito RCL en serie, la ecuación serie:

i(t) = A1es1

t + A2es2t

La forma de la respuesta críticamente amortiguada es:

i(t) = A1es1

t + A2es2t

y el caso subamortiguadores puede escribirse como

i(t) = e-αt (B1cosw dt + B2senwdt)

es evidente que si trabajamos en términos de lo parámetros α, ω0, y ωd , las

formas matemáticas de las repuestas para situaciones duales son idénticas. Un

incremento de α en cualquiera de los circuitos en serie o en paralelo,

manteniendo ω0 constante, conduce a una respuesta superamortiguada.

La única precaución que hay que tener es en el cálculo de α, que es

1/2RC para el circuito en paralelo y R/2L para el circuito en serie; así pues

aumenta α aumentando la resistencia en serie o disminuye la resistencia en

paralelo.

RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RCL Considerando ahora aquellos circuitos RCL en los que se introducen

fuentes de C–C que producen respuestas forzadas, las cuales no se

desvanecen cuando el tiempo se hace infinito. La solución general se obtiene

por el mismo procedimiento seguido para los circuitos RL y RC: la respuesta

forzada se determina completamente, la respuesta natural se obtiene en una

forma funcional adecuada que contiene el número apropiado de constantes

arbitrarias, la repuesta completa se escribe como suma de las repuestas

forzada y natural y por último se determina y aplican las condiciones iniciales a

las respuesta completa para hallar los valores de las constantes.

En consecuencia, aunque básicamente la determinación de las condiciones

para un circuito que contenga fuentes de c – c no es diferente para los

circuitos. La repuesta completa de un sistema de segundo orden, consta de

una repuesta forzada, que para una exitación de c – c es constante, vf (t) = vf

Y una repuesta natural: vn(t) = Aes1t + Bes 2t .

Por tanto,

v(f)= vf + Aes1t + Bes 2t

Supondremos ahora que ya ha sido determinadas s1, s2 y vf a partir del circuito,

quedan por hallar A y B la última ecuación muestra la interdependencia

funcional de A, B, v y t, y la sustitución del valor conocido de v para t = 0+, nos

proporciona por tanto, una ecuación que relacione Ay B. Es necesario otra

relación entre A y B y ésta se obtiene normalmente tomando la derivada de la

repuesta e introduciendo en ella el valor conocido de dv/dt para t = 0+.

dv/dt = 0 + s1Aes1t + s2Bes 2t

Resta determinar los valores de v y dv/ dt para t = 0+, como ic = C dvc / dt,

debemos reconocer la relación entre valor inicial de dv/dt y el valor inicial de la

corriente de algún condensador.

El objetivo es hallar el valor de cada una de las corrientes y tensiones

tanto t=0- como para t=0+; conociendo estas cantidades los valores la derivadas

requeridas pueden calcular fácilmente.

La corriente constante que pasa por la bobina exige una tensión cero a través

de ella, vL(0 -) = 0.

Y una tensión constante a través del condensador exige que pase por el una

corriente

cero, iC(0 -) =0.

CONCLUSIONES Se visualizó la configuración general para los circuitos RC, RL y RLC.

Se establecieron las ecuaciones para carga y descarga de un condensador en

los circuitos RC.

Se mostró la ecuación general para la corriente en un circuito RL, así

como el tiempo dado por la relación entre resistencia e inductancia.

Se entendieron las propiedades de los circuitos RLC.

Se expuso las ecuaciones generales para el análisis de circuitos RLC.

RECOMENDACIONES El estudio de circuitos lleva en si un conceptos básicos se deben ser

analizados para poder entender que es un circuito RCL

Se debe distinguir que es un elemento pasivo y uno activo, saber donde

están ubicados en el circuito

Para un estudio de redes el RCL se convierte en un tema importante

para su diseño y utilización