Ley de acción de masas

Velocidad de las reacciones químicas

Ley de crecimiento

Descomposición radioactiva

Ley de enfriamiento de newton

Problemas de mezclas químicas

Cinéticas de las reacciones químicas

En estas encontramos incógnitas con respecto a temperatura, tiempo, masa, velocidad

entre otras las cuales son fáciles de conocer mediante una ecuación diferencial.

En muchas aplicaciones, la razón de cambio de una variable y es proporcional al valor de

y. Si y es una función del tiempo t, la proporcionalidad puede escribirse como sigue:

Razón de cambio y es proporcional a y

La solución general de esta ecuación diferencial está dada en el teorema siguiente.

DEMOSTRACIÓN

Sep. De Variables

ʃ = kʃdtY= c . ekt

C

Propiedad:

ea + b = ea . eb

TEOREMA. Crecimiento exponencial y modelo de decrecimiento.

Si y es una función diferenciable de t tal que y > 0 y y’=ky, para algunas constante

k, entonces

y = Cekt

C es el valor inicial de y y k es la constate de proporcionalidad. El crecimiento

exponencial tiene lugar cuando k > 0; el decrecimiento exponencial tiene lugar cuando k < 0.

Iny=kt + C

elny =ekt+ c

y = ekt . eC

y =ekt . C

Modelo Matemático

EJEMPLO

Un material radiactivo se desintegra a una razón proporcional a la cantidad

presente. Si inicialmente hay 40 mg de material y al cabo de una hora

se observa que ha perdido el 8% de la cantidad inicial, hallar:

a) La cantidad de masa en cualquier momento t.

b) La masa del material después de 3 horas.

c) El tiempo que transcurre hasta la desintegración de la mitad de la

cantidad inicial.

Solución

Sea y la cantidad en miligramos presente del material radiactivo, entonces

Apoyándonos en el modelo de crecimiento y decrecimiento

Ejemplo

Sustituimos , el problema nos da los siguientes datos :

Para t = 0 se cumple que y = 40

Sustituyendo en la solución se obtiene que c= 40

Para t = 1 se cumple que y = 40 – 3.2 = 36.8

Porque el 8% de 40 = 3.2 mg

Sustituyendo y = 36.8 y t = 1

Ejemplo

Despejamos K :

Sustituyendo K = - 0.0843 y t = 1 en :

Está es la ecuación que da la cantidad material radiactivo en cualquier tiempo t

Ejemplo

b) La masa del material después de 3 horas

es decir t= 3

Sustituimos en la ecuación anterior

Ejemplo

c) El tiempo que transcurre hasta la desintegración de la mitad de la

cantidad inicial.

Para y = 20 mg t = ?

Usamos la ecuación:

Sustituimos y = 20 y Despejando t :

horas

Ejemplo

La desintegración radiactiva se mide en términos del periodo de

descomposición, que son los años que se requieren para que la mitad de los

átomos en una muestra de material radioactivo se descomponga. Los periodos de

descomposición de algunos isótopos radiactivos comunes son los siguientes:

Isotopos radiactivos Tiempo en degradarse la mitad de

los átomos.

Uranio (U238) 4 510 000 000 años

Plutonio (Pu239) 24 360 años

Carbono (C14) 5730 años

Radio (Ra226) 1620 años

Einstenio (Es254) 270 días

Nobelio (No257) 23 segundos

Ejercicio: Toma en cuenta que…

Suponga que 10g del isotopo del plutonio Pu-239 se escaparon en el accidente

nuclear de Chernobyl. ¿ Cuánto tiempo tomará para que los 10g se descompongan

en 1g? Tome en cuenta los periodos de descomposición que posteriormente se

dan.

Ejercicio

Y= c . ektRecuerda la ecuación.

Sustituimos: Y =10 T= 0

10 = C . ek(0)

10 = C . e0

10 = C . (1)

C = 10

C = 10Valor de nuestra primera constante.

Y= c . ektRecuerda la ecuación.

Y = 5 T= 24 360 años

Sustituir con los valores que conocemos:

5 = 10 . ek(24 360)

5 = 10 . e24 360k

5/10 = e24 360k

In 5/10 = In e 24 360k

In 5/10 = 24 360 k

1/ 24360 . In 5/10 = k

K = -2,85 x 10 -5

Ejercicio

C = 10Valor de nuestra primera constante.

Y= c . ektRecuerda la ecuación.

Valor de k K = -2,85 x 10 -5

Sustituir con el valor al que queremos llegar en este caso degradar 1g de Pu-239

Y = 1 T= ?

1 = 10 . e-2.85 X 10-5 t

1/10 = e-2.85 x 10-5 t

In 1/10 = In e-2.85 x 10-5 t

In 1/10 = -2.85 x 10-5 t

1/ -2.85 x 10-5 . In 1/10 = t

t= 80 792 , 4594 Por lo tanto t= 80 792 años

Ejercicio

Bibliografía

Larson .(2000) .Calculo diferencial e integral. Argentina : Mc Graw Hill

Carmona, I . (1998). Ecuaciones diferenciales .México: Pearson