aplicaciones de la integral a las ciencias sociales y económicas

8/19/2019 Aplicaciones de la integral a las Ciencias Sociales y Económicas

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Aplicaciones de la integral a las

Ciencias Sociales y Económicas

Germán Ricardo Urbina ForeroMatemático.


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Temas

1. Introducción

2. Aplicaciones a la economía

2.1 De marginalidad a totalidad

2.2 Inversión – Formación de Capital

2.3 Valor actual de un flujo de dinero

2.4 Superávit del consumidor

3. Otras Aplicaciones

4. Un juego en MATLAB.

Temas


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1. Introducción

• La matemática es útil en otros campos, si las vemoscomo una herramienta para modelar fenómenos o

situaciones presentes en la realidad.

• En las ciencias sociales tales como la Economía, la

Sociología, la Demografía, entre otras, se hacenecesario el uso de la matemática para interpretar y

explicar resultados o para predecir sucesos.

• Las ciencias sociales, y en especial la Economía, no

escapan al concepto de razón de cambio, luegoentonces, como es de esperar, tampoco escapan del

proceso de integración.

• Dada la función c’(x) (Costo o Ingreso marginal), es

posible hallar la función c(x) (costes o ingreso total).


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• 2.1 De marginalidad a totalidad

2. Aplicaciones a la Economía


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• EJEMPLO 1: En la fabricación de un producto, el coste marginal deproducir x unidades es de c´(x)=3x+4. Si los costes fijos son 40, hallarla función de costes totales c(x).

SOLUCIÓN:


4042

3

tanto,loPor.)0(entonces,40,C(0):C.I

4

2

3

)43(

TotalCostoDefinición )(')(

2

1

1

2

x x

c(x)

cc

c x x

c(x)

dx x

dx xc xc


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• EJEMPLO 2 (Derive): Dada la función de costo marginal del ejemplo 1, y usando Derive, hallartodas las funciones c(x) y dibuje algunas de sus gráficas en el plano xy. Grafique la función que

cumple con la C.I. del ejemplo 1.

SOLUCIÓN:


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EJEMPLO 3: Dada la función de Ingreso Marginal I’(Q)=28Q-e0.3Q halle lafunción de ingreso Total I(Q). ¿Qué condición inicial debemos introducirpara definir la constante de integración? SOLUCIÓN:

3

10

3

1014)(queAsi

.03

10-I(0)entoncesluego,0)0(hacemostantolo por

,constantelahallarDebemos.3

1014

IntegralProp. 28

)28(

TotalIngresoDef. )(')(

302

1

11

302

3.0

30

Q.

Q.

Q

Q.

e-QQ I

c I

cce-Q I(Q)

dQeQdQ

dQQ-e

dQQ I Q I


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• 2.2 Inversión – Formación de Capital


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• Formación de

capital Aumentar un

stock de capital dadoK(t).

• dK/dt := Tasa de

Formación de capital

• dK/dt = I(t): Tasa de flujode inversión neta en t

dK dt dt dK

dt t I t K )()(


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EJEMPLO 4: Suponga que la tasa de inversión se describe por lafunción I(t)=12t1/3 y que el capital inicial es de 25 (en millones de US)

(a) Hallar la trayectoria temporal de stock de capital(b) Hallar la cantidad de capital acumulado durante los periodos [0,1]SOLUCIÓN:

(a)

(b) US)demillones(en9)25()259()0()1()(

259K(t)entonces,,25)0(Como

9

3

4

1212t

Definición )()(

1

0

3

4

13

4

1

3

4

3

1

K K dt t I

t K

ct ct

dt K(t)

dt t I t K


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EJEMPLO 5 (MATLAB): Solucione el ejemplo 4 en MATLAB y grafique la trayectoria temporaldel stock de capital K(t)

SOLUCIÓN:


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• 2.3 Valor actual de un flujo de dinero


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2.3 Valor Actual de un flujo de dinero

• Suponga que tiene una serie de ingresos de dinerodesde el instante t=0 hasta t=T, a la tasa de f(t) dólarespor año en t, con un interés compuesto continuamentea la tasa r (anual). ¿Cómo calcular el valor actual de

ese flujo de dinero?.

s)instanteel(en)(VD

T)tiempo(al )(VFD

0)tiempo(al )(VAD

)(

0

)(

0

T

s

st r

T t T r

T rt

dt et f

dt et f

dt et f


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EJEMPLO 6:(a) Hallar el Valor Actual Descontado (VAD) de una línea constante derenta de a dólares anuales en los próximos T años, a una tasa deinterés continua del r anual

(b) Cuál es el limite del VAD cuando T ∞

SOLUCIÓN:

r

ae

r

aVAD

er

aVAD

er

adue

r

a

r

dueadt ea

-rT uT t u

t -rdt du-rt u

dt eadt ea

dt et f

at f

rT

rT

rT

u

rT

urT u

T rt

T rt rt

T

T rt

)1(limlim(b)

)1(

queasi,entonces,siy,0

entonces,,0siy,quetienese,Haciendo

)(VAD

Dado )((a)

TT

00

00

00

0


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EJEMPLO 7 (Derive):

(a) Hallar el Valor Actual Descontado (VAD) de una línea constante de renta de 500 dólares anuales en lospróximos 15 años, a una tasa de interés continuo del r = 6% anual

SOLUCIÓN:


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• 2.4 Superávit o Excedente delconsumidor


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• Dada la función de demanda p(x)

(precio que se impone para vender x

unidades de un artículo).

• Entre más artículos vendidos, se exige

que bajen los precios. (Curva de

demanda decreciente)

• Sea X:= Cantidad actual disponibles

del articulo, luego P = p(X):= Precio

actual de venta.

• Cantidad ahorrada: (ahorro por

unidad)(numero de unidades)=[p(xi)-

P]∆x

X

n

i

i

[p(x)-P]dxSC

n x P x p

0

1

tieneseentonces,,Si.])([


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EJEMPLO 8: Se da una curva de demanda por p(x)=450/(x+8). Halle elsuperávit de consumidor cuando el precio de venta es de 10 (enmillones de pesos)

SOLUCIÓN:

pesos)de(millones 25.407

370)]8ln()45[ln(450108)ln(x450

108

450

108

450

SCDef.

37108X

450

entonces,10,esventade precioelComo

X.devalorelhallarDebemos

37

0

37

0

37

0

37

0

37

0

0

SC

x

dxdx x

dx x

[p(x)-P]dxSC

X

X


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• A sociología:EJEMPLO 9: A las 8 horas de la mañana surge un rumor en una ciudad que se propaga a un

ritmo de e3t/2+500 personas/hora. Sabiendo que t representa el número de horastranscurridas desde la aparición del rumor, calcula el número de personas que lo habránoído entre las 9 y las 12 horas de la mañana.

SOLUCION:

personas1766500(3))e-(e3

2P(t)

500[t]e3

2

)500(eP(t)tanto,loPor

4.t12m,lasay1t9am,lasA0.testeseaam,8lasainiciórumorelComo

2

3

6

4

1

4

1

2

3

4

1

2

3

t

t

dt


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• Probabilidad para las C.S.

b

adx x f b) X P(a

X

f(x)

)(

sii,continuaaleatoriavariable ladead probabiliddedensidaddefunciónunallamase

R,sobredefinida,scon valorefunciónUna:Def


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EJEMPLO 10: El número de minutos que una entrega de mercancía se adelanta o

se atrasa en llegar a destino, es una v.a.c. cuya f.d.p. es

parteotraen0

6,x6- para )36(288

1)(

2 x x f

Cuyos valores negativos indica que la entrega llego adelantada, y positivosque llega atrasada. Encuentre la probabilidad de una de estas entregasllegue en cualquier tiempo entre 1 y 3 minutos adelantada.

SOLUCION

432

95

336

288

1

)36(288

1)()13(

1

3

31

3

1

3

21

3

x

x

dx xdx x f X P


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4. Un juego hecho en MATLAB

http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_2/juego.m


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