Una de las aplicaciones más importantes

y útiles de la derivada está en el estudio de los valores máximos y mínimos de una función.

Cuando se piensa que la derivada como razón instantánea de una función, se presenta muchas aplicaciones físicas de la derivada.

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Una función f se llama NO DECRECIENTE sobre

un conjunto S si , x2 S:

FUNCION NO DECRECIENTE

x1 < x2 → f(x1) ≤ f(x2)

sx1 < x2

X

Yff(x2)

f(x1)>

s x1 x2 X

Yf

f(x2)= f(x1)

f(x1) ≤ f(x2)

f(x1) ≤ f(x2)

Conforme x crece, la grafica debe

ir subiendo o al menos mantenerse constante(en caso de no ser f continua) estos deben ser hechos hacia arriba. De allí el nombre de NO DECRECIENTE.

FUNCION NO DECRECIENTE

Una función CRECIENTE O ESTRICTAMENTE

CRECIENTE sobre un conjunto S si , x2 S se cumple que:

FUNCION CRECIENTE

X1 < X2 → f(X1) ‹ f(X2)

sx1 < x2

X

Y

f(x2)f(x1)

f(x1) < f(x2)

ff creciente (o estrictamente creciente).

En este caso, conforme x crece, la

grafica de f va siempre subiendo, sin mantenerse constante en ningun tramo ni mucho menos bajar.

FUNCION CRECIENTE

Una función f se llama NO CRECIENTE sobre

un conjunto S si , x2 S se cumple que:

FUNCION NO CRECIENTE

X1 < X2 → f(X1) ≥ f(X2)

sx1 < x2

X

Y

f(x2)

f

Esta definicion implica que,

conforme x crece, la grafica de f puede ir bajando o mantenerse constante en algun segmento, pero que en ningun momento debe subir.

FUNCION NO CRECIENTE

Una función f se llama DECRECIENTE O

ESTRICTAMENTE DECRECIENTE sobre un conjunto S si , x2 S se cumple que:

FUNCION DECRECIENTE

X1 < X2 → f(X1) › f(X2)

Geométricamente esta definición indica que conforme x crece, la grafica de f siempre esta bajando, sin mantenerse constante en ningún tramo ni mucho menos subir.

X

Yf

2

/20

-1

1 f=cos

Consideremos una funcion f derivable y un punto de

la grafica f, si todos los puntos de f arbitrariamente cercano a P stan por arriba de la recta tangente a f en el punto P, entonces la grafica es concava hacia arriba en P.

CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXION

Si todos los puntos de f arbitrariamente

cercano a P están por debajo de la recta tangente en P, entonces la grafica es cóncava hacia abajo en P.

CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXION

Cuando f tiene una sola tangente en P y

f es concava hacia arriba en todos los puntos cercanos arbitrariamente a P situados en un solo lado y concava hacia abajo en todos los puntos cercanos arbitrariamente a P situados al otro lado de P, entonces P recibe el nombre de punto de inflexion.

CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXION

Dibujos de concavidad

X

Y

X

Y

X

Y

s

f

f

X

Y

s