APLICACIONES DE LA DERIVADA

AO DE LA DIVERSIFICACIN PRODUCTIVA Y DEL FORTALECIMIENTO DE LA EDUCACIN

ALUMNO:Csar Carmona Bernilla

CURSO:Matemtica I

CICLO:1

SEMESTRE:2011 - II

DOCENTE:Wilfredo Agustn Robles

FACULTAD:Fac. Ing. Mecnica y Elctrica

ESCUELA PROF:Ing. Mecnica y Elctrica

UNIVERSIDAD: UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

TEMA:APLICACIONES DE LA DERIVADA

AULA:FIME 02

CODIGO:020111993-IEJERCICIOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA

FRMULAS:

Para qu valores de los constantes a y b es: ?

Halle un punto sobre la parbola y = 4 x2 tal que la recta tangente en el 2 cuadrante determine con los ejes coordenados un tringulo de rea mnima.

Un agricultor quiere construir y cercar un campo que tenga la forma de un sector circular. Si para cercarlo posee un alambre de 200m. de longitud, calcule el radio que debe tener el sector para que el campo sea lo ms grande posible. (rea mxima)

Dado K > 0, demuestre que entre todos los enteros positivos x e y tales que x + y = k, la suma x2 + y2 es mnima cuando x = y.

Dado K > 0, demuestre que entre todos los enteros positivos x e y tales que x2 + y2 = k, la suma x + y es mxima cuando x = y.

Cada lado de un cuadrado tiene una longitud a. Halle el lado del cuadrado de mxima rea que se puede circunscribir

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Dado un cono circular recto de radio R y altura H, halle el radio y la altura del cilindro circular recto de mayor rea lateral que puede circunscribirse en el cono.

Halle las dimensiones del cilindro circular recto de mximo volumen que puede inscribirse en un cono circular recto de radio R y altura H.

Dada una esfera de radio R, calcule en funcin de R, del radio r y de la altura h del cono circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en esa esfera.

Halle el rectngulo de mayor rea que puede inscribirse en un semicrculo de radio r, teniendo la base inferior en el dimetro.

Halle el trapecio de mayor rea que puede inscribirse en un semicrculo de radio r, teniendo la base mayor en el dimetro.

Un tringulo issceles est circunscrito a un crculo de radio R. Demuestre que el tringulo de permetro mnimo tiene por altura 3R.

Halle las dimensiones del rectngulo de mayor rea y con los lados paralelos a los ejes de coordenadas que puede inscribirse en la figura limitada por las dos parbolas: 3y = 12 x2; 6y = x2 12

Dos ciudades A y B se encuentran a 8 millas de distancia una de otra. Si el punto P, equidistante de A y B es tal que la suma de las distancias PA, PB, PC es la menor posible, A qu distancia est P de C?

Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba. Su distancia s al suelo despus de t segundos est dada por s = 192t 16t2a) Hasta qu altura llegar el cuerpo?b) Con qu velocidad llegar al suelo nuevamente?a. S es mximo cuando S(t) = 0S(t) = 192 32t = 0 = t = 6S(t)mx = 192(6) 16(6)2 = 576m

b. S = 0 0 = 16t(12 t) t = 0, t = 12 t = 12: tiempo que dura el vuelo hasta llegar al sueloS(t) = 192 32tS(t) = 192 32(12) = -192 m/s velocidad con la que llega al suelo

Halle las dimensiones de un rectngulo de rea mxima inscrito en un tringulo de lados 8, 10 y 12 m. tal que un lado del rectngulo est contenido en el lado del tringulo de lado 12m.

Exprese el nmero 4 como la suma de dos nmeros positivos de forma que la suma del cuadrado del primero y el cubo del segundo sea tan pequea como sea posible

a) Si deseas cercar un jardn rectangular y si tienes 200 pies de cerca, Cules son las dimensiones del jardn ms grande que puedes cercar (rea Mxima)?

b) Si dos de tus amigos desean ayudarte con el jardn, pero ellos quieren dividir el jardn en tres partes iguales colocando dos cercas extras a lo ancho, con los 200 pies de cerca disponibles, Cul es el rea total mxima de las tres partes?

Una huerta rectangular ha de proyectarse al lado del solar de un vecino, y ha de tener un rea de 10800 m2. Si el vecino paga la mitad de la cerca medianera, Cules deben ser las dimensiones de la huerta para que el costo al cercarla sea para el dueo de la huerta el mnimo?

Una ventana tiene forma de rectngulo terminado por un semicrculo de dimetro igual a la base del rectngulo. La porcin rectangular ha de ser de cristal transparente y la parte circular ha de ser de cristales de color que admiten slo la mitad de luz por metro cuadrado que el cristal transparente. El permetro total de la ventana ha de tener longitud fija P. Halle, en funcin de P, las dimensiones de la ventana que deja pasar la mayor cantidad de luz (rea mxima).

Si r y s son los catetos de un tringulo rectngulo de hipotenusa 1, halle el mayor valor de (2r + s).

Se debe hacer un embudo cnico que tenga la generatriz de longitud 20cm. Cul debe ser la altura del embudo para que su volumen sea el mayor posible?

Un sector de ngulo central est recortada de un crculo de radio R. Al enrollarse el sector, se genera una superficie cnica. Cul debe ser el ngulo para que el volumen del cono obtenido sea el mayor posible?

Halle el rea del mayor rectngulo que tiene su base inferior en el eje X y con los vrtices en la curva y = 12 x2

Halle aquel nmero que ms excede a su cuadrado

Dado un sector circular de radio r, si el permetro P mide 100 pies, Qu valor de radio r producir un rea mxima?

Halle el mnimo valor de la constante m si mx 1 + (1/x) debe ser 0 para todo x 0

Halle la base superior de un trapecio issceles de base 12m y lados 6m si su rea es mxima.

Una placa tiene la forma de un sector circular de radio r y ngulo Halle r y si el rea A es fija y el permetro P es mnimo. Aqu es el ngulo central.

Si la suma de dos nmeros positivos es 8, halle tales nmeros si la suma de sus cubos es mnima.

f(a, b) = a + b = 8f(a, b) = a3 + b3 = mnimaa + b = 8f(a, b) = 0b = 8 af(a, b) = (a3 + b3)=0b = 4(a3 + (8 - a)3) = 0(a3 + 83 - 3(8)2(a) + 3(8)(a2) a3) = 0(83) (3(8)2(a)) + (3(8)(a2)) = 00 3(8)2 + 2(3)(8)(a) = 02a = 8 a = 4

Grafique la funcin f(x) = x4 12x2 + 36

Halle a, b, c, d para que y = ax3 + bx2 + cx + d, sea tangente al eje x en (2,0) y tenga punto de inflexin en (0,4)

Si f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, determine los valores de a, b, c y d para que f tenga un extremo relativo en (0,3) y la grfica de f un punto de inflexin en (1,-1)

f(x) = 3ax2 + 2bx + c f(x) = 0 Extremos relativosf(x) = 6ax + 2b f(x) = 0 Punto de inflexin

Extremo relativo en el punto (0,3):f(0) = 0f(0) = 33a(0)2 + 2b(0) + c = 0a(0)3 + b(0)2 + c(0) + d = 3c = 0d = 3

Punto de inflexin en el punto (1,-1):f(1) = 0f(1) = -16a(1) + 2b = 0a(1)3 + b(1)2 + c(1) + d = -1b = -3aa + b + c + d = -1b = -3a 3a + 0 + 3 = -1 a = 2

Determine la constante a de modo que la funcin f(x) = x2 + (a/x) pueda tener a) un mnimo relativo en x = 2, b) un mnimo relativo en x = -3, c) un punto de inflexin en x = 1

f(x) = x2 + f(x) = 0: mn. relativof(x) = 2x - a) f(2) = 2(2) = 0 a = 16b) f(-3) = 2(-3) = 0 a = -54f(x) = 0: pto. Inflexinf(x) = 2 + c) f(1) = 2 + = 0 a = -1

Determine las constantes a y b de manera que la funcin f(x) = x3 + ax2 + bx + d pueda tener: a) Mximo relativo en x = -1 y un mnimo relativo en x = 3, b) Un mnimo relativo en x = 4 y un pto. Inflexin en x = 1

f(x) = x3 + ax2 + bx + df(x) = 0: mx. relativo f(x) = 3x2 + 2ax + b a) f(-1) = 3(-1)2 + 2a(-1) + b = 0 b + 3 = 2a b + 3 = -6 b = -9f(x) = 0: mn. relativo a) f(3) = 3(3)2 + 2a(3) + b = 0 6a + b + 27 = 06a + b + 3 + 24 = 0 6a + 2a = -24a = -3f(x) = 0: pto. Inflexinf(x) = 6x + 2a b) f(4) = 3(4)2 + 2a(4) + b = 0 -24 = b b) f(1) = 6(1) + 2a = 0 a = -3

Determine los coeficientes a, b, c y d de tal forma que la funcin f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, tenga un valor mximo en el punto (-1,10) y un pto. Inflexin en (1,-6)f(x) = 3ax2 + 2bx + c f(x) = 0 Mximo y mnimo relativof(x) = 6ax + 2b f(x) = 0 Punto de inflexinMximo relativo en el punto (-1,10):f(-1) = 0f(-1) = 103a(-1)2 + 2b(-1) + c = 0a(-1)3 + b(-1)2 + c(-1) + d = 10c = 2b 3a-a + b c + d = 10c = -9ab + d = a + 2b 3a + 10 d = 10 2a + b d = 10 5ac = -9 d = 5Punto de inflexin en el punto (1,-6):f(1) = 0f(1) = -66a(1) + 2b = 0a(1)3 + b(1)2 + c(1) + d = -6b = -3aa + b + c + d = -6b = -3a 3a - 9a + d = -6 10 5a = 11a 6 a = 1

Grafique f(x) = x2/(1+x2)

http://www.youtube.com/watch?v=V7HrkWdnarI&feature=fvwrel