APLICACIÓN DE LAS DISTRIBUCIONES DE

PROBABILIDADES

Presentado por:

Domingo AldanaJefferson PreteltLuis F. CaroRicardo Guazo

Distribución de BernoulliSea X una v. a. asociada a un experimento de Bernoulli y que toma los valores: • X(éxito) = 1 X(fracaso) = 0

Entonces se dice que X sigue una distribución de Bernoulli X ≡ B(1, p). Su función de probabilidad viene dada por:

• P(X = 1) = p P(X = 0) = 1 − p = q

• Formulas• q = 1 – p• = p• =pq

Ejercicio 1Una persona participa en un concurso debe responder falso o verdadero a una

afirmación que se le hace en cada una de seis etapas. Si la persona responde al

azar, la probabilidad de que acierte es esas seis etapas es:

Solución

Sea x la variable que indique el número de veces que acierta una etapa.

La probabilidad de acertar una afirmación es de 12. Como es una afirmación por

etapa, se tiene la misma probabilidad de acertar una etapa es también 12

P(x=1)= 12

Como todas las etapas son independientes, la probabilidad de acertar dos etapas

es

Asi sucesivamente para n etapas la probabilidad de acertar en todas ellas es:

Para n= 6 etapas:

Ejercicio 2

• Un agente de seguros realiza visitas a domicilio para vender

• seguros de vida. El resultado de una visita se clasifica como

• éxito si vende un seguro lo que ocurre con probabilidad 0,2

• y fracaso si no lo vende. La variable aleatoria:

Distribución Binomial

Cantidad de éxitos en n ensayos de BernoulliX≡Bi(n,p)Formulas

=E(X)= np= Var(X) = npq

EjemplosEn un hospital se comprobó que la aplicación de un determinado tratamiento en enfermos de neumonía provoca la mejoría en un 79% de los casos. Se aplica el tratamiento a un grupo de 12 enfermos. Calcule:A. La probabilidad de que mejoren cinco. B. La probabilidad de que mejoren menos

de uno.

SoluciónA. La probabilidad de que mejoren cinco.

P(x=k)=* n: 12p:0.79k: 5

B. La probabilidad de que mejoren menos de uno.

• n: 12• p:0.79• k: 0

Un examen consta de 20 preguntas; cada una de ellas tiene 5 respuestas posibles de las cuales solo una es la respuesta correcta. Si un estudiante que desconoce el curso contesta la prueba aleatoriamente,¿ Cual es el numero esperado de respuestas correctas?

a.¿ Cual es el numero esperado de respuestas correctas?

Distribución Geometrica

Cantidad de veces necesarias para obtener el 1er éxito.n= numero natural p = numero real entre 0 y 1Formulas:

Ejercicio 1¿Cuál es la probabilidad de que Ronaldo marque por primera vez en su quinto penalti?¿Cuál es el número esperado de penaltis que necesita para marcar?

Sea p= 0.8 X= 5 q= 1-0.8= 0.2

E[X]= E[X]= 1,2

Ejercicio 2

En la costa la probabilidad de que una tormenta con truenos ocurra en el mes de diciembre y enero es igual a 0.11, suponiendo la independencia de un día con otro ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera tormenta con truenos ocurra el 14 de enero? SOLUCIONSea x = numero de días (empezando desde el 1 de diciembre) hasta la primera tormenta. Luego x = 45 días, entonces,q= 0.89p=0.11P( X=45) = (0.89)^44.(0.11)P( X= 45) = 0.000652

 La Distribución Hipergeométrica es especialmente útil en todos aquellos casos en los que se extraigan muestras o se realizan experiencias repetidas sin devolución del elemento extraído o sin retornar a la situación experimental inicial, tiene grandes aplicaciones en el control de calidad en otros procesos experimentales en los que no es posible retornar a la situación de partida.

Distribución Hipergeométrica

EjemploDe 60 aspirantes a la UNIVERSIDAD 40 son de Baja California, si seleccionamos 20 aspirantes al azar¿Calcular la probabilidad de que 10 sean de BajaCalifornia?N = 60 n= 20 r = 40 x = 10

De los 20 hombres y 18 mujeres del salón el 50% réprobo el examen de estadística, si tomamos 10 alumnos al azar hallar la probabilidad de que:A) 4 alumnos sean reprobadosN = 38 n = 10 r = 19 x = 4

Distribucion de Poison

Suponga que hay 300 errores de impresión distribuidos aleatoriamente a lo largo de un libro de 500 paginas. Encuentre la probabilidad de que en una pagina dada contenga exactamente 2 errores de impresion

Datosn= 300 erroresp= es muy pequeñox=2 dist. PoissonP(x)=

=300=0,6

P(2)=P(2)=

P(2)=0,0988

Si “X” es igual al Número de fracasos antes de obtener “K” éxitos, entonces la variable aleatoria “X” tiene por función de densidad:

P(Y=k) = probabilidad de que ocurran r éxitos en k ensayos r = número de éxitosk = número de ensayos para obtener r éxitosp = p(éxito) q = p(fracaso) = 1-p

Binomial negativa

Ejemplo 1: Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una desviación excesiva es de 0.05, ¿cuál es la probabilidad de que; a) el sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el tercero en mostrar una desviación excesiva?, b) el séptimo de estos dispositivos de medición sometidos a prueba, sea el cuarto que no muestre una desviación excesiva?.

Solución:a) k = 6 dispositivos de mediciónr = 3 dispositivos que muestran desviación excesivap = p(dispositivo muestre una desviación excesiva) = 0.05q = p(dispositivo no muestre una desviación excesiva) = 0.95

p(Y = 6) =

b) k = 7 dispositivos de mediciónr = 4 dispositivos que no muestran una desviación excesivap = p(dispositivo no muestre una desviación excesiva) = 0.95q = p(dispositivo muestre una desviación excesiva) = 0.05

p(Y = 7) =

2. Los registros de una compañía constructora de pozos, indican que la probabilidad de que uno de sus pozos nuevos, requiera de reparaciones en el término de un año es de 0.20. ¿Cuál es la probabilidad de que el sexto pozo construido por esta compañía en un año dado sea el segundo en requerir reparaciones en un año?

Solución: k = 6 pozos r = 2 pozos que requieren reparaciones en un año p = p(pozo requiera reparaciones en un año) = 0.20 q = p(pozo no requiera reparaciones en un año) = 0.80

p(Y = 6) =

Distribución uniforme discreta

Se seleccionan una persona de un grupo de 10, extrayendo una papeleta al azar de una caja que contiene 10 papeletas, enumeradas del 1 al 10X representa el numero en la papeleta que se extrae

Hallar: probabilidad de que la papeleta extraída sea la numero 5

n:10x:5

P(X=k)= 1/10P(X=5)=1/10

Valor esperado E(x): (n+1)/2E(x):(10+1)/2= 11/2 = 5.5

Varianza= =16.5

Distribución uniforme continua

El precio medio del litro de gasolina durante el próximo año se estima que puede oscilar entre 140 y 160. Podría ser, por tanto, de 143, o de 143,4, o de 143,45, o de 143,455, etc. Hay infinitas posibilidades, todas ellas con la misma probabilidad.función de densidad:

Luego:

b: es el extremo superior (en el ejemplo, 160 ptas.)a: es el extremo inferior (en el ejemplo, 140 ptas.)

Es decir, que el valor final esté entre 140 y 141 tiene un 5% de probabilidad, que esté entre 141 y 142, otro 5%, etc.

Distribución Exponencial de probabilidad

GRACIAS !