aplicación del metodo de diferencias finitas en el análisis del flujo potencial en un canal de...
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Con la finalidad de conocer las líneas de corriente, hallar el valor de los vectores de velocidad en el campo de flujo, hallar las zonas de máxima y mínima presión así como también las regiones de divergencia, simulamos un canal de transición con flujo uniforme y un pilar cuadrangular en su centro para poder observar y analizar los efectos que ocurren con la función de corriente, el campo de velocidades, el campo de presiones y regiones de convergencia; estudiamos también la trayectoria de las partículas en este canal, sus efectos y los cambios que estos tienen al modificar las velocidadesTRANSCRIPT
APLICACIN DEL METODO DE DIFERENCIAS FINITAS EN EL ANLISIS DEL FLUJO POTENCIAL EN UN CANAL DE TRANSICIN CON UN PILAR CUADRANGULAR EN SU CENTRO
Flores Huallpayunca Luis [email protected]
Len Gmez [email protected]
Ruiz Salvatierra Joel [email protected]
Gonzalez Saavedra Juan [email protected]
Vallejos Castro [email protected]
RESUMENCon la finalidad de conocer las lneas de corriente, hallar el valor de los vectores de velocidad en el campo de flujo, hallar las zonas de mxima y mnima presin as como tambin las regiones de divergencia, simulamos un canal de transicin con flujo uniforme y un pilar cuadrangular en su centro para poder observar y analizar los efectos que ocurren con la funcin de corriente, el campo de velocidades, el campo de presiones y regiones de convergencia; estudiamos tambin la trayectoria de las partculas en este canal, sus efectos y los cambios que estos tienen al modificar las velocidades
I.- INTRODUCCIN
En la actualidad los problemas ingenieriles relacionados a fenmenos de fluidos son abarcados mediante la mecnica de fluidos computacional (CFD), siendo sta una herramienta de gran utilidad para resolverlos, ya que nos permite asignar parmetros para analizar los flujos en diferentes condiciones.
Es por ello que al representar un flujo potencial con geometras complicadas o condiciones de corriente inusuales, como el estudiado en este caso, el uso de la transformacin conforme basada en las tcnicas de la variable compleja y el mtodo clsico de superposicin en las secciones deja de ser tiles.
En este caso la moderna tcnica del anlisis numrico nos permite un enfoque ms apropiado existiendo al menos 3 mtodos distintos como:
Mtodo de elementos finitos (FEM, finiteElementMethod) [6,19]. Mtodo de diferencias finitas (FDM, FiniteDifferenceMethod) [5, 20, 23-27]. a) Mtodos integrales de singularidades distribuidas.b) Mtodo de los elementos de contorno.
Considerando lo expuesto anteriormente mostraremos a continuacin la presentacin de un caso particular, a manera de ejemplo, en el cual utilizaremos como herramienta el Mtodo de diferencias finitas, para el desarrollo de la simulacin en el canal de transicin con un pilar de seccin cuadrangular en el centro.
II.- OBJETIVOS
2.1 OBJETIVO S GENERALES
Representar las condiciones hidrodinmicas del canal de transicin con pilar de seccin cuadrangular
2.2 OBJETIVOS ESPECFICOS
Hallar los valores de las lneas de corriente y visualizarlas en el canal de transicin con un pilar de seccin cuadrangular. Hallar el valor de los vectores en el campo de flujo Hallar el valor de las presiones y visualizar las zonas de mxima y mnima presin. Entregar al alumno las herramientas numricas para simulacin, modelamiento y caracterizacin de fenmenos de flujo de fluidos.
Al final del curso el alumno ser capaz de modelar mediante un software de mecnica de fluidos problemas complejos que pueden involucrar por ejemplo: geometras complicadas, interaccin fluido-estructura, tridimensionalidad, etc.
Discutir algunos que pueden aproximarse que pueden usado la mecnica de fluidos computacional
METODOLOGIAFlujo PotencialLa ecuacin de continuidad de un fluido relaciona a variacin de la masa en el volumen de control por unidad de tiempo con la cantidad de masa que fluye hacia o desde las fronteras de este volumen de control. Escrita en formadiferencial
. (1)Donde es la densidad del fluido y qel vector de velocidad.Un fluido incompresible es aquel cuyos elementos no pueden experimentar un cambio de volumen. Debido a que la masa del fluido es constante, los elementos de un fluido incompresible tambin deen de tener densidad constante, as la ecuacin (1) se reduce a
La cantidad que est relacionada con la rotacin del fluido es llamada vorticidad y esta definida por . Por otro lado, en aquellos fluidos donde los efectos viscosos son muy pequeos comparados con os efectos cinemticos a vorticidad es nula. En este tipo de fluidos son llamados irrotacionales. Si la vorticidad es igual a cero podemos expresar la velocidad como el gradiente de n campo escalar . Con esta suposicin, la ecuacin de continuidad para n fluido incompresible es
.(3)
De (3), en esta ecuacin diferencial se presenta con muchas reas diferentes de ingeniera y fsica y se denomina la ecuacin de Laplace. As, los campos de flujos irrotacionales, incompresibles y no viscosos estn gobernados por la ecuacin de Laplace. Este tipo de flujos se denominan flujos potencial para completar el planteamiento matemtico de un problema dado es necesario especificar las condiciones de frontera. Estas condiciones suelen ser velocidadesespecificadas sobre los lmites del campo de flujo de inters. Se concluye que si es posible determinar la funcin potencial, entonces a partir de la ecuacin de las componentes de velocidad: , Se puede calcular la velocidad en todos los puntos del campo de flujo, y apartir de la ecuacin de Bernoulli:
Se puede determinar la presin en todos los puntos. Aunque el concepto de potencial de velocidad es aplicable a flujo estable e inestable la atencin se restringir a flujo estable.
La ecuacin a usar:La ecuacin de Navier-Stokes con las condiciones de frontera apropiadas permite en principio resolver los problemas de mecnica de fluidos. Sin embargo, no siempre es fcil hallar la solucin e incluso en algunos casos puede que esta no exista. Tambin hay problemas de convergencia por la no linealidad de las ecuaciones. Muchos problemas no requieren de la ecuacin de Navier-Stokes porque aquellos flujos presentan en una regin no viscosa donde los efectos turbulentos prcticamente se pueden despreciar. En este caso particular la circulacin de la velocidad es nula y por tanto el rotacional de la velocidad seria cero. Por tanto para un fluido no rotacional la velocidad se podra escribir como el gradiente de una funcin escalar potencial. Para un rgimen subsnico la densidad del fluido se puede considerar incompresible, es decir, constante, y por tanto la ecuacin o conservacin de la masa se reduce a que la divergencia de la velocidad es nula. Entonces usando el carcter no rotacional de fluidos relativamentelejanos de las superficies y fluidos subsnicos, el problema ideal e irrotacional se reduce a resolver la ecuacin de Laplace con ciertas condiciones de frontera.
Divergencia de un campo vectorial
Sea F un campo vectorial definido en un conjunto abierto y consideremos sus coordenadas F= (F1,F2,,Fn). Supongamos que F es diferenciable en un punto a perteneciente al campo vectorial, o que sabemos equivale a que todos los campos escalares Fk con K= 1,2,...,n, sean diferenciales en el punto a. de hecho que cada vector gradiente es la k-esima fila de la matriz jacobiana de F en a. pues bien, la traza de dicha matriz es , por definicin, la divergencia del campo F en el punto a, y se denota por divF(a). As pues se tendr
Para un flujo potencial tenemos que
Mtodos de solucin
Aunque en los libros de texto sobre anlisis numrico se aplica el mtodo de diferencias finitas a multitud de problemas distintos, aqu nos concntratelos en el flujo potencial. La idea de este mtodo es aproximar las derivadas parciales que aparecen en la ecuacin fsica por diferencias entre los valores de la solucin en una serie de nodos separados entre s a una cierta distancia finita, si bien los nodos no tienen por estar equiespaciados. La ecuacin original en derivadas parciales se sustituye as por una serie de ecuaciones algebraicas para los valores en los nodos. Para el flujo potencial (no viscoso), estas ecuaciones algbricas son lineales, pero en general, para el flujo viscoso son no lineales.
IV RESULTADOSSe simul un canal de transicin para el cual hicimos ingresar un caudal en flujo uniforme con una velocidad de 10 m/s obtenindose los siguientes resultados:
En la figura 1 se representa la simulacin del flujo en el canal sin ningn obstculo en el cual se puede observar que las velocidades al comienzo del canal son mayores que en la zona central a la geometra misma del canal.
Figura 1. Lneas de corriente y vectores velocidad en un canal de transicin sin pilar.Ahora, con la presencia de un pilar en el centro del canal (figuras 2 y 3) observamos que las lneas de corriente comienzan a curvarse al expandirse el canal y luego rodean al pilar situado en el centro. En las partes superior e inferior del pilar se observa que las velocidades tienden a aumentar debido a que el rea por donde fluye el agua disminuye.
Figura 2. Lneas de corriente y vectores velocidad en un canal de transicin con un pilar
Figura 3. Vista de la regin cercana al pilar.
En la figura 4 se muestran la velocidades para tres valores de Y diferentes a lo largo de todo el canal. Podemos observar que para posicionesms cercanas a la pared del canal la velocidad aumenta antes de la expansin del canal, mientras que para posiciones centrales la velocidad tiende a disminuir debido a la presencia del bloque aguas abajo.
Figura 4. Velocidades a valores constantes de Y.
Figura 5. Acercamiento de la figura 4
En las figuras 6, 7 y 8 se hace una comparacin del comportamiento de las velocidades para valores fijos de X considerando el flujo sin la presencia del pilar y con la presencia del mismo. En la figura 6 se tom X=100m y se observa que la condicin de presencia del pilar no influye en la distribucin de velocidades a este nivel debido a que se encuentra lo suficientemente alejado.
Leyenda:ooo SIN PILAR*** CON PILARFigura 6.
En la figura 7 se tom X=230m observando que la presencia del pilar modifica la distribucin de velocidades de tal manera que son disminuidas en el centro y aumentadas en los extremos.
Leyenda: *** SIN PILAR*** CON PILARFigura 7.
En la figura 8 se tom X=300m y observamos que la presencia del bloque cambia drsticamente la distribucin de velocidades siendo en este caso de mayor valor y aumentando desde la pared del canal hasta tomar su mximo valor en la pared del bloque y es cero en la posicin del bloque.
Leyenda: *** SIN PILAR*** CON PILARFigura 8.
Figura 9.
Figura 9.
BibliografaWhite F., 2008, Flujo Potencial y Mecnica de Fluidos Computacional, Mecnica de Fluidos, 6edicion, pp 521,571,572.Munson Young O., 1999, Ecuacin de Bernoulli para Flujo irrotacional, Fundamentos de la Mecnica de Fluidos, pp 331-337 Streeter W., 2005, Fluido Ideal, Mecnica de los Fluidos, 6 edicin, pp 405, 417-428D. E. Rodrguez Atar a, R. Martnez a, L. Rendon b, 2011, http://revcolfis.org/ojs/index.php/rcf/article/viewFile/430219/pdf, consultado el 23/02/2014