Universidad de Antioquia. Agudelo Julián. Aplicación de programación lineal. 1

BÚSQUEDA DE LA LOCALIZACIÓN

ÓPTIMA DE CAMARAS DE TELEVISIÓN

UTILIZANDO PROGRAMACIÓN LINEAL JULIAN AGUDELO

julianagudelob@hotmail.com

Abstract - Este documento describe la programación

lineal como herramienta para dar solución a problemas de

cobertura, en este caso la necesidad de reducir el número

de cámaras necesarias para transmitir un juego,

optimizando su ubicación, con el fin de tener una toma

completa de las zonas más importantes de un estadio.

I. INTRODUCCIÓN

Es común en la cotidianidad la toma de decisiones, pero,

¿Cómo saber cuál es la decisión más apropiada? ¿Cómo

obtengo un máximo beneficio? ¿Cómo minimizo costos?

Actualmente son muy utilizadas las técnicas de optimización,

herramientas matemáticas que buscan encontrar la solución

óptima a un problema, sujeto a restricciones propias de cada

situación.

II. PROGRAMACIÓN LINEAL

Es una técnica de modelado que ayuda a tomar decisiones.

Implementa una función objetivo lineal y un conjunto de

restricciones lineales variables no negativas.

El objetivo de la programación lineal es minimizar o

maximizar un objetivo (función objetivo) y su interés principal

es tomar las decisiones óptimas.

III. PROGRAMACION LINEAL BINARIA ENTERA

Es similar a la programación lineal, busca optimizar una

función objetivo lineal sujeta a una serie de restricciones

lineales. La diferencia radica básicamente en la existencia sólo

de variables de tipo binario.

IV. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Un canal local requiere transmitir el juego más importante del

año. Los productores han identificado 12 posibles

localizaciones para las cámaras y 25 áreas del estadio que

requieren ser cubiertas por las cámaras.

En la siguiente tabla se muestra la relación entre las

localizaciones y las zonas cubiertas desde estas:

Localización de la cámara Área del estadio

1 1, 3, 4, 6, 7

2 8, 4, 7, 12

3 2, 5, 9, 11, 13

4 1, 2, 18, 19, 21

5 3, 6, 10, 12, 14

6 8, 14, 15, 16, 17

7 18, 21, 24, 25

8 2, 10, 16, 23

9 1, 6, 11

10 20, 22, 24, 25

11 2, 4, 6, 8

12 1, 6, 12, 17

Fig. 1. Cobertura desde distintas localizaciones

Se desea minimizar el número de cámaras empleadas para la

transmisión. Además la localización 9 debe tener una cámara y

las áreas 1 y 2 requieren cobertura de al menos dos cámaras,

las cuales no deben estar en la misma localización.

Ésta es una situación frecuente dentro de la programación

lineal, se denomina problema de cobertura. Los problemas de

este tipo se resuelven de manera similar, es preciso proceder

inicialmente a construir una matriz de cobertura

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1

1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 2

0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 3

1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 4

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 5

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 7

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8

0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 9

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10

0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 11

0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 12

0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 13

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14

0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 15

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 16

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 17

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 18

0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 19

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 20

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 21

0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 22

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 23

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 24

0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 25

0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

Universidad de Antioquia. Agudelo Julián. Aplicación de programación lineal. 2 Fig. 2. Matriz de cobertura

Cada columna localización presenta el coeficiente unitario en

cada una de las zonas que cubre la cámara.

Para cada localización j (j=1-12) utilizaremos una variable

binaria

𝑋𝑗 = {1, 𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑎𝑚 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 0, 𝑠𝑖 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑎𝑚 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛

Las restricciones las obtenemos multiplicando la matriz de

cobertura por el vector de variables. Los términos

independientes se recogen en un vector columna, cuyo valor

será el número mínimo de veces que la zona debe quedar

cubierta. En ese orden de ideas e implementando las

condiciones especiales de la localización 9 y las zonas 1 y 2

tenemos:

∑ 𝑎𝑖𝑗𝑋𝑗 ≥ 2 𝑖 = 1,2

12

𝑗=1

∑ 𝑎𝑖𝑗𝑋 ≥ 1 𝑖 = 3, … ,25

12

𝑗=1

𝑋9 = 1

El objetivo es minimizar el número de cámaras, por lo tanto la

función objetivo es:

𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 ∑ 𝑋𝑗

12

𝑗=1

El modelo completo es:

𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 ∑ 𝑋𝑗

12

𝑗=1

Sujeta a:

∑ 𝑎𝑖𝑗𝑋𝑗 ≥ 2 𝑖 = 1,2

12

𝑗=1

∑ 𝑎𝑖𝑗𝑋𝑗 ≥ 1 𝑖 = 3, … ,25

12

𝑗=1

𝑋9 = 1

V. RESULTADOS

Se implementó un script para dar solución al problema

utilizando la toolbox de optimización del software Matlab.

Utilizamos el comando correspondiente de programación

lineal binaria entera.

[X,fval] = bintprog(z,A,b,Aeq,beq)

Siendo z el vector función objetiva, A la matriz de restricciones

de desigualdad, Aeq la matriz de restricciones de igualdad, b y

beq son los vectores independientes de desigualdad e igualdad

respectivamente.

La solución se muestra a continuación

X = 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0

fval = 8

Procedemos a hacer un análisis de los resultados

Fig. 3.

Tabla de resultados

El software nos arrojó las mejores ubicaciones de las cámaras

para cubrir las diferentes zonas requeridas, así mismo nos dio

razón de las localizaciones en las cuales es innecesario ubicar

cámaras.

Las localizaciones en las cuales es requerida una cámara son la

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10.

Si expandimos nuestra función objetivo y reemplazamos los

valores de X obtenemos.

X=X1+ X2+ X3+ X4+ X5+ X6+ X7+ X8+ X9+ X10+ X11+ X12

X=1+1+1+1+0+1+0+1+1+1+0+0

X=8

Corresponde al mínimo número de cámaras necesarias para

cubrir las 25 zonas, teniendo en cuenta que las zonas 1 y 2

requieren ser cubiertas por al menos dos cámaras y además que

en la localización 9 debemos encontrar una cámara.

VI. CONCLUSIONES

En la actualidad encontramos las técnicas de optimización

como una herramienta necesaria para dar solución a los

problemas de tomas de decisión y optimización de procesos.

Haciendo uso de la programación lineal pudimos dar solución

a una situación muy común como lo es un problema de

cobertura, las necesidades fueron satisfechas completamente y

se minimizó el número de cámaras requeridas aumentando el

beneficio y reduciendo el costo.

La utilización de software para la optimización es importante

en la medida que simplifica considerablemente el desarrollo de

la solución, haciendo operaciones que en el papel se vuelven

tediosas y entregando resultados en solo segundos.

REFERENCES

[1] David Canca and Ignacio Eguía and Jesús Racero

Construcción de modelos de programación lineal,

http://italica.us.es/asignaturas/Examenes

/Construcci%C3%B3n%20de%20modelos%20de%20

PL.pdf

Accesado: 01/11/2013.

x1

x2

x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12

1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0

Universidad de Antioquia. Agudelo Julián. Aplicación de programación lineal. 3 [2] Iván Cabezas and Juan D. Páez Matlab Toolbox de

optimización Aplicaciones en ciencias económicas

http://fce.unal.edu.co/wiki/images/e/ef/M

anual_optimizacion.pdf

Accesado: 01/11/2013