RESUMEN

Newton-raphson, este trabajo se ha desarrollado en base a este, dando a conocer desde su invención hasta las aplicaciones actuales. Debemos de recalcar que este método numérico está más que implicado con las ecuaciones de estado ya que para la solución de dichas ecuaciones el método de newton-Raphson es rápido y eficaz.

Se dará a conocer los principios en que se basan este método para una mejor comprensión del lector así como ejemplos específicos de su aplicación con sus debidas ecuaciones y procedimiento.

INTRODUCCIÓN

Muchos de los fenómenos de la vida real son modelados matemáticamente con el fin de poder explicarse, sin embargo en la mayoría de los casos éstos no pueden ser solucionados por medio de algún método exacto y aunque algunas veces se puede lograr su solución ésta puede resultar demasiado laboriosa en términos de tiempo y recursos computacionales. Los métodos numéricos (MN) solucionan este tipo de problema mediante la búsqueda de una solución numérica aproximada y el cálculo del error asociado, el cual se espera que sea lo suficientemente pequeño. Los MN son herramientas o técnicas, diseñadas mediante algoritmos, que permiten la resolución de problemas matemáticos que tienen como característica un elevado nivel de complejidad y que generalmente no pueden resolverse con los métodos analíticos tradicionales y cuando esto es posible se requiere de un elevado costo. La matemática numérica es antigua, pero ha sido gracias al desarrollo computacional que se ha logrado desarrollar en forma aplicada. Sus aplicaciones son inmensas, utilizándose intensivamente en ingeniería, economía, ciencias naturales y otros.

El método de Newton-Raphson es un método de optimización iterativo que se basa en aproximar la función a optimizar por medio de la serie de Taylor hasta orden 2. Tiene la ventaja sobre el método de ascenso más rápido que no requiere un proceso iterativo para determinar hasta donde moverse.

GENERALIDADES

El método de Newton se publicó por primera vez en 1685 en un tratado de álgebra, tanto histórica y práctica por John Wallis. En 1690, Joseph Raphson publicó una descripción simplificada en universalis aequationum Análisis. Raphson más vistos del método de Newton exclusivamente como un método algebraico y restringido su uso a los polinomios, pero él se describe el método en cuanto a las aproximaciones sucesivas x n en lugar de la secuencia más complicada de los polinomios utilizados por Newton. Por último, en 1740, Thomas Simpson describe el método de Newton como un método iterativo para resolver ecuaciones no lineales generales utilizando el cálculo fluxional, esencialmente con la descripción anterior. En la misma publicación, Simpson también da a la generalización de los sistemas de dos ecuaciones y observa que el método de Newton se puede utilizar para resolver problemas de optimización mediante la creación del gradiente a cero.

El método de Newton-Raphson en conjunto con las ecuaciones de estado está más que relacionado con la termodinámica, como discernimos la termodinámica es la ciencia que se encarga de estudiar la energía presente en procesos químicos, en dichos proceso están presentes una serie de datos específicos que con ayuda de ecuaciones de estado es posible calcularlos.

Un paso del método de newton. A partir de x0 se traza la recta tangente a la curva. El punto

de intersección con el eje x es x1, la siguiente aproximación a la raíz.

CONCEPTOS BÁSICOS

La imagen geométrica del método de newton se muestra en la figura próxima. Para encontrar una raíz de f(x)=0 se da una estimación inicial x0 y se traza la recta tangente a la función f en x0.

La recta tangente seguirá en forma aproximada a la función hasta el eje x hacia la raíz. El punto de intersección de la línea con el eje x es una raíz aproximada, pero probablemente no es exacta si la f es curva por lo tanto este paso se itera.

Con base a la imagen geométrica, es posible desarrollar una formula algebraica para el método de newton. La recta tangente en x0 tiene una pendiente dada por la derivada f’(x0). Un punto sobre la recta tangente es (x0 f(x0)). La fórmula de la pendiente de un punto para la ecuación de una recta es:

y−f (x0 )=f ' (x0 )(x−x0)

De modo que para buscar el punto de intersección de la tangente con el eje x basta con sustituir y = 0 en la recta:

0−f (x0 )=f ' (x0 )(x−x0)

x−x0=−f (x0 )f ' (x0 )

x=x0−f (x0 )f ' (x0 )

Al despejar x se obtiene una aproximación de la raíz que se denomina x1. Después, todo el proceso se repite, empezando con x1 para generar x2, y así sucesivamente. Con esto se obtiene la siguiente forma iterativa.

x i+1=x i−f (x i )f ' (x i )

Ahora para una ecuación multivariable, el método de Newton-Raphson para un variable proporciona el esquema principal para el desarrollo del ya mencionado newton raphson multivariado. Ambos se derivan de la aproximación lineal proporcionada por la expansión de Taylor. Por ejemplo sean:

f 1 (u , v ,w )=0

f 2 (u , v ,w )=0

f 3 (u , v ,w )=0

Tres ecuaciones no lineales con tres incógnitas u, v, w. Tenemos que definir el vector de valores de función F (u, v, w) = (f1, f2, f3) y denotar el problema mediante F(x) = 0, donde x =(u, v, w).

La forma generalizada de la derivada f’ en el caso de una variable es la matriz jacobiana definida por

DF (x )=[∂ f 1∂u

∂ f 1∂ v

∂ f 1∂w

∂ f 2∂u

∂ f 2∂ v

∂ f 2∂w

∂ f 3∂u

∂ f 3∂ v

∂ f 3∂w

]Debemos recalcar que La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.

La expansión de Taylor para funciones vectoriales de variable vectorial alrededor de x0 es

F ( x )=F (x0 )+DF (x0 )∙ (x−x0 )+O(x−x0)2

Por ejemplo, la expansión lineal de F(u, v) = (eu+v, sen u) alrededor de x0 =(0, 0) es

F ( x )=[10]+[ e0 e0

cos0 0 ] ∙[uv ]+O ( x2 )=[10]+[u+vu ]+O (x2 )

El método de newton se basa en una aproximación lineal, sin tomar en cuenta los términos O(x2). Como en el caso unidimensional, sea x =r la raíz y sea x0 la estimación actual. Entonces

0=F (r )≈ F (x0 )+DF (x0 ) ∙ ( r−x0 )

−DF (x0 )−1 ∙F (x0 )≈r−x0

Por lo tanto, se puede obtener una mejor aproximación de la raíz al resolver la anterior ecuación para r

Ejemplos teóricos

Newton raphson univariable

Planteamiento del problema.

Utilice el método de Newton-Raphson para calcular la raíz de f(x) = e–x – x empleando como valor inicial x0 = 0.

Solución. La primera derivada de la función es

ƒ '(x )=– e– x – 1

Que se sustituye, junto con la función original en la ecuación, para tener

Empezando con un valor inicial x0 = 0, se aplica esta ecuación iterativa para calcular

i xi %E0 0 1001 0.50000000 11.82 0.56631100 0.1473 0.56714331 0.00002204 0.56714329 <10-8

Así, el método converge rápidamente a la raíz verdadera. Observe que el error relativo porcentual verdadero en cada iteración disminuye mucho más rápido que con la iteración simple de punto fijo

Newton raphson multivariable

Encontrar una solución al sistema de ecuaciones próximo.

v−u3=0

u2+v2−1=0

La matriz jacobiana es

DF (u , v )=[−3u2 12u 2v ]

Si se usa el punto inicial x0 = (1,2), en el primer paso debe resolverse la ecuación matricial

[−3 12 4] [s1s2]=−[14 ]

La solución es s= (0,1) por lo que la primera iteración produce x1 = x0 + s = (1,1). El segundo paso requiere resolver

[−3 12 4] [s1s2]=−[01]

Se muestra gráficamente el procedimiento del método numérico

La solución es s = (-1/8, -3/8) y x2=x1 + s = (7/8, 5/8), las dos iteraciones anteriores se muestran en la siguiente tabla.

i u v0 1.000000 2.0000001 1.000000 1.0000002 0.875000 0.6250003 0.829036 0.5643494 0.826040 0.5636195 0.826031 0.563624

APLICACIONES A LA INDUSTRIA QUÍMICA

Cualquier simulación de un proceso requiere disponer del valor de las propiedades fisicoquímicas y termodinámicas de las mezclas de compuestos que circulan, o han de circular, entre los distintos equipos de la planta, en todas las condiciones de composición, presión y temperatura que puedan llegarse a verificar en la operación de la misma.

Esto, obviamente, es prácticamente imposible y debemos hacer uso de técnicas de predicción que permitan estimar esos valores.

La adecuada selección de estas técnicas será crucial para un cálculo preciso de los equipos y corrientes de la planta simulada.

Esto es, no basta con que nuestro simulador cuente con los mejores algoritmos de cálculo, los más rápidos y estables. Si hemos realizado una elección incorrecta del método de predicción de propiedades los resultados que obtengamos en la simulación tendrán poco o nada que ver con la realidad.

La extracción de y el procesamiento de crudo es una actividad que representa ingresos equivalentes a más del 30% del total de recaudación fiscal en México. Es reconocido de manera generalizada que Pemex exploración y producción, es una de las primeras empresas explotadoras de crudo a nivel mundial. En el caso de los yacimientos mexicanos, se tiene una problemática porque la calidad del crudo tiende a ser cada vez menor, esto es, el crudo que se extraerá en el mediano y largo plazo será cada vez más pesado, según la prospectiva actual. En consecuencia deberán invertirse mayores recursos para desarrollarse estrategias y recurso humano y tecnológico que permitan afrontar el desafío.

El modelado termodinámico de yacimientos de crudo y gas tiene muchos elementos que le son comunes al ingeniero químico, como son el uso de ecuaciones de estado para calcular propiedades y resolver problemas en equilibrio de fases. Sin embargo, estamos los ingenieros químicos acostumbrados a trabajar con mezclas de componentes conocidos y definidos. Para incursionar en el campo de los yacimientos tenemos que aprender a trabajar con componentes ficticios cuyas propiedades son determinadas por procedimiento de caracterización, propias de la industria petrolera.

Tomando como ejemplo a los simuladores de yacimientos, el contexto donde se llevan a cabo las aplicaciones de los mismos, corresponde a sistemas multicomponentes y multifasicos (liquido-liquido-vapor-solidos) sometidos a presiones y temperaturas elevadas. Bajo estas condiciones, los modelos convencionales, como son solución ideal, gas ideal, modelos de coeficientes de actividad, etc., no pueden ser utilizados para obtención de soluciones correctas y confiables para el diseño de políticas de producción de pozos.

Es necesario incorporar modelos más robustos como es el caso de las ecuaciones de estado. Dentro de las ecuaciones de estado se encuentran disponibles las de la familia de las ecuaciones cubicas y las correspondientes a la familia de la ecuaciones derivadas de la teoría de perturbaciones. En el segundo conjunto la ecuación de estado PC-SAFT (por sus siglas en inglés pertubed chain statistical associated –fluid theory, teoría de fluidos estadísticamente asociada a cadenas perturbadas) ha alcanzado gran popularidad.

Sin embargo, continuando con el ejemplo de simuladores de yacimientos, las ecuaciones de perturbación resultan demasiado complejas numéricamente para ser consideradas como útiles dentro de la estructura del simulador, ya que más del 60 % del tiempo de computo en una simulación de un yacimiento corresponde al tiempo de cálculo de propiedades termodinámicas y de solución del equilibrio de fases. La simulación típica de un yacimiento toma varias horas e incluso días para alcanzar la convergencia. Entonces, la incorporación de modelos que aumenten el tiempo de cómputo en el cálculo de propiedades no es bien recibida.

En consecuencia el margen de maniobra para seleccionar un modelo termodinámico se restringe a la familia de las ecuaciones de estado cubicas. De hecho cuando se revisa la propaganda relativa a simuladores de yacimientos comerciales, una de sus innovaciones más relevante resulta ser el uso de ecuaciones de estado como la ecuación de Soave-Redlich-Kwong y la ecuación de Peng-Robinson en su versión original.

Redlich-kwong

La predicción de la solubilidad de gases en líquidos utilizando la ley de Henry es un problema importante en termodinámica química por sus aplicaciones a procesos industriales de separación gas-líquido. Sin embargo, el cálculo de la constante de la ley de Henry mediante ecuaciones de estado requiere implementaciones computacionales que son difíciles de programar en un formato generalizado. Por estar basado en el modelo UNIFAC de coeficientes de actividad, el método predictivo de Soave-Redlich-Kwong (PSRK) se puede aplicar a numerosos sistemas de interés. Considerando estas razones, se desarrolló una implementación abierta y generalizada del método PSRK para su aplicación al cálculo de la constante de la ley de Henry en el equilibrio gas-líquido. Esta implementación se puso a prueba al comparar las predicciones del método PSRK con un conjunto reciente de mediciones experimentales de constantes de la ley de Henry en sistemas de compuestos orgánicos. Se encontró que, dentro de un amplio rango de temperaturas, las constantes de la ley de Henry obtenidas mediante el método PSRK concuerdan razonablemente bien con los resultados experimentales para la mayor parte de los sistemas incluidos en la comparación a su aplicación al cálculo de la constante de la ley de Henry en el equilibrio gas-líquido. Esta implementación se puso a prueba al comparar las predicciones del método PSRK con un conjunto reciente de mediciones experimentales de constantes de la ley de Henry en sistemas de compuestos orgánicos. Se encontró que, dentro de un amplio rango de temperaturas, las constantes de la ley de Henry obtenidas mediante el método PSRK concuerdan razonablemente bien con los resultados experimentales para la mayor parte de los sistemas incluidos en la comparación.

Ejemplos prácticos.

La ley de los gases ideales está dada por

pV=nRT

Donde es la presión absoluta, V es el volumen, n es el número de moles, R es la constante universal de los gases y T es la temperatura absoluta. Aunque esta ecuación se utiliza ampliamente por los ingenieros y científicos, solo es exacta en un rango limitado de presión y temperatura. Además dicha ecuación es apropiada solamente para algunos gases.

Una ecuación de estado alternativa para los gases está dada por:

( p+ av2 ) ( v−b )=RT

Conocida como la ecuación la ecuación de van der Waals, donde v= V/n es el volumen molar, a y b son constantes empíricas que dependen del gas que se analiza.

Un proyecto de diseño en ingeniería química requiere que se calcule exactamente el volumen molar del dióxido de carbono y del oxígeno para diferentes combinaciones de temperatura y presión, de tal forma que los recipientes que contengan dichos gases se puedan seleccionar apropiadamente. Se proporcionan los siguientes datos.

R=0.082054 L atm/ (mol K)

a=3.592

b=0.04267

a=1.360

b=0.03183

Los cálculos del volumen molar a partir de la ecuación de van der Waals se llevan a cabo usando el método numérico de newton-Raphson

f ( v )=( p+ av2 ) (v−b )−RT

La derivada de f(v) respecto a v está dada por

f ' ( v )=p− a

v2+2abv3

El método de newton-raphson se describe por la siguiente ecuación

v i+1=v i−f (v i)f '(v i)

Se toma como valor inicial de v el calculado por la ley de los gases ideales.

T=300 K

P=1atm

i Volumen molar(van der Waals)

Dióxido de carbonoL/mol

Volumen molar(van der Waals)

OxigenoL/mol

%Error

0 24.6162 24.6162 -------------------------------------

1 24.5126 24.5928 0.42086, 0.095052 24.4892 24.5694 0.09546, 0.095243 24.4882 24.5678 0.004083, 0.004083

Tabla de comparación

TemperaturaK

Presiónatm

Volumen molar(ley de los gases

ideales)L/mol

Volumen molar(van der Waals)

Dióxido de carbono

Volumen molar(van der Waals)

OxigenoL/mol

L/mol300 1 24.6162 24.5126 24.5928

10 2.4616 2.3545 2.4384100 0.2462 0.0795 0.2264

500 1 41.0270 40.9821 41.025910 4.1027 4.0578 4.1016

100 0.4103 0.3663 0.4116700 1 57.4378 57.4179 57.4460

10 5.7438 5.7242 5.7521100 0.5744 0.5575 0.5842

El cloro es un compuesto gaseoso a condiciones ambiente, con importantes aplicaciones a nivel industrial, además de su conocido uso como agente desinfectante. El cloro suele despacharse en recipientes cilíndricos como gas comprimido o como gas licuado, según la aplicación que se requiera. Considere un cilindro de 50 L de capacidad que contiene cloro a 300 K como gas licuado. El 35% del volumen del recipiente contiene líquido, así que el volumen restante está ocupado por vapor. Determine los kilogramos de cloro almacenados en el cilindro. Utilice la ecuación de Riedlich-Kwong para efectuar los cálculos.

COMPUESTO FÓRMULA M (g/gmol) Tbn [K]

Pc [atm] Tc [K] Vc (cm3/gmol) Zc

CLORO CL2 70,91 239,1 76,1 417,0 124 0,276

Solución: Se indica que hay líquido y vapor simultáneamente; por lo tanto, existe una situación de equilibrio. La masa total de cloro será la suma de la masa de líquido y la masa de vapor. Se pueden conocer fácilmente los volúmenes totales de cada fase, ya que se conoce la capacidad total del cilindro y el porcentaje ocupado por cada fase. Se requiere, por lo tanto, conocer el volumen molar de cada fase para determinar los moles de líquido y vapor, y por ende, la masa total en kilogramos de cloro.

Se utilizará la ecuación de Riedlich-Kwong para los cálculos de volumen molar. A continuación se presenta en su forma factorizada:

[P+ a

V (V +b )T12 ] (V−b )=R ∙T

Haciendo un arreglo, se obtiene la fórmula de recurrencia para el método iterativo. Observe la similitud con respecto al modelo de Van der Waals.

f (V )=b+ RT

[P+ a

V (V +b)T12 ]

Los parámetros A y B para un fluido de RK se calculan a partir de las propiedades críticas del compuesto, obteniéndose los siguientes valores para el cloro: A = 1,343*108 atm.(cm3/gmol).K1/2; B = 38,96 cm3/gmol. Investigue las ecuaciones utilizadas para ese cálculo y su respectiva deducción.

Como ya habrá notado, no se conoce la presión del sistema. Sin embargo, por lo que sugiere el enunciado, el cloro se encuentra como líquido y vapor en equilibrio. Por lo tanto, la presión del sistema será igual a la presión de saturación correspondiente a la temperatura de 300 K. En ausencia de datos experimentales, es válido utilizar la ecuación de Modell- Reid para determinar la presión de saturación.

ln (Prsat )=( TrnTrn−1 )( 1Tr−1) ln( 1Prn )

Los magnitudes adimensionales están definidas de la siguiente forma: Trn = Tbn/Tc; Prn = 1 atm/Pc; Prsat=Psat/Pc; Tr = T/Tc.

Cabe destacar que esta ecuación se utiliza SOLAMENTE para calcular la presión de saturación de una sustancia pura a una temperatura conocida y viceversa. Por lo tanto, NO tiene sentido utilizarla para una mezcla de gases NI para determinar la presión absoluta a la cual se encuentra una sustancia pura que se encuentre como líquido comprimido, vapor sobrecalentado ni gas permanente. Otra observación importante es que sólo puede utilizarse esa ecuación para un rango de presiones y temperaturas inferiores a las del punto crítico.

Sustituyendo

ln (Prsat )=( 0.573380.57338−1 )( 1Tr−1) ln( 1

0.013141 )

ln (Prsat )=−5.82226( 1Tr−1)

Despejando, se obtiene una presión de saturación de 7.8565 atm.

Ahora que se conoce la presión a la cual se encuentra el cloro, ya puede utilizarse la ecuación de estado, ya que se conocen dos propiedades termodinámicas intensivas (presión y temperatura, en este caso) para el sistema. Este dato lo ocupamos para la primera iteración

f ' (V )= 2a∙ RT (V+0.5b)

(PV 2+bPV +P√T+a)2

V i+1=v i−f (V i)f ' (V i)

i Vi (cm3/gmol) Vi+1 (cm3/gmol) %E0 3133.2 2889.1 8.451 2889.1 2844.8 1.562 2844.8 2835.7 0.32

CONCLUSION

En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

Analizando el procedimiento de Newton-Raphson, discurro a la idea de que cualquier método numérico puede ser comprendido a través de un razonamiento gráfico, esto es debido a la visualización del comportamiento que presenta el método.

El ser humano a lo largo de los años ha demostrado que siempre está interesado en ser más eficiente, más productivo, más rápido en las tareas a realizar; esa hambre de siempre mejorar las cosas nos ha llevado a donde estamos ahora. Por ende podemos decir que el método de newton-raphson y otros por mencionar son consecuencia de esa hambre o curiosidad que nos hace distintos de otros seres vivos.

Para finalizar dispongo de la idea de que los métodos numéricos son esenciales dentro de cualquier ingeniería, su aplicación es exorbitante casi pueden ser aplicados en cualquier área de ingeniería y otras más por mencionar. No me cabe duda que apenas hemos rascado tan solo la superficie de esta disciplina.

BIBLIOGRAFÍAS

Chapra Steven C. and Canale Raymond P., Métodos numéricos para ingenieros, Mc Graw Hill, México D.F. 2007, pp. (148-152, 199-203)

Sauer Timothy, Análisis numérico, Pearson, Estado de México 2013, pp. (53-55, 131-132)

http://www.geociencias.unam.mx/geociencias/posgrado/tesis/doctorado/martinez_reyes_j.pdf

http://www.imiq.org/wp-content/uploads/2012/02/20205.pdf

INSTITUTO POLITECNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA QUIMICA E INDUSTRIAS

EXTRACTIVAS

SOLUCIONES DE ECUACION DE ESTADO CON NEWTON-RAPHSON

ASIGNATURA: METODOS NUMERICOS

ALUMNO: ROMERO GOMEZ GUSTAVO

GRUPO: 1IM40

NO. BOLETA: 2014320782

PROFESOR: OSCAR JIMENEZ PEREZ